Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II6. Ableitungsregeln

H. Rodner, G. Neumann

Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik

Sommersemester 2010/11

Internetseite zur Vorlesung:

http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/

H. Rodner, G. Neumann Humboldt-UniversitätDidaktik der Mathematik der Sekundarstufe II, Teil 6 Sommersemester 2010/11

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Differentialrechnung

Hausaufgabe

Die Kettenregel

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Hausaufgabe

Skizzieren Sie eine Einführungsstunde zum Thema

Ableitung der Exponentialfunktion

mit dem Ziel der Einführung der

Exponentialfunktion zur Basis e.

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Die Kettenregel

Wie kann die Kettenregel eingeführt werden?

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Die Kettenregel

Ermitteln Sie die Ableitung von f (x) = (x2)3

I über bekannte AbleitungsregelnI über die Ableitungen der verketteten Funktionen

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Die Kettenregel

Stellen Sie möglichst viele Zusammenhänge zwischen denFunktionstermen her.

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Die Kettenregel: Beweis

Wir betrachten den Differenzenquotienten für f (x) = u(v(x)) mit dendifferenzierbaren Funktionen u, v :Zu zeigen ist f ′(x) = u′(v(x)) · v′(x)

f (x)− f (x0)

x− x0=

u(v(x))− u(v(x0))

x− x0

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Die Kettenregel: Beweis

Multiplikation des Differenzenquotienten mit v(x)−v(x0)v(x)−v(x0)

Voraussetzung???

v(x)− v(x0) 6= 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0

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Die Kettenregel: Beweis

Multiplikation des Differenzenquotienten mit v(x)−v(x0)v(x)−v(x0)

Voraussetzung???

v(x)− v(x0) 6= 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0

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Die Kettenregel: Beweis

f (x)− f (x0)

x− x0=

u(v(x))− u(v(x0))

v(x)− v(x0)· v(x)− v(x0)

x− x0

Da die innere Funktion v differenzierbar ist, ist sie auch stetig,

daher geht für x→ x0 auch v(x) gegen v(x0) und

- mit den Grenzwertsätzen für den Grenzwert von Produkten - gilt:

f ′(x) = u′(v(x)) · v′(x)

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Die Kettenregel: Aufgaben

f(x)=u(v(x)) v(x) u(v) v’(x) u’(v) u’(v(x)) f’(x)(5x− 1)3 5x− 1 v3 5 3v2 3(5x− 1)2 15(5x− 1)2

2x + 3 v2

2(2x+1)2 2v−2

cos(2x + 1)√5− x2

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Die Kettenregel: Aufgaben

Für den Grundkurs: Binnendifferenzierung! Für schwache Schüler:

Reaktivierung der Potenzschreibweise für Wurzeln und Brüche inForm von Vorübungen!

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Die Kettenregel: Aufgaben

I Ableitung mit Kettenregel- Vergleich mit dem CASI Funktionen mit ParameterI Kombination mit ProduktregelI Funktionen mit mehr als einer Verkettung, z.B.

f (x) = (√

x2 + 1 + x)2

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Die Kettenregel: Anwendungsaufgabe

In einen kegelförmigen Behälter mit dem Radius R = 10 cm und derHöhe H = 30 cm werden pro Sekunde 20 cm3 Wasser gefüllt. DieHöhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers hängen alsovon der Zeit ab.

a) Ermitteln Sie die Zuordnung h(t)→ V(t).b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlichschnell.Wie schnell steigt dieser in dem Augenblick, in dem das Wasser imBehälter 5 cm hoch steht?

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Die Kettenregel: Lösung der Anwendungsaufgabe

a)Für das Volumen in Abhängigkeit der Zeit in Sekundensowie für r Radius der Wasseroberfläche im Kegelund h Höhe des Wasserstands - ebenfalls abhängig von der Zeit -in cm gilt:

V(h(t)) =13πr2h

Außerdem gilt RH = 10

30 nach Voraussetzung für den Kegel mit Höhe Hund Radius R. Mit dem Strahlensatz und R

H = rh folgt: r = h

3

Dann ist

V(h(t)) =π

27(h(t))3

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