Die Laplace Verteilung und ihre Anwendungensgerhold/pub_files/sem15/v_bajons.pdf · Die Laplace...

Die Laplace Verteilung und ihre Anwendungen

Robert Bajons

15.1.2016

R. Bajons Die Laplace-Verteilung

Ubersicht

Die symmetrische Laplace-Verteilung

Die asymmetrische Laplace-Verteilung

Anwendungen


Die symmetrische Laplace-VerteilungDefinition und Eigenschaften

Definition:

Zufallsvariable X is Laplace-verteilt, wenn sie eine Dichte der Form

f (x , θ, s) =1

2se−|x−θ|

s , −∞ < x <∞

besitzt, mit Lageparameter θ ∈ (−∞,∞) und Skalenparameters > 0.

Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion:

F (x , θ, s) =

{12e− |x−θ|

s x ≤ θ1− 1

2e− |x−θ|

s x > θ


Definition und Eigenschaften

Dichtefkt der Laplace Verteilung fur θ = 0, si = i , i ∈ {1, ..., 5}



Erwartungswert und Varianz

E(X ) = θ, ist auch gleich Median und ModalwertVar(X ) = 2s2

Symmetrie

symmetrisch um θ (d.h.: f (θ − x , θ, s) = f (θ + x , θ, s))

charakteristische Funktion

ψX (t) = E[e itX ] = e itθ

1+s2t2

Momenterzeugende Funktion

MX (t) = etθ

1−s2t2


Darstellungsmoglichkeiten

Laplace-Verteilung kann man auf viele Arten darstellen:Sei X eine standardisierte Laplace-verteilte ZV,d.h. sie hat eine Dichte der Form

f (x , 0, 1) =1

2e−|x |, −∞ < x <∞

dann lasst X sich auf verschiedenste Arten darstellen. (Es gilt

außerdem fur eine nicht standardisierte ZV Yd= sX + θ)



Einige der wichtigsten Formen sind hier aufgezahlt

Darstellung Variablen

Xd=√

2W ∗ Z Z . . . std normalverteilte ZVW . . . std exp verteilte ZV

Xd= W1 −W2 W1,W2 . . . std exp verteilte ZVs

Xd= log(P1/P2) P1,P2 . . . Pareto (Typ 1) verteilte ZVs

Xd= log(U1/U2) U1,U2 . . . uniform verteilte auf [0, 1]


Die asymmetrische Laplace-VerteilungDefinition und Eigenschaften

Definition:

Zufallsvariable Y hat ein asymmetrisch Laplace-Verteilung(AL-Verteilung) wenn sie eine char. Funktion der Form

ψ(t) =e itθ

1 + 12σ

2t2 − iµt

besitzt. Dabei sind θ, µ ∈ R und σ ≥ 0.Wir schreiben dann Y ∼ AL(θ, µ, σ)



Fur σ > 0 kann man die char. Funktion auch so darstellen:

ψ(t) = e iθt(1

1 + i σκ√2t

)(1

1− i σ√2κt

) =e itθ

1 + 12σ

2t2 − i σ√2

( 1κ − κ)t

mit κ > 0 dargestellt als

κ =

√2σ

µ+√

2σ2 + µ2=

√2σ2 + µ2 − µ√

2σ

und

µ =σ√2

(1

κ− κ)



Benutzt man die 2. Form der char. Fkt., so kann man eine ALZufallsvariable Y darstellen als

Yd= θ + Y1 − Y2,

wobei Y1,Y2 unabhangige exponentialverteilt sind mitErwartungswerten σ√

2κund σκ√

2. Das is also aquivalent zu

Yd= θ +

σ√2

(1

κW1 − κW2),

mit W1,W2 i.i.d standard exponentialverteilten ZVs



Aus der Darstellung der vorigen Folie ergibt sich die Dichtefunktionals

fθ,κ,σ(x) =

√2

σ

κ

1 + κ2

{exp(−

√2κσ |x − θ|), x ≥ θ

exp(−√2

σκ |x − θ|), x < θ

und fur die Verteilungsfunktion erhalten wir

Fθ,κ,σ(x) =

{1− 1

1+κ2exp(−

√2κσ |x − θ|), x ≥ θ

κ2

1+κ2exp(−

√2

σκ |x − θ|), x < θ

Fur κ = 1 erhaltet man die Dichte- und Verteilungsfunktion dersymmetrischen Laplace-Verteilung



Erwartungswert und Varianz

Mittlere absolute Abweichung

E(|Y − E(Y )|) = 2σκ(1+κ2

e(κ2−1)

Standardabweichung√Var(Y ) = σ

√1+κ4√2κ



Variationskoeffizient√

Var(Y )

|(Y )| =√

σ2

µ2+ 1 =

√1/κ2+κ2

1/κ−κ

Schiefe

γ1 = E(|Y−E(Y )|)3(E(|Y−E(Y )|)2)3/2 = 2 1/κ2+κ3

(1/κ2+κ2)3/2

Wolbung/Exzess

γ2 = E(|Y−E(Y )|)4(Var(Y ))2

− 3 = 6− 12(1/κ2+κ2)2



wir betrachten wieder einige Darstellungsweisen (X ∼ AL(0, µ, 1))

Darstellung Variablen

Xd= 1√

2( 1κW1 − κW2) W1,W2 . . . std. exp.-verteilte ZVs

Xd= µW +

√WZ Z . . . std normalverteilte ZV

W . . . exp verteilte ZV

Xd= 1√

2log(P

1/k1 /Pk

2 ) P1,P2 . . . Pareto verteilte ZVs

Xd= 1√

2log(Uκ

1 /U1/κ2 ) U1,U2 . . . uniform verteilte auf [0, 1]


Zinsraten

Beispiel:

Anderung der Zinsrate auf 30-jahrige Treasury Bonds(amerikanische Staatsanleihen)

Problem: Finden eines passenden Modells anhand gesammelterDaten

empirische Verteilung zu “spitzig” und “fat-tailed” furNormalverteilung

→ Vergleich mit AL Modell:Das Modell erfasst die ungewohnlichen Eigenschaften am besten


Zinsraten

Betrachtete Daten: Zinsraten auf 30-jahrige Treasury Bonds imZeitraum von 1977-1993Yt = log( it

it−1) . . . logarithmische Anderungen (it ist Zinsrate eines

TB am letzten Tag des Monats t)Annahme: Yj sind i.i.d Beobachtungen von einer AL Verteilung→ Beobachteten Daten jetzt mit einem AL-Modell vergleichen:Dazu braucht man Parameter µ und σ. Diese Parameter kann mandann mit der Maximum-Likelihood Methode schatzen.


Zinsraten

Vergleich verschiedener aus den Schatzern erhaltenen Parametermit den empirischen Werten:

Parameter Theoretische Werte Empirische Werte

Erwartungs-/Mittelwert -0.001018163 -0.001018163

Varianz 0.001733809 0.001372467

Mittlere Abweichung 0.02944785 0.02945773

Mittl. Abw. / Std. Abw. 0.7072175 0.7582487

Schiefe -0.07334177 -0.2274964

Wolbung 3.003586 3.599207


Wechselkursanderungen

Anderung der Wechselkurse von verschieden Wahrungen

Beispiel

Wechselkurs von Deutscher Mark in US Dollar (DM/US) undJapanischem Yen in US Dollar (Y/US)

empirische Verteilung wieder sehr ‘spitzig’ und ‘fat-tailed’

→ AL-Modell approximiert die ungewohnlichen Eigenschaftenwieder am Besten


betrachtet wird ein Datenset der Wechselkurse (DM/US), (Y/US)vom 1.1.80 bis 12.7.90wir betrachten wieder die logarithmischen Anderungen desWechselkurses aber dies von einem Tag auf den anderen( itundit+1

sind die Tageskurse Die Parameter µ und σ konnen wieder mittelsMaximum-Likelihood-Methode geschatzt werden.


Die Laplace Verteilung und ihre Anwendungensgerhold/pub_files/sem15/v_bajons.pdf · Die Laplace...

Documents

Transcript of Die Laplace Verteilung und ihre Anwendungensgerhold/pub_files/sem15/v_bajons.pdf · Die Laplace...