Didaktik der Grundschulmathematik - dms.uni-landau.de · Jürgen Roth Didaktik der...
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Didaktik der Grundschulmathematik 2.2 Jürgen Roth
Inhaltsverzeichnis
Didaktik der Grundschulmathematik
1 Anschauungsmittel
2 Aufbau des Zahlbegriffs
3 Addition und Subtraktion
4 Multiplikation und Division
5 Schriftliche Rechenverfahren
Didaktik der Grundschulmathematik 2.3 Jürgen Roth
Kapitel 2:
Aufbau des Zahlbegriffs
Didaktik der Grundschulmathematik
Didaktik der Grundschulmathematik 2.4 Jürgen Roth
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs
2.1 Aspekte des Zahlbegriffs
2.2 Stellenwertsysteme
2.3 Aufbau des Zahlenraums bis 100
Homepage zur Veranstaltung
http://www.juergen-roth.de Lehre
Didaktik der Grundschulmathematik 2.5 Jürgen Roth
2.1 Aspekte des
Zahlbegriffs
Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs
Didaktik der Grundschulmathematik 2.6 Jürgen Roth
Aspekte des Zahlbegriffs
Zahlaspekt Beschreibung Beispiele Addition Subtraktion
Kardinalzahl Mächtigkeit von Mengen, d. h. die
Anzahl der Elemente.
3 Äpfel
1013 Möglichkeiten
Mengen-
vereinigung
Restmengen-
bildung
Ordinalzahl
Zählzahl: Folge der beim Zählen
durchlaufenen natürl. Zahlen
eins, zwei, ...
fünf Studentinnen ... Weiter-
zählen
Rückwärts-
zählen Ordnungszahl:
Rangplatz eines Elements in einer
total geordneten Reihe
Lisa wurde beim
Wettrennen fünfte.
Maßzahl
Nat. Zahlen dienen als Maß-
zahlen für Größen. (In Relation zu
einer gewählten Einheit.)
3 Stunden
4 kg
100 Schritte
Addition / Subtraktion von
Größen zurückführen auf
Aneinandersetzen / Abtren-
nen von Repräsentanten.
Operator Bezeichnung der Vielfachheit
einer Handlung / eines Vorgangs
Ich habe dir das jetzt
schon fünfmal gesagt!
Operatoren-
verketten
Umkehrop.
aufsuchen
Rechenzahl
Algebraischer Aspekt:
(N, +) ist eine alg. Struktur mit
gewissen Eigenschaften
3 + 4 = 4 + 3 (Komm.)
(6 + 7) + 3 = 6 + (7 + 3)
(Assoziativität) Rechnen mit Ziffern im
Gegensatz zum Rechen mit
Zahlen beim halbschriftlichen
Rechnen und Kopfrechnen. Algorithmischer Aspekt: Nat.
Zahlen lassen sich durch Ziffern-
reihen darstellen (Ziffernrechn.)
628
+ 563
1191
Kodierung Zahlen werden zur Bezeichnung
von Objekten benutzt
76829 Landau
ISBN 3471207511
Didaktik der Grundschulmathematik 2.7 Jürgen Roth
ISBN-Code
Sprachbereich des Verlags 0 bzw. 1: Englisch
2: Französisch
3: Deutsch
Nummer des Verlags
Verlagsinterne Buchnummer
Prüfziffer
ISBN 3 – 8274 – 1169 – 6
http://www.juergen-roth.de/excel/
Didaktik der Grundschulmathematik 2.8 Jürgen Roth
Zählprinzipien
Eindeutigkeitsprinzip
Jedem „Zählding“ wird genau
ein Zahlwort zugeordnet.
Prinzip der stabilen Ordnung
Zahlworte haben eine
feste Reihenfolge.
Es darf kein Zahlwort
ausgelassen werden.
Kardinalzahlprinzip
Die letzte Zahl beim Abzählen
gibt die Anzahl der Elemente
(die Mächtigkeit) der
abgezählten Menge an.
Abstraktionsprinzip
Einen Menge von „Zähldingen“
kann aus Elementen mit sehr
unterschiedlichen Merkmalen
zusammengesetzt werden, die
keinen nahe liegenden Bezüge
aufweisen, aber trotzdem
gezählt werden können.
Prinzip
der beliebigen Reihenfolge
Das Zählergebnis ist
unabhängig von der Anordnung
der zu zählenden Objekte.
Zahlwörter sind nicht
Eigenschaften der Objekte. Woran erkennt man Probleme
mit einzelnen Zählprinzipien? Fördermaßnahmen?
Didaktik der Grundschulmathematik 2.9 Jürgen Roth
Arithmetische Modelle
Mengenmodell Zählmodell Größenmodell
Kuropatwa: Didaktik der Arithmetik. Unveröffentlichtes Skript
Didaktik der Grundschulmathematik 2.10 Jürgen Roth
Erstes Arbeiten mit Zahlen
Vielfältige Zähl- und Schätzübungen
Zählen mit Dingen und Darstellungen
Zählübungen mit abstrakten Mengen
Rhythmisches Zählen und Zählverse
Zahlen mit allen Sinnen wahrnehmen
Mächtigkeitsvergleiche
Quasi-simultane Zahlauffassung
Zahlen zerlegen
Relationen zwischen Zahlen
ist kleiner als, gleich, ist größer als
liegt zwischen
Zahlen der Größe nach ordnen
Ziffern richtig lesen und schreiben
Die Zahl Null
Radatz, Schipper: Erarbeitung des Zahlbegriffs. In: Radatz, Schipper: Handbuch für den Mathematikunterricht an
Grundschulen. Schroedel, Hannover, 1983, S. 54 –61
Didaktik der Grundschulmathematik 2.11 Jürgen Roth
Zahlen
Jahrgangsstufe 1 Jahrgangsstufe 2 Jahrgangsstufe 3 Jahrgangsstufe 4
Lebenswelt im
Hinblick auf
Mengen und
Zahlen erkunden
und untersuchen
Zahlen bis 20
erfassen und auf
verschiedene
Weise darstellen
Zahlen bis 100
erfassen und auf
verschiedene
Weise darstellen
Zahlen bis 1 000
erfassen und auf
verschiedene
Weise darstellen
Zahlen b. 1 000 000
erfassen und auf
verschiedene
Weise darstellen
Zahlen bis 20
zerlegen
Zahlen und
Rechenausdrücke
bis 20
vergleichen und
ordnen
Zahlen und
Rechenausdrücke
bis 100
vergleichen und
ordnen
Zahlen und
Rechenausdrücke
bis 1 000
vergleichen und
ordnen
Zahlen und
Rechenausdrücke
bis 1 000 000
vergleichen und
ordnen
KMK: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich (Jahrgangsstufe 4). Luchterhand, München, 2005
http://www.kmk.org/bildung-schule/qualitaetssicherung-in-schulen/bildungsstandards/dokumente.html
Didaktik der Grundschulmathematik 2.12 Jürgen Roth
Pascalsches Dreieck
Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997
Didaktik der Grundschulmathematik 2.13 Jürgen Roth
Pascalsches Dreieck
Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997
Didaktik der Grundschulmathematik 2.14 Jürgen Roth
Pascalsches Dreieck
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
= 1
= 2
= 2 2
= 2 2 2
= 24
= 25
= 26
= 27
= 28
= 29
= 210
= 211
= 212
= 213
= 214
= 215
= 216
= 20
= 21
= 22
= 23
Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997
Didaktik der Grundschulmathematik 2.15 Jürgen Roth
Pascalsches Dreieck
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887
Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997
Didaktik der Grundschulmathematik 2.16 Jürgen Roth
Fibonacci-Zahlen
Jemand setzt ein Paar Kaninchen in einen Garten, der auf allen Seiten
von einer Mauer umgeben ist, um herauszufinden, wie viele Kanin-chen
innerhalb eines Jahre geboren werden. Wenn angenommen wird, dass
jeden Monat jedes Paar ein weiteres Paar erzeugt, und dass Kaninchen
zwei Monate nach ihrer Geburt geschlechtsreif sind, wie viele Paare
Kaninchen werden dann jedes Jahr geboren?
Aus dem Rechenbuch „Liber Abacci“ (Buch vom Abakus) des italienischen Mathematikers
Leonardo von Pisa, der besser unter dem Namen Fibonacci (filius Bonacci) bekannt ist.
Definition: (Anzahl der Paare im n-ten Monat)
F1 = 1 F2 = 1
Fn+2 = Fn+1 + Fn
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Zahlen und http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.htm
Didaktik der Grundschulmathematik 2.17 Jürgen Roth
Fibonacci-Zahlen
Hasen-uhr Eltern Kinder Enkel Urenke
l
Fibonacci-Paare
Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Zahlen und http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.htm
Didaktik der Grundschulmathematik 2.18 Jürgen Roth
Pascalsches Dreieck
Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997
Didaktik der Grundschulmathematik 2.19 Jürgen Roth
Pascalsches Dreieck
Enzensberger: Der Zahlenteufel. Hanser, München, 1997
Didaktik der Grundschulmathematik 2.20 Jürgen Roth
2.2 Stellenwertsysteme
Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs
Didaktik der Grundschulmathematik 2.21 Jürgen Roth
Römische Zahlschrift
Heutige Regeln (international vereinbart)
1. Von links nach rechts werden zunächst ggf.
die Tausender, dann ggf. die Hunderter,
danach ggf. die Zehner und schließlich ggf.
die Einer notiert.
2. Die Zahlenwerte kleinerer Zahlzeichen die
rechts von einem größeren stehen, werden
zum Wert des größeren addiert.
3. Ein Zeichen I, X oder C darf von dem jeweils
Fünf- oder Zehnfachen abgezogen werden.
Man notiert das abzuziehende Zeichen dann
unmittelbar links vor dem zu vermindernden.
4. Unter Beachtung der ersten drei
Regeln müssen möglichst wenige
Zeichen geschrieben werden.
Regeln der Römerzeit bis zum Mittelalter
1. Von links nach rechts werden zunächst ggf.
die Tausender, dann ggf. die Hunderter,
danach ggf. die Zehner und schließlich ggf.
die Einer notiert.
2. Kein Zeichen darf so oft vorkommen, dass die
untereinander gleichen Zeichen in ein
höherwertiges umgetauscht werden könnten.
3. Abweichend von Regel 1 darf unmittelbar links
vor dem ersten Zeichen der selben Sorte
(höchstens) ein weniger wertiges Zeichen
stehen. Der kleinere Wert ist dann von dem
größeren abzuziehen.
Beispiel: 99 = XCIX (heute) = LXXXXVIIII = IC
eins fünf zehn fünfzig hundert fünf- tausend
hundert
I V X L C D M
alternierende Fünfer-Zweier-Bündelung
Didaktik der Grundschulmathematik 2.22 Jürgen Roth
Römische Zahlschrift
Stellenwertsystem
Römische Zahlschrift MMMDCCCLXXXVIII Dezimales Stellenwertsystem 3888
Alternierende Fünfer-Zweier-Bündelung Reine Zehnerbündelung
Jede Ziffer gibt auch die Bündelungseinheit an. Stellung der Ziffer gibt Bündelungseinheit an.
Jede Ziffer hat einen festen Wert (geringfügige
Ausnahme: Regel 3), unabhängig von ihrer Stellung
im Zahlwort.
Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stellung
innerhalb des Zahlwortes ab (Stellenwert).
Jede Ziffer übermittelt nur eine Information, nämlich
ihren Zahlenwert.
Jede Ziffer übermittelt zwei Informationen, nämlich
ihren Zahlen- & ihren Stellenwert.
Den Zahlenwert eines mehrstelligen Zahlwortes
erhält man im wesentlichen durch Addition, daher ist
eine Ziffer 0 in diesem Zusammenhang nicht
erforderlich.
Zahlenwert eines mehrstelligen Zahlwortes durch
Kombination aus Multiplikation & Addition. Nicht
besetzte Stellen innerhalb eines Zahlwortes müssen
kenntlich gemacht werden. Ziffer 0 erforderlich.
Für größere (und kleinere) Zahlen werden ständig
weitere Zeichen benötigt.
Für beliebig große (und kleine) Zahlen kommt man
mit zehn Ziffern aus.
Die Zahlwörter sind vielfach relativ lang und
kompliziert zu lesen.
Die Zahlwörter sind relativ kurz und einfach zu lesen.
Schriftliche Rechenverfahren (besonders die
Multiplikation und die Division) sind äußerst
kompliziert und langwierig.
Schriftlichen Rechenverfahren können rasch,
elegant und weitgehend unkompliziert durchgeführt
werden.
Didaktik der Grundschulmathematik 2.23 Jürgen Roth
Stellenwertsysteme
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bündelung
Stellenwert
Zentrale Begriffe:
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
8 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
8 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
7 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
8 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
7 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13
6 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
8 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
7 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13
6 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
5 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
8 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
7 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13
6 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
5 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20
4 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
8 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
7 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13
6 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
5 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20
4 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22
3 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101
Basis Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Sieben Acht Neun zehn
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11
8 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
7 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13
6 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
5 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20
4 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22
3 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101
2 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010
Didaktik der Grundschulmathematik 2.24 Jürgen Roth
Zaubertrick
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
Didaktik der Grundschulmathematik 2.25 Jürgen Roth
Zaubertrick
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
Didaktik der Grundschulmathematik 2.26 Jürgen Roth
Zaubertrick
8 9 10 11 12 13 14 15
24 25 26 27 28 29 30 31
40 41 42 43 44 45 46 47
56 57 58 59 60 61 62 63
Didaktik der Grundschulmathematik 2.27 Jürgen Roth
Zaubertrick
4 5 6 7 12 13 14 15
20 21 22 23 28 29 30 31
36 37 38 39 44 45 46 47
52 53 54 55 60 61 62 63
Didaktik der Grundschulmathematik 2.28 Jürgen Roth
Zaubertrick
2 3 6 7 10 11 14 15
18 19 22 23 26 27 30 31
34 35 38 39 42 43 46 47
50 51 54 55 58 59 62 63
Didaktik der Grundschulmathematik 2.29 Jürgen Roth
Zaubertrick
1 3 5 7 9 11 13 15
17 19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 63
Didaktik der Grundschulmathematik 2.30 Jürgen Roth
Zahldarstellung im Dualsystem
3210 1610 810 410 210 110
110 1
210 1 0
310 1 1
410 1 0 0
510 1 0 1
610 1 1 0
710 1 1 1
810 1 0 0 0
910 1 0 0 1
1010 1 0 1 0
1110 1 0 1 1
1210 1 1 0 0
Didaktik der Grundschulmathematik 2.31 Jürgen Roth
Zahldarstellung im Dualsystem
3210 1610 810 410 210 110
1310 1 1 0 1
1410 1 1 1 0
1510 1 1 1 1
1610 1 0 0 0 0
1710 1 0 0 0 1
1810 1 0 0 1 0
1910 1 0 0 1 1
2010 1 0 1 0 0
2110 1 0 1 0 1
2210 1 0 1 1 0
2310 1 0 1 1 1
2410 1 1 0 0 0
Didaktik der Grundschulmathematik 2.32 Jürgen Roth
Zahldarstellung im Dualsystem
3210 1610 810 410 210 110
2510 1 1 0 0 1
2610 1 1 0 1 0
2710 1 1 0 1 1
2810 1 1 1 0 0
2910 1 1 1 0 1
3010 1 1 1 1 0
3110 1 1 1 1 1
3210 1 0 0 0 0 0
3310 1 0 0 0 0 1
3410 1 0 0 0 1 0
3510 1 0 0 0 1 1
3610 1 0 0 1 0 0
Didaktik der Grundschulmathematik 2.33 Jürgen Roth
Zahldarstellung im Dualsystem
3210 1610 810 410 210 110
3710 1 0 0 1 0 1
3810 1 0 0 1 1 0
3910 1 0 0 1 1 1
4010 1 0 1 0 0 0
4110 1 0 1 0 0 1
4210 1 0 1 0 1 0
4310 1 0 1 0 1 1
4410 1 0 1 1 0 0
4510 1 0 1 1 0 1
4610 1 0 1 1 1 0
4710 1 0 1 1 1 1
4810 1 1 0 0 0 0
Didaktik der Grundschulmathematik 2.34 Jürgen Roth
Zahldarstellung im Dualsystem
3210 1610 810 410 210 110
4910 1 1 0 0 0 1
5010 1 1 0 0 1 0
5110 1 1 0 0 1 1
5210 1 1 0 1 0 0
5310 1 1 0 1 0 1
5410 1 1 0 1 1 0
5510 1 1 0 1 1 1
5610 1 1 1 0 0 0
5710 1 1 1 0 0 1
5810 1 1 1 0 1 0
5910 1 1 1 0 1 1
6010 1 1 1 1 0 0
Didaktik der Grundschulmathematik 2.35 Jürgen Roth
Zahldarstellung im Dualsystem
3210 1610 810 410 210 110
6110 1 1 1 1 0 1
6210 1 1 1 1 1 0
6310 1 1 1 1 1 1
Didaktik der Grundschulmathematik 2.36 Jürgen Roth
Addition im 4er-System
0 1 1 1
0 1 11
0 11 10
10 10 10
1 2 3
3 2 1
2 3 E V V V
0 1 1 1 1 1
3 2 1 4
1 2 3 4 +
4
Didaktik der Grundschulmathematik 2.37 Jürgen Roth
Multiplikation im 4er-System
4
4 1 1 1
4
4
3 0 0 0 2 1
3 2 1
2 1 3
1 0 1 1
4 4 1 2 3 3 2 1 ·
110 410 1610 6410 25610 102410
153910 =
Didaktik der Grundschulmathematik 2.42 Jürgen Roth
2.3 Aufbau des
Zahlenraums bis 100
Kapitel 2: Aufbau des Zahlbegriffs
Didaktik der Grundschulmathematik 2.43 Jürgen Roth
Übungen im
Zahlenraum bis 100
Zahlen im Hunderterraum
Zehnerzahlen bis 100
Anzahlen bestimmen: Zehnerbündelung
Zahlen sprechen, zeigen, schreiben
Zählen in verschiedenen Schritten
Übungen an der Hundertertafel
Zahlen und Nachbarn
Zahlenfolgen
Wege im Hunderterfeld
Zahlen als Maßzahlen
Geld
Zeit
Längen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/hunderterfeld/
Didaktik der Grundschulmathematik 2.44 Jürgen Roth
Arbeiten an der
Hundertertafel
Nachbarn
Zahlenfolgen
fortsetzen
100, 98, 96, …
15, 30, 45, 60, …
9, 18, 27, 36, …
100, 99, 97, 94, …
1, 21, 12, 32, 23, 43, 34, 54, …
1, 19, 22, 38, 43, 57, …
Turm-, Läufer,
Springerbewegung
Abstand Radius
1 ' 2 ' 3 '10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
987654 '
15
25
35
45
11 '
21 '
31
41
51
61
71
81
91
12
22
32
42
52
62
72
82
92 93 94 95 96 97 98 99
89
79
69
59
49
39
29
191817161413
23 24
33 34
43 44 47 48
36 37 38
26 27 28
53 54 55 56
46
57 58
68
78
8887
77
6766
76
86
65
75
858483
73 74
63 64
http://www.juergen-roth.de/dynageo/hunderterfeld/
Didaktik der Grundschulmathematik 2.45 Jürgen Roth
Nachbarn auf der
Hundertertafel
Hier sind Ausschnitte
aus der Hundertertafel.
Trage in die dicken
Kästchen die richtigen
Zahlen ein!
Didaktik der Grundschulmathematik 2.46 Jürgen Roth
Münzzerlegung
11 Cent
23 Cent
5 5 1
5 2 2 2
5 2 2 1 1
5 2 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1 1
2 2 2 1 1 1 1 1
10 5 5 1 2
5 5 5 5 1 2
5 5 5 2 2 2 2
5 5 5 2 2 2 1 1
5 5 2 2 2 2 2 1 2
5 5 2 2 2 2 2 1 1 1