Die Hyperbolische Bewegungsgruppe

Die Lorentz-Gruppe und die Poincare-GruppeAusarbeitung zum Vortrag am 25.05.2011 im Rahmen des Seminars zu

”Geometrie fur Lehramt“ unter der Leitung

von Prof. Dr. Lorenz Schwachhofer

Oliver-Alexander HuhnMat.Nr.: 114930

Kontakt: oliver-alexander.huehn@uni-dortmund.de

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 2

2 Hyperbolische Bewegungsgruppe 22.1 Definition: Hyperbolische Ebene im Poincare-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Definition: Hyperbolische Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Definition: Hyperbolische Bewegungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5 Lemma: Eigenschaften der hyperbolischen Bewegungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.6 Beispiel: Drehung der Im-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Definition: Riemannsche Metrik auf H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8 Definition: Hyperbolische Lange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.10 Bemerkung: Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten in H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.11 Folgerung & Definition: Hyperbolischer Flacheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Die Lorentz-Gruppe und die Poincare-Gruppe 113.1 Definition: Minowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Notation: Bezeichnung von Vektoren und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Definition: Lorentz-Gruppe, Poincare-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1

1 Einfuhrung

Der Vortrag, den ich hier verschriftliche, befasst sich, wie die drei letzten Vortrage, mit speziellen Gruppenvon geometrischen Transformationen.Die erste Gruppe, die ich hier vorstellen werde, ist eine Gruppe von Transformationen, die Spezialfalleder Mobiustransformationen sind, die wir am 11.05.2011 kennen gelernt haben. Sie operiert auf der hy-perbolischen Ebene im Poincare-Modell, welches sich in einer Halb-Ebene darstellt, im Unterschied zumScheiben-Modell des Einheitskreises welches wir in der Vorlesung zur Differentialgeometrie kennen gelernthaben. Dadurch, dass diese Transformationen spezielle Mobius-Transformationen sind, ubertragen sich alleEigenschaften dieser auf unsere Gruppe, und somit wird es leichter sein geometrische Transformationen aufder hyperbolischen Ebene durchzufuhren und darzustellen. Daher lasst sich so eine Geometrie im Hyperbo-lischen aufbauen, die wir bereits aus der Vorlesung kennen.Im zweiten Abschnitt werde ich die Lorentz-Gruppe und die Poincare-Gruppe vorstellen. Diese sind analogzur Orthogonalen-Gruppe und zur Euklidischen-Gruppe zu verstehen, wobei wir zur Grundlage das Pseudo-Skalarprodukt des Minowski-Raums verwenden werden. Durch dieses Pseudo-Skalarprodukt ist es moglichBerechnungen durchzufuhren, welche fur die Physik im Bezug auf die Relativitatstheorie von Belang sind.

2 Hyperbolische Bewegungsgruppe

2.1 Definition: Hyperbolische Ebene im Poincare-Modell

H2 = {(x+ iy) ∈ C|y > 0}

2.2 Definition: Hyperbolische Geraden

Zu beachten ist, dass in der Punktmenge H2 die Hyperbolischen-Geraden enthalten sind, die mit den eukli-dischen Halbkreisen mit Mittelpunkt auf der Re-Achse und den euklidischen Halbgeraden mit konstantemx ubereinstimmen. Die Halbgeraden sind hierbei als Grenzlagen der Halbkreise mit Mittelpunkt im ∞ zuverstehen.Diese Geraden haben die folgenden Eigenschaften:

i) Durch zwei Punkte geht genau eine eindeutige Gerade

ii) Zwei verschiedene Geraden schneiden sich in maximal einem Punkt

iii) Jede Gerade unterteilt den H2 in zwei zusammenhangende Halbebenen

iv) Jede Gerade kann uber R parametrisiert werden, wodurch sich ein Abstand d zwischen zwei Punktenp und q uber |p− q| angeben lasst

Abbildung 1: Hyperbolische Ebene

2

2.3 Definition: Hyperbolische Bewegungsgruppe

Als hyperbolische Bewegungsgruppe definieren wir die Gruppe aller Translationen f : H2 → H2, die gegebensind durch:

f(z) =

(a bc d

)(z) =

az + b

cz + d

mit z ∈ H2, a, b, c, d ∈ R und ad− bc > 0. Dies sind spezielle Mobius-Transformationen. Die Gruppe bestehtalso aus den (2,2)-Matrizen (

a bc d

)mit positiver Determinante modulo den skalaren Vielfachen der Einheitsmatrix. Also stimmt sie mit derGruppe PSL(2,R) ∼= SL(2,R)/± uberein1.

2.4 Bemerkung

Genauer betrachtet entspricht diese Gruppe den orientierungserhaltenden und euklidischen Bewegungen inder euklidischen Ebene. D.h. fur die Hinzunahme einer Spiegelung in H2 betrachtet man die Transformationz 7→ −z. Dadurch wird H2 an der Im-Achse gespiegelt, wobei diese punktweise fest bleibt.

2.5 Lemma: Eigenschaften der hyperbolischen Bewegungsgruppe

Es gelten folgende Eigenschaften fur die Wirkung der hyperbolischen Bewegungsgruppe auf H2:

1.) Die Komposition der Transformationen aus der hyperbolischen Bewegungsgruppe entspricht der Mul-tiplikation der (2,2)-Matrizen in PSL(2,R) bzw. SL(2,R)

2.) Jede solche Transformation f bildet H2 nach H2 ab, ist bijektiv und winkeltreu.

3.) Man kann durch spezielle f jeden Punkt von H2 in jeden anderen Punkt uberfuhren, und bei festge-haltenen Punkt kann man jeden Richtungsvektor in diesem Punkt in jeden anderen Richtungsvektoruberfuhren.

4.) Jedes solche f uberfuhrt hyperbolische Geraden in hyperbolische Geraden

Beweis:

zu 1.) Berachten wir zunachst zwei Elemente f und g aus der hyperbolischen Bewegungsgruppe, die dieDarstellung

f(z) =az + b

cz + d, g(z) =

az + b

cz + d

mit ad − bc > 0 und ad − bc > 0 besitzen. Fuhrt man nun eine Verknupfung dieser beiden Transfor-mationen durch, erhalt man:

(f ◦ g)(z) = f(g(z))

=a az+bcz+d

+ b

c az+bcz+d

+ d

=aaz + ab+ bcz + bd

caz + cb+ dcz + dd

=(aa+ bc)z + ab+ bd

(ca+ dc)z + cb+ dd

Betrachten wir nun die Darstellung von f und g uber die (2,2)-Matrizen

f(z) =

(a bc d

)z , g(z) =

(a b

c d

)z

1Vgl. Vortrag uber die Mobius-Gruppe vom 11.05.2011

3

und multiplizieren wir diese, erhalten wir:(a bc d

)(a b

c d

)z =

(aa+ bc ab+ bd

ca+ dc cb+ dd

)z

=(aa+ bc)z + ab+ bd

(ca+ dc)z + cb+ dd

Vergleicht man beide Ergebnisse stellt man fest, dass sie identisch sind. Demnach ist eine Kompositionder Funktionen gleich der Matrizenmultiplikation.

zu 2.) Da diese Aussage aus dreien besteht, widmen wir uns ihnen einzeln:

i) f ist bijektiv:Zuerst betrachten wir, dass unsere Transformation f(z) = az+b

cz+d keine Polstelle besitzt, da der

Fall z = −dc auf Grund der Definition von unserer Menge H2 ausgeschlossen ist, da z dann ein

Element der Re-Achse ware.Da sich die Transformation f durch eine Matrix aus SL(2,R) darstellen lasst, und jede solcheMatrix eine Inverse in SL(2,R) besitzt, ist f invertierbar, also bijektiv.

ii) f ist winkeltreu:Da es sich bei der Transformation f um eine spezielle Mobius-Transformation handelt, ubertragtsich diese Eigenschaft der Mobius-Transformationen auf f . Dies ware allerdings auch schnell zuzeigen, indem man dfp = λA, λ 6= 0, A ∈ O(2)⇒ ∠(dfp(v), dfp(w)) = ∠(v, w) zeigt.2

iii) Nun bleibt nur noch zu zeigen, dass die Transformationen f von H2 nach H2 abbilden.Betrachten wir hierfur die Gleichung

f(z) = f(x+ iy)

=a(x+ iy) + b

c(x+ iy) + d

Erweitern=

(a(x+ iy) + b)(c(x− iy) + d)

(c(x+ iy) + d)(c(x− iy) + d)

=(ax+ b+ iay)(cx+ d− icy)

|cz + d|2

=acx2 + acy2 + adx+ bcx+ bd

|cz + d|2+ i

y(ad− bc)|cz + d|2

Schaut man sich nun den imaginaren Teil an, stellt man fest, dass dieser großer 0 ist, da y > 0per Definition von H2 und (ad− bc) > 0 auf Grund der Definition der hyperbolischen Bewegungs-gruppe gilt. Somit ist f(z) ∈ H2, und dies war zu zeigen.

zu 3.) Auch bei diesem Teil des Lemmas sind mehrere Aussagen zu zeigen.Beginnen wir mit:

i) Man kann mit f jeden Punkt in jeden uberfuhren:Betrachten wir zunachst zwei spezielle Matrizen:

α) wahle a = d = 1, c = 0, ⇒ f(z) =

(1 b0 1

)z = z+b

0+1 = z + b

Also: Diese Matrix stellt eine Translation um einen Faktor b ∈ R in reeller Richtung dar.

β) wahle fur a 6= 0: d = 1a , b = c = 0⇒ f(z) =

(a 00 1

a

)z = az+0

0+1/a = a2z

Also: Diese Matrix stellt eine zentrische Streckung um den Faktor a2 ∈ R dar.

Betrachten wir uns nun eine Verknupfung zweier Matrizen der obigen Art und bilden damit i ab,

2Vgl. Vortrag uber die Mobius-Gruppe vom 11.05.2011

4

ergibt sich:

f(i) =

(1 b0 1

)(1a 00 a

)i

=

(1a ab0 a

)i

=a−1i+ ab

0 + a

= a−2i+ b

Demnach konnen wir uber geeignete a, b unser i in beliebige waagerechte und senkrechte Richtungverschieben und somit i auf jeden anderen Punkt aus H2 verschieben. Da f bijektiv ist, kann mansomit jeden Punkt wiederum auf i verschieben. Somit kann man insgesamt jeden Punkt aus H2

auf jeden beliebigen anderen Punkt aus H2 verschieben.

ii) Nachdem wir nun gezeigt haben, dass man jeden Punkt in jeden uberfuhren kann, schauen wir unsan wie wir jeden Richtungsvektor in einem Punkt in jeden beliebigen Richtungsvektor in einembeliebigen Punkt uberfuhren konnen. Da wir uns dafur einen beliebigen Punkt anschauen konnen,wahlen wir der Einfachheit halber i.Wir betrachten also folgende Behauptung:

fϕ(z) =

(cos(ϕ) − sin(ϕ)sin(ϕ) cos(ϕ)

)z beschreibt fur ϕ ∈ [0, π] eine Art Drehung um i auf H2.

Um diese Behauptung zu zeigen, mussen wir verifizieren, dass α) i ein Fixpunkt ist und β) dassdiese Transformation fur ϕ ∈ [0, π] eine volle Drehung beschreibt, also dass (dfϕ)i · z = e2iϕ · zeine Drehstreckung um 2ϕ in der Tangentialebene ist.Betrachten wir also:

α) fϕ ist eine Art Drehung um i

fϕ(i) =

(cos(ϕ) − sin(ϕ)sin(ϕ) cos(ϕ)

)i

=i cos(ϕ)− sin(ϕ)

i sin(ϕ) + cos(ϕ)

−1=i2=

i cos(ϕ) + i2 sin(ϕ)

cos(ϕ) + i sin(ϕ)

= icos(ϕ) + i sin(ϕ)

cos(ϕ) + i sin(ϕ)

= i

β) Betrachten wir nun f ′ϕ, welches sich leicht uber die Quotientenregel ableiten lasst:

f ′ϕ(z) =cos(ϕ)(z · sin(ϕ) + cos(ϕ))− sin(ϕ)(z · cos(ϕ)− sin(ϕ))

(sin(ϕ) · z + cos(ϕ))2

Demnach ergibt sich fur die Stelle i:

f ′ϕ(i) =cos(ϕ)(i sin(ϕ) + cos(ϕ))− sin(ϕ)(i cos(ϕ)− sin(ϕ))

(sin(ϕ)i+ cos(ϕ)︸ ︷︷ ︸=eiϕ

)2

=

=1︷ ︸︸ ︷cos2(ϕ) + sin2(ϕ) +

=0︷ ︸︸ ︷i cos(ϕ) sin(ϕ)− i cos(ϕ) sin(ϕ)

e2iϕ

= e−2iϕ

Da also das Differential unserer Abbildung einer Dreh-Streckung um den Winkel 2ϕ ent-spricht, konnen wir erkennen, dass fϕ die Wirkung einer vollen Drehung hat fur ϕ ∈ [0, π]und dass f0 = fπ = Id die Identitat ist.

5

Also ist die Behauptung gezeigt.

zu 4.) Wenden wir uns nun dem Problem zu, ob jedes f aus der hyperbolischen Bewegungsgruppe auchhyperbolische Geraden in eben solche uberfuhrt. Aus dem vorangegangenen Vortrag wissen wir, dasseine Mobius-Transformation die Menge aller verallgemeinerten Kreise - d.h. Kreise und Geraden -erhalt. Wir schauen uns nun an, ob diese dann auch noch unserer Definition von den hyperbolischenGeraden entsprechen.Dafur betrachten wir beide Geradentypen getrennt:

i) Euklidische Halbkreise mit Mittelpunkt auf der Re-Achse:Um das Problem anschaulicher zu machen, betrachten wir zunachst volle Kreise in der C-Ebene.Wenn diese den Mittelpunkt auf der Re-Achse haben, sind sie invariant unter der Konjugationz 7→ z, da diese dabei an der Re-Achse gespiegelt werden. Betrachten wir nun was mit unsererAbbildung f(z) = az+b

cz+d bei der Konjugation geschieht:

f(z) =

(az + b

cz + d

)=

(a(x+ iy) + b

c(x+ iy) + d

)=

ax+ b+ iay

cx+ d+ icy

=ax+ b− iaycx+ d− icy

=a(x− iy) + b

c(x− iy) + d

=az + b

cz + d= f(z)

Also ist das Bild eines Kreises ebenfalls invariant unter der Konjugation. Da wir wissen, dass nurKreise mit Mittelpunkt auf der Re-Achse und Geraden die parallel zur Im-Achse laufen invariantunter der Konjugation sind, muss das Bild des Kreises einer dieser Geraden entsprechen. Wirwissen weiterhin, dass unsere Transformation f aus der hyperbolischen Gruppe von H2 nach H2

abbildet, demnach wird ein euklidischer Halbkreis mit Mittelpunkt auf der Re-Achse der in H2

liegt entweder auf einen solchen oder auf eine Halbgerade, die parallel zur Im-Achse in H2 liegt,abgebildet.

ii) Euklidische Halbgeraden die parallel zur Im-Achse verlaufen:Dieses Problem lasst sich mit der gleichen Argumentation wie unter i) zeigen.

Also kann man letztlich schließen, dass f aus der hyperbolischen Bewegungsgruppe das verlangte leistet,und somit hyperbolische Geraden auf eben solche abgebildet werden.

Da wir uns nun uber die Eigenschaften von den Transfomationen der hyperbolischen Bewegungsgruppe klarsind, betrachten wir uns einen Sonderfall, der uns veranschaulichen wird, was unter einer solchen Transfor-mation f mit einer hyperbolischen Geraden geschieht.

2.6 Beispiel: Drehung der Im-Achse

Wenn wir uns die zentrische Streckung um ein a ∈ R und die Translation um ein b ∈ R anschauen, wie wirsie im Beweis zu 2.5.3 i) verwendet haben, ist es auch anschaulich klar, dass ein euklidischer Halbkreis undeine euklidische Halbgerade in eben solche uberfuhrt werden. Betrachten wir allerdings die Drehung um iaus 2.5.3 ii) ist es anschaulich nicht klar, was genau geschieht, und in wie weit dieses f eine hyperbolischeGerade in H2 erhalt. Betrachten wir dafur die Anwendung dieses fϕ auf die Im-Achse:

Behauptung: Lassen wir fϕ auf die Im-Achse wirken, erhalten wir einen Halbkreis durch den Punkt i, mit Mittelpunkt

auf der Re-Achse bei x = 12 (cot(ϕ)− tan(ϕ)) und Radius r = 1

2 (cot(ϕ) + tan(ϕ)) = 12 sin(ϕ) cos(ϕ) .

6

Um diese Behauptung zu zeigen, genugt es zu zeigen, dass der euklidische Abstand zwischen dem Mittelpunktm und jedem beliebigen Punkt von fϕ(ti) - also jedem beliebigen Punkt der hyperbolischen Bildgeraden -genau dem Radius r entspricht. Dass die hyperbolische Bildgerade i enthalt ist klar, da i der Fixunkt vonfϕ ist, also:

|fϕ(ti)−m| !=

1

2 sin(ϕ) cos(ϕ)

|fϕ(ti)−m| =

∣∣∣∣ it cos(ϕ)− sin(ϕ)

it sin(ϕ) + cos(ϕ)− 1

2(cot(ϕ)− tan(ϕ))

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ (t2 − 1) sin(ϕ) cos(ϕ)

cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ)+ i

t

cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ)+

sin2(ϕ)− cos2(ϕ)

2 sin(ϕ) cos(ϕ)

∣∣∣∣=

[(2 sin2(ϕ) cos2(ϕ)(t2 − 1) + (sin2(ϕ)− cos2(ϕ))(cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ))

)2+ 4 sin2(ϕ) cos2(ϕ)t2

4 sin2(ϕ) cos2(ϕ)(cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ))2

] 12

=

[4 sin4(ϕ) cos4(ϕ)(t2 − 1)2 + 4 sin2(ϕ) cos2(ϕ)

√(1)√

(2)(t2 − 1) + (3) + 4 sin2(ϕ) cos2(ϕ)t2

4 sin2(ϕ) cos2(ϕ)(cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ))2

] 12

=

[4 sin2(ϕ) cos2(ϕ) [(4)] + (cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ))2

4 sin2(ϕ) cos2(ϕ)(cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ))2

] 12

=

[(cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ))2

4 sin2(ϕ) cos2(ϕ)(cos2(ϕ) + t2 sin2(ϕ))2

] 12

=1

2 sin(ϕ) cos(ϕ)

Nebenrechnung:

(sin2− cos2)2 = 1− 4 sin2 cos2 (1)

(cos2 +t2 sin2)2 = cos4 +t4 sin4 +2 cos2 sin2 = 1 + 2 sin2(t2 − 1) + sin4(t2 − 1)2 (2)

(1) · (2) = (cos2 +t2 sin2)2 − 4 sin2 cos2(cos2 +t2 sin2)2 (3)

(t2 − 1)(

sin2 cos2(t2 − 1) +√

(1)√

(2))− (2) + t2 = (t2 − 1)(1−

=1︷ ︸︸ ︷(sin2 + cos2)) = 0 (4)

Dies zeigt daruber hinaus noch auf, dass die Im-Achse mit der hyperbolischen Bildgerade einen Winkel von2ϕ einschließt, da bei der vollzogenen Drehung um ϕ, um den Euklidischen Winkel 2ϕ gedreht wird. Be-trachten wir daruber hinaus, was bei der Drehung um π/4 geschieht, stellen wir fest, dass der Mittelpunktm bei 0 liegt, und der Radus r genau 1 betragt. Lassen wir hingegen um den Winkel π/2 drehen, erhaltenwir sowohl fur den Radius, als auch fur den Mittelpunkt den Wert ∞ bzw. −∞.

Nachdem wir jetzt gesehen haben, dass sich eine im euklidischen nicht endliche Halbgerade durch ein faus unserer hyperbolischen Bewegungsgruppe in ein euklidisch endliches Objekt, namlich den Halbkreis,uberfuhren lasst, ist es zunachst nicht trivial einen Langenbegriff innerhalb der hyperbolischen Ebene anzu-nehmen. Dies konnen wir allerdings, wenn wir uns weg von der euklidischen Lange hin zu einer hyperbolischenLange bewegen. Um diese allerdings ausreichend definieren zu konnen, benotigen wir zuerst eine Metrik aufunserem H2

2.7 Definition: Riemannsche Metrik auf H2

Eine Riemannsche Metrik auf H2 ist ein Skalarprodukt gp, so dass fur das Koordinatensystem α : H2 → H2,

α := Id , gp die Matrixdarstellung

(E FF G

), mit

E = gp(αu, αu) =1

y2F = gp(αu, αv) = 0 G = gp(αv, αv) =

1

y2

besitzt.

7

Betrachte hierbei, dass sich die Norm auch wie folgt schreiben lasst:

‖(v1, v2)‖2H2 = v21E + 2v1v2F + v22G = v211

y2+ 2v1v20 + v22

1

y2=

1

y2(v21 + v22) =

1

y2‖(v1, v2)‖2Eukl.

⇒ ‖v‖H2 = 1y ‖v‖Eukl.

Da wir nun eine Metrik auf unserem H2 definiert haben, konnen wir die hyperbolische Lange wie folgtdefinieren:

2.8 Definition: Hyperbolische Lange

Die hyperbolische Lange einer Kurve γ : [a, b] → H2, die durch γ(t) = x(t) + iy(t) parametrisiert ist,definieren wir als:

LH2

(γ|[a,b]

)=

∫ b

a

‖γ′(t)‖H2 dt =

∫ b

a

1

y‖γ′(t)‖Eukl dt

Da wir nun eine hyperbolische Lange definiert haben, konnen wir zu folgendem Satz ubergehen:

2.9 Satz

Die Transformationen f der hyperbolischen Bewegungsgruppe sind Isometrien von H2 mit der Norm ‖·‖H2 .Die Lange der hyperbolischen Geraden ist ∞.

Beweis:Um zu zeigen, dass f eine Isometrie ist, mussen wir zeigen, dass f sowohl langenerhaltend als auch winkeltreubezuglich unserer hyperbolischen Metrik ‖·‖H2 ist.Betrachten wir dafur zunachst eine Kurve γ : [a, b]→ H2, die durch γ(t) = z(t) = x(t) + iy(t) parametrisiertist, und dazu eine Transformation aus unserer hyperbolischen Bewegungsgruppe f(z) = x+ iy wobei y wieim Beweis zu 1.5.2 gegeben ist durch y = ad−bc

|cz+d|2 · y.

Betrachten wir uns nun das Bild der gegebenen Kurve γ erhalten wir:

(f ◦ γ) (t) = f (γ(t)) =z(t)a+ b

z(t)c+ d= γ(t)

Durch Ableiten erhalten wir dann:

(f ◦ γ)′(t) =

df

dz

∣∣∣∣z(t)

· γ′(t) =

a(cz + d)− c(az + b)

(cz + d)2· γ

′(t) =

ad− bc(cz + d)2

· γ′(t)

Also gilt:

γ′(t) =

ad− bc(cz + d)2

· γ′(t)

Betrachten wir nun die hyperbolische Norm dieser Ableitung, also die Lange eines beliebigen Richtungsvek-tors der Bildkurve: ∥∥∥γ′

∥∥∥H2

=1

y

∥∥∥γ′∥∥∥Eukl.

=1

y

|cz + d|2

ad− bc·∥∥∥∥ ad− bc

(cz + d)2· γ

′∥∥∥∥Eukl.

‖c·z‖=|c|·‖z‖=

1

y

|cz + d|2

ad− bc·∣∣∣∣ ad− bc(cz + d)2

∣∣∣∣ · ∥∥∥γ′∥∥∥Eukl.

|z2|=|z|2=

1

y

|cz + d|2

ad− bcad− bc|cz + d|2

·∥∥∥γ′∥∥∥Eukl.

=1

y·∥∥∥γ′∥∥∥Eukl.

=∥∥∥γ′∥∥∥H2

8

Demnach ist unser f aus der hyperbolischen Bewegungsgruppe langenerhaltend bezuglich unserer Metrik‖·‖H2 .Bleibt noch zu zeigen, dass wir die Winkel zwischen zwei Vektoren unter der Transformation f erhalten, alsomussen wir die Gleichung gH2(v, w)p = gH2(df(v), df(w))f(p) verifizieren.Um dies zu zeigen, bedienen wir uns eines kleinen Tricks, indem wir die Bilinearitat des Skalaproduktes unddie Linearitat unseres Differentials ausnutzen. Wir betrachten also zunachst einmal:

gH2(v + w, v + w)p = gH2(df(v + w), df(v + w))f(p) (5)

Wir wissen aus der obigen Rechnung, dass diese Gleichung stimmt. Nun schauen wir uns an, was passiert,wenn wir die beiden Seiten umformulieren:

gH2(v + w, v + w)pbilinear

= gH2(v, v)2p + 2 · gH2(v, w)p + gH2(w,w)2p

gH2(df(v + w), df(v + w))f(p)linear

= gH2(df(v) + df(w), df(v) + df(w))f(p)bilinear

= gH2(df(v), df(v))2f(p) + 2 · gH2(df(v), df(w))f(p) + gH2(df(w), df(w))2f(p)

Da die Gleichung (5) Gultigkeit hat, konnen wir unsere beiden umformulierten Gleichungen miteinandervergleichen. Dabei konnen wir - auf Grund der Tatsache, dass die beiden quadratischen Terme gleich sind -diese zusammenkurzen und erhalten:

gH2(v, w)p = gH2(df(v), df(w))f(p)

Diese Gleichheit genugt - auf Grund der Definition eines Winkels zwischen zwei Vektoren - um zu sehen, dassunsere Transformation f winkelerhaltend ist. Demnach sind alle Transformationen f aus der hyperbolischenBewegungsgruppe Isometrien.

Nachdem wir dies gezeigt haben, schauen wir uns jetzt die Lange einer hyperbolischen Geraden an. Dawir wissen, dass wir uber f jede beliebige hyperbolische Gerade in jede andere uberfuhren konnen, und da feine Isometrie ist, konnen wir uns zur Berechnung der Lange eine spezielle Gerade wahlen. Der Einfachheithalber wahlen wir hierfur: γ(t) = it, mit t ∈ (0,∞)

LH2

(γ|[a,b]

)=

∫ b

a

‖γ′(t)‖H2 dt =

∫ b

a

1

t‖γ′(t)‖Eukl.︸ ︷︷ ︸

=1

dt =

∫ b

a

1

tdt = log(b)− log(a)

Betrachten wir nun die folgenden Grenzwerte log(b)b→∞−→ ∞ und log(a)

a→0−→ −∞, stellen wir fest, dass diehyperbolische Lange von γ, und somit jeder anderen hyperbolischen Gerade, gleich ∞ ist.

2.10 Bemerkung: Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten in H2

Der Abstand zwischen ai und bi ist gegeben durch | log(a)− log(b)|. Demnach kann man uber f den Abstandvon beliebigen a, b ∈ H2 bestimmen

2.11 Folgerung & Definition: Hyperbolischer Flacheninhalt

Da wir eine Metrik auf H2, und mit f eine Isometrie auf H2 haben, konnen wir ebenfalls einen hyperboli-schen Flacheninhalt definieren.Sei A ⊂ H2 eine hyperbolische Flache, dann bestimmt das Integral

FlH2(A) :=

∫A

√EG− F 2dudv =

∫A

1

y2dudv

den hyperbolischen Flacheninhalt, falls es existiert.

In Hinblick auf die Vorlesung zur Differentialgeometrie ware es uns nun moglich noch zu zeigen, dass diehyperbolischen Geraden im H2 Geodaten sind. Dadurch konnten wir uber die Gauß-Bonnet-Formel denFlacheninhalt der (Geodatischen-) Dreiecke bestimmen, indem wir∫

R

Kds+

∫∂R

kg(s)ds+∑

Außenwinkel von ∂R = χ(R) · 2π

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bestimmen.Da unsere Flache zusammenziehbar ist, gilt χ(R) = 1, die GaußkrummungK ≡ −1 ist und

∑Außenwinkel von ∂R =

3π −∑

Innenwinkel von ∂R gilt, bekommen wir also:∫R

Kds = 2π −∑

Außenwinkel von ∂R

−FlH2(R) = −π +∑

Innenwinkel von ∂R

FlH2(R) = π −∑

Innenwinkel von ∂R

Dies allerdings ausfuhrlich zu zeigen und zu beweisen wurde den Umfang dieser Arbeit sprengen.

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3 Die Lorentz-Gruppe und die Poincare-Gruppe

Aus der euklidischen Geometrie kennen wir das (Standard-) Skalarprodukt, welches uber 〈x, y〉 =∑ni=1 xiyi

definiert ist. Uber dieses Skalarprodukt ist die komplette euklidische Geometrie und die Euklidische-Gruppe3

bestimmt. Aus den vorangegangenen Vortragen wissen wir, dass die euklidische Geometrie nicht immer aus-reichend ist, um alle gewunschten mathematischen bzw. geometrischen Operationen zu praktizieren.Deshalb werden wir uns in diesem Abschnitt mit einem Pseudo-Skalarprodukt befassen, welches uns andereBerechnungen ermoglichen wird, welche z.B. in der Physik von Wichtigkeit sind. Das Pseudo-Skalarprodukt,dass ich einfuhren werde, ist nicht als Skalarprodukt zu bezeichnen, da es nicht positiv definit ist.Starten wir mit der ersten Definition, damit wir unsere Gruppen aufbauen konnen:

3.1 Definition: Minowski-Raum

Als Minowski-Raum definieren wir den Rn+11 , welcher dem reellen (n+1)-dimensionalen affinen Raum mit

den Koordinaten x0, x1, . . . , xn zusammen mit der symmetrischen Bilinearform - die wir im folgenden auchals Pseudo-Skalarprodukt bezeichnen werden -

〈x, y〉1 = −x0y0 +

n∑i=1

xiyi

auf dem Vektorraum der Verbindungsvektoren entspricht. Dies ist analog zu dem euklidischen Raum zu se-hen. Im Minowski-Raum sind Abstande und die Tangentialvektoren von Kurven wie im Euklidischen erklart.

Hier ist bereits ersichtlich, wieso diese symmetirsche Bilinearform ein Pseudo-Skalarprodukt und kein Ska-larprodukt ist. Wenn wir uns die obige Gleichung anschauen, stellen wir fest, dass diese negative Ergebnisseliefern kann und, dass es moglich ist, dass 〈x, y〉1 = 0 gilt fur x 6= 0 und y 6= 0.

Da diese unterschiedlichen Ergebnisse fur die weitere Betrachtung und fur die Anschauung begrifflich zutrennen sind, fuhren wir die folgenden Notationen ein.

3.2 Notation: Bezeichnung von Vektoren und Kurven

Tangentialvektoren x von Kuven im Minowski-Raum heißen:

raumartig, falls 〈x, x〉1 > 0

zeitartig, falls 〈x, x〉1 < 0

lichtartig oder isotrop, falls 〈x, x〉1 = 0, aber x 6= 0

Analog heißt eine differenzierbare Kurve c(t) raumartig, zeitartig bzw. isotrop, wenn die oben genanntenEigenschaften fur jeden der Tangentialvektoren c′(t) gilt.Betrachten wir nun die Menge aller isotropen Vektoren im Rn+1

1 erhalten wir einen Doppelkegel, den soge-nannten Lichtkegel {(x0, . . . , xn) | x20 = x21 + . . .+ x2n}.Betrachten wir die

”Spharen“, die gegeben sind durch {x | 〈x, x〉1 = ±1}, stellen wir fest, dass es sich dabei

um Hyperboloide im Euklidischen handelt.

3.3 Beispiele

Betrachten wir zuerst die Hyperbel, die wir uber c(t) = (cosh(t), sinh(t), 0) parametrisieren konnen. Betrach-ten wir nun c′(t) = (sinh(t), cosh(t), 0) und somit:

〈c′(t), c′(t)〉1 = − sinh2(t) + cosh2(t) = 1

Also ist diese Kurve raumartig.Betrachten wir die Hyperbel mit der Parametrisierung c(t) = (sinh(t), cosh(t), 0) erhalten wir analog dasErgebnis:

〈c′(t), c′(t)〉1 = −(cosh2(t)− sinh2(t)) = −1

3Vgl. Kuhnel 2011 Kap 5.2

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Also eine zeitartige Kurve.Dies zusammen mit dem Lichtkegel von oben fuhrt uns zu einer Darstellung der verschieden gearteten Kur-ven als Einbettung in den R3, die sich als Ineinanderschachtelung eines zweischaligen Hyperboloiden, einesDoppelkegels und eines einschaligen Hyperboloiden auffassen lassen.

Abbildung 2: Lichtkegel mit ein- und zweischaligen Hyperboloid

3.4 Interpretation

Betrachten wir uns nun den physikalischen Zusammenhang dieser obigen Korper in einer (3+1)-dimensionalenRaumzeit, und interpretieren wir dazu die Koordinate x0 als einen Zeitfaktor, wobei x1, x2, x3 die raumlichenKoordinaten angeben, erhalten wir

〈x, x〉1 = −c2t2 +

3∑i=1

x2i

wobei c als Konstante der Lichtgeschwindigkeit angesehen wird, die wir in rein mathematischen Betrach-tungen gleich 1 setzen. Demnach ist ein Teilchen, welches sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, Teildes Lichtkegels fur eine isotrope Losung. Wenn man ein negatives Ergebnis erhalt, kann man dies als einTeilchen auffassen, welches sich zeitlich bewegt, also als Bewegung innerhalb des zweischaligen Hyperbo-loiden (Dies kann man als alle real moglichen Bewegungen verstehen). Die raumartigen Bewegungen einesTeilchens, welche sich auf dem außeren, einschaligen Hyperboloiden verorten wurde, wurden aus einer Uber-Lichtgeschwindigkeit resultieren und ist somit nur rein theoretisch moglich. Hieraus ist ersichtlich, dass diesesPseudo-Skalarprodukt fur die Berechnungen innerhalb der Speziellen Relativitatstheorie von Belang ist.

Da wir uns nun eingehend mit dem physikalischen Anwendungszusammenhang befasst haben, kommen wirnun zur Definition unserer Gruppen.

3.5 Definition: Lorentz-Gruppe, Poincare-Gruppe

Die Menge aller (n+1,n+1)-Matrizen A fur die fur alle x, y :

〈Ax,Ay〉1 = 〈x, y〉1

gilt heißt Pseudo-Orthogonale Gruppe O(1, n) bzw. Lorentz-Gruppe.Beachte hierbei, dass die klassische Lorentz-Gruppe dem Fall n = 3 entspricht, und dass die Transformationen

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x 7→ Ax als Lorentz-Transformationen bezeichnet werden.Als Pseudo-Euklidische Gruppe bzw. Poincare-Gruppe E(1, n) bezeichnen wir die Mengen aller Abbildungen

F (x) = Ax+ b,

wobei A ∈ O(n, 1) und b ∈ Rn+11 gilt.

Beachte hierbei, dass die Poincare-Gruppe ein Analogon zur Euklidischen-Bewegungsgruppe ist, wahrenddie Lorentz-Gruppe in der euklidischen Geometrie der Orthogonalen-Gruppe entspricht.

Wie man bereits erkennt, handelt es sich bei der Lorentz-Gruppe um eine Matrizengruppe, wobei manfur die Poincare-Gruppe einer Einbettung in eine Matrizengruppe benotigen wurde. Dies kann analog zurAffinen-Gruppe4 bzw. zur Euklidischen-Gruppe5 durchgefuhrt werden.

3.6 Beispiele

Betrachten wir zwei einfache Beispiele fur Elemente der Lorentz-Gruppe, indem wir uns raumliche Drehma-trizen im euklidischen Sinn betrachten. Starten wir mit der ersten Matrix:

A =

1 0 0 00 1 0 00 0 cos(ϕ) − sin(ϕ)0 0 sin(ϕ) cos(ϕ)

Bei dieser Matrix sehen wir, dass im euklidischen Sinn die x2-Achse in die x3-Achse gedreht wird. Fur dieseMatrix gilt A ∈ O(1, 3), da

〈Ax,Ax〉1 = 〈

x0x1

x2 · cos−x3 · sinx2 · sin +x3 · cos

,

x0x1

x2 · cos−x3 · sinx2 · sin +x3 · cos

〉1= −x20 + x21 + (x2 · cos−x3 · sin)2 + (x2 · sin +x3 · cos)2 − 2x2x3 sin cos +2x2x3 sin cos

= −x20 + x21 + x22 · cos2 +x23 · sin2 +x22 · sin2 +x23 · cos2

= −x20 + x21 + x22 + x23

= 〈x, x〉1erfullt ist. Dies scheint einleuchtend zu sein, da wir im Euklidischen die Drehung als solche kennen und dieKoordinate x0 von dieser Transformation ungeruhrt bleibt.

Betrachten wir uns allerdings nun die Matrix

B =

cosh(ϕ) sinh(ϕ) 0 0sinh(ϕ) cosh(ϕ) 0 0

0 0 1 00 0 0 1

stellen wir fest, dass wir es hier auch mit einer Art Drehung zu tun haben, die allerdings Einfluss auf die x0Koordinate nimmt. Allerdings ist diese Matrix B ebenfalls ein Element aus O(1, 3) wie wir mit Hilfe einerkurzen Rechnung feststellen konnen:

〈Bx,Bx〉1 = 〈

x0 · cosh +x1 · sinhx0 · sinh +x1 · cosh

x2x3

,

x0 · cosh +x1 · sinhx0 · sinh +x1 · cosh

x2x3

〉1= −(x0 · cosh +x1 · sinh)2 + (x0 · sinh +x1 · cosh)2 + x2 + x3

= −x20 · cosh2 +x20 · sinh2 +x21 · cosh2−x21 · sinh2 +x2 + x3 − 2x0x1 sinh cosh +2x0x1 sinh cosh

= −x20 · (cosh2− sinh2︸ ︷︷ ︸=1

) + x21 · (cosh2− sinh2︸ ︷︷ ︸=1

) + x2 + x3

= 〈x, x〉14vgl. Kuhnel 2011 Kap. 5.1 Lemma 5.35ebd. Lemma 5.12

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Wenn wir uns nun vergegenwartigen, was die Matix B bewirkt, sehen wir, dass wir einen so genannten

”boost“ erhalten, der auch als Lorentz-Drehung bekannt ist. Dieser zeigt auf, dass sich die Bahn eines

Teilchens starker verzerrt, je starker es sich der Lichtgeschwindigkeit c annahrt.

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Literatur

[1] Kuhnel, W. (2011). Matrizen und Lie-Gruppen.Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag.

[2] [Abbildung 1] Erstellt von OH

[3] [Abbildung 2] http://www.photon.at/ werner/kosmos/Voids/vakuum/ereignishorizont.htmlStand: 08.06.2011Anderung der Beschriftung von OH

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