Deutschland, ein Sommermärchen4. T3-Konferenz Universität Mainz, 2.3.-3.3.2007

Benno Grabinger, Neustadt/Weinstrasse, www.bennograbinger.de

Optimale Schusswinkel, Zufallsprozesse, Prognosen

Wie alles begann

9. Juni, München: Aus dem Hintergrund müsste Lahm schießen... Lahm schießt. Das Eröffnungsspiel

Deutschland – Costa Rica ist gut fünf Minuten alt. Sekundenbruchteile später schlägt der Ball rechts oben

im Winkel ein. Deutschland hat einen neuen Lieblingsspieler.

Wie schwer ist es aus dieser Position ein Tor zu schießen?

Augsburg - Anhand von 146 Toren der WM 2006 hat der Augsburger Sportwissenschaftler Martin Lames das Phänomen Zufall analysiert. Als Beispiel für ein typisches Zufallstor nennt Lames das erste WM-Tor des deutschen Verteidigers Philipp Lahm.

"Alle haben gesehen, dass das herrliche erste Tor bei der WM durch Philipp Lahm vom Pfosten ins Tor prallte, was alleine schon recht glücklich war, aber dass der Ball zum Torschützen ein gegnerischer Fehlpass war, belegt zusätzlich, dass es sich um ein so nicht geplantes und auch nicht planbares Tor handelte". (tso/ddp)

• Breite des Tors: 7,32 m• Anstand x von der Torauslinie: x = 16 m• Abstand y von der x-Achse: y = -(16 m + 7,32/2

m) = -19,66 m

Probleme

• Wie groß ist der Einschusswinkel von der Stelle P(16/19,66) aus? Wie groß ist er vom Elfmeterpunkt aus?

• Wie hängt der Einschusswinkel von der Lage des Punktes P(x/y) ab? • Von welchen Spielfeldpunkten aus ist der Einschusswinkel ebenso

groß wie vom Elfmeterpunkt aus?• Wenn y=19,66 konstant ist, für welchen Wert von x findet man das

Maximum des Einschusswinkels?• Auf welcher Kurve liegen die Maxima der Schusswinkel bei

Variation von y?

Teil I: Problemlösung durch Konstruktion

Teil II: Problemlösung durch Rechnung

Teil I

Wie groß ist der Einschusswinkel von der Stelle P(16/19,66) aus?

Wie groß ist der Einschusswinkel vom Elfmeterpunkt aus?

Schusswinkel von Phillip Lahm

Schusswinkel vom Elfmeterpunkt aus

Der Schusswinkel vom Elfmeterpunkt aus ist mehr als dreimal so groß wie der bei dem Tor von Lahm!

Wo finden sich alle Punkte des Spielfeldes von denen aus der Schusswinkel denselben festen Wert hat?

Wo finden sich alle Punkte des Spielfeldes von denen aus der Schusswinkel denselben festen Wert hat?

Sieht nach einem Kreis aus!

Begründung?

Umfangwinkelsatz:

Umfangswinkel zur selben Kreissehne sind gleich groß. (Die Winkel müssen auf derselben Seite der Sehne liegen.)

Jeder Umfangswinkel ist halb so groß wie der zugehörigeMittelpunktswinkel.

Anwendung:Punkte, die zu gleichen Einschusswinkeln gehören,liegen auf einem Kreis der durch die Torpfosten geht.

Demonstration des Umfangwinkelsatzes

Zusammenhang „Gleicher Schusswinkel“ und „Kreis“

Änderung des Schusswinkels für konstantes y

Lange Rechenzeiten auf dem Handheld!

Der Einschusswinkel besitzt auf Parallelen zur x-Achse ein Maximum.Das ist für einen Stürmer beim Torschuss wichtig!

Maximale Schusswinkel

Von welcher Stelle aus soll der Stürmer schießen?

Wie findet man elementargeometrisch das Maximum des Schusswinkels?

Der Einschusswinkel besitzt auf Parallelen zur x-Achse ein Maximum.

Maximale Schusswinkel

Der maximale Schusswinkel gehört zu dem Kreis, an den die Parallele zur x-Achse (längs der gelaufen wird), Tangente ist!

Zeichnerische Bestimmung der x-Koordinaten die zu dem Punkt mit maximalem Schusswinkel gehört.

Beispiel:

Gesucht ist der Punkt mit max. Schusswinkel auf der Geraden y=-19.66

Konstruiere einen Kreis um den Torpfosten A mit Radius 19.66. Die x-Koordinate des Schnittpunktes dieses Kreises mit der x-Achse ist gleich der x-Koordinate des Punktes mit max. Schusswinkel.

Der gesuchte Punkt ist (19,3 / -19,66)Der gesuchte Punkt ist (19,3 / -19,66)

Auf welcher Kurve liegen die Maxima wenn y variiert?

Teil IIRechnerische Bearbeitung der zuvor behandelten Probleme

Wie hängt der Einschusswinkel von der Lage des Punktes P(x/y) ab?

x

66.3ytan

x

66.3ytan 11

x

y

x

y 66.3tan

66.3tanα 11

Die Betragstriche kann man weglassen da sich für positive y-Werte dieselben Winkel ergeben:

Abhängigkeit des Schusswinkels von der Position auf dem Spielfeld durch Rechnung

Schusswinkel über dem Spielfeld aufgetragen:

Bestimmung des maximalen Schusswinkels mit Hilfe der

Differenzialrechnung

Rechnerische Bestimmung der Kurve der Maxima

Die Rolle des Zufalls

http://science.orf.at/science/news/144631

• Fußball: Tore oft purer ZufallDas Ergebnis eines Fußballspiels ist oft reiner Zufall und die Wahrscheinlichkeit, dass eine schlechtere Mannschaft gewinnt, sehr hoch - zu diesem Resultat ist Leopold Mathelitsch vom Institut für Physik der Uni Graz gekommen.

• Vergleich mit radioaktiver QuelleDer Grazer Forscher verglich die Stärke eines Fußballteams mit der einer radioaktiven Quelle. Letztere könnte einigermaßen genau bei einer bestimmten Anzahl von Zerfällen gemessen werden.

William Feller,

An Introduction to Probability Theorie and Its Applications:

Können Tore durch einen Poisson-Prozess beschrieben werden?

Beispiele die einer Poisson Verteilung folgen

• die zufällige Anzahl von Telefonanrufen pro Zeiteinheit. • die zufällige Anzahl der Kunden an einem Schalter pro Zeiteinheit. • die Zeitpunkte, in denen Anforderungen (Personen, Jobs,

Telefonanrufe,...) bei einem Bediener (Bank, Server, Telefonzentrale, Speicherverwaltung, ... ) eingehen.

• die zufällige Anzahl von nicht keimenden Samenkörnern aus einer Packung.

• Anzahl der Pixelfehler auf einem TFT Display. • Anzahl der Schlaglöcher auf einer Landstraße. • Anzahl der Druckfehler in einem Buch. • Anzahl der Unfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung. • die Zeitpunkte, in denen eine radioaktive Substanz ein α-Teilchen

emittiert. • zufällige Anzahl der α-Teilchen, die von einer radioaktiven Substanz

in einem bestimmten Zeitraum emittiert werden.

Vorrunde der Fußball WM

usw. (Word-Datei)

Zusammenfassung der Torzeitpunkte aller Gruppen:A 6, 17, 61, 87, 12, 73, 24, 80, 91, 8, 54, 92, 4, 44, 57, 25, 33, 66B 3, 83, 91, 89, 51, 34, 90, 85, 25, 86,C 24, 38, 82, 18, 6, 31, 41, 78, 84, 88, 23, 38, 27, 37, 10, 67, 20, 86,D 28, 36, 76, 79, 4, 63, 80, 6, 29, 24, 75, 60E 40, 83, 5, 36, 76, 22, 27, 2, 82, 26, 87, 22, 47, 43F 44, 84, 26, 89, 92, 49, 90, 34, 46, 53, 59, 81, 2, 56, 38, 79G 54, 72, 31, 9, 81, 16, 88, 55, 61, 23, 77H 13, 17, 48, 81, 23, 92, 57, 84, 71, 76, 91, 8, 4, 36, 46, 84, 36, 70

Urliste der Tore

6, 17, 61, 87, 12, 73, 24, 80, 91, 8, 54, 92, 4, 44, 57, 25, 33, 66, 3, 83, 91, 89, 51, 34, 90, 85, 25, 86, 24, 38, 82, 18, 6, 31, 41, 78, 84, 88, 23, 38, 27, 37, 10, 67, 20, 86, 28, 36, 76, 79, 4, 63, 80, 6, 29, 24, 75, 60, 40, 83, 5, 36, 76, 22, 27, 2, 82, 26, 87, 22, 47, 43, 44, 84, 26, 89, 92, 49, 90, 34, 46, 53, 59, 81, 2, 56, 38, 79, 54, 72, 31, 9, 81, 16, 88, 55, 61, 23, 77, 13, 17, 48, 81, 23, 92, 57, 84, 71, 76, 91, 8, 4, 36, 46, 84, 36, 70

Auswertung der Urliste

Das k-te Element der letzten Liste gibt an, wie viele Tore in der k-ten Minute fielen.

Anzahl der Tore in bestimmten Minuten

Minute Anzahl

Zahl der Minuten mit 0,1,2,3,4 Toren

Zahl der Minuten mit 0,1,2,3,4 Toren: {22, 36, 23, 7, 2}

Mittlere Zahl der Tore pro Minute

ist gleich der mittleren Zahl der Tore pro Minute.

λ

!

λ ek

k ist dann die Wahrscheinlichkeit für genau k Tore in einer Minute.

Tore können durch eine Poisson-Verteilung beschrieben werden

Wahrscheinlichkeit für k Tore in der Zeit t

λ

!

λ ek

k ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Tore in einer Minute.

tk

ek

t λ

!

)λ( ist dann die Wahrscheinlichkeit für k Tore in der Zeit t.

Ist

Ist die Torrate einer Mannschaft (durchschnittliche Zahl der Tore pro Minute), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Mannschaft in t Minuten k Tore geschossen hat, gleich

tk

ek

ttkp

λ

!

)λ(),λ,(

Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Spielstände

tk

ek

ttkp

1λ11 !

)λ(),λ,(

tk

ek

ttkp

2λ22 !

)λ(),λ,(

tn

tm

en

te

m

ttnptmp

2λ21λ121 !

)λ(

!

)λ(),λ,(),λ,(

Wahrscheinlichkeit für den Spielstand m : n nach der Zeit t:

Betrachtet wird das Spiel von 2 Mannschaften mit den Torraten undgegeneinander

tnm

enm

tt )2λ1λ(21

!!

)λ()λ(

Für zwei Mannschaften mögen die folgenden hypothetischenTorraten gelten:

Mannschaft 1: 1 Tor in 60 MinutenMannschaft 2: 1 Tor in 90 Minuten

Wahrscheinlichkeit für best. Ergebnisse bei vorgegebenen Torraten

Die stärkere Mannschaft gewinnt bei folgenden Ergebnissen:

1:0

2:0, 2:1

3:0, 3:1, 3:2

4:0, 4:1, 4:2, 4:3

Gewinnchance für die stärkere Mannschaft: 0,488

d.h. in gut 50% der Fälle gewinnt die stärkere Mannschaft nicht!

Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden: 0,26

Mit Wahrscheinlichkeit 1-(0,488+0,26)=25% gewinnt die schwächere Mannschaft.

Die Summation bis 20 ist willkürlich. Von einer Mannschaft werden aber meist weniger als 20 Tore geschossen, so dass sich hier ein guter Näherungswert für die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt, bei der bis unendlich summiert werden muss.

Vorausgesetzt sind auch die Torraten 1/60 und 1/90.

Die Rechnung zeigt:

Auch die um vieles schwächere Mannschaft hat eine realistische Chance das Spiel zu gewinnen!

Daraus bezieht das Fußballspiel seinen Reiz

Strategische Überlegungen

Wie soll sich die schwächere Mannschaft verhalten?

- Stürmen um viele Tore zu schießen, oder

- verteidigen um keine Tore zuzulassen?

Aus der Praxis ist bekannt, dass die 2. Variante bevorzugt wird. Ist dies auch gerechtfertigt?

Wie hängt die Wahrscheinlichkeit, dass die schwächere Mannschaft gewinnt, von der Zahl der Tore ab, die in dem Spiel insgesamt geschossen wurden?

Wahrscheinlichkeit, dass in einem Spiel genau n Tore fallen

Für n=5 Tore sind folgende Spielausgänge möglich:

5:0 4:1 3:2 2:3 1:4 0:5

Für n=6 sind folgende Spielausgänge möglich:

6:0 5:1 4:2 3:3 2:4 1:5 0:6

Wahrscheinlichkeit, dass in einem Spiel genau n Tore fallen

Spielausgänge, die zu einem Sieg der schwächeren Mannschaft gehören:

n=5: 2:3 1:4 0:5

n=6 2:4 1:5 0:6

n=7 3:4 2:5 1:6 0:7

Zahl der Tore welche die stärkere Mannschaft höchstens schießen darf:

(5-1)/2=2

(6-2)/2=2

(7-1)/2=3

Diese Zahl ist gleich (n-1)/2 wenn n ungerade ist und gleich (n-2)/2 wenn n gerade ist.

Der folgende Term liefert (ohne Fallunterscheidung!) diese Anzahl:

)2

1(

2

)1(1

2

1

2

nn

Wahrscheinlichkeit für einen Sieg der schwächeren Mannschaft wenn n Tore fallen

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

)()/(

Tore n fallen esP

gewinnt) P(schwachTore n fallen esgewinnt schwachP

Nspire Realisation:

Schwächere Mannschaft siegt

Die Siegchance der schwächeren Mannschaft sinkt mit steigender Zahl der Tore.

Schwächere Mannschaft verliert nicht

Schwächere Mannschaft verliert nicht

Strategie: Die schwächere Mannschaft sollte dafür sorgen, dassmöglichst wenig Tore fallen.

Größenordnung von TorratenTorrate der deutschen Nationalmannschaft

Tore von Deutschland während der WM 2006 (ohne Elfmeterschiessen)

4 Costa Rica (4:2)

1 Polen (1:0)

3 Ecuador (3:0)

2 Schweden (2:0)

1 Argentinien (1:1, 4:2 nach Verl.)

0 Italien (0:2)

3 Portugal (3:1)

Torrate pro Minute:

022,0min907

14

Berücksichtigt man zusätzlich die EM 2004 und die Qualifikation zur EM

2008 so kommt man auf 0,020.

Die oben benutzte Torrate 1/60 =0,017

Nach der ganzen Mathematik die Abschlussbemerkung aus der

Fußballpraxis: