Didaktik der Geometrie (6)

Vorlesung im Sommersemester 2004

Prof. Dr. Kristina ReissLehrstuhl für Didaktik der MathematikUniversität Augsburg

Themenbereich:

Kongruenzabbildungen

Gymnasium Jahrgangsstufe 7

Gymnasium Jahrgangsstufe 7

Entwurf des neuen Lehrplans

Ausgehend von der Frage nach der eindeutigen Konstruierbarkeit eines Dreiecks aus gegebenen Seiten oder Winkeln erkennen die Kinder die möglichen Fälle und lernen die Kongruenzsätze als Fundamentalsätze kennen. - Begriff der Kongruenz von Figuren - Kongruenzsätze für Dreiecke und

grundlegende Konstruktionen

Realschule Jahrgangsstufe 8M I 8.7 Dreiecke und Vierecke (ca. 28 Std.)Durch die eingehende Beschäftigung mit Dreiecken und Vierecken, vor allem in Konstruktionsaufgaben, erwerben die Schüler grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten für den gesamten weiteren Unterricht. Sie lernen den Aufbau geometrischer Beweise kennen. Anhand exemplarischer, anschaulicher geometrischer Sachverhalte lernen sie, kongruenz- und abbildungsgeometrisch folgerichtig zu begründen. Die Schüler spüren Figureneigenschaften auf und erarbeiten grundlegende geometrische Sätze. Mithilfe der Symmetrieeigenschaften nehmen die Schüler in einem gut überschaubaren Teilgebiet der Geometrie eine systematische Einteilung der Vierecke vor.• Beziehungen zwischen den Seitenlängen sowie zwischen Seitenlängen und Winkelmaßen im Dreieck• Konstruierbarkeit von Dreiecken; Kongruenzsätze (aus der Geschichte: Euklid)• Aufbau von kongruenz- und abbildungsgeometrischen Beweisen• symmetrische und nicht symmetrische Vierecke; Eigenschaften achsensymmetrischer (diagonal- und lotsymmetrischer) und punktsymmetrischer Vierecke• Umkreis und Inkreis bei Vierecken• Begründungen mithilfe von Kongruenzsätzen, Abbildungen und Vektoren

Kongruenzabbildungen: Die Achsenspiegelung

• Ausgangspunkt: Symmetrie in der Umwelt (ebene und räumliche Phänomene)

• Erzeugen achsensymmetrischer Figuren und Prüfen von Figuren auf Achsensymmetrie (Falten, Spiegeln, Zeichnen auf Karopapier)

• Begriffliche Klärung: Achsenspiegelung, Symmetrieachse, Abbildung, Bild, Urbild (Original)

• Konstruktionsvorschrift (punktweise Abbildung)

Konstruktionsvorschrift der Achsenspiegelung

• Zeichne die Senkrechte zur Symmetrieachse durch P, sie schneidet die Achse in S. Zeichne P‘≠P auf der Senkrechten, so dass die Strecken PS und P‘S gleich lang sind.

• Die Verbindungsstrecke von Urbildpunkt und Bildpunkt steht senkrecht auf der Achse und wird von ihr halbiert.

Gegeben ist ein Punkt und eine Achse. Gesucht ist der Bildpunkt P‘ unter der Achsenspiegelung. Möglichkeiten:

Jeder Punkt der Achse wird auf sich selbst abgebildet.

Kongruenzabbildungen: Parallel-verschiebung, Punktspiegelung, Drehung,

Zu entscheiden ist: Werden diese Abbildungen als eigenständige Abbildungen (mit eigener Konstruktionsvorschrift) oder aber als Verkettungen von Achsenspiegelungen eingeführt?

Kongruenzabbildungen: Parallelverschiebung

„Bei einer Parallelverschiebung bewegen sich alle Punkte auf zueinander parallelen Geraden gleich weit in gleicher Richtung.“(Mitschka, 1982, nach Gamma 6, Klett-Verlag)

Veranschaulichung: Bandornamente

Kongruenzabbildungen: Punktspiegelung

„Bei einer Punkspiegelung am Punkt S liegen ein Punkt und sein Bild auf einer Geraden durch S, gleichweit entfernt von S.“(Mitschka, 1982). Diese Definition ist unabhängig vom Begriff der Drehung.

Veranschaulichung: Spielkarten, die lateinischen Großbuchstaben N, S, Z

Kongruenzabbildungen: Drehung

„Bei einer Drehung werden alle Punkte einer Figur auf Kreisen mit dem gleichen Mittelpunkt in gleichem Drehsinn um gleich große Winkel gedreht.“(Mitschka, 1982).

Erich Habler et al. (2002). Mathematik für Realschulen 6. Frankfurt: Diesterweg

Erich Habler et al. (2001). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg

Erich Habler et al. (2002). Mathematik für Realschulen 7. Frankfurt: Diesterweg

Symmetrische Dreiecke und Vierecke

Eine Figur heißt achsensymmetrisch mit der Symmetrieachse s, wenn sie mit ihrem Spiegelbild bei einer Spiegelung an s zusammen fällt.

Eine Figur heißt punktsymmetrisch mit dem Symmetriezentrum S, wenn sie mit ihrer Bildfigur bei einer Punktspiegelung an S zusammen fällt.

Das gleichschenklige Dreieck

Ein achsensymmetrisches Dreieck ist gleichschenkligEin gleichschenkliges Dreieck hat eine Symmetrieachse.Die Symmetrieachse ist zugleich Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze und Mittelsenkrechte der Basis.Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich groß.

Symmetrische Vierecke

„Lokales Ordnen“ im Haus der Vierecke.

Grundidee: Zusammenhänge sichtbar machen, Sätze und ihre Umkehrungen aufstellen und beweisen.

Beispiele von Sätzen über Vierecke

Eine Raute ist punktsymmetrisch. Bei einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.Bei einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander und halbieren sich.Ein Viereck ist genau dann ein Rechteck, wenn die Diagonalen gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren.

Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den Längen der drei Seiten

übereinstimmen; in den Längen von zwei Seiten und dem

eingeschlossenen Winkel übereinstimmen; in der Länge einer Seite und zwei

entsprechenden Winkeln übereinstimmen; in den Längen von zwei Seiten und dem

Winkel, der der größeren Seite gegen- überliegt, übereinstimmen.

BeispielGriesel, H. & Postel, H. (1999). Elemente der Mathematik 8. Niedersachsen (S. 103). Hannover: Schroedel.

Griesel, H. & Postel, H. (1999). Elemente der Mathematik 8. Niedersach-sen (S. 104). Hannover: Schroedel.