Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Funktionen...

Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

Funktionen

und

funktionales Denken

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Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II -Funktionen, funktionales Denken

Aspekte funktionalen Denkens

Behandlung von Funktionen– Propädeutik des Funktionsbegriffs: Proportionalität

– Definition/ Exaktifizierung des Funktionsbegriffs

– Lineare Funktionen, Sicht auf Funktionen als Ganzes

– Weitere Funktionenklassen von Kl.8 – 10

– Behandlung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

– Operationen mit Funktionen

Funktionales Denken und Propädeutik der Analysis

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Aspekte funktionalen Denkens nach Vollrath (1)

1. „Durch Funktionen beschreibt oder stiftet man Zusammenhänge zwischen Größen: einer Größe ist eine andere zugeordnet, so dass die eine Größe als abhängig gesehen wird von der anderen.

2. Durch Funktionen erfasst man, wie Änderungen einer Größe sich auf eine abhängige Größe auswirken.

3. Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als Ganzes.“

(1) Vollrath,H.-J.: Funktionales Denken. In:JMD10(1989),S.3-37

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In leichter Abwandlung der Aspekte 1 und 2von Vollrath formulierte Malle (2) zwei Aspektevon Funktionen:

Zuordnungsaspekt:Jedem x wird genau ein f(x) zugeordnet.

Kovariationsaspekt: Jede Veränderung von x zieht eine bestimmte Veränderung von f(x) nach sich und umgekehrt.

(2) Malle,G. (2000). Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. In: Mathematik lehren 103, S.8-11

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Propädeutik des Funktionsbegriffs: Proportionalität


2. Durch Funktionen erfasst man, wie Änderungen einer Größe sich auf eine abhängige Größe auswirken.

3. Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als Ganzes.“

Darstellung proportionaler Zuordnungen in Tabellen:Preis in Abhängigkeit von der Zurückgelegter Weg bei gleichbleibender

Masse Geschwindigkeit

In senkrecht notierten Tabellen machen „waagerechte Zusammenhänge“ das Zuordnungsverhalten deutlich.

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Masse in kg Preis in €

1 1,49

2 2,98

3 4,47

4 5,96

… …

Zeit in h Weg in km

1 80

2 160

3 240

4 320

… …

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2. Durch Funktionen erfasst man, wie Änderungen einer Größe sich auf eine abhängige Größe auswirken.3. Mit Funktionen betrachtet man einen gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als Ganzes.“

Monotonie Erhöht sich der Wert der einen Größe, so erhöht sich auch der

Wert der anderen Größe.Proportionalität Verdoppelt, verdreifacht,…, halbiert,…sich die eine Größe, so

verdoppelt, verdreifacht,…,halbiert sich die andere Größe. Änderungsverhalten lässt sich durch Funktionalgleichungen

beschreiben.Proportionalität: f(rx)=r f(x), f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

Wichtig: Identifikation von Monotonie und Proportionalität vermeiden.

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Definition/ Exaktifizierung der Funktionsbegriffs (Kl.8)

Einführung des Funktionsbegriffs in Klasse 8

Eine Zuordnung, bei der jedem Element einer Menge Df

genau ein Element der Menge Wf zugeordnet wird, nennt man Funktion. (Mathematik 8,BB,Gymnasium. Berlin:Duden Paetec2009)

Unter einer Funktion versteht man eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe aus einem ersten Bereich genau eine Größe aus einem zweiten Bereich gehört.

(Schnittpunkt8, Baden- Württemberg, Realschule. Stuttgart: Klett2006)

Eine Zuordnung x y, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet, heißt Funktion.

(Lambacher Schweizer8, Baden- Württemberg, Gymnasium. Stuttgart: Klett2006)

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Funktionen als eindeutige Zuordnungen(aus LS8, Gymnasium, Nordrhein-Westfalen)

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Möglicher Einstieg: Füllgraphen

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• Nach der Einführung des Funktionsbegriffs werden lineare Funktionen systematisch behandelt. Dabei gerät der Aspekt Sicht auf Funktionen als Ganzes erstmals stärker in das Zentrum des Interesses.

• Funktionen werden zu neuen Objekten; für diese sind Namen nötig: z.B. Funktion f: x 3x + 1 oder f: y = 3x + 1

Funktionsvorschrift

Begriffe: Argument, Funktionswert, Zahlenpaar (x|y), Punkt P(x|y) mit x als Abszisse und y als Ordinate, x als Stelle

• Der Aspekt des Änderungsverhaltens ist bei linearen Funktionen vor allem im Zusammenhang mit dem Anstieg von Bedeutung.

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Darstellung von Funktionen

• bildliche /sprachliche Beschreibung– Angeben einer Zuordnungsvorschrift

Bsp.: „Jeder Zahl wird die Summe aus ihrem Dreifachen und der Zahl 1 zugeordnet“

• graphisch• Wertetabelle

– kann oft nur einen Ausschnitt der Funktion liefernBsp.:

• ZuordnungsvorschriftBsp.: x y; x 3x + 1 ; 3x + 1 ist Funktionsterm f(x)

• Algebraisch (Funktionsgleichung)Bsp.: f: y = 3x + 1

x -2 0 1,5 3 3,5 10

y -5 1 5,5 10 11,5 31

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Unter den verschiedenen Darstellungsformen von Funktionen eröffnet sich der Blick für das Ganze besonders deutlich bei den graphischen Darstellungen.

Hier fallen auch Eigenschaften von Funktionen ins Auge wie Wachsen, Fallen, Symmetrien usw.

So wie der Blick auf das Ganze Eigenschaften enthüllt, so lassen auch umgekehrt Eigenschaften das Ganze erkennen.

Vollrath,H.-J.: Funktionales Denken. In: JMD10(1989)

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Funktionales Denken

Interessante Arbeiten von Studierendenhttp://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/1b-mpxx-t-

01/user_files/Online-Magazin/Ausgabe12/Studierende12.pdf (S.17-19)

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http://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/1b-mpxx-t-01/user_files/Online-Magazin/Ausgabe12/Studierende12.pdf












Weitere Funktionenklassen von Kl.8 - 10

Quadratische Funktionen, Wurzelfunktionen als Umkehrfunktionen (Kl.9)

Potenzfunktionen (Kl. 9/10)

Exponential- und Logarithmusfunktionen(Kl.10 und Sek.II)

Trigonometrische Funktionen (Kl. 10)

Ganzrationale Funktionen (Kl.10 und Sek.II)

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Behandlung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Messung der Kerneanzahl beim Zerfall des radioaktiven Elements Radon:

a) Bestätigen Sie, dass der Vorgang näherungsweise durch eine exponentielle Wachstumsfunktion beschrieben werden kann und bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung (Zeiteinheit: 15 s).

b) Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung, wenn als Zeiteinheit 1 Minute(1 Sekunde) gewählt wird.

c) Wie viele Kerne sind nach 150 s vorhanden, wie viele Kerne waren es 90 s vor Beginn der Messungen?

d) Fertigen Sie graphische Darstellungen der drei (auf die verschiedenen Zeiteinheiten bezogenen) Wachstumsfunktionen für -120s ≤ t ≤ 180s an.

e) Stellen Sie die Funktionsgleichungen für den Zerfallsvorgang mithilfe der

Exponentialfunktion zur Basis 10 (zur Basis e) dar. (Basistransformation)

f) Wann ist nur noch exakt die Hälfte der Kerne vorhanden? Wann waren noch 4000 Kerne vorhanden?

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T in s 0 15 30 45 60 75 90

N(Kerne) 1000 826 683 560 466 385 313

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Operationen mit Funktionen- Einfluss von Parametern auf Funktionen a fa

Funktion f: f(x)Streckung/ Stauchung mit dem Faktor

Verschiebung in

x-Richtung um -d y-Richtung um +e

}0{\a

)x(fa

d);dx(fa e;e)x(fa

e)dx(fa

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Funktionen als Objekte- Operationen mit Funktionen

Addition von Funktionen

Bsp.: f(x) = 30x g(x) = h(x) = f(x) + g(x) = + 30x

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²x2

81,9 ²x

2

81,9

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Funktionen als Objekte- Operationen mit Funktionen

Verkettung von Funktionen

Ableitungen und Stammfunktionen

…

In Differenzialgleichungen treten Funktionen selbst als gesuchte Objekte auf.

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gf

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Funktionales Denken und Analysispropädeutik

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Aufgabe: Dreiecksfläche (nach: Schlöglhofer 2000)

Die gestrichelte Linie wird vom Punkte A um die Entfernung x nach rechtsgezogen. Der Wert F(x) gibt die Größe der grau unterlegten Fläche an. WelcherGraph passt? Begründe Deine Wahl!

Graph-als-Bild-Fehler (Bezeichnung nach Vogel)Mängel bei der Übersetzung von Bild und Graph!

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Realität: kalkülorientierter Analysisunterricht, Verharren in Berechnungen, wenig inhaltliche Vorstellungen

Materialien von Andrea Hoffkamp (TU Berlin)

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Quelle: http://www.mathematik.uni-jena.de/~bezi/Materialien/Funktion

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• „Der nimmt Anlauf und springt erst ganz waagerecht ab.“

• „Nee, das liegt daran, dass das Flugzeug nach rechts fliegt, wenn er heraus springt.“

• Das kann doch irgendwie nicht sein! Der müsste doch eher senkrecht landen, oder ist das so ein Gleitfallschirm?“

Quelle:http://www.minet.uni-jena.de/~bezi/Materialien/MeierMoeller

Fallschirmsprung

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