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Fakultat fur Mathematik

Diplomarbeit

Polynomiell wachsende Gruppen: Geometrie, Spektrenund Ruckkehrwahrscheinlichkeiten

Fabian Schwarzenberger

Chemnitz, den 28. Mai 2013

Betreuer: Dr. Ivan Veselic

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 5

1 Grundlagen 7

1.1 Metrische Eigenschaften von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Volumenwachstum von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Nilpotente Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Amenable Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Virtuelle und residuelle Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Die großen Satze 35

3 Ruckkehrwahrscheinlichkeiten 39

3.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Beweis der Hauptaussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Die integrierte Zustandsdichte 59

4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Anwendung auf den Adjazenzoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 Asymptotik der integrierten Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Amenabel versus residuell endlich 85

5.1 Kleine Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2 Einfuhrendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3 Allgemeine Untergruppen und Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4 Algorithmische Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.5 Der seltsame Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Ausblick 123

Danksagung 125

Literaturverzeichnis 129

3

Inhaltsverzeichnis

4

Einleitung

Geordnete Strukturen und deren Symmetrien haben die Menschheit seit jeher fasziniert. Dies

hat sowohl asthetische als auch streng wissenschaftliche Grunde. Psychologische Studien bele-

gen, dass der Mensch Objekte als besonders schon empfindet, wenn diese einer symmetrischen

Anordnung unterliegen. In vielen Bereichen der Kunst findet sich diese Vorliebe fur Ordnung

wieder. Die Physik sieht in dem geordneten und regelmaßigen Aufbau der Festkorper durch

ihre Atome den Grund fur deren Bestandigkeit. Einige Mikrobiologen gehen heute sogar da-

von aus, dass der Ubergang von chaotischen Mischungen organischer Molekule hin zu hoch

geordneten Strukturen den Beginn des Lebens auf unserem Planeten darstellen konnte.

Dies sind nur einige Grunde dafur, sich auch mathematisch ausgiebig mit solch wohlgeordneten

Objekten zu befassen. Einen schonen Zugang hierzu bildet die geometrische Gruppentheorie.

Die Grundlage zu diesem Teilgebiet bilden Gruppen, welche zu den allgemeinsten Objekten

in der Mathematik zahlen. Versehen wir eine Menge mit einer binaren Operation, fordern

Abgeschlossenheit und Assoziativitat, die Existenz von inversem und neutralem Element, so

erhalten wir eine Gruppe. Gerade diese Allgemeinheit einer Gruppe ist es, was die Symmetrie

der daraus entstehenden Objekte verursacht.

Es gibt eine Unmenge von Gruppen in allen Bereichen der Mathematik. Standardbeispiele

sind Zd, Rd und C, jeweils betrachtet mit der ublichen Addition. Außerdem gibt es auch

endliche Gruppen wie Z2, welche nur aus den Elementen’Null‘ und

’Eins‘ besteht. Andere

Beispiele sind Symmetriegruppen, welcher ihrerseits die geometrische Beschaffenheit anderer

Objekte beschreiben. Dies ist jedoch nicht der Grund, weshalb wir von geometrischer Grup-

pentheorie sprechen, vielmehr beschaftigen wir uns in diesem Gebiet mit der Geometrie der

Gruppe selbst.

Konzentrieren wir uns auf Gruppen mit endlichem Erzeugendensystem, so lasst sich mittels

diesem eine Metrik einfuhren, die sogenannte Wortmetrik. Der Abstand zwischen zwei Ele-

menten ist hierbei gerade die minimale Anzahl von Erzeugern, welche man benotigt um das

eine in das andere Element zu uberfuhren. Die genaue Definition hierzu befindet sich in Ka-

pitel 1. Da die Metrik somit von der Wahl des Erzeugendensystems abhangt, lasst uns dies

einen gewissen Spielraum. Zum Vergleich zweier metrischer Raume werden wir daher den

Begriff der Quasi-Isometrie verwenden, welcher Unterschiede”im Kleinen“ zulasst, solange

die Metrik”im Großen“ ubereinstimmt.

Die Wortmetrik macht die Gruppe zu einem metrischen Raum und damit ist es moglich

Abstande zu messen und Kugeln von einem bestimmten Radius um ein Element zu betrach-

5

Einleitung

ten. Untersuchen wir das Verhaltnis von Radius zum Volumen der Kugeln in einer Gruppe,

fuhrt das zum Begriff des Volumenwachstums und zu einer wegweisenden Unterteilung in ver-

schiedene Klassen des Wachstums. Eine dieser Klassen sind die Gruppen von polynomiellem

Wachstum, welche eine zentrale Rolle in dieser Arbeit spielen.

Im ersten Kapitel werden wir grundlegende Begriffe erlautern und Zusammenhange zwischen

verschieden Gruppeneigenschaften herstellen. Insbesondere wird sich zeigen, dass es ein Wech-

selspiel zwischen geometrischen und algebraischen Eigenschaften gibt. Desweiteren wird der

Cayley-Graph eingefuhrt, welcher ein interessantes Konzept ist, um sich eine Gruppe als

geometrisches Objekt zu veranschaulichen. Dieser stellt die Verknupfung von geometrischer

Gruppentheorie und Graphentheorie dar und ermoglicht es so, mit graphentheoretischen Mit-

teln die Geometrie der Gruppe zu untersuchen.

Cayley und Dehn waren unter den ersten, denen auffiel, dass die Sichtweise eine Gruppe als

metrischen Raum zu betrachten viele neue Blickwinkel eroffnet. Spater leisteten Milnor, Wolf,

Bass und vor allem Gromov einen großen Beitrag zur Weiterentwicklung dieser Theorie. Das

zweite Kapitel soll hierzu einen kleinen Uberblick liefern.

Da wir nun in einer Gruppe Abstande messen konnen, ist es uns moglich Wege durch die

Gruppe zu definieren, bei welchen wir, unter Einhaltung bestimmter Gesetzmaßigkeiten, von

einem zum nachsten Element springen. Sinnvoll ist es etwa die Sprungweite zwischen den

Elementen nach oben zu beschranken. Setzen wir sie beispielsweise genau mit Eins fest und

wahlen von allen moglichen Elementen jedes mit der gleichen Wahrscheinlichkeit, also zufallig,

aus, so nennen wir dies eine einfache zufallige Irrfahrt (Random Walk). Nun konnen wir uns

uberlegen, wie wahrscheinlich es ist nach einer vorgegebenen Anzahl von Schritten wieder zum

Ausgangspunkt zuruck zu kehren, dies wollen wir die Ruckkehrwahrscheinlichkeit nennen. Die

Hauptaussage des dritten Kapitels ist, dass die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten invariant unter

Quasi-Isometrie sind. Dies ist ein Ergebnis von Pittet und Saloff-Coste, siehe [14].

Die spektralen Eigenschaften der Gruppe werden im darauf folgenden Kapitel naher unter-

sucht. Wir betrachten den Adjazenzoperator zum Cayley-Graphen einer Gruppe. Untersuchen

wir die Eigenwerte dieses Operators auf immer großer werdenden Teilmengen des Graphen,

so gelangen wir im Grenzwert zu einer spektralen Verteilungsfunktion. Wir nennen sie die

integrierte Zustandsdichte (IDS). Das Kapitel 4 wird zeigen, dass wir fur polynomiell wach-

sende Gruppen eine prazise Aussage uber die Asymptotik der IDS treffen konnen. Genauer

kann man sagen, am Rand des Spektrums wird sich die Verteilungsfunktion wie ein Polynom

verhalten.

Im letzen Kapitel beschaftigen wir uns am Beispiel der Heisenberg-Gruppe H3 mit der Frage

nach der Vereinbarkeit zweier gruppentheoretischer Eigenschaften, namlich”amenabel“ und

”residuell endlich“. Als polynomiell wachsende Gruppe ist es klar, dass H3 beide Eigenschaf-

ten besitzt. Da beide Eigenschaften mit Hilfe einer Folge von Untergruppen definiert werden

konnen, stellen wir uns die Frage, ob dies in beiden Fallen dieselbe sein kann.

6

1 Grundlagen

In dieser Arbeit wollen wir Gruppen als metrische Raume auffassen und uns fur die Ver-

knupfung algebraischer und geometrischer Eigenschaften interessieren. Das erste Kapitel wird

die Grundlagen und erste wichtige Ergebnisse der geometrischen Gruppentheorie liefern. Be-

sonders die Begriffe Volumenwachstum, Amenabilitat und Nilpotenz stehen hier im Mittel-

punkt der Betrachtung.

Ublicherweise werden wir als Gruppenoperation die Multiplikation verwenden. Eine Außnah-

me wird die Gruppe Zd sein. Hier werden wir die additive Schreibweise nutzen. Das Eins-

element einer Gruppe G wird mit eG bezeichnet. Wenn klar ist um welche Gruppe es sich

handelt, werden wir auf den Index verzichten.

1.1 Metrische Eigenschaften von Gruppen

Da wir Gruppen als metrische Raume auffassen wollen, ist es notwendig auf ihnen eine Metrik

einzufuhren. Hierzu wahlen wir zunachst eine Erzeugermenge S der Gruppe.

Definition 1.1.1 • Sei G eine Gruppe und S ⊆ G eine Teilmenge. Wir nennen S eine

Erzeugermenge (bzw. ein Erzeugendensystem), falls wir jedes Element der Gruppe G

durch ein endliches Produkt von Elementen aus S darstellen konnen, d.h.

∀g ∈ G ∃s1, . . . sn ∈ S : g = s1 · · · sn.

Das Produkt s1 · · · sn nennen wir ein Wort in S und n die zu diesem Produkt gehorige

Wortlange.

• Existiert fur eine Gruppe G ein endliches Erzeugendensystem, so nennen wir G endlich

erzeugt.

• Fur eine endlich erzeugte Gruppe G nennen wir ein Erzeugendensystem, welches sym-

metrisch (d.h. s ∈ S ⇒ s−1 ∈ S) und endlich ist, ein angepasstes Erzeugendensystem.

Man sieht leicht, dass man mittels A ∪ A−1 aus einer beliebigen Teilmenge A der Gruppe,

eine symmetrische erzeugen kann. Von der obigen Definition ausgehend werden wir fur den

”Abstand“ zweier Elemente g1, g2 ∈ G die Abbildung dS(g1, g2) einfuhren, welche die mini-

male Wortlange das Elementes g−11 g2, ausgedruckt als Wort in S, angibt.

7

1 Grundlagen

Definition 1.1.2 (Wortmetrik) Sei G eine Gruppe und S eine angepasste Erzeugermenge,

dann definieren wir die Abbildung dS : G×G→ N0 fur g 6= h mittels

dS(g, h) := min{n ∈ N | ∃s1, . . . , sn ∈ S mit s1 · · · sn = g−1h},

und im Spezialfall g = h mittels

dS(g, g) := 0

Wir nennen diese Abbildung Wortmetrik auf G bezuglich S. Fur ein Element g ∈ G ist

‖g‖S := dS(e, g)

der durch die Wortmetrik erzeugte Abstand zum Einselement e.

Dass die Wortmetrik tatsachlich eine Metrik definiert, zeigt das folgende Lemma.

Lemma 1.1.3 dS ist eine Metrik auf der Menge G.

Beweis:

• Nach Definition gilt dS(g, h) ∈ N0, damit gilt insbesondere dS ≥ 0. Außerdem folgt aus

der Definition, dass dS(g, h) = 0 genau dann gilt, wenn g−1h durch ein Wort der Lange

0 repasentiert wird. Da aber ein Wort der Lange 0 gerade dem Einselement entspricht,

folgt dS(g, h) = 0⇔ g = h.

• Fur g, h ∈ G sei s1s2 · · · sk ein Wort minimaler Lange, welches g−1h repasentiert. Dann

gilt h−1g = s−1k · · · s

−11 und damit dS(g, h) ≥ dS(h, g). Mit dem gleichen Argument folgt

dS(g, h) ≤ dS(h, g). Also haben wir dS(g, h) = dS(h, g) gezeigt.

• Fur f, g, h ∈ G seien s1 · · · sk und t1 · · · tl Worter, welche die Elemente g−1f bzw. f−1h

reprasentieren. Dann ist

s1 · · · skt1 . . . tl

ein Wort, welches g−1ff−1h = g−1h erzeugt. Dies zeigt dS(g, h) ≤ dS(g, f) + dS(f, h).

�

Bemerkung 1.1.4 • Die Wortmetrik nimmt demnach nur Werte aus den naturlichen

Zahlen an und nicht wie Metriken im Allgemeinen Werte aus R+. Dies scheint fur

den Geometer in uns, auf den ersten Blick, nicht sonderlich spannend. Doch betrachten

wir die Gruppe aus einem”

großeren Abstand“, d.h wir skalieren die Metrik mit einem

Wert kleiner 1, so rucken die Elemente immer weiter zusammen. Aus einer”

sehr großen

Entfernung“ konnen wir nicht mehr zwischen der Metrik mit diskreten Werten und einer

stetigen Approximation dieser Metrik unterscheiden.

8

1.1 Metrische Eigenschaften von Gruppen

• Aus der Definition wird klar, dass die Metrik dS wesentlich von der gewahlten Er-

zeugermenge S abhangt. Wahlen wir diese sehr groß, verliert unsere Metrik dS stark

an Informationsgehalt. Gilt beispielsweise G = S, entspricht dS der diskreten Metrik,

was wiederum bedeutet, dass alle Punkte zueinander den Abstand 1 besitzen. Wir be-

schranken daher unsere Betrachtungen auf endliche Erzeugendensysteme und Gruppen,

welche ein solches besitzen.

• Fur eine Gruppe G mit angepasstem Erzeugendensystem S hangt die Metrik dS noch

von der Wahl der Erzeuger ab. Jedoch stellt sich heraus, dass fur viele (globale) Eigen-

schaften die konkrete Wahl von S mit S−1 = S und |S| <∞ unerheblich ist. Betrachtet

man die Gruppe aus genugend großem Abstand verschwinden die Effekte, welche durch

die Wahl der Erzeugermenge entstehen.

Bemerkung 1.1.5 Ebenso wie endlich erzeugte Gruppen ein endliches Erzeugendensystem

besitzen, kann man den Begriff der abzahlbar erzeugten Gruppe einfuhren. Eine solche Grup-

pe besitzt demnach ein abzahlbares Erzeugendensystem. Ist eine Gruppe ausgestattet mit der

diskreten Topologie (d.h. jede Teilmenge ist offen), so heißt sie diskrete Gruppe. Eine end-

lich erzeugte Gruppe mit der Wortmetrik und der dadurch erzeugten Topologie ist diskret.

Wir betrachten endlich erzeugte Gruppen immer in dieser Topologie und werden daher die

Eigenschaft”

diskret“ unterdrucken.

Aus der Theorie metrischer Raume ist uns die folgende Eigenschaft zum Vergleich zweier

Raume vertraut.

Definition 1.1.6 Seien (X, dX) und (Y, dY ) metrische Raume. Eine Abbildung Φ : X → Y

heißt Isometrie falls sie folgendes fur alle x1, x2 ∈ X erfullt:

dX(x1, x2) = dY (Φ(x1),Φ(x2)).

Daraus folgt sofort die Stetigkeit und die Injektivitat von Φ. Ist Φ zusatzlich noch surjektiv,

ist die Inverse Φ−1 : Y → X auch eine Isometrie und wir nennen die beiden Raume (X, dX)

und (Y, dY ) isometrisch. Dies ist eine Aquivalenzrelation zwischen metrischen Raumen.

In der geometrischen Gruppentheorie ist es notwendig eine schwachere Aquivalenzrelation

einzufuhren. Es sollen die Unterschiede im Detail vernachlassigt werden, welche insbesondere

durch die recht beliebige Wahl der Erzeugermenge auftreten. Dazu nutzen wir wieder eine

Abbildung Φ zwischen zwei Raumen. Wir vergleichen den Abstand zweier Elemente mit einer

linearen Verschiebung des Abstandes nach Anwendung der Abbildung Φ.

9

1 Grundlagen

Definition 1.1.7 Sei Φ : X → Y eine Abbildung zwischen den metrischen Raumen (X, dX)

und (Y, dY ).

(i) Wir nennen Φ eine Quasi-Isometrie, falls es Konstanten a > 0 und b ≥ 0 gibt, so dass

die folgende Bedingung erfullt ist. Fur alle x1, x2 ∈ X gilt

1

adX(x1, x2)− b ≤ dY (Φ(x1),Φ(x2)) ≤ adX(x1, x2) + b. (1.1)

(ii) Gilt zusatzlich eine Quasi-Surjektivitat, d.h. es existiert ein c ≥ 0, so dass

∀y ∈ Y : dY (y,Φ(X)) ≤ c

erfullt ist, existiert eine Quasi-Isometrie Φ′ : Y → X und wir nennen die Raume

(X, dX) und (Y, dY ) quasi-isometrisch.

Beachte: Φ muss hier weder stetig noch injektiv sein.

Die Quasi-Isometrie Φ′ aus Punkt (ii) konstruiert man folgendermaßen: Gegeben seien die

Konstanten a, b, c > 0 der Quasi-Isometrie Φ : X → Y . Fur ein y ∈ Y wahlt man x ∈ X, so

dass dY (y,Φ(x)) ≤ c und setzt Φ′(y) = x. Dann setzt man a′ := a, b′ := b und c′ := ac+ab und

es zeigt sich, dass obiges Φ′ : Y → X eine Quasi-Isometrie mit den Konstanten a′, b′, c′ > 0

ist.

Wir wollen im nachsten Beispiel zeigen, dass Gruppen zu bestimmten Untergruppen quasi-

isometrisch sind. Dazu benotigen wir noch ein paar Begriffe.

Definition 1.1.8 Ist G eine Gruppe und U < G eine Untergruppe, so definiert U auf G

mittels

g1U∼ g2 :⇔ g1g

−12 ∈ U ⇔ g1 ∈ Ug2

eine Aquivalenzrelation. Das heißt g1 liegt in der Rechtsnebenklasse von g2 und andersrum.

Die Aquivalenzklasse Ug eines Elementes g ∈ G wird mit [g] bezeichnet. Die Menge der

Aquivalenzklassen

G/U := {[g] | g ∈ G}

wird Quotient von G und U genannt. Die Machtigkeit von G/U wird Index von U in G

genannt und oft mit [G : U ] bezeichnet. Ein Vertretersystem F dieser Aquivalenzklassen heißt

ein zu U gehoriger Fundamentalbereich bezuglich G.

Mit Vertretersystem ist gemeint, dass F genau ein Element aus jeder Aquivalenzklasse enthalt.

Dass F ein zu U gehoriger Fundamentalbereich bezuglich G ist, kann man demnach auch

mittels

(a) G =⋃u∈U

uF und

(b) uF ∩ F = ∅ fur u ∈ U \ {e}

10

1.2 Volumenwachstum von Gruppen

zeigen. Die Bedingung (a) ist aquivalent dazu, dass mindestens ein Vertreter jeder Aquiva-

lenzklasse in F liegt. Die Bedingung (b) entspricht der Aussage, dass maximal ein Vertreter

jeder Aquivalenzklasse in F liegt.

Beispiel 1.1.9 (i) Ist G eine Gruppe und U eine Untergruppe mit endlichem Index, so

sind G und U quasi-isometrisch, unabhangig von der Wahl der Erzeugendensysteme.

(ii) Jede endliche Gruppe ist quasi-isometrisch zur trivialen Gruppe.


Im Folgenden fuhren wir eine wichtige Eigenschaft einer Gruppe ein: das Wachstum von

”Kugeln“.

Definition 1.2.1 (Wachstumsfunktion) Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und S ein

endliches Erzeugendensystem von G. Dann definieren wir die Wachstumsfunktion VS : N→ Nvon G bezuglich S durch

VS(n) = |{g ∈ G|dS(g, e) ≤ n}|.

Aus der Definition wird klar, dass die Wachstumsfunktion bei endlichen Gruppen ab einem

gewissen n konstant ist. Da uns jedoch das Verhalten von VS(n) fur große n interessieren wird,

werden wir uns, sobald wir vom Wachstum einer Gruppe sprechen, auf unendliche Gruppen

beschranken.

Man kann sagen VS(n) ist die Anzahl der Elemente welche in einer Kugel mit dem Radius n um

das Einselement e enthalten sind. Besonders interessant ist mit welcher Geschwindigkeit VS(n)

wachst. Wir werden diese in Definition 1.2.15 in drei verschieden Klassen unterteilen. Obwohl

in die Definition wieder das endliche Erzeugendensystem S eingeht, hangt das Wachstum

einer Gruppe nur sehr wenig von S ab. Dies zeigt Lemma 1.2.5. Doch zunachst fuhren wir

eine Moglichkeit zum Vergleich zweier Wachstumsfunktionen ein.

Definition 1.2.2 Fur zwei monoton wachsende Funktionen V1, V2 : R+ → R+ sagen wir, V2

dominiert V1, falls es eine Konstante k > 0 gibt, so dass fur alle n ≥ 0

V1(n) ≤ V2(kn)

gilt. In diesem Fall schreiben wir V1 � V2. Gilt außerdem V2 � V1, so sagen wir die Funktionen

sind von gleichem Wachstum und schreiben V1 ∼ V2.

Bemerkung 1.2.3 In der Literatur wird die eben definierte Dominanz oft als starke Domi-

nanz bezeichnet. Schwache Dominanz ware dann:

∃k ≥ 0 : V1(n) ≤ kV2(kn) fur alle n ≥ 0.

Im Falle von Wachstumsfunktionen von endlich erzeugten Gruppen sind jedoch beide Arten

von Dominanz aquivalent. Dies zeigt das folgende Lemma, welches man etwa in [4] findet.

11

1 Grundlagen

Lemma 1.2.4 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe, S ein angepasstes Erzeugendensystem

und V (n) die zugehorige Wachstumsfunktion. Fur jedes k ≥ 0 existiert ein K ≥ 0, so dass

kV (kn) ≤ V (Kn)

fur alle n ≥ 0 gilt.

Beweis: Sei n ∈ N fest. Da G unendlich viele Elemente enthalt und jedes Element immer nur

genau |S| Elemente mit Abstand 1 besitzt, gibt es fur beliebigen Abstand zum Einselement

e Elemente in G, welche diesen annehmen. Sei also g6n ein Element mit Abstand 6n zum

Einselement. Wir konnen g6n demnach mit einem Wort der Lange 6n in S ausdrucken. Lassen

wir den letzten Erzeuger im Wort weg, erhalten wir ein neues Element g6n−1, fur welches

d(e, g6n−1) = 6n − 1 und d(g6n, g6n−1) = 1 gilt. Fuhren wir dies induktiv fort bis wir bei e

angelangt sind, erhalten wir einen Pfad

(g6n, g6n−1, . . . , g1, g0 = e)

fur den

d(e, gn) = n und d(gn−1, gn) = 1 fur 1 ≤ n ≤ 6n

gilt. Wahlen wir uns zwei beliebige Elemente dieser Menge aus, so ist ein Pfad zwischen ihnen,

der durch die Menge geht, ein kurzester. Eine solche Menge nennt man einen geodatischen

Pfad. Diese Eigenschaft andert sich nicht, wenn wir jedes Element durch (Multiplikation von

links mit) g−13n verschieben. Wir andern die Bezeichnung folgendermaßen: fur k = 1, . . . 6n gilt

gk−3n = g−13n gk. Somit erhalten wir den geodatischen Pfad

(g−3n, . . . , g−1, g0 = e, g1, . . . , g3n),

welcher um das Einselement zentriert ist. Dieser ist enthalten in der Kugel

B3n(e) = {g ∈ G | d(e, g) ≤ 3n}.

Da die Kugeln mit dem Radius n um g−n−1 und gn+1 disjunkt und in B3n(e) enthalten sind,

gilt

2V (n) ≤ V (3n).

Wir konnen dies fur jedes n ∈ N zeigen. Iterativ erhalten wir

2mV (n) ≤ V (3mn)

fur alle m ≥ 0 und n ≥ 1. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit konnen wir annehmen, dass

n eine naturliche Zahl ist. Wahlen wir m so, dass 2m ≥ k und setzen K = 3mk erhalten wir

kV (kn) ≤ 2mV (kn) ≤ V (3mkn) = V (Kn)

fur alle n ≥ 1.

�

12


Lemma 1.2.5 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und S und T zwei angepasste Erzeugen-

densysteme, so gilt

VS ∼ VT .

Beweis: Wahle k ∈ N so, dass alle Elemente von S bezuglich T in einer Kugel der Große k

um das Einselement liegen, dann ist fur jede naturliche Zahl n die n-Kugel bzgl. dS enthalten

in der nk-Kugel bzgl. dT . Es gilt also

VS � VT .

Andererseits gibt es auch eine Konstante k′, so dass die n-Kugel bzgl. dT enthalten in der

nk′-Kugel bzgl. dS und

VT � VS

gilt. Damit sind VS und VT von gleichem Wachstum.

�

Falls wir uns fur das große Wachstumsverhalten fur n → ∞ interessieren, mussen wir daher

(bis auf multiplikative Konstanten) nicht mehr zwischen VS(n) und VT (n) unterscheiden und

schreiben im Folgenden nur noch V (n).

Lemma 1.2.6 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und H eine Untergruppe mit endlichem

Index. V (n) und W (n) seien die Wachstumsfunktionen von G bzw. H. Dann gilt

V (n) ∼W (n).

Beweis: Diese Aussage ist eine direkte Folgerung aus dem Beispiel 1.1.9 und dem Korollar

1.2.14.

�

Eine weitere Moglichkeit sich eine Gruppe als geometrisches Objekt zu veranschaulichen,

ist den zugehorigen Cayley-Graphen zu betrachten. Die Knoten dieses Graphen entsprechen

den Elementen der Gruppe. Zwischen den Knoten existiert genau dann eine Kante, wenn sie

bezuglich der Wortmetrik den Abstand 1 haben.

Definition 1.2.7 (Cayley-Graph) Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und S ein ange-

passtes Erzeugendensystem. Der Cayley-Graph Γ = Γ(G,S) ist der Graph, dessen Knoten-

und Kantenmenge folgendermaßen bestimmt sind

(i) Knotenmenge: VΓ = {g ∈ G}

(ii) Kantenmenge: EΓ = {{g, h} | g−1h ∈ S}.

13

1 Grundlagen

Bemerkung 1.2.8 • Zu einer Gruppe G gibt es viele verschieden Cayley-Graphen, nam-

lich fur jedes angepasste Erzeugendensystem einen.

• Der Cayley-Graph ist ein regularer Graph, das heißt in jedem Knoten treffen gleich viele

Kanten aufeinander, namlich genau |S| Stuck. Insbesondere ist der Graph lokal endlich

(d.h. der Grad jedes Knotens ist endlich).

• Da S die gesamte Gruppe erzeugt, ist der Cayley-Graph zusammenhangend.

• Der Cayley-Graph ist zusammenhangend und der Knotengrad gleichmaßig beschrankt.

Erfullt ein Graph diese beiden Eigenschaften, sagen wir, er ist von beschrankter Geo-

metrie.

• Auf einem Graphen Γ existiert eine kanonische Metrik dΓ. In dieser Metrik ist der Ab-

stand zweier Knoten als Lange des kurzesten Kantenzugs, welcher den einen mit dem

anderen Knoten verbindet, definiert. Falls Γ = Γ(G,S), so gilt dΓ(g, h) = dS(g, h) fur

alle g, h ∈ G. Daher konnen die Begriffe”

Quasi-Isometrie“ und”

Wachstum“ problem-

los auf den Cayley-Graph ubertragen werden.

Wollen wir fur einen allgemeinen Graphen Γ eine Wachstumsfunktion bezuglich der

Metrik dΓ definieren, so mussen wir uns auf einen Mittelpunkt der”

Kugeln“ festlegen.

• Enthalt S das Einselement e, so entsteht in dem Cayley-Graph an jedem Knoten eine

Schleife, das heißt eine Kante, die den Knoten mit sich selbst verbindet.

• Der Cayley-Graph erlaubt uns eine Gruppe als einen Graphen zu betrachten. Wir konnen

daher mit graphentheoretischen Mitteln Eigenschaften von Gruppen untersuchen. Bei-

spielsweise werden wir im Folgenden das Volumenwachstum von Graphen untersuchen

und erhalten somit sofort das entsprechende Ergebnis fur Gruppen.

Beispiel 1.2.9 Der Cayley-Graph einer freien (insbesondere nicht abelschen) Gruppe mit

einer zweielementigen Erzeugermenge {a, b} sieht folgendermaßen aus. Der Ausschnitt zeigt

eine Kugel der Große 3 um das Einselement e.

Abbildung 1.1: Cayley-Graph einer freien Gruppe mit zwei Erzeugern

a

b

e

14


Beispiel 1.2.10 (Heisenberg-Gruppe H3) Wir betrachten hier die 3-dimensionale Hei-

senberg-Gruppe H3, deren Elementenmenge gegeben ist durch

H3 =

{ 1 0 0

k 1 0

m l 1

∣∣∣∣∣k, l,m ∈ Z}.

Die Gruppenoperation ist die Matrixmultiplikation. Zur ubersichtlicheren Darstellung fuhren

wir zunachst folgende Bezeichung ein k

l

m

:=

1 0 0

k 1 0

m l 1

.

In dieser Notation gilt

H3 =

{ k

l

m

∣∣∣∣∣k, l,m ∈ Z}

und fur die Gruppenoperation k

l

m

k′

l′

m′

=

k + k′

l + l′

m+m′ + lk′

.

Das Inverse eines Elementes ist k

l

m

−1

=

−k−l

kl −m

.

Um einen Cayley-Graphen zeichnen zu konnen, mussen wir ein Erzeugendensystem angeben.

Eines ist

s =

1

0

0

t =

0

1

0

u =

0

0

1

deren Elemente folgende Zusammenhange erfullen

su = us tu = ut t−1s−1ts = u. (1.2)

Jedes Element aus H3 besitzt eine eindeutige”

Normalform“ bezuglich der Darstellung mit

S1 := {s, s−1, t, t−1, u, u−1} k

l

m

= sktlum

15

1 Grundlagen

Somit existiert eine naturliche Bijektion zwischen H3 und Z3. Nun wollen wir uns noch klar

machen, wie die Erzeuger s, t und u auf ein beliebiges Element aus der Gruppe wirken: k

l

m

s =

k + 1

l

m+ l

k

l

m

t =

k

l + 1

m

k

l

m

u =

k

l

m+ 1

beziehungweise

s

k

l

m

=

k + 1

l

m

t

k

l

m

=

k

l + 1

m+ k

u

k

l

m

=

k

l

m+ 1

Durch den Zusammenhang in (1.2) wird uns klar, dass wir das Element u entfernen konnen

und auch die Menge S2 := {s, s−1, t, t−1} ein Erzeugendensystem fur H3 ist.

Abbildung 1.2: Cayley-Graph der Heisenberg-Gruppe bezuglich S1

��

��

��

��

��

��

��

��

��

@@

@@

@@

@@

BBBBB

BBBBB

BBBBB

-

6

��

��

��m

n

p

Schon im Bild sieht man, dass die Wortmetrik in Abhangingkeit der Gruppenstruktur eine

sehr komplexe Form annehmen kann. Man erkennt, dass in Richtung einer Koordinate immer

langer werdende Kanten entstehen, je weiter man sich von dem Einselement entfernt. In die

anderen Richtungen wird jedoch die Standardlange beibehalten. Blachere untersuchte in [3]

die Metrik bezuglich des Erzeugendensystems S2 naher und gelangte zu folgendem Ergebnis:

Den Abstand eines beliebigen Elementes (k, l,m)> zum Einselement wollen wir schreiben als

‖(k, l,m)>‖. Zunachst sollen ein paar Symmetrie-Eigenschaften die Anzahl der zu untersu-

chenden Falle minimieren. Ersetzen wir bei einem Wort der Lange ‖(k, l,m)>‖ jedes Element

16


sε durch s−ε und dann jedes Element tε durch t−ε, wobei ε ∈ {−1, 1}, so erhalten wir

∥∥∥∥∥ k

l

m

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥−kl−m

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥−k−lm

∥∥∥∥∥.Ersetzen wir nun noch alle sε mit tε und umgekehrt, so erhalten wir

∥∥∥∥∥ k

l

m

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥ l

k

m

∥∥∥∥∥und mit der vorangegangen Formel auch ‖(k, l,m)>‖ = ‖(−l,−k,m)>‖. Daher reicht es sich

auf den Fall k ≥ 0, k ≥ l ≥ −k und m ≥ 0 zu beschranken. Mit dke meinen wir die kleinste

ganze Zahl großer als k.

Satz 1.2.11 Sei k ≥ 0, k ≥ l ≥ −k und m ≥ 0 und (k, l,m) 6= (0, 0, 0). Dann gilt:

I Falls l ≥ 0:

I.1 Falls k ≤√m, dann ∥∥∥∥∥

k

l

m

∥∥∥∥∥ = 2d2√me − k − l.

I.2 Falls k ≥√m, und

I.2.1 kl ≥ m, dann ∥∥∥∥∥ k

l

m

∥∥∥∥∥ = k + l;

I.2.2 kl ≤ m, dann ∥∥∥∥∥ k

l

m

∥∥∥∥∥ = 2dm/ke+ k − l

außer wenn k=0, aber dann gilt l=m=0.

II Falls l < 0:

II.1 Falls k ≤√m− kl, dann

∥∥∥∥∥ k

l

m

∥∥∥∥∥ = 2d2√m− kle − k + l.

17

1 Grundlagen

II.2 Falls k ≥√m− kl, dann ∥∥∥∥∥

k

l

m

∥∥∥∥∥ = 2dm/ke+ k − l.

Beweis: siehe [3].

�

Wie in Bemerkung 1.2.8 bereits erwahnt, nutzt man, um Volumenwachstum auf allgemeinen

Graphen zu definieren die kanonische Metrik auf dem Graphen. Außerdem ist es notwendig

sich auf einen Mittelpunkt fur die Kugeln festzulegen.

Definition 1.2.12 Sei Γ = (M,E) ein Graph mit der Knotenmenge M und der Kantenmen-

ge E und dΓ die kanonische Metrik auf dem Graphen. Fur einen Knoten x ∈M sei

VΓ,x(n) = |{y ∈ Γ | dΓ(x, y) ≤ n}|

die Volumenwachstumsfunktion am Knoten x.

Satz 1.2.13 Seien Γ und Λ zwei Graphen mit beschrankter Geometrie. Auf ihnen sei die ka-

nonische Metrik dΓ bzw. dΛ definiert. Sind Γ und Λ quasi-isometrisch mit der Quasi-Isometrie

Φ : Γ→ Λ und der Quasi-Inversen Φ′ : Λ→ Γ, so gilt fur die Wachstumsfunktionen

VΓ,x(n) ∼ VΛ,Φ(x)(n)

fur alle x ∈ Γ.

Beweis: Sei x ∈ Γ fest gewahlt. Wir werden uns hier auf den Beweis von

VΓ,x(n) ≤ VΛ,Φ(x)(cn)

beschranken. Die Konstanten fur die Quasi-Isometrie Φ : Γ→ Λ seien a, b > 0 und die Quasi-

Surjektivitat sei mit der Konstanten c erfullt. Seien a, b ohne Beschrankung der Allgemeinheit

naturliche Zahlen.

Wir betrachten zunachst den Graphen ΦΓ der definiert ist durch die Knotenmenge {Φ(g) | g ∈Γ}. Zwei Knoten h1, h2 ∈ ΦΓ sind durch eine Kante verbunden, falls es benachbarte Elemente

g1 und g2 in Γ gibt mit Φ(g1) = h1 und Φ(g2) = h2. Der Wert τ(h1, h2) soll der Anzahl solcher

Kanten (g1, g2) in Γ entsprechen. Daraus ergibt sich, dass dΛ(h1, h2) ≤ a+ b =: k gilt.

Desweiteren definieren wir den Graphen Λ(k), welcher die gleichen Knoten wie Λ besitzen soll

und zwei Knoten h1 und h2 genau dann benachbart sind, wenn 0 ≤ dΛ(h1, h2) ≤ k erfullt ist.

Aus diesen Definitionen folgt, dass ΦΓ ein Untergraph von Λ(k) ist. Fur die Wachstumsfunk-

tionen der Graphen folgt daher

VΦΓ,Φ(x)(n) ≤ VΛ(k),Φ(x)(n). (1.3)

18


Außerdem gilt fur die Wachstumsfunktionen der Graphen Λ und Λ(k) der folgende Zusam-

menhang:

VΛ,Φ(x)(k · n) = VΛ(k),Φ(x)(n). (1.4)

Der Durchmesser des Urbildes eines Element h ∈ Λ ist beschrankt durch die Konstante b. Ist

M ≥ 2 der maximale Knotengrad in Γ, so gilt

|Φ−1(h)| ≤M0 +M1 + . . .M b =M b+1 − 1

M − 1≤M b+1,

wobei Φ−1(h) das Urbild von h unter Φ meint. Hieraus ergibt sich eine obere Schranke fur

die Abbildung τ(·, ·), denn wir haben

τ(h1, h2) ≤∑

h∈Φ−1(h1)

|{g ∈ Γ|g ∼ h}|

≤∑

h∈Φ−1(h1)

M

≤ M b+2.

Damit entsprechen einer Kante in ΦΓ maximal M b+2 Kanten in Γ. Die Tatsache, dass in

einem Graphen mit maximalem Knotengrad M die Anzahl von Knoten und Kanten mittels

Anzahl der Knoten ≤ M(Anzahl der Kanten)

Anzahl der Kanten ≤ 2(Anzahl der Knoten)

gegeneinander abgeschatzt werden konnen, liefert:

VΓ,x(n) ≤ 2M b+3VΦΓ,Φ(x)(n). (1.5)

Aus (1.3), (1.4) und (1.5) folgt

VΓ,x(n) ≤ 2M b+3VΛ,Φ(x)(kn).

Wenden wir nun Lemma 1.2.4 an, so folgt die Behauptung. Die zweite Ungleichung folgt

analog, unter Verwendung der Quasi-Inversen Φ′.

�

Da der Cayley-Graph einer Gruppe von beschrankter Geometrie ist, lasst sich dieser Satz auf

Gruppen ubertragen. Wir halten dies in folgendem Korollar fest.

Korollar 1.2.14 Seien G und H zwei endlich erzeugte Gruppen. Sind G und H quasi-

isometrisch, so gilt fur die Wachstumsfunktionen VG(n) ∼ VH(n).

19

1 Grundlagen

Wir unterscheiden drei Arten von Wachstum einer Gruppe.

Definition 1.2.15 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und sei V (n) die zugehorige Wachs-

tumsfunktion. Wir sagen G ist von

• exponentiellem Wachstum, falls es c > 0 und a > 1 gibt, so dass fur alle n gilt

V (n) > can,

• polynomiellem Wachstum, falls es c > 0 und d ≥ 0 gibt, so dass fur alle n gilt

V (n) ≤ cnd,

• mittlerem Wachstum, falls die Gruppe weder von exponentiellem, noch von polynomiel-

lem Wachstum ist.

Nach Definition tritt immer genau einer der drei Falle ein. Das Korollar 1.2.14 zeigt, dass

die Eigenschaft von exponentiellem, polynomiellem bzw. mittlerem Wachstum zu sein, eine

quasi-isometrische Invariante ist. Wahlen wir im Falle des polynomiellen Wachstums das

kleinstmogliche d, fur welches V (n) ≤ cnd erfullt ist, finden wir ein c mit cnd ≤ V (n) ≤ cnd.

Naheres dazu steht in Korollar 2.0.15.

Beispiel 1.2.16 • Endliche Gruppen sind von polynomiellem Wachstum.

• Sei G eine abelsche Gruppe mit endlichem Erzeugendensystem S, |S| = k. Fur die

Wachstumsfunktion gilt dann

V (n) ≤ V (n− 1) +

(n+ k − 1

n

).

Weiß man, dass sich bei einer Auswahl von n Elementen aus einer k elementigen

Teilmenge, ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Zurucklegen, gerade

(n+ k − 1

n

)Moglichkeiten ergeben, so ist obige Formel offensichtlich.

• Freie abelsche Gruppen sind immer von polynomiellem Wachstum. Eine freie abelsche

Gruppe ist eine Gruppe mit einer kanonischen Wahl der Erzeugermenge. Mit dieser

lasst sich jedes Element der Gruppe eindeutig (bis auf Permutationen) darstellen. Ins-

besondere darf das Einselement e nicht in der Erzeugermenge enthalten sein. Sei also

G eine freie abelsche Gruppe und S solches Erzeugendensystem (mit |S| = k). Fur den

Zuwachs der Volumenwachstumsfunktion von G ergibt sich dann

V (n) = V (n− 1) +

(n+ k − 1

n

).

20

1.3 Nilpotente Gruppen

Die obige Formel fur allgemeine abelsche Gruppen ist also hier mit Gleichheit erfullt.

Wegen (n+ k − 1

n

)=

(n+ k − 1)!

n!(k − 1)!=

(n+ k − 1) · · · (n+ 1)

(k − 1)!

ist fur k ≥ 2 der Zuwachs ein Polynom vom Grad (k − 1) und V (n) wachst wie ein

Polynom der Ordnung k. Fur k=1 gilt offensichtlich V (n) = 2n + 1. Da wir den Zn

mit n Elementen erzeugen konnen, zeigt dies insbesondere, dass Zn polynomiell mit der

Ordnung n wachst.

• Freie Gruppen wachsen exponentiell. Besteht das Erzeugendensystem aus k ≥ 2 Ele-

menten, so gilt fur n ≥ 2

V (n) = V (n− 1) + k(k − 1)n−1.

Daraus folgt

V (n) =

{1 + k (k−1)n−1

k−2 : k > 2

1 + 2n : k = 2.

Dies ist das schnellstmogliche Wachstum von Cayley-Graphen. Siehe dazu auch Beispiel

1.2.9.

• Eine Gruppe mit mittlerem Wachstum zu konstruieren ist etwas komplizierter. Ein Bei-

spiel ist die Grigorchuk-Gruppe, welcher in [4] ein ganzes Kapitel gewidmet wird.

Bemerkung 1.2.17 Die Umkehrung von Korrollar 1.2.14 gilt nicht. Das heißt Gruppen de-

ren Wachstumsfunktionen aquivalent sind, mussen nicht quasi-isometrisch sein. Auch wenn

wir uns auf Gruppen mit polynomiellem Wachstum beschranken, bleibt die Aussage falsch.

Siehe dazu die Bemerkung 2.0.12.


In der Gruppentheorie beschreibt der Begriff”Nilpotenz“ die Eigenschaft einer Gruppe

”fast

abelsch“ zu sein. Um dies richtig verstehen zu konnen, fuhren wir zunachst ein Maß fur die

Kommutativitat zweier Elemente der Gruppe ein, den Kommutator.

Definition 1.3.1 Sei G eine Gruppe und g, h ∈ G. Der Kommutator [g, h] ist folgenderma-

ßen definiert:

[g, h] = g−1h−1gh.

Demnach gilt gh = hg[g, h], was zeigt, dass g und h kommutativ bis auf den Faktor [g, h]

sind. Bei einer abelschen Gruppe G gilt fur alle g, h ∈ G: [g, h] = e, wobei e das Einselement

ist.

21

1 Grundlagen

Satz 1.3.2 Es gelten die folgenden Gesetze, wobei der Ausdruck ax das bezuglich x konju-

gierte Element bedeutet, also x−1ax.

• [h, g] = [g, h]−1

• [[g, h−1], k]h · [[h, k−1], g]k · [[k, g−1], h]g = 1

• [gh, k] = [g, k]h · [h, k]

• [g, hk] = [g, k] · [g, h]k

Beweis: Diese Ergebnisse erhalt man durch Einsetzen der Definitionen von [·, ·] und ax. Wir

beweisen hier nur die dritte Eigenschaft.

[g, k]h · [h, k] = (g−1k−1gk)hh−1k−1hk

= h−1g−1k−1gkhh−1k−1hk

= h−1g−1k−1ghk

= [gh, k]

�

Der Kommutator zweier Untergruppen U und H von G ist entsprechend definiert als die

Untergruppe, die durch die Kommutatoren erzeugt wurde. Also

[U,H] := 〈{[u, h] |u ∈ U, h ∈ H}〉,

wobei 〈A〉 fur fur eine Teilmenge A ⊆ G die durch A erzeugte Untergruppe in G meint. Man

beachte hierbei, dass die Menge der Kommutatoren im Allgemeinen noch keine Gruppe ist.

Definition 1.3.3 (Nilpotenz I) Die fallende zentrale Reihe {Ai}i≥1 einer Gruppe G ist

definiert durch

G = A1, A2, A3, . . . , Ai, . . . , wobei Ai+1 = [Ai, G]

Existiert ein n ∈ N, fur das An die triviale Gruppe ist, so ist Am fur alle m ≥ n gleich der

trivialen Gruppe und wir nennen G nilpotent. Ist n+ 1 die kleinste Zahl fur welche das gilt,

so ist G nilpotent vom Grad n.

Bemerkung 1.3.4 • Jede abelsche Gruppe ist nilpotent vom Grade 1, mit Ausnahme der

trivialen Gruppe. Diese ist nilpotent vom Grad 0.

• Sei G eine nilpotente Gruppe vom Grade n. Um den Begriff nilpotent zu rechtfertigen,

definieren wir uns fur ein fixiertes Element g ∈ G eine Funktion f : G → G mit

f(x) = [x, g]. Damit ist f nilpotent in dem Sinne, dass die n-fache Anwendung von f

auf ein beliebiges Element x der Gruppe immer das Einselement e ergibt, d.h. fn(x) = e.

22


• Bilden wir die erste Kommutatoruntergruppe A2 = [G,G], so liegt diese normal in G.

Dies liegt daran, dass wir fur alle g ∈ G und a ∈ [G,G] die Aquivalenz

g−1ag ∈ [G,G] ⇔ a−1g−1ag ∈ [G,G]

haben und die recht Seite laut Definition gilt. Davon ausgehend kann man induktiv

zeigen, dass die Untergruppen Ai allesamt Normalteiler von G sind. Die Gruppe A2 =

[G,G] ist die kleinste Untergruppe fur welche die Faktorgruppe G/A2 abelsch wird. Man

nennt G/A2 daher auch Abelisierung von G und schreibt Gab.

• Da die Untergruppen Ai fur i ∈ N alle Normalteiler von G sind kann man zeigen, dass

fur alle i ∈ N auch

Ai ⊇ Ai+1

gilt.

• Induktiv kann gezeigt werden, dass fur alle i ∈ N gilt, dass Ai+1 Normalteiler von Ai

ist und die Faktorgruppe Ai/Ai+1 abelsch ist.

Der Begriff nilpotent lasst sich auch durch die wachsende zentrale Reihe definieren:

Definition 1.3.5 (Nilpotenz II) Die wachsende zentrale Reihe der Gruppe G ist

{e} = Z1, Z2, Z3, . . . , Zi, . . . ,

wobei

Zi+1 = {x ∈ G | ∀y ∈ G : [x, y] ∈ Zi}.

Wir nennen eine Gruppe nilpotent vom Grad n, falls Zn+1 = G und Zn 6= G.

Induktiv kann man zeigen, dass alle Zi Untergruppen und insbesondere sogar Normalteiler

von G sind. Damit ist es dann moglich fur alle i ∈ N

Zi ⊆ Zi+1

zu zeigen. Aus der Definition wird klar, dass Z2 gleich dem Zentrum der Gruppe G ist. Fur

jede nachfolgende Gruppe gilt, dass der Faktor Zi+1/Zi das Zentrum von G/Zi ist. Ist G

abelsch, so ist Z2 = G. Die Definitionen 1.3.3 und 1.3.5 sind aquivalent: Die fallende zentrale

Reihe erreicht genau dann die triviale Gruppe, wenn die wachsende zentrale Reihe G erreicht.

Außerdem ist der minimale Index n in beiden Fallen derselbe.

Beispiel 1.3.6 (Heisenberg-Gruppe) Die Heisenberg-Gruppe H3 (mit der Bezeichnung

aus Beispiel 1.2.10) ist nilpotent vom Grad 2. Denn falls wir zwei beliebige Elemente

a =

k

l

m

b =

k′

l′

m′

23

1 Grundlagen

wahlen, so sieht der Kommutator folgendermaßen aus

[a, b] = a−1b−1ab

=

k

l

m

−1 k′

l′

m′

−1 k

l

m

k′

l′

m′

=

−k−l

kl −m

−k′

−l′

k′l′ −m′

k + k′

l + l′

m+m′ + k′l

=

−k − k′

−l − l′

−m−m′ + kl + k′l′ + k′l

k + k′

l + l′

m+m′ + k′l

=

0

0

−m−m′ + kl + k′l′ + k′l +m+m′ + k′l + (k + k′)(−l − l′)

=

0

0

k′l − kl′

Damit haben wir A1 := H3 und

A2 := [A1, A1] =

{ 0

0

m

∣∣∣∣m ∈ Z}' Z2.

Fur a ∈ A2 und b ∈ A1 ergibt sich [a, b] = (0, 0, 0)>, wobei (0, 0, 0)> das Einselement der

Gruppe ist. A3 := [A2, A1] ist also die triviale Gruppe.

Im Zusammenhang mit nilpotenten Gruppen sollte auch der Begriff der Auflosbarkeit fallen.

Auflosbare Gruppen bilden eine Obermenge der nilpotenten Gruppen. Die Definitionen un-

terscheiden sich nur darin, dass man hier bei der absteigenden Folge von Untergruppen eine

neue Untergruppe erhalt, indem man den Kommutator der jeweils vorherigen (mit sich selbst)

bildet.

Definition 1.3.7 (Auflosbarkeit) Wir nennen eine Gruppe G auflosbar, falls fur die Folge

G = B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ · · · ⊇ Bi ⊇ . . . , wobei Bi+1 = [Bi, Bi]

gilt, dass fur einen endlichen Index n ∈ N die Gruppe Bn die triviale Gruppe ist. Ist n + 1

der kleinste Index der dies erfullt, so heißt G auflosbar vom Grad n.

24

1.4 Amenable Gruppen

Sei (Ai)i∈N die Folge aus Definiton 1.3.3 und (Bi)i∈N die Folge aus 1.3.7. Fur alle i gilt Bi ⊂ Ai.Wenn Ai = {e} fur ein i ∈ N gilt, so folgt auch Bi = {e}, und es ergibt sich

nilpotent =⇒ auflosbar.

Die symmetrische Gruppe S3 ist ein Beispiel fur eine Gruppe, die auflosbar, aber nicht nilpo-

tent ist.


Definition 1.4.1 Eine diskrete Gruppe G heißt genau dann amenabel, wenn es einen Inhalt,

welcher jede Teilmenge von G auf [0, 1] abbildet, gibt, so dass folgende Eigenschaften erfullt

sind:

1. die Gruppe G wird auf 1 abgebildet.

2. Der Inhalt ist endlich additiv: fur endlich viele disjunkte Teilmengen gilt, dass der Inhalt

der Vereinigung dieser gleich dem der Summe der Inhalte ist.

3. Das Inhalt ist rechts-invariant: fur eine beliebige Teilmenge A und ein beliebiges Element

g ∈ G ist der Inhalt von A gleich dem Inhalt von Ag = {ag|a ∈ A}.

Man beachte, dass man Amenablilitat auch fur allgemeine lokal kompakte Gruppen definieren

kann. Das ware jedoch etwas aufwendiger als die obige Schreibweise. Definition 1.4.1 ist [16]

entnommen und ist dem Autor zufolge die ursprungliche Definition, welche auf von Neumann

zuruck geht. Eine weitere Moglichkeit diese Eigenschaft zu definieren zeigt Følner in [6].

Satz 1.4.2 (Følner) Eine abzahlbar erzeugte Gruppe G ist genau dann amenabel, wenn fur

jedes positive ε und fur jede endliche Menge A ⊂ G eine nichtleere endliche Menge E ⊂ G

existiert, so dass

|Ea4E| ≤ ε|E| fur jedes a ∈ A (1.6)

gilt, wobei Ea = {ea|e ∈ E} und Ea4E die symmetrische Differenz beider Mengen bedeutet.

Bemerkung 1.4.3 Statt der symmetrischen Differenz kann man auch die (ubliche) Differenz

zwischen der verschobenen und der ursprunglichen Menge betrachten. Das heißt wir konnen

die Zeile (1.6) auch durch

|Ea \ E| ≤ ε|E| fur jedes a ∈ A

ersetzen. Dies gilt auch fur die folgenden Aussagen.

25

1 Grundlagen

Beweis: Da g 7→ ga ein Automorphismus von G ist, gilt |E| = |Ea| fur alle endlichen Teil-

mengen E und alle a ∈ G. Außerdem haben wir

Ea4E = (Ea \ E) ·∪(E \ Ea)

und damit

|Ea4E| = |Ea \ E|+ |E \ Ea|,

wobei A ·∪B die disjunkte Vereinigung der Mengen A und B ist. Da wir hier mit der symme-

trischen Differenz von E und Ea gleich viel wegschneiden, gilt

|Ea4E| = |E \ (E ∩ Ea) ·∪Ea \ (E ∩ Ea)| = 2|Ea \ E|.

Daraus folgt

|Ea4E| ≤ ε|E| ⇔ |Ea \ E| ≤ ε

2|E|.

Da in der obigen Definition die Eigenschaft (1.6) fur alle ε > 0 gefordert ist, konnen wir die

Halbierung von ε in der letzten Zeile ignorieren.

�

Der folgende Satz liefert Beispiele und Eigenschaften amenabler Gruppen. Der Beweis ist

nachzulesen in [16].

Satz 1.4.4 1. Endliche Gruppen sind amenabel. Dies wird ersichtlich, wenn wir das Zahl-

maß verwenden und dies mit 1|G| skalieren.

2. Abelsche Gruppen sind amenabel.

3. Ist G die Vereinigung einer wachsenden Folge amenabler Untergruppen, so ist G amena-

bel.

4. Untergruppen amenabler Gruppen sind amenabel.

5. Besitzt G eine amenable Untergruppe mit endlichem Index, so ist G amenabel.

6. Ist H ein Normalteiler von G, so ist G genau dann amenabel, wenn H und G/H amena-

bel sind.

7. Endlich erzeugte Gruppen mit subexponentiellem (d.h. polynomiellem oder mittlerem)

Wachstum sind amenabel.

8. Auflosbare Gruppen sind amenabel.

Eine weitere Moglichkeit eine Gruppe als amenabel zu identifizieren, bietet die Existenz einer

Følner-Folge. Dies ist eine Folge von Teilmengen von G, welche sich”nicht zu sehr bewegen“,

wenn wir ein Element g aus G darauf anwenden.

26


Definition 1.4.5 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe. Eine Følner-Folge ist eine Folge end-

licher Teilmengen F1, F2, . . . von G, fur die gilt

limi→∞

|Fig4Fi||Fi|

= 0, (1.7)

fur alle Elemente g aus G.

Satz 1.4.6 Eine endlich erzeugte Gruppe ist genau dann amenabel, wenn in ihr eine Følner-

Folge existiert.

Beweis: Wir werden die Aquivalenz zur Aussage in Satz 1.4.2 zeigen.

⇒: Sei (εi)i≥1 eine Folge mit εi ↘ 0 fur i→∞ und (Ai)i≥1 eine Folge endlicher Teilmengen

von G mit

Ai ⊆ Ai+1 und⋃i≥1

Ai = G.

Der Satz 1.4.2 liefert

∀i ∈ N ∃Ei ⊂ G : |Eia4Ei| ≤ εi|Ei| fur jedes a ∈ Ai

⇒ ∀i ∈ N ∃Ei ⊂ G :|Eia4Ei||Ei|

≤ εi fur jedes a ∈ Ai

⇒ limi→∞

|Eia4Ei||Ei|

= 0 fur jedes a ∈ Aj , j beliebig

⇒ limi→∞

|Eia4Ei||Ei|

= 0 fur jedes a ∈ G.

Damit ist (Ei)i≥1 eine Følner-Folge.

⇐: Sei ε > 0, A eine endliche Teilmenge von G und (Fi)i≥1 eine Følner-Folge, d.h

limi→∞

|Fig4Fi||Fi|

= 0

fur alle g ∈ G. Insbesondere gilt diese Bedingung fur alle g ∈ A. Wir wahlen i so groß,

dass|Fia4Fi||Fi|

≤ ε fur jedes a ∈ A

gilt. Setzen wir E = Fi so haben wir

|Ea4E| ≤ ε|E|

fur alle a ∈ A.

�

27

1 Grundlagen

Beispiel 1.4.7 Ist G eine Gruppe von subexponentiellem Wachstum, so kann man aus der

Folge der Kugeln um das Einselement

Bn := {g ∈ G|d(g, e) ≤ n}

eine Teilfolge (Bn′) auswahlen, welche eine Følner-Folge bildet, siehe etwa [1]. Ist G von poly-

nomiellem Wachstum, so ist es nicht notwendig zu einer Teilfolge uber zu gehen. Man kann in

diesem Fall zeigen, dass (Bn)n∈N schon eine Følner-Folge ist. Gruppen von subexponentiellem

Wachstum sind daher amenabel.

Fur praktische Berechnungen ist das folgende Lemma sehr interessant. Es besagt, dass es im

Allgemeinen genugt sich auf die Verschiebungen durch eine Erzeugermenge zu konzentrieren,

um Amenabilitat zu zeigen. Außerdem ist die Art des Erzeugendensystems, insbesondere ob

es symmetrisch ist, nicht relevant. Der Beweis hierzu ist [1] zu entnehmen.

Lemma 1.4.8 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und S ein angepasstes Erzeugendensys-

tem. Falls es fur jedes positive ε eine endliche Teilmenge E von G gibt mit

|ES \ E| ≤ ε|E|,

so existiert fur jede endliche Menge A ⊂ G und fur jedes ε > 0 eine nichtleere Teilmenge F

mit

|FA \ F | ≤ ε|F |.

Das nachste Lemma liefert die in dieser Arbeit am haufigsten verwendete Moglichkeit Amena-

bilitat zu zeigen.

Lemma 1.4.9 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und S = {s1, . . . , sk} ein endliches Er-

zeugendensystem. Eine Folge (Fi)i∈N ist genau dann eine Følner-Folge, wenn

limi→∞

|FiS \ Fi||Fi|

= 0 (1.8)

gilt.

Beweis:

⇒: Sei (Fi)i∈N eine Følner-Folge, so gilt

|FiS \ Fi||Fi|

≤ |Fis1 \ Fi||Fi|

+ · · ·+ |Fisk \ Fi||Fi|

→ 0,

fur i→∞.

28


⇐: Sei Bedingung (1.8) erfullt und ein beliebiges g ∈ G gegeben. Wir wahlen eine Folge

(εj)j≥1 mit εj ↘ 0 fur j →∞ und setzen m := ‖g‖S . Es gilt g ∈ Sm.

Aufgrund Bedingung (1.8) kann i(j) so gewahlt werden, dass fur alle i ≥ i(j)

|FiS \ Fi| ≤ εjk − 1

km − 1|Fi|

gilt. Wegen der Inklusionen

(Fig \ Fi) ⊆ (FiSm \ Fi)

⊆ (FiSm \ FiSm−1) ∪ (FiS

m−1 \ FiSm−2) ∪ · · · ∪ (FiS \ Fi)

und

(FiSn+1 \ FiSn) =

⋃g∈Sn

(FiSg \ FiSn)

⊆⋃g∈Sn

(FiSg \ Fig)

⊆⋃g∈Sn

(FiS \ Fi)g

gilt

|Fig \ Fi| ≤ |FiSm \ Fi|

≤m−1∑n=0

|FiSn+1 \ FiSn|

≤m−1∑n=0

|⋃g∈Sn

(FiS \ Fi)g|

≤m−1∑n=0

|Sn||FiS \ Fi|

≤m−1∑n=0

|S|nεjk − 1

km − 1|Fi|

≤ εjk − 1

km − 1|Fi|

m−1∑n=0

kn

≤ εj |Fi|.

Nun haben wir also

|Fig \ Fi| ≤ εj |Fi|

beziehungsweise|Fig \ Fi||Fi|

≤ εj

29

1 Grundlagen

fur alle i ≥ i(j). Lassen wir nun j gegen ∞ laufen, so gilt εj ↘ 0 und es folgt

|Fig \ Fi||Fi|

→ 0

fur i→∞.

�

Es gibt noch eine Reihe weiterer Charakterisierungen fur Amenabilitat, siehe die eben zitierte

Arbeit [1] von Adachi. Eine Auswahl dieser Aussagen finden wir in den Satzen 1.4.11 und

1.4.13. Hierzu benotigen wir jedoch zunachst die folgende Definition.

Definition 1.4.10 • Sei G eine Gruppe und E und A zwei Teilmengen von G. Wir

nennen E A-zusammenhangend, falls fur alle g, h ∈ E Elemente x1, x2, . . . , xn ∈ A∪A−1

existieren, so dass

g−1h = x1x2 · · ·xn.

• Eine Folge {Ei}∞j=1 nichtleerer A-zusammenhangender endlicher Teilmengen von G

nennt man eine m-dicke A-Summations-Folge fur G, falls die folgenden Bedingungen

erfullt sind

1. Ej ⊂ Ej+1 und G =∞⋃j=1

Ej,

2.|EjAm\Ej ||Ej |

→ 0 fur j →∞.

Satz 1.4.11 Eine abzahlbar erzeugte diskrete Gruppe G ist genau dann amenabel, wenn fur

jedes positive ε und jede endliche Menge A ⊂ G eine nichtleere A-zusammenhangende endliche

Menge E ⊂ G existiert, so dass

|E · a\E| ≤ ε|E| fur jedes a ∈ A

gilt.

Bemerkung 1.4.12 Der Satz 1.4.11 ist aquivalent zu folgender Aussage:

G ist genau dann amenabel, wenn die isoperimetrische Konstante

ιA(G) = inf

{|E ·A\E||E|

∣∣∣∣ E ist eine nichtleere A-zusammenhangende endliche Teilmenge

}gleich Null ist fur jede endliche Teilmenge A.

Satz 1.4.13 Eine Gruppe G mit einer endlichen Erzeugermenge A ist genau dann amenabel,

wenn fur jedes m ∈ N eine m-dicke A-Summations-Folge existiert.

30


Auf allgemeinen Graphen gibt es statt dem Begriff der Amenabilitat den der Isoperimetrie.

Die Verallgemeinerung einer Følner-Folge ist in diesem Rahmen eine van-Hove-Folge.

Definition 1.4.14 Sei Γ ein Graph, V die zugehorige Menge der Knoten und E seien die

Kanten. Fur eine Teilmenge der Knoten V0 ⊆ V nennen wir

∂V0 := {{g, h} ∈ E | entweder g ∈ V0 oder h ∈ V0}

den Rand von V0.

Eine Folge (Ai)i≥1 endlicher nichtleerer Teilmengen aus V heißt van-Hove-Folge, falls

limi→∞

|∂Ai||Ai|

= 0

gilt.

Satz 1.4.15 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe mit angepasstem Erzeugendensystem S und

(Ai)i≥1 eine Folge endlicher Teilmengen aus der Knotenmenge V des zugehorigen Cayley-

Graphs Γ(G,S), so sind aquivalent

(a) (Ai)i≥1 ist eine van-Hove-Folge in Γ(G,S)

(b) (Ai)i≥1 ist eine Følner-Folge in G.

Beweis: Wir nutzen die Aquivalenz zur Følner-Eigenschaft aus Lemma 1.4.9.

⇒: Sei (Ai)i≥1 eine van-Hove-Folge in Γ(G,S). Da jeder Knoten aus AiS\Ai von mindestens

einer Kante aus ∂Ai getroffen wird, gilt die Ungleichung

|AiS \Ai| ≤ |∂Ai|

fur alle i ∈ N. Daraus folgt

limi→∞

|AiS \Ai||Ai|

≤ limi→∞

|∂Ai||Ai|

= 0.

Da Lemma 1.4.8 gezeigt hat, dass man die Følner-Eigenschaft nur fur ein beliebiges

Erzeugendensystem zeigen muss sind wir fertig.

⇐: Sei (Ai)i≥1 eine Følner-Folge. Da von jedem Knoten aus AiS \ Ai maximal |S| Kanten

in die Menge Ai gehen konnen gilt die Ungleichung

|∂Ai| ≤ |S||AiS \Ai|

fur alle i ∈ N. Daraus folgt

limi→∞

|∂Ai||Ai|

≤ limi→∞

|S||AiS \Ai||Ai|

= 0.

�

31

1 Grundlagen

Bemerkung 1.4.16 Im Kontext allgemeiner Graphen sprechen wir auch von der isoperime-

trischen Konstante. Sei Γ ein Graph, so ist sie definiert durch

ι(Γ) = inf

{|∂E||E|

∣∣∣∣ E ist eine nichtleere endliche Teilmenge der Knoten von Γ

}.

Eine Folge (Ei)i≥1 endlicher Teilmengen der Knoten aus Γ mit

limi→∞

|∂Ei||Ei|

= ι(Γ)

nennen wir eine isoperimetrische Folge. Im Fall ι(Γ) = 0 ist eine isoperimetrische Folge eine

van-Hove-Folge.

1.5 Virtuelle und residuelle Eigenschaften

Oft ist es in der Gruppentheorie der Fall, dass man einer Gruppe eine gewisse Eigenschaft

nicht nachweisen kann, sie doch von ihrem Verhalten her”sehr nahe“ an dieser Eigenschaft

ist. Wir haben so etwas bereits im Kapitel uber nilpotente Gruppen gesehen. Dort haben wir

gelernt, dass man nicht-abelsche Gruppen nach ihrer Nahe zu einer Abelschen Gruppe klassi-

fizieren kann, mit dem sogenannten Nilpotenzindex. Ahnliches werden wir in diesem Kapitel

untersuchen. Dazu werden wir zunachst beschreiben, was es bedeutet, dass eine Gruppe eine

Eigenschaft virtuell besitzt.

Definition 1.5.1 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und [P ] eine Gruppeneigenschaft. Wir

sagen die Gruppe G ist virtuell-[P], falls eine Untergruppe von endlichem Index existiert,

welche die Eigenschaft [P] besitzt.

Insbesondere wird uns hierbei die Eigenschaft virtuell nilpotent interessieren. Nun wollen wir

sagen was es heißt, wenn eine Eigenschaft nur residuell angenommen wird.

Definition 1.5.2 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und [P ] eine Gruppeneigenschaft. Fin-

den wir zu jedem Element g 6= e aus G einen Normalteiler, welcher dieses Element nicht

enthalt und dessen Faktorgruppe die Eigenschaft [P ] besitzt, so nennen wir G residuell-[P ].

Hierbei werden wir uns vor allem auf residuell endliche Gruppen konzentrieren. Daher geben

wir fur diesen speziellen Fall eine weitere, aquivalente Definition an.

Definition 1.5.3 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe.

• Ist (Nn)n∈N eine Folge von Normalteilern in G, so dass folgende Eigenschaften erfullt

sind

(i) [G : Nn] <∞ fur alle n ∈ N,

(ii) Nn+1 ⊂ Nn fur alle n ∈ N und

32

1.5 Virtuelle und residuelle Eigenschaften

(iii)⋂n∈N

Nn = {e},

so nennen wir (Nn)n∈N eine RE-Folge.

• Wir nennen G residuell endlich, falls in G eine RE-Folge existiert.

Nun folgen ausgewahlte Eigenschaften residuell endlicher Gruppen. Falls man sich fur weitere

Eigenschaften interessiert, findet man eine schone Auflistung in [4].

Satz 1.5.4 Es gilt

(i) Untergruppen mit endlichem Index von residuell endlichen Gruppen sind auch residuell

endlich.

(ii) Falls eine Gruppe G eine Untergruppe mit endlichem Index besitzt, welche residuell

endlich ist, so ist G selbst auch residuell endlich.

(iii) Ist G eine endlich erzeugte Gruppe, welche residuell endlich ist, dann ist die Gruppe

der Automorphismen auf G ebenfalls residuell endlich.

Da sich viele unserer Betrachtungen auf nilpotente Gruppen beziehen werden, ist der folgende

Satz wichtig.

Satz 1.5.5 Sei G eine endlich erzeugte nilpotente Gruppe, dann ist G residuell endlich.

Den Beweis findet man beispielsweise in [8]. Mit der Eigenschaft (ii) aus dem Satz 1.5.4 ergibt

sich:

Korollar 1.5.6 Sei G eine endlich erzeugte virtuell nilpotente Gruppe, dann ist G residuell

endlich.

Dies ist eine ubliche Verwendung der beiden Begriffe. Man nutzt bekannte Aussagen (hier:

nilpotente Gruppen sind residuell endlich) und erweitert diese, indem man die Eigenschaften

”virtuell“ fordert, auf eine großere Menge von Gruppen (hier: virtuell nilpotente Gruppen).

Das einzige was man in diesem Fall ausnutzt ist, dass sich”residuell endlich“ von der Unter-

gruppe mit endlichem Index auf die Gruppe selbst ubertragt. Ahnlich kann man den Begriff

”residuell“ nutzen.

Der Satz von Gromov liefert eine schone, zu Korollar 1.5.6 aquivalente Aussage. Um die

Spannung aufrecht zu erhalten wollen wir diese jedoch nicht vorweg nehmen.

33

1 Grundlagen

34

2 Die großen Satze

Dieses Kapitel soll einen Uberblick uber grundlegende Ergebnisse der geometrischen Gruppen-

theorie geben. Eine fundamentale Idee auf diesem Gebiet ist die Verknupfung algebraischer

Eigenschaften mit geometrischen. Insbesondere wird sich zeigen, dass die Eigenschaft nilpo-

tent zu sein in engem Zusammenhang mit der Geometrie einer Gruppe steht.

Als erstes wichtiges Ergebnis zu dem Thema mochten wir den Satz von Milnor-Wolf, siehe

[10] und [17], hervorheben.

Satz 2.0.7 (Milnor-Wolf) Sei G eine endlich erzeugte Gruppe, welche nicht exponentiell

wachst. Ist G auflosbar, so ist G virtuell nilpotent.

Wir haben uns bereits klar gemacht, dass aus nilpotent sofort auflosbar folgt. Dieser Satz

zeigt also fast die Ruckrichtung fur nicht exponentiell wachsende Gruppen. Es ist nicht die

exakte Ruckrichtung, da Milnor und Wolf virtuelle Nilpotenz zeigen.

Ein weiteres wichtiges Ergebnis lieferte Wolf in [17]. Es gelang ihm das Wachstum von nilpo-

tenten Gruppen recht prazise anzugeben. Dazu werden wir zunachst eine Kennzahl nilpoten-

ter Gruppen bestimmen. Wir benotigen vorher jedoch die Definition des torsionsfreien Rangs

einer abelschen Gruppe.

Satz 2.0.8 (Hauptsatz uber endlich erzeugte abelsche Gruppen) Sei die Gruppe A

endlich erzeugt und abelsch, dann ist A in folgender Weise zerlegbar:

Es gibt ein eindeutig bestimmtes r ∈ N und n1, . . . , nk ∈ N, so dass

A ∼= Zr × Z/n1Z× . . .× Z/nkZ

mit

2 ≤ ni und ni|ni+1 fur jedes i.

Dieses r nennen wir den torsionsfreien Rang von A.

Sei G = A1 ⊇ A2 ⊇ . . . die fallende zentrale Reihe (aus Definition 1.3.3). Somit ist Ah/Ah+1

eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, deren torsionsfreien Rang wir mit rh bezeichnen. Wir

definieren

d(G) =∑h≥1

hrh.

Fur nilpotente Gruppen ist diese Summe endlich, da fur alle h, welche großer als der Nilpo-

tenzindex sind, Ah und damit auch Ah/Ah+1 der trivialen Gruppe entsprechen. Damit ist rh

fur diese Faktorgruppen gleich Null. Wolf zeigte 1968 in [17] den folgenden Satz.

35

2 Die großen Satze

Satz 2.0.9 (Wolf) Sei G eine endlich erzeugte, nilpotente Gruppe und V (n) die zugehorige

Volumenwachstumsfunktion, dann existieren Konstanten a, b > 0, so dass gilt

and ≤ V (n) ≤ bne,

wobei d = d(G) und e =∑h≥1

2h−1rh.

Im Jahr 1971 verfeinerte Bass in [2] dieses Ergebnis und formulierte folgende Aussage:

Satz 2.0.10 (Bass) Sei G eine endlich erzeugte, nilpotente Gruppe, so ist G von polynomi-

ellem Wachstum vom Grad d = d(G), d.h es existieren Konstanten a, b > 0 mit

and ≤ V (n) ≤ bnd. (2.1)

Aus Lemma 1.2.6 folgt sofort, dass wir”nilpotent“ auch durch das allgemeinere

”virtuell

nilpotent“ ersetzen konnen. Das heißt, beide Aussagen, dass G polynomiell wachsend ist und

dass sich der Grad des Wachstums mit der Formel (2.1) abschatzen lasst, bleiben erhalten. Mit

diesem Satz ist es uns also moglich das Wachstum nilpotenter Gruppen konkret anzugeben.

Wir untersuchen dies am Beispiel der Heisenberg-Gruppe.

Beispiel 2.0.11 (Heisenberg-Gruppe) Die Heisenberg-Gruppe

H3 =

{ k

l

m

∣∣∣∣k, l,m ∈ Z}

besitzt polynomielles Wachstum vom Grad 4.

Beweis: Wie aus Beispiel 1.3.6 bekannt, ist H3 nilpotent von Grad 2. Um die Formel (2.1)

anwenden zu konnen, mussen wir zunachst die Kommutatoruntergruppen und dann den tor-

sionsfreien Rang der Faktorgruppen bestimmen. Wir setzen A1 := H3 und haben

A2 = [A1, A1] =

{ 0

0

m

∣∣∣∣m ∈ Z}

und

A3 = [A2, A1] =

{0

0

0

}.

36

Wegen k

l

m

A2∼

k′

l′

m′

⇐⇒

k

l

m

k′

l′

m′

−1

∈ A2

⇐⇒

k − k′

l − l′

m−m′ + kl − k′l

∈ A2

⇐⇒ k = k′ ∧ l = l′

gilt A1/A2∼= Z2. Da A3 die triviale Gruppe ist, haben wir auch A2/A3

∼= A2∼= Z. Daher gilt

r1 = 2 und r2 = 1 und mit dem Satz von Bass erhalten wir d(H3) = 4.

�

Bemerkung 2.0.12 Obwohl die Heisenberg-Gruppe polynomielles Wachstum vom Grad 4

hat, existiert keine Quasi-Isometrie zum Z4. Das bedeutet insbesondere, dass die Umkehrung

von Korollar 1.2.14 nicht stimmt.

Beweis: Wie eben im Beispiel gesehen, gilt bei der Heisenberg-Gruppe fur den torsionsfreien

Rang ri(H3) der Faktorgruppen Ai/Ai+1:

r1(H3) = 2, r2(H3) = 1 und ri(H3) = 0 ∀i ≥ 3

Sei ri(Z4) der entsprechende torsionsfreie Rang fur Z4. Da diese Gruppe bereits abelsch ist,

gilt

r1(Z4) = 4 und ri(Z4) = 0 ∀i ≥ 2.

Nun kann man aber in dem Ubersichtsartikel [5] von Farb und Mosher nachlesen, dass Pan-

su in [13] gezeigt hat, dass ri(G) invariant unter Quasi-Isometrie ist. Damit ist klar, dass

ri(H3) = ri(Z4) ∀i eine notwendige Bedinung fur die Existenz einer Quasi-Isometrie ist. Dies

ist offensichtlich nicht erfullt.

�

Im Jahr 1981 ist es Michael Gromov in [7] gelungen auch die Ruckrichtung zu Bass’ Resultat

zu zeigen.

Satz 2.0.13 (Gromov) Eine endlich erzeugte Gruppe ist genau dann von polynomiellem

Wachstum, wenn sie virtuell nilpotent ist.

Es ist uns also moglich die virtuell nilpotenten Gruppen gerade mit den polynomiell wach-

senden zu identifizieren. Als direkte Folgerung ergibt sich

37

2 Die großen Satze

Korollar 2.0.14 Ist G eine endlich erzeugte Gruppe und erfullt die zugehorige Volumen-

wachstumsfunktion V (n)

lim supn→∞

lnV (n)

lnn<∞

so ist G virtuell nilpotent.

Korollar 2.0.15 Sei G endlich erzeugt und von polynomiellem Wachstum, dann gilt: es exis-

tiert ein d ∈ N, so dass wir die Wachstumsfunktion von oben und von unten durch ein Polynom

vom Grad d beschranken konnen.

Beweis: Gromov stellt in seinem Satz heraus, dass fur endlich erzeugte Gruppen aus polynomi-

ell wachsend auch virtuell nilpotent folgt. Damit gibt Bass im Satz 2.0.10 fur alle polynomiell

wachsenden Gruppen eine Formel zur Berechnung von deren Grad an:

d(G) =∑h≥1

hrh.

Daher muss d eine naturliche Zahl sein. Außerdem beinhaltet der Satz von Bass die gewunschte

Abschatzung des Wachstums nach unten, siehe (2.1).

�

38

3 Ruckkehrwahrscheinlichkeiten

Wie wir in den vorangegangen Kapiteln bereits gesehen haben, ist die Quasi-Isometrie von

Gruppen ein wichtiges Vergleichskriterium. Sie bildet eine Aquivalenzrelation auf der Menge

aller endlich erzeugten Gruppen. Von großem Interesse ist es daher, welche Eigenschaften

den Gruppen einer Aquivalenzklasse gemeinsam sind. Dies ist die Frage nach den quasi-

isometrischen Invarianten. Wir haben im Satz 1.2.14 bereits das Volumenwachstum als eine

solche Invariante identifiziert. Eine Auflistung weiterer Invarianten unter Quasi-Isometrie fin-

det man in [4], Kapitel IV.50. Wir halten einige davon fest.

Die folgenden Eigenschaften einer endlich erzeugten Gruppe G sind invariant unter Quasi-

Isometrie:

• G ist endlich,

• G enthalt eine unendliche zyklische Gruppe von endlichem Index,

• G enthalt eine freie Gruppe von endlichem Index,

• G enthalt eine freie abelsche Gruppe von endlichem Index,

• G ist amenabel.

Dieses Kapitel dient dazu, den quasi-isometrischen Invarianten eine weitere hinzuzufugen, die

Invarianz der Aquivalenzklasse der Ruckkehrwahrscheinlichkeiten. Die Grundlage hierzu ist

die Arbeit [14] von Saloff-Coste und Pittet. Wir werden deren Gedanken um einige Details und

Zwischenschritte erganzen, aber auch auf fur uns weniger interessante Aussagen verzichten.

3.1 Vorbetrachtungen

Im Folgenden betrachten wir zufallige Irrfahrten, so genannte Random Walks, auf Cayley-

Graphen. Sei G eine endlich erzeugte Gruppe und S ein angepasstes Erzeugendensystem.

Eine einfache symmetrische Irrfahrt auf einem Graphen Γ(G,S) ist ein stochastischer Prozess

(Xi)i∈N0mit Werten in G, welcher sich folgendermaßen verhalt: Falls der derzeitige Wert

Xi = g ist, so ist der nachste Wert Xi+1 ein Nachbar von g. Dieser wird zufallig und mit der

gleichen Wahrscheinlichkeit wie alle anderen Nachbarn ausgewahlt. Dies definiert (bis auf die

Startverteilung) ein Wahrscheinlichkeitsmaß PS auf GN, mit der Eigenschaft

PS(Xn+k = y | Xk = x) = µ(n)S (x−1y)

39


fur alle n, k ∈ N und x, y ∈ G, wobei

µS(g) =1

|S|1S(g) (3.1)

und µ(n) die n-fache Faltung von µ ist. Sie ist folgendermaßen definiert:

Definition 3.1.1 Sind f und g reellwertige Funktionen auf G, so ist durch

(f ∗ g)(x) :=∑z∈G

f(z)g(xz−1)

die Faltung von f und g definiert. Induktiv ist dann

f (2) = f ∗ f und f (n+1) = f (n) ∗ f.

Bemerkung 3.1.2 • Das Maß µ ist nach Definition symmetrisch, das heißt fur alle g ∈G gilt µ(g) = µ(g−1).

• Die Faltung auf Gruppen ist im Allgemeinen nicht kommutativ, denn es gilt

(f ∗ g)(x) =∑z∈G

f(z)g(xz−1)

und

(g ∗ f)(x) =∑y∈G

g(y)f(xy−1)y=z−1x

=∑z∈G

g(z−1x)f(x(z−1x)−1) =∑z∈G

f(z)g(z−1x).

• In diesem Kapitel wird manchmal von einem Skalarprodukt gesprochen. Dabei gelte fol-

gende Konvention: Falls X eine abzahlbar Menge ist, meinen wir mit dem Skalarprodukt

〈·, ·〉 in l2(X) stets

〈f, g〉 =∑x∈X

f(x)g(x)

fur f, g ∈ l2(X) (reellwertig).

Im Folgenden interessieren wir uns fur die Wahrscheinlichkeit P(Xn = x|X0 = x) nach n

Schritten zum Ursprung zuruckzukehren. Diese Funktion kann sich fur gerade bzw. ungerade

Werte von n grundsatzlich verschieden verhalten. Bei einem Random Walk auf dem Gitter

des Z2 sind beispielsweise die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten nach einer ungeraden Zahl von

Schritten immer gleich Null. Fur gerade n kann man jedoch zeigen, dass sie sich ahnlich

wie (n + 1)−1 verhalten. Um Probleme mit der Paritat zu vermeiden, werden wir daher im

Weiteren die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass ein Random Walk zu geraden Zeiten zu

seinem Ausgangspunkt zuruck kehrt. Wir kommen zu folgender Definition.

40


Definition 3.1.3 Sei G eine Gruppe und S ein angepasstes Erzeugendensystem, so ist

ψ : N→ [0, 1], ψS(n) = PS(X2n = e | X0 = e) = µ(2n)S (e)

die Ruckkehrwahrscheinlichkeit auf dem Cayley-Graphen Γ(G,S).

Dass wir die Ruckkehrwahrscheinlichkeit zum Einselement als Start- und Endpunkt definiert

haben, bedeutet keine Einschrankung der Allgemeinheit. Wegen der Translationsinvarianz des

Cayley-Graphen hatten wir e durch ein beliebiges Element ersetzen konnen und es wurde sich

nichts an der Wahrscheinlichkeit andern. Im weiteren wollen wir, falls klar ist um welches

Erzeugendensystem es sich handelt, den Parameter S unterdrucken.

Lemma 3.1.4 Die Ruckkehrwahrscheinlichkeit ψS(n) ist monoton fallend in n ∈ N.

Beweis: Zunachst folgt aus der Definition die Symmetrie

µ(x−1y) = µ(y−1x).

Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ergibt sich

µ(2n)(x−1y) =∑z∈G

µ(n)(z)µ(n)(x−1yz−1) ≤(∑z∈G

(µ(n)(z))2)1/2 (∑

z∈G(µ(n)(x−1yz−1))2

)1/2.

Da wir uber alle Elemente der Gruppe summieren gilt∑z∈G

(µ(n)(x−1yz−1))2 =∑z∈G

(µ(n)(z))2

und damit unter Verwendung der Symmetrie

µ(2n)(x−1y) ≤∑z∈G

(µ(n)(z))2 =∑z∈G

µ(n)(z)µ(n)(z−1) = µ(2n)(e). (3.2)

Nun ergibt sich die Monotonie der Ruckkehrwahrscheinlichkeit wie folgt

µ(2n+2)(e) =∑x∈G

µ(2)(x)µ(2n)(x−1)

≤ µ(2n)(e)∑x∈G

µ(2)(x)

= µ(2n)(e),

wobei sich die letzte Gleichung ergibt, da sich die Wahrscheinlichkeiten in der Summe gerade

zu Eins aufaddieren.

�

Die Ungleichung (3.2) impliziert, dass ψS(n) = maxg∈G

µ(2n)S (g) gilt. Es ist fur kein Element

g ∈ G \ {e} der Gruppe wahrscheinlicher, dass der Random Walk nach 2n Schritten den

Wert g annimmt, als dass er wieder zum Ausgangspunkt e zuruckkehrt. Ahnlich wie bei

den Wachstumsfunktionen von Gruppen ist es hier wieder sinnvoll eine Aquivalenzrelation

zwischen den Ruckkehrwahrscheinlichkeiten einzufuhren.

41


Definition 3.1.5 Fur nichtwachsende Funktionen u, v : R+0 → R+

0 schreiben wir u � v, falls

C ≥ 1 existiert mit

∀t > 0 : u(t) ≤ C v( tC

)Gilt u � v und v � u, so nennen wir u und v aquivalent und schreiben u ' v. Sind zwei

Funktionen nur auf den nichtnegativen ganzen Zahlen definiert, so erweitern wir die Funk-

tionen durch lineare Interpolation auf die positive reelle Achse und werden nicht zwischen der

Funktion und ihrer Erweiterung unterscheiden.

Bemerkung 3.1.6 (a) Fur jede endlich erzeugte Gruppe G mit endlichem Erzeugenden-

system S gilt: exp(−n) � ψS(n).

(b) Kesten zeigt in [9], dass fur nicht-amenable Gruppen diese minimale Ruckkehrwahr-

scheinlichkeit angenommen wird, d.h fur eine solche Gruppe G mit Erzeugendensystem

S gilt exp(−n) ' ψS(n).

Beweis zu (a): Wir setzen k := |S|. Da es nach 2n Schritten immer moglich ist den bis zum

n-ten Schritt gegangen Weg wieder zuruck zu gehen, gilt

ψ(n) ≥ 1

kn.

Damit folgern wir

k ψ(nk

)≥ k ψ

( n

ln k

)≥ k ψ

(d(n/(ln k))e

)≥ k k−d(n/(ln k))e

≥ k k−(n/(ln k))−1 = k−(n/(ln k)) = exp(

ln(k−(n/(ln k))))

= exp(−n),

wobei dxe fur eine reelle Zahl x, die kleinste ganze Zahl großer x meint.

�

Entsprechend ist fur eine reelle Zahl x mit den Gauß-Klammern bxc die großte ganze Zahl,

welche kleiner-gleich x ist gemeint. Das nachste Resultat zeigt uns, dass die Wahl des Er-

zeugendensystems keinen Einfluss auf die Aquivalenzklasse der Ruckkehrwahrscheinlichkeit

hat. Man vergleiche dies mit dem Satz 1.2.5 der uns zeigte, dass auch das Volumenwachstum

unabhangig von der Erzeugermenge ist.

Satz 3.1.7 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe. Sind S und T zwei endliche, symmetrische

Erzeugendensysteme von G, dann gilt

ψS ' ψT .

Auf eine detailierte Darstellung des Beweises werden wir verzichten. Da er jedoch ein ent-

scheidenes Element im Beweis von Satz 3.1.8 darstellt, werden wir in Bemerkung 3.2.4 einige

Hinweise zur Beweisfuhrung geben. Nun folgt die Hautpaussage des Kapitels.

42


Satz 3.1.8 Seien Γ(G,S) und Γ(H,T ) die Cayley-Graphen von zwei endlich erzeugten Grup-

pen mit angepassten Erzeugendensystemen S und T . Sind G und H quasi-isometrisch, so gilt

fur die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten

ψS ' ψT .

Beweis: Diese Aussage ergibt sich direkt als Folgerung aus dem Satz 3.2.1.

�

Bevor wir fortfahren werden wir zunachst noch ein paar nutzliche Bezeichnungen einfuhren.

Definition 3.1.9 Sei µ ein symmetrisches Wahrscheinlichkeitsmaß mit endlichem Trager

auf G und A eine Teilmenge von G. Der zugehorige Kern KA,µ ist definiert durch

KA,µ(x, y) =

{µ(x−1y) : x, y ∈ A0 : sonst.

(3.3)

Der dadurch erzeugte Operator soll folgendermaßen auf l2(A) operieren:

KA,µf(x) =∑y

KA,µ(x, y)f(y).

Dies ist ein substochastischer Operator, d.h. fur beliebige x, y ∈ G gilt

KA,µ(x, y) ≥ 0 und∑z

KA,µ(x, z) ≤ 1. (3.4)

Die quadratische Form EA,µ, welche durch den Kern KA,µ erzeugt wird, definieren wir durch

EA,µ(f, f) := 〈(I −KA,µ)f, f〉. (3.5)

Hierbei bezeichnet 〈f, g〉 =∑x∈A

f(x)g(x) das Skalarprodukt in l2(A). Im Spezialfall A = G

nennen wir die Form aus (3.5) durch das Maß µ erzeugte quadratische Form und schreiben

kurz Eµ statt EG,µ.

Bemerkung 3.1.10 (i) Fur die quadratische Form, welche durch den Kern KA,µ erzeugt

wird, gilt

EA,µ(f, f) =∑x∈A

(f(x)−KA,µf(x))f(x).

(ii) Fur die quadratische Form, welche durch das Maß µ erzeugt ist, gilt

Eµ(f, f) = 〈(δ − µ) ∗ f, f〉 =1

2

∑x,y∈G

|f(x)− f(xy)|2µ(y),

wobei δ(y) = 1e(y). und das Skalarprodukt in l2(G) gemeint ist.

43


(iii) Der Operator KA,µ ist reellwertig und symmetrisch. Außerdem zeigt das folgende Lem-

ma, dass er beschrankt ist, woraus folgt, dass KA,µ selbstadjungiert ist und das Spektrum

auf der reellen Achse liegt.

Ist A eine endliche Menge, so ist die Norm

‖KA,µ‖∞ = maxx∈A

∑y∈G|KA,µ(x, y)|

beschankt durch 1. Da fur Matrizen jede induzierte Norm eine obere Schranke fur den

Spektralradius ist, sind die Eigenwerte von KA,µ enthalten in dem Intervall [−1, 1]. Wir

ordnen die Eigenwerte der Große nach

−1 ≤ λ(1) ≤ . . . λ(|A|) ≤ 1.

Wahlen wir das konkrete Maß µS aus (3.1), so gilt:

(iv) Fur die quadratische Form, welche durch das Maß µS erzeugt ist, gilt nun auch

EµS(f, f) =1

2|S|∑x∈G

∑s∈S|f(x)− f(xs)|2.

(v) Der Operator KA,µS ist der mit |S|−1 skalierte Adjazenzoperator des durch die Knoten-

menge A induzierten Teilgraphen von Γ(G,S).

(vi) Der Operator I −KA,µS aus (3.5) ist der mit |S|−1 skalierte Laplaceoperator des durch

die Knotenmenge A induzierten Teilgraphen von Γ(G,S).

(vii) Die obigen quadratischen Formen sind insbesondere Dirchletformen.

Beweis zu (ii): Die erste Gleichung gilt wegen:

〈(I −KG,µ)f, f〉 =∑x∈G

(f(x)−KG,µf(x)

)f(x)

=∑x∈G

(f(x)−

∑y∈G

µ(x−1y)f(y))f(x)

=∑x∈G

f(x)2 −∑x,y∈G

µ(x−1y)f(y)f(x)

Def δ, y=xz−1

=∑x,z∈G

f(x)f(xz−1)δ(z−1)−∑x,z∈G

µ(z−1)f(xz−1)f(x)

δ,µ sym=

∑x,z∈G

f(x)f(xz−1)(δ − µ)(z)

= 〈(δ − µ) ∗ f, f〉.

44


Die zweite Gleichung gilt wegen:

1

2

∑x,y∈G

|f(x)− f(xy)|2µ(y) =1

2

∑x,y∈G

(f(x)2 − 2f(x)f(xy) + f(xy)2)µ(y)

=1

2

∑x,y∈G

f(x)2µ(y) +1

2

∑x,y∈G

f(xy)2µ(y)−∑x,y∈G

f(x)f(xy)µ(y)

y=x−1z=

1

2

∑x,y∈G

f(x)2µ(y) +1

2

∑x,z∈G

f(z)2µ(x−1z)−∑x,y∈G

f(x)f(xy)µ(y)

µ WK-Maß=

1

2

∑x∈G

f(x)2 +1

2

∑z∈G

f(z)2 −∑x,y∈G

f(x)f(xy)µ(y)

y=z−1

=∑x∈G

f(x)2 −∑x,z∈G

f(x)f(xz−1)µ(z−1)

Def δ=

∑x,z∈G

f(x)f(xz−1)δ(z−1)−∑x,z∈G

f(x)f(xz−1)µ(z−1)

δ,µ sym=

∑x∈G

∑z∈G

f(x)f(xz−1)(δ − µ)(z)

= 〈(δ − µ) ∗ f, f〉.

�

Lemma 3.1.11 Sei G eine Gruppe und A eine Teilmenge. Ist µ ein symmetrisches Maß mit

endlichem Trager T , so gilt

‖KA,µ‖2 ≤ |T |.

Beweis: Die l2-Norm ist definiert durch

‖KA,µ‖2 = sup‖v‖2=1

‖KA,µv‖2.

Da (KA,µv)(x) =∑y∈G

KA,µ(x, y)v(y) gilt, interessieren wir uns fur

‖KA,µv‖22 =∑x∈G

(∑y∈G

KA,µ(x, y)v(y))2.

Da das Maß µ von der endlichen Menge T getragen wird, gilt fur jedes feste x ∈ G, dass in

der Summe∑y∈G

KA,µ(x, y)v(y) maximal |T | Summanden ungleich Null sind. Diese seien

vx,1, . . . , vx,|T | ∈ {v(g) | g ∈ G}.

Da |KA,µ(x, y)| ≤ 1 fur alle x, y ∈ G gilt, konnen wir∑y∈G

KA,µ(x, y)v(y) ≤ |vx,1|+ · · ·+ |vx,|T ||

45


schreiben. Es gilt fur v = (v1, . . . , v|T |)> und a = (1, . . . , 1)> die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

∣∣∣ |T |∑i=1

vi

∣∣∣2 = |〈v, a〉|2 ≤ 〈v, v〉〈a, a〉 =

|T |∑i=1

v2i

|T |∑i=1

1,

woraus die Ungleichung

(v1 + · · ·+ v|T |)2 ≤ |T |(v2

1 + · · ·+ v2|T |)

folgt. Somit ergibt sich die Abschatzung(∑y∈G

KA,µ(x, y)v(y))2≤ |T |v2

x,1 + ...+ |T |v2x,|T |.

Bilden wir nun die Summe uber alle x aus der Gruppe, liefert der endliche Trager von µ

wieder, dass jedes v(g) in maximal |T | Summanden vorkommt. Daher gilt

‖KA,µv‖22 =∑x∈G

(∑y∈G

KA,µ(x, y)v(y))2≤ |T |2

∑x∈G

v(x)2 = |T |2.

�

3.2 Beweis der Hauptaussagen

In diesem Abschnitt geht es vor allem darum den Satz 3.1.8 zu beweisen. Damit die Struktur

des Beweises klarer wird, haben wir zwei Aussagen als Lemma extrahiert und an des Ende

des Kapitels gestellt. Außerdem werden wir sehen, dass der Satz 3.1.7 ein wichtiges Werkzeug

im Beweis ist. Aus diesem Grund wollen wir in Bemekung 3.2.4 zu diesem noch eine kleine

Beweisskizze geben.

Satz 3.2.1 Seien Γ(G,S) und Γ(H,T ) die Cayley-Graphen zweier endlich erzeugter Gruppen

G und H mit den endlichen und symmetrischen Erzeugendensystemen S und T . Gibt es eine

Abbildung Φ : G→ H und eine Konstante 1 ≤ C < +∞, so dass

C−1dS(x, y)− C ≤ dT (Φ(x),Φ(y)) (3.6)

und

H = {x ∈ H | ∃y ∈ Φ(G) mit dT (x, y) ≤ C}

Dann gilt

ψS 4 ψT .

Beweis: Wir konnen zunachst annehmen, dass G amenabel ist, denn wenn nicht, gilt laut

Bemerkung 3.1.6

ψS(n) ' exp(−n)

46


sowie

exp(−n) 4 ψT (n).

Außerdem wissen wir aus Satz 3.1.7, dass wir das gegebene Erzeugendensystem durch ein

beliebiges endliches, symmetrisches Erzeugendensystem ersetzen konnen, ohne an der Aqui-

valenzklasse der Ruckkehrwahrscheinlichkeiten etwas zu andern.

Nach Voraussetzung existiert zu jedem h ∈ H ein h ∈ Φ(G) ⊂ H, so dass

dT (h, h) ≤ C.

Die Abbildung h→ h ordnet jedem h ∈ H dieses Element zu, wobei h = h gelten soll, falls h

bereits ein Element von Φ(G) ist. Fur jedes h ∈ H betrachten wir nun die Menge

W (h) = Φ−1({h}) ⊂ G.

Da Φ auf der gesamten Gruppe G definiert ist, folgt

G =⋃h∈H

W (h). (3.7)

Der Abstand zweier Elemente u, v ∈W (h) ist wegen

C−1dS(u, v)− C ≤ dT (Φ(u),Φ(v)) = dT (h, h) = 0

durch C2 beschrankt. Da dies fur jedes h ∈ H gilt, folgt

N := suph∈H|W (h)|

ist eine endliche Zahl. Nun konstruieren wir uns fur jedes Element h ∈ H ein N -Tupel

W(h) = (x1(h), . . . , xN (h)),

wobei

xi : H → G, h 7→ xi(h) ∈W (h).

fur alle 0 ≤ i ≤ N , so dass jedes Element aus W (h) als Eintrag in W(h) mindestens einmal

vorkommt. Weiterhin definieren wir

EH,µT (f, f) =1

2|T |∑h∈H

∑t∈T|f(h)− f(ht)|2

fur alle Funktionen mit endlichem Trager. Dies ist laut Bemerkung 3.1.10 die quadratische

Form, welche durch das Maß µT (g) = |T |−11T (g) erzeugt wird. Außerdem definieren wir die

Menge

HN := {(h, i) : h ∈ H, i ∈ {1, . . . , N}}

47


als eine disjunkte Vereinigung von N Kopien der Menge H. Als nachstes werden wir die

lineare Abbildung τ durch

τ : l2(G)→ l2(HN ) mit τ(f)((h, i))) = f(xi(h)) (3.8)

einfuhren. Diese Abbildung ist offensichtlich linear und da in jedem W(h) jedes Element aus

W (h) mindestens einmal vorkommt gilt

‖f‖2 ≤ ‖τ(f)‖2. (3.9)

Damit ist τ injektiv, siehe auch (3.7).

Eine weitere quadratische Form EHN ,µT sei auf l2(HN ) gegeben durch

EHN ,µT (f, f) =1

2|T |

N∑i=1

∑h∈H

∑t∈T|f((h, i))− f((ht, i))|2.

Setzen wir

KN ((x, i), (y, j)) =

{|T |−11T (x−1y) : i = j

0 : sonst(3.10)

kann EHN ,µT geschrieben werden als

EHN ,µT (f, f) = 〈(I −KN )f, f〉,

wobei 〈·, ·〉 das Skalarprodukt in l2(HN ) meint und

KNf((x, i)) =∑

(y,j)∈HN

KN ((x, i), (y, j))f((y, j)). (3.11)

Dies gilt aufgrund folgender Rechnung:

EHN ,µT (f, f) =1

2|T |

N∑i=1

∑h∈H

∑t∈T|f((h, i))− f((ht, i))|2

=1

2|T |

N∑i=1

∑h∈H

∑t∈T

(f2((h, i))− 2f((ht, i))f((h, i)) + f2((ht, i))

)

=1

2|T |

N∑i=1

(∑h∈H

∑t∈T

(f2((h, i))− 2f((ht, i))f((h, i))

)+∑h∈H

∑t∈T

f2((ht, i))

)

=1

2|T |

N∑i=1

(∑h∈H

∑t∈T

(f2((h, i))− 2f((ht, i))f((h, i))

)+ |T |

∑h∈H

f2((h, i))

)

=1

2

N∑i=1

∑h∈H

(1

|T |∑t∈T

(f2((h, i))− 2f((ht, i))f((h, i))

)+ f2((h, i))

)

=1

2

N∑i=1

∑h∈H

(1

|T |∑t∈T

f2((h, i))− 2

|T |∑t∈T

f((ht, i))f((h, i)) + f2((h, i))

)

48


=1

2

N∑i=1

∑h∈H

(2f2((h, i))− 2

|T |f((h, i))

∑t∈T

f((ht, i))

)

=

N∑i=1

∑h∈H

(f2((h, i))− f((h, i))

∑t∈T

1

|T |f((ht, i))

)

=

N∑i=1

∑h∈H

(f2((h, i))− f((h, i))

∑(y,j)∈HN

KN ((h, i), (y, j))f((y, j))

)

=

N∑i=1

∑h∈H

(f2((h, i))− f((h, i))KNf((h, i))

)= 〈(f −KNf), f〉

= 〈(I −KN )f, f〉

Im Folgenden werden wir ein besonders geeignetes endliches Erzeugendensystem fur G wahlen,

namlich

R := {z ∈ G : dS(eG, z) ≤ (3C + 1)C}. (3.12)

Es erzeugt G, da S ⊂ R. Außerdem ist R offensichtlich endlich und symmetrisch, da S

symmetrisch ist. Wir definieren nun

EG,µR(f, f) =1

2|R|∑

g∈G,r∈R|f(g)− f(gr)|2.

Das Lemma 3.2.3 zeigt, dass wir EHN ,µT durch EG,µR abschatzen konnen. Genauer gesagt,

existiert eine Konstante B, so dass

EHN ,µT (τ(f), τ(f)) ≤ B EG,µR(f, f) (3.13)

fur alle Funktionen aus l2(G) mit endlichem Trager gilt.

Nun wollen wir die bekannten Großen auf endliche Teilmengen von G und HN beschranken.

Dort werden wir Aussagen uber die Ruckkehrwahrscheinlichkeit treffen konnen. Fur eine

fixierte Menge A ⊂ G erzeugt der Kern KA

KA(g, g′) := KA,µR(g, g′) :=

{µR(g−1g′) : g, g′ ∈ A0 : sonst

, (3.14)

laut Definition 3.1.9, die zugehorige quadratische Form

EA,µR(f, f) = 〈(I −KA,µR)f, f〉, (3.15)

wobei das Skalarprodukt aus dem l2(A) gemeint ist. Weiterhin definiert A in eindeutiger

Weise eine Teilmenge AN von HN durch

AN = {(h, i) ∈ HN : xi(h) ∈ A}.

49


Wieder bilden wir den Kern und die zugehorige quadratische Form:

KN,A((h, i), (h′, j)) =

{µT (h−1h′) : (h, i), (h′, j) ∈ AN und i = j

0 : sonst

EAN ,µT (f, f) = 〈(I −KN,A)f, f〉.

Hier ist das Skalarprodukt aus dem l2(AN ) gemeint. Fur eine Funktion f , welche auf A (bzw.

AN ) erklart ist, wollen wir nun die Fortsetzung auf G bzw HN definieren. Aufgrund besserer

Ubersichtlichkeit werden wir in beiden Fallen den gleichen Namen vergeben:

i : l2(A)→ l2(G), i(f)(x) =

{f(x) : x ∈ A0 : x ∈ G \A

beziehungsweise

i : l2(AN )→ l2(HN ), i(f)(x) =

{f(x) : x ∈ AN0 : x ∈ HN \AN

.

Damit gilt fur x ∈ A

KA,µf(x) =∑y∈A

KA,µ(x, y)f(y) =∑y∈A

µ(x−1y)f(y) =∑y∈G

µ(x−1y)i(f)(y)

µ sym=

∑y∈G

µ(y−1x)i(f)(x(y−1x)−1)z=y−1x

=∑z∈G

µ(z)i(f)(xz−1) = (µ ∗ i(f))(x)

Wir erhalten die Beziehung

EA,µR(f, f) = 〈(I −KA,µ)f, f〉l2(A)

=∑x∈A

(f(x)−KA,µf(x))f(x)

=∑x∈A

(f(x)− (µ ∗ i(f))(x))f(x)

=∑x∈G

(i(f)(x)− (µ ∗ i(f))(x))i(f)(x)

=∑x∈G

i(f)(x)2 −∑x∈G

(µ ∗ i(f))(x)i(f)(x)

=∑x∈G

∑z∈G

δ(z)i(f)(xz−1)i(f)(x)−∑x∈G

(µ ∗ i(f))(x)i(f)(x)

=∑x∈G

((δ ∗ i(f))(x)− (µ ∗ i(f))(x)

)i(f)(x)

=∑x∈G

(((δ − µ) ∗ i(f))(x)

)i(f)(x)

= 〈(δ − µ) ∗ i(f), i(f)〉l2(G)

= EG,µR(i(f), i(f)).

50


Das gleiche gilt fur die quadratischen Formen auf HN und AN

EAN ,µT (f, f) = 〈(I −KN,A)f, f〉l2(AN )

=∑

(x,i)∈AN

(f((x, i))−KN,Af((x, i))f((x, i))

=∑

(x,i)∈HN

(i(f)((x, i))−KN,Ai(f)((x, i))i(f)((x, i))

= 〈(I −KN,A)i(f), i(f)〉l2(HN )

= EHN ,µT (i(f), i(f))

Insgesamt ergibt sich also

EA,µR(f, f) = EG,µR(i(f), i(f))

EAN ,µT (f, f) = EHN ,µT (i(f), i(f)).(3.16)

Aus der Definition von i und τ in (3.8) wird klar, dass folgendes Diagramm kommutiert

-

-

? ?

l2(G) l2(HN )

l2(A) l2(AN )

i

τ

i

τ

Damit folgt unter Verwendung von (3.9), (3.13) und (3.16), dass die Abbildung

τ : l2(A)→ l2(AN )

linear und injektiv ist. Außerdem erfullt sie

‖f‖2 ≤ ‖τ(f)‖2 und EAN ,µT (τ(f), τ(f)) ≤ B EA,µR(f, f). (3.17)

Nun haben wir die Voraussetzungen geschaffen um Lemma 3.2.2 anwenden zu konnen. Dies

liefert uns

Tr(K2n+2A ) ≤ 2

(N |A|e−n/B + Tr

(K

2bn/(2B)cN,A

))(3.18)

Wir wollen dieses Ergebnis von der endlichen Menge A auf die gesamte Gruppe ubertragen.

Wie zuvor erwahnt, konnen wir annehmen, dass G amenabel ist. Daraus folgt, dass in G eine

Følner-Folge F (i), i = 1, 2, . . . existiert, fur welche

limi→∞

|F (i)U \ F (i)||F (i)|

= 0

beziehungsweise

limi→∞

|F (i)U ||F (i)|

= 1 (3.19)

51


fur jede endliche (nichtleere) Menge U ⊂ G gilt. Wir fixieren eine naturliche Zahl n und

wahlen U := R4n und A(i) := F (i)U . Zwei Knoten x und y aus Γ(G,R) sind genau dann

miteinander verbunden, wenn ein r ∈ R existiert, so dass y = xr gilt. Da 2n + 2 ≤ 4n fur

alle n ∈ N, konnen wir, ausgehend von x ∈ G, 2n + 2 mal von einem Konten zu einem

benachbarten springen und werden die Kugel B4n(x) = xU = {xu|u ∈ U} nicht verlassen.

Beginnen wir also eine zufallige Irrfahrt in Γ(G,R) bei x ∈ F (i), so werden wir uns nach

2n+ 2 Schritten noch in der Menge A(i) befinden. Damit gilt fur x ∈ F (i)

PR(X2n+2 = x|X0 = x) = ψR(n+ 1) = µ(2n+2)(eG) = K2n+2A(i) (x, x).

Aus der Definition von KN,A(i) folgt der Zusammenhang

KnN,A(i)((h, i), (h, i)) ≤ PT (Xn = h|X0 = h) = µ

(n)T (eH). (3.20)

Da fur die Spur von K2n+2A(i) gilt

Tr(K2n+2A(i) ) =

∑x∈A(i)

K2n+2A(i) (x, x),

folgt mit (3.18) die Ungleichungskette

ψR(n+ 1) ≤ 1

|F (i)|Tr(K2n+2

A(i) )

≤ 2

|F (i)|

(N |A(i)|e−n/B + Tr(K

2bn/(2B)cN,A(i) )

)=

2N |A(i)||F (i)|

(e−n/B +

1

N |A(i)|∑

(h,j)∈A(i)N

K2bn/(2B)cN,A(i) ((h, j), (h, j))

)(3.20)

≤ 2N |A(i)||F (i)|

(e−n/B +

1

N |A(i)|∑

(h,j)∈A(i)N

µ(2bn/(2B)c)T (eH)

)

=2N |A(i)||F (i)|

(e−n/B + µ

(2bn/(2B)c)T (eH)

)=

2N |A(i)||F (i)|

(e−n/B + ψT

(bn/(2B)c

))

Lassen wir nun i gegen ∞ laufen, konnen wir (3.19) anwenden und bekommen

ψR(n+ 1) ≤ 2N

(e−n/B + ψT

(bn/(2B)c

))(3.21)

Ohne Beschrankung der Allgemeinheit konnen wir annehmen, dass B ≥ 2 gilt. Sei zunachst

n ≥ 3B, so gilt ⌊ n2B

⌋≥ n

2B− 1 =

n− 2B

2B≥ n

6B,

52


wegen

6 ≥ 6B

B≥ 2n

(n− 2B)=

2nB

(n− 2B)B.

Nun ergibt sich aus (3.21)

ψR(n+ 1) ≤ 2N

(e−n/B + ψT

(bn/(2B)c

))≤ 2N

(e−n/(6B) + ψT

(n/(6B)

))= 2N

(e−n/(6B)

ψT(n/(6B)

) + 1

)ψT(n/(6B)

)Aus Bemerkung 3.1.6 wissen wir, dass eine Konstante c > 0 existiert, so dass exp(−n) ≤cψT (n). Damit existiert eine Konstante C1 > 0, fur welche

ψR(n+ 1) ≤ C1ψT

( n

6B

)fur alle n ≥ 3B gilt. Daraus folgt

ψR(n) ≤ C1ψT

(n− 1

6B

)≤ C1ψT

( n

12B

).

Setzen wir C2 = max{C1, 12B}, so gilt

ψR(n) ≤ C2ψT

( nC2

)fur alle n ≥ 3B. Nun kann es hochstens noch passieren, dass die gewunschte Ungleichung

nicht fur alle 0 ≤ n < 3B gilt. Dies beheben wir, indem wir C = C2

ψ((3B)/C2) setzen und damit

erzwingen, dass die fur 0 ≤ n < 3B die rechte Seite großer als 1 ist:

ψR(n) ≤ C2ψT

( nC2

)≤ C2ψT

( nC

)≤ C2

ψ((3B)/C2)ψT

( nC

)= CψT

( nC

).

�

Lemma 3.2.2 Fur i = 1, 2 seien µi symmetrische Wahrscheinlichkeitsmaße mit endlichem

Trager auf G und zwei endliche Teilmengen Ai gegeben. Fur Ai und µi sei Ki der Kern aus

(3.3) und Ei die zugehorige quadratische Form. Außerdem sei Hi = l2(Ai) mit dem Skalar-

produkt 〈f, g〉 =∑x∈Ai

f(x)g(x) und der Norm ‖f‖i = (∑x∈Ai|f(x)|2)

1

2 gegeben. Angenommen

es existiert eine lineare Abbildung τ von H1 nach H2, so dass fur alle f ∈ H1

‖f‖1 ≤ C1‖τ(f)‖2 und E2(τ(f), τ(f)) ≤ C2E1(f, f)

erfullt ist, dann gilt

Tr(K2n+21 ) ≤ 2

(|A1|e−n/B + Tr

(K

2bn/(2B)c2

)),

wobei B = C21C2.

53


Beweis: Wir wollen zunachst zwei elementare Ungleichungen beweisen, welche spater benotigt

werden.

Ungleichung 1: ex − xex ≤ 1 fur x ∈ RDefinieren wir f(x) := ex − xex, so gilt f(0) = 1. Außerdem ist

f ′(x) = −xex{≤ 0 fur x ≥ 0

> 0 fur x < 0.

Es gilt also

ex − xex ≤ 1 fur x ∈ R.

Ungleichung 2: e−2(1−x) ≤ x fur x ∈ [1/2, 1]

Definieren wir f(x) := x−1e−2(1−x), so gilt f(1) = 1. Bilden wir die erste Ableitung, so

erhalten wir

f ′(x) = e−2(1−x)(2

x− 1

x2

)f ′(x) ≥ 0 ⇔ 2

x− 1

x2≥ 0

⇔ 2x− 1 ≥ 0

⇔ x ≥ 1

2

Damit ist f insbesondere im Intervall [12 , 1] monoton wachsend und es gilt

x−1e−2(1−x) ≤ 1 fur1

2≤ x ≤ 1.

Damit sind beide Ungleichungen bewiesen. Das Minimax-Theorem von Courant-Fischer liefert

fur die Eigenwerte λ(1) ≤ · · · ≤ λ(n) einer symmetrischen Matrix A mit reellen Eintragen

λ(k) = maxdim(S)=k

min06=f∈S

〈f,Af〉〈f, f〉

, (3.22)

fur alle k = 1, . . . , n wobei S ⊂ Rn ein Unterraum ist. Aus den Voraussetzungen wissen wir

〈(I −K2)τ(f), τ(f)〉 ≤ C2〈(I −K1)f, f〉.

Mit ‖f‖1 ≤ C1‖τ(f)‖2 folgt

〈(I −K2)τ(f), τ(f)〉C2

1‖τ(f)‖22≤ C2〈(I −K1)f, f〉

‖f‖21und weiter

〈(I −K2)τ(f), τ(f)〉〈τ(f), τ(f)〉

≤ C21C2〈(I −K1)f, f〉

〈f, f〉.

Es gilt fur einen beliebigen Unterraum S

min06=τ(f)∈S

〈(I −K2)τ(f), τ(f)〉〈τ(f), τ(f)〉

≤ min06=f∈S

C21C2〈(I −K1)f, f〉

〈f, f〉.

54


Nun bilden wir auf beiden Seiten das Maximum uber die Unterraume der Dimension k und

erhalten mit Hilfe von (3.22)

1− λ2(k) ≤ B(1− λ1(k))

fur alle k = 1, . . . , |A2|, wobei λi(k) den k-ten Eigenwert von Ki bezeichnet. Wichtig wird im

Folgenden sein, dass laut Bemerkung 3.1.10

−1 ≤ λi(1) ≤ . . . λi(|A|) ≤ 1

fur i ∈ {1, 2} gilt. Man beachte, dass, da τ injektiv ist, |A2| ≤ |A1| gilt. Setzen wir λ1(k) ≥ 0

voraus, so konnen dies umformen zu

Bλ1(k) ≤ B − (1− λ2(k))

⇒ λ1(k)2n ≤(

1− 1

B(1− λ2(k))

)2n.

Wir setzen x := B−1(1− λ2(k)) und erhalten mit der Ungleichung 1:

ex − xex ≤ 1

⇒ 1− x ≤ e−x

⇒ (1− x)2n ≤ e−2nx

⇒(

1− 1B (1− λ2(k))

)2n≤ exp

(− 2n

B (1− λ2(k))).

Somit folgt

λ1(k)2n ≤ exp(− 2n

B(1− λ2(k))

).

Gilt zusatzlich λ2(k) ≥ 12 , so folgt unter Anwendung der zweiten Ungleichung e−2(1−x) ≤ x

fur x ∈ [1/2, 1] mit x := λ2(k)

e−2(1−x) ≤ x

⇒ e−2(1−λ2(k)) ≤ λ2(k)

⇒ exp(− 2n

B(1− λ2(k))

)≤ (λ2(k))n/B.

Daher gilt

λ1(k)2n ≤ λ2(k)n/B.

Fur die Spur haben wir folgende Gleichung

0 ≤∑x

K2n+11 (x, x) = Tr(K2n+1

1 ) =

|A1|∑k=0

λ1(k)2n+1

Die Nichtnegativitat gilt, weil auf der linken Seite eine Summe von Wahrscheinlichkeiten steht.

Teilen wir die rechte Summe in positive und negative Eigenwerte auf, erhalten wir∑λ1(k)<0

|λ1(k)|2n+1 ≤∑

λ1(k)>0

λ1(k)2n+1

⇒∑

λ1(k)<0

|λ1(k)|2n+2 ≤∑

λ1(k)>0

λ1(k)2n.

55


Damit gilt

Tr(K2n+21 ) ≤ 2

∑λ1(k)>0

λ1(k)2n

= 2∑

λ1(k)>0λ2(k)<0,5

λ1(k)2n + 2∑

λ1(k)>0λ2(k)≥0,5

λ1(k)2n

≤ 2∑

λ1(k)>0λ2(k)<0,5

exp(− 2n

B(1− λ2(k))

)+ 2

∑λ1(k)>0λ2(k)≥0,5

|λ2(k)|n/B

≤ 2∑

λ1(k)>0λ2(k)<0,5

e−n/B + 2

|A2|∑k=1

|λ2(k)|n/B

(�)

≤ 2|A1|e−n/B + 2

|A2|∑k=1

(λ2(k)

)2bn/(2B)c

≤ 2(|A1|e−n/B + Tr

(K

2bn/(2B)c2

)),

wobei Ungleichung (�) wegen

|λ2(k)|n/B =((

(λ2(k))2)1/2)n/B

=(

(λ2(k))2)n/(2B)

λ2(k)≤1

≤(

(λ2(k))2)bn/(2B)c

=(λ2(k)

)2bn/(2B)c

erfullt ist.

�

Lemma 3.2.3 Unter Verwendung der Notation aus dem Beweis zu Satz 3.2.1, existiert eine

Konstante B, so dass

EHN ,µT (τ(f), τ(f)) ≤ B EG,µR(f, f)

fur alle Funktionen aus l2(G) mit endlichem Trager gilt.

Beweis: Aus der Definition von τ folgt

EHN ,µT (τ(f), τ(f)) =1

2|T |

N∑i=1

∑h∈H

∑t∈T|τ(f)((h, i))− τ(f)((ht, i))|2

=1

2|T |

N∑i=1

∑h∈H

∑t∈T|f(xi(h))− f(xi(ht))|2.

Falls h und h′ in Γ(H,T ) benachbarte Elemente sind, dann sind h und h′ wegen

dT (h, h′) ≤ dT (h, h) + dT (h, h′) + dT (h′, h′) = 2C + 1

56


maximal 2C+ 1 voneinander entfernt. Woraus fur zwei Elemente g ∈W (h), g′ ∈W (h′) unter

Verwendung von (3.6) folgt

C−1dS(g, g′)− C ≤ dT (h, h′) ≤ 2C + 1.

Diese konnen daher in Γ(G,S) maximal einen Abstand von (3C + 1)C voneinander haben.

Aus diesem Grund definierten wir uns die Erzeugermenge R von G in (3.12) folgendermaßen

R = {z ∈ G : dS(eG, z) ≤ (3C + 1)C}.

Es folgt, dass fur jedes t ∈ T ein r ∈ R existiert, so dass xi(ht) = xi(h)r gilt. Damit ergibt

sich

EHN ,µT (τ(f), τ(f)) ≤ 1

2|T |

N∑i=1

∑h∈H

∑t∈T

∑r∈R|f(xi(h))− f(xi(h)r)|2

=1

2

N∑i=1

∑h∈H

∑r∈R|f(xi(h))− f(xi(h)r)|2

≤ NM

2

∑g∈G

∑r∈R|f(g)− f(gr)|2

≤ |R|NMEG,µR(f, f)

wobei

M = suph∈H|{h′ ∈ H : h′ = h}|.

Da zwei Elemente h und h′ mit h = h′ wegen der Dreiecksungleichung maximal einen Abstand

von 2C haben, ist M endlich. Unter Anwendung von Beispiel 1.2.16 konnen wir fur M auch

eine obere Schranke angeben:

M ≤ V (2C) =

{1 + k (k−1)2C−1

k−2 : k > 2

1 + 4C : k = 2,

wobei k = |T | und V (n) die Volumenwachstumsfunktion auf H mit Erzeugendensystem T

ist. Setzen wir

B := |R|NM,

ist der Beweis beendet.

�

Bemerkung 3.2.4 (Beweisskizze zu Satz 3.1.7) Im wesentlichen kann man den Beweis

wie eine vereinfachte Version vom Beweis zu Satz 3.2.1 fuhren. Wie oben konnen wir davon

ausgehen, dass die Gruppe amenabel ist. Zunachst ziehen wir uns auf eine endlich Teilmenge

57


A zuruck und schaffen die Voraussetzungen, um Lemma 3.2.2 anwenden zu konnen. D.h. wir

zeigen fur die beiden, durch die unterschiedlichen Maße µS und µT erzeugten quadratischen

Formen

EG,µT ≤ BEG,µS

mit einer Konstanten B > 0. Mit A = A1 = A2, H1 = H2 und der Identitatsabbildung τ : f 7→f bekommen wir so eine Aussage uber die Spur der Kernoperatoren auf der Menge A. Der

Zusammenhang zum Random Walk ergibt sich durch die Abschatzung eines Diagonalelements

des Kernes durch die entsprechende Ruckkehrwahrscheinlichkeit.

Dies gilt es nun auf die gesamte Gruppe zu ubertragen. Dazu nutzen wir wieder eine Følner-

Folge mit einem genugend breiten Rand. Wir konnen bei jedem Folgenglied die erhaltene

Ungleichung aus Lemma 3.2.2 anwenden, wobei die Effekte am Rand wegen der Amenabilitat

verschwindend klein werden.

Es folgt die entsprechende Aussage uber die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten auf der gesamten

Gruppe.

58

4 Die integrierte Zustandsdichte

Im Folgenden wollen wir die Ergebnisse aus den vorangegangen Kapiteln nutzen um Er-

kenntnisse uber eine spektrale Kenngroße, die integrierte Zustandsdichte (kurz IDS, fur das

englische integrated density of states), eines Operators zu erlangen. Insbesondere wird uns

interessieren, wie sich die integrierten Zustandsdichten bezuglich der Adjazenzoperatoren po-

lynomiell wachsender Gruppen verhalten. Es wird sich zeigen, dass wir eine sehr konktrete

Aussage zum Wachstum am Rand des Spektrums erhalten. Ist das Volumenwachstum der

Gruppe vom Grad d, so verhalt sich die IDS asymptotisch wie ein Polynom vom Grad d/2.

Auch in diesem Kapitel gehen wir also von einer virtuell nilpotenten Gruppe G aus. Die Menge

S ⊂ G sei ein angepasstes Erzeugendensystem mit |S| = k. Die Einfuhrung der IDS lehnt sich

stark an die Vorgehensweise in [15] an. Hierzu benotigen wir zunachst ein paar Definitionen.

4.1 Definitionen

Definition 4.1.1 Ein Operater von endlicher Sprungweite H auf der Gruppe G (bzw. auf

dem Cayley-Graphen Γ(G,S)) ist eine lineare Abbildung H : l2(G)→ l2(G) zu der Konstanten

C,R ≤ ∞ existieren, so dass

(i) H(v, w) = H(w, v)

(ii) H(gv, gw) = H(v, w) fur alle g ∈ G

(iii) |H(v, w)| ≤ C und

(iv) H(v, w) = 0 falls d(v, w) ≥ R

fur alle v, w ∈ G. Hierbei sind H(v, w) := 〈δv, Hδw〉 und δv ∈ l2(G) ist die Funktion, welche

bei v den Wert 1 annimmt und sonst gleich 0 ist.

Diesen Operator wollen wir nun auf eine Teilmenge der Knoten einschranken. Dazu sei

Bj := {g ∈ G | dS(g, e) ≤ j}

die Kugel der Große j um das Einselement e der Gruppe.

Definition 4.1.2 Sei H : l2(G) → l2(G) ein Operator wie in Definition 4.1.1 zum Graph

Γ = Γ(G,S) und A eine beliebige Teilmenge von G. Der Operator HA : l2(A)→ l2(A) mit

HA(x, y) =

{H(x, y) : x, y ∈ A0 : sonst

59


heißt Einschrankung von H auf A. Wahlen wir A = Bj so schreiben wir Hj als die Ein-

schrankung von H auf die Kugel Bj.

Da Hj demnach eine symmetrische (|Bj |, |Bj |)-Matrix ist, besteht das Spektrum σ(Aj) aus-

schließlich aus reellen Eigenwerten λi(Aj). Diese sollen in aufsteigender Reihenfolge mit ihrer

Vielfachheit gezahlt werden.

Definition 4.1.3 Zu einem Operator Hj heißt

Nj(λ) =|{i ∈ N | λi(Hj) < λ}|

|Bj |

die normierte Eigenwert-Zahl-Funktion.

Uns wird der Grenzwert von Nj(λ) fur j → ∞ interessieren. Der nachste Satz liefert dessen

Existenz.

Satz 4.1.4 Es existiert eine Verteilungsfunktion N , so dass

limj→∞

Nj(λ) = N(λ)

an allen Stetigkeitspunkten von N gilt. Außerdem gilt folgender Zusammenhang

N(λ) := Eλ(e, e),

wobei Eλ das Spektralmaß zum Operator A ist.

Um den Beweis dieses Satzes zu fuhren sind drei Lemmas und ein kurzer Ausflug in die Spek-

traltheorie notwendig. Im ersten Lemma zeigen wir, dass das Spektrum eines Operators von

endlicher Sprungweite enthalten ist in dem Intervall [−K,K] fur ein bestimmtes K > 0.

Das zweite zeigt, dass sich die Translationsinvarianz von H (siehe Definition 4.1.1 (ii) ) auch

auf f(H) fur eine beliebige stetige Funktion f ubertragen lasst.

Das dritte Lemma trifft eine Aussage zu den Randeffekten. Wir vergleichen Potenzen von dem

eingeschrankten Operator mit Einschrankungen der Potenzen des ursprunglichen Operators.

Da wir den Operator H mit C−1 skalieren konnen, gehen wir von nun an o.B.d.A. davon aus,

dass |H(v, w)| ≤ 1 gilt.

Zur Spektraltheorie:

In den folgenden Aussagen sei X stets ein Hilbertraum und H ein selbstadjungierter be-

schrankter Operator. Wir sollten dabei den Spezialfall X = l2(G) und H ein Operator endli-

cher Sprungweite auf G im Hinterkopf behalten. Wir definieren zunachst den Orthogonalpro-

jektor und das Spektralmaß. Ist U ein vollstandiger Unterraum von X, so existiert fur jedes

x ∈ X die eindeutige Zerlegung

x = u+ v mit u ∈ U, v ∈ U>,

60

4.1 Definitionen

wobei U> das orthogonale Komplement von U ist. Die Abbildung PU : X → U mit x 7→ u

nennen wir Orthogonalprojektion von X auf U .

Definition 4.1.5 Sei X ein Hilbertraum und Σ die Borel-σ-Algebra auf R. Eine Abbildung

E : Σ → L(X) in den Raum der linearen stetigen Operatoren auf X mit A 7→ EA heißt

Spektralmaß, falls alle EA Orthogonalprojektionen sind und

• E∅ = 0, ER = Id,

• fur paarweise disjunkte A1, A2, · · · ∈ Σ

∞∑i=1

EAi(x) = E⋃Ai(x) ∀x ∈ X

gelten. Ein Spektralmaß hat kompakten Trager, falls eine kompakte Menge K mit EK = Id

existiert.

Fur Treppenfunktionen f =n∑i=1

αiχAi ist die Integration bezuglich des Spektralmaßes mittels

∫fdE =

n∑i=1

αiEAi

definiert. Uber die Approximation einer beschrankten meßbaren Funktionen f durch Trep-

penfunktionen (fn), welche gleichmaßig gegen f konvergieren, ergibt sich∫fdE = lim

n→∞

∫fndE,

wobei∫fdE die Kurzschreibweise fur

∫f(λ)dEλ ist.

Satz 4.1.6 (Spektralsatz) Sei H ein linearer, beschrankter, selbestadjungierter Operator,

dann existiert ein eindeutig bestimmtes Spektralmaß mit kompaktem Trager E auf R mit

H =

∫σ(H)

λdEλ.

Entsprechend lassen sich fur f : R→ C durch

f(H) =

∫σ(H)

f(λ)dEλ.

Funktionen solcher Operatoren definieren. Dies ergibt nun fur x, y ∈ X mittels des Skalar-

produkt aus dem Hilbertraum

〈Hx, y〉 =

∫σ(H)

λd〈Eλx, y〉 und 〈f(H)x, y〉 =

∫σ(H)

f(λ)d〈Eλx, y〉. (4.1)

61


Seien f, g : R→ C und H wie eben dann gilt die Abschatzung

‖f(H)− g(H)‖ = ‖∫

σ(H)

f(H)− g(H)dEλ‖

≤ ‖∫

σ(H)

|f(λ)− g(λ)|dEλ‖ (4.2)

≤ ‖f − g‖∞.

Wir konnen also die Operatornorm mittels der Supremumsnorm abschatzen. Von hier ab sei

der betrachtet Hilbertraum wieder X = l2(G) und H ein Operator von endlicher Sprungweite.

Fur g, h ∈ G setzen wir wieder H(g, h) := 〈Hδg, δh〉, wobei δv ∈ l2(G) die Funktion ist, welche

bei v den Wert 1 annimmt und sonst gleich 0 ist. Ebenso ist Eλ(g, h) := 〈Eλδg, δh〉 definiert.

Nun konnen wir 4.1 schreiben als

H(g, h) =

∫R

λdEλ(g, h) und f(H)(g, h) =

∫R

f(λ)dEλ(g, h).

Es folgen die angekundigten Lemmas.

Lemma 4.1.7 Sei H ein Operator von endlicher Sprungweite zur Gruppe G mit angepasstem

Erzeugendensystem S und den Konstanten C = 1 und R wie in Definition 4.1.1. Fur das

Spektrum des Operators gilt

σ(H) ⊆ [−K,K],

wobei K = 2kR und |S| = k.

Beweis: Zeigen wir, dass H beschrankt ist, so folgt mit der Symmetrie von H, dass dies ein

selbstadjungierter Operator ist. Daher liegt dann das Spektrum auf der reellen Achse und

ist (vom Betrag her) beschrankt durch die l2-Norm von H. Konnen wir also beweisen, dass

‖H‖2 ≤ 2kR gilt, so sind wir fertig. Die l2-Norm ist definiert durch

‖H‖2 = sup‖v‖2=1

‖Hv‖2.

Da (Hv)(x) =∑y∈G

H(x, y)v(y) gilt, interessieren wir uns fur

‖Hv‖22 =∑x∈G

(∑y∈G

H(x, y)v(y))2.

Die folgende Behauptung liefert eine Abschatzung fur die Anzahl der Summanden in der

inneren Summe.

62

4.1 Definitionen

Behauptung: |BR| ≤ 2kR

Leicht sieht man

|{g ∈ G|dS(g, e) ≤ R}| ≤ 1 + k + k2 + k3 + · · ·+ kR

=kR+1 − 1

k − 1

≤ kR+1

k − 1.

Da k ≥ 2 haben wir

0 ≤ k − 2

⇔ kR+1 ≤ 2kR+1 − 2kR

⇔ kR+1

k − 1≤ 2kR =: K,

woraus die Behauptung folgt.

Damit gilt fur jedes feste x ∈ G, dass in der Summe∑y∈G

H(x, y)v(y) maximal K Summanden

ungleich Null sind. Da wir |H(x, y)| ≤ 1 voraussetzen, gilt∑y∈G

H(x, y)v(y) ≤ |vx,1|+ ...+ |vx,K |,

wobei vx,k ∈ {v(g) | g ∈ G}. Nun gilt fur v = (v1, . . . , vK)> und a = (1, . . . , 1)> die Cauchy-

Schwarz-Ungleichung ∣∣∣ K∑i=1

vi

∣∣∣2 = |〈v, a〉|2 ≤ 〈v, v〉〈a, a〉 =

K∑i=1

v2i

K∑i=1

1,

woraus die Ungleichung

(v1 + · · ·+ vK)2 ≤ K(v21 + · · ·+ v2

K)

folgt. Somit ergibt sich die Abschatzung(∑y∈G

H(x, y)v(y))2≤ Kv2

x,1 + ...+Kv2x,K .

Bilden wir nun die Summe uber alle x aus der Gruppe, liefert obige Behauptung, dass jedes

v(g) in maximal K Summanden vorkommt. Daher gilt

‖Hv‖22 =∑x∈G

(∑y∈G

H(x, y)v(y))2≤ K2

∑x∈G

v(x)2 = K2.

Das bedeutet, die Norm von H ist beschrankt durch K = 2kR und es gilt

σ(A) ⊆ [−K,K].

�

63


Lemma 4.1.8 Sei H ein Operator von endlicher Sprungweite und f ∈ C([−K,K]). Dann

gilt

f(H)(γv, γw) = f(H)(v, w),

fur alle γ ∈ G.

Beweis: Wir definieren uns zunachst einen Translationsoperator Uγ : l2(G)→ l2(G)

(Uγf)(v) := f(γ−1v)

Es gilt

U−1γ = Uγ−1

und daher

〈Uγf, g〉 =∑v∈G

((Uγf)(v))g(v) =∑v∈G

f(γ−1v)g(v) =∑v∈G

f(v)g(γv)

=∑v∈G

f(v)((Uγ−1g)(v)) = 〈f, Uγ−1g〉 = 〈f, U−1γ g〉.

Damit ist Uγ ein unitarer Operator. Außerdem haben wir die Beziehung

UγHU∗γ = H,

womit fur alle Polynome f

Uγf(H)U−1γ = f(H) (4.3)

gilt. Fur stetige Funktionen f und g konnen wir laut (4.2) die Operatornorm mittels der

Supremumsnorm abschatzen, also

‖f(H)− g(H)‖ ≤ ‖f − g‖∞.

Der Approximationssatz von Weierstraß liefert uns aber fur jedes ε > 0 und jedes f ∈C([−K,K]) ein Polynom g mit ‖f−g‖∞ ≤ ε. Dies zeigt, dass (4.3) auch fur stetige Funktionen

auf [−K,K] gilt. Daher haben wir folgende Beziehung

f(H)(γv, γw) = 〈δγv, f(H)δγw〉 = 〈U∗γ δv, f(H)U∗γ δw〉

= 〈δv, Uγf(H)U∗γ δw〉 = 〈δv, f(H)δw〉 = f(H)(v, w).

�

Insbesondere folgt aus dem Lemma, dass sich die Translationsinvarianz eines Operators von

endlicher Sprungweite auch auf beliebige Potenzen ubertragt.

Lemma 4.1.9 Sei f(x) = xm fur ein m ∈ N, dann gilt fur j →∞

1

|Bj ||Tr(f(Hj))− Tr(χBjf(H))| → 0.

64

4.1 Definitionen

Beweis: Zunachst wollen wir induktiv folgende Aussage zeigen. Fur einen Operator von end-

licher Sprungweite A = HB, beschrankt auf B ⊆ G, gilt

Am(v, w) =∑

v1,...,vm−1∈BA(v, v1)A(v1, v2) · · ·A(vm−1, w) fur m > 1. (4.4)

• Induktionsanfang (m = 2): Die Identitatsabbildung I : l2(G)→ l2(G) lasst sich als

I =∑v∈G

diag(δv) =∑v∈G|δv〉〈δv|

schreiben, wobei diag(δv) den Vektor δv auf die Diagonale eines sonst mit Nullen besetzten

Operators schreibt. Die Schreibweise |δv〉〈δv| ist als Multiplikation”δ>v δv“ zu verstehen und

ergibt einen Operator, welcher nur an der Stelle (v, v) den Eintrag Eins besitzt und sonst

gleich Null ist.

A2(v, w) = 〈δv, A2δw〉

= 〈δv, AIAδw〉

= 〈δv, A( ∑v1∈G

|δv1〉〈δv1 |)Aδw〉

=∑v1∈G〈δv, Aδv1〉〈δv1 , Aδw〉

A=HB=∑v1∈B〈δv, Aδv1〉〈δv1 , Aδw〉

• Induktionsschritt (m→ m+ 1):

Am+1(v, w) = 〈δv, Am+1δw〉

= 〈δv, AIAmδw〉

= 〈δv, A( ∑v1∈G

|δv1〉〈δv1 |)Amδw〉

=∑v1∈G〈δv, Aδv1〉〈δv1 , Amδw〉

A=HB=∑v1∈B〈δv, Aδv1〉〈δv1 , Amδw〉

I.V.=

∑v1,...,vm∈B

A(v, v1) · · ·A(vm, w)

Damit ist (4.4) gezeigt und fur die Spur der Potenz eines Operators gilt

Tr((Hj)m) =

∑v∈Bj

(Hj)m(v, v) =

∑v∈Bj

∑v1,...,vm−1∈Bj

Hj(v, v1) · · ·Hj(vm−1, v)

=∑v∈Bj

∑v1,...,vm−1∈Bj

H(v, v1) · · ·H(vm−1, v).

65


Man beachte, dass in der letzten Summe statt dem eingeschrankten Operator Hj der gesamte

Operator H steht. Analog erhalten wir eine Formel fur Tr(χBjHm)

Tr(χBjHm) =

∑v∈Bj

Hm(v, v) =∑v∈Bj

∑v1,...,vm−1∈G

H(v, v1) · · ·H(vm−1, v).

Hier gibt es auch bei der inneren Summe uber die (m−1)-Tupel nur endlich viele Summanden

ungleich Null. Unter Anwendung, dass die Eintrage von H durch 1 beschrankt sind, erhalten

wir

|Tr(χBjHm)− Tr((Hj)

m)| ≤∑v∈Bj

∑?

|H(v, v1) · · ·H(vm−1, v)|(N)

≤ |∂RmBj |kRm2

(4.5)

wobei

• die Summation uber ? hierbei die Summe uber (m − 1)-Tupel aus G bedeutet, wobei

mindestens ein Knoten außerhalb der Kugel Bj liegt und

• fur B ⊂ G und h ∈ N gilt ∂hB := {v ∈ B|dist(v,Bc) ≤ h}. Insbesondere gilt hier

∂hBj = Bj \Bj−h.

Die Abschatzung (N) gilt, da es maximal |∂RmBj | Knoten gibt, so dass wir von dort aus in m

Schritten der Lange R die Kugel Bj verlassen konnen. Jeder Knoten eines solchen Pfades ist

dann enthalten in der Kugel BR(m−1)(v) = {x ∈ G|d(x, v) ≤ R(m− 1)}. Diese Menge enthalt

laut Beispiel 1.2.16 maximal

|BR(m−1)(v)| =

{1 + k (k−1)R(m−1)−1

k−2 : k > 2

1 + 2R(m− 1) : k = 2

Elemente. Wegen

1 + k(k − 1)R(m−1) − 1

k − 2≤ k(k − 1)R(m−1)

R≥1≤ kRm−R+1 ≤ kRm

und

1 + 2R(m− 1)R≥1≤ 1 + 2Rm− 2 = 2Rm− 1 ≤ 2Rm

ist diese Anzahl in beiden Fallen durch kRm beschrankt. Da nun der Pfad aus m Knoten

besteht, gibt es maximal (kRm)m = kRm2

verschiede Pfade, welche mindestens mit einem

Knoten außerhalb der Kugel Bj liegen und zum Ausgangspunkt zuruck kehren. Um den

Term |∂hBj |/|Bj | abzuschatzen, nutzen wir nun die Amenabilitat von polynomiell wachsenden

Gruppen (siehe Satz 1.4.4 Punkt 7.) aus. Mit dem Satz 1.4.13 zur Charakterisierung amenabler

Gruppen erhalten wir

|Bj \Bj−h||Bj |

≤|Bj \Bj−h||Bj−h|

=|Bj−h · Sh \Bj−h|

|Bj−h|→ 0,

66

4.1 Definitionen

fur j →∞. Somit folgt mit (4.5)

1

|Bj ||Tr(χBjH

m)− Tr((Hj)m)| ≤ 1

|Bj ||∂RmBj |kRm

2 → 0,

fur j →∞ und der Beweis ist beendet.

�

Beweis zu Satz 4.1.4: Wir betrachten zunachst die Momente bezuglich der diskreten Vertei-

lungsfunktion Nj(λ). Setzen wir wieder f(x) = xm, ergibt sich∫R

λmNj(dλ) =1

|Bj |∑

λi∈σ(Hj)

(λi)m

=1

|Bj |∑

λi∈σ(f(Hj))

λi

=1

|Bj |Tr(f(Hj)),

wobei etwa die Summation uber λi ∈ σ(Hj) die Summe uber die mit ihrer Vielfachheit

gezahlten Eigenwerte von Hj meint. Das Lemma 4.1.9 uber die Randeffekte liefert

1

|Bj ||Tr(f(Hj))− Tr(χBjf(H))| → 0.

Wir konnen also, um den Grenzwert der obigen Momente fur j → ∞ zu ermitteln, auch

den Term |Tr(χBjf(H))|/|Bj | betrachten. Da das Lemma 4.1.8 liefert, dass fur f(H) alle

Diagonalelemente gleich sind, gilt

1

|Bj |Tr(χBjf(H)) =

1

|Bj |∑v∈Bj

f(H)(v, v)

=1

|Bj |∑v∈Bj

f(H)(e, e)

= f(H)(e, e)

=: H(m).

Nun ergibt sich also fur den Grenzwert

limj→∞

∫R

λmNj(dλ) = H(m).

Aus der Spektraltheorie folgt

f(H)(e, e) =

∫R

λmdEλ(e, e),

67


wobei Eλ das Spektralmaß zum Operator H ist. Wir haben also

limj→∞

∫R

f(λ)Nj(dλ) =

∫R

f(λ)dEλ(e, e),

und definieren uns daher

N(λ) := Eλ(e, e).

Mit der Linearitat des Lebesgue-Stieltjes Integrals folgt, dass statt f(x) = xm ein beliebiges

Polynom eingesetzt werden kann. Um nun jedoch die geforderte Konvergenz der Verteilungs-

funktionen zeigen zu konnen, ist es notwendig∫R

f(λ)Nj(dλ)→∫R

f(λ)N(dλ)

fur alle f ∈ C([−K,K]) zu erhalten.

Da laut dem Approximationssatz von Weierstraß die Menge der Polynome dicht in in der

Menge C([−K,K]) liegt, gibt es fur jedes f ∈ C([−K,K]) eine Folge fk von Polynomen, so

dass

‖fk − f‖∞ → 0.

Fur alle ε > 0 existiert also ein k, so dass ‖fk − f‖∞ < ε/3. Wir haben die Konvergenz fur

Polynome schon gezeigt, daher finden wir ein j (abhanging von ε und fk), so dass |∫fkdNj−∫

fkdN | < ε/3 gilt. Da das absolute Maß von N und jedem Nj beschrankt ist durch Eins,

haben wir∣∣∣∣ ∫R

f(λ)Nj(dλ)−∫R

f(λ)N(dλ)

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ∫R

f(λ)− fk(λ)Nj(dλ)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ ∫R

fk(λ)Nj(dλ)−∫R

fk(λ)N(dλ)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ ∫R

fk(λ)− f(λ)N(dλ)

∣∣∣∣< ε.

Damit ist die notige Konvergenz gezeigt.

�

Bemerkung 4.1.10 • Der Beweis des Satzes liefert∫R

λmN(dλ) = (Hm)(e, e) = H(m).

68

4.1 Definitionen

• Der Adjazenzoperator A des Graphen Γ(G,S) ist definiert durch

A(x, y) :=

{1 : x ∼ y0 : sonst

und

(Af)(x) :=∑y∈G

A(x, y)f(y)

fur f ∈ l2(G). Insbesondere erfullt dieser die Bedingungen (i) bis (iv) aus Definition

4.1.1 und ist somit ein Operator von endlicher Sprungweite. Unsere weiteren Betrach-

tungen werden sich auf den Adjazenzoperator konzentrieren.

Bemerkung 4.1.11 (Alternative Definition der IDS) Wie wir aus dem ersten Kapitel

bereits wissen, sind polynomiell wachsende Gruppen residuell endlich. Das liefert eine Folge

von Normalteilern (Un)n∈N mit

(i) [G : Un] <∞ fur alle n ∈ N,

(ii) Un+1 ⊂ Un fur alle n ∈ N und

(iii)⋂n∈N

Un = {e}.

Wahlen wir zu jedem dieser Normalteiler einen Fundamentalbereich, so erhalten wir eine

Folge (Fn)n∈N mit ⋃n∈N

Fn = G.

Nun konnen wir die Nachbarschaftsrelationen von der Faktorgruppe G/Un auf den Funda-

mentalbereich ubertragen und erhalten so einen Adjazenzoperator An fur Fn. Die normierte

Eigenwert-Zahl-Funktion fur diesen Operator ist dann

Nn(λ) =|{i ∈ N | λi(An) < λ}|

|Fn|.

Der Grenzwert von Nn ist, wie oben, die integrierte Zustandsdichte. Vorteil dieser Art der

Definition ist, dass nicht wie bei der Einschrankung des Adjazenzoperators auf eine bestimmte

Teilmenge, am Rand keine Fehler entstehen. Das heißt, wir konnen auf eine Aussage wie

Lemma 4.1.9 verzichten, da man zeigen kann dass furf(x) = xm

Tr(f(An)) = Tr(χFnf(A))

gilt. Der Grund dafur ist, dass die Nachbarschaftsrelationen im Fundamentalbereich zur Grup-

penstruktur passen. Grob gesagt ist es so: verlasst man den Fundamentalbereich auf der einen

Seite, so betritt man ihn auf der gegenuber liegenden. Die Seiten lassen sich ohne Probleme

miteinander verkleben, wie wir es etwa vom Torus R2/Z2 kennen.

69


4.2 Anwendung auf den Adjazenzoperator

Wir wollen das Ergebnis von Satz 4.1.4 nocheinmal fur den Adjazenzoperator formulieren:

Korollar 4.2.1 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe mit polynomiellem Wachstum und A

der zugehorige Adjazenzoperator. Sei weiterhin N(λ) die durch den Operator A definierte

integrierte Zustandsdichte, so ergibt sich∫R

λmN(dλ) = (Am)(e, e) =: A(m). (4.6)

Uber das Spektrum von Adjazenzoperatoren lasst sich folgende Aussage treffen, nachzulesen

in [11].

Satz 4.2.2 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe mit polynomiellem Wachstum und S das

Erzeugendensystem mit k = |S| <∞. Fur das Spektrum σ(A) des Adjazenzoperators A gilt

σ(A) ⊂ [−k, k].

Beweis: Wir werden den Beweis analog zum dem Beweis von Satz 4.1.7 fuhren. Die l2-Norm

des Operators ist definiert durch

‖A‖2 = sup‖v‖2=1

‖Av‖2.

Wir interessieren uns daher fur

‖Av‖22 =∑x∈G

(∑y∈G

A(x, y)v(y))2.

Da jedes x ∈ G gerade k Nachbarn besitzt, werden fur festes x in der inneren Summe genau

k Summanden ungleich Null. Es gilt daher∑y∈G

A(x, y)v(y) ≤ |vx,1|+ ...+ |vx,k|, (4.7)

wobei vx,l ∈ {v(g) | g ∈ G}. Mittels der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhalten wir

(v1 + · · ·+ vk)2 ≤ k(v2

1 + · · ·+ v2k).

Quadrieren wir (4.7) und wenden diese Ungleichung an, ergibt sich die Abschatzung(∑y∈G

A(x, y)v(y))2≤ kv2

x,1 + ...+ kv2x,k.

Bilden wir nun die Summe uber alle x aus der Gruppe, liefert die Struktur des Adjazenzope-

rators, dass jedes v(g) in genau k Summanden vorkommt. Daher gilt

‖Av‖22 =∑x∈G

(∑y∈G

A(x, y)v(y))2≤ k2

∑x∈X

v(x)2 = k2.

70


Das bedeutet, die Norm von A ist beschrankt durch k. Da A selbstadjungiert ist, liegt das

Spektrum auf der reellen Achse und es gilt

σ(A) ⊆ [−k, k].

�

Die Eintrage von Am entsprechen der Anzahl der Wege der Lange m von einem Knoten

zum anderen. Das heißt es gibt gerade (Am)(i, j) verschiedene Wege von Knoten i zu Knoten

j. Da es insgesamt km verschiedene Wege der Lange m gibt, welche in einem Knoten starten,

ergibt sich daraus die folgende Formel fur die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten

P (Xm = x | X0 = x) =A(m)

km. (4.8)

Fur polynomiell wachsende Gruppen vom Grad d kann man die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten

sehr prazise angeben, siehe dazu etwa Kapitel 14 aus [16]. Aus Paritatsgrunden mussen wir

wieder zwischen Wegen gerader und ungerader Lange unterscheiden. Fur gerade m existieren

a, b > 0 so, dass

a(1 +m)−d

2 ≤ P (Xm = x | X0 = x) ≤ b(1 +m)−d

2 (4.9)

und fur ungerade m haben wir

0 ≤ P (Xm = x | X0 = x) ≤ b(1 +m)−d

2 . (4.10)

Die Null als untere Grenze in (4.10) wird beispielsweise im Gitter des Z2 angenommen. Wir

wollen von nun an g(x) ≈ f(x) schreiben, falls es Konstanten a, b > 0 gibt, mit af(x) ≤g(x) ≤ bf(x). Die Ungleichung (4.9) konnen wir daher schreiben als

P (Xm = x | X0 = x) ≈ (1 +m)−d

2 .

Wegen

b(1 +m)−d

2 ≤ bm−d

2

und

a(1 +m)−d

2 ≥ a(2m)−d

2 ≥ a2−d

2m−d

2

konnen wir das auch auf folgende Weise formulieren: fur gerade m gilt

A(m)

km= P (Xm = x | X0 = x) ≈ m−

d

2 .

Zusammen mit (4.8) und (4.10) liefert dies eine Abschatzung fur A(m), welche ein sehr wich-

tiges Argument im Beweis des nachstens Satzes sein wird.

71


Satz 4.2.3 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe mit polynomiellem Wachstum vom Grad d

und angepasstem Erzeugendensystem S mit |S| = k. Sei A der zugehorige Adjazenzoperator.

Definieren wir den Operator

B :=A+ kI

2k

und sei N(λ) die zu B gehorende integrierte Zustandsdichte, so verhalten sich die Momente

von N folgendermaßen ∫R

λmN(dλ) ≈ (m+ 1)−d

2 .

Beweis: Das Spektrum von A ist laut Satz 4.2.2 enthalten in dem Intervall [−k, k]. Wegen

(A− λI) = (A+ kI − (λ+ k)I) = 2k

(A+ kI

2k−(λ+ k

2k

)I

)= 2k

(B −

(λ+ k

2k

)I

)ist der Operator A−λI genau dann invertierbar, wenn B− (λ+k

2k )I invertierbar ist. Daher ist

das Spektrum von B enthalten in [0, 1]. Wie wir aus Bemerkung 4.1.10 wissen, gilt

1∫0

λmN(dλ) =(A+ kI

2k

)m(e, e).

Da die beiden Operatoren A und kI kommutieren, konnen wir dies mittels des Binomischen

Lehrsatzes auflosen: (A+ kI

2k

)m=

1

(2k)m(A+ kI)m

=1

(2k)m

m∑l=0

(m

l

)km−lAl

=1

2m

m∑l=0

(m

l

)k−lAl

⇒(A+ kI

2k

)m(e, e) =

1

2m

m∑l=0

(m

l

)k−l(Al)(e, e)

=1

2m

m∑l=0

(m

l

)k−lA(l).

1. Die untere Grenze: Zunachst teilen wir die Summe in Summanden mit geraden und unge-

raden l auf

1

2m

m∑l=0

(m

l

)k−lA(l) =

1

2m

( ∑l∈{0...m}l gerade

(m

l

)k−lA(l) +

∑l∈{0...m}l ungerade

(m

l

)k−lA(l)

).

Aus den Vorbetrachtungen ergibt sich, dass wir den zweiten Term nach unten nur mit Null

abschatzen konnen

72


1

2m

( ∑l∈{0...m}l gerade

(m

l

)k−lA(l) +

∑l∈{0...m}l ungerade

(m

l

)k−lA(l)

)≥ 1

2m

∑l∈{0...m}l gerade

(m

l

)k−lA(l)

≥ 1

2m


(m

l

)a(1 + l)−

d

2

≥ 1

2ma(1 +m)−

d

2


(m

l

)

(F)

≥ 1

2a(m+ 1)−

d

2

Man kann (F) mittels

(m+ 1

k + 1

)=

(m

k

)+

(m

k + 1

)folgendermaßen zeigen


(m

l

)=

1 +

(m

2

)+ · · ·+

(m

m− 2

)+ 1 : m gerade

1 +

(m

2

)+ · · ·+

(m

m− 3

)+

(m

m− 1

): m ungerade

=

1 +

((m− 1

1

)+

(m− 1

2

))+ · · ·+

((m− 1

m− 3

)+

(m− 1

m− 2

))+ 1 : m ger.

1 +

((m− 1

1

)+

(m− 1

2

))+ · · ·+

((m− 1

m− 4

)+

(m− 1

m− 3

))+m : m ung.

= 1 +

(m− 1

1

)+

(m− 1

2

)+ · · ·+

(m− 1

m− 3

)+

(m− 1

m− 2

)+ 1

=

m−1∑k=0

(m− 1

k

)= 2m−1.

2. Die obere Grenze: Wir setzen wieder die Ergebnisse aus den Vorbetrachtungen ein und

erhalten hier

1

2m

m∑l=0

(m

l

)k−lA(l) ≤ b

2m

m∑l=0

(m

l

)(l + 1)−

d

2 .

Um zu zeigen dass,

b

2m

m∑l=0

(m

l

)(l + 1)−

d

2 ≤ c(m+ 1)−d

2

73


gilt, reicht es, dass wir uns klar machen, dass

m 7→ 1

2m

m∑l=0

(m

l

)(m+ 1

l + 1

) d2

durch eine Konstante beschrankt ist. Dies ist aber gerade die Aussage des Lemmas 4.2.4.

Damit sind beide Richtungen bewiesen.

�

Lemma 4.2.4 Es existiert ein c > 0, so dass

1

2m

m∑l=0

(m

l

)(m+ 1

l + 1

) d2 ≤ c

fur alle m ∈ N .

Beweis: Fur den Beweis dieser Aussage nutzen wir die Bernstein-Ungleichung, welche besagt,

dass fur m unabhangige identisch mit dem Parameter p Bernoulli-verteilte Zufallsgroßen Xi

P[Smm≥ p+ ε

]≤ e−2ε2m

P[Smm≤ p− ε

]≤ e−2ε2m

gilt, wobei Sm =m∑i=1

Xi. Das heißt, mit wachsendem m wird die Wahrscheinlichkeitsmas-

se der Zufallsgroße Sm/m, welche einen festen, minimalen Abstand zu p hat, exponentiell

schnell klein. Nun nutzen wir die Gaußklammer b·c, welche einer reellen, positiven Zahl x

ihren ganzzahligen Anteil zuordnet. Wir spalten die Summe in zwei Teile. Hierbei wird der

erste Summand klein, weil die Binomialkoeffizienten am Rand keine großen Werte annehmen.

Genauer gilt

1

2m

m∑l=0

(m

l

)(m+ 1

l + 1

) d2

=1

2m

bm/4c∑l=0

(m

l

)(m+ 1

l + 1

) d2

+1

2m

m∑l=bm/4c+1

(m

l

)(m+ 1

l + 1

) d2

≤ (m+ 1)d/21

2m

bm/4c∑l=0

(m

l

)+

1

2m

m∑l=bm/4c+1

(m

l

)( m+ 1

m/4 + 1

) d2

≤ (m+ 1)d/2∑

l≤m/2−m/4

(m

l

)(1

2

)l(1

2

)m−l+ 4d/2

1

2m

m∑l=bm/4c+1

(m

l

)︸︷︷︸

≤1

= (m+ 1)d/2P[Sm ≤

1

2m− 1

4m]

+ 4d/2

= (m+ 1)d/2P[Smm≤ 1

2− 1

4

]+ 4d/2

≤ (m+ 1)d/2e−(1/8)m + 4d/2

≤ c,

74

4.3 Asymptotik der integrierten Zustandsdichte

wobei c > 0 eine genugend große Konstante ist. Wir haben die obige Bernstein-Ungleichung

mit p = 1/2 und ε = 1/4 angewandt.

�


Den Operator B := A+kI2k nennen wir den normierten Adjazenzoperator. Aus den Erkennt-

nissen uber die Momente bezuglich der integrierten Zustandsdichte wollen wir nun Aussagen

uber die Asymptotik der integrierten Zustandsdichte selbst folgern. Dass wir nur Abschatzun-

gen fur den Rand der IDS erhalten, liegt daran, dass der Informationsgehalt von1∫0

λn dN fur

wachsendes n auf nahezu dem gesamten Intervall gegen Null geht. Nur in der Nahe der Eins

ist λn deutlich von Null verschieden. Dort wird es uns daher moglich sein den Verlauf der

Verteilungsfunktion naher zu bestimmen. Dies liefert der Satz 4.3.2. Doch zunachst werden

in Lemma 4.3.1 die technischne Details des Beweises behandelt.

Lemma 4.3.1 Sei δ > 0 gegeben. Es existierten Konstanten a, b > 0 und s0 > 0, so dass

aes ≤∞∑n=0

sn

n!

( s

n+ 1

)δ≤ bes

fur alle s ≥ s0 gilt.

Beweis: Wir werden uns zunachst mit linken Seite der Ungleichung befassen.

Linke Seite: Zuerst definieren wir fur p ∈ {2, 3, 4} die Funktionen

fp(x) :=3x+ p

x+ 2

und stellen fest, das diese wegen

f ′p(x) =3(x+ 2)− (3x+ p)

(x+ 2)2=

6− p(x+ 2)2

≥ 2

(x+ 2)2≥ 0

monoton steigend sind. Außerdem konvergieren sie fur x→∞ gegen 3. Daher gilt fur n→∞

1

e3f2(n)f3(n)f4(n)↗ 33

e3> 1. (4.11)

Ab n = 9 ergibt sich das erste mal ein Wert großer 1. Außerdem wissen wir, dass die Folge

(1 + 1n)n fur n→∞ monoton wachsend gegen die Eulersche Zahl e konvergiert. Daher haben

wir fur n→∞ (n+ 1

n

)n→ e

⇒(n+ 2

n+ 1

)(n+1)→ e

⇒(n+ 1

n+ 2

)(3n+3)→ 1

e3,

75


wobei die Folge in der letzten Zeile monoton fallend ist. Zusammen mit (4.11) ergibt sich

damit fur alle n ≥ 9

1 ≤ 1

e3

(3n+ 4

n+ 2

)(3n+ 3

n+ 2

)(3n+ 2

n+ 2

)⇒ 1 ≤

(n+ 1

n+ 2

)3n+3(3n+ 4

n+ 2

)(3n+ 3

n+ 2

)(3n+ 2

n+ 2

)⇒ (n+ 2)3n+6 ≤ (n+ 1)3n+3(3n+ 4)(3n+ 3)(3n+ 2)

⇒ 0 ≤ (n+ 1)3n+3(3n+ 4)(3n+ 3)(3n+ 2)− (n+ 2)3n+6

(3n+ 4)!

⇒ 0 ≤ (n+ 1)3n+3

(3n+ 1)!− (n+ 2)3n+6

(3n+ 4)!.

Setzen wir

π(n) :=(n+ 1)3n+3

(3n+ 1)!,

so bedeutet das

0 ≤ π(n)− π(n+ 1).

Demnach ist die Folge π(n) ab n = 9 monoton fallend. Da etwa π(16) ≈ 0, 9307 < 1 folgt,

dass(n+ 1)3n+3

(3n+ 1)!≤ c < 1

fur alle n ≥ 16. Fur eine reelle Zahl s sei n(s) der ganzzahlige Anteil von 3s, also n(s) := b3sc.Liegt s im Intervall n ≤ s < n+ 1 so folgt 3n ≤ n(s) ≤ 3n+ 2 und es gilt

sn(s)+1

(n(s) + 1)!≤ (n+ 1)3n+3

(3n+ 1)!= π(n)

und damitsn(s)+1

(n(s) + 1)!≤ c < 1

fur s ≥ 16. Daraus folgtes

(n(s) + 1)!sn(s)+1 ≤ ces. (4.12)

Mit dem Satz von Taylor erhalten wir

eξ(s)

(n(s) + 1)!sn(s)+1 = es −

n(s)∑n=0

sn

n!,

fur ein ξ(s) ∈ (0, s) und s ≥ 16 was zusammen mit 4.12

es −n(s)∑n=0

sn

n!≤ ces

76


ergibt. Setzen wir nun c := 1− c so gilt

n(s)∑n=0

sn

n!≥ ces. (4.13)

Fur s ≥ 1 ist haben wirs

n(s) + 1≥ s

3s+ 1≥ 1

4. (4.14)

Nun ergibt sich

∞∑n=0

sn

n!

( s

n+ 1

)δ≥

n(s)∑n=0

sn

n!

( s

n+ 1

)δ (4.14)

≥(1

4

)δ n(s)∑n=0

sn

n!

(4.13)

≥ aes,

wobei a := c(1/4)δ. Damit ist die linke Seite bewiesen.

Rechte Seite: Die rechte Seite der Ungleichung gilt wegen

∞∑n=0

sn

n!

( s

n+ 1

)δ=

s−1∑n=0

sn

n!

( s

n+ 1

)δ+

∞∑n=s

sn

n!

( s

n+ 1

)δ≤

s−1∑n=0

sn

n!

( s

n+ 1

)dδe+

∞∑n=s

sn

n!

≤s−1∑n=0

sn+dδe

n!

1

(n+ 1)dδe+ es

(N)

≤s−1∑n=0

sn+dδe

n!

c

(n+ dδe) · · · (n+ 1)+ es

= c

s−1∑n=0

sn+dδe

(n+ dδe)!+ es

= c

s−1+dδe∑n=dδe

sn

n!+ es

≤ bes,

wobei b := c+ 1 ist. Die Ungleichung (N) ist erfullt, weil (n+ 1)dδe und (n+ dδe)(n+ dδe −1) · · · (n + 1) Polynome vom Grad dδe sind und der Faktor vor der hochsten Potenz jeweils

gleich Eins ist. Daher existiert ein c > 0, so dass

(n+ 1)dδe ≥ 1

c(n+ dδe)(n+ dδe − 1) · · · (n+ 1)

fur alle n ∈ N gilt.

�

77


Satz 4.3.2 Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0, 1] mit Verteilungsfunktion N(λ). Fur

die Momente gelte1∫

0

λn dµ(t) ≈ (n+ 1)−δ,

fur alle n ∈ N und ein δ > 0, dann gilt fur E > 0, nahe genug an der Null

µ([1− E, 1]) ≈ Eδ.

Erinnerung: Die obigen Formulierungen sind Kurzschreibweisen fur

1∫0

λn dµ(t) ≈ (n+ 1)−δ

⇔ ∃a, b > 0 : a(n+ 1)−δ ≤1∫

0

λn dµ(t) ≤ b(n+ 1)−δ ∀n ∈ N

und

µ([1− E, 1]) ≈ Eδ

⇔ ∃a, b > 0 : aEδ ≤ µ([1− E, 1]) ≤ bEδ ∀E > 0 nahe 0

Insbesondere hangen die Konstanten a und b nicht von n bzw E ab.

Beweis: Zunachst werden wir das Maß verschieben mittels N(E) := −N(1 − E) + 1. Es gilt

damit

µ([0, E]) = N(E)− N(0)

= −N(1− E) + 1− (−N(1) + 1)

= N(1)−N(1− E)

= µ([1− E, 1])

und

µ([0, 1]) = µ([0, 1]) = 1.

Außerdem sei

Θ(x) =

{0 : x < 0

1 : sonst

die Heaviside-Funktion.

Behauptung: Fur alle nichtnegativen t und x gilt die Beziehung

e−tx − e−t ≤ Θ(1− x) ≤ e1−x

78


0 ≤ x ≤ 1: In diesem Intervall gilt immer Θ(1− x) = 1. Da x 7→ e−tx − e−t monoton fallend

ist und e0 − e−t < 1 gilt die linke Seite der Ungleichung. Da auch x 7→ e1−x monoton fallend

wird der minimale Wert bei bei x = 1 angenommen. Dieser ist gerade e1−1 = 1, daher gilt

auch die rechte Seite der Ungleichung.

x > 1: In diesem Intervall gilt immer Θ(1 − x) = 0. Da x > 1 ist, haben wir e−tx − e−t < 0.

Die rechte Seite ist eine Exponentialfunktion und damit von Natur aus positiv. Somit ist die

Behauptung gezeigt.

Setzen wir hier fur x den Bruch λE (wobei λ ∈ [0, 1] und E ∈ (0, 1)) ein und integrieren

bezuglich λ, erhalten wir

1∫0

e−t

Eλ dµ(λ)−

1∫0

e−t dµ(λ) ≤1∫

0

Θ(1− λ

E) dµ(λ) ≤

1∫0

e1− λ

E dµ(λ)

=⇒1∫

0

e−t

Eλ dµ(λ)− e−t ≤ µ([0, E]) ≤ e

1∫0

e−λ

E dµ(λ).

Mit dem Maß µ konnen wir das auf folgende Weise ausdrucken

−0∫

1

e−t

E(1−λ) dµ(λ)− e−t ≤ µ([1− E, 1]) ≤ −e

0∫1

e−1

E(1−λ) dµ(λ)

1∫0

e−st(1−λ) dµ(λ)− e−t ≤ µ([1− 1

s, 1]) ≤ e

1∫0

e−s(1−λ) dµ(λ), (4.15)

wobei s := 1E . Da wir den Parameter t beliebig groß wahlen konnen und damit e−t beliebig

klein wird, reicht es1∫

0

e−s(1−λ) dµ(λ) ≈ s−δ

fur große s (d.h. fur sehr kleine positive E) zu zeigen. Mit dem Satz von Beppo-Levi uber die

monotone Konvergenz bekommen wir

1∫0

e−s(1−λ) dµ(λ) = e−s1∫

0

( ∞∑n=0

snλn

n!

)dµ(λ) = e−s

∞∑n=0

(snn!

1∫0

λn dµ(λ)).

Nun setzen wir die Voraussetzungen an die Momente ein:

e−s∞∑n=0

(snn!

1∫0

λn dµ(λ))≈ e−s

∞∑n=0

sn

n!(n+ 1)δ.

79


Es bleibt also zu zeigen

e−s∞∑n=0

sn

n!(n+ 1)δ≈ s−δ

bzw.

∞∑n=0

sn

n!

( s

n+ 1

)δ≈ es. (4.16)

Dies ist aber gerade die Aussage von Lemma 4.3.1.

�

Die Abschatzung des Maßes mittels der Laplace-Transformation ist [12] entnommen und die

Idee, dies zu nutzen, um das asymptotische Verhalten der Verteilungsfunktion zu untersuchen,

stammt von Tonci Antunovic.

Korollar 4.3.3 Sei G eine endlich erzeugte Gruppe von polynomiellem Wachstum, N(λ) die

zum Adjazenzoperator gehorende integrierte Zustandsdichte und µ das zugehorige Maß, dann

gilt fur kleine, positive E

µ([k − E, k]) ≈ Ed

2 ,

wobei k die Anzahl der Elemente der Erzeugermenge und d der Grad des Wachstums ist.

Beweis: Sei A der Adjazenzoperator und B = A+kI2k der normierte Adjazenzoperator. N und

NB seien die entsprechenden integrierten Zustandsdichten. Es gilt der Zusammenhang

N(λ) = NB

(1

2

(λk

+ 1))

und daher auch

N(k − E) = NB

(1

2

(k − Ek

+ 1))

= NB

(1− E

2k

). (4.17)

Aus dem Satz 4.2.3 folgt, dass fur die Momente bezuglich NB

1∫0

λmNB(dλ) ≈ (m+ 1)−d

2

gilt. Daher konnen wir Satz 4.3.2 anwenden und erhalten

µB([1− E, 1]) ≈ Ed

2

fur kleine E > 0. Mit (4.17) folgt

µ([k − E, k]) = N(k)−N(k − E) = 1−NB

(1− E

2k

)≈( E

2k

) d2

und schließlich

µ([k − E, k]) ≈ Ed

2

fur kleine E > 0.

�

80


Korollar 4.3.4 Seien G1 und G2 zwei quasi-isometrische, virtuell nilpotente Gruppen mit

endlichem Erzeugendensystem. N1(λ) und N2(λ) seien die integrierten Zustandsdichten zu

den Adjazenzoperatoren von G1 und G2, dann gilt fur positive E nahe genug an der Null

N1(k1 − E) ≈ N2(k2 − E),

wobei k1 die Anzahl der Erzeuger der Gruppe G1 und k2 die Anzahl der Erzeuger der Gruppe

G2 ist.

Beweis: Der Satz von Gromov (Satz 2.0.13) liefert, dass die virtuell nilpotenten Gruppen

gerade die polynomiell wachsenden sind. Da bei polynomiell wachsenden Gruppen der Grad

des Wachstums eine Invariante unter Quasi-isometrie ist, haben wir mit Korollar 4.3.3

µi([ki − E, ki]) ≈ Ed

2 .

fur i ∈ {1, 2}. Es ergibt sich daher

aiEd

2 ≤ µi([ki − E, ki]) ≤ biEd

2

⇒ aiEd

2 ≤ Ni(ki)−Ni(ki − E) ≤ biEd

2

⇒ aiEd

2 ≤ 1−Ni(ki − E) ≤ biEd

2

⇒ 1− biEd

2 ≤ Ni(ki − E) ≤ 1− aiEd

2 ,

wieder fur i ∈ {1, 2}. Da

limE↘0

1− a1Ed

2

1− b2Ed

2

= 1

gilt und diese Funktion in einer Umgebung der Null stetig ist, existiert fur E nahe der Null

ein β > 0, so dass

1− a1Ed

2 ≤ β(1− b2Ed

2 )

und damit

N1(k1 − E) ≤ βN2(k2 − E)

folgt. Durch das gleiche Argument erhalten wir

αN2(k2 − E) ≤ N1(k1 − E).

�

Eine Aussage wie in Korollar 4.3.4 lasst sich auch ohne den Satz 4.3.2 beweisen, d.h es ist

nicht notwendig zunachst eine konkrete Abschatzung fur das Maß µ zu berechnen. Aus den

Beweisen der vorherigen Lemmas wird klar, dass wir im Ubergang von den Aussagen zum

Maß bezuglich des normierten Adjazenzoperators zu Aussagen zum Maß bezuglich des ur-

sprunglichen Adjazenzoperators stark das polynomielle Verhalten dieser Großen ausnutzten.

81


Im Folgenden werden wir einen Beweis fuhren, der das polynomielle Verhalten dieser Ma-

ße nicht explizit berechnet und verwendet. Er fuhrt daher aber auch zu einer schwacheren

Aussage, namlich das aquivalente Verhalten der Maße bezuglich der normierten Adjazenzope-

ratoren.

Korollar 4.3.5 Seien G1 und G2 zwei quasi-isometrische, virtuell nilpotente Gruppen mit

endlichem Erzeugendensystem. Seien außerdem µ1 und µ2 die Maße, welche zu den inte-

grierten Zustandsdichten zu den normierten Adjazenzoperatoren gehoren, dann gilt fur kleine

positive E

µ1([1− E, 1]) ≈ µ2([1− E, 1]).

Im Folgenden sind die Bezeichnungen der einzelnen Großen wie oben und es gilt immer

i ∈ {1, 2}.Beweis: Aus der Gleichung (4.15) ist ersichtlich, dass

1∫0

e−s(1−λ) dµ1(λ) ≈1∫

0

e−s(1−λ) dµ2(λ)

fur große s zu zeigen ist. Dies gilt aber wegen

1∫0

e−s(1−λ) dµ1(λ) = e−s1∫

0

(

∞∑n=0

snλn

n!) dµ1(λ)

= e−s∞∑n=0

(sn

n!

1∫0

λn dµ1(λ)

)(F)

≤ e−s∞∑n=0

(sn

n!c

1∫0

λn dµ2(λ)

)

= c

1∫0

e−s(1−λ) dµ2(λ),

fur ein c > 0. Es bleibt also (F) zu zeigen. Dazu mussen wir

1∫0

λnN1(dλ) ≤ c1∫

0

λnN2(dλ) (4.18)

beweisen. Wir wissen bereits

1∫0

λnNi(dλ) =1

2n

∞∑l=0

(n

l

)A

(l)i

kli

82


und mit den Abschatzungen uber die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten (siehe (4.9) und (4.10))

erhalten wir

1

2n

∑l∈{0...n}l gerade

(n

l

)ai(l + 1)−

d

2 ≤1∫

0

λnNi(dλ) ≤ 1

2n

n∑l=0

(n

l

)bi(l + 1)−

d

2 ,

wobei ai, bi positive Konstanten sind. Insbesondere nutzten wir in diesem Schritt, dass der

Grad des Wachstums d invariant unter Quasi-isometrie und damit fur beide Gruppen G1 und

G2 gleich ist. Konnen wir also zeigen, dass ein c > 0 existiert mit

1

2n

n∑l=0

(n

l

)(l + 1)−

d

2 ≤ c 1

2n


(n

l

)(l + 1)−

d

2 ,

so folgt (4.18). Dazu reicht es aber zu zeigen, dass

∑l∈{0...n}

l ungerade

(n

l

)(l + 1)−

d

2 ≤ (c− 1)∑

l∈{0...n}l gerade

(n

l

)(l + 1)−

d

2 , (4.19)

gilt. Mit der Gleichung

(n+ 1

k + 1

)=

(n

k

)+

(n

k + 1

)ergibt sich, ahnlich wie im Beweis der

unteren Grenze von Satz 4.2.3,

∑l∈{0...n}

l ungerade

(n

l

)(l + 1)−

d

2 ≤n−1∑l=0

(n− 1

l

)(l + 1)−

d

2


(n

l

)(l + 1)−

d

2 ≥n−1∑l=0

(n− 1

l

)(l + 2)−

d

2 .

Da fur c = 2d

2

(l + 1)−d

2 ≤ c(l + 2)−d

2

fur l ≥ 0 gilt, ist (4.19) mit c = c + 1 erfullt. Damit ist (F) gezeigt. Die Ungleichung in die

andere Richtung wird analog bewiesen.

�

83


84

5 Amenabel versus residuell endlich

In diesem Kapitel untersuchen wir das Zusammenspiel der Eigenschaften”amenabel“ und

”re-

siduell endlich“ am Beispiel der Heisenberg-Gruppe H3. Schon in Bemerkung 3.2.4 haben wir

einen Zusammenhang zwischen beiden gesehen. Es ist moglich die integrierte Zustandsdichte

fur polynomiell wachsende Gruppen auf verschieden Weisen zu definieren. Zum Einen kann

man ausnutzen, dass polynomiell wachsende Gruppen amenabel sind und die Eigenwert-Zahl-

Funktionen mithilfe von Ballen definieren. Zum Anderen kann man eine Folge von Normaltei-

lern, welche durch die Eigenschaft residuell endlich gegeben ist, nutzen. Zu dieser betrachten

wir Quotientengruppen und definieren auf ihnen die Eigenwert-Zahl-Funktionen. Im ersten

Fall sind die Randeffekte, welche durch die Einschrankung des Operators auf Balle entstehen,

wegen der Amenabilitat vernachlassigbar klein. Im zweien Fall treten diese Randeffekte nicht

auf. Auf beiden Wegen erhalt man im Grenzwert die integrierte Zustandsdichte.

Wie wir bereits wissen, ist die Heisenberg-Gruppe nilpotent vom Grade 2. Die Gruppenope-

ration ist damit nicht kommutativ, jedoch ist H3 ”so nah wie nur moglich“ an einer abelschen

Gruppe. Das heißt, gehen wir zur Kommutator-Untergruppe [H3, H3] uber, so ist diese bereits

abelsch. Aus dem Satz 1.4.4 ist außerdem bekannt, dass nilpotente Gruppen amenabel sind.

Dies bedeutet, dass eine Folge (Fn)n∈N endlicher Teilmengen der Gruppe existiert mit

limn→∞

|FnS \ Fn||Fn|

→ 0,

wobei S ein endliches Erzeugendensystem ist. Eine solche Folge nennen wir Følner-Folge, siehe

Definition 1.4.5. Bei einer polynomiell wachsenden Gruppe G bilden beispielsweise die Balle

Bn := {g ∈ G|d(e, g) ≤ n}

eine Følner-Folge.

Aus Satz 1.5.5 ist uns außerdem bekannt, dass die Heisenberg-Gruppe als polynomiell wach-

sende Gruppe residuell endlich ist. Es existiert also eine Folge (Nn)n∈N von Normalteilern in

H3 mit

(i) [H3 : Nn] <∞ fur alle n ∈ N,

(ii) Nn+1 ⊂ Nn fur alle n ∈ N und

(iii)⋂n∈N

Nn = {e}.

85


Eine solche Folge nennen wir laut Definition 1.5.3 eine RE-Folge. Wahlen wir zu jedem Nn

einen Fundamentalbereich Fn, so erhalten wir ein Folge von Teilmengen in H3. Diese sind nach

Eigenschaft (i) endlich. Im folgenden wollen wir die Frage untersuchen, ob es moglich ist, die

Normalteiler Nn und die zugehorigen Fundamentalbereiche Fn so zu wahlen, dass diese eine

Følner-Folge bilden. Dies wurde eine direkte Verknupfung der Eigenschaften”amenabel“ und

”residuell endlich“ darstellen. Wir beginnen die Untersuchung mit einer kanonischen Wahl

der Normalteiler und Fundamentalbereiche.

Beachte: Da im Folgenden viele Rechnungen ubersichtlicher werden, je weniger Erzeuger die

Gruppe besitzt, gehen wir in diesem Kapitel nicht von einem symmetrischen Erzeugendensys-

tem aus. Das Erzeugendensystem wird hier benotigt um den Rand von Teilmengen des H3 zu

bestimmen und davon ausgehend Amenabilitat nachzuweisen. Dass dies jedoch nicht von der

konkreten Wahl der Erzeuger abhangt, sagt Lemma 1.4.8. Um aus einer beliebigen Menge S

zu einer symmetrischen uber zu gehen bildet man S ∪ S−1.

5.1 Kleine Formelsammlung

Da es in diesem Kapitel viele konkrete Berechnungen gibt, wollen wir zunachst ein paar immer

wieder kehrende Rechnungen ausfuhren.

Lemma 5.1.1 Seien g =

abc

, h1 =

x1

y1

z1

und h2 =

x2

y2

z2

beliebige Elemente der

Heisenberg-Gruppe H3, dann gilt

1. h1h2 =

x1 + x2

y1 + y2

z1 + z2 + x2y1

,

2. g−1 =

−a−b

ab− c

,

3. h2h1h−12 =

x1

y1

z1 + x1y2 − x2y1

,

4. [h1, h2] =

0

0

x2y1 − x1y2

und

86

5.2 Einfuhrendes Beispiel

5. gn =

na

nb

nc+ (n−1∑i=1

i)ab

fur n ∈ N.

Beweis: Die Punkte 1 und 2 sind klar.

zu 3.

h2h1h−12 =

x2

y2

z2

x1

y1

z1

x2

y2

z2

−1

=

x2 + x1

y2 + y1

z2 + z1 + x1y2

−x2

−x1

x2y2 − z2

=

x1

y1

z1 + x1y2 − x2y1

zu 4.

[h1, h2] = h−11 h−1

2 h1h23.=

−x1

−y1

x1y1 − z1

x1

y1

z1 + x2y1 − x1y2

=

0

0

x2y1 − x1y2

zu 5. Induktionsanfang n = 0, 1: klar.

Induktionsschritt n→ n+ 1:

gn+1 = gngIV=

na

nb

nc+ (n−1∑i=1

i)ab

abc

=

(n+ 1)a

(n+ 1)b

(n+ 1)c+ (n∑i=1

i)ab

�


Lemma 5.2.1 Sei H3 die Heisenberg-Gruppe. Die Mengen

Nn :=

{xyz

∈ H3

∣∣∣∣ x, y, z ∈ 2nZ

}, n ∈ N

bilden eine RE-Folge.

87


Beweis: Untergruppe: z.z. g, h ∈ Nn ⇒ gh ∈ Nn fur alle n ∈ N

Aus Grunden der Ubersichtlichkeit setzen wir zunachst m := 2n. Sei g :=

mxmymz

und h :=

mx′

my′

mz′

, dann gilt

gh =

mxmymz

mx

′

my′

mz′

=

m(x+ x′)

m(y + y′)

m(z + z′) +m2x′y

=

m(x+ x′)

m(y + y′)

m(z + z′ +mx′y)

∈ Nn.

Normalteiler: z.z. g ∈ Nn, h ∈ H3 ⇒ hgh−1 ∈ Nn fur alle n ∈ N

Wieder setzen wir m := 2n. Sei g :=

mxmymz

∈ Nn und h :=

x′

y′

z′

∈ H3, dann gilt

hgh−1 =

x′

y′

z′

mxmymz

x′

y′

z′

−1

=

x′ +mx

y′ +my

z′ +mz +mxy′

−x′

−y′

x′y′ − z′

=

mx

my

z′ +mz +mxy′ + x′y′ − z′ − x′(y′ +my)

=

mx

my

m(z + xy′ − x′y)

∈ Nn.

Eigenschaft (i): Behauptung: [H3 : Nn] = 23n fur alle n ∈ N

Seien g :=

xyz

∈ H3 und h :=

x′

y′

z′

∈ H3, dann gilt

gNn∼ h ⇔

xyz

x′

y′

z′

−1

∈ Nn

⇔

xyz

−x′

−y′

x′y′ − z′

∈ Nn

88


⇔

x− x′

y − y′

z − z′ + x′y′ − x′y

∈ Nn

⇔ es existieren u, v, w ∈ Z mit

x− x′ = u2n, y − y′ = v2n, z − z′ + x′y′ − x′y = w2n

⇔ es existieren u, v, w ∈ Z mit

x− x′ = u2n, y − y′ = v2n, z − z′ = (w + x′v)2n

⇔ x− x′ ∈ 2nZ, y − y′ ∈ 2nZ, z − z′ ∈ 2nZ.

Dies zeigt uns, dass es genau 23n Aquivalenzklassen gibt.

Eigenschaft (ii): z.z. g ∈ Nn+1 ⇒ g ∈ Nn

Sei g :=

2n+1x

2n+1y

2n+1z

∈ Nn+1, dann

g =

2n+1x

2n+1y

2n+1z

=

2n(2x)

2n(2y)

2n(2z)

∈ Nn.

Eigenschaft (iii): z.z. g ∈⋂n∈N

Nn ⇒ g =

0

0

0

Sei g :=

xyz

6=0

0

0

ein beliebiges Element der Heisenberg-Gruppe. Wir wahlen n ∈ N so,

dass

2n > max{|x|, |y|, |z|}

gilt. Das Element g ist dann offensichtlich nicht in Nn enthalten. Da g beliebig gewahlt wurde,

enthalt der Schnitt aller Nn nur das Einselement der Gruppe.

�

Lemma 5.2.2 Es seien Nn die Normalteiler aus Lemma 5.2.1, dann sind

Fn :=

{xyz

∣∣∣∣ 0 ≤ x, y, z ≤ 2n − 1

}n ∈ N

zugehorige Fundamentalbereiche bezuglich H3. Die Folge (Fn)n∈N bildet keine Følner-Folge.

Beweis: Fn Fundamentalbereich: zu zeigen ist:

89


(a) H3 =⋃

g∈NngFn und

(b) gFn ∩ Fn = ∅ fur e 6= g ∈ Nn

zu (a), Fn ist nicht zu klein: Sei

xyz

∈ H3 beliebig. Dann existiert eine eindeutige Zerlegung

x = a12n + a2, y = b12n + b2,

wobei ai, bi (i = 1, 2) ganzzahlig sind und 0 ≤ a2, b2 ≤ 2n− 1 gilt. Sind diese Werte ermittelt,

so bilden wir die Zerlegung

z − a2b12n = c12n + c2,

mit c1, c2 ganzzahlig und 0 ≤ c2 ≤ 2n − 1. Nun haben wira12n

b12n

c12n

∈ Nn und

a2

b2

c2

∈ Fnund es gilt xy

z

=

a12n

b12n

c12n

a2

b2

c2

.

Wir konnen also ein beliebiges Element der Heisenberg-Gruppe als Produkt eines Elementes

aus Nn und eines Elementes aus Fn darstellen.

zu (b), Fn ist nicht zu groß: Fur

a′

b′

c′

,

abc

∈ Fn und

xyz

∈ Nn gelte

a′

b′

c′

=

xyz

abc

.

Es muss daher a′ = x + a und b′ = y + b erfullt sein, woraus wegen 0 ≤ a, a′, b, b′ ≤ 2n − 1

folgt, dass x = y = 0 gilt. Fur die dritte Komponente ergibt sich c′ = z + c+ ay = z + c und

wie eben folgt z=0.

(Fn)n∈N keine Følner-Folge: Es reicht zu zeigen |FnS\Fn||Fn| > 12 fur ein endliches Erzeugenden-

system S.

Offensichtlich gilt |Fn| = 23n. Als Erzeugendensystem wahlen wir

S = {s1, s2} =

{1

0

0

,

0

1

0

}.

90


Wir betrachten zunachst den Rand von Fn, welcher unter Anwendung von s1 entsteht:

|Fns1 \ Fn| =

∣∣∣∣∣{x+ 1

y

y + z

∈ H3

∣∣∣∣ x = 2n − 1

0 ≤ y, z ≤ 2n − 1

}∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣{x+ 1

y

y + z

∈ H3

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ 2n − 2

0 ≤ y, z ≤ 2n − 1

y + z ≥ 2n

}∣∣∣∣∣= 22n + (2n − 1)θ(n),

wobei

θ(n) =

2n−1∑y=0

A(y) mit A(y) =

2n−1∑z=0

1{y+z≥2n}.

Da 0 ≤ 2n − y gilt, konnen wir A(y) schreiben als

A(y) =

2n−1∑z=0

1{y+z≥2n} =

2n−1∑z=2n−y

1 = y.

Wir erhalten so

|Fns1 \ Fn| = 22n + (2n − 1)θ(n)

= 22n + (2n − 1)

2n−1∑y=0

A(y)

= 22n + (2n − 1)

2n−1∑y=0

y

= 22n + (2n − 1)(2n − 1)2n

2= 23n−1 + 2n−1.

Betrachten wir das Verhaltnis zu |Fn| ergibt sich

|FnS \ Fn||Fn|

≥ |Fns1 \ Fn||Fn|

=23n−1 + 2n−1

23n>

1

2, fur alle n.

Damit haben wir gezeigt, dass (Fn)n∈N keine Følner-Folge ist.

�

Fur die Normalteiler Nn gibt es folgende kanonische Wahl von Erzeugenden

Sn =

{2n

0

0

,

0

2n

0

,

0

0

2n

}.

91


Lassen wir den letzen Erzeuger weg, so erhalten wir die Menge

Tn =

{2n

0

0

,

0

2n

0

},fur welche man anhand solcher Rechnungen 0

2n

0

2n

0

0

=

2n

2n

22n

zeigen kann, dass sie die Gruppe

Gn =

{xyz

∣∣∣∣x, y ∈ 2nZ, z ∈ 22nZ

}

erzeugt. Diese ist daher offensichtlich ein Untergruppe von Nn.

Lemma 5.2.3 Fur n ∈ N ist die Gruppe Gn Normalteiler in Nn, aber nicht in der Heisen-

berg-Gruppe H3. Die Menge

F ′n :=

{xyz

∣∣∣∣ 0 ≤ x, y ≤ 2n − 1

0 ≤ z ≤ 22n − 1

}

ist ein Fundamentalbereich von Gn bezuglich der Heisenberg-Gruppe. (F ′n)n∈N ist eine Følner-

Folge in H3.

Beweis: Gn CNn: Zu zeigen ist g ∈ Gn, h ∈ Nn ⇒ hgh−1 ∈ Gn. Sei also g =

xyz

∈ Gn und

h =

abc

∈ Nn beliebig, dann gilt laut der Formelsammlung in Lemma 5.1.1

hgh−1 =

x

y

z + bx− ay

.

Da x, y ∈ 2nZ und weil außerdem a, b ∈ 2nZ und z ∈ 22nZ, gilt

z + bx− ay ∈ 22nZ.

92


Damit haben wir hgh−1 ∈ Gn.

Gn 6 H3: Sei also g =

xyz

∈ Gn und h =

abc

∈ H3 beliebig, dann ergibt sich wie eben

hgh−1 =

x

y

z + bx− ay

.

Nun gilt aber z ∈ 22nZ, x, y ∈ 2nZ und a, b ∈ Z, daher liegt z + bx− ay im allgemeinen nicht

in 22nZ.

F ′n Fundamentalbereich:

zu (a) F ′n ist nicht zu klein: Sei

xyz

∈ H3 beliebig. Wie im Beweis zu Lemma 5.2.2 existieren

eindeutige Zerlegungen

x = a12n + a2, y = b12n + b2 z − a2b12n = c122n + c2

wobei ai, bi, ci (i = 1, 2) ganzzahlig sind, 0 ≤ a2, b2 ≤ 2n − 1 und 0 ≤ c2 ≤ 22n − 1 gilt. Somit

konnen wir ein beliebiges Element aus H3 als Produkt von einem Element aus Gn und einem

Element aus F ′n darstellen, namlichxyz

=

a12n

b12n

c122n

a2

b2

c2

.

zu (b) F ′n ist nicht zu groß: Fur

a′

b′

c′

,

abc

∈ F ′n und

xyz

∈ Gn gelte

a′

b′

c′

=

xyz

abc

Es muss daher a′ = x+a und b′ = y+ b erfullt sein, woraus wegen 0 ≤ a, a′, b, b′ ≤ 2n− 1 und

x, y ∈ 2nZ folgt, dass x = y = 0 gilt. Fur die dritte Komponente ergibt sich c′ = z+ c+ ay =

z + c. Da nun z ganzzahliges Vielfaches von 22n ist und 0 ≤ c, c′ ≤ 22n − 1 gilt, folgt z = 0.

(F ′n)n∈N Følner-Folge: Zu zeigen ist limn→∞

|FnS\Fn||Fn| = 0 fur ein endliches Erzeugendensystem S

der Heisenberg-Gruppe.

Als Erzeugendensystem wahlen wir

S = {s1, s2} =

{1

0

0

,

0

1

0

}.

93


Die”Rander“, welche durch die beiden Erzeuger entstehen werden wir einzeln betrachten. Es

gilt

|F ′ns1 \ F ′n| =

∣∣∣∣∣{x+ 1

y

y + z

∈ H3

∣∣∣∣ x = 2n − 1

0 ≤ y ≤ 2n − 1

0 ≤ z ≤ 22n − 1

}∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣{x+ 1

y

y + z

∈ H3

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ 2n − 2, 0 ≤ y ≤ 2n − 1

0 ≤ z ≤ 22n − 1, y + z ≥ 22n

}∣∣∣∣∣= 23n + (2n − 1)θ(n),

wobei

θ(n) =

2n−1∑y=0

A(y) mit A(y) =

22n−1∑z=0

1{y+z≥22n}.

Wegen 22n − y ≥ 0 folgt

A(y) =

22n−1∑z=0

1{y+z≥22n} =

22n−1∑z=22n−y

1 = y

und damit

|F ′ns1 \ F ′n| = 23n + (2n − 1)θ(n)

= 23n + (2n − 1)

2n−1∑y=0

y (5.1)

= 3 · 23n−1 − 22n + 2n−1.

Fur den Rand, welcher sich durch Andwenden von s2 ergibt, erhalten wir

|F ′ns2 \ F ′n| =

∣∣∣∣∣{ x

y + 1

z

∈ H3

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ 2n − 1

y = 2n − 1

0 ≤ z ≤ 22n − 1

}∣∣∣∣∣ = 2n · 22n = 23n. (5.2)

Da |F ′n| = 24n gilt, folgt mit (5.1) und (5.2):

|F ′nS \ F ′n||F ′n|

=|(F ′ns1 \ F ′n) ∪ (F ′ns2 \ F ′n)|

|F ′n|

≤ |F ′ns1 \ F ′n|+ |F ′ns2 \ F ′n||F ′n|

=3 · 23n−1 − 22n + 2n−1 + 23n

24n

=5 · 23n−1 − 22n + 2n−1

24n−→ 0 fur n→∞.

94

5.3 Allgemeine Untergruppen und Normalteiler

Damit ist gezeigt, dass (F ′n)n∈N eine Følner-Folge ist.

�

Aus den Lemmas 5.2.2 und 5.2.3 ergibt sich die folgende Situation. Zur Heisenberg-Gruppe

H3 finden wir zwei Folgen (Nn)n∈N und (Gn)n∈N von Untergruppen mit endlichem Index, fur

welcheH3 = N0 B N1 B N2 B N3 B . . .

O O O O

H3 = G0 > G1 > G2 > G3 > . . .

gilt und

Nn CH3

⋂n∈N

Nn = {e}⋂n∈N

Gn = {e}.

Abbildung 5.1: F ′n bilden Følner-Folge, Fn nicht

-

6

...

m m2

m

x, y

z

Fn

F ′n︷︸︸︷

Damit ist (Nn)n∈N eine RE-Folge, da sie die Bedingungen (i) bis (iii) vom Anfang des Kapitels

erfullt und so zeigt, dass H3 residuell endlich ist. Die (Standard-)Fundamentalbereiche zu

Nn bilden keine Følner-Folge. Gehen wir nun von jedem Nn zum Normalteiler Gn uber,

so erhalten wir eine neue Folge von Untergruppen. Fur diese finden wir laut Lemma 5.2.3

Fundamentalbereiche, die eine Følner-Folge bilden und somit zeigen, dass H3 amenabel ist.

Jedoch sind die Untergruppen Gn keine Normalteiler in H3. Die Abbildung 5.2 vergleicht die

Große der Fundamentalbereiche Fn und F ′n. Dort wird der Ubersichtlichkeit halber m := 2n

gesetzt.


Wir wollen im Folgenden allgemeine Untergruppen und Normalteiler der Heisenberg-Gruppe

auf charakteristische Eigenschaften untersuchen. Das erste Ergebnis dazu liefert der nachste

Satz.

Satz 5.3.1 Sei N ein Normalteiler der Heisenberg-Gruppe H3. Lasst sich N durch zwei Ele-

mente erzeugen, so gilt N = H3.

95


Beweis: Laut Voraussetzung existieren zwei Elemente s1 :=

abc

und s2 :=

a′

b′

c′

mit

N = 〈{s1, s2}〉.

Durch Bilden des Kommutators von s1 und s2 erhalten wir, siehe Lemma 5.1.1

[s1, s2] =

0

0

a′b− ab′

.

Wir sehen, dass dieses Element in der dritten Komponente gerade die Determinante der

Matrix

(a′ a

b′ b

)enthalt und definieren d := a′b− ab′. Nun wissen wir bereits folgendes

• [H3, H3] ⊇ [N,N ]

• [H3, H3] ∼= Z (siehe auch Beispiel 2.0.11) und

• G < Z ⇒ ∃k ∈ Z mit G = kZ,

was uns zu folgender Darstellung fuhrt:

H3 ⊇ [H3, H3] =

{0

0

x

∣∣∣∣x ∈ Z}

∪ ∪

N ⊇ [N,N ] =

{0

0

x

∣∣∣∣x ∈ kZ},

fur ein k ≥ 0.

Behauptung: k = d

Da (0, 0, d)> ein Element von [N,N ] ist, wissen wir bereits k|d. Wir schauen uns [N,N ]

genauer an. Die Untergruppe N enthalt Elemente der Artn1a+m1a′

n1b+m1b′

∗

und

n2a+m2a′

n2b+m2b′

∗

.

Damit entstehen bei der Kommutatorbildung0

0

z

∈ [N,N ],

96


mit z in der Form

z = det

(n1a+m1a

′ n2a+m2a′

n1b+m1b′ n2b+m2b

′

)

= det

(n1a n2a+m2a

′

n1b n2b+m2b′

)+ det

(m1a

′ n2a+m2a′

m1b′ n2b+m2b

′

)

= det

(n1a m2a

′

n1b m2b′

)+ det

(m1a

′ n2a

m1b′ n2b

)

= (n1m2 − n2m1) det

(a a′

b b′

).

Damit ist z immer ein Vielfaches von d und wir haben die Behauptung bewiesen. Es gilt daher

[N,N ] =

{0

0

z

∣∣∣∣z ∈ dZ}.

Behauptung: g :=

0

0

z

∈ N ⇒ g ∈ [N,N ]

Da s1 und s2 die Gruppe N erzeugen, konnen wir jedes Element g =

0

0

z

als Wort endlicher

Lange mit den Buchstaben s1 und s2 ausdrucken. Also der Art

g = si11 si22 s

i31 s

i42 s

i51 · · · s

in−1

1 sin2 ,

wobei n ohne Beschrankung der Allgemeinheit gerade sein soll. (Falls ungerades n genugen

wurde, setzt man den letzten Exponenten gleich Null) Die Gruppenoperation der Heisenberg-

Gruppe H3 entspricht in den ersten beiden Komponenten gerade der Gruppenoperation des

Z2. Da sich diese Komponenten jeweils zu Null aufsummieren sollen, gilt

i1 + i3 + i5 + · · ·+ in−1 = 0

i2 + i4 + i6 + · · ·+ in = 0.

Wir fugen nun geschickt”produktive Einsen“ in das Wort ein.

g = si11 si22 s−i11 s−i22 si22 s

i11 s

i31 s

i42 s

i51 · · · s

in−1

1 sin2

= [s−i11 , s−i22 ]si22 si1+i31 si42 s

i51 · · · s

in−1

1 sin2

97


So konnen wir induktiv mittels den Kommutatoren uj ∈ [N,N ], j = 1, . . . , n die Elemente

so vertauschen, bis wir im letzen Schritt zu dem Ausdruck

g = u1 · · ·uk−1si2+i4+···+in−2

2 si1+i3+···+in−1

1 sin2

= u1 · · ·uk−1[s−(i2+i4+···+in−2)2 , s

−(i1+i3+···+in−1)1 ]s

i1+i3+···+in−1

1 si2+i4+···+in−2

2 sin2

= u1 · · ·uk−1uksi1+i3+···+in−1

1 si2+i4+···+in2

kommen. So folgen nach einer Anzahl von Kommutatoren alle s1 und alle s2 aufeinander. Da

sich die Potenzen zu Null aufsummieren haben wir

g = u1 · · ·uk

und g = (0, 0, z)> als Element von [N,N ] identifiziert.

Die Normalteilereigenschaft besagt fur alle g = (x, y, z)> ∈ H3 und alle n = (α, β, γ)> ∈ N :

gng−1 ∈ N . Dies ist aquivalent zu den Aussagen

gng−1n−1 ∈ N ⇔ [g, n] ∈ N ⇔

0

0

r

∈ N,wobei r = det

(x α

y β

). Daraus folgt

det

(x a

y b

)∈ dZ und det

(x a′

y b′

)∈ dZ fur alle x, y ∈ Z

Setzen wir x = 1 und y = 0 beziehungsweise x = 0 und y = 1, erkennen wir

d|a und d|b ⇒ d| ggT(a, b)

d|a′ und d|b′ ⇒ d| ggT(a′, b′).

Außerdem gilt wegen d = a′b− ab′

ggT(a, b) ggT(a′, b′) | d.

Insgesamt ergibt sich daher: das Produkt ggT(a, b) ggT(a′, b′) teilt d und d teilt jeden der

beiden Faktoren. So kommen wir zu

ggT(a, b) ggT(a′, b′) | d | ggT(a, b), ggT(a′, b′)

⇒ ggT(a, b) = ggT(a′, b′) = 1

⇒ d | 1

⇒ d = 1

⇒

0

0

1

∈ N und 〈{(

a

b

),

(a′

b′

)}〉 = Z2.

98


Damit ist gezeigt, dass in allen drei Komponenten, unabhangig voneinander, jede ganze Zahl

entstehen kann. Daher muss

N = H3

gelten.

�

Da sich die ersten beiden Komponenten der Heisenberg-Gruppe wie der Z2 verhalten, ist das

folgende Lemma von Interesse.

Lemma 5.3.2 Ist G eine Untergruppe des Z2 mit endlichem Index, so existiert fur G ein

Erzeugenden-System der Form

S =

{(a1

b1

),

(a2

0

)},

wobei b1, a2 ≥ 1 und 0 ≤ a1 ≤ a2 − 1.

Beweis: Da es fur drei und mehr Elemente des Z2 fur das Gleichungssystem

x1

(α1

β1

)+ x2

(α2

β2

)+ · · ·+ xn

(αn

βn

)=

(0

0

)

immer eine nichttriviale Losung gibt, konnen wir jede Untergruppe des Z2 durch zwei Ele-

mente erzeugen. Diese seien

S =

{(a1

b1

),

(a2

b2

)}.

Außerdem soll G endlichen Index besitzen. Daraus folgt, dass das Gleichungssystem

x1

(a1

b1

)+ x2

(a2

b2

)=

(0

0

)

nur die triviale Losung haben darf, denn sonst wurde eine einelementige Erzeugermenge

genugen und damit wurde G ∼= Z gelten.

Falls entweder b1 oder b2 gleich Null ist, konnen wir die Behauptungen 1 bis 3 ubersprin-

gen und mussen nur noch zeigen, dass alle ubrigen Elemente positiv gewahlt werden konnen

und 0 ≤ a1 ≤ a2 − 1 gilt. Außerdem durfen b1 und b2 nicht beide gleich Null sein. Dies

wurde wieder dem endlichen Index wiedersprechen. Seien also o.B.d.A. b1, b2 6= 0. Wir setzen

g := ggT(|b1|, |b2|), c1 := b1/g und c2 := b2/g.

Behauptung 1: Es existieren 2 ganze Zahlen α und β, so dass αc1 + βc2 = 1 gilt.

99


• Fall 1: c1 > 0,c2 > 0: Da ggT(c1, c2) = 1 und ggT(c1, c2) kgV(c1, c2) = c1c2 gilt

kgV(c1, c2) = c1c2. (5.3)

Betrachten wir c1Z als Untergruppe von Z, so haben wir wegen (5.3)

αc2 /∈ c1Z fur alle 0 < α < c1.

Außerdem gilt fur 0 ≤ β < α < c1

0 < α− β < c1

⇒ (α− β)c2 /∈ c1Z

⇒ αc2 − βc2 /∈ c1Z

⇒ αc2 � βc2,

wobei die (Nicht-)Aquivalenz bezuglich der Untergruppe c1Z gemeint ist. Das zeigt,

dass αc2 fur 0 ≤ α < c1 alle c1 verschiedenen Aquivalenzklassen trifft. Damit existiert

insbesondere ein β mit βc2 − 1 ∈ c1Z. Wir finden daher α, β ∈ Z mit

αc1 + βc2 = 1

• Fall 2: c1, c2 6= 0 beliebig: Gilt fur i ∈ {1, 2} ci < 0, so defnieriere c′i := −ci und wahle

α und β wie in Fall 1. Nun kehren wir die Vorzeichen wieder entsprechend um

c1 = c′1 ⇒ α′ := α c1 = −c′1 ⇒ α′ := −αc2 = c′2 ⇒ β′ := β c2 = −c′2 ⇒ β′ := −β

und es gilt

α′c1 + β′c2 = 1.

Damit ist die Behauptung 1 bewiesen. Wir definieren nun

a1 := αa1 + βa2

b1 := g

a2 := c2a1 − c1a2

und damit

S := {s1, s2} :=

{(a1

b1

),

(a2

0

)}.

Um die Aquivalenz der Erzeugendensysteme S und S zu zeigen werden wir in den folgenden

beiden Behauptungen die jeweiligen Elemente des einen, mit einer Kombination der Elemente

des anderen Erzeugendensystem darstellen.

Behauptung 2: 〈S〉 ⊇ 〈S〉

100


Hier setzen wir λ := α und µ := β um das erste Element aus S als Kombination der Elemente

aus S darzustellen. Es gilt dann

〈S〉 3 λ

(a1

b1

)+ µ

(a2

b2

)= α

(a1

b1

)+ β

(a2

b2

)

=

(αa1 + βa2

αb1 + βb2

)

=

(αa1 + βa2

αc1g + βc2g

)Beh.1

=

(αa1 + βa2

g

)= s1.

Setzen wir λ := c2 und µ := −c1, so gilt

〈S〉 3 λ

(a1

b1

)+ µ

(a2

b2

)= c2

(a1

b1

)− c1

(a2

b2

)

=

(c2a1 − c1a2

c2b1 − c1b2

)

=

(c2a1 − c1a2

b2g b1 −

b1g b2

)

=

(c2a1 − c1a2

0

)= s2.

Damit haben wir S ⊆ 〈S〉 gezeigt und die Behauptung 2 ist bewiesen.

Behauptung 3: 〈S〉 ⊇ 〈S〉Hier setzen wir λ := c1 und µ := β um das erste Element von S als Kombination der Elemente

aus S darzustellen.

〈S〉 3 λ

(a1

b1

)+ µ

(a2

0

)= c1

(a1

b1

)+ β

(a2

0

)

= c1

(αa1 + βa2

g

)+ β

(c2a1 − c1a2

0

)

=

(αc1a1 + βc1a2 + βc2a1 − βc1a2

b1

)

=

(αc1a1 + βc2a1

b1

)Beh.1

=

(a1

b1

)= s1

101


Um das zweite Element von S zu erhalten setzen wir λ := c2 und µ := −α.

〈S〉 3 λ

(a1

b1

)+ µ

(a2

0

)= c2

(a1

b1

)− α

(a2

0

)

= c2

(αa1 + βa2

g

)− α

(c2a1 − c1a2

0

)

=

(αc2a1 + βc2a2 − αc2a1 + αc1a2

b2

)

=

(αc1a2 + βc2a2

b2

)Beh.1

=

(a2

b2

)= s2

Damit haben wir S ⊆ 〈S〉 gezeigt und die Behauptung 3 ist bewiesen.

Nun haben wir ein Erzeugendensystem S erhalten, welches an der Stelle b2 eine”Null“ enthalt.

Außerdem wird aus der Darstellung von S klar, dass a2, b1 6= 0 gelten muss, da sonst die

Forderung nach endlichem Index verletzt ist. Es bleibt noch b1, a2 ≥ 1 und 0 ≤ a1 ≤ a2 − 1

zu erreichen.

Behauptung 4: Es existiert ein Erzeugendensystem

S :=

{(a1

b1

),

(a2

0

)}mit b1, a2 ≥ 1, 0 ≤ a1 ≤ a2 − 1 und 〈S〉 = 〈S〉.Dazu sei

s2 :=

{s2 falls a2 > 0

−s2 falls a2 < 0s2 =

(a2

0

).

Wir definieren b1 := b1 = g > 0. Nun mussen wir nur noch an der Bedingung 0 ≤ a1 ≤ a2− 1

arbeiten. Dazu zerlegen wir a1 folgendermaßen

a1 = ha2 + a1 mit 0 ≤ a1 < a2.

Wegen (a1

b1

)− h

(a2

0

)=

(a1

b1

)und

(a1

b1

)+ h

(a2

0

)=

(a1

b1

)erfullt das Erzeugendensystem

S :=

{(a1

b1

),

(a2

0

)}alle geforderten Bedingungen.

�

Im nachsten Schritt wollen wir das einfuhrende Beispiel verallgemeinern. Wir finden Grup-

pen mit 3 Erzeugern, welche Normalteiler der Heisenberg-Gruppe H3 sind und zeigen, dass H3

102


residuell endlich ist. Lassen wir einen der Erzeuger weg, so bekommen wir eine Untergruppe,

welche normal in derjenigen mit drei Erzeugern liegt. Spater betrachten wir eine Folge von

Untergruppen von obigem Typ. Dann wird sich zeigen, dass die Fundamentalbereiche dieser

Untergruppen eine Følner-Folge bilden. Wir definieren die Gruppen

G := 〈

a1

b1

c1

,

a2

0

c2

〉 (5.4)

N := 〈

a1

b1

c1

,

a2

0

c2

,

0

0

c3

〉. (5.5)

Bemerkung 5.3.3 Wir wollen davon ausgehen, dass die Untergruppen G und N von end-

lichem Index (in H3) sind. Ist dies erfullt, konnen und werden wir ohne Beschrankung der

Allgemeinheit im Folgenden verlangen, dass

b1, a2 ≥ 1, 0 ≤ a1 ≤ a2 − 1 und c3 ≥ 0

gilt.

Beweis: Sei S := {s1, s2} :=

a1

b1

c1

,

a2

0

c2

das gegebene Erzeugendensystem. Zunachst

stellen wir fest, dass a2, b1 6= 0 gelten muss. Ware dem nicht so, konnte man mit dem bekann-

ten Argument, dass sich die ersten beiden Komponenten wie Z2 verhalten, zeigen, dass diese

Untergruppe nicht von endlichem Index ist.

Wir definieren den zweiten Erzeuger des neuen Erzeungensystem durch

s2 :=

{s2 falls a2 ≥ 0

s−12 falls a2 < 0

, s2 =

a2

0

c2

.

Fur den ersten Erzeuger benotigen wir einen Zwischenschritt

s1 :=

{s1 falls b1 ≥ 0

s−11 falls b1 < 0

, s1 =

a1

b1

c1

.

Nun wahlen wir k ∈ Z so, dass 0 ≤ a1 + ka2 ≤ a2 − 1 und definieren

s1 := s1sk2.

Es gilt fur das neue Erzeugendensystem S := {s1, s2} offensichtlich S ⊆ 〈S〉. Da aber s1 =

s1s−k2 gilt, konnen wir die Elemente aus S auch durch Elemente aus S erzeugen. Daher haben

103


wir 〈S〉 = 〈S〉.

Enthalt die Erzeugermenge, wie etwa in (5.5) zusatzlich ein Element der Art s3 =

0

0

c3

, so

definieren wir

s3 :=

{s3 falls c3 ≥ 0

s−13 falls c3 < 0

und ersetzen s3 durch s3 im Erzeugendensystem.

�

Lemma 5.3.4 Es gilt

G =

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1

∣∣∣∣∣ n,m, k ∈ Z

(5.6)

und die Menge

F =

xyz

∣∣∣∣∣0 ≤ x ≤ a2 − 1

0 ≤ y ≤ b1 − 1

0 ≤ z ≤ a2b1 − 1

(5.7)

ist ein Fundamentalbereich von G bezuglich der Heisenberg-Gruppe.

Beweis: Sei

G :=

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1

∣∣∣∣∣n,m, k ∈ Z

.

G ⊆ G: Durch Kommutatorbildung erhalten wira1

b1

c1

,

a2

0

c2

=

0

0

a2b1

∈ G.Geben wir uns ein beliebiges Element aus G vor, so konnen wir dies (siehe Lemma 5.1.1)

folgendermaßen erzeugenna1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1

=

a2

0

c2

ma1

b1

c1

n 0

0

a2b1

k

.

104


G ⊆ G: Wir zeigen nun, dass falls wir einen Erzeuger von G auf ein beliebiges Element aus

G anwenden, wir immer noch in der Menge G bleiben.

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1

a1

b1

c1

=

(n+ 1)a1 +ma2

(n+ 1)b1

(n+ 1)c1 +mc2 + (n∑i=1

i)a1b1 + ka2b1

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1

a2

0

c2

=

na1 + (m+ 1)a2

nb1

τ

,

wobei

τ = nc1 + (m+ 1)c2 + (

n−1∑i=1

i)a1b1 + (k + n)a2b1.

Somit gilt G = G und die erste Aussage des Lemmas ist bewiesen. Nun zum Fundamentalbe-

reich:

F ist nicht zu klein: z.z.⋃g∈G

gF = H3.

Sei

xyz

∈ H3 beliebig. Wir bilden der Reihe nach die folgenden eindeutigen Zerlegungen

y = v1b1 + v2 mit 0 ≤ v2 ≤ b1 − 1

x− v1a1 = u1a2 + u2 mit 0 ≤ u2 ≤ a2 − 1

z − v1c1 − u1c2 − (v1−1∑i=1

i)a1b1 − v1u2b1 = w1a2b1 + w2 mit 0 ≤ w2 ≤ a2b1 − 1

Dann gilt

xyz

=

v1a1 + u1a2

v1b1

v1c1 + u1c2 + (v1−1∑i=1

i)a1b1 + w1a2b1

︸︷︷︸

∈G

u2

v2

w2

∈F

F ist nicht zu groß: z.z. Aus f, f ′ ∈ F , g ∈ G und gf = f ′ folgt g = e.

105


Seien also f =

αβγ

, f ′ =

α′

β′

γ′

∈ F und g =

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1

mit

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1

αβγ

=

α′

β′

γ′

.

Daraus ergibt sich nb1 + β = β′. Da aber 0 ≤ β, β′ ≤ b1 − 1, folgt sofort

n = 0 und β = β′.

Damit haben wir in der ersten Komponente na1 + ma2 + α = ma2 + α = α′ und mit 0 ≤α, α′ ≤ a2 − 1 sehen wir

m = 0 und α = α′.

Wir betrachten die dritte Komponente

γ′ = γ + nc1 +mc2 + (

n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1 + αnb1

= γ + ka2b1

so folgt k = 0 und insgesamt ergibt sich g = e. Damit haben wir bewiesen, dass F Funda-

mentalbereich ist.

�

Da die Gruppe G von zwei Elementen erzeugt wird, folgt aus dem Satz 5.3.1, dass G aus (5.4)

nur ein Normalteiler ist, falls G = H3 gilt. Wir stellen uns daher die Frage, welches Element

ins Erzeugendensystem aufgenommen werden muss, damit diese Gruppe normal in H3 liegt.

Eine Antwort liefert der folgende Satz.

Satz 5.3.5 Sei

N := 〈

a1

b1

c1

,

a2

0

c2

,

0

0

c3

〉 (5.8)

so gilt

N CH3 ⇐⇒ c3| ggT(a1, a2, b1).

Ist diese Bedingung erfullt, so lasst sich N schreiben als

N =

{ na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + lc3

∣∣∣∣n,m, l ∈ Z}

(5.9)

106


und die Menge

F =

{xyz

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ a2 − 1

0 ≤ y ≤ b1 − 1

0 ≤ z ≤ c3 − 1

}(5.10)

bildet dann einen Fundamentalbereich von N in H3.

Beweis: Zunachst stellen wir fest, dass sich N ohne Beachtung eventueller Teilbarkeitseigen-

schaften folgendermaßen darstellen lasst:

N =

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1 + lc3

∣∣∣∣k, l,m, n ∈ Z

:= N .

Wegen na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1


=

a2

0

c2

ma1

b1

c1

n 0

0

a2b1

k 0

0

c3

l

gilt N ⊆ N . Mit na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1


a1

b1

c1

∈ N ,

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1


a2

0

c2

∈ N ,

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1


0

0

c3

∈ N

folgt N ⊆ N . Sei g =

xyz

ein beliebiges Element aus H3, dann

N CH3 ⇔ gng−1 ∈ N

⇔

xyz

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1


xyz

−1

∈ N

107


⇔

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + (n−1∑i=1

i)a1b1 + ka2b1 + lc3 + yna1 + yma2 − xnb1

∈ N⇔ c3| ggT(a1, a2, b1)

Die Richtung”⇐“ der letzten Aquivalenz ist klar. Um die andere Richtung zu sehen, setzt

man zunachst y = n = 1 und m = x = 0 und erhalt c3|a1. Damit man sieht, dass c3 auch

die Werte a2 bzw. b1 teilen muss, setzt man y = m = 1 und x = n = 0 bzw. x = n = 1 und

y = m = 0.

Wird b1 von c3 geteilt konnen wir N schreiben als

N =

{ na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + lc3

∣∣∣∣l,m, n ∈ Z}.

Dies ist insbesondere erfullt, wenn c3| ggT(a1, a2, b1) gilt.

F ist nicht zu klein: z.z.⋃g∈N

gF = H3.

Sei

xyz

∈ H3 beliebig. Wie im Beweis des vorherigen Lemmas bilden wir der Reihe nach

die eindeutigen Zerlegungen

y = v1b1 + v2 mit 0 ≤ v2 ≤ b1 − 1

x− v1a1 = u1a2 + u2 mit 0 ≤ u2 ≤ a2 − 1

z − v1c1 − u1c2 − v1u2b1 = w1c3 + w2 mit 0 ≤ w2 ≤ c3 − 1

und es gilt xyz

=

v1a1 + u1a2

v1b1

v1c1 + u1c2 + w1c3

︸︷︷︸

∈N

u2

v2

w2

∈F

.

F ist nicht zu groß: z.z. Aus f, f ′ ∈ F , g ∈ N und gf = f ′ folgt g = e.

Sei hier wieder f =

αβγ

, f ′ =

α′

β′

γ′

∈ F und g =

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + lc3

mit

na1 +ma2

nb1

nc1 +mc2 + lc3

αβγ

=

α′

β′

γ′

.

108


Daraus ergibt sich nb1 + β = β′. Da aber 0 ≤ β, β′ ≤ b1 − 1 folgt sofort

n = 0 und β = β′.

Damit haben wir in der ersten Komponente na1 + ma2 + α = ma2 + α = α′ und mit 0 ≤α, α′ ≤ a2 − 1 sehen wir

m = 0 und α = α′.

Wir betrachten die dritte Komponente:

γ′ = γ + nc1 +mc2 + lc3 + αnb1

= γ + lc3.

Es folgt l = 0 und insgesamt ergibt sich g = e. Damit haben wir bewiesen, dass F ein

Fundamentalbereich ist.

�

Bisher haben wir einzelne Untergruppen G bzw. N von H3 mit gewissen Eigenschaften be-

trachtet. Nun bilden wir Folgen von Untergruppen

H3 = G1 ⊇ G2 ⊇ G3 ⊇ . . .

H3 = N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ . . . ,

deren samtliche Elemente die beschriebenen Eigenschaften haben. Uns wird vorallem interes-

sieren, ob die Fundamentalbereiche eine Følner-Folge bilden.

Satz 5.3.6 Fur alle k ∈ N sei Gk von der Form (5.4) und es gelte

(i) Gk ⊇ Gk+1 fur alle k ∈ N und

(ii)⋂k∈N

Gk = {e},

dann bilden die zugehorigen Fundamentalbereiche Fk (siehe (5.7)) eine Følner-Folge.

Beweis: Gegeben ist

Gk := 〈

a

(k)1

b(k)1

c(k)1

,

a(k)2

0

c(k)2

〉

Fk :=

{xyz

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ a(k)2 − 1

0 ≤ y ≤ b(k)1 − 1

0 ≤ z ≤ a(k)2 b

(k)1 − 1

}

109


Uns interessiert die Grenzwert von |FkS\Fk||Fk| fur k →∞. Zur besseren Ubersichtlichkeit unter-

drucken wir zunachst den Index k. Es gilt

|F | = a22b

21.

Als Erzeugendensystem von H3 (um den Rand zu berechnen) wahlen wir ein moglichst kleines:

S =

1

0

0

,

0

1

0

.

Es gilt

|Fs1 \ F | =

∣∣∣∣∣{x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ x = a2 − 1

0 ≤ y ≤ b1 − 1

0 ≤ z ≤ a2b1 − 1

}∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣{x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ a2 − 2, 0 ≤ z ≤ a2b1 − 1,

0 ≤ y ≤ b1 − 1, y + z ≥ a2b1

}∣∣∣∣∣= a2b

21 + (a2 − 1)θ(a2, b1)

mit

θ(a2, b1) =

b1−1∑y=0

A(y)

wobei

A(y) =

a2b1−1∑z=0

1{y+z≥a2b1}.

Da wir endlichen Index fordern, muss (laut Bemerkung 5.3.3) a2 ≥ 1 gelten. Daraus folgt

a2b1−1∑z=0

1{y+z≥a2b1} =

a2b1−1∑z=a2b1−y

1 = y.

Fur den Rand bezuglich s1 gilt also

|Fs1 \ F | = a2b21 + (a2 − 1)θ(a2, b1)

= a2b21 + (a2 − 1)

b1−1∑y=0

A(y)

= a2b21 + (a2 − 1)

b1−1∑y=0

y

= a2b21 +

1

2(a2 − 1)(b1 − 1)b1

=3

2a2b

21 −

1

2a2b1 −

1

2b21 +

1

2b1.

110


Nun untersuchen wir den Rand, welcher sich durch s2 ergibt.

|Fs2 \ F | =

∣∣∣∣∣{ x

y + 1

z

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ a2 − 1

y = b1 − 1

0 ≤ z ≤ a2b1 − 1

}∣∣∣∣∣ = a22b1

Somit haben wir insgesamt

|FS \ F ||F |

≤ |Fs1 \ F |+ |Fs2 \ F ||F |

=3a2b

21 − a2b1 − b21 + b1 + 2a2

2b12a2

2b21

→ 0,

falls a2, b1 → ∞. Erinnern wir uns nun wieder an den Index k, bleibt also zu klaren, ob fur

wachsendes k auch gilt, dass a2 → ∞ und b1 → ∞. Aus Voraussetzung (i) ergibt sich, dass

b(k)1 | b(k+1)

1 gilt. Da im Schnitt der Untergruppen nur die triviale Gruppe liegen soll, folgt

daraus fur k →∞b(k)1 →∞.

In der ersten Komponente verhalt es sich, wenn auch nicht so offensichtlich, genauso. Die

Eigenschaften (i) und (ii) fur Gn implizieren die selben Eigenschaften fur die Gruppe in der

ersten Komponente

Hk := {na(k)1 +ma

(k)2 | n,m ∈ Z}.

Dies ist eine Untergruppe von Z und damit auch in der Form

Hk = {lα(k) | l ∈ Z}

fur ein 0 < α(k) ≤ a(k)2 darstellbar. Wegen Hk+1 ⊆ Hk gilt α(k)|α(k+1) und mit

⋂k∈N

Hk = {e}

folgt fur k →∞α(k) →∞.

Da aber α(k) ≤ a(k)2 gilt, folgt nun auch

a(k)2 →∞

fur k →∞. Damit ist gezeigt, dass die Große des Randes der Fundamentalbereiche im Verhalt-

nis zu deren Volumen mit wachsemdem Index gegen Null konvergiert.

�

Im nachsten Satz untersuchen wir nun Fundamentalbereiche zu Folgen von Untergruppen der

Art (5.5) auf die Følner Eigenschaft.

111


Satz 5.3.7 Fur alle k ∈ N sei Nk in der Form (5.5) und es gelte

• c(k)3 | ggT(a

(k)1 , a

(k)2 , b

(k)1 ) und

• (Nk)k∈N ist eine RE-Folge

dann gilt Nk C H3 und die zugehorigen Fundamentalbereiche Fk (siehe (5.10)) bilden keine

Følner-Folge.

Beachte: Wegen der ersten Bedingung liegen alle Nk normal in H3. Die zweite Bedingung

bedeutet, dass (Nk)k∈N eine Folge ist, welche zeigt, dass H3 residuell endlich ist.

Beweis: Gegeben ist wie in (5.4) und (5.10)

Nk := 〈

a

(k)1

b(k)1

c(k)1

,

a(k)2

0

c(k)2

,

0

0

c(k)3

〉

Fk :=

{xyz

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ a(k)2 − 1

0 ≤ y ≤ b(k)1 − 1

0 ≤ z ≤ c(k)3 − 1

}.

Wegen Bemerkung 5.3.3 konnen wir annehmen, dass alle a(k)1 , b

(k)1 , a

(k)2 und c

(k)3 nichtnegativ

sind und 0 ≤ a(k)1 ≤ a

(k−1)2 . Außerdem konnen wir uns auf den Fall b

(k)1 , a

(k)2 , c

(k)3 6= 0 be-

schranken, da wir Untergruppen von endlichem Index betrachten wollen und die Teilbarkeits-

Bedingung bezuglich c(k)3 erfullt sein soll. Zunachst werden wir noch den Index k unterdrucken.

Um die Følner Eigenschaft zu zeigen, mussen wir uns mit der Große |FS\F ||F | beschaftigen. Es

gilt offensichtlich

|F | = a2b1c3

Den Zahler zu berechnen ist etwas aufwendiger. Als Erzeugendensystem der Heisenberg-

Gruppe wahlen wir wieder

S =

{1

0

0

,

0

1

0

}.Der erste Erzeuger liefert die folgende Menge

|Fs1 \ F | =

∣∣∣∣∣{x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ x = a2 − 1

0 ≤ y ≤ b1 − 1

0 ≤ z ≤ c3 − 1

}∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣{x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ a2 − 2, 0 ≤ z ≤ c3 − 1,

0 ≤ y ≤ b1 − 1, y + z ≥ c3

}∣∣∣∣∣= b1c3 + (a2 − 1)θ(b1, c3)

112


mit

θ(b1, c3) =

b1−1∑y=0

A(y)

wobei

A(y) =

c3−1∑z=0

1{z+y≥c3} =

c3−1∑

z=c3−y1 = y fur y < c3

c3−1∑z=0

1 = c3 fur y > c3

Da b1 6= 0, c3 | b1 und damit c3 ≤ b1 gelten muss konnen wir θ auf die folgende Weise zerlegen

θ(b1, c3) =

b1−1∑y=0

A(y) =

c3−1∑y=0

A(y) +

b1−1∑y=c3

A(y)

=

c3−1∑y=0

y +

b1−1∑y=c3

c3

=c3(c3 − 1)

2+ (b1 − c3)c3

= b1c3 −c2

3

2− c3

2

und daher haben wir

|Fs1 \ F | = b1c3 + (a2 − 1)(b1c3 −c2

3

2− c3

2)

= a2b1c3 −a2c

23

2− a2c3

2+c2

3

2+c3

2

≥ a2b1c3 − a2c3

2.

Die letzte Ungleichung gilt, da c3 ≤ b1. Insgesamt ergibt sich

|FS \ F ||F |

≥ |Fs1 \ F ||F |

≥ a2b1c3 − a2c3

2a2b1c3=b1 − 1

2b1=

1

2− 1

2b1. (5.11)

Nun soll aber Nk ⊇ Nk+1 gelten

〈

a

(k)1

b(k)1

c(k)1

,

a(k)2

0

c(k)2

,

0

0

c(k)3

〉 ⊇ 〈

a

(k+1)1

b(k+1)1

c(k+1)1

,

a(k+1)2

0

c(k+1)2

,

0

0

c(k+1)3

〉,

woraus folgt, dass b(k+1)1 ein Vielfaches von b

(k)1 ist. Da der Durchschnitt aller Nk nur das

Einselement enthalten darf, ergibt sich: b(k)1 → ∞, fur k → ∞. Wir betrachten nun den

Zusammenhang in (5.11) unter Beachtung des zunachst unterdruckten Index k

limk→∞

|FkS \ Fk||Fk|

≥ limk→∞

(1

2− 1

2b(k)1

)=

1

2

Damit haben wir gezeigt, dass (Fk)k∈N keine Følner-Folge sein kann.

�

113


5.4 Algorithmische Vorgehensweise

Betrachten wir die ersten beiden Komponenten der Heisenberg-Gruppe, so stellen wir fest,

dass sich diese genau wie der Z2 verhalten. Wahlen wir eine Untergruppe von H3, so bilden

die ersten beiden Komponenten eine Untergruppe des Z2. Andererseits konnen wir aber auch

einen beliebige Untergruppe G des Z2 nutzen um eine Untergruppe G der Heisenberg-Gruppe

zu erzeugen. Naturlich ist G dadurch nicht eindeutig bestimmt, da die Wahl der dritten

Komponente nicht festgelegt ist.

Zusammenfassend ergibt sich aber aus den letzten Resultaten folgende Vorgehensweise. Wir

geben uns eine beliebige Untergruppe des Z2 mit endlichem Index vor. Diese konnen wir laut

dem Lemma 5.3.2 durch eine zwei-elementige Erzeugermenge

S := {s1, s2} :=

{(a1

b1

),

(a2

0

)},

darstellen, wobei a1, b1, a2 ≥ 0 und 0 ≤ a1 ≤ a2 − 1 gilt. Man beachte, dass a2, b1 6= 0, da

wir endlichen Index verlangen. Nun wahlen wir zwei beliebig Werte c1 und c2 fur die dritte

Komponente und erhalten ein Erzeugendensystem fur eine Untergruppe G der Heisenberg-

Gruppe

S := {s1, s2} :=

a1

b1

c1

,

a2

0

c2

.

Wir wollen zu Untergruppen von 〈S〉 und 〈S〉 ubergehen. Dazu bilden wir mittels endlicher

Kombinationen der Erzeuger, beispielsweise

sε11 sε22 s

ε31 s

ε42 s

ε51 s

ε62 · · · s

εl−1

1 sεl2 εi ∈ {−1, 0, 1}

neue Erzeugendenelemente, welche wir wieder auf die Form

S′ := {s′1, s′2} :=

{(a′1b′1

),

(a′20

)}⊆ 〈S〉

bringen. Es wird uns schnell klar, dass der zweite Erzeuger s′2 nur ein Vielfaches von s2 seien

kann. Auch der Erzeuger s′1 ist bis auf Verschiebung in der ersten Komponente durch s2 nur

ein Vielfaches von s1, d.h.

s′1 = αs1 − βs2 und s′2 = γs2, (5.12)

mit α, β, γ ∈ N0. Nun wenden wir die gleiche Prozedur auf die Erzeuger s1 und s2 an

s′1 = sα1 · sβ2 und s′2 = sγ2

114

5.4 Algorithmische Vorgehensweise

und erhalten

S′ := {s′1, s′2} =

a′1

b′1c′1

,

a′2

0

c′2

⊆ 〈S〉.

Auf diese Weise bilden wir nun eine Folge von Untergruppen Gk im Z2

Gk = 〈

{(a

(k)1

b(k)1

),

(a

(k)2

0

)}〉 mit Gk+1 ⊆ Gk, k ∈ Z

und ubertragen diese auf Untergruppen

Gk = 〈

a

(k)1

b(k)1

c(k)1

,

a(k)2

0

c(k)2

〉 mit Gk+1 ⊆ Gk, k ∈ Z

in der Heisenberg-Gruppe. Wollen wir Folgen von Normalteilern erzeugen, welche zeigen,

dass die Gruppen residuell endlich sind, darf die Wahl jedoch nicht ganz beliebig sein. Eine

hinreichende Forderungen um derartige Folgen zu erhalten sind:

(i)⋂k∈N

Gk = {e}

(ii) ggT(a(k)1 , b

(k)1 , a

(k)2 )→∞ fur k →∞.

Aus Lemma 5.3.4 wissen wir, dass sich Gk schreiben lasst als

G =

na(k)1 +ma

(k)2

nb(k)1

nc(k)1 +mc

(k)2 + (

n−1∑i=1

i)a(k)1 b

(k)1 + la

(k)2 b

(k)1

∣∣∣∣∣ n,m, l ∈ Z

. (5.13)

Wir sehen daher, dass sich die Bedingung (i) einfach auf die ersten beiden Komponenten

ubertragen lasst. In der dritten Komponente ist es nicht so offensichtlich. Da wir aber wissen,

dass die Bedingung in den ersten beiden Komponenten erfullt ist, kommen fur den Schnitt

aller Gk nur Elemente der Art

0

0

∗

in Frage. Diese sehen wegen 5.13 folgendermaßen aus:

0

0

la(k)2 b

(k)1

fur l ∈ N.

Wegen Bedingung (ii) konvergiert die Große a(k)2 b

(k)1 fur wachsendes k aber gegen unendlich.

Daher gilt auch fur Gk ⋂k∈N

Gk = {e}.

115


Mit Hilfe der zweiten Forderung werden wir Normalteiler der Heisenberg-Gruppe konstruieren

konnen, welche ebenfalls der Forderung (i) genugen. Man beachte hierbei, dass die Gk keine

Normalteiler sein konnen, außer es gilt Gk = H3. Ein einfacher Weg um eine Folge von Unter-

gruppen zu konstruieren, welche die beiden Bedingungen erfullt, besteht darin die Erzeuger

der Untergruppe immer als echte positive Vielfache der bisherigen Erzeuger zu wahlen.

Um nun aus den Gk mit Hilfe von Lemma 5.3.5 Normalteiler zu machen, fugen wir jeweils

einen Erzeuger hinzu, namlich

Nk := 〈

a

(k)1

b(k)1

c(k)1

,

a(k)2

0

c(k)2

,

0

0

c(k)3

〉, wobei c

(k)3 := ggT(a

(k)1 , b

(k)1 , a

(k)2 ).

Jetzt erkennen wir, dass mit Forderung (ii) folgt, dass⋂k∈N

Nk = {e}. Außerdem ergibt sich

c(k)3 | c(k+1)

3 , denn fur jeden Schritt gilt

w | ggT(a1, b1, a2)

⇔ w | a1 ∧ w | b1 ∧ w | a2

⇒ w | (αa1 − βa2) ∧ w | (αb1) ∧ w | (γa2)

⇔ w | ggT((αa1 − βa2), (αb1), (γa2))

⇔ w | ggT(a′1, b′1, a′2),

wobei wir α, β und γ wie in (5.12) wahlen. Daraus folgt sofort

Nk+1 ⊆ Nk fur alle k ∈ N.

Somit konnen wir aus einer Folge von Untergruppen des Z2 welche die Bedingungen (i) und

(ii) erfullen, folgende Struktur erzeugen:

Z2 = G0 B G1 B G2 B G3 B . . .

↓ ↓ ↓ ↓ ↓H3 = G0 > G1 > G2 > G3 > . . .

4 4 4 4H3 = N0 B N1 B N2 B N3 B . . .

Es gilt fur alle k ∈ NGk C Z2 Nk CH3

und ⋂k∈N

Nk = {e}⋂k∈N

Gk = {e}⋂k∈N

Gk = {e}.

Weiter liefern die Lemmas 5.3.6 und 5.3.7 Aussagen zu den Fundamentalbereichen. Es zeigt

sich, dass die (Standard-)Fundamentalbereich der Nk keine Følner-Folge liefern. Bilden wir

116

5.5 Der seltsame Rand

jedoch die Folge der (Standard-)Fundamentalbereiche der Untergruppen Gk, so lasst sich an

ihnen die Følner-Eigenschaft nachweisen.

Im allgemeineren Fall wird demnach wieder die Struktur, welche wir schon aus dem einfuh-

renden Beispiel kennen, deutlich. Der Fundamentalbereich einer absteigende Folge von Nor-

malteilern von endlichem Index, deren Durchschnitt die triviale Gruppe ist, scheint in der

Richtung der dritten Komponente zu klein zu sein, um die Følner-Eigenschaft zu erfullen.

Um dies zu gewahrleisten, mussen wir Untergruppen wahlen, deren Fundamentalbereiche in

dieser Richtung deutlich langer sind. Der wesentliche Unterschied zum ersten Beispiel besteht

darin, dass wir die Gruppen”schief“ in den Raum einbetten. Das heißt wir lassen beispiels-

weise bei Untergruppen des Z2 Erzeuger zu, bei denen beide Koordinaten ungleich Null sind.

Demnach bewegen wir uns durch Anwenden eines solchen in beide Kooridnatenrichtungen.

Das gleiche passiert indem wir bei den Untergruppen von H3 bei allen Erzeugern in der

dritten Koordinate Werte ungleich Null zulassen. Besonders deutlich wird dies in den Dar-

stellungen (5.6) und (5.9). Auch hier ergibt sich dadurch eine lineare Verschiebung in der

dritten Komponente.


Wir wollen uns am Beispiel von Wurfeln und Quadern anschauen wie sich der Rand von

Teilmengen der Heisenberg-Gruppe verhalt. Besonders wichtig ist hierbei die Erkenntniss,

dass dieser bezuglich Verschiebungen im Z3 nicht translationsinvariant ist. Verschieben wir

eine Menge in diesem Raum, so andert sich die Große des Randes.

Lemma 5.5.1 Sei S := {s1, s2} := {(1, 0, 0)>, (0, 1, 0)>} die schon oben betrachtete Erzeu-

germenge zu H3 und a, b ∈ N, so dass 0 < a < b gilt. Weiterhin seien

Q :=

xyz

∣∣∣∣0 ≤ x, y, z ≤ b− 1

und

Q1 :=

xyz

∣∣∣∣ 0 ≤ x, z ≤ b− 1

0 ≤ y ≤ a− 1

und Q2 := Q \Q1

eine disjunkte Zerlegung von Q, dann gilt fur den Rand

|QS \Q|+ b2 = |Q1S \Q1|+ |Q2S \Q2|.

Insbesondere verhalt sich der Rand subadditiv.

117


Beweis: Laut Voraussetzung gilt

Q2 =

xyz

∣∣∣∣ 0 ≤ x, z ≤ b− 1

a ≤ y ≤ b− 1

.

Die Abbildung (5.2) zeigt schematisch, wie die Unterteilung von Q gemeint ist.

Abbildung 5.2: Wurfel Q, unterteilt in Q1

und Q2

��

��

-

6

��

��

��

��

y

x

zQ2

Q1

ba

Abbildung 5.3: Wurfel Q mit Rand erzeugtdurch s1 und s2

��

��

-

6

��

��

��

��

y

x

z�

��

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb�

��

��

��

��

Der Rand von Q:

|Qs1 \Q| =

∣∣∣∣∣x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ x = b− 1

0 ≤ y, z ≤ b− 1

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ b− 2

0 ≤ y, z ≤ b− 1

y + z ≥ b

∣∣∣∣∣

= b2 + (b− 1)

b−1∑y=0

( b−1∑z=0

1{y+z≥b}

)

= b2 + (b− 1)

b−1∑y=0

( b−1∑z=b−y

1)

= b2 +1

2(b− 1)(b− 1)b

|Qs2 \Q| =

∣∣∣∣∣ x

y + 1

z

∣∣∣∣ y = b− 1

0 ≤ x, z ≤ b− 1

∣∣∣∣∣ = b2

Insgesamt ergibt sich also

|QS \Q| = |Qs1 \Q|+ |Qs2 \Q| = 2b2 +1

2(b− 1)2b

118


Der Rand von Q1:

|Q1s1 \Q1| =

∣∣∣∣∣x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ x = b− 1

0 ≤ y ≤ a− 1

0 ≤ z ≤ b− 1

∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ b− 2 0 ≤ z ≤ b− 1

0 ≤ y ≤ a− 1 y + z ≥ b

∣∣∣∣∣

= ab+ (b− 1)

a−1∑y=0

( b−1∑z=0

1{y+z≥b}

)

= ab+ (b− 1)

a−1∑y=0

( b−1∑z=b−y

1)

= ab+1

2(b− 1)(a− 1)a

|Q1s2 \Q1| =

∣∣∣∣∣ x

y + 1

z

∣∣∣∣ y = a− 1

0 ≤ x, z ≤ b− 1

∣∣∣∣∣ = b2

Fur den gesamten Rand von Q1 ergibt sich daher

|Q1S \Q1| = |Q1s1 \Q1|+ |Q1s2 \Q1| = ab+1

2(b− 1)(a− 1)a+ b2.

Der Rand von Q2:

|Q2s1 \Q2| =

∣∣∣∣∣x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ x = b− 1

a ≤ y ≤ b− 1

0 ≤ z ≤ b− 1

∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣x+ 1

y

y + z

∣∣∣∣ 0 ≤ x ≤ b− 2 0 ≤ z ≤ b− 1

a ≤ y ≤ b− 1 y + z ≥ b

∣∣∣∣∣

= (b− a)b+ (b− 1)

b−1∑y=a

( b−1∑z=0

1{y+z≥b}

)

= (b− a)b+ (b− 1)

b−1∑y=a

( b−1∑z=b−y

1)

= (b− a)b+ (b− 1)(1

2(b− 1)b− 1

2(a− 1)a

)

|Q2s2 \Q2| =

∣∣∣∣∣ x

y + 1

z

∣∣∣∣ y = b− 1

0 ≤ x, z ≤ b− 1

∣∣∣∣∣ = b2

119


Der Rand des Teils Q2 besitzt daher folgende Große

|Q2S \Q2| = |Q2s1 \Q2|+ |Q2s2 \Q2| = (b− a)b+ (b− 1)(1

2(b− 1)b− 1

2(a− 1)a

)+ b2.

Nun vergleichen wir die drei Ergebnisse und erhalten die gewunschte Aussage:

Abbildung 5.4: Quader Q1 mit Rand

��

��

-

6

��

��

y

x

z��

bbbbbbbb

bb��

��

Abbildung 5.5: Quader Q2 mit Rand

��

��

-

6

��

��

y

x

z

��

bbbb bb

bb

bb��

��

|Q1S \Q1|+ |Q2S \Q2| = ab+1

2(b− 1)(a− 1)a+ b2

+(b− a)b+ (b− 1)(1

2(b− 1)b− 1

2(a− 1)a

)+ b2

= ab+ b2 + b2 − ab+1

2(b− 1)2b+ b2

= 3b2 +1

2(b− 1)2b

= |QS \Q|+ b2.

�

Vergleichen wir den Rand von Q1 und Q2, so stellen wir fest. dass dieser umso großer wird,

je weiter der Korper von dem Ursprung in y-Richtung entfernt liegt. Bei einem Wurfel Q

der Kantenlange a gilt beispielsweise: |QS \ Q| = |Q| + a2, falls er mehr als a Einheiten in

y-Richtung vom Koordinatenursprung entfernt ist. Dies verdeutlicht die nachste Abbildung.

Der Rand des Wurfels ist in diesem Fall sogar großer als der Wurfel selbst. Rechts von dem

Wurfel sehen wir eine schrage Kopie mit gleichem Volumen. Diese entsteht durch Anwenden

der Erzeugers s1 = (1, 0, 0)>. Außerdem entsteht in y-Richtung durch Anwenden von s2 =

(0, 1, 0)> ein Rand der Große a2.

Gilt im vorhergehenden Satz a = b2 , so sind Q1 und Q2 bis auf Translation (bezuglich der

Gruppe Z3) idententisch. Jedoch haben sie einen unterschiedlich großen Rand. Wir halten

fest:

Korollar 5.5.2 Die Große des Randes von Teilmengen des H3 ist nicht translationsinvariant

bezuglich Verschiebungen im Z3.

120


Abbildung 5.6: Wurfel Q mit Rand

��

��

-

6

��

��

��

��

y

x

z

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb�

��

��

��

��

a

2a

2a+1

Der Grund fur dieses seltsame Verhalten ist, dass Verschiebungen parallel zu den Koordi-

natenachsen des Z3 fur die Heisenberg-Gruppe etwas sehr Unnaturliches sind. Es gibt zwar

eine naturliche Bijektion zwischen H3 und Z3, jedoch sind die Verknupfungen in den bei-

den Gruppen sehr verschieden. Gehen wir von einer schonen, geraden Teilmenge in Z3, wie

etwa einem Wurfel, aus so ist diese aus der Perspektive der Heisenberg-Gruppe betrachtet

vollkommen”schief“ und ublicherweise nicht einmal zusammenhangend. Besonders deutlich

wird dies, wenn wir auf die Menge ein Element g ∈ H3 anwenden. In der Heisenberg-Gruppe

bewirkt dies wegen der Translationsinvarianz nur eine Verschiebung. Nachbarschaftsrelatio-

nen und Abstande bleiben erhalten. Betrachten wir diese verschobene Menge mittels obiger

Bijektion im Z3, so ergibt sich ein vollkommen anderes Bild. Die Menge liegt dann verzerrt

und schief im Raum und die einzelnen Punkte haben ublicherweise eine großen Abstand (im

Z3) zueinander.

121


122

Ausblick

Da diese Arbeit einige unterschiedliche Aspekte der geometrischen Gruppentheorie behan-

delt, ist es moglich Ausblicke in recht verschiedene Richtungen zu geben. Beginnen wir mit

den Aussagen zu den Ruckkehrwahrscheinlichkeiten auf Cayley-Graphen. Wir haben gezeigt,

dass fur quasi-isometrische Cayley-Graphen die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten in der gleichen

Aquivalenzklasse liegen. Nun kann man aus graphentheoretischer Sicht die Frage stellen, ob

sich eine solche Aussage nicht auch fur Graphen im Allgemeinen beweisen lasst. Hier gilt es

herauszuarbeiten, wie wir einen Beweis ohne die bei uns so wichtigen Gruppen-Eigenschaften

fuhren. Ein erster Schritt zur Verallgemeinerung konnte darin bestehen zu erlauben einzelne

Knoten durch endliche Graphen zu ersetzen. So konnte man einen neuen, quasi-isometrischen

Graphen erhalten, bei welchem die Ruckkehrwahrscheinlichkeit sicher nicht erheblich abwei-

chen wird.

Auch wird in dem Beweis von Satz 3.2.1 deutlich, dass wir die Aussagen zu den Ruckkehrwahr-

scheinlichkeiten unter Anderem auf Ungleichungen entsprechender Dirichlet-Formen zuruck

fuhren. Man konnte sich also auch mit der Frage beschaftigen, ob geeignete Aussagen zu

Dirichlet-Formen auf den Graphen genugen, um die Aquivalenz der Ruckkehrwahrscheinlich-

keiten zu zeigen.

Das vierte Kapitel zur integrierten Zustandsdichte liefert fur polynomiell wachsende Grup-

pen eine Aussage zum Verhalten der IDS am Rand des Spektrums. Im Beweis nutzen wir

wesentlich die genauen Kenntnisse uber die Ruckkehrwahrscheinlichkeiten. Daraus ergibt sich

in Korollar 4.3.4, dass fur quasi-isometrische polynomiell wachsende Gruppen das Wachstum

der IDS in einer kleinen Umgebung des Randes aquivalent ist. Eine allgemeinere Aussage ware

die Aquivalenz des Randverhaltens der IDS fur beliebige quasi-isometrische Gruppen. Dazu

ließen sich die Erkenntnisse uber die Invarianz der Ruckkehrwahrscheinlichkeiten aus Kapitel

3 nutzen. Um jedoch einen Beweis in diese Richtung zu fuhren, ist es sicherlich notwendig

allgemeine Formen der Tauber-Theoreme zur Verfugung zu haben.

Im Kapitel 5 untersuchten wir am Beispiel der Heisenberg-Gruppe H3 die Vereinbarkeit

der Eigenschaften”residuell endlich“ und

”amenabel“. In einem einfuhrenden Beispiel ha-

ben wir gezeigt, dass es bei einer Standard-Wahl von Normalteilern, welche eine RE-Folge

bilden (d.h. sie zeigen, dass die Gruppe residuell endlich ist), die zugehorigen (Standard-)

Fundamentalbereiche keine Følner-Folge sind. Andererseits haben wir eine Folge von Unter-

gruppen betrachtet, welche keine Normalteiler bilden, deren Fundamentalbereiche jedoch die

123

Ausblick

Følner-Eigenschaft besitzen. Wir verallgemeinerten diese Aussage zu Gruppen der Art

N := 〈

a1

b1

c1

,

a2

0

c2

,

0

0

c3

〉 und G := 〈

a1

b1

c1

,

a2

0

c2

〉,

wobei N (mit geeignet gewahltem c3) normal in H3 liegt, die Gruppe G jedoch nicht, außer

es gilt G = H3. Aus Gruppen der Art N bilden wir RE-Folgen, deren (Standard-) Fundamen-

talbereich keine Følner-Folge bilden. Die Fundamentalbereiche der entsprechenden Gruppe

der Art G sind aber eine Følner-Folge. Nun stellt sich die Frage, ob wir mit den betrachten

Gruppen N schon alle moglichen Normalteiler der Heisenberg-Gruppe erfasst haben. Man

musste dazu etwa zeigen, dass jeder Normalteiler mit drei Elementen erzeugt werden kann

und dass sich jede mit drei Elementen erzeugte Gruppe in der Form wie N darstellen lasst.

Das wurde eine komplette Klassifizierung der Normalteiler der Heisenberg-Gruppe bedeuten

und hatte zur Folge, dass die (Standard-) Fundamentalbereiche einer beliebigen RE-Folge

keine Følner-Folge bilden.

124

Danksagung

An dieser Stelle mochte ich mich bei allen, die an der Entstehung meiner Abschlußarbeit

beteiligt waren, herzlichst fur Ihre Unterstutzung, sowie deren Anregungen bedanken.

Besonderer Dank gilt meinem Betreuer Dr. Ivan Veselic, der mir wahrend der gesamten Zeit

mit seiner Unterstutzung, unerschopflichen Geduld und vielen guten Ideen zur Seite stand.

Dankbar bin ich vorallem auch Dr. Norbert Peyerimhoff fur seine Einladung nach Durham

und die damit verbundenen fruchtbaren Gesprache. Insbesondere viele Ideen aus dem letzten

Kapitel sind wahrend dieser Tage in England entstanden. Auch der Arbeitsgruppe”Mathe-

matische Physik“ an der TU-Chemnitz mochte ich danken. Durch individuelle Gesprache und

Vortrage im Seminar habe ich viel gelernt. Besonders die Ideen von Tonci Antunovic fanden

im Kapitel zur integrierten Zustandsdichte Verwendung.

Viele gemeinsame Abende verbrachte ich mit meinem Mitbewohner Sebastian Haeseler vor

unserem White-Board, an welchem wir so manches Problem in nachtlichen Diskussionen zu

losen versuchten - oft sogar von Erfolg gekront. Beim Korrekturlesen war es Matthias Mar-

tin, der mir selbstlos seine Hilfe angeboten hat. Ohne ihn hatten wir es mit Oparatoren und

Operatatoren zu tun bekommen.

Zu guter Letzt mochte ich meiner Familie und besonders meinen lieben Eltern fur die jahre-

lange Unterstutzung und das Vertrauen, dass sie in mich setzten, danken. Vielen Dank - ich

weiß, dass so etwas nicht selbstverstandlich ist.

125

Danksagung

126

Selbststandigkeitserklarung

Hiermit erklare ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbststandig angefertigt, nicht anderweitig

zu Prufungszwecken vorgelegt und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwendet

habe. Samtliche wissentlich verwendete Textausschnitte, Zitate oder Inhalte anderer Verfasser

wurden ausdrucklich als solche gekennzeichnet.

127

Literaturverzeichnis

[1] Toshiaki Adachi. A note on the Følner condition for amenability. Nagoya Math. J.,

131:67–74, 1993.

[2] Hyman Bass. The degree of polynomial growth of finitely generated nilpotent groups.

Proc. London Math. Soc. (3), 25:603–614, 1972.

[3] Sebastien Blachere. Word distance on the discrete Heisenberg group. Colloq. Math.,

95(1):21–36, 2003.

[4] Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics.

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