Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie...

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Didaktik der Analysis und der AnalytischenGeometrie/ Linearen Algebra

9. Modellierung?Verfolgungsprobleme – Eine Abituraufgabe und ihre Lösung(en)

A. FillerHumboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik

Sommersemester 2018

Internetseite zur Vorlesung:http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜filler/ → Lehre

A. Filler Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /29

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Modellieren in Abituraufgaben?Hamburg: Seebad RutibaBerlin/Brandenburg: Verhungerte Raubvögel

Verfolgungsprobleme – diskretEin sinnvoller Modellierungsansatz: Diskretisierung

Verfolgungsprobleme – stetigDie Differentialgleichung einer speziellen Verfolgungskurve

Schlussbemerkungen


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Modellieren in Abituraufgaben?

Entwicklung von Abituraufgaben (am Beispiel Hamburg):

Wegen der Spezialisierung auf wenige Aufgabentypen sagenauch gute Ergebnisse bei diesen Klausuren nicht viel überdas tatsächliche mathematische Verständnis insgesamtsowie über die Studierfähigkeit in MINT-Fächern aus.

Statt mit mathematischen Problemen müssen dieAbiturienten mit Formulierungsproblemen kämpfen. Siemüssen umfangreiche, relativ schwer verständliche . . . Textein Mathematik umsetzen, die dann selbst gar nicht mehr soschwierig ist und die von Jahr zu Jahr weiter vereinfacht wird.

Jahnke, Th,; Klein, H. P.; Kühnel, W.; Sonar, T.; Spindler, M. [2014]: Die HamburgerAbituraufgaben im Fach Mathematik – Entwicklung von 2005 bis 2013. Mit einemDiskussionsbeitrag von G. Kaiser und A. Busse. In: Mitteilungen der DMV, 22(2014)2,S. 115-122.

http://www.mathematik.de/ger/presse/ausdenmitteilungen/artikel/dmvm-2014-0046.pdf


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Die Einsicht, dass bei Anwendung mathematischer Theorieauf reale Probleme notwendigerweise Vereinfachungenvorzunehmen sind und mathematisch gewonnene Resultatedaher immer einen Interpretations- und Beurteilungsschrittnach sich ziehen müssen, um die Tragweite einesErgebnisses abschätzen zu können, ist eine zentraleKomponente einer Erziehung zur Mündigkeit. . . .

Ein Realitätsbezüge und Modellierungen einbeziehenderUnterricht, wie er in Hamburg seit vielen Jahren praktiziertwird, ist vielmehr angemessen und zielführend.

Kaiser, G.; Busse, A. in Erwiderung auf Jahnke et al.: Die Hamburger Abituraufgaben im FachMathematik – Entwicklung von 2005 bis 2013. In: Mitteilungen der DMV, 22(2014)2, S. 115-122.

http://www.mathematik.de/ger/presse/ausdenmitteilungen/artikel/dmvm-2014-0046.pdf


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Modellieren in Abituraufgaben?Freie und Hansestadt Hamburg Gymnasien, Gesamtschulen, Berufliche Gymnasien Behörde für Schule und Berufsbildung Haupttermin Abitur 2009

Grundkurs Mathematik

ANALYSIS 1 I.1 Seebad Rutiba

Die nebenstehende Abbildung zeigt die Nordküste der künstlich angelegten Insel Rutiba (1 LE ent-spricht 100 m). Direkt am Strand führt eine Ufer-straße (durchgezogene Linie) entlang.

Rutiba hat ein Strandbad, das durch eine Absperr-kette von der offenen See getrennt ist (gestrichelte Linie).

Die Uferstraße ist durch die Funktion f mit 4 2 9( )

16 2 16x xf x =− + + , [ ]4;4x∈ − ,

gegeben.

Der Nordküste vorgelagert ist ein Felsen A, der als Anlegestelle für Ausflugsdampfer dient. Diese Anlegestelle ist bisher nur durch eine Bootsverbindung von der östlichen Spitze der Insel (Punkt P) zu erreichen.

a) Bestätigen Sie: P ist ein Maximum der Funktion f mit den Koordinaten 25216

P⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

Berechnen Sie die Länge der Absperrkette und die breiteste Stelle des Strandbades inNord-Süd-Richtung. (15P)


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„zentrale Komponente einer Erziehung zur Mündigkeit “

?


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Der Modellierungskreislauf in der Mathematikdidaktik

Mathematische Modellierung / Modellbildung

Modellierungskreislaufa – Idealisierung/

Strukturierungb – Mathematisierungc – Modelluntersuchung

(innermath. Arbeiten)d – Rückinterpretation

BLUM, W.: Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der didaktischen Diskussion.in: Mathematische Semesterberichte 32 (1985), 2, S. 195-232


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Abitur Berlin/Brandenburg (LK 2012): „Raubvogel“Ein Raubvogel gleitet geradlinig gleichförmig in der Morgensonne über den Frühnebel. Er befindet sich in einerHöhe von 830 m im Punkt P0(3260 |−1860 | 830) und eine Sekunde später in P1(3248 |−1848 | 829). Im selbenZeitraum fliegt ein Singvogel geradlinig gleichförmig im morgendlichen Frühnebel von Q0(800 |−600 | 200)nach Q1(796 |−592 | 201), 1 LE = 1 m.

a) Geben Sie für die Flugbahnen je eine Geradengleichung an. Bestätigen Sie, dass die Vögel mitGeschwindigkeiten von 61,2 km

h bzw. 32,4 kmh fliegen.

Zeigen Sie, dass die Fluggeraden windschief zueinander verlaufen, indem Sie die lineareUnabhängigkeit der Richtungsvektoren nachweisen und den Abstand der beiden Geraden berechnen.

b) Die obere Grenze des Frühnebels verläuft in einer Ebene E. Die Ebene E ist orthogonal zu~nE =

(1

−110

)und verläuft durch den Punkt A(0 | 0 | 280).Berechnen Sie, in welchem Punkt, nach welcher Zeit und unter welchem Winkel der Singvogel denFrühnebel verlässt, wenn sein Flug ungestört verläuft.[Kontrollergebnis: Der Singvogel würde den Nebel in S(−400 | 1800 | 500) verlassen.]

c) Berechnen Sie den Abstand des Raubvogels vom Singvogel in dem Moment, in dem der Singvogel denFrühnebel verlassen möchte.Der Raubvogel erspäht den Singvogel beim Erscheinen in der Ebene E und schlägt sofort einen Hakenin Richtung auf den Singvogel. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die ursprüngliche und dieneue Flugstrecke des Raubvogels einschließen.

d) In diesem Moment flieht der Singvogel (vom Punkt S aus) zurück in den Frühnebel auf derselbenGeraden, auf der sich der Raubvogel nähert. Berechnen Sie die im Frühnebel mindestens erforderlicheSichtweite, damit der Raubvogel den Singvogel nicht aus den Augen verliert, wenn jetzt Singvogel undRaubvogel jeweils dreimal so schnell fliegen wie zuvor.Hinweis: Es wird darauf verwiesen, dass es sich bei diesem Modell um einen nicht realistischen Be-schleunigungsvorgang handelt, weil ein realer Vogel die dreifache Geschwindigkeit nicht in Nullzeiterreicht.


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Schlussbemerkungen


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Verfolgungsprobleme – Diskretisierung

Modellannahme (Idealisierung):Verfolger bewegt sich in jedemMoment auf das Ziel zu.

→ i. Allg. kontinuierliche Rich-tungsänderung des Verfolgers

Ansatz einer Mathematisierung:Betrachtung diskreter Zeitinterval-le, innerhalb derer sich die Rich-tung des Verfolgers nicht ändert,er sich also auf Strecken bewegt.


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Beginn der Verfolgungsjagd:Zeitpunkt: t0Startposition (Verfolger): V0Startposition (Ziel): Z0

geradlinige Bewegung währenddes Zeitintervalls [t0; t1] auf Z0 zu

normierte Zeitintervallet1 − t0 = t2 − t1 = · · · = 1

Position des Verfolgers zum Zeit-punkt t1:

V1 = V0 + vV

−−→V0Z0∣∣∣−−→V0Z0

∣∣∣ ,vV – Geschwindigk. d. Verfolgers


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Position Vn+1 des Verfolgers zu ei-nem beliebigen Zeitpunkt tn+1:

Vn+1 = Vn + vV

−−→VnZn∣∣∣−−→VnZn

∣∣∣


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Einfachster Fall: Ziel bewegt sich auf einer Koordinatenachse, z. B.

Zn =

(xZn

yZn

)=

(n·vZ

0

)Anfangspunkt des Verfolgers: beliebiger Punkt V0 =

(x0y0

)Vn+1 = Vn + vV

−−→VnZn∣∣∣−−→VnZn

∣∣∣(xVn+1

yVn+1

)=

(xVn

yVn

)+

vV√(xZn−xVn)

2 + (yZn−yVn)2

(xZn− xVn

yZn− yVn

)


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Verfolgung eines sich auf einer beliebigen Geraden bewegenden Ziels

Variation der Bahn des Ziels leicht möglich:Parameterdarstellung für Zn ändern (Spalten B, C)

Aber: MitZn =

(−4

1

)+ n · vZ ·

(13

)(n− Zeit)

bewegt sich das Ziel in jeder Zeiteinheit um vZ ·√

12 + 32

Längeneinheiten also mit der√

10-fachen Geschwindigkeit.

Für Vergleichbarkeit der Geschwindigkeiten von Ziel und Verfolger:Richtungsvektoren normieren, z. B.

Zn =

(−4

1

)+ n · vZ√

10·(

13

)


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Verfolgung eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden Ziels

Ausgangspunkt: trigonometrische Funktionen am Einheitskreis:(xy

)=

(cosαsinα

)Winkel α im Bogenmaß entspricht der zurückgelegten Bogenlängeα durch n · vZ ersetzen→ (Bahn-)Geschwindigkeit des Ziels: vZ Längeneinheiten/Zeiteinheit→ Geschwindigkeiten von Ziel und Verfolger vergleichbar

Realisierung in Excel:

x_Ziel y_Ziel=COS($G$1*An) =SIN($G$1*An) (n: Zeilennummer)

Mit vZ = 2π36 legt das Ziel nach 36 Zeiteinheiten genau einen

vollständigen Kreisumfang zurück.

Andere Kurven als Bahnen des Ziels?A. Filler Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 15 /29

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Schlussbemerkungen


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Die Differentialgleichung einer speziellen Verfolgungskurve

I Analytische Beschreibung der Verfolgungskurve?I Genaue Berechnung von Zeiten und Orten, wann das Ziel

eingeholt wurde?

Ziel: zeitfreie Beschreibung der Verfolgungskurve


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I Spezialfall: Startpunkt desVerfolgers auf der y -Achse

→ Verfolgungskurve als Funktions-graph xVerfolger 7→ yVerfolger

Zu einem beliebigen Zeitpunkt t:I Verfolger sei im Punkt V(x; y)I hat zu diesem Zeitpunkt Strecke s

zurückgelegt.I Die Tangente an die Verfolgungs-

kurve in dem Punkt V schneidetdie x-Achse an der Stelle xZ .

vZ = 0,3, vV = 0,4, V0 =(

05

)


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I Spezialfall: Startpunkt desVerfolgers auf der y -Achse

→ Verfolgungskurve als Funktions-graph xVerfolger 7→ yVerfolger

ProblemeI DGl.:

vV

vZyy′′ − y′2

√1 + y′2 = 0

ist schlecht zu lösen.

I Mathematica:InverseFunction[...]

vZ = 0,3, vV = 0,4, V0 =(

05

)


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Andere Wahl des KoordinatensystemsI Startpunkt des Verfolgers

im Ursprung

I Ziel bewegt sich parallelzur y-Achse (xZ = a)

I Verfolgungskurve alsFunktionsgraphxVerfolger 7→ yVerfolger


vZ = 0,3 vV = 0,4 a = 5

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Zu einem beliebigen Zeitpunkt t:I Verfolger im Punkt V(x; y)

I hat zu diesem ZeitpunktStrecke s zurückgelegt.

I Die Tangente an dieVerfolgungskurve in demPunkt V schneidet dieBahn des Ziels in Z(a;yZ).

Während der Verfolger dieStrecke s zurückgelegt hat,hat das Ziel die Strecke yZ

zurückgelegt:t =

svV

=yZ

vZ

bzw. mit k :=vv

vZ:

s = k · yZ (1)


vZ = 0,3 vV = 0,4 a = 5

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s = k · yZ (1)∫ x

0

√1+(y′(u))2du = k · yZ√

1+(y′(x))2 = k · y′Z (2)

Anstieg y′(x) der Tangente andie Verfolgungskurve in V(x; y):

y′ (x) =yz − ya− x

bzw.yZ = y′ (a− x) + y (3)y′Z = y′′ (a− x) (4)

Einsetzen von (4) in (2):√1 + y′2 = k y′′(a− x) (5)


vZ = 0,3 vV = 0,4 a = 5

Kurzschreibweise:Alle Funktionen in Abhängigkeitvon x, alle Ableitungen nach x.

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Differentialgleichung der Verfolgungskurve√1 + y′2 = k y′′(a− x) (5)

Wir setzen z = y′, aus (5) wird√1 + z2 = k z′(a− x) (6)

mit z(0) = y′(0) = 0.

Trennung der Variablen:k z′√1 + z2

=1

a− xk d z√1 + z2

=d x

a− x

k∫ z

0

1√1 + t2

d t =

∫ x

0

1a− t

d t

k arsinh t |z0 = − ln(a− t) |x0k arsinh z = −(ln(a− x)− ln a) = − ln

( a−xa

)A. Filler Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 22 /29

arsinh′(x) = 1√1+x2

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k arsinh z = − ln(a−x

a

)sinh(arsinh z) = sinh

(− 1

k ln( a−x

a

))y′ = z = 1

2

(e−

1k ln( a−x

a ) − e1k ln( a−x

a ))

= 12

(( a−xa

)− 1k −

(a−xa

) 1k

)Integrieren (unter Berücksichtigung von y(0) = 0)für den Fall k 6= 1, d. h. vV 6= vZ:

y = 12

∫ x

0

( a−ta

)− 1k −

( a−ta

) 1k d t

= 12

−a( a−t

a

)− 1k +1

− 1k + 1

+a( a−t

a

) 1k +1

1k + 1

x

0

= a k2

(1

k+1

(a−xa

)1+ 1k − 1

k−1

(a−xa

)1− 1k

)+ a k

k2−1 (7)


sinh(x) = 12 (e

x − e−x)

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y(x) = a k2

(1

k+1

( a−xa

)1+ 1k − 1

k−1

( a−xa

)1− 1k

)+ a k

k2−1 (7)

vZ = 0,3vV = 0,4

k = 43

a = 5

y(x) = 103

(37

( 5−x5

) 74 − 3

1

(5−x5

) 14

)+ 60

7


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Wann hat der Verfolger sein Ziel gefangen?→ genau dann, wenn er die Gerade

g : x = a erreicht: xVerfolger = a

y(x) = a k2

(1

k+1

( a−xa

)1+ 1k − 1

k−1

( a−xa

)1− 1k

)+ a k

k2−1

. (7)In (7) x = a setzen:

yVend =a k

k2−1

k= 43 , a=5= 60

7 ≈ 8,57

Berechnung der benötigten Zeit(mittels yZ = y = yVend

, also t = yZvZ

):

tend =yVend

vZ= 1

vZ

a kk2−1

vZ=0,3, k= 43 , a=5

= 2007 ≈ 28,57

Berechnung der Weglänge s, die der Ver-folger zurückgelegt hat:

s = yVendvVvZ

= yVend ·k = 807 ≈ 11, 43


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Schlussbemerkungen


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Schlussbemerkungen

Didaktisches Potenzial von Verfolgungsproblemen für den MU der S II

AnschlussfähigkeitI Lösungsweg mittels Diskretisierung mit Standardverfahren der

analytischen SchulgeometrieI Aufstellen der Differentialgleichung mit Mitteln der SchulanalysisI Grenzen dessen, was mit Mitteln der Schulmathematik leistbar istI Ausblicke auf Möglichkeiten der „höheren“ Mathematik

VernetzungI Bezüge zwischen analytischer Geometrie und Analysis anhand

der Ansätze zur Lösung von VerfolgungsproblemenModellierung

I Diskretisierung: fundamentale ModellierungsstrategieI Differentialgleichungen: wichtigstes Werkzeug der angewandten

Mathematik


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Ein Modellierungszyklus aus der Sicht eines Numerikers1

1SONAR, T.: Angewandte Mathematik, Modellbildung und Informatik. Braunschweig: Vieweg,2001, S. 29.A. Filler Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 28 /29

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Schlussbemerkungen

Eignen sich „ernsthafte“ Modellierungsprobleme für Abituraufgaben?→ Im Allgemeinen nicht!

I Zeitbedarf nicht minutiös zu kalkulierenI Diskussionen über sinnvolle Lösungsansätze nötig→ Rahmen, der durch eine Klausur vorgegeben ist, wird gesprengt.

Abituraufgaben der vergangenen ca. zehn Jahre:überschaubar viele Anwendungskontexte wiederholen sich (leichtvariiert) im Abstand von wenigen Jahren→ Standard-„Anwendungs“kontexte + math. Standardverfahren

Tatsächlich modelliert wird in der Prüfung nicht, warum dann die (oftalbernen) Verpackungen?Warum keine „klassischen Mathematikaufgaben“?(die gibt es im Abitur z. B. in Bayern und Thüringen)


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