Die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt -...
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Die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt 1. Die Kaninchen von Fibonacci Im Jahre 1202 interessierte sich Fibonacci f ¨ ur das Wachstumsproblem einer Bev ¨ olkerung von Kaninchen unter idealen Umst ¨ anden. Das Problem kann wie folgt formuliert werden: • man f ¨ angt mit einem Paar junger Kaninchen an, • ein einmonatiges Kaninchen ist f ¨ ahig sich fortzupflanzen, • ein Kaninchenpaar (im Fortpflanzungsalter) geb ¨ art jeden Monat ein weite- res Kaninchenpaar. Fibonacci stellte sich folgende Frage: wieviele Kaninchenpaare wird es nach einem Jahr geben? Die untenstehende Figur veranschaulicht die mo- natliche Entwicklung der Anzahl dieser Kaninchenpaare. Ideale Entwicklung einer Bev¨ olkerung von Kaninchen. Man bemerkt, dass die Anzahlen von Kaninchenpaaren nach jedem Monat die folgende Zahlenfolge bilden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Diese Zahlenfolge wird Fibonacci-Folge genannt und kann folgenderweise gebildet werden: 1 + 2 1 1 + 3 1 2 1 1 + 5 3 2 1 1 Die Konstruktion der Fibonacci-Folge Man kann diese Zahlfolge erstaunlicherweise h¨ aufig in der Natur wiederfin- den. Beispielsweise sind Tan- nenzapfen aus 8 Spiralen im Uhrzeigersinn und aus 13 Spiralen entgegen dem Uhrzeigersinn zusammen- gesetzt, zwei aufeinan- derfolgenden Zahlen der Fibonacci-Folge: 8 13 Tannenzapfen und Fibonacci-Folge Der Romanesco besitzt 13 Spiralen im Uhrzeigersinn und 21 Spiralen ent- gegen dem Uhrzeigersinn, jeweils zwei aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Folge. Der Romanesco und die Fibonacci-Folge Die Bl¨ ute einer Sonnenblume besteht aus zahlreichen klei- nen Bl¨ uten, den sogenannten Bl¨ utenst ¨ anden, welche spira- lenf ¨ ormig angeordnet sind: 21 Spiralen im Uhrzeigersinn und 34 Spiralen entgegen dem Uhrzeigersinn. 21 34 Das Herz einer Sonnenblume 2. Der Goldene Schnitt Wenn man die Fibonacci-Folge be- obachtet, kann man bemerken, dass, die Verh ¨ altnisse jeweils aufeinander- folgender Zahlen eine Zahlenfolge bil- den, welche sich allm ¨ ahlich einer Zahl Φ n¨ ahert, dem sogenannten Goldenen Schnitt, dessen Wert betr ¨ agt: Φ= 1+ √ 5 2 ≈ 1.62 Das Verh¨ altnis zwischen aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen Φ ist die einzige positive Zahl, die folgende geometrische Eigenschaft besitzt: 1+Φ Φ = Φ 1 das heisst L¨ ange von AC L¨ ange von AB = L¨ ange von AB L¨ ange von BC A B C Φ 1 Goldener Schnitt 3. Die Goldene Spirale Mit Hilfe des Goldenen Schnittes kann man eine ” Spirale ” folgenderweise entwerfen: man zeichnet ein Rechteck von Seite 1 und Φ und einen Kreisbo- gen im Quadrat von Seite 1. Ausgehend vom Rechteck von Seiten 1/Φ=Φ - 1 und 1 zeichnet man ein Quadrat von Seite 1/Φ und einen Kreisbogen in des- sen Innern und so weiter... 1 Φ-1=1/Φ 1 Φ-1=1/Φ 1 Φ-1=1/Φ 1 Φ-1=1/Φ Ann ¨ aherung einer Spirale mit Hilfe des Goldenen Schnittes Φ Man erh¨ alt keine genaue Spirale, sondern eher eine Folge von Kreisb¨ ogen, welche eine gute Ann ¨ aherung einer Spirale ergibt. Diese wird Goldene Spi- rale genannt. Φ-1=1/Φ 1 Die Goldene Spirale und ihre Ann ¨ aherung 4. Der Goldene Winkel Der Goldene Winkel betr ¨ agt ungef ¨ ahr 137.5° und wird erzeugt, indem man den Goldenen Schnitt des Kreisumfan- ges nimmt: 137.51° Φ 1 Die Goldwinkel Die Goldene Winkel triit h ¨ aufig in der Natur auf, zum Beispiel zwischen zwei aufeinan- derfolgenden Bl ¨ attern einer Pflanze. Literatur [1]Die Webseite des Kollegiums Smith: http://www.math.smith.edu/phyllo// Exposition Plantes, spirales et nombres”, Jardin botanique, Fribourg, septembre 2010 / Ausstellung Pflanzen, Muster und Zahlen”, Botanischer Garten, Freiburg, September 2010
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Die Fibonacci-Folge undder Goldene Schnitt
1. Die Kaninchen von Fibonacci
Im Jahre 1202 interessierte sich Fibonacci fur das Wachstumsproblem einerBevolkerung von Kaninchen unter idealen Umstanden. Das Problem kann wiefolgt formuliert werden:
• man fangt mit einem Paar junger Kaninchen an,
• ein einmonatiges Kaninchen ist fahig sich fortzupflanzen,
• ein Kaninchenpaar (im Fortpflanzungsalter) gebart jeden Monat ein weite-res Kaninchenpaar.
Fibonacci stellte sich folgende Frage: wieviele Kaninchenpaare wird esnach einem Jahr geben? Die untenstehende Figur veranschaulicht die mo-natliche Entwicklung der Anzahl dieser Kaninchenpaare.
Ideale Entwicklung einer Bevolkerung von Kaninchen.
Man bemerkt, dass die Anzahlen von Kaninchenpaaren nach jedem Monatdie folgende Zahlenfolge bilden
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...
Diese Zahlenfolge wirdFibonacci-Folge genanntund kann folgenderweisegebildet werden:
1
+
211
+
3
1
211
+
53211
Die Konstruktion der Fibonacci-Folge
Man kann diese Zahlfolge erstaunlicherweise haufig in der Natur wiederfin-den.
Beispielsweise sind Tan-nenzapfen aus 8 Spiralenim Uhrzeigersinn und aus13 Spiralen entgegen demUhrzeigersinn zusammen-gesetzt, zwei aufeinan-derfolgenden Zahlen derFibonacci-Folge:
8 13
Tannenzapfen und Fibonacci-Folge
Der Romanesco besitzt 13 Spiralen im Uhrzeigersinn und 21 Spiralen ent-gegen dem Uhrzeigersinn, jeweils zwei aufeinanderfolgenden Zahlen derFibonacci-Folge.
Der Romanesco und die Fibonacci-Folge
Die Blute einer Sonnenblumebesteht aus zahlreichen klei-nen Bluten, den sogenanntenBlutenstanden, welche spira-lenformig angeordnet sind: 21Spiralen im Uhrzeigersinn und34 Spiralen entgegen demUhrzeigersinn.
21 34
Das Herz einer Sonnenblume
2. Der Goldene Schnitt
Wenn man die Fibonacci-Folge be-obachtet, kann man bemerken, dass,die Verhaltnisse jeweils aufeinander-folgender Zahlen eine Zahlenfolge bil-den, welche sich allmahlich einer ZahlΦ nahert, dem sogenannten GoldenenSchnitt, dessen Wert betragt:
Φ =1 +√
5
2≈ 1.62
Das Verhaltnis zwischenaufeinanderfolgender
Fibonacci-Zahlen
Φ ist die einzige positive Zahl, die folgende geometrische Eigenschaft besitzt:1 + Φ
Φ=
Φ
1das heisst
Lange von ACLange von AB
=Lange von ABLange von BC
A B C
Φ 1
Goldener Schnitt
3. Die Goldene Spirale
Mit Hilfe des Goldenen Schnittes kann man eine ” Spirale ” folgenderweiseentwerfen: man zeichnet ein Rechteck von Seite 1 und Φ und einen Kreisbo-gen im Quadrat von Seite 1. Ausgehend vom Rechteck von Seiten 1/Φ = Φ−1und 1 zeichnet man ein Quadrat von Seite 1/Φ und einen Kreisbogen in des-sen Innern und so weiter...
1 Φ−1=1/Φ 1 Φ−1=1/Φ 1 Φ−1=1/Φ 1 Φ−1=1/Φ
Annaherung einer Spirale mit Hilfe des Goldenen Schnittes Φ
Man erhalt keine genaue Spirale, sondern eher eine Folge von Kreisbogen,welche eine gute Annaherung einer Spirale ergibt. Diese wird Goldene Spi-rale genannt.
Φ−1=1/Φ1
Die Goldene Spirale und ihre Annaherung
4. Der Goldene Winkel
Der Goldene Winkel betragt ungefahr137.5° und wird erzeugt, indem manden Goldenen Schnitt des Kreisumfan-ges nimmt:
137.51°
Φ 1
Die Goldwinkel
Die Goldene Winkel triit haufig in der Naturauf, zum Beispiel zwischen zwei aufeinan-derfolgenden Blattern einer Pflanze.
Literatur
[1] Die Webseite des Kollegiums Smith: http://www.math.smith.edu/phyllo//
Exposition Plantes, spirales et nombres”, Jardin botanique, Fribourg, septembre 2010 / Ausstellung Pflanzen, Muster und Zahlen”, Botanischer Garten, Freiburg, September 2010
