Die Kreisbrennlinien und die Herzkurve · Die Kreisbrennlinien und die Herzkurve Matthieu Schaller...

Maturarbeit

Tutor: Herr Jean-Paul Schuppisser

Die Kreisbrennlinien und die Herzkurve

Matthieu Schaller November 2005 3M3 Gymnase du Bugnon

Die Kreisbrennlinien und die Herzkurve Matthieu Schaller November 05

1


2

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis....................................................................................................................... 2 Einführung.................................................................................................................................. 3 Mathematische Grundzüge......................................................................................................... 3 Die Kreisbrennlinien .................................................................................................................. 7

Die Hüllkurve......................................................................................................................... 7 Die Brennlinie ........................................................................................................................ 8 Die Kreisbrennlinien .............................................................................................................. 9

1. Die Lichtquelle am Zentrum des Kreises ....................................................................... 9 2. Die Lichtquelle innerhalb des Kreises ......................................................................... 11 3. Die Lichtquelle ausserhalb des Kreises........................................................................ 12 4. Die Lichtquelle unendlich weit .................................................................................... 13 5. Die Lichtquelle auf dem Kreis ..................................................................................... 18

Die Herzkurve .......................................................................................................................... 22 Eigenschaften ....................................................................................................................... 22 Die Polargleichung............................................................................................................... 24 Die Länge der Kurve ............................................................................................................ 25 Die innere Fläche der Kurve ................................................................................................ 26 Die Herzkurve als Epizykloid .............................................................................................. 28 Die Evolute der Herzkurve................................................................................................... 29 Die Evolvente der Herzkurve............................................................................................... 31 Die Inverse der Herzkurve ................................................................................................... 32 Andere Eigenschaften der Herzkurve .................................................................................. 33

Schluss...................................................................................................................................... 34 Bibliographie............................................................................................................................ 35

Bücher .................................................................................................................................. 35 Internet ................................................................................................................................. 35

Abbildungsverzeichnis ............................................................................................................. 35

Einführung Mein erstes Projekt und Grundidee war, ein Physikproblem mit einer Kurve zu studieren und dank der Analyse das Problem zu lösen. Diese Idee hat sich aber schnell geändert und mein Projekt sollte einen grösseren Teil Kurvenstudie enthalten. Eich habe sehr schnell ein Problem getroffen; es gibt nur wenige Kurven, die aus Problemen entstehen. Es gibt fast nur Parabeln, Ellipsen und Sinuskurven in der Physik, und da diese Kurven nicht sehr interessant sind, weil zu bekannt, habe ich eine andere Kurve gesucht. Schliesslich habe ich die Kreisbrennlinien und vor allem die Herzkurve gewählt. Diese Kurven findet man aber fast nur in Problemen mit einer Lichtquelle und einem kreisförmigen Spiegel. Deswegen habe ich das Problem nur als Weg genommen, um die Kurve zu finden. Die Kurvenstudie ist dann der Hauptteil meiner Arbeit geworden, was nicht wirklich mit einer einfacheren Kurve, von denen man viel weniger sagen kann, möglich gewesen wäre. In meiner Arbeit habe ich mehrere und vielleicht die wichtigeren Eigenschaften der Herzkurve gerechnet. Ich könnte nämlich noch viel mehr über diese Kurve sagen, da jede Kurve eine grosse Menge von Eigenschaften hat. Ich habe aber nur die wichtigeren und die bedeutendsten gewählt.

Mathematische Grundzüge In der Schule lernt man früh Funktionen zeichnen und rechnen. Es ist der Anfang der Analyse. Man lernt sehr schnell, wie man das Bild einer Funktion zeichnen kann. Zum Beispiel mit der Funktion muss man zu jenem x auf der X-Achse einen Punkt in die Ebene setzten, der einen Abstand von

32 += xy32 +x mit der X-Achse hat.

Jedes Paar (x ; ) gehört zum Graphen der Funktion. Oder noch anders gesagt, jedes Paar (x ; y), das die Gleichung

32 +x32 += xy löst, gehört zum Graphen. Diese Gleichung heisst

"cartesianische Gleichung":

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Abbildung 1 Die Gerade 32 += xy


3

Diese Methode funktioniert sehr gut für einfache Funktionen, aber für schwierigere wird sie schnell zu kompliziert und unpraktisch. Die Mathematiker haben dann eine andere Methode erfunden, um Graphen zu zeichnen. Anstatt eine Gleichung zu schreiben, schreibt man ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen:

t ist der Parameter und das System heisst "Parametergleichung". Für jedes t

erhält man ein Punktpaar, das zum Graphen gehört. Diese Methode ist viel einfacher als die

erste

( )( )⎩

⎨⎧

⋅=⋅=

tytx

sin5cos3

( )( ) 9

2525sin5cos3 xy

tytx

−=↔⎩⎨⎧

⋅=⋅=

, obwohl beide die gleiche Kurve bezeichnen.

Abbildung 2 Die Ellipse 9

2525 xy −=

Wenn eine Kurve geschlossen und viele Kreuzungen besitzt, ist die zweite Methode manchmal schwierig zu benutzen. In diesen Fällen und um die Rechnungen zu vereinfachen, wurden die Polargleichungen erfunden. Die Lage eines Punktes P wird nicht mehr durch die x und y Koordinaten beschrieben, sondern durch einen Winkel und einen Abstand. Die Ebene wird nicht mehr mit zwei Achsen gezeichnet, sondern nur durch einen Punkt O und einen Vektor, die Polar-Achse. Ein Punkt wird durch seinen Abstand r mit O und seinen Winkel θ mit der Polar-Achse definiert.

Abbildung 3 Ein Punkt in einem Polarsystem


4

Diese Methode ist nicht sehr praktisch für offene Kurven und Geraden, sie wird aber fast immer für geschlossene Kurven benutzt. Zum Beispiel die Parametergleichung

( ) ( )( )

( ) ( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅=

+⋅=

tty

ttx

3sinsin23

3coscos23

gibt in Polargleichung ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

2cos3 θr , was viel einfacher ist.

Abbildung 4 Die Kurve ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

2cos3 θr , sie heisst "Dürersches Blatt"

Dank der folgenden Beziehungen kann man von der Parametergleichung zur Polargleichung gehen:

( )θcos⋅= rx und ( )θsin⋅= ry und für die Gegenrichtung :

222 yxr += und ( )xy

=θtan

Es ist aber wichtig zu bemerken, dass ein Punkt im Polarsystem mehrere Paare hat, denn

θθ =+ 360 . In der Analyse wird aber normalerweise der Radiant benutzt, weil die Ableitungsformeln nur mit Radianten funktionieren. Ich habe jetzt die Grundzüge der Analyse, die in meiner Arbeit wichtig sind, erklärt. Ich muss noch bevor ich weiter gehe, den Begriff Kurvenfamilie vorstellen.


5


6

)

In der Analyse gibt es mehrere grosse Kategorien von einfachen Kurven. Ein Beispiel für diese Gruppen ist die Familie der Rosenkurven. Es sind alle Kurven der Form

( θ⋅⋅= nar cos . Sie haben die Form einer Blume mit n Blütenblättern, wenn n ungerade ist und mit 2n Blütenblättern, wenn n gerade ist.

n = 1 n = 2 n = 5

Aber falls n nicht ganz ist, erhält man noch andere Kurven, die ein bisschen komplexer sind.

n = 3/2 n = 1/2 n = 5

n = 1/4 n = 3/5 n = 9/4

Diese Kurven gehören dann alle zur gleichen Familie und haben gemeinsame Eigenschaften. Man erkennt auch das Dürersches Blatt, das höher als Beispiel diente. Eine andere Familie wäre die Familie der Epizykloid. Es sind alle Kurven, die entstehen, wenn ein Kreis, dessen Radius r ist, auf einen Kreis mit dem Radius R rollt. Die Kurve ist der Weg eines Punktes des Kreises r. Auf dem Bild ist die rote Linie die Kurve.

Abbildung 5 Eine Epizykloid

Für das Verständnis meiner Arbeit werde ich jetzt, nach diesem allgemeinen Teil, spezifischere Grundlagen vorstellen.

Die Kreisbrennlinien

Die Hüllkurve Bevor wir mit Kreisbrennlinien anfangen, brauchen wir eine andere Definition: die Hüllkurve. Die Hüllkurve ist die Kurve die entsteht, wenn sich irgendein Objekt mit einem Parameter (zum Beispiel alle Kreise auf einer Gerade) bewegt. Man zeichnet unendlich viel von diesen Objekten mit jedes Mal einer anderen Zahl als Parameter, und betrachtet den Rand der Form, die gezeichnet wird. Hier ist ein Beispiel, um besser zu verstehen:

Abbildung 6 Die Hüllkurve

Ein Stab steht senkrecht gegen eine Wand. Er rutscht langsam, bis er auf dem Boden liegt. Auf dem Bild sieht man den Stab in verschiedenen Lagen. Wenn man sie alle zusammen betrachtet, sieht man eine Kurve am rechten Rand des roten "Netzes", die wie ein Viertel eines Kreises aussieht. Es ist die gesuchte Hüllkurve (in unserem Fall ist es eigentlich eine Astroide1). Da ich die Hüllkurve erklärt habe, kann ich jetzt weiter mit der Brennlinie gehen.

1 ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

⋅=

taytax

3

3

coscos


7

Die Brennlinie Eine Brennlinie ist die Hüllkurve einer Kurvenfamilie, die durch eine Spiegelung mit einer anderen Kurve entsteht. Das heisst, dass man einen Punkt als Lichtquelle und eine Kurve als Spiegel betrachten muss. Die Lichtstrahlen werden vom Spiegel reflektiert und bilden eine Hüllkurve.

Abbildung 7 Eine Parabel als Spiegel und eine tschirnauensche Kubik

Auf dem Bild sieht man die Lichtstrahlen und die blaue Kurve (eine Parabel)2, die als Spiegel dient. Die rote Kurve ist die gesuchte Hüllkurve (hier eine Tschirnhausensche Kubik3).

2 2xy =

3 ( )

⎩⎨⎧

⋅=−=

xtytx 2319


8

Die Kreisbrennlinien Eine Kreisbrennlinie ist ein spezieller Fall der Brennlinie, wo der Spiegel ein Kreis (mit dem Radius R) ist. Es gibt verschiedene Kreisbrennlinien, die durch verschiedene Lichtquellen entstehen. Die Lichtquelle kann an 5 verschiedenen Orten sein, die man durch den Abstand Δ zwischen dem Zentrum des Kreises und der Lichtquelle definiert werden können:

1) Am Zentrum des Kreises (Δ = 0) 2) Innerhalb des Kreises (Δ < R) 3) Ausserhalb des Kreises (Δ > R) 4) Unendlich weit (Δ = ∞) 5) Auf dem Kreis (Δ = R)

Ich werde diese 5 Fälle untersuchen und die 5 verschiedenen Hüllkurven betrachten. Die allgemeine Formel für Kreisbrennlinien wurde von Tschirnhausen4 in 1681 entdeckt. Sie

heisst:

( ) ( )( )( )

( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−+⋅

⋅⋅=

⋅−+−+⋅

⋅⋅=

tabbatabay

tabbaattbbax

cos32sin

cos32sin21cos

22

3

22

2

, wo a der Radius des Kreises ist und b der

Abstand zwischen dem Zentrum und der Lichtquelle. Ich werde diese Formel für die beiden Fälle benutzten, wo ab < und sind. ab > Nach diesem theoretischen Teil kann ich mit meinen Kurven und meinen Rechnungen anfangen.

1. Die Lichtquelle am Zentrum des Kreises Welche Kurve entsteht, wenn die Lichtquelle am Zentrum des Kreises ist? Dieser Fall ist der einfachste, da keine Hüllkurve existiert. Die Strahlen gehen bis auf den Kreis und kommen wieder zurück auf den gleichen Weg.

Abbildung 8 Der Kreis mit einem Lichtstrahl

4 Ehrenfried Tschirnhausen (1651-1708), Deutscher Mathematiker.


9

Wenn man jetzt alle Strahlen betrachtet, sieht man unendlich viele Diameter vom Kreis. Diese Diameter kreuzen sich nie ausser im Zentrum, darum gibt es keine Hüllkurve.

Abbildung 9 Der Kreis mit vielen Lichtstrahlen

Mit der allgemeinen Formel kann man dieses Resultat schnell beweisen. Wenn , die

Formel

0=b( ) ( )( )

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−+⋅

⋅⋅=

⋅−+−+⋅

⋅⋅=

tabbatabay

tabbaattbbax

cos32sin

cos32sin21cos

22

3

22

2

gibt , was zeigt, dass es keine Kurve

gibt.

⎩⎨⎧

==

00

yx

Dieser Fall ist gar nicht interessant, ich werde also nicht weiter darüber reden und mich auf die 4 anderen konzentrieren.


10

2. Die Lichtquelle innerhalb des Kreises

Die Formel von Tschirnhausen muss benutzt werden. Ich wähle 2ab = . Das heisst für einen

Kreis mit dem Radius 1:

( ) ( )( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

=

−⋅−

=

3cos3sin

3cos3cossin

3

2

tty

tttx

.

Abbildung 10 Die Hälfte der Kurve mit 2ab =

Auf dem Bild sieht man eine Hälfte der Kurve oben, die andere Hälfte wäre einfach ein Bogen, der die Kurve schliesst.


11

3. Die Lichtquelle ausserhalb des Kreises Die Formel von Tschirnhausen wird hier wieder nützlich um diesen Fall zu untersuchen. Ich

wähle . Das heisst für einen Kreis mit dem Radius 1: ab 2=

( ) ( )( )( )( )

( )( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

=

−⋅−

=

3cos23sin2

3cos23cossin8

3

2

tty

tttx

.

Abbildung 11 Die Kurve


12

4. Die Lichtquelle unendlich weit Für diese Kurve habe ich als Grundfrage ein Problem vom Alltag benutzt. Was für eine Kurve entsteht, wenn sich ein Lichtstrahl in meinem Glas reflektiert? Um diese Frage besser zu verstehen, schauen wir uns dieses Bild an:

Abbildung 12 Die Kurve in einem Glas Milch

Man sieht ein Glas Kaffee, das von der Sonne beleuchtet wird. Eine Kurve entsteht auf dem Wasserspiegel. Diese Kurve sieht ein bisschen aus wie die Herzkurve, das lässt sich aber zuerst beweisen. Sei der Kreis mein Glas Wasser. Nennen wir ihn K. Sei L122 =+ yx v die Lichtstrahlen. Sie sind parallel zur Y-Achse. Ln sind die reflektierten Lichtstrahlen.


13

K

X

Y Lv

Ln

Schauen wir jetzt näher an, was am Reflektierpunkt passiert: C ist der Reflektierpunkt. T ist die Tangente an K am Punkt C. N ist das Segment [OC] und auch der Radius vom Kreis. α ist der Winkel zwischen Lv und N.

XY

Lv

Ln

N

T

K

αβ

ω

Wir müssen die Gerade Ln berechnen, um zu wissen, welche Familie entsteht. Man kann sehen dass β = α, denn Lv parallel zu Y ist. Man kann auch sehen, dass ω = α ist (Reflexions-Physik Regel)5. Um die Idee zu beweisen kann ich ein Bild von den Strahlen zeichnen:

Abbildung 13 Die Hüllkurve

5 Der Winkel zwischen dem kommenden Lichtstrahl und dem Einfallslot ist der gleiche als der zwischen dem Einfallslot und dem gehenden Lichtstrahl.


14

Die Hüllkurve sieht ähnlich aus als auf der Foto. Die Gerade Ln hat eine Gleichung der Form hmxy += Diese beiden Elemente werden separat gerechnet. Rechnungen für m : m ist definiert als die Tangente der Winkel zwischen der Gerade und der X-Achse. m ist, dann gleich ( )90tan −+ ωα .

α = ω, dann ist ( )902tan −= αm .

Rechnungen für h : h ist definiert als der Schnittpunkt der Gerade mit der Y-Achse. β = α, man kann dann sagen, dass das Dreieck OCH gleichschenklig ist. Q sei die Mitte von N, dann gilt OQ = ½. Mit Hilfe der Trigonometrie im Dreieck OQH :

( ) OQOH ⋅= βcos

( )21cos ⋅= αOH

( )αcos21

⋅=h .

Die Gerade Ln hat die Gleichung:

( )αα

cos tan(2y

⋅2 1

− 90) −= x .

Der Minus vor ( ) cos21

α⋅ steht hier, weil die Gerade Ln die Y-Achse unten dem Nullpunkt

schneidet. Die gesuchte Kurve entsteht, wenn Lv zwischen -1 und 1 wandert. Man muss die partielle Ableitung bezüglich zu α mit x konstante berechnen:

0=αd

dy

Mit der Gleichung der Kurve erhält man

( ) ( )αα

cos12 tany

⋅2− ⋅90 − = x

( )( ) ( )ααα

cos21

2sin2cos

⋅−

⋅=

xy .

Und jetzt berechne ich die Ableitung:


15

( )( )

( ) 0cos2sin

2sin2

22 =⋅

−=α

ααα

xddy

( ) ( )( )

( ) 0cos2sin

cossin42

222 =−=α

αααα

xddy

( ) ( )( )

( ) 0cos2sin

cossin2 222 =−=α

αααα

xddy .

Jetzt kann man x als Funktion von α berechnen:

( ) ( )( )

( ) 0cos2sin

cossin2 222 =−α

ααα

x

( ) ( )( )

( )αα

αα 222 cos2sin

cossin2=

x

( ) ( )

( )ααα

2

23

cos2cossin2

=x

( )α3sin=x Und da haben wir die erste Parametergleichung der gesuchten Kurve. Um die Y-Parametergleichung zu berechnen, setzt man den Wert von X in die Gleichung von Ln, und man erhält:

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−= αα 2sin

21cosy .

Diese Gleichung ist die zweite Parametergleichung der gesuchten Kurve. Die Kurve hat die Gleichung (mit t = α):

( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−=

=

tty

tx

2

3

sin21cos

sin.


16

Wenn man diese Kurve zeichnet erhält man schnell das folgende Bild:

Abbildung 14 Die Herzkurve

Diese Kurve heisst « Nierenkurve ». Sie wird allgemein so beschrieben:

( )( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

+⋅⋅−=

⋅=

ttaytax

2

3

sin1cossin2

Wo 2a der Radius des Kreises ist (in unserem Fall 2a =1).


17

5. Die Lichtquelle auf dem Kreis Ich werde mich besonders auf diesen Fall konzentrieren, weil ich diese Kurve für meine Kurvenstudie gewählt habe. In diesem letzten Fall ist die Lichtquelle F auf dem Kreis.

Abbildung 15 Die gesuchte Kurve in einem Glas Milch

Abbildung 16 Geometrisches Bild des Falles

Ich möchte die Hüllkurve rechnen, die durch die Bewegung der reflektierten Gerade entsteht. Ich muss diese Gerade mit irgendeinem Parameter rechen, so dass, wenn ich den Parameter ändere, eine neue Gerade entsteht. Ich habe den Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der Y-Achse als Parameter gewählt.


18

Abbildung 17 Die Gerade nach der Spiegelung

Die Gerade G wird auch als hxmy +⋅= definiert M ist der Tangens des Winkels zwischen der X-Achse und der Gerade. Auf dem Bild ist es

der Winkel μ. Man erhält sehr schnell den Winkel2

3 παμ −= . Die Länge h erhält man dank

des Sinussatzes:

( ) ( ) ( )απδα 3sinsinsin −==

rrh

( )

( )απα3sin

sin−

⋅=

rh .

Die Gerade G ist dann ( )( )απ

απα3sin

sin2

3tan−

⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

rxy .


19

Abbildung 18 Die Herzkurve mit einem Strahl

Abbildung 19 Die Herzkurve als Hüllkurve

Auf dem Bild sieht man alle Strahlen und die gesuchte Kurve. Ich berechne jetzt die partielle Ableitung bezüglich zu α mit x und r konstant und löse auf:

0=αd

dy

( )

( ) 03sin

sin2

3tan =−

⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

απαπα

αrx

ddy

Ich erhalte schnell: ( )( ) ( )αα coscos1+⋅= rx .

Ich ersetzte x in der oberen Gleichung und erhalte:

( )( ) ( )αα sincos1 ⋅+⋅= ry .

Die Gleichung einer Herzkurve wird erhalten:

( )( ) ( )( )( )⎩

⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

αααα

sincos1coscos1

ryrx

( )


20

Mit einem Rechner kriegt man sehr schnell ein Bild der Kurve:

Abbildung 20 Die Herzkurve

Ab jetzt begrenze ich mich nur noch auf die Herzkurve und deren Eigenschaften. Dieser Teil war ein Weg, um diese Kurve zu finden.


21

Die Herzkurve

Eigenschaften Die erste Spur von dieser Kurve kommt aus einem Werk des Franzosen Etienne Pascal (1588-1640), in dem er die Familie von den Pascalschen Schnecken6 erfunden hat. Die Herzkurve hat er aber nicht besonders bemerkt und studiert. Die Herzkurve oder Kardioide wurde zum ersten Mal von Roemer7 in 1674 in seiner Arbeit über die beste Form für Zahnradgetriebe studiert. 1708 rechnete La Hire8 die Länge der Kurve mit der ganz neuen Theorie der Analyse. Ich werde auch diese Länge mit der gleichen Formel rechnen wie damals. 33 Jahre später bekam die Kurve ihren Namen von Johann Castillon9. Der Name Kardioide kommt aus dem Latein kardia, was Herz bedeutet.

Abbildung 21 Die Herzkurve mit dem Parameter a

Auf dem Bild sieht man eine Herzkurve mit ihren Kreuzungen mit den Achsen. Man kann sehr gut sehen, dass der Faktor a in der Formel eine Auswirkung auf den Graphen hat. Das Bild der Funktion ist dann proportional zum Faktor a. Das heisst, dass die Länge und die Fläche der Kurve auch proportional zu a sind.

6 Kurben der Form ( )( )θcos1 ⋅+⋅= ear 7 Ole Christensen Roemer (1644 – 1710), dänischer Astronom, berühmt dank seines Beweises der Theorie von Kepler. 8 Phillipe de La Hire (1640 - 1718), französischer Mathematiker 9 Johann Castillon (1704 – 1791), italienischer Mathematiker


22

Abbildung 22 Verschiedene Herzkurven

Auf dem Bild sieht man verschiedene Herzkurven mit a gleich 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 und 3.5. Man kann gut sehen, dass sie alle proportional zu einander sind. Der Punkt 0 ist eine Spitze der Kurve. An diesem Punkt gibt es keinen rechenbaren Tangens. Die Herzkurve besitzt eine Symmetrieachse, die X-Achse. Das waren die geometrischen Eigenschaften der Kurve, die man aus dem Graphen feststellen kann. Weiter in meiner Arbeit werde ich diese Eigenschaften benutzen um Rechnungen durchzuführen.


23

Die Polargleichung Die Herzkurve ist eine geschlossene Kurve. Wahrscheinlich ist ihre Polargleichung einfacher zu benutzten als die berechnende Parametergleichung. Ich muss einfach die Beziehungen zwischen Kartesianische und Polargleichung benutzen. Aber da die kartesianische Gleichung unnützlich ist, kann ich sofort mit der Parametergleichung anfangen:

( )( ) ( )( )( )⎩

⎨⎧

⋅+⋅=⋅+⋅=

ttayttax

sincos1coscos1

( ) .

Zuerst muss ich diese Gleichung mit Hilfe trigonometrischen Formeln umformen. Ich wähle freiwillig 1 für a, so dass die Rechnung einfacher wird.

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

tty

ttx

2sin21sin

2cos21cos

Dank der Beziehung 22 yxr += kann ich schreiben, dass

( ) ( ) ( ) ( )22

2sin21sin2cos

21cos ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ttttr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttttttttr 2sinsin2sin41sin2coscos2cos

21cos2cos

41cos

41 2222 ++++++++=

( ) ( ) 1sincos 22 =+ tt und ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttttt cos2cos2sinsin2coscos =−=+ werden uns für den

nächsten Schritt helfen:

( ) ( )ttr 2cos21cos2

411

41

++++=

( ) ( )ttr 2cos21cos

24

23

++=

( ) ( )2

2coscos43 ttr ++= .

( )t2cos kann man ersetzen und man erhält eine einfache Formel des zweiten Grades:

( ) ( )

21cos2cos43 2 −++

=ttr

( ) ( )2

cos2cos42 2 ttr ++=


24( ) ( )ttr 2coscos21 ++=

( )tr cos1+=

Ich muss noch t durch θ ersetzen und dann bin ich so weit:

( )θcos1+=r .

Und wie im vorigen Kapitel gesagt, ist die Herzkurve proportional zu a. Ich kann deswegen hier wieder einen Faktor a vor die Gleichung setzen

( )( )θcos1+⋅= ar .

Die Länge der Kurve Mit der Polargleichung einer Kurve kann man sehr leicht die Länge einer Kurve berechnen.

Die folgende Formel gibt uns die Länge ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

β

α

θθ

dddrrL 2

. Diese Formel ist die

allgemeine Formel, die aus der Formel für cartesianische Gleichungen kommt. Man muss nur betrachten, welche α und β man wählen muss. Die Kurve ist fertig gezeichnet, wenn θ von 0 bis 2π gedreht hat. Ich setzte die Gleichung der Herzkurve mit a=1 in die Formel:

( )( ) ( )( )∫ −++=π

θθθ2

0

22 sincos1 dL

( )( )∫ +⋅=π

θθ2

0

cos12 dL

( )∫ +⋅=π

θθ2

0

cos12 dL

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

π

θθ2

0

2

2cos2 dL

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

π

θθ2

0 21cos2 dL .

Hier sollte man die Integral in zwei teilen, eine für 0 bis π und die andere von π bis 2π. Diese beiden Teile sind aber gleich, da die Kurve symmetrisch bezüglich zur Polarachse ist. Deshalb erhält man:

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

π

θθ0 2

1cos4 dL


25

821sin8

0

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

π

θL .

Die Länge für a=1 ist dann 8. Im Teil "Eigenschaften" haben wir gesehen, dass sich die Kurve wie a verhält. Wenn sich a verdoppelt, verdoppelt sich die Kurve. Ich kann deswegen sagen, dass die Kurve eine Länge von 8a hat:

aL 8=

Die innere Fläche der Kurve Die innere Fläche einer Polarkurve ist sehr einfach zu berechnen. Man benutzt einfach die

allgemeine Formel ( )∫ ⋅=β

α

dxxfA 2

21 . Für eine Polargleichung ersetzt man ganz einfach ( )xf

durch r. ∫ ⋅=β

α

dxrA 2

21 . Und wie für die Länge muss man α und β richtig wählen. Hier muss

man wieder 0 und 2π nehmen:

( )( ) θθπ

dA 22

0

cos121

−⋅= ∫

( ) ( )( ) θθθπ

dA ∫ +⋅−⋅=2

0

2coscos2121 .

Dank der trigonometrischen Beziehung ( ) ( )( θθ 2cos121cos2 += ), kann man weiter rechnen:

( ) ( ) θθθπ

dA ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅=

2

0

2cos21cos2

23

21

( ) ( )2

32sin41sin2

23

21 2

0

πθθθπ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅−⋅=A .

Wenn man die allgemeine Formel will, muss man aber noch mit a rechnen. Da die Kurve proportional zu a ist, kann man die folgende Fläche schreiben:

23 2aA ⋅

=π .


26

Die Herzkurve hat also eine innere Fläche 1.5mal so gross wie diejenige eines Kreises mit dem Radius a.

Abbildung 23 Die Herzkurve und ein Kreis mit dem Radius a

Bis jetzt habe ich geometrische Eigenschaften gerechnet. Ab hier werde ich mehr mit der Kurvenstudie arbeiten und die Beziehungen zwischen der Herzkurve und anderen Kurven die abhängig sind.


27

Die Herzkurve als Epizykloid Mit der bernoullischen Lemniskate ist die Herzkurve die Kurve, die zu den meisten Kurvenfamilien gehört. Eine Zykloide ist die Kurve, die entsteht, wenn ein Kreis auf eine Gerade rollt. Ein Punkt des Kreises bewegt sich auf einer Zykloide10. Es ist die berühmte Kurve der Klappe eines Velorades.

Abbildung 24 Eine Zykloid

Es gibt verschiedene Arten von Zykloiden. Der rollende Kreis kann auch auf einer anderen Kurve fahren. Die Kurve heisst dann Zykloidkurve. Wenn der Kreis innerhalb eines anderen Kreises rollt, ist die Kurve eine Hypozykloide. Aber falls der Kreis ausserhalb eines anderen Kreises rollt, ist die entstehende Kurve eine Epizykloid. Eine Epizykloid wird durch den Anzahl n von Spitzen und durch die Zahl m von Kreuzungen

zwischen 2 Spitzen definiert. Jede Kurve hat dann eine Zahl 1+

=m

nq . Für jeden q erhält

man eine andere Kurve. Die Parametergleichung ist: ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )⎩

⎨⎧

+−⋅+⋅=⋅+−⋅+⋅=⋅

tqtqayqtqtqaxq

1sinsin11coscos1

q = 3 q = 5/2 q = 9/4

q = 1/2 q = 1/5 q = 2/5

10

( )( )⎩

⎨⎧

−=−=

tyttx

cos1sin


28

Für q=1, erhält man die folgende Gleichung: ( ) ( )( )( ) ( )( )⎩

⎨⎧

−⋅⋅=−⋅⋅=

ttayttax

2sinsin22coscos2

, und durch

Vereinfachung: ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

ttay

ttax

2sin21sin

2cos21cos

, was genau die Gleichung einer Herzkurve ist.

Abbildung 25 Die Herzkurve als Epizykloid

Auf dem Bild sieht man gut die beiden Kreise mit dem gleichen Radius. Die Kurve in rot ist der Weg des grünen Radius des oberen Kreises.

Die Evolute der Herzkurve Wenn man eine Kurve betrachtet, kann man sie auch als Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Kreisbögen sehen. Die Idee kommt von Appolonius11. Er konnte aber nicht die Rechnungen durchführen. Das Problem wurde 1671 von Newton12 zum ersten Mal gelöst. Er nannte die Kreise Krümmungskreise. Er hat später die Zentren von jeden Kreisen gerechnet. Er nannte diese Zentren "Krümmungszentren". Newton hat danach die Idee gehabt, alle diese Zentren zu zeichnen. Er erhielt eine Kurve, die er "Evolute" nannte.

11 Appolonios von Perge (-262 v. Chr -190 v. Chr), griechischer Mathematiker, berühmt für seine Theorie der Kegelschnitten. 12 Isaac Newton (1643 – 1727), englischer Physiker, Mathematiker, Astronom, Philosoph und Alchemist.


29

Zum Beispiel für eine Parabel der Form ist die Evolute eine Kurve der folgenden

Form:

2xy =3

2

43

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

xy .

Abbildung 26 Eine Parabel und deren Evolute

Die Evolute einer Kurve ist auch die Hüllkurve allen Senkrechten an der Anfangskurve, was eigentlich die Idee von Newton war, als er seine Lösung fand. Für diese Rechnung braucht man die Parametergleichung und nicht die Polargleichung. Zu jedem Punkt gehört ein Punkt ( ) ( )( tytx ; ) ( )00 ; yx , der das Krümmungszentrum ist. Der Punkt

ist für durch die Formel 0x ( ) ( )( ayax ; ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )ayaxayax

ayaxayaxxo ′′′−′′′′+′⋅′

−=22

gegeben. Für

erhält man die Formel

0y

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )ayaxayax

ayaxaxayyo ′′′−′′′′+′⋅′

+=22

.

Für eine Herzkurve mit der Gleichung ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

+=

tty

ttx

2sin21sin

2cos21cos

erhält man eine Kurve mit der

Gleichung ( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

tty

ttx

2sin61sin

31

2cos61cos

31

.


30

Diese Kurve ist wieder eine Herzkurve. Sie ist aber gedreht und 3-mal kleiner als die Anfangskurve:

Abbildung 27 Die Herzkurve und deren Evolute

Auf dem Bild sieht man in grün die Evolute der roten Herzkurve. Sie ist, wie gerechnet, gedreht und drei Mal kleiner. Diese Eigenschaft findet man in der Familie der Zykloiden wieder. Alle Zykloiden haben Evolute, die eine ähnliche Form haben. Die Evolute sind aber gedreht und kleiner als die Anfangskurve.

Die Evolvente der Herzkurve Die Evolvente oder Involute ist die Kurve, die entsteht, wenn man alle Tangenten an einer Kurve zeichnet. Man wählt eine Länge L und einen Punkt P auf der Kurve. Auf der Tangente bildet durch P man eine Strecke mit der Länge L. Der Punkt am Ende der Strecke nennt man E. Für jeden Punkt zeichnet man den Punkt auf der Tangente mit einem Abstand von

. Die Kurve, die durch alle Punkte geht, ist die Evolvente der Kurve.

1P 1E

1PPL + nn EEEE ;;...;; 121 −

Abbildung 28 Eine halbkubische Parabel und deren Evolvente (eine Parabel…)


31

Auf dem Bild ist die rote Parabel die Evolvente der roten Kurve. Wenn man die Definition betrachtet, versteht man schnell, dass die Kurve, aus der die Evolvente entsteht, deren Evolute ist. Die Evolute einer Evolvente einer Kurve ist anders gesagt dieselbe Kurve13. Deswegen kann man sagen, dass die Evolvente einer Herzkurve auch eine Herzkurve ist.

Die Inverse der Herzkurve

Die Inverse einer Kurve ( )θfp = ist die Kurve mit der Gleichung ( )θfap

2

= . Für die

Herzkurve erhält man die Kurve ( ) 1cos1

−−

=θ

p . Diese Gleichung ist diejenige einer Parabel

mit dem Fokalpunkt an dem Nullpunkt.

Abbildung 29 Eine Herzkurve und ihre Inverse

Der Kreis auf dem Bild ist der Inverskreis, dessen Radius a ist.

13 Was eigentlich eine Definition der Evolvente ist.


32

Andere Eigenschaften der Herzkurve Eine lustige Anwendung der Kurvenstudie ist die folgende Frage: Was für eine Strasse wäre für ein Auto mit nicht runden Rädern geeignet, damit das Auto flach bleiben würde? Zum Beispiel, wie würde die Strasse für ein Auto mit viereckigen Rädern aussehen?

Abbildung 30 Wer möchte mit einem solchen Auto fahren?

Die Kettenlinienbögen wäre die eignete Strasse für ein Auto mit viereckigen Rädern. Es gibt natürlich keine echte Theorie für diese Rechnung, da sie keine praktische Anwendung hat. Die gleiche Frage habe ich mir denn für ein Auto mit herzkurvenförmigen Rädern gestellt. Ich wähle als Rad die Kurve ( )θcos1+=r und als Zentrum des Rad den Punkt O. Der Abstand zwischen der Strasse und der Radnabe ist durch die Polargleichung gegeben. Die Strasse hat dann eine Y-Gleichung, die das Gegenteil ist. Das heisst ( )θcos1−−=−= ry . Für die X-Gleichung muss ich die Integral von r ausrechnen, weil das Rad immer tangens zur Strasse ist. Das heisst, dass das Rad die Ableitung der Strasse ist, oder dass die Strasse die Integrale des Rades ist ( )∫ += θθ dx cos1 gibt ( )θθ sin−=x . Die Parametergleichung der Strasse ist dann

, was uns eine einfache Zykloide gibt. ( )

( )⎩⎨⎧

−−=−=

tyttx

cos1sin

Abbildung 31 Eine Zykloid

Ein Auto mit herzkurvigen Rädern braucht eine zykloide Strasse um zu fahren, damit der Fahrer den Eindruck hat, immer flach zu bleiben.

Abbildung 32 Die Strasse für ein Auto mit herzkurvenförmigen Rädern


33

Schluss In meiner ganzen Arbeit habe ich die Herzkurve untersucht und einige der wichtigeren Eigenschaften veranschaulicht. Diese Kurve ist eine der wichtigsten Kurven der Kurvenanalyse. Nach meiner Arbeit kann ich die folgenden Eigenschaften der Herzkurve schreiben:

1) Eine Kreisbrennlinie 2) Die Inverse einer Parabel 3) Die Evolute einer anderen Herzkurve 4) Die Involute einer anderen Herzkurve 5) Eine Epizykloid

Es wäre natürlich auch möglich, in einer weiteren Arbeit diese Eigenschaften zu rechnen. Die Herzkurve ist auch:

6) Eine Muschellinie und deswegen, ein spezieller Fall der pascalschen Schnecken 7) Ein spezieller Fall der Sinusspirale ( ( )θnap nn cos2= ) 8) Eine Fusspunktskurve einer Kissoide des Diokles14

Obwohl alle diese Rechnungen interessant sind, haben sie keine praktischen Anwendungen. Aber da die Kurvenanalyse nicht zu abstrakt ist; kann man sich gut vorstellen was, man zeichnet oder rechnet. Deswegen finde ich, dass die Kurvenanalyse nützlich für das Verständnis der Analyse sein kann. Die Resultate meiner Arbeit zeigen, dass aus einem einfachen physikalischen Problem eine interessante Kurve entstehen kann. Ich zeige auch, dass man sehr viel mit einer Kurve rechnen kann, wie zum Beispiel Flächen, Längen, Inverse, Evolute, Involute und noch viele andere Sachen. Alle diese Rechnungen führen zu anderen Kurven, die auch interessant sind. Aus den gemeinsamen Eigenschaften der verschiedenen Kurven sind Kurvenfamilien entstanden. Von allen diesen Kurven sind nur ein Paar berühmt oder bekannt. Ich könnte vielleicht die Parabel, die Ellipse oder die Zykloide zitieren. Der Kreis ist fast der einzige Repräsentant der Kurven, der eine Rolle im Alltag spielt. Von der Form eines Tellers bis zum Teilchenbeschleuniger findet man überall Kreise. Die Parabel findet man in jedem Ballspiel oder jedes Mal, wenn man beschleunigt. Die Ellipse findet man, wenn man den Weg der Planeten betrachtet. Aber die anderen findet man nicht oder sehr selten. Fast alle anderen Kurven sind unbekannt und bleiben nur in mathematischen Büchern als Beispiel für die Analyse. Die Kurvenanalyse hat fast keine Anwendung, sie ist aber eine Art Spiel für die Mathematiker. Es ist ein amüsanter Teil der Mathematik, der Spass machen kann. Ich habe auch Spass gehabt, als ich diese Arbeit geschrieben habe und die verschiedenen Beziehungen zwischen den Kurven gerechnet habe. Und Spass ist vielleicht die Hauptsache.

14 ⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=+⋅

=

xtyttax 2

2

1


34


35

Bibliographie

Bücher ANTON, Howard, Calculus 5/E, USA, John Wiley & sons Inc., 1995, GIBSON, Elementary Geometry of Differentiable Curves, London, Cambridge University Press, 2001 NICOLLERAT, Courbes Planes et coordonnées polaires, Gymnase du Bugnon, 2002

Internet FERREOL, R.(ohne Datum).Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, http://www.mathcurve.com WEISSTEIN, Eric.(2005).Mathworld, http:// mathworld.wolfram.com/

Abbildungsverzeichnis Alle geometrischen Bilder wurden mit Cabri II gezeichnet. Die Kurven und Graphen habe ich mit dem Programm Grapher 4 gemacht. Die Photos stammen aus der Internetseite www.mathcurve.com, sowie die Bilder von den Autos mit nicht runden Rädern, sowie die Bilder 30 und 32.

Die Kreisbrennlinien und die Herzkurve · Die Kreisbrennlinien und die Herzkurve Matthieu Schaller...

Documents

Transcript of Die Kreisbrennlinien und die Herzkurve · Die Kreisbrennlinien und die Herzkurve Matthieu Schaller...