DIE GRUNDLEHREN DER

MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER BERUCKSICHTJ GUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE

HERAUSGEGEBEN VON

J. L. DOOB· E. HEINZ· F. HIRZEBRUCH E. HOPF· H. HOPF· W. MAAK· W. MAGNUS

F. K. SCHMIDT· K. STEIN

GESCHAFTSFUHRENDE HERAUSGEBER

B.ECKMANN UND B. L.VAN DER WAERDEN ZURICH

BAND 59

SPRINGER-VERLAG BERLIN . GOTTINGEN . HEIDELBERG . NEW YORK

1964

VORLESUNGEN UBER ZAHLENTHEORIE

VON

HELMUT HASSE O. PROFESSOR AN DER UNIVERSITAT

IN HAMBURG

ZWEITE NEUBEARBEITETE AUFLAGE

MIT 28 ABBILDUNGEN

SPRINGER-VERLAG BERLIN . GOTTINGEN . HEIDELBERG . NEW YORK

1964

Geschäftsführende Herausgeber:

Prof. Dr. B. ECKMANN

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich

Prof. Dr. B.L. VANDERWAERDEN

Mathematisches Institut der Universität Zürich

ISBN 978-3-642-88679-9 ISBN 978-3-642-88678-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-88678-2

Alle Rechte,

insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen,

vorbehalten

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ist es auch nicht gestattet, dieses Buch oder Teile daraus

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Copyright 1950 by Springer-Verlag

Berlin • Göttingen • Heidelberg

® by Springer-Verlag

Berlin . Göttingen . Heidelherg t 964

Softcover reprint of the hardcover 2nd edition t 964

Ubrary of Congress Catalog Card N umber 64-222 80

Titelnummer 5042

Vorwort zur zweiten Auflage

Die zweite Auflage hat gegenüber der ersten nur wenige, räumlich begrenzte Änderungen erfahren.

Die numerischen Angaben über Mersennesche und Fermatsche Prim­zahlen in § 3,5,7 sowie zur Kummerschen Vermutung in § 20,6 wurden auf den neu esten Stand (August 1964) gebracht. Bei der Artinschen Vermutung in § 5,3, bei den Beziehungen zwischen Dirichletscher und natürlicher Dichte in § 14,4 und beim Beweis des Euler-Lagrangeschen Satzes in § 16,5 wurden Unstimmigkeiten berichtigt. Der Beweis des Minkowskischen Gitterpunktsatzes in § 17,5 wurde nach BIRKHOFF -BLIcHFELDT - HLA WKA von dem auf Minkowski zurückgehenden Grenz­prozeß befreit. Die Vorzeichenbestimmung der quadratischen Gaußschen Summe in § 20,5 wurde nach MORDELL durch eine rein algebraische Schlußweise ergänzt.

Einer Reihe von Anregungen aus Besprechungen der ersten Auflage wurde ganz oder teilweise stattgegeben. So wurde auf Vorschlag von E. HLAwKA in § 16,6 auf die vollständige Lösung des Problems der quadratischen Zahlkörper mit Euklidischem Algorithmus durch CHAT­LAND-DAvENPoRT hingewiesen. Ferner wurden auf Vorschlag von P. T. BATEMAN in § 16,6 die in neuerer Zeit gegebenen elementaren Beweise des Dirichletschen Primzahlsatzes jedenfalls zitiert und dazu lehrbuch­artige Darstellungen angeführt; gegen eine vollständige Wiedergabe sprach, daß diese Beweise wohl doch nicht das genügende Maß an Eleganz besitzen, "um den mathematischen Geschmack zu formen", wie es L. J. MORDELL in seiner Besprechung als einen wesentlichen Vorzug meines Buches gepriesen hat. Schließlich wurden auf Vorschlag von E. S. SELMER die Literaturhinweise erheblich vermehrt; insbesondere wurde in § 16,6 der gewünschte Hinweis auf die epochemachenden Resultate von A. SELBERG gegeben.

Bei einigen weiteren Anregungen aus Besprechungen konnte ich mich zur Annahme nicht entschließen. So hatte L. J. MORDELL vorgeschlagen, in § 10 den von E. ARTIN vermuteten und von CL. CHEVALLEY bewiesenen Satz zu beweisen, daß eine Polynomkongruenz Ir (Xl> ... , xn) =0= ° mod. p vom Grad r < n, wenn sie eine Lösung hat, dann auch noch eineweitere

VI Vorwort zur zweiten Auflage

Lösung besitzt. Mir schien dieser Satz nicht unter die Paragraphenüber­schrift "Verteilungsfragen über quadratische Reste nach einer Prim­zahl" zu passen. Von einem hervorragenden Kenner der Wahrschein­lichkeitstheorie wurden die einleitenden Ausführungen in § 10,3 als nicht gelungen bezeichnet, weil sie mit den modernen Auffassungen und Begriffsbildungen dieser Theorie nicht im Einklang sind. Das ist ohne weiteres zuzugeben. Strenggenommen sollte man die gebrauchten Aus­drucksweisen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie durch rein statistische Begriffsbildungen ersetzen. Doch sind hervorragende Zahlentheoretiker für die Beibehaltung dieser Ausführungen eingetreten, weil es bei ihnen weniger auf mathematische Präzision ankommt als vielmehr darauf, dem naiv eingestellten Leser in der vorliegenden Form ein leicht zu­gängliches, lebendiges Vorstellungsbild an die Hand zu geben. Daher habe ich mich entschlossen, im Gegenteil lediglich die bisherigen s ta ti­stischen Ausdrucksweisen "Streuungsgesetz der Statistik" und "regel­lose Verteilung" durch die wahrscheinlichkeitstheoretischenAus­drucksweisen "Streuungsgesetz für Zufallsgrößen" und "rein zufällige Verteilung" zu ersetzen. Man mag diese Ausdrucksweisen als bloße farons de parZer für die bei ihrer Einführung angegebenen Eigenschaften des Fehlergliedes ansehen.

Allen meinen Kritikern möchte ich an dieser Stelle für das durchweg wohlwollende Interesse, das sie an meinem Buch genommen haben, und für die gegebenen Verbesserungsvorschläge meinen herzlichen Dank sagen.

Beim Lesen der Druckkorrekturen hat mich diesmal Herr E. MAUS

in dankenswerter Weise unterstützt und mir wertvolle Hinweise gegeben. Mein Dank gebührt wiederum dem Verlag für sein entgegenkommendes Eingehen auf meine Wünsche und die gediegene Ausstattung des Buches.

Hamburg, im August 1964 H. HASSE

Vorwort zur ersten Auflage

Nachdem ich im Vorjahre mein Buch "Zahlentheorie" (Akademie­Verlag, Berlin) herausgebracht habe, lasse ich hier ein weiteres Buch "Vorlesungen über Zahlentheorie" folgen. Man wird nach der Existenz­berechtigung dieses neuen Buches fragen.

Während die vorjährige "Zahlentheorie" eine systematische, hand­buchartige Darstellung der Grundfragen der höheren Zahlentheorie, insbesondere der Arithmetik in algebraischen Zahl- und Funktionen­körpern, gibt, handelt es sich bei diesen "Vorlesungen" um eine nur ge­ringfügig erweiterte Wiedergabe einer zweisemestrigen Kursusvorlesung von mehr einführendem Charakter, die ich in Göttingen 1939/40 und in Berlin 1948/49 gehalten habe. In früheren Jahren habe ich die Erfahrung gemacht, daß der streng-systematische, von algebraischen Struktur­gesichtspunkten beherrschte Aufbau der Arithmetik in Zahl- und Funktionenkörpern dem erstmalig in die Zahlentheorie Eindringenden doch allzu große Schwierigkeiten macht. Um diese, auch historisch am Ende einer langen Entwicklung stehende, stark von abstrakten Be­griffen durchdrungene Strukturtheorie voll verstehen und würdigen zu können, braucht man ganz naturgemäß eine gewisse Vertrautheit mit dem zugrunde liegenden konkreten Material in seiner ursprünglichen, unmittelbar faßlichen Form. Eine solche zu geben und damit einen hinreichend breiten Erfahrungsschatz für das Verständnis der abstrakten Begriffsbildungen und Strukturzusammenhänge in der Zahlentheorie zu vermitteln, ist Sinn und Ziel der vorliegenden "Vorlesungen".

Aus dieser Zielsetzung heraus habe ich im Gegensatz zu der "Zahlen­theorie" hier eine mehr induktive Art der Darstellung gewählt. In jedem der vier Abschnitte des Buches führe ich von den einfachsten Anfängen ausgehend, im großen und ganzen der historischen Entwick­lung folgend, an die moderne Auffassung und die tieferliegenden Frage­stellungen heran. Dabei steigern sich die Anforderungen an den Leser jedesmal gegen Ende des Abschnittes. Auch läßt es sich bei dieser Form der Darstellung nicht vermeiden, daß früher schon berührte Dinge noch einmal in vertiefter Gestalt aufgerollt werden, um N eues daran anzu­knüpfen. Solche Fortführungen oder Verallgemeinerungen werden nicht

VIII Vorwort zur ersten Auflage

immer in allen Einzelheiten durchgeführt. Das Heranführen an die moderne Forschung endet vielfach mit Hinweisen auf die Zeitschriften­literatur. Alles dies entspricht der Entstehung des Buches aus Vor­lesungen, wo man ja so vorzugehen pflegt, und erscheint von dem vor­schwebenden didaktischen Gesichtspunkt aus berechtigt.

Was die behandelte Materie betrifft, so habe ich großen Wert darauf gelegt, den Gegenstand der eigentlichen Zahlentheorie, nämlich Aus­sagen über die natürlichen Zahlen, in den Vordergrund zu stellen und theoretische Überlegungen und Ausspinnungen daran erwachsen zu lassen. Es entspricht dies meiner grundsätzlichen Überzeugung, daß ein Ergebnis der Zahlentheorie um so größeres Gewicht und Interesse hat, je mehr es unsere Kenntnisse über die Eigenschaften der natürlichen Zahlen bereichert. Um diese Gegenstandsnähe zu wahren, habe ich einige Dinge verarbeitet, die mehr oder weniger außerhalb des durch die Disposition gegebenen systematischen Rahmens stehen, so in Abschn. I die vollkommenen Zahlen, die Mersenneschen und die Fermatschen Primzahlen, ferner die Artinsche Vermutung über Primitivwurzeln, in Abschn. 11 Verteilungsfragen über quadratische Reste, in Abschn. IV die Einheitenberechnung durch Kettenbrüche, die rein-arithmetischen Klassenzahlformeln und die Kummersche Vermutung über kubische Restcharaktere. Ich darf mich der Hoffnung hingeben, hierdurch zu einer neuen Belebung dieser in der bisherigen Lehrbuchliteratur etwas vernachlässigten echt-zahlentheoretischen Fragestellungen beizutragen.

Zwischen den vier einzelnen Abschnitten besteht ein starker innerer Zusammenhang, wie das schon äußerlich in den zahlreichen Rück- und Vorverweisungen hervortritt. Insbesondere liegt das Bindeglied zwischen Abschn. 11 und dem auf den ersten Blick ganz heterogenen Abschn. 111 in dem durch DIRICHLET klassisch gewordenen Zusammenhang des Beweises seines Primzahlsatzes mit der Theorie der quadratischen Reste, und zwischen den Abschn. 111 und IV dann in der Verallgemeinerung dieses Zusammenhangs. Was diesen letzteren Punkt betrifft, so möchte ich hier folgendes bemerken. Die von mir in § 15,S gegebene erste Ein­führung des für die höhere Zahlentheorie so grundlegenden Divisor­begriffs, die an die analytische Produktdarstellung des Produkts der Dirichletschen L-Reihen anknüpft, entspricht gewiß weder der histo­rischen Entwicklung noch einer systematischen Begründung der Theorie der Divisoren. Sie hat aber den Vorteil, demjenigen, der analytische Formeln nicht nur als Mitteilungen über Größengleichheiten sondern als Gegenstände von organischem Bau zu betrachten liebt, den neu einzuführenden Begriff wenigstens in seinen formalen Beziehungen unmittelbar zu suggerieren und zugleich dem Kern des von DIRICHLET entdeckten Zusammenhangs zwischen Analysis und Zahlentheorie auf die Spur zu kommen. Was die im Anschluß daran ohne Beweise skizzierte

Vorwort zur ersten Auflage IX

allgemeine Arithmetik in algebraischen Zahlkörpern betrifft, so muß der Leser für ihr ausführliches Studium auf die systematische Darstellung in meiner "Zahlentheorie" verwiesen werden. In Abschn. IV wird nur der Spezialfall der quadratischen Zahlkörper ausführlich behandelt, und zwar nach der ganz zu Unrecht etwas in Vergessenheit geratenen KUM­MERschen Methode, bei der wohl unter allen überhaupt bekannten Methoden die inhaltliche Definition des Divisors am meisten der zuvor gestellten Forderung der Gegenstandsnähe zu den natürlichen Zahlen entspricht. Im Sinne der ganzen Anlage des Buches wäre es konsequenter gewesen, diese Methode auch noch für den Fall der Kreisteilungskörper und ihrer Teilkörper auseinanderzusetzen, so wie es ja KUMMER selbst getan hat. Doch mußte ich darauf des beschränkten Raumes halber leider verzichten.

Schließlich möchte ich noch anführen, daß ich mir Mühe gegeben habe, möglichst suggestive Bezeichnungen zu verwenden und die auf­tretenden Formeln in möglichst organischer Gestalt zu schreiben, eben weil ich - wie schon gesagt - Formeln nicht lediglich als Mitteilungen von Größengleichheiten angesehen wissen möchte.

An Vorkenntnissen setze ich die Grundlagen der Algebra etwa in dem Umfange voraus, wie ich sie in meinen beiden Bändchen "Höhere Algebra" I, 11* entwickelt habe, außerdem in Abschn. 111 die Anfangs­gründe von Differential-, Integralrechnung und Reihenlehre, sowie in § 15,4 auch die Grundlagen der komplexen Funktionentheorie.

Beim Lesen des Manuskripts und der Korrektur haben mich die Herren W. KLOBE, R. KOCHENDÖRFFER, H. W. LEOPOLDT, C. MEYER, G. MITAS und Frl. G. BEYER in dankenswerter Weise unterstützt und mir viele wertvolle Hinweise gegeben. Mein Dank gebührt auch dem Springer-Verlag für sein bereitwilliges Eingehen auf alle meine Wünsche und die äußere Ausstattung des Buches in der altgewohnten Form.

Berlin, im März 1950 H. HASSE

* Slg. Göschen Bd. I, 5. Aufi. 1963; Bd. Ir, 4. Aufi. 1958.

Inhaltsverzeichnis Erster Abschnitt

Grundlagen

§ i. Primzerlegung Seite

1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen .............................. . 2. Elementare Teilbarkeitslehre ....................................... 2 3. Die Primzahlen ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4. Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie ...................... 6 5. Ausbau des Fundamentalsatzes ..................................... 7 6. Irrationalität der n-ten Wurzeln ganzer Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12

§ 2. Größter gemeinsamer Teiler

1. Kriterium für Teilbarkeit und Primteiler ............................. 13 2. Definition des größten gemeinsamen Teilers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 3. Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ...................... 16 4. Rechenregeln für größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Viel-

fache. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 5. Teilerfremdheit und paarweise Teilerfremdheit ........................ 19 6. Reduzierte Bruchdarstellung, Hauptnennerdarstellung ................. 20 7. Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler ...................... 22 8. Beweis des Hauptsatzes als Hauptsatz über Ideale aus ganzen Zahlen . . .. 24 9. Der Euklidische Algorithmus ....................................... 26

10. Anderer Beweis des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie 28

§ 3. Vollkommene Zahlen, Mersennesche und Fermatsche Primzahlen

1. Definition der vollkommenen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29 2. Produktformel für die Teilersumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 3. Hinreichende Bedingung für gerade vollkommene Zahlen: Satz von Euklid 31 .. L Notwendige Bedingung für gerade vollkommene Zahlen: Satz von Euler .. 32 5. Die Mersenneschen Primzahlen ..................................... 33 6. Ungerade vollkommene Zahlen ..................................... 34 7. Die Fermatschen Primzahlen ....................................... 36 8. Zusammenstellung der noch offenen Fragen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37

§ 4. Kongruenz, Restklassen

1. Definition der Kongruenz und der Restklassen ........................ 38 2. Der Restklassenring ............................................... 40 3. Division im Restklassenring ........................................ 42

XII Inhal tsverzeichnis

Seite

4. Die prime Restklassengruppe ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 5. Der kleine Fermatsche Satz ........................................ 45 6. Summenformel für die Eulersche Funktion ........................... 49 7. Die Möbiusschen Umkehrformeln ................................... 50 8. Produktformel für die Eulersche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52 9. Simultane Kongruenzen, direkte Summenzerlegung des Restklassenrings . . 55

10. Kongruenz für gebrochene Zahlen ................................... 59 11. Der Restklassenkörper nach einer Primzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62 12. Additive Darstellung der Restklassen nach einer Primzahlpotenz ........ 64 13. Periodizität der m-adischen Bruchentwicklung für rationale Zahlen 67

§ 5. Die Struktur der primen Restklassengruppen

1. Zurückführung auf Primzahlpotenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 2. Der Fall einer Primzahl .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72 3. Zur Bestimmung primitiver Wurzeln, Artinsche Vermutung. . . . . . . . . . . .. 74 4. Zyklische Verschiebung der Periode in der m-adischen Bruchentwicklung 75 5. Hilfssätze über Kongruenzen nach einer Primzahlpotenz . . . . . . . . . . . . . . .. 77 6. Der Fall einer ungeraden Primzahlpotenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78 7. Der Fall einer Potenz der Primzahl 2 ................................ 83

Zweiter Abschnitt

Quadratische Reste

§ 6. Definition, Reduktion, Kriterien

1. Definition der quadratischen Reste .................................. 86 2. Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln ............................... 87 3. Reduktion auf ungerade Primzahlmoduln ............................ 87 4. Erstes Kriterium: Legendresches Symbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91 5. Zweites Kriterium: Eulersches Kriterium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93 6. Drittes Kriterium: Gaußsches Lemma ............................... 94

§ 7. Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Elementarer Beweis

1. Grundfrage, Reduktion auf Primzahlen .............................. 96 2. Die beiden Ergänzungssätze ........................................ 97 3. Das allgemeine Reziprozitätsgesetz .................................. 100 4. Das Legendresche Symbol als Funktion seines Nenners- ................. 105 5. Der Führer des Legendreschen Symbols als Funktion seines Nenners 107

§ 8. Das quadratische Reziprozitätsgesetz : Beweis mit Gaußschen Summen

1. Einheitswurzeln von Primzahlordnung ............................... 112 2. Gaußsehe Summen ................................................ 114 3. Beweis des Reziprozitätsgesetzes .................................... 116 4. Unterbauung des Beweises durch Kongruenztheorie im Einheitswurzel-

bereich .......................................................... 11 7 5. Beweis des zweiten Ergänzungssatzes ................................ 120

Inhaltsverzeichnis XIII

§9. Die Jacobische Verallgemeinerung Seite

1. Definition des Jacobischen Symbols ................................. 123 2. Das Jacobische Symbol als Funktion seines Zählers .................... 125 3. Ergänzungssätze und allgemeines Reziprozitätsgesetz .................. 129 4. Rekursionsverfahren zur Bestimmung des Jacobischen Symbols ......... 131 5. Das Jacobische Symbol als Funktion seines Nenners ................... 135 6. Das Kroneckersche Symbol ........................................ 141

§ fO. Verteilungsfragen über quadratische Reste nach einer Primzahl

1. Lösungsanzahl quadratischer Kongruenzen ........................... 145 2. Sequenzen mit vorgeschriebenen Restcharakteren ..................... 149 3. Wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung. Überblick über die Ergebnisse . 151 4. Fall der Polynome zweiten Grades ................................... 155 5. Anwendung auf zweigliedrige Sequenzen ............................. 157 6. Fall eines speziellen Polynoms dritten Grades ......................... 159 7. Anwendung auf dreigliedrige Sequenzen .............................. 165 8. Zerlegung der Primzahlen p == 1 mod. 4 in zwei Quadrate .............. 167 9. Analogon für die Primzahlen p == 1 mod. 3 ........................... 171

Dritter Abschnitt

Der Dirichletsche Primzahlsatz

§ u. Elementare Sonderfälle

1. Folgerungen aus der Theorie der quadratischen Reste .................. 176 2. Das Kreisteilungspolynom ......................................... 180 3. Der Fall der Einsklasse ............................................ 184 4. Der Fall der negativen Einsklasse ................................... 187

§ u. Die Methode von Dirichlet

1. Der Eulersche Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge ......... 192 2. Der Dirichletsche Beweisansatz für die Moduln 3 und 4 ................. 196 3. Der Dirichletsche Beweisansatz für den allgemeinen Fall ................ 200 4. Die Zetareihe und die Dirichletsche Wendung des Eulerschen Beweises ... 202 5. Einiges über den Primzahlsatz ...................................... 205

§ i3. Die Charaktere endlicher abelscher Gruppen, Restklassencharaktere

1. Definition und Existenz der Charaktere .............................. 206 2. Charakterrelationen ............................................... 208 3. Das Dualitätsprinzip .............................................. 210 4. Charaktere und Untergruppen ...................................... 213 5. Restklassencharaktere ............................................. 216 6. Führer, eigentliche Charaktere ...................................... 217 7. Gerade und ungerade Charaktere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 224

§ i4. Der Beweis von Dirichlet

1. Die L-Reihen ..................................................... 227 2. Isolierung der Primzahlmengen in den einzelnen primen Restklassen ..... 229

XIV Inhaltsverzeichnis

Seite

3. Grenzverhalten der L-Reihen ....................................... 232 4. Dirichletsche Dichte und natürliche Dichte ........................... 234

§ i5. Das Nichtverschwinden der L-Reihen

1. Produkte aus L-Reihen ............................................ 238 2. Elementar-analytischer Beweis für nicht-quadratische Charaktere ....... 249 3. Elementar-analytischer Beweis für quadratische Charaktere ............. 252 4. Die funktionentheoretische Beweismethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 258 5. Die algebraisch-zahlentheoretische Beweismethode .................... 266

A. Additive Arithmetik ............................................ 274 B. Multiplikative Arithmetik ....................................... 275

a) Einheiten ................................................... 275 b) Primzerlegung ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 276

6. Elementar-arithmetische Beweise des Dirichletschen Primzahlsatzes ..... 282

Vierter A bschni tt

Quadratische Zahlkörper

§ 16. Elementare Teilbarkeitslehre

1. Algebraische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 283 2. Geometrische Veranschaulichung .................................... 287 3. Ganze Zahlen, Diskriminante ....................................... 290 4. Einheiten ............ , ........................................... 297 5. Berechnung der Grundeinheit ....................................... 304

A. Algebraische Grundlagen der Kettenbruchentwicklung . . . . . . . . . . . . .. 305 B. Kettenbruchentwicklung reell-quadratischer Irrationalzahlen . . . . . . . .. 307 C. Anwendung auf die Berechnung der Grundeinheit ................... 311 D. Kettenbruchentwicklung reiner Quadratwurzeln .................... 319

6. Quadratische Zahlkörper mit eindeutiger Primzahlzerlegung ............ 323

§ i7. Divisorentheorie

1. Struktur des Restklassenrings nach einer Primzahl .................... 337 2. Teilbarkeit und Kongruenz für Primdivisorpotenzen ................... 345 3. Die Hauptsätze der Arithmetik ..................................... 359 4. Kongruenz, Restklassen, Ideale ..................................... 367 5. Endlichkeit der Klassenzahl ........................................ 375

§ iS. Bestimmung der Klassenzahl

1. Die Grenzformel .................................................. 388 2. Summation der L-Reihen .......................................... 396 3. Die allgemeine Klassenzahlformel ................................... 400

a) K reell ...................................................... 402 b) K komplex .................................................. 402

4. Die quadratische Klassenzahlformel ................................. 405 A. Positivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 407 B. Ganzrationalität ............................................... 408

a) Imaginär-quadratische Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 408 b) Reell-quadratische Zahlkörper ................................. 411

Inhaltsverzeichnis xv Seite

5. Rationale Gestalt der Klassenzahlformel für positive Primzahldiskriminan-ten .............................................................. 419

§ i9' Quadratische Zahlkörper und quadratisches Reziprozitätsgesetz

1. Quadratische Zahlkörper als Klassenkörper ........................... 432 2. Ausblick auf die allgemeine Klassenkörpertheorie .................•... 433 3. Beweis des Reziprozitätsgesetzes durch Einbettung in Einheitswurzelkörper 437 4. Rein-quadratischer Beweis des Reziprozitätsgesetzes ................... 440

§ 20. Systematische Theorie der Gaußschen Summen

1. Allgemeine Definition, Reduktionen ................................. 444 2. Komponentenzerlegung, Betragformel ............................... 450 3. Begriffliche Bedeutung der eigentlichen Gaußschen Summen ............ 453 4. Gaußsche Summen und Charaktersummen für einen ungeraden Primzahl-

modul ........................................................... 460 5. Vorzeichenbestimmung für quadratische Charaktere ................... 469 6. Die Kummersche Vermutung für kubische Charaktere nach einem Prim-

zahlmodul ....................................................... 478 7. Analoga für bikubische und biquadratische Charaktere .. . . . . . . . . . . . . . .. 489

Namenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 495

Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 497