Digitale Signalverarbeitung Teil 4: Filter · Transponiert man die vorherige Struktur, d.h. man...

Seite IV-1

Gerhard Schmidt

Christian-Albrechts-Universität zu KielTechnische FakultätElektrotechnik und InformationstechnikDigitale Signalverarbeitung und Systemtheorie

Digitale Signalverarbeitung

Teil 4: Filter

Seite IV-2Seite IV-2Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie| Digitale Signalverarbeitung| Filter

Gesamtübersicht

Inhalt der Vorlesung

❑ Einführung

❑ Signale

❑ Spektren

❑ Filter

❑ Beschreibungen

❑ Zustandsraumdarstellung

❑ Äquivalente Filterstrukturen

❑ Realisierungsaspekte

❑ Kalman-Filter


Filter

Beschreibungen – Teil 1

Grundlagen – Teil 1

Wir wollen hier diskrete (später auch digitale) Filter mit folgenden Eigenschaften betrachten:

❑ linear,

❑ verschiebungsinvariant,

❑ kausal,

❑ dynamisch und

❑ mit einem Eingang und einem Ausgang.

Wir werden das Ein-Ausgangsverhalten in verschiedenen Weisen (i.A. das Zeit- oder dasFrequenzverhalten) beschreiben. In der Vorlesung „Signale und Systeme“ haben wir dazuverschiedene Beschreibungsformen kennengelernt – diese werden auf den nächsten Folienkurz wiederholt.


Filter



Wir können ein Filter mit Hilfe dessen Übertragungsfunktion

beschreiben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir hier fordern, dass der Zählergradgleich dem Nennergrad sein soll. In diesem Fall können wir die Übertragungsfunktion so normieren,dass gilt . Durch Umformung kann daraus die sog. Produktform gewonnen werden, welche explizit die Pol- und Nullstellen beinhaltet:

Die Lage der Polstellen bestimmt dabei die Stabilität des Filters.


Filter



Unter Kenntnis der Polstellen kann daraus wiederum die Summenform bestimmt werden.

bezeichnet dabei die Häufigkeit der -ten Polstelle. Gleichwertig zur Übertragungsfunktionkann man durch Betrachtung einer Exponentialanregung eine sog. Differenzengleichung

herleiten. Stellt man dies nach dem aktuellen Ausgangssignal um, so erhält man

Die Eingänge und die alten Ausgänge bezeichnen denSpeicher des Systems.

Summenform für verschiedene -fache Pole


Filter



Um die Äquivalenz von Differenzialgleichung und Übertragungsfunktion zu zeigen, gehen wirvon folgendem Ansatz aus:

Wenn wir ein (LTI-) System mit einer gewichteten Eigenfunktion

anregen, so erhalten wir am Ausgang

Setzen wir dies in die Differenzengleichung ein, so erhalten wir

Lösen wir dies nach auf, so erhalten wir die Übertragungsfunktion.

… beschreibt die komplexe Amplitude des Anregungssignals ...


Filter



Eine andere Beschreibungsform für Systeme stellt die sog. Zustandsraumdarstellung dar (vergleicheVorlesung „Signale und Systeme“). Diese Darstellung wird durch die System- und die Messgleichungbeschrieben:

Die oben dargestellte Form stellt dabei die allgemeine vektorielle Version dar. Für Systeme mit nur einem Eingang und einem Ausgang reduzieren sich einige der Parameter von Matrizen zu Vektoren. Die Parameter der Zustandsraumdarstellung können wie folgt in eine Matrix ausÜbertragungsfunktionen umgewandelt werden (siehe Vorlesung „Signale und Systeme“):

Hierbei stellt sich die Frage, ob dies auch (eindeutig) umkehrbar ist.


Filter

Von der Differenzengleichung zur Zustandsbeschreibung – Teil 1


Wir wollen nun versuchen, aus der Differenzengleichung

die Zustandsraumdarstellung zu erhalten. Hierzu erzeugen wir zunächst einen Signalflussgraphenaus der obigen Gleichung(siehe rechts).

Der obere Teil des rechten Signal-flussgraphen beschreibt dabeiden Eingangsanteil und der untere den Rückführungsanteil.


Filter



Der Nachteil dieser Umsetzung des Signalflussgraphen ist dabei, dass Speicherstellen für denFiltergrad benötigt werden:

Wir wollen daher im Folgendenversuchen, die Anzahl der benötigten Speicherstellen zureduzieren.


Filter



Wir können die zuvor vorgestellte Version (die sog. Direktform) mit einer einfachen Überlegungumformen. Betrachten wir dazu zunächst einen Pfad durch den Eingangsblock des Signalfluss-graphen:

Durch Vertauschen der Verzögerung und der Multiplikation erhalten wir folgenden Teilpfad:


Filter



Analog dazu können wir die unteren Pfade im Signalflussgraphen umformen. Es ergibt sich folgender Graph:

Die Additionsstellen und die Verzögerung können nun zu einer einzigen Verzögerungs-Additions-Kette zusammengefasst werden!


Nach Zusammenfassung der Additionsstellen und der Verzögerungen im oberen und unterenPfad und durch Verschieben der Rückkopplungsankopplung ergibt sich folgender Signalflussgraph:

Man bezeichnet diese Form als die sog. erste kanonische Form. Hier werden nun nur noch Speicherstellen für ein Filter des Grades benötigt.

Filter




Filter



Bezeichnet man (willkürlich) die Ausgangssignale der Verzögerungs-glieder als (siehe Graph), sokann daraus folgende Zustands-raumdarstellung aufgestellt werden.

Systemgleichung: Nicht sichtbar als „direkte“ Pfadeim Signalflussgraphen!


Filter



Analog dazu erhält man für die Messgleichung:

Bringt man dies auch in Vektor-Matrix-Form, so erhält man:

Man beachte, dass aufgrund der Eingangs- und Ausgangsanzahl (beides eindimensional) hieraus einigen Matrizen Vektoren bzw. sogar Skalare geworden sind. Weiter ist zu beachten, dass dieSystemmatrix ausschließlich durch die Rückkopplungsparameter bestimmt wird!


Filter


Erste kanonische (Realisierungs- bzw. Signalflussgraphen-) Form

Die erste kanonische Direktform wurde bereits einige Folien zuvor vorgestellt:

Zusätzlich sind auch die internen Größen der zugehörigen Zustandsraumdarstellung eingezeichnet.

Die Pfade im Signalflussgraphen enthalten unmittelbar die Koeffizienten und . Aus diesemGrund wird der Graph auch „Direktform“ genannt.


Filter


Zweite kanonische (Realisierungs- bzw. Signalflussgraphen-) Form – Teil 1

Transponiert man die vorherige Struktur, d.h. man vertauscht die Ein- und Ausgänge, manvertauscht die Summations- und die Verzweigungspunkte und man kehrt die Richtung aller Pfeileum, so erhält man die zweite kanonische Direktform.

Auch hier sind wieder die internen Größen, die für die Zustandsraumdarstellung verwendetwerden, eingezeichnet.


Filter

Verständnisfragen – Teil 1

Beispiel für eine 16-Bit-Fest-komma-DSP-Architektur:

❑ Architektur mit zweiBussystemen

❑ Nur die wichtigsten Kom-ponenten sind dargestellt

❑ Solche Architekturen sindje nach Hersteller immer wieder verschieden

Zusatz-register

X-Register Y-Register

X-Datenbus (lesen / schreiben)

Y-Datenbus (nur lesen)

Multiplizier-Einheit

Schieben um -1, 0, 1 Bit

Einheit für arithmetische und logische Berechn.

Accumulator 0 Accumulator 1

Begrenzung

Sättigung


Filter

Verständnisfragen – Teil 2

Versuchen Sie in Partnerarbeit folgende Aufgaben zu lösen:

❑ Was sind die Vor- und Nachteile der beiden unten dargestellten Strukturen?

……………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………..

Partnerarbeit


Filter

Zur Motivation der folgenden Überlegungen

Filterentwurfsbeispiel mit Matlab

Entwurf eines IIR-Halbbandfilters in verschiedenen Strukturen mit Quantisierung der Filter-koeffizienten in unterschiedlichen Realisierungsstrukturen.


Filter


Zweite kanonische (Realisierungs-bzw. Signalflussgraphen-) Form – Teil 2

Analog zur ersten kanonischen Formkann man auch diese Struktur imZustandsraum darstellen:

Systemgleichung:


Filter


Zweite kanonische (Realisierungs-bzw. Signalflussgraphen-) Form – Teil 3

Die Systemgleichung der zweitenkanonischen Form ist relativ einfach zu realisieren. Dafür erhöhtsich dann die Komplexität derMessgleichung (jeweils im Vergleichzur ersten kanonischen Struktur): Nicht sichtbar als „direkte“ Pfade im Signalflussgraphen!


Filter



Vergleicht man die Parameter der Zustandsraumdarstellungen

der ersten und zweiten kanonischen Form, so fällt folgende Symmetrie auf:

❑

❑

❑

❑

Man sagt dazu, dass die erste und zweite kanonische Form zueinander transponierteStrukturen darstellen. Für unseren Fall (ein Eingangs- und ein Ausgangssignal) sinddie Strukturen äquivalent – dies wird auf den nächsten Folien deutlich.


Filter



Die Verläufe der Zustandsparameter sind in den beiden ersten kanonischen Strukturenunterschiedlich. Dies kann man leicht überprüfen, wenn man z.B. einen Impuls auf beideStrukturen gibt und die Verläufe verfolgt. Beide Strukturen besitzen das gleiche Eingangs-/Aus-gangsverhalten, d.h. es gilt

Man kann dies leicht überprüfen, indem man aus den Parametern die Übertragungsfunktionberechnet:

… Einsetzen von …

… Ausnutzen von …


Umrechnung der Übertragungsfunktion (Fortsetzung):

Für den Fall mit mehreren Eingängen und Ausgängen hätte sich hier ergeben:

Man kann hieraus erkennen, dass der Weg von der Differenzengleichung zur Zustandsraumdar-stellung nicht eindeutig ist. Es gibt bzgl. des Eingangs-/Ausgangsverhaltens äquivalente Strukturen.

Filter



… Ausnutzen von und …

… Ausnutzen, dass ein Skalar ist, den man transponieren darf …

… Einsetzen der Definition für …


Filter


Dritte kanonische (Realisierungs- bzw. Signalflussgraphen-) Form – Teil 1

Bestimmt man für die Übertragungsfunktion

die Zähler- und Nennernullstellen, so kann die o.g. Form in eine Produktform überführt werden:

Hierbei wurde angenommen, dass gilt:

Die einzelnen Funktionen stellen dabei Teilfilter ersten Grades dar, die alle hintereinander geschaltet werden. Jede dieser Teilübertragungsfunktionen kann wieder in erster oder zweiter kanonischer Form realisiert werden.


Filter



Falls konjugiert komplexe Pol- oder Nullstellen vorliegen, so kann man diese zusammenfassen und es entstehen Teilfilter zweiten Grades, deren Filterkoeffizienten reellwertig sind:

Bei der Realisierung muss man die einzelnen Null- bzw. Polstellen (bzw. Paare davon) in geeigneterWeise zu Teilfiltern zusammenfassen. Hier werden vor allem Robustheitsaspekte, die für Fest-kommarealisierungen eine Rolle spielen, berücksichtigt.


Filter



Eine weitere kanonische Filterform stellt die sog. Kaskadenform dar. Sie wird dritte kanonische Form genannt. Falls die einzelnen kaskadierten Filterstrukturen aus Blöcken ersten Grades bestehen, so sieht der Signalflussgraph folgendermaßen aus:

Ersetzt man die einzelnen Teilfilter erster Ordnung durch solche zweiter Ordnung, so besteht der Signalflussgraph aus den rechts dargestellten Teilfiltern (realisiertz.B. in der ersten kanonischen Form).


Filter



Zustandsraumdarstellungen von Filtern in der dritten kanonischen Form sind sehr unhandlichund finden daher kaum Anwendung (die Zustandsraumdarstellung, nicht die Kaskadenform!).


Filter


Vierte kanonische (Realisierungs- bzw. Signalflussgraphen-) Form – Teil 1

Die vierte kanonische Form entsteht durch Umstellung der Übertragungsfunktion (z.B. mittelsPartialbruchzerlegung) in folgende Form

Hierbei wurde davon ausgegangen, dass alle Polstellen verschieden sind. Sollte dies nicht derFall sein, so ergibt sich folgende allgemeine Lösung:

gibt hierbei die Anzahl unterschiedlicher Polstellen an, mit beschreibt dann die Häufigkeit der einzelnen Polstellen.

Auch hier kann wieder auf Teilstrukturen höherer Ordnung zurückgegriffen werden, falls eskonjugiert komplexe Pol- oder Nullstellenpaare gibt.


Filter



Anstatt einer Serienschaltung von Teilfiltern kann man auch eine Parallelanordnung von Teilfilternin Form eines Signalflussgraphen darstellen. In der vierten kanonischen Form sieht dies wie rechts dargestellt aus.

Die Multiplikation mit den Faktoren ist auch am Ausgang der Teilfilter möglich!


Filter



Eine Erweiterung des Signalfluss-graphen für den Fall mehrfacher Pole ist rechts dargestellt.


Filter



Für die Zustandsraumdarstellung ergibt sich hier gemäß den Zustandsraumgleichungen

bei Systemen mit unterschiedlichen Polstellen für die Systemmatrix

Für die restlichen Vektoren gilt dabei dann

Die beiden Vektoren können ausgetauscht werden (jenachdem ob man die Faktoren vor oder hinter dieRückkopplungsteilstrukturen setzt)!

Dies wird auch „Diagonalform“ genannt (wird einige Folien später im Detail behandelt)!


Filter



Sollte das System mehrere gleiche Polstellen enthalten, so ergibt sich hier für die Systemmatrix

Teilsystempfad mit 2 gleichen Polstellen (Teilmatrix = Jordanmatrix)

Teilsystempfad mit 3 gleichen Polstellen (Teilmatrix = Jordanmatrix)

Teilsystempfad mit einzelner Polstelle


Filter



Für die übrigen Systemparameter ergibt sich

Hier noch einmal die Zustandsraumgleichungen:


Filter


Abschließende Bemerkungen:

❑ Offenbar enthält als Sonderfall (alle Polstellen unterschiedlich) mit .

❑ Alle vier Zustandsbeschreibungen (und damit auch Signalflussgraphen bzw. Realisierungen [Schaltungen]) sind „innerlich“ verschieden trotz eines nach außen hin gleichen Verhaltens(Eingangs-Ausgangs-Verhalten).

Daraus ergibt sich die Frage, ob es einen Zusammenhang zwischen den Zustandsvariablender einzelnen Varianten gibt (äquivalente Realisierungen).

Die Antwort auf diese Frage werden wir auf den nächsten Folien behandeln, d.h. wir werdenversuchen, den Zustandsvektor einer Variante mit Matrixoperationen in den Zustandsvektoreiner anderen Variante zu transformieren.


Filter

Äquivalente Realisierungen – Teil 1

Ähnlichkeitstransformation – Teil 1

Um die Frage der letzten Folie zu klären, sei folgendes gegeben:

❑ Eine erste Realisierung mit

❑ Eine zweite Realisierung mit

Hierbei soll gleiches Eingangs-Ausgangs-Verhalten gelten, d.h. es gilt auch


Filter



Um der Forderung nach gleichem Eingangs-Ausgangs-Verhalten nachzukommen, wählen wirfolgenden Ansatz:

Das heißt, jede Zustandskomponente setzt sich aus einer Linearkombination aller zu-sammen:

Der Zweck dieses Ansatzes ist das Erreichen eines besseren (d.h. gleichmäßigeren) Aussteuerungs-verhaltens. Dies ist wichtig für das numerische Verhalten bei digitalen Systemen.


Filter



Die geforderte Äquivalenz der beiden Zustandsraumdarstellungen verlangt, dass durch die Trans-formation keine Information verloren geht. Aus diesem Grund muss der Ansatz (siehe letzte Folie)umkehrbar sein, d.h. es muss gelten:

Damit muss die Transformationsmatrix regulär sein:


Filter


Äquivalente Zustandsraumdarstellungen – Teil 1

Durch Einsetzen des Ansatzes ergibt sich aus der ursprünglichen Zustandsraum-darstellung:

Um möglichst allgemein zu bleiben, wurde hier von vektoriellen Ein- und Ausgängen ausgegangen, d.h. von MIMO-Systemen (MIMO = multiple-input-multiple-output).

… Einsetzen des Ansatzes ...

… „Linksmultiplikation“ mit ...

… Einsetzen der Kurzschreibweisen ...


Filter


Äquivalente Zustandsraumdarstellungen – Teil 2

Analog zur vorherigen Folie kann auch die Ausgangsgleichung umgeformt werden:

Damit ergibt sich für die Matrizen des transformierten Systems:

Durch die Transformation werden die systeminternenRückkopplungen und auch die An- bzw. Auskopplungen

der Ein- und Ausgänge verändert. Die Zustandsvariablenweisen nun andere Verläufe auf !


… Einsetzen der Kurzschreibweisen ...


Filter


Nachweis der Äquivalenz – Teil 1

An sich haben wir durch unseren Ansatz schon sichergestellt, dass bei gleicher Anregung durch beide Systeme die gleichen Ausgangssignale erzeugt werden. Dennoch kann man diese Äquivalenz auch noch einmal formal nachweisen.

Für die Übertragungsmatrizen der beiden Systemrealisierungen gilt

❑ für das System mit :

❑ für das System mit :

Durch Einsetzen der Definitionen der letzten Folie ergibt sich für das System mit :


Filter



Durch folgende Umformung

erhält man die Übertragungsmatrix des Systems mit .

… Einfügen einer doppelten Inversion ...

… Ausnutzen von ...

… Einmultiplizieren der Matrix von links und der von rechts ...

… Vereinfachen der Teilterme ...


Filter



Zur Erinnerung:

Aus der Vorlesung „Signale und Systeme II“ wissen wir, dass die Polstellen des Systems auchdie Nullstellen des sog. Charakteristischen Polynoms

sind. Diese Nullstellen sind gleich den Eigenwerten der Systemmatrix , d.h. es gilt

Dabei sind die zu den Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren. Sollten alle Eigenwerteunterschiedlich sein, gilt für die Eigenvektoren außerdem

Dies werden wir im folgenden für eine äquivalente Systemtransformation ausnutzen.


Filter


Transformation auf Diagonalform – Teil 1

Verwenden wir für die Transformationsmatrix folgenden Ansatz

d.h. die Transformationsmatrix besteht aus den Eigenvektoren der Systemmatrix . Hierbei setzenwir voraus, dass alle Polstellen unterschiedlich sind. In diesem Fall gilt für das „Rechtsmultiplizieren“mit der Transformationsmatrix

… Ausnutzen von ...

… Umstellen in ein Produkt aus der Transformationsmatrix und einer Diagonalmatrix ...

Diagonalmatrix mit den einzelnen Polstellenauf der Hauptdiagonale!

… Einsetzen der Definition der Transformationsmatrix ...


Filter



Multiplizieren wir nun noch von Links mit der Transformationsmatrix, so erhalten wir


… Vereinfachen (Matrix mal inverse Matrix = Einheitsmatrix) ...

… Ausführliche Schreibweise ...

Sind alle Eigenwerte (Pole) unterschiedlich, so ist auch die

Existenz der inversen Transformationsmatrix gesichert.


Filter



Für das so transformierte äquivalente System gilt damit:

❑ Systemmatrix:

❑ Steuermatrix:

❑ Beobachtungsmatrix:

❑ Durchgriffsmatrix:

Die Diagonalisierung der Systemmatrix durch Transformation mit der Eigenvektormatrix bzw.deren Inversen führt auf die Parallelform (4. kanonische Struktur). Diese wird auch Diagonalformgenannt.

In dieser Struktur sind alle Eigenwerte / alle Einschwingvorgänge entkoppelt. Dies führt im Allgemeinen zu einer Verbesserung der Robustheit.


Filter



Struktur der transformierten Zustandsraumdarstellung


Bei der Umsetzung der Zustandsraumbeschreibungen bzw. der entsprechenden Signalflussgraphenals Programme oder Schaltungen (mit fließendem Übergang, z.B. auf einem DSP mit Assembler)müssen alle Größen

digital, d.h. als Zahlen im Rechner mit begrenzter Wortlänge umgesetzt werden. In vielen Fällengeschieht dies mittels Festkommaarithmetik, d.h. alle Größen müssen wertdiskretisiert werden. Damit besitzen die Größen folgende Form:

Dadurch entstehen Quantisierungsfehler gegenüber den „richtigen“ Werten (man beachte hierbei die verschiedenen Quantisierungskennlinien, die wir zu Beginn der Vorlesung behandelt haben). Diese Fehler führen zu bestimmten Realisierungsfehlern, die wir im folgenden näher betrachten werden.

Filter

Realisierungsaspekte – Teil 1

Grundlagen

Vorzeichenbit Betragsbits:

In Summe werden damit Bitsverwendet!


Filter


Eingangsfehler – Teil 1

Das Eingangssignal wird wertdiskretisiert, d.h. die wertkontinuierliche Größe (bzw. Repräsentiert mit unendlich vielen Bits) wird wie folgt „aufgeteilt“:

Dies entspricht einer Eingangsquantisierung mit Bits, wobei bei geeigneter Kennlinie (siehe Anfang der Vorlesung) als additives, gleichverteiltes, weißes Rauschen mit

modelliert werden kann. Hierbei wird vom Filter wie behandelt, d.h. es gibt einen additiven Anteil im Ausgangssignal, der gemäß

modellierbar ist.


Filter


Eingangsfehler – Teil 2

Man kann sich dies wie ein gefärbtes Rauschen am Systemausgang vorstellen, wobei die Art der „Färbung“ vom jeweiligen Filter abhängt. Das Rauschen wird zumeist nicht unmittelbarüber sein Spektrum, sondern über die Größen Korrelation bzw. Leistungsdichtespektrumbeschrieben:

mit der sog. Autokorrelierten des Filters


Filter


Arithmetikfehler – Teil 1

Die Ergebnisse der internen Operationen (Multiplikationen, Additionen) bewirken Wortlängen-vergrößerungen. Insbesondere in rekursiven Systemen strebt die Wortlänge gegen Unendlich.

Als Folge müssen Wortlängenverkürzungen nach Arithmetikoperationen eingeführt werden. Diesgeschieht im Allgemeinen durch Runden oder Abschneiden (man beachte hierbei die Über-legungen zu Beginn dieser Vorlesung). Dies kann wiederum durch zusätzliche (systeminterne)Rauschquellen modelliert werden.

Quantisierer


Filter



Beispielhaft ist hier ein Digitalfilter zweiter Ordnung (in zweiter kanonischer Form) dargestellt:

Zahlreiche interne Rauschquellen (symbolisiert durch Addition von ,

alle sollen unkorreliert sein)

Mit geringem Zusatzaufwand kann derRauscheinfluss reduziert werden (durch

um erhöhte Wortlänge einiger Register)


Filter



Arithmetikfehler können durch Einspeisung von weißen Rauschquellen modelliert werden. Umdie Auswirkungen zu erfassen, müssen die Übertragungsfunktionen (bzw. die Leistungsüber-tragungfunktionen) vom Einspeisepunkt zum Ausgang bestimmt werden. Diese Übertragungs-funktionen bestimmen die Färbung (Korrelation) der einzelnen Rauschanteile, die am Ausgangadditiv überlagert werden.

Abgesehen von der Färbung durch die einzelnen Übertragungsfunktionen kann dieGesamtrauschleistung am Ausgang durch Integration der einzelnen Leistungsübertragungs-funktionen und anschließende Addition bestimmt werden.

Dies wirkt sich vor allem bei Filtern bzw. Schaltungen mit vielen Multipliziereinheiten aus. Abhilfe kann hier die Einführung von höheren Wortbreiten sein. Bei einigen Filterarten (z.B. bei hochqualitativen Audioanwendungen) wird intern mit sog. Doppelwortgenauigkeitgerechnet.


Filter



Die Wortlängenverkürzungen werden als Rauschquellen modelliert. Eigentlich sind dies jedochNichtlinearitäten!

Bekannt ist hierbei, dass ein stabiles, lineares System durch die Einführung einer Nichtlinearitätinstabil werden kann.

Die Folge davon sind sog. Grenzzyklen. Hierbei schwingt der Ausgang eines Filters dauerhaft, obwohl der Eingang zu Null gesetzt wurde.


Filter



Beispielhaft sei hier ein Filter mit folgender (nichtlinearer) Differenzengleichung gegeben:

soll hier eine sog. Zweierkomplementsrundung bezeichnen. Weiterhin gelte:

Dann ergibt sich:

Dieser konstante Wert wird für am Ausgang erzeugt. Für erhält man alternierendund . Ein solches Verhalten wird als Grenzzyklus bezeichnet.


Filter


Koeffizientenfehler

Sollten die Koeffizienten

nur mit endlicher Genauigkeit dargestellt werden, so führt das zu einer Verfälschung von bzw. . Und damit natürlich auch der entsprechenden Zeitbereichsgrößen , usw. Unterschiedliche Strukturen sind hier unterschiedlich empfindlich gegenüber solchen Effekten.

Es bleibt aber anzumerken, dass ein Filter mit gerundeten Koeffizienten nach wie vor ein lineares,verschiebungsinvariantes Filter bleibt, d.h. die Beschreibungsart ist unverändert. Man bekommt aber u. U. Probleme mit der Stabilität. Hier gilt:

❑ Bei Realisierungen mit als unmittelbare Koeffizienten (z.B. in der Kaskaden- oder Parallelform) ist Stabilität problemlos zu kontrollieren:

❑ Bei anderen Realisierungen (z.B. mittels der Direktformen) ist eine solche Prüfung deutlichschwieriger.


Filter


„Günstige“ Realisierung

Mit den bisherigen Überlegungen sollte der Zweck der Angabe von äquivalenten Realisierungs-möglichkeiten motiviert werden:

❑ Identisches ideales Verhalten, aber

❑ unterschiedliche Empfindlichkeiten gegenüber

❑ Arithmetik-Rauschen

❑ Grenzzyklen,

❑ Instabilitäten des linearen Systems und

❑ Frequenzgangverzerrungen.

Deshalb wurden zahlreiche weitere Strukturen vorgeschlagen und untersucht, z.B. sog. lattice-Filter, Normalformen, Zustandsstrukturen oder Wellendigitalfilter.


Filter

Kalman-Filter – Teil 1

❑ Einführung

❑ Signale

❑ Spektren

❑ Filter

❑ Beschreibungen




❑ Kalman-Filter

❑ Ein wenig Geschichte

❑ „Zutaten“

❑ Herleitung des Filters

❑ Anwendungsbeispiel


Filter


Ein wenig Geschichte – Teil 1

Erste Entwurfsverfahren zur Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers stammen (unabhängig entwickelt) von:

❑ A. Kolmogorov: Interpolation und Extrapolation von stationären zufälligen Folgen, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 5, pp. 3 – 14, 1941 (in Russisch)

❑ N. Wiener: The Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series with Engineering Applications, J. Wiley, New York, USA, 1949 (zuerst publiziert 1942 als MIT Radiation Laboratory Report)


Filter



Norbert Wiener (geboren am 26. November 1894 in Columbia, Missouri; gestorben am 18. März 1964 in Stockholm) war ein US-amerikanischer Mathematiker.

Er ist als Begründer der Kybernetik bekannt, ein Ausdruck, den er in seinem Werk „Cybernetics orControl and Communication in the Animal and theMachine“ (1948) prägte.

(Quelle: Wikipedia)


Filter



Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (geboren 1903, gestorben 1987 in Moskau) war einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts.

Kolmogorow leistete wesentliche Beiträge auf den Gebieten der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Topologie, er gilt als Begründer der Algorithmischen Komplexitätstheorie. Seine bekannteste mathematische Leistung war die Axiomatisierungder Wahrscheinlichkeitstheorie.

Als Student arbeitete (und publizierte) er außerdem über Logik und Fourierreihen, später über die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Turbulenz und der klassischen Mechanik.

(Quelle: Wikipedia)


Filter



Wiener und Kolmogorow entwarfen zunächst ein Opimalfilter auf der Basis einer Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers. Hierfür wurden aber noch Stationarität vorausgesetzt. Kalman et al. konnten dann später ein Filter entwerfen, was diese Randbedingung (eingeschwungene Zustände) nicht mehr benötigte.

Relevante Publikationen:

❑ R. E. Kalman: A new approach to linear filtering and prediction problems, Trans. ASME, J, Basic Eng., 82, 35-45, 1960.

❑ R. E. Kalman, R. S. Bucy: New results in linear filtering and prediction theory, Trans. ASME, J, Basic Eng., 83, 95-108, 1961.

(Wikipedia: The American Society of Mechanical Engineers (ASME) is a professional body, specifically an engineering society, focused on mechanical engineering.)


Filter



Rudolf Emil Kálmán (ungarisch Kálmán Rudolf Emil, geb. 19. Mai 1930 in Budapest) ist ein ungarisch-US-amerikanischer Mathematiker. Er entwickelte 1960 das nach ihm benannte Kalman-Filter.

Kálmán wurde in Budapest geboren, wanderte jedoch 1943 mit seinen Eltern in die USA aus und studierte dort am Massachusetts Institute ofTechnology, wo er 1954 seinen Master-Titel erhielt. Einen Doktortitel erhielt er 1957 an der Columbia University, zu der er nach seinem Abschluss am MIT wechselte.

Er arbeitete von 1958 bis 1964 am Institute for Advanced Study und erhielt 1964 eine Professur an der Stanford University. 1971 wechselte er als Direktor des Zentrums für mathematische Systemtheorie an die University of Florida. Gleichzeitig übernahm er die Leitung des Zentrums für mathematische Systemtheorie an der ETH Zürich. 1997 wurde er an der ETH Zürich emeritiert.

(Quelle: Wikipedia)


Filter



Das Kalman-Filter ist ein nach seinem Entdecker Rudolf E. Kálmán benannter Satz von mathe-matischen Gleichungen. Mittels dieses Filters sind bei Vorliegen fehlerbehafteter Beobachtungen Rückschlüsse auf den Zustand von vielen der Technik, Wissenschaft oder der Wirtschaft zugeordne-ten Systemen möglich. Vereinfacht gesprochen dient das Kalman-Filter zum Entfernen der von den Messgeräten verursachten Störungen. Dabei müssen sowohl die mathematische Struktur des zugrundeliegenden dynamischen Systems als auch die der Messverfälschungen bekannt sein.

Im Rahmen der mathematischen Schätztheorie spricht man auch von einem Bayes'schen Minimum-Varianz-Schätzer für lineare stochastische Systeme in Zustandsraumdarstellung.

Obgleich die Benennung des Filters nach Rudolf E. Kálmán erfolgte, wurden bereits zuvor nahezu identische Verfahren durch Thorvald N. Thiele und Peter Swerling veröffentlicht. Auch existierten zur selben Zeit bereits allgemeinere, nichtlineare Filter von Ruslan L. Stratonovich, die das Kalman-Filter und weitere lineare Filter als Spezialfälle enthalten. Ebenso erwähnenswert sind Vorarbeiten und gemeinsame Publikationen von Kálmán mit Richard S. Bucy, insbesondere für den Fall zeitkontinuierlicher dynamischer Systeme.

Quelle: Wikipedia


Filter



Erste Anwendungen des Kalman-Filters:

Apollo Guidance Computer (AGC)

Die auf dem AGC laufende Leitsoftware benutzte Kalman-Filter, um anhand der Daten mehrerer Positionsmessungen eine optimale Positionsbestimmung durchzuführen. Als Grundlage diente dabei eine Koordinatentransformation zwischen der Kreiselplattform des IMU und zwei Referenzkoordinatensystemen, eines mit der Erde als Zentrum und eines mit dem Mond als Zentrum.

(Quelle: Wikipedia)


Filter


❑ Einführung

❑ Signale

❑ Spektren

❑ Filter

❑ Beschreibungen




❑ Kalman-Filter


❑ „Zutaten“




Filter


Fehlerkriterien – Teil 1

Als Fehler wird oftmals die Differenz zwischen einem gewünschten Signal und einer Schätzungverwendet:

Hieraus wird dann meist eine Fehlerfunktionmit folgenden Eigenschaften gebildet:

❑ Notwendig:

für

❑ Wünschenswert:

Ausgangssignal desSchätzers

Gewünschtes Signal(z.B. zu messendes Signal ohne Rauschen)

Fehlersignal


Filter



Oft verwendete Kostenfunktionen:

❑

❑

Generisch kann man auch folgendes ansetzen:

❑

Für werden große Fehler eher verstärkt und kleine abgeschwächt, für ist es eher umgekehrt.

Ansonsten wird auch oft der mittlere, quadratische Fehler verwendet:

❑


Filter



Verwendet man den mittleren, quadratischen Fehler (MSE-Kriterium),dann entsteht in vielenAnwendungen ein eindeutigesMinimum, aber die Formder Kostenfunktion hängtvon den Korrelations-eigenschaften des Eingangsab (mehr dazu in der Vorlesung über adaptiveFilter).


Filter


Gauß‘sche Zufallsprozesse und Kalman-Filter

Johann Car Friedrich Gauß(30.04.1777 – 23.02.1855)

Für ein Filter / ein Schätzverfahren, das den mittleren quadratischen Fehler minimiert, gelten folgende Eigenschaften:

❑ Wenn alle Eingänge gaußverteilt sind, dann ist ein lineares Kalman-Filter das optimale Filter.

❑ Sind nur die Mittelwerte und Varianzen bekannt, dann ist ein Kalman-Filter der beste lineareSchätzer. Nichtlineare Ansätze können aber bessere Ergebnisse erzielen.


Für ein optimal eingestelltes System (gemäß mittlerem, quadratischen Fehler) gilt Orthogonalitätzwischen allen verwendeten Eingängen und dem optimalen Fehler. Setzt man z.B. ein FIR-Filter gemäß

an, so erhält man

Hierzu noch das entsprechende Strukturbild.

Auf eine Herleitung wird hier verzichtet. Interessierte Hörer seinen auf die anfangs genannteLiteratur oder auf die Vorlesung „Adaptive Filter“ verwiesen.

Filter


Orthogonalitätsprinzip:


Filter


Ein einfacher rekursiver Schätzer – Teil 1

Aufgabe:

Es soll eine Konstante in einer gestörten Umgebung gemessen werden. Hierzu stehen Messwerte zur Verfügung:

Die Störung sei dabei weiß und mittelwertfrei, d.h.

Der lineare, biasfreie Schätzer mit minimaler Fehlervarianz ist dann durch den arithmetischenMittelwertschätzer gegeben:


Filter



Der optimale Schätzer in Abhängigkeit der Zeit :

Der gleiche Schätzer, nun aber zu einem rekursiven Ansatz umgeformt:

… Abspalten des letzten Summanden und 1 = n/n einfügen ...

… Schätzergebnis des vorangegangen Takten einfügen ...


Filter



Der gleiche Schätzer, nun aber zu einem rekursiven Ansatz umgeformt (Fortsetzung:

Ergebnis:

… „0 = Schätzwert – Schätzwert“ einfügen ...

… Umstellen auf „Neuer Schätzwert = Alter Schätzwert + Korrektur“...

Neuer Schätzwert

AlterSchätzwert

Nicht vorhersehbarer Anteil des neuen Messwertes = „Innovation“„Optimales

Gewicht“


Filter



Signalmodell

Schätzer


Filter


❑ Einführung

❑ Signale

❑ Spektren

❑ Filter

❑ Beschreibungen




❑ Kalman-Filter


❑ „Zutaten“




Filter


“What usually is called ‘Kalman Filter’ is not a filter in the traditional sense, it is rather an estimation algorithm.”

Was ist ein Kalman-Filter:

Eberhard Hänsler, Kalman-Filter-Vortrag an der CAU,

2013


Filter


Bilgin‘s Blog überKalman-Filter:

“When I started doing my homework for Optimal Filtering for Signal Processing class, I said to myself: ’How hard can it be?’. Soon I realized that it was a fatal mistake.

The whole thing was like a nightmare. Nothing made sense. …”


Filter


Ausgangsgleichungen – Teil 1:

Differenzengleichung (nur rekursiver Teil, ohne Durchgriff hier):

Ausgangsgleichung

Kein FIR-Anteil (kann später einfach erweitert werden), Systemausgang reagiert frühestens um einen Takt verzögert auf Systemeingänge

Der ungestörte Systemausgang ist nur gestört messbar ( ).Diese Problematik soll das Kalman-Filter auf optimale Weise lösen.


Filter


Ausgangsgleichungen – Teil 2:

Zugehöriges Strukturdiagram:


Filter


Systembeschreibung im Zustandsraum – Teil 1:

Zugehörige Zustandsraumparameter:


Filter


Systembeschreibung im Zustandsraum – Teil 2:

Zugehörige Zustandsraumdarstellung:Initialisierung desSpeichers


Filter


Formulierung der Randbedingungen des Schätzverfahrens:

Wir wollen einen Schätzwert für den Zustandsvektor mit folgenden Eigenschaften finden:

❑ linear,

❑ biasfrei,

❑ mit minimaler Fehlervarianz und

❑ rekursiv.


Filter


Annahmen für die Startwerte:

Zustandsvektor

Eingangssignal

Störung

Kreuzkorrelationen


Filter


Ansatz:

Wir versuchen im Folgenden eine Lösung in drei Schritten:

❑ eine möglichst gute Initialisierung,

❑ eine Prädiktion auf der Basis des bisherigen Wissens (der bisherigen Daten) und

❑ eine Korrektur, sobald ein neuer Messwert eingetroffen ist.

Dabei gehen wir mit folgender Strategie vor:

❑ Zunächst stellen wir einen Ansatz für das Schätzverfahren auf,

❑ bestimmen dann die sog. Kalman-Verstärkung und

❑ berechnen/erneuern dann die Kovarianzmatrix des Schätzfehlers.

Prädiktion

Korrektur


Filter


Herleitung des Kalman-Filters:

❑ Initialisierung

❑ Prädiktion

❑ Korrektur


Filter


Startwerte – Teil 1:

Wir starten zunächst mit einem affin linearen Ansatz:

Aufgrund der Forderung nach Biasfreiheit des Schätzers muss gelten:

Da wir Mittelwertfreiheit für den Startwert des Zustandsvektors angenommen haben, mussebenfalls gelten:


Filter



Bisherige Lösung:

Da sowohl das Systemrauschen ( ) als auch das Messrauschen ( )mittelwertfrei sind, sind auch die gestörten Messwerte mittelwertfrei, d.h. es gilt:

Damit gilt für den konstanten Anteil unseres Ansatzes:

Somit vereinfacht sich unser Ansatz zu:


Filter



Als nächstes definieren wir den a posteriori Fehler des geschätzten Zustandsvektors:

Da wir einen Schätzer mit minimaler Fehlervarianz haben wollen, muss der Schätzfehler orthogonalzu allen verwendeten Eingangsprozessen sein, d.h. es muss gelten:

… Einsetzen der Definition des a posteriori Schätzfehlers ...

… Einsetzen des Ansatzes für den geschätzten Zustandsvektor ...

… Auflösen nach der Kalman-Verstärkung ...


Filter



Bisherige Lösung:

Um Zähler und Nenner dieser Lösung auf bekannte Annahmen zurückzuführen, kann die Messgleichung

verwendet werden. So gilt zunächst für die Leistung des gestörten Messsignals:

… Einsetzen der Orthogonalitätsannahme zwischen x(0) und u(0) ...

… Einsetzen der Abkürzungen [und Verwendung der Mittelwertfreiheit von u(n)] ...


Vereinfachung der bisherigen Lösung:

Auch der Zähler kann unter Verwendung der Messgleichung umgestellt werden:

Damit ergibt sich schließlich für die Kalman-Verstärkung:

Filter



… Einsetzen der Orthogonalitätsannahme zwischen x und u ...

… Einsetzen der Abkürzungen ...


Als letztes benötigen wir noch einen Startwert für die Kovarianzmatrix des Schätzfehlers. Dieseist wie folgt definiert:

Diese Größe kann wie folgt auf bekannte Größen zurückgeführt werden:

Filter



… Einsetzen der Definition des a posteriori Fehlers ...

… Aufteilen der beiden Erwartungswertanteile ...

… Einsetzen der Orthogonalität zwischen Schätzfehler und zugehöriger Eingänge ...


Bisheriges Ergebnis:

Damit ergibt sich:

Filter



… Einsetzen der Definition des a posteriori Fehlers ...

… Ausklammern von ( stellt die Einheitsmatrix dar) ...

… Aufteilen der beiden Erwartungswertanteile und Einsetzen der Abkürzungen ...

… Einsetzen des bisherigen Ergebnisses ...


Zusammengefasst ergibt sich also für die Startwerte:

❑ Schätzwert für den Zustandsvektor

❑ Kalman-Verstärkung

❑ Fehlerkovarianzmatrix

Filter




Filter



❑ Initialisierung

❑ Prädiktion

❑ Korrektur


Filter


Zustandsraumdarstellung (zur Erinnerung):

Prädiktion – Teil 1:

Basieren auf dem bisher geschätzten Zustandsvektor (basierend auf den Daten bis zum Zeitpunkt n)machen wir folgenden Ansatz zur Schätzung des neuen Zustandsvektors:

… Einsetzen der Annahme, dass das Systemrauschen mittelwertfrei ist ...


Filter



Im optimalen Fall sollte der Fehler dieses Schätzwerts orthogonal zu den verwendeten Messdatensein, d.h. es sollte gelten

Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

… Einsetzen der Systemgleichung ...

… Einsetzen der Annahme ...

… Systemmatrix ausklammern ...


Bisheriges Ergebnis:

Filter



… Einsetzen der Definition des Schätzfehlers und vereinfachen …

… Setzt man voraus, dass der vorherige Schätzer optimal war (das ist noch zu zeigen),dann gilt Orthogonalität, d.h. ...

… Das das System als durchgriffsfrei angenommen wurde, kann frühestens auf „wirken“, d.h. es gilt …

Dies galt es zu zeigen!


Weiterhin benötigen wir (für die nachfolgende Bestimmung des Schätzwertes des Zustandsvektorsfür den Takt n+1 die Kovarianzfehlermatrix des prädizierten Zustandsvektors:

Filter



… Einsetzen der Ansatzes …

… Einsetzen der Systemgleichung …

… Einsetzen der Definition des Schätzfehlers …

… Durch die Durchgriffsfreiheit und Mittelwertfreiheit sind und orthogonal …

… Einsetzen der Abkürzungen und …


Zusammengefasst ergibt sich für die Prädiktion:

❑ Prädizierter Schätzwert für den Zustandsvektor

❑ Kovarianzfehlermatrix für den prädizierten Zustandsvektor

Filter




Filter


Veranschaulichung:


Prädiktion (auf derBasis der Messwerte bis n-1)

Korrektur der Prädiktionnachdem der Messwert y(n) verfügbar ist


Filter



❑ Initialisierung

❑ Prädiktion

❑ Korrektur


Wir wollen nun die Schätzung, d.h. , so korrigieren, dass die Varianz des Systemfehlervektors minimal wird, d.h. es muss Orthogonalität zwischen allen verwendeten Eingängen des Schätzers und dem Schätzfehler gelten:

Hierzu machen wir folgenden Ansatz:

Dabei bezeichnet den sog. Kalman-Verstärkungsvektor. Sollte dieser Ansatz richtig sein, so muss sich zeigen lassen, dass die oben geforderte Orthogonalitätsbedingung gilt.

Filter


Korrektur – Teil 1:

… Einsetzen der Messgleichung mit dem geschätzten Zustandsvektor…


Wir starten dazu zunächst mit der Definition des Systemfehlervektors und formen anschließend um:

Die Matrix bezeichnet dabei eine Einheitsmatrix entsprechender Größe.

Filter



… Einsetzen des Ansatzes …

… Einsetzen der Messgleichung …

… Terme umstellen und ausklammern …


Nun verwenden setzen wir das Ergebnis der letzten Folie in die Orthogonalitätsbedingung ein:

Im folgenden werden wir nun zeigen, dass die rechte Seite der o.g. Gleichung wirklich Null liefert.Wir zeigen dies zunächst für und anschließend für .

Filter



… Einsetzen des Ergebnisses der letzten Folie für …

… Ausklammern von nicht-statistischen Größen …


Analyse für :

Nun gilt es, dies auch noch für den Zeitpunkt n+1 zu zeigen.

Filter



… Einsetzen der Definition des Schätzfehlers …

… Einsetzen der dass der Schätzfehler und das gemessene Signal orthogonal zueinander sind, d.h.(bis zum Zeitpunkt n, siehe Ergebnis der Prädiktion) …

… Einsetzen, dass u(n) als weißes Raschen angenommen wurde und damit für die hier betrachteten Versätze keine Korrelation mit dem Messsignal aufweist …

… Einsetzen der Umstellung, die auf der vorherigen Folie durchgeführt wurde …


Analyse für :

Betrachten wir zunächst den letzten Erwartungswert und setzen dort die Messgleichungein, so erhalten wir:

Filter



… Einsetzen der bisherigen Umstellungen, nun für …

… Vereinfachen der Erwartungswerte …

… Einsetzen der Annahmen, das s und orthogonal sind und dass mittelwertfrei ist …


Filter


Fortsetzung der Analyse für :

Als nächstes betrachten wir nun den ersten Erwartungswert:


… Bisherige Lösung …

… Einsetzen von …



Filter


Fortsetzung der Vereinfachung des ersten Erwartungswertes:



… Ausnutzen, dass die Störung sowohl mit dem Zustandsvektor als auch mit der Schätzung bis zum Zeitpunkt n orthogonal ist …

… Erweitern des zweiten Terms mit …

… Aufspalten in zwei Terme …


Filter





… Einsetzen der Definition der Fehlerkovarianzmatrix …

… Einsetzen der Definition der Systemgleichung und des Ansatzes …

… Einsetzen der Definition der Systemfehlervektors …


Filter





… Aufspalten des Erwartungswertes …

… Ausnutzen, dass der Fehlervektor und der Schätzvektor orthogonal sind, d.h. …

… Ausnutzen, dass es keine direkte Kopplung vom Eingang zum Schätzvektor gibt, d.h. …


Fortsetzung der Analyse für :

Damit nun Orthogonalität auch für den Zeitpunkt gilt, berechnen wir die Kalman-Verstärkung entsprechend, d.h. wir lösen folgende Gleichung nach auf:

Filter




… Einsetzen der Lösung der vorherigen Folie …


Bestimmung der Kalman-Verstärkung:

Ersetzt man abschließend noch n+1 durch n, so erhält man:

Filter



… Alle Terme, welche die Kalman-Verstärkung beinhalten, auf die linke Seite bringen …

… Kalman-Verstärkung ausklammern …

… Durch […] dividieren (ist hier ein Skalar, allgemein aber eine Matrix) …


Filter


Damit kann nun auch der neue Schätzwert gemäß unseres Ansatzes bestimmt werden:

Abschließend muss nun noch die Erneuerung der Fehlerkovarianzmatrix bestimmt werden. Diese wurde für die Prädiktion gebraucht, d.h. wir müssen eine Funktion finden, die folgendes Update durchführt:



Filter


Starten wir zunächst mit der Definition des Systemfehlervektors:


… Einsetzen des Schätzansatzes …


… Einsetzen der Definition des Fehlervektors …

… Zusammenfassen der beiden Fehlervektoren …


Filter


Bestimmen wir nun die Fehlerkovarianzmatrix:


… Einsetzen der Lösung der vorherigen Folie …

… Ausnutzen der Orthogonalität zwischen Systemfehlervektor und Störung …

… Einsetzen der Definition der Fehlerkovarianzmatrix …

… Aufspalten der zweiten eckigen Klammer …


Filter


Bestimmen wir nun die Fehlerkovarianzmatrix:

Damit ergibt sich final:


… Ausklammern der transponierten Kalman-Verstärkung …

… Einsetzen des Orthogonalitätsansatzes von Folie 113, d.h. …


Zusammengefasst ergibt sich für die Korrektur:

❑ Bestimmung der Kalman-Verstärkung

❑ Korrektur des Schätzwertes

❑ Fehlerkovarianzmatrix nach Eintreffen des neuen Messwertes

Filter




Filter


Zusammenfassung – Teil 1:

❑ Systemgleichung

❑ Messgleichung

❑ Initialwerte

❑ Prädiktion

❑ Korrektur


Filter



Signalmodell (Systemgleichung) Signalmodell (Messgleichung)

Kalman-Filter


Filter



Prädiktion

Korrektur

Beim Kalman-Filter entstehenim Grunde zwei getrennte Pfade,von denen einer nur auf (zuvorbekannten) statistischen Größenberuht – die Bestimmung desKalman-Verstärkungsvektors.

Im zweite Pfad wird dieser dann verwendet, um die eigentliche Schätzung vorzunehmen.Hier werden dann auch die gemessenen Signale verwendet.


Filter


❑ Einführung

❑ Signale

❑ Spektren

❑ Filter

❑ Beschreibungen




❑ Kalman-Filter


❑ „Zutaten“




Filter


Geräusch-reduktionSprache

Geräusch

Die folgenden Beispiele beruhen auf der Dissertation von Dr.-Ing. Henning Puder. Thematischgeht es dabei um eine Geräuschreduktion für ein Freisprechsystem im Kraftfahrzeug.

Anwendungsbeispiel – Teil 1:


Filter


Im Rahmen der Arbeiten von Herrn Puder wurden autoregressive Sprachmodelle im Zustandsraum für Sprachsignale und für Geräusche verwendet.

Zustandsraummodell für Hintergrundgeräusche(nur die Systemmatrix wurde als zeitveränderlich angenommen)

Zustandsraummodell für Sprachsignale (nur die Systemmatrix wurde alszeitveränderlich angenommen)



Filter


Struktur des Kalman-Filters für die Geräusch-reduktions-anwendung:

Zustandsraummodell für Hintergrundgeräusche

Zustandsraummodell für Sprachsignale

Zustandsraummodell für Sprachsignale

Zustandsraummodell für Hintergrundgeräusche


Kalman-Verstärkung


Filter


Kalman-Filter

Sprach-modell

Geräusch-modell

Geräusch-spektrum

An

alys

efilt

erb

ank

Um den Rechenaufwand zu reduzieren, wurde dasEingangssignal zunächst in Teilbänder zerlegt undentsprechend unterabgetastet.Anschließend wurdenin jedem Teilbandentsprechende Modell-parameterschätzungenvorgenommen und Kalman-Filter gerechnet.



Filter


Beispiel 1: Stationäres Fahrzeugrauschen

Beispiel 2: Instationäres Fahrzeugrauschen (Beschleunigungsvorgang)

Sprache einer Frau Sprache eines Mannes

Gestörtes Sprachsignal

Klassischer Ansatz (Wiener-Filter)

Kalman-Filter


Klassischer Ansatz (Wiener-Filter)

Kalman-Filter


Klassisches Wiener-Filter

Kalman-Filter

Nach Unterdrückung der Motorharmonischen

Audiobeispiele mit Erlaubnis von H. Puder, TU Darmstadt



Filter

Abschließende Zusammenfassung

❑ Einführung

❑ Signale

❑ Spektren

❑ Filter

❑ Beschreibungen




❑ Kalman-Filter

Digitale Signalverarbeitung Teil 4: Filter · Transponiert man die vorherige Struktur, d.h. man...

Documents

Transcript of Digitale Signalverarbeitung Teil 4: Filter · Transponiert man die vorherige Struktur, d.h. man...