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Technisch-Naturwissenschaftliche Fakultät

Extremwertaufgaben im Mathematikunterricht

DIPLOMARBEIT

zur Erlangung des akademischen Grades

Magistra der Naturwissenschaften

im Diplomstudium

LEHRAMT FÜR MATHEMATIK UND MEDIENGESTALTUNG Eingereicht von:

Stefanie Rittmannsberger Angefertigt am:

Institut für Didaktik der Mathematik Beurteilung:

Univ. Prof. DI Mag. Dr. Markus Hohenwarter Mitwirkung:

Mag. Andreas Lindner

Linz, Juli 2014

I

Eidesstattliche Erklärung

Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und

ohne fremde Hilfe verfasst, andere als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel nicht

benutzt bzw. die wörtlich oder sinngemäß entnommenen Stellen als solche kenntlich

gemacht habe. Die vorliegende Diplomarbeit ist mit dem elektronisch übermittelten

Textdokument identisch.

_____________________________________________________________________

(Ort, Datum) (Unterschrift)

II

Danksagung

An dieser Stelle möchte ich mich bei Herrn Univ. Prof. DI Mag. Dr. Markus

Hohenwarter und Herrn Mag. Andreas Lindner bedanken, für die Bereitstellung des

Themas und für die Betreuung während meiner Diplomarbeit.

Besonders danken möchte ich meiner Familie, vor allem bei meinen Eltern, die mich

nicht nur finanziell unterstützt haben sondern mir auch emotional beigestanden sind.

Ein besonderer Dank gilt meiner Mutter Brigitte, die in jeder Lebenslage die richtigen

aufbauenden Worte für mich gefunden hat und an meinen Vater Hans, der mir vor

allem während der Diplomarbeit hilfreich zur Seite stand. Auch bei meinen

Geschwistern Barbara und Michael möchte ich mich für die emotionale Unterstützung

bedanken und bei meiner Tante Gabriele für das Korrekturlesen meiner Diplomarbeit.

Ein großer Dank geht auch an Christina Auer und Misha Yudytskiy für die

Unterstützung während meiner gesamten Studienzeit und für das Korrekturlesen der

Diplomarbeit.

Zu guter Letzt möchte ich allen meinen Freunden und Studienkollegen danke sagen,

die mich durch mein Studium begleitet haben und meine Studienzeit unvergesslich

gemacht haben.

III

Kurzfassung

Thema der Diplomarbeit

Extremwertaufgaben im Mathematikunterricht

Zielsetzung

Optimieren zählt zu den wichtigsten Methoden in vielen Anwendungsbereichen. Ziel

dieser Diplomarbeit ist es, möglichst realistische Fragestellungen für

Extremwertaufgaben zu finden und ein didaktisches Konzept zur Vermittlung von

Extremwertaufgaben unter Nutzung von möglichst realitätsbezogenen Fragestellungen

vorzustellen.

Durchführung

Diese Arbeit gliedert sich in einen Theorie- und in einen Praxisteil. Im Theorieteil wird

zunächst geklärt wie Extremwertaufgaben definiert sind und welche Schwierigkeiten

SchülerInnen beim Lösen solcher Beispiele haben können. Danach wird auf die

Lösungsmöglichkeiten und Strategien zum Lösen realer Problemstellungen näher

eingegangen. Um die Aufgaben zu veranschaulichen, kann der Computereinsatz sehr

hilfreich sein, auf den im letzten Kapitel des Theorieteils näher eingegangen wird.

Im Praxisteil werden die im Theorieteil besprochenen Themen an Beispielen

angewandt und somit für den Unterricht brauchbare Aufgaben vorgestellt.

IV

Abstract

Topic of the diploma thesis

Optimization problems in mathematics teaching

Objective of the thesis

Optimization is one of the most important methods in many fields of mathematical

applications. The aim of this thesis is to present examples of extreme value problems

based on real world applications and to present educational concepts for conveying

them to students.

Methods

The thesis is split into two parts: theoretical and practical. In the theoretical part I

define the extreme value problems and discuss the difficulties that might arise for

students when dealing with these types of problems. Consequently, I closely examine

the solution methods and strategies for solving realistic examples of optimization

problems. For convenience, the problems may be illustrated with the help of a

computer, which is presented in more detail at the end of the theoretical part.

In the practical part of this work, I apply topics from theory to practice and present

concrete examples that can be used in a classroom environment.

V

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung .............................................................................................................. 1

2 Was sind Extremwertaufgaben? ............................................................................ 3

3 Didaktische Aufbereitung von Extremwertaufgaben im Mathematikunterricht ........ 5

3.1 Aspekte von Variablen ................................................................................... 5

3.2 Aspekte von Funktionen ................................................................................. 7

4 Lösungsvielfalt .....................................................................................................12

4.1 Chancen und Gefahren von Lösungsvielfalt ..................................................12

4.2 Elementare Lösungsvarianten von Extremwertaufgaben ...............................16

4.2.1 Quadratische Ergänzung und Quadratungleichung ................................16

4.2.2 Mittelungleichung ...................................................................................17

4.2.3 Symmetrisieren ......................................................................................18

4.2.4 Flächenvergleich ....................................................................................18

4.2.5 Dreiecksungleichung ..............................................................................19

4.2.6 Niveaulinien ...........................................................................................20

4.3 Vor- und Nachteile des Lösens mittels Differentialrechnung ..........................23

5 Extremwertaufgaben mit Realbezug .....................................................................25

5.1 Modellieren ...................................................................................................25

5.1.1 Der Modellbildungskreislauf ...................................................................27

5.1.2 Modellieren im Mathematikunterricht ......................................................29

5.2 Problemlösen nach Pòlya ..............................................................................30

5.3 Fächerübergreifendes Lernen .......................................................................33

6 Computer im Mathematikunterricht .......................................................................36

6.1 Chancen und Risiken des Computereinsatzes ..............................................36

6.2 Computeralgebrasystem (CAS) .....................................................................37

6.3 Tabellenkalkulations-Software (TKS) ............................................................38

6.4 Dynamische Geometrie-Software (DGS) .......................................................39

6.5 Einsatz des Computers bei Extremwertaufgaben ..........................................41

VI

7 Praktischer Teil ....................................................................................................44

7.1 Die optimale Konservendose.........................................................................44

7.2 Lampe ...........................................................................................................54

7.3 Zaun ..............................................................................................................60

7.4 Läufer ............................................................................................................63

7.5 Hotel .............................................................................................................68

7.6 Stau ..............................................................................................................71

7.7 Rettungsschwimmer ......................................................................................74

8 Zusammenfassung ...............................................................................................83

9 Verzeichnisse .......................................................................................................84

9.1 Literaturverzeichnis .......................................................................................84

9.2 Abbildungsverzeichnis:..................................................................................89

10 Anhang .............................................................................................................91

Einleitung

1

1 Einleitung

Die Optimierung spielt speziell in der Wirtschaft, aber auch in vielen anderen Bereichen

der Arbeitswelt eine wichtige Rolle. Eine gute Möglichkeit einem/r SchülerIn das

Verständnis des Grundprinzips zu vermitteln, sind Extremwertaufgaben. Das Erstellen

eines Bezugs der mathematischen Aufgabe mit der Realität hilft dem/r SchülerIn die

Bedeutung der Mathematik im Alltag zu erkennen und zu verstehen.

Während diverser Nachhilfestunden habe ich die Erfahrung gemacht, dass das Lösen

von Extremwertaufgaben viele Lernende vor Herausforderungen stellt. Neben

Problemen mit dem Umformen und Differenzieren der Funktionen, fallen dabei auch

Schwierigkeiten mit der Mathematisierung der Aufgabenstellung auf. Hierfür benötigen

die SchülerInnen die Kenntnis unterschiedlicher Sätze der Mathematik, die teilweise

schon in der Unterstufe behandelt wurden, wie z.B. den Satz von Pythagoras oder den

Strahlensatz. Des Weiteren ist es natürlich ausschlaggebend, dass das Problem

verstanden wird. Um die Aufgabenstellung nachvollziehen zu können, ist es dabei für

den/die SchülerIn wichtig, die Aspekte der Variablen zu erkennen. Erst durch das

Arbeiten mit NachhilfeschülerInnen, wurde mir bewusst, dass gerade das Bestimmen

von fixen und veränderlichen Variablen Schwierigkeiten bereitet. Aus diesem Grund

möchte ich dieses Thema in dieser Arbeit genauer beleuchten.

Dabei möchte ich mich vor allem auf reale Problemstellungen konzentrieren, da ich es

für sehr wichtig halte den SchülerInnen zu demonstrieren, dass Mathematik nicht

ausschließlich abstrakt sein muss. Außerdem eignet sich der physikalische Hintergrund

vieler Extremwertaufgaben für eine fächerübergreifende Aufarbeitung.

Diese Arbeit unterteile ich in einen Theorie- und einen Praxisteil. Im Theorieteil wird

zunächst die Definition von Extremwertaufgaben geklärt, danach wird auf die

didaktische Aufbereitung mit Fokus auf das Verständnis von Variablen- und

Funktionsaspekte eingegangen. Im Anschluss behandle ich das Thema

Lösungsvielfalt, da ich es für sinnvoll halte, den SchülerInnen unterschiedliche

Lösungswege für Extremwertprobleme, wie elementare Lösungsvarianten, schon vor

der Einführung der Differenzialrechnung näher zu bringen.

Im Kapitel "Extremwertaufgaben mit Realbezug" behandle ich zwei

Herangehensweisen an Extremwertaufgaben: den Modellbildungskreislauf und die

Problemlösestrategie nach Pólya. Um das Themengebiet zu veranschaulichen, eignen

Einleitung

2

sich verschiedene Computerprogramme, die ich im darauffolgenden Kapitel näher

erläutern werden. Im anschließenden Praxisteil werden die Themengebiete des

Theorieteils anhand konkreter Beispiele angewendet.

Was sind Extremwertaufgaben?

3

2 Was sind Extremwertaufgaben?

Uwe-Peter Tietze (2000, S.273) definiert Extremwertaufgaben wie folgt:

"Unter Extremwertaufgaben versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter

Beachtung einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben

sind in der Regel so geartet, dass man eine Funktion von zwei Veränderlichen unter

Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine Funktion einer

Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt. Durch den

Vergleich aller lokalen Maximal- bzw. Minimalwerte in dem durch die Aufgabe

gegebenen Gültigkeitsintervalls untereinander und mit den Werten am Rand des

Intervalls gelangt man zu einer Lösung."

Das bedeutet, dass nach Aufstellen einer Funktion einer Veränderlichen, die meist

Zielfunktion oder Hauptbedingung genannt wird, diese auf Extremstellen untersucht

werden muss. Einige Extremwertaufgaben können auch mit elementaren

Lösungsvarianten (siehe Kapitel 4.2) gelöst werden. Ist das Problem jedoch mit

Differentialrechnung zu lösen, braucht man folgende notwendige und hinreichende

Bedingung. Grundlegende Sätze über Differenzierbarkeit von Funktionen und über den

Ableitungsbegriff werden vorausgesetzt.

Notwendiges Kriterium

Um die lokalen Extremstellen zu bestimmen, benötigt man die notwendige Bedingung,

dass diese nur dort liegen, wo die Tangenten waagrecht verlaufen, das heißt wo die

erste Ableitung Null ist (vgl. Danckwerts&Vogel, 2006, S.138).

"Die Funktion f sei in einer Umgebung von definiert und an der Stelle

differenzierbar. Besitzt f an dieser Stelle ein lokales Maximum oder Minimum, so ist

notwendigerweise " (modifiziert nach Walter, 1997, S.244).

Hinreichendes Kriterium

Die hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen lässt sich folgendermaßen

inhaltlich-anschaulich erklären: Es sind jene Punkte, bei denen der Graph sein

Monotonieverhalten ändert.

"Ist f im Intervall differenzierbar, und für ,

für , so hat f an der Stelle ein lokales Maximum im strengen Sinn

( nur für ). Dies trifft insbesondere zu, wenn existiert und < 0

Was sind Extremwertaufgaben?

4

ist. Entsprechend liegt ein lokales Minimum vor, wenn für und

für ist, also insbesondere, wenn " (modifiziert nach Walter,

1997, S.300).

Zur Veranschaulichung bietet sich für den Unterricht folgende Grafik von zwei

Funktionen und den dazugehörigen Ableitungen an:

Wechselt das Vorzeichen von beim Punkt von Minus nach Plus, dann fällt f lokal

links von und steigt lokal rechts von . Da sich dieses Kriterium jedoch nicht nur auf

die Stelle beschränkt, sondern man die Umgebung von betrachten muss, ist das

andere Kriterium, die Überprüfung der zweiten Ableitung, oft besser für den Unterricht

geeignet (vgl. Danckwerts&Vogel,1997, S.139).

Besonders einfach ist die Überprüfung einer Extremstelle, wenn die Ableitung in einem

Intervall nur eine Nullstelle besitzt. Es reicht dann zu zeigen, dass die Randpunkte als

Maximum bzw. Minimum nicht in Frage kommen und die berechnete Nullstelle ist

notwendigerweise das Maximum bzw. Minimum (vgl. Walter, 1997, S.244).

Bei Extremwertaufgaben ist besonders darauf zu achten, dass auch die globalen

Extrema bestimmt und überprüft werden, die am Rand des Definitionsbereichs liegen.

Abbildung 1: Grafen von zwei Funktionen und ihre Ableitungen (modifiziert nach Danckwerts&Vogel, 2006, S.139)

Didaktische Aufbereitung von Extremwertaufgaben

5

3 Didaktische Aufbereitung von Extremwertaufgaben im Mathematikunterricht

In diesem Kapitel möchte ich mich damit beschäftigen, mit welchen Problemen

SchülerInnen bei Extremwertaufgaben zu kämpfen haben. Natürlich gibt es viele

verschiedene Gründe, wieso es ihnen schwer fällt, solche Aufgaben zu lösen. Einer

davon ist, weil sie nicht immer unterscheiden können, welche Größen der Aufgabe fix,

also fest, sind und welche variieren. In diesem Kapitel möchte ich näher auf diese

Schwierigkeiten und auch eventuelle Lösungsansätze eingehen. Die Aufgaben, die

erwähnt werden, können teilweise auch schon vor dem Kapitel Extremwertaufgaben

durchgeführt werden, zum Beispiel beim Einführen von Funktionen.

3.1 Aspekte von Variablen

Variablen gibt es nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Umgangssprache.

Worte wie "Ding" spielen beispielsweise die Rolle einer Variablen. Früher verwendete

man Wortvariablen, wie zum Beispiel "Tage", obwohl diese Worte nur mehr

stellvertretend für eine Zahl standen. Mittlerweile verwendet man im

Mathematikunterricht Buchstabenvariablen und diese werden meistens nicht weiter

definiert. Nach Malle (1993, S.46) gibt es drei Aspekte des Variablenbegriffs:

Gegenstandaspekt: Variable als unbekannte oder nicht näher bestimmte Zahl.

Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter für Zahlen bzw. Leerstelle, in die

man Zahlen einsetzen darf.

Kalkülaspekt (Rechenaspekt): Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem

nach bestimmten Regeln operiert werden darf.

Man kann eine Variable nicht auf einen der drei Aspekte reduzieren. Betrachten wir

folgendes Rechengesetz als Beispiel:

Wenn man a, b und c unter dem Gegenstandaspekt betrachtet, dann denkt man an

drei nicht näher bestimmte reelle Zahlen. Setzt man allerdings für a, b und c Zahlen

ein, um das Gesetz zu prüfen, betrachtet man diese Variablen unter dem

Einsetzungsaspekt. Führt man mit a, b und c Umformungen durch oder wendet man


6

Rechengesetze an ihnen an, betrachtet man die Buchstaben als bedeutungslose

Zeichen und daher unter dem Kalkülaspekt.

In Formeln muss man den Variablenbegriff anders auffassen, da es hier um die

Variable als "Veränderliche" geht. Nun kann man nach Malle (1993, S.80) andere

Aspekte des Variablenbegriffs unterscheiden:

Einzelzahlaspekt: Variable als beliebige, aber feste Zahl aus dem betreffenden

Bereich. Dabei wird nur eine Zahl aus dem Bereich repräsentiert.

Bereichsaspekt: Variable als beliebige Zahl aus dem betreffenden Bereich,

wobei jede Zahl des Bereichs repräsentiert wird.

o Simultanaspekt: Alle Zahlen aus dem betreffenden Bereich werden

gleichzeitig repräsentiert.

o Veränderlichenaspekt: Alle Zahlen aus dem betreffenden Bereich

werden in zeitlicher Aufeinanderfolge repräsentiert.

Gerade bei Funktionen ist es wichtig, Variablen durch ihre Aspekte zu unterscheiden.

Oft kommen mehrere Variablen in einem Kontext vor, wobei dann einige unter dem

Einzahlaspekt oder Simultanaspekt und einige unter dem Veränderlichenaspekt

betrachtet werden müssen. In der Praxis ist oft nicht von den einzelnen Aspekten der

Variablen die Rede, sondern von Variablen, Konstanten und Parametern. Vor allem

wenn mehrere Variablen in einem Beispiel oder in einer Funktion vorkommen, ist es

wichtig diese Unterscheidungen zu treffen. Die Variablen, die unter dem Einzahlaspekt

betrachtet werden, werden dann meist Parameter genannt und die, die unter dem

Veränderlichenaspekt betrachtet werden, entweder Veränderliche oder ganz einfach

"Variable". Ein weiterer Begriff für Variablen ist die Konstante, die auch unter dem

Einzahlaspekt oder dem Simultanaspekt betrachtet wird. Der Unterschied von

Parameter und Konstante besteht darin, dass sich eine Konstante innerhalb eines

bestimmten Zusammenhangs nicht verändert (vgl. Wikipedia, 2014g).

Eine der Schwierigkeiten bei Extremwertaufgaben ist, zwischen dem Einzelzahlaspekt

und dem Veränderlichenaspekt zu unterscheiden: Welche Variablen sind fix, also

Parameter oder Konstanten, und welche variieren. Am Anfang des Beispiels muss

dem/der SchülerIn klar sein, welche der Größen fix sind, auch wenn keine konkreten

Zahlen gegeben sind.

Oft werden auch Variablen, die Parameter sind, mit Buchstaben bezeichnet, die am

Anfang des Alphabetes stehen (z.B. a, b, c), jedoch Variablen, die unter dem

Veränderlichenaspekt stehen, mit x, y und z. Beispielsweise bei einer allgemeinen

Polynomfunktion dritten Grades:


7

Dies kann für die SchülerInnen sehr hilfreich sein, da sie mit der Zeit wissen, welche

der Variablen sie als Veränderliche sehen müssen und welche als fix. Jedoch kann es

auch zu Problemen führen, wenn sie nicht mehr darüber nachdenken ob die Aufgabe,

wie sie diese lösen sollen, Sinn macht. Natürlich ist es nicht immer der Fall, dass die

Variablen wie eben beschrieben bezeichnet werden.

3.2 Aspekte von Funktionen

Nach Malle (2000, S.8) gibt es nicht nur Aspekte von Variablen die zu beachten sind,

sondern auch zwei Aspekte von Funktionen ( ):

Zuordnung: Jedem x wird genau ein zugeordnet. Die Funktion wird lokal

betrachtet.

Kovariation: Wenn x verändert wird, dann ändert sich auch und

umgekehrt. Die Funktion wird globaler betrachtet.

Der Ausdruck "Kovariation" kommt von "Ko-Variieren", das heißt es geht darum, dass

sich die beiden Variablen miteinander ändern. Malle (2000, S.8f) versucht die beiden

Aspekte mit Hilfe eines Beispiels zu veranschaulichen.

Abbildung 2: Kovariationsaspekt (Malle, 2000, S.9)


8

Anhand der Abbildung 2 kann man erkennen, dass es möglich ist, sowohl die Tabelle

als auch die Funktion mit den beiden Aspekten in Verbindung zu bringen. Liest man die

Tabelle waagrecht und ordnet somit jedem x ein zu, sieht man die Funktion unter

dem Zuordnungsaspekt. Beobachtet man jedoch spaltenweise wie sich das

ändert, wenn sich das x ändert, sieht man die Funktion unter dem Kovariationsaspekt.

Dasselbe gilt für den Graphen: Entweder man liest für ein bestimmtes x das

zugeordnete ab oder man ermittelt wie sich ändert wenn sich x ändert.

Das Erkennen dieser beiden Aspekte macht den SchülerInnen oft Schwierigkeiten, sie

sind jedoch sehr wichtig um eine Funktion zu verstehen. Der oben angeführte

Veränderlichenaspekt (siehe Kapitel 3.1) bei Variablen ist eng mit dem

Kovariationsaspekt bei Funktionen verbunden (vgl. Malle, 2000, S.8).

Man kann schon in der Unterstufe Übungen durchführen, um die SchülerInnen auf den

späteren Umgang mit diesen Aspekten und somit Funktionen vorzubereiten. Eine

Möglichkeit besteht darin, Beispiele im Unterricht zu behandeln, bei denen Variablen

vorkommen die außermathematisch interpretierbar sind. z.B.: , also

Weg = Geschwindigkeit * Zeit (vgl. Malle, 1993, S.88).

Nun kann man mit den SchülerInnen diskutieren, wie es sich auf den Weg auswirkt,

wenn die Zeit wächst und die Geschwindigkeit konstant bleibt, das heißt .

So ist es leichter, den Variablenbegriff mit den dazugehörigen Aspekten und den

Kovariationsaspekt der Funktion zu verstehen und bei Beispielen zu erkennen, welche

Variable sich verändert und welche konstant bleibt. Ein derartiges Beispiel ist sehr gut

Abbildung 3: Veranschaulichung von


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für den Einstieg in das Kapitel "Funktionen mit mehreren Variablen" geeignet, da es für

die SchülerInnen leicht vorstellbar ist, dass Zeit vergeht. Schwieriger wird es, wenn die

Variablen keine außermathematische Interpretation mehr besitzen.

Um den Kovariationsaspekt den SchülerInnen verständlich zu machen, ist meist sehr

hilfreich, die Funktionen zeichnen zu lassen.

Um das Verständnis der SchülerInnen für die verschiedenen Variablenaspekt zu

vertiefen kann es auch sehr hilfreich sein, mit ihnen Übungen durchzuführen, bei

denen sie nach einer gewissen Variablen ableiten müssen. z.B.:

Für die SchülerInnen ist es nun wichtig zu erkennen, welche der drei Variablen

welchem Aspekt zugeordnet werden. Wenn , wie in diesem Beispiel, von abhängt,

wird unter dem Veränderlichenaspekt betrachtet und g und h unter dem

Einzelzahlaspekt. Man kann mit den SchülerInnen besprechen, was passiert, wenn

man halbiert und wie sich dann verändert. Man denkt sich beliebige reelle

Zahlen für g und h und hält diese fest, um zu erkennen inwiefern sich verändert.

Anhand des Steigungsdreiecks, kann besprochen werden, wie sich die Funktion durch

Halbieren von geändert hat.

Der nächste Schritt wäre nun, diese Funktion nach abzuleiten. Oft ist den

SchülerInnen auch nicht klar, wenn mehrere Variablen in einer Funktion vorkommen,

Abbildung 4: Darstellung von der Funktionen E(m)


10

nach welcher sie ableiten sollen. Hier sind Vorübungen sehr hilfreich, wie z.B.:

.

Beispiele dieser Art sind für die SchülerInnen leicht zu lösen, da x die Variable ist, nach

der sie ableiten müssen. Sie sind von sehr vielen Aufgaben daran gewöhnt, dass x die

Veränderliche ist und k die Konstante, somit ist es nichts Ungewöhnliches. Daher

sollte man auch Beispiele durchführen, in denen nicht die Variable x vorkommt, z.B.:

.

Nun sollen sie diese Funktion nach t ableiten. Hier ist es auch hilfreich mit den

SchülerInnen zu besprechen, dass in diesem Fall P die Konstante ist. Als nächsten

Schritt können auch Funktionen besprochen werden, bei denen zwar x als Variable

vorkommt, jedoch die Funktion nicht von x abhängt, wie z.B.: .

Die SchülerInnen sollen somit lernen, nicht schematisch abzuleiten, sondern zuerst

überlegen, was eine Funktion aussagt und welche Variablen fix und welche

veränderlich sind.

Speziell bei Extremwertaufgaben ist es wichtig, besonders genau darauf zu achten,

dass die SchülerInnen immer auch aufschreiben, von welchen Variablen die Funktion

abhängt, damit sie erkennen welche Variable fest bleibt und welche variiert. Bei den

meisten Aufgaben ist die Funktion zunächst von zwei Variablen abhängig, und nach

Ersetzen einer der Variablen durch die Nebenbedingung, nur mehr von einer. Wenn

die SchülerInnen lernen, immer neu zu überlegen, welche Variablen in der Funktion

welche Rolle spielen, fällt es ihnen leichter zu entscheiden, nach welcher Variablen sie

ableiten müssen.

Als Einstieg für Extremwertaufgaben eignet sich das isoperimetrische Problem für

Rechtecke, das in meiner Arbeit noch öfter als Beispiel angeführt werden wird.

"Satz (isoperimetrisches Problem für Rechtecke): Unter allen umfangsgleichen

Rechtecken hat das Quadrat den größten Inhalt" (Danckwerts, 2006, S.174).

Man kann dieses Problem natürlich auch in eine Frage umwandeln: Welches unter

allen umfangsgleichen Rechtecken hat den größten Inhalt? Um verständlich zu

machen, welche der Größen fix bleibt und welche variiert, kann man einen

zusammengebunden Faden als Hilfe nehmen. So hat man einen festen Umfang und

kann mit den Händen probieren, welche Rechtecke sich damit formen lassen. Damit ist

noch nicht gesichert, dass die SchülerInnen das Problem verstanden haben. Viele

SchülerInnen glauben, dass sich durch die Änderung der Seitenlänge nicht nur der


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Inhalt, sondern auch der Umfang verändert. Dass alle Rechtecke denselben Umfang

haben, da der Faden eine bestimmte Länge hat, muss erst bewusst gemacht werden.

"Es kommt entscheidend darauf an, sich genau klar zu machen, was fest bleibt und

was variiert" (Danckwerts, 2006, S.175).

Um eine funktionale Sicht des Problems zu erwerben kann man das Problem auch

durch folgende Skizze, von Rechtecken mit einem Umfang von 100, veranschaulichen,

bei der auch Extremfälle mit einbezogen werden (vgl. Bürger&Malle, 2000, S.58).

Beim Aufstellen der Zielfunktion ist zu beachten, dass immer deutlich aufgeschrieben

wird, von welchen Variablen diese abhängt. Also statt sollte man

schreiben.

Abbildung 5: Isoperimetrisches Problem für Rechtecke (Bürger&Malle, 2000, S.58)

Lösungsvielfalt

12

4 Lösungsvielfalt

In der Praxis werden oft bestimmte Lösungsmethoden vorgegeben, was bewirkt, dass

die SchülerInnen zwar viele Aufgaben richtig lösen können, jedoch nie gelernt haben,

wie man an eine Aufgabe herangehen kann. Wenn man den SchülerInnen die

Möglichkeit gibt, selber Lösungswege zu finden, erreicht man, dass sie sich stärker mit

dem Zugang identifizieren können und auch bereit sind, diesen argumentativ zu

verteidigen. Dabei ist es zunächst auch vollkommen unwichtig, ob der gewählte

Lösungsweg in eine Sackgasse führt oder nicht (vgl. Furdek&Benkeser, 2007, S.40).

Attila Furdek und Matthias Benkeser haben SchülerInnen eine Aufgabe ohne Vorgaben

über die Lösungsmethode berechnen lassen. Auf ihre Ergebnisse werde ich im

praktischen Teil (siehe Kapitel 7.7) eingehen.

4.1 Chancen und Gefahren von Lösungsvielfalt

In den letzten Jahren wurde immer mehr darauf geachtet im Mathematikunterricht

verschiedene Lösungsmöglichkeiten zuzulassen und sogar herauszufordern. Man

könnte sich die Frage stellen, warum es sinnvoll ist, ein und dieselbe Aufgabe auf

unterschiedliche Arten zu lösen. Würde es nicht SchülerInnen und LehrerInnen Zeit

und Energie ersparen, wenn es für jede Aufgaben nur ein bestimmtes Rezept gäbe?

Dem steht entgegen, dass die SchülerInnen im Mathematikunterricht ja mehr als bloße

Rechenmethoden lernen sollen. Der richtige Umgang mit Lösungsvielfalt bietet großes

Potential, Kreativität und Kommunikation zu fördern. Wichtig hierbei ist, dass die

einzelnen Lösungsmöglichkeiten nicht nur nebeneinander stehen bleiben, sondern

thematisiert und diskutiert werden. Laut Daniela Götze und Michael Meyer (2010, S.5f)

werden dadurch verschiedene Kompetenzen angesprochen:

Kommunizieren

Um überhaupt zu erkennen, dass für eine Aufgabe unterschiedliche Lösungswege

möglich sind, müssen die SchülerInnen untereinander oder mit dem/der LehrerIn

kommunizieren. Im besten Fall geschieht dies unter den SchülerInnen. Diese müssen

zunächst herausfinden, inwiefern sich die Lösungswege unterscheiden und ob die

Gedankengänge richtig sind. Somit müssen sie miteinander über mathematische

Inhalte kommunizieren, die Unterschiede herausfinden und thematisieren. Für den/die

Lösungsvielfalt

13

LehrerIn bedeutet das, dass er/sie geeignete Unterrichtsmethoden verwenden muss,

um den SchülerInnen die Möglichkeit zu geben, sich gegenseitig auszutauschen.

Argumentieren

Ist erstmals klar, dass das Beispiel auf unterschiedliche Wege gelöst worden ist, muss

geklärt werden, ob die Lösungen richtig sind. Die SchülerInnen müssen dann nicht nur

argumentieren, wieso sie diesen Weg gewählt haben, sondern auch andere

Lösungswege nachvollziehen und kritisch betrachten. Gemeinsam können dann auch

eventuelle Fehler behoben werden.

Einlassen auf Erarbeitung anderer

Um über die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten zu diskutieren, müssen sich die

SchülerInnen aufeinander einlassen. Das bedeutet sie müssen einander zuhören und

aufeinander eingehen. Dies fordert nicht nur mathematische, sondern auch soziale

Kompetenzen. Die SchülerInnen haben damit die Möglichkeit verschiedene

Erarbeitungen und Arbeitsweisen kennenzulernen. Dadurch können sie ein

Verständnis erwerben, das über das eigene hinausgeht.

Die Thematisierung verschiedener Lösungsmöglichkeiten im Mathematikunterricht hat

somit großes Potential, wird aber aus Zeitgründen nicht immer eingesetzt werden

können. Für manche Themen aber ist sie unverzichtbar. So werden bei der Einführung

von Rechengesetzen oft verschiedene Lösungsvarianten vorgestellt. Ein Beispiel wäre

das Assoziativgesetz, das durch Blöcke oder Klötze dargestellt werden kann. Bei

solchen Veranschaulichungen ist die Mehrdeutigkeit nicht nur erwünscht, sondern

Voraussetzung.

Jedoch ist es auch wichtig, dass man die Gefahren von Lösungsvielfalt betrachten. Es

sollte nicht zum Mittelpunkt jedes Mathematikunterrichts werden verschiedene

Lösungsmöglichkeiten zu suchen. Es liegt an dem/der LehrerIn, eine gute Balance

zwischen dem Behandeln von Mehrdeutigkeit und dem "Rezept" zu finden.

Natürlich sind auch nicht alle Lösungsmöglichkeiten gleich gut geeignet. Es sollte nicht

dazu kommen, dass sich die SchülerInnen "verpflichtet" fühlen, immer einen anderen

Lösungsweg zu finden als ihre MitschülerInnen. Das Behandeln von unterschiedlichen

Lösungsvarianten ist natürlich auch eine Zeitfrage, denn nicht immer ist im Unterricht

genug Platz, alle Möglichkeiten zu betrachten und zu diskutieren.

Lösungsvielfalt

14

Umgangsmöglichkeiten mit Vielfalt

Laut Daniela Götze und Michael Meyer (2010, S.6ff) muss man folgende vier Punkte

betrachten um die Vorteile von vielfältigen Erarbeitungen nutzen zu können:

Vielfalt vorsehen

Vielfalt aushalten

Vielfalt ausdiskutieren/nutzen

Vielfalt normieren

Vielfalt vorsehen

Die Aufgabe des Lehrers / der Lehrerin besteht darin, die Aufgaben für die

SchülerInnen so auszuwählen, dass auch mehrere Lösungsmöglichkeiten zugelassen

werden. Es gibt hier natürlich Themenbereiche die besser geeignet sind als andere.

Vielfalt aushalten

Wichtig ist es, dass die Lehrkraft alle möglichen Lösungswege zulässt und die

SchülerInnen bei ihrer individuellen Aufgabenbearbeitung nicht bremst. Sie sollen die

Erfahrung machen, dass es in Ordnung ist Fehler zu machen und die Aufgabe des

Lehrers / der Lehrerin ist es Irr- und Umwege zuzulassen.

Lösungswege ausdiskutieren/nutzen

Wenn nun die SchülerInnen ihre Lösungswege gefunden haben, ist es entscheidend,

wie die Lehrperson mit der Fülle an verschiedenen Lösungen umgeht. Die

Lösungsvielzahl bietet jede Menge an Chancen zu argumentieren und zu diskutieren,

jedoch auch andere Denkweisen kennen zu lernen. Hierfür ist es sehr wichtig den

Unterricht entsprechend zu planen und sich genug Zeit zu nehmen das Errechnete zu

besprechen. Für solche Unterrichtsstunden sollte man auch die entsprechende

Methode wählen. Hier gibt es einige Vorschläge:

Gemeinschaftliche Reflexionsphasen

Diese Methode ist die gängigste Möglichkeit, unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten

zu reflektieren. Ein/e SchülerIn stellt seine/ihre Lösung der Klasse vor und diese wird

anschließend besprochen und diskutiert. Dies kann sowohl mündlich als auch

schriftlich an der Tafel passieren. Meist ist es besser hierfür die Sitzordnung

aufzuheben und sich mit den SchülerInnen in einen Sessel(halb)kreis zu setzen, damit

nicht die gesamte Kommunikation über die Lehrkraft passiert. Die MitschülerInnen

haben die Aufgabe die Lösung nachzuvollziehen, auf Korrektheit zu überprüfen und mit

Lösungsvielfalt

15

eigenen Worten wiederzugeben. Sie haben dadurch auch die Möglichkeit einen

kürzeren oder auch geschickteren Lösungsweg kennenzulernen.

"Erfinderrunde"

Bei dieser Methode werden Kleingruppen zu je 6 oder 7 SchülerInnen gebildet, die

dann auf einem großen Plakat ihre Überlegungen zu dem Beispiel oder Thema

notieren. Anschließend werden die Plakate in der Klasse aufgehängt und alle

Lösungsmöglichkeiten oder Erarbeitungen besprochen. Es sollen sich möglichst viele

SchülerInnen zu den Ergebnissen äußern und versuchen den Gedankengang des

"Erfinders" nachzuvollziehen. Dieser hat dann zum Schluss die Gelegenheit eventuelle

Fragen zu beantworten oder seine Erarbeitung zu erklären. Diese Methode hat den

Vorteil, dass die SchülerInnen meist mit sehr großer Sorgfalt das Plakat erstellen, da

sonst zum Schluss viele lästige Fragen entstehen können. Des Weiteren hat jede/r

SchülerIn die Möglichkeit, sich in die schriftliche Erarbeitung der anderen

hineinzuversetzen und diese nachzuvollziehen.

"Mathekonferenzen"

Bei der Methode der "Mathekonferenzen" tauschen sich die SchülerInnen zunächst mit

anderen SchülerInnen in Kleingruppen aus, bevor sie vor der ganzen Klasse ihre

Lösungsvariante vorstellen. Ein Beispiel hierfür ist das ICH-DU-WIR-Prinzip. Zunächst

bearbeitet jeder für sich eine Aufgabe (ICH). Danach diskutiert man die jeweiligen

Ergebnisse in Kleingruppen oder auch nur mit einem Partner (DU). Anschließend

werden die Ergebnisse mit der ganzen Klasse besprochen (WIR). Der Vorteil dieser

Methode ist, dass unsichere oder schüchterne Schüler damit besser zurecht kommen

und mehr Chancen haben, auch in der Großgruppe zu Wort zu kommen

Lösungsvielfalt normieren

Am Ende einer Aufgabe kommt es natürlich darauf an, dass die Lösung richtig und der

Lösungsweg möglichst ökonomisch ist. Die Vielfalt der Möglichkeiten muss von

dem/der LehrerIn in einer gewissen Art und Weise normiert werden, da es sonst für die

SchülerInnen schwer ist, das Wesentliche aus den verschiedenen

Lösungsmöglichkeiten herauszugreifen. Jedoch sollte eben am Ende der Stunde nicht

nur der "beste" Lösungsweg vorgetragen werden, sondern es geht auch darum,

gewisse Normen zu etablieren, die für ein weiteres Arbeiten in der Mathematik nützlich

sind.

Lösungsvielfalt

16

4.2 Elementare Lösungsvarianten von Extremwertaufgaben

Die meisten SchülerInnen kennen nur einen Weg, um Extremwertprobleme zu lösen

und dieser ist mit Hilfe der ersten Ableitung. Viele dieser Aufgaben können jedoch auch

mit elementaren Lösungsvarianten gelöst werden, die auch schon vor der Einführung

der Differentialrechnung einsetzbar sind. Es ist daher wichtig elementare

Lösungsmethoden im Unterricht von Anfang an miteinzubeziehen (vgl. Dankwerts,

2006, S.179).

Im Folgenden werden nun für den Unterricht geeignete elementare Methoden

wiederum anhand des isoperimetrischen Problems für Rechtecke (siehe auch Kapitel

3.2) gezeigt und anhand der kürzesten Verbindung zwischen Punkt und Geraden.

4.2.1 Quadratische Ergänzung und Quadratungleichung

Die bekannteste elementare Lösungsvariante verwendet die algebraische Methode der

quadratischen Ergänzung. Jedes quadratische Polynom mit lässt

sich mit quadratischer Ergänzung in folgende Form bringen: Da der

quadratische Ausdruck sicher positiv ist, und bei gleich 0 ist, wird bei dieser

Methode die Existenz und die Eindeutigkeit des Extremums auf rein algebraischem

Weg gesichert (vgl. Vogel, 2010, S.10).

Beim Beispiel des isoperimetrischen Rechtecks bleibt der Umfang U immer fest. Wenn

man nun eine Seitenlänge mit x bezeichnet, entspricht die andere

. Hiermit

kommt man zu einer von x abhängigen Funktion:

Nun will man, dass der Umfang maximal wird, was der Fall ist wenn der letzte

Ausdruck

so klein wie möglich ist. Setzt man diesen Ausdruck gleich Null

erhält man

. Demnach ist die andere Rechteckseite genauso groß und somit ist

das gesuchte Rechteck ein Quadrat. Wichtig bei diesem Beispiel ist wiederum zu

erkennen, dass

fest bleibt und

variiert (vgl. Danckwerts, 2006, S.178).

Ebenso kann man dieses Beispiel mit der Quadratungleichung lösen. Diese besagt:

"Für hat die Funktion die

Maximum(Minimum)stelle

und das Maximum (Minimum)

" (Schupp, 1992,

S.65).

Lösungsvielfalt

17

In unserem Fall ist und

, somit ist die Maximumstelle bei

.

4.2.2 Mittelungleichung

Eine weitere Variante, dieses Beispiel ohne Verwendung der Differentialrechnung zu

lösen, ist mit Hilfe der Mittelungleichung:

Für beliebige Zahlen gilt die Ungleichung

Wenn nun x und y die Rechteckseiten sind, dann ist

ein Viertel des Umfanges, der

fest ist, und xy der Flächeninhalt. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann wenn x = y

ist. Somit ist der Flächeninhalt genau dann maximal wenn es ein Quadrat ist (vgl.

Dankwerts, 2006, S.179).

Eine für den Unterricht möglicherweise besser geeignete und zur Mittelungleichung

äquivalente Methode ist die Version mit der konstanten Summe bzw. mit dem

konstanten Produkt. Viele Optimierungsprobleme können gelöst werden indem sie auf

eine der folgenden Standardformen gebracht werden:

Maximales Produkt bei konstanter Summe

Minimale Summe bei konstantem Produkt

In unserem Beispiel soll die Fläche maximal werden unter der Bedingung

. Also

soll ein Maximum sein. Da die Summe der zwei

Faktoren konstant ist, lässt sich das Problem mit

lösen (vgl.

Humenberger, 2010, S.45).

Im Folgenden gelten diese zwei Sätze, die äquivalent zur Mittelungleichung sind, mit

nichtnegativen Faktoren (x bzw. y entsprechen der Läge bzw. der Breite des

Rechtecks):

"Satz 1: Es sei (dem entspricht ein konstanter, halber Rechteckumfang)

Dann gilt:

[Max. Flächeninhalt QUADRAT]

Satz 2: Es sei (dem entspricht ein konstanter Rechteckflächeninhalt)

Dann gilt: [Min. (Halb-)Umfang QUADRAT]"

(Humenberger, 2010, S.45).

Lösungsvielfalt

18

4.2.3 Symmetrisieren

Einige Extremwertaufgaben kann man durch Symmetrisieren lösen.

"Mit einem Zaun gegebener Länge soll von einem am Wasser gelegenen Grundstück

ein möglichst großes rechteckiges Areal abgegrenzt werden" (Dankwerts, 2006,

S.181).

Dieses Problem lässt sich ohne Differentialrechnung lösen, indem man das Grundstück

an der Uferlinie spiegelt. Somit wird das Grundstück, also auch der Umfang und der

Flächeninhalt, verdoppelt. Die Aufgabe lässt sich nun auf das "Isoperimetrische

Problem für Rechtecke" zurückführen und somit mit einer der zwei oben

beschriebenen Möglichkeiten lösen.

Beim Symmetrisieren geht es darum, ein neues Problem auf ein bereits gelöstes

Problem zurückzuführen. Die Lösung liegt dabei sehr nah am Problem und ist

deswegen einfach nachzuvollziehen. "Mehr noch, das Wesen einer

Extremwertaufgabe wird ins Bewußtsein gerückt: Eine Lösung ist mit dem Nachweis

verbunden, dass sie in der zu optimierenden Größe alle Konkurrenten übertrifft"

(Dankwerts, 2006, S.185).

4.2.4 Flächenvergleich

Hier wird eine Fläche mit der anderen verglichen. Wenn ein direkter Vergleich nicht

möglich ist, kann man eine Hilfsfläche verwenden (vgl. Vogel, 2010, S.8).

Um bei unserem Beispiel zu zeigen, dass unter allen umfangsgleichen Rechtecken das

Quadrat den maximalen Flächeninhalt hat, zeigen wir, dass jedes andere mit dem

Quadrat umfangsgleiche Rechteck einen kleineren Flächeninhalt hat.

Abbildung 6: Symmetrisieren

Lösungsvielfalt

19

Ein Quadrat Q(a) wird zu einem Rechteck geformt, dessen Umfang gleich groß ist. Es

wird an der einen Seite um x verkürzt und dafür die andere Seite um x verlängert.

Somit erhält man ein Rechteck RE(a-x, a+x). Nun ist zu zeigen, dass die Fläche des

Rechtecks kleiner ist, als die des Quadrats.

Beim Übergang von dem Quadrat zu dem Rechteck wird der Streifen mit dem

Flächeninhalt A weggenommen und dafür der Streifen B hinzugefügt. Beide Streifen

haben die Breite x jedoch der Streifen A hat die größere Länge a im Gegensatz zu dem

Streifen B, der nur die Länge a-x hat. Also wird mehr vom Flächeninhalt

weggenommen als hinzugefügt, da A > B. Der Flächeninhalt wurde somit verkleinert

und zwar genau um (vgl. Humenberger, 2010, S.44).

4.2.5 Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung wird oft verwendet um Extremwertaufgaben zu lösen. Diese

besagt:

In einem Dreieck ist die Summe der Länge zweier Seiten immer größer oder gleich der

Länge der dritten Seite:

Ein bekanntes Beispiel für die Anwendung der Dreiecksungleichung bei

Optimierungsaufgaben ist der kürzeste Abstand zwischen Punkt und Gerade: Gesucht

ist der Punkt auf der Geraden g der vom Punkt P außerhalb der Geraden den

kürzesten Abstand hat.

Abbildung 7: Flächenvergleich

Lösungsvielfalt

20

Wenn man den Punkt P an der Geraden g spiegelt, dann gilt:

und

Nun kommt die Dreiecksungleichung zum Einsatz, nach dieser gilt: .

Setzt man nun die oben erwähnten zwei Bedingungen in die Dreiecksungleichung ein

bekommt man: und somit

Somit haben wir mit Hilfe der Dreiecksungleichung gezeigt, dass das Lot der kürzeste

Abstand zwischen Punkt und Gerade ist.

Es wird oft versucht die Dreiecksungleichung bei Extremwertaufgaben anzuwenden, ist

dies nicht möglich wird oftmals ein Hilfsdreieck konstruiert (vgl. Schupp,1992, S.62f).

4.2.6 Niveaulinien

Die SchülerInnen kennen Niveaulinien schon aus anderen Bereichen, wie zum Beispiel

die Höhenlinien in der Geografie.

Wenn wir auf das vorherige Beispiel zurückgreifen, bei dem nach dem kürzesten

Abstand zwischen Punkt und Gerade gefragt wurde, suchen wir nun den

geometrischen Ort aller Punkte mit gleichem Abstand von P. Dies sind Kreise um den

Mittelpunkt P, wobei der Kreis, der die Gerade g in einem Punkt berührt, zur Lösung

führt. Der Berührradius dieses Kreises ist der kürzeste Abstand.

Abbildung 8: Dreiecksungleichung

Lösungsvielfalt

21

Mit Hilfe der Niveaulinien kann man auch das isoperimetrische Problem für Rechtecke

lösen. Jedes zur Auswahl stehende Rechteck wird durch den Punkt (x, y) repräsentiert,

wobei x und y die Seitenlängen des Rechtecks sind. Wenn U der feste Umfang ist,

dann gilt:

Abbildung 9: Niveaulinien

Lösungsvielfalt

22

Die Niveaulinie umfangsgleicher Rechtecke ist eine Strecke, die von dem Punkt

bis zum Punkt

reicht. Auch die flächengleichen Rechtecke werden durch Punkte

(x, y) repräsentiert. Für diese gilt

. Diese sind zu der Geraden

x=y symmetrische Hyperbeln. Diese Hyperbeln sind nun die Niveaulinien der

flächengleichen Rechtecke. Jene Hyperbel die die Gerade in einem Punkt berührt,

repräsentiert die Rechtecke mit dem größten Flächeninhalt. Für diesen Punkt P gilt nun

(vgl. Vogel, 2010, S.10).

Abbildung 10: Niveaulinien für das isoperimetrische Problem

Lösungsvielfalt

23

4.3 Vor- und Nachteile des Lösens mittels Differentialrechnung

Es sollte den SchülerInnen klar gemacht werden, dass man nicht nur durch

Differentialrechnung Optimierungsaufgaben lösen kann. Humerberger (2010, S.50)

nennt hierfür folgende Gründe:

Da die Differentialrechnung erst in der 11. Schulstufe durchgenommen wird, kann die

"Methode " nicht als Leitlinie für Extremwertaufgaben gesehen werden. Viele

der Aufgaben passen besser in andere Bereiche der Mathematik als in die

Differentialrechnung. Auch das isoperimetrische Problem für Rechtecke (siehe Kapitel

3.2) ist in der Elementargeometrie besser aufgehoben. Man kann diese Methode

jedoch auch nicht als Abschluss der Optimierungsaufgaben sehen, da es eher eine

isolierte Einzelmethode ist.

Ein weiterer Grund dafür, die elementaren Methoden zur Lösung von

Optimierungsaufgaben schon in niedrigeren Schulstufen einzusetzen, ist, dass die

meisten SchülerInnen keine Probleme beim Ableiten der Funktion haben, sondern

beim Finden und Aufstellen der Zielfunktion und der Nebenbedingungen. Bei vielen

Extremwertbeispielen braucht man mathematische Sätze, die man schon in der

Unterstufe gelernt hat, an die sich aber viele SchülerInnen nicht mehr gut erinnern

können. Diese Probleme können verhindert oder zumindest reduziert werden, indem

man die Optimierungsaufgaben in jeder Schulstufe wiederkehren lässt.

Dadurch, dass die Optimierungsaufgaben erst so spät in der Schule eingesetzt

werden, nimmt man den SchülerInnen die Chance, sich schon viel früher mit diesem

Thema zu befassen. Gerade das Optimieren ist ständiger Begleiter in unserem Alltag

und auch in der Wirtschaft und daher eine Möglichkeit, den SchülerInnen

nahezubringen wie sich Mathematik in der "realen Welt" nutzen lässt.

Werden Extremwertaufgaben ausschließlich mit Differentialrechnung gelöst, erkennen

viele SchülerInnen nicht den mathematischen Hintergrund. Sie haben Schwierigkeiten

die errechnete Lösung zu begründen und lernen oft nicht das Ergebnis zu hinterfragen.

Günther Malle (2010, S.59) erkennt sehr wohl auch die Einwände von der Behandlung

der Extremwertaufgaben mit Differentialrechnung. Er sieht die Probleme darin, dass

die Aufgaben oft zu stark idealisiert werden und praxisfern sind. Oft reicht es für die

Praxis, wenn man nur ungefähre Werte der Extremstellen erhält, die sich mit Tabellen

leichter berechnen lassen. Jedoch nennt er auch einige Vorteile vom Lösen mit

Differentialrechnung:

Lösungsvielfalt

24

Es gibt viele Extremwertaufgaben, die sich leichter oder sogar nur mit

Differentialrechnung lösen lassen. Die SchülerInnen können die Macht, die diese Art

der Berechnung hat, erkennen und verstehen, wieso sie Ableitungsregeln und sonstige

Techniken erlernt haben. Es bietet sich für sie eine Möglichkeit, das Erlernte

anzuwenden. Meist ist der Weg zum Ergebnis interessanter als das Ergebnis selbst,

darum sollten sie die einzelnen Schritte dorthin erklären können. Oft ist auch ein

Funktionsplotter nicht hilfreich, zum Beispiel wenn es um allgemeine Funktionstypen

geht, die nicht auf dem Computer dargestellt werden können.

Extremwertaufgaben mit Realbezug

25

5 Extremwertaufgaben mit Realbezug

Es gibt nur wenige gute alltagsnahe Beispiele in der Mathematik und viele davon sind

Optimierungsaufgaben. In diesem Kapitel soll verständlich gemacht werden, wie man

reale Probleme im Mathematikunterricht behandeln kann. Als erstes möchte ich den

Begriff des Modellierens vorstellen und dann mit Hilfe des Modellbildungskreislaufs

erörtern, wie man ein reales Problem behandeln und lösen könnte. Danach werde ich

auf die Problemlösestrategien von Pólya genauer eingehen. Zum Unterschied beim

Modellieren, werden beim Problemlösen nicht nur Probleme aus der Realität

behandelt, sondern sie können auch rein innermathematischer Natur sein.

Anschließend möchte ich noch auf das fächerübergreifende Lernen eingehen. Gerade

wenn man fächerübergreifend in Mathematik und Physik oder Chemie arbeitet, kann

Modellieren sehr hilfreich oder sogar notwendig sein.

5.1 Modellieren

"Modellieren" ist ein Begriff der immer wichtiger wird. Im österreichischen Lehrplan für

die AHS Unterstufe spielt er ebenfalls eine große Rolle. Im Kernbereich des Lehrplans

heißt es: "Die Schülerinnen und Schüler sollen praxisorientierte Aufgaben unter dem

Aspekt der Modellbildung möglichst oft rechnerisch, geometrisch und graphisch

darstellen, lösen und kritisch betrachten können" (BMBF, 2002). Auch in den

Lehrplänen der AHS Oberstufe spielt der Begriff "Modell" eine wichtige Rolle.

Nun stellt sich die Frage, was der Begriff des Modellierens wirklich genau bedeutet und

welche Rolle er im Mathematikunterricht spielen soll. Grundsätzlich ist anzunehmen,

dass Modellierung etwas mit der Beziehung zwischen Mathematik und der realen Welt

zu tun hat. Vielen SchülerInnen und auch Erwachsenen fällt es schwer, Mathematik als

"brauchbar" zu sehen. Natürlich werden einige Bereiche, wie die Grundrechnungsarten

und Stochastik, als sinnvoll erachtet, aber wozu manch andere Gebiete der

Mathematik nützlich sein können, ist vielen nicht bewusst. Das Problem liegt hier darin,

dass viele nicht sehen, dass hinter sehr vielen technischen Geräten die Mathematik

steht. Sowohl in der Technik, als auch in der Wirtschaft spielt Mathematik eine immer

wichtigere Rolle (vgl. Leuders&Maaß, 2005,S.1).

Wie übersetzt man nun Strukturen und Prozesse der realen Welt in die Sprache der

Mathematik? Das Erkunden von Strukturen und Gesetzmäßigkeiten und das


26

Systematisieren von abstrakten Ideen nimmt einen festen Platz in der Mathematik ein.

Die Aufgabe des/der LehrerIn besteht darin, den SchülerInnen ein vollständiges Bild

der Mathematik zu übermitteln.

Durch mathematische Modelle hat man nun die Möglichkeit, reale Probleme

darzustellen und im besten Fall zu lösen. "Beim mathematischen Modellieren denkt

man also mit dem Mittel der Mathematik über die reale Welt nach" (Leuders&Maaß,

2005,S.2). Es wird versucht ein Modell für die Realsituation zu finden.

Notwendigerweise wird das immer eine abstrahierte, vereinfachte Darstellung der

Realität sein. Abbildung 11 soll veranschaulichen, dass man sozusagen zwischen der

Welt und der Mathematik eine Beziehung herstellt.

Modelle können beliebige Formen haben, das kann ein Term, eine Gleichung, ein Bild

oder ein Experiment sein. Welches Modell man schlussendlich nimmt, hängt von dem

zu lösenden Problem ab (vgl. Leuders&Maaß, 2005,S.3).

Im Gegensatz zu eingekleideten Aufgaben oder typischen Textaufgaben wird hier nicht

nur ein mathematisches Problem in Alltagssprache verfasst, sondern ist

realitätsbezogen und authentisch. Ein weiterer Unterschied ist, dass es beim

Modellieren meistens der Fall ist, dass nicht alle Angaben gegeben sind. Bei

Textaufgaben wird auch oft schon durch die Fragestellung der Lösungsweg

angedeutet, was bei Modellierungsaufgaben nur selten vorkommt. Der vielleicht

wichtigste Unterschied ist jedoch der, dass die Lösung bei einem mathematischen

Modell hinterfragt werden muss, was bei andern Beispielen meist nicht notwendig ist.

Man muss beurteilen, ob das gewählte Modell auch das richtige für die

Problemstellung ist, um eine zufriedenstellende Lösung zu erhalten (vgl. Zöttl&Reiss,

2010, S.20).

Abbildung 11: Modellbilden (Leuders&Maaß, 2005, S.2)


27

Obwohl inzwischen klar ist, dass Modellieren ein wichtiger Bereich im

Mathematikunterricht ist und auch sehr viele Aufgaben dafür entwickelt wurden, gibt es

noch wenig Anregungen dafür, wie man den SchülerInnen den Umgang mit solchen

Problemstellungen lehrt (vgl. Zöttl&Reiss, 2010, S.20).

5.1.1 Der Modellbildungskreislauf

Als Leitlinie, um von einer realen Problemsituation auf ein mathematisches Modell und

so zu einer Lösung des Problems zu kommen, die im Unterricht lösbar ist, hat sich der

"Modellbildungskreislauf" bewährt. Da es viele verschiedene Varianten dieses

Kreislaufs gibt, habe ich hier die Ausführungen von Förster (200, S.121ff) und von

Danckwerts (2006, 196ff) zusammengeführt.

Dieser Kreislauf besteht aus vier Schritten:

1. Die Problemstellung

Hier wird zunächst das reale Problem formuliert. "Hierbei geht es zum einen darum,

möglichst alle Voraussetzungen, Bedingungen und Einflussgrößen, die zu dem

jeweiligen Problem gehören, zu erfassen, und zum anderen, die Situation im Hinblick

auf das Problem zu strukturieren" (Förster, 2000, S121). Um ein Modell zu schaffen,

das lösbar ist, muss die reale Situation vereinfacht oder idealisiert werden. Natürlich

sind Beispiele in den Schulbüchern meist soweit vereinfacht, dass man sie mit

einfacher Schulmathematik lösen kann. Doch das zugrundeliegende Prinzip ist das

selbe und die SchülerInnen können trotzdem erkennen, dass die Extremwertaufgaben

einen praktischen Alltagsbezug haben können. Meist gibt es mehr als eine Möglichkeit,

das Problem zu vereinfachen.

2. Die Modellierung

In diesem Schritt wird das reale Modell in die mathematische Sprache "übersetzt".

Hierbei kann es auch vorkommen, dass ein und dasselbe Realmodell unterschiedlich

mathematisiert wird, indem zum Beispiel andere Vereinfachungen vorgenommen

werden.

3. Innermathematische Lösung

Nun wird das in Schritt 2 erarbeitete mathematische Problem gelöst. Dabei gibt es

prinzipiell zwei Ausgänge, entweder das Problem wird gelöst, oder es ist unlösbar. Ist

Zweiteres der Fall, könnte man zu Schritt 1 zurückkehren und versuchen, das Problem

noch weiter zu vereinfachen, um zumindest für Spezialfälle eine Lösung zu finden.


28

4. Konfrontation mit der Realität

Um das reale Problem wirklich lösen zu können, muss man die mathematische Lösung

interpretieren, das heißt überprüfen, welche Bedeutung die mathematische Lösung für

das reale Modell hat. Des Weiteren geht es auch um die Validierung des Modells. Es

kann sein, dass das mathematische Ergebnis zwar korrekt ist, das reale Problem aber

nicht löst. So kann es vorkommen, dass man zu viele oder die falschen

Vereinfachungen vorgenommen hat und somit die mathematische Lösung nicht der

Lösung des Realmodells entspricht. Ist dies der Fall, springt man zu Schritt 2 zurück

und versucht ein anderes mathematisches Modell zu finden. Es kann vorkommen,

dass dieser Modellkreislauf mehrmals durchlaufen werden muss um eine geeignete

Lösung des Realproblems zu finden.

Anhand von Abbildung 12 kann man erkennen, dass dieser Modellkreislauf zwei

Grenzlinien besitzt, einerseits die Grenze zwischen der Welt und der Mathematik und

andererseits die Grenze zwischen dem Problem und der Lösung. Da es

wünschenswert ist, mehr realitätsnahe Beispiele in den Mathematikunterricht

einzubauen, muss man den Strategien des Modellierens, des Interpretierens und des

Validierens mehr Bedeutung geben. Demgegenüber tritt das Deduzieren, das heißt der

Vorgang des mathematischen Berechnens, der früher ganz im Zentrum des Unterrichts

gestanden ist, durch die technischen Möglichkeiten von Taschenrechner und

Computer, mehr in den Hintergrund.

Abbildung 12: Modellkreislauf (Danckwerts&Malle, 2006, S.197)


29

5.1.2 Modellieren im Mathematikunterricht

Da es sehr wahrscheinlich ist, dass das Modellieren im Unterricht sowohl für die

SchülerInnen als auch für die LehrerInnen ungewohnt ist, bietet es sich an, mit

einfachen Beispielen zu beginnen. Typisch für solche Beispiele sind fehlende oder

überflüssige Angaben.

"Eine Rasenfläche von ca. 300 qm soll mit einem Rasenmäher (Schnittbreite ca. 35

cm) gemäht werden. Wie lange wird das dauern? Was muss dabei geschätzt werden?

Welche Annahmen sind zusätzlich zu treffen?" (Leuders&Maaß, 2005,S.5)

Mittlerweile befinden sich in den Schulbüchern sehr viele anwendungsbezogene

Aufgaben, jedoch leider nur wenige, bei denen die Modellierung nicht schon vorgeben

wird. Solche Beispiele können durch ein paar Änderungen, wie zum Beispiel durch

Verallgemeinern der Aufgabenstellung oder durch Entfernen einer Größe, geöffnet

werden.

Typische Aufgaben für die Modellierung sind "Fermiprobleme", das sind Aufgaben, bei

denen zunächst keine praktischen Daten verfügbar sind und nur eine quantitative

Abschätzung des Problems errechnet wird (Wikipedia, 2014c). Ein Beispiel hierfür ist:

"Wie viele Menschen sind in einem 6 km langen Stau?" (Schule Neuhausen, 2011).

Beispiele dieser Art gibt es schon sehr viele gibt und es wäre auch möglich sie von den

SchülerInnen selbst formulieren zu lassen.

Das Ziel, das man mit dem Integrieren der Modellierungsaufgaben in den Unterricht

erreichen möchte, ist nicht die kurzfristige Motivation, sondern vielmehr ein

angemessenes Bild der Mathematik und Modellierungskompetenzen zu vermitteln.

Dies fordert auch einige Flexibilität von der Lehrkraft. Dadurch, dass die Aufgaben so

offen gestellt werden, kann es sein, dass ein/e SchülerIn eine Lösung erarbeitet, an die

man nicht gedacht hat oder auch, dass sich die SchülerInnen in einem Teilgebiet

besser auskennen als man selbst. Doch davon sollte man sich nicht abschrecken

lassen, da man als LehrerIn auch nicht alles wissen muss (Leuders&Maaß, 2005,S.6f).


30

5.2 Problemlösen nach Pòlya

Pólya beschäftigt sich damit, wie man an ein Problem herangehen kann um es zu

lösen. Grundsätzlich zeichnet eine Problemaufgabe aus, dass man zunächst nicht

wirklich weiß, wie man genau vorgehen soll. Zum Beginn hat man wahrscheinlich

unvollständige Vorstellungen von der Aufgabe. Pòlya (2010, S.18ff) teilt den Prozess

zum Lösen eines Problems in vier Phasen. Zunächst muss man die Aufgabe verstehen

können, um dann einen Plan zu machen, den man durchführt und schlussendlich hält

man Rückschau um die fertige Lösung zu überprüfen und zu diskutieren.

Natürlich ist es möglich, dass man sofort eine Lösung parat hat. Das ist grundsätzlich

auch wünschenswert, jedoch fangen die Schwierigkeiten an, wenn die SchülerInnen

einen Schritt dieses Prozess auslassen und vielleicht noch nicht einmal die Aufgabe

verstanden haben. Viele Fehler der SchülerInnen könnten vermieden werden, wenn sie

jeden Schritt kontrollieren und die Lösung noch einmal hinterfragen. Pólyas Anleitung

ist sozusagen ein Fragenkatalog (die Fragen sind kursiv markiert), der dem/der

ProblemlöserIn mögliche Denkrichtungen aufzeigen soll. Natürlich garantiert das nicht,

dass man dadurch immer zu einer Lösung kommt, aber es hilft beim Finden des

Lösungsansatzes und Fehler zu vermeiden.

Verstehen der Aufgabe

Zunächst ist wichtig, dass der/die SchülerIn die Aufgabe versteht, denn es ist schwer

sie zu lösen, wenn sie nicht verstanden worden ist. Idealerweise sollte der/die

SchülerIn selbst das Bedürfnis haben, die Aufgabe lösen zu wollen. Das ist natürlich

auch abhängig von der Aufgabe, also ob sie spannend und fesselnd ist und von der Art

wie der/die LehrerIn das Problem präsentiert. Um zu überprüfen, ob der/die SchülerIn

alles verstanden hat kann man verlangen, dass er/sie die Aufgabenstellung in eigenen

Worten wieder gibt. Fragen wie: Was ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lautet die

Bedingung? sollte die Lehrkraft auf alle Fälle stellen.

Wenn es möglich ist, sollen die SchülerInnen eine Figur von der Aufgabe zeichnen und

für die Größen passende Bezeichnungen einführen. Eine letzte wichtige Frage in

dieser Phase ist, ob die Bedingung überhaupt erfüllt werden kann, oder ob man sich

eventuell mit einer provisorischen Antwort zufrieden geben muss.


31

Ausdenken eines Plans

Hat man sich erst einmal einem Plan zurechtgelegt, ist man der Lösung der Aufgabe

ein ganzes Stück näher. SchülerInnen können oft sehr lange brauchen, um eine Idee

zu haben. Die Lehrkraft hat die Aufgabe sie dabei so gut wie möglich zu unterstützen

und zwar nicht indem sie ihnen die Lösung demonstriert, sondern indem sie durch

geeignete Fragen versucht, sie auf die richtige Spur zu bringen. Manchmal hilft es

dem/der LehrerIn sich daran zurückzuerinnern, wie man selbst Aufgaben gelöst hat,

um den SchülerInnen helfen zu können.

Die Frage: Kennst Du eine verwandte Aufgabe? kann hierbei eine sehr große Hilfe

sein, doch dadurch, dass man schon so viele Aufgaben gemacht hat, ist es sinnvoll die

Fragestellung ein wenig einzugrenzen: Versuche dich auf eine dir bekannte Aufgabe

zu besinnen, die dieselbe oder eine ähnliche Unbekannte hat! Man kann also nur Teile

der Aufgabe betrachten und versuchen eine Parallele zu einer schon bekannten

Aufgabe zu finden. Falls man eine verwandte Aufgabe findet, ist natürlich die nächste

Frage ob man sie für diese Aufgabe brauchen kann.

Wenn man keine schon gelöste ähnliche Problemstellung findet, kann man versuchen

die Aufgabe umzuschreiben oder einzuschränken. Wenn es nicht möglich ist sie zu

lösen, kann man vielleicht eine ähnliche oder verwandte Aufgabe lösen.

Es könnte passieren, dass man nun bei einer völlig anderen Aufgabe gelandet ist und

weit vom Weg abgekommen ist. Deshalb ist es sinnvoll vor der nächsten Phase noch

einmal zu kontrollieren: Hast du alle Daten benutzt? Hast du die ganze Bedingung

benutzt?

Ausführen des Plans

Das Ausführen des Plans ist meist keine große Schwierigkeit. Das Wichtigste ist, dass

der/die SchülerIn jeden Schritt kontrolliert. Dabei hilft es, wenn die Lehrkraft folgende

Fragen stellt: Kannst du deutlich sehen, dass der Schritt richtig ist? Kannst du auch

beweisen oder begründen, dass dieser Schritt richtig ist?

Rückschau

Meist ist für die SchülerInnen die Aufgabe nach dem Finden der Lösung erledigt und

wird beiseitegelegt. Es gibt jedoch viele Probleme, wo es notwendig ist, die Lösung

noch einmal zu hinterfragen und zu überprüfen. Doch auch wenn das nicht der Fall ist,

hilft die Rückschau die Lösung noch besser zu verstehen oder gegebenenfalls zu

verbessern: Kannst du das Resultat kontrollieren?


32

Auch für zukünftige Berechnungen ist es wichtig zurückzuschauen und die Frage zu

stellen: Kannst du das Resultat oder die Methode der Lösung für irgendeine andere

Aufgabe gebrauchen? Denn wenn man sich diese Frage am Ende jeder Aufgabe stellt,

ist es sehr wahrscheinlich, dass es das nächste Mal leichter sein wird, sich einen Plan

auszudenken. Je mehr verschiedene Lösungen und Lösungsmöglichkeiten man

"gespeichert" hat, desto besser wird man zukünftige Probleme lösen können. Es ist

daher sehr sinnvoll, die SchülerInnen dazu anzuhalten, bei jeder Aufgabe Rückschau

zu halten.

Abbildung 13: Lösungsstrategie (Pólya, 2010, Einband)


33

5.3 Fächerübergreifendes Lernen

Immer wieder wird darüber gesprochen, wie notwendig und sinnvoll es wäre im

Unterricht fächerübergreifend zu arbeiten. Doch was heißt fächerübergreifender

Unterricht überhaupt? Beckmann gibt dafür folgende Definition:

"Fächerübergreifender/fächerverbindender Unterricht bedeutet die (unterrichtliche)

Beschäftigung mit einem (fachbezogenen oder außerfachlichen) Gebiet, indem die

fachlichen Grenzen überschritten werden und andere Fächer einbezogen werden. Die

Beschäftigung geschieht in Kooperation. Das Überschreiten der fachlichen Grenzen

bewirkt eine Berührung mit anderen Fächern. Das Interesse fächerübergreifenden/

fächerverbindenden Unterrichts liegt in der Bereicherung der Fächer" (Beckham,

2003a, S.23 zit. nach Beckham&Fröhlich, 2006, S.2).

Die einfachste Form des fächerübergreifenden Unterrichts besteht darin, andere

Fächer miteinzubeziehen. Viele MathematiklehrerInnen haben als Zweitfach ein

naturwissenschaftliches Fach wie etwa Physik. Für diese ist es leichter, physikalische

Sachverhalte im Mathematikunterricht einzubauen und umgekehrt. Doch natürlich ist

auch ein Austausch mit anderen KollegInnen möglich und wünschenswert (vgl.

Beckham&Fröhlich, 2006, S.2).

Matthias Ludwig (2010, S.164) nennt folgende Gründe, wieso fächerübergreifendes

Lernen im Unterricht einen Platz eingeräumt bekommen sollte:

Im alltäglichen Leben wird ständig von einem verlangt verschiedene Probleme

zu lösen und Wissen anzuwenden. Hier ist meist die Fachzugehörigkeit dieses

Wissens nicht von Bedeutung.

Durch das Anwenden von Wissen in verschiedenen Bereichen bekommt man

ein tieferes Verständnis und findet weitere Anknüpfungspunkte für sein Wissen

und seine Fähigkeiten.

In der Schule sind alle Fächer getrennt voneinander, nicht nur zeitlich durch die

Unterrichtsstunde, sondern auch durch den/der LehrerIn und der/die SchülerIn

lernt die Welt nur von einem Standpunkt (Fach) kennen. Durch

fächerübergreifenden Unterricht kann man das Weltbild der SchülerInnen

enorm erweitern.

Die Wahrscheinlichkeit ist sehr hoch, dass man im späteren Berufsleben mit

Spezialisten aus anderen Bereichen zusammenarbeiten wird. Es ist sehr von

Vorteil, wenn man dann sein Wissen auch auf andere Bereiche projizieren

kann.


34

Das Wissen, das man sich durch fächerübergreifendes Lernen aneignet, stärkt

die Allgemeinbildung und man lernt die Welt auf vielfältige Weise kennen. Auch

andere Fähigkeiten wie Argumentieren, Analysieren und Organisieren werden

gestärkt.

Man kann fächerübergreifendes Lernen von verschiedensten Standpunkten aus

betrachten. Matthias Ludwig (2010, S. 165) führt folgende zwei aus:

Vom ersten Standpunkt, dem "diktatorischen" Standpunkt, aus betrachtet, ist die

Mathematik der Kern der Unterrichtsstunde. Das heißt die Mathematik ist der

Mittelpunkt der Stunde jedoch werden Anwendungen für andere Fächer behandelt.

Vom zweiten Standpunkt, dem "demokratischen" Standpunkt, aus betrachtet, hat die

Mathematik genauso viel Platz in der/den Unterrichtsstunde/n wie das andere Fach /

andere Fächer. Alle Fächer spielen eine gleich große Rolle.

Der diktatorische Standpunkt ist nicht nur bei der Mathematik sondern bei allen

anderen Fächern häufiger anzutreffen. Dies kommt daher, dass die Organisation

leichter ist. Der/die MathematiklehrerIn kann zwar einen Kollegen / eine Kollegin um

Hilfestellung bitten, jedoch steht er/sie alleine vor der Klasse. Anderenfalls muss man

zusammen mit dem Kollegen / der Kollegin den Unterricht planen, was schwieriger und

auch zeitaufwendiger ist. Der Nachteil ist, dass man so nur wenige Anregungen von

den fachfremden KollegInnen bekommt.

Ein fächerübergreifender Unterricht kann in verschiedenstem Ausmaß stattfinden. Es

ist möglich nur ein Beispiel mit fächerübergreifendem Inhalt durchzunehmen oder aber

auch ganze Projekte, zum Beispiel mit mehreren KollegInnen, zu organisieren. Hier

wird der Unterricht zumindest zeitweise gemeinsam stattfinden, wobei auch fachlich

getrennte Phasen notwendig sein können. Es ist wichtig über den Tellerrand

hinauszublicken und sich nicht nur auf seinen eigenen Fachbereich zu konzentrieren

(vgl. Ludwig, 2010, S.165 & Beckham&Fröhich, 2006, S.2).

Der oben beschriebene Modellbildungskreislauf (siehe Kapitel 5.1.1) eignet sich sehr

gut um fächerübergreifend zu arbeiten, da dieser in allen Naturwissenschaften eine

Rolle spielt. Es hat sich gezeigt, dass gerade das fächervernetzte Denken für

SchülerInnen schwierig ist. Doch durch den Modellbildungskreislauf ist dies leichter zu

realisieren, da dieser eine einheitliche, fächerverbindende Vorgehensweise ist (vgl.

Höfer, 2013, S.12).

Natürlich hat man beim fächerübergreifenden Arbeiten auch mit Schwierigkeiten zu

kämpfen. Zunächst ist man von den anderen Lehrkräften abhängig, die auch ihren


35

Beitrag leisten müssen, um den Unterricht erfolgreich gestalten zu können. Oft

scheuen sich LehrerInnen davor Lehrinhalte in ihrer Unterrichtsstunde zu unterrichten

oder auch nur zu erwähnen, in denen sie kein Experte sind. Schwierigkeiten können

auch beim Finden eines geeigneten Themas entstehen, da die diskutierten Inhalte in

beiden Fächern dem Lehrplan entsprechen müssen. Hier kann man jedoch auch auf

alte Lehrinhalte zurückgreifen und die Chance nutzen um diese zu wiederholen.

Computer im Mathematikunterricht

36

6 Computer im Mathematikunterricht

Der Computer ist aus dem Mathematikunterricht nicht mehr wegzudenken.

"Neue Technologien und neue Medien (gemeint ist meist: Computer) bieten für dem

Mathematikunterricht - mehr noch als für die meisten anderen Schulfächer - die

Chance zu einer grundlegenden inhaltlichen und methodischen Reform. Sie

ermöglichen eine Entlastung von Routinearbeiten und bahnen daher exploratives und

kreatives Arbeiten, ebenso wie die Behandlung realistischer Anwendungssituationen

und das Vernetzen von Inhalten" (Leuders, 2010, S.199).

Zunächst möchte ich auf die Chancen und Risiken eingehen, die entstehen können,

wenn man in der Schule mit dem Computer arbeitet. Anschließend möchte ich drei

"Werkzeuge" vorstellen, mit denen man im Mathematikunterricht sehr gut arbeiten

kann. Speziell das Programm GeoGebra wird hier näher betrachtet. Im letzten

Unterkapitel werde ich auf den Technologieeinsatz bei Extremwertaufgaben näher

eingehen, wobei die Anwendung der "Werkzeuge" im praktischen Teil (siehe Kapitel 7)

näher thematisiert wird.

6.1 Chancen und Risiken des Computereinsatzes

Timo Leuders (2010, S.198ff) nennt viele Chancen und Risiken des

Computereinsatzes im Mathematikunterricht, einige davon will ich hier erwähnen:

Einer der größten Vorteile, den der Computer bieten kann, ist die einfache Gestaltung

und Visualisierung. Eine Präsentation ist leicht erstellt und auch das Visualisieren von

Daten ist keine große Herausforderung mehr. Doch sind hierbei auch einige Risiken zu

bedenken. Gerade SchülerInnen wollen oft eine sehr schöne Darstellung oder

Visualisierung gestalten. Hier besteht die Gefahr, dass sie den Inhalt aus dem Auge

verlieren und mehr Zeit in die äußere Form investieren als in den Lehrstoff.

Durch das Einsetzen des Computers wird eine Balance zwischen altem und neuem

Strategiewissen gefordert. Viele Routinearbeiten können nun vom Computer gemacht

werden, doch die Aufgabe der SchülerInnen besteht dann darin, das erhaltene

Ergebnis nicht einfach so hinzunehmen, sondern zu überprüfen ob es richtig sein kann.

Somit müssen sie neue Kontroll- und Validierungsstrategien entwickeln.


37

Dadurch, dass der Computer nahezu "allwissend" scheint, neigt man dazu, Dinge nicht

mehr zu hinterfragen. Timo Leuders (2010, S.210) nennt hier folgendes Beispiel:

Wenn man den Scheitelpunkt auf dem Kreis bewegt, beträgt der Winkel immer 90°. Die

SchülerInnen fragen sich, wieso man den Satz von Thales nun noch beweisen müsste,

wenn es doch offensichtlich sei. Es hängt von der didaktischen Gestaltung des

Mathematikunterrichts ab, dieses Problem in den Griff zu bekommen.

6.2 Computeralgebrasystem (CAS)

Ein Computeralgebrasystem (CAS) ist ein Computersystem, mit dem man nicht nur

Aufgaben mit Zahlen lösen kann, wie bei einem Taschenrechner, sondern auch

Aufgaben mit symbolischen Ausdrücken, wie Variablen, Funktionen, Polynomen und

Matrizen (vgl. Wikipedia, 2014a).

Es wird sozusagen der Taschenrechner auf das Rechnen mit Variablen erweitert. Am

Anfang wurden CAS als Bedrohung für den Mathematikunterricht empfunden, da sehr

viele Aufgaben, die in der Schule durchgeführt werden, nun viel schneller mit CAS

erledigt werden können. Dadurch musste man die grundlegende Konzeption des

Mathematikunterrichts neu überdenken (vgl. Elschenbroich, 2010, S.213).

Zwei wichtige Begriffe, die in Verbindung mit CAS auftreten, sind "Whitebox" und

"Blackbox". Die Whitebox-Phase ist die Phase des "verstehenden Lernens", während

die Blackbox-Phase die des "erkennenden und begründenden Anwendens" ist. Diese

zweite Phase wird dann mit dem CAS durchgeführt (vgl. Heugl zit. nach Elschenbroich,

2010, S.214).

Abbildung 14: Veranschaulichung Satz von Thales (Leuders,2010, S.210)


38

CAS sind vor allem in der Wirtschaft nicht mehr wegzudenken, da man sich dadurch

jede Menge Zeit ersparen kann. Gerade bei komplizierten Rechnungen, wie

Ableitungen oder Integrationen, kann ein CAS sehr hilfreich sein.

Auch in der Schule, kann man sich viel Zeit ersparen, wenn man ab und zu ein CAS

(siehe zum Beispiel Kapitel 7.4) verwendet. Somit hat man mehr Zeit sich anderen

Bereichen zu widmen. Ein weiterer Vorteil ist, dass die SchülerInnen auf das Leben

nach der Schule vorbereitet werden, da sowohl im Studium also auch bei sehr vielen

Arbeitsstellen mit CAS gearbeitet wird.

In der Schule ist es oft schwer umsetzbar, regelmäßig mit CAS zu arbeiten, da es

meist sehr wenige Computerräume gibt und diese auch nicht immer für den

Mathematikunterricht zur Verfügung stehen. Ein Nachteil des CAS ist, dass es dazu

verleitet, sich nur noch auf den Computer zu verlassen und die Lösung nicht mehr zu

hinterfragen. So kann es passieren, dass man sich vertippt oder falsche Einstellungen

eingibt und somit ein falsches und unlogisches Ergebnis erhält. Wichtig wäre es, dem

Computer nicht mehr zu vertrauen als seinem eigenen logischen Denkvermögen.

Laut Stepancik (2008, S.115) bringt die Verwendung von CAS immer noch einige

Hürden und Schwierigkeiten mit sich:

"Der Umgang mit dem CAS muss eigens erlernt werden und ist

nebenher nicht möglich.

Die Verwendung eines CAS muss über den Einsatz des Numerisch-

Graphischen-Modus hinausgehen.

Die dem CAS immanenten Fehler bzw. unklaren Fehlermeldungen

sollten einerseits von den Herstellern reduziert werden, andererseits

den Lehrenden bekannt sein, damit er oder sie gegebenenfalls

entsprechend darauf reagieren kann"

6.3 Tabellenkalkulations-Software (TKS)

Tabellenkalkulations-Software verwendet man zur Verarbeitung von numerischen und

alphanumerischen Daten in Tabellenform. Meist besteht auch die Möglichkeit, diese

Daten grafisch darzustellen (vgl. Wikipedia, 2014f).

Eine TKS dient dazu, Berechnungen in Tabellen, die in Zeilen und Spalten eingeteilt

sind, durchzuführen. Man kann hierfür geeigneten Formeln, die nicht immer neu

eingegeben werden müssen, sondern kopiert werden können, verwenden. Man kann


39

dabei auch auf Werte aus anderen Zellen verweisen. Es gibt zwei Ebenen, sichtbar

sind zunächst nur die numerischen Ergebnisse, doch dahinter liegt die verwendete

Formel. Die bekannteste Tabellenkalkulations-Software ist Excel von Microsoft Office

(vgl. Elschenbroich, 2010, S.219 und Wikipedia, 2014f).

Diese Software wird sehr gerne in Verbindung mit Statistik und Wahrscheinlichkeit

genutzt. Im Vergleich zum CAS ist die TKS meist leichter zu bedienen und auch besser

verfügbar.

Man kann in der Tabellenkalkulation zwischen symbolischer (Formeln), numerischer

(berechneter Zahlenwert) und grafischer (Diagramme) Darstellungsweise

unterscheiden, die miteinander verbunden werden (vgl. Elschenbroich, 2010, S.219).

TKS scheint für die MathematikerInnen ein weniger nützliches Werkzeug als CAS und

DGS zu sein und wird fast nur in Zusammenhang mit Stochastik genannt. Große

Datenmengen lassen sich jedoch sehr gut bearbeiten und gerade in Berufsbildenden

Schulen wie HAK ist die TKS ein sehr beliebtes Programm (Stepancik, 2008,S122).

6.4 Dynamische Geometrie-Software (DGS)

Unter dynamischer Geometrie-Software versteht man ein Programm, mit dem man

interaktive geometrische Konstruktionen am Computer erzeugen kann.

Charakteristisch dafür ist der sogenannte "Zugmodus", wobei man mit der Maus am

Bildschirm Punkte verschieben kann und sich alle davon abhängigen Objekte, die auch

eine Spur hinterlassen können, mitbewegen (siehe Kapitel 7). Durch den Zugmodus ist

es möglich, auf dem Bildschirm zwischen "Zeichnung" und "Figur" zu unterscheiden.

Durch eine bestimmte Abfolge von Konstruktionsschritten wird die Figur definiert.

Ändert man durch den Zugmodus einen Punkt, so bleibt die Figur erhalten, jedoch die

Zeichnung, die durch konkrete Werte für die Basisobjekte entsteht, ändert sich. So ist

es auch leicht festzustellen, ob man eine Figur richtig konstruiert hat. Mit Hilfe des

Zugmodus, kann man mit einem abhängigen Punkt, der sich entlang eines Objektes

bewegt, eine Spur zeichnen lassen, die man Ortslinie nennt (vgl. Elschenbroich, 2010,

S.223f und Wikipedia, 2014b).

Im Gegensatz zu Filmen, die oft im Unterricht gezeigt werden oder auch festgelegten

Animationen im Internet, erfordert DGS hohe SchülerInnenaktivität. Die SchülerInnen

können Übungen in ihrem eigenen Tempo durchführen und brauchen auch keine Angst

haben, Fehler zu machen. Nicht nur durch die bildhafte Darstellung wird es einfacher

für SchülerInnen, sich das Gelernte zu merken, sondern auch durch die Bewegung von


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Objekten. Nun hat man die Möglichkeit funktionale Abhängigkeiten im Zugmodus zu

untersuchen. Zunächst befürchtete man, dass die SchülerInnen durch so viel visuelle

Überzeugungskraft das Interesse an Beweisen verlieren würden, doch mittlerweile

weiß man, dass dies eher die Frage nach den zugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten

stimuliert. Sehr beliebt sind auch die elektronischen und teilweise dynamischen

Arbeitsblätter, die mit Hilfe von DGS gestaltet werden können (vgl. Elschenbroich,

2010, S.224ff).

GeoGebra

Ein Beispiel für eine DGS ist die freie Software GeoGebra, bei der man Objekte nicht

nur geometrisch sondern auch algebraisch darstellen kann. Es gibt also ein

Geometriefenster, indem die Zeichnung oder der Graph abgebildet ist und ein

Algebrafenster. Die Objekte können nicht nur durch Änderung der Gleichung sondern

auch zeichnerisch verändert werden. Außerdem verfügt GeoGebra zusätzlich über ein

integriertes CAS und eine TKS. Somit ist diese Software nicht nur im Bereich der

Geometrie einsetzbar sondern in vielen andern Bereichen der Mathematik (vgl.

Wikipedia, 2014d).


41

6.5 Einsatz des Computers bei Extremwertaufgaben

Im Kapitel 3 habe ich mich damit befasst, welche Schwierigkeiten beim Verstehen von

funktionalen Zusammenhängen entstehen können. Vor allem der Kovariationsaspekt

von Funktionen kann mit Hilfe des Computers leichter verstanden werden. Zum

Beispiel lassen sich zeitabhängige Funktionen sehr gut grafisch darstellen (siehe

Abbildung 1 und Abbildung 2).

Für das Verstehen von Extremwertaufgaben ist es sehr hilfreich die geometrischen

Zusammenhänge dynamisch darzustellen. Als Beispiel kann man hier wieder das

isoperimetrische Problem für Rechtecke betrachten.

Diese Abbildung 15 wurde in GeoGebra erstellt. Es wurde unmittelbar von der

geometrischen Rechteckveranschaulichung zum Graphen des Seitenlängen-

Flächeninhalt-Zusammenhangs übergegangen. Wenn also die Strecke , durch

Verschiebung des Punktes B geändert wird, dann ändert sich auch die

Rechtecksgröße und somit die Flächeninhaltsfunktion. Man kann somit den Extremwert

grafisch bestimmen, ohne die Funktionsgleichung zu kennen. Mit dieser Methode kann

man sehr gut dynamische Arbeitsblätter (siehe Kapitel 7) für den Unterricht gestalten

(vgl. Weigand&Wetz, 2010, S.87).

Natürlich soll das nicht heißen, dass man Extremwertaufgaben nicht mehr rechnerisch

durchführen sollte, jedoch kann es für die SchülerInnen leichter sein, die

Zusammenhänge mit Hilfe der dynamischen Darstellung zu verstehen.

Mit GeoGebra ist es auch möglich, die Zielfunktion und die Nebenbedingung in 3D zu

zeichnen und somit zu veranschaulichen, wie die Schnittkurve der beiden Funktionen

Abbildung 15: Dynamische Darstellung des isoperimetrischen Problem für Rechtecke


42

aussieht. Die folgende Abbildung 16 veranschaulicht dies für das isoperimetrische

Problem für Rechtecke. Man erkennt, dass die Schnittkurve von der Zielfunktion (rot)

und der Nebenbedingung (blau) eine Parabel ist.

Bei Extremwertaufgaben hat man durch CAS die Möglichkeit, sich das manuelle

Ableiten zu ersparen. Teilweise kann das sehr nützlich sein, da es viele komplexe

Funktionen gibt, bei denen man sehr viel Zeit braucht, um sie abzuleiten. Jedoch

besteht die Gefahr, dass man nicht mehr nachdenkt, warum man gewisse

Berechnungen durchführt. Gerade beim Bestimmen der zweiten Ableitung ist es oft

notwendig ein CAS zu benutzen, da diese oft sehr schwierig zu berechnen ist. Auch

wenn man sich die komplexen Berechnungen ersparen kann, kommt man nicht darum

herum, die Zielfunktion und die Nebenbedingung aufzustellen. Hier ist ein CAS alleine

keine Hilfe, da es nur die nachfolgenden Berechnungen durchführen kann. Für

Extremwertaufgaben ist CAS eine gute Zeitersparnis, jedoch die SchülerInnen müssen

trotzdem die Angabe richtig in die mathematische Sprache umsetzen und gerade das

ist für viele SchülerInnen sehr schwierig.

Man kann Extremwertaufgaben auch mit Excel lösen, mit Hilfe des Solvers (siehe

Kapitel 7.2). Hier muss man zunächst die Zielfunktion und die Nebenbedingung(en)

selbstständig aufstellen, um den Solver nutzen zu können. Dann kann man den Solver

anwenden, indem man die Zielzeile, die veränderbare(n) Zeile(n) und die

Nebenbedingung(en) eingibt. Hier muss man sich entscheiden, welche Werte man als

fix annimmt und welche als variabel, da, wie der Name schon sagt, in den

veränderbaren Zeilen jene Werte stehen müssen, die variabel sind. Excel probiert so

Abbildung 16: Schnitt von Zielfunktion und Nebenbedingung


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lange Werte aus, bis ein Minimum oder ein Maximum erreicht wird. Man erspart sich

sozusagen das Ableiten der Funktion und sieht diese auch nicht. Den SchülerInnen

sollte jedoch klar gemacht werden, dass es unmöglich ist, Extremwertaufgaben

manuell so zu berechnen, wie es Excel macht, da man nicht jeden Wert ausprobieren

kann.

Praktischer Teil

44

7 Praktischer Teil

Im praktischen Teil meiner Diplomarbeit möchte ich zu den im Theorieteil behandelten

Themen Beispiele anführen. Hier werden nicht bei jedem Beispiel alle im Theorieteil

erwähnten Aspekte behandelt. Jedoch habe ich mich bemüht, zu jedem

Themenbereich eine passende Aufgabenstellung zu finden und somit die Themen des

Theorieteils zu veranschaulichen. Das bedeutet, dass es natürlich auch möglich ist,

den Schwerpunkt bei der Berechnung anderes zu setzen. Zum Verständnis der

Berechnungen werden die Grundlagen der Differentialrechnung (siehe Kapitel 2)

vorausgesetzt.

7.1 Die optimale Konservendose

Eines der bekanntesten Beispiele für Extremwertaufgaben ist die Getränke- oder

Konservendose. (Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet man unter:

http://tube.geogebra.org/student/m132405).

Welche ist unter allen zylindrischen Dosen gleichen Volumens die optimale Dose?

(Jäger, 1997, S.54)

Dieses Beispiel ist sehr gut geeignet, im Unterricht eine reale Situation zu untersuchen.

Zum Einstieg können die SchülerInnen selbst Konservendosen von zu Hause

mitbringen. Zunächst besteht die Aufgabe darin, das Volumen der Konservendose zu

bestimmen. Es gibt natürlich jede Menge verschiedener Dosen. Eine sehr weit

verbreitete Größe ist die Dose mit 400g Füllmenge, mit den Abmessungen

und . Da bei den meisten Dosen nur das Füllgewicht und nicht das

Volumen angegeben ist, muss man dieses zusätzlich bestimmen. Dies ist mit Hilfe von

Wasser oder anderen Flüssigkeiten möglich. Man kann somit einfach Wasser in die

leere Dose füllen und damit das Volumen bestimmen, das im Fall einer Linsendose mit

400g Füllgewicht beträgt.

Die Aufgabe besteht nun daraus, die optimalen Abmessungen einer Konservendose

mit dem Inhalt zu finden. Um dies durchzuführen, kann man den Modellkreislauf

(siehe Kapitel 5.1.1) zu Hilfe nehmen.

http://tube.geogebra.org/student/m132405

Praktischer Teil

45

1. Die Problemstellung

Diese handelsübliche Konservendose hat ein Volumen von . Nun stellt sich die

Frage wie die Abmessungen einer solchen Dose sein müssen, um möglichst wenig

Material zu brauchen. Also welche Höhe h und welchen Durchmesser d muss diese

Dose haben, damit der Materialverbrauch minimal ist?

2. Die Modellierung

Um ein mathematisches Modell zu erhalten, werden wir hier Vereinfachungen

vornehmen. Die Dose wird zur geometrischen Form eines Zylinders idealisiert, somit

werden sonstige eventuelle Fragen der Herstellung zunächst nicht berücksichtigt. Also:

Welche Höhe h und welchen Durchmesser d muss ein Zylinder mit dem Volumen

haben, damit die Oberfläche minimal ist?

3. Die innermathematische Lösung:

Wir wollen, dass die Oberfläche minimal wird, deswegen ist unsere Hauptbedingung:

In der Abbildung 17 stellen wir die Zielfunktion als eine Funktion, die von zwei

Variablen abhängt, da.

Abbildung 17: Darstellung der Zielfunktion O(r, h)

Praktischer Teil

46

Da das Volumen unseres Zylinders ist, lautet unsere

Nebenbedingung:

Durch Einsetzen der Höhe h aus der Nebenbedingung,

, erhält man eine

Funktion, die nun nur mehr von einer Variable r abhängt:

Nun muss der Definitionsbereich von r bestimmt werden. Da ein negativer Radius

keinen physikalischen Sinn ergeben würde, muss sein. Durch Ableiten der

Funktion O(r) nach r und anschließendes Nullsetzen erhalten wir die Extremstelle:

Zur Überprüfung ob diese Extremstelle ein Minimum oder ein Maximum ist, wird die

zweite Ableitung berechnet:

Wegen ist , das heißt das hinreichende Kriterium ist

erfüllt und unser ausgerechnetes r ist der minimale Radius.

Abbildung 18: Darstellung der Funktion O(r)

Praktischer Teil

47

Anhand der Abbildung 18 ist zu erkennen, dass die Funktion bei ein Minimum

besitzt. Nun muss man noch die zugehörige Höhe berechnen:

An den berechneten Ergebnissen von h und r erkennt man, dass die Höhe gleich groß

ist wie der Durchmesser des Zylinders. Die Oberfläche beträgt .

4. Konfrontation mit der Realität

Nun hat man für das mathematische Modell eine Lösung gefunden. Jetzt wird

überprüft, ob diese Lösung auch in der Realität ihre Berechtigung hat. Nun findet man

im Supermarkt fast keine Dose die genauso hoch wie breit ist. Auch auf die

ausgewählte Dose treffen diese Abmessungen nicht zu. Es stellt sich die Frage, wieso

die Maße der handelsüblichen Konservendose von unserer optimierten Dose

abweichen. Das bedeutet, man muss zum 2. Schritt der Modellierung zurückkehren

und Verfeinerungen durchführen.

2b. Verfeinerung der Modellierung

Wenn man die Konservendose genauer betrachtet, benötigt man auch Material um

Deckel, Mantel und Boden miteinander zu verbinden. Die Abbildung 19 zeigt den

sogenannten Falz, der bei der Dosenherstellung berücksichtigt werden muss. Hiermit

kommen in der Höhe 1 cm (jeweils 0,5 cm für Deckel und Boden), im Durchmesser 1,5

cm (pro Seite 0,75 cm), und in der Mantellänge 0,2 cm (vernachlässigbar) hinzu

(Angaben nach Dankwerts, 2006, S199).

Abbildung 19: Falz (Danckwerts&Vogel, 2006, S.200)

Praktischer Teil

48

Der neu berechnete Materialverbrauch und dadurch auch die neue Hauptbedingung

ist:

Da der zusätzliche Materialverbrauch nichts mit dem Volumen zu tun hat, bleibt die

Nebenbedingung gleich.

3b. Innermathematische Lösung

Durch Ableiten und Nullsetzen kommen wir auf die Lösung und .

Unsere Oberfläche beträgt:

4b. Konfrontation mit der Realität

Nun sieht man, dass die Abmessung einer handelsüblichen Konservendose (

, ) mit den Abmessungen unserer optimalen Dose fast

übereinstimmen.

Abbildung 20: Materialverbrauch mit Überständen (Danckwerts&Vogel, 2006, S.200)

Praktischer Teil

49

Es gibt jedoch auch Konservendosen im Supermarkt, deren Abmessungen wirklich der

zuerst ausgerechnete optimale Dose entsprechen, die also genauso hoch wie breit

sind.

Durch diesen Modellkreislauf können die SchülerInnen sehr gut nachvollziehen wie

reale Probleme vereinfacht in Extremwertaufgaben verpackt werden können. Meiner

Meinung nach ist es sehr hilfreich, einmal ein Beispiel genau mit diesem Schema im

Unterricht durchzuführen. So kann man den SchülerInnen bewusst machen, dass die

Aufgaben in Büchern nicht immer der realen Situation entsprechen, jedoch soweit

vereinfacht werden, dass sie für die SchülerInnen berechenbar werden.

Oft werden im Unterricht Aufgaben behandelt, bei denen man nur einmal den Kreislauf

durchlaufen muss. In der Mathematik ist dies auch meist ausreichend, doch in den

Naturwissenschaften, kommt es häufig vor, dass das Modell viele Male durchdacht

werden muss.

Gerade dieses Beispiel über die optimale Dose eignet sich sehr gut, um mit den

SchülerInnen einen Modellkreislauf durchzusprechen, bei dem man nach einem

Durchgang noch nicht die optimale Lösung gefunden hat. Beispiele, bei dem man den

Kreislauf einige Male durchlaufen muss, wären nicht so günstig, da man in der Schule

üblicherweise nicht so viel Zeit hat. Hier muss man beim zweiten Durchlauf die

Aufgabenstellung nur sehr wenig verfeinern, um eine realistischere Lösung zu finden,

die sich auch mit den Kenntnissen der SchülerInnen berechnen lässt. Außerdem kann

sich jede/r die Aufgabenstellung gut vorstellen, da eine Konservendose jedem/r

bekannt ist. Ein weiterer Vorteil dieses Beispiels ist, dass man es auch praktisch

überprüfen kann. Man kann jede Dose verwenden, die SchülerInnen zu Hause haben

oder sie auch selbstständig dasselbe Beispiel für eine andere Konservendose

durchrechnen lassen.

Nachdem man die optimalen Abmessung der Dose gefunden hat, könnte man mit

diesem Beispiel abschließen, oder sich noch anderen Faktoren zuwenden. Für den

Hersteller spielen noch ganz andere Dinge eine Rolle, wie das vorgeschriebene

Füllgewicht oder auch die Lagerung von den Dosen. Derartige Faktoren können

ebenfalls noch Einfluss auf die Abmessungen der Konservendosen haben. Es bleibt

dem/der LehrerIn überlassen, wie weit er/sie dieses Beispiel ausführt, jedoch finde ich

es notwendig, dass die zusätzlichen Faktoren, die ein Hersteller beachten muss,

zumindest thematisiert werden.

Praktischer Teil

50

Bis jetzt ist nur der unmittelbare Materialverbrauch der Dose betrachtet worden, jedoch

entsteht bei der Herstellung der Einzelteile, wie Deckel, Boden und Mantel, auch ein

Verschnitt der minimiert werden sollte (folgende Berechnungen wurden modifiziert

nach Jäger,1997, S.55f). Da der Mantel ausgerollt einem Rechteck gleicht, ist dieser

hier zu vernachlässigen, da die Einzelteile aus großen rechteckigen Blechplatten

heraus gestanzt werden und daher nur wenig Material abfällt. Jedoch sollte man den

Verschnitt, der beim Ausstanzen der Ronden (Deckel und Boden) entsteht,

berücksichtigen. Die folgende Abbildung zeigt wie die Ronden aus dem Blech gestanzt

werden können ohne viel Verlust zu machen.

Die Abbildung 21 zeigt, dass zwischen den Ronden ein Platz von je 1,5 mm Breite

entsteht. Man erkennt, dass am oberen und am unteren Ende sehr viel Verschnitt

abfällt, deswegen erhält man eine umso bessere Materialausnutzung je größer die

Anzahl der Ronden pro Spalte ist. Optimal wäre demnach eine unendliche Spalte in

einer Richtung, was jedoch in der Praxis schwer möglich wäre. Nun kann man aber

den Verschnitt nach unten abschätzen, indem man sich den Verschnitt in der Mitte der

Platte ansieht. Die Abbildung 22 zeigt, wie man den Verlust zwischen 4 Ronden

berechnen kann. Mit den Mittelpunkten der vier Ronden wird eine Raute mit der

Seitenlänge d + s gebildet, wobei s die Breite des Stegs zwischen zwei Ronden ist. Die

Raute schneidet jeweils ein Stück der Ronden heraus, sodass sich insgesamt wieder

eine Ronde bilden kann. Den Verschnitt kann man also berechnen, indem man den

Flächeninhalt der Raute berechnet und den Flächeninhalt einer Ronde abzieht.

Abbildung 21: Ronden (Jäger, 1997, S.55)

Praktischer Teil

51

Diese abgebildete Raute hat die Innenwinkel von und . Nun kann man

den Satz des Pythagoras anwenden, um sich die Höhe des gleichseitigen Dreiecks

auszurechnen:

Höhe der Raute:

.

Nun muss der Flächeninhalt der Raute berechnet werden:

Um den Verschnitt berechnen zu können, muss man nun den Flächeninhalt der Ronde

bestimmen:

.

Nun gilt:

Bei unserem Beispiel ist und .

Man erhält für die Flächeninhalte:

Abbildung 22: : Berechnung des Verschnitts (Jäger, 1997, S.55)

Praktischer Teil

52

und daher für den Verschnitt:

Dieser Verschnitt ist nur eine untere Schranke, da der Verschnitt am Rand nicht

berücksichtigt worden ist.

Die Berechnungen können mit Hilfe von GeoGebra veranschaulicht werden:

Nun kann man mit Hilfe einer dynamischen Visualisierung veranschaulichen, dass der

Verschnitt umso größer wird, je größer die Ronden sind und somit je größer der Boden

bzw. Deckel der Dose ist. In Abbildung 24 erkennt man, dass der Verschnitt bei einer

Verdopplung des Radius ca. dreimal so groß wird. Dies ist ein weiterer Grund, wieso

die Konservendosen nicht genauso groß wie breit sind, sondern etwas höher und dafür

schmäler.

Abbildung 23: Veranschaulichung des Verschnitts bei

Praktischer Teil

53

Abbildung 24: Veranschaulichung des Verschnitts bei

Praktischer Teil

54

7.2 Lampe

Das folgende Beispiel wird anhand der Problemlösungsstrategie von Pólya (siehe

Kapitel 5.2) gelöst. (Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet man unter:

http://tube.geogebra.org/student/m132402).

Eine Lampe mit der Lichtstärke befindet sich in einer Höhe über dem Punkt auf

einem Tisch. Am Rand dieses Tisches liegt ein Buch, das möglichst gut beleuchtet

werden soll. Die Beleuchtungsstärke E in einem Punkt des Buches im Abstand

von beträgt

. Bestimme die optimale Lampenhöhe h! (modifiziert

nach Timischl&Kaiser, 2011, S.183)

Verstehen der Aufgabe

Was ist unbekannt: Die Höhe h und somit die Beleuchtungsstärke E.

Was ist gegeben: Der Abstand a, die Lichtstärke I und die Formel Beleuchtungsstärke

im Punkt P.

Wie lautet die Bedingung: Das Buch muss optimal beleuchtet werden.

Zeichne eine Figur und führe die passenden Bezeichnungen ein:

Ausdenken eines Plans

Kennst du eine verwandte Aufgabe? Kennst du einen Lehrsatz der förderlich sein

könnte: Anhand der Skizze erkennt man, dass es sich hier um ein rechtwinkeliges

Dreieck handelt. Wir kennen einige Sätze die in einem rechtwinkeligen Dreieck gelten

Abbildung 25: Skizze des Beispiels "Lampe"


Praktischer Teil

55

(Satz von Pythagoras, die Zusammenhänge von Sinus, Kosinus und Tangens mit den

Seiten des Dreiecks, Satz von Thales...). Dadurch, dass das Buch optimal beleuchtet

werden soll, handelt es sich um eine Extremwertaufgabe. Das heißt, die

Beleuchtungsstärke ist unsere Zielfunktion und muss abgeleitet und nullgesetzt werden

um die optimale Höhe zu bestimmen.

Hier ist eine Aufgabe die der deinen verwandt und schon gelöst ist. Kannst du sie

gebrauchen: Wir haben schon viele Unbekannte in einem rechtwinkeligen Dreieck mit

Hilfe der vorherigen Sätze gelöst.

Kannst du ihre Methoden verwenden: Man kann r mit Hilfe des Pythagoras mit den

Seiten a und h ausdrücken und durch die Seiten h und r.

Hast du alle Daten genutzt: Ja, die Beleuchtungsstärke ist meine Zielfunktion und

kann ich durch h und r bestimmen und r wiederum durch a und h. Die Lichtstärke I ist

eine Konstante.

Ausführen des Plans

Die Zielfunktion

soll auf ein Maximum untersucht werden.

Da die Hauptbedingung in diesem Fall von zwei Variablen abhängt, kann man hier

auch gut thematisieren, welche der Variablen variieren und welche fix bleiben. I ist eine

Konstante die sich im Laufe der Berechnungen nicht ändert. Man kann an diesem

Beispiel gut erklären, welche Variablen in der Hauptbedingung unter dem

Veränderlichen- und welche unter dem Einzelzahlaspekt (siehe Kapitel 3.1) stehen.

Dadurch, dass man eine Konstante und zwei veränderliche Variablen in der

Hauptbedingung hat, braucht man auch zwei Nebenbedingungen, das heißt man muss

zunächst ersetzen und dann eine der beiden Variablen h oder r. Dadurch, dass in

diesem Beispiel sogar vier Unbekannte vorkommen, ist es eine gute Übung für die

SchülerInnen sich immer neu zu überlegen von welchen Variablen die Hauptbedingung

abhängt.

Es gibt zwei Nebenbedingungen und

Durch einsetzen der ersten Nebenbedingung erhält man:

Praktischer Teil

56

Durch Einsetzen der zweiten Nebenbedingung erhält man:

Der Nenner kann nie Null werden, da immer gilt: und 2500 > 0. Die Höhe muss

größer als 0 sein, da die Lampe sonst auf dem Tisch liegt. Diese Funktion ist nun nur

mehr von der Variable h abhängig.

Man kann dieses Beispiel dynamisch veranschaulichen (siehe Kapitel 6.5) um den

SchülerInnen die Problemstellung verständlich zu machen.

Gerade die 3D -Darstellung ermöglicht es den SchülerInnen sich das reale Problem gut

vorzustellen. Man kann sowohl in der Grafik 1 (der Abbildung 26), in der der Aufriss zu

sehen ist, als auch in der 3D Ansicht die Höhe der Lampe variieren und somit in der

Grafik 2 (der Abbildung 26) erkennen, wo das Maximum der Funktion liegt. Somit

besteht die Möglichkeit ohne zu rechnen eine ungefähre Lösung des Problems zu

finden. Hiermit wird die Rechnung sehr gut grafisch dargestellt. Wichtig ist, dass die

SchülerInnen den Zusammenhang zwischen den einzelnen Grafiken erkennen und

erklären können.

Um die Extremstellen zu bestimmen muss man nun die Funktion nach h Ableiten und

anschließend Nullsetzen. Da es sich bei I um eine Konstante handelt, muss man sie

nicht berücksichtigen, da sie beim anschließenden Nullsetzen wegfällt.

Abbildung 26: Dynamische Visualisierung des Beispiels "Lampe"

Praktischer Teil

57

Man erhält für die Extremstelle und . Die zweite Lösung liegt

nicht im Definitionsbereich, daher ist unsere Lösung Da hier die Ableitungen

schwer zu berechnen sind, bietet sich wiederum ein CAS zum Lösen an:

Die zweite Ableitung von der Zielfunktion an der Stelle ist kleiner Null, dass

heißt es handelt sich um ein Maximum.

Rückschau

Kannst du das Resultat oder die Methode für irgendeine andere Aufgabe gebrauchen:

Ich kann mir nun auch bei anderen Situationen die optimale Lampenhöhe ausrechnen,

wie zum Beispiel bei einer Straßenlaterne.

So wie dieses Beispiel gestellt ist, ist es nicht möglich die Beleuchtungsstärke bei

optimaler Höhe der Lampe zu berechnen, da die Lichtstärke nicht gegeben ist.

Hier besteht die Möglichkeit mit den SchülerInnen über die Lichtstärke zu sprechen

und diese auch zum Beispiel für eine Energiesparlampe zu berechnen. Dies ist

natürlich auch fächerübergreifend (siehe Kapitel 5.3) mit Physik möglich.

Die Formel der Beleuchtungsstärke ist

und wird in Lux (lx) gemessen. I ist

die Lichtstärke, für die gilt:

cd (Candela) wobei der Lichtstrom ist, der bei einer

Energiesparlampe mit 14 Watt ca. 600 lm (Lumen) beträgt. Im Gegensatz zu einer

Glühbirne, die ca. 60 Watt benötigt um 600 Lumen Licht zu erzeugen, braucht die

Energiesparlampe nur etwa ein Fünftel der Energie (Energieportal24, 2014). ist der

Abbildung 27: Lösung des Beispiels "Lampe" im CAS

Praktischer Teil

58

Raumwinkel der mit

sr (Steradiant) berechnet wird. A ist die Fläche, die das

Licht erreicht. Da man annimmt, dass eine Energiesparlampe das Licht in alle

Richtungen gleich aussendet, ist A in unserem Fall die Oberfläche einer Kugel. Daher

ist

sr.

Die Beleuchtungsstärke ist meist durch den Cosinus gegeben, da der

Komplementärwinkel gegeben ist. In unserem Fall rechnen wir mit dem Sinus, was

keinen Unterschied macht da ist.

Nun kann man sich die Beleuchtungsstärke für unser Beispiel berechnen. Zuerst

müssen wir unsere Angaben in Meter umrechnen: :

Die Normen für Arbeitsplätze geben vor, dass ein Besprechungszimmer eine

Beleuchtungsstärke von 300 Lux haben (vgl. Die Einsparberater, 2014) sollte. Natürlich

hängen in einem Zimmer meist mehr als eine Lampe. Dies würde bedeuten, um das

Zimmer, indem unser Buch auf dem Tisch liegt, normgemäß zu beleuchten müssten

noch weitere drei Lampen im Zimmer angebracht werden.

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, das Beispiel in einem TKS zu rechnen, zum

Beispiel in Excel mit Hilfe des Solvers (siehe Kapitel 6.5).

Abbildung 28: Lösung des Beispiels "Lampe" im TKS

Praktischer Teil

59

Bei diesem Tool kann man sehr gut sehen, welche Werte fix und welche variabel sind,

worauf schon die Bezeichnung "Veränderbare Zeile" hinweist. Der Solver berechnet

jedoch nicht die Ableitung der Zielfunktion und setzt diese gleich Null, sondern probiert

so lange Werte aus, bis das Maximum oder das Minimum erreicht ist.

Um Probleme im Variablenverständnis zu üben, ist dieses Tool sehr hilfreich, jedoch

wird der Rechengang nicht thematisiert. Daher ist es sinnvoller dieses Beispiel in

einem CAS zu lösen, da hier der Rechengang klarer ist.

Praktischer Teil

60

7.3 Zaun

"100 m eines Zaunes stehen schon, 200 m sollen so hinzugefügt werden, dass ein

Rechteck möglichst großer Fläche eingezäunt wird" (Danckwerts&Vogel, 2006, S.211).

Diese Aufgabe ist ein verwandtes Problem zum isoperimetrischen Problem für

Rechtecke (siehe Kapitel 3.2). Zunächst muss man die Zielfunktion und die

Nebenbedingung bestimmen, was durch eine Skizze erleichtert werden kann

Die Zielfunktion ist die maximale Fläche, also

und die Nebenbedingung der Umfang , daher

.

Abbildung 29: Skizze des Beispiels "Zaun"

Abbildung 30: 3d-Visualisierung des Beispiels "Zaun"

Praktischer Teil

61

Mit Hilfe von GeoGebra (siehe Kapitel 6.5), kann man sich diese beiden Funktionen

veranschaulichen. Man sieht in der Abbildung 30, dass sich die zwei Funktionen genau

in einer Parabel schneiden.

Dadurch kommt man auf die Zielfunktion:

Da auf der einen Seite schon 100m stehen, müssen auf der anderen Seite auch

mindestens 100m Zaun aufgestellt werden. Der Definitionsbereich von a ist deswegen

, da nicht mehr als 200m Zaun zu Verfügung stehen. Man erhält für die

erste Ableitung , durch Nullsetzen kommt man auf die Lösung

.

Die zweite Ableitung ist . Da diese immer negativ ist, liegt bei

ein Maximum. Das würde bedeuten man muss von dem schon bestehenden

Zaunstück 25 m abreißen. Diese Lösung erfüllt jedoch unsere Aufgabe nicht.

Man muss also das Maximum am Rand des Intervalls suchen.

und . Das bedeutet das Maximum der Funktion liegt bei

und der Flächeninhalt beträgt .

In diesem Fall ist das Extremum kein lokales Extremum. Um das globale Extremum zu

bestimmen muss man die Werte am Rand des Intervalls betrachten.

Die Schwierigkeit für die SchülerInnen besteht darin, die Möglichkeit zu bedenken,

dass die Funktion ihr Maximum oder Minimum am Rand des Intervalls hat. Es reicht

nicht, das übliche "Rezept" durchzurechnen und danach die Lösung nicht zu

hinterfragen.

Die SchülerInnen sollten nach dem Aufstellen der Zielfunktion und nach dem Ersetzen

der Variablen durch die Nebenbedingungen den Definitionsbereich bestimmen, um

danach überprüfen zu können ob die errechnete Lösung möglich ist.

Gerade bei Beispielen mit Randextrema kann eine dynamische Visualisierung für die

SchülerInnen sehr hilfreich sein. (Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet

man unter: http://tube.geogebra.org/student/m132385). Sie können anhand des

Graphs erkennen, wo die Intervallgrenzen liegen und dass das Maximum im

Minusbereich der x-Achse liegt.


Praktischer Teil

62

Abbildung 31: Dynamische Visualisierung des Beispiels "Zaun"

Praktischer Teil

63

7.4 Läufer

Ein Läufer soll in kürzester Zeit von einem Punkt A zu einem Punkt B laufen, wobei er

dazwischen eine Wand berühren muss. Welchen Weg muss er wählen? (modifiziert

nach Timischl&Kaiser, 2011, S.184)

Das folgende Beispiel soll veranschaulichen wie man die elementaren

Lösungsvarianten (siehe Kapitel 4.2) in den Unterricht einbeziehen kann, in dem man

ein einziges Beispiel auf mehrere verschiedenen Arten in der Klasse löst. Im Unterricht

könnte man das Beispiel dazu verwenden, den SchülerInnen die Möglichkeit zu geben,

selbst einen Lösungsweg zu finden. Um dies zu erreichen ist der Zeitpunkt, den man

wählt um den SchülerInnen diese Aufgabe zu geben, wichtig. Wenn man gerade mitten

im Kapitel "Extremwertaufgaben" ist, werden wahrscheinlich viele SchülerInnen das

Beispiel mit Hilfe der ersten Ableitung rechnen.

Abbildung 32: Skizze des Beispiels "Läufer"

Praktischer Teil

64

Eine der Möglichkeiten, dieses Beispiel zu lösen, ist das Symmetrisieren. Der Punkt B

wird an der Wand gespiegelt.

Da gilt und und die Hypotenuse des

Dreieckes immer kürzer ist als die Summe der zwei Katheten. Da

ist die Strecke die kürzeste Verbindung (Die kürzeste Verbindung zwischen

zwei Punkten ist die Gerade).

Demnach muss man eine Gerade durch die Punkte A und B' aufstellen und diese dann

mit der x-Achse schneiden um den Punkt P' und somit x, und somit die Strecken a' und

b' zu ermitteln:

Durch Schneiden mit der x-Achse erhält man den Punkt . Nun kann man mit

dem Satz des Pythagoras die beiden Strecken a und b ausrechnen.

Bei genaueren Betrachten dieses Beispiels erkennt man, dass der Winkel gleich dem

Winkel ist. Dies erinnert an das Verhalten des Lichts bei Reflexion.

"Das Reflexionsgesetz besagt, dass der Ausfallswinkel (auch Reflexionswinkel) genau

so groß wie der Einfallswinkel ist, " (Wikipedia, 2014e).

Abbildung 33: Skizze Symmetrisieren des Beispiels "Läufer"

Praktischer Teil

65

Anders gesagt, verhält sich das Licht so, dass es von einem fixen Punkt A zu einem

fixen Punkt B einen Weg von minimaler Länge durchläuft.

Wenn der Winkel gleich groß wie der Winkel ist, gilt auch, dass ist.

Aus

folgt

und somit . Durch den Satz des Pythagoras kann man nun die Strecken a und

b ausrechnen.

Natürlich kann man das Beispiel auch mit der Differentialrechnung lösen.

Die Hauptbedingung ist , das heißt der Weg soll minimal sein. Man hat

zwei Nebenbedingungen die beide von x abhängen: und

.

Durch Einsetzen von a und b in die Hauptbedingung erhält man:

Abbildung 34: Skizze Reflexion

Praktischer Teil

66

Der Definitionsbereich von x liegt zwischen 0 und 100. Durch das Ableiten der Funktion

und Nullsetzen folgt:

(Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet man unter:

http://tube.geogebra.org/student/m132400). Zur Berechnung der ersten und zweiten

Ableitung bietet es sich an, ein CAS (siehe Kapitel 6.2) zu verwenden, da diese sehr

schwer zu berechnen sind.

Abbildung 35: Dynamische Veranschaulichung des Beispiels "Läufer"

Abbildung 36: Lösung des Beispiels "Läufer" im CAS


Praktischer Teil

67

Die zweite Ableitung , daher handelt es sich um ein Minimum.

Nun müssen noch die Randwerte beachtet werden: und

. Da ist das der minimale Weg. Durch Einsetzen in

die Nebenbedingungen erhält man und .

Der Realbezug in diesem Beispiel ist zwar zu finden, jedoch ist es sehr weitgehend

vereinfacht, denn es wird keine Rücksicht auf die geografischen Gegebenheiten

genommen. Man könnte auch eine Landkarte zu Hilfe nehmen und reale Punkte

suchen, mit denen man das Beispiel rechnen kann um somit der Realität näher zu

kommen. Durch eventuelle Steigungen auf den Strecken, kann man sich auch mit

unterschiedlichen Geschwindigkeiten des Läufers beschäftigen. Hier wäre auch ein

fächerübergreifender Bezug zur Geometrie möglich. Es gibt noch ähnliche Beispiele,

bei denen die Berechnung ähnlich funktioniert. Zum Beispiel: An einer Bahnlinie ist der

Standort eines Bahnhofs so zu wählen, dass die Summe der Entfernungen von A und

B minimal wird.

Praktischer Teil

68

7.5 Hotel

"Ein Wellness-Hotel mit einer Kapazität von 450 Betten verkauft zum aktuellen Preis

520€ pro Wochenende etwa 360 Aufenthalte. Die Gesamtkosten bei x Gästen sind (für

x zwischen 360 und der Kapazitätsgrenze) 300x+28000 pro Wochenende. Eine

Marktanalyse ergibt, dass bei maximal zu erwägender Preissenkung um 60€ etwa 120

Gäste mehr buchen würden. Folglich wird unterstellt, dass im betrachteten Bereich pro

Euro Preissenkung statistisch etwa 2 Gäste mehr kommen. Ermitteln Sie diejenige

Preissenkung, die den maximalen Gesamtgewinn erwarten lässt" (modifiziert nach

matheboard, 2012).

Die Schwierigkeit bei diesem Beispiel besteht darin, die Zielfunktion zu finden. Bei

vielen Extremwertaufgaben geht es darum das Volumen oder die Oberfläche zu

maximieren bzw. minimieren. Meist wird dann die Aufgabe durch eine Skizze

veranschaulicht. Bei diesem Beispiel gibt es nun die Möglichkeit mit einer Tabelle auf

die Zielfunktion zu kommen. Diese Problemstellung zeigt den SchülerInnen, dass es

sich bei Optimierungsaufgaben nicht immer um ein geometrisches Problem handelt.

Bei diesem Beispiel will ich näher auf das Problem eingehen, zu erkennen welche

Größen veränderbar sind und welche fix (siehe Kapitel 3). Die SchülerInnen müssen

erkennen, dass alle veränderlichen Größen von der Preiserhöhung abhängen.

Feste Größen sind: Die Kapazität des Hotels mit 450 Betten.

Variable Größen sind: Der Preis von einem Aufenthalt, in Abhängigkeit davon die

Gäste und die Einnahmen, von denen wiederum die Gesamtkosten und der

Gesamtgewinn abhängen.

Wie man sieht sind hier von einer variablen Größe alle andern variablen Größen

abhängig. Um dies den SchülerInnen verständlich zu machen ist es sinnvoll, dass sie

eine Tabelle aufstellen.

Die folgende Tabelle zeigt wie sich die Aufenthalte und die Einnahmen ändern, wenn

man den Preis immer um einen Euro mehr senkt. Somit kommt man schlussendlich auf

eine allgemeine Formel für die Einnahmen und kann mit deren Hilfe die Zielfunktion,

die den Gesamtgewinn angibt, aufstellen.

Praktischer Teil

69

Zunächst muss man sich überlegen wie weit der Preis maximal gesenkt werden kann,

damit das Hotel nicht überbucht wird. Das heißt, es ist nicht möglich mehr als 450

Aufenthalte zu verkaufen. Daher muss gelten: . Es muss also die

Preiserhöhung p zwischen 0 und 45 liegen.

Um nun die Zielfunktion, also den Gesamtgewinn, zu bestimmen, muss man nun die

Einnahmen pro Wochenende minus die Kosten für das Hotel pro Wochenende

rechnen.

Vereinfacht: .

Die erste Möglichkeit dieses Beispiel zu lösen, ist mit der elementaren Lösungsvariante

"Quadratungleichung" (siehe Kapitel 4.2.1), die besagt dass wenn, ist, hat die

Funktion bei

ein Maximum. Dies entspricht bei unserem Beispiel . Man

könnte auch die Funktion auf Scheitelpunktform bringen

und somit den Scheitelpunkt sofort ablesen .

Abbildung 37: Tabelle zum Beispiel "Hotel"

Praktischer Teil

70

Eine weitere Möglichkeit das Extremum zu bestimmen ergibt sich ebenfalls durch die

Symmetrie der Parabel. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt immer in der Mitte

der x-Koordinaten der zwei Nullstellen. Somit kann man sich die Nullstellen berechnen

und dann den Scheitelpunkt bestimmen. Die Nullstellen sind bei unserem Beispiel

und . Nun kann man die x-Koordinate des Scheitelpunkts bzw.

das Extremum leicht berechnen:

.

Natürlich kann man dieses Beispiel auch mit Hilfe von Differenzieren lösen. Man

berechnet die erste Ableitung , setzt sie gleich Null und erhält somit

. Nun muss man noch durch die zweite Ableitung überprüfen ob

es sich tatsächlich um ein Maximum handelt.

Bei allen drei Varianten muss man nun noch die Randwerte betrachten. Zuvor wurde

gezeigt, dass p zwischen 0 und 45 liegen muss. Daraus folgt für die Randwerte und

dem berechneten Maximum: , und .

Man erkennt, dass das Maximum von 52000 € Gewinn bei einer Preiserhöhung von 20

€ erreicht wird.

Abbildung 38: Graph der Zielfunktion des Beispiels "Hotel"

Praktischer Teil

71

7.6 Stau

Gerade Extremwertaufgaben eignen sich sehr gut dafür, fächerübergreifend in Physik

(siehe Kapitel 5.3) zu arbeiten. Ein gutes Beispiel hierfür ist "Das Stauproblem".

"Wann bzw. wodurch entsteht ein Stau auf der Autobahn?"(Ludwig, 2010, S.167)

Als ersten Schritt kann man mit den SchülerInnen besprechen, wie es überhaupt dazu

kommen kann, dass ein Stau auf der Autobahn entsteht. Hier werden

höchstwahrscheinlich Antworten, wie durch einen Unfall, einer Baustelle oder durch zu

viele Fahrzeuge, kommen. Um das Problem zu vereinfachen kann man es auf das

Grundproblem, zu viele Fahrzeuge zurückführen. Es stellt sich als die Frage, wie viele

Fahrzeuge maximal auf einer Autobahn fahren können. Da es vielen SchülerInnen

schwer fällt, mit Variablen zu rechnen, sollte man ab und zu Beispiele ohne gegebene

Zahlen besprechen. Danach kann die Aufgabe mit konkreten Zahlen durchgerechnet

werden.

Um das Problem leichter lösen zu können, betrachten wir nur eine Spur der Autobahn

und lassen keine Überholvorgänge zu. Das bedeutet, auf der Autobahn gibt es

Kolonnenverkehr und wir wollen wissen wie viele Autos in einer bestimmten Zeit über

diese Autobahn fahren. Nun müssen einige Überlegungen gemacht werden.

bezeichnet die Länge des Staus auf der Autobahn und den Sicherheitsabstand,

der zwischen den Autos eingehalten werden muss. Natürlich muss auch die Länge der

Autos berücksichtigt werden, die wir mit L bezeichnen.

Abbildung 39: Skizze des Beispiels "Stau"

Praktischer Teil

72

Auf dem Stück der Autobahn befinden sich stets n Fahrzeuge mit

. Nun stellt

sich die Frage, wie lange ein Auto braucht um dieses Stück zu durchfahren. Dies lässt

sich durch die Formel

berechnen. Mit bezeichnen wir die Zeit,

die ein Auto braucht um den Weg mit der Geschwindigkeit v zu durchfahren.

Dadurch, dass die Autos im Kolonnenverkehr fahren, haben sie auch etwa dieselbe

Geschwindigkeit v. Das führt auf folgenden Zusammenhang:

.

Wir wollen nun bestimmen, wie viele Autos maximal das Stück überqueren können,

diese Größe, Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit, nennen wir A. Sie lässt sich

folgendermaßen ausdrücken:

.

Nun muss man den Sicherheitsabstand noch genauer bestimmen. Dieser wird durch

den Anhalteweg bestimmt, der sich aus dem Bremsweg

und dem Reaktionsweg

zusammensetzt, wobei a die Verzögerung des Fahrzeugs entspricht und T die

Reaktionszeit des Fahrers ist.

Nun bekommt man für den Sicherheitsabstand

.

Daraus folgt:

.

Unsere Zielfunktion lautet nun

.

Man kann nun die Funktion auf Extremstellen untersuchen. Für die erste Ableitung

erhält man

. Durch Nullsetzen erhält man für

Die erste Ableitung kann hier wiederum mit einem CAS (siehe Kapitel 6.2) berechnet

werden.

Nun muss noch überprüft werden, ob das ausgerechnete Ergebnis eine vorstellbare

Lösung für unsere reale Problemsituation ist. Dazu muss man zunächst Näherungen

für die Werte a, L und T finden. Für die Verzögerung kann man als näherungsweisen

Mittelwert verwenden, die Fahrzeuglänge beträgt durchschnittlich

und die Reaktionszeit ca. .

Praktischer Teil

73

Mit Hilfe dieser Werte kann man nun die maximale Geschwindigkeit berechnen:

. Setzt man nun die maximal Geschwindigkeit in die Funktion

A ein, bekommt man . Das ist nun die maximale Fahrzeugdichte, also

die maximale Anzahl der Fahrzeuge pro Sekunde. Das heißt in einer Stunde können

ungefähr 1620 Fahrzeuge das Stück der Autobahn durchfahren.

Die Lösung unseres Beispiel muss nun noch mit der Wirklichkeit verglichen werden,

um zu bestimmen ob sie realistisch ist. In der Zeitschrift "Nature" wurden Daten von

der Universität Stuttgart veröffentlicht, die besagen, dass die maximale Fahrzeugdichte

zwischen und liegt (vgl. Ludwig, 2010, S.169). Das heißt unser

Ergebnis stimmt mit der Wirklichkeit sehr gut überein.

Dieses Beispiel wurde nun sehr vereinfacht um es mit den mathematischen

Kenntnissen in der Schule zu lösen. Man könnte auch anhand von diesem Problem

den Modellbildungskreislauf besprechen.

Abbildung 40: Graph der Zielfunktion des Beispiel "Stau"

Praktischer Teil

74

7.7 Rettungsschwimmer

Bei dem folgenden Beispiel werden verschiedene Lösungsmöglichkeiten (siehe Kapitel

4) diskutiert. Es eignet sich auch gut für den fächerübergreifenden Unterricht (siehe

Kapitel 5.3) in Physik. (Das dynamische Arbeitsblatt zu dieser Aufgabe findet man

unter: http://tube.geogebra.org/student/m132396).

Die "Baywatch-Aufgabe"

Ein Rettungsschwimmer in einer Entfernung von 30 m von der Küste beobachtet, wie

ein Badegast im hohen Wellengang 50 m vor einer geradlinigen Meeresküste und circa

100 m Luftlinie vom Rettungsschwimmer entfernt in Schwierigkeiten gerät.

Welchen Weg soll der Rettungsschwimmer wählen, um in kürzester Zeit beim

Ertrinkenden zu sein? Dabei weiß er, dass er auf dem Sand durchschnittlich 6 m/s

rasch laufen und im Wasser durchschnittlich 2 m/s rasch schwimmen kann. Berechne

den optimalen Weg (modifiziert nach Brand, 2012, S.222).

Die folgende Abbildung soll den Sachverhalt dieser Aufgabe veranschaulichen. Hier

wird der Rettungsschwimmer durch den Punkt R und der Ertrinkende durch den Punkt

E veranschaulicht.

Abbildung 41: Skizze des Beispiels "Rettungsschwimmer"


Praktischer Teil

75

Zunächst wird mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet wie weit die Punkte P

und E auseinander liegen:

Nun ist der schnellste Weg gesucht den der Rettungsschwimmer einschlagen kann um

zu dem Ertrinkenden zu gelangen. Er wird nicht zunächst die 30 m zum Ufer laufen,

dann die 60 m entlang am Strand und anschließend 50 m schwimmen. Den

SchülerInnen wird klar sein, dass das nicht der schnellste Weg sein kann. Wichtig ist

bei dieser Aufgabe, dass zwischen dem schnellsten und dem kürzesten Weg

unterschieden wird. Der kürzeste Weg ist natürlich der direkte Weg von R nach E.

Jedoch da der Rettungsschwimmer schneller laufen als schwimmen kann ist dies nicht

der schnellste Weg. Er wird versuchen die Strecke im Wasser zu verkürzen und die

Strecke am Land zu verlängern. Somit ist ein optimaler Punkt Q (siehe Abbildung 43)

gesucht, bei dem der Rettungsschwimmer in das Wasser springen soll.

Abbildung 42: Skizze 2 des Beispiels "Rettungsschwimmer"

Praktischer Teil

76

Nun lässt sich die Aufgabe auf verschiedene Arten rechnen. Zunächst mal mit Hilfe der

Differentialrechnung:

Zunächst muss die Zielfunktion aufgestellt werden. Die Zeit, die der

Rettungsschwimmer braucht um zu dem Ertrinkenden zu gelangen, soll minimal

werden.

Da sich die Zeit mit Hilfe der Geschwindigkeit und dem Weg

berechnen lässt kommen wir mit den Nebenbedingungen und

auf folgende Zielfunktion:

Durch Nullsetzen der Ableitung kommt man auf die Lösung . Um zu

bestimmen ob diese Lösung auch wirklich ein Minimum ist, muss man nun noch die 2.

Ableitung überprüfen.

, daraus folgt, dass es ist ein Minimum der Funktion ist.

Abbildung 43: Skizze 3 des Beispiels "Rettungsschwimmer"

Praktischer Teil

77

Da die zweite Ableitung für dieses Beispiel sehr schwer zu berechnen ist, kann man

auch mit Hilfe der Randwerte (siehe Kapitel 2) überprüfen, ob die Lösung tatsächlich

ein Minimum der Funktion ist. In diesem Beispiel sind die Randwerte und .

Daraus folgt und , für den errechneten Wert erhält man

, was auch das Minimum ist.

Das heißt, dass der Rettungsschwimmer am Land laufen und dann

im Wasser schwimmen muss, dafür braucht er etwas mehr als eine halbe

Minute.

Dieses Beispiel eignet sich auch besonders gut um fächerübergreifend zu arbeiten. Es

wäre eine Zusammenarbeit mit einem Kollegen möglich, der Sport unterrichtet. Um die

durchschnittlichen Geschwindigkeiten am Land und im Wasser festzustellen, kann man

die Zeit im Unterricht messen. Wenn alle SchülerInnen im Sportunterricht 100 m laufen

und 100m schwimmen und die Zeiten notiert werden, könnte man im

Mathematikunterricht damit weiter arbeiten. So kann man auch einen weiteren

Teilbereich der Mathematik ins Spiel bringen, den der Statistik. Nun können mit den

Zeiten der SchülerInnen Mittelwerte berechnet werden und somit das Beispiel noch

realistischer zu gestalten.

Man kann mit diesem Beispiel auch einen fächerübergreifenden Physikunterricht

gestalten. Die Brechung und die Reflexion wird in Physik schon in der Unterstufe

behandelt. Im Lehrplan der vierten Klasse steht darüber folgendes:

"Funktionsprinzipien optischer Geräte und deren Grenzen bei der Bilderzeugung

verstehen und Einblicke in die kulturhistorische Bedeutung gewinnen (ebener und

gekrümmter Spiegel; Brechung und Totalreflexion, Fernrohr und Mikroskop)" (BMBF,

2000).

Da Trigonometrie erst in der fünften Klasse auf dem Lehrplan steht (BMBF, 2004),

kann man die Chance nutzen und dieses Beispiel mit den elementaren

Lösungsvarianten (siehe Kapitel 4.2) in der fünften Klasse bearbeiten, um somit die

Begriffe "Brechung" und "Reflexion" zu wiederholen.

Man kann folgende Situation betrachten:

Praktischer Teil

78

Ein Lichtstrahl der vom Punkt R ausgestrahlt wird trifft beim Punkt Q auf die

Wasseroberfläche auf und wird zum Lot abgelenkt, bis dieser beim Punkt E landet.

Wenn der Lichtstrahl, mit dem Einfallswinkel , auf der Wasseroberfläche auftrifft, wird

der gebrochene Strahl mit dem Winkel zum Punkt E abgelenkt. Diese beiden Winkel

werden zum Lot hin gemessen. Nun kann man zeigen, dass der Weg des Lichtstrahls

so beschaffen ist, dass das Brechungsgesetz von Snellius

erfüllt ist. In

diesem Fall sind und die Geschwindigkeiten von dem Lichtstrahl in der Luft und

im Wasser, das Brechungsgesetz gilt jedoch auch bei jeder anderen Materie. Wie stark

der Lichtstrahl abgelenkt wird hängt mit den verschiedenen Geschwindigkeiten

zusammen.

Um bei dem oberen Beispiel zu bleiben, nehmen wir für die Geschwindigkeiten

und an, die natürlich nicht der Realität entsprechen. Bei der vorigen

Berechnung haben wir für die Ableitung

Abbildung 44: Skizze Lichtstrahl

Praktischer Teil

79

erhalten.

Setzt man diese gleich Null erhält man:

Die beiden Winkel und befinden sich beide in rechtwinkelige Dreiecke, deren

Hypotenusen a und b sind. Somit erhält man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:

und

.

Wenn man nun in der obigen Gleichung die Terme durch und ersetzt, kommt

man genau auf das Brechungsgesetz:

Den eben erklärten Zusammenhang, kann man natürlich erst nach der "Einführung der

Differentialrechnung" mit den SchülerInnen besprechen.

Diese Aufgabe kann im Physikunterricht noch weiter bearbeitet werden. Zum Beispiel

könnte die Frage behandelt werden, wie schnell das Licht sich in der Luft oder im

Wasser wirklich fortbewegt. Eine interessante Aufgabe wäre:

"Legen Sie eine Münze auf den Boden einer Tasse. Blicken Sie so über den Rand in

die Tasse, dass Sie die Münze gerade nicht sehen können. Füllen Sie dann Wasser in

die Tasse. Was ist zu beobachten?"(Heidorn, 2014)

Abbildung 45: Münze (Heidorn, 2014)

Praktischer Teil

80

Die Münze wird nun sichtbar. Dieses Phänomen hängt auch mit dem Brechungsgesetz

zusammen.

Um dieses Phänomen zu erklären, könnte man eine Münze in ein Glas Wasser legen

und besprechen, wieso man diese mit dem Auge an einer Stelle sieht, wo sie nicht sein

kann. Durch die Brechung des Lichts können Trugbilder entstehen. Da das Gehirn

davon ausgeht, dass sich das Licht geradlinig ausbreitet.

Je flacher man auf die Wasseroberfläche schaut, desto höher scheint der Gegenstand

zu liegen, was auch unser Beispiel mit der Tasse erklärt. Ein weiterer Versuch wäre,

einen Stab senkrecht ins Wasser zu tauchen. Dieser erscheint dann verkürzt, bzw.

wenn man ihn schräg ins Wasser taucht, geknickt. Dies hat den Grund, dass der

Betrachter jeden Punkt unterhalb der Wasseroberfläche angehoben erscheint (vgl.

Heidorn, 2014).

Beide diese Ideen für fächerübergreifendes Lernen haben einen diktatorischen

Standpunkt (siehe Kapitel 5.3). Das heißt die Mathematik bleibt im Mittelpunkt. Zu

diesem Thema wäre es jedoch auch möglich ein Projekt zu starten, das dann unter

dem demokratischen Standpunkt stehen könnte.

Ein mögliches Experiment wäre eine ähnliche Situation wie in der "Baywatch-Aufgabe"

nachzustellen. Entweder die SchülerInnen beobachten sich selbst dabei, welchen Weg

sie wählen würden um zu einem bestimmten Punkt im Wasser zu gelangen, oder man

startet das Experiment mit einem Hund.

Tim Pennings beobachtet seinen Hund Elvis, wie er seinen Ball aus dem Wasser holt

und ihm ist dabei aufgefallen, dass er zunächst ein Stück am Strand läuft und dann

erst ins Wasser springt. Er stellte sich somit die Frage, ob sein Hund den Weg

absichtlich wählt, bei dem er den Ball schnellstmöglich erreicht. Stephan Hußmann und

Timo Leuders (2007, S.23ff) überlegten sich dazu folgendes Experiment:

Abbildung 46: Skizze Münze (Heidorn, 2014)

Praktischer Teil

81

Die SchülerInnen können zunächst überlegen und diskutieren, wie es dazu kommt,

dass der Hund offenbar den schnellsten Weg wählt. Anschließend kann man das

Experiment durchführen. Eventuell lässt sich dies mit einem Wandertag verbinden, bei

dem man bei einem See Versuche starten kann. Mit der Voraussetzung, dass ein Hund

zu Verfügung steht, kann man nun dem Hund immer wieder einen Ball in den See

werfen und die Daten notieren. Natürlich kann man dies den SchülerInnen auch

zuhause selbst machen lassen. Dies kann auch sehr gut fächerübergreifend mit

Geografie vereinbart werden. Zum Beispiel mit dem Themenbereich

"Landvermessung". Mit den Daten kann man nun in der Schule weiterrechnen. Mit Hilfe

von Statistik kann man den Mittelwert der Geschwindigkeiten berechnen und

rechnerisch eine optimale Lösung bestimmen. Schlussendlich kann man das Ergebnis

mit den experimentellen Ergebnissen vergleichen.

Verschiedene Lösungsmöglichkeiten von SchülerInnen

Attila Furdek und Matthias Benkeser (2007, S.40) haben sich damit beschäftigt welche

Lösungsmöglichkeiten SchülerInnen bei dieser Aufgabe finden, ohne ihnen einen Weg

vorzugeben. In den von ihnen untersuchten zwei Oberstufenkursen entstanden mehr

als zehn verschiedene Ideen. Es wurde die folgende Aufgabe bearbeitet:

Die von den SchülerInnen erarbeiteten Lösungen befinden sich im Anhang. Nun gibt es

verschiedene Möglichkeiten, mit diesem Material umzugehen: Man könnte den

SchülerInnen die Aufgabe selbst zu rechnen geben oder man bespricht sie mit der

Klasse. Eine weitere interessante Möglichkeit wäre, die Lernenden dazu aufzufordern,

eventuelle Fehler in den Ausarbeitungen zu suchen. Somit steigt die Motivation sich

mit den Gedankengänge und Rechenwege der MitschülerInnen auseinanderzusetzen.

Auch typische Argumentationsstrategien können kennengelernt werden (vgl.

Frudek&Benkeser, 2007, S.40).

Abbildung 47: Aufgabe (Frudek&Benkeser, 2007, S.41)

Praktischer Teil

82

Man muss natürlich nicht den SchülerInnen diese Aufgabe zu rechnen geben um

herauszufinden, ob sie dieselben Gedankengänge haben, sondern kann auch die

Kopiervorlage (siehe Anhang) verwenden.

Da in den Ausarbeitungen einige Fehler gemacht wurden, geben Frudek und Benkeser

(2007, S.40) folgende Lösungshinweise:

Marie: Hier wird der kürzeste Weg von A nach ermittelt und nicht der schnellste.

Laura: Das Ergebnis ist richtig, jedoch fehlt noch eine hinreichende Bedingung für das

Minimum.

Marc: Die Punkte A und B werden hier nicht berücksichtig. Die richtige Lösung ist

Zufall.

Jule: Doppelte Geschwindigkeit bedeutet nicht, dass die Strecke am Land doppelt so

lang sein muss. Daher ist das eine falsche Überlegung.

Fabian: Man kann nicht folgern, dass der Abstand vom Ursprung minimal sein soll.

Julia: Daraus, dass der größere Term bei der Ungleichung

ein Minimum an der Stelle hat, folgt nicht, dass der kleinerer Term an

dieser Stelle auch ein Minimum hat (vgl. Furdek&Benkeser, 2007, S.40).

Zusammenfassung

83

8 Zusammenfassung

Das Ziel dieser Arbeit war, gewisse Aspekte bei Extremwertaufgaben näher zu

beleuchten, passende Beispiele zu finden und diese didaktisch aufzubereiten. Durch

die Bearbeitung des Theorieteils hatte ich die Möglichkeit, mich mit den verschiedenen

Lösungsvarianten zu beschäftigen. Dieses Gebiet fand ich sehr interessant, da ich

zuvor nur wenig darüber gehört hatte. Das Arbeiten mit GeoGebra und der

dynamischen Visualisierung hat mir sehr viel Freude bereitet und ist ein tolles

Werkzeug um den SchülerInnen die Aufgabenstellung verständlich zu machen.

Ich habe es mir zur Aufgabe gemacht, anwendungsbezogene Extremwertaufgaben zu

finden, was durchaus manche Schwierigkeiten bereitet hat, da die Aufgaben sehr

vereinfacht werden mussten. Meiner Meinung nach ist es sehr wichtig zu

thematisieren, wie die Aufgaben in der Realität aussehen bzw. aussehen können und

welche Vereinfachungen vorgenommen werden müssen. Wenn man sich einmal näher

mit einem Beispiel beschäftigt hat, erkennt man erst welche Vielfalt an verschiedenen

Lösungswegen möglich sein kann. Ich finde es wichtig, immer wieder LehrerInnen

dazu anzuregen fächerübergreifend zu arbeiten, da in dieser Art des Unterrichtens

sehr viel Potential liegt.

Gerade die Differentialrechnung ist eines der größten Gebiete des

Mathematikunterrichts in der Oberstufe und zunächst für SchülerInnen sehr abstrakt.

Extremwertaufgaben können realitätsnah gestaltet werden, deswegen finde ich man

sollte diese Möglichkeit nutzen um den SchülerInnen Anwendungsgebiete der

Mathematik aufzuzeigen.

Um Extremwertaufgaben im Unterricht realitätsnah, fächerübergreifend und auf

verschiedene Weisen zu lösen, muss die Lehrkraft sehr flexibel sein, da man mit

unerwarteten Ideen und Handlungen der SchülerInnen rechnen muss. Die Aufgabe des

Lehrers / der Lehrerin ist auf die Lernenden einzugehen und nicht vor eventuellen

Problemen davonzulaufen. Ich denke, dass alle diese Möglichkeiten zur Behandlung

von Extremwertaufgaben den SchülerInnen helfen können die Mathematik besser zu

verstehen und dass sich die LehrerInnen trauen sollten diese auch einzusetzen.

Verzeichnisse

84

9 Verzeichnisse

9.1 Literaturverzeichnis

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Verzeichnisse

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9.2 Abbildungsverzeichnis:

Abbildung 1: Grafen von zwei Funktionen und ihre Ableitungen (modifiziert nach

Danckwerts&Vogel, 2006, S.139) ................................................................................. 4

Abbildung 2: Kovariationsaspekt (Malle, 2000, S.9)...................................................... 7

Abbildung 3: Veranschaulichung von ............................................................ 8

Abbildung 4: Darstellung von der Funktionen E(m) ...................................................... 9

Abbildung 5: Isoperimetrisches Problem für Rechtecke (Bürger&Malle, 2000, S.58) ...11

Abbildung 6: Symmetrisieren .......................................................................................18

Abbildung 7: Flächenvergleich ....................................................................................19

Abbildung 8: Dreiecksungleichung ..............................................................................20

Abbildung 9: Niveaulinien ............................................................................................21

Abbildung 10: Niveaulinien für das isoperimetrische Problem .....................................22

Abbildung 11: Modellbilden (Leuders&Maaß, 2005, S.2) .............................................26

Abbildung 12: Modellkreislauf (Danckwerts&Malle, 2006, S.197) ...............................28

Abbildung 13: Lösungsstrategie (Pólya, 2010, Einband) .............................................32

Abbildung 14: Veranschaulichung Satz von Thales (Leuders,2010, S.210) .................37

Abbildung 15: Dynamische Darstellung des isoperimetrischen Problem für Rechtecke

....................................................................................................................................41

Abbildung 16: Schnitt von Zielfunktion und Nebenbedingung ......................................42

Abbildung 17: Darstellung der Zielfunktion O(r, h) .......................................................45

Abbildung 18: Darstellung der Funktion O(r)................................................................46

Abbildung 19: Falz (Danckwerts&Vogel, 2006, S.200) ................................................47

Abbildung 20: Materialverbrauch mit Überständen (Danckwerts&Vogel, 2006, S.200) 48

Abbildung 21: Ronden (Jäger, 1997, S.55) ..................................................................50

Abbildung 22: : Berechnung des Verschnitts (Jäger, 1997, S.55) ................................51

Abbildung 23: Veranschaulichung des Verschnitts bei ..............................52

Abbildung 24: Veranschaulichung des Verschnitts bei ..............................53

Abbildung 25: Skizze des Beispiels "Lampe" ...............................................................54

Abbildung 26: Dynamische Visualisierung des Beispiels "Lampe" ...............................56

Abbildung 27: Lösung des Beispiels "Lampe" im CAS .................................................57

Abbildung 28: Lösung des Beispiels "Lampe" im TKS .................................................58

Abbildung 29: Skizze des Beispiels "Zaun" .................................................................60

Abbildung 30: 3d-Visualisierung des Beispiels "Zaun" .................................................60

Abbildung 31: Dynamische Visualisierung des Beispiels "Zaun" ..................................62

Abbildung 32: Skizze des Beispiels "Läufer"................................................................63

Abbildung 33: Skizze Symmetrisieren des Beispiels "Läufer" ......................................64

Abbildung 34: Skizze Reflexion ...................................................................................65

Verzeichnisse

90

Abbildung 35: Dynamische Veranschaulichung des Beispiels "Läufer"........................66

Abbildung 36: Lösung des Beispiels "Läufer" im CAS .................................................66

Abbildung 37: Tabelle zum Beispiel "Hotel" .................................................................69

Abbildung 38: Graph der Zielfunktion des Beispiels "Hotel" .........................................70

Abbildung 39: Skizze des Beispiels "Stau" ..................................................................71

Abbildung 40: Graph der Zielfunktion des Beispiel "Stau" ............................................73

Abbildung 41: Skizze des Beispiels "Rettungsschwimmer" ..........................................74

Abbildung 42: Skizze 2 des Beispiels "Rettungsschwimmer" .......................................75

Abbildung 43: Skizze 3 des Beispiels "Rettungsschwimmer" .......................................76

Abbildung 44: Skizze Lichtstrahl ..................................................................................78

Abbildung 45: Münze (Heidorn, 2014) .........................................................................79

Abbildung 46: Skizze Münze (Heidorn, 2014) ..............................................................80

Abbildung 47: Aufgabe (Frudek&Benkeser, 2007, S.41) .............................................81

Abbildung 48: Anhang 1 (Frudek&Benkeser, 2007, S.41)............................................91



Anhang

91

10 Anhang

Abbildung 48: Anhang 1 (Frudek&Benkeser, 2007, S.41)

Anhang

92


Anhang

93


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