Didaktik der Linearen Algebra Übergangsmatrizen Referenten: Leif Stuhrmann René Kühne.

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Didaktik der Linearen Algebra Übergangsmatrizen Referenten: Leif Stuhrmann René Kühne

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Didaktik der Linearen Algebra

Übergangsmatrizen

Referenten: Leif Stuhrmann René Kühne

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Übersicht

Problemvorstellung Wiederholung

Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien

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Übersicht

Problemvorstellung Wiederholung

Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien

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Problemvorstellung Wiederholung

Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien

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Problemvorstellung Wiederholung

Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien

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Problemvorstellung Wiederholung

Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien

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Problemvorstellung Wiederholung

Matrizenmultiplikation Wiederholung Eigenwertprobleme Lösung des Problems Anwendung Anwendungsszenarien

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ProblemDie drei Firmen A, B und C führen einen völlig neuartigen Mikrochip auf dem Markt ein.

Zu Beginn besitzt A 40%, B 20% und C 40% Marktanteil. Während des ersten Jahres verliert A 5% seiner Kunden an B und 10% an C, B gibt 15% seiner Kunden an A und 10% an C ab, und C verliert jeweils 5% seiner Kunden an A und B. Während der folgenden Jahre verändern sich die Marktanteile stets nach demselben Schema.

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Problem

A : 40

B : 20

C : 40

Welche Marktanteile besitzen die drei Firmen am Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres?

5 % zu B und 10 % zu C5 % zu A und 5 % zu B

15 % zu A und 10 % zu C

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Matrizenmultiplikation

Beachte: Stimmen die inneren Zeilen überein, so ist das Produkt definiert. Die äußeren Zahlen geben die Größe des Produktes an.

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Problem

A : 38,1

B : 18,3

C : 43,6

Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers?

A : 39

B : 19

C : 42

1.Jahr 2.Jahr

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Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes

System:(1)

Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.

(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:

vvA

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Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes

System:(1)

Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.

(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:

vvA

0)(

vAE

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Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes

System:(1)

Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.

(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:

vvA

0)(

vAE

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Eigenwertprobleme Allgemein: Überführung in ein homogenes

System:(1)

Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nicht-trivialen Lösungen von A Eigenvektoren von A zu λ.

(1) hat genau dann eine nichttriviale Lösung, wenn gilt:

vvA

0)(

vAE

0)det( AE

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Zahlenbeispiel

Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A

211

432

112

A

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Problem

A : 38,1

B : 18,3

C : 43,6

Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle drei Unternehmen genießen ihren großen wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des Marktführers?

A : 39

B : 19

C : 42

1.Jahr 2.Jahr

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Lösung mit Derive

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AnwendungBei Konzerten sind die Preise in 3 Klassen A, B und C unterteilt. (A ist die teuerste, dann folgt B und C ist schließlich billigste). 70% bleiben am nächsten Wochenende bei ihrer Preisklasse.

Von A aus wechseln 30% zu B und 0% zu C. Von B wechseln 20% zu A und 10% zu C. Von C wechseln wiederum 20% zu B und 10% zu A.

Die Veranstalter wollen auf lange Sicht gleich viele Karten von jeder Preisklasse verkaufen.

Nur die Besucher der Klasse A sollen ihr Übergangsverhalten ändern.

Untersuche, wie sich das Übergangsverhalten derjenigen Mitglieder, die Klasse A gewählt haben, ändern müsste, damit auf lange Sicht je 400 Karten der Klassen A, B und C reserviert werden können.

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Lösung Übergangsmatrix:

7,01,00

2,07,03,0

1,02,07,0

A

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Lösung Übergangsmatrix:

Lösung von

7,01,00

2,07,03,0

1,02,07,0

A

400

400

400

400

400

400

7,01,0

2,07,0

1,02,0

3

2

1

x

x

x

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Lösung Übergangsmatrix:

Lösung von

Lösung:

7,01,00

2,07,03,0

1,02,07,0

A

400

400

400

400

400

400

7,01,0

2,07,0

1,02,0

3

2

1

x

x

x

2,01,07,0 321 xxx

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Anwendungsszenarien

Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von

Wettervorhersagen)

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Anwendungsszenarien

Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von

Wettervorhersagen)

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Anwendungsszenarien

Verteilungsprobleme Mischungsprobleme Stochastische Probleme (Korrektheit von

Wettervorhersagen)

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Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!