Die Zylindermethode

Felipe Ramirez DienerFribourg – Schweiz – Mai 2008

INTEGRALRECHNUNG

Themen

Einleitung

Hauptansatz

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Letzte Beispiel◙

Einleitung

Zwiebeln und Stämme

¿Was ist die Zylindermethode?

Es ist eine Integralrechnungmethode, um das Volumen von Drehkörpern zu bestimmen.

Die Methode, die wir normalerweisse im Unterricht verwenden, ist nicht immer einfach zu berechnen. Manchmal, für komplexe Funktionen, kann das Integral überhaupt nicht berechnet werden.

Zum Beispiel…

Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und y-Achse um die Achse zwischen den Geraden x = 0 und x = 3 entsteht.

f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1

Die Querschnittsmethode

Um das Volumen zu bestimmen könnte man an die Querschnittsmethode denken.

In diesem Fall entstehen horizantale Querschnitte

Aber…

Die Querschnitte sind, in einigen Bereichen des Körpers ganze Scheiben und in anderen haben sie ein Loch im Zentrum.

In diesem Fall müssen wir den Radius von den ganzen Scheiben und von den hohlen Scheiben in Abhängigkeit von der Variable y ausdrücken und das ist logischerweise ein bisschen schwierig zu schaffen.

y = −x3 + 4x2 − 3x + 1

x = ?

Trotzdem…

Die Zylindermethode funktioniert ganz gut in diesem Fall.

Mit der Zylindermethode man teilt der Körper in verschieden hohl Zylindern, alle mit dem gleichen Zentrum. Nachher, integriert man das Volumen von diesen Zylindern, um das Volumen des Körpers zu bestimmen.

Zwiebeln und Stämme

Es ist sehr wichtig die geometrische Struktur der Zylindermethode zu verstehen.

Zwiebeln und Stämme

Zwiebeln und Stämme

Hauptansatz

Die Zylindermethode

Zuerst…

Um das Volumen von einen solchen Zylinder zu berechnen muss man das Volumen des inneren Zylinders vom Volumen des äusseren substrahieren

2 1

2 22 1

V V V

r h r hπ π

= −

= −

Dann…

2 1

2 22 1

2 22 1

2 1 2 1

2 12 1

( )

( )( )

2 ( )2

2

V V V

r h r h

r r h

r r r r h

r rr r h

rh r

π π

π

π

π

π

= −

= −

= −

= + −

+⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= Δ

Das Volumen von einem Zylinder

2V rh rπ= Δ

V = (Kreiusmfang)(Höhe)(Dicke)

Das Volumen von einen Zylinder

2V rh rπ= Δ

V = (Kreisumfang)(Höhe)(Dicke)

Das Hauptproblem

Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und y-Achse und die Region die sich zwischen die Funktion y = f(x), mit f(x) > 0, die x-Achse und den Geraden x = a y x = b, wo 0 < a < b.

Das Hauptproblem

Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und y-Achse und die Region die sich zwischen die Funktion y = f(x), mit f(x) > 0, die x-Achse und den Geraden x = a y x = b, wo 0 < a < b.

Das Hauptproblem

Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und y-Achse und die Region die sich zwischen die Funktion y = f(x), mit f(x) > 0, die x-Achse und den Geraden x = a y x = b, wo 0 < a < b.

Die Zylindermethode

Wir dividieren das Intervall [a, b] in n Subintervallen alle mit der gleiche Dicke.

Nennen wir xi* der Mittelpunkt des i-enten Subintervall.

Wir betrachten das Rechteck Ri, das sich über das i-enten Subintervall befindet mit einer Höhe f (xi*).

Dann drehen wir es um die y-Achse .

Die Zylindermethode

Wir bekommen einen hohlen Zylinder mit dem Volumen:

(2 *) ( *)i i iV x f x xπ= Δ

Die Zylindermethode

Wir machen n solche hohle Zylinder, einer nach dem anderem.

Dann, addieren wir alle Volumen :

1 1

(2 *) ( *)n n

i i i

i i

V V x f x xπ= =

≈ = Δ∑ ∑

Die Zylindermethode

Die Näherung des Volumens wird besser, wenn n grösser wird (Anzahl hohle Zylinder).

Wir können beweisen:

1

lim (2 *) ( *) 2 ( )n b

i in a

i

V x f x x x f x dxπ π→ ∞

=

= Δ =∑ ∫

Hauptregel

Das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und y-Achse und die Region die sich zwischen die Funktion y = f(x), mit f(x) > 0, die x-Achse und den Geraden x = a y x = b, wo 0 < a < b, wird mit dem folgenden Integral bestimmt:

2 ( )b

aV x f x dxπ=∫

◙

Beispiel 1

Unsere erste Aufgabe

Wir erinneren uns zuerst daran…

Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und y-Achse um die Achse zwischen den Geraden x = 0 und x = 3 entsteht.f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1

Wir erinneren uns zuerst daran..

Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen Funktion und y-Achse um die Achse zwischen den Geraden x = 0 und x = 3 entsteht.f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1

Die Zylindermethode

Wir dividieren den Drehkörper in verschiedene hohle Zylinder, einer nach dem anderem.

Die Zylindermethode

Die Höhe des Zylinders ist von der Funktion abhängig:

f(x) = −x3 + 4x2 − 3x + 1

Das Integral für das Volumen ist:

◙

3

0

33 2

0

34 3 2

0

35 24 3

0

2 ( )

2 ( 4 3 1)

2 ( 4 3 )

992

5 2 5

x f x dx

x x x x dx

x x x x dx

x xx x

π

π

π

π π

=

= − + − +

= − + − +

⎡ ⎤= − + − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫∫

∫

Beispiel 2

Das Volumen eines Kegels

Aufgabe: Der Kegel

Beweisen Sie mit Hilfe der Zylindermethode, dass das Volumen von einem Kegel mit Höhe h und Radius r mit der folgende Formel repräsentiert werden kann:

21.

3V r hπ=

Aufbau eines Kegels

Der Kegel kann betrachtet werden als die Drehung um der y-Achse einer dreieckigen Fläche dessen Spitzen (0,0), (r,0) und (0,h) sind, wo h und r Element der reellen Zahlen sind.

Aufbau eines Kegels

Die Gleichung der Gerade, die durch die Punkte (r,0) y (0,h) geht ist y = ( −h/r ) x + h, weil ihre Steigung m = − h/r ist und ihr y-Achsenabschnitt (0,h).

Die Zylindermethode

Wir bilden unseren Kegel mit verschiedenen hohlen Zylindern.

Die Radien sind von 0 bis r definiert und die Höhen sind von 0 bis h definiert.

r

h

Die Zylindermethode

Die Zylinder, die in der Nähe des Zentrums sind, haben einen kleineren Radius, sind aber hoch. Die anderen, die von dem Zentrum entfernt sind, haben ein grosses Radius aber eine kleine Höhe.

El método de los casquetes cilíndricos

Die Höhe von den hohlen Zylindern wird mit der folgenden Geradengleichung bestimmt:

y = ( −h/r ) x + h.

Das Integral für das Volumen ist:

◙

( )

0

0

2 32

00

2 32 2

(2 ) ( )

2 ( )

12 2

2 3

1 12 2

2 3 6 3

r

r

rr

V x f x dx

x h r x h dx

x xh x x dx h

r r

r rh r h r h

r

π

π

π π

π π π

=

= − +

⎡ ⎤⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫

∫

∫

Beispiel 3

Eine Fläche, die von zwei Funktionen definiert wird.

Regionen mit zwei Funktionen

Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen den Funktionen y = − x2 + 4x − 3 und y = x3 − 6x2 + 12x − 5 und y-Achse um die y Achse zwischen den Geraden x = 1 und x = 3 entsteht.

Der Drehkörper

Drehkörper mit zwei Funktionen

In diesem Fall ist die Fläche des Drehkörpers, die wir drehen müssen, von zwei Funktionen abhängig:

3 2

2

( ) 6 12 5

( ) 4 3

g x x x x

f x x x

= − + −

=− + −

Die Zylindermethode

Denken wir dass diese Körper aus verschiedenen Zylindern entsteht.

Hier, die Zylinder sind nicht nur von Höhe und Radius abhängig, sondern auch von ihrer Stelle an der x-Achse:

Oben: y = x3 − 6x2 + 12x − 5

Unten: y = − x2 + 4x − 3

Die Höhe des Zylinders

Die Höhe des Zylinders

In diesem Fall wird die Höhe von einem Hohlzylinder mit Radius x folgendermassen dargestellt:

3 2 2

3 2

( ) ( )

( 6 12 5) ( 4 3)

5 8 2.

g x f x

x x x x x

x x x

−

= − + − − − + −

= − + −

Das Integral für das Volumen wäre :

( ) ( )

( )

3 33 2

1 1

35 4 334 3 2 2

11

35 4 3 2

1

2 ( ) ( ) 2 5 8 2

5 82 5 8 2 2

5 4 3

29212 75 160 60 .

30 15

x g x f x dx x x x x dx

x x xx x x x dx x

x x x x

π π

π π

ππ

− = − + −

⎡ ⎤= − + − = − + −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − =⎣ ⎦

∫ ∫

∫

◙

Letztes Beispiel

Die Fläche dreht um eine Parallele zur y- Achse

Die Aufgabe

Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Drehkörpers, der zwischen x-Achse, die Funktion y = f(x) und den Geraden x = 2, x = 3 entsteht und die Gerade x = 1 als Rotationsachse hat.

2( ) 2 2 .f x x x= − −

Der Drehkörper

2( ) 2 2 .f x x x= − −

Das wichtigste

Der Radius von einen Zylinder, der f(x) als Höhe hat, ist x – 1 und nicht x wie vorher. Warum? Weil der Drehkörper um die Gerade x = 1 dreht.

Das Integral für das Volumen

In diesem Fall ist das Volumen aus dem fogenden Integral zu bestimmen

V = 2π(x−1) 2− x2 −2x( )

2

3

∫ dx

Das Integral für das Volumen

( )32

2

3 32

2 2

2 ( 1) 2 2

4 ( 1) 2 ( 1) 2

V x x x dx

x dx x x x dx

π

π π

= − − −

= − − − −

∫

∫ ∫Das erste Integral ist kein Problem. Um das zweite zu berechnen, können wir die Substitution u = x2 − 2x machen.

Deswegen ist du = 2(x − 1)dx.

Die Integrationsgrenzen sind: wenn x = 2, dann ist u = 0 und wenn x = 3, dann ist u = 3. So dass:

Das Integral für das Volumen

3 31 2

2 0

3 323 2

02

4 ( 1)

24 6 2 3

2 3

V x dx u du

xx u

π π

π π π π

= − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫

◙