Die Dynamik von abgeleiteten Preisen Stochastische Differentialgleichungen.

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Page 1: Die Dynamik von abgeleiteten Preisen Stochastische Differentialgleichungen.

Die Dynamik von Die Dynamik von abgeleiteten Preisenabgeleiteten Preisen

Stochastische Stochastische DifferentialgleichungenDifferentialgleichungen

Page 2: Die Dynamik von abgeleiteten Preisen Stochastische Differentialgleichungen.

ÜbersichtÜbersicht EinführungEinführung Geometrische Beschreibung des Pfades von Geometrische Beschreibung des Pfades von

Stoschastischen DifferentialgleichungenStoschastischen Differentialgleichungen Lösungen von SDG‘sLösungen von SDG‘s Bedeutende Modelle von SDG‘sBedeutende Modelle von SDG‘s Stochastische VolatilitätStochastische Volatilität ZusammenfassungZusammenfassung

Page 3: Die Dynamik von abgeleiteten Preisen Stochastische Differentialgleichungen.

Einführung (1)Einführung (1)

],0[),(),( tdWtSdttSadS tttt

ht

t

ht

t

ht

tuuuu dWuSduuSadS ),(),(

Stochastische Differentialgleichung (SDG):

Page 4: Die Dynamik von abgeleiteten Preisen Stochastische Differentialgleichungen.

Einführung (2)Einführung (2) Verschiedene Marktteilnehmer können Verschiedene Marktteilnehmer können

verschiedene Funktionen a(St,t) und verschiedene Funktionen a(St,t) und σσ(St,t)(St,t) Abhängig von der Menge an InformationenAbhängig von der Menge an Informationen Z.B.: Insider Informationen und Kenntnis aller Z.B.: Insider Informationen und Kenntnis aller

zufälligen Ereignisse, die den Marktpreise zufälligen Ereignisse, die den Marktpreise beeinflussen (kein Diffusionsterm): beeinflussen (kein Diffusionsterm): dSt=a*(St,t)dtdSt=a*(St,t)dt

Normaler Marktteilnehmer: Normaler Marktteilnehmer: dSt=a(St,t)dt+dSt=a(St,t)dt+σσ(St,t)dWt(St,t)dWt

Wobei a*≠aWobei a*≠a

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Einführung (3)Einführung (3) Die Drift- und Diffusionsparameter hängen von SDie Drift- und Diffusionsparameter hängen von S tt

und t ab und sind daher selbst Zufallsvariablen.und t ab und sind daher selbst Zufallsvariablen. Sie sind aber Informationsadaptiert und werden Sie sind aber Informationsadaptiert und werden

daher beim Informationsstand Idaher beim Informationsstand Itt zum Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t fixiert.fixiert.

Sie müssen folgende Bedingungen einhalten:Sie müssen folgende Bedingungen einhalten:

1|),(|0

t

u duuSaP 1),(0

2

t

u duuSP

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Geometrische Beschreibung des Geometrische Beschreibung des Pfades von SDG‘sPfades von SDG‘s

Page 7: Die Dynamik von abgeleiteten Preisen Stochastische Differentialgleichungen.

Lösungen von SDG‘s (1)Lösungen von SDG‘s (1) Die Lösung (SDie Lösung (Stt) ist selbst ein stochastischer ) ist selbst ein stochastischer

ProzessProzess

t

u

t

u

t

u uSduuSadS000

),(),(

t

u

t

ut uSduuSaSS00

0 ),(),(

Page 8: Die Dynamik von abgeleiteten Preisen Stochastische Differentialgleichungen.

Lösungen von SDG‘s (2)Lösungen von SDG‘s (2)

Starke Lösung:Starke Lösung:WWtt bekannt (Fehlerteil) bekannt (Fehlerteil)Ähnlich wie bei normalen Ähnlich wie bei normalen

DifferentialgleichungenDifferentialgleichungenHängt ab von t und WHängt ab von t und Wtt (und von den (und von den

Parametern)Parametern)

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Lösungen von SDG‘s (3)Lösungen von SDG‘s (3) Schwache Lösung:Schwache Lösung:

Š=f(t,Ŵ)Š=f(t,Ŵ) Wobei Š und Ŵ gleichzeitig bestimmt werdenWobei Š und Ŵ gleichzeitig bestimmt werden Gegeben sind nur die Drift- und Diffusionsparameter Gegeben sind nur die Drift- und Diffusionsparameter

a(.) und a(.) und σσ(.)(.) Ŵ ist ein Wiener ProzessŴ ist ein Wiener Prozess dŴ und dW haben beide Erwartungswert 0 und eine dŴ und dW haben beide Erwartungswert 0 und eine

Varianz von dtVarianz von dt dŠdŠtt=a(Š=a(Štt,t)dt+,t)dt+σσ(Š(Štt,t)dŴ,t)dŴtt

SStt ist I ist Itt adaptiert, während adaptiert, während ŠŠt t HHtt adaptiert ist adaptiert ist

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Lösungen von SDG‘s (4)Lösungen von SDG‘s (4)VerifikationVerifikation

tt Xa

dtdX

tat eXX 0

tata eXaeXdtd 00

00

0 XeX a

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Lösungen von SDG‘s (5)Lösungen von SDG‘s (5)VerifikationVerifikation

dSdStt=a*dt+=a*dt+σσ*dW*dWtt

SStt=f(a, =f(a, σσ, S, S00, t, W, t, Wtt)) WWtt und daher auch S und daher auch Stt sind stochastische sind stochastische

ProzesseProzesse Daher ist SDaher ist Stt nicht ableitbar nicht ableitbar Verifikation aber mit Ito‘s Lemma möglichVerifikation aber mit Ito‘s Lemma möglich

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Lösungen von SDG‘s (6)Lösungen von SDG‘s (6)Verifikation – Black-ScholesVerifikation – Black-Scholes

tttt dWSdtSdS

t t t

uu

u dWduSdS

0 0 0

tdut

0

t

tu WWdW0

0

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Lösungen von SDG‘s (7)Lösungen von SDG‘s (7)Verifikation – Black-ScholesVerifikation – Black-Scholes

t

tuu

WtdSS0

1

tWta

t eSS 2

21

0

Starke LösungStarke Lösung Einsetzen in Ito‘s Lemma zu VerifikationEinsetzen in Ito‘s Lemma zu Verifikation

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Lösungen von SDG‘s (8)Lösungen von SDG‘s (8)Verifikation – Black-ScholesVerifikation – Black-Scholes

dtdWdtaeSdS t

Wta

t

t 2221

0 21

212

ttt dWdtaSdS

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Lösungen von SDG‘s (9)Lösungen von SDG‘s (9)Wichtiges BeispielWichtiges Beispiel

][ TttTr

t SEeS

TWTr

T eeSS

2

21

0

tttt dWSdtrSdS

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Lösungen von SDG‘s (10)Lösungen von SDG‘s (10)Wichtiges BeispielWichtiges Beispiel

Lösung direkt mittels IntegralLösung direkt mittels Integral Nötig ist die Dichtefunktion von WtNötig ist die Dichtefunktion von Wt Es existiert aber noch eine zweite MethodeEs existiert aber noch eine zweite Methode

TtTWW

t dWWWfeeE TT )|(

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Lösungen von SDG‘s (11)Lösungen von SDG‘s (11)Wichtiges BeispielWichtiges Beispiel

tWt eZ

dteedZ tt WWt

2

21

)( tTrtTt eSSE

SubstituierenSubstituieren Anwenden von Ito‘s LemmaAnwenden von Ito‘s Lemma Integrieren führt zu einem Integrieren führt zu einem

einfachen Integraleinfachen Integral Durch Rücksubstituieren Durch Rücksubstituieren

erhalten wirerhalten wir Dies führt zum folgenden Dies führt zum folgenden

Schluss: Der jetzige Wert Schluss: Der jetzige Wert einer Aktie entspricht dem einer Aktie entspricht dem abgezinsten abgezinsten ErwartungswertErwartungswert Tt

tTrt SEeS )(

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (1)Bedeutende Modelle von SDG‘s (1)Lineare SDG mit konstanten Lineare SDG mit konstanten

KoeffizientenKoeffizienten

),0[ tdWdtdS tt

hSE tt hSVar t2)(

Fluktuiert rund um einen linearen TrendFluktuiert rund um einen linearen Trend Geeignet für bestimmte AktienGeeignet für bestimmte Aktien

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (2)Bedeutende Modelle von SDG‘s (2)Lineare SDG mit konstanten Lineare SDG mit konstanten

KoeffizientenKoeffizientenLinear Constant Coefficient SDEs

99,997

99,998

99,999

100

100,001

100,002

100,003

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,06

0,07

0,08

0,09 0,

1

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,17

0,18

0,19 0,

2

Time

St St

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (3)Bedeutende Modelle von SDG‘s (3)Geometrische SDGGeometrische SDG

tttt dWSdtSdS 2

12

1)( kkk SSSVar hSSE ttt ][

Fluktuiert rund um einen exponentiellen Fluktuiert rund um einen exponentiellen TrendTrend

Besser geeignet für Aktien als lineare SDG‘sBesser geeignet für Aktien als lineare SDG‘s

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (4)Bedeutende Modelle von SDG‘s (4)Geometrische SDGGeometrische SDG

Geometric SDEs

979899

100101102103104105

0

0,01

0,03

0,04

0,06

0,07

0,08 0,1

0,11

0,13

0,14

0,15

0,17

0,18 0,2

Time

St St

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (5)Bedeutende Modelle von SDG‘s (5)Quadratwurzel-ProzesseQuadratwurzel-Prozesse

tttt dWSdtSdS

12

1)( kkk SSSVar Varianz des Fehlerteils ist jetzt Varianz des Fehlerteils ist jetzt

proportional zu Sk (anstatt zu Sk^2)proportional zu Sk (anstatt zu Sk^2) Für „langweiligere“ Aktien (Blue Chips, ...)Für „langweiligere“ Aktien (Blue Chips, ...)

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (6)Bedeutende Modelle von SDG‘s (6)Quadratwurzel-ProzesseQuadratwurzel-Prozesse

Square Root Process

98

99

100

101

102

103

104

0

0,01

0,03

0,04

0,06

0,07

0,08 0,1

0,11

0,13

0,14

0,15

0,17

0,18 0,2

Time

St St

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (7)Bedeutende Modelle von SDG‘s (7)Mean Reverting ProcessMean Reverting Process

tttt dWSdtSdS

tttt dWSdtSdS

Fluktuiert um einen LangzeittrendFluktuiert um einen Langzeittrend Geeignet zum Modellieren von ZinsenGeeignet zum Modellieren von Zinsen

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (8)Bedeutende Modelle von SDG‘s (8)Mean Reverting ProcessMean Reverting Process

Mean Reverting Process

93949596979899

100101

0

0,01

0,03

0,04

0,06

0,07

0,08 0,1

0,11

0,13

0,14

0,15

0,17

0,18 0,2

Time

St St

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Bedeutende Modelle von SDG‘s (9)Bedeutende Modelle von SDG‘s (9)Ornstein-Uhlenbeck ProzessOrnstein-Uhlenbeck Prozess

ttt dWdtSdS Ornstein-Uhlenbeck Process

92

94

96

98

100

102

0

0,01

0,03

0,04

0,06

0,07

0,08 0,1

0,11

0,13

0,14

0,15

0,17

0,18 0,2

Time

St St

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Stochastische VolatilitätStochastische Volatilität Auch Auch μμ und und σσ können Zufallsprozesse sein können Zufallsprozesse sein dSdStt==μμdt+dt+σσttdWdW1t1t

ddσσtt==λλ((σσ00--σσtt)dt+)dt+ασασttdWdW2t2t

WW1t 1t und dWund dW2t 2t unabhängigunabhängig Die Volatilität hat dann einen langzeit Die Volatilität hat dann einen langzeit

Mittelwert von Mittelwert von σσ00 kann aber jederzeit kann aber jederzeit stochastisch abweichenstochastisch abweichen

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ZusammenfassungZusammenfassung Lösungen für SDG‘sLösungen für SDG‘s

Starke LösungStarke LösungSchwache LösungSchwache Lösung

Wichtige ModelleWichtige ModelleLineare SDG mit konstanten KoeffizientenLineare SDG mit konstanten KoeffizientenGeometrische SDG‘sGeometrische SDG‘sQuadratwurzel ProzesseQuadratwurzel ProzesseMean Reverting ProcessMean Reverting ProcessOrnstein-Uhlenbeck ProzessOrnstein-Uhlenbeck Prozess