Didaktik der Geometrie (8)

Vorlesung im Sommersemester 2004

Prof. Dr. Kristina Reiss

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Universität Augsburg

Themenbereich:

Ähnlichkeit

Ähnlichkeitsabbildungen

DefinitionEine Abbildung der Ebene auf sich heißt Dilatation genau dann, wenn sie jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abbildet.

SatzFalls eine Dilatation einen Fixpunkt hat, ist jede Gerade durch einen Fixpunkt eine Fixgerade.

SatzEine von der Identität verschiedene Dilatation hat höchstens einen Fixpunkt.

DefinitionEine Dilatation mit genau einem Fixpunkt heißt zentrische Streckung. Der Fixpunkt wird als Zentrum der Streckung bezeichnet.

SatzBei einer zentrischen Streckung mit Zentrum S liegen ein beliebiger Punkt P≠S und sein Bild P‘ auf einer Geraden durch den Fixpunkt S.

SatzBei einer zentrischen Streckung, die nicht die Identität ist, wird jede Gerade g, die nicht durch das Zentrum S geht, auf eine von g verschiedene Parallele zu g abgebildet.

SatzEine zentrische Streckung ist durch den Fixpunkt S sowie durch einen Punkt A≠S und sein Bild A‘ eindeutig bestimmt.

SatzZu einer zentrischen Streckung mit Zentrum S gibt es eine reelle Zahl k≠0, sodass für jeden Punkt A und sein Bild A‘ gilt: |SA‘| = k•|SA|.

Satz (1. Strahlensatz)Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen (oder deren entgegengesetzte Strahlen) von parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Längen derAbschnitte auf dem einen Strahl wie die Längen der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

Satz (2. Strahlensatz)Werden zwei von einem Punkt S ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die derzugehörigen Scheitelabschnitte auf einem Strahl.

Satz

Eine zentrische Streckung ist teilverhältnistreu, d.h. das Längenverhältnis zweier Bildstrecken ist gleich dem Längenverhältnis ihrer Urbildstrecken.

Definition

Unter einer Ähnlichkeitsabbildung versteht man die Hintereinanderausführung einer endlichen Anzahl von zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen.

Satz

Ähnlichkeitsabbildungen sind geradentreu, winkelmaßtreu, parallelentreu und teilverhältnistreu.

Klassifikation

Ähnlichkeitsabbildungen sind die

• Parallelverschiebung• Drehstreckung (Verknüpfung einer Drehung und einer Streckung mit identischen Zentren)• Schubspiegelung• Spiegelstreckung (Verknüpfung einer Achsenspiegelung und einer Streckung mit Zentrum auf der Achse)

Satz

Die Ähnlichkeitsabbildungen bilden bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe.

Anwendungsaufgabe

In ein Dreieck ABC soll ein Quadrat so einbeschrieben werden, dass eine Seite auf der Geraden AB liegt und die beiden weiteren Eckpunkte des Quadrats auf den Dreiecksseiten [BC] bzw. [AC] liegen.

Die Strahlensätze im Schulbuch

Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 126).

Die Strahlensätze im Schulbuch

Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 129).

Die Strahlensätze im Schulbuch

Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 130).

Die Strahlensätze im Schulbuch

Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 135).

Die Strahlensätze im Schulbuch

Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 138).

Lehrplan Realschule Kl. 9

Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 8

Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 9