Die Methode der Festpunkte

Ernst Suter

Die Methode der Festpunkte Vereinfachtes Verfahren

zur Berechnung statisch unbestimmter Konstruktionen mit Beispielen aus der Praxis, insbesondere von

Stahlbetontragwerken

D ritte, neu bearbeitete Auflage

von

Dipl.-Ing. Ernst Traub

Mit 232 Abbildungen und 7 Tafeln

Springer-Ver lag Ber linjGöttingen jRei delberg

1951

ISBN 978-3-642-49012-5 ISBN 978-3-642-92565-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-92565-8

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insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.

Copyright 1932 and 1951 by Springer-Verlag ORG., BerlinjGöttingen/Reidelberg.

Softcover reprint of the hardcover 3nd edition 1951

Vorwort zur dritten Auflage. Die Grundlagen für die "Methode der Festpunkte" wurden im

U1. Band des von Professor W. RITTER im Jahre 1888-1900 heraus­gegebenen Werkes "Die Anwendungen der graphischen Statik" ge­schaffen. Dieses Werk bildete die Fortsetzung des im Jahre 1875 erschienenen 1. Bandes der "Graphischen Statik" von Professor Dr. G. OULMANN, der leider mitten in seiner Arbeit verstorben ist und sein Werk nicht abschließen konnte. Schon in diesem 1. Band zeigte OUL­MANN, in welch klarer, anschaulicher und leicht verständlicher Weise die vielen Aufgaben der Statik und Festigkeitslehre auf graphischem Wege gelöst werden können. Die grundlegenden Gedanken und Me­thoden OULMANNS stehen auch heute noch größtenteils unübertroffen da. Der IH. Band von RITTER enthält in ausführlicher Darlegung die Anwendung der Festpunkte für die Berechnung des kontinuierlichen Balkens. Dabei stützt SIch RITTER vor' allem noch auf die Arbeiten von Professor Dr. O. MOHR über die einfache graphische Ermittlung der elastischen Linie und der Formänderungswinkel.

Unter Benutzung dieser grundlegenden Arbeiten hat Privatdozent Dr. E. SUTER in seiner 1916 veröffentlichten Dissertation "Über die Berechnung des kontinuierlichen Balkens mit veränderlichem Träg­heitsmoment auf elastisch drehbaren Stützen" gezeigt, wie besonders geeignet diese Methode für die Berechnung der vor allem im Stahl­betonbau vorkommenden vielfach statisch unbestimmtenRahmentrag­werke ist. In dem von ihm im Jahre 1921 in erster Auflc,ge und nach seinem Tode von Dr. O. BAuMANN und Dipl.-Ing. F, HÄUSSLER im Jahre 1932 inzweiterAuflage herausgegebenen Werk "Die Methode der Festpunkte" wird eine vollständige Darstellung des Verfahrens gegeben und durch eine Anzahl praktischer Beispiele seine vielseitige Anwen­dung gezeigt. Es ist das große Verdienst SUTERS, die Methode der Festpunkte so vervollkommnet zu haben, daß sie vielseitig und um­fassend für die Berechnung fast sämtlicher statisch unbestimmter Konstruktionen, Stockwerkrahmen, Rahmen mit schräg und bogen­förmigen Stäben u. a. m. angewendet werden kann. Die Methode der Festpunkte kann deshalb mit gutem Recht als die klassische Methode für die Berechnung von Rahmentragwerken bezeichnet werden.

Wenn man nun noch an Stelle der bisherigen etwas zeitraubenden Ermittlung der Festpunkte und Verteilungsmasse das von GULDAN in

VI Vorwort zur dritten Auflage.

seinem Buch l hierfür veröffentlichte vereinfachte Verfahren anwendet, so wird die Rechenarbeit derart abgekürzt, daß die Anwendung der Fest­punktmethode stets von Vorteil sein wird. Die Methode ist so einfach und übersichtlich, daß in jedem Stadium der Berechnung der Verlauf der Kräfte verfolgt werden kann. Sie ist deshalb auch besonders leicht nachprüfbar. Die Berechnung kann teils rechnerisch, teils graphisch durchgeführt werden. Es empfiehlt sich aber stets, bei rechnerischer Ermittlung die Momente der einzelnen Belastungsfälle noch graphisch aufzutragen.

Die somit erzielbare wesentliche Vereinfachung der Methode hat eine vollständige Neubearbeitung des Buches erforderlich gemacht, die zu­gleich eine straffere Zusammenfassung des Stoffes und eine nicht un­erhebliche Verringerung des Umfanges ermöglichte. Es wurde auch im Gegensatz zu den früheren Auflagen bei der Darlegung der Methode nicht vom allgemeinen Fall der Tragwerke mit auf Stablänge veränder­lichem Trägheitsmoment ausgegangen, sondern Zuerst die sehr ver­einfachte Methode für die Berechnung der in der Praxis am meisten vorkommenden Tragwerke mit von Stab zu Stab veränderlichem, aber auf Stablänge konstantem Trägheitsmoment behandelt. Dieses ver­einfachte sog. k-Verfahren erleichtert das rasche Verständnis für die Anwendung der Methode sehr. Es wird deshalb das k-Verfahren ge-

nannt, weil mit Hilfe des Stabfestwertes k = ~ die sämtlichen Grund­

größen des Tragsystems bestimmt werden können. Im einzelnen ist in der Einleitung eine allgemeine Übersicht der

Festpunktmethode für die Berechnung der verschiedensten Trag­systeme gegeben, ferner sind einige grundlegende Sätze der Statik, die für das Verständnis der Methode erforderlich sind, angeführt.

In den ersten beiden Abschnitten wird das vereinfachte k-Verfahren für Tragwerke mit unverschieblichen (Rechnungsabschnitt I) und mit verschieblichen Knotenpunkten (Rechnungsabschnitt II) dargelegt.

Im Abschnitt III wird dann der allgemeine Fall für Tragwerke mit auf Stablänge veränderlichem Trägheitsmoment mit Hilfe der Dreh­winkelmethode, wie sie von SUTER in den früheren Auflagen entwickelt wurde, behandelt, wobei noch gezeigt wird, wie in manchen Fällen zur Vereinfachung auch das k-Verfahren zweckmäßig angewendet werden kann.

Die Bestimmung der Grenzwerte der Momente und Querkräfte so­wie der Einfluß der Temperaturänderung und Stützensenkung sind in Abschnitt IV angegeben.

Der V. Abschnitt enthält eine Anzahl Hilfstafeln, die die Anwen­dung des Verfahrens sehr erleichtern.

1 Gur,DAN: Rahmentragwerke und Durchlauf träger. 3. Auflage H!49.

Vorwort zur dritten Auflage. VII

Im VI. Abschnitt werden zunächst eingehende Richtlinien für die zweckmäßigste Aufstellung der Berechnung gegeben. Anschließend wird in einer Reihe von Beispielen die Anwendung der Festpunkt­methode gezeigt.

Die Berechnung von bogenförmigen Tragwerken ist in dieser Neu­bearbeitung nicht mit aufgenommen; sie bleibt einer späteren Ver­öffentlichung vorbehalten.

Besonderen Dank möchte ich Herrn Dipl.-Ing- HALTENHOFF aus­sprechen, der mich durch wertvolle Hinweise unterstützte und bei der Aufstellung einiger Beispiele mitgewirkt hat.

Möge nun die vorliegende Neubearbeitung der Festpunktmethode dazu beitragen, daß das Verfahren möglichst vielseitige Anwendung findet und sich als fühlbare Erleichterung der statischen Berechnungen auswirkt.

Berlin, im Oktober 1950.

ERNST TRAUB.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung

Seite

1

1. Allgemeines . . 1 2. Die MOHRschen Sätze 8 3. Graphische Bestimmung der Festpunkte für durchlaufende Träger 12

Erster Abschnitt.

Tragwerke mit unverschieblichl'n Knotenpunkten und mit von Stab zu Stab veränderlichem, aber auf Stablänge konstantem Träg­

heitsmoment.

I. Das k-Verfahren zur Bestimmung der Festpunkte, Verteilungsmaße und Übergangszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II. Das k-Verfahren zur Bestimmung der Kreuzlinienabschnitte und Momente infolge beliebiger Belastung des Tragwerks . . . 31

III. Rechnungsabschnitt I. Übersichtliche Zusammenstellung des Rechnungsvorgangps 35 1. Bestimmung der Grundgrößen . . . ... . . . . 36 2. Bestimmung der Momente infolge der äußeren Belastung. 37

Konsolbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 IV. Bestimmung der Querkräfte, Normalkräfte und Auflagerkräfte 42

1. Querkräfte . 42 a) Analytisch 43 b) Graphisch 44

2. Normalkräfte 47 3. Fundamentkräfte 48

V. Bestimmung der Festhaltekräfte 49

Zweiter Abschnitt.

Rechnungsabschnitt II. Tragwerke mit verschiebbaren Knotenpunkten und mit von Stab zu Stab veränderlichem, aber auf Stablänge konstantem Träg­

heitsmoment.

VI. Biegungsmomente infolge gegenseitiger Verschiebung der beiden End-punkte eines Stabes und die zugehörige Erzeugungskraft . 57

VII. Tragwerke mit senkrechten Stielen und waagerechten Balken 62 1. Einstöckige Tragwerke ...... 62 2. Mehrstöckige Tragwerke . . . . . . . . . . . . 67 3. Rahmenträger oder Vierendeelträger ...... 74

VIII. Tragwerke mit schiefen Stielen oder schrägen Balken 78 1. Einstöckige Tragwerke 78 2. Mehrstöckige Tragwerke . . . . . . . . . . . . 83

Inhaltsverzeichnis.

Dritter Abschnitt.

Tragwerke mit auf Stablänge veränderlichem Trägheitsmoment. IX. Das k-Verfahren zur Bestimmung der Festpunkte und Kreuzlinien­

abschnitte .. . . . . . . . . . . . . 1. Bestimmung der Drehwinkel . . . . . 2. Bestimmung der Festpunkte ..... 3. Bestimmung der Kreuzlinienabschnitte für Stäbe mit beliebig

veränderlichem Trägheitsmoment ...

X. Das Drehwinkel-Verfahren zur Bestimmung der Festpunkte, Über­gangszahlen und Kreuzlinienabschnitte . . . . . . . . . . . . .

Vierter Abschnitt.

Grenzwerte der Momente und Querkräfte. XI. Grenzwerte der Momente und Querkräfte für ständige Last und

IX

Seite

87 87 88

90

91

Nutzlast . . . . . . . . . 95 1. Grenzwerte der Momente 97

a) Ständige Last . . . . 97 b) Nutzlast •..... 98

2. Grenzwerte der Querkräfte 101 a) Ständige Last . . . . . 101 b) Nutzlast •...... 102

XII. Einflußlinien der Momente und Querkräfte für bewegliche Lasten 105 1. Einflußlinien der Momente 105 2. Einflußlinien der Querkräfte . . . . . . . . . . . . . 108 3. Einflußlinien der Stützendrücke . . . . . . . . . . . HO

XIII. Momente infolge Temperaturänderung und Stützensenkung IU 1. Momente infolge Temperaturänderung IU 2. Momente infolge Stützensenkung . • . . . . . . . . . H5

Fünfter Abschnitt. U6 Hilfstafeln zur Bestimmung der Festpunkte und Kreuzlinienabschnitte.

Tafel 1. Tabelle für n = { zur Bestimmung der Festpunktabstände. 117

Tafel la Graphische Tabelle für n = ~ ............... U8

1-L Tafel 2. Tabelle für n' = I f zur Bestimmung der Winkelfestwerte

1-1,5-I

w= n'· k und für die Übergangszahlen z = 1 ~lf/l • . .. 119

Tafel 3. Momentenflächen für häufig vorkommende Belastungsfälle und Kreuzlinienabschnitte. . . . . . . . . . 119

Tafel 4. Mo-Momente und Kreuzl.inienabschnitte. . . . . . . . .. 126 Tafel 5. Einflußlinien der Kreuzlinienabschnitte . . . . . . .. 130 Tafel 5a. Graphische Tabelle für die Einflußlinie der Kreuzlinienabschnitte. l30 Tafel 6. Kreuzlinienabschnitte für Konsolmoment. . . . . . . . • . . 131 Tafel 7. Tabellen der Drehwinkel und E:nflußlinien für die Kreuzlinien-

abschnitte von Balken mit Vouten. . . • • . . . . . . . .. '132

x Inhaltsverzeichnis.

Sechster Abschnitt. Beispiele aus der Praxis.

Seite

Richtlinien für die Aufstellung der Berechnung . 138

Beispiel

1

2

3

4

5

6

7

Gegenstand und Systemski:zze: Behandelte Lastfälle :

.. .. .. Ständige Last und Nutz-Durchlaufender Träger lasten . . . . 142

.. .. .. Durchlaufender Träger mit feld weise

veränderlichem Trägheitsmoment Ständige Last und Nutz-

lasten 144

1 1 1 Unsymmetrischer Rechteckrahmen

mit 2 Öffnungen.

rfl Dreistieliger Hallenbinder (nach der

Seite zweistöckig).

FÜllfstöckiger Rahmen.

Rahmenbinder mit und ohne Zugband.

I I ..

Symmetrischer Rahmen mit stark veränderlichem Trägheitsmoment und zum Vergleich mit durchgehend

1. Ständige Last und lot­rechte Einzellasten . .

H. Seitlicher Winddruck . IH. Kranlast auf Konsole IV. Temperaturänderung V. Stützensenkung . . .

Grundgrößen. . . . . . . 1. Ständige Last . . . .

H. Kranlast auf Konsolen IH. Winddruck . . . . IV. Temperaturänderung .

148 153 155 158 161

162 167 169 174 177

Horizontale Windbelastung 179

Ständige Last, Schnee- und Wind belastung . . . . . 194

gleichem Trägheitsmoment. Ständige Lasten ..... 208

Abkürzungsverzeichnis der Symbole. 1,2,3,4 ... Bezeichnung der Stäbe des Tragsystems. I, U, IU, IV ... Bezeichnung der einzelnen Verschiebungszustände. A, B, C, D ... Bezeichnung der Knotenpunkte des Tragsystems. a, b,c,d ... Koeffizienten der Gleichungen für die Bestimmung der Momente

mehrstöckiger Rahmen aus den einzelnen Verschiebungszuständen. A Auflagerkraft. cl' c2 Koeffizienten der Tabellen für die Drehwinkel und Kreuzlinien.

E E e F F o LlF

J

G g H J J u. K

K

k=~ I

L I M M W1 m

abschnitte. Elastizitätsmodul. Erzeugungskraft. Hebelarm des Konsolmoments bei Kranbahnstützen. Festhaltungskraft. Inhalt der Momentenfläche des frei aufliegenden Balkens. Inhalt einer Teilmomentenfläche. Festpunktabstand, z. B. fi' = Festpunktabstand des Stabes 1 vom Stabende A. Eigengewicht. Belastungseinheit für ständige Last. Horizontalkraft . Trägheitsmoment. Bezeichnung der Festpunkte links und rechts. Trägheitsradius. Kreuzlinienabschnitte, z. B. Kf = Kreuzlinienabschnitt am Stab 1 vom Stabende A.

Stabfestwert, z. B. k1 = Stabfestwert des Stabes 1 (Steifigkeit).

Teil des Kreuzlinienabschnitts. Stablänge. Biegungsmoment . Biegungsmoment des Rechnungsabschnitts II (Zusatzmomente). Biegungsmomente der einzelnen Verschiebungszustände. Momentenabschnitt für die Momentenschlußlinie auf der Senk. rechten durch die Festpunkte.

m* Momente für die Verschiebekraft V = 1. m', m", m"' . .. reduzierte Momentenflächen bei Konsolbelastung. mlYo, m{J Momentenflächen. m Momente infolge gegenseitiger Knotenpunktverschiebung eines

Stabes. N Normalkraft.

n

, n

p

p Q u R Ra u. Rb S s T

Koeffizient für den Festpunktabstand n = .{.

f I--Koeffizient für den Winkelfestwert n' = ~ = I

k f" 1- 15-äußere Belastung. ' I Belastungseinheit für die Nutzlast. Querkraft des Tragsystems. Querkraft des frei aufliegenden Tlägers. Resultierende. Auflagerdrücke Schwerpunkt. Schwerpunktsabstand . Temperatur.

XII Abkürzungsverzeichnis der Symbole.

Koeffizient für die Versehiebungswerte bei Rahmen mit schrägen Stielen und Balken.

V Verschiebekraft

x x y

?' 1

o . t

Abstände der verschränkten Drittellinipn. f

Winkelfestwert des Stabes IV = n' . k = ----

1 - nil z. B. wl A = n' Ji • k1 = ----fi- . k l .

1--],5'n1

unbekannte Stabkraft. Abstand der Last vom Auflager.

f -- 1,5 T

. k.

Ordinaten der Kreuzlinienabsehnitte und der Einflußlinien. ÜbergangszahL Drehwinkel der Stabenden des Stabes 1 bei freier Lagerung infolge gleichzeitiger Belastung von M = 1 an beiden Stabenden und bei konstantem Trägheitsmoment. Drehwinkel des Stabendes infolge der äußeren Belastung bei freier Auflagerung des Stabes. Drehwinkel des Stabendes A des frei aufliegenden Stabes bei ver­änderlichem Trägheitsmoment. Drehwinkel des einen Stabendes bei freier Auflagerung infolge Be­lastung des Stabes 1 d ure h das Moment M = 1 am anderen Stabende. Drehwinkel des Stabendes, an welchem das Moment M = 1 an­greift, bei freier Auflagerung. gegenseitige Verschiebung d('r Knotenpunkte, Längenteil der Spannweite. Winkelverdrehung eines Querschnittes. red uzicrte Momentenfläche. Drehwinkel des elastisch eingespannt('n Stabendes infolge der äußeren Belastung. 1 •• B. 01 = Drehwinkel des elastisch eingespannten Stabes 1 am

Stabende A infolge der äußeren Belastung. Verlängerung des Stabes infolge Temperatur. Verdrehungswinkel d('s Stabauflagers infolge Belastung durch das Moment M = 1 oder gemeinsamer Drehwinkel der anschließenden Stäbe infolge Be­lastung durch das Moment M = 1 ~. B. ef = Verdrehungswinkel df's Stab auflagers B vom Stab I mfolge M = 1 Ordinaten der Einflußlinien. Koeffizient zur Bestimmung der Momente bei gegenseitiger Ver­schiebung der Stabenden.

Literatur. GULDAN: Rahmentragwerke und Durchlauf träger. 3. Auf I. 1949. MÖRseH: Der durchlaufende Träger. 1946. MOHR: Technische Mechanik. 1906. RITTER: Anwendungen der graphischen Statik. III. Teil. Der kontinuier­

liche Balken. 1900. TRAUB: Beitrag zur Berechnung von Stockwerkrahmen und sonstigen

Rahmentragwerken. Deutsche Bauzeitung, MittIg. über Zement, Beton- und Eisenbetonbau 1920, S. 69.

S. XI, Symbole

S. 12, Z. 6 v. u. S. 20, Z. 2 v. u. S. 21, Z.4 v. o. (Formel) 8.21, Z. 2 v. u. S. 25, Abb. 69 a S.27, GI. (20) S. 33, 4. Formel v. o. S. 40, Formel für cx;!­S. 44, Abb. 89 b S. 46, Z. 21 v. o. S. 47, Z. 20 v. o. S. 58, Abb. 99 d S.60, GI. (40), (41) S. 61, GI. (45) S. 61, GI. (46)

S. 88, 1. Formel v. o.

Berichtigung.

: EinfügenZ~ = Z1 -Jf-If'~ Stablängezwisehen den Festpunkten, und ,11 c= Verteilungsmaß

: statt B 2B 2 lies J]2B~ : statt rn lies m (i

: statt JE lies !f : statt GI. (:1) lies GI. (5) : statt b1 lies 1 : statt k li('s k 1

: statt J1 lies H : statt :e Hes ) : Pfeil von .M f umkehren : statt BAB" lies BA B'" : statt (I,l( lies Qf : ß und 'Y sind zu vertauschen : statt I lies '1 : statt JI lies ff : statt '1 = lies l~ =

1 . .1, x' 1 Li" x' : statt E ·z· J lies Fr --;i 'y

S. 91, Formel 101 für J( f : statt :". x lies :1:' :1:'

S. 106, Z. 12 v. o. : statt P ~c 1 Hes .M = _. I S. 106, Z. 12 Y. o. : statt P = 1 lies ~~i = _. 1

S. 127, 2. Reihe v. u. für - K B : statt ~'i; (2 {2- ('2) lies ~:~ (21 -- cl

S. 128, 2. Reihe Y. o.

S. 128, ;{. Reihe v. o. für KA.

8. 130, T,tfel 5 a unten

S. 141, Tabelle, Spalte 6 bei Stab 3

S. 142, Z. 1 u. 2 v. u. S. 144, Z. 3 u. 4 Y. U.

S. 14!l, Tabdie, letzte Spalte S. 153, Z. 16 v. u. S. 161, Z. 16 v. u. S. 161, Z. 15 v. u. S. 165, Abb. 194 g S. 171, Z.3 v. u.

S. 174, Abb. 198 a

S. 181, Tabelle, Spalte Il

Suter-Traub, Festpunkte, ;3. Aur!.

: statt

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11 = - 'P~_ lies '1/

PI -- Pt P [3. P 12 - hes _.-

5 5

J I' a - - les-I I

: statt 0,63 lies 0,36 : statt tm lies tim : statt tm lies tim

• __ '{J!_ P2-Pl

: statt 1'2_4 = 0,465 lies P2-< = 0,4ii5 : statt 80kg/m2 lies bestimmungsgemäß 96kg/m2

: statt 2,20 Hes 2,38 : statt 2,70 lies 2,94

zu streichen VI = 1,432 t und F 2 = 0,03!l t statt + 0,189 lies - 0,189 und statt 0,16t lies 0,10 t statt 0,144 reehts vom Stiel 5 lies 0,144 links vom Stiel 5 statt v lies fl