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Die Arbitrage Preis Theorie

Aleksandar Arandjelovic

Technische Universitat Wien

16. Dezember 2017

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Ausblick

1 PortfoliotheorieMarkowitzCAPMKritik

2 Arbitrage Preis ModellDas APMNutzenfunktion & RisikoaversionArbitrage Preis Theorie

3 Abschluss

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Markowitz’ Grundidee

N Assets

rit = Rendite des Assets i zum Zeitpunkt t

dit = Diskontfaktor von i von t auf Gegenwart

Xi = relatives in i investiertes Vermogen (∑

iXi = 1)

short sales (Leerverkaufe) ausgeschlossen, dh Xi ≥ 0

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Markowitz’ Grundidee

Definition

Ri :=

∞∑t=1

ditrit

Folgerung

R =

∞∑t=1

N∑i=1

ditritXi

=

N∑i=1

Xi

( ∞∑t=1

ditrit

)

=

N∑i=1

XiRi.

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Markowitz’ Grundidee

Idee

maximiere R → finde Ri∗ = maxi=1...nRi

Alternative

falls mehrere Rj , j = 1, ...,K maximal → wahle Portfolio mit

K∑j=1

Xj = 1

Problem

Diversifikation nur selten bevorzugt!

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Markowitz’ Grundidee

Erwartungswert & Varianz

E = E[R] =N∑i=1

Xiµi

V = V ar(R) =

N∑i=1

N∑j=1

σijXiXj ,

effizientes Portfolio P

@ Portfolio P mit

EP = EP und VP > VP oder

VP = VP und EP < EP

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Menge der effizienten Portfolios

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Grundidee des CAPM

Sharpe und Lintner

Rf = gemeinsame, risikofreie Zinsrate

Keine Kosten

Homogenitat der Erwartungen: Investoren stimmen inerwarteter Rendite sowie Varianz und Korrelation derbetrachteten Großen uberein.

Die betrachteten Zufallsvariablen folgen in Praxis genauden angenommenen Verteilungen.

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Grundidee & Tangentenportfolio

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Das CAPM

Zentrale Gleichung

E[Ri] = Rf + (E[RT ]−Rf )βiT , i = 1, ..., N, (1)

wobei

βiT =cov(Ri, RT )

σ2(RT )

βiT = Empfindlichkeit von Ri gegenuber RT

(E[RT ]−Rf ) = Risikopramie fur Investments in i

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Markowitz’ Grundidee

Varianz = ausreichendes Maß fur Risiko?

nicht immer zweiparametrigen Verteilungen (zB N(µ, σ2))relevant

Homogenitat der Erwartungen fragwurdig

praktische Verteilungen nicht immer wie theoretische(behavioral finance)

Kosten nicht ignorierbar

einperiodische Struktur unzureichend(Intertemporal Capital Asset Pricing Model ICAPM)

weiter Faktoren wichtig (zb Kurs-Buchwert-VerhaltnisKBV)

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Das Modell

Faktormodell

Definition - Einfaktormodell

xi = Ei + βiδ + ei. (2)

e vom Modell unabhangig genug, dass asymptotischvernachlassigbar

e = (1, 1, ..., 1)T

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Das Modell

Vorgehensweise

bilde Portfolio η mit∑

i ηi = 0 (Arbitrageportfolio)

ηi hat Großenordnung 1n

ηx = ηE + (ηβ)δ + ηe

≈ ηE + (ηβ)δ

wahle η sodass ηβ = 0 (kein systematisches Risiko)

ηx ≈ ηE.

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Das Modell

Vorgehensweise

da∑

i ηi = 0 muss ηE = 0 (sonst Arbitragemoglichkeit)

dies gilt fur alle solchen η (ηe = ηβ = 0)

also ist E von e und β linear abhangig (Kronecker-Capelli)

Arbitrage Bedingung

Ei = p+ λβi (3)

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Das Modell

Typische Faktoren

die Inflationsrate

der Olpreis

das BIP

verschiedene Borsenindizes

die wichtigsten Devisenkurse

die Leitzinsen

Empirie

Faktorenanalyse

Regression

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Nutzenfunktion

Definition

Eine Funktion U : X → R, wobei X der Raum der moglichenAusgangssituationen des Wirtschaftssubjektes W ist, wirdNutzenfunktion genannt, falls gilt:

W misst xa ∈ X einen großeren Nutzen zu als xb ∈ X⇒ U(xa) ≥ U(xb) (sogenannte Praferenzrelation)

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Nutzenfunktion

Eigenschaften von U

1 U ist streng monoton wachsend: W bevorzugt großeresVermogen

2 U ist konkav: relativer Nutzen des Geldes nimmt mitsteigendem Vermogen ab

3 U ist stetig und oft genug differenzierbar.

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Risikoaversion

absolute und relative Risikoaversion

r(x) := −U′′(x)

U ′(x), x ∈ X,

r∗(x) := −U′′(x)x

U ′(x), x ∈ X.

Interpretation

negative Werte von r = Risikofreude, positive Werte =Risikoscheu

r∗ liefert Zusammenhang zwischen Risiko und Vermogen

relevant, wenn Risiko mit Vermogen zunimmt

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Nutzenfunktion& Risikoaversion

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Abschluss

Risikoaversion

Typ B Investor

Ein Typ B Investor folgt gleichmaßig beschrantker relativerRisikoaversion, dh

∃ R : supx−U

′′(x)x

U ′(x)≤ R <∞.

Bedeutung

Falls keine Typ B Investoren vorhanden, konnen sich konkreteGegenbeispiele angeben lassen, in denen die APT versagt!

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Nutzenfunktion& Risikoaversion

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Risikoaversion

Resultat A

Sei U(x;R) eine Nutzenfunktion mit konstanter relativerRisikoaversion R. Dann gilt:

U(x;R) =

{x1−R

1−R falls R 6= 1.

log x falls R = 1.(4)

Resultat B

Sei U Typ B Nutzenfunktion, dann existiert eine monotonwachsende, konvexe Funktion G, sodass

U(x) = G(U(x;R)),

wobei U(x;R) die Nutzenfunktion mit konstanter relativerRisikoaversion R ist.

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ArbitragePreis Modell

Das APM

Nutzenfunktion& Risikoaversion

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Abschluss

Die APT

Das Modell

xi = Ei + βi1δ1 + . . .+ βikδk + ei = Ei + βiδ + ei, (5)

wobei

E[δj ] = E[ei] = 0,

σ2i = E[e2i ] ≤ σ2,

und die ei’s paarweise unkorreliert sind.

optimales Portfolio α0

E[U(wα0x)] = maxα

(E[U(wαx)])

(bedingt auf∑

i αi = 1)

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Technische Vorbereitung

Lemma 1

Sei (Xn)n∈N eine Folge von n× k Matrizen, die dadurchgebildet wird, dass man von einer Matrix mit k Spalten undunendlich vielen Zeilen jeweils immer die ersten n Zeilenbetrachtet, und (Hn)n∈N eine Folge von Diagonalmatrizendiag(h1, ...hn) mit hi ≥ h > 0 ∀ i fur ein h > 0. Angenommenes existieren b ∈ Rk und a ∈ R sodass fur alle regularen Xn

b′[Xn′HnXn]−1b ≥ a > 0. (6)

Dann existieren a∗ ∈ Rk und A ∈ R sodass

(Xna∗)′(Xna∗) ≤ A <∞, (7)

unda∗′b = 1. (8)

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Technische Vorbereitung

Lemma 2

Sei (Xn)n∈N eine Folge von Zufallsvariablen mit E[Xn] = 0und (Konvergenz im quadratischen Mittel)

limn→∞

√∫|Xn|2 = 0. (9)

Sei U konkav und beschrankt von unten, also

U ′′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ R,∃ a ∈ R : ∀x : U(x) ≥ a.

Dann gilt fur jede Konstante p ∈ R

E[U(p+Xn)]→ U(p). (10)

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Erstes zentrales Resultat

Annahme 1 - beschrankte Haftung

Es gibt zumindest ein Asset mit beschrankter Haftung: es gibteine Schranke t fur den Verlust, bis zu welcher ein Investor mitseinem Vermogen haftet.

Resultat 1

Betrachte einen Typ B Investor welcher glaubt dass Renditendurch ein Faktormodell erzeugt werden und gelte Annahme 1.Gelte außerdem

∃ m <∞ : α0E ≤ m. (11)

Dann folgt: ∃ p ∈ R, γ ∈ Rk:

∞∑i=1

[Ei − p− βiγ]2 <∞. (12)

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Erstes zentrales Resultat

Aussage

Die Arbitrage Bedingung

Ei ≈ p+ βiγ

= p+ γ1βi1 + . . . γkβik

ist im approximativen Sinne erfullt ist, da aus

∞∑i=1

[Ei − p− βiγ]2 <∞.

unmittelbar|En − p− βnγ| → 0

folgt.

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Vorbereitung fur Resultat 2

Einwand

Bis jetzt nur Typ B Investoren betrachtet

Fur allgemeine Markttheorie weitere Uberlegungennotwendig

Asymptotische Vernachlassigbarkeit

Der Investor av ist asymptotisch vernachlassigbar, falls mitsteigender Anzahl der Assets (n→∞) gilt

limn→∞

wv

w= 0, (13)

wobei wv das Vermogen von av und w =∑

v′ wv′

das gesamtevorhandene Vermogen aller Investoren ist.

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Vorbereitung fur Resultat 2

Annahme 2

Es gibt zumindest einen nicht asymptotisch vernachlassigbarenTyp B Investor.

Annahme 3

Alle Investoren haben dieselben Erwartungen E und sindrisikoscheu.

Annahme 4

Sei ξi die Gesamtnachfrage nach dem Asset i als Anteil desGesamtvermogens w. Wir nehmen an, dass durchwegs ξi ≥ 0gilt.

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Das zentrale Resultat 2

Annahme 5

Die Folge (Ei)i sei gleichmaßig beschrankt, es gelte also

‖E‖ = supi|Ei| <∞ (14)

Resultat 2

Unter den Annahmen 1-5 gilt: ∃ p ∈ R, γ ∈ Rk:

∞∑i=1

[Ei − p− βiγ]2 <∞. (15)

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Zusammenfassung

Interessante Alternative zum CAPM

Verallgemeinerung des CAPM

Empirische Testung: Faktorenanalyse & Regression

Weiters: ICAPM & Black-Litterman Modell

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Ende