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Anhang: Determinanten Die Determinante iiber kommutativen Ringen In diesem Abschnitt ist R stets ein kommutativer Ring mit Einselement. Wie in den Standardvektorraumen Kn und Mm,n(K) liber K6rpern K kann in den entsprechenden Konstruktionen Rn und Mm,n(R) gerechnet werden: Fur naturliche Exponenten n bezeichnet R n die Menge der Abbildungen a: {I, 2, ... , n} -+ R, die liblicherweise als indizierte Systeme a = (aih:::;i:::;n notiert und geometrisch als Spalten vorgestellt werden. Addition und Multi- plikation mit Skalaren A E R werden komponentenweise erklart: (ai)l:::;i:::;n + (!3i)l:::;i:::;n .- (ai + !3i)l:::;i:::;n , (ai)l:::;i:::;n . A .- (aiA)l:::;i:::;n· Setzt man ek = (clikh<i<n, l:Sk:Sn mit dem Kroneckersymbol clik, so hat jedes a = (aih:::;i:::;n E- Rn die eindeutige Darstellung a = ekak als Linearkombination der kanonischen Basis el, ... , en von Rn. Ganz analog bezeichnet Mm,n(R) fUr natlirliche Zahlen m, n die Menge der Abbildungen A = (aij)l:::;i:::;m,l:::;j:::;n von der Menge aller Paare (i,j) natlirlicher Zahlen in den Grenzen l:Si:Sm, l:Sj:Sn in den Ring R. Diese Abbildungen heiBen selbstverstandlich wieder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten liber R. Auf Mm,n(R) hat man die punktweise Addition zweier Matrizen A = (aij), B = (!3ij) durch A + B := (aij + !3ij)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n und ebenso die punktweise Multiplikation mit Skalaren A E R durch A . A := (aijA)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n . Eine R-bilineare Verknupfung Mm,n(R) x Mn,p(R) -+ Mm,p(R) wird durch die Matrizenmultiplikation erklart: Fur Matrizen A, A' E Mm,n(R) sowie B, B' E Mn,p(R) und aIle Skalare A gelten die Formeln (A + A')B = AB + A' B, A (B + B') = AB + AB', und

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Anhang: Determinanten

Die Determinante iiber kommutativen Ringen

In diesem Abschnitt ist R stets ein kommutativer Ring mit Einselement. Wie in den Standardvektorraumen Kn und Mm,n(K) liber K6rpern K kann in den entsprechenden Konstruktionen Rn und Mm,n(R) gerechnet werden: Fur naturliche Exponenten n bezeichnet Rn die Menge der Abbildungen a: {I, 2, ... , n} -+ R, die liblicherweise als indizierte Systeme a = (aih:::;i:::;n notiert und geometrisch als Spalten vorgestellt werden. Addition und Multi­plikation mit Skalaren A E R werden komponentenweise erklart:

(ai)l:::;i:::;n + (!3i)l:::;i:::;n .- (ai + !3i)l:::;i:::;n ,

(ai)l:::;i:::;n . A .- (aiA)l:::;i:::;n·

Setzt man ek = (clikh<i<n, l:Sk:Sn mit dem Kroneckersymbol clik, so hat jedes a = (aih:::;i:::;n E - Rn die eindeutige Darstellung a = L:~=l ekak als Linearkombination der kanonischen Basis el, ... , en von Rn. Ganz analog bezeichnet Mm,n(R) fUr natlirliche Zahlen m, n die Menge der Abbildungen

A = (aij)l:::;i:::;m,l:::;j:::;n

von der Menge aller Paare (i,j) natlirlicher Zahlen in den Grenzen l:Si:Sm, l:Sj:Sn in den Ring R. Diese Abbildungen heiBen selbstverstandlich wieder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten liber R. Auf Mm,n(R) hat man die punktweise Addition zweier Matrizen A = (aij), B = (!3ij) durch

A + B := (aij + !3ij)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n

und ebenso die punktweise Multiplikation mit Skalaren A E R durch

A . A := (aijA)l:::;i:::;m, l:::;j:::;n .

Eine R-bilineare Verknupfung Mm,n(R) x Mn,p(R) -+ Mm,p(R) wird durch die Matrizenmultiplikation erklart:

Fur Matrizen A, A' E Mm,n(R) sowie B, B' E Mn,p(R) und aIle Skalare A gelten die Formeln (A + A')B = AB + A' B, A (B + B') = AB + AB', und

332 Anhang: Determinanten

(A>.)B = (AB)>. = A(B>.). Sie sind dureh Betraehtung der Komponenten unmittelbar aus der Definition des Matrizenproduktes abzulesen. Ahnlieh erkennt man die Assoziativitat des Matrizenproduktes: 1st C E Mp,q(R) so gilt (AB)C = A(BC). Denn der Koeffizient zum Index (i, I) ist links 2:~=1 (2:7=1 (Xij{3jk),kl und reehts 2:7=1 (Xij(2:~=l {3jk'"Ykz) , was dassel be ist.

Auf diese Weise wird insbesondere Mn(R) = Mn,n(R), die Menge der quadratisehen Matrizen mit n Zeilen, ein i. a. nieht kommutativer Ring mit Einselement In = (6ik)1<i k<n' 1m Spezialfall m = n, p = 1 liefert die Multi­plikation Mn(R) x Rn ~' fin zu jeder Matrix A E Mn(R) einen R-linearen Homomorphismus x H Ax von Rn in sieh, was nichts anderes bedeutet als A(x + x') = Ax + Ax' und (Ax)>. = A(x>.) fUr aile x, x' E Rn und aile >. E R. Mit dieser Deutung sind fiir quadratisehe Matrizen A, B E Mn(R) die Spalten

n

Sk := (" (Xij {3jk) . ~ l<,<n j=1 --

des Produktes AB zugleich die Bilder Sk = Abk (l:=:;k:=:;n) der gleichindizier­ten Spalten bk von Bunter der dureh A bewirkten R-linearen Abbildung.

Definition. Eine Abbildung D des n-faehen direkten Produkts Rn x ... x Rn in den Ring R heiBt eine n-fache Linearform (kurz Multilinearform) auf Rn, wenn fUr jeden Index k die Abbildungen x H D(a1,"" ak-1, x, ak+l,"" an) von Rn in R samtlieh R-linear sind.- 1st iiberdies D( . .. a ... a .. . ) = 0, ist also D(a1,"" an) = 0, sobald irgend zwei der n Argumente von D iiberein­stimmen, so heiBt D eine alternierende n-faehe Linearform auf Rn.

Regel 1. Fur alternierende Multilinearformen D auf Rn gilt stets

D( ... a ... b ... ) = -D( ... b ... a ... ),

Vertauschung zweier Argumente iindert den Wert von D um den Faktor-l.

Das erkennt man an folgender Gleiehungskette

O=D( ... a+b ... a+b ... )

=D( ... a ... a+b ... ) + D( ... b ... a+b ... ) = D( ... a ... a ... ) + D( ... a ... b . .. ) + D( ... b ... a ... ) + D( ... b ... b ... )

= D( ... a ... b ... ) + D( ... b ... a ... ).

Als Folgerung ergibt sieh dureh eventuell wiederholte Anwendung auf je be­naehbarte Argumente fUr Indizes s, t mit 1 :=:; s < t :=:; n die Formel

Regel 2. Eine alternierende n-fache Linearform D auf Rn iindert ihren Wert nicht, wenn man zu einem ihrer Argumente as eine Linearkombination der

Die Determinante aber kommutativen Ringen 333

iibrigen Argumente addiert:

Denn in der Entwicklung

D( . .. as-l, as + 2:i#S aiAi, asH, ... ) =

D(a1"" an) + 2:i#S D( ... , as-1, ai, as+l," .)Ai

verschwindet jeder der n - 1 letzten Summanden.

Satz 1. Zu jeder natiirlichen Zahl n gibt es auf Rn genau eine n-fache al­ternierende Linearform dn mit der Eigenschaft dn(e1, .. " en) = 1.

Beweis. 1) Eindeutigkeit: Angenommen, auf Rn seien D und dn zwei alter­nierende n-fache Linearformen, fUr die iiberdies dn(e1, .. " en) = 1 ist. Dann gilt mit A := D(e1," ., en) die Formel D = A dn. Zur Begriindung beachten wir, daB auch D- Adn eine alternierende n-fache Linearform auf Rn ist. Nach Definition von A gilt (D - Adn)(e1,"" en) = O. Daraus folgt fiir natiirIiche Zahlen i1, ... , in in den Grenzen 1 S ik S n (lSkSn)

Denn entweder existieren unter den Zahlen ik zwei gleiche; oder die Folge i1, ... , in ist durch geeignete, eventuell wiederholte Vertauschungen aus der Folge I, ... , n entstanden, woraus dann nach Regel 1 folgt

D(eit>·.·, ein)

dn(eil"'" ein) c; D(e1"'" en) und c; dn(e1, ... , en)

mit demselben Faktor c; = ±1, welcher nur von der Zahl der Vertauschungen abhangt, die i1, ... , in in die Reihenfolge 1, ... , n bringen. 1st nun

n

ak = L eik Cl:ik,k ik=l

(lSkSn),

dann ergibt die Linearitat von D und dn beziiglich aller Argumente

n

(D-Adn)(a1, ... ,an) = LCl:il,1(D-Adn)(eit> a2, ... ,an)

n

= L Cl:i l ,l ... Cl:in,n (D - Adn)(eit> ei2"" ein) O. il, ... ,in =l

334 Anhang: Determinanten

2) Die Existenz von dn wird durch vollstandige Induktion nach n be­wiesen. 1m Fall n = 1 ist dl := idR einerseits linear und durch dl (l) = 1 normiert, andererseits ist diese Linearform trivialerweise alternierend, da sie nur ein Argument besitzt. FUr den Induktionsschritt nutzen wir eine Freiheit, die uns die Eindeutigkeit beschert, urn eine Reihe von wichtigen Gleichungen mitzubeweisen. Sie werden in einem Zusatz festgehalten.

Sei also n > 1 und bezeichne dn- l die nach 1) eindeutige alternierende (n-1 )-fache Linearform auf Rn- l mit dn- l (e~, ... , e~_l) = 1 auf der kanoni­schen Basis von Rn-l. Wir fixieren einen willkUrlichen Index i mit 1 < i < n und betrachten die Abbildung a '"'"""* a(i) von Rn auf Rn-\ die durch St-;-ei­chung der i-ten Komponente (Yi von a = ((Yjh:$j:$n entsteht. Offensichtlich ist sie R-linear. Nun werden wir zeigen, daB durch

n

d ( ) ._" (l)i+k d (i) (i) (i) (i)) n al,···,an .- ~ (Yik - n-l al , ... ,ak_l,ak+I,···,an k=l

eine alternierende n-fache Linearform auf Rn definiert ist mit der Eigenschaft dn(el,"" en) = 1. Darin wurde ak = ((Yjkh:$j:$n gesetzt. Jeder Summand

( ) ( l) i+k d (i) (i) (i) (i)) aI, ... , an '"'"""* (Yik - n-l al , ... , ak- I, ak+l> ... , an

ist R-Iinear in jedem der n Argumente aj: FUr j = k geht nur die i-te Kom­ponente von ak als Faktor ein, fUr j =I kist der letzte Faktor als Funktion von aj linear, wahrend der Vorfaktor davon unabhangig ist. Folglich ist die Summe dn dieser Abbildungen eine n-fache Linearform auf ~. Uberdies gilt

d ( ) = (l)i+id (i) (i) (i) (i)) n eb···,en - n-l e l , ... ,ei_l>ei+I,···,en

Urn zu zeigen, daB dn alternierend ist, betrachten wir den Fall as = at fUr zwei Indizes s < t. Dann ist auch a~i) = a~i) sowie (Yis = (Yit. Da dn- l nach Induktionsvoraussetzung alternierend ist, bleiben von der dn definierenden Summe nur die beiden Summanden fUr k = s und k = t Ubrig:

dn(al, ... ,an) = (YiS(-l)i+Sdn_l ( ... a~~l' a~~l"')

( ) iH d ( (i) (i) ) + (Yit -1 n-I'" at_I' aHI '" .

Die der Regel 1 folgende Formel (*) zeigt, daB der zweite Summand das Negativ des ersten Summanden ist. Somit gilt hier dn(al, ... , an) = O. 0

Zusatz. (Entwicklungsformel bezUglich der Zeilen.) Wenn die Zeilenanzahl n > 1 ist, gilt fur jeden Index i mit 1 :::; i :::; n die Gleichung

n ( ) ~ (l)i+k d (i) (i) (i) (i)) dn al,.··,an = ~ (Yik - n-l al,···,ak_l>ak+l>···,an

k=1

Die Determinante iiber kommutativen Ringen

Die Beispiele n = 2 und n = 3:

a12 al3) a22 a23 = a32 a33

all (a22 a33 - a23 (32)

-al2 (a21 a33 - a23 (31)

+a13 (a21 a32 - a22 (31)

all a22 a33 + a12 a23 a31 + al3 a2l a32

-all a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31 .

335

Definition. Die Determinante einer quadratischen Matrix A E Mn(R) mit den Spalten a1 = Ae1,"" an = Aen wird definiert mit Hilfe der n-fachen alternierenden Linearform dn des Rn in Satz 1 durch det A := dn(a1,"" an). Sie ist damit als Funktion der n Spalten eine n-fache alternierende Linearform mit der Normierung det In = 1.

Satz 2. Fur alle Matrizen A, BE Mn(R) gilt die Produktformel

det(AB) = det A· det B .

1st ferner A invertierbar, so ist auch det A invertierbar, also det A E RX.

Beweis. 1) Eine weitere alternierende n-fache Linearform auf Rn ist durch die Formel D(X1"'" Xn) = dn(Ax1,"" AXn) gegeben. Nach dem Beweis von Satz 1 gilt wegen D(e1"'" en) = dn(Ae1,"" Aen) = det A die Formel D = D(e1, ... ,en)dn = detAdn. Dajeweils Abk (l=Sk=Sn) die k-te Spalte der Matrix AB ist, folgt

det(AB) dn(Ab1, ... , Abn)

detA·dn(b1, ... ,bn) = detA·detB.

2) 1st die Matrix A in Mn(R) invertierbar und bezeichnet A-1 ihre In­verse, so gilt AA-1 = In und zufolge 1) auch det A . det A-1 = 1. Daher ist det A E RX und besitzt die Inverse det(A- 1). 0

Von zentraler Bedeutung im Determinantenkalkiil ist die Tatsache, daB auch umgekehrt aus der Invertierbarkeit von det A in R die Invertierbarkeit von A in Mn(R) folgt. Das wird sich aus dem iibernachsten Satz ergeben.

Satz 3. Fur die zur Matrix A = (aik) E Mn(R) transponierte Matrix At mit dem Eintrag aki in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte gilt die Formel

det At = det A .

336 Anhang: Determinanten

Beweis. Es genugt, den Fall n > 1 zu behandeln. Die Spalten der Matrix A t sind zugleich die Zeilen der Matrix A. Da die Einsmatrix In unter der Transposition invariant ist, bleibt nur zu zeigen, daB det A eine alternierende n-fache Linearform der Zeilen von A ist. Die Linearitat von det A als Funk­tion der i-ten Zeile (aikh:S;k:S;n von A ist nun direkt aus der entsprechenden Entwicklungsformel im Zusatz zu Satz 1 abzulesen, da der Faktor

( 1)i+k d (i) (i) (i) (i)) - n-l a 1 , ... , ak_l> ak+l"'" an

bei aik von der i-ten Zeile, die ja gestrichen wurde, nicht abhangt. Urn zu zeigen, daB det A = 0 ist, wenn zwei Zeilen in A ubereinstimmen, gehen wir induktiv vor. 1m Fall n = 2 ist dies direkt aus der Formel fUr den Wert von d2 abzulesen. 1st n > 2 und ist bereits bekannt, daB die Determinante auf Mn - 1 (R) als Funktion der Zeilen alternierend ist, wahlen wir zu zwei gleichen Zeilen mit den Indizes s < t von A einen weiteren von s und t verschiedenen Index i und erkennen wieder aus der Entwicklungsformel zur i-ten Zeile die Behauptung det A = O. Damit ist gezeigt, daB A f-t det At eine alternierende n-fache Linearform der Spalten von A mit dem Wert 1 bei A = In ist, also gilt det At = det A nach Satz 1. 0

Satz 4. (Die CRAMERsche Regel) Die Zeilenzahl n sei grafter als 1. Zu jeder Matrix A E Mn(R) bezeiehne A(i,k) die Matrix in Mn-1(R), welehe aus A

dureh Weglassen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entsteht. Ferner sei

a;k = (-1 )i+k det A (k,i) .

Dann gelten mit dem K roneekersymbol bik die Formeln

n

L aij ajk = bik' det A = L a;j ajk (1:S i, k :S n). j=l

Die Matrix adj(A) = (aik)' die Adjunkte von A, hat mithin die Eigensehajt

A·adj(A) = adj(A)·A = detA·ln ·

Beweis. 1m Fall k = i besagt die erste Formel dasselbe wie die Entwicklungs­formel von det A nach der i-ten Zeile. 1m Fall k i= i laBt sich diese Formel anwenden auf die Matrix Ai, die aus A entsteht, in dem man die k-te Zeile von A durch die i-te Zeile ersetzt. Dann ist naturlich det Ai = 0 = r5ik det A. Andererseits entsteht durch Streichung der k-ten Zeile und der j-ten Spalte in Ai nichts anderes als A (k,j). Also liefert die Entwicklung von det Ai nach der i-ten Zeile die erste Formel auch im Fall i i= k.

Fur die Transponierte von A ist offen bar stets

(l:Sj,k:Sn);

Aufgaben 337

insbesondere haben beide Matrizen dieselbe Determinante. Nach Satz 3 gilt somit

Wir berucksichtigen nun das Verhalten des Matrizenproduktes unter Trans­position, namlich (AB)t = BtAt fur aIle A, BE Mn{R). Aus Satz 3 und der bewiesenen Formel fur At anstelle von A haben wir

Diese Gleichung unterwerfen wir der Transposition und verwenden dabei (*):

det A . In = adj{A)· A. o

Zusatz. Hat die Matrix A E Mn{R) eine invertierbare Determinante in R, so ist A in Mn{R) invertierbar und ihre Inverse ist gegeben durch die Formel

A-1 = adj{A)· (detA)-l.

Das ist aus Satz 4 abzulesen.

Aufgabe 1. Es sei Rein kommutativer Ring mit lR '" OR, und n sei eine natiirli­che Zahl. Mit GLn(R) bezeichnet man die Menge aller invertierbaren Matrizen A E Mn(R). Nach Satz 4 und dessen Zusatz ist A E GLn(R) genau dann, wenn det A E RX ist. Man begriinde, dafi GLn(R) unter der Multiplikation von Matri­zen in jedem Fall eine Gruppe ist. Ferner zeige man, dafi die Menge SLn(R) der A E GLn(R) mit detA = lR ein Normalteiler (die spezielle lineare Gruppe) von GLn(R) ist.

Literatur

[Ar1] Artin, E.: Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Gordon and Breach, New York 1967

[Ar2] Artin, E.: Galoissche Theorie, Harri Deutsch, Zurich 1965

[Ar'] Artin, M.: Algebra, Birkhauser, Basel et al. 1991

[BS] Borewicz, S. I., Safarevic, I.R.: Zahlentheorie, Birkhauser, Basel et al. 1966

[Bo] Bosch, S.: Algebra, Springer, Berlin et al. 1993

[Br] Brudern, J.: Einfiihrung in die analytische Zahlentheorie, Springer, Berlin et al. 1995

[Bu] Bundschuh, P.: Einfiihrung in die Zahlentheorie, 2. Auflage, Springer, Berlin et al. 1992

[CF] Cassels, J. W. S., Frohlich, A.: Algebraic Number Theory, Acadenic Press, London et al. 1967

[Ch] Cohen, H.: A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer, Berlin et al. 1993

[Cp] Cohn, P. M.: Algebra, 2 vols., Wiley & Sons, London et al. 1974, 1977

[Da] Davenport, H.: Multiplicative Number Theory, 2nd ed., revised by H.L. Montgomery, Springer, New York et al. 1980

[D] Dedekind, R.: Vorlesungen uber Zahlentheorie von P. G. Lejeune Di­richlet mit Zusatzen versehen, 4. Aufl. Vieweg, Braunschweig 1894

[Eb] Ebbinghaus, H.-D. et al.: Zahlen, 2. Aufl., Springer, Berlin et al. 1988

[Fr] Frey, G.: Elementare Zahlentheorie, Vieweg, Braunschweig et al. 1984

[FT] Frohlich, A., Taylor, M. J.: Algebraic Number Theory, Cambridge University Press 1991

[G] Gauss, C. F.: Disquisitiones arithmeticae, ins Deutsche ubersetzt von H. Maser, Springer, Berlin 1889

[Gu] Gundlach, K.-B.: Einfiihrung in die Zahlentheorie, Bibliographisches Institut, Mannheim et al. 1972

[HW] Hardy, G. H., Wright, E. M.: An Introduction to the Theory of Num­bers, fourth ed., Clarendon Press, Oxford 1962

340 LiteratuT

[Ha] Hasse, H.: Vorlesungen tiber Zahlentheorie, Springer, Berlin et al. 1964

[He] Heeke, E.: Theorie der algebraischen Zahlen, Akademische Verlags­gesellschaft, Leipzig 1923

[H] Hilbert, D.: Die Theorie der algebraischen Zahlkorper. Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung, Bd. 4, 175-546 (1897)

[Hu] Hurwitz, A.: Mathematische Werke, 2 Bd., Birkhauser Verlag, Basel et al. 1963

[IR] Ireland, K., Rosen, M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, New York et al. 1982

[Kh] Khintchine, A.: Kettenbrtiche, Teubner, Leipzig 1956

[Kn] Knuth, D. E.: The Art of Computer Programming, vol.2: Seminume­rical Algorithms, 2nd ed., Addison-Wesley Reading (Mass.) 1981

[Ko] Koch, H.: Einftihrung in die klassische Mathematik, Springer, Berlin et al. 1986

[KP] Koch, H., Pieper, H.: Zahlentheorie, VEB Deutscher Verlag der Wis­senschaften, Berlin 1976

[L] Landau, E.: Grundlagen der Analysis, Akademische Verlagsgesell­schaft, Leipzig 1930

[La1] Lang, S.: Algebra, Addison-Wesley, Amsterdam et al. 1965

[La2] Lang, S.: Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, Reading (Mass.) et al. 1970

[Le] Lenstra, H. W. jr.: Euclidean Number Fields of Large Degree. Invent. Math. 38, 237-254, (1977)

[Lo1] Lorenz, F.: Einftihrung in die Algebra I, II, B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim et al. 1987, 1990

[L02] Lorenz, F.: Algebraische Zahlentheorie, B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim et al. 1993

[Mi] Mignotte, M.: Mathematics for Computer Algebra, Springer, New York et al. 1992

[Na] Narkiewicz, W.: Elementary and Analytic Theory of Algebraic Num­bers, Polish Scientific Publishers, Warszawa 1974

[Ne] Neukirch, J.: Algebraische Zahlentheorie, Springer, Berlin et al. 1992

Literatur 341

[NZ] Niven, 1., Zuckerman, H. S.: Einfiihrung in die Zahlentheorie I,ll, Bi­bliographisches Institut, Mannheim et al. 1976

[Pel Perron, 0.: Die Lehre von den Kettenbriichen I,ll, Nachdruck der dritten Auflage, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1977

[PZ] Pohst, M., Zassenhaus, H.: Algorithmic Algebraic Number Theory, Cambridge University Press 1989

[Re] Reichardt, H.: Nachrufe auf Berliner Mathematiker des 19. Jahrhun­derts. C. G. J. Jacobi, P. G. L. Dirichlet, E. E. Kummer, L. Kronecker, K. WeierstraB, BSB B. G. Teubner, Leipzig 1988

[Ri] Riesel, H.: Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed., Birkhauser, Boston et al. 1994

[Ro] Rose, H. E.: A Course in Number Theory, 2nd ed., Clarendon Press, Oxford 1994

[SO] Scharlau, W., Opolka, H.: Von Fermat bis Minkowski, Eine Vorlesung iiber Zahlentheorie und ihre Entwicklung, Springer, Berlin et al. 1980

[Se1] Serre, J.-P.: Corps Locaux, Hermann, Paris 1962

[Se2] Serre, J.-P.: A Course in Arithmetic, Springer, New York et al. 1973

lSi] Sierpinski, W.: Elementary Theory of Numbers, 2. ed. North Holland, Amsterdam et al. 1988

[vW] van der Waerden, B. L.: Algebra I,ll, 5. Auflage, Springer, Berlin et al. 1966, 1967

[Wa] Washington, L. C.: Introduction to Cyclotomic Fields, Springer, New York et al. 1982

[W] Weber, H.: Lehrbuch der Algebra, 3 Bde. 2. Aufl. Vieweg, Braun­schweig 1898, 1899, 1908

[WeI] Weil, A.: Basic Number Theory, Springer, Berlin et al. 1967

[We 2] Weil, A.: Number Theory; an approach through history, From Ham­murapi to Legendre, Birkhauser, Boston 1984

[Za] Zagier, D. B.: Zetafunktionen und quadratische Korper, Springer, Ber­lin et al. 1984

Index Zuweilen wurden Begriffe erwahnt, bevor sie eingefUhrt oder ausfUhrlich behandelt werden. In diesen Fallen sind die Hauptverweise hervorgeho ben.

Abel, N. H. 195 abelsche Gruppen 6,49-56, 145-150

direkte Summe, dir. Produkt 49 elementar-abelsche p-G. 52, 132 freie a. G. 147,149,178,260 Primarkomponenten 53, 141,

145, 193 Torsionsunterg. 145

abelsche Korper( -erweiterungen) 217, 245, 253, 255

Abelsche partielle Summation 283, 297

Abelscher Grenzwertsatz 297 Ableitung 199 Absolutbetrage auf IQ 126

gewohnlicher A. 117 p-adische A. 117, 119

Absolutnorm 110, 177, 182 Adjunktion

eines Elementes 87 von Nullstellen 166, 184,

195-197 aquivalente

(Vektorraum-) Normen 308 Betrage, Bewertungen 127, 308 Gitter 90, 98, 161 Irrationalzahlen 100

Aktion der Galoisgruppe auf den ganzen Zahlen 211, 220, 222 Polynomen 205 Wurzeln 211-212

Aktionen einer Gruppe 152 algebraisch abgeschlossen 31 algebraische Zahlkorper 87, 159-176

(Definition) 159

Algorithmus Determinanten-A. 157 Diskriminanten-A. 242 euklidischer A. 16, 23, 106-110 fUr das Jacobisymbol 66 fUr schnelle Multiplikation 55

alternierende Gruppen 151, 158, 212 als Galoisgr. 225

angeordnete Korper 327 Annihilator 49 Anordnung der ganzen Zahlen 11 Approximation

reeller durch rationale Zahlen 82, 84

reeller Zahlen durch Kettenbriiche 78-80

von Korperelementen durch Gitterzahlen 164

Approximationssatze 126, 327 archimedische Bewertungen 305,

310 Artin, E. 195 Artin-Schreier-Erweiterungen 210,

226 assoziierte Ringelemente 102 asymptotische Gitterpunktzahlen

294 Ausnahme-Einheiten 259, 275 Ausnahmefolgen 272, 274 Automorphismen 6

Bahnen unter Gruppenaktionen 102, 152

Bahnlangenformel 153 Basis

duale B. 160 einer freien abelschen Gruppe

147 einer K6rpererweiterung 88, 89,

160,162-164, 173-174 einesGitters 166,167,176 reduzierte B. 97

beste Naherung 82

344

Betrage 117, 127, 305, 306 A.quivalenz 127 trivialer B. 127

Bewertungen 127, 305, 306 A.quivalenz 308 arehimedisehe B. 305, 310 Fortsetzung 315-316 p-adisehe 318 triviale B. 308, 319 ultrametrisehe B. 305, 310

Bewertungsideal 310, 319 Bewertungsringe 305, 310, 328 Bilinearformen

Hilbertsymbol 137 Spurform 107, 160, 163, 214

binomisehe Reihe 130 biquadratisehe Zahlkorper 159,

173-175, 210 Briiehe 21, 115, 122, 208

Carmiehaelzahlen 48 eartesisehes Produkt 43, 117 Cauehy-Folgen 117, 306 Cauehy-Produkt 130 Cayley, A.

Satz von C.-Hamilton 35, 88, 160

Charaktere 60, 116, 279, 281 Orthogonalitatsrelationen 280

Charaktergruppe 279 Charakteristik 44, 207, 210, 212,

218, 219, 226, 310, 319, 320 eharakteristisehes Polynom 87, 91,

131, 160, 162, 197, 214, 299 Chinesiseher Restsatz 37, 41, 48, 49,

53,71 allgemeine Form 177, 180, 186,

319 CM-Ki:irper 277 Cramersehe Regel 336

Darstellung 87, 94, 131, 160, 166, 197, 214

Davenport, H. 262, 301

Index

Dedekind, R. 87, 159, 195, 253 Lemma von D. 200, 218

Dedekindsehe Differentensatze 228-236 Ordnungen 161-163

(Definition) 91, 161 Zetafunktion 279, 289-296

(Definition) 289 Dedekindseher Diskriminantensatz

227, 235, 254, 266 Derivationen 199 Determinanten 87, 238, 271, 293,

331-337 Deuring, M. 253 Dezimalbriiehe 69 dieht 120, 306 Differente

einer Erweiterung 228 eines Zahlki:irpers 228 Zahldifferente 232

Differentensatze 228-236 direktes Produkt von

abelsehen Gruppen 49 Gruppen 144 Ringen 43, 180

Dirichlet, P. G. L. 159, 259, 268, 279, 301

Diriehletreihen 279, 282-284 Diriehletsehe L-Reihen 279, 284,

288, 301-304 Diriehletseher

Einheitensatz 259, 269 Primzahlsatz 139, 258, 279, 289

diskrete Punktmengen 259 Topologie 77 U ntergruppen 259

Diskriminante Algorithmus 242 einer Basis 163, 215 einer Erweiterung 228 eines Gitters 164 eines Polynoms 209, 212, 215,

242 eines Zahlki:irpers 107, 164, 228 Primdiskriminanten 193

Index

Diskriminantensatz von Dedekind 227, 235, 254, 266 Minkowski 254, 256, 266

Diskriminantenschranke 265 kleine Diskriminanten 274

Division mit Rest 13, 77 fUr Polynome 30, 105, 240

Divisionsalgebren 140 Divisionsalgorithmus 16, 23, 75, 77 Dreiecksungleichung 127, 306, 310 duale

Basis 160 Gruppe 279

duales Gitter 160, 227

Einbettungen der Idealgruppe 188 von Zahlkorpern in C 263, 318

reelle, imaginare 263 einfache

Korpererweiterungen 213 Nullstellen 199

Einheiten 43, 93, 96, 185 Ausnahme-E. 259, 275

Einheitengruppe 6, 53, 97, 100, 101, 120, 123, 259, 268-271

Einheitensatz von Dirichlet 269 Einheitswurzeln 93, 217, 245, 269,

277, 296 in p-Korpern 125, 320-324 primitive E. 171, 193, 218, 245

Einsetzungshomomorphismus 32 Eisenstein, G.

E.-Polynome 170, 171, 176, 236, 246

Irreduzibilitatskriterium 170, 236, 246

Element maxi maier Ordnung 46 primitives E. 213, 230, 233, 271,

317 elementar-abelsche p-Gruppen 52,

132 Elementarmatrizen 73, 108 elementarsymmetrische Polynome

212, 244

Elementarteilerkette 49, 54 Eindeutigkeit 51

endliche Korper 45, 46, 179, 207, 219 Stellen 318

345

Endlichkeit der Klassenzahl 164-166 Entwicklungsformel fUr

Determinanten 334 Eratosthenes 25 Erganzungssatze zum quadr.

Reziprozitatsgesetz 60, 138 Erzeugnis 7 Euklid 18

Satz von E. 25 euklidische Zahlkorper 106, 272, 278 euklidischer Algorithmus 16, 23,

106-110 Euler, L. 45, 57, 69, 277

Satz von E. 71 Eulerprodukt 282, 288, 302 Eulersche <p-Funktion 39 Eulersches Kriterium 58, 66, 68, 84

lFp - Vektorraume 52, 53, 137 Faktorgruppen 7 faktorielle Ringe 103-106, 168-172 Faktorring 102, 179, 221 Faltung 302 Farey-Reihe 83, 108 Fermat, P. de

kleiner Satz von F. 45, 183 Fermatgleichung 68, 245, 250, 251,

301 Fermatsche Vermutung 245,249 Fibonaccizahlen 23, 74 Fixgruppe 153 Fixkorper 202-203 fixpunktfrei 152 formale Ableitung 199 Fortsetzung von

Bewertungen 315-316 Charakteren 281 Korper-Isomorphismen 198, 201

Fourieranalyse 305, 319 freie abelsche Gruppen 147, 149,

178,260

346

freies System 147, 178 Filmer einer Ordnung 92, 231, 236 Fundamentalmaschen 260, 294 Fundamentalsatz

der Algebra 31 der Arithmetik

in Polynomringen 31 in Z 18, 282 in Zahlkorpern 178

Funktionenkorper 208, 226

Galois, E. 99, 195 Galoiserweiterungen 94, 159,

173-175, 195, 203, 220, 325 abelsche G. 217 Artin-Schreier-Erw. 210, 226 Fixkorper 202-203 Kriterien fUr G. 203-207 Kummer-Erw. 219 von p-Korpern 324-326 Zwischenkorper 203, 204, 213

Galoisgruppe 94, 195, 203 einer p-Korpererw. 325-326 von Kreisteilungskorpern 247

galoissch 203 ganze

algebraische Zahlen 87, 91, 162 Ideale 178 p-adische Zahlen 117-121,

123-125 Zahlen 11, 91, 163

Ganzheitsringe 91-94, 161-163 (Definition) 92, 163

GauB, C. F. 26, 37, 57, 87, 168, 195, 245

GauBsche Sum men 171, 254, 297 GauBscher Satz 115, 159, 169, 245 GauBsches Lemma 64 gebrochene Ideale 178 ggT 14, 33, 105, 180 Gitter

Aquivalenz 90, 98, 161 duales G. 160, 227 in lR-Vektorraumen 260 in Zahlkorpern 89-91, 159-162

(Definition) 89, 160

Gittermultiplikation 90, 161 Gitterpunktsatz 261, 272 Gitterpunktzahlen 294 Grad

Index

einer Korpererweiterung 87, 159 eines Polynoms 30

Gradformel filr Korpererweiterungen 196 Polynomprodukte 30

groBter gemeinsamer Teiler 14 von Idealen 105, 180 von Polynomen 33

Grundeinheiten 97, 100, 193, 271, 300

Gruppe allgemeine lineare G. 6 der Einheiten 6, 97, 100, 101,

120, 123, 259, 268-271 der engeren Idealklassen 191 der gebrochenen Ideale

177-180, 187 (Definition) 178 der Idealklassen 178, 265 der primen Restklassen 53, 65,

281 Galoisg. 94, 195, 203, 247,

325-326 spezielle lineare G. 48, 56, 337 Tragheitsg. 222, 253-256 Verzweigungsg. 222, 234, 256,

326 Wertegruppe 319 Zerlegungsg. 222

Gruppen 141-158 (Definition) 142 abelsche G. 6, 49-56, 145-150 alternierende G. 151, 158, 212,

225 direktes Produkt 144 elementar-abelsche p-G. 52, 132 freie abelsche G. 147, 149, 178,

260 Homomorphiesatz 144 Kleinsche Viererg. 158 Kommutatorg. 56 symmetrische G. 141, 150, 212

Index

zyklische G. 46, 49, 57 Gruppenaktionen (-operationen)

152 Bahnen von G. 102, 152 Bahnlangenformel 153 der Einheitengruppe 102 der Galoisgruppe 205, 211-226 Fixgruppe, Stabilisator 153

Halbgruppe des euklidischen Algorithmus 69, 75, 96

Halbgruppen 141 Halbsystem 58 Hamilton, W. R.

Satz von Cayley-H. 35, 88, 160 Hasse-Diagramm 158 Hauptcharakter 279 Hauptideale 101, 104, 105, 258 Hauptidealringe 105, 109, 121, 178 Hauptkongruenzuntergruppe 48 Hauptordnungen 92, 163 Hauptpolynom 87, 91, 131, 160,

162, 197, 214, 299 Hauptsatz

der Galoistheorie 195, 204 tiber endl. abelsche Gruppen

50, 141 Hauptwert 285 Hensel, K. 123 Henselsches Lemma 123, 305, 313,

316 Hermite, Ch. 259

Satz von H. 267 Hilbert, D. 131, 253 Hilberts "Satz 90" 192, 218, 225 Hilbertsche Untergruppenkette 211

222-224, 234, 253, 324 ' Hilbertscher Basissatz 115 Hilbertsymbol 131, 133 Homomorphiesatz fUr

Gruppen 144 Ringe 102, 179, 184, 221

Homomorphismen 6 Hurwitz, A. 78, 164 Hurwitzsche Konstante 80

Ideale 101 Bewertungsideal 310, 319 Durchschnitt 101, 181 ganze I. 178 gebrochene I. 178

347

Hauptideale 101, 104, 105, 258 konjugierte I. 221 maximale I. 103, 179 Norm 110, 182 Primideale 102, 178 Produkt 101, 181 Summe 101 Teiler 101, 179

Idealklassengruppe 178, 265 im engeren Sinne 191 Primarkomponenten 193

Idempotent 48, 143 imaginare

Einbettungen 263, 318 Stellen 318

imaginiirquadratisch 93, 109 Index einer Untergruppe 45, 149,

153, 182 Induktionsaxiom 11 Inhalt eines Polynoms 168 inseparable Polynome 200 Integritatsbereiche 101-103,179

(Definition) 102 Intervallschachtelung 75 inverse Elemente 142 invertierbar 142 Invertierbarkeitskriterium 39, 93 irrational 22, 75, 88 Irreduzibilitatskriterium (von

Eisenstein) 170, 236 246 irreduzible '

Elemente 102 Polynome 30

Isometrie 308, 324

Jacobi, C. G. J. 57 Jacobisymbol 58-64

(Definition) 60 Algorithmus 66

348

K-Algebren 6 K-Automorphismen 201, 202 Kern eines Homomorphismus 6 Kettenbruchapproximationen 69-83,

85, 96-99 (Definition) 77 Rekursionsformel 76

Kettenbruchentwicklung 75-77, 95 Kettenbriiche 69-86, 95-100

K fUr 7r 80 periodische K 69, 81-82, 97, 99

kgV 17,213 Klassengleichung 154 Klassengruppe der Ideale 178, 265

im engeren Sinne 191 Klassenkorpertheorie 131, 245 Klassenzahl 159, 165, 178, 272

analytische K-Formel 178, 296 Endlichkeit 164-166 von quadratischen Zahlkorpern

266, 296-301 explizite Formeln 300, 301

kleine Diskriminanten 274 kleiner Differentensatz 229 Kleinsche Vierergruppe 158 kleinstes gemeinsames Vielfaches 17

von Minimalpolynomen 213 Korper

algebraisch abgeschlossene K 31

algebraische Zahlk. 87, 159-176 (Definition) 159

angeordnete K 327 endliche K 45, 46, 179, 207, 219 Funktionenk. 208, 226 Kreisteilungsk. 176, 211,

245-258, 278, 279, 290, 304 lokale K 117 p-adische K 117, 122-123,

131-140 p-Korper 305, 319-326

(Definition) 319 Quotientenk. 115, 122, 168, 208,

226 Restklassenk. 183, 305, 319, 320

Index

Tragheitsk. 224, 234, 254-256, 325

Verzweigungsk. 224, 234 Zerlegungsk. 224, 234

Korpererweiterungen 187-190 abelsche K. 217, 245 einfache K 213 galoissche K 94, 159, 173-175,

195, 203, 220, 324-326 Kummer-Erw. 219 von p-Korpern 131-133,

321-326 Zwischenkorper 203, 213

Kommutatorgruppe 56 kompakter metrischer Raum 130 Komplettierung 117, 306-309,

316-319 Komplexprodukt 142 Kompositum von

Untergruppen 204 Zwischenkorpern 204, 207, 217,

278 Konjugationsklassen 154 konjugierte

Gruppenelemente 154 Ideale 221 Korperelemente 95, 214 Untergruppen 154

Kontraktionslemma 124 Konvergente 77 Konvergenz von Produkten 286 koprim 40, 180 Korrekturfaktor 58 Krasners Lemma 328 Kreiskorper 253 Kreisteilungskorper 176, 211,

245-258, 278, 279, 290, 304 Kreisteilungspolynome 171, 218,

245, 278 Kriterien

fUr Galoiserweiterungen 203-207

fUr Invertierbarkeit 39, 93 fUr Irreduzibilitat (Eisenstein)

170, 236, 246 von Euler 58, 66, 68, 84

Index

Kronecker, L. 57, 58, 245, 249, 253, 269

Lemma von K. 62 Satz von K. 195 Satz von K.-Weber 141, 245,

253, 255, 266 kubische

Resolvente 225, 244 Zahlkorper 176, 185, 194, 209,

225 Kummer, E. E. 245, 250 Kummer-Erweiterungen 219 Kummersches Lemma 249,277

L-Reihen 279, 284, 288, 301-304 Lagrange, J. L. 69, 78, 81, 97, 195,

259 Interpolationsformel 230 Satz von L. 45, 153 Vierquadratesatz 262, 277

Legendre, A. M. 57, 69, 78 Legendresymbol 58, 171, 185, 297 Leitkoeffizient 30, 239 Lemmata von

Dedekind 200, 218 Gaufi 64 Hensel 123, 305, 313, 316 Krasner 328 Kronecker 62 Kummer 249, 277 Zorn 328

Lenstra, H. W. 259, 272 Lenstrakonstante 272 linear unabhiingige

Homomorphismen 200 Lipschitz-parametrisierbar 294 Logarithmus auf ex 285 lokale Korper 117, 305 Lucas, E. 114

Test fUr Mersennezahlen 113

maximale Ideale 103, 179 maximale unverzweigte Erweiterung

324 Maximalordnungen 92, 163

349

Mersennesche Zahlen 22, 113 Minimalpolynom eines

Endomorphismus 34 Korperelementes 88, 160, 197,

220 Minkowski, H. 253, 259, 317

Diskriminantensatz 254, 256, 266

Diskriminantenschranke 265 Gitterpunktsatz 261, 272

Modul eines p-Korpers 319 Moduln tiber einem Ring 238 Mobiusfunktion 20 Mobiussche Umkehrformel 20, 226 M6biustransformationen 69, 73 monogene

Gruppen 46, 4~ 57 Ideale 105 Ordnungen 194, 230-231

Monoide 102, 142 Morphismen 6 Multilinearformen 332 multiplikativ 24, 302 M ultiplikativitiit

der Norm 88 des Betrages 119, 122, 127, 306 des Restklassengrades 189, 322 des Verzweigungsindex 189, 322

Niiherungsbruch 77, 82 Niiherungsnenner 77, 83 natiirliche Zahlen 11 Nebenklassen 143, 153 Newton, I. 244 Norm

einer algebraischen Zahl 87, 160 einer Erweiterung 131, 214 eines Ideals 110, 182 eines Ki:irperelementes 162

Normalisator 154 Normalteiler 143, 204 Normen auf Vektorriiumen 308

Aquivalenz 308 Normen-Index-Gleichung 134 Normenrestsymbol 131, 133 normeuklidisch 106, 272, 278

350

normierte Polynome 30, 160, 162, 193, 239

Nullstellen von Polynomen 25, 32-34, 86, 162, 166, 184, 195, 199, 212

Nullteiler 5

Operation der Einheitengruppe 102 Galoisgruppe 205, 211-226

Operationen von Gruppen auf Mengen 152

Ordnung einer Gruppe 45, 153 eines Elementes 43, 145

Ordnungen Fiihrer 92, 231, 236 Haupt-, Maximalordn. 92, 163 monogene O. 194, 230-231 von Gittern 161

(Definition) 91 Orthogonalitatsrelationen 280 Ostrowski, A. 117

Satze von O. 128, 305, 311

p-adische Korper 117,122-123, 131-140 Zahlen 117-130

p-adische Bewertungen 318 p-adischer Absolutbetrag 117, 119 ~Exponent 22, 118 p-Exponent 180, 318 p-Korper 305, 319-326

(Definition) 319 Erweiterungen 131-133,

321-326 galoissche E. 324-326

paarweise koprim 40, 41, 180, 181 Partialnenner 77 partielle Summation 283, 297 Partitionen 143, 152 Pellsche Gleichung 100 periodische Kettenbriiche 69, 81-82,

97, 99

Index

Polynome 29-35 Diskriminante 209, 212, 215,

242 Eisenstein-P. 170, 171, 176, 236,

246 elementarsymm. P. 212, 244 Grad 30 Inhalt 168 irreduzible P. 30 Kreisteilungs-P. 171, 218, 245,

278 Leitkoeflizient 30, 239 normierte P. 30, 160, 162, 193,

239 Nullstellen 25, 32-34, 86, 162,

166, 184, 195, 212 einfache N. 199

primitive P. 168 Resultante 237-243 separable, inseparable P. 200

Polynomringe 29-35, 105 iiber Ringen 239

Potenzen 43, 137 Potenzmenge 142 Primiirkomponenten 53, 141, 145,

193 Primdiskriminanten 193, 297 prime Restklassengruppe 53, 65, 281 Primelemente 102

in p-Korpern 319 Primfaktorisierung

in faktoriellen Ringen 103 in Polynomringen 31, 184 in Z 18

Primideale 102, 178 primitive

Einheitswurzeln 171, 193, 218, 245

Elemente 213, 230, 233, 271, 317

Polynome 168 Primitivwurzeln 46, 53, 186 Primkorper 183, 219 Primpolynome 30 Primzahlen 18

Index

Primzahlsatz 26 von Dirichlet 139, 258, 279, 289

Primzerlegung in algebraischen Zahlkorpern

184-186 Galoiserweiterungen 221 Korpererweiterungen 188 Kreisteilungskorpern 251-253 quadratischen Zahlkorpern 111,

116, 185 Produktformel fUr

Betrage auf Q 126 Derivationen 199 die Absolutnorm 182 die Resultante 241 Korpergrade 196

projektive Abbildungen 69 Gerade 73, 85

projektiver Limes 118 pythagoraische Tripel 24

Qp 117,122,131-140 Quadrate 57, 65, 68, 71, 131, 140,

191, 259, 262, 277 quadratfrei 88, 92, 93, 99, 100, 185 quadratische

Erweiterungen 131-133, 173-176, 277

Resolvente 210 Reste, Nichtreste 58, 132, 135,

298 Zahlkorper 82,87-100, 173,

190, 254, 296-301 (Definition) 88

Quadratisches Reziprozitatsgesetz 63, 131, 138, 171, 282

Erganzungssatze 60, 138 quasi-euklidisch 109, 116 Quotientenkorper 115, 122, 168,

208, 226

Rang einer freien abelschen Gruppe

148 eines R-Moduls 239

reduzierte Basis 97 reelle

Einbettungen 263, 318 Stellen 318

reellquadratisch 82, 93, 109 regulare Darstellung 87, 94, 131,

160, 166, 197, 214 Regulator 271, 296 reinperiodisch 97, 99 relative

Automorphismen 201 Differente 228 Diskriminante 228 Erweiterungen 187-190

Relativnorm von Idealen 190 Resolvente

351

kubische R. 225, 244 quadratische R. 210

Restklassengrad 183, 189, 252, 322 Restklassenkorper 183, 305, 319, 320 Restklassenmultiplikation 38 Restklassenringe 38, 49, 53, 102,

110, 186 Resultante 237-243

(Definition) 238 Riemann, B.

R.-sche Zetafunktion 282 Ringe 5, 101-106

Bewertungsringe 305, 310, 328 faktorielle R. 103-106, 168-172 Ganzheitsringe 91-94, 161-163

(Definition) 92, 163 Hauptidealringe 105, 109, 121,

178 Homomorphiesatz 102, 179,

184,221 Integritatsbereiche 101-103, 179

(Definition) 102 Nullring 6, 102 Polynomringe 29-35, 105, 239 Restklassenringe 38, 49, 53,

102, 110, 186 RSA-Codierungssystem 48

352

Siitze von Cayley-Hamilton 35, 88, 160 Dedekind 227-236, 254, 266 Dirichlet

Einheitensatz 269 Primzahlsatz 139, 258, 279,

289 Euklid 25 Euler 71 Fermat (kleiner S.) 45, 183 GauE 115, 159, 169, 245 Hermite 267 Kronecker 195 Kronecker-Weber 141, 245, 253,

255, 266 Lagrange 45, 153

Vierquadratesatz 262, 277 Minkowski

Diskriminantensatz 254, 256, 266

Gitterpunktsatz 261, 272 Ostrowski 128,305,311 Rolle 36 Steinitz 213 Sturm 86 Sylow 141,155-156 Tschebyschew 26 Wilson 47, 68

Schachtelsatz fUr Norm und Spur 215

Schur, 1. 298 Separabilitiit 199 separable

Elemente 212 Erweiterungen 212, 230 Polynome 200

Serre, J. P. 139 Sieb des Eratosthenes 25 Signum von Permutationen 151, 212 simultane

Approximation 126, 327 Kongruenzen 37, 41, 180

spezielle lineare Gruppe 48, 56, 337 Spur 87, 107, 131, 160, 162, 214

als Summe von Automorphismen 202

Stabilisator 153 Steinitz, E.

Satz von S. 213 Stellen 128, 133, 317

endliche 318 unendliche 318

Index

reelle, imaginiire 318 Sturmsche Ketten 86 summatorische Funktion 20, 24 Summen von Quadraten 68, 71,

259, 262, 277 Supremumsnorm 308 Sylowsche Siitze 141, 155-156 Symbole

Hilbertsymbol 131, 133 Jacobisymbol 58-64

(Definition) 60 A 19orithmus 66

Legendresymbol 58, 171, 185, 297

symmetrische Gruppen 141, 150, 212

Teilbarkeit 12, 101-105 von Idealen 101, 179

teilerfremd 15, 40, 180 Teilerzahlfunktion 19, 24 Teilkorper 7 Teilnenner 77 torsionsfrei 145 Torsionsuntergruppe 145 total positiv 191 triige 113 Triigheitsgruppe 222, 253-256 Triigheitskorper 224, 234, 254-256,

325 Transformationsformel fUr

Gebietsintegrale 293 transitiv 152 Transitivitiit

der Ganzheit 220 von Differente und

Diskriminante 228 Transpositionen 151 transzendent 208 treu 152, 212

Index

triviale Bewertung, trivialer Betrag 127, 308, 319

Tschebyschew, P. L. Satz von Tsch. 26

ultrametrische Bewertungen 305, 310 Ungleichung 119, 305, 310

unbedingte Konvergenz 130 unendliche Produkte 285-287

Konvergenz 286 unendliche Stellen 318 Untergruppen 7, 143

Index 45, 149, 153 Kommutatorgruppe 56 Kompositum 204 Normalteiler 143, 204 p-Sylowgruppen 156 Torsionsunterg. 145 von Z 13

unverzweigt 189, 322, 324

Vp fUr Primelemente p 103 Primzahlen p 22, 118

vp fUr Primideale p 180 Vandermondesche Matrix 214 Verschiebungssatz 211, 216, 247 Vertretersysteme 37, 150, 152-155,

187, 216, 319, 320 Vervollstandigung 117, 306-309,

316-319 verzweigt 113, 189, 230 Verzweigungsgruppe 222, 234, 256,

326 Verzweigungsindex 184, 189, 229,

322 Verzweigungskorper 224, 234 Vielfache 43 Vierergruppe 158 Vierquadratesatz 262, 277 voll verzweigt 189, 236, 254, 322 voll zerlegt 189 vollstandiger metrischer Raum 120,

124, 305

Vorganger 75, 95

Weber, H. 253 Satz von Kronecker-W. 141,

245, 253, 255, 266 Weil, A. 305 Wertegruppe 319 Wielandt, H. 155 Wilson, J.

Satz von W. 47,68

353

Wurzeln von Polynomen 25, 32-34, 86, 162, 166, 184, 195, 199, 212

Z als Integritatsbereich 11 Z-Modulstruktur 43, 52 Zahldifferente 232 Zahlen

algebraische Z. 159 Carmichaelzahlen 48 Fibonaccizahlen 23, 74 ganze algebraische Z. 87, 91,

162 ganze rationale Z. 11, 91, 163 Mersennesche Z. 22, 113 natiirliche Z. 11 p-adische Z. 117-130 Primzahlen 18

zahlentheoretische Funktionen 24 Zahlkorper 87, 159-176

(Definition) 159 biquadratische Z. 159, 173-175,

210 euklidische Z. 106, 272, 278 Fundamentalsatz der Arithmetik

178 Galoiserweiterungen 220-221 Kreisteilungskorper 176, 211,

245-258, 278, 279, 290, 304 kubische Z. 176, 185, 194, 209,

225 quadratische Z. 82,87-100,173,

190, 254, 296-301 (Definition) 88

354

Zentralisator 154 Zerfallungskorper 198, 207, 212, 213 zerlegt 113 Zerlegung der Primideale in

Galoiserweiterungen 221 Korpererweiterungen 188

Zerlegung der Primzahlen in algebraischen Zahlkorpern

184-186 Kreisteilungskorpern 251-253 quadratischen Zahlkorpern 111,

116, 185

Druck u. Verarbeitung: Druckerei Triltsch, Wiirzburg

Zerlegungsgruppe 222 Zerlegungskorper 224, 234 Zetafunktion

Index

Dedekindsche Z. 279, 289-296 (Definition) 289

Riemannsche Z. 282 Zornsches Lemma 328 Zwischenkorper 203, 204, 213

Kompositum 204, 207, 217, 278 Zwischenwertsatz 36 Zyklen 151, 158 zyklische Gruppen 46, 49, 57

S. Bosch

Algebra 2., iiberarb. AutI. 1996. x, 329 S. Brosch. DM 44,-; oS 321,20; sFr 39,50 ISBN 3-540-60410-3

Eine verstiindliche, konzise und immer tliissige Einfiihrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgfaItige didaktische Autbereitung bei vielen Studenten Freunde finden wird. Bosch bietet neben zahlreichen Aufgaben, einfiihrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten und symmetrische Funktionen werden angesprochen.

J. Briidem

Einfuhrung in die analytische Zahlentheorie

1995. x, 238 S. Brosch. DM 68,-; oS 496,40; sFr 60,- ISBN 3-540-58821-3

Diese Einfiihrung in die analytische Zahlentheorie wendet sich an Studierende der Mathematik, die bereits mit der Funktionentheorie und den einfachsten Grundtatsachen der Zahlentheorie vertraut sind und ihre Kenntnisse in Zahlentheorie vertiefen mochten. Die ausfiihrliche, motivierende Darste11ung der behandelten Themen so11 den Einstieg in die Ideen und technischen Details erleichtem.

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Springer

Preisanderungen vorbehalten.

Springer-Verlag, Postfach 31 1340, Berlin, Fax 0 30 / 82787 - 3 01 /448 e-mail: [email protected] BA96.06.24a

P. Bundschuh

Einfuhrung in die Zahlentheorie 3., vollst. tiberarb. Aufl. 1996. XIV, 350 S. 7 Abb. Brosch. DM 54,-; oS 394,20; sFr 48,­ISBN 3-540-60920-2

Die nunmehr 3. Auflage dieses Lehrbuchs wurde tiberarbeitet und auf den neuesten Stand gebracht, das Kapitel zum Satz des Fermat entsprechend ganzlich neu geschrieben. In dieser Einfiihrung in die Zahlentheorie wird der geschichtlichen Entwicklung besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Dabei werden nicht grundsatzlich die ersten publizierten Beweise zitiert, vielmehr erfahrt der Leser den historischen Urheber eines Resultats und erhlilt Hinweise auf Verscharfungen und Verallgemeinerungen.

J. Neukirch

Aigebraische Zahlentheorie 1992. XIV, 595 S. 16 Abb. Geb. DM 98,-; oS 764,40; sFr 86,50 ISBN 3-540-54273-6

Die Darstellung fiihrt den Studenten in konkreter Weise in das Gebiet ein, laBt sich dabei von modernen Erkenntnissen tibergeordneter Natur leiten und ist in vielen Tei!en neu. Der grundlegende erste Tei! ist mit einigen neuen Aspekten versehen, wie etwa der "Minkowski-Theorie" und einer ausfiihrlichen Theorie der Ordnungen. iiber die Grundlagen hinaus enthlilt das Buch eine geometrische Neubegriindung der Theorie der algebraischen Zahlkorper durch die Entwicklung einer "Riemann-Roch-Theorie" yom ,,Arakelovschen Standpunkt", die bis zu einem "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" fiihrt, ferner eine moderne Darstellung der Klasssenkorpertheorie und schlieBlich eine neue Theorie der Theta-Reihen und L-Reihen, die die klassischen Arbeiten von Hecke in eine faBliche Form setzt. Das Buch ist an Studenten nach dem Vorexamen gerichtet, dariiber hinaus wird es sehr bald dem Forscher als weiterweisendes Handbuch unentbehrlich sein.

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, Springer

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~IOI 07111131719123 291313*14347491535916167171 73 7779183 89191971L

°illSl / ,,-ABC DE FG HIJ/ KL MN OP/Q RS /T 0 3/ "-b/ "-/ c / a b 3 6 a / b / "- d"- / a b 6 9 b "-/ a / d a / ~/ / "- d 9

12 b / d b "- e / I c 12 15 c"- b 9/ "- e d / / "- c /9 15 18 a / d b I "-/c i b "- / 1/ 18 21 "-/ e a "- c/ b "-ah/ 9"- /a 21 24 /e c h /"- / 1"- d / 9 a c j "- 24 27 9 "- / / a h 1"- b j /"- 27 30 I d/ a/ b "- i/ 9/ b "- c 30 33 / I j a b/ / "- I b i 33 36 a d / c "- / h a / c a e / 36 39 j / 1/ "- 1 9 b "-ehd/ a/ 39 42 / "- h c 1/ b /"- / 42 45 / a / d a c/ e j / b d c a 45 48 "- b m/"- / j e 9 a d i I "- / c n 1 48 51 c / j d /"- k 9 c / a / I 0 e 51 54 "- / "-m a /k i / a "- b d 54 57 a e /1 b"- / "- a /p e d k / "- 57 60 b / "- a c 9 / d p"- a I / / 60 63 / 1 0 a b "-/ d / a / 63 66 / "- b a 9/ c e/bm 1/ "- h 9 66 69 n I "-/a e / "- k b c / e 69 72 c / I / a "- / k a "- / c e 9 d 72 75 a /"- p b c / /n "- 0 75 78 e 9 p a / h b ,,-/j e/ b /a k 78 81 "- / d "- j q / b e I h "- a / c / 81 84 1/ a j c "-d /q"- i 9/m b a / e 84 87 / I d "-/ / a c "-/In "-I c 87 90 0 e/ "-/ r "- a j i e / 1m "- 90 93 0 h n/ c/ a j/ "- b / r"-h 93 96 a/ I d I "- / a / c b d "- 96 99 "- d j / c m/ 9 d / a "- b n/ t a 99

102 u 1 /b"- k a e / 9 I i c/ h/ 102 105 /d a n b h r a k / m I "-t/oc / 105 108 /u c "- e I q/ 9/ c / r p "- b 108 III b e h / I /a"-o c a / k n c 111 114 a"- u/c "-/ b wa/p / d a 114 117 d / a c 9 "-I b I /"- c/ qm a j 117 120 "- hm/ "- d k / b I /"- a j i/ w 120 123 I a / x t "-a/ k "- b j r s /a / 123 126 / "- a p b j / "- k c/I"- / 126 129 / 9 / n b /"-d a / c 1"- h 129 132 i j "-p / u/ b a e 8 da"-/ 9 t 132 135 d a 1 /"- r/ "- e c b /0 h/ 9 b w 135 138 9 / c had u xm"-/ r/"- b e a 138 141 1 v"-c/ e 0 a n q / / I 9 "-a/d 141 144 /a j /"- t c b e h I / i / 144 147 m/j h "- d / e "-/ d/ 147 150 / i b dr/ ,,-a/hu "- a/ b q I 150 153 "- m b / / d n 11 a "- c / "- 8 153 156 na/ b / c "-/ /m ea"- 156 159 / "- b s C to 9 h/ "-/ a c "- 1 b 159 110107111131719123291313714143474915359161 67pl 73 77 79183891919711

Die kleinsten Primteiler der Zahlen n $ 16200. Die durch 2, 3 oder 5 teilbaren Zahlen sind nicht aufgefiihrt, da ihr kleinster Primteiler leicht aus der Dezimaldarstellung abzulesen ist. Die Zah­len jeder Spalte haben dasselbe Paar von Endziffern; es ist jeweils

Sieb des Eratosthenes --.JiOl 0307091131912127\31333739\434915157161636769173 79181871919397 991L

1UVWX Y/ '.....z / '..... / a '..... 1 4 a'..... / / c '..... /'..... a b/ 4 7 c/ d / b '..... / / a c'..... /a b 7

10/ b c a b / / '..... e a d / 10 13 /a '.....I/ab c / d e 9 / ca/'..... 13 16 / /d '.....1 b a '..... /d h / c 16 19 '..... d c b h a / e cga/'..... / '..... 19 22 1 j / b d / a 9 / 1 i e '..... 22 25 h d a /'..... / b i a'.....b/I e a /d 25 28 V / k e /'.....c b / / j c a i /'..... a 28 31 e a '..... k 1 a i / j d / e c'..... 1 d / :n 34 c h / a '..... d j /c'..... / d/ I'..... / a 34 37 /'..... j m / 9 c d'..... a k / c / b e 37 40 c eg'...../a 1 b / a /m b 40 43 '..... a I 1 c / e m/ i c / '..... b e a h d k 43 46 i b '..... /1 /'.....h I a/ 1 i a / 9 46 49 a / b / a '..... / '...../ a b / c 49 52 /'.....h a b d a / e 1/ cd'..... b '..... n / 52 55 /g '...../e dl/ n c / 9 / e '..... 55 58 / 9 '..... / c a '..... / / i 0 b 58 61 b 1 h e '..... b/ '..... jm /1 9 / d h'..... 61 64 9 cia '...../ I / h j b '..... / d e '..... a i p n 64 67 c / '...../k d'..... b i e n/a '..... / a 67 70 j / i / q a 1 /'..... d / 9 '..... p c / h j 1 70 73/ n o a b '.....h / / b 9 k p j '..... r c a/ 73 76 '..... / d c e a b / / a j q '..... / / i 76 79 / '.....h s / b a p c 1 a / q d/ m '..... c 79 82 I a e i c / p 9 d '..... / b / i 82 85 '.....jn / c/ r b i / a'..... d I'..... a 85 88 a d/ / '..... 9 k b / c a r b /'..... 88 91 c / a'..... / d a h / / s k n / e b 91 94/ d t '..... /'..... a/ b c k '..... / 94 97 sIb / '..... o 9 / /'..... i a e / / t h 97

100 p/ b i '.....g / q '..... a c s e / b / d 100 103 '.....a b d / q'..... a i / '..... t / a c 9 103 106 d v /a /'..... e d / j a I'..... b c a 106 109 '..... ·a /m n/ b a 1 j t c '..... / q e / b 109 112 db/'..... a/v '..... j b / / c I e /d'..... 112 115 / 9 b e h a c r '..... / /'..... 1 i d 0 9 n / 115 118 '..... / k / a b / 0 e '.....I/x '...../ p 118 121 / b n /'.....km e d i / c a/ p s '..... 121 124 q c '..... b 1 / d I b'...../g / a e 124 127 a t 0 / '..... e / j '.....h / b y k a c '.....n 127 130 / j e / T a I'.....g p/ b'..... v d a / 130 133 j k / c/ n '...../ a c 1/ e i b '...../1 133 136 I/m'.....l k i a d/ '...../c a q " / 136 139 / 1 c / k p a / b d ms/ '..... 0 b/ 139 142 '...../ amI h / ide k a b " c / x /1 b q 142 145 b s'..... d a p '..... / / b am / e

" a 145

148 c y a I / /g'..... 1 r/ s tv d k j 148 151 '..... e / a / 9 c x d 1 e / i b " / 151 154 p/c b / a " i / a / 1 d y b/ '..... 154 157 / h y d c " q / c/ " a 1 i b / 157 160 a / n r 9 " b / im" / / a / b 160 \1010307091131912127\31333739\4349\5157161636769\73 791818719193979911

in der Kopf- und FuBzeile notiert. Die Zeilen sind nach wachsenden Hunder­tern h = Ln/lOOJ geordnet, und zwar modulo 3: 1m linken, mittleren bzw. rechten Drittel ist h == 0 (mod3), h == 1 (mod3) bzw. h == 2 (mod3). Die Zahl h ist jeweils in den Randspalten festgehalten.

---.l103 091111712123272913339/4147/5153575916369171771818387 89193 991L

2/" /a a " / / b a 2 5 /" b da/ c/ a /" c 5 8" c / e / d "a / c € 8

11 " c / " b

/1 a c / "- / e "- 11 14 d ba/ "- 1 /a / 14 17 a e b ,,/ 9 b / he/ a ,,/ 17 20 / i / c a d /

" e c 1 / 20

23 / /"-dab a / b d / 23 26 c / i 9 "- / c "-/ b / 26 29 h d 9 e/ b / a " a"ce/h 29 32 a "-/ k h / b a/ e b/c"g 32 35 I" /a k"- / i / b 9 1 35 38 a 9 "- i / "- d / b k/ "a b/ 38 41 "-/ d a / h"-/ d" i 9 j k 1 / a 41 44 / "-/ c i "- d m / h b" /n " 44 47 b / k e /"j /n "- c a b / 47 50 e "j/ 0/ 1 a mg" a /" 50 53 jab /p c/ k" d 1/ h c / b 53 56 a o 1 h / b a i / k / a "- h 56 59 c d m 1 / b a c,,--/l n j / i 1 ka/ 59 62 / /a d b q / a " "-m c/ 62 65 /d b / "m j a 1 q/ e / "- c 65 68 ,,/ b c / ha/ c a/ o r m 68 71 a" b /" g/ d b a n 0 i"- / d 71 74 "I h a / b i/"- e b / 1 / 1 74 77 a"- / 1,,0 md / b c / 1 i a "- 77 80 k a 0 d / e " a r / "- /h I / 80 83 c/ k/" a 1 c b / ma "- b r /g 83 86 / q / 9 s k hb,,/ a c/ 86 89 e I/g " q / d / a b j/a"- s b 89 92 ma d "-/ /"-c j I a p g/ b 92 95 a 9 1 s / a / h c "- p/ bm ,,/ ike 95 98 b /"-1 a i 1 /0 /h "- a c 98

101 " n e k a / p "-/ / b m d / 101 104 u/

e " b/ "- k 1/ c 9 j" b / 104

107 / /0 b d"a 1/ j" a h/ i 107 110 u/d v p h,,/ m i/ a ,,/ a "- 110 113 s i a j / b "-/ hg" r 1 c l/ 113 116 h a b 1 / e v / c m i sw/"- / a "- 116 119 i b / q a b "- / / d c n a 119 122 e c "- b / a 9 / a / 0" c/ 122 125 / c/ "r / € C b a d h /i 125 128 / d/ u h 9 e 0 a / c b m q "a/ 128 131 /a " c d / b / I a /

" q n 131

134 a" 1 e a / $ / " i c a t / v 134 137 0 " / I" /1 b / j d / b a 137 140 " w/ga u c "- a b/"- / p b d 140 143 h"v /"-a y f / r k /" p c g/ 143 146 b / c j / "-t/ w" b a k c 9 / 146 149 / b a / i "- x n c / a " b 0 / a

" k 149

152 d n / 1 a t / q"/" / b h 152 155 9 a l"c k/h / v j q d 9 ,,/ 1 c 155 158 t a /"-0 j / a "-ru e/I / d a 158 161 s 0/ d z a n 1 ew"- / c v/"- t 161 11030911117121232729/3339/414715153575916369/717718183 87 89193 9911

Beispielsweise ist 3601 durch a = 13 teilbar, 16129 durch z = 127, wahrend etwa 9431, 9433, 9437, 9439 Prirnzahlen sind.