Das Gespensterpuzzle Exponat m13

Das Exponat Deckungsgleiche Figuren in zwei Farben, die die Form eines Gespenstes haben, sollen auf einem Tisch so gelegt werden, dass die gesam-te Fläche bedeckt ist.

Hintergrundinformation: Parkettierung der Ebene Wird die Ebene so mit kongruenten (deckungs-gleichen) Ausgangsfiguren bedeckt, dass we-der Lücken bleiben noch Überlappungen ent-stehen, bezeichnet man dies als eine Parkettie-rung der Ebene. Wird hierzu nur eine Figur ver-wendet, nennt man dies eine einfache Parket-tierung. (Beim Gespenster-Puzzle handelt es sich also um eine einfache Parkettierung mit ei-ner unregelmäßigen Figur.)

Mit welchen Figuren können beliebige Parket-tierungen der Ebene erzeugt werden? Wie All-tagsbeispiele – so Parkett- oder Fliesenböden – zeigen, gelingt dies mit Quadraten und Recht-ecken auf verschiedene Weise. Auch mit einem beliebigen Viereck kann die Ebene parkettiert werden.

Die Vierecke werden dazu jeweils so gedreht, dass immer zwei gleich lange Seiten aufeinan-dertreffen. Weiter erreicht man dadurch, dass an jedem Knotenpunkt alle vier Ecken des Aus-gangsvierecks zusammenstoßen. Weil die Win-kelsumme im Viereck 360° beträgt, ergänzen sich die vier Innenwinkel zu einem Vollwinkel. Man erhält eine lückenlose und nicht überlap-pende Überdeckung der Ebene.

In ähnlicher Weise kann jedes beliebige Drei-eck zur Parkettierung der Ebene herangezogen werden.

Auch mit regelmäßigen Sechsecken lässt sich eine einfache Parkettierung erzeugen, nicht je-doch mit regelmäßigen Fünfecken, da die In-nenwinkel der Größe 108° sich nicht zu einem Vollwinkel zusammenfügen lassen.

Wie das Exponat Gespensterpuzzle zeigt, kann die Ebene darüber hinaus auch mit passenden anderen Figuren parkettiert werden. Zahlreiche Beispiele sind durch die Bilder von M.C. Escher bekannt (Symmetry Watercolor 106 Bird; Quel-le: www.wikipaintings.de, 16.08.2013).

Hintergrundinformation: Knabbertechnik Interessante Parkettierungen aus nicht regel-mäßigen Figuren kann man mit Hilfe der so ge-

nannten Knabbertechnik leicht selbst herstellen. Ausgangspunkt ist eine bekannte Figur, mit der die Ebene parkettiert werden kann, etwa ein Rechteck oder ein Parallelogramm. Von dieser Figur wird ein Stück weggenommen („abge-knabbert“) und an anderer Stelle wieder ange-fügt, hier an der gegenüberliegenden Seite. (Wird das weggenommene Stück an derselben oder einer benachbarten Seite wieder angefügt, muss die neue Figur zum Ansetzen gedreht werden.)

Das Verfahren kann mehrfach wiederholt wer-den. Die neue Figur, der man die Ausgangsfi-gur häufig nicht mehr ansieht, erlaubt ebenfalls eine Parkettierung der Ebene.

Vor dem Besuch der Ausstellung Eine gezielte Vorbereitung dieses Exponats ist nicht nötig. Es kann aber eingebettet werden in eine Unterrichtseinheit zum Thema Parkettie-rungen.

In der Ausstellung Die Kinder versuchen selbstständig, die Ebene lückenlos zu überdecken; sie können alleine oder in kleinen Gruppen arbeiten. Es ist ferner möglich, beim Parkettieren Muster zu bilden (beispielsweise abwechselnd grün und blau, ei-ne Reihe grün und eine Reihe blau, Viererblö-cke abwechselnd grün und blau). Es kann aber

auch vorkommen, dass Kinder ohne Beachtung der Farbe legen.

Nach dem Besuch der Ausstellung Die Erfahrung, dass sich die Ebene auch mit unregelmäßigen Figuren ohne Lücken und oh-ne Überlappungen bedecken lässt, kann aufge-griffen und vertieft werden, indem die Kinder mittels Knabbertechnik eigene parkettierungs-fähige Figuren entwerfen, diese ausschneiden und damit Parkettierungen legen. Alternativ ist es möglich, eine Schablone zu fertigen und mit deren Hilfe die Parkettierung zu zeichnen. Spä-ter, wenn das Prinzip klar ist, können Parkettie-rungen auch auf Karopapier rein zeichnerisch hergestellt werden.

Kinder im Vorschulalter können aus farbigem Papier vorgegebene Figuren ausschneiden und damit Parkettierungen legen.

Da die ästhetische Wirkung vor allem bei gro-ßen Flächen zum Tragen kommt, ist es in allen Fällen hilfreich, wenn mehrere Kinder kooperie-ren und arbeitsteilig vorgehen.

Zum Weiterlesen Bezold, A.: Ein Parkett legen – mit welchen Fi-guren? In: Fördermagazin Sekundarstufe 35(1), 2013, S. 11–14.

Eichler, K.-P.: An Parkettierungen wachsen und lernen. In: Grundschule Mathematik 122, 2009, S. 4–5.

Eichler, K.-P.: Spielerisch parkettieren – Lern-voraussetzungen sichern. In: Grundschule Ma-thematik 122, 2009, S. 16–19.

Erarbeitung: Gerald Wittmann und Miriam Külshammer mit Studierenden der Pädagogischen Hochschule Freiburg.

Pädagogische Hochschule Freiburg Institut für Mathematische Bildung Prof. Dr. Gerald Wittmann Kunzenweg 21 79117 Freiburg gerald.wittmann@ph-freiburg.de