Christiane Benz

Die Entwicklung der Rechenstrategien bei Aufgaben des Typs ZE±ZE

im Verlauf des zweiten SchuIjahres

Zusammenfassung

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Die Bedeutung der Erforschung kindlicher Denk- und Lernprozesse ist in der Mathematikdidaktik unumstritten. Diesbeziigliche Eikenntnisse liegen hislang jedoch nur fur wenige inhaltliche Berei­che der Grundschulmathematik VOL 1m Mittelpunkt dieses Artikels steht die Analyse der Rechen­strategien von Schiilerinnen und Schiilern beim Losen von Additions- und Subtraktionsaufgaben des Typs ZE±ZE. Da die Kinder am Anfang, zur Mitte und am Ende des zweiten Schuljahres be­fragt wurden, konnen sowohl die Denk- und Lernwege in Form von Vorkenntnissen als auch deren Entwicklung dokumentiert werden.

Abstract

In mathematics education the importance of research into children's thinking and learning proc­esses is undisputed. Results of this kind of research, however, are only available for a few areas of primary school mathematics. The central concern of this article is the analysis of the mental arith­metic skills of pupils solving addition and subtraction problems involving two-digit numbers. Since the children were assessed at the beginning, middle and end of their second year, it has been possible to record both their previous knowledge and the development of their ways of thinking and learning.

1 Einleitung

In den letzten Jahren bzw. Jahrzehnten ist die Erforschung des kindlichen Denkens in den Fokus der mathematikdidaktischen Forschung geriickt. Das geschah auf dem Hin­tergrund einer konstruktivistisch gepragten erkenntnistheoretischen und lempsychologi­sche Sichtweise, deren Vertreter die aktive Konstruktion von Wissen und die Passung an bestehende Wissensstrukturen als Voraussetzung flir den Aufbau neuer Wissenskon­struktionen betonen (von Foerster 1999, von Glasersfeld 1996, Steffe & Cobb 1988). Auch Vertreter des genetischen Prinzips (Piaget 1971, Wagenschein 1989, Wittmann 1981) weisen auf die tragende Rolle von vorhandenem Wissen und informellen Strate­gien im Lehr-Lemprozess hin, wie in Treffers Zitat deutlich wird: "formal knowledge can be developed from children's own informal strategies" (Treffers zit. in Klein 1998, 6).

Es kann also festgehahen werden, dass Wissenserwerb nach konstruktivistisch­interaktionistischer, genetischer und neurowissenschaftlicher Sichtweise aktiv geschehen muss, sich auf bestehendes Wissen griinden muss und nur dann geschehen kann, wenn an bestehende Strukturen angekniipft wird. Damit steht das Primat der Passung und des

(JMD 28 (2007) H. 1, S. 49-73)

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Ermoglichens von Ankniipfung bzw. Vemetzung als Voraussetzung fiir einen gelingen­den Lehr-Lem-Prozess im Vordergrund. Aus diesem Grund kann in vielen didaktischen Konzepten, Ansatzen und Positionen als Konsens festgehalten werden, dass die Beriick­sichtigung und das Verstehen kindlicher Vorerfahrungen und Denkweisen bei der Ges­taltung und Reflexion des Lehr-Lem-Prozesses notwendig sind.

Deshalb wurde in den letzten Jahren das mathematische Denken der Kinder unter­sucht. In den Forschungsbeitragen lassen sich zwei Schwerpunkte feststellen: die Erfor­schung des Denkens von Kindem vor und am Anfang der Grundschulzeit beziiglich Zahlbegriffsentwicklung und Vorkenntnissen von Schulanfangem und gegen Ende der Grundschulzeit im Blick auf die schriftlichen Rechenverfahren. Andere inhaltliche Be­reiche der Grundschulmathematik wurden weniger griindlich erforscht. Ergebnisse iiber Rechenstrategien von Kindem bei Addition und Subtraktion im Zahlenraum bis 100 bei­spielsweise liegen bislang nur wenige vor (vgl. jedoch Jones et al. 1996, Beishuizen 1993, Klein et al. 1998, Grassmann et al. 1996, Cooper & Heirdsfield 1996, Thompson 1999).

Aus diesem Grund wurde die vorliegende Untersuchung durchgefiihrt. Ziel der Un­tersuchung war, im Laufe eines Schuljahres die Entwicklung der Rechenstrategien von Kindem bei Additions- und Subtraktionsaufgaben zu dokumentieren. Die Entwicklung der Rechenstrategien wird natiirlich durch die Unterrichtsgestaltung stark beeinflusst. 1m Rahmen dieser Studie wurde der Unterrichtseinfluss nicht genau erhoben und kontrol­liert. Allerdings fanden halbstandardisierte Interviews mit den Fachlehrerinnen statt, so dass genau Angaben gemacht werden konnten, wann die ZE±ZE Aufgaben in Relation zu den Testzeitpunkten thematisiert wurden.

2 Forschungsstand und Forschungsfragen

In diesem Abschnitt werden, nachdem eine Begriffsklarung der verschiedenen Auspra­gungen von Rechenstrategien vorgenommen wird, Ergebnisse anderer Untersuchungen zum Einsatz von Rechenstrategien und die daraus resultierenden Forschungsfragen vor­gestellt.

Als Rechenstrategie wird in dieser Untersuchung die Tatigkeit des Zerlegens einer Additions- oder Subtraktionsaufgabe in einfachere Teilaufgaben bezeichnet, deren Bear­beitung nicht durch Zahlen sondem durch Rechnen erfolgt. Es erfolgt keine Unterschei­dung zwischen Rechenprozedur bzw. Rechenverfahren und Rechenstrategie (vgl. jedoch Beishuizen 1997, Fuson 1997, Lorenz 1997). In der vorliegenden Untersuchung werden alle Losungswege, bei denen die Kinder rechneten, in Abgrenzung zu gewussten oder gezahlten Losungen als Einsatz von Rechenstrategien bezeichnet.

2.1 KlassifIzieren von Rechenstrategien

Threlfall (2002) und Beishuizen (2001) weisen daraufhin, dass die Beschreibung in den Grobkategorien nicht ausreicht, urn der Vielfalt der Strategien der Kinder gerecht zu werden: "It is acknowledged with Beishuizen (2001, 122) that there is too much diver­sity to count each variant as different and that categories have to be a little broader to in­clude several methods covering all problems yet although all the methods are accounted

Rechenstrategien 51

for in the categories of one author or anoth~r, none seems to have room for all of them" (Threlfall 2002, 35). Durchgangig werden allerdings bei allen intemationalen For­schungsprojelcten, trotz unterschiedlicher Nomenklatur und Ausdifferenzierung einzelner Strategien, die Rechenstrategien in folgende Hauptgruppen eingeteilt.

2.1.1 Stellenweises Rechnen

Beim steUenweisen Rechnen werden beide Zahlen in Zehner und Einer zerlegt. Fur das Uberwinden des Zehneriibergangs bei stellenweiser Subtraktion findet man verschiedene Moglichkeiten (Radatz et al. 1998, Rottmann & Schipper 2002, Schipper 2003, Witt­mann 2003).

46+29= 40+20= 60, 9+6=15, 60+15=75

71-69 = 70-60= 10, 1-9=-8, 10-8=2

71-69 = 70-60=10,9-1=8: 10-8=2

71-69 = 60-60=0, 11-9=2

Tab. I: Rechenstrategie: S1ellenweise

2.1.2 Schrittweises Rechnen

Beim schrittweisen Rechnen wird nur ein Summand bzw. der Subtrahend zerlegt. Meist wird in die SteUenwerte zerlegt (Zeile 1 und 2). Es gibt jedoch auch die Moglichkeit bis zum voUen Zehner zu zerlegen (Zeile 3 und 4).

46+29= 46+20=66,66+9775

71-69 = 71-60=11,11-9=2

46+29= 46+4=50,50+25=75

71-69 = 71-1=70; 70-68=2

Tab.2: Rechenstrategie: Schrittweise

2.1.3 Mischform

Bei der Misch/orm werden beide Zahlen in ihre Stellenwerte zerlegt. Zuerst werden ent­weder beide Zehner oder beide Einer miteinander verknupft und dann wird schrittweise weiter gerechnet, z.B.:

46+29= 40+20=60,60+6=66,66+9=75

71-69 = 70-60=10,10+1=11,11-9=2

Tab. 3: Rechenstrategie Misch/orm

2.1.4 Ableiten

Unter dieser Strategie werden aBe Strategien gefasst, die operative Beziehungen nutzen \ wie z.B.:

Threlfall (2002) weist darauthin, dass nichtjede Strategie in gleicher Art und Weise anzuwen­den ist. Beim Ableiten muss man selbst iiberlegen, von welcher Aufgabe man ableitet. Die

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• Ableiten von einer Verdoppelungs-/ Halbierungsaufgabe; • Verandem beider Zahlen z.B. gegensinniges oder gleichsinniges Verandem; • Ableiten von einer dem Kind schon bekannten Aufgabe; • Ausnutzen dekadischer Analogien.

2.1.5 Erganzen als Strategie fUr Subtraktionsaufgaben

Dieses Vorgehen wird gelegentlich als eigenstandige Strategie bezeichnet (Connecting Arc, Klein 1998, de Corte & Verschaffel1987, 377)

2.2 Bewertung verschiedener Rechenstrategien in der fachdi­daktischen Literatur

Bei der Bewertung der stellenweisen und schrittweisen Rechenstrategien als Hauptstra­tegien gibt es heutzutage verschiedene Positionen, sowohl in der nationalen als auch in der intemationalen Diskussion. Hinter den beiden Rechenstrategien stehen verschiedene Zahlvorstellungen - der kardinale und der ordinale Aspekt. Die Strategie Stellenweise basiert uberwiegend auf der Vorstellung, Zahlen kardinal zu denken. Hier steht der Men­genaspekt im Vordergrund. Dieser Aspekt wird durch flachige, raumlich simultane An­ordnung zum Ausdruck gebracht, wie z. B. beim Hunderterpunktefeld. Die Strategie Schrittweise basiert auf der Vorstellung Zahlen vorwiegend ordinal zu denken. Bei linear angeordnetem Material, wie etwa dem Zahlenstrahl, kommt di.eser Zahlaspekt besonders zum Tragen.

Die Vertreter, die schrittweises Rechnen bevorzugen, sind vor aHem in Europa zu finden (Beishuizen -1997, Menne 2001, Radatz et al. 1996, Treffers & de Moor 1990, Williams & Shuard 1982, Schipper 2001). Ein Grund fUr die Bevorzugung der schritt­wei sen Rechenverfahren ist die geringere gedachtnismaBige Anforderung, die das schrittweise Rechnen darsteHt (Cooper et al. 1996, 'Schipper 2001). Dies gilt vor aHem dann, wenn die Aufgaben nur im Kopf ohne schriftliche Notationsmoglichkeiten gelost werden.

Beishuizen (1993) stellt fest, dass stellenweises Rechnen fehleranfalliger ist, da es einerseits mehr Gedachtnisleistung beinhaltet und anderseits bei Subtraktion mit Zeh­nerubergang schwierig durchzufUhren ist. Denn die einzelnen Zwischenrechnungen mussen bei der Subtraktion addiert werden. Bei Subtraktionsaufgaben mit Zehneruber­gang besteht ein zusatzliches Problem, da ein Zwischenergebnis in Form einer "negati­yen Zahl" auftaucht. Bei der Aufgabe 22-18, muss man jedoch das sich ergebende Zwi­schenergebnis -4, nicht unbedingt als negative Zahl interpretieren, sondem man kann es auch in der Form interpretieren, dass noch 4 abgezogen werden mussen (vgl. Wittmann 2003,35).

Nicht nur bei Subtraktionsaufgaben mit Zehnerubergang ist nach Beishuizen stellen­weises Rechnen problematisch, sondem auch bei Erganzungsaufgaben ist seiner Mei­nung nach stellenweises Rechnen eher hinderlich als fOrderlich. Beishuizen geht sogar

einzelnen Uisungsschritte sind nicht klar festgelegt, wohingegen bei den Strategien Schritt­weise und Stellenweise die einzelnen Losungsschritte recht klar festgelegt sind.

Rechenstrategien 53

soweit, dass er uberlegt, stellenweises Rechnen nicht nur als schwachere Strategie einzu­stufen, sondem sogar als Barriere beim Problemlosen (vgl. Klein 1998). In spateren Bei­tragen weicht er von dieser extremen Position jedoch ab (Beishuizen 200 I).

Wittmann (1990, 2003) bewertet schrittweises und stellenweises Rechnen gleichwer­tig. Er weist daraufhin, dass Kinder mathematische Strukturen und Gesetze nur dann er­fahren konnen (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz), wenn verschiedene Strategien zu­gelassen werden. Fur das Verstandnis nicht nur des Einspluseins, sondem auch der halb­schriftlichen Addition ganz generell, ist es seiner Meinung nach fundamental wichtig, zu beachten, dass in der Arithmetik die Rechengesetze festgelegt sind, nicht aber die Re­chenwege. Denn das halbschriftliche Rechnen und spater in der Sekundarstufe die Al­gebra beruhen auf der geschickten Nutzung der Rechengesetze. Auch Scherer (2003, 112) empfiehlt, selbst bei lemschwachen Kindem, nicht sofort eine feste Strategie vor­zugeben, sondem zuerst Aufschluss uber die vorhandenen Ideen der Kinder zu bekom­men, urn dann im weiteren Verlauf die Strategien mit den mathematischen Konventionen zu verbinden.

Wittmann fordert, dass stellenweises Rechnen gerade bei Subtraktionsaufgaben (auch mit Zehnerubergang) zum Unterrichtsgegenstand gemacht werden solI. Denn auch Kin­der, bei denen das stellenweise Rechnen nicht diskutiert und vorgemacht wird, rechnen mit stellenweisen Verfahren Subtraktionsaufgaben und benutzen diese oft fehlerhaft. Auch SchUtte (2004, 139) bemerkt, dass viele Kinder eine Vorliebe fUr die Rechenstra­tegie Stellenweise gerade bei Subtraktionsaufgaben zeigen. Rousham (2003) kritisiert in diesem Zusammenhang das gestufte Vorgehen im Unterricht, bei dem zuerst nur Aufga­ben ohne Zehnerubergang gerechnet werden, bei denen stellenweises Vorgehen ange­wendet werden kann. Somit wird stellenweises Rechnen als allgemeingiiltige Methode begriffen, ohne dass auf die Problematik des stellenweisen Rechnens bei Subtraktion mit Zehnerubergang eingegangen wird.

- Eine ganz andere Bewertung des stellenweisen Rechnens findet sich im anglo­amerikanischen Raum2

• Da dort fur Addition und Subtraktion im Hunderterraum schrift­liche Verfahren gelehrt werden, favorisiert man dort die stellenweisen Rechenstrategien wegen ihrer strukturellen Nahe zu den schriftlichen Verfahren sogar gegenuber den schrittweisen Rechenstrategien (Fuson 1992, Resnick 1983): "From an early age they have been encouraged to partition any two-digit number into its tens and units compo­nents, and this tradition is still alive" (Rousham 2003, 34). Ein weiterer Grund fUr das Lehren der stellenweisen Strategie ist die starke Analogie, die zu bekannten, automati­sierten Zahlensatzen besteht (Ashcraft 1985). Deshalb empfiehlt auch Thompson 1997 noch, stellenweise Strategien in den britischen Klassen beim halbschriftlichen Rechnen und Kopfrechnen schwerpunktmaBig zu thematisieren. In neuerer Zeit finden in England in didaktischen Beitragen die schrittweisen Strategien und die Strategie Mischform gro­Bere Beachtung (vgl. Thompson 1999,2003), indem auf die Schwachen des stellenwei-

Beishuizen und Anghileri (1998, 523) schildem den Hintergrund flir dieses Verstandnis: "Un­der the influence of Pia get ian psychology and New Maths, this latter approach became very in­fluential in both the USA and the UK. Counting was seen as a mechanical and meaningless ac­tivity, which should not be stimulated but instead should be replaced as soon as possible by the more meaningful place value concept and its corresponding written (vertical) procedures for addition and subtraction".

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sen Rechnens bei mental arithmetic eingegangen wird: "Our tradition of early teaching of splitting in the guise of 'place-value' endows both us and the children with the handi­cap of thoroughly learning a method which works for addition but not for subtraction" (Rousham 2003, 36).

Verschiedene englische Studien (Thompson 1994, Thompson & Smith 1999) bele­gen, dass auch Kinder, bei denen schrittweises Rechnen nicht thematisiert wird, diese Strategien anwenden und beim Einsatz von Rechenstrategien zwischen Additions- und Subtraktionsaufgaben unterscheiden. So wurde bei den Additionsaufgaben stellenweises Rechnen und bei den Subtraktionaufgaben schrittweises Rechnen haufiger eingesetzt (vgl. auch Lieshout 1997). Beishuizen und Foxman (Beishuizen & Foxman 2002) erhal­ten ahnliche Ergebnisse. Ein Drittel der Kinder benutzte bei einer Subtraktionsaufgabe mit Zehneriibergang schrittweises Rechnen, obwohl diese Strategie nicht gelehrt wurde.

Auf dem Hintergrund der verschiedenen Positionen zur Bewertung und zur unter­richtlichen Thematisierung der Rechenstrategien sowie aufgrund der empirischen Ergeb­nisse zum unterschiedlichen Einsatz bei Additions- und Subtraktionsaufgaben liegt unser vorrangiges Erkenntnisinteresse in der vorliegenden Arbeit bei folgenden Analysepunk­ten.

•

• •

2.3

Welche Rechenstrategien benutzen die Kinder am Anfang des Schuljahres ohne Beeinflussung des Unterrichts? So k6nnen informelle kindliche Denkweisen und eigene Strategien der Kinder erforscht werden, eben so inwiefem Kinder stellen- bzw. schrittweise Strategien einsetzen. Wie verandert sich der Einsatz der Rechenstrategien im Laufe des Schuljahres? Werden beinflussende Faktoren fur die Auswahl der Strategie sichtbar, wie z.B. Operation oder Darstellungsform?

Erfolg verschiedener Rechenstrategien

Wie bereits erwahnt, beobachtete Beishuizen (1993) in einer Feldstudie uber Effektivitat und Fehlermuster der beiden Hauptstrategien, dass schrittweise Strategien effektiver wa­ren, da bei allen Aufgabentypen diese Strategie sicher angewendet werden konnte. D-ie Ergebnisse von Beishuizen und Foxman (2002) bestatigen diese Tendenz (vgl. auch Cooper et al. 1996, Lieshout 1997, Heirdsfield 2002 Thompson & Smith 1999). Obwohl schrittweise Strategien sicherer sind, benutzten leistungsschwachere Kinder eher stel­lenweise Strategien.

Beishuizen & Anghileri (1998) vergleichen aufgrund der empirischen Ergebnisse den unterschiedlichen Gebrauch der Strategie Stellenweise und Schrittweise bei leistungs­schwachen und leistungsstarken Kindem mit dem unterschiedlichen Gebrauch der Zahl­strategien Alles Ziihlen und Weiterziihlen und gelangen zur Feststellung, dass leistungs­schwachere Kinder durch Anwendung dieser Strategien sich selbst Hindemisse schaff en und somit weniger erfolgreich sind (vgl. Gray 1997).

So ist ein weiterer Untersuchungsaspekt die Effektivitat, die bei den einzelnen Re­chenstrategien erreicht wird. Daraus ergeben sich folgenden Auswertungsaspekte:

• We1che Erfolgsquoten werden mit den einzelnen Strategien erreicht? • Erweisen sich schrittweise Strategien ebenfalls als weniger fehleranfallig?

Rechenstrategien 55

2.4 Entwicklungen beim Einsatz von Rechenstrategien

In hollandischen Klassen wurde vor Einfiihrung des leeren Zahlenstrahls beobachtet, dass Kinder, die zuerst stellenweise Strategien nutzten, zur Strategie Mischfarm wechsel­ten, wenn sie merkten, dass stellenweises Rechnen bei Subtraktionsaufgaben nicht so einfach anzuwenden ist. Dies war jedoch nur bei den Kindem der Fall, die merkten, dass stellenweises Rechnen ,bei Subtraktion mit Zehnerubergang nicht in der gleichen Weise angewendet werden kann wie bei Aufgaben ohne Zehnerubergang. Manchmal entwi­ckelten diese Kinder dann noch als Abkiirzung der Misch/arm schrittweises Rechnen (Beishuizen 2001). In Klassen, in denen schriftliche Algorithmen beim additiven Rechnen gelehrt wurden, wurde die gegenlaufige Tendenz festgestellt. Hier wurden zuerst vermehrt schrittweises Rechnen und Ableiten als miindliche Strategien verwendet. 1m Laufe des Schuljahres, in dem die schriftlichen Algorithmen im Mittelpunkt standen, nahmen diese Strategien ab, wobei stellenweise Strategien bevorzugt wurden (Cooper et al. 1996).

Bei anderen Studien (Carpenter & Moser 1984, Cooper et al. 1 996b, de Corte & Ver­schaffel 1987) konnte keine durchgangige Entwicklung festgestellt weJden. Dort wech­selten die Kinder die Strategien innerhalb eines und zwischen verschiedenen Interviews, wobei leistungsstarkere Kinder eher vieWiltige Strategien einsetzten. Bei allen Kindem wurde beobachtet, dass sie nicht immer die effektivsten Strategien benutzten, die sie zur Verfiigung hatten - auch wenn sie diese Strategie gerade zuvor eingesetzt hatten -, son­dem auch auf niedrigere Levels zuruckgriffen (Carpenter & Moser 1984, Cooper et al. 1996b, Stem 1997). Selten verwendeten Kinder nur eine Strategie fur gleichartige Auf­gaben. Oft gab es keinen ersichtlichen Grund fUr den Strategiewechsel (Cooper et al. 1996). Auch von wachsender ZahlengroBe hing die Strategieauswahl nicht ab, eher von der Reihenfolge der einzelnen Zahlen.

Da die Kinder in der beschriebenen Untersuchung dreimal befragt wurden, konnen Entwicklungstendenzen beziiglich aller und einzelner Kinder beim Rechenstrategieein­satz festgestellt werden. Dabei wird es sich zeigen, ob und welche der bereits vorliegen­den Ergebnisse bestatigt werden konnen.

3 Design der Untersuchung

3.1 Rahmenbedingungen

1m Rahmen der hier dazustellenden Untersuchung wurden 120 SchUler und Schiilerinnen im Verlauf des ersten und zweiten Schuljahres insgesamt sechsmal zu Rechenanforde­rungen der ersten beiden Schuljahre mit Hilfe klinischer Interviews befragt. Grundlage der vorliegenden Arbeit ist der zweite Abschnitt des Forschungsprojekts. Es wurden Vorgehensweisen von Schiilerinnen und Schiilem im zweiten Schuljahr bei Additions­und Subtraktionsaufgaben im Hunderterraum erhoben und analysiert. Die Interviews fandenjeweils am Anfang, in der Mitte und am Ende des Schuljahres statt.

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Klasse I (Zahlenraum bis 20) Klasse 2 (Zahlenraum bis 100)

Interview 1 Interv iew 2 Interview 3 Interview I Interview 2 Interview 3 September Februar Ju li September Februar JuIi

2000 200 1 2001 2001 2002 2002

Tab. 4: Zeit plan

An zehn Heidelberger und Mannheimer Schulen wurden aus jeweils zwei Parallel­klassen sechs Kinder wahrend der ersten zwei Schuljahre beim L6sen additiver und sub­traktiver Rechenanforderungen beobachtet und befragt. Diese sechs Kinder wurden an­hand von Aufgaben zur Erhebung arithmetischer Vorkenntnisse (KnapsteiniSpiegel 1995) in den ersten Schulwochen des ersten Schuljahres und anhand von Lehrerinnen­einschatzung so ausgewahlt, dass jeweils ein Junge und ein Madchen mit vermutlich schwachem, durchschnittlichem und starkem Leistungsniveau an der Untersuchung teil­nahmen.

Junge und Madchen stark

Junge und Miidchen mittel

Schule X

Junge und Miidchen schwach

Junge und Madchen stark

Abb.l : Schi1lerauswahl

J unge und Miidchen mittel

Junge und Miidchen schwach

Von den ursprunglich 120 Kindem waren nur 100 bei allen drei Untersuchungen an­wesend. Die anderen Kinder fielen durch Urnzug, Klassenwiederholung oder Krankheit aus. Aus Grunden der Vergleichbarkeit wurden nur die Ergebnisse dieser 100 Kinder ausgewertet.

3.2 Aufgaben

1m 2. Schuljahr wurden jeweils 10 Plus- und 10 Minusaufgaben gestellt. Bei deren Zu­sammenstellung wurde Folgendes bedacht (vg1. Benz 2005, 103 f):

• Darbietungsform (D): Jeweils fiinf Aufgaben wurden als Text- (TA) bzw. Zah­lenaufgaben (ZA) gestellt.

• Zwillingsaufgaben (ZWI): Von diesen jeweils 10 Aufgaben waren vier Aufga­ben so konstruiert, das jeweils zwei von ihnen diese1ben Zahlenwerte aufweisen, d.h. je zwei Zahlensatze wurden einmal als Zahlen- und einmal als Textaufgabe prasentiert.

Rechenstrategien 57

• Umkehraufgaben (UM): Von den jeweils sechs nicht doppelt auftretenden Plus­und Minusaufgaben wurden je zwei Plus- und zwei Minusaufgaben so kon­struiert, dass sie zumindest aus Sicht der geiibten Rechner als Aufgabe und Um­kehraufgabe erkannt werden konnten.

• Bauart (BAU): Generell wurden nur Aufgaben aus dem Hunderterraum ausge­wahlt. Bei der Addition und der Subtraktion wurde als ein Klassifikationskrite­rium die 'Bauart' der beiden Zahlen gewahlt. So konnen die Aufgaben in ver­schiedene Schwierigkeitsstufen eingeteilt werden und der Einfluss der Komple­xitat der Bauart auf die Erfolgsquoten und Vorgehensweisen untersucht werden. 1) E ± Emit Zehneriibergang 2) Z ± Z 3) ZE ± Z 4) ZE ± E ohne Zehneriibergang 5) ZE ± Emit Zehneriibergang 6) ZE ± ZE ohne Zehneriibergang 7) ZE ± ZE zum Zehner 8) ZE ± ZE mit Zehneriibergang

• Ubergang CO): leweils funf Aufgaben erforderten einen Zehneriibergang (bzw. ein Rechnen auf eine Zehnerzahl), bei jeweils funf Aufgaben fiel kein Ubertrag an. Diese Unterscheidung gibt die Moglichkeit, dass genauer betrachtet werden kann, welchen Einfluss der Zehneriibergang haben kann.

Bei den Aufgaben fur die Subtraktion wurde noch beriicksichtigt, dass durch die Wahl der Zahlenwerte bzw. des Aufgabentextes jeweils funf Aufgaben so gestellt wur­den, dass sie mehr der Abzieh- (A) bzw. mehr der Erg~nzungsvorstellung (E) zuneigten.

Die Aufgaben, die die Grundlage fur die Auswertung des Rechenstrategieeinsatzes bilden, waren die Aufgaben ZE ± ZE mit und ohne Zehneriibergang, da bei diesen Auf­gaben aIle Rechenstrategien angewendet werden konnen:

Aufgabe D ZWI UM BAU U E/A

Wie viel ist 25+43? ZA JA 6

Wie vie I ist 46+29? ZA JA 8 JA

Auf einem Backblech liegen 46 Kekse, auf einem ande- TA JA 8 JA ren Backblech liegen 29 Kekse. Wie viele Kekse sind es zusamrnen?

Auf einem Backblech liegen 33 Kekse, es werden 47 TA JA 7 JA Kekse hinzugelegt. Wie viele Kekse sind es zusamrnen?

Wie vie! ist 68-25? ZA JA 6 A

Wie vie! ist 71--69? ZA JA 8 JA E

Ich will 71 Kekse backen. 69 Kekse sind schon fertig. TA JA 8 JA E Wie viele Kekse muss ich noch backen?

Tab. 5: ZEZE Aufgaben

Es kamen vier Testversionen zum Einsatz. Die Reihenfolge der Aufgaben wurde va­riiert, so dass diese die Erfolgsquoten nicht zu sehr beeinflussen konnte. Den Kindem wurde bei jeder Interviewserie immer die gleiche Testversion prasentiert.

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Es standen den Kindem Plattchen, Zehnerstreifen, Hunderterfeld, Hunderterrechen­rahmen und das in der jeweiligen Klasse vorhandene Material zur Verfugung (z.B. Cui­senairestabe, Rechenrahmen, Steckwtirfel, Hunderterfeld mit Plattchen und Zehnerstrei­fen). Papier und Stifte waren fur zeichnerische Losungen und halbschriftliches Rechnen oder sonstige Notizen vorhanden.

Ais Einstieg in die Textaufgaben wurden den Kindem Zeichnungen eines Backble­ches (Hunderterfeld), das mit 100 (50, 37) Keksen gefullt war, vorgelegt. Die Kinder sollten die Anzahl der 50 und 37 Kekse benennen. AuBerdem wurde ein leeres Back­blech, auf dem allerdings - ahnlich wie bei Backpapier - potenzielle Orte, an denen die Platzchen gelegt werden konnten durch eine diinne Linie angedeutet wurden, bereitge­legt. So wurde versucht, den Kindem eine ikonische Losungshilfe anzubieten, die auch einen inhaltlichen Bezug zu den Textaufgaben bot.

Da zu Beginn des Schuljahres der Zahlenraum bis 100 noch nicht erweitert war, konnten die Kinder nicht auf bekannte Anschauungsmaterialien zumindest am Schuljah­resbeginn zurUckgreifen. Den Kindem wurde verbal signalisiert, dass sie die Aufgaben ohne Materiallosen konnen, wenn sie es wollen bzw. es sich zutrauen, aber auch Mate­rial zu Hilfe nehmen konnen, wenn sie es mochten.

3.3 Datenauswertung

Zum Erheben und Auswerten der Daten wurden sowohl qualitative als auch quantitative Verfahren genutzt. Das Verfahren der Methodentriangulation3 hat sich mittlerweile in den Sozialwissenschaften (Larnnek 1995) und auch in der mathematikdidaktischen For­schung durchgesetzt. "Um einem gangigen Missverstandnis entgegenzuwirken, ist dar­aufhinzuweisen, dass qualitative Forschung keineswegs eine Quantifizierung der Daten ausschlieBt" (Maier & Beck 1994, 166). Dabei ist eine grundliche qualitative Auswer­tung wichtig als gute Grundlage fur Quantifizierung: "Auch qualitativ erhobenes Materi­al kann unter unterschiedlichsten Gesichtspunkten quantifiziert werden. Entscheidend ist, dass diese Quantifizierung im Nachhinein erfolgt, auf der Basis einer umfangreichen Auseinandersetzung mit dem qualitativ erhobenen Material" (Hopf 1979, 13f, zit. in Maier & Beck 1994,166).

Das Besondere dieser Studie ist, dass von allen 100 Kindem zuerst die qualitativen Daten in Form von klinischen Interviews vorlagen. AnschlieBend erfolgte eine Klassifi­zierung der Aul3erungen tiber einen Vergleich der Interviewdaten. Die gewonnenen Daten wurden anhand deskriptiver statistischer Verfahren so bearbeitet, dass Aussagen tiber Tendenzen bei allen Kindem getroffen werden konnten. Es wurden Signifikanzen zwischen verschiedenen Kindergruppen, Aufgabengruppen, Untersu­chungszeitpunkten auf dem 5% Niveau (p<0,05) berechnet. Die Signifikanzen werden nur dann angegeben, wenn sie bestehen, aus Grunden der besseren Lesbarkeit werden die einzelnen Signifikanzwerte nieht angegeben. Des ofteren nutzten die Kinder bei einer

Triangulation wird nach Denzin als die Kombination von Methodologien beim Studium ein und desselben Phiinomens bezeichnet (Lamnek 1995,248).

Rechenstrategien 59

Aufgabe mehrere Rechenstrategien. Fur die statistischen Verfahren wurden nur die Da­ten des ersten Losungsversuchs miteinbezogen.

Bei einigen Interviews bzw. einigen Aufgaben wurde eine genaue qualitative Analy­se vorgenommen. Dabei wurden die relevanten Interviewausschnitte wortlich transkri­biert, damit Aussagen uber tiefer liegende Gedankengange getroffen werden konnten.

4 Untersuchungsergebnisse

Die Interviews wurden anhand der Kategorien Ergebnisse, Rechenmethode, Ziihlen­Rechnen-Wissen, Zahlstrategien, Rechenstrategien und Fehlermuster ausgewertet, die in der Auseinandersetzung mit dem Datenmaterial weiter entwickelt wurden (vgl. Benz 2005).

1m diesem Abschnitt werden die Untersuchungsergebnisse der Kategorie Rechenstra­tegien vorgestellt. Wie bereits erwahnt (s. 3.2) wurden fUr die Betrachtung des Rechen­strategieeinsatzes nur die 7 Aufgaben der Bauart ZE±ZE ausgewahlt (r/Z 46+29, T/Z 71-69, Z68-25, T33+47, Z25+43), da bei dies en Aufgaben aIle Rechenstrategien einge­setzt werden konnen.

4.1 Zunehmender Einsatz von Rechenstrategien

Am Schuljahresanfang nehmen die Rechenstrategien mit 32,9% bei den Aufgaben mit zwei zweistelligen Zahlen, ZEZE Aufgaben, schon einen betrachtlichen Anteil an den eingesetzten Losungswegen ein. Dabei waren fUr diese Aufgaben noch uberhaupt keine Rechenstrategien thematisiert worden. Deshalb kann man vor allem informellen Rechen­strategieeinsatz beobachten. 51,7% der Aufgaben wurden durch Zahlen gelost und bei 5,9% der Aufgaben konnten die Kinder durch Folgewissen das Ergebnis nennen. Die restliehen Aufgaben 16sten die Kinder mit versehiedenen Losungswegen.

In der Schuljahresmitte wurden bei 48,1% der ZEZE Aufgaben Rechenstrategien eingesetzt. (36,6% Zahlen und 7,3% Wissen). In 12 Klassen waren diese Aufgaben zum Untersuchungszeitpunkt noell nieht Unterrichtsgegenstand gewesen. Die 6 Klassen, in denen mathematikus, Zahlenbuch und Lollipop verwendet wurden, hatten zu diesem Zeitpunkt bereits ZEZE Aufgaben behandelt. In den 2 Klassen, in denen mit Leonardo unterriehtet wurde, waren ZEZE Aufgaben ohne Obergang thematisiert worden. In vie­len SehulbUehem (multi, Welt der Zahl, Nussknacker, mathematikus) wurde Schrittweise bei anderen Aufgabengruppen ausfUhrlicher dargestellt bzw. favorisiert.

Am Schuljahresende ist der Anteil der Rechenstrategien auf 59,7% gestiegen (25,3% Zahlen, 7,5% Wissen). Nun waren in allen Klassen Rechenstrategien fUr die ZEZE Aufgaben thematisiert worden.

Der informelle Rechenstrategieeinsatz zu Schuljahresbeginn nimmt schon einen be­trachtlichen Anteil ein. Signifikante Zunahmen lassen sich bei den Rechenstrategien zwischen allen Untersuchungen feststellen.

4 T= Textaufgabe, Z=Zahlenaufgabe

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4.2 Verwendung aller Rechenstrategien

Wie bereits erwahnt, konnen bei den 7 Additions- und Subtraktionsaufgaben der ZEZE Aufgaben aIle Rechenstrategien eingesetzt werden. Allerdings zeigt sich bei den Zwil­lingsaufgaben 71-69 das Problem der Anwendung des stellenweisen Rechnens bei Sub­traktionsaufgaben mit Zehneriibergang (vgl. 2.2 Bewertung verschiedener Rechenstrate­gien). Betrachtet man die Schaubilder, so rallt auf, dass zu jedem Untersuchungszeit­punkt aile Rechenstrategien eingesetzt wurden.

Rechenstrategien bei ZEZE Aufgaben

25°0

20".

0 chriuweise 15°0

• Stcllenweise

1~. o Mischform

lr 1 o Ablcilen

5";,

00. ..., h

Int. 1 Int. 2 Int. 3

250.0

200>

15°0

10°0

5°0

0".

KOl'rekte Rechenstl'ategien bei ZEZE Aufgabe n

r ILf ~ Int. 1 Int. 2

h

Int. 3

o Schrittweise

• Stell nweisc

o t\ lischform

O J-\ blei t 11

Abb. 2: Rechenstrategien bei ZEZE Aufgaben

Am Schuljahresanfang ist Stellenweise vor Behandlung der Rechenstrategien bei al­len ZEZE Aufgaben mit 14,2% (M=0,82, SD=I,4) Hauptstrategie, gefo1gt von Misch­form mit 9,0% (M=0,52, SD=l ,O). Schrittweise nimmt immerhin noch 6,9% (M=0,4, SD=0,8) ein und wurde vor allem bei der Textaufgabe 71-69 eingesetzt, wahrend sich aus Sieht der Kinder Ableiten kaum anbietet.

In der Schuljahresmitte haben aile Rechenstrategien - bis auf Ableiten - signifikant zugenommen. Stellenweise dominiert weiterhin mit 22,8% (M=I,51 , SD=1,8). Bei 13,8% (M=0,91, SD=I ,4) der Aufgaben wird die Strategie Mischfarm genutzt. Schritt­weise nimmt nun 10,1 % ein (M=0,67, SD=1,2).

Am Schuljahresende ist Stellenweise auch noch Hauptstrategie, obwohl eine leiehte Abnahme auf 20,9% (M=1,45, SD=I,6) stattgefunden hat. Der Anteil von Misch/arm mit 18,9% (M=1,31, SO=1,7) und Schrittweise mit 16,5% (M=1,14, SO=I,4) ist weiter signifikant angestiegen.

Beim Einsatz der Rechenstrategien bei den ZEZE Aufgaben wird folgende Tendenz deutlieh: Daminanz und Abnahme von Stellenweise - Zunahme von Schrittweise und Mischfarm. Da am Schuljahresende die ZEZE Aufgaben im Unterricht behandelt worden waren und in den meisten Schulbiichem und Unterriehtsstunden Schrittweise favorisiert5,

in anderen zumindest ausfuhrlich behandelt wurde, verwundert die Zunahme nieht. Bei den korrekten Reehenstrategien zeigt sieh am Anfang und in der Mitte des Schul­

jahres keine unterschiedliche Tendenz im Vergleich zu. den Reehenstrategien allgemein.

Aussagen bei den Fragebogen der Lehrerinnen

Rechenstrategien 61

Stellenweise dominiert, Mischfarm wurde etwas haufiger eingesetzt als Schrittweise. Am Schuljahresende ist Stellenweise ebenfalls wie bei samtlichen Rechenstrategien Haupt­strategie. Zweithiiufigste Strategie bei den korrekten Rechenstrategien ist jedoch Schrittweise. Mischfarm wurde weniger hiiufig korrekt verwendet.

Festgehalten werden kann also, dass trotz unterschiedlicher Entwicklung des Re­chenstrategieeinsatzes bei den einzelnen Rechenstrategien zu jedem Untersuchungszeit­punkt von den Kindem alle Rechenstrategien verwendet wurden.

Manche Kinder setzten sogar innerhalb einer Aufgabe mehrere Rechenstrategien ein, wie am Schuljahresanfang an der Bearbeitung von Claudia bei der Aufgabe: "Wie v~el ist 46+29?" zu sehen ist. Claudia setzte sowohl Rechen- als auch Zahlstrategien ein, va­riierte immer wieder ihre Strategie und reflektierte kritisch ihre L6sung. Weiterhin ist bei ihren L6sungsversuchen sehr deutlich zu sehen, dass gerade am Schuljahresanfang der Zahlenraum und die Zahlwortr~ihe bis lOO, die noch nicht erweitert waren, fur die Kin­der eine Hiirde darstellen. Claudia begann mit der Strategie Stellenweise zu rechnen, in­dem sie versuchte, zuerst die Summe der Zehner und dann die Summe der Einer zu be­rechnen. Die Summe der Einer konnte sie korrekt bestimmen, beim Addieren der Zwi­schenergebnisse 60 und 15 harte sie jedoch Probleme.

4 C: Nee, diesmal hab ich's so gemacht, dass die Zahl und die zusammengerechnet hab, (zeigt auf die Zehnerstellen), das war dann sechsund ... 60, und dann die und die zusammen, (zeigt auf die Einerstellen), und dann das, was das ergibt, zu den 60 dazugezahlt.

Sie wechselte dann zur Strategie Mischfarm, indem sie erst zur 29 die 40 dazuzahlte und dann die 9 addieren wollte, dabei untemahm sie mehrere Zahlversuche.

19 C: Angefangen hab ich hier (zeigt mit zwei Fingern auf die Ziffern der 29), und dann hab ich die 40 dazugezahlt, (zeigt aUf die 4) und zu den 40 nochmal die 6.

AnschlieBend wechselte sie die Rechenrichtung und addierte zur 46 zuerst die 20, er­hielt als Ergebnis 66, addierte dann 9 dazu und gelangte aufgrund eines fehlerhaften Zehneriibergangs zu einem unkorrekten Ergebnis. Dabei kann beobachtet werden, dass Claudia zu den wenigen Kindem geh6rt, die ihr Ergebnis reflektierten.

31 C: 66, 67, 68, 69, 50, 51, 52, 53, 54, 55 kommt bei mir raus. (Bewegt die Finger dazu.) 32 I: Jetzt habe ich es perfekt verstanden. Wunderst du dich oder? 33 C: Nee, aber ich hatte jetzt was ganz anderes gedacht, das was anderes rauskommt. 34 I: Ja, was hast du gedacht? 35 C: Weil ich mein das sind 60 (zeigt auf die 4 und die 2), und dann kann nicht 55 rauskommen,

weil55 ist ja weniger als 60.

4.3 Unterschiedlicher Einsatz bei Additions- und Subtraktionsaufgaben

Wahrend des ganzen Schuljahres werden die Rechenstrategien bei Additions- und Sub­traktionsaufgaben der ZEZE Aufgaben unterschiedlich angewendet.

62 Christiane Benz

So dominiert bei den Additionsaufgaben immer Stellenweise. Ein signifikanter Zu­wachs fUhrt dazu, dass in der Schuljahresmitte Stellenweise fast doppelt so haufig einge­setzt wurde wie Mischform. Bis zum Schuljahresende nimmt Stellenweise etwas ab, wahrend Schrittweise und vor aHem Mischform signifikant zunehmen. Trotzdem bleibt Stellenweise Hauptstrategie.

Rechenstrategien bei ZEZE Additions' lind SlIbtraktionsallfgaben

35% ,....-------~ 30%

Korrekte Rechenstrategien bei ZEZE Additions- lind Subtraktionsaufgaben

35% r--------..., 30%

25% &hriu..wc.isc 25% C Schrittwcisc

20%

15%

10%

5%

0% ...... .CI...L ............ J-..IJ ............. u...w-.....u

Int.. Int. Int. Int. Int. In t. 1+ 1- 2+ 2- 3+ 3·

20%

15%

10%

5% 0% ~~~uu~~~~=

Int. Int. Int. Int. Int. Int. 1+ 1- 2 + 2' 3+ 3'

Abb.3: Rechenstrategien bei den ZEZE Additions- und Subtraktionsaufgaben

Bei den Subtraktionsaufgaben ist Schrittweise wahrend des ganzen Schuljahres Hauptstrategie. In der Schuljahresmitte kann bei Schrittweise und Mischform ein signifi­kanter Zuwachs verzeichnet werden. Am Schuljahresende nimmt nur Schrittweise signi­fikant zu, wahrend Stellenweise etwas zurUck geht und Mischform fast konstant bleibt. Die Textaufgabe - ,,69 Kekse habe ich schon, 71 will ich haben, wie viel muss ich noch backen?" - die das schrittweise Erganzen als Strategie nahe legt, kann mit eine Ursache sein, dass bei den Subtraktionsaufgaben Schrittweise Hauptstrategie wird. Signifikante Unterschiede bestehen zwischen den ZEZE Additions- und Subtraktionsaufgaben bei folgenden Rechenstrategien:

• Bei der Rechenstrategie Stellenweise und Mischform bei allen drei Interviews; • Bei der Rechenstrategie Schrittweise in der Mitte und am Ende des Schuljahres.

Bei der isolierten Betrachtung der korrekten Rechenstrategien bestatigen sich die meisten Tendenzen, obwohl bei allen drei Interviews Mischform einen geringeren Anteil im Vergleich zu den allgemeinen Rechenstrategien hat. Zu Beginn des Schuljahres wur­de Ableiten bei den korrekten Rechenstrategien hiiufiger verwendet als Mischform und in der Schuljahresmitte ist der Einsatz von Ableiten fast genauso haufig wie Mischform.

Auch bei den Umkehraufgaben Z68-25 und Z25+43 bestatigt sich die Tendenz, die bei der Betrachtung aller ZEZE Aufgaben aufgetreten ist: Kinder nutzten bei der Additi­onsaufgabe hiiufiger Stellenweise und bei der Subtraktionsaufgabe eher Schrittweise, wobei der Unterschied im Lauf des Schuljahres deutlicher wird. In der Mitte und am En­de des Schuljahres sind die Unterschiede beim Einsatz der Strategie Stellenweise und Schrittweise signifikant.

Rechenstrategien 63

Interview 1 Interview 2 Interview 3

Schritt- Stellen- ~isch- iAblei- Schritt- Stellen- ~isch-iAblei Schritt- Stellen- ~isch-iAblei

Iweise Iweise ann en Iweise Iweise ifonn . en Iweise Iweise ann en

Z25+43 4,2% 20,0% 12,6% 2,1% 3,1% 45,8% 14,6% 1,0% 12,1% 47,5% 17,2% -

Z68-25 8,9% 17,8% 5,6% 1,1% 13,1% 25,3% 14,1% - 24,0% 24,0% 14,0% -

Tab. 6: Rechenstrategien bei Umkehraufgaben

Zu allen drei Untersuchungszeitpunkten auBerte sich nur ein Kind zur Beziehung zwischen den Umkehraufgaben.

I:

2 K: 3 I: 4 K: 5 I: 6 K:

Auf einem Backblech liegen 80 Kekse. Ich esse 33 Kekse auf. Wie viele liegen dann noch auf dem Backblech? 47. Das ging ja auch schnell, wie hast du das so schnell rausgekriegt? (Zeigt auf seine Notizen von der Aufgabe T33+47.) Von der Aufgabe da oben? Ja, 80-33 ist gleich 47.

Stellenweise als Hauptstrategie bei den ZEZE Additionsaufgaben entspricht den Er­gebnissen von Missaoui (1999). Bei Thompson & Smith (1999) wurden ebenfalls Misch­form und Stellenweise bei den Additionsaufgaben als Hauptstrategien eingesetzt, wobei Mischfarm Hauptstrategie war. Schrittweise als Hauptstrategie bei den ZEZE Subtrakti­onsaufgaben wurde auch von Thompson & Smith (1999) festgestellt. Der unterschiedli­che Einsatz bei Additions- und Subtraktionsaufgaben entspricht den Ergebnissen von Thompson & Smith (1999) und Lieshout (1997).

4.4 Unterschiede bei Aufgaben mit und ohne Zehneriiber­gang

Rechenstrategien bei ZEZE Additionsaufgaben mit und ohne Zchnerubcrgang

5~~--------------------------~

30%

lin. 10 hH. I 0 InL. 20 InL 2 0 InL 30 Int" 8 0

0= ohne Ubergang, U= mit Ubergang

IJ Schl'ittwcise

• Stelle]] wcise

cMiliChfnnn

o Ablcitcn

Abb. 4: Rechenstrategien bei ZEZE Additionsaufgaben mit und ohne Ubergang

Die Abbildung zeigt, dass sich der Einsatz der Rechenstrategien Stellenweise und Misch­form beim Addieren mit und ohne ZehneIiibergang unterscheidet. Die Kinder nutzten bei Aufgaben ohne ZehneIiibergang wahrend des gesamten Schuljahres signifikant hiiufiger

64 Christiane Benz

Stellenweise als bei Aufgaben mit Zehneriibergang. Stellenweise ist wahrend des gesam­ten Schuljahres bei den Additionsaufgaben ohne Zehneriibergang Hauptstrategie, wah­rend bei den Aufgaben mit Zehneriibergang immer Misch/arm dominiert. Dieser unter­schiedliche Einsatz konnte ein Anzeichen dafiir sein, dass Kinder bereits bei der Aufga­benstellung - vielleicht in Form eines Zahlenblicks (Schiitte 2004) oder Zahlensinns (Lorenz 1998) - "sehen", ob ein Zehneriibergang anHillt und dies ihre Strategieauswahl beeinflusst. Wenn sie die Notwendigkeit eines Zehneriibergangs bemerkten, nutzten sie eher die Strategie Misch/arm als Stellenweise, da ihr Gedachtnis ansonsten bei der kom­plizierteren Teilrechnung mit den Einem doppelt belastet gewesen ware.

Signifikante Unterschiede bestehen zwischen den ZEZE Additionsaufgaben mit und ohne Zehneriibergang bei der Rechenstrategie Stellenweise in allen drei Interviews.

Auch bei den Subtraktionsaufgaben wird, wie erwartet, eine unterschiedliche Gewich­tung der verschiedenen Rechenstrategien deutlich. So zeigt sich vor allem beim Einsatz der Strategien Stellenweise eine unterschiedliche Entwicklung. Stellenweise nimmt bei den Aufgaben mit Zehneriibergang ab und bei der Aufgabe ohne Zehneriibergang zuerst signifikant zu und dann leicht abo Schrittweise hat bei beiden Aufgabentypen einen Zu­wachs. Bei der Aufgabe ohne Zehneriibergang ist Stellenweise immer Hauptstrategie, al­lerdings wird am Schuljahresende Stellenweise und Schrittweise gleich haufig eingesetzt. Bei den Aufgaben mit Zehneriibergang wurde Schrittweise wahrend des ganzen Schul­jahres am haufigsten benutzt. Schrittweise wird am Schuljahresanfang bei den Aufgaben mit Zehneriibergang kaum und in der Schuljahresmitte signifikant haufiger verwendet. Der signifikant unterschiedliche Einsatz der Strategie Stellenweise zeigt, dass die Kinder ein gewisses aufgabenadaquates Verhalten haben.

Rechenstrategien bei ZEZE ubtraktionsaufgaben mit und ohne Zehnerubel·gang

3~ ~--------------------------~ 25'-

2~

15%

10%

o = ohne Obergang, 0 = mit Obergang

c Schritty,'eisc

• Stcllenwcisc

o Mischform

o Ablcitcn

Abb. 5: Rechenstrategien bei ZEZE Subtraktionsaufgaben mit und ohne Zehneriibergang

Signifikante Unterschiede zwischen den ZEZE Subtraktionsaufgaben mit und ohne Zehneriibergang lassen sich bei folgenden Rechenstrategien feststellen:

• Bei der Rechenstrategie Stellenweise bei allen drei Interviews; • Bei der Rechenstrategie Schrittweise in der Mitte und am Ende des Schuljahres; • Bei der Rechenstrategie Ableiten in der Mitte und am Ende des Schuljahres.

Rechenstrategien 65

4.5 Seltener Einsatz von schrittweisem Subtrahieren am Schuljahresanfang bei den ZEZE Subtraktionsaufgaben

Rechenstl'ategien bei ZEZE Subtraktion aufgaben mit Unterscheidung bei schl'it tweisen Strategien

2~'~ .................................................. ~

15~ Sch ri I twcisc

l~

In t . I Int. 2 Int. 3

Abb. 6: Rechenstrategien bei Subtraktiansaufgaben mit Unterscheidung schrittweiser Strategien

Wei I die Semantik der Textaufgabe T71-69 Erganzen nahe legt, wird hier nochmals nach der Rechenrichtung differenziert. Wahrend Schrittweise allgemein von Anfang an die Hauptstrategie darstellt, ist dies fur das schrittweise Subtrahieren an sich erst gegen Ende des Schuljahres der Fall.

4.6 Wechselnde Bevorzugung der Strategien

Bei der Analyse nach "bevorzugter Rechenstrategie" wurden Kinder berucksichtigt, die bei mindestens drei der ZEZE Aufgaben die gleiche Strategie verwendeten und andere Strategien nur vereinzelt nutiten6

. Es gibt bis auf die Aufgaben T/Z 71-69 keine ZEZE Aufgabe, bei der sich aus Sicht geubter Rechner im Sinne flexibler Rechenstrategien be­stimmte Strategien eher anbieten als andere. Die Aufgaben T/Z 71-69 stellen in gewis­sem Sinne eine Ausnahme dar, da sich Stellenweise nicht anbietet. Aus Sicht der Kinder ist 1-9 nicht lOsbar und in keiner Klasse wurde Stellenweise bei Subtraktionsaufgaben mit Zehnerubergang erarbeitet. Auch im Hinblick auf den flexiblen Einsatz von Rechen­strategien ist diese Aufgabe eine Ausnahme, da bei T/Z 71-69 aus Sicht geubter Rechner das Erganzen oder Bestimmen des Unterschieds als elegante Strategie geeignet ist.

Stellenweise ist die Strategie, die wahrend des gesamten Schuljahres am haufigsten bevorzugt wurde, obwohl den Kindem schrittweises Rechnen von den Aufgaben mit Zehnerubergang aus Klasse 1 bekannt war und stellenweises Rechnen noch nicht thema­tisiert wurde. Mischfarm wurde am Schuljahresende genauso haufig wie Stellenweise vorwiegend eingesetzt. Schrittweise nimmt zu, wurde jedoch am Schuljahresende nur halb so oft als favorisierte Strategie verwendet.

6 Aus diesem Grund wird am Schuljahresanfang ein Kind doppeJt aufgefiihrt, weil es drei Auf­gaben stellenweise und drei Aufgaben schrittweise loste. In der Mitte und am Ende des Schul­jahres rechnete ein Kind drei Aufgaben mit Schrittweise und Mischfarm, ebenso setzten am Schuljahresende drei Kinder bei drei Aufgaben Stellen- und Schrittweise ein.

66 Christiane Benz

Stellenweise Schrittweise Mischform Versch.

Anzahl der Aufgaben 3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3-6

Anzahl der Kinder 7 7 2 2 1 3 1 2 10

Interview 1

Anzahl der Kinder 8 13 5 2 3 1 0 2 5 3 2 2 16

Interview 2

Anzahl der Kinder 10 11 4 - 6 3 0 4 11 8 3 3 9

Interview 3

Tab. 7: Bevorzugte Rechenstrategien in der Schuljahresmitte

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass bei wenigen Kindem tiber das ganze Schuljahr hinweg ein konstantes L6sungsverhalten - im Sinne der Bevorzugung einer Strategie - festgestellt werden kann. Am hiiutigsten kann dies bei der Strategie Stellen­weise bei neun Kindem konstatiert werden. Innerhalb einer Untersuchung sind allerdings die Kinder, die eine Rechenstrategie vorwiegend einsetzten, ab der Schuljahresmitte hiiu­tiger vertreten als die Kinder, die zu einem Untersuchungszeitpunkt verschiedene Re­chenstrategien benutzten. Die Kinder, die am Schuljahresende hauptsiichlich Misch/arm verwendeten, ziihlten bei den beiden vorherigen Interviews hauptsiichlich.

Insofem k6nnen die Ergebnisse von Beishuizen (2001) nur teilweise bestiitigt wer­den. Misclifarm ist am Schuljahresende zwar die bevorzugte Strategie, die am hiiutigsten eingesetzt wurde. Allerdings kann bei keinem Kind ein Entwicklungsverlauf von Stel­lenweise tiber Misch/arm zu Schrittweise festgestellt werden. Eine Zunahme von Stel­lenweise, wie sie von Cooper et al. (1996) konstatiert wurde, kann vor allem im ersten Halbjahr beobachtet werden. Die Tendenz des wechselnden Strategieeinsatzes von Car­penter & Moser (1984), Cooper (1996b), de Corte & Verschaffel (1987) kann auch in dieser Untersuchung beobachtet werden. Auch zeigt sich trotz der Tendenz des recht konstanten Strategieeinsatzes wiihrend eines Interviews, dass Kinder bei gleichen Auf­gaben verschiedene Strategien einsetzten (vgl. Cooper et al. 1996), vor allem bei der Zwillingsaufgaben T/Z46+29. Auch in der vorliegenden Untersuchung kann der Strate­giewechsel bei einzelnen Kindem oft nicht begrundet werden (vgl. Cooper et al. 1996). Bei der Betrachtung der verschiedenen Aufgabengruppen wird allerdings deutlich, dass Operation und Bauart (der Zehnerubergang bei den ZEZE Subtraktionsaufgaben) die Strategieauswahl beeinflussen.

4.7 Unterschiedliche Erfolgsquoten bei den einzelnen Rechen­strategien

Urn die Effektivitiit der Rechenstrategien bei den ZEZE Aufgaben zu betrachten, wird der Anteil der korrekten Resultate bei den eingesetzten Rechenstrategien dargestellt. Da Ableiten sehr selten eingesetzt wurde, werden nur die Erfolgsquoten der drei Hauptre­chenstrategien miteinander verglichen.

Rechenstrategien 67

"0% 18%

16%

1m

12%

10%

8%

6%

.%

2%

0%

Korrekte und unkorrekte Rechenstrategien bei ZEZE AlIfgAben

l:tSc:hriuwclse

• SchriUwcise unkorrekt

o Stc.llcnwcisc

• Slcllcnwciso un.korreJct Cl Misehform

• Misehform ~mkotrckt

Int. I Inl.2 Int.:1

Erfolgsquoten der Rechenstrategien bei

den ZEZE Auf aben

Int. 1 Int. 2 Int. 3

Schrittweise 52,9% 78,2% 87,8%

Stellenweise 74,1% 77,0% 84,2%

Mischform 48,9% 67,9% 61,9%

Abb. 7: Korrekte und.unkorrekte Rechenstrategien bei ZEZE Aufgaben

Am Schuljahresanfang ist Stellenweise die erfolgreichste Strategie. 74,1 % der Auf­gaben, die mit Stellenweise gerechnet wurden, hatten ein korrektes Ergebnis. Schrittwei­se wurde am Schuljahresanfang nicht so effektiv angewendet wie Stellenweise. Die Erfolgsquoten beider Strategien nehmen im Laufe des Schuljahres zu. In der Schul­jahresmitte und am Schuljahresende ist Schrittweise dann geringfUgig erfolgreicher als Stellenweise.

Da die Kinder bei der Wahl der Rechenstrategie zwischen Additions- und Subtrakti­onsaufgaben unterschieden, werden die Erfolgsquoten der einzelnen Strategien noch ge­sondert fUr Additions- und Subtraktionsaufgaben betrachtet.

Additionsaufgaben Subtraktionsauu aben

Int. 1 Int. 2 Int. 3 Int.l lnt. 2 lnt. 3

Schrittweise 34,0% 78,4% 92,5% 64,3% 77,5% 84,7%

Stellenweise 77,8% 79,8% 87,3% 65,6% 66,7% 70,3%

Mischform 59,0% 87,2% 68,2% 17,0% 24,7% 43,9%

Tab. 8: Erfolgsquoten der Rechenstrategien bei den Additions- und Subtraktionsaufgaben

Wie zu erwarten war, zeigen sich bei den verschiedenen Aufgabengruppen auch un­terschiedliche Erfolgsquoten bei den einzelnen Rechenstrategien. Am Schuljahresanfang wurde Schrittweise bei den Additionsaufgaben mit einer sehr geringen Erfolgsquote ein­gesetzt, wlihrend bei den Subtraktionsaufgaben Schrittweise fast genauso erfolgreich ist wie Stellenweise. In der Schuljahresmitte sind bei den Additionsaufgaben beide Strate­gien gleich effektiv, wlihrend bei den Subtraktionsaufgaben Schrittweise erfolgreicher ist. Am Schuljahresende ist dann Schrittweise bei beiden Aufgabengruppen die erfolg­reichste Strategie. Die Erfolgsquote von Mischform ist bei allen drei Untersuchungen bei den Additionsaufgaben deutlich hOher als bei den Subtraktionsaufgaben. Bei den Sub­traktionsaufgaben fUhrte der Einsatz von Mischform nur zu einer sehr geringen Anzahl an korrekten Resultaten. So kann die allgemeine Tendenz (Beishuizen 1993, Beishuizen & Foxman 2002, Heirds­field 2002, 2002a, Thompson & Smith 1999) der groBeren Effektiyitlit von schrittweisen Strategien lediglich ab der Schuljahresmitte bei allen ZEZE Aufgaben und besonders bei den Subtraktionsaufgaben festgestellt werden (vgl. auch Lieshout 1997).

68 Christiane Benz

Diese Tendenz verdeutlicht auch die Betrachtung der Operationsfehler beim Einsatz der verschiedenen Rechenstrategien. Unter Operationsfehler wurden Fehler bezeichnet, die aufgrund falscher Rechenoperation, Vergessen einer Teiloperationen oder Verwendung einer falschen Teiloperation zustande kamen.

4.8 Hochster Anteil an Operationsfehlern bei Mischform bei allen ZEZE Aufgaben

Eingesetzte Strategie Schrittweise Stellenweise Mischform Ableiten

Interview 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Anzahl von Aufgaben, die ge- 40 67 114 82 151 145 52 91 131 10 7 12

lost wurden

Summe der Fehler 14 6 10 20 34 18 27 29 37 4 1 1

Summe Operationsfehler 4 2 7 8 9 8 19 20 22 2 1 0

Anteil der Operationsfehler 10,0 3,0 6,1 9,8 6,0 5,5 36,5 22,0 16,8 20,0 14,3 0,0

in %

Tab. 9: Operationsfehler bei allen ZEZE Aufgaben

Am Schuljahresanfang ist der Anteil der Operationsfehler bei den Strategien Schritt­weise (10,0%) und Stellenweise (9,8%) fast gleich groB. Die Strategie Mischfarm weist den hochsten Anteil (36,5%) an Operationsfehlem auf, die hauptsachlich bei den Feh­lermustem Vergessen einer Teilaperation und Verwendung einer falschen Teiloperation auftreten.

In der Schuljahresmitte ist bei der Strategie Stellenweise der Anteil der Operations­fehler mit 6% hoher als bei der Strategie Schrittweise mit 3%, wobei bei der Strategie Mischform wieder der groBte Anteil an Operationsfehler mit 22% zu finden ist.

Am Schuljahresende treten keine bedeutenden Unterschiede zwischen Stellenweise (6,1%) und Schrittweise (5,5%) auf. Die Strategie Mischform (16,8%) weist wieder be­deutend mehr Operationsfehler auf, die hauptsachlich bei den Fehlermustem Vergessen einer Teiloperation und Verwendung einer falschen Teiloperation vorkommen. Der Anteil der Operationsfehler nimmt bei allen Strategien bis zum Ende des Schuljah­res abo Betrachtet man aile Untersuchungen zusammen und berlicksichtigt die Haufigkeit des Einsatzes wird bei allen drei Untersuchungen bei der Strategie Mischform der groBte Anteil an Operationsfehlem sichtbar.

4.9 Geringster Anteil Operationsfehler bei Schrittweise bei Subtraktionsaufgaben

Da Stellenweise vor allem bei den Subtraktionsaufgaben mit Zehnerunterschreitung zu Fehlem fiihren kann, werden hier die ZEZE Subtraktionsaufgaben gesondert betrachtet.

Bei den Subtraktionsaufgaben ist Schrittweise ganz deutlich die Strategie mit dem geringsten Anteil an Operationsfehlem bei allen drei Untersuchungen. Stellenweise hat bei allen drei Untersuchungen einen bedeutend hOheren Anteil an Operationsfehlem und

Rechenstrategien 69

Mischfarm weist bei allen drei Untersuchungen den hOchsten Antei1 auf. Bei der diffe­renzierten Betrachtung der ZEZE Subtraktionsaufgaben wird die Tendenz der unter­schied1ichen Effektivitat von Stellenweise und Schrittweise bestatigt (vgl. Beishuizen 1993, Beishuizen & Foxman 2002, Heirdsfie1d 2002, 2002a, Thompson & Smith 1999, Lieshout 1997, Cooper et al. 1996). Bei Schrittweise ist der Antei1 der Operationsfeh1er deutlich geringer als bei Stellenweise. Interessanterweise ist jedoch nicht Stellenweise die feh1eranfalligste Strategie bei den Subtraktionsaufgaben, sondem Misch/arm. Misch­form ist wahrend des gesamten Schu1jahres die Rechenstrategie mit der niedrigsten Er­fo1gsquote.

EiDl!esetzte Stratel!ie Schrittweise SteJlenweise Mischform Ableiten

Interview I 2 3 I 2 3 I 2 3 I 2 3

Anzahl von Aufgahen, 27 48 72 25 33 27 12 29 34 6 6 5

die geliist wurden

Summe der Fehler 8 6 7 10 10 II 10 21 18 0 0 2

Summe Operationsfeh- 2 2 4 7 6 3 9 18 15 0 0 I

ler

Antell der Operations- 7,4 4,2 5,6 28,0 18,2 11,1 75,0 62,1 44,1 0,0 0,0 20,0

fehler in %

Tab. 10: Operationsfehler bei den ZEZE Subtraktionsaufgaben

5 Ausblick

Zum Absch1uss werden die wichtigsten Forschungsergebnisse nochma1s kurz vorgestellt. Dabei wird sowohl auf mogliche Imp1ikationen fUr die Unterrichtsgesta1tung a1s auch auf offene Fragen eingegangen.

5.1 Konsequenzen ffir die Unterrichtspraxis

Bei den ZEZE Aufgaben wurden bei jedem Interview aile Strategien eingesetzt. Dieses Ergebnis bestatigt die These von Wittmann (1990, 2003), dass aIle Strategien in den Kopfen der Kinder vorhanden sind. Desha1b muss bedacht werden: Auch wenn man sich dafUr entscheidet eine Strategie zu favorisieren, sollte man keine Rechenstrategie aus­k1ammem, sondem im Unterricht auf aIle Strategien eingehen, da die Kinder aIle Re­chenstrategien nutzen. Bei Additions- und Subtraktionsaufgaben der ZEZE Aufgaben wurden die Rechenstrategien unterschiedlich eingesetzt. Die Operation beeinflusste also die Strategieauswah1 der Kinder ebenso wie ein anfallender Zehneriibergang. Die unter­schied1iche Strategieauswah1 kann man auch a1s flexib1en Strategieeinsatz aufgrund ei­nes Zah1enblicks oder Zah1ensinns beschreiben.

Die Erfo1gsquoten der verschiedenen Rechenstrategien weisen ebenfalls darauf hin, dass man keine Strategie im Unterricht ausk1ammem sollte, sondem die Schwierigkei­ten, die sich bei den einze1nen Strategien ergeben, in den Unterricht integrieren sollte. Man kann jedoch verschiedene Konsequenzen aus diesen Schwierigkeiten ziehen: Ent-

70 Christiane Benz

weder die Vorgehensweise bei allen Strategien genauer erarbeiten oder aus diesem Grund eine Strategie favorisieren.

Der hohe Anteil der Operationsfehler bei allen ZEZE Aufgaben bei Miscliform zu al­len drei Untersuehungszeitpunkten zeigt die Notwendigkeit, gerade die Strategie Misch­form zu thematisieren, da bei den Subtraktionsaufgaben die Teiloperationen sowohl aus Additions- als aueh aus Subtraktionsaufgaben bestehen, wie aueh bei der Anwendung von Stellenweise. Die Forderung alle Reehenstrategien und gerade aueh Stellenweise und Misehform zu thematisieren darf jedoeh nieht so verstanden werden, dass alle Kin­der alle Strategien anwenden k6nnen und mussen.

5.2 Weiterer Forschungsbedarf

Am Ende dieser Untersuehung bleiben einige Fragen offen. So wurde in der vorliegen­den Untersuehung die Beeinflussung der Vorgehensweisen dureh den Unterrieht nieht erhoben. Eine Fragestellung, die zu untersuehen sein wird, ist der Einfluss der Unter­riehtsgestaltung auf die Entwieklung der Reehenstrategien der Kinder. Ebenso stellt der Aspekt des flexiblen, aufgabenadaquaten Reehenstrategieeinsatzes weiterhin For­sehungsbedarf dar. In der vorliegenden Untersuehung waren die Aufgaben nieht so kon­struiert, dass sieh aus Sieht geubter Reehner bestimmte Reehenstrategien anbieten (mit Ausnahme von 71-69).

Die offenen Fragen und die vorhin dargestellten Implikationen fur die Unterriehts­gestaltung k6nnen nun in daran ansehlieBenden Unterriehtsexperimenten, die als design experiments (vgl. Wittmann 1995) oder als developmental experiments (Gravemeijer 1996) angelegt sind, naher erforseht werden. So k6nnen Auswirkungen von verseniede­nen didaktisehen Positionen beziiglieh der Behandlung der Reehenstrategien untersueht werden. Hier bietet es sieh an, ahnlieh wie bei Klein (1988) und Versehaffel et aI. (2000), versehiedene Unterriehtskonzeptionen in versehiedenen Klassen durehzufuhren und deren Auswirkungen naher zu untersuehen.

6 Literatur

Ashcraft, M.H. [1985]: Is it farfetched that some of us remember our arithmetic facts? In: Journal for Research in Mathematics Education 16(1985)2,99-105.

Baroody, A.J. [1987]: Children's mathematical thinking. New York, London: Teachers College Press.

Beishuizen, M. & Anghileri, 1. [1998]: Which Mental Strategies in the Early Number Curriculum? A Comparison of British Ideas and Dutch Views. In: British Educational Research Journal 24(1998)5,519-538.

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Beishuizen, M. [1993]: Mental Strategies and Materials or Models for Addition and Subtraction up to 100 in dutch second grades. In: Journal for Research in Mathematics Education 24(1993)4,294-323.

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Adresse der Autorin

Dr. Christiane Benz PH Heidelberg Fach Mathematik 1m Neuenheimer Feld 561 69120 Heidelberg

Manuskripteingang: 10. Februar 2006 Typoskripteingang: 15. Mai 2006