Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre

Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre

oder

Die Evolution geothermischer Modelle

Benjamin Bekeschus Referat (BP11 – Geodynamik und Tektonik)


1. Thermodynamische Datierung der Erde1.1 William Thomsons Berechnung des Alters einer isothermalen Erde1.2 Einbindung in das Konzept einer ursprünglich geschmolzenen Erde

2. Moderne Konzepte2.1 Stationärer Wärmeausgleich2.2 Die Mantelkonvektion2.3 Wärmefluss an der Oberfläche und radioaktive Isotope

3. Die ozeanische Lithosphäre

Inhalt des Referates

Graphiken auf Seite 1, von links: (Allwin Samuel Jeba) | (H. Schmeling, Universität Frankfurt) | (Kios / Tilling, Dynamic Earth, 1996)

Der Physiker William Thomson errechnete 1864 das Alter der Erde mit folgenden Grundannahmen:

#1 : Temperaturmessungen in Minen ergaben einen geothermischen Gradienten von 20 – 30 K/km.

#2 : Diese Temperaturänderung schrieb man im 19. Jahrhundert dem Konzept des „secular cooling“ zu: der ursprünglich heiße Planet kühlt seither nur noch aus

-Radioaktive Erzeugung thermischer Energie war noch nicht bekannt-zunächst wurde die Temperaturentwicklung nur als konduktiv betrachtet, ein konvektiver Transport wurde nicht betrachtet

1.1 Thomsons Datierung einer isothermalen Erde

William Thomson a.k.a. Lord Kelvin (1824 – 1907)


Die benötigte Zeit um den aktuellen geothermischen Gradienten zu erhalten wird mit der Abkühlung eines quasi-unendlichen Halbraumes bestimmt,die Temperaturverteilung in flachen Tiefen kann als eindimensionale, zeitabhängige Wärmeleitung modelliert werden:

ρ = Dichte | c = Spezifische Wärmekapazität | k = thermische Leitfähigkeitt = Zeit | y = Tiefe

κ = thermales Diffusionsvermögen

Die folgenden dimensionslose Variablen werden eingeführt:

(Partielle Differentialgleichung)



(Anwendung der Kettenregel)

(Substitution)

(mit folgenden Grenzbedingungen)

(gewöhnliche Differentialgleichung)




(-ln c1 ist Integrationskonstante)(nach Integration) (bestimmtes Integral)



(unter der Annahme, dass die thermische Grenzschicht yT dort ist, wo θ = 0,1 beträgt)

(Fehlerfunktion erf und ihre komplementäre erfc)



T1 – T0 = 2000 Kκ = 10-6 m²/s

(∂T/∂y)0= 25 . 10-3 K/mt0 ≈ 65 000 000 a



1.2 Thomsons Datierung einer ursprünglich geschmolzenen Erde

Thomson modifizierte sein konduktives Abkühlungsmodell um die Hypothese einer ursprünglich aufgeschmolzenen Erde einzubinden.Die Schmelze ist bis zur Tiefe y = ym verfestigt. Die gesamte darunter liegende Schmelze wird mit der Annahme T = Tm betrachtet.Erneut wird die Wärmeleitungsgleichung (hier im Intervall 0 ≤ y ≤ ym ) betrachtet:

Die Lage der Kristallisationsgrenze ist zunächst eine unbekannte Funktion der Zeit.Weil auch hier keine Längeneinheit vorhanden ist, werden wiederum die dimensionslosen Variablen θ und η eingeführt.

Die dimensionslose Koordinate η erhält man durch Normierung der Tiefe y mit der thermalen Diffusionslänge (κt)0,5. Dementsprechend ist die Kristallisationstiefe ym durch die Normierung ym/(κt)0,5 konstant.

Die Kristallisationsgrenze entspricht also einem konstanten Wert ηm, der als λ definiert wird.


θ(η) ist proportional zur Fehlerfunktion erf(η).

Dementsprechend werden folgende Bedingungen erfüllt:θ = 0 (für T = T0) bei η = 0 (für y = 0)

Folgende Bedingungen müssen außerdem erfüllt sein: θ = 1 (für T = Tm) bei η = ηm (für y = ym) = λ

Proportionalitätskonstante

Die Gleichung ergibt für die Temperatur in der festen Phase (0 ≤ y ≤ ym). In der geschmolzenen Zone y ≥ ym beträgt T = Tm.

λ erfordert, dass die an der Kristallisationsgrenze freiwerdende Wärme aufwärts geleitet wird. Demnach bewegt sich die Grenze in einer bestimmten Zeit abwärts. Dadurch wird eine bestimmte Masse pro Fläche verfestigt...

… und eine bestimmte Menge an Wärme freigegeben:

…



Man berechnet λ durch numerische Werte auf der linken Seite oder durch graphische Darstellung der rechten Seite

Tm – T0 = 2000 KL = 400 kJ/kgc = 1kJ/(kg K)

λ = 1,06erf (λ) = 0,865

Tm – T0 = 2000 Kκ = 10-6 m²/s

(∂T/∂y)0= 25 . 10-3 K/mt0 ≈ 86 000 000 a



2.1 Stationärer Wärmeausgleich / steady-state heat balance

Das Konzept des „secular cooling“ wurde durch den stationärem Wärmeausgleich ersetzt.Man nahm an, dass die Hitzeentweichung des Erdinneren mit der thermischen

Energieemission beim Zerfall radioaktiver Isotope ausgeglichen war.Ein beliebtes Modell nahm eine Schicht nahe der Oberfläche mit einer gleichmäßige

Wärmeproduktion an, die ein radioaktiv ärmere Inneres überdeckte.

Gleichung für Wärmeleitung inklusive

weitere Erzeugung thermischer Energie

H = Wärmeerzeugung pro Masseeinheit

Unter der Voraussetzung, dass die Temperatur am Grund der Schicht der

Manteltemperatur entspricht

Mächtigkeit y1 der Schicht ergibt sich, sofern der Gradient (dT/dy)0

bekannt istT1 – T0 = 1300 K

(dT/dy)0 = 25 K/km y1 = 104 km

k = 3,3 W/m(dT/dy)0 = 25 K/km T1 – T0 = 1300 K ρ = 3300 kg/m3

H = 2,4 . 10-10 W/kg


Die Hypothese einer sich aufwärts steigernden Konzentration instabiler Isotope mit der ausgeglichenen Bilanz der Wärmeleitung war überwiegend in der Zeit zwischen den

Zwanzigern und den späten Sechzigern des 20. Jahrhunderts akzeptiert um die Temperaturverteilung im Erdinneren zu erklären.

Nach dieser Hypothese wäre der oberflächennahe Wärmefluss in der ozeanischer Kruste geringer ausgefallen.

Messungen zeigten aber, dass er der kontinentalen Kruste gegenüber relativ ähnlich war.1956 ordneten Bullard et al. diese Ähnlichkeit Mantelkonvektionen zu.

Oberflächennahe Temperaturverteilung unter der Annahme, dass sich die

wärmeerzeugenden instabilen Isotope fast ausschließlich in einer

dünnen, oberflächennahen Schicht 0 < y < y1

konzentrierten

2.1 Stationärer Wärmeausgleich / steady-state heat balance


2.2 Die Mantelkonvektion

Ab den späten Sechzigern nahm an, das die hohen thermischen Gradienten an der Erdoberfläche Folgen von thermischen Grenzschichten und Mantelkonvektionen seien.

An den thermischen Grenzschichten wird Wärme vor allem durch Konvektion transportiert, in der Tiefe ist der Gradient nahezu adiabatisch.

Drei thermale Regime treten im Mantel-Krusten-System auf:1. Nahezu adiabatische Regionen, advektiver Wärmetransport durch vertikale Bewegung

2. Advektiver Wärmetransport ist etwa gleichwertig mit Konduktion 3. Überwiegend konduktiver Wärmetransport

Drei thermale Regime treten im Mantel-Krusten-System auf:1. Nahezu adiabatische Regionen, advektiver Wärmetransport durch vertikale Bewegung

2. Advektiver Wärmetransport ist etwa gleichwertig mit Konduktion 3. Überwiegend konduktiver Wärmetransport

1.2.

Unterer MantelÄußerer Kern

Ozeanische Lithosphäre Thermale GrenzschichtenD‘‘-Schicht an Mantelbasis

Kontinentale KrusteOberer Mantel

3.


2.3 Wärmefluss an der Oberfläche und radioaktive Isotope

Wärmefluss an der Oberfläche

Mittlerer kontinentaler

Wärmefluss und kontinentale Fläche

Mittlerer ozeanischer

Wärmefluss und ozeanische Fläche

Q = 4,43 . 1013 W

Wärmeverlust an Oberfläche resultiert aus:-Wärme aus radioaktiven Zerfall

-Wärme aus dem Erdinneren

Wärme aus radioaktiven Zerfall ist maximalH = Q / M

(M entspricht der Masse des wärmeerzeugenden Materials der Erde)(H entspricht der Wärmeproduktion pro Masse)


Quelle: Edward J. Tarbuck, Frederick K. Ludgens: GEODe 2006.

Die Wärmeproduktion durch Zerfall instabiler Isotope in Mantel und Kruste

entspricht 80% des Wärmeflusses an der Oberfläche. Diese Isotope sind:

40K232Th235U238U

2.3 Wärmefluss an der Oberfläche und radioaktive Isotope



Die ozeanische Lithosphäre ist die obere thermale Grenzschicht der Mantelkonvektion.

By xscience (@ flickr.com)

Die Kruste wird zunehmend dicker, je weiter sie vom Spreizungszentrum entfernt ist. Sie kühlt dort durch Konduktion und Wärmeabgabe an den Ozean ab. Eine größere Meerestiefe mit zunehmenden Alter der Kruste wird begleitet von sinkendem Wärmefluss und einer ansteigenden Geoid-Höhe.

Für ein Krustenalter von weniger als 70 Ma ist ein Halbraum-Abkühlungsmodell anwendbar: die Höhe der Wassersäule wächst in Relation zur Tiefe des Rückens mit der Wurzel des Krustenalters.Bei älteren ozeanischen Krusten steigt die Tiefe weniger stark an. Der Wärmefluss ist umgekehrt proportional zur Wurzel des Alters.



Die Temperaturverteilung in der ozeanischen Lithosphäre wird durch die Konvektion-

Konduktion-Gleichung bestimt:(half-space cooling model)

Bei großen Péclet-Zahlen ist es angemessen, die Grenzschicht-Näherung anzuwenden und eine horizontale Konduktion zu vernachlässigen.u0 entspricht der SpreizungsgeschwindigkeitL ist die Entfernung vom Spreizungszentrum

…

Eine mögliche Verteilung der Isotherme in der ozeanischen Lithosphäre

Beispielwert für Wärmefluss an ozeanischer Oberfläche



Weitere Korrelationen:•Die Mächtigkeit der ozeanischen Lithosphäre wächst mit der Wurzel des Alters.

Zum Beispiel: yL = 13 . (t)0,5

• Mit der Temperaturverteilung lässt sich die Morphologie eines MOR prognostizieren.• Die Tiefe des Ozeans wächst mit der Quadratwurzel des Krustenalters

Meerestiefe des Atlantischen, Pazifischen und Indischen Ozeans als Funktion des Alters. Daten von ODP und DSDP. Sedimentationskorrekturen wurden vorgenommen.



•Die Geoid-Anomalie ist eine lineare Funktion des

Krustenalters(zum Beispiel: ΔN = -18m

für eine 100 Ma alte Kruste)

Geoid-Anomalie relativ zum Mittelozeanischen Rücken als Funktionen des Alters der drei Ozeane und generelle Modellierungen PM und HSCM.


Diskussion

Alle Formeln, Graphiken und Fotos, soweit nicht anders angegeben: Schubert, Turcotte, Olson: Mantle Convection in the Earth and Planets, Cambridge UP, 2001

Die Temperaturverteilung in der Lithosphäre

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