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Einführung und Motivation Veranstaltungsplanung Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung

Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 1:Einführung, Eigenschaften digitaler Systeme

Prof. Dr.-Ing. Dorothea Kolossa

Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung

24. Oktober 2016

Prof. Dr.-Ing. Dorothea Kolossa Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung

Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 1: Einführung, Eigenschaften digitaler Systeme


Kontakt / Info

Dorothea KolossaRaum ID 2 / 325Tel: [email protected]

Website: https://www.ei.rub.de/studium/lehrveranstaltungen/698/

Moodle: https://moodle.ruhr-uni-bochum.de/m/course/view.php?id=7502

Skript: Göckler, Kolossa: Digitale Signalverarbeitung (online)

Literatur:Kammeyer / Kroschel: Digitale Signalverarbeitung, SpringerVieweg, 44,95 Euro.Oppenheim / Schafer: Discrete Time Signal Processing,Pearson, 68,28 Euro.



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Überblick

ÜberblickDigitale Signalverarbeitung beschäftigt sich mit der Verarbeitungvon Signalen, die in digitalisierter Form vorliegen.

Ein Signal ist eine physikalische Erscheinung, die zugleichTräger einer Nachricht ist.Es ist digital, wenn es zeit- und wertdiskret vorliegtund es wird verarbeitet, weil in seiner ersten Form dieinteressanten Informationen nicht zugänglich genug sind.

Figure : Schema einer digitalen Signalverarbeitung [3]




Überblick

Warum digital

Nachteile

Schaltungsaufwand: benötigt AD- und DA-Umsetzung,digitales Verarbeitungssystem (FPGA, DSP, mindestensprogrammierbarer Filterbaustein o.ä.)

Energiebedarf: keine passiven Systeme

begrenzte Bandbreite (einige GHz) - demgegenüberMikrowellentechnik (THz-Bereich)




Überblick

Warum digitalVorteile

keine Fehlerakkumulation

Störunempfindlichkeit - Rauschen unter 1/2 Bit unerheblich,über 1/2 Bit durch digitale Fehlerkorrektur behebbar

Genauigkeit & Dynamik

Fertigungstoleranz

Temperatur- und Zeitkonstanz

Zeitmultiplexbetrieb des Systems möglich

Möglichkeit von Quellen- und Kanalcodierung undVerschlüsselung

Realisierbarkeit komplexerer Algorithmen mit oftgleichbleibendem Hardwareaufwand

Adaptierbarkeit des Systems (Firmwareupdate...)




Anwendungen

Anwendungen

Mobilkommunikation (z.B. CDMA-Übertragung, LTE, VoIP)

Multimedia-Systeme (z.B. DVBT/DVBS-Übertragung, DVD,Blu-ray)

Medizinische Signalverarbeitung (z.B. bildgebende Verfahren:Computertomographie (CT), Magnetresonanztomographie(MRT))

Bildverarbeitung (z.B. Videokompression - MPEG4)

Funknavigation und Flugsicherung (z.B. Transponder, Radar,VOR-DME, GPS)

Audio- und Sprachsignalverarbeitung (z.B. Synthesizer,Hörgeräte, Rausch- und Echounterdrückung, automatischeSpracherkennung)




Anwendungen

BeispieleBildverarbeitung

Audio- und Sprachsignalverarbeitung:

Original Verarbeitet



s1white05dBpwic9s_noisy.wavMedia File (audio/wav)

s1white05dbpwic9s_processed.wavMedia File (audio/wav)


Semesterplan

Veranstaltungszeiten

Veranstaltungen

Montags 14:15-15:45 Vorlesung HID

Dienstags 14:15-15:00 Rechenübung HID

15:15-16:00 Matlab-Übung ID03/121

Sprechzeiten

Dienstags 09:30-11:00 Christopher Schymura ID2/328

Mittwochs 09:30-11:00 Dorothea Kolossa ID2/325

Donnerstags 14:00-15:00 Hendrik Meutzner ID2/330

Freitags 10:00-11:30 Mahdie Karbasi ID2/328




Semesterplan

Veranstaltungsinhalte

1 Einführung, Systemeigenschaften

2 Abtastung, digitale Signale, Fouriertransformation

3 z-Transformation

4 Entwurf und Implementierung von digitalen Filtern

5 Diskrete Fouriertransformation, FFT und Kurzzeitanalyse(STFT)

6 Signalverarbeitung im STFT-Bereich




Umfrage

Kurze Umfrage

1 Studienfach, Vertiefungsrichtung

2 Signale und Systeme belegt? Wenn ja, wo und wann?

3 Erfahrungen mit Matlab

4 Interessen (Bildverarbeitung, Sprachverarbeitung,Kommunikationstechnik, Medizintechnik)




Definitionen

Überblick

Signalverarbeitungssysteme (und die Systeme, die die Signaleerzeugen) können durch einige Eigenschaften leichter analysierbarund leichter implementierbar werden.

Um zu verstehen, welche Methoden jeweils anwendbar sind, kanndie Klassifikation der Systeme hilfreich sein.




Definitionen

Ein System, gekennzeichnet durch den komplexwertigenSystemoperator S{·}, transformiert ein Eingangssignal v(k) in dasAusgangssignal y(k):

y(k) = S{v(k)}. (1)

Auf die Anregung mit dem Einheitsimpuls

v(k) = δ(k) =

{1, k = 0

0, k 6= 0(2)

reagiert das System mit der Impulsantwort

y(k) = h(k) = S {δ(k)} . (3)




Linearität und Zeitinvarianz

1. Linearität

Ein System ist linear genau dann, wenn es zwei Prinzipien gehorcht

Verstärkungsprinzip: S {a v(k)} = aS {v(k)}

Superpositionsprinzip:

S {v1(k) + v2(k)} = S {v1(k)}+ S {v2(k)}





1. Linearität

Zusammengenommen bedeutet Linearität also

S

{I∑

i=1

ai v i (k)

}=

I∑i=1

ai S{v i (k)}, ai ∈ C, I ∈ N. (4)





2. Zeitinvarianz

Definition des Verzögerungs- bzw. Delayoperators Dm{·}:

y(k) = Dm{v(k)} = v(k −m) = vR(k −m) + jvI(k −m)

wobei nur m ∈ Z zugelassen ist.





2. ZeitinvarianzSatz: Ein System ist genau dann zeitinvariant, wenn derSystemoperator S und der Delayoperator Dm kommutativ sind,wenn also gilt:

S {Dm {v(k)}} = Dm {S {v(k)}} . (5)

Warum? ⇒ Genau dann ist die Systemantwort unabhängig vonZeitpunkt k0 der Systemanregung:





LTI-Systeme

LTI-Systeme (Linear Time Invariant = LTI) sind von fundamentalerBedeutung für die Signalverarbeitung und die Nachrichtentechnik.

LTI-Systeme sind eindeutig beschreibbar und vollständigcharakterisiert durch die Impulsantwort:

h(k) = S{δ(k)} = hR(k) + jhI(k), (6)

wobei gilt: h(k) ∈ C⇔ S{·} ∈ C.





Jede Folge v(k) kann mit Hilfe von zeitlich verschobenenEinheitsimpulsen geschrieben werden:

v(k) = v(k)∞∑

ν=−∞δ(k − ν)

Wegen der Ausblendeigenschaft des Einheitsimpulses δ(k) gemäß

δ(k) =

{1, k = 0

0, k 6= 0.

gilt auch:

v(k) =∞∑

ν=−∞v(ν)δ(k − ν) =

∞∑ν=−∞

v(ν)Dν {δ(k)} ,





y(k) = S {v (k)} = S

{ ∞∑ν=−∞

v(ν)Dν {δ (k)}

}

=∞∑

ν=−∞v(ν)S {Dν {δ (k)}} Linearität

=∞∑

ν=−∞v(ν)Dν {S {δ (k)}} Zeitinvarianz

=∞∑

ν=−∞v(ν)Dν {h (k)} Def. Impulsantwort

=∞∑

ν=−∞v (ν) h (k − ν) explizite Darstellung

= v (k) ∗ h (k) Def. Faltung





Faltung - siehe Tafel

Figure : Faltung als zeitlich versetzte Überlagerung vonEinzelsystemantworten des LTI-Systems [2]





LTI-Systeme

Die Systemantwort läßt sich nur wegen der Linearität undZeitinvarianz von LTI-Systemen so allgemein als Faltung vonSignal und Impulsantwort darstellen.

Daraus ergab sich auch die einfache Darstellung imFrequenzbereich als

Y (jΩ) = S(jΩ)V (jΩ), (7)

siehe auch nächste Woche.




Andere Eigenschaften

Gedächtnislosigkeit

Das Ausgangssignal des Systems in einem beliebigen Zeitpunkt khängt nur vom Wert des Eingangssignal im Zeitpunkt k ab.Beispiel: y(k) = a + bv(k) + cv2(k).





Kausalität

Ein System ist genau dann kausal, wenn die Wirkung auf eineAnregung nicht früher als die jeweilige Anregung auftritt.

Für LTI-Systeme bedeutet dies, dass die Systemantwortunabhängig sein muss von zukünftigen Eingangswerten, damit dieSysteme kausal sind.





KausalitätNotwendige und hinreichende Bedingung für Kausalität einesLTI-Systems:

y(k0) =∞∑

ν=−∞h (ν) v (k0 − ν) (8)

=−1∑

ν=−∞h (ν) v (k0 − ν) +

∞∑ν=0

h (ν) v (k0 − ν) . (9)

Da die erste Teilsumme von (9) auf künftige Werte derEingangsfolge zurückgreift (da gilt k0 − ν > k0), ergibt sich für einkausales LTI-System:

h(ν) ≡ 0, ∀ν < 0. (10)





Kausalität

Nur kausale Systeme sind in Echtzeit realisierbar.

Im Falle nichtkausaler Systeme mit endlich langer Impulsantwortkommt man mit einer Verzögerung von h(k) zu einem kausalenSystem.

Von einem kausalen Signal spricht man, wenn dies dieKausalitätsbedingung

v(ν) ≡ 0, ∀ν < 0 (11)

erfüllt.





Stabilität

Definition BIBO-Stabilität (Bounded-Input, Bounded-Output):

Ein BIBO-stabiles System reagiert auf eine wertebeschränkteAnregung stets mit einer wertbeschränkten Antwort:

S {v(k)} ||v(k)|



Für LTI-Systeme ergibt sich mit Hilfe der Faltungsoperation einenotwendige und hinreichende Bedingung für die BIBO-Stabilität:

∣∣y(k)∣∣ = ∣∣∣∣∣∞∑

ν=−∞v(ν)h(k − ν)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

ν=−∞|v(ν)||h(k − ν)|

≤ M∞∑

ν=−∞|h(k − ν)|,

wobei vorausgesetzt wurde, dass |v(k)| ≤ M



Durch Variablensubstitution erhält man so die Bedingung für einBIBO-stabiles LTI-System:

∞∑ν=−∞

|h(ν)|


Differenzengleichung


Die Ausgangsfolge eines LTI-Systems kann für beliebigeEingangssignale durch die Faltung mit der Impulsantwortbeschrieben werden. Für kausale Systeme gilt:

y(k) =∞∑ν=0

h(ν)v(k − ν). (14)

Zur Realisierung eines solchen Systems benötigt man alsoMultiplizierer, Verzögerer (Delays) und Addierer bzw. Subtrahierer.






Benutzt man in (14) auch zeitlich zurückliegende (verzögerte)Werte der Ausgangsfolge y(k), erhält man die allgemeinste Formeiner Differenzengleichung1 für LTI-Systeme.

y(k) =m∑µ=0

bµv(k − µ)−nr∑ν=1

aνy(k − ν). (15)

Wegen der rekursiven Berechnung des Ausgangssignals kann diesemit einer endlichen Summe zeitlich unbegrenzte Impulsantwortenrealisieren. In welchem Verhältnis zu dieser Differenzengleichungstehen die besprochenen Eigenschaften von diskreten Systemen?

1auch ”Rekursionsgleichung” genanntProf. Dr.-Ing. Dorothea Kolossa Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung



Bezug zu Systemeigenschaften

Linearität

Eine notwendige Bedingung für die Linearität ist, dass in derDifferenzengleichung

y(k) =m∑µ=0


aνy(k − ν) (16)

die unabhängige Variable v(k) und die abhängige Variable y(k)nur als lineare Terme vorkommen.

Eine weitere notwendige Bedingung ist, dass der Anfangszustanddes Systems der Ruhezustand ist (Beweis siehe Skript, Kapitel 4).





Zeitinvarianz

Das System ist zeitinvariant, wenn gilt:

aν , bµ = constk,x ,y ∀ν, µ. (17)





Kausalität

Die Kausalität des Systems ist immer gegeben. Das sieht man ausder Differenzengleichung

y(k) =m∑µ=0


aνy(k − ν) (18)

in Verbindung mit der Kausalitätsbedingung

h(ν) ≡ 0, ∀ν < 0. (19)





Reellwertigkeit

Ein durch die Differenzengleichung (15) beschriebenesdiskretes System ist genau dann reellwertig (d.h. dieParameter sind reell), wenn gilt:

aν = a∗ν = aν ∈ R, ∀ν (20)

bµ = b∗µ = bµ ∈ R, ∀µ. (21)

Nur der Zusammenhang zur BIBO-Stabilität wird aus denKoeffizienten nicht sofort sichtbar. Diese wird späterbehandelt, wenn mit der z-Transformation die einfachsteBeschreibung hierfür gefunden werden kann.





Lernziele

Nach dieser Vorlesung sollten Sie wissen

Wie man ein System auf Linearität und Zeitinvarianzüberprüft,

wie man das Ausgangssignal eines LTI-Systems bestimmt,wenn dessen Impulsantwort und das Eingangssignal bekanntsind,

was BIBO-Stabilität bedeutet und wie man bei gegebenerImpulsantwort ein System auf BIBO-Stabilität überprüft,

und wie ein System auf Kausalität, Gedächtnislosigkeit, undReellwertigkeit getestet werden kann.





Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!





Heinz Günther Göckler.Signale und Systeme.Skript zur Vorlesung Signale und Systeme, Ruhr-UniversitätBochum, 2006.

Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer.Discrete-Time Signal Processing.Englewood-Cliffs: Prentice-Hall, 1989.

Hans Wilhelm Schüßler.Digitale Signalverarbeitung, volume 1.4. Auflage, Berlin: Springer, 1994.



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