Didaktik der Algebra und Funktionenlehre 2

Prof. Dr. Kristina ReissLehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Universität Augsburg

Wintersemester 2004/05

Variablen, Terme und Termumformungen

Mathebaum 2, Schroedel 1999

Mathebaum 3, Schroedel 2000

• Intuitiver Gebrauch der Sprache,

• Reflexion,

• Erkundung und Aneignung,

• Nutzung der Sprache,

• Erweiterung der Sprache,

• Neue Sprachen.

Das Erlernen der Formelsprache gliedert sich nach Vollrath (2003) in sechs Phasen:

Intuitiver Gebrauch der Sprache

Einfache Anwendungen der Formelsprache,

eher keine Reflexion, eher keine Regeln,Platzhalteraufgaben,konkret-anschauliches Vorgehen,Betonung inhaltlicher Aspekte,eher kein Umformungskalkül.

Aufgabe:

Ein Bauer hat Hühner und Pferde. Zusammen haben sie 42 Beine und 16 Köpfe.

Finden Sie viele verschiedene Lösungswege!

Reflexion

Einführung der Bezeichnungen Variable und Term,

Diskussion von Sinn und Nutzen,Betrachtung von Variablen als unbekannte

Zahlen („Gegenstandsaspekt“),Betrachtung von Variablen als Platzhalter

(„Einsetzungsaspekt“),Betrachtung von Variablen als

Rechenobjekte (Kalkülaspekt).

Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993

Terme

werden als Rechenausdrücke definiert. Zahlen und Variablen sind Terme und die Verknüpfung von Variablen und/oder Zahlen ebenfalls. Je nach Formalisierung kann hier der rekursive Charakter herausgestellt werden.

Mathematik 8, Hahn/Dzewas 1990

Wie bekommt man Terme?

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Wie bekommt man Terme?

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Formeln und Terme sind sinnvoll:

• allgemeingültige Beschreibung von inner- und außermathematischen Prozessen;

• Möglichkeit, eine Situation zu explorieren und allgemeine Einsichten zu bekommen;

• abstrakte Problemlösung ist planbar und Probleme können allgemein gelöst werden;

• allgemeingültige Argumentationen (Beweise) sind möglich;

• über Wissen kann auf abstrakter Ebene kommuniziert werden.

Eine große Rolle beim Umgang mit Termen

spielt die Erkennung von Termstrukturen. Die

Schülerinnen und Schüler müssen lernen,

Terme zu analysieren und übersichtlich

darzustellen.

Das Erkennen von Termstrukturen ist die

Voraussetzung für die Anwendung von Regeln

zur Termumformung.

Termstrukturen können z.B. anhand von

Diagrammen verdeutlicht werden.

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Aufgabenbeispiele aus Malle (1993):

Gleichheit von Termen

Der nächste Schritt auf dem Weg zu Termumformungen ist das Erkennen der Gleichheit von Termen. Die Gleichheit ist dabei als „Einsetzungsgleichheit“ zu verstehen. In manchen Büchern wird auch der Begriff „Äquivalenz“ verwendet.Die Frage der Gleichheit von Termen tritt auf, wenn zur Lösung einer Aufgabe verschiedene Terme aufgestellt werden können:

Mathematik 8, Hahn/Dzewas 1990

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Termumformungen

Zwei Terme sind gleich sind, wenn sie durch Termumformungen ineinander überführbar sind.

Gleiche Terme sind in der Regel nicht identisch. Es bietet sich der Begriff Äquivalenz an.

Erkundung und Aneignung

Ordnen, Zusammenfassen, Auflösen von Klammern, Faktorisieren

1. Schritt: Ordnen

Summen: Es üblich in einem Term gleiche

Summanden möglichst in alphabetischer

Reihenfolge hintereinander zu schreiben, z.B.

x+y+x·y+y+x·y+x+y = x+x+x·y+x·y+y+y+y.

(Kommutativität der Addition)

Aufgrund der Assoziativität brauchen keine

Klammern gesetzt zu werden.

2. Schritt: Zusammenfassen

In Summen können gleichartige Summanden

zusammengefasst werden:

a+a+a+b+b = 3a+2b oder 2ab+3ab+2b+4b =

5ab+6b.

Begründet werden kann dies mit dem

Distributivgesetz:

2ab+3ab = (2+3)ab = 5ab.

Analog betrachtet man das Zusammenfassen bei

Differenzen. Dabei spielen die Rechenregeln mit

negativen Zahlen eine Rolle.

3. Schritt: Auflösen/Ausmultiplizieren von KlammernBeim Auflösen von Klammern geht es um das Subtrahieren eines Klammerausdruckes, d.h. um das Minus-Zeichen vor der Klammer.Es stellt sich die Frage, ob dies konsistent mit dem Ausmultiplizieren von Klammern über das Distributivgesetz eingeführt wird, oder ob man eine eigene Regel dafür angibt.Im ersten Fall ist der auftretende Doppelcharakter des Minus-Zeichens eine Quelle von Schwierigkeiten.

E. Habler et al. (2003). Mathematik für Realschulen 8. Frankfurt: Diesterweg.

Mathematik 8, Hahn/Dzewas, Westermann 1990

In den meisten Schulbüchern wird das Auflösen von Klammern auf die Regel des Vorzeichenwechsels zurückgeführt.

Malle (1993) schlägt vor, diese Regel nicht nur in Worten sondern auch formal anzugeben:A -(B +C) = A -B -C bzw. A -(B -C) = A -B +C.

Welche Vorteile sind damit verbunden? Welche Nachteile sind damit verbunden?

Das Ausmultiplizieren von Klammern wird

auf das Distributivgesetz zurückgeführt:

4·(3x +4y) = 4·3x + 4·4y=12x +16y

oder in einer allgemeineren Form:

3·(2x-5y+z) = 3·2x +3·(-5y) +3·z

=6x + (-15)y +3z = 6x -15y +3z.

In diesen Bereich gehören auch Aufgaben

der Art:

x·(3x +4x2) = 3x2 + 4x2.

Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993

Weitere Schritte

• Kombination des Auflösens und

Ausmultiplizierens• Multiplikation von Klammern• Faktorisieren

Spezialfall: Binomische Formeln

Die binomischen Formel sind von großer Bedeutung u.a.beim „geschickten“ Vereinfachen von Termen. Die Schülerinnen und Schüler sollten sich diese Formeln deshalb einprägen.

Vollrath (1994) schlägt vor, die binomischen Formeln wegen der besonderen Bedeutung als Satz zu formulieren, dessen Beweis unmittelbar aus dem Ausmultiplizieren der Klammern folgt.

Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993

Für ein sinnvolles Üben und der Vorbeugung von Schülerfehlern, spielt die Stufung der Übungsaufgaben eine zentrale Rolle.Typische Fehler, die immer wieder auftreten sind z.B.

Fehler beim Auflösen von Klammern, z.B. x-(2y+x)=x-2y+x ;Verwechseln von Termen, z.B. 2x statt x2 ;Kürzen aus Summen;...

Malle (1993) unterscheidet in drei Fehlerkategorien:

• Fehler bei der Informationsaufnahme und Informationsverarbeitung, z.B. 3 + a statt 3a;

• Fehler beim Regelaufruf oder der Regelanwendung, z.B. a 2 + b 2 = (a-b)(a+b);

• Fehler bei der Durchführung, z. B. Flüchtigkeitsfehler wie Vorzeichenfehler.

Vollrath (1994) ordnet die Tätigkeiten beim Termumformen drei Ebenen zu:

• die konkrete Handlungsebene, auf der die konkreten Handlungen ablaufen;

• die gedankliche Handlungsebene, auf der die gedachten Handlungen den konkreten vorausgehen;

• die Steuerungsebene, auf der durch Regeln, Ziele und Kontrollmechanismen bestimmt wird, was zu tun ist.

aus Vollrath, 1994

aus Vollrath, 1994

Aufgrund der auftretenden Fehlerkategorien und des Modells der Handlungsebenen sind folgende Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler von besonderer Bedeutung:

• das Erkennen von Termstrukturen,• sichere und flexible Verwendung der Regeln,• Aufbau von Kontrollmechanismen.

Zur Förderung dieser Fähigkeiten schlägt Vollrath folgende Maßnahmen vor:

• sorgfältige Stufung des Schwierigkeitsgrades bei Aufgaben,• anschauliche Verankerung der Begriffe und

Regeln,• Hilfen bei Fehlern, die den Kern des Problems

treffen,• Ermutigung durch Schaffen von

Erfolgserlebnissen,• Wecken von Freude am Einfachen,

Übersichtlichen durch Wahl von geeigneten Aufgaben mit passenden Ergebnissen.

Vollrath, 1994

Nutzung der Sprache

Korrekter Gebrauch der FormelspracheBetrachten der LeistungsfähigkeitAnwendungsbereiche aufzeigen

Satz des Pythagoras

(Vollrath, 1994)

Erweiterung der Formelsprache

BruchtermeWurzeltermePotenzrechnung

Bruchterme sind Terme, bei denen eine Variable im Nenner vorkommt.

Neues Mathematisches Arbeitsbuch 8, Diesterweg 1993.

Bei den Bruchtermen tritt eine Schwierigkeit neuer Qualität auf: Bruchterme sind nicht definiert für Einsetzungen, bei denen der Nenner Null wird! Hier ergibt sich die Notwendigkeit, die Definitionsmenge eines Terms einzuführen (bisher bestand die Definitionsmenge implizit oder explizit immer aus allen rationalen Zahlen!).

Mathematik 8, Hahn/Dzewas, Westermann, 1990

Wurzelterme

Wurzelterme sind Terme, in denen Wurzelausdrücke

(Quadratwurzel) vorkommen. Auch hier ist die

Definitionsmenge der Terme zu beachten, da

Wurzelausdrücke nur für nicht-negative Zahlen

definiert sind.

Ähnlich wie bei Bruchtermen werden die

Rechenregeln mit Quadratwurzeln auf die Terme

übertragen.

Regeln für Quadratwurzeln: Mathematik 9, Hahn/Dzewas, Westermann, 1991

Vollrath, 1994

Die Potenz-

rechnung als

Erweiterung der

Formelsprache

Neue Sprachen

SchaltalgebraBoolesche Algebra

Dieser Aspekt hat eine eher geringere

Bedeutung für den Mathematikunterricht.

Literatur

Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig: Vieweg.

Vollrath, H.J. (2001). Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum.

Vollrath, H.J. (20032). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum.