Dimensionstheorie Noetherscher Ringe

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Dimensionstheorie Seminarvortrag: Kommutative Algebra Heinrich Hartmann SS 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Einf¨ uhrung 1 2 Hilbert Funktionen 2 3 Noethersche Lokale Ringe 8 4 Regul¨ are Lokale Ringe 12 5 Transzendente Dimension 13 1 Einf¨ uhrung Es mag zun¨ achst etwas befremdlich klingen, dass der Begriff der Dimension, der uns allen in vielerlei Hinsicht so nat¨ urlich vorkommt, in der Kommutativen Algebra derart viele Umst¨ ande macht. Kapitel 8 im zweiten Teils von David Eisenbud: Commutative Algebra with a view tward Algebraic Geometry“ gibt einige sehr lesenswerte Erkl¨ arungen zu wesentlichen Ideen dieses Themas. Einige davon will ich hier kurz vorstellen. In den Anf¨ angen der Algebraischen Geometrie waren Kurven etwas, was durch eine Gleichung in den Koordinaten der Euklidischen Ebene definiert wird. Dies sind nun Objekte, die in jeder Hinsicht eindimensional sind (abgesehen von pathologischen“ F¨ allen wie etwa x 2 + y 2 = 0). Die Einf¨ uhrung komplexer Zahlen ver¨ anderte zwar die Natur der untersuchten Objekte, nicht aber die Ansicht, dass sie eindimensional sein sollten. Allein Bezeichnungen Riemannsche Fl¨ achen“ und algebraische Kurven ¨ uber C“ f¨ ur das selbe Objekt die verdeutlichen die Problematik bei der Definition der Dimension dieser Objekte. Von einem Dimensionsbegriff verlangt man in der Kommutativen Algebra ¨ ublicherweise fol- gende Eigenschaften: Axiom D1 Dimension ist eine lokale Eigenschaft. Das soll bedeuten, dass ein Ring lo- kal durchaus verschiedene Dimensionen haben darf. Insgesamt wird dem Ring dann das Supremum der Dimensionen der lokalisierungen zugeordnet: dim A = sup p A Primideal dim A p (1) 1

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Dimensionstheorie Noethersche Ringe nach Athiyah MacDonald.

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Page 1: Dimensionstheorie Noetherscher Ringe

Dimensionstheorie

Seminarvortrag: Kommutative Algebra

Heinrich Hartmann

SS 2004

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 1

2 Hilbert Funktionen 2

3 Noethersche Lokale Ringe 8

4 Regulare Lokale Ringe 12

5 Transzendente Dimension 13

1 Einfuhrung

Es mag zunachst etwas befremdlich klingen, dass der Begriff der Dimension, der uns allen invielerlei Hinsicht so naturlich vorkommt, in der Kommutativen Algebra derart viele Umstandemacht. Kapitel 8 im zweiten Teils von

”David Eisenbud: Commutative Algebra with a view

tward Algebraic Geometry“ gibt einige sehr lesenswerte Erklarungen zu wesentlichen Ideen diesesThemas. Einige davon will ich hier kurz vorstellen.

In den Anfangen der Algebraischen Geometrie waren Kurven etwas, was durch eine Gleichungin den Koordinaten der Euklidischen Ebene definiert wird. Dies sind nun Objekte, die in jederHinsicht eindimensional sind (abgesehen von

”pathologischen“ Fallen wie etwa x2 +y2 = 0). Die

Einfuhrung komplexer Zahlen veranderte zwar die Natur der untersuchten Objekte, nicht aberdie Ansicht, dass sie eindimensional sein sollten. Allein Bezeichnungen

”Riemannsche Flachen“

und”algebraische Kurven uber C“ fur das selbe Objekt die verdeutlichen die Problematik bei

der Definition der Dimension dieser Objekte.Von einem Dimensionsbegriff verlangt man in der Kommutativen Algebra ublicherweise fol-

gende Eigenschaften:

• Axiom D1 Dimension ist eine lokale Eigenschaft. Das soll bedeuten, dass ein Ring lo-kal durchaus verschiedene Dimensionen haben darf. Insgesamt wird dem Ring dann dasSupremum der Dimensionen der lokalisierungen zugeordnet:

dimA = supp ⊂ A Primideal

dimAp (1)

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Wenn man die Deutung der Komplettierung als kleinere Umgebung und des Ideals imKopf behalt, wird die Forderung

dimAp = dim Ap (2)

verstandlich.

• Axiom D2 Nilpotente beeinflussen die Dimension nicht. Gewohnliche Polynomringehaben keine nilpotenten Elemente, in der Geometrie gibt es in der Regel keine nilpotentenFunktionen (außer 0). Man kann jedoch nilpotenten Elementen eine geometrische Bedeu-tung geben, wenn man sie als Richtungsinformationen ahnlich einer Taylorreihe liest. Mandenke beispielsweise an den Ring k[x]/(x2), wo von einem Polynom f ∈ k[x] nur noch dieletzten beiden Koeffizienten sichtbar beliben. Daher ist es zu verstehen, dass Nilpotentebei der Dimension keine Rolle spielen sollten.

• Axiom D3 Ganze Erweiterungen beeinflussen die Dimension nicht. Sei f : X → Yein Morphismus affiner Varietaten, so dass die induzierte Abbildung der Koordinatenringef*: A(Y ) → A(X) eine ganze Erweiterung ist (⇔ B endlich erzeugt als A-Modul), dannhat f endliche Fasern (Beweis mit

”going up/down“ Theoremen von Cohen Seidenberg).

Ganze Ringerweiterungen entsprechen also Uberlagerungen auf der geometrischen Seite.Hat man z.B. eine Uberlagerung von Mannigfaltigkeiten gegeben, so ist auch hier dieDimension von Basis (Ziel) und Totalraum (Quelle) die selbe.

• Axiom D4 Kalibration: dim k[x1, . . . , xd] = d. Der Polynomring in d Variablen entsprichtder affinen d-dimensionalen Ebene uber k. Dieser sollte mit Sicherheit die Dimension dzugewiesen bekommen.

Im Folgenden werden 3 verschiedene Charakterisierungen gegeben, die im Falle lokaler noether-scher Ringe einen konsistenten Dimensionsbegriff liefern.

2 Hilbert Funktionen

Definition 2.1. Eine Abbildung λ : A-Mod → Z von der Klasse aller A-Moduln nach Z heißtadditive Funktion, falls fur jede kurze exakte Sequenz:

0 −→M ′ −→M −→M ′′ −→ 0 (3)

gilt: λ(M) = λ(M ′) + λ(M ′′).

Beispiel 2.2. Sei k ein Korper, so ist dim : k-Vektorraume→ Z additiv (mit Homomorphisatz).

Beispiel 2.3. In §6 haben wir gesehen, dass die Lange l der Kompositionsreihe eines Modulsuber einem Artinschen Ring eine additive Funktion ist. Dies wird die additive Funktion sein, dieuns im folgenden primar interessieren wird. Ist der Grundring ein Korper, so ist die Lange desModuls naturlich die Dimension als Vektrorraum.

Lemma 2.4. Sei λ eine additive Funktion, Mi A-Moduln. Fur eine exakte Sequenz

0 −→M1 −→ . . . −→Mn −→ 0 (4)

gilt:∑

(−1)i λ(Mi) = 0

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Beweis. Vgl. Kapitel 2

Sei A =⊕∞

n=0An ein graduierter, noetherscher Ring. Nach 10.7 ist dann A0 ebenfallsnoethersch und A das Erzeugnis endlich vieler x1, . . . , xs als A0-Algebra. Zerlegen wir nun dieeinzelnen Erzeuger in ihre homogenen Komponenten, erhalten wir ein weiteres Erzeugendensys-tem von A. Wir konnen also o.E. xi als homogen annehmen: xi ∈ Aki .

Sei M =⊕∞

n=0Mn ein endlich erzeugter graduierter A-Modul. Dann wird M von endlichvielen homogenen Elementen m1, . . . ,mt erzeugt: mj ∈Mrj (gleiches Argument). Jedes Elementaus Mn hat also die Form

∑nj=0 ajmj wobei aj ∈ An−rj . Also ist Mn endlich erzeugt als A0-

Modul von den Elementen der Form ajmj mit aj Monom in x1, . . . , xs vom Totalgrad n − rj(d.h. aj = xj1 · . . . · xjm , n− rj = kj1 + . . .+ kjm).

Definition 2.5. Sei λ : A0-Mod→ Z eine additive Funktion. Die Poincare Reihe eines endlicherzeugten A0-Moduls M (bezuglich λ) ist die erzeugende Funktion von λ(Mn):

P (M, t) =

∞∑

n=0

λ(Mn) tn (5)

zunachst als formale Potenzreihe. (Obwohl die Funktion naturlich von der Wahl von λ abhangt,unterdrucken wir dies bei der Notation).

Satz 2.6. (Hilbert, Serre) P (M, t) ist eine rationale Funktion der Form:

f(t)∏si=0(1− tki) (6)

mit einem Polynom f(t) ∈ Z[x].

Beweis. Mit Induktion nach s der Anzahl der Erzeuger von A als A0-Algebra: Fur s = 0 istA=A0 und somit M ein endlich erzeugter A0-Modul. Das bedeutet Mn wird Null fur große n,also auch λ(Mn) und P (M, t) ist selbst ein Polynom. Fur s > 0 haben wir exakte Sequenzenvon A0-Moduln:

0 −→ Kn −→Mnxs−→Mn+ks −→ Ln+ks −→ 0 (7)

Wobei Kn der Kern der Abbildung xs : Mn → Mn+ks und Ln+ks der Kokern ist. Wir setzennun K =

⊕nKn und L =

⊕n Ln. K ist ein Untermodul von M und wird nach Konstruktion

von xs annulliert. L ist ein Faktormodul von M und wird ebenfalls von xs annulliert, dennjeder Reprasentant einer Nebenklasse in L wird durch xs in das Bild von xs abgebildet, welchesjedoch gerade ausgeteilt wurde. Da also xs auf L und K wie die Null wirkt, konnen wir xsals Erzeuger streichen. Somit werden L und K zu A0[x1, . . . , xs−1] Moduln und wir konnen dieInduktionsvoraussetzung anwenden. Erst einmal haben wir:

λ(Kn)− λ(Mn) + λ(Mn+ks)− λ(Ln+ks) = 0 (8)

Multiplikation mit tn+ks und Summation uber n liefert:

tks∞∑

n=0

tnλ(Kn)− tks∞∑

n=0

tnλ(Mn) +

∞∑

n=0

tn+ksλ(Mn+ks)−∞∑

n=0

tn+ksλ(Ln+ks) = 0

⇔ tksP (K, t) − tksP (M, t) + P (M, t) + p(t)− P (L, t) + p′(t) = 0

⇔ (1− tks)P (M, t) = P (L, t)− tksP (K, t) + p′′(t) (9)

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mit Polynomen p, p′, p′′ in denen jeweils die Restterme versammelt wurden. Mit der Induktions-veraussetzung folgt:

(1− tks)P (M, t) =f(t)∏s−1

i=0 (1− tki)− tks g(t)∏s−1

i=0 (1− tki)+ p′′(t)

⇔ P (M, t) =h(t)∏s

i=0(1− tki) (10)

wobei wieder f, g, h ∈ Z[t].

Bemerkung 2.7. Insbesondere konvergiert P (M, t) auf der offenen Einheitskreisscheibe undkann zu einer meromorphen Funktion auf C fortgesetzt werden. Diese hat nur endliche vielePole, die alle auf dem Einheitskreis liegen (ki-te Einheitswurzeln).

Definition 2.8. Die Ordung des Pols von P (M, t) an der Stelle t = 1 wird mit d(M) bezeichnetund ist ein Maß fur die Große von M relativ zu λ.

Falls A von Elementen der Ordnung ki = 1 erzeugeut wird (als A0-Algebra), so haben dieKoeffizienten von P (M, t) eine besoders einfache gestalt:

Korollar 2.9. Ist ki = 1 fur alle i, dann ist λ(Mn) fur große n ein Polynom H(n) (aus Q[x])vom Grad d(M)− 1. Dieses Polynom wird auch Hilbert Polynom genannt.

Beweis. Wir wissen bereits, dass die Erzeugendenfunktion von λ(Mn) gegeben ist durchf(t)/(1 − t)s. Kurzen wir den Bruch vollstandig, erhalten wir: P (M, t) = g(t)/(1 − t)d undf(1) 6= 0, wobei d = d(M). Sei nun g(t) = a0 + a1t+ . . .+ aN t

N ; Es gilt:

(1− t)−d =∞∑

k=0

(d+ k − 1

d− 1

)tk (11)

Somit folgt:

∞∑

n=0

λ(Mn)tn = P (M, t) =g(t)

(1− t)d =

N∑

l=0

altl∞∑

k=0

(d+ k − 1

d− 1

)tk

=

∞∑

L=0

L∑

K=0

(d+ L−K − 1

d− 1

)aKt

L (12)

Mit an = 0 fur alle n > N . Koeffizientenvergleich liefert:

λ(Mn) =N∑

k=0

ak

(d+ n− k − 1

d− 1

)(13)

fur alle n > N , sonst wird die Summe nicht vollstandig durchlaufen. Mit(nk

)= n(n− 1) . . . (n−

k+ 1)/k! sieht man noch, dass diese Summe ein Polynom in n ist. Der Fuhrungsterm ergibt sichzu: (

∑k ak)n

d−1/(d − 1)!

Satz 2.10. Sei x ∈ Ak kein Nullteiler von M, dann gilt d(M/xM) = d(M)− 1

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Beweis. Analog zum Beweis von 2.6 betrachten wir die exakte Sequenz:

0 −→ Kn −→Mnx−→Mn+k −→ Ln+k −→ 0 (14)

wobei diesmal Kn = 0 (Multiplikation mit x ist injektiv). Anwenden von λ, Multiplikation mittn+k und aufsummieren liefert:

(1− tk)P (M, t) = P (L, t) + p(t) (15)

mit einem Polynom p(t) ∈ Z[t]. Da nun 1− tk nur eine einfache Nulltelle bei t = 1 hat, folgt dieBehauptung.

Beispiel 2.11. Sei A = k[x1, . . . , xs] der Polynomring in s Variablen uber einem Korper k (odereinem artinschem Ring). Dann ist An ein freier Modul erzeugt von Monomen xm1

1 . . . xmss mit∑mi = n. Es gibt

(s+n−1s−1

)von ihnen (Ziehen mit Zurucklegen ohne Beachten der Reihenfolge).

Wahlen wir als additive Funktion die Lange des Moduls (= Anzahl der Erzeuger), so ergibt sich:P (M, t) = (1− t)−s.

Beispiel 2.12. Sei A = k[x1, . . . , xs] der Polynomring in s Variablen uber einem Korper k,I = (x6y2, x4y3, xy5) ⊂ A ein Monomideal. Insbesondere hat I homogene Erzeuger und A/I wirdauf naturliche Weise ein graduierter A-Modul. Wir wollen nun die Poincarereihe des graduiertenA-Moduls A/I ausrechnen. Eine k-Vektorraumbasis von A/I ist gegeben durch

B = {xnym |n,m ∈ N0, xnym /∈ I} (16)

diese ist kompatibel mit der Graduierung in dem Sinne, dass der Grad i Anteil von A/I von denGrad i Elementen von B aufgespannt wird. Da wir hier uber einem Korper arbeiten, ist die Langedes Moduls durch seine Dimension gegeben. Die Dimensionen der homogenen Komponenten kannman nun relativ leicht am Monomdiagram ablesen:

Hierbei entsprechen die Gitterpunkte den Monomen in x und y, der dunkel eingefarbte Bereichmarkiert Monome die in I liegen. So findet man:

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 > 8

l((A/I)i) 1 2 3 4 5 6 6 5 3 3

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Fur große i ist die lange also konstant (= 3). Der erste Ansatz ware also das Verhalten fur großeWerte von i zu kontrollieren. ∞∑

n=0

3 tn =3

1− t

Die kleinen Werte von i konnen wir nun mit einem Polynom korrigieren:

P (M, t) =3

1− t + 2t7 − 3t6 + 3t5 + 2t4 + t3 − t− 2

=1 + t+ t2 + t3 + t4 + t5 − t7 − 2t8

1− t (17)

Womit wir das Theorem von Hilbert Serre experimentell bestatigt haben.

Anfang des Vortrags

Satz 2.13. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal, q ein m-primares Ideal,M ein endlich erzeugter A-Modul, (Mn) eine stabile q-Filtration von M . Dann gilt:

1. M/Mn hat endliche Lange fur alle n > 0

2. Fur große n ist diese Lange ein Polynom g(n) vom Grad kleiner gleich s, wobei s diegeringste Anzahl von Erzeugern von q.

3. Der Grad und des Fuhrungskoeffizient von g(n) hangen nur von M und q, nicht aber vonder gewahlten Filtration ab.

Beweis. zu 1. Sei G(A) =⊕∞

n=0 qn/qn+1, G(M) =⊕∞

n=0Mn/Mn+1. Der erste SummandG0(A) = A/q ist noethersch und nulldimensional, (da in A kein Primideal uber q liegt) undsomit artinsch nach (8.5). G(A) ist noethersch und G(M) ist nach (10.22) ein endlich erzeugterG(A)-Modul. Jeder Summand Gn(M) = Mn/Mn+1 wird als A-Modul durch q annuliert ((Mn)ist q- Filtration), kann also als A/q-Modul aufgefasst werden. Damit ist nun Mn/Mn+1 zu ei-nem endlich erzeugen Modul uber einem artinschen Ring (A/q) geworden und hat somit endlichLange (da eine Kompositionsreihe existiert). Es gilt:

ln = l(M/Mn) =

n∑

r=1

l(Mr−1/Mr) (18)

(betrachte: Mn/Mn+1 −→M/Mn+1 −→M/Mn)zu 2. Sei x1, . . . , xs ein Erzeugendensystem von q, dann erzeugen die Bilder xi der xi in q/q2 denRing G(A) = A/q⊕ q/q2 ⊕ q2/q3 . . . als A/q-Algebra. Alle xi haben Grad 1, also gilt nach (2.9)l(Mn/Mn+1) ist fur große n ein Polynom f(n) vom Grad kleiner gleich s − 1. Nach Gleichung(18) gilt demnach ln+1− ln = f(n). Nach dem folgendem Lemma (2.14) ist dann ln ebenfalls einPolynom g(n) von Grad kleiner gleich s ist (fur große n).zu 3. Sei (M ′n) eine weitere stabile q-Filtration von M , und sei g ′(n) = l(M/M ′n). Nach (10.6)haben die beiden Filtrationen gebundene Differenz, d.h. es existiert eine Zahl n0 mit Mn+n0 ⊂M ′n,M

′n+n0

⊂Mn fur alle n ≥ 0. Es folgt g(n+ n0) ≥ g′(n) und g′(n+ n0) ≥ g(n). Also musseng und g′ gleichen Grad und Fuhrungskoeffizienten haben.

Lemma 2.14. (vgl. Hartshorne Algebraic Geometry, S.49) Ein numerisches Polynom ist einPolynom P ∈ Q[x] mit der Eigenschaft, dass P (n) ∈ Z fur große n ∈ N.

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1. Ist P ein solches, dann gibt es ganze Zahlen c0, . . . , cr sodass:

P (x) = c0

(z

r

)+ c1

(z

r − 1

)+ . . . + cr (19)

Insbesondere ist P (n) ∈ Z fur alle n ∈ Z.

2. Ist f : Z → Z eine beliebige Funktion, deren Differenzfunktion ∆f := f(n + 1) − f(n)ein numerisches Polynom Q(n) ist. So ist auch f selbst ein numerisches Polynom P (n) furgroße n.

Beweis. zu 1. Mit Induktion nach dem Grad von P . Fur grad Null ist die Behauptung trivial.Da

(xr

)= xr/r! + . . . konnen wir P auf jeden Fall in der obigen Form schreiben, falls wir ci aus

Q wahlen. Betrachten wir nun ∆P (x) = P (x+ 1)− P (x), so erhalten wir mit ∆(xr

)=( xr−1

):

∆P = c0

(x

r − 1

)+ c1

(x

r − 2

)+ . . .+ cr (20)

Dies ist nun ein numerisches Polynom vom Grad r− 1, nach Induktionsvorraussetzung sind alsoc0, . . . , cr−1 ∈ Z. Doch nun folgt sofort cr ∈ Z, da P (n) ganzzahlig wird fur große n.zu 2. Schreibe Q wie in (19), dann setze

P = c0

(x

r + 1

)+ c1

(x

r

)+ . . . + cr

(x

1

)(21)

Nun ist ∆P = Q, und damit ∆(f −P )(n) = 0 fur große n. Also ist (f −P ) eine Konstante cr+1

fur große n und es gilt f = P + cr+1.

Definition 2.15. Das zur Filtration (qnM) gehorige Polynom g(n) wird auch mit χMq (n) be-zeichnet:

χMq (n) = l(M/qnM) (22)

Im Falle M = A nennen wir χq(n) := χAq (n) auch das charakteristische Polynom von q.

Korollar 2.16. Fur große n ist l(A/qn) ein Polynom χq(n) vom Grad kleiner gleich s, derminimalen Anzahl von Erzeugern von q.

Beweis. Wende (2.13) 2. mit M = A,Mn = qn an.

Satz 2.17. Seien A ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal m, q sei m-primar. Danngilt: grad χq(n) = grad χm(n).

Beweis. Da q ein zu m assoziiertes Primarideal ist, haben wir mr ⊂ q ⊂ m mit einem r ≥ 1.Also gilt mnr ⊂ qn ⊂ mn und damit

χm(rn) ≥ χq(n) ≥ χm(n) (23)

und mit n→∞ folgt die Behauptung.

Definition 2.18. Der gemeinsame Grad der χq(n) wird auch mit d(A) bezeichnet und stimmtmit der fruheren Definition von d uberein, wenn man als graduierten Modul Gm(A) wahlt:

d(A) = d(Gm(A)) (24)

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Beweis. Der Grad des Hilbertpolynoms H(n) = l(mn+1/mn) ist nach (2.9) d-1 und da χm(n) :=l(A/mn) gilt:

χm(n) = H(0) +H(1) + . . .+H(n− 1) (25)

und mit (2.14) folgt wieder die Behauptung.

Zusammenfassung

• Poincarereihe P (M, t) =∑∞

n=0 l(Mn) tn

• Hilbertpolynom H(n) = l(Mn)

• charakteristisches Polyom χMq (n) = l(M/qnM)

3 Noethersche Lokale Ringe

Definition 3.1. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal. Wir bezeichnenmit δ(A) := min{n | (x1, . . . , xn) m-primar } die kleinste Anzahl von Erzeugern eines m-primarenIdeals von A.

Wir schicken den Hauptsatz der Dimensionstheorie noetherscher lokaler Ringe voran.

Satz 3.2. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, m das maximale Ideal. Die drei folgenden Zahlensind gleich:

• dimA: Die maximale Lange von Ketten von Primidealen in A (Krulldimension).

• d(A): Der Grad des charakteristischen Polynoms χm(n) = l(A/mn).

• δ(A): Die kleineste Anzahl von Erzeugern eines m-primaren Ideals.

Wie zu erwarten bedarf der Beweis ein wenig Arbeit. Die Strategie wird sein zu zeigenδ(A) ≥ d(A) ≥ dimA ≥ δ(A), woraus naturlich die Gleichheit folgt.

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Page 9: Dimensionstheorie Noetherscher Ringe

Satz 3.3. δ(A) ≥ d(A)

Beweis. Das war Inhalt von (2.16).

Satz 3.4. Sei A,m, q wie immer, M ein endlich erzeugter A-Modul, x ∈ A kein Nullteiler in Mund M ′ = M/xM . Dann gilt:

gradχM′

q ≤ gradχMq − 1 (26)

Beweis. Sei N = xM , da x kein Nullteiler ist die Abbildung ·x : M → N,m 7→ xm injektiv alsoein Isomorphismus von A-Moduln. Sei Nn = N ∩ qnM . Wir betrachten die exakte Sequenz:

0 −→ xM −→M −→M/xM −→ 0 (27)

Teilen wir uberall qnM heraus ergibt sich:

0 −→ N/Nn −→M/qnM −→M ′/qnM ′ −→ 0 (28)

Wenden wir nun die additive Funktion l an, erhalt man mit g(n) = l(N/Nn):

g(n)− χMq (n) + χM′

q (n) = 0 (29)

fur große n. Nun sagt uns Artin-Rees (10.9), dass (Nn) eine stabile q-Filtration von N ist. DaN ∼= M erhalten wir mit (2.13) 3. dass g(n) und χMq (n) denselben Leitterm haben und es folgtdie Behauptung.

Wir erhalten nun sofort ein Ergebnis, das wir in der graduierten Version schon in (2.10)gesehen haben:

Korollar 3.5. Ist A ein noetherscher lokaler Ring, x ein Nichtnullteiler in A, dann gilt:

d(A/(x)) ≤ d(A)− 1 (30)

Beweis. Direkte Folgerung aus (3.4) mit M=A.

Wir sind nun soweit den nachsten wichtigen Satz zu beweisen:

Satz 3.6. d(A) ≥ dimA.

Beweis. Mit Induktion nach d = d(A). Ist d = 0 so ist l(A/mn) konstant fur große n. Also habenwir mn = mn+1 (beachte l(A/mn+1) = l(A/mn)+ l(mn/mn+1)) fur ein n und mit Nakayama folgtm = 0. Daher ist A artinsch und damit dimA = 0.Sei nun d > 0 und der Fall d − 1 schon gezeigt. Sei weiter p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pr eine beliebigeKette von Primidealen in A. Sei x ∈ p1, x /∈ p0, A′ = A/p0 und x′ das Bild von x in A′. Dannist x′ 6= 0 und da A′ ein Integritatsbereich ist, konnen wir (3.5) anwenden:

d(A′/(x′)) ≤ d(A′)− 1 (31)

Ist nun m′ das maximale Ideal von A′, dann ist A′/m′n das Bild von A/mn unter der kanonischenProjektion und somit folgt l(A/mn) = l(A′/m′n)+l(ker(π)) ≥ l(A′/m′n) und damit d(A) ≥ d(A′)(betrachte Hilbertpolynom). Also haben wir insgesamt:

d(A′/(x′)) ≤ d(A′)− 1 = d(A) − 1 = d− 1 (32)

Nun folgt aus der Induktionsvorraussetzung, dass die Lange jeder Kette von Primidealen inA′/(x′) kleiner gleich d − 1 ist. Doch die Bilder von p1, . . . , pr in A′/(x′) bilden eine Kette derLange r − 1, also folgt r − 1 ≤ d− 1 und wir haben r ≤ d, was zu zeigen war.

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Korollar 3.7. Falls A noetherscher lokaler Ring, dann ist dimA endlich.

Definition 3.8. In einem beliebigen Ring A definieren wir die Hohe eines Primideals p alsSupremum der Langen von Primidealketten p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pr = p, die bei p enden. Es giltHohe von p = dimAp.

Korollar 3.9. In einem noetherschen Ring hat jedes Primideal endlich Hohe. Also genugen diePrimideale eines Noetherschen Rings der absteigenden Ketten Bedingung (d.c.c.).

Satz 3.10. Sei A ein noetherscher lokaler Ring der Dimension d. Dann existiert ein m-primaresIdeal in A, das von nicht weniger als d Elementen x1, . . . , xd erzeugt wird. Also dim(A) ≥ δ(A).

Beweis. Wir konstruieren x1, . . . , xd ∈ m so, dass m das einzige Primideal ist das (x1, . . . , xd)enthalt. Dies geschieht induktiv, wobei wir stets sicherstellen, dass Hohe von (x1, . . . , xi) ≥ i.Da m das einzige Primideal ist das Hohe d hat, haben wir dann die Behauptung bewiesen.Fur i = 0 ist nichts zu zeigen.Sei also (x1, . . . , xi−1) schon konstruiert. Ist m das einzige Primideal das (x1, . . . , xi−1) enthalt sosind wir bereits fertig. Nehmen wir also an, dies sei nicht der Fall. Sein p1, . . . , ps die minimalenPrimideale der Primarzerlegung von (x1, . . . , xi−1). Aus der Minimalitatsbedingung folgt sofortm 6= pj ∀ j ∈ {1, . . . , s}. Aus dem Primvermeidungslemma folgt nun

⋃sj=1 pj 6= m. Wahle also

xi ∈ m, xi /∈⋃sj=1 pj .

Sei nun p ein Primideal, das (x1, . . . , xi) enthalt. Wir mussen zeigen Hohe von p ≥ i. Es folgtaus der Minimalitat der pj , dass pj ⊂ p fur mindestens ein j ∈ {1, . . . , s}. Weiter ist nachKonstruktion p 6= pj und da nach Induktionsvoraussetzung Hohe von pj ≥ i − 1 muss, geltenHohe von p ≥ i, was wir zeigen wollten.Als letztes bleibt noch zu verifizieren, dass (x1, . . . , xd) wirklich m-primar ist. Da m das einzigePrimideal ist das (x1, . . . , xd) enthalt folgt

√(x1, . . . , xd) = m und aus der Maximalitat von m

folgt nun auch diese Behauptung.

Damit haben wir den Hauptsatz der Dimensionstheorie bewiesen.

Beispiel 3.11. Sei A = k[x1, . . . , xn]m die Lokalisierung des Polynomrings am maximalen Idealm = (x1, . . . , xn). Dann ist Gm(A) der Polynomring in n Variablen und seine Poincarereihe istgegeben durch (1− t)−n. Also ist mit dem Hauptsatz dimAm = n (Ziehen mit Zurucklegen ohnebachten der Reihenfolge).

Korollar 3.12. (Einbettungsdimension) dimk(m/m2) ≥ dimA

Beweis. Seien v1, . . . , vs ∈ m so, dass die Bilder in m/m2 eine Vektorraum-Basis bilden, dannerzeugen die vi auch m. Also ist dimk(m/m

2) = s ≥ dimA

Korollar 3.13. Sei A ein noetherscher Ring, x1, . . . , xr ∈ A. Dann hat jedes minimale zu(x1, . . . , xr) assoziierte Ideal p eine Hohe kleiner gleich r.

Beweis. In der Lokalisierung Ap wird das Ideal (x1, . . . , xr) pe-primar. Also r ≥ dimAp = Hohevon p.

Korollar 3.14. (Hauptidealsatz von Krull) Sei A ein neotherscher Ring, x ∈ A weder Nullteilernoch Einheit. Dann ist die Hohe jedes minimalen Primideals, das (x) enthalt, gleich 1.

Beweis. Nach dem letzen Korollar ist die Hohe kleiner gleich 1. Ware die Hohe von p = 0, soist p assoziiert zum 0-Ideal. Denn ein minimales Primideal ist auf jeden Fall in p enthalten,aus Hohe 0 folgt dann Gleichheit. Daraus folgt p ⊂ 0 ⊂ pk fur ein k. Also sind alle ElementeNullteiler. Widerspruch zu x ∈ p.

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Korollar 3.15. Sei A ein noetherscher lokaler Ring, x ∈ m kein Nullteiler. Dann ist dimA/(x) =dimA− 1.

Beweis. Sei d = dimA/(x). Mit (3.5) und (3.2) folgt sofort: d ≤ dimA − 1. Sei nun x1, . . . , xdElemente aus m, deren Bilder in A/(x) ein m/(x)-primares Ideal erzeugen. Dann ist das Ideal(x, x1, . . . , xr) von A m-primar, also d+ 1 ≥ dimA.

Korollar 3.16. Sei A die m-adische Komplettierung von A. Dann ist dimA = dim A. Oder mitanderen Worten D1 ist erfullt.

Beweis. A/mn ∼= A/mn also gilt χm(n) = χm(n).

Definition 3.17. Sei x1, . . . , xd ein Erzeugendensystem eines m-primaren Ideals. Falls d =dimA, wird x1, . . . , xd ein System von Parametern genannt.

Satz 3.18. Sei x1, . . . , xd ein System von Parametern fur einen noetherschen lokalen Ring Aund q das von ihnen erzeugte m-primare Ideal. Sei f(t1, . . . , td) =

∑|ν|=s aνx

ν ein homogenesPolynom vom Grade s mit Koeffizienten in A. Falls nun

f(x1, . . . , xd) ∈ qs+1 (33)

dann liegen alle Koeffizienten von f in m.

Beweis. Wir haben einen Epimorphismus von graduierten Ringen:

α : (A/q)[t1, . . . , ts] −→ Gq(A) =⊕∞

n=0 qn/qn+1,

ti 7→ xi mod q2, 1 7→ (1, 0, 0, . . .) ∈ A/q⊕ q/q2 ⊕ . . . (34)

Nach Vorraussetzung liegt die Nebenklasse von f modulo q im Kern von α. Es gilt namlichα(f(t1, . . . , td)) = α(

∑|ν|=s aνt

ν) =∑|ν|=s aνx

ν wobei aν ∈ A/q und x ∈ q/q2, somit xν ∈qs/qs+1. Wenn nun also f(x1, . . . , xd) ∈ qs+1 so gehen alle Summanden von f in Gq(A) auf dieNull.

Angenommen ein Koeffizient liegt nicht im maximalen Ideal, ist also eine Einheit. Dann istf kein Nullteiler in A/q (Kapitel 1, Aufgabe 3). Dann haben wir also:

d = d(Gq(A)) ≤ d((A/q)[t1, . . . , td]/(f)) weil f ∈ Kern α

= d((A/q)[t1, . . . , td])− 1 weil f kein Nullteiler (2.10)

= d− 1 mit dem Beispiel nach (2.10) (35)

Das ist ein Widerspruch.

Korollar 3.19. Sei A,m ein noetherscher lokaler Ring, k ⊂ A ein Korper der isomorph zu A/mist (zum Beispiel eine Lokalisierung des Polynomrings nach maximalem Ideal), x1, . . . , xd einSystem von Parametern, dann sind die xi algebraisch unabhangig.

Beweis. Angenommen f(x1, . . . , xd) = 0, wobei f 6= 0 ein Polynom mit Koeffizienten in k. Wirkonnen f in der Form f = fs+hohere Terme schreiben. Wobei s der kleinste Grad eines Termsund fs 6= 0 homogen vom Grad s. Dann ist fs(x1, . . . , xd) = 0− hohere Terme ∈ qs+1. Mit demletzten Satz folgt, dass die Koeffizienten von fs alle in m liegen. Da die Koeffizienzten alle imKorper k lagen, folgt fs ≡ 0. Widerspruch.

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4 Regulare Lokale Ringe

Die regularen lokalen Ringe in der kommutativen Algebra entsprechen den nicht singularenPunkten einer Varietat in der algebraischen Geometrie.

Satz 4.1. Sei A,m ein noetherscher lokaler Ring der Dimension d, k = A/m der Restklas-senkorper. Die folgenden Aussagen sind aquivalent:

1. Gm(A) ∼= k[t1, . . . , td] wobei ti algebraisch unabhangig.

2. dimk(m/m2) = d

3. m kann von d Elementen erzeugt werden.

Erfullt ein Ring eine (und damit alle) dieser Bedingungen, so heißte er auch regular.

Beweis. 1.⇒2. : klar, da m ∼= (t1, . . . , td) mit Hilbertschem Nullstellensatz und weiter wirdm/m2=“Menge der Polynome von Grad 1“ als k-VR genau von den ti erzeugt.2.⇒3. : Wie bei (3.12). Jede Basis von m/m2 erzeugt ganz m.3.⇒1. : Sei m = (x1, . . . , xd), dann ist die Abbildung

α : k[x1, . . . , xd]→ Gm(A), xi 7→ xi mod m2 (36)

ein Isomorphismus. Surjektivitat ist klar. Seien f, g homogen vom Grad s, mit αf = αg. Dasist aquivalent zu f(x1, . . . , xd) − g(x1, . . . , xd) ∈ ms+1. Mit (3.18) folgt wieder, dass f − g = 0.Damit ist gezeigt, dass α ein Isomorphismus auf den einzelnen Summanden ist. Also auch aufden ganzen graduierten Ringen.

Lemma 4.2. Sei A ein Ring, a ⊂ A ein Ideal mit⋂∞n=0 an = {0}. Dann gilt:

Ga(A) ist Integritatsbereich, ⇒ A ist Integritatsbereich.

Beweis. Seien x, y 6= 0 zwei Elemente aus A. Da⋂n an = 0 folgt, es existieren r, s ≥ 0 mit

x ∈ ar \ ar+1 und y ∈ as \ as+1. Betrachte nun die Bilder x und y von x und y in ar/ar+1 bzw.as/as+1. Diese sind nach Voraussetzung ungleich 0 und da Ga(A) Integritatsbereich, folgt auchxy 6= 0, also xy 6= 0.

Korollar 4.3. Jeder regulare lokale Ring ist ein Integritatsbereich.

Korollar 4.4. Die regularen lokalen Ringe der Dimension 1 sind genau die diskreten Bewer-tungsringe.

Beweis. A regularer lokaler Ring der Dimension 1 ⇐⇒ dimk m/m2 = 1⇐⇒ A diskreter Bewer-tungsring. Mit (4.1), (4.3) und (9.2).

Und nun noch ein wichtiger Satz, der uns sichert, dass unsere Intuition richtig bleibt.

Satz 4.5. Sei A,m ein noetherscher lokaler Ring. Dann ist A regular genau dann, wenn Aregular.

Beweis. Nach (10.16) ist A lokal mit maximalem Ideal m und (10.26) stellt sicher, dass Anoethersch bleibt. In (3.16) hatten wir weiter gezeigt, dass dimA = dim A und in (10.22) steht,dass Ga(A) ∼= GaA was mit (4.1) die Behauptung beweist.

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Satz 4.6. Sei f ∈ k[x1, . . . , xn] ein Polynom uber einem algebraisch abgeschlossenem Korperk, A := k[x1, . . . , xn]/(f). Die durch f definierte Varietat hat am Punkt P = (P1, . . . , Pn) ∈kn eine Singularitat, falls dort alle partiellen Ableitungen ∂f

∂xiverschwinden. Sei m = (x −

P1, . . . , x− Pn) das zu P gehorige maximale Ideal. Dann gilt: Am ist genau dann regular, wennV (f) an P nicht singular ist.

Beweis. Sei zunachst o.E. P = 0. Wir werden nun der Reihe nach zeigen:

Amregular ⇔ dimk m/m2 = dimAm = n− 1

⇔ f /∈ m2

⇔ Es existiert ein i , so dass: ∂f/∂xi 6= 0 (37)

(m := mAm das maximale Ideal in der Lokalisierung). Die erste Aquivalenz folgt aus der Defini-tion von regular und dem Hauptidealsatz von Krull.

Es ist m/m2 = m/m2 + (f). Falls nun f ∈ m2, so geht (f) im Faktorring auf die 0 undm/m2 wird durch die Elemente x1, . . . , xn als k-Vektorraum erzeugt.Es folgt dimk(m/m

2). Istf =

∑s|ν|=0 fν x

ν /∈ m2, so ist wenigstens ein fν mit |ν| = 1 ungleich Null. Wir konnen nun einesder xi als Linearkombination der anderen darstellen: xj = 1/aj(f −

∑i6=j fixi − hohere Terme)

reduzieren wir diese Gleichung modulo f,m2 erhalten wir xj = 1/aj∑

i6=j fixi. Wir erhalten

dimk m/m2 = n− 1.Ist f singular an der 0, so gilt

∂f

∂xi(0) = (

s∑

|ν|=0

fν νi xν1 · · · xνi−1 · · · xνn)(0) = f(0,...,1,...,0) = 0 fur alle i (38)

und da f(0) = fν=0 = 0 folgt: f singular ⇔ f ∈ m2.

5 Transzendente Dimension

Sei A = k[x1, . . . , xn] der Polynomring in n Variablen Korper k und p ⊂ A ein Primideal.Durch p wird eine irreduzible affine Varietat V = V (p) = {P ∈ kn | f(P ) = 0} definiert.Der Ring A/p =: A(V ) wird Koordinatenring von V genannt und der Quotientenkorperk(V ) = Q(A(V )) heißt auch Korper der rationalen Funktionen auf V. War unser Prim-ideal schon ein maximales Ideal, so erhalten wir nach dem Hilbertschem Nullstellensatz einealgebraische Erweiterung unseres Grundkorpers. War p ein echtes Primideal, so haben wir einentranszendenten Anteil. Wir werden sehen, dass der Transzendenzgrad dieser Korpererweiterungk ⊂ K mit unserem bisherigen Dimensionsbegriff zusammenfallt. Das ist auch der Grund, wes-halb diese Zahl auch Dimension der Varietat V (t-dim V ) genannt wird.

Nehmen wir z.B. A = C[x, y], p = (x). Dann ist A/p = C[y] und Q(A/p) = C(y) hat alsoTranszendenzgrad 1. Die Dimension der Lokalisierung C[y](y−a) an einem maximalen Ideal istebenfalls 1.

Im folgenden sei k stets algebraisch abgeschlossen.

Satz 5.1. Sei V eine irreduzible affine Varietat, P ∈ V ein Punkt, dann ist t-dim V = tr-degk(V ) gleich der Dimension des noetherschen lokalen Rings A(V )m wobei m das zu P gehorigemaximale Ideal ist.

Wir schicken zunachst ein Lemma vorran:

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Lemma 5.2. Sei B ⊂ A eine ganze Ringerweiterung, B algebraisch abgeschlossen, A,B Inte-gritatsbereiche. Sei m ein maximales Ideal von A, und n = m ∩ B. Dann ist n maximal unddimAm = dimBm (Krull-Dimension).

Beweis. Nach (5.8) ist n maximal. Jede von m strikt absteigende Kette von Primidealen gehtdurch Schnitt mit B in eine strikt von n absteigende Kette von Primidealen in A uber (5.9).Also gilt dimBn ≥ dimAm. Haben wir nun umgekehrt eine strikt von n absteigende Kette in B,so konnen wir sie mit dem “Going down Theorem” nach A liften, wobei die echten Inklusionenerhalten bleiben. Das zeigt dimBn ≤ dimAm.

Beweis. von (5.1). Nach dem Noethernormalisierungslemma konnen wir einen Polynomring P =k[x1, . . . , xd] in A(V ) finden, so dass P ⊂ A(V ) eine ganze Ringerweiterrung ist.

k[x1, . . . , xd]ganz−−−→ A(V )

yy

k(x1, . . . , xd) −−−→ k(V )

(39)

Wir wollen zunachst zeigen, dass k(x1, . . . , xd)→ k(V ) eine algebraische Korpererweiterung ist.Sei a/b ∈ k(V ) also a, b ∈ A(V ), b 6= 0. Es gibt nach Vorraussetzung normierte Polynome p, qmit Koeffizienten in A(V ) mit p(a) = p(b) = 0. Fassen wir dies als eine Gleichung in k(V ) auf,so erhalten wir: a, b algebraisch uber k(x1, . . . , xd). Somit auch a/b.

Es folgt, dass der Transzendenzgrad von k(V ) uber k gleich dem von k(x1, . . . , xd) also d ist.Wir zeigen nun, dass auch die Krulldimension von A(V )m d gleicht.

P ist als faktorieller Ring ganz abgeschlossen, wir konnen also (5.2) anwenden. Damit folgtdimA(V )m = dimPn mit n ⊂ P maximal. n = (x1 − a1, . . . , xd − ad) nach dem HilbertschenNullstellensatz und durch eine lineare Transformation konnen wir n und das Ideal (x1, . . . , xd)uberfuhren. Doch wir haben bereits gesehen, dass k[x1, . . . , xd](x1,...,xd) die Dimension d hat.

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