Carl Friedrich GaussWerke / herausgegeben

von der königlichenGesellschaft der

Wissenschaften zuGöttingen

Source gallica.bnf.fr / Ecole polytechnique

Gauss, Carl Friedrich (1777-1855). Carl Friedrich Gauss Werke / herausgegeben von der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1863-1906.

1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupart des reproductions numériques d'oeuvres tombées dans le domaine public provenant des collections de laBnF.Leur réutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet 1978 :  *La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre et gratuite dans le respect de la législation en vigueur et notamment du maintien de la mention de source.  *La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et fait l'objet d'une licence. Est entendue par réutilisation commerciale la revente de contenus sous forme de produitsélaborés ou de fourniture de service. Cliquer ici pour accéder aux tarifs et à la licence 2/ Les contenus de Gallica sont la propriété de la BnF au sens de l'article L.2112-1 du code général de la propriété des personnes publiques. 3/ Quelques contenus sont soumis à un régime de réutilisation particulier. Il s'agit :  *des reproductions de documents protégés par un droit d'auteur appartenant à un tiers. Ces documents ne peuvent être réutilisés, sauf dans le cadre de la copie privée, sansl'autorisation préalable du titulaire des droits.  *des reproductions de documents conservés dans les bibliothèques ou autres institutions partenaires. Ceux-ci sont signalés par la mention Source gallica.BnF.fr / Bibliothèquemunicipale de ... (ou autre partenaire). L'utilisateur est invité à s'informer auprès de ces bibliothèques de leurs conditions de réutilisation. 4/ Gallica constitue une base de données, dont la BnF est le producteur, protégée au sens des articles L341-1 et suivants du code de la propriété intellectuelle. 5/ Les présentes conditions d'utilisation des contenus de Gallica sont régies par la loi française. En cas de réutilisation prévue dans un autre pays, il appartient à chaque utilisateurde vérifier la conformité de son projet avec le droit de ce pays. 6/ L'utilisateur s'engage à respecter les présentes conditions d'utilisation ainsi que la législation en vigueur, notamment en matière de propriété intellectuelle. En cas de nonrespect de ces dispositions, il est notamment passible d'une amende prévue par la loi du 17 juillet 1978. 7/ Pour obtenir un document de Gallica en haute définition, contacter reutilisation@bnf.fr.

GAUSS, CARL Friedrich.

Werke herausgegebenvon der koîniglichen

Gesellschaft der

Wissenschaften zu

Goîttingen

Tome 1

s.n.

SJ. 1863-1903

=,KïïV^C,4ii,-S.“•*«>«:' ,• :.

H. ï $< //ê

B.1

CARL FRIEDRICH GAUSS WERKE

BAND I

CARL FRIEDRICH GAUSS

WERKE

KOXKJLKîlIKX IÏEiSKLLSCHAFT DEIÎ WISSEXSCHAFTEX

IX

E It S T E II B A N D

il k i: r s <; k <; k n kx

VIIXHKII

GÔTTlxNGKN

18C3.

1 A ( ( ) MM1 S S I S A V V I) (i K Ii H KI. KI S ( 1 1 KH J ,• x.

1801.

DISQCFSITrONKS

A RITH M E T I C A E

.w croit !:

U (AIU)LO FltlDtiRfCO GAt'SS.

L I I» S I A K

1

SEKENI8SIMO

PK1NCIP1 AC DOMINO

CAROLO GUILIELMO FERDINANDO

IWI'XOVICEXSIUM AC U'XEUUKGEX.SIUM ])LC1.

PR1XCEPK SEHEXISSIME

Ouinmui' equidem fclicitati inihi duco. quod Celsksimo nomiiii Tro hoc opus inscri-

bori' niihi permittis, quod ut Tiw offemm sanctopietatls oftïeio obstringor. Nisi onim

Tua gratin. Sorcnissiincprincops, intraitum mihi ad st-ientias primuni aperuissot.

nisi perpétua Tca bénéficia studia niea usque sustontavissciit scirntinc inatlicma-

tioao. ad cjuani \cheinenti scmper a>norc dolatus sum. totum me devovere non no-

tuissi'iii. (Juin adeo cas ipsas nieditationcs, quanun partein hoc volunion exliibct.

ut suscincre. per plures annos continuait'litcrisque consignare lieeret. Tua sola

benijîiiitas etfecit. quae ut. ceteraruiu curamm expers, lmic imprimis incuniben?

possem praestitit. Quas quum tandem in lucon» cmittero cnpnrom. Tua munin-

centia cuiitta, (piae editionem remombantur. obstncula removit. Ilaec Tua tanta

de me ineisque conatibus mérita gratissima potiu.s mente tacitaque admirationo

'-

revuivere, quuiu ÎHstis digui*que laudibu* eelébriiïe possum. Nimique tum suluiii

tait me mimoïi hntid parem Sêittio. sed et ftctninéui ignorai» puto..saiemwm Tu»

esse tain insignoin Hbomlitntem in omtu's qui ad optimas disciplinas cxcoli'iidas

couferrt' vidcntur ncque t'«s s<'ienti«s quao vulgo ubstrasiorcs et u vitm* coiiDim-

nis utilituto romotioro» i-retluiitur. u patrocinio Tuo uxclusas tissu. t|uuiu Ti! ipse `

intiniuni seientiarum unmiuui iuter se et iieeessarium vimulum mente illa sapieu-

tissima unmimiiquo quae ad humauae societatis prosperitateni aiijîeiidain pertinent

peiitissiniti. pointus perspexeris. (iuodsi Tu. I>rint'ej>.s Serenissime. haut: libnun.

et gratissimi iu Tk am'nù et laboram uoliilissimae scientiae dioatorum testem,

iiLsigni illo favore, quo me tanidiu am plexus es, hund iudiginini iudicaveris, ope-

ram mcain me non inutiliter eollocasse eiusque honoris, qncm prae omnibus in

votis Imbtii, coinpotcin me faetum esse, tnilii grntitlubor

Bmnovici mense Julio l!»ol.

l'itIXCKI'S SEHKXISS1M K

L'clsitudinis Tuau sei-vus nddictissirntis

C. F. Gauss.

PRAEFATIO.

Disquisitiones in hoc opere contentac ad eam Matheseos partent pertinent,

quae circa numéros integros versatur, fractis plerumque, surdis seni}>er exclusis.

Analysis indeterminata quam vocant seu Diophantnea, quae ex inn'nitis solutioni-

bus problemati indeterminato satisfacientibus cas seligere docet, quae per numé-

ros integros ant saltem rationales absolvuntur (plerumque ea quoquc conditione

adiecta ut sint positivi) non est illa disciplina ipsa, sed potins pars eius valde spe-cialis, ad eamque ita ferc se habet, ut ars aequationes reducendi et solvemli Al-

gebra; ad nniversam Analysin. Ximirum quemadmodum ad Analj/sem ditionem

roferuntur omnes quae cirea quantitatum affectiones générales institui possunt dis-

quisitiones: ita nmneri integri (tactique quatenus per intégras determinantur)obiectum proprium ARrrmnmcAE constituant Sed quum ea, quae Arithmetices

nomme vulgo traduntur, vix ultra artem numerandi et calculandi (i. c. numéros

per signa idonea e. g. secundum systema decadicum exhihcndi, operationesquearithmeticas perfidendi) extendantur, adiectis nonnullis quae vel ad Arithntcticam

omnino non pertinent (ut doctrina delogarithmis) vel saltem numcris integris non

sunt propria sed ad omnes quantitates patent: o re esse videtur, duos Arithmeti-cae partes distinguere, illaque ad Aritlimeticum olementarem referre. omnes autem

disquisitiones generales de numeroromintegrorum aflcctioiiibiu propriis Arithme-

ticae Sullimiori, de qua sola hio sermo crit, vindicarc.

Pertinent ad Arithmeticam Sublimiorem ea, quae Kuclides in Elementis l.,VII sqq. elegantia et rigore apud veteres consuetis tradidit: attamen ad prima in-

itia huius scientiae limitantur. Biophanti opus wlelirc. quod totum problematis

.-G. . ÇllAKKAÏlOi

imlefenuinuti» dkatum est, limitas quaestiones continet, quae proptcr difficulta-

teni kmin atfifieioruiuque subtflitatem deauctori» ingénie» et aeumfae existimatio-

neiri jiaud luwliotrom suscitant, ptaesortim si subsidiorura quibus illi uti licuit te-

muïMeiu consitlcte». At quitta haut* problemata dcxteritatem quandam potins

Kcitiitiiquc tmetationem, quant principia profnndiora postulent, praetcreaquc nimis

spet»nli« sint raroque ad eonelusioncs generalioresdedxieant: hic liber kleo magis

epoclt&m ill Historié, Mathoseos constituere videtur.quod prima urtis chamctoristi-

cae (,'t Algel)«ie vestipa sistit. quam quod Arithmcticam Sublimiorem invcntis no-

vis auxerit. Longe plurima reccntioribus debcntur, inter quos pnud quidem sed

imijuntnlis gloriao vin P. de Febmat, 1,. Elxer, 1,. La Grange, A. M. Ije Gemdue

(ut jiaiit-o.s altos pïactt'ream^ iutroitum ad pcnetrnlia huius divinae scientiae ape-

ruof<iut. qtuwtisqiic divitiis abundent patefecerunt. Quacnam vero inventa a sin-

}jul}M his gwnnetris profccta sint, hic enarnure supcrscdeo quum e prnefationibns

Adilitamoutorum quibus ill. La G range Euleri Algebrnm ditavit opcrisquc inox me-

mojïljuîi «b ill. Le (iendre nuper editi cognosci possint, insuperque pleraque locis

suis in his Disquisitionibus Arithmeticis laudentur.

l*ropositum huius operis ad quod edendum iain annos abhinc quinque pu-

blia fidem dedeïtiin, id fuit, ut disquisitiones ex Aritlunctka Sublimiori. quas par-

ti»n intt' id tompuM pnrtim |>ostea institui, divulgarem. Ne quis vero miretur, sci-

entitlni liic s\ priwis propemodum initiis repetitam, multasque disquisitiones hic

deijuoresumtas essc. quibus aliioperam suam iam navarunt. monendum esse duxi,

me. quum irt-imum initio a. 1795 huic disquisitionum generi animum applîcavi.

omnium qitaf quidem a t-ccentioribus in hac arena claborata fuerint ignarum. om-

ninnique subsidiowni per quae de his quidpiam comperiro potuissem experteni

fui* Kciliw?t in alio forte lubore tune omipatus. casu incidi in eximiam quan-

tlaiu vcritntein aritlimotioam (fuit autem ni fallor thuurcum art. 1 OS) quam quum

etjier

se ]itilcltc»ininiu «estimarem et cum maioribus connexam essesnspicarer.

siunlun qmi potui cotitcutione in id incubui. ut principia quibus inniterctur per-

spiK-rem, {l(jnio«strationc)nque rigorosam nanciscerer. Quod postquam tandem

ex \oto suticessis^ot. illccobris haruin quacstiomun ita fui implioitus. ut eas dese-

re«! non iiutneriiji; quo pacto, dum alia sem\ier ad alia vinm sternebant, ea quae

in quatuor pwmis Sectionibus huius oixiris traduntur ad maximam partent abso-

luta crant, lUiteqnam de aliorum geometrarum laboribus similibus quidqimm vi-

PBAKPÀTIO. .- .: .." '7= = --

dissent. Dein copia mihi fiieta, liorum snmmorum ingeniorum scripta evolveùdi,

maiorem quidem partem meditfttidftam mearùm rebus dudttin trausactis ïmpensamesse agnovi: sed eo alaerior, illorum vcstigiis insistons, Arithmeticam ulterius ex-

colere sttului; ita variae disquisitiones in.stitnt«e sitnt, quorum partem Scctioues

V, VI et VII tradunt. Postquam interieeto temporo consilium de fructibus vigi-

Harum in publicum edendis cepi: eo lubontius, qnod plures uptabnnt, ntihi jiei-suadcri passus sum, ne quid vel ex illis mvest%ationibu& prioriliu» supprinieivir».

quod tum tomporis liber non habebatur, ex quo uliorum geoutetrarum labovcs tlt-

his rébus, iuAcadetniarum ('ommentariis sparsi, cdisci potuisseut; quod multnc

ex illis omnino novae et plei-acque pex* niethodos novas tractatac erant; denique

quod oinnes tum iuter se tum cum disquisitionibus posterioribus tam ureto nexu

cohaerebant, ut ne nova qttidem satis commode explicnri possent, nisi reliquis ah

initio repetitis.

Prodiit interea opus egregium viri iam antea de Aritlunetica Sublimiori ma-

«nopere meriti, Le Gendre Essai d'une théorie des nombres, Paris a. VI, in quo non

modo omnia quae hactenus in bac: scielltia elaborata sunt diligenter collegit et in

ordinem redegit. sed pennulta insuper nova de suo ndiccit. Quum lue liber se-

rius ad ntanum mihi pervenerit, postquain inuxima operis pars typis iam exscripta

esset; nullibi, ubi rcrum analogia occasioncm dare potuisset, eius mcntioncm in-

iicere licuit; de paucis tantummodo locis quaedam observationes in Additamentis

ndiungerc necessarium videbatur, quas virhumain.ssimus et (.'andidissimus bénigne

ut sjjero interpretabitur.

Inter iiupressionem huius operis. quae pluries interruptn variisque inipetli-

incntis usque iu quartum aiinuui protracta est, non modo cas investigationcs. quas

(|iiidcm iam antea susceperani, sed quarutn proinulgationcm in aliud teinpus dif-

ferro constituera») ne liber nimis niagmtscviidvret, ulterius continuavi, sed plu-res etiam alias novas aggressus sum. PlurcK quoque, quas ex eadein ratione levi-

ter tantum attigi, quum tractatio uberior minus necessariu videretur (e. g, eac quae

itt artt. 37, S 2 sqq. aliisque locis troduntur), jwsteu resumtae sunt, disquisitioni-

busque generalioribus quae luce perdignoe videntur locum dederunt (Conf. etiam

quae in Additamentis de art. 300 dicuntur;. Denique quum liber praesertim

propter amplitudinem Sect.V in longe mains quam exsi>ectaveram rolumen excres-

''" " - "-' .i PHAEKATO). -=.v

«•«st. pliira quae ab initia cUtestinfttrt 'erent. interque ea totam Séetiouem oehimm

«.une pflssira iam in hoc vohtminc wmraeinorntùr, atque txaciafiônèm générale»!de roiigruentiÎM algebmicis cuiusvis gradus continet) vesecnre oportttit. Hacc onmia.

(juae rolunien huic acqnalc facile rxplebunt. publici unis fient, quainprimnm oeco-

sio mlorit.

Qm>d. in j>hn-ilnts quaostionibuii tlifticilibus demoustratiouibus synthetic-is

usu8 sutn.nnalysinquc por quam erutnc sunt supprossi, iinprimis brovitatis studio

tribuciuhiiii est. cui quantum fieri potonit consnlcrc oportcbnt.

'l'ia-Di'ia divisionis ciraili. sive |M)lygouoniin rogiilarium qune in Scct. VIItrnctatur. ipso qiddcin pvr h* ad Arithuicticam non pertinct. attumen eius prbwipia

unico ex Aritlnuotien Subliniiort petonda sunt: quod forsan gi'ometris tum inex-

.sjjootatuin erit, quantum vcritates novas. quas ex hoc fonte hauritc licuit. ipsis

Sfrnttis fore spcvo.

H«(><- sunt. de qnibus lectorem prneinoucrc volui. De rébus ipsis non meum

est iiidimre. Xiliil equidem inagis opto. qiuun utiis, quibus scientiarum incre-

menta corcli sunt. placeaiU. qime \d Iiaetenns desiderata expient, vel aditmn nd

nova aperiunt.

2

Si namerus a numerorum b, c differcntiara metitur. et c seamdvm a cou-

ffrni dieuntnr, sin minus, incongmi: ipsum « moânhm appcllamus. l'terque nume-

îoriun b, c priori in cnsu alterius resiimtm, in posteriori vero nonresidiium vocatur.

Hae notiones de omnibus numeris integris tam positivis quam no^ativis ')valent, aequo vero ad fractos sunt oxtendendae. E. <j. – il et -f- 1«i sccundnm

mocluhun 5sunteongrui; –7 ipsius +15 secundum modulum 1 1 residuum, se-

«uiulum modulum 3 vero nonresiduum. Ceterum quoniam cifrnm numerus quis-

que nietitur, oiunis numerus tamquam sibi ipsi congnius secundum modulum qucni-

cuaque est specïtandus.

Omnia Dumeri dati a residua secundum modulum m sub formula a-kmcomprehenduntur. désignante k numerum integrum indcterminatimi. Proposi-tionum quas post trademus facih'ores nullo negotio hinc demonutrari possuut- sed

istarum quidem veritatein aeque facile quivis intuondo poterit }M>rspicen>.

Modulus mnnifusto semper abmlute i, o. sine omni signo est Miinemlus.

DISÔUISITI0NE8 ARITHMETICAE

NUMERORUM CONGRUENTIA IN GENERE.

A'umeri comjrui, moduli, retiâua et nonresidua.

KEC'TJOPRIMA

2.

DE

1.

10 DE NUîlEROKCMCONOttUENTIA

KumèMi-umcongi-uentiam hoc sigîio, s, in poster umdeîiotabimus.modulum

ubi opus prit in elausalts adîuhgentes – f 6 s 9 (motL5: –7=15 {mod. t i ) *).

3.

Theoiusîia. Propositis m numeris integris successrm

a, a+l, «+2 rt-f-m –1

aHeque A, illorm aUqnis fmie seeundum modulum m eonçmus erit, et quidem unicus

tanttim.

Sieniiu–~ integcr, crit a~A, sinfractus, sitintegerijroximenmior, faut

quando est negativus, proxime minor, si ad signum non respiciatur) –k, cadctqae

A-fan inter a et «+>«, qunre erit numerus quaesitus. Et manifestum est om-

nes quotieutes i±^ -–^ etc. inter k~ et k+\ sitosesse; quare

plures quant unus integri esse ncqueunt.

liesiduu minium.

4.

Quisque igitur numerus residuum habebit tum in hac serie, 0,1,2, .tu– l,

tum in hac, 0,-1,-2 – [m – 1), quae residua minima dicemus, patetque.nisi o 'fuerit residuum, bina semper dari, positivum alteram, altenun negutfowm.

Quae simagnitudine sunt inaequalia, alteram erit <£~, sin secus utrumquc ='

.signi respectu non habito. l;nde patet, quemvis mimeruin residuum Italien1 mo-

duli semissem non supcrans quod absolute minimum vocabitur.

E. y. –i'i secundum modulum 5, habet residuum minimum positivum 2,

quod simul est absolute minimum, –3 vero residuum minimum negativum; -|-5 5

secundum modulum 7 suiipsius est residuum minimum positivum. –2 negativum.

siinulqtte absolute minimum.

J'rojin.iitiuiu-.i eleiiieiitmv* de cungruentitH.

5.

Ilis notionibus stabilitis cas numcroruni congruorum proprictates quae primafronte se offèrunt colligamus.

•) Hoc «ijfiuim propter miijçnmn «nalogiam duae inter aequalitatcm at<|U« coiigrueiitinm iiivcnitur wlopta-vimus. 01) candem cnussam ill. I.c Gendre in comment, infra saepiu» laudanda ipsum autjuiifitatw nignum pro

congruentia retinuit, ((iioci nos ne wnbijfiiitns oriatur imitari dubiturimus.

' I» GKNÉKK,' - - -- JJ --

2*

Qui numeri secundum modulum composition sunt congrui, eiiam seeimdum quem-

tris eitts divisorem cmgrui.

Sipkres tmmeri tidem numéro mimdnm eundem modulum sunt congrui, inter se

erunt congrui (secundum eundem modulum1.

Haee modulorum identitas etiam in sequentibus est subintelligenda.

Ntmeri cmgrui residtta minima /talent eadem, incongrui diversa.

6.

Si habetitur quotcunque numeri A, B, C etc. totidetnque alii a, h, e etc. illis

secundum modulum qnemcunque congrui

A^a, B~b etc., erit A-B-C+ etc. = a+4+c-f- etc.

Si A=a, J3=fi, erit A~B=a~b.

7.

Si A=a, eritquoqtte kA=ka.

Si k numerus positivus, hoc est tantummodo casus particularis propos. art.

praec, ponendo ibi A=B– C etc., a=b–c ete. Si k negativus. erit – k po-

sitivus, adeoque – kA~ – ka, unde kA = ka.

Si A=a, B=b, erit AB^ab. Namque AB^Ab~ba.

8.

Si liabenUir quotcunque numeri A, B, C etc, totidemque alii a, b, c etc. his

congrui, A=a, B^b etc., producta ex utrisqtie erunt congrua, ABC etc. =abc etc.

Ex artic. praec. AB–ab, et ob eandem rationem ABC^abc; eodemque

modo quotcunque alii factores accedere possunt.

Si omnes numeri A, B, C etc. aequales assumuntur. nec non respondentes

a,b, c etc., habetur hoc theorema: Si A=a et k integer positivus, erit Ak^ak.

9.

Sit X functio algebraica indeterminatae x, huiusfortnae

Aaf-Bxb-{' Cxe-etc.

designantibus A, B, C etc. numéros integros quoscunque; a, b, c etc. vero integros

non negatixm. Tum si indeterminatae x valores seeimdum modulum qnemcunque con-

grui tribiamtur, valores fmetionis X inde prodeuntes congrui erunt.

12 nts jrFMKHoimMcoKomnetittA

Sînt p valons eongriu ipshis x. Tiimexart.praee.S^a et Af^Af,

eodertiquemodo # = lit/1 etc. Hinc

4T+-B/+ ÇT+etc. = yl/+/i/4.C/-fotc. Q. £ D.

(.'etevum facile inteiligitur. quomodo hoc theorema ad functiones plununi

indeterminntarum extendi possit.

10.

Quoilsi igitur pro «v oinmvs numori integri consecutivi substituuntur, vnlores-

«luc funcHoins X ad residua miuimn rcducuntur. Imee seviom constituent, in qua

post intcrvallum m terminoruni désignante m modulura) iidem termini itcvuni rc-

currunt: sive haec sorios c>xptrimln m terminoruni infinitifs repetitn. erit formata.

Sit e. g. X– a-3– 8.1-+G et ni – ï>; tum pro ,f=0, 1 2. :t etc.. valores ipsius X

liaec resiclua niininm positiva suppeditnnt. 1,-1. X. 4, 3. 1. 1 etc., ubi quiim priora

1 4, 3. 4. 3 in infiuitum repetuntur; atquc si series rctro continuatur, i.c. ipsi .r

valores negativi tribuuntur, eadem periodus ordine terminorum inverso prodit

undo nmiiifestum est. terminos alios quam qui hanc periodum constituant in tota

série locum habere non posse.

11.

In hoc igitur exemplo X neqvic –0, neque =2 inod. r> ficri potest. nmlto-

quetnimis – u, aut –2. l'iulcsequitur, ncquationvs **– S>ï4-0 = o, et a?– Kv

-|-4 =0 per numéros integros et proin, utinotum est, per numéros rationales solvi

non posse. (ieneraliter perspicuuiu est, acquationcm X=0, quando X functio

incognitae ,v, huius formae

y+.l^f 7Îj»-f-etc. + N

A, H, t'pto. integri. atquc w intpger positivus. 'ad quam fonnam omnes aequationes

algcbraicas reduci jioxse constat radicem rationaleru nullam habere, si congruen-

tiae X^O secundum ullnm modulum satisfieri nequeat, Sed hoc critérium, quod

hic sponte se nobis obtulit, in Sect.VIII fusius pertrartabitur. l'oterit eerte ex hoc

specimine notiuncula qualiscvuiquc de harum investigationum utilitatc efformuri.

- -t>ffiE5EERfi.--- ' " :Jjj--

'

Qmwêimajiptiifitïunrm

12.

Theon-matilnis in hoccapite traditis eomplura quao in aritlnneticis doceri

soient innitimtur, e. g. regulae ad cxplorandiun divmbilitatcm numeri pxo]jotùti

per 9. 11 aut nlios numéros. Seaimlum motlulum 9 omnes numeri Klpotestatesmiitati nuit cougruoe: qnare si mimeras propositus luilxt formatn «+ 1 0 ft-f 1 oor

+ etc.. idem rauditum minimum seeundnm mocluhim 9 tlahit, quod «-f t-fc c

+ etc. I iincr manifestum est, si figurae singulac numeri decadicc oxpressi sine

respectu luoi quom occupant mldnntur, summam hancmmiorumquo propositum

fadcni residua minium prnebere. adt'o<iuc hune jxîr !> dividi posst;. si illa per 9 sit

«livisiliilis, et contra. Idem etiam de divisore 3 tonendum. (Juoniam senmdum

moditlum II. loo = 1 ont gpnornlitor 10**= 1, I0*t+l = io = – | ctimmeroK

tonnai-o+loA+iouc-f-ctc. sccuudum moduluni 11 idem residuum minimum

dabit quod a–b~c etc.; umte régula nota protinux dwivatur. Ex eodem prin-

oipio oinuia similia praeceptu facile deducuntur.

Nec minus ex praeeedentibus petenda est ratio regularnm quao ad verifica-

tionem operationum arithmetienrum vulgo commendantor. Seilieet si ex numeris

datis alii per additionem, subtnctionoin nuUtiplicationem aut clevationem ad po-testates sunt deducendi: substitiiuntur datorum loco residua ipsorum minima se-

cunduui modulum arbitrarinm ;vulgo 9 aut 11, quoniam in nostro systemate deca-

dico seciuidum hos. uti modo ostendimus, residua tain facile possunt inveniri Nu-

meri iiinc oriundi illis. qui ex uumeris propositis dedneti fuerunt, eongrui esse de-

bent: quod nisi eveniat, vitium in calculum irrepsis.se concluditur.

•Sed quum haec hisque similia abunde sint nota, diutius lis immorari super-miuni Ibret.

SKCTIO SECTNDA

DE

CONGRUENTIIS PRIMI GRADU8.

Theoremata praelimiwtria de numerit pHmh,factoriïwi etr.

13.

TnEORKMA. Prodnctum e duobus mtmeris positims numéro primo dato minorilnts

per hune primumdividi nequit.

Sit p primus, et ta positivus </>: tum nullus numerus positiviis h ipso p

minor dabitur, ita ut sit «6=0 (mod.

Dem. Si quis neget, supponamus dari numéros b, c, rfetc. omnos <ip,

itaut a is 0, ac= 0, «rf=0 etc. -inod./»1'.Sit omnium minimus b, ita ut omnes

numeri ipso b minores hac proprietate sint destituti. Manifeste erit b > 1 si

enim b=\. foret ab=a<Cp [àyp.), adeoque per p non divisibilis. Quare p tam-

quam primus perb dividi non poterit, sed intcr duo ipsius b multipla proxima mb

et [m-+-\ b cadet. Sit p~-mbz=b', eritque b' numerus positivus et <i. lam

quia supposnimus,«6=0, mod. p), habebitur quoque »»«6=o art. 7.. et hinc,

stibtraliendo ab «^ = 0. crit a p–mb =ab'=0;i. c. b' inter numéros b.c.d

etc. referendus, licet ininimo oonun b sit minor. Q. E. A.i

E

14.

Hi née a nec b per Humentm primum p dividi potes t etiam prodnctumabfJ

per p dicidi van poterit.

TOBOBÊMATA M SiHiÈiaS PIUMI8. 15

Sint mimerorum a, bt secundum madulum p résîdua minima positiva «.S.

quorum neutrum erit 0 :%>.) Iam si csset «6=0 imod.p), foret quoque, propter«6=a#, ad = 0, quod cum thcoremate praec. consistere nequit.

Huius tlteorematis demonstratio iam ab Euclide tradita, El. VII. 32. Nos

tamen omittere eam noluimus, tum quod recentiorum tomplures seu ratiocinia

vaga pro demonstratione venditaverunt, seu theorema omnino praeterierunt tum

quod iiidoles methodi hic adhibitae, qua infra ad multo reconditiora enodanda

uteniur, e casu simpliciori facîlius deprehendi poterit.

J5.

Si nullus tmmerorum a, b, c, d etc. per numerum primum p divkli potest, etiam

productum abcdetc. per p dividi non poterit.

Sccundum artic. praec. ab per p dividi nequit ergo etiam « b c; hinc « b c tf etc.

JC.

Theorema. Nummts composites quicunque unico tantum modo in factores primosresotvi potest.

Dem. Quemvis numerum compositum in factores primos resolvi posse. ex

démentis constat, sed pluribus modis diversis fieri hoc non posse perperam ple-

rumque supponitur tacite. Fingamus numerum compositum A, qui sit =«a6ec"f

etc.. désignai! tibus a, b, c etc. numéros primos inaequales, alio adhuc modo in fac-

tures primus esse resolubilem. Primo manifestum est, in secundum hoc factorum

systcma alios primos quam a, b, c etc. ingredi non posse, quum quicunque alius

primus numerum .4 ex his compositum metiri nequeat. Similiter etiam in secun-

do hoc factorum systemate nullus primorum a, b, c etc. deesse potest, quippe quialias ipsum J. non metiretur (art. praec.). Quare hac binae in factores resolutio-

nes in eo tantummodo difterre possunt, quod in altera aliquis primus pluries quamin altéra habeatur. Sit talis primus p, qui in altera resolutione m, in altera vero

>ivicibus occurrat, sitque *»>«: Iam deleatur ex utroque systemate factor p,» vicibus, quo fiet ut in altero adltuc m– vicibus remaneat, ex altero vero omnino

abierit. I. e. numeri duae in factores resolutiones habentur, quarum altéra a

factore p prorsus libéra, altéra vero m – n vicibus oum continet, contra en quaemodo demonstrnvimus.

I<> DE CONGKDEmiS PKJMI ÛltADl'S.

t7.

Si itaque numcrus composites A est produetum ex H, C, D etc. patet.

iuter fnctoresprimas numerorum B.C.Detv. aliosessenonpos.se, quant qui otiani

sint iuter factoms muneri .1, et quemrô horum fuctorum toties in li, C, 1) etc.

couiuuctim oecurrere défère, quoties in A. Hinc colligitur critérium, utruin nu-

nierus B aliuiu .1 mctiutur necue. Illud evuuict. si B ne([iit> alios factores

primos, ueque ullum piuries involvît. quum ^1; qiutrum conilitiouum si aliqua

déficit, b ipsmn A non metietur.

Katili' hinc cakuli conibinationum uuxilio derivari potcst, si A = h* tf' et clv.

desiRiiantibus ut supra a, b, c etc. numéros primas diversos .1 haberi'

«+i; (ë+r Y+i, etc.

divisores diversas, inclusis etiam 1 et A.

IS.

Si igitur A = a*b*ct etc.. K=k%?n? etc.. atque priini a, b, c etc.• metc. omnes diversi, patet .1 et Il divisorem commuuem praeter i non hubere.

sive inter se esse primos.

Pluribus numeris A, B, C etc. propositis maxima omnibus annmunis meiimru

itn deterainatur. llesolvantur omnes in suos factores primos. atque ex his excer-

puntur ii, qui omnibus uumeris A, B, C etc. sunt communes si tales non adsunt,

nullus divisor crit omnibus commiuiis;. 'J'um quoties quisque Jiorum tactoruru

pntnurntn in singulis il, 13, C etc. contincatur. sive ~rral! dinlrairsiaarc-s in sirll;uli~

A, D, C etc. quisque Imbeat, adnotetur. Tandem singulis factoribus primis trilmau-

tur dimcnsioncs omnium quas in A, B, C etc. habent mininiae. componaturque

procluctum ex iis. quod crit niensura communis quaesita.

Quando vero numemruut A, B, C etc. miniums coinmmiis (Ueidtmx deside-

ratur. ita procredendum. Colligantur omnes numeri primi. qui numerorum A, B,

Cote, aliquem metiuntur. tribuatur cuivis diiueusio omnium quas in numeri.s

A, B, Cetc. habet maxima, sicque ex omnibus productum confietur. quod erit

dividuus quaesitus.

JSr. SitA= 504 = 23337 ii^= 2SS0 = 2° :js 5 C'=bG4 = 2533. Pro in~

veniendo divisorc connnuni maxiino habentur factores primi 2, 3. quibus dimeu-

•siones 3,2 tribuendi; uudefiet =233ï=72; dividuus vero communis minimus

erit 2n335.7 = 6O-JSu.

THEOBEMATA0E NL'MEIUSPHJ>H8. \-j

Uemonstratioaes proptev fadKtatem omittimus. CMernra quomodo haee

problemata solvenda sint, quando numerorum A, B, Cetc. in factores resolutio

non detur, ex démentis notum.

19.

Sinnmeri a, b, cetc. ad alium k suntprimi, etiam prodnctum ex illis abc

etc. «d k primum est.

Quia enim nulli numerorum a, b, c etc. factor primus cum k est commu-

nis productumquc «te etc. alios factores primos habere ncquit, quum qui sunt

factores alicuius numerorum a,b,c etc., productum «6c etc. etiam cum k fac-

torem primum communem non habebit. Quare ex art. pmec. k ad abc etc.

primus.

Si numeri a, b, c etc. inter se sunt primi aliumque k singuli metiuntur:

etiam productum ex illis numerum k metietur.

Hoc aeque facile ex artt. 17, t derivatur. Sit enim quicunque productiabc etc. divisor prîmus p, quem contineat n vicibus, manifestumque est, aliquemnumerorum a, b, c etc. eundem hune divisorem n vicibus continere debere.

Quare ctiam k, quem hic numerus metitur, n vicibus divisorem p continet.

Similiter de reliquis producti «te etc. divisoribxis.

Hinc si 'duo numeri m,n sectmdum phres modulos inter se primos a, b, cetc.

mit congrui etiam seamdum productum ex his congrui erunt. Quum enim m–v

per singulos «, b, c etc. sit divisibilis, etiam per eorum productum dividi poterit.

Deniquc si a ad b primus et ak per b divisibilis, crit etiam ak per b

dimibilis. Namque quoniam ak tam per a quam per bdivisibilis etiam per

«<' d, 'd' potcrit. i.c. ~==~ub dividi poterit. i. e.

^=4 critinteger.

20.

Quamlo A–a'1 b' c1 etc., desiynuntibus a, b, c etc. numéros p-rimos inuequa-

les, ost patentas alùjtta, puta =& mnes expimentes a,ti,yctc. per n erunt

dtiisibiles.

Numerus enim k alios factores primos quam a, b, c etc. non involvit.

Contineat factorem «, a' vicibus, continebitque k" sive A hune factorcm w«'

vicibus; quare na'=a. et integer. Similiter 14etc. integros esse demon-Il. f~

stratur.

18 de coxaiinàrns pbiMi obadks.

ai.

Qttfindo a, b, c ete. sunt inter se primi, et productum abc etc. potestm nliquu,

puta =k" singuli nmnen a, b, c ete, similes potestates erunt

Sit a = i>'m?jr etc., designantibus l,m,p etc. numéros primo.s diverses,

quorum nullus per hyp. est factor numeronim b, c etc. Qnare productum abc

etc. factoront implicabit À vicibus, fnctorem m vero jw vicibus etc.: hinc

(art. praee.) A, p. n etc. per ta divisibilcs adeoquo

L £ 1

qa = lHmn p" etc.

integer. Similitcr de reliquis b, c etc.

Hncc de numeris primis praemittenda erant; iam ad ea quae finem nobis

propositum propius attinent convertinmr.

22.

Si tntmeri a, b per atium li divisibiles secuiutum modidum m ad k pri-

MMN<A'MM<CO~Mf C~ Tsccat~tdttna etr~tcle)n mudatlutrt cungrtai ff«M~.muni sunt

congrui jet

vsecundum eundem modtilum cimgrui émut.

Patet enim « – b per k divisibilem fore, noc minus per m [hyp. quart?

uvt.W)) jier m clivisibilis erit, i.e. erit f=/. ^mod. m).

Si autem reliquis manentilms na et k liabent divisorem communem maxi-

nlunl e, eritIl

G ~mod. ~nmqtui III. inter se primi. At ~–6mum e, eritj=j

mod.Namque j

et inter se primi.At « – i>

tam 1. qualn lu'r l, '] 'Ii mlcKUlue etirara tam 1)er x, alunm ln~rtam per k quam per a» divisibilis adcotjuc etiam f~ tam per

–quain per

ntl'

I,·rn rn u L r am

= hinequeper i. e. per =, siveJsJ

mod.S",

23.

/S* « ad m primus, et e, f numm secundum modulum m imongrui: eruiit

et/uni ue, uf incongrui mkumIuhi m.

Hoc est tantum conversio theor. art. i>raec.

Hinc: vero înnnifcstuin est, si u per omnes numeru.s intégras u » usque

ad ? – 1 multi]>Iicctur produutaque tsecundum modulum m ml residua sua mi-

nima reducautur, haec omuia fore iiiaequalia. Et quum horum residuorum quo-

rum nulluin >»*, mimerus sit m, totidemque dontur numeri ad iisquc ad

m – I patet, nulluni horum numerorum intcr illa rc*.sidua doesse possc.

8OLUTIO COilQUOËKTUBL'M. 19

24.

Expressio ax-b, denotantibus a, h numéros datos, x numeruminde-

terminntum seu variabilom seauidum modulum m, ad a primtm, cuiris numéro

datocanyruafien jtotest,

Sitmunerus, cui congrua fieri débet, c, et rcsiduum minimum positivum

ipsius e–b .secundum modulum m, e. Ex art. praoc. necessario datur valor ip-sius <v<^m, talis ut producti ax secnndum modulum m rcsiduum minimum

tint e; esto hic valor v, eritque a v = e – e – h undo « v + h = e mod. m)

Q. E. F.

25.

Expressionem duns quantitates congruas exhibentem ad instar aequationum.

congruenthm vocamus; quae si incognitam implicat, resolei dicitur, quando prohacvalor invenitur cougruentino satisfaciens raitix). Hinc porro intelligitur, quid sit

congruentiu resolubilis et conyruentiu irresolubilis. Tandem facile perspicitur simi-

les distinctioncs loeum liic habere posse uti in aequationibus. Congruentiarum

tnmsscendentium infra cxempln occurrcitt: alyémkue vero secundum dimensionem

maximam iucognitae in congrucntias primi, secundi nltiorumquc graduum distri-

buuntur. Xec minus cougrueutiac plures proponi possunt plures incognitas invol-

ventcs, de quarum climinatione disquirendum.

Solutio congruentiarumprimi gmtlus.

20.

Congrucntia itaque primi gradus «.r+i=c ex art. 24 somper resolubilis,

quando modulus ad a est primus. Quodsi vero v fuerit valor idonetrs ipsius a;

sive radix eongruontiae, palam est, omnes numéros, ipsi e secundum congruentiae

propositac modulum congruos, etiam radiées fore art. î)". Neque minus facile

IHïrspitïtur, omnes radiées ipsi c congruos esse debcrc: si enim alia radix fuerit

t, crituc-b = at-bt undc av~at, et hinc e = f :'avt. 22;. Hinc col-

ligitur congrucntinm .v s v mod. m exhibere resolutionem complétant congruen-tiae ux + b c.

(iuia resolutioues congruentiae per valores ipsius ,j- congruos pcr se sunt

obviae, atque, hocrcspcctu, numeri

congrui tamquam acquivalentcs cousiderandi,

taies congruentiae resolutiones pro una eademque habebimus. Quamobrem quuin

3*

20 DE CONQRUKNTH8 PHINI OBAOl'9.

tiostro congrucittia «-fisc c nHnfJ rC801ut.iones nonmdmittat. pronuncÍabinH19,

unico tantum modo eam esse resolubilem seu unam tantnm radicem habere. lta

e. g, eongruentia 6x4-5 – 13 (mod. 11) alias radiées non adraittit, quam quae

sunt = 5 'mod. 1 1). Haud perinde res se habet in eongruentiis altionim gra-

duum, sive etiam in congruentiis primi gradus, ubi incognita per munenim est

multiplicata, ad qucm modulus non est primus.

27.

Superest, ut de invenicnda rcsolutionc ipsa congrucntine huiusmodi, quaedam

adiiciamus. Primo obseryamus, congruentiam fonnae «a1 -4-? = «» cuius mo-

duhunaâ a primum supponimus, ab hac ««^ + 1 pendere: si enim huic

satisfacit ce = r, illi satisfaciet w = + (u –it r. At congi-uentiae a# = + J

moduloper b designato, aequivalet aequatio indeterminata ax = by + i, quae

quomodo sit solvenda hoc quidcm tempore abunde est notum; quare nobis suffi-

ciet, calculi nlgorithmum hue transscripsisse.

Si quantitates A, B, C, D, E etc. ita ab his a, 6, y, è etc. pendent, ut

habeatur

A = a, li = ë^4-t, C = iB+A, D=èC+B, J3 = eD + Cetc.

brevitatis gratia ita cas designamns,

A = [a}. li = la,&, C = [a,Û,y), D=[a,1,y,S\ etc.

lam proposita sit aequatio indeterminata aœ = 6^+1, ubi a,b positivi. Sup-

ponamus, id quod licet,. a esse non <&. Tum ad instar algorithmi noti, secun-

dum qucm duonun numerorum divisor communis maximus investigatur, formentuv

per divisioncm vulgarcm acquationes,

a–ah~c, b – Çc-t-d, c = yd-{-e etc.

ita ut a, tf, yetc. c, d, e etc. sint integri positivi, et b, c, d, e continuo decres-

centes, donect perveniatur ad m = fin -j- 1

*J Multo Kenemlius hacccc rclatia coiisiderari potest, quod negotium a!ia foison occasions siucipiemus.

Hic duos tnntum propositione» adiieimu», quoo usum suum in praesenti investigatione halicnt; scilicet,

i". [a, S, i .)., rt. [e,ï.).]-[a,6,ï.?.] [«,T,X,,x]=±ll l,

ubi signum superius accipiendum quando numerorum a, î, 7 X, multitudo par, inferiu» qunndo impar.

2Q. Numerorum 1, 6, f ete. ordo Inverti potest, [«, 5, Y )., [*] = [ji, î 7. ï, %).

Deiminstraliimes quae non «unt difficiles hic supprimimus.

SOIiOTIO COHQBUESTUBUM» 21

quod tandem eveitim deberc constat. Erititaque

a= [m, fi, f, 6, a] h = [n, ji y, 6]

Tum fiat = (/* T,6], 4, = r,g,«]

eritque a.r = by -f- 1 quando numcroram a, tf, y p, n multitudo est par.

aut aœ == by– 1 quando est impar. Q. E. F.

28.

Itesolutionem generalem huiusmodi aequationum indeterminatarum ill. Eu-

ler primus docuit, Comment, Petrop. T. VII. p. 40. ilethodiis qua usus est consi-

stit in substitutione aliarum incognitarum loco ipsarum w, y, atque hoc quidcm

tempore satis est nota. 111.La Grange paullo aliter rem aggressus est: scilicet ex

theoria fractionum continuarum constat, sifraetio

in fractionem continuam

1

a + 1

6+1

y etc.

+ »x

convertatur, haecque deleta ultima sui parte in fractionem communem j re-

stituatur, fore «a? = Jy + l, siquidem fuerit « ad b primus. Ceterum ex

utraque methodo idem algorithmus derivatur. Investigationes ill. La Grange ex-

stant Hist. de l'Ac. de Berlin Année 1767 /?. 175, et cum aliis in Supplementis ver-

sioni gallicae Algelrae Eulerianae adiectis.

29.

Congruentiae «#-]-/ = « cuius modulus ad a non primus, facile ad

casum praecedentem reducitur. Sit modulus m, maximusque numerorum a, m

divisor communis ê. Primo patet quemvis valorem ipsius x congruentiae se-

cundum modulum m satisfacientem cidem etiam secundum modulum ô satisfa-

cere (art. 5). At semper «iF = 0 (mod.Cy, quoniam è ipsum a metitur. Qua-

re, nisi « ;mod. &) i. e. t – « per è divisibilis, congruentia proposita non

est resolubilis.

22 ne. conohl-jcntus muni (at&Dvs,

Potïamus itaque a~èe, m = èft"t–n = hk eritqtie e act f primm

Tiuu vero congrùentiae propositao èiw -f- ck~ o vmod. <5/ aequivalebit hacc

e.r-f- £ = 0 mod./ i. e. quicuuque ipsius a? vulor huic satisfaciat, etium illi

satisfaciet et vice versa. Manifeste euim ex -f- A per dividi poterit quaudo

ù',c-{-ck per èf dividi potest et vice versa. At cougruentiatn «iP + Â'™0u

(mod./ supra solveru docuinms; unde simul patet, si « sit unus ex valoribus

ipsius ,r, .«.• = <• mod. exliibere resolutionetn completnm congruentiae pro-

positae.

•M).

Quando modiilus est compositus, nonuumquam praestnt sequenti me-

thodo uti.

Sit modulus =?«», atque congntentia proposita «* = t. Solvatur pri-

mo congruentia haec seciindum modulum m, ponamusque ei satisfieri, si x c

'mod. -i! désignante è divisorem communein maximum numerorum m, a. lam

mauifestum est, quem vis valorem ipsius x congruentiae «*=& secundum mo-

dulum mu satisfacientem eidem ctiam secundum modulum m satisfacere de-

bere: adeoque in formar-f-c' contineri. désignante ni nunicrum indetermi-

uatum, quamvis non vice versa omnes numori in formav -f- ™

jf contenti congru-i

untiao secundum mod. mu satisfaisant. Quomodo uutem ri determinari de-

beat, ut + "•' fiat radix congruentiae aie = b ïinoA. m n ex solution*1

congruentiae ™' œ(ti' = h {mod. mn~r; deduci potest, cui acquivalet haec t

^>i' – – – mod. n).iHinc colligitur solutioncm congrucntiap cuiuscunque

prinû grndus secundum modulum m a reduci posse ad solutioncm duarum con-

gruentiarum scenndum modulum m et ». Facile autem perspicietur. si u

iterum sit productum c duobus factoribus. solutionom cougruentiae secundum

modulum n pondère a solutionc duarum congruentiarum quarum moduli sint illi

factores. Generaliter solutio congruentiae secundum modulum compositum quem-

ciunque pendet a solutionc aliarum congruentiarum. quarum moduli sunt factore.s

illius nnnwri hi autem si commodum esse videtur ita semper accipi possunt ut

sint numeri primi. (

Ex. 8icongruentia li).t = l (inod. MO, proponitur: solvatur primo secun- (

dum modulum 2, eritque x = 1 (mod. 2).ï. Ponatur .j?=1 + 2* fietquc

:Jb jc' – is 'mod. 14») cui aequivalet 19 x' – 9 mod. 70). Si haec '«

8OWJT1OCONGBCEKTIABEM. gg

~1u'u~•tenait aeetttidnm mochihtm 2 ROÎvitnr, fit V = 1 (môd. 2) |jositoque *•' =

1 + 2v\ fit 38#"==_ 28 (mod. sive J9.*>" == – 1 1 (mud. 35). Haee

secundum 5 soluta dat x" = 4 (mod. 5), substitutoque=

44.5 a1" fit

»5.r~ – 9<)(mod.35v sivo 19*==B(mod.7). Kx lwc tandem se-

qnitur, a?'" ==2 (mod. 7;, positoque .i1'"–2 + 7,1- eolligitur .r =58 + n <).»•

quare a? == 59 (mod. 1 40) est solutio compléta congruentiae propositae.

31.

.Simili modo ut aequationis ax = h radix per exprimitur. etiam con-

Kriwntiao a<v h radicem quamcunque per designnbimus. congruentiae mu-

(lulum, distinctionis gratia. apponentes. Ita e. g. | (mod. 1 2; denotnt quemvis

numerum qui est = 1 1 (mod 1 2) *. (ïeneraliter ex praecedentibus patet.

(mode) nihil î-ealc significare (aut si quis malit aliquid imaginarii\ si a,c habe-

ant divisorem communem, qui ipsum b non metiatur. At hoc cnsu excepto. (;x-

prossio -(mod. e) semper valores realcs habebit. et quidem infinitos: lii vero

omnes secundum c erunt congi-ui quando a ad c primas aut secumlumf,

qunmlo c numerorum c, a divisor commuais maximus.

Hae exi)ressiones similem ferc habent algorithmum ut fractioncs vulgares.

Aliquot proprietates quae facile ex praecedentibus deduci possunt hic apponimus.

1. Si secundum modulum c, a=±a, i=gexpressiones j (mod. c)

et (mod. r'

sunt aequivalentes.

•2.££ (mod. ce; et j (mod. c) sunt aequivalentes.

3.-fa :mod. c) et (mod.c) sunt aequivalentes quando k ad r est primus.

-Multae aliae similespropositions affem jjossent: at quum uulli diffïcultnti

siat obnoxiae. neque ad sequentia adeo necessariae. ad alia properamus.

Do iitmirimié, tmmvrn neeiunluminmlulnnéttos résidais éilis miiym».

32.

Problcma quod magnum in sequontilms usum habebit, inmitre omnes numé-

ros, (mi secundum modulusquotcunque daton residua data pmebent, facile ex proecc-

dentibus solvi potest. Sint primo duo moduli .1, B, secundum quos nmnerus

*) Wquorl ex analogia per ',' (mort. 12) AeA^atm]>otcst.

24 DE CONORUmHS PBIMI GBADU8.

qunt'situs, g, mtmem a, b respective eongruus esse debeat. Omnes itaque va-

lores ipsius g sub forma Ax- a coutinentur, ubi œ est indeterminatus sed

talis ut fiât Ax-a = h [mo&. B). Quodsi inra numerorum A, B divisor

com munis maximus est <?, resolutio complota huius congruentiae hanc habebit f

formam:*• v (mod. -s- ) si ve quod eodem redit, <t? = t> -|- y. denotante k

f

numerum integrum arbitrarium. Hinc formula Av-a- omnes ip-

sius z vnlores comprehendet, i. e. = ^li'4-« mod. ^jerit resolutio com-

pléta problematis. Si ad modulos A, B tertius necedit, C, secundum quem

llumerus quncsitus g débet esse =c, manifesto eodem modo proeodendum, quum

binai' priores conditiones ilt unicam iam sint conflatae. Scilicet si numerorum

'4p Cdivisor communis maximus =g, atque congruentiae -?- x-Av-{-(i^.c d

(mod.C; 1,tt'=w(mod.~), ùI <(mod. C, resolutio: a? = w (mod. ~), 1 problema per congruentiam s = v

+ Av -f- « (mod. –£-} complete erit resolutum. Similiter procedendum, quot-i

cunque moduli proponantur. Obscrvnri convenit ^!Ë£. esse numerorum

A, B; et A, B, C respective minimos communes dividuos, facilequo inde per-

spicitur. quotcunque habcantnr moduli A, B, Cetc., si eorum minimus commu-

nis dividiuis sit M, resolutionem completam hanc formnm liabcrc, z=r[mot\.M).=

C'eterum quando ulla congruentiarum auxiliarium est irresolubilis, problema im-

possibilitatem iuvolvere conchulendum est. Perspicuum vero, hue evenire non t

posse. quando omnes numeri A, B, C etc. inter se sint primi. Il

Kv. Sint numeri A,B, C; a, b, c.\ 504, 35, 1C; 17, – -1, 33 hic duae

conditiones ut s sit = 1 7 mod. 50-1 } et =–4 (mod. 35} unicae, ut sit «

= 5 21 mod. 2520, aequivnlent; ex qua cum hae » 33 fmod. JG^ coniuneta,

proinnnnt s 3»41 iuod. 5040

33.

Quaudo oinues numeri A, B, Cetc. inter se stmt primi, constat, produc-

tum ex ipsis esse minimum omnibus commuuem dividuuni. lu quo ca.su niani-

festum est. onmes congruentias s==« mod. -^1}; s = b (mod. B, etc. unicae

« = »* mod. R prorsus aequivalere, dénotante R numerorum A. B, C etc. >

productum. Hinc vero vicissim scquitur, uuicam conditioncm x = r vmod. K {

in plures dissolvi posse scilicet si R quomodocuuquc in foctores inter Se primosi

A, B, Cote, resolvitur, conditiones «=c;mod. A. z^r (mod. B), z r

(mod. C etc. propusitum exhauricnt. Haec obsorvatio methodum nobis aperit

HOI.UTI0fOSOKl'OTIAKUSl. 26

I

ma modo impossibilitatem. si qtmm fin-te conditiones propoiiitue implieent xtu-

tini rietegiiidi. sed (.'titini cnlfiiliun commodiiis «tqiie (ronduitius institueudi.

:u.

Suit ut supra conditiones propositae, ut sit .? = « mod.A *=4.mod. B.

c niod. C Kesolvautur omnes moduli in faetores inter se primos A in

A' A" A" vtv.; H in B If li" etc. c;tc. et quiclou ita ut million A', A' etc.

etc. etc. siut aut primi. aut primomiu potestntes. Si vero aliquis numero-

nnn A. B, Cetc. iam per so est primas, aut primi potestus. nulla rnsolutioiie in

factores pro hocce opus est. Tuiu vero ex prnecerieutibus pntescit. pro couditioni-

buspropositis liasee substitui pos.se: j = «(mod.^l' « mod./l" z~<t rr

niod. A"\ etc. ,s – h mod. B = (niod. B' etc. c'tc. lam nisi omnes numeri

.1. 7i. C etc. fuerint inter se primi. ex. «r. si .1 ad B non prunus, manifestum

est. omnes divisoi-es primos ipsoruin .1, B diversos esse non posse, sed inter fac-

toi-es A, A', A" etc.uiiuiu uut alterum esse debere, qui inter B,B",B"utc. aut

aequalem aut multiphun autsubjnultijJuiii linbeat. Si primo A=H, conditioiies

= mod. A s = b:niud.B identicae esse debout, sive « mod.. 1' vel

B,. (p-uire alterutra reiici poterit. Si vero non «=A;inod..l'. probleina inipos-

sibilitntem implicat. Si secundo Buiultipluni ipsius .1'. conditio r=« mod. M.

in bac z = b niod. B' contenta esse débet, sive baec z^ h niod. A, qime exposteriori deducitur cum jiriori identica esse débet, l "ude «equitur oonditionem

z=a niod. A), nisi alteri repugnet in (juo «isu pi-ublcmu impossibilu, reiici possc;.

Quaudo omnes (ronditiones superiluae ita rcicctau suut, jmtet, omnes modulos ex

bis A, A", A" etc. B, B'. B" etc. etc.vi'niaiKjM^^yapvsc pi-iiuo.s fore tuin

ij,'i-

tur de problemati.s possibilitate certi esseet^cuuduiu p'rîj^epta

auto duta proce-

«Iito possunms.

\§P®UirtttèQijÊ\

Kv. Si ut supra esse débet ;= 17 'nioclrTiTTf;. = – -1 (mod. 8.V et

= 33 'niod. I(j bac conditiones in sequentes resolvi i)ossunt, «^17 mod. s

= 17 'înod.'J;. =17 Nmod.7i. ==– i fmod. 5, – 1 (mod. 7, =33 mod. lis,.

Kx his conditiones s == 1 7 niod. b,, z^\l mod. 7 reiici possunt, quum priai-

in conditione = :I3 ;niod. ]ti; contineatur, posterior vero cum bac r^ – l

mod. 7 sit identica; rémanent itnque`

26 DECONORUENTHSPRIMIORAOVS.

17 (mod. 9)

..= – i;mod. r>!z=:10-11!mo(,¡¡04U.1 dU·iu:.-= umlo couigitur = 3041 'mod.5040

– 4 • mod. 7;7;

33- mod. 10'

Cetcnun palan» est, plerumque commodins fore, si de conditionibus rema-

nentibus cae quae ex una endcmque conditione evolutac crant seorsim recolligantur,

quunt hoc nullo ncgotio fieri possit; e.g. quando ex conditionibus z -= a 'vmod. A'},

*=« ,'mod. A";ete. nliquae abierunt: quae ex reliquis restituitur, haec crit, «=«

secundnm motluhuu qui est productum omnium modulorum ex A', A". A"' etc.

·

remanentium. Ita in nostro exemple ex conditionibus z~ – 4 :mod. 5), *= – 4

(mod. 7 ea ex qua ortae erant = – 4(mod. 35) sponte îx'stituitixr. Porro

liiuc .scquitur haud prorsus perindc esse, quaenam ex conditionibus superfiuis re-

iiciantur, quantum ad calculi brevitatcin sed haec aliaquc artificia practica, quae

ex usu multo facilius quam ex praeceptis ediscuntur hic tradere non est instituti

nostri.

36.

Quando omnes modtili A, B, C, D etc. inter se sunt primi, sequenti me-

tliodo saepius praestat uti. Determinctur numerus a secundum A unitati, se-

cundum reliquorum modulorum productum vero cifrae congruus, sive sit a valor

quicunquc plerumque praestat minimum acciperc, expressionis jji^j-r (mod. A)

per B CD etc. multiplicatus (vid. art. 32;; similiter sit fi = 1 (mod. B) et = o

(mod. A CD etc.; 7 = 1 (mod. C, et == 0 .mod. A BD etc.), etc. Tune si nume-

rus s desideratur. qui secundum modulos A, B, C, D etc. numeris a, b,c,d etc.

resiicctivc sit congruus, poni poterit

s = a« + I) b -yc + cd etc. (mod. AB CD etc.

ilanifesto enîm. aa = <ifmod.4.); reliqua autem membra Ùi, yc etc. omnia

^(J 'mod. A; qunre z « (mod. A). Similiter de reliquis modnlis demonstratio

adornatur. Haec solntio priori praeferenda, quando plura huiusmodi problemata

sunt solvenda, pro quibus moduli A, B, (7 etc. valores suos retinent; tune enim

numeri a, lï, Y etc., valores constantes uanciscuntur. Hoc usu venit itt proble-

mate chronologico ubi quaeritur, quotus in periodo Juliana sit anims, cuius indictio,

numerus aiireas, et*cyclus solaris dantur. Hic yl=. 15, £=19, (?=2S; quart*.

gOLCTIOeONOBUEKTMRUM. ^7

4*

quuro valor expression!» ~ir(iHo<U&), sive– {mod.15}, sit 13. erit a=6»m

Similiterpro 6 invenitur 12t>0, et pro y 4845, quare numéros qunentas erit

residuum minimum numeri 0916«~|-4200&4- 4845e, denotantibus « indic-

tionem, b numerum aureum, c cyclum solarem.

CongrueiUiae tintant quae jilum incognitos implictmt.

37.

Haec de congmentiis primi gradus unicam incognitam continentibus suffi-

ciant. Superest ut de congrucntiis agamus, in quibus plures incognitae sunt pw-mixtae. At quoniam hoc caput, si omni rigore singula exponore velinms, sine

prolixitate absolvi non potest, propositumque hoc loco nobis non est. omnia ex-

haurirc, sed ea tantum tradere, quae attentione digniora videantur: hic ad pau-cas observationes investigationem restriiigimus, uberiorem htiius rei expositionemad aliam occasioncm nobis reservantes.

1) Simili modo, ut in aequationibus, perspicitur, etiam hic totidem congru-entias haberi deberc, quot sint incognitae determinandae.

2) Propositae sint igitur congruentiae

ax -f hy + cz.–f (mod.w) A)

a\v +6'y + c's/ (A1)

«* +&> + «:•«.=/• ;a")x -f- L y -f- c x \0'1,Jetc.

totidem numéro, quot sunt incognitac ce, y, z etc.

Iam determiuentiir numeri it | |" etc. ita ut sit

*C+*'4' + 6"4" + etc. = 0

cC + c'|'4-c"f + etc. = oetc.

et quidem ita ut omnes sint integri nullumque factorem communem habeant,

quod fieri posse ex theoria aequationmn linearium constat. Simili modo deter-

minentur v, v', v" etc., Ç, £', Ç etc. etc. ita ut sit

av -f- a'v' -f «V -f- etc. = 0

cv + c'v' + cV + etc. = 0etc.

2H J)K CONOlUÎESim PBIMI «UADL'S.

«v, -f- <* « ~r <» -r "te. = 0

foi. -f" '>*+''fc + OU".= «

etc. etc.

Mnuifestnm e.st si (ongrtieutiue .1, .1', .1" etc. per £•£'•£' etc.. tum

|M?r «\ v, v". etc. etc. multiplicentui1. tuneque ticlriantur. lias coiigrucntius proven-

tuniH esse:

-«?+«fC'+ff-?-f etc. a- =,A: +/£ +/T -fetc.+le

+ ç l'te,.1!

-=, ç +et(..

7*u+tV-|-4V +etc.' =/tl +/c' +/'«»"+ etc.

(. ( y~ l.'n. ~^+-l'.t(. ~+/+/+<.te.

etc.

(juas brevitntis grutia ita exhibemus!:

jr a i; .« = jp yt 2- •; y = -ï ;• s r ïs=s etc.

1 Iainplnres casus sunt distiiiguendi.

PtiiHo quautlo omllcs inn^tiitnnun cot'l'fitieute.s 2ai\ 2" «r) etc. ad con-

P'ucntiurum moduhun m smit priini, liae cMiigrumitiac .secunduin praccepta mite

tradita solvi possunt. proiilemntiiiqae solutio compléta ppr rongrueutius forinae

t>=lJ:nM\.m],jf~(j{mQA.Ht: etc. cxliibcbitur " E.g. Sipropominturcoiigmentiae

,1'+:1,11+..= J, ')'+~-}-r~=7. 2.t'+2~+~==:)'mod.s'

invenietur C==' ^'=J, C"=– I i, uiulofit 15^=– 2G, quaro .j-=0';mod.s):

fodem modo invenitur 15^^–1, !5r=l, et liinc y=-l, r=7'mod. S'

5 Secundo qtiando uuu onmes coi-fficii-ntes £'ai £ hv etc. ad modu-lum sunt prirni siut a, V), y etc. divisores connimnes maxiini

ipsius m cimi

2" ai 21 tt-£r£; etc. resp., patotque prublcina inipossibile esse, uisi illi mi-

meros£'fi;. £ fv\. 2 ft etc. resp. metiantur. (juaudo vero lme conditio-

ues locuni habent, congrueiitiae in [}\ complète rcsolventur por talcs n-^p

n)od.y)])od. ~=~' mod. etc., {tut si minis dabuutm' K 1ni0{' ,• Jf^'l ;niod. -çs=r .mod. etc., mit si mavis dabuntur a valores

?'" 1'" m (~-I)III'diversi ipsius ,f i. e. secunduin m iucongrui putn j'. p- p-{-).

') ObsiTViirecunvi-nit linncce conclusionem demonstratiune egere, tjuam nutem hic supprimimm. Fropricenim nilnl uliud vx anal,v«inostra sequitur, quantquod confowntue propositac per alios incogniuirumj-, etc.

valon-s solvi nvcjiifftnt hos vero satisfacore non sequitur. l'ieri enim pomet ut niilla omninu «olutio daretur.

Similis paraloj;ismu«Ptinm in uequntionum liiu-uriuro cxplicationeplerumquo eoininittitur.

SOIA'HO COXaitL'KXTUltCM. g9

l* vuloie» divuni ipsms y etc. iliis congraentiis satisfacientes innmfe.stoqwtmmes sohttioiies congruentinnira propositaniui si quao oiuniuo dantur intor illals

reperic-iitur. Attnnieu haut- eonclusioneui coavcrtere non litet: nain plerumquenon onines coinhinationos onniium M valorum ipsius ,r cuin omnibus

ipsius yttini omnibus ipsius etc. problenmti sutisfiurhmt, setl qnuetlnm tantiim. quaruiniicxtnii pur unnin pluresve i-ongnientius coiiditionnUis exliik-ro licet. At quum

(îoiiiplcta huius prolilcmotis resolutio nd seqwntia non sit nttvssnrin hoc nrjçu-mciituin fusius hoc loco non oxsequimur, oxemploquc idctun qualuincuriquc de co

dudissu sat liabcnius.

Propositno sint congruontinc

3*+5^4-^E=4, ïx+'ly+îs – ûj-'+y-J-îteESCinoil. 12

Hk-fiuut (,£' v,v',v": C.C'.C; rcsp. = 1,-2, | »,j,-i; – 13.22, – 1.

mule 4.r = – 4, 7^ = 5, 2S,r=9G.

Ilinc prodeunt quatuor vnlorcs ipsius œ puta

unclo -LI'=--1, i·t/=: 2~=9U, Hil1c ltrudelult qnntuol' ipsitis ,(' puta= 2. 5. S. U; unus valor ipsius y puta =11; quatuor valorcs ipsius s putu

:=«. 3, G, 9 mod. 1 ï. lam ut scinmus, quasnain eomhinntionos valumin ipsius ,t

(Hiin valoribusipsius s adliibcve licoat substituinms m

cougruentiis prapp. pro

v,y. s ivs\>. 2 -f- :i^, 1 1 :$«, undc transcunt in lias

.-)7 4-«if4-n«=o. :to + c/-(-i}«=o. 15-f- ir>f-f ««su mod. 12.

quibus facile intclligitiu* ncquivnlorc lias

l» + 3'+«S«. 10 + 2/+ 2» = «, 5+5f+3w = o:mod.J i

Prima manifesto requirit ut sit u=t- I (mod.-l quo valore in reliquis substi-

tuto ctiam liis satisfiori invenitur. Hinc colliptur. valores ipsius ,r hos 2. 5. s. I 1

qui prodeunt statuendo t=0. i, 2, 3; uceessario combinandos esse cum valorilius

ipsius g liis z=X. G. 9. 0resp., ita ut onmino

quatuor solutiones habcantui

j?= 2. 5, s. Il mod. 12

y= 11. II. 11. 11-r= 3, G, i)r o

30 de cosaïa'ES'nis pbimi oiîadus.

Bis disquisitionibns, per quos scctionis propositum iaiû absolutuKi est, ad-

Jino qxuisdam propositiones similibus principiis innixas adiungimus, quibus in se-

quentibus frequeiiter opus erit.

Thronmutu varia.

38.

Problema. Invenin; quot numeri positivi dentur numéro positko data A mi-

nores simulque ad ipsum primi.

Désignerons brevitatis gratia multitudinem numcromm positivorum ad nu-

menim datum printorum ipsoqiie nn'nonun per pracfixum characterem <t>. Quae-

litur itaquc $A.

I. Quando A est primus, mauifestam est omnes numéros ab 1 usque ad

A- 1 ad A primos esse; quarc in hoc casu erit

4>Az=A–i 1

II. Qnando A est numeri primi potestas puta =pm, omnes numeri per p

divisibiles ad A non erunt primi, reliqui erunt. Quamobrem de p'"– 1 nnmeris

hi sunt rciiciendi 1), 2~, 3~ (~ – ) )~ rémanent igitur p'- 1 – (~– ) )

sive fj> – 1). Hinc

<t>pm=zf>-x q>–\) i

III. Kcliqui casus facile ad hos reducuntur ope sequentis propositionis

Si A infitctores M.N.Petc. inter se primos est résolutif, erit

4>A–<l>M. 4>N.4>Petc.

quae ita demonstratur. Sint numeri ad M primi ipsoque M minores m, m', m"

etc. quorum itaque multitudo = 4>M. Simili ter sint numeri ad N, P etc. re-

spective primi ipsisque minores «,«',«" etc.; p, etc. etc. quorum multi-

tudo tf>iV,(j)P etc. Iam constat omnes numéros ad productum A primas etiam

ad factores singulos M, N, P etc. primos fore et vice versa fart. 1 9) porro om-

nes numéros qui horum m, m', m" etc. alicui sint congrui secundum înodulum

M ad M primos fore et vice versa, similitcrquc de N, P etc. Quacstio itaquc

hue reducta est: determinare quot dentur numeri infra A, qui secundum modu-

lum M, alicui numerorum m, m', m" etc. secundum Ar, alicui ex his n, v\ n"

ÏIIKOHEMJW'AVA1JIA. 31

etc. etc. sint congrui. Sod ex art. aiseqùitur, omnes numéros, seeuaduB» shv-

gulos modulos M, N, P etc. résidu» determinata danto. congrues secundum eu-

rum productum A fore, adeoque infra A unicum tantam dari. secundum sin- =

gulos M, N, P etc. residuis datis congroum. Quare numerus quaesitus oequa-lis erit numéro eombinationum singulorum numeroruin m m', m" cum singnlis

«,«',«" utque p.p'.p" etc. etc. Hune vero esse =4>M. 4>N.<I>P eta. ex theo-

ria combinationurn constat. Q. E. D.

IV. Iam quomodo hoc ad casum de quo ngimus applicaudum sit facile in-

telligitur. Kosolvatur A in factores suos primos sive reducatur ad formant

«* fi5 cï etc. designantibus a, b, c etc. numeros primos diversos. Tum erit

<pA– <\> a\ <f>4*. <p et etc. = a»"1 [a – 1 } 61"1(6 – 1 ) ct~l 'c–D etc.

seti eoncinnius AA=A^=^ ^7^ etc.seu concinnius yd=A tt 0 <?

Exempt. Sit ^=60 = 21!. 3. 5, adeoque <^A=^i. 60 = 16. Nmneri

hiad 0» primisunt 1,7,11,13,17,19,23,29,81.37.41,43,47.49,53.89.

Solutio prima huius problematis exstat in commentatione ill. Euleri theo-

remata al'ifIt1Jtetic(, nova methodo clemomtrata Comm. nov. Ac. Petrop. VIII p. 71.

Denionstratio postea repetita est in alia diss. Specuhttiones cimi r/uasdam insignes

proprietat&t nuinerorum, Acta Petrop. VIII p. 17.

39.

Si characteris <j> signin'eatio ita determinatur, ut <J> A exprimat multitu-

dinein numerorum ad A primorum ipsoque A non maiorum, perspicuum est

<l>I fore non amplius = 0 sed = 1 in omnibus reliquis casibus nihi] hinc

iinnmtari. Haucce definitioncm adoptantes seqnens habobimus theorema.

Si a, a, a" etc. sunt omnes dieisores ipsim ri (unitate et ijiso A non ex-

clusixj, erit

<pa-<j><t'tpa"-+-ctc. –A

Ex. sit J.=3», tum crit<\>\ + 2 -f- f/> 3 -j- (/> r> -f- u -f- </> i o + <^>i 5+^30

^1 +t-f-2 + 4-f-2 + 4 + 8 +S=3«.

Dcmonxtr, Multiplicentur onuies numeri ad « priuti ipsoque a non nia-

iores per siniiliter omnes ad a priini per ft. etc. habobunlurque 4>a4-4>«1

S2 DE OOKOBCOim i'BIJin OIUDCS.

+ $a"-$-etQ. tmtneri, omncs ipso A non majores. At

1 ouiues lu uuntvri émut inawjiuilos. Omnes enim oos qui ex ewleni ipsius A

divisore sint generati, inuc-qualcs fort', jier se claruin. Si vero e divisoribus diver-

si.s M, N uumerisque u. » ml istos respective primis uequales prodiissimt. i. e.

siessutifH – 'x», sequeretur p.N=rM. Poimtur J/>iVr kl quod licet).

Quoninm M ad ju est primus, atque uumerum pN motitur, etiani ipsum

i\r mctietur, maior niiiiuiviii. Q. E, A.

2 iutcr hos numéros, omnes hi J.2.3.1 iuvonifntur. Sit imnierus qui-

cauque ipsum A nonsuporans t maxima muncroriun A, t commuais nien-

sura ci eritqtte -`idi~~isor illsius 1 1 dneln -r llrïnlua. '1 'f' llinrsiua ê

eritque jdivisor ipsius A «d qucin primus. Manifeste liiuc

nunierus t iutcr eos invcuietur (jui ex divisore-j pi-odivruut.

'A. liiuc colli^itm- horum muiieronuu multitudiuem esse A. qimrc

ta -f +«' + «" 4- etc. –A. Q. E. D.

lu.

Si uKimmus iiitiaetorum A, li, C, 1) ctv. dimor rouiuuiiiii –ft: mtmeri

a, b, c, d etc. itu detemimri passant, ut sit

“ «A- tt]i-cC- etc. =If

Dm. Considcreinus primo duos tantum numéros A. li, sitquo horuin

divisor JiJiwimas conuimnis –À. Tiiiu tou^nicntia Aœ== mot!. R erit vt>-

solubilis .art. 30.. Sit radix ~«.ponaturquo

-– = fi. Tum erit a ASO Uu1 Isart.)0" 5it rtldia a.ponntltl'ql1l' ~~=)j~~`

-= U. muent tx.l

~ÛIi–Â. uti dcsidernbntur.

Acccdeutc numéro tertio C, sit nmximus divisor comimiiiis iiumcronmi

L C. =X, eritque hic simul nmximus divisor communis uumerorum A.B.C"

Determinentur numeri A; y ita ut sit1û + yC=Â'. eritquo k(tA~k\iB

+ yC = X.

Accedente numéro quarto D, ponatur maxiinu.s divisor commuais nume-

roruiu X\D 'quem simul esse maximum divisorcni eonnmmeni nuinerorum

A,B,C,D facile perspicitur) =4". fiatque k' X ~cl)= Tum erit

kk'aA-kk'tiB-k'yC-{-cl)-^Â".

') Mctielw ciiim manifinto omnes A, li, (. Si vero non vmei «livUar communis uuuwtus: maxi-

mus foret maiorquant > lam quoniamhic divisor maximusractitur insos A, Ji, C, mcticlur etiam ipsumk'i.l + kili + iC i.e. ipsum maior minorent Q.K.A.– Faeilius ndhuc lioccx tirt. is deduci potest.

THEOiiEHATA VARIA. 38 =

5

Simili modo ptocedi potostt quoteimque aKi itumeri accédant.

Si itaquo numeri A,B, C, D etc. divisorem eonnnunem non habent, pa-tet fieri posse

vA + ùlt + cC- etc. = 1

41.

Si p e.itnumerus primus utque habentur p res inter qttas quotcunque «<?•

qttales esse possunt, modo non umnes sint aequales: numerus permutationum humm re-

mm per p erit divisihilix.

liv. Quinque res A. A, A, B, B dccem modis diversis possunt transponi.

13emonstvutio huius tlieorenmtis facile quidem ex nota pernmtatiouum theo-

ria peti potest. Si enim inter has res sunt primo « aequales nempc =*4, tum

haequales nempe =B, tum c

aequalcs netnpe =Cetc. (ubi numeri a.b.c

etc. etiam unitatem designare possunt., ita ut habeatur

«-f-i+c+etc. ~p

numerus permutationunt erit

i. 2 s ,j_. j>1.2.:». a.t'.ï'. hi.-TTcïtc.

Iam per se clnruin est. lmius fractionis numemtorein per denominatorem divisibi-

lem esse, quoniam numerus pennutationum debet esse integer: at numerator per

l> divisibilis est, denominator vero, qui ex factoribusipso p minoribtts est com-

posite, per p non divisibilis art. 15;. Quare numerus pennutationum per p

erit divisibilis (art. 19).

Speramus tanten fore quibus etiam sequens demonstratio haud ingrata sit

futura.

Quando in duabus permutationibus rerum e quibus compositac sunt ordo in

eo tantum discrepat, ut ea res quae in altéra priinum locum occupât, aliam sedem

in altéra teneat, reliquat? antem eodem in utraque ordine progrediuntur. eamque

quae in altéra ultima est, ea quae est prima, in altera excipit; ptrmutationes simi-

les voeemus*. Ita in ex. nostro permutationes ABAAli et ABABA simi-

les crunt, quoniam res qutte in priori primum seeuiulum etc. locum occupant, in

posteriori loco tertio quarto etc. codent ordine sunt colloeatae.

*) Si permutaiionex «imita in eircultim scriptac esse concipiuntur itn ut ultima res primac fiut comigua,nullii onmillo erit discrepantia (|uoniiimmillus locus primusaut ultimiis vocari |>otcrit.

34 DE CONORCEOTU8 PRIMÏ ORAPL'S,

Iaœ quoniam quaeque permutatiô éx p rébus constat, patet euivis p~-ii

similes adinveniri posse, si ea res quae prima fuerat, ad secundum. tertium etc.

locum promoveatur. Quamm si nullae identiene esse possunt martifestum est,

omnium perrnutationura numerum per p divisibilem'evndere, quippe qui p vi-

cibus maior sitquam numerus omnium permutationum dissimilium. Nuppona-

mus igitur duas permutationes

PQ.TV.YZ; V.YZPQ.T

quarum altera ex altera per terminorum promotionem orta sit, identicas esse sive

7*= F etc. Sit terminus P qui in priori est primus, w-f- 1tus

in posteriori.

Erit igitur in serie posteriori terminus « + ltus acqualis primo, »-f-2tus secundo

etc. unde 2«-Htus rursus primo aequalis evadet, eademque ratione 3?«4-ltus

etc.; generaliterque terminus Â'«+fflîtU!1OTt0 'ubiquando fat+m ipsum p superat,

aut series F.YSZPQ. T semper ab initio repeti concipienda est, aut a kn-{-m

multiplum ipsius P proxime minus rescindcnduin}. Quamobrem si k ita deter-

minatur, ut fiât À'«^ l(mod./j), quod fieri potest quia p primus, sequitur gene-

raliter terminum »*tuw »j+lt0 aequalem esse, sive quemvis terminum sequt'uti,

i. e. omnes terminos aequalcs esse contra hypothesin.

42.

Si e,O(fficientes A,B,C N; a, h,c.n duarum functionum fnrmae

a?l"+^.i'"I-> + iî*ï4-C^s -N P

Z+aZ-'+W-'+c/-1 -f-« [qj

omnes sunt mtionaks, neque vero omnes integri, productumque ex (P) et (Q)

== .t-+!p'"+! -)-t-+!t- ~C. +3

omnes coefficientes 21, 5? 3 integri esse nequeunt,

Demonstr. Exprimante- omnes fractiones in coefficientibus A, B etc. a, b

etc. per numeros quam minimos, eligaturque ad libitum numerus primus p, qui

aliquem aut plures ex denominatoribas harum fractionum metiatur. Ponamus, id

quod licet, p metiri denoininatorem alicuius coefificientis fracti in [P], patetque

si (Q) per p dividatur, etiam in dari ad minimum uuum coefficientem

fractum cuius denominator implicet factorem p (puta coefficientem primum -~).

THEOKEMATA VAUIA. 35

S*'

lam facile perspicitur» in(P} titttum iii tennimun ununi, fractum, cuius de»o-

minator involvat plures dimensiones ipsius p quant denominatores omnium .simi-

li umpraecedentium, et non pandores quam denominatores omnium sequcntium;

sit hic terminus = Gaft, et multitudo dimensionum ipsius p in dcmominatorc

ipsius G, = t. Similis terminus dabiturin ^-f qui sit = r#» et multitudo

dimensionum ipsius p in dcnominatorc ipsius F, =t. Manifeste hic crit t~t r

ad minimum =2. His ita praeparatis, terminus j^+ï producti ex (F, et

(Q) coefficientem habebit fractum, cuius denominator t-t– dimensiones ip-

sius p involvet, id quod ita demonstratur.

Sint termini qui in (F) terminum Grf> praecedunt, 'Gtf+\ "Gap** etc.

sequeutes vero G'o^"1, G"û^ etc.; similiterquc in praecedant terminum

r^fi termini T^+l, T*ï+8 etc. sequantur autem termini T'1, r'V-* etc.

Tum constat in producto ex (P), coefficientem termini xP+i fore

=Gr+'Gr-f-"G!r-fctc.

4-TGq-T(r+etc.

l'ars GV erit fractio quae si per numéros quam minimos expriinitur in denomi-

natore t-t dimensiones ipsius p involvit, reliquae autem partes si sunt fractae.

in denominatore pauciores dimensiones numerî p implicabunt. quouiam omues sunt

producta c binis factoribus quorum alter non plures quam t, alter vero pauciores

quam x dimensiones ipsius p implicat; vel alter non plures quant t. alterque

pauciores quam t. Hinc GF eritformae70W

reliquarum vero sunnna formae

yy*ï=5uw positivus et e.f.f a factore p liberi: quare omnium summa

erit= jjr-rix

cuius numerator per p non divisibilis, adcoque denominator per

nullam reductionem pauciores dimensiones quam t-r obtiurre potest. Hinc

coefficiens termini x'J+i in producto ex(P), [Q) erit

– Ct-f''l~é c

i. e. fractio cuius denominator t+z – 1 dimensiones ipsius p implicat.

g. js. D.

36 DK COWGRirENTIIS FKIJtr BRADfS.

43.

Congmentia mtl gradm

:1'ue B,L'ne-~ + C,a'$ etc. -F-42';c'-(- N 0

mim modulas est numerus primas p, ipsum A non metiens, plurihus quai» M

modis diversis soin non potest, siveplures quant m radiées sectmdmn p incongruus

non habet fVicl. artt. 25. 20).

Si quis neget. ponamus dari congruentias diversoriun gracluum M, u etc.

quau plures qiuun m, n etc. radiées habeant sitquc minimus gratins m ita ut

omîtes similes congraentke inferiorum grnduutn theoreinati nustro sint conseuta-

noac. Quod quum de primo grudu iam supra sit demonstratuni (art. 20) ruaai-

festum est. m fore aut =2 aut rnaiorem. Adniittet itaque cougruentia

/Lp"'+7*y" + etc. + Mjb+N= 0

saltem m- radices, quae sint lii=a,.r^ë,.«^yetc. ponumusquo id quod

iicet omnes numéros a, d, *y etc. esse positivos et minores quam p, omniumque

nûuimum a. Iam in congruentia propositn substituatur pro <*•, tf-a. tran.seat-

que inde in hanc

:1'y'r~,+~y~n-~+~Y~yrn-r,lYly-1V' =o

Tum manifestmn est. huic congruentiae satisfieri. si ponatnr i/^0, aut ^6 – «.

aut = y– et etc., quae radices omnes orunt diversno, numerusque earuni =»»-f-l.

At ex eo quod ,y=0 est radix, sequitur, N per p divisibilcin fore, (juarc

ctiam haec expressio

.yJ/iy-' + J^+etc + iM'; fiet = 0(mod./>

si ipsi unus ex w valoribus l) – a. y – «etc. tribuitnr. qui onincs sunt

et <Cp, udeoque in omnibus hisce casibus ctiam

.•l'y"-| + B'y"4-etc. + 3i' fiet = «{art. 22l

t. c. congruentia A'j/ + 7/y"~s -f- etc. + M= «

quae est grndus m – t!, m radiées habet et proin theoreinati nostro advorsatur

patet enim facile, .4' fore =A, adeoque per p non divisibilem uti requiri-

tnr) licet supposucrimus, omnes cniigruentùis inferioris grndus quam /«", tlworo-

mati consentire. Q, E. A.

1HKORKSIAÏA VABU. 37

44.

Qimmvis hic.siipposuerimus, modulum p non utetiri eoeflieioutcm termiiii

suuimi, tamen theorema ad hune casum won restringitur. Si cnint primas coeiïi-

eieiu» sive etitmi uliqui .scqucnthtin per p divisibiles essent, hi termini tutu reiiei

passent, eongruentiaque tandem ad inferiorem grudinu deprimoretur, ubi coeffieU'iiii

primas per p lion nniplius foret divisibilis, siciuidcm non omnes coefficientes lmr

p dividi jjossunt; in quo oasu cougrui'utin foret identiea atque incoffnitn pror-

sus indi'ternu'jiata.

Theorema hoc priniuin ab ill. Lu Grange proposituni atque denionstratum

est Mém. de /Vit*, de Berlin, Année 176% y. 192 Exstnt otion» in dissort. ill. Le

Gendre, liec/tm/tex d'Analyse indéterminée, Jlixt de fAcad. de Purin 17S5 p. 400.

Ill. Euler in AW. Cumm. Ac. Petr. XVIII p. ua demunstravit cougruentiam

.v"~ 1 s=u plurcs quani w radiées diversas hnbere non posse. Quae quamvis sit

particulnris, tamen rnethodus qua ^ir sunnnus usus est omnibus cougraentiis facile

udaptari potest. Casum ndhuc niagis limitatuni iain ante« absolverat, Cumin, nue.Ac. Petr. p. 6. sed hueo niethodus guneruliter adliibriï nequit. Infra Sect. 1 11

alio ntlliuc modo theorema doinoustrabînius at quantumvis diversue primo tispectu

onmes hue methodi videri possint, poriti qui cumparan* cas volucrint facile certio-

res n'eut omnes cidem principio superstructas esse. Cfterun» quum hoc theoremu

hic tantiun tatnquam lemma sit consideranduin, ncque complota expositio hue per-

tinent de modulis compositis scorsim agere supersudenius.

SECTIO TERTIA

DE

HESIDL1S POTESTATUM.

Itcmluit terurinorum pntjremonù geomtricue ai tmtiate mcijnentis constituimt &triempm'odieaiu,

45.

Theohkmà. In omniprogressiste gemetrica a, aa, az etc. praeter primnm

1 alius adhuc datur terminm at, seamdum modutum y ad « primnm unitati con-

if mus, cuius exponens £<jj.

Dentonstr. Quoiiiam modulus p ad a, adeoque ad quamvis ipsius a

j)otestatcm est primus, nullus progressionis terminus erit =0(mod.j>), sed qui-

vis alicui ex his immeris 1, 2, 3.p– i congruus. Quorum multitudo quum

sit jt~ J, nianifcstum est, si plures quam p– 1 progressionis termini considt1-

rentur, omncs residua minima diversa habere non posse. Quocirca inter tewninos

I il, ««, «3 ul'~ bini ad minimum congrui invenientur. Sit itaque «m «"

et »!>«, iictquc diviflendo pcr a", a'sl (art. 22) ubi m – n<,p, et >o.

Q.E. D.

Ex: la progressione 2, 4, 8 etc. terminus primus qui secundum modu-

lum 13 unitati est congruus, iuvenitnr 2IS!=:4096. At secundum modulum 28

in eadem progi-essione fit 2!1= 2048 – 1. Similiter muneri 5 potcstas sexta,

15025. unitati congrua secundum modulum 7, quinta vero, 3125, secundum 11.

In aliis igitur casibus potestas expouentis minoris quam p – 1 unitati congrua

ovadit, iu aliis contra usque ad potestatem p – 1 tam ascendere necesse est.

BE8IDUA TERJHNORU5t PKOOHEgSIONIS OEOilETHtoAE. 39

u,

Uuando progressio ultra terminum qui unitati est congruus continuatur, ua-

dem quae ab initio habebantur residua prodeunt iteram. Scilicet si «'si. erit

«'+l=«, «'+*=«« etc. donec ad terminum as<! perveniatur, cuius rosiduum

minimum iterum erit = 1 ntque residuorum petiodmn denuo inehoat. Habetur

itaque periodus t residua cumpreliendcns quae simulac finita est ab initio sem-

lier repetitnr; neque «lia residua quam qttae in hac periodo continentiir in tota

progressione occurrcre possunt. Gcncralitcr crit om<=l, et a"rf+"=«", id

quod per designutionein nostmm ita exlûbctur:

Si r= ç(mod.t), eiit ar~a?{mod.p).

47.

Petitur ex hoc theoremate compendium potestatum quantumvis magnu ex-

ponente affectarum residua expedite inveniendi, simulac potestas unitati congrua

innotescat. Si ex.gr. residuum e divisione potestatis 31000 per 13 oriundum

quacritur, erit propter 3S= 1 (mod. 1 3), t= 3 quare quum sit 1000 = 1 (mod. 3),

erit 31000=3(mod. 13J.̀..

•18.

Quando at est iitfimu potestas unitati congrua (praeter a°= 1 ad quem

casum hic non respicimus), illi t termini, residuorum periodum constituentes om-

nes erunt diversi, uti ex demonstratione art. 45 nullo negotio perspicitnr. Tum

autem propositio art. 46 converti potest; scilicet si a'"=«" (raod.j/j, erit tn^it

[mod. t}. Si cuirn m,n secundum modulum t incougrui essent, residua corom

minima jli, v diversa forent. At a^~a' ovs«", quare «!*==«"" i. e. non

omnes potestates infra at incongruae forent contra hypoth.

Si itaque ak= 1 (mod.ju), erit k= ^mod./) i. e. k per t divisibilis.

Hactenus de modulis quibuscunquc si modo ad a sint primi diximus. lam

modulos qui sunt numeri absolute primi seorsim consideremus atque huic funda-

mento invcstigationem gcneraliorem postea superstruamus.

40 ijB ((KSI»!» POTKSPATU».

(.'omidermitur prima maduti qnixuxt nunu-ri prititi.

49.

TnKOREMA. Si jt est nitmrru.1 jmmus ipsum a non metiens, utque «' infi'ma

ipsitts a patentas secumfom mwlulum p wtitati cwyi'ttu eapottem t aut erit –

p – I aut paru aliquota hmus tutmeri.

Coiifenuitur exenipla sut. 45.

Dvmwstr, Quuiu iam ostensum sit, t esse mit=^p – aut

<.p– 1,

superost. ut in posteriori casu tseinpcr ipsius p~ partem aliquotani esse

t'vincatur.

I. Collignntur residun minima positiva omnium liomm tenninorum 1, «,

««.«' quac pcr «,«',«" etc. clesigucntur. ita ut sit «–«'=«,«"=««

etc. I'orspicuum est, haoc onmia fore diversa, si eiiim duo tennini «' a" eadem

praoborcnt foret supponondo w«> w ;«'= i atquc m – H<t, Q. E. A.

quum nulla inferior ]iotestas quam «' imitati sit congrua [lyp.]. Porro omnes

a, «'.a" etc. in serie numerorum1, 2, 3 .y – i continc-ntur, quam tamen non

cxhauriciit. qtuini t<ji–1. ` C'otriplexuru onuiium a, a'. «"etc. per [A) desig-imbimus. Comprehendel i^itur .1} terminos t

II. -Aft-ipiatur mmierus quicinjqiio d ex Ws 1. 2,a.y– 1, qui in (Jdc-sit. Miiltipliectur îî per omnes «.«'.«"etc., sintque residua minima inde

oriumla li. fi', if etc. quoruui munerus etiain erit At haec; residua tum inter

se quam ab ennnibus «. «', a" etc. enuit divers. Si enim v«vo»- assertio fulsa es-

set, lmberetur ««"stfo" attaque dividendo per G, «'«", contra ea quae mo-

do demonstravi mus; si vero posterior, haberetur »)«'"=«", unde, quando «<w,H=«" i. f. li nlicui ex lus «.«'.«"etc. congruus contra

hyp.; quando vero

/«>«, sequitur multiplicando per «' ««'=«'+«-'«, she propter «'=1.

îj = nl + quae est endem absurditas.Designetur complexus omnium 6, &, g"

etc. quorum multitude =f. per 7ï;, habebuuturque iam 2f numeri ex l.isI. 2.p- Qooclsi igitw 'A, et li] omues hos numéros eomplectuntur.

fit =tudcoqnc theorema tlemonstratuin.

'<;

III. Si vero uliqui adhuc ddiciunt. sit horum aliquis y. Per hune m ul-t

tipliwutur omnes «,«'.«" etc..productortunque residuu minima sint y, /.y" etc.:

omnium complexus per C designetur. C igitur comprehondet t numérosex his

1.2, :j.y>– i qui omnes hun inter se qumn a mimeris h» A et B

'"JÏODWdf QWSUSrNUMEttIPRIMI. 41

I)

contentia erunt divers*. Assertianes priores eodem mododùiucm»Emutur ut in II*

tcrtiaitn. Siessetyrtw=fl«", fieret y~uV~ ant ;=(>«'+'•»

prout w<«,

aut >», in utroque easu y alicui ex llï) cougrua tontni hyp. Mabentur

igitur 3 nunieri ex his1, 2, ».» – Htque si uiilli nmplius dwmnt, flet

t =adeoque theorcma erit deiiionstratmn.

I\ Si vero etiainniun nliqui clesunt, eodem modo ad quartum mnnerorum

complexiim D progredienduni erit etc. l'atet vero quoninm nwmerorura

1 2, :i .p – 1 multitudo est fiiiita, tandem cam exhaustum iri adeoqup multi-

plum ipsius t fore: quart' erit pars nliquotu nuiiicri p– 1. Q. E. I).

hWnmtli i'krarema.

50.

Quum igitur sit iateger, sequitur evehendo utramque partem congru-entiae a'~

1 ad potestateni exponentis y- o^ – l, .vive «' j1 semper

per p ditinibilis est, qttmtlo p eut pr imita Ipsum a non mctkns.

Theorema hoc quod tiun propter clif^nutiam tum propter eximiam utilitateni

omni atteiitioiie digimni, ab imentore tlteomuu Fermittianum appclluri solet. Yid.

Fennatii Opéra Mitthem. Tolosue 1079fut, p, 103. Deniori.stratioiioin inveutor

non adiecit. quam tamen in potestato sua esse professus est. 111. Eulcr primus

demonstrationem publici iuvisleeit, in diss. cui titulus T/ieoremitum r/uonutdaiu

ad numéros primus spectantiuiR deiuoHtitnitio, Connu. Acad. Prtrup. T. \*J 1 1 hi-

nititur ista evolutioni potestatis a- 1 > ubi ex coeffieientiuni forma facillime de-

dueitur a+\j'>ui'–\ semper per p fore divisibilew, adeoque a~{-

«+!) per p divisibilem fore, quundo u' « per p sit divisiliilis. Iaiu quial/(– I .seni])er per p divisibilis est, etiani V– 2 M?mpcr erit; Iiinc etiam

:W– 8 etc.gi'iieraliterqne ni' – a.

(juod-si itnquc p ip.sum a non metitnr, etiain

«'– I ])cr p divisibilis crit. llaec suffideiit ad methodi iudolcm dwlaran-

dam. (.'lar. J.anibert similem deinonstratiouein tradidit in Acfis Emdit. 17 OU

*) In comment, anteriore vir xummus ad scujmin nondum perronerat. Cnmm. l'etr. T. VI y»,tuii. –

In coRtniri-niu fimiosainter Maupcrtuis et Kfiniff. a principiu uctionia minimal-ortu, sed mu ad res huteroge-nens l'grcssn, KOni^ in immiljusse linhc-rc dixit iuitogru]ilium r.i'ibnitiununi, in cjnoiK-monstruti»Ituitis theoro-imitiscum Knlcriaiw prorsus vuiKpiranx conthiuatur. Appel an public, ji. un,. Lient vero iidem huic testimo-

nui(luiH'ifiircnnliniuK,wrtc I.i-ibiiitiu» invenlum suura numqimnijmlilkavit. Conf. Ifi/it. de t. h- <!>/Vm«w, A.t; ~fJ y.au,

42 DE ltEStDÏ'18 POtKS'l'AïliM.

p. 10». Quia vevo evolntio potest«tis bhjoniii a theoria mimerorum satis aliéna

esse vidcbatur, allant demonstrationeni 01. Eulerinvestigavit qune exstot Comment,

nov. Petr, T. VU/ 70, atque eum ea quant- nos art. praec. exposuimus prorsus

(onvcnit. t. lu seqtientibus adlmc aliae quacdam se nobis offerent. ITodoeo an&m

superaddere liceut, quue similibus principiis innititur, uti prima ill. Enleri. Pro-

positio scquens cuius casus tantuin particularis est theorcma nostrum ctiam ad

alias investigationes infra adhibebitur.

51.

Po/j/nomiî a-b-{-c-{-i!te. )Jotesttt.'1 p semmlum modulum p est

== a'' -f- 4*» -f ^4- etc.

siquidem p est numerus jmmus.

Demomtr. Constat potestatem />{m polynomii «+&-f-c+cte. esse com-

positant c partibtis formae v, a* if' tf etc. ubi a-fU + yetc. =p, et v. désignât,

quot modis p res, quarum a.yctc respective sunt =a,b,cctc. permutari

possint. At supra art. 1 1 ostendimus, hune numeruni scnipcr esseper p divisi-

bilem, nisi omnes res sint aequales, i. e. nisi aliquis nnmerorum a. tf.yete;. sit

=y> reliqiii vero =0. I.'ndc sequitur omnes ipsius «-j-A-f-c-f-ctc. partes,

praeter lms af.bi' ,d>etc., per p divisibiles esse quae igitur quaiulo de cougra-

entia secundummodulnm p ngitur, tuto omitti

potcrunt, iictqiie

ta + 1 + e -{- etc./ = ai' V + é' + etc. Q. E. D.

Qnodsi iam omnes quantitates a, b,cetc. = 1 ponuntnr, nnmerusque ea-

rum =k, fiet W'^Jc uti in art. proec

<liintntimerisresjmMkaiitjjcrinrli, in tjuibus tmniiiariim uiullituéi est dichor iatws immrri y»– i

52.

Quoniam igitur alii numeri quani qui sunt divisores ip.sius p~ I ncqueunt

esse expoiientes potestatum infimaruin ad quas evecti numeri aliqui unitati con-

grui fiujit, qunestio sese offert, num omnes ipsius p– 1 divisores ad hoc siut

idonei, atque, quando omnes numeri per p non divisibiles secundum exponen-

tem infimae suae potestatis unitati congiuac classificentur, quot ad singulos expo-

iientes sint perventuri. Ubi statim observare convenit, sufficcre, si onnies numeri

HOBWW QKI8PNT NBMBHÎ PJttlttl. 43 ']

(i':

posltivi ab 1 usqtte ad p– 1 considêxcntur; toâYiifestnm eniro est, numéros

congruos ad eandem potestatom elevari tlcbere, quo unitati fiant tongruae, adeo-

que uuraerum queincuuque ad eundetn cxponcntem esse référendum ad quem re-

siduum suum miuinmm positivum. Quocirca tu id nobis crit ineumbendum, ut

qnomodo hoc respectu numeri J, 2, 'A.p – inter singulos factores numeii

jp– 1 distribuendi sint eruamus. Brevitatis gratia, si d est uiras o divisoribus

numeri y>– (ad quo» etiam 1 et p – 1 referendij, per tf/rf desigimbimus

multitudinem uunicrorum positivorura ipso p minoriun quorum potostas du est

infima unitati loiigrun.

53.

Quo facilius hneo disquisitio intelligi possit, exemplum apponimus. Pro

p = 1 y distribuentur numeri 1 2, 3 i S inter divisores numeri 18 hoc modo

1 J.

2 1%.

3 7, 1 J.

d S, 12.

4. 5. 6, 9. 1G, 17.

18 2, 3, 10, 13. 14, 15.

In hocigitur ]casu fit

if/l = l, ^»2– 1,^3 = 2, v|j«=2, ^« = «>.(|j1s=b. l'Ui

t'xigua attentio docet, totideia ad quemvis expouentem ]>crtinert', quot dentur nu-

meri hoc non maiores ad ipsumque primi, sivo esse iu hoc certe casu, retento sip-

no art. 39, ^</=</>rf. Hanc autem observationem geiieraliter veram esse ita de-

înonstmiims.

1. Si mimer us aliquis liabetur, «, ad exponeutem cl périmons (Le. cuius

potestas (/tn unitati congrua, onines inferiorcs incongruac) omnes huius potesta-

tes au, «â, «* – «' sive ipsarum residua minima proprietatem priorem ctiam

possidebunt fut potestas ipsarum â* unitati sit congrua et quuin lioc ita etiam

expriini possit, residua minima numerorum «,a«,a3.«</ (quae oiuuia sunt di-

versa, esse mdices congruentiae ôp''= 1 haec autem plures quam d radiées di-

versas habere nequeat manifestum est, praeter numerorum a, au, «3.«rf resi-

dun iniitima alios numéros inter I et p~\ incl. non dari quorum potestates ex-

M .- de REMDUta vamtexem. ;

{«mentis d congrnne sint unitati. Hinc potet omnes numéros ad exponentem

d pertinentes inter residiia minima numerorum a,m.a9 «rf repérai. Qttales

vero sint, qunntnquo corum multitude, ita definitur. Si k est numenis ad d

primus, omnes potcstates ipsius «*, quarum exponcntes <C,d, unitati non erunt

cougrui osto eitim(mod. rf; = /H ( vid. art. •') 1 ) eritque «*=«; qaare si

potestas eu ipsius «* unitati esset congrua utquc e<^d, furet ctiam «*= 1

et hinc u" t contrahyp.

Hinc inanifestmn esti residuum minimum ipsius ak

ad exponenteni d pertinerc. Si vero '• À1 divisorem aliquein, è, cum d com-

muneiu hnbct, ipsius ak rcsiduunt minimum ad cxponentcm d non pertinet;

quoniant tum potcstas iam unitati fi congrua pei' divisi-quoniam tum])otestas j

ta ianiunitati

fit congrun ^erit enimy per d divisi-

bilis. sive =EU(mod.</) adeoque nï=l), Hinc colligitur, totidem numéros

ad exponontcm d pertinere quot numerorum 1,2,3 d ad d sint prhni.

At meinorcin esse oportet, hanc conclu.sioncm innixam esse suppositioni, unum

nuniernm a iam haberi ad exponenteni d pertinentem. Qiiamobrem dubium

remanet fierinc possit ut ad aliquem exponenteni nullus oinniuo numerus perti-

nent: conclusioque eo limitatur ut if/rf sit vel =0 vel –Qd.

51.

11. Iam sint omnes divisores numeri p – 1 lii: d,d,d" etc. eritquo, quia

omnes numeri t, 2, p – 1 inter hos sunt distributi

\\>d-jd'K\jd"ete. ^p–l 1

At in art. lu demonstrnvimus esse

(/></+ <t>if-<t>d' + etc. –^–1 i

atquc ex art. proec. sequitur y\)d ipsi <f>d mit aequalem aut ipso minoreni es.se.

niaiorein esse non possc, similiterque deij><? et <l>d', etc. Si itaque aliquis ter-

minus ex liisifjd,Kfjd,tyd"ete. termine) respondente ex lus <pd, 4>d'. <pd' esset

minur (sive etiam plures) illorum summa summae horuni acqualis esse non posset.

Undc tandem concludimus i\)d ipsi <f>d semper esse aequalem, adeoque a niagni-

tudine ipsius p– | non penderc.

55.

Maxiinain autem attcntionem meretur casus particularis ])ropositionis jirae-

MOPPW QBÏ SDST NlfJJBM PllIMl. 45

11mtentis ttcUicet

semper dari numéro* quorum milla potestus inferior quant p–t*"unitati congrna, et qnicïem totidem inter 1 et p– f qnot infra p – siut nu-

meri adp~ primi. Cuius thconnuatis demonstratio quum minime tam obvia

sit quam primo aspectu videri possit, propter theorcnmtis dignitntem lit-eat aliam

adliuc àdiieere a pnucedente aliquantum divcmin. quondoqnidcm inethodarom

diveratas ad res obsouriores illustnindas plurinnim t-onferre solet. Kcsolvatur

}>– 1 in &ctonw muuh prtmm «atque p – 1 ^«"A6^ etc. ctesigimntibus a, b, c

etc. numerusprimas hiaequales. 'l'um theoremutis domonstratiouein per sequen-

tin tibsolvemus:

1. Semper inveniri posse uumerum A (aut plures) ad exponentem a1

pertinentem, similiterque numéros Ji, C etc. ad exponentes lfJ,c' etc. respec-tive pertinentes.

II. Productum ex omnibus numeris A, B, C'eto. (sive huius producti re-

siduumminimum) ad exponentem jj– I jœrtinere. Haec autem ita demon-

stramus.

P-1I. Sit (j numerus aliquis ex his 1, 2, 3. y;– 1, congmeutiae x^lT

= 1 (mod.^) non satisfaciens omues enim hi îiumcri congruentiae huit', cuius

gradus <i, satisfacere nequeunt. Tum dico si potestast"

ipsius

g ponatur =A$ hune numerum. sive eius residuuin minimumad exponentem

a* pertinerc.

Xaniquepatet potestotem «*tam

ipsius h eongruam fore potestati

p– 1 tae ipsius y i.e. unitati, potestas vero «*ta ipsius h congrua erit po-testati

7-tac

ipsius y, i. c. unitati erit incongrua, multoque minus potestates

«*"a, «a-"stIl0etc. ipsius h unitati congruae esse possunt. At expouens infi-

mae potestatis ipsius h unitati congruae sive exponeus ad quam pertinetnumeruin «" metiri débet (art. 4S). (iuare quuni «* per alios numéros cbvi-

sibilis non sit quam per se ipsum atque per inferiores ipsius a potestates, ne-

cessario a* erit exponens ad quem h pertitict. Q. E. 1). Fer similem me-

tliodum demonstratur, dari numéros ad oxponentes //J, c1 etc. pertinentes.

Il. Si supponimus, productum ex omnibus A, B, 6' etc. non ad expo-nentem p–l, sed ad minorent t pertinerc, t ipsum p~\ J nietietur fart,

48), sive erit?- integer unitate maior. Facile autem perspicitur, hune quo-

tientem vel esse unum e numeris primis a, b, c etc. vcl saltem ix>r aliquent co-

nnu divisibilem (art. 17). ex.gr. per a, de rcliquis enim simile est ratiociuiuin.

40 DE RESIDti» FOTESTATC»,

Mefcietur itaque t ipsum £~\ quart* produetum ABC etc. ëtiara ad potesta-

tcn,tri

>*»elcvatum um'tati erit congrunm 'art. 40). Swl porspieimm est sin-

gulo» B, C, etc. (exeinto ipso A)J ad potcstatcm '–tam

élevâtes unitati con-

gruos ficri quum exponentes \ï\ $ etc. ad quos singuli pertinent ipsum t=-

metiantur. Hincerit

/?~J. v–± £-±t tzl

A B C etc. =A si.

l'nde sequitur exponentem ad quem A pertinet ipsum y-^metiri deberi'

,-r1. t-t 1 b~rïetc.

t

(11

art. is;, e.^-J

esse integrum; at^£

=^?– integer esse noquitfart 15;.

TTn(lt' tandem concludero oportet, suppositionotu nostrom consistere non passe,

j. e. productum ABC etc. revera ad exponentem p–1 pertincre. Q. E. D.

Demonstratio posterior ])riori aliquantuluni prolixior esse videtur, prior

contra posterioriminus directa.

~6.

Hoc tlieorema insigne exemplum suppeditat, quanta circuinspcctionein

theoria nmnerorum sue])enuraero opus sit, ne, quae non sunt, pro certis assuma-

mus. (?eleb. Lambert in diss. iam supra laudata Acta Erudit. 17G9 p. J27 laiius-

propositiouls mentiotiem facit sed demonstrationis ne necessitatem quidcm attigit.

Nenio vero dcmonstmtionem tentavit practer summum Eulerum, Comment, nov.

Ac. Petmp. ï'. XVIII ad annum 1773, Demomtnitiimes circa rexidua e,v tlimione

jjotfntatum jter numéros primas resultantia p. S seqq. vid. imprimis art. 37 ubi de

demonstrationis necessitate fusius locutus est. At demonstratio quam Vir saga-

cissimus exliibuit duos defectus habet. Alterum quod art. 31 et sqq. tacite sup-

ponit. cougruentiatn x" =l (translatis ratiociniis illic ndliibitis in nostm signa

revera « radiées diversas haberc, quamquam an te nihil aliad fuerit demonstra-

tiun quam quod plans luiberc îiequeat; alterum, quod fonnnlam art. 31 pur induc-

tioucm tautummodo deduxit.

lïtulicï.s jtrimitirac, bases, indieex.

r>7.

Xuiiieros ad exponentem p – J pertinentes radiées jtrimitivas cum ill. Eu-

Jero voeabimus. Si igitur u est radix priinitiva, potestatum u, aa, a3 .a>x

ItADICES ràlMrnVAB, INDICES. %1

residua minima omnia erunt divers»; undc facile dedncitur, inter haec onmes utt-

meros 1,2,3, .p– l, qui totidem sunt multitudirie quot illa residua mininin,

reperiri dcbcrc, i. e. quemvis munerum per p non divisibiiem potestati alicui i|>-

sius « congrnum esse. Insignis huée proprietas permagnae est milita tis, ope-

rationesque arithmetieas, nd congrucntius pertinentes, haud parum sublevure pot-

est, simili fere modo, ut logarithmonini iutroductio opcrationcs arithinvticac vul-

gnris. Raâiccm aliquam primitivam a, ad Iubitum pro lusi adoptabimus, ad

quam omnes numeros \m p non divisibiles referemus, et sifuerit «'=ft;mod.

e ipsius h indicem vocnbimus. Ex.gr. si pro modula 19, radix primitiva 2 pro

basi assumatur respondebnnt

numcris 1.2. 3.4. 5. 6. 7. S. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 1 G. 17.1 S.

indices 0.1. 13. 2.16. 14.15.3. b. 17.12.15. 5. 7. 11. 4.10. 9.

Ceterum patet, mnnente basi, cuique numéro plures indices convenue sed hos

onmes secundum modulum p – 1 fofc eongruos; quamobrem quoties de indici-

bus sermo erit, qui sccimdum modulum ^–1 sunt congrui pro acquivalentibus

habebuntur, simili modo uti nutneri ipsi, quando secundum modulum p sunt

t'ongrui, tamquam aequivalentes spectantur.

Algurithuntx indkum.

5S.

Tlieoremata ad indices pertinentia prorsus analoga sunt iis quae ad loga-

rithmos spectant.

Index prodttcti e quotcunque factoribus conflati congmtis est sitmmac indicmn

xingulorum factorum secundum modulum p – 1.

Index potestatis numeri alicuiiis congrum est producto ex indice numeri duti in

exponeutem potestutis, secundum mod. p – 1.

Demonstrationcs propter fncilitatem omittinius.

Hinc perspicitur si tabulam construere velinuts ex qua omnium numcronim

indices pro modulis diversis desumi possint, ex hnc tum oinnos numéros modulo

mniores, tum omnos compositos omitti posse. Spécimen huius modi tabulât- ad

calccm operis huius ndiectum est, Tah. 1, ubi in prima columna verticali positi

sunt numeri primi prîmorumque potestates a a usque ad 07, qui tamquam modnli

sunt spectandi, iuxta hos singulos numeri pro basi assumti; tum sequnntur indi-

ces numerorum primorum successivorum quorum quini semper jjer parvulum in-

48 ÔB HESinilS FOTKSTATl'Sf.

tcrvaliam siiat dishmeti, eodemque ardine supra dispositi suut ruimeri primi; ita

Lit quis index numéro primo dato secmidum modulum datum respondcat facile

tutoque inveniri possit.

Ita iw.gr. ni p=6~ index numeri UO, asstunto 12 pro basi erit

= 2 lnd.2+lnd.:i-|-lnd.:> mod.M =5S-f-ï)-|-39 = 4lt

f>9.

Index eahiris atiusamque expressionis mod.p. art. cougrmts eut aucun'

tlum modulum j> – 1 dffiereiitiue iiulkum mimerutoris « et dtnominatom b, .sùjui-

dm utimeti a, l> jier p non mut dirixibiles.

Sit onirn \tilor quicunque c eritque bc^ci mod.yj hinc }

lnd./>4- Iud.t1 liul.rt mod./)– 1t

ndeoquo Ind.c = Intl. « – Ind.b

Si itaque tabula habetur, ex quu index cuique numéro respondens pro quo-

vis niodulo primo, nliaquo ex qua numerus ad indiccm datum pertinens derivari

possit. oiunoscongrueutiat1 primi gradus tacillimo negotio solvi poterunt, quoniam

oiancs rccluci possunt ad talcs, quarum niodulus est numerus primus art. :<01

JE. proposita cougrueutia

2i).r+7^o mod.47) erit.t'=: ^niod.47-

`

Ilinc Iiid.A1^ Ind.– 7 – Ind. >i) = Ind.-Kl – fnd.2!t^ 15 – -13 = IS mod.-tCr

At uumerus cuius index IS invenitur 'A. Quare .r^3 mod. 47'. – Tabulant

socmulatu quidom non adiet-iuuis nt lmius vico nlia defungi potcrit uti Sect. VIt

osteudemus.

De raUieibiin coni/riiuiilinc x" = A.

OU.

Simili modo ut art. ai radit-cs congrucutiamin primi fîradus designuvhnus.

in suqnentibus etiam congruentianun purannn altionun gradutiia radiées pcr sig-

mini oxhibebiimis. l'ti scilicct y-l niliilaliud signifient quant mdieem aequationis

.v"^=A, ita appnsito ntodulo per tyA îuod.jt, denotabitur rndix quaecunqni1

congruentiae /=.4 mod. liane expressionem tyAinaA.p, tôt valores lia-

bon- dicemus. quot habet sceunduin /> incongnios, omîtes enint qui st'eundum p

KAO1C158 PKmn'IVAB, INDICES. 49

I

sunt eongrùi tamquàm aeqiûvalentes speetandi (art. -28). Ceterum patet, si A, B

secundum p iuerint congrui, exprassiones fA, $B\mod.p) aequivalciites fore.

lam si ponitur x>A==x:mod.p), erit*lML*==lnd.A!moA.p~ Ex

hnc congrucntin deducuntur ad prnecepta scctionis praoc. valores ipsius hvl.x at-

que ex his valoros respondentes ipsius x. Facile vero pcrspicitur x habere to-

tidem valores. quot radiées earigrttcntîa n Ind. x– Ind. A [mod.p 1 Manifesto

igitur $A unum tantummodo valorem habebit qiuindo n ad p– 1 est primas;

quando vero numeri n, p–\ divisorcm communem liabent è, atque hic est ma-

ximus. Ind. x lmbebit è valores incongruos secundum p– 1 adeoque yfA

totidem valores incongruos secundum p, siquidem Ind. A per S est divisibilis.

Qua conditiono deficiente $'A nullunr valorem realem habebit.

ExmpUm. Quneruntur valores expressionis V^1 (mod. 1 9). Solvi itaquedebet congruentia 15lnd.a?=Ind.i i = 0 ,'mod. 1S\ invenienturque tres valores

ipsius Ind.*1 =4, 10,10 (mod. 1 8). His vero respondent valores ipsius », 6, 9, 4.

61.

Quantumvis expedita sit methodus haec qxiando tabulae necessariae aclsunt.

debemus tamen non oblivisci, indirectam eam esse. Operac igitur pretiunr erit

inquirerc quantum methodi direetae polleant: trademusque hic ea quae ex praetc-

dcntibus hauriri possunt alia quae considerationcs reconditiores postulant, ad

sectionem VIII reservantes. Initium facimus a casu simplicissimo, ubi A=l.

sive ubi radices congraentiao x"~ 1 'mod.^) quacruntur. Hic itaque. assumta

radiée quacunquc prinûtiva pro basi, débet esse nhid.x~Ù (mod.p– 1). Quae

congruentia, qnando n ad p – 1 est primus, unam tantummodo radicern lmbe-

hit, scilicetînd..r=0fmod.;>– 1): qnare in ftocce casu $\!m.oA.p) unicum va-

lorem habet scilicet = J Quando autem numeri n, p– 1 liabent divisorem

connnunem (maximum'' <5, congruentiae »Ind.«=Ofinod./> – 1) solutio com-

pléta erit lnd..r o(mod.i' (V. art. 29 le. Ind.* secundum modulum

p – I alicui ex liis numeris

o 7'-TLi ?i~t)a .3 (-°-t)l1~)U(ô • y–. 6-– j

congruns esse debebit, sive è valores secundum modulum 1) 1 incongruos

liabebit: quare etiam .»• in lioccc casu 6 valores .di versos .secundum modulum

50 BB BEiMDVIS POTKSPATt'M.

(j incongrues; habebit. Hinc perspicitur. expressiooem yl etiara à valores

diversos hnbere, quorum indices cum antenllatis promis conveninnt. Quoeirea

expressio vTmod./r`

huic #1 mod./T umninu aequivalct, i. e. congrucutio

>i'*= I (niod.) easdem radiées habot quas haec, /= 1 ;mod./i). Prior autem

inferioris erit gradua siquidom è et n suut inaequales.

Ex. v'1 -mod. 19) très habet valores, quia mnxima numerorum 15, l&t~

mertsnrn commimis hique simul erunt valores expressioni» ^lfmod. IU). Suut

autum hi 1. 7, 1 1.

B2.

l'er hanc igitur reductioncm id lucramur ut alias congruentias formae

•r" =1 solvore non sit opus, quani ubi « inuneri p –est divisor. Infrn voro osten-

demus, congruentias huius fontiae semper ulterius adhuc deprimi posse, licet prae-

cedentia ad hoc non sufficinnt. l'niim tamen casum iam hic absolvere possumus

scilicet ubi «=2. Manifesta enim valores expressionis ty\ erunt -f-t et – 1

quia pluri's quam duos habero nequit, Iiiquo + 1 et 1 semper sunt incongrui

nisi modulus sit =2, in quo casu tyl iinum tantum valorem habere posse, per

se clarum. Hinc sequitur, -î t et – I etiam fore valores e.vpressionis ^1

quando m ad sit primus. Hoc semper eveniet, quoties modulus est eius

iudolis ut 't- fiat numéros absolute primus [nisi forte p– \=%m in quo

casu oinnos nnmeri 1.2,3.» – 1 sunt radiées) ex.gr. quando y> = 3,5,7,ll,

23,47. î>i), SI), 107etc. Tamqunm corollarium hic nnnotetur. indiccm ipsius I

semper esse = ;mod.j» – 1 ) quaccunque radix primitiva pro basi accipia-

tur. Xamque 2lnd.( – l) = 0mod.^ – l;. Quart: Ind. (– i) erit vel =0,

vel mod. jf> – 1): vero semper index ipsius +1, atque -f-11 et

1 semper indices diversos haberc debent praeter easiun jj = 2 ad quem hic

respicere operoe mm est pretium).

63.

Ostendimus art. (50 expressionem tyA mod./jhabere è valores diversos.

aut oiiniino nullum, si fuerit è divisor communis maxintus numerorum n, p–lam uti modo docuimus tyA et $/A aequivalcntes esse, si fuerit ^1^ I ge-

neralius probabimus, expressionem \fA semper ad aliani yB reduci posse cui

aequivaleat. lllius enim valore quoeunque denotato per crit ^=^1; iam

BABIGES PKI»ITIVAIÎ, OtùmS* 5j

7

sitt valoir quicmique .exptesstonis ™ ;raod.y)-,J}, quam valores reaies habere

ex art. 31 perspicuum; eritque ^–A* at .r"1–^propter /«==£ mod./> – 1).

Quare tf'ssyl' adeoque quicunque ipsius {M valor erit etiam valor ipsius

y/ A1. Quoties igitur tyA valores renies habet, expressioni fyA* promis aequi-

valcns erit, quoninm illa noquc alios habetquain haee nequu pnuciores, licet quan-

do $A nulluiu valorem realem habet, fieri tatficn possit ut y{A' valores renies

liabeat.

Rc, Si valores expressionis \r-2 motl.31) quueruntur, erit numi-rorum

21 et 30 divisor comiiiuiiis inaximus 3, expressiouisque – mod. 30) valor uli-

quis 3, quare si yi vnlores reales habet, huic cxprcssioni ^23 sive v"> ae-

quivnlebit, invcnieturquc rêvera, posterions expressionis valores qui sunt 2. 1 o, 19

etiam priori satisfncerc.

01.

Xe autem hauc operatioiiem incassum suscepisse pericliteinur, regulam in-

vestigare oportet, per quam statim diiudicari possit utrum \?A valores reales

admittat nccne. Quodsi tabula iudicum habetur, l'es in promtu est; nanique ex

art. 60 manifestuin est, valores reales dari, si ipsius A index, radiée quacunque

priniitiva pro basi accepta. per c sit divisibilis, siu vero minus, non dari. Atta-

men hoc etiam absque tali tabula inveniri potest. Posito enim indice ipsius .1

– k, si hic fuerit per è divisibilis, erit--(/} per />– 1 divisibilis et vice

P^zlversa. Atqui numeri A 5 index erit

*i£piJ. Quare si \fA mod./j) ha-]1-1

Ijet vulorcs reaies, A fl unitati congruus erit, sin minus, incongruus. Ita in

exemplo art. praec. habetur 2'"= lu 24=1 (mod. 31), unde eoncluditur =^2

!inod. 31 valorcs reaies habere. Similiter eertiores liinc finms, – t'mod./>)

semper valores binos reales habere, quando p sit forinae lm-j- 1, nulluin vero,

quando p sit fonnae -i »< _f_ 3 propter[–

I}2'"=1 1 et [ – 1;+l

= – 1.

Klej^aus hoc theorcnia. quod vulgo ita profertnr: Si p est monerus promis for-

mait 4»h+I, inveniri potest quadratum a a, ita ut aa- per p fiât divisibi-

lis; si veru p estfurmae 4 m – I. tale quadrutum non datur, hoc modo tlcmon-

stratum est ab ill. Eulcro, Comm. twv. Ami. Petrop. T. XV1I1/». 1 12 ad annum

I77:i. Demonstmtionom aliam iani multo ante dederat, Comm. vov. T. V p. 5

qui prodiit a. 17 lin. In dissert, priori, Comm. non. T. IV p. 2ï>, rem nondum

ht m RE8HJU» POÏEHTATOM.

perfecemt. Poste* etiam iH. La Grange theotpmtttis demottstrftticmom tmdîdit,

Nouveaux Mfm. (le ?Ac. de Berlin A. 1775 p, 342. Aliam tulhuc demonstratio-

uem insectione sequenti ubi proprie de hoc argumento itgendum erit. dabimus.

«5.

Postquam omnes expressiones tyA'moA.p) ad tales reducere docuimus, ubi

n divisor immeri y – i, eriteriumqtie naeti sumits utrum valores reaies admittat.

necne, talcs exprcssioncs tyAmod.p)ubi n ipsius p – 1 est divisor aeeura-

tius considcrabimus. Primo ostendemus, quam relationem valores singuli expres-

sionis inter se hnbennt, tum artificia quaedam tradcmus, quorum auxilio unus va-

lor f?xpressionis saepenumero inveniri possit.

Primo, quando A~ atquc r aliquis ex « valoribus expressionis tyi

• mod.p., sivc t" = limod.p' omnes etiam ipsius /• potestates enint valores

istius exprossionis; horum autem totidem erunt diversi quot unitates habet expo-

nens ad quem r pertinet art. 4 S). Qnodsi igitur r est valor ad exponentem

» pertinens, potestates ipsius r hae r, ^r" ubi loco ultimae imitas sub-

stitui potest: omnes expressionis v^l(mod.yii valores in volvcnt. Quolia autem

subsidia exstent ad tales valores inveniendos qui ad exponentem n pertmennt.

in Seet. \llï fusius explicabimus.

Secundo. Quando A unitati est incongi'uus unusque valor expressionis

tyA'-mod.p) notus, qui sit z, reliqui hoc modo inde deduciintur. Sint valores

expressionis ty\ hi

\,r, /••

,uti modo ostendimus), eruntque omnes expr. $A valores lui

z, zr, zr* zr"~i

namque omnes hos congnientiae .v"^A satisfacere inde manifcstum quod, pu-

sito quocunquc eorutn ^zr*, potestas ipsius »tu, propter r"~l et g"

=A, ipsi ^1 fit congrua: omnes diversos esse ex art. -l'Afacile intelligitnr; plu-

res autem valores quam hos quorum numerus est n, expressio \fA hnbere ne-

quit. Ita ftï. ffr. si alter expressionis \/A valor est z, alter erit -z. Deni-

RADÏOES PRIBUTIVAB. INDICES. - ^S

que lune eonehUtenctum omnes valores expr. tyA inveniri non posse mai sinml

omnes valores expr. ^1 constent.

00.

Secundum quod nobis proposueramus fuit doeere, inquo casu unus exllres-

sionis tyAimod.p) valor (ubi » supponitur esse ilivisor ipsius //– J) directe

inveniri possit. Hoc evenit qitando aliquis valor potestati alicui ipsius A con-

gruus evndit. qui casus quum haud raro occurrat, aliquantum huic rei intmorttri

non superfiuum erit. Sit talis valor, si (juits datur z, sive z^Ak et A~z"

;mod./>). Hine colligitur A~Ak"; quare si immerus k liabetur, ita ut sit

A~Ak", Ak erit valor quaesitus. At huic conditioiii aequivalet ista, ut sit

l~#»(mod.r, désignante t exponentem ad quem pertinet A art. 46, 48). Utvero haec congruentia possibilis sit, requiritur, ut sit n ad t primus. Hoc in

easueritA'S-(mod.f);

si vero t et « divisorem communem habent. nullus

valor z potestati ipsius A congruus esse potest.

07.

Quum auteui ad hanc solutionein ipsuni t novissc oporteat videamus quo-

modo procedere possimus, si hune numerum ignoremus. l'rimo facile intelligitur,

t ipsum inetiri debere, siquident $A mod.p: valores reaies habeat, uti

hicsemper supponimus. Sit enirn quicunque valor y, eritque tuin

y~'==l.

tum y"^A niod./>); quare clevando partes posterions congruentiae ad potesta-

tem^-tam.

fiet AL'i~~i; adeoque'–

per t divisibilis art. -J8

lam si–y~

ad n cstpnnms, congrufentia art. praec. 'kn=\ etiam seeun-

duni moduluiay-™

solvi poterit, rnanifestoque valor ipsius /• oongruentiae

secuudum uiodulum hune satisfaciens eidem etiam secnndum modulum t, qui

ipsum metitur, satisfaciet (art. 5. Tum igitur quod quaerebatur inven-

tum. Si vero'–

ad n non est primus. omnes ipsius fac:tore.s primi

qui simul ipsum n metiuntur ex'J-{

eiiciantnr. Hinc nanciscemur numerum

;– adn primum, désignante ij productuni ex omnibus illis factoribus jjri-

mii>, quos eieeimus. Quodsi iam conditio ad quam in ttrtic. praec. pervenimus ut

ad h sit primas locum habet, t etiam ad crit primus adeoque etiam ip-

sum'T

`llietietur- Q»»r« si congruentia kn~l (mod.) solvitnr (quod

h'eri potest quia n ad'J~ primus),

valor ipsius k etiam secundum luoduliiiu

64 BE!tE8!DNS Po,

t congfùentiae satisfaeiet, id quod quaerebatm1. Tofcum hoc artiftihiiti in eo ver-

$atnr, ut numéros eruatur qui ipsius t, quem igiioramus, vice fungi possit. At<-

tamen probe meminisse uportet, nos qunmlo £~

1ad n non est primus suppo-

suis.se conditionem art. praec. locum hubere, qutio si déficit onmes conclusion es er-

roneoe eruut: atque si rcgulus datas tcmeresoqueiiclo pro z vnlot invenitur, cuius

potestas «tu

ipsiA non sit cougnui.

indiciu hoc est, conditionem defit-ere adeo-

que methoclnm h«nc omuino ndhiberi non posse.

CS.

•Sed in hocce etiam casu saept' prodesse potest hune lnborem suscepisse

`

opuracque pretitim est, quomodo hic valor falsus nd veros sese habeat investigare.

t

Stipponamus itaque numéros k, rite esse déterminâtes sed z" non esse =A

(mod. Tum si modo valores expressionis {?"“ 'mod. clctermiimri possint,

lios siiigulos per z nuiltiplicando valores ipsius \'A obtiuebimus. Si euiui r

est valor aliquis ipsius v' erit [yg"=A. Sed expressio f eatenus hac

V^-i siniplicior, quod ^,(mod.^)ad exponentem niinorem plerumquc pertinet

qunra ti. Seilicet si numerorum t, q divisor communia maxhnus est d, _“1

(niotl.y/ ad oxponentem d pertinebit, id quod ita demonstratur. Substituto pro1

valore, fit£ = -& [mod.jj:.

At kn– 1 per1't- 1

divisibilis art. praec/.walore, fit ·t =-y"=~1mm At Il'1/- 1 pel'

l(IYISI liS ;llrt. ln'nec.

p-1vero per t ibid.) sive pcr Atqui ad |-

est primus [hgji.

quare etiam?'~

J

per |j sive

1per adeoque etiam ht – l!

per j,

f1

et 'fai–l.d per erit divisibilis. llinc Aih>~l)il= I mod.yj). Unde facile

deducitur. -.“ad potestatem dtm> evet-tuni unitati congrunm fieri. Quod vero

r

'“ad exponentem minorem quam </ ]>crtincrc non possit facile quidem demou-

strnri potest. sed quoniam ad finem nostrum non requiritur, huic rci non immora-

nnu'. Certi igitur essepossumus, !moà.]i, semper ad minorem exponentem

pcrtiuciv quam A, unico excepto casu. seilicet quando t ipsuiu q metitur.

ndt'oquv d – t

Sed quid iuvat, quod ad minorem exponentem pertinet quam ^1? Plu-

res uumeri dantur qui possunt esse A quam qui possunt esse et quando sc-

cundiuu eundeni modulum plures huiusmodi expressiones tyA evolvere occasio

est, id lucrunmr ut plures ex eodein fonte haurirc possimus. Ita ex. gr. semper

t

uuicum snltein valorem expressiouis y A inod. 29) determînare in [wtestate erit,r.

1

i1

RAPICE» WHMITIVAK, KVWeK% 55

t'ttttt _t_ t.e 1" ·

si modo expressionis V– ï (mod. 29; valons (qui »uni + 12) innotuerint. Fa-

cile enim ex nrt. praec. perspicitur, huîusmodi expressionum unum valorem sem-

per directe détermina» posse, qunndo t impur, et d fieri = 2 quando t pur;

praeter– 1 aatem uullus mimeras ad expoucutem 2 pertinct.

Exempta. Quaeritur #31 'mod.37;. llic – 1 ^=30, n – 'A.J'–=\2.

adcoque q = Z; débet igitur esse M= 1 (mod. 1) quod obtinetnr ponciitlo *– -3.

Hine «=3lil,mod. 37 ~«, invenitttrqnc rêvera B3=at mod. 37.. Si valo-

res expressionis ^1 (mod. 37] sunt noti, otinm rcliqui expr. ^(> valores deter-

minari possunt. Sunt vero illi 1, 10,2 U, pcr quos multiplicando ipsum n. prode-

unt rcliqui ^^23 et b.

Si autem qnaeritur valor expr. ^3 (mod. 37,, erit « – 2. •= 1S: ad-

coque y=2. Hinedebetes.se 2*= 1 :mod. 9 unde fit /t=5 mod. lJr Qua-

re 3 = 33=21(mocl.37;; at 21* non ~3, sed =34; est autem -mod. 37.– I, atque – 1: mod. 37, := + G: nude obtinentur valores veri

+ «.21 =±ir>.

Haec fore sunt, quae hic de tnlium expressionum evolutione tradere licuit.

Palnm est inctliodos directas satis prolixe» saepe evasuras at lioc ineommodum

tantiun non omnibus mctliodis directis in nnmerorum tlieorin incumbit: neque

ideo nej»ligejidum censuimus quantum hic praestare valcant ostendere. Etiam

hic observnre conrenit, artificia particulnria quae exereitato haud raro se offerunt

sigillatim explicare, non esse instituti nostri.

Kexttu indicumin systematibus rfiwsis,

G9.

Kevertiraur aune ad indices qnas dixiinus primitivas. Ostendimus. radier

prhuitiva quacunquc pro basi assumta omnes numéros, quorum indices ad jj – I

primi, etiam fore radiées primitivas, nullosque practer lios: unde simul mdicum

primitivarum multitudo sponte innotescit. V. art. 53. Quamnam autem radicem

primitivam pro basi adoptare velimus, in génère arbitrio nostro relinquitur: unde

intclligitur, etiam hic, ut in caleulo logarithmico, plura quasi systemat» dari posse

*)In eo autem differunt, quod in logarithmis systemutuni numenis est infinitus hic vtro tnntus, tjuuntus-numerus radicum primitirurum..Mnnii'esto enim bases congruae idem systenm générant.

56 DE HESIDUI9 P0TE8TATUM.

tjutte que vincule connexa sirtt ridenrans. Sint «, b tluac radiées primitivae.

uliusque mimerus m, atque. quando a pro basi assunùtur, index nnmeri b

= 1). uumeri m vero index ==ju niod./j – 1;; quando nutcm 6 pro basi as-

snntitur. index numeri a es a, nnmeri »» vero = v(mod./> – 1 Tum erit

atf==l(inod./j – 1}; naniquc «e=A, quare «af'~i"=rt mod./>i. <%> hine

atf = l[mod./j– -1». IVr similo ratiocinium invenitur v=aju, atquc fi–tiv

i'mod.j» – T.̀.. Si igitur tabula iiidicum pro basj « constnuta Imbetur, facile in

nlinm converti potest, ubi b basis. Si eniin pro basi a ipsius index est =ë,

pro basi b ipsius a index erit=g mod.^– 1), multiplimndoque per hune

nmueruni omnos tabellae indices, lwbebuntur omnes indices pro basi b.

7».

Quainvis autem plures indices numéro dato contingerc possint aliis aliis-

que radicibviK prhnitivis pro basi acccptis, omnes tamen in eo convcnient, quod

omnes eundcin divisorem maximum cum p – 1 communem habelmnt. Si enim

pro basi «, index numeri dati est m, pro basi b vero «, atque divisores ma-

ximi liis cum p –1 communes ju, v supponuntur esse inaequales, alter crit

maior, iw.gr. f*>v, adeoque fi ipsum rt non metietur. At designato indice

ipsius a quando b pro basi assumitur, per a, eut (art. praee. ) « = ««î'mod.

p- J adcoquc fi etiam ipsum Il metietur. Q. E. A.

Hune divisorem maximum indicibus numeri dati ipsique p–- 1 commu-

nem, a basi non pondère, etiam inde perspicuum. quod acqualis est ipsi dé-

signante t oxponentem ad quem nnmerus, de cuius indicibus agitur, pertinet. Si

enim indexpro basi

quncunqne est k, erit t minimus numerus per qucm /• mul-

tiplicatus ipsius p–\ 1 multipluin evadit (excepta cifra' vid. artt. 48, 5S, sive

minimus 1 u, 1 practcr .f 1 autcm aequa-minimus valor expressionis •-

'mod. p – prneter cifram; Jmnc autem aequa-

lem esse divisori maxitrio commuai numerorum k et – I ex art. 29 nullo ne-

«otio derivatur.

71.

Porro facile demonstratur basin ita semper acci]>ere licere. ut numerus ad

«xponentem t pertinens indicem quenilibut datum uansiscatur, cuius quidem ma-

ximus divisor cum p–\ 1 eomumnis=''-–. Designemus hune brevitatis gra-

tia per d. sitqiu? index propositus =r/;« numérique propositi. quando quaelibet

HADICKS PHHimVABv KIMCES. bî

radia pri'initiva « pro busi accipitur. index = rf«. eruntque m. n ud sive.

ad t primi. Tum si g est valorexpressionis mod.y> – I simulqiïc ad p – t

primus. erit «e nulix priniitirn, qua pro basi accepta mimerus propositus indiccm

dm adipiscotur ;erit cniin «"=«' = numéro proposito id quod dosideraba-

tur. Sud oxprcssioncm ;motl.^– j valores ad p–\ primo» ndmittere. ita

probatur. Aequivalet illa expressio huic: ~(mod. ;– ^–sive

^fmod. f>vid.

art. 31. 2, eruntque omnes tùus vnlores ad t primi; si enim «Hquis valor e divi-

sorcm cum t communein lmborot, hie divisor etiam ipsiun me metiri deberet,

adeoque otiam ipsum n, cui me secunduin t congruiis. contra hypoth., ex qua

ail t primus. Quando igitur omnes divisoros primi ipsius p – 1 etiam ipsum

motimitur, mines expr. £ .mocl. t:valores nd jj– 1

primi erunt multitudoque

eoram = d\ quando autcin p – l nlios ndhuc divisorcs primos, f,g,/tvtc impli-

cnt. ipsum t non metientes. pouatur valor quicunque expr. -(mod.f, –«. Tum

iitttem quia umucst,f,g, h etc. iïiter se

primi, invenin jwtest muncrus e qui se-

ciuidum t ipsi e, secundum/< etc. voro

muneris quibuscuiiquo adlios

rosjjectivc

primis fint congru us art. :i2 Talis itaque numorns por nullmn faotorom primum

ipsius p~ I divisibilisadooquo ad p – 1 primus erit, uti desiderabatur. Tandem

liautl difficile ex contbinationuin theoria deducitur. talium vuloruni muJtitudinem

fnvn 7'– I •/– I tf– I /(– I. etc.ioic=-- – – j secl ne uigressio haoc in mnnam molem excrescat.

demonstrationeni. quum ad institutuni nostrum non sit adeo necessaria, omittinius.

A«r.t iiiiibus jMCiltiilrihun uetnuniiwtiitaï.

7 2.

Quamvis ïïj génère prorsus arbitrarium sit. quuenam radix primitiva pro ba-

si adoptetur. interdum tamen bases nliae prai; aliis conimoda quaedam pec-uliarin

ptaebcre possunt. In tabula Isemper numerum 1o pro basi assiunsimus. qimudo

fuit radix primitiva: alioquin basin ita semper detiTininaviinu.sut numeri 1 in-

dex ovasi'rit quam miniums, i.e. ~J'– dénotante M'xponentem ad quem litn

pertinuit. Quid vero liiiic luereinur. in Sect. \'l ostendemus ubi eadem tabuln

ad alios adliuc usus adliibebitur. Scd quoniam etiam hic aliquid arbitrarii rcma-

wskpotest, ut ex art. praec. appaift: ut aliquid certi statueremus. ex omnibus

rndicibus pvimitivis quaesitum ]>raestantibu.s minimum semper pro basi olegiinus.

Ita pro p – T.i, ubi ^=^S atquc rf=ï). a' habet i. t: 0 valores. <|ui

sunt 5. II. 20. 2s. lia. -lu. Assumsimus itaque miuiiiium r> pro basi.

s

58 m: iti«Hn"is t'OTKsT.vrnt.

.Wet/iHtl'ttnnlirri /wmitinw tt*xitjn«mli.

Î :i.

Mothodi radiées printitivas inveniendi maxiniani pnrtoni tontnndo innitun-

tur. Si quis en quao art. ">*>docuinms cum iis quao infrn de solutions congmon-

tiao .r"== 1 tradomu* confort, onniia fere, quae per mothodos dircetns effici pos-

simt. habebit. 111. Kulcr eonfttetur. Ojmsc. Anafyt T. I. y;. 1S2, maxime difficile

videri. hos numéros assignais, eoriuuquo imlulcm ad profundissimn numeroruin

mysteriu esse roforendam. At teutando satis uxpedite sequenti modo deterniinnri

possmit. Excreitattis operatiouis pvolixitati ]>er miiltifariu artificia pnrticulavia

•uu-oum'iv s«.iot linoc vejo por usina multo citius qunm per praeceptu ctliscuutur.

l". Assunintur ad libitum minicrus adjt

'ita senipcr moduluni designa-

nuis prinius, a, 'pk'iiimqiic1 ud culculi brcvitntuni cunducit, si quam minimum nc-

cipiimis. ex. gr, numonini i dcteriuineturquc eius periodus art. 10[,i. e. rcsidua

niininiti ipsius potestatum.«louée ad

potestatont «' porveniatar, cuiusresiduuin

îniuimum sit I* lani si fuerit t=p – 1, a est radix primitiva.

2". Si verot<ij> – ly act-ipiatur alius numerus h in perioclo ipsius n non

coiitciitus invcstijji'turqiie simili modo hnius periodus. IJesi^nato oxjioncnte ad

qui-m fi portinot por u, facile perspicitur « neque ijisi t aequalcm îteque i]>sius

partout aliquotam esse possi>, in utroque enim casu fieret i'= I, quod cssb na-

quit, quum periodus ipsius « omîtes nnmoros mnploctatur. quorum potestase.

])oneutis t unitati eongma (art.>:$ Quodsi u fuerit =^– 1 erit /> radix

si vero u non quidem – y> – I, sed tamen tmiltiplum ipsius t, id lu-

crati sumus. ut munorus constet ad cxpoiicntciti maiurcin pertinens, adeoque sco-

])u nostro, qui est inventif numerum ad exponentern miuimum j)ertinentem. pro-

piores iam sinnis. Si vero « neque =j>– 1, neque ipsius t multiplum.tanten

uunicruni in venin1 possuinus ad exponentem il)sis t, u maiorem pcrtiiwntent,

nempe ad exponentem minimo dividuo commuui numeronun t. a ncqiinletn. Sit

hic –y, resolvaturque y ita in duos factorcs inter se primos, rit, n, ut alter ip-

sum t, alter ipsinn « niotiatur-j- Tuni fiât potustasta ipsius

a, =/l, pote-Sllm fi tel' ilosum tr lIIl'tllltUI"¡. Utll fiat Ilotes tast"

ipiius (e, rt, 1Iot('-

') (iui«)ui.<fi]iunU-pcrxpicict non opus chk luis putestât esips;is uuvisw, ijuuni euiusvis rcsiduum mini-

mum facile ex residuo minimo potostatis pmcci-dcntis obtincri possit.

+) Quomudu hoc tieri ]iossit ex «rt. !> lmuil diflicultcr derivatur. lU-solvntur ij in factura, laïcs i|tti

sint aut nunivri primi divvrsimit mimcrnrum primoniin diversorum jioU'stau-s. Honiin <juixi)walioritlrutn im-

»{.JtJ>tt!Ks piHMtttVAR, i.vmeËS,5U

––Tt<t .t– .e ~k t

stKK ~wipsiits A, sJîimort.y/, eritqite pi-oductum Ali numerus ad exponeii-

tem h pertinens: facile enim intoUigitttr. A »d exponentem tu, Iî ad exponentem

n pertinere; adcoque prodnetuin Ali ad nui pertinel>it, quia m, n in ter se suut

primi. iil quod promis eodem modo uti in art. 55. II processinnis prolmri poterit.

3°. Ituu si y–j) – 1, Ali ont radix primitivii; sin minus, simili modo ut

un ton alius numéros adhibendus erit, in periodo ipsins Ali non octuvrens; erit-

qnchir nnt radix jmmitiva, aut pertinebit ad exponentem ipso y rnniorem. vmt

cci'to ipsius nuxilio (uti tinte t numerus ad exponentem ipso y maiorem pertinens

invoniri jwterit. (iuum igitiiï muneri qui per repetitionem huius oporationis jjrode-

unt. adoxponentes continue) croscentes pertineant. manifc:stiun est tandem nu-

menun inventuni iri. qui adexponentem maximum pertineat. i. e. radirem

pri-

mam, q. e. f.

IL

l'er uxeinplum praecepta liaec clnrioru fient. Sit p --=":{. pro quo nidix

primitiva quaerntur. Tentenms primo numerum 2. cuius periodus prodit haec:

1. 2.-1. S. 10. 32.04.55.37. 1 etc.

0.1.2.3. 1. 5. (>. 7. S. 9 etc.

Quum igitur iam potostas t>xpoiu*utis9 unitati congruu fiât 2 non est radix pri-

mitiva. Tcntetur ulius numerus in ]iuriodo ipsins 2 non ocenn-ens ex. yr. ''>. cu-

iusperiodus est haec

1.3. 0.27. s. 2-1. 72. 70. 04. 40. 05. -Ml. I etc.

». 1.2. 3.4. 5. li. 7. S. «J. H). 11. 12etc.

Quare neque 3 est radix primitiva. Exponentium autein ad quos 2. 3 pertinent.

7. muneroriun 9, 12) dividuus communis îniniinus est 30. qui in faetorcs a et 4

ad pinecepta art. praec. resolvitur. Evehendus itaque 2 ad potostatem ex]joni'ii-

tis J, e. numerus 2 ipso retinendus; :t axitem ad potestatem exponeutis3:

prci-

tluctum ex his est 51, quod itaque ad exponentem 30 pertinebit. Si denifnie ij>-

sius 51 poriodus coniputatur numerusque in liac non contentus r,t: /•. 5 demio

tentatur, hune esse radicem primitivam. reperietur.

merorum « nictictur (siveetiam utrumejuf)- Aclscribnntur singuli aut mnnero t nut numéro K. prout illuni

aut hune nu'tiuntur: quutulu nli(jui<utniimiuv metitur, urbitniriumest cui mlseribatur: pruiluctum i-x iU i|iii

ipsi I tidscri]iti *iml sit – m, productum c reliquis il. facilcquv pvi>p!cli!turm ipstim t, » ipsum eemc-tiri, alrjuc l'sw m il = i/.

60 w. résidus mmtsxtvM.

TliemiiiKitu varia de yj«Wu«/û et radicilm* jirimitiri.i.

75.

Antoquam hocnrgumentum desernmns, propositioncs quasdam trademus.

quuo ob shnplicitateni suniu attentioue haud indignue videntur.

Productum i\v immilua terminix periodi numeri miusvis est ™ 1, quando ipso-

mm multitude, siée exportent! ad quem numerus pertinet, est impur, et 1, quando

ille ejuponens est pur.

JEi\ Pro modulo 13 periodus numeri 5 constat ex his terminis 1,5. 12, s

quorum produotum 480 = – 1(rnod. 1 3).

Sccundum cundcin modulum periodus numeri 3 constat o terrainis 1,3,9

quorum productum 27^1 ^inod. 13). EDemomtr. Sit oxponens, ad quem numerus pertinut, t, atque index nu-

meri.id quod si btvsis rite determinatur semper fieri potest ,'art. 7 1'. Tum

index producti ex omnibus ]>criodi terminis erit

=,4.2+3-l-c.te.+/-i;*f-1=^-|-)*l)

i.f. =0 inod.ju – 1), qunndo t impar, et =*– quando t par; hinc in priori

casu productum illud 1 mod.p, in posteriori vero = – 1 mod.1, 'art. 02

Q. E.D.

1

70.

Si mimeras iste iu theor. praecedente est nidix primitiva, eius periodus oni-

nes numéros1,2,3 p– 1 compreliendet, quorum productum itaque sempor

= – 1 (iiamquu p – I semper par, unico casu p=2 excepto in quo – 1 et

-|-l acquivalcnt). Tlicorema hoc dedans quod ita euunciari solet: produrtum ftt

omnibus numeris numéro primo dato miuuribus, uuitate auctum per hune primum est

dh'isihile, primum a cel.Waring est prolatum arinigcroquu Wilson adscriptmn.

Meditt. ulgehr. Ed. 3. p. :$SD. Sed neuter demonstrare potuit, et cel. Wariu}? fu-

tetur ilomonstrationem eo difricilioniin videri, quod nulla uotatio tingi possit, quae

nunierum primum «xprintat.– At nostro quidem iudicio huiusmodi veritates ex

notionibus potius quam ex notationibus liauriri debebant. Postea ill. i^a Grangedemonstrationem dedit. Noue. Mém, de l'Ac. de Berlin, 177 1. Imiititur eu consi-

niKOJ«CMA WU.SOXUNI-M. 6t

ttoratioiii coeincientittin ex evuhitione pradueti

J-+-l.jî+2.j.'4-3 v+J>– I

oriundorum. Scilicet posito hoc producto

.¿~1-I+AJ'1'-2+B,rJHI+ek. ,-+-;11.z~n'

coefticieutes A, li etc. M per p erunt divisibiles, JV vero erit – l 2. 3 .<– I

lam pro ,i'=l, productum per y> divisibile; tune autem erit == I -+-i\" mod./y

quurc ucccssurio i-N per y> divkli poterit.

Dcniquc ill. Euler in Ojmxc. anu(i/t. T. 1. ;j. 32!) dciuonstmtiuneni dédit,

cm» en quam nos hic exposuimus conspirantcm. Quoilsi talcs viri thcorema lioi:

incditationibus suis non indignum censucrunt, non improbatum iri spcranHis si

aliani adhuc demonstrationem apponimus.

77.

Quando secundum modulum p, productum duorum Jiumeroruin a, h uni-

tuti est congrumn, numeros a, cum ill. Euler socios voccmus. Tuni s«undum

sect. prnec. quivis numerus positivus ipso p minor socium habcbit positivimi ipso

l> iiiinorem et quidem unicum. Facile autem probari potest ex minieris 1,2.

X.j) – 1 I et p – 1 esse unicos qui sibi ipsis sint xocii: nuineri enim sjbi ip-

sis socii, radiées erunt eougrucntiae ,im'=J; quae quoniam est sreundi gradus

plures quam duas radiées, ». e, alias quam 1 et y>– 1 habere nequit. Abiwtis

itaque his nuincroriun reliquoruni 2. 3.y> – 2 bini semper erunt assuciati:

quare i)vodnctum ex ipsis erit = adeoque ])roductum ex omnibus 1.2.3.

p– I, ~p– sive =– 1. 1, T..Li.

7~c. ,</)'. llro 1m13 3 uumci'i 2,3,~1. 1I itaas.so(;iantur:2t-uHt7:<:mu

i>: 1 cum 10; 5 cum S; 6 cum 11: scilicet 2.7=1: ».9-=l etc. Hiuc 2.:t. -I

.11 = 1; adeoque 1. 2.3. 12 = – 1.

7b.

Potest autem tlieorema Wilsoniuituni grucrulius sic prupuni. Prmkctam ex

omnibus numeria, numéroquoeunque (lato A mhwribiis simulqim ad ijjsum primis,

eonyruum est secundum A, unitati vel négative cet positive sumtm: Négative .suinon-

da est imitas quando .1 est formae p'" fuit liuittsce îp' désignante p iiuhh1-

62 I>K BESIDt'IS IfVrKSTAaTM.

mm primttm a 2 dh'ersum. insuperque qutmdo /1= l; positive mitent in omnibus

tasitms reliquis. Tlieorenm. qunlo n col. Wilson est prolatnm, sub c«su priori «>»-

tiiii'tur. – Ri: t/r. \>m A= li> pvoiltu'tum o numeris 1,2. 1,7, *>. M. I». 14est

•= I inod. 15 Domonstrationem brevitatis gratin non adiuiijdmus obsorvamus

tiiittiiiu. ctini simili modo perfiri posse ut in art. pruec. oxeepto quod congmcntiti

.«.»'£=! plures quaiu duas radiées habero pot est, quae coiisideratioms quusdain

|H.iculiiH'L>.s]>ostulant. l'os^ft t'tiai» clmitoiistmtio ex «ntsitleratiom» indiftim peti.

similitrr ut in nrt. 75. si oa qimc mox de inodulis non primis trndemus couforniitur.

7!i.

Ki-vcrtiinur ad cnumorationem nliarum propositionum art. 7f>

Sitni/ua omniumterminoruw jwriodi imtnert atiitsri.t est =0, uti in ex. art.7.r).

i + r>+i-24-s = 2O = o mod.i:»

l)em. Xuincrus de cuius ])criodo a^itur, sit ==«, atquc exponens nd qucin

piTtinet. – t, eritquo siunma terminorum omnium ]x>riodi.

= 1 +«+««+«3+otc. --f-rtt- `~1' 1I\0d,jJ

At «'–1=0: quare sunnnn hnecsomper orit =0 art. 22 nisi forte « – 1

per /> sit divisibilis. sive «^ 1 hune i^itur casum oxcipere oportet. si vol un uni

tcriiiiniun juriuduut vocarc velimus.

si».

Productum ftr omnibus radkibus j/rimiticis est ==1, excepto unico cusu.

]r~ tuiu onim unn tantum datur radix primitiva, 2.

DvmousU: Si radix primitiva quaecunquo pro basi assuinitur, indices mcli-

cuiu imniium primitivarum erunt million ad p – 1])rimi simulquo ipso minores.

.\t liorum nuinororiun sunnua e. index producti ex omnibus radkibus primiti-

vis, esl i) mod. jj – 1 adeoque productuiu t'mod. facile enini perspi-

citur. si h fuerit numerus ad /> – I primus, etiam p – I – k ad – I pri-

muru fore adeoqiic bhios numéros ad/> –

l primus summnm constittiere per

p–\ divisibilem; tt autem ipsi p – 1 – k numquam aequalis esse potost, pme-

ter cuNUiu, /> – 1 = 2, sive= :{. quem excepimus; maiiifesto enim

J'l-in

omnibus reliquis casibns adp – I non est primus

RfEOftKXÏATA VJiHU IHJ l'KKIOiJIS tT ltA»tC»ltrs l'imiITlVIS. «Ji

st.

Snmnm onmiitm radietim primit'mmtm estant =0 fqiiaiulo p – t per tjitU'

dmtttm tiliquuil est divisibilis) mit =+1 [mod.ji ,'quando p – 1 rst produc-

tum e numeris primis inaequalibus quorum nuiltitudo si est par signum positi-

vunij si vero impur, acjiativum sunieiulum

Rv. l" pro j) – li. habeutur radiées primitivae 2,0,7,11. qunruin siun-

ma 2ti = o mod. »:

2° pro p=i\. radiées primitivae suât 2.0, 7. s qunruiu simnuu 2\\

1 niod. 1 1

:)"prop–:11 radiées primitivat1 sunt :t. 1 1, 12, 13. 17. 21. 22. 21. <p.iu-

riuii sumiun. J2!l^ – 1 îuod. 31].

Dcmomtr. Supra di'niunstravinnis art. 55, IT, si p – I fimrit –tf/J'ci

etc. desiguantibus a,b,cetv. numéros primos innequnlcs', atque A,Ii,CcU-. numeri

quicuuque ad exponentes «*, \I\ ci etc. respective pertinentes, omuia producta

AJiCvtc. exhibere radiées prinutivas. Facile vero etiani denioustniri pott-st.

qunmvis radicom primitimin per huiusmodi productum exhiberi posse et quidcniuuic» tantum modo

Inde sequitur haec producta loco ipsaruin radicum primitivuriun accipi

posse. At quoin'ain in his productis onines valores ipsius ^1 ciun omnibus i psi us

li etc. coinbinarioportet, omnium liorum pruductorum sumina aequulU est pm-

dueto et suinina omnium valorum ipsius *1, in summum omnium vulurum ipsiu*

li, in summum omnium valorum ipsius Cetc. uti ex doctrina combiuntionum nu-

tum est. Designentur onines valores ipsorum .1; Ji etc.. per -1, A'. A' etc.

li, I¥, etc. etc. eritque summa omnium radioum priinitivarum

==(/l-f jtf-j-etc; 7*-f /r+etc. etc.

lam dico, si exponens a fuerit -=t. summnm A-{-A'-{-A"-{-vti:. fore = –

,'mod. si vero a fuerit > 1 summam hanc fore =0, similiterque de reli-

quis lî, Yetc. Simulac haec cvunt demonstrnta tbeorematis nostri veritas mani-

") Dctcrmiiu'iitur scilicet mtme-ri o, b,(,etc. ita. ut sit a = (mod.n") «l «(moil. h' ri etc.; b–

(mod.4') et = « (mocl.«acï etc.) etc. (vitl. art. :u), undc tict o + b + c+i-tc. ==t(moil. yi – ), (urt. •<>

lam si radix primitiva qimucimque, r, jiur Jimiluctum .Ut Cuti:, uxhiberi ileliet acci]mitur J=Ai' = /1.

('=»•'' t-tc, aique ]ivrtinvlmnt .1 ail vxiiuiivntvm <f*. B ad oxtxiuuutum A'otc. pn>iiuctumi|Uv i\i.iniii!ni-

A. 11. f'i'tc. l'rit =/-(mo'l.): ilvniijui' facile |)i*r«|iicitur A. II. ('•\t: :tlin muilu d^'irniiiiari min tin<>i-.

i»4 DK UKSIBl'IS POTEWATUH.

ti'stit erit. Quand» enim p – ) per qttadïatum aliquod ili visibilis est, aHquis ex-

poneittimn >t, fi, Y etc. unitntem superobit. adeoque aliquis fncturum. quorum pro-

dw-to congrua est suinmn omnium nulicum primitivarum erit = u, et proin

etiaiu prortuctum ipsuni: qunmlo vero p – 1 per îmllurn qttndrntiun dividi jwtost,

onmes oxponciitcs «,lj, yetc. erunt =1, unde summa omnium radicutn primi-

tivnruia con^iui frit producto ex tot faetoribus quorum quisque – 1 quot

hnb(*ntnr mxrapri a, b,c etc. ndeoque erit = + t, pront honim numcrornm

nmltitudo par vel inipar. 111a nutcm ita probnntur.

lu.u. (juando »i=| atque A nunierus ad cxponontcm « pertinens, reli-

qui uunicri nd lmms exponentem jiertineutes orunt A3, A3 – /1" At

i+.A-f.l'-f-is.4-4«^1

est summa periodi completae, ndeoque ^0 art. 7*J qunrt*

A+A' + A* -M" = – I

2". Qiumdo antem « > 1 atque A mimeras ad exponentem «* perti-

ncHs. n'Iicjui numeri ad hune exponentem pertinentes habebuntur. si ex his .4^.

A3, A* .A" reiiciuntur A", A"' .A3" etc.. vid art. 53: quare summa eorum

erit

= 1 + A -f A- 4- .-l" – '14- A' -r A1" 4- A"

/.«. cungruu differentiac dunruni periodorum udeoque ^(J. Q. E. D.

De nwdulis qui sunt ntimerurum priitmrum jtotixtatrx.

S 2.

Onniia quue hactenus ex])osuimus innituntur su]>positioni moduium esse

numeruin primuni. Suporc^st ut eum quoque ensum eonsideremus. ubi pro niudu-

lu assuinitur numerus eompositus. Attamcn qniun hic neque proprietates tani

élégantes enitenut. qunm in casu priori, neque ad eas inveniendas artih'ciis snbti-

sit ojjiir. sed potius omnia fere pcr soluin priuci]iioruin praecedentium appli-

cationein erui possiut. omnes ininutias hic exhauriresujjerfluum atque tnediosum

foret. Breviter ittujue (juae huic ensui cuni priori shit communia quaeque pro-

pria cxponemtis.

MOliVU QH U'm NtfMBKORl'ir «U'itORUM POlTSSrATES. 65

«

83.

Propositiones artt. 45 – 48 generaliter iam sunt demonstratae. Atprop.

art. 49 ita immutari débet:

Si f designat, quot numeri dentur ad ?n primi simili ipso in minores, i. e. si

f=<pm (arts*): expo~ae7ts t i9~tnae potestat~ïs naamer£ daté aa ad 9n primi, quae

secunditmmodulum m nnitati est congrua, vel =/ vel pars aliquota hitiiis numeri.

Démonstratif) prop. art. 49 etiampro hoc casu valcre potest, si modo ubiqucloco ipsius p, m, locoipsiusp– 1, f, ctloconuiriarorum 1,2,3 p– 1, nu-

meri ad m primi simulque ipso vi minores substituantur. lluc itaque lcctorem

ablegamus. Cetomm dcraonstrationes rcliquac de quibus illic locuti sumus (artt.

50, 51) non sine multis anibagibus ad liuuc casum applicari possunt. At re-

spectu propositionum sequentium, art. 52 sqq. magna difterentia incipit inter mo-

dulos, qui aniraerorum primornm sunt potestates, eosque, qui yet plures numé-

ros primos dividi possunt. Seorsim itaque modulos prioris generis comtempla-

bimur.

84.

Si modulusm=p", désignante p nmucrum primum, erit f–pn~xip–\)

(art. 38). lam si disquisitiones in artt. 53, 54 contentac ad Imnc casum applican-

tur, mutatis mutandis uti in art. praec. praeseripsimus, invenietur, omnia quae ibi

demonstrata sunt otiam pro hoc casu locum habere, si modo ante probatum esset.

congraentiam formae – 1 = 0 (mod./) plures quam t radices diversas habere

non posse. Pro modulo primo hanc veritatem ex propositione generaliori art. 43

deduximus, quae autem in omni sua extensione de modulis primis tantummodo

valet, neque adeo ad hune casum applicanda. Attamen propositionem pro hoc

casu particulaii veram esse per raethodnm .singularem demonstrabimus. Infra

xect. VIII) idem facilius invenire doeebhnus.

85.

Dcmonstrundum proponimus nobis hoc tlieorciua:

Si Mimcrorum t et ptt~i (j> – i; divisai- rommunis imuimus est e, congrut-ii-

tia a/~l{mod.j)") Itabebit e radiées dieersax.

Sit e=kp' ita ut k factorem p non involvat. ndcoque numerum j> I

6tf DE BK8IDDI8 POTKSTATCM.

metintur. Tnm congruentia ,^=1 séeundum modulum p habebit A; radiées

diversas, quibus per AtB,C etc. designatis, radix quaecunque eiusdem congru-

entine secundum modulum p", congrua esse debet secundum modulum p alicui

numerorum A, B, C etc. lam demonstrabimus, congruentiam ^'=-1 (mod.jp")

habere p* radiées ipsi A, totidem ipsi B etc. congruas secundum modulum p.

Quo facto omnium radicum numerus erit kp1 sive e, uti diximus. lllam vero

deraonstrationem ita adoriiabimus, ut primo ostendamus, si a fuerit rndix ipsi A

secundum modulum p congrua, etiam

a+/ a+2/ a+3/ a+{p*- i;v

fore radiées; secundo, numeros ipsi A secundum modulum p congruos alios quam g

qui informa a-hpn""t sintcomprehensi (denotante h integrum quemeunque;,

radiées esse non posse: unde manifesto p1 radiées diversae habebuntur, et nont

pliu-es: atque idem etiam de radicibus, quae singulis JB.Cetc. sunt congnvae, lo-

cum habebit: tertio doccbimus, quomodo semper radix, ipsi A secundum p con-1

grua, inveniri possit.

80.

Theobema. Si uti ita art, praec. t est numerusper ps, neque cero per /+1 di-,J

clsïGld~s, eritcwbilis, erit]

(6t- u (ntucl. jn~+Y;, rat = aa-1 lay ~`t ;ntud.y~~+''+'~ il

Theorematis pars posterior locum non habet, quando p = 2 simulque ju = 11

Demonstratio huius thcorcmatis ex evolutione potestatis binomii pcti posset,

si ostenderetur omnes termines post secundum per j/+v+1 divisibiles esse. Sed

quoniam consideratio denominatorum coefiidentium in aliquot ambages dcducit,

methodum sequentem praeferimus.

Ponanius^wwo ju>1 atque v=l, critquc propter

a*-y =(*) ^+*V+*y+etc. +/) I

v

(a-i-IayA)a-aa = hp~C(a-i-layt,)a-iw(a-i-lay~`)a-ya-etc.aca"')

At est ot-f /<yx = a(mod./)(

i

MODt'UQCTSlWf NT/MKÏtÔfttttr PWMOitÙSIPOÏESTATE». 67

!fIl

quare quisque terminus («-f^/}' (a-|#)«-»a et6. erit – «^(môd./},

adeoque omnium summa –ta1"* (mocl/>8) sive formae fa*~f4- F)/8 dénotante

Tr numerum quemctwque. Hinc (a 4-^)'– a* erit formae

a^hpH+Vhp* »'•«• = a<V(raod.^+*) et ==0(mod./+I).

.Pro hoc itaque casu theorema est demonstratum.

lam si theorema pro nliis ipshts v valoribus verum non esset, manente

ctiamnum f*> 1, limes aliquis necessario darotur, usque ad quem thcoreraa sem-

per verum foret, ultra vero fitlsum. Sit minimus valor ipsius v, pro quo falsum

est = <p, unde facile persiiicitur, si t jier ]ft~l non autem per f fuerit divisi-

bilis, theorema adhuc verum esse, atsi loeo ipsius t substituatur tp, falsum. Ha-

bemus itaque

<.<t+Wt* sa'+a'-|A/»i'/(mod.j/+?) sive =a<+a'-t/tyi<+w;/+'î

dénotante u numerum integrum. At quia pro v -= 1 theorema iam est dern 011-

strntum, crit

~+~+K~ =cxt~atl'Js2~~`+'t-i-att'-tuy~~+r+i;rnod.pn+~+~1

adeoque etiam

la+kjpp = ofr+atr-ikptp (mod.j/+?+')

i. e, theorema etiam verum, si loco ipsius t substituitur tp, Le. ctiam pro v – »,contra hypothesin. t.'nde manifestum pro omnibus ipsius v valoribus theoremn

verum esse.

87.

Superest casus ubi = l l'er methodum prorsus similem ei qua in art.

jmiec. usi sumus, sine adiumento theorematis binomialis demonstrari potest, esse

ix+à}))*-1 = o*-| + ae-t(/–i}*/> fmod./)

a ia-i-fip <-• – a'"1 4- a'"3 (t– 2) kp

cxa tx-Jtli;t"~° = M~'+~='i/–

etc.

undc aggrcgatum erit (quia pavtium multitudo –t)

68 »B RE8BHJ1BFOÏE8Ï*TPM.

=5 ta?-ï+&=^ai-+hp{mo&.pt)

At quoniam t per p divisibilis, etiam per p divisibilis erit in om-

nibus casibus exeepto co ubi p– 2 de quo iam in art. praec. monuiraus. In re-

liquis nutcm casibus erit^–^ af-*kp*=<i(moà,p*), adeoque etiam illud aggre-

gatum s ta'"1 (mod./) ut in art. praec. In reliquis demonstratio hic eodem

modo procedit ut istic.

Colligimus igitur generaliter unieo casu p–2 excepto, esse

(a + /}<5=a';mod./+v)

et 'a+hjp\tuon = at pro quovis modulo qui sit altior potostas ipsius p, quamhaec p^+\ quoties quidem h \h;y p non est divisibilis, atque p*1 potestas suprema

ipsius p quae numerum t dividit.

Hinc protinus derivantur propositiones 1. et 2. quas art. 85 tlemonstrandas

nobis proposueraraus: scilicet

primo, si a'sl, erit etiam (a-f /v)'~t (mod.j/

secundo si numcrus aliquis a' ipsi A adeoque etiam ipsia secundum modulum

p congruus, neque vero huic secundum modulum p" congruentiae jf=] 1

t mod.j)/') satisfacerct, ponamus a' esse =<z-j- ita ut l per p non sit divi-

sibilis, eritque X<«~v, tune autem {a-l/f secundum modulum p1'^ ipsi

ai congruus erit, non autem secundum modulum p", quae est altior potestas,

quare «' rudix congruentiae ,»'=1 1 esse nequit.

,S,5.

Tertium vero fuit radicem aliquam congruentiae a?'si {mod. p"j, ipsi A

congruam, iuvenire. Ostendemus liic tantummodo quoniodo hoc fieri possit, si

iam radix eiusdem congruentiae secundum modulum p*~x innotuerit; manifesto

hoc sufficit, quum a modulo p pro quo A est radix, ud modulum p*, sicque de-

inceps ad onmes potestates consecutivas progredi possimus.

Esto itaque a radix congruentiae «'=1 (mod.jp") quaeriturque radix

eiusdem congruentiae secundum modulum 2>"> ponntur hoec =a-+-hpn~'l~t,

quam formam eam haberc debere ex art. praec. sequitur (casum ubi v^=a –1

MODUMtQUI

BUNT TOTK8TATE» B1NAHI1.. 69

postett seorsim eonsiderabimiiH maioryero quam w– t, vessenequit). Débet

itaque esse

(a-f/)^ l(mod.1)

At (a+ A/1/ = a'4-a'"1 A*1 :mod.

Si itaque A ita determinatur, ut fat 1 =af4-aM /«(j/11"1 (raod./); sive 4quia

~rhyp. l~a~mod.) atquetper~divMbilis)ita.ut&at ~i,+~A~per hyp. 1 =a* (moà.p"~l) atque per p' divisibilis) ita ut fiât-f-01'

per /> divisibilis, quaesito satisfactum erit. Hoc autem semper fieri posse ex Sect.

pracc. manifestum, quum t per altiorem ipsias p potestatem quam f dividi uon

posse hic supponamus, adeoque a'"1 > ail yi sit primus.

Sivero v=»– 1 ?'. e. t per sive etiam per altiorem ipsius p pote-

statem divisibilis, quivis valor A congruentiae a?'=l sccuudum modulam p sa-

tisfaciens eidem etiam secundum modulum p" satisfaciet. Sit enim t=jtf'~lT,

eritque t~r (mod.j)– 1): quare quoniam ^l' – l [moà.p) erit etiam A~ =

(mod.p). Ponatur itaque il"=l+Ajf> eritque A1 = [l-hp)^" = l(mod.j»")

art. 87.

89.

Omnia quae art. 57 sqq. adiumento theorematis, congruentiam d?'^l plu-

res quam t radiées diversas non habere eruimus, etiam pro modulo qui est nu-

meri primi potestas locum habent, et si radiées primitioae vocantur numeri, qui ad

expouentem y~'(/J– 1} pertinent, sive in quorum periodis omnes uumeri per p

non divisibiles inveniuntur, etiam hic radiées primitivae exstabunt. Omnia au-

tem quae supra de indicibus eorumque usu tradidimus, neenon de solutione cou-

gruentiae tC*= 1, ad hune quoquc casum applicari possunt. Quae quum nulli

difficultati obnoxia sint omnia ex integro repetere superfluum. foret. Praeterea

radices congruentiae #'=1 secundum modulum pn eradicibus eiusdem eongru-

entiae secundum p deducere docuimus. Sed de eo casu ubi potestas aliqua nn-

mcri 2 est modulas, quia supra exceptus fuit, aliqua adhuc sunt adiieienda.

Moâulit/ui sunt pulestateti binariï.

90.

Si potestas aliqua numeri 2, altior quam secumla, puta 2" pro modulo accipitur.

numeri cuitutvis imparis potestas exponentis 2" tinitaH est cmtgrua.

7G DE BES1BIÎJSïf&SSSVAtVtt,

Ex.gr. 38=6561Sl(raod.32).

Qnivis enim numerus impar vel sub forma 1 + -1h, vel sub hac – 1 -f-4A

compvehendititr unde propositio protinua sequitur (theor. art. SO).

Qaoninm igitur exponeiis ad quem quicunque numerus impar socumlum

motluliun 2" pcrtinet, tlivisor ipsius 2" esse débet, quivis ad nliqucm horum

numerum pertinebit 1,2,4,8. 2* ad quemnam vero pertinoat ita facile di-

iudicatur. Sit mimeras propointus =4/*+!, atqne exponens mnximae pote-statis numeri 2, quae ipsura A mctitur, =m (qui etiam =0 esse potest, quandoscilicet h est impar;; tum exponens ad quem numerns propositus pertinet, erit

– 2" siquidcm »>«î+2; si autem n– vcl <»»-(-2, numerus pro-

positus est ~+l adeoque vel ad cxponentcm 1 vel ad exponentem 2 pertinc-bit. Xumcrum enim forinoc +1-J-2"1"1" (qune luiic ocquivalct, 4A+1; ad

potestotom exponentis 2" elevatum unitati secundum moduiura 2" congru-um fieri, ad potestatem autem exponentis, qui est infeiïor numeri 2 potestas, in-

tongnium, ex art. 8 Gnullo negotio dcducitur. Numerus itaque quicunque for-

mas %A-f-3 vel SX- -f- 5 ad exponentem 2"~s pertinebit.

91.

Hinc patet co sensu quo supm cxprcssioncm accepimus, radiées primitieas\m non dari, nullos scilicet numeros, quorum periodus omnes numeros modulo

minores ad ipsumque primos amplectatur. Attamen facile perspicitur. nnologonhic haberi. Invcnitur enim, numeri formac 8jt-(-3 potestatem exponcntis im-

paris scmpcr esse formae 8*-f- 3 potestatem autem exponentis paris. semperformae SA--f-l; nulla igitur potestas formac 8Â-+5 aut 8A--J-7 esse potest.

Quarcquum periodus numeri formae Hk-3, ex 2"~2 terminis divcrsis constet,

quorum quisque aut formae S&+3 3 aut huius sA'+i, neque plures huiusmodi

numeri modulo minores dentur quam 2" manifesto quhis numerus formae

sA-4-1 vel 8A*-f-3 congruus est secundum modulum 2" potestati alicui numeri

cujuscunque formne Hk-{- 3. Simili modo ostendi potest periodum numeri formae

S/-+5 comprclienderc omnes numeros formarum 6A+1 et 8A-+5. Si igitur nutne-

rus formae SA'-f- à pro basi assumitur, omnes numeri formae S/t-{-1 et %f-5,

positive, omnesque formae &À + et Sk+7, négative sumti, indices reaies nan-

ciscentur, et quidem hic indices secundum 2" congrui pro aequivalentibtis sunt

habendi. Hoc modo tabula nostra 1 intelligcnda ubi pro modulis 16, 32 et 64

HODftl B VliCRTBUSPURUSCOMPOSITI.

– tt(iiamque pro modttlo 8 nulla tabula necossaria erit) semper numérota 5 pro bnsi

accepiraus. Ri: gr. numéro 19 qui est formae 8m-f- adeoque négative sumen-

dus, respondet pro modulo C4 index 7, id quodsignifient esse 57 – 19 9 fmod.04).Numeris autem formarum 8»-f 1 8«-f-5 négative, atque numeris formarum

hn- 3, 8»-j~7 positive acceptis, indices quasi imaginarii tribuondi forent. Quos

introducendo calculus indicum ad algorithmum perquam simplicem reduci potcst.Secl quoniam, si hnec ad omnem rigorem exponere vellemus, nimis longe evagari

oporterct, hoc negotium ad aliam occasionem nobis reservamus, quando forsau fu-

sius quantitatum imaginarium theoriam, quae nostro quidem iudicio a nciniue hae-

tenus ad notiones claras est reducta, pertractare suscipiemus. Periti hune algo-

rithmum facile ipsi eruent: qui minus sunt exercitati, perindc tunien tabula hac

uti poterunt, ut ii qui recentiorum commenta de logarithmis imaginariis ignorant.

logarithmis utuntur, si quidem principia supra stabilita probe tenuerint.

Mothili e p/uribits prima eimipotiti,

92.

Secundum modulum e pluribus primis compositum tantum non omnia quaead residua potestatum pertinent ex theoria congruentiarum gencrali deduci pos-

sunt; quia vero infra congruentias quascunque secundum modulum e pluribus

primis compositum ad congruentias, quarum modulas est primus aut primi pote-

stas, reducere fusius docebimus non est quod huic rei rnultum hic immoremur.

Observamus tantum, bcllissimam proprietatem quae pro reliquis modulis locum

habeat, quod scilicet semper exstent numeri quorum periodus omnes numeros ad

modulum primos complectatur, hic deficere, excepto unico casu, quando scilicet

modulus est duplum numeri primi, aut potestatis numeri primi. Si enim modu-

lus m redigitnr ad formam AaÉ'Cceïc. designantibus A, B,C etc. numéros

primos diversos, praeterea Aa~l (A– 1) designatur per a, Bh^B– 1) per 6etc. denique z est numerus ad »» primus; erit »" = 1 (mod.il"), /=1 (mod.B6)etc. Quodsi igitur f* est minimus numerorum a, b', y etc. dividuus communis,

erit «^=1 secundum omnes modulos -4a,J3*etc. adeoque etiam secundum m,

cui illorum productum est aequale. At excepto casu ubi ?» est duplum numeri

primi aut potestatis numeri primi, numerorum a, b', y etc. dividuus communis

miuimus, ipsorum producto est minor (quoniam numeri a, 6, y etc. inter se primiesse nequeunt sed certe divisorem 2 communem habent). Nullius itaque numeri

7272 UEKKSXDl'ISPOTESTATl'W.

periodus tot tenninos comprehemlere potest, quot dantur uuineri ad modulant pri-

mi ipsoque minores, quia fcorum numéros producto ex a, 6, y etc. est noqualis.

Ita cv. gr. pro w=1001 cuiusvis numeri ad in primi potestas exponentis 00

unitati est congru», quia 00 est dividuus communia numcrorum 6.10, 12. – Ca-

sus autem ubi modulus est duplnm numeri primi nnt duplum potestatis numeri

primi illi ubi est primus aut primi potestas promis est similis.

93.

Scriptorum in quibus alii geometrne de argumente in hac sectionc pertrac-

tato egerunt, iam passim mentio est facta. Eos tamen qui quaedam fusius, quam

nobis brevitas permisit, explicata desiderant, ablegamus imprimis ad sequentes ill.

Euleri coinmentationes ob perspicuitatem qua vir summus prae omnibus semper

excelluit, maxime commendabilcs.

Tfteoremata circa resùlua ex tUeisionc potestatum relicta Comm. nov. Petr. T. VII

pAQ sqq.

Demomtrationes circa restitua ex divisione potestatum jter numéros primas multantia.

Ibid. T. XVIII p. 85 sqq.

Adiuiigi his possunt Opitsculorum analj/t. T. 1, dissertt. 5 et ».

10

SECÏ1O QUARTA

DE

CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.

ltisùlua et non-residua quadratiea.

94.

Theobema. Numéro quocunqiie m pro modula accepta, ejc numeris 0, 1,2.

3.»i– 1, jtlwes quam $m-l quando m est par sive plum quam Jw-f-J-,

quando m est impur quadrato conymi fieri non possunt.

Dent. Quoninm munerorum congruorum quadrata sunt congrua: quivis

numerus, qui ulli quadmto congruus fieri potest, etiam quadrato alioui cuius radix

<?» congruus erit. Sufficit itaque residua minima quadratorum 0, 1 J fl [m–1 f

considerarc. At facile perspicitur, esse (m – if~l, (m– 2)2 = 22, (m – 3)* = 3*

etc. Hine etiam, quando M est par, quadratorum ($-»« – 1 }*et ( im 1 )*, [i m – 2f

et (}m-\r2fetc. residua minima eadem crunt: quando vero m est impar, quadrata

[i-m–i)s et (j-w-f-2, [im–fj* et (im+D* etc. erunt congrua. l'nde

palam est, alios numéros quam qui alicui ex quadratis 0, 1 4, 9 i m) con-

grui sint, quadrato congruos fieri non posse, quando m par; quaudo vero impar,

quemvis numerum, qui ulli quadrato sit congruus, alicui ex liis 0, 1.-1.9. i^m – if

necessario congruum esse. Quare dabuntur ad summum in priori casu +«i 4- 1

residua minium divcrsa in posteriori {-m-{-£. Q. E. D.

Exemption. Secuiidum modulum 13 quadratorum numerorum 0.1,2,3 3

.0 0 residua minima inveniuntur 0,1,4,9,3,12,10. post haec vero eadem

74 dk coNonrESTn» stxjrsw obàdfs.

ordine inverse rceummt 10, t2, 3 etc. Qttnre numerus quisqué, nttlli ex istis

residuis eongmus, sive qui alicui ex his est congruus, 2. !», 0, 7, S, II, nulli qun-

drato congraus esse potest.

Secuudum modulum 15 haec inveniuntur residua 0.1.4,9,1,10,6,4 post

quae eudein ordine iuverso recnmmt. Hic igitur numerus residuorum, quae qua-

drato eongma fieri possunt, minor adhuc est quam {«î + J-, quum sint 0,1,4,

0, 9, 1 0. Xuineri autent 2, 3, 5, 7, S, 11, 1 2, 1 3. 1 et qui horum alicui suut con-

grui. imili quatlrato secuudum mod. 1 congrui fieri possunt.

95.

Hinc colligitur, pro quovis modulo omnes numeros in duas classes distingui

posse, qunrum altera eontineat numeros, qui quadrato alicui congrui fieri possint,

altéra cos qui non possint. Illos appellabimus residua quadmtica numeri istius

quem pro modulo acceptons" hos veroiftshis

non • reskha quadratica, sive etiam,

quoties ambiguitas nulla inde oriri potest, simpliciter residua et non- residua. Ce-

terum palam est sufficere, si omnes numeri 0, 1 2.m– 1 in classes redacti sint:

numeri enim congrui ad eandern classent erunt referendi.

Etiam in hac disquisitione a modulis primis initium faciemus, quod itaque

subintelligendum erit, etiamsi expressis verbis non moneatur. Numerus primus

2 autem excludendus, sive numeri primi impares tantum considerandi.

Qttotiesmodulu» est numeriiaprimu», muUitudo rosiduorum ijno mmarwnmiiltitiidim xon-reaiduonim(uqualin.

96.

Numéro primo p pro modulo accepto, numerorum 1,2,3 p – I semissis

erunt residua quadratica, reliqui non-residua, i.e.dabuntur l',p–l) residua toti-

demque non-residua.

Facile enim probatur, omniaquadrata l,4,9.|(p – 1' esseincongrua.

Scilicet si fieri posset rr^r'r' (mod. p, atque numeri r.r1 inaequales et non ma-

ioresquam i{p~l) posito »•>>•' i.q. licet, fieret – r')(r4-r') positivus et

*) Proprie quidem hic ensu secundo alio sensu utimur, quam liucuequefecimus. Dicere scilicet oporterct,r esse residunm quadrati m seeundum moduhtm m quando r = nu (mod.»») i at brevitatis pratia in hue sec-tione semper r ipsitu m residuum quadrnticum vocnmus neque bine ulla ambiguitas mctutndn. Exprcssioncmenim, midmtm,quando idem signifient quod numerus congruus abhinc non adhibebimus nisi forte de rcsi-duia mim'mixsermo sit, ubi nullum dubium e«»e potest.

nOBVU QUI StfOT KFCWEK1 PWMrf 75

10**4,

lier p dîvisibilis. At uterque facto? #•- – et r-r' ipso p est miuor, quai»

suppositio consistere nequit (art. 13). Habentur ltaqtte $»– 1) residua qua-

dratictt inter hos numéros 1,2,3 – – l contenta; plura vero inter ipsos esse

uequeunt quiu accedente residuo 0 prodeunt \'p-), quem numerum omnium

reuiduorum multitudo superare naquit. Quare veliqui numeri eruut non-residua

horumquu multitudo = j- ip – 1 )

Quum eifra semper ait residuum, hanc numerosque per modulum divisibiles

ab invcstigationibus his excludimus, quia hic casus per se est clarus, thcorema-

tuinque conciiniitateni tantum turbaret. Ex eadem caussa etiam modulum 2 ex-

clusintus.

07.

Quum plura quae in hac Sect. exponemus etiam ex principiis Sect. praec.derivari possint, neque inutile sit, eandem veritatem per methodos diversas per-scrutari, hune uexuin ostendemus. Facile vero intelligitur, omnes numeros qua-drato congruos, indices pare* liabere, cos contra, qui quadrato nullo modocongruifieri possint, impares. Quia vero p~ 1 est numerus par, tôt indices pares erunt

quot impares, scilicet -{p~ 1), totidcmque tum residua tum non-residua dabuntur.

Exempta, l'ro modulis sunt residua

3 1.

51,4.

7 1,2,4.

11 1, 3, 4, 5, 9.

13 1,3,4,9, 10, 12.

17 1,2,4,8, 9, 13, 15, 1 G,

etc.

reliqui vero numeri his modulis minores, non-residua.

Quaesth, u/nim numerus empositus rvsiduum mimeri priini èiti fit an non nsidumn ah irnlotc

fattnrum pmdvt.

9S.

Theobeju. Prodnctum e duebus residuis quadmtkis mmien priva p, est mi-

duum; produetum e residuo in non-residuum, est non-residuuw, denique productmn eduobus non- résidais, residuum.

Td DE eONOSBKWrOB8KCCNOÏOB4BC8»

Demomtr.l. Sint A,B residua e quadriitis aa,hb oviundasive A~aa,°

B~.bb, eritque productum Ali quadrato numeri ab congrnum ». <?.residitom.

II. Quando A est residuiira, puta =««, li vero now-residuum, AB erit

non-residuum. Vonatur enim si fieri potest AB=kk, sitque valor expressio-

nis j[mot\.p)^b; erit itaque aaB=aabb, unde B~bb, le. B residuum

contra hyp.Aliter. Mnltiplicentur omnes numeri qui inter hos 1,2, îJ.>– 1 sunt

residua quorum multitudo =|-(j>– 1)), per A omniaque producta erunt resi-

dua quadratica, et quidem erunt omnia incongrua. Iam si non-residuum B per

A multiplicatur, productum nulli productorum quae iam liabcntur congruum erit;

quare si residuum esset, habcrentur t(j>) residua incongrua inter quae non-quare sI l'l'Sitlltttttl esset, lU l'I'entur ~1; residtia incongrua inter quae nOll-

dum est residuum o contra art. 90.

III. Sint A, B non-residua. Multiplicentur omnes numeri qui inter

hos 1,2,3. – i sunt residua per A, habobunturque $(j) – 1) non-residua

inter se incongrua (II;; iam productum AB nulli illorum congrmim esse potest;

quodsi igitur esset non-residuum haberentur i{p-{-l) non-residua inter se in-

congrua, contra art. 90. Quare productum etc. Q. E. D.

Facilius adhuc haec theoremata e principiis sect. pracc. derîvantur. Quia

enim residuorum indices semper sunt pares, non-residuorum vero impares, index

producti e duobus residuis vel non-residuis erit par, adeoque productum ipsum,

residuum. Contra index producti e residuo in non-residuum erit impar adeoque

productum ipsum non-residuum.

l'traque dcmonstrandi methodus etiam pro his theorentatibus adhibcri

potest: Exjtremom j(mod.p)valor erit residuum, quando numeri a,bsimul xunt

residua, vei simul non-residua; contra autem erit non-residuum quando numerorum

a, b alter est residuum alter non-residiium. Possunt etiam ex conversionc thcorr.

praecc. obtincri.

90.

(ieneraliter, productum ex quotcunque factoribus est residuum tum quando

omnes sunt residun, tum quando non-residuorum, quae inter eos occurrunt, mul-

titudo est par; quando vero multitudo non-residuorum quae inter factores reperi-

untur est impar, productum erit non-residuum. Facile itaque diiudicari potest.

moûvu Qrr 8CTPT maïKBi coMrosrn. » 77

utrum humera»compostitus sit resûcluimt neeite, si modoquid sint singuli ipsius

fttctores constet. Quamobrem in tabula il numeros primos tantummodo recepirnus.

Oeconomia huius tJibulae haec est. lu margine positi sunt moduli *), in facie vero

numeri primi successivi; qnundo ex his aliquis fuit residuum motluli alicuius, in

spatio utrique respondente lineola collocata est, quando vero numerus primus fuit

»on-residimm moduli, sptttium respondens vacutim mansit.

De mi.dulix,qui su ni nunwriçoinpositi,

100.

Antequam ad difficilioraprogrediamur, quaedamde modulis non primis ad-

iicienda sunt.

Si numeri primi p, potestas aliqua p" pro modulo assumitur (ubi p non

esse 2 supponimus), omnium numerorum per p non divisibilium moduloque mi-

norum altéra semissis erunt resiclua, altéra non-residua, ». e. utrorumque nniltitu-

do = ±{p– 1 )/>

Si enim r est residuum: quadmto alicui congruus crit, cuius radix moduli

dimidium non superat, vid. art. 9 4. Iam facile perspicitur, dari k(j}–i)p"~l

numerosper p non divisibiles modulique semisse minoribus; superest itaque ut

demonstretur, omnium horum numerorum qnadrata incongrua esse, sive residua

quadratica diversa suppeditare. Quodsi duorum numerorum a, bper p non di-

visibilium modulique semisse minorum quadrata essent congrua foret au – bhb

sive (a – b){a-b) per divisibilis (posito i.q. liect a>4}. Hoc vero fieri non

potest, nisi vel alter numerorum a – b. a-b per p" fuerit divisibilis, quod fieri

nequit, quoniam uterque </> vel alter pcr p'" alter vero per pn~m, i e. uter-

que per p Sed etiam hoc fieri nequit. Manifeste enim etiam summa et diffe-

rentia 2 a et 2b per p foret divisibilis adeoque etiam « et b contra hyp.

Hinc tandem colligitur inter numéros per p non divisibiles moduloque minores

i{p–l)P* residua dari, reliquos quorum multitudo aeque magna, esse non-resi-

dua Q. E. D. Potest etiam theoremu hoc ex consideratione indicum derivari

simili modo ut art. i»7.

101.

Quivis numerus per p non divisibilis, qui ipsius p est residuum, erit residuum

') Quomodoctiam modulis compoxiiiscarere possimu» toux docebimus.

78 DB CONQHDENTUS 9ECUNDI ORADl'8.

etîam ipsim pH; qui vero ipsius p est non-resuhum, etùim fjjmta pn tion-resi-

tlmtm erit.

Pars posterior liuius propositionis per se est manifesta. Si itaque prior fal-

esset. inter numéros ipso p" minoresshuulque pcr p non divisibiles plures fo-

reut rcsidiui ipsius p quam ipsius /> i. e. plures quam ip"~l[p– \). Nullo

vero negotio perspici poterit, multitudincm resicluorum numeri y> inter illos nu-

méros esse praecise = «y"~l (/> – î}.

Aeque facile est, quudratum rt'ipsa invenire, quod secundum mocliduiu p"

rt'siduo dato sit congruum, si qundratum huic residuo secuuduni modulum p con-

^ruum habetnr.

•Scilicet si quadratum habetur, a a, quod residuo dato A seeundum modu-

lum p'1 est congruum, deducitur inde quadratum ipsi A secundum modulum p'

n

coufîruuin (ubi v >jh et – vel «< 2/k supponitur) sequenti modo. Ponatur

radix quadrati qnacsiti –^ru-x//v', quam fomuun eam habere debere facile1

perspicitur; debetque esse aa^h2uxjJlfÊ-xj?ptiX^A')noA.p' sive propter 2ju^>v.

A – aa^ + 2(uvp!l[mod.p'1]. Sit A – aa~p'ld, oritquc .p valor expressionis

+ mod.y~!A; quae huic +2;7>- 'înod. aequivalet.

Dato igitur quadrato ipsi A.secundum p congruo, deducitur inde quadra- i~

tum ipsi A secundum modulum p* congruum; hinc ad modulum p*, hinc ad p*

etc. ascendi poterit.

Ex\ Proposito residuo o quod secundum modulum 5 quadrato 1 colt-

gruum, in venitur quadratum9a cui secundum 25 est congruutu, 10" cui secun-

`

dum 125 congruum etc.

102.

Quod vero attinet ad numéros per p divisibiles, patet, eorum quadrata per

pp fore divisibilia, adeoque omnes numéros per p quidem divisibiles, neque vero

per pp, ipsius p" fore non residua. (jencraliter vero, si proponitur mimeras j/'A

ubi A per p non est divisibilis lu casus crant distinguendi:

l Quando k = vel >«, evit ;1^0 mod. Le. residuuin.

2) Qimndo k <^« atque impnr, crit p*A non-residuuiu.

Si enim esset pkA–p**+tA=s3(mo<LpH), ss per /*+1 divisibilis esset,

id quod aliter fieri nequit, quam si fuurit s pcr pi+1 divisibilis. l'une vero ss

MODm QUI sifST NTMEIW COMl'OSlf I". 79

etiam per /jw+î divmbilis, adeoque etiam (quia 2z-f-2 certa non inuior quitta »

pbA i.e. p^'+'A; sive A per />, contra hyp.

3; Quando A <« atque par. Tum /Â4 erit residuum vel non-residutim

ipsius p", prout ,4 est rcsiduum vel non-residuum ipsius p. Quando euim *i1

est residuum ipsius p, erit etiam residuum ipsius p"~k. Posito autem A~aa

[mo(l.p"~A~; erit Apk^aapb/Ktaod.p*}, ««/ vero est quadratum. Quando autem

A est non-residuum ipsius y, j»At residuum ipsius />" esse nequit. Ponatur euim

p*A=aa!xnoà.f), eritque necessario a a per pk divisibilis. Quotiens erit qua-

dratum cui A secundum modulum adeoque etiam seciuidummoduhun p

congruus, i. e. A erit residuum ipsius p contra hyp.

103.

Quoniam casum p = 2 exclusimus, de hoc adhuc quaedam (b'cenda. Quan-

do numerus 2 est modulus, nuinerus quicunque erit residuum, non-residua nutta

crant. Quando vero 4 est modnlus, omnes numeri impares formae 4/»#+ 1 erunt

residua, omnes vero formae 4/r-f3 non-residua. Tandem quando 8 aut altior

potestas numeri 2 est modulus, omnes numeri impares formae S/f- erunt re-

sidua, reliqui vero, seu ii qui sunt formarum 8*4-3, S/-+5, SA-+7, erunt

iion-residua. Pars posterior huius propositionis inde clara, quod quadratum mi-

iusvis numeri imparis, sive sit formae 4Â*-J-1, sive formae >\k– 1, fit format-

SÂf+ 1 l'riorem ita probamus.

1) Si duorum numerorum vel smnina vel differentia per 2" est divisibilis,

numerorum quadrata erunt congrua secundum modulum 2". Si enim alter poni-

tur =a, eritalterformac 2"~l/*+«, cuiusquadratuminvenitur =««(mod. 2".

2) Quivis numerus impar, qui ipsius 2" est residuum quadraticum, congruus

erit quadrato nlicui, cuius radix est numerus impar et <2" Sit enim qua-

dratum quodeunque, cui numerus ille congruus, aa atque numerus a =+or

(mod. 2*) ita ut a moduli semisseni non superet (art. 4), eritque a a -= au.

Quarc etiam numerus propositus erit =aa. Manifeste vero tum a tum a erunt

impares atque a<[2"~î.•

3) Omnium numerorum imporium ipso 2" minorum quadrata secundum

2"incongrua erunt. Sint enim duo tales numeri r et a-, quorum quadrata si se-

cundum 2" essent congrua, foret '/– s){r-s) per 2" divisibilis (posito /•>Facile vero perspicitur numéro» >• – .«. r-it simul per J divisibiles esse non

80 »e coKOkv&MTiis "semtëii ohaw»^

posse, quare si alter tantuinmorfo per 2 est tlivisibilis, alter, ut prodnctum per 2"

divisibilis fieret, per 2" divisibilis esse deberet. Q.E.A. quoniam irterque

<2"-ï.

4) Quodsi denique haec quadrata ad residua sua minima positiva reducuutur,

habebuntur 2*"3 residua quadratica diverse modulo minora*), quorum quodvis

erit formae S^-f-l. Sed quum praecise 2"~s numeri formae SA-f-1 modulo

minores exstent, necessario hi omnes inter illa residua reperientur. Q. E. D.

Ut quadratum numéro dato formae 8Âf-f- 1 secundum modulum 2" con-

gruum invenintur. methodus similis adhiberi potest, ut in art. 101 vid. etiam

art. HS. –Denique de numeris paribus eadem valent, quae art. 102 generaliter

exposuimus.

104.

C'irca multitudinem valorum diversorum (i. e. secundum modulum incongru-

orum quos expressio talis F– y'/l'mod.y/') admittit, siquidem A est residu-

um ipsius /> facile e praeec. colliguntur haec. (Numerum p supponimusesse

primum, ut ante, et brevitatis caussa casum n=\ statim includimus). I. Si A

per p non est divisibilis F umm valorem habet pro p== 2, n =

1 puta V

= 1; duos, quando p est impar, nec non pro = 2,« = 2, puta ponendo unum

=-t>, alter erit – f; quatuor yxn ^=2,«>2. scilicet ponendo unum ~v,

reliqui oriuit ^– v, 2"j-i;, 2" – v. II. Si A per p divisibilis est, neque

vero per p", sit potestas altissima ipsius p ipsum A metiens ^ÏJ* (manifesto enim

ipsius exponens par esse debebit; atque A=ap! Tune patet, omîtes valorcs ip-

sius F per j»1* divisibiles esse, et quotientes e divisione ortos fieri valores expr.

F'=\/a(mod.y"2!t}; hinc omnes valores diversi ipsius V prodibunt, multipli-

cando omnes valores expr. F' inter 0 et /> sitos per /iC; quare illi exhibe-

buntur per

cp* vpv- -p" vpv- + 2/ vp11 + y – 1 sp"

si r indefinite omnes valores diverxos expr. F' exprimit, ita ut illorum nmlti-

tudo fiat pi\ ipf- vel 4/j! prout multitudo horum (per casmn 1 est 1,2 vel l.

III..Si A per/" divisibilis est, facile perspicietur, statuendo n = 2m vel =2»i – I,

prout par est vel impar, omnes numeros per p'" divisibiles, neque ullos alios, esse

valores ipsius F; quare omnes vnlores diversi hi crunt 0, 2y/ p"~m – 1 ,pm,

quorum multitudo p"~m.

*) Puta quoniammultitudonumurorumimpariuminfra !"•* i'« a"

ClMEBttJH OEKERAtJB. 81

1 1

105.

Superest casus, ubimotlulus m e phmbus numeris priniis eornpositus est.

Sit m–abc. designautibus atb,cete. numéros primes diverses aut primorum

diversorum potestates, patetque statim, si « sit residuum ipsius m, fore etium n

residuum singulorum a,b,c etc., ndeoque n certo non-residuum ipsius m esse, si

fuerit XR. ullius e numeris a,b,eete. Vice versa autem, si n singulontm u,b,e r

etc. residuum est, etiam residuum producti m crit. Supponcndo enim, »=.

# Cetc. sec. inod.a, J.cetc. lesp., patet, si numerus N ipsis A, li, C etc. sec.

mod. a,b,c c etc. resp. congruus eruatur (art. 32), fore H=JViV scciuuluin omnes

hos niodulos adeoque etiam secundum productiun m. Quum facile perspi-

ciatur, hoc modo e combinatione cuiusvis valoris ipsius A sive expr. y'»;raod.«)

cum (juovis valore ipsius B cum quoeis valore ipsius Cetc. oriri valorem ipsius

N sive expr. ^(înod.m), nec non e combinationibus diversis produci diversos

N, et e cutictis cunctos multitudo omnium valorum diversorum ipsius AT ae-

qualis erit producto e multitudinibus valorum ipsorum A, B, C etc. quas deter-

minare in art. praec. docuimus. Porro manifestum est, si unus valor ex-

pressionis \jn .(mod./») sive ipsius N fuerit notus, hune simul fore valorem om-

nium A,B, Cetc; et quum hinc per art. praec. omnes reliqui valores harum

quantitatum deduci possint, facile sequitur ex uno valore ipsius Ar omnes reli-

quos obtineri posse.

Ex. Sit modnlus 315 cuius residuum an non-residuum sit 16, quaeritur.

Divisores primi numeri 315 sunt 3,5,7, atque numerus 46 residuum cuiusvis

eorum quare etiam ipsius 315 crit residuum. Porro, quia 46G =1, et = 64

'mod.9); =1 1 et =16(mod.5); =4 et =25(mod.7), inveniuntur radiées

quadtatorum, quibus 40 secundum modulum 315congruus. 19,2(i,44,S9,226,

271,289,296.

Critérium yenrrale, iitrtmi iiunu-nts àalm utiinrri primi iati rmtluum ait an tion-ntsittunm.

106.

tëx prnecedentibus colligitur, si tantummodo semper dignosci possit utrum

numerus primus datus numeri primi dati residuum sit a« uon-rcsicluuni, omnes re-

liquos casus ad hune reduci posse. Pro illo itaque casu criteria certa omni studio

nobis erunt indaganda. Antequam autem hanc perquisitionem aggrediamur, cri-

terium quoddam exhibemus ex .Sect. praec. petitum. quod quamvis iu praxi mtl-

82 DE COSaitL'BNTH* SKCL'NDf OHABl'S.

tum fere immi habeat. tamen propter simplkitàtem atqùe generalitatem memoratu

dignntn est.

Numerus qiiicumjue A j/er numerum prhmrm •lm- 1 non dieimbilia fitthut

primi reshluum est eel wn-resîduum, prout »1"|- 1 cel •= – 1 {mod. 2m + 1).

Sit cniin pro ntodulo 2»?+ 1 in systenmte quocunquc nunieri A index a,

eritqiu} « par quando A est residmun ipsius 2m-1, impar voro quando A

uou-rcsiduiuu. At numcri A'" index erit ma, i.e, =0 vol =»t(mod. 2m.,

prout « par vel impar. Hinc denique A'" in priori casu erit ~-f" J in poste-

riori vero = – 1 (mod.2»<+l). V. artt. 57 02.

Ex. :iipsius 13 est residuum quia 3°= 1 (mod. 13

2 voro ipsius 133

non-residuum, quoniam 2a^– 1 mod. 13;.

At quoties nuineri examinandi niediocriter sunt maglli, hoc critérium oh

eolculi immciisitatem prorsus inutile crit.

Di.iijitisil imics rfc numcria primi s quorum reniduti <mt nnit-rexidttii .liât nu nu- ri tluti.

107.

Facillimum quidem est, proposito modulo, omnos assignare numeros, qui ip-

sius rcsidua sunt vel non-residua. Scilicet si ille numerus ponitur = m, deter-

minari debout quadmta, quorum radiées semissem ipsius m non supcrant, sivtr

etiam numeri lus qiiadratis secundum in congrui ad proxin methodi adhuc expe-

ditiores duutur}, tuncque omnes inunerî horuni alicui secundum tu congrui, erunt

residua ipsius m, omnes nutem numeri nulli istorum congrui erunt non-residua. –

At quaestio inversa, proposito numéro atiquo, assiynare omnes numéros quorum ille

sit residuum cel non-residuum multo altioris est i-ndaginis. Hoc itaque problema,

a cuius solutione illud quod in art. pracc. nobis proposuimus pendet, in sequentibus

perscrutabimur, a casibus siraplicissimis iuchoautes.

Itesidutim i.

·10S.

Tiieokema. Omnium nwmerorum primorum fvrtnae 4«+l,–1 est residuuui

qtiadraticum, omnium vero numerorum primorum formae 4 n- 3, non 'residuum.

Rv. –1 1 est residuum numerorum 5,13,17, 29,37, -11,53,01. 73, Si», 977

etc.. o quariratis muncioruni 2,5,-1, 1 2,0, 9,23, 1 1.27, 31, 22 etc. respective ori-

REsiDucji – 1; 88

11*

undum; contm non-residuam est numerorum 3,7, U,li),23,»t, 43,47,59,67,71,

71), 8 etc.

Mentioncm huius theor. iam in art. 84 feeimus. Demonstratio vero facile

ex art. I ou petitur. Ktenim pro numéro primo formae 4»-f- 1 est – l; s 1

pro numéro nutcm foraine 4 h 4- 3 habetur (– 1 ,H – 1. Couvenit haec

demonstratio cum ea quam 1. c. tradidinnis. Setl propter theoreinatis olcgautiam

atque utilitatem non superftunm erit, alio adhuc modo idem osteudis.sc>.

1 ou.

Designemus complexum omnium residuorum numeri primi p, qune ipso p

sunt minora, excluso residuo o, per literam C\ et quoniam horum rcsiduorum

nmltitudo 1 semper ~£~,

lmanifestum est, eam foreparem, quoties p sit format*nlultituclo semper

=â

ltlnllifcsturn (~t, eam fore purem, quoties p sit ormUl'

4 n -f- 1 imparem vero, quoties p sit formae 4 h + :J • Bicantur, ad instar art. 77.

ubi de nuraeris in geuere agebatur, rcsidua socia talia, quorum productum ~l 1

ituod. manifesto enim si r estresiduum,ctiam ^;mod.

residuum crit. Et

quoniam idem residuum pluru socia inter residua C linbere acquit patet omnia

residun C in classes distribui posse, quorum quaevis bina residua soda contineat.

ïam perspicuiun est, si llullum residuum daretur, quod sibi ipsi esset .socium, i. e.

si quaevis classis bina residua hiueijualUi coutineret, omnium residuorum nuine-

rum fore duplum immeri omnium classium; quodsi vero aliqua dantur residtm sibi

ipsis socia l. e. aliquae dusses quac unicuni tantum residuum mit, si quis nialit,

idem residuum bis continent, posita lmrum classium multitudinc ^=«. rcliqun-

nunqne multitudine –b; erit omnium residuorum C mimeras =a-{-2b.

Quart: quando p est formae 4w+l, erit « numerus par; quando autem p est

formae 4 « -f- 3 erit « impar. At numeri ipso p minores alii quam l et

p 1 sibi ipsis socii esse nequeunt (vitl.art. 77^ priorque 1 certo inter residua

occurrit; unde in priori casu p – 1 'seu quod hic idem valet, – 1 ) debet esse

residuum, iu posteriori vero non-residuum alias euim in illo casu foret «^=1.

in hoc autem =2, quod fieri nequit.

I 1U.

Etiam haec demonstratio ill. Eulero debetur, qui et priorem primus iuvenit

Y. Opmc. A/tal. T. I. p. 135. – Facile quisquis videbit eam sinùlibus priiici-

piis innixam esse, ut demonstratio nostra secunda theor. AVilsouiani art. 77. Si

84 bk fONeRimNrii» SËeew» qradcs.

vero hoc theorema supponere velimus, facilius adhuc dcraonstratia exbibeïi potc-

rit. Scilicet intor numéros 1, 2, 3.»– 1 orunt residua quadratien ip-

sius p totidcmque îion-rosidua; quare non-residuorum multitudo erit par, quando

p est formae 4«-f-I; impar qaando p est format* 4n-3. Hinc productum

ex omnibus numeris 1,2,3.–1 in priori casu erit residuum in posteriori

non-residuum (nrt. 99). At productum hoc semper ™ – l(mod.p); adeoque

etiani in priori casu residuum in posteriori non-residuum erit.

111.

Si itaque r est residuum numeri alicuius primi formae in-i, etiam

– huius primi residumn erit, omnia autem talis numeri non-residua, etiam sig-

no contrario sumta non-residua manebunt '). Contrarium evenit pro numeris pri-

mis formae An-j-'i, quorum residua quando signum mutatur, non-residua h' unt

et vice versa, vkl. art. «S.

C'eterunt facile ex praecedentibus derivatur régula geweralis: 1 est re-

mliium omnium immerorum qui neque per 4 neijue per ullitm manemm primut»

formas i « + 3 dieidi possimt;omnium reliquurum non •residuum. V. artt. 10H3

et Hi5.

liesùlua +2 H –i.

112.

l'rogrcdimur ad residua +2 et – 2.

Si ex tabula II colligimus omnes numéros primos quorum residuum est

+ 2, nos habebimus: 7,17,23,31,-11,47,71,73,79,89,97. Facile autem ani-

inadvertitur, inter hos numéros nullos iuveniri fonnarum !s« +et 8» -{-5.

Videamus itnque, num haec inductio ad certitudinent evehi possit.

l'rinuun observanius quemvis uumerum compositum formae Sw-f-;i 1 vel

b « -f- 5 necessario factorem primum alterutrius formae Sm-j-3 vel %«-j-5, in-

volvere; manifesto enim e solis numeris primis fonnarum Ss«-|-1, 8 M-}-7. alii i

numeri quam qui suut foraiae sw-f-1 vel b«-f-7, componi nequeunt. Quudsi

itaque inductio uostra generaliter est vcra, nullus omnino numerus format;

') Quandoigitur de numéro quocumjucloquemur (|untenusnumeri formuu i « +1 residuumvel non-re-«duum est, ipsius «ignum omnino nvgligcru sive ctîam si^mun aneci» ± ipsi tribuerc [lott-riimis.

UfcSHMM 4-2 ET –2. 85

S#-|- 3, 8» 4- 5 dabitur, coi'ns residuum 4- 2; sicqite tittllu» certe mimerù»

huius formae infra 1 00 existât, cuiiis residunm sit + 2. Si autem ultra huue limitem

talcs numeri reperirentur, ponamus minimum omnium –t. Erit itaque t vel

formae 8 «4- vel 8«-f-5; +2 ipsius residuum erit, omnium autem numéro-

rum similium minorum non-residuum. Ponatur 2=««(mod. t) poteritqu» «

ita semper accipi ut sit impar simulque < (habebit enim a ad minimum duos

valores positives ipso t minores quorum summa –t, quorumque adeo nlrei- paraltcr impar v. artt. 104. 105). Quo facto sit «« = 2 + *», sive tu~au~ 2.

eritque aa formae 8»-f-1, ta igitur formac 8»– 1, adeoque u formae

bn+'A 3 vel 8»-j~5, prout t est formae posterions vel prioris. At ex aequationo

«o = 2-f-/« sequitur, etiam 2^aa(mod.M) i. e. 2 etiam ipsius u residuum

fore. Facile vero perspicitur, esse u<^t, quaro t non est minimus numerus in-

ductioni nostrae contrarius contra hyp. Unde manifeste sequitur id quod per

inductionem inveneramus generaliter verum esse.

Combinando haec cum prop. art. 1 ) 1 sequentia theoremata nanciscimur.

I. Nutnerontm omnium primorum formae 8 «4-3, -f2 2 erit non -residuum,– 2 vero residuum.

IL Numerorum omnium immorum formae 8»-f-5 tum +2 2 tum –2 2

eruut non-reshlua.

113.

l'er similem inductionem ex tab. II inveniuntur numeri primi quorum rt--

siduumest –2 )ii: 3, 11, 17, 19,41,43,59,67, 73,83,89,97*). Inter quos quum

nulli inveniautur formamin 8 «+5, s»-j-7, num etiam haec inductio tlteore-

matis generalis vim adipisci possit investigemus. Osteuditur simili modo ut in

art. praec. quemvis numerum compositum formae b»-f-5 vel 8 n 4- 7 facturent

primum involvere formae 8?» +5 velformne 8w-f-7, ita ut, si inductio nostrageneraliter vera, –2 nullius omnino numeri formae 8«-j-5 vel 8»-|-7 resi-

duum esse possit. Si autem tales numeri dnrentur, ponatur omnium minimus

~t, fiatque –2=aa – tu. tbi si uti supra « impar ipsoq ne t miuor acci-

pitiur, m erit formae bw+5 vel 8m-|-7, prout t formae 8«-j-7 vel s «4-5.

Atexeoquorf ««4-2 = ^« atr^ue «•<?. quisquù facile derivare potorit. etiam

*) (Vmsidcrando stilicut ï tttmi|iiam productura ex -t-2 i;t – l V. art. m. t.

86 DE CÔNORffâîTUS SKtîl'ïiltt OKADt'S.

w ipso t minorent foie. Denique –i etiam ipshis « residuumerit, i.e. non

prit minimus mimerus qui iiuluctioni nostrae «dversatur, croîtra hyp. Qnare ne-

ressario – 2 omnium numerorum formarutu S«.-f-5, S»-f-7 non-residuum.

(,'ombinando lwec cuiu prop. art. 111, prodcuut theoremata haec:

I. Omnium numerorum primorum %n-b, tum – 2 tum -j-2 sunt mm-

midua, uti iatn in art. praec. invenimus.

II. Omnium numerorum primurum formae 8«-f-7, – 2 est wm-residu-um,

4- 2 vero testhhum.

Ccterum in utraquo deinonstrntione pro « etiam valorem porcin aceiperc

potuissemus; tune autem casum wbi a fuisset forniao l« + 2, ab eo tlistingucn;

oportuissot, ubi a formae 4 «. Kvolutio autem periude procedit uti supra, nulli-

(juc clifficultati est obuoxia.

114.

l'iuts ndlmc superest casus. scilicet ubi numerus primus est formae Sw+ 1

Ilio vero ntethodum prnecedentem eltulit, artificiaque prorsus peculiaria postulat.

Sit pro modulo primo 8 n + 1 radix qunccnnque primitiva a critque

'art. 02 j «'" == – 1 (mod. S « -4- 1 } quae congruentia ita etiam exhiberi potest,

“«" _|_ | = ortïl( mod. S n + 1 sive etiam ita, («*" – 1 }* = – 2 «*\ Undc sequi-

tur tum 2«s" tum – 2<r" ipsius s«-|-l esse residuum at quia «*" est qua-

dratum per moduluni non divisibile,munifesto etiam tum -j-2 tum – 2 resi-

dua erunt art. 9 S).

115.

Haud inutile erit, adhuc aliam huius theorematis demonstrationem adiieere,

quae similem rclntionem ad praecedentem habet, ut theorematis art. lus deuion-

stratio secuuda (art. 109) ad primam (art. 10S\ Periti fatilius tuuc perspjcieut,

binas demonstratkmes tam illas quam lias non adeo heterogeneas esse quam pri-

mo forsân aspectu videantur.

1. Pro modulo quoeunque primo formae ïm- 1 inter numéros ipso mi-

nores 1, â, '.). 4 m, reperientur m qui biquadrato congrui esse passunt, reliqui

vero 3?» non potcrnnt.

Facile quidem hoc ex principiis Sect. praec. derivatur, scd etiam absque his

démonstratif) haud difficilis. Demonstravimus enim pro tali modulo – 1 sem-

«estdw -f-2 vr -– 2. 87

per esse residuum quadiatieura. Sititaque ff= – patetque, si g fuerit nu-

merus quicunque per modnlum non divisibilis. quaternorum numerornm -f-

–s,+fn,–fs (quos incongrues esse facile perspicitur) biquadrata inter se eon-

grua fore; porro nmnifestum est biquadratum numeri cuiuscunque, qui nulli ex

his quatuor congruus, illorum biqiuidratis congruum fieri non posse, (alias enim

t'ongruentia atP^z* quae est quavti gvadus plures qnam 4 radiées haberet, eon-

tra art. %d). Hine facile colligitur omnes numéros 1, 2, 3, .4m, tantummodo

m biquadrata incongrua praebere, quibus inter eosdem numéros m congrui repe-

rientur, reliqui autem nulli biquadrato congrui esse poterunt.

II. Secundum modulum primum format' S«-fj, – i biquatlrato congru-

us lieri poterit (~1 erit residuum bùjuadruticum huius numeri prinii'.

Omnium enim residuorum biquadraticorum ipso 8»-f-l minorum (cifm

exclusa) multitudo erit =2» i. e. par. Porro facile probatur, si r fuerit resi-

duum biquadraticum ipsius 8w-fl, etiam valoremexpr. ^(mod.S«+l

fore

tale residuum. Hinc omnia residua biquadratica in classes simili modo distribui

poterunt, uti in art. 109 residua quadratica distribuimus nec non reliqua demon-

strationis pars prorsus eodem modo procedit ut illic.

III. Iam sit y* = – I et h valor expr. (mod. S»+ i ). Tune erit

{9±1'Y =f+/r±2çh =g*+h'±2

(piopter yA J). At/ = – 1, adeoque A's^'A's^ unde tandem

/-f/z'pO, atque (^+A)2==Hh2 i.e.tnm +2 tum –2 residuum quadra-

ticum ipsius 8»-J-l. Q. JB. D.

116.

(.'eterum ex praecc. facile régula sequens generalis deducitur: +2 est resi-

duum numeri cuiusvis, qui neque per 4, neque per ullum primum formae bn-f-3vel

Sw-f-5 dividi potest, reliqwrum antem (ex.gr. omnium numerorum formamni

s h-(-3, 8»?+ 5 sive sint primi, sive compositi) non-rcsiduum.

2 est residuum numeri cuiusms qui neque per 4, neque per ullum primum

formae 8» +5 vel 8»-f-7 dividi potest omnium autem reliquorum non-redduum.

Theorematn haec clegantia iam sagaci Fermatio innotuenint Op. Mat/ton,

ji, 10S. Demonstrationemvero quam se habeve protessus est, nusquam comiHii-

W DE COStÔRCEKTI» SECVRDr GRJtDl'S.

rtien vit. Postea ftb ill Eutero frustra semper est investigata at ill. lift Grange pri-

mus demonstrationem rigorosam reperit, Nom. Mém. de tAe, de Berlin 1775.

/>. 349. 351. Quod ill. Eulerum adhuc latuisse videtur, quando seripsit diss. in

Opusc. Aiiafj/t. conservatam. T. I. p. 259.

Xesidttu + .1 et 3.

117.

Pergimus ad residua +3 3 et 3. A posteriori initium faciamus.

Reperiuntur ex tab. Il. numeri primi quorum residuum est 3 hi: 3, 7.

13,19,31,37,43,61.07,73,79,97, inter quos nullus invenitur formae (jh + 5.

Quod vero etiam ultra tabulae limites nulli primi huius format» dantur quorum

residuum – 3 ita demonstramus Primo patet quemvis numerum compositum

formae G w-f-5 necessario factorem primum aliquem eiusdem formae involvere.

Quousque igitur nulli numeri primi formne 6«+5 dantur, quorum residuum

– 3 eousque talcs etiam compositi non dabuntur. Quodsi vero ultra tabulae

nostrae limites tales numeri darentur, sit omnium minimus =t, ponaturque

– 3=«« – tu. Tuncerit, si acceperis a parem ipsoque t minorem, «<'» at-

([ue–

3 residuum ipsius m. Sed quando « formae Cw+2, tu erit formae

0«-f-l, adeoque u formae Gn- 5, Q.E.A. quia t minimum esse numerum

iuductioni nostrae adversantem supposuimus. Quando vero a formae Gw, erit

tu formae 30 «-j- 3 adeoque J7« formae 12» -f- 1 quare J« erit formne

(}M-f-'r>; patet autem – etiam ipsius J« residuum fore, atque esse j,tK^t,

Q.E.A. Manifestum itaque, -3 3 uullius numeri formae 6« + residuum

esse posse.

Quoninm quisque numerus formae 0«-(-5 necessario vel sub forma \2n -{-!>,

vel sitb hue \2n-ii continetur, prior autem forma sub hac 4*1+1, posterior

sub hae 4 » » haec habentur thcoremata

I. Citiuseis nitmeri jmmi formae l'lit-i>, tu m – 3 tum -f-3 nou-resi'

ditiim est.

II. Cuiusvis immcri primi formai' 12»+IJ.– 3 est von residuum -f-S

cent residuum.

BEBfDOA 4-» KP – 3. 89

12

118,

Nnmeri quorum reskluum est -f-3 ex tabula II. inveniuntur hi: 3, 11, 13,

23, 37, 47, 5U. U1. 7 1. 73, S3, 97, inter quos nulli sunt formate i2n- vel

1 2 h + 7. Xullos autem omnino numéros formarum 12 2»+ 5, 12» + 7 tlari

quorum -f- 3 sit residuum, eodem prorsus modo, ut in artt. 112, 11 J:i, 117, com-

probari potest, quaye hoc negotio supersedemus. Habemus itaque collnto urt. 1 1 1

theoremata:

1. Xumeri cnùisvis primi formae \2n-& nou-residua sunt tum -f- 3 tum

–3 (uti iam in art praec. invenimus).

IL Numeri cmnsvis pritui formae 12w-f7 non-residuum est +3, –3 vero

residmim.

119.

Xiliil autem per hanc methodum pro numeris formae 12m-{-1 inveniri

potest. qui proin artificia singularia requirunt. Ex inductione quidem facile col-

ligitur, omnium numerorum primorum huius formae residua esse +» et – 3.

Manifesto autem demonstrari tantummodo debet, numerorum talimn residuum

esse – 3, quia tune necessario etiam -f- 3 rcsiduum esse débet 'art. 111,. Ostcn-

demus autem generalius,– 3 esse residuum numeri cuiusvis primi formae

:t«+i.

Sit p huiusmodi primus atque a uumerus pro modulo p ad exponentem 3

pertinens quales dari ex art. 54 manifestum, quia 3 submultiplum ipsius p– 1;.

Erit itaque «3=l(mod. i.e. «3– 1 sive !«*+«+ 1 )(«–!) per p divisi-

bilis. Sed patet a esse non posse = 1 imoà.p) quia 1 ad exponentem 1 per-

tiuet, quare «–1 per p divisibilis non erit sed «*-|-«+l erit. hineque etiam

4 au -f- 4 « -f- 1 ?. e. erit 2 « + 1 1 = – 3 f mod./>) sive –3 residuum ipsius p

q. e. D.

Ceterum patet, liane demonstrationem quae a praccedentibus est indepen-

dens) etiam numéros primos formae 1 2 « – f-7 complecti quos iam in art. praec.

absolvimus.

Observare adlnic convenit. hanc analysin ad instar methodi in artt. 109, 115¡;

usitatae exhiberi possc. at brevitatis gratia huic rei non immoramur.

90 DB eONORCKSTII»SEet'îfDI SRAM'S.

120.

Colliguntur facile ex praecc. theoremata haec (vid. artt. 1 02, 103, 105).

I. – est residuum omnium numerorum, qui neque per 8, neque per tt, ««•

que per ullum mimerum primum formae 0 n + 5 <#wW* pvssunt, non • residuum autem

omnium reliqnoriim.

Il. -f-33 est residuum omnium numerorum, qui neque per 4, neque per », »e-

que per uttum primum formae 12w-f-5 rrf 12b + 7 tHvidi pmsmt t vmnnm rd'h

quorum non •residuum.

Tcneatur intprimis casus particularishic:

3 est residmtm omnium nmncioium jn-imomm formac U»+l, seuquod

idem est omnium, qui ilrsius :3 srtrtt resltlrta, nun·residurtm vero omuium uumeroram

primorum formae 6«-f-5, seu, excluso numéro 2, omnium formae 3k+2, i.e.

omnium qui ipsius3 suut non- residua. Facile vero perspicitur

omnes rcliquos ca-

sus ex hoc sponte sequi.

Propositioncs ad residua +3 et –3 pertinentes lam Fermatio notae fu-

erunt. Opéra Wallisii T. 11. p. 857. At ill. Eulcr primus démon strationes tradi-

dit. Cmm. nm. Petr. T. VIII. p. 105 sqq. Eo magis est mirandum, demonstra-

tiones propositionumad residua + 2 et –

2 pertineutium prorsus similibus

artificiis innixns, semper ipsius sagacitatem fugisse. Vid. etiam comment, ill. La

Grange, Nouv. Ment, de l'Ac. de Berlin, 1775 p. 352.

Residua + s et – S.

121.

l'er inductionem deprehenditur, + nullius numeri imparis formae

5«+2 2 vel 5 + 3 residuum esse, i. e. nullius numeri imparis qui ipsius5

non-residuum sit. Hanc vero regulam nullam exceptionem pati, ita demonstratnr.

Sit numerus minimus, si quis datur, ab htte régula excipiendus –t, qui itaque

numeri 5 est non-residuum, 5 autem ipsius residuum. Sit «a – 5-f-fM, ita

ut a sit par ipsoque t minor. Erit igitur tt impar ipsoque t minor, + h au-

tem ipsius Il residuum erit. Quodsi iam a per 5 non est divisibilis, etiam non

erit; manifesto autem tu ipsius 5 est residuum, quare quum t ipsius 5 sit non-

residuum, etiam « non-residuum erit; i. e. datur non-residuum impar numeri 5,

cuius residuum est -f5, ipso t minus, contra hyp. Si vero a per r> est divisi-

ttKBini'A -fi kt -r». 91

12

bilk pouatur «– &i, aïque u = ùv, utttle tv=– I ~4(mod. 5), 1. 1*. *r erit

residuum numeri 5. In rcliquis demonstratio pcrinde procedit ut in cnsu priori.

122.

Omnium igitur numerorum primorum, qui sinml sunt ipsius 5 non-residua

simulqne formae 4«-f-1, i. e. omnium numerorum primorum formae 2On-f- 13

vel 2(>M-{-t7, tum "+"& quam – 5 non-residua erunt; omnium autem. nume-

rorum primorum formae 20 «-{-3 vel 20w-f7> non-residuum erit + 0 –5 il

residuuin.

Potest vero prorsus simili modo demonstrari 5 esse non-residuum om-

nium numororum primorum fovmarum 20m-|-11, 20w-j-13, 20w – j– 1 7, 20?/-f-19.

faeilequc perspicitur bine scqui, -f-5 esse residuum omnium numerorum primo-

rum formae 20» -f- 11 vel 20 m -f- 19, non-residuum autem omnium formae

2O»-f-13 vel 2O«-|-17. Et quoninm quivis numerus prinms, praeter 2 et 5

quorum residuum +5}, in aliqua haram formarum continetur 20 «+ 1,3.7,9.

1J, 13, 17, 19, pntet, de omnibus iam iudicium ferri posse, exceptis »s qi" sint

formae 20»-f- 1 vel formae 20/j-f-

123.

Ex inductione facile dcprehenditur, -|-5 et – 5 esse rcsidun omnium

numerorum primorum formae 20»-f-l vel 20 ta 9. Quodsi hoc generaliter

verum est, lox clegans habebitur, -f- 5 esse residuum omnium numerorum primorum

qui ipsiits 5 siitt residitu hi enim in alterutra formtmun 5w+l vel 5«-f-4 si-

vc in aliqua harum, 2»>w-j- 1 S), 11,19. continentur, de quaruin tertia et quarta

illud iam ostensum est, non-residuum vero omnium numerorum imjmrium qui il~sieasil

sint non-remlua, ut iam supra demonstravimus. (.'larum autem est hoc theorema

sufficerc ad diiiidieanduni utrum -f- 5 (eoque ipso, – 5, si tamquam productum

ex + et 1 eonsideretur: numeri cuiuscunque dati residumn sit an non-resi-

duum. Deniquc observetuv luiius theorcmatis cum illo quod art. 1 20 de residuo

3 exposuimus analogia.

At verificatio illius inductionis non adeo facilis. Quando numerus primus

formae 2o«-f- J sive generalius formae hn- proponitur, res simili modo ab-

solvi potest, ut in artt.TH, 110. Sit scilicet numerus quicunque pro modulo

û«+l 1 ad exponentem r> pertinens a, qualcs dari ex Sect. praec. manifestum,

9g^: DK CONOUÏ'KStHSSECtSDI OBADt'8.

eritque rt»=l, sive {« – I {rt*-f «3-f «^-f-rt-f 1} = 0(nU>d,5»~f- 1). At quia

nequit esse a=l, neque adco «r – 1 = 0; necessario erit «44-«ï-f-«*+«H-1 t

~0. Quare etiam 4 >'+«* •+«*+<!+ 1} – 2««+«+2;'î – »«* erit ==o

i. e. 5«a erit residtuun ipsius 5«-f-l, adeoque ctinm 5, quia «* est rcsiduum

per 5 h -Hnon divisibile (« enim per r* » -f- 1 non divisibilis propter «s=l.

Q. E. D.

At casus. ubi ittimerus primus formac 5»-j-4 4 proponitur,subtiliom artifi-

cia postulat. Quoniam vero propositioncs quorum ope negotium absolvitur in se-

queutibus gencmlius tractabuntnr, hic breviter tantnm ens attingimus.

I. Si /> est numerus primus atque b non-residunm quadraticum datum

ipsius j>, valor cxpressionis

A (x-i-1_f'+, (x t; a)vi,~––––––

ex qua evolutn irrationalitatem abire fedle perspicitur; semper per p divisibilis

erit, quicunque numerus pro je assumatur. Patet enim ex inspectione coefficien-

tium qui ex evolutione ipsius A obtinentur. omnes terminos a secundo usque ad

peuultinuim 'incl.) per p divisibiles fore, adeoque esse *l=2(/>-H0 (< +^~)

^nmlj);.At quoniam

li ipsius p non-residuam est, crit 6~ – l (mod.y>

'urt. 100 cet' autem semper est ^A" (Sect.prnec/, unde fit A^Q. Q. E. D.

II. In congruentia /1^0(mod./>), indeterminata .i1 habet p dimensiones

omnesque numeri 0 1 2 .p –1 illius radiées erunt. Iam (mnatur

e esse divi-

sorem ipsius />+ I eritque expressio

(T+~tA)'

V*

(quam per B designamus) si evolvitur, ab irrationalitate libéra, indeterminata x

in ipsa e – I dimensiones habebit. eonstatque ex analysées primis elementis, A

per B lïndefinitei esse clivisibilem. Iam dico e – I valorcs ipsius jc dari, quibus

in B substitutis, B per 1) divisibilis évadât, l'onatur enim /1=UC, habebit-

que .j.1 in C dimensiones p – e-f-1, adeoquc congruentia C=0(mod.^ non

plui-es quam p~e~ radiées, l'nde facile patet, oranes reliquos numéros ex

his 0,1, 2, '}> -I. quorum multitudo =<;– I, congruentiae li~o radi-

(es fore.

III. lam ponatur p esse formae 5»-|-4, e = h. h non-residuum ipsius

p, atque numerum a ita determinatum ut sit

HE8IDCA -f-7 BT :– -T. 98

f~+~~le fa ~816

1/*

per p divisibilis. At illa cxprcssio fit

= 1 0«*-f-2O««6-J- 2bb – 2 (b+ 5««}* – 20«*

Erit igitur etiam [b+&aaf– 20 «* por ;> divisibilis »'.< 20«* residumn ipsius

p; at quoniam 4«4 residtntm est per p non divisibilc (facile onim intelligitur. M

per p dividi non posse), etimn 5 rcsiduum ipsius p erit. Q. E. D.

Hinc patet theorcma iu initio lutins articuli prolatum generaliter verurn

esse. –

Observamus adhuc, demonstrationes pro utroquo casu ill. La (îranse dcberi,

Mém. de FAc. de Berlin 1775, p. 352 sqq.

De +;.

124.

l'er similem methodum demonstratur,

– 7 esse non -résidu um cuiuscis iiumeriqui ipsius 7 sit non-residuum.

Ex inductione vero concludi potest,

7 esse residumn cuiusvis numeriprimi qui ifjsius7 sit residuum.

At hoc a uemine hactenus rigorose demonstratum. Pro iis quidem residuis

ipsius 7, quae simt formae 4« – 1, facilis est denionstratio; ctenim per metho-

dum ex praece. abunde notam ostendi potest, +7 semper esse taliuni îmmerorum

primorum non-residnum adeoque – 7 residuum. Sed parum hinc lucranmr:

rcliqui enim casus per hallc methodum tractori ncqueunt. l'num quidem adhuc

cnsura simili modo ut artt. 111», 123 absolvere possumus. Scilicet si p est nume-

rus primus formae 7n-i, atque a pro modulo li ad exponentem 7 pertinens.

facile perspicitur

igzi) = /2«3+«s-«-2;a + 7(«8 +'2 a3 + (12 il 2 +-1 (il-'+ 11,2

pc;r p divisibilem, adeoque –7 («*-+• «)* ipsius p residuum fore. At au-+-àf.

tamquam quadratum, ipsius p residuum est, insuperque \m>v pnon divisibile;

quum enhn « ad exponentem 7 pertinere supponatur. ncque ^0, neque

= – 1 (mod.y/' esse potest, i. e. neque a neque «-f-l per p divisibilis erit.

ndfoquc etiam quadratum «* – | – 1 ^a ^<a. lTnde manifeste etiam 7 ipsius p residuum

M OÉ CONOBliÊXtnS ftECl'OTB ORADl-'S.

ir T1 tt 1. –––~–: ï.e ~1.. 1 « ..e~i 20. t .-1. nmnwcv.~ WMi

«rit Q.E.D – At primi rmmeri formae 7 n + 2 vel 7 »-H omnes méthode»

nucusque tradita* éludant. C'eterum etiam haec demonstratio ab ill. La Grange

priinum est détecta 1. c. Infro Sect. VII. docebimus generaliter, expressioncm

\W-, 1)senipor ad forniam X*+p F* rcduci posse, ubi signutn superius est nc-

:e. '"1' S('mpl'r tt(1 lOl'mum ~Y~r )x'` reduci posse, U signultl sullerius est nc-

dpiendum qunndo est numerus primas formae 4m-}-1. inferius quando est

formae 4«-f-3). denotantibus X, F functiones rationales ipsius .i-, a fraetioni-

bus libéra*. Hanc discorptionem ill. La Grange ultra casum p== non perfe-

cit v. 1. c p. :?52.

J'raeparatio ud <list/itiiitwne»igeuernlem.

125.

Quoniam igitur metbodi praprcdentcs ad deraon«tratioiies générales stabili-

endas non sufficiunt, iaiu tcnipus est, aliam ab hoc dcfoctu libérant exponew. In-

itium fai-imus a thcoremate, ctthis dcmonstratio sntis diu ojwraranostram dusit,

quant vis primo aspet-tu tain obviant videatur. ut quidamne nécessitaient quidcm

demonstrationis intellcxerint. Est vero hoc: Quemms mimerum, praeter quadtatu

jiOA-itici- .suinta, aliquornm numerorum primorum rtoii-residuum esse. Quia vero hoc

thcoremate taittutnmodo tamquam anxiliari ad alia demonstranda usuri suinus,

alios casus hic non explicanms quant qiiilms ad lmnc finent indigemus. Do reli-

quis casibus postea sponte idem constabit. Ostendemus itaque, quemris numerum

jmmitm furmae lH-f-1, sitw positive si wnégative accipiatar*) iioti'residuuiii esse

nliquorum numerorum primorum et (si >5) quidcm talium qui ipso sint minores.

Primo, quando nuniems prhn us p, formae 1«+1 (!> sel^ – 1 3 iV3,

I7^V5), negatiee stimendus proponitur, sit 2 numerus par proxime ntaior qwam

\jp; tutn facile perspieitur, .1 aa semper fore < 2/> sive 4««– p<ip-

4aa – p est formae \n-A. -p autem residuuin quadraticum ipsius4 au – p,

fqucjuiam p^Uia 'mod.iaa – pf)\ quodsi igitur Aaa–p est numerus primas,

– p ipsius non~rasidnum crit; sin minus, necessario factor aliquis ipsius A an – p

formai1 Iw-f-i erit; et qiiuiu -j- etiam huius residumn esse debcat, -p ipsius

noii-resitUium erit. Q. E. I).

Pro numcris \mniix positire .suinendi.s duos casus distinguimus. Primu sit

p uunierus primus formae S>» + 5. Sit « numerus qincunque positiv us <C\'ip-

Tum S/(-i> – 2ua erit nunteras positivus formae <iv-> vel 8«-|l (prout a

*) + i uiituin excipi«[lorlea1 [ier su manifostimi est.

PBAEÎ'ATWTroABIJ1SQCI8ITIOKEMOraKHA^ESf.96

par vel impar), adeoque neeessario per numerum aliquem primum formae 8«-f- 3

vel 8»-f*5 5 divisibilis, prodùetum enim ex qnotcunque numeris formae «w-f-l 1

et S«-f-7 ncque fornuun 8»-}- 3 nequo hanc &»-J-s liabere potest. Sit hic

q, eritque 8«-(-5 s2o*(mod. q). At 2 ipsius q uon-residtium erit art. 112,

adeoque «tioiu 2 a**} et 8«+5. Q. E. D.

}2tt.

Sed uumerum quemvis primum formae v>«-(-1 positive acreptum sctnper

alicuius numeri primi ipso minoris non rasiduum esse per artificia tain obvia de-

monstrnri nequit. Quum autem haec veritas maximi sit momenti, dumonstrutio-

ncra rigorosam, qunmvis aliquantum prolixa sit. praeterirc non poKsninus. l*rnc-

niittimus sequens

Lemma. Si luibenUir duae séries wtmerorum

A, B, C etc. (F, A'. JT, C etc Il)

utrum terminorum multitudo in utraque eadem sit uccue nihil interest) ita corn-

jMiratae, ut, dénotante p mtmerum quemeunque primiim avt numeri ptimi potestatm,

terminnm aliquem secundae sériel (sive etiumplures) metientem, totidem ad minimum

tt'rmini in série prima sint per jt divisibiles, quot sunt iu secunda: tum dieu produc-

tion ex omnibus numeris (I) divisibile fore per productum ex omnibus mimeris (II).

Exempt, Constet (I) c numeris 12,18,45; (II ex his 3,4,5,0,9. Tum Il

divisibiles erunt per 2,4,3,9,5 in (I) 2,1,3,2,1 1 ternrini, in (II) 2,1,3,1,1 1

termini, respective; productum autem omnium terminorum (I) –9720 clivisibile

est per productum omnium terminorum (II), 3240.

Demonstr. Sit productum ex omnibus terminis ^1). –Q, productum om-

nium terminorum scrici (II), =Q\ Patet quemvis numerum primum qui sit di-

visor ipsius Q etiam ipsius Q divisorem fore. Iam ostendemus quemvis facto-

rem primum ipsius Q', in Q totidem ad minimum dimemsiones habere quot ha-

beat in Q*. Esto talis divisor p, ponaturque, in série ;'I) « termiuos esse per p

divisibiles, il»torrainos per i? dinsibiles, c termiuos per p* divisibiles etc.. sinnlia

dénotent literae «', b\ c'etc. pro série (II ), perspicieturq ne facile, p in Q habere

*) Art. ');>. l'ntct enim «s esse rcsiduutn ipsius ij per </ nu»Uivisiliilc, nam alias c-tiummimvrtixpri-mus ii pur y foret divisibilis. Q. li. A,

96 DE eON'GKl'BNTHSSKCUNDtQftABl'S.

a-f-é'4-c-j-ete. dimensione*. in Q* vero a'~{-b'~{-c'et<}. At a certe non

maiorquam «. h' non nmior quam fcetc. (hyp.j; quare «'-f-A'-f-c'etc, eerto non

crit >«+i4-cetc- – Quum itaque nullns numerus primus in Q' plures di-

mensiones habere postât, quam in Q, Q per Q' divisibilis erit (art. 17). Q.E.D.

127.

Lemma.In progress-ione î, 2, 3, 4, », ptttres termini esse

neqtmtnt per ««•

merum quemeunque h divisibiks, quam in hue a, «-f-l,fl-f-2 a-n – 1 ex toti-

dent terminis constante.

Nullo enim negotio perspicitur si v fuerit nmltipluin ipsius in utraque

progrossione jterminos fore per h clivisibilcs: sin minus, ponatur n=eh-f,

ita ut/ sit <C.h, eruntque in priori série e termini per h divisibiles, in poste-

riori autem vel totidem vel c-f- 1

Hinc tamquam C'oroll. sequitur propositio ex numerorum figuratorum theoria

nota, sed a nemine, ni fallimur, hactenus directe demonstrata.

a.a+ l.«+ î.a + n –1

1.2. 3 V

semper esse numerum integrum.

Deniquc liCmma hoc generalius ita ])roponi putuisset:

In progressione a, a -f 1 «-f- 2 «-+-»– i totidem ad minimum dan-

tur termini secundum modulum A numéro cuicunque dato. r, congrui, quot in

ha«- 1 2, '.i .a termini per divisibiles.

12S.

Theokema. Sit a numerus quiamque fomae Sw-f-1, p numerus (jiiii'Hiujuc

ad a primus, cm'us residmtm +«, tandem m numerus arlritrariim tum dieu, in

proy réunionc

h, l'a – \), la – 4, i !« – «>, 2(«– 10, 2 ti–ii?,, vcf i a–nr

prout m par vel impur, totidem ud minimum duri terminus per p dirisihiles quot de»-

tur in hue

2, 2W/-+-1 t

l'riurem progrcssiuuem designamus per 'I), posteriorem per ill'

l'R-tEPAitATto aï> uisgrtsrrioxKii oenei«ï.km. !)7

i:j :i

ttmimtr. f. Quamfo /> = 3, m (I) omîtes terrain! praoter primum ». <?.

ru tt'miini divisibiles cruut; totidom autem erunt in (II'.

II. Sit p muneru.4 impur vol numeri imparis duplum vel qmulrupluni. nt-

qui' «ssiy'hhkL/ Tum in prugressioue, – m, – [m– 1), – (w– 2'; -f-t

quae tcnninomm inultitudino tum 'IL eonveuit et per III; dosi^iiabitur toticleni

ail minimum tcrmini erunt secundmnmodulum p ipsi r congrui, quot in série 11

por p divisibiles (art. pnico. Intor illos autem liini, qui signo taiituni. non muf,nitiulinc, cliscrcpent oceuiTore noquounfy. Tandem

quiapao «oniui correspon-

dentcin lial«>l)it in série ;I (jui per p crit divisibilis. Scilicot si fuorit -±h ali-

quis terminas seriei III. ipsi r secundum p coufîruus, crit u – bb per p divisi-

bilis. Quodsi igitur est par terminus seriei I 2 u – bb per p divisibilis

c-rit.Si vero b impar, terminus ^{a – bb) por p divisibilis erit: naniquc mani-

festo'

erit mtupur pur quoniam a – bb per S, autem ad suininuin pi-r

t divisibilis «vnim ])or hyp. est furmuc s«-}-l, bb auton itlooquod estnuniovi

inipaiis quadratum eiusdeui formae erit, quare difterontia crit fonuiie S«'. Hiiic

tandem «meluditur, in série \l] totidom termines esse per p divisibiles, quot in

III sint ipsi /•seciuidum p <-ongrui ». e. totidem uut pluros quam in II'. sint

per p divisibihïs. Q. E. ]),

III. Sit p fbriuao S/ atquu a = rr,mui\. "lp Facile oui m ]icr.spic-itur, u,

quum ex hyp. i])siusj/ sit rosiduum, etiaiu i]).sius 2p residuum fore. Tum iu su-

ric (III' totidem ad minimum tcrmini erunt ipsi /• .secundum p congrui. quut in

II suutperjj divisibiles. illique oinnes magnitudine erunt inaequales. At rui-

que connu respondebit aliquis in il per p divisibilis. Si (mini -b vel –

= /• .niod.^ erit ltb~rr(moù. 2p. f,, adeoque terminus >t [u – bb per p di-

visibilis. Quare in fi totidem ad minimum tcrmini erunt per p divisibiles

quam in II Q. E. 1).

125).

Tiikouema..S7 uext nuinmix primas format Su- iwcemirio infru 2\u- 1

(lubitur itliifttis iiuènvrus primas euiua uon-rcmlumn sit u.

') Si enim cssol /•– – /s +/(njoil.;i), livrut 1/ per ;< divisiliilis. atlucxjuuvtmm ïa (pmptur« (mucl./i};. Hue iiutvm ulitc- iï-ï-i nt'ciiiit, cjuara si [> – ï (juum per hyp. u nd /> sit primiis. Sed i|« hueIl (IIIIId.I');' lIo~ uUlcllln!ile,'li':I'i 11l"luit, 'luUIII si JI 'IIIUIII p~I' h~']I..1 ud l' ~il prilllUs, s,.tI d~ hu('

c;tsu ium SL'ursimilîxtititis.+) Kril si-iliiTt lib– rr --{b – r){li + r) c duohus factorilms compositu? quorum ni Ut per ;i divïsi lai–

lis (liyp.)i »lter piT i (ijuiu Ium A Ium /• xunt impures) udcoque bb – rr per lp divisibiiis.

98 i>Ê CON9»eBÎJTH8BECVimtOHADÛS.

Dmomtr. Esto. si fierf potest, a residuum omnium primorara ipso 20*-f1

minorum. Tum facile perspieietur a etiam omnium numerorum compositoram

ipso 2^4-1minorum resithuun fore 'conferantur praecepta per quae diiudieare

Uocuiilius, utrum numerus propositus sit numeri compositi residuura necne; art.

10.V. Sit numorus proxime minor quam \'«=»». Tum in série

[l) a,i'a–l), 2(a – 4), i'p– 9).2(o– mm)vel |(a– »»»«)

totidem aut plures tcrmiui erunt per numerum qucmcunquc ipso 2 \Ja -f- 1 mino-

rem divisibilos, quam in hac

(II) 1, 2, 3.4.2W-H 'art. praec.)

Hinc vero sequitur, productuniex omnibus terminis (I) per productum omnium

terminorum 'II) divisibile esse, 'art. 120). At illud est aut =«(«–!) '«–4;

a– mm] aut semissis huius producti (protit m aut par aut impar). Quare pro-

ductum «« – T {« – •»).(« – »»t)certo per productum

omnium terminorum

i II ) dividi poterit, et, quia omnes hi termini ad ta sunt primi, etiam productum

illud omisso factore a. Scd productumex omnibus terminis (II) ita etiam e.\hi-

beri potest,

(/w+ 1) (>-j- 1/_ i) (!>+ \f – 4). O-f 1)*– m1)

Fiet igitur

l <t– «– Ia –»»'•'

m"+r (iiT+l)"-» (> + lJ'-4 '(m + ij'-wi'

numerus intrger, quamquam sit productum ex fractionibus unitnte minoribus:

quiaenim necessario \la irrationalis esse débet, erit m 1 >Vrt> adeoque

/,«_(_ i;*>a. llinc tandem concluditur suppositionemnostram locum habere non

posse. Q. E. D.

lamquia a certo >9, erit 2y/«+><«. dabiturque adeo aliquis primus

<« cuius non-residuum a.

l'er itulmtiaiKMtkmremugénérale (Jumlameiitale) stobititur, canclmwticsqminde tleiliicuutm:

130.

l'ostquam rigorose demonstravimus quemvis uumcrum primumformac

4«+l, et positive et négative acceptum, alicuius nuuicri primi ipso minoris non-

>ER INDUCnOSESf THEQBEMA OEWBRAtE STABItmm. 99

13"i

residuum esse, ad comparationem exaetioreni et generaliorem nnmerorttm primo-

rum, quatenus unus altérais rcsiduum vcl non-residuuiii est, statim transîmns.

Omni rigore supra demonstravimus, – 3 et 4* a ess0 residua vel non-re-

sidua omnium numcrorum primonun, quiipsorum 3, 5 respective sint residua vel

non-residutt.

Per inductioncm autemcirca numéros scquentes institutani invcnitur: –7,

– 11, + 13, -f 17, – 19, –23,4-29, – 31,4-37,4-41,– 43, –47, 4-53, –59

etc. esse residua vel non-residun omnium mimerorum primorunt, i[\û, positive

sumti, illorum primorum respective sint residua vel non -residua. Inductio hace

perfacile adiumento tnbulae II confici potest.

Quivis autem levi attentione adhibita observabit, ex lii.s numeris priniis sig-

no positivo affectos esse eos. qui sint formae 4«4-l< negativo autem eos qui

sint formae 4«4~

131.

Quod hic per inductionem deteximus, generaliter locum hnbere mox demon-

strabimus. Antequam autem hoc negotium adeamus, necesse erit, omnia quae

ex theoremate, si verum esse supponitur. sequuntur. erucre. Theorema ipsum ita

euunciamus.

Si p est numenis primas formae -I » -f~ 1, erit -p, si vero p formae

l«4-3, erit -p residuum vel non- residuum aiiusris numeri primi qui positive

acceptas ipsius p est residuum tel non- residuum.

Quia omnia fere quae de residuis quadraticis dici possunt, huic theoremati

innituntur, denominatio theorematis fandamentalis qua in sequentibus utemur.

haud absona erit.

Ut ratiocinia nostra quam brevîssime exhiberi possint, per a, a, a" etc. nu-

méros primos formae 4«4->- per 6.6', 6" etc. numéros prhnos formae \n-{-

denotabinius; per A, A, Al' etc. numéros quoscunque formae 4W4"1» Ve1' &>

B',ïï'ctc. auteut numéros quoscunque formae In -{-') tandem litera E duabus

quautitatibus interposita indicabit, priorem sequentis esse rcsiduum, sicitti litero

X significationem contrariam habebit. Ex. gr. + "» + 2 Nô, indicabit 4" 5

ipsius M esse residuum, 4-2 vel – 2 esse ipsius5 non-iTsiduum. lain col-

100 1JK -WINOkl'BStI» œ«IH -m,\ïÀ%- '

lato theoremute fumlamentiili eim» theoremntibus tirt. fil. sequentes pmpositio- 1

i»>s thaïe (lwliu-eutur.

lu his ounies qui, duos numéro» primos coniparando. occurrorc pos-

sunt. coutincuttir: quao soquuutur. ad numcros quoscuiiquo pertinent sed hnrnin

deinonstrationos îiiinus sunt obviac.

Si crit

t. ±aliu ±dliuir

2. + aXu +; a'Ntt

3. \uiib, f -hitu r~

I– rtiS7;i

1 Il

,+ aNbf 4- bxur- aliL~

t>. +blia J+«fTJ–'– «Ai

e. +b\«)+«^*f ul~l~

7 ,+ Wii'j ( ,+ 4'JN'4•I_6AT6'J '–b'Jib

s, 1+ <'2\) r-i- li 1~'Gh

(_ iiii'i »_ //A7/ G

i:»2.

Si eritt

«). + aRA + Alla

10. +bRA s+AJib–'– ANb

11. +aRB ±Mt«

12. – ullB ±BNa

13.+bM i+liK t 13~'4'G

14. – biïB \+iiRi> l~

I– BNb1)

per 'txnécnmaat tiieohRma qe»bhaf.ê sTAiftfjrren. 101

Qtium omnium hamw propositionum demon«trotioju»î* ex'iisttempriiieipn*

sintpetendae, ueeesse non crit omnes cvolvere: demonstmtto prop. i>.

qnnm ap~

poniiuux tummuun exomplum inservire!potest. Anti' omnia uuteni obsorvotur,

quemvis muumun formno 4//+1 1 mit uuihint fnctorem foi-nuio 4n- huliere.

aut duos, aut quatuor etc., Le. multitudinem talium fuctorum -'iutcr<juos «tiain

aequales esse possuni seniper fore pnrein qiicimïs vcro tomme lw+:i inultitii-

dinem imiiarem fnctorum formne in-A \i. c. nltt untim aiit très nnt qninqiic

otc; iniplicure. Multitudo fuctorum ibnnue \u- iudctcrniiiuitu umiiet.

Ptop. 9 ita doinonstratur. Nit .1 produr-tum i; fitetorihus priinis «', «", «"'

etc., b, f, li" etc.; eritque factorum b, 6" etc. inultitudo pur .'j)ossunt ctiaiii nulli

ndesso. quod codem redit luni si « est rcsidumu ipsius ,1, ('rit residiuuu ctium

omnium factorum a, a", a'" etc. ù, lt',1/' etc. quare per propp. 1, :î iirt. pnicc. sin-

guli lii fiictores eruut rcsidua ipsius et, adeoque etiam productum -1 – .1 vero

idem esse débet. Qnodsi vero – « est residunmipsius A, coque ipso om-

nium factorum «'.«"etc. M' etc.; singuli «'.«"etc. oriuit ipsius « rcsidun. sin-

guli b, b' etc. iiutcm non-residua. Sod quuni posteriorum multitudo sit pur. pro-

ductiun ex omnibus. Le. A, ipsius « residuum crit, liineque etiam –.1.

13:

Investigntioncm adlmcgeneralius iiistituainus. C'ontempleinur duos numé-

ros quoscuuquc imparcs inter se primos, signis quibuscunque ntfec-tos. V et Q,

Concipiatur P sine respeetu signi siii in fiictores suos primos resolutus. designe-

turque per p, quot inter hos reperiantur quorum non-residuum sit Q. Si vero

aiiquis mimeras primus, cuius non-residuum est Q, pluries hiter fnctores ipsiusP occurrit, plurics etiam numerantlus crit. Similiter sit q multitudo factorum

primoruin ipsius Q, quorum non-residuum est P. Tum nnmeri p, <y certain

rclationcm mutuam habebunt ab indole numerorum P, Q iiendentem. Scilicet

si alter numerorum p,q est par vel impar, immeronuu P,Q forma dooebit.

utrum alter par sit vel impar. llaec relatio in sequeuti tabula exhibetur.

Kmnt jj,(/ simul pares vel simul impares, quando numeri P, Q habeut

formas

1. + A, +.-1*

2. +A. A'

102 DE CGNGISEESTIISSKCtXDIOBABl'S,

Contra numeronun y>, </ alter erit par, alter impar. quando numeri P, Q

habent formas:

Ex. Sint numeri propositi – 55 et +1197, qui ad casum quartum

erunt refereiidi. Est autcm 1197 nou-rcsidunm unius factoris primi ipsius55.

scilicet numeri 5. – 55 autem non-residuum trium factorum primorum ipsius

119", scilicet numeroruin 3.3,19.

Si P et Q numéros prinios désignant, propositiones hac abeunt in eas quas

art. 131 tradidimus. Hic scilicet p et q maiorcs quam 1 fieri neqneunt qunre

quaudo p ponitur esse par necessario erit = 0 i. e. Q erit rcsiduum ipsius P,

quando vero p est impar, Q ipsius P non-residuum crit. Et vice versa. Ita

scriptis a, b loco ipsorum A, B, ex & sequitur, si – a fuerit residuum vel non-

rcsiduum ipsius b, fore -b b non-residuum vel residuum ipsius a, quod cum 3

et 4 art. 131 couvenit.

Generaliter vero patet, Q residuum ipsius P esse non posse nisi fuerit p

^=0; si igitur j* impar, Q certo ipsius P non-residuum erit.

Hinc etiam propp. art. praec. sine difficultate derivari possunt.

Ceterum mox patebit, hanc repraesentationem generalem plus esse quam

speculationem sterilem. quum tlieoretnatis fundamentalis demonstrntio compléta

absque ea vix perfici possit.

') Sit /=l siuterquc 1', Q s :i (mod. l ) alioijuin = u

tune rulatio pendet ni) l + m

m – si utunjuf P, Q nejrutivu*. alioquiii m – »

1 -A, + B

t. -(- A, -B

5. –A, –A'

0. +£. -F

7. – 4, + B

8. _4, -JB

9. -B, +B'

10. – #, _ff*

PEU INDI'CITONEM TimOREMA OKïfKKAUv STAB1U1TH. 103

134.

Aggrediamur mine deductionem harum propositionum.

I. Concipiatur, ut ante, P in faetores suos primos resolutus, signis neglec-

tis, insuperque etiam Q in factores quomodocunque resolvatur, ita tamen ut sig-

ni ipsius Q ratio hnboatur. Combinentur illi singuli ciun singulis his. Tum si

s désignât multitudinem omnium combinationum, in quibus factor ipsius Q est

non-residuum factoris ipsius P, p et s vel simul pares vel simul imparcs erunt.

Sint enim factores primi ipsius P, hi f, f etc. et inter factores in quibus Q

est resolutus, sint m qui ipsius f sint nou-residua, m' non-residua ipsius f.

m" non-residua ipsius etc. Tum facile quisquis perspieiet, fore

s = m + m' ni' etc.

j} autem exprimerc quot numeri inter ipsos m, né, m" etc. sint ira pares, l'nde

sponte patet, s fore parem qnando p sit par, imparem quando p sit impar.

II. Haec generaliter valent, quomodocunque Q in faetores sit resolutus.

Descendamus ad casus particulares. Contemplemur primo casus, ubi alter nu-

merorum, P, est positivus, alter vero, Q, vel formac -+-A velformae – J3. Re-

solvantur P, Q iu factores suos primos, attribuatur singulis factoribus ipsius P

signum positivum, singulis autem factoribus ipsius Q signum positivum vel nega-

tivum, prout sunt formae a vel b; tune autem manifesto Q fiet vel formac -A

vel – B uti requiritur. Combinentur factores singuli ipsius P cum singulis

factoribus ipsius Q, designetque ut ante 4- multitudinem combinationum in qui-

bus factor ipsius Q est non-residuum factoris ipsius P, similiterque t multitu-

dinem combinationum in quibus factor ipsius P est non-residuum factoris ipsius

Q. At ex theoremate fundamentali sequitur illas combinationes iden tiens fore

cum his adeoque A'=f. Tandem ex iis quae modo demonstravimus sequitur esse

p = [mod. 2} q = t (mod. 2), unde lit p^q (mod 2)

Habcntur itaque propp. 1, 3, 4 et 0 art. 133.

l'ropositioucs reliquae per methodum similem directe erui possunt, secl una

consideratione nova indigent; facilius autem ex praceedentibus scquenti modo de-

rivantur.

III. Denotent rursus P, Q, numéros quoscunque impares inter se primos.

p, q multitudinem fàctorum primorum ipsorum P, Q, quorum non-residua Q,

P respective. Tandem sit p' multitudo fuctorum primorum ipsius P. quorum

iO4 UK CONOHISKNÏH» SK0UNO1 U1MDU9.

mou -testtitfUïn est – Q «luunilo Q per se est nogativus manifesta – Q mnue*

mm pusitivitiu iudirabit Iam oirmt's factores primi ipsitis P in quatuor tinsses

distribuantur.

t in titctores furinac a quorum rcsicluum est Q.

2 factovcs formai- h. quorum residuiuu Q. Iloriini inultitudu sit y.

:ij fui-tores formau il. quuriuu non-resiclmini est Q. ilorum multitudo sit i|

4) fantoivs formae L quoriu» non-ïesitluiun Q. Quorum multituilo -=w.

'l'uni fucile perspit-itur fore jr–\p-{-w. j/{fi.

Iam <|iuiiido P est fbrnuif +^-l. crit /+w «deoque etinm y – to nuuie-

rii-. |uir: f|iiiire fiet y/-=i'-r/ – w=/> 'niod. 2 quumlo vero P est fonnae +7i,

pi-rMiuile nitiiK-iiiiiitii invenitur. uitnieros p. y/

soc. mod. 2 iii«oiijj;ruus fore.

i\ Aiipliceiuus lii'.ec sid cusus siiifîulos. Sit primo tutu l' tum Q formai'

-7.1. l'ritque t' pn>i>. I iJ–ni'wwA.i nt erit /–/Tiuod. 2 quurcGtiain/»'=fy

luod. i (Juod eoHVenit eiim jm>p. 2.– Simili modo si P est fonuue –.1.

<i tonnai' 4-. t. erit ps^q niod. 2} ex prop. 2 quain modo demoustruvimus; lune.

ni) y/ .=/«rit ji :~<j. Est itaque etiam ])rop. :> demonstrata.

KodL-m modo prop. 7 t'x :1: proj). S vel ex 1 vel ex 7: prop. ti ex «; ex ea-

deuiquc proj). 10 tlerivantur.

Hiiii''iiistriil!u rùjwtixu tlu'im'niut ii fiiniiiiihi'nlulix,

1:1:1,

l'er art. praec. prcipositiouu-. art. !:$:{ non quidem sunt demonstratae sed

tameu eaniiu veritns it veritate tlieoreniatis fundnmeutalis quam aliquantisper sup-

posuimus jicndereostmisu est. At ex ipsa deductionis mctliotlo mmiifestuii) ost.

illas valcre pro nunieris P. Q. si modo theorema fundaiiicntale pro omnibus fac-

forilius primis liorinu uumeroriiin iuter secomparutis

loeniii lialieat. ctianisi ticue-

raliter verinn non sit. N'uiic igitur il).siti.4 theoromatis fundamentalis (leinonstra-

tionein as^rediamur. ('ui praeniittimus .sequentem exjjlicationem.

Theotema J'umUiluentule nuquead mtmcnim aliqucm M netum esxt tlieemus, xi

ni/ft j/n> (Iiid/iks numei'ix prinù* quiliumtntjue quorum tteater ipxiiM M xitperut.

Simili modo intelligi débet, si theoremutsi artt. i:îl. i:i2. I :i:* usque ad ali-

quem termiiiuin vem esse diceiuus. l-'acile vero per-spicitur. si de \eritate theore-

nintis fuiulainentalis usque ad aliqueiu tenuiuum constet. lias propositioues usque

ad eiindem terniiuuiu locum esse habituras.

THEORKMA n'NIïAMRNTAtX 105"

t!t6.

Thcorcmn fondamentale pro numeris punis verurn osse, per iuductioncm fu-

cile confirmari.atquc sic limes determinuri potest nsquc adqueiu certo lucutn teneat.

iïanc inductiuncm institutam esse postulamus: prorsus autem indifférons est quous-

que ennt persecuti simus; sufficeret adeo, si tantutnmodo nsque ad nmnerum 5

eam confirmavissemiis hoc autem por unienm observationem absolvitur. quod est

+5~3. N~.

Iani si theorema finulamcntale ^uncralitcr verum uou est, dabitur limes ali-

quis. T. vsque nd quem vnlebit. itn tnmen ut usqtte ad mimcrum proxime mnio-

rem, T- 1 non umplius valctit. Hoc nutem idem est ac si dicnmus, dari duos

uumeros primos quorum mnior sit 2'-f-l i't qui inter se comparât i theoreniati

fundamentali répugnent, binos autem alios numeros primos quuscunquo. si modo

ambo ipso r-|- ] sint minores, huit: tlieoremati esse eonseutaneos. l'iule sequi-

tur. propositioucs artt. 131. t :ï2, 133 usque nd T etiam locum habituras. Haut

v(îto suppositionon consistore non posso nunc ostendemus. Erunt autem secuu-

dum formas divorsas. quas tum 2'+l. tum numerus primas ipso ï'+ 1 minor.

quem cuiii 7'+ compurntum tlieoremati repugnare suppostiimus lmbere ]>os-

s\mt casus sequentes distingnendi. Xumernm istnm pvimum per p dpsi^namus.

Quando tum 2' 4-1 tum jt sunt formac 4n-l, theoremii fundamnitale

duobus modis fulsuni esseposset scilicet si simul essct. ('el

±j>R\T-{-\t et ±'r+i\Xpeel*m»i

±y/,YÏ'4-l et ±[T-ï}Rp

Quando tum 2'4-1 1 tum p suut formac 4«4"3- theor. fuiid. falsum crit.

si simul fuerit cet

-pRi r-f i et – i r-f- 1 a>

fsivo quod eodem redit – pN T- i, et 4-'2'4-l Rp)

ri'l+p.N T4-1 et –[T+l]Rp

fsive –pR :4-l et +;'f+i;.A»

Quando ï'-j- 1est format* -1m 4-1. p vero forniae l«4~ thoor. ftmd.

t'alsum erit, si fuerit irf

±pli[T+i et 4-{T4-l)A> (sive – [T-Rp)

n-lI±pN 2'4- 1 et T4- 1 Np (sive + ( T+ i Rp)

14

106 i>K CONGIHUENTUSSECU«i)I ORADÏ'S.

Quando T-$-t est formai; 4n-$-'S, p vera formne 4w-4-l, theor. fund.

ialsum crit, si fuerit cet

+pR[T+l) (sive -pN{T-t-îïïet ±T+1)A>

ce/ +pN[ T+ 1 ) (sive –pR ( T-f- 1 )) et ± ( T-f 1) Jfy

Si demonstrari poterit, milliim horum octo cnsuum locum haborc posse,

simul certum erit, thcorcrnatis fundamentalis veritatem nullis limitibus circum-

scriptam esse. Hoc itaque nogotium nunc aggredimur: at quoniam alii horum

casuum ab nliis sunt dépendantes, eundcm ordinem, quo eos hic enumeravimus.

servare non licebit.

137.

Casus jmmus. Quando T- 1 est formae 4 n -f- 1 (= a), atque p eiusdem

formae; insuper vero +pRa, non potest esse -j-aNp, Hic casus supra fuit primus.

Sit +^ = c*mod.«), atque e par et < a (quod semper obtineri potest ).

Iani duo casus sunt distingocndi.

I. Quando e per p non est divisibilis. lJonaturê –p-uf, eritque

positivus, formne 4y»-f-3 [sive formne B) <^a, et per p non divisibilis. Porro

crit é'–p'mod.fl, i. e. pRf adeoque ex prop. 11 art. 132 +/2V quia enim

p,/ <C«, pro lus propositiones istae vaiebunt'. At est etiam a/Rp, quaro fiet

quoque +aRp.

II. Quando eper p est divisibilis, ponntur e–ffp, atque e* –p-aph,

sive pg'! = \ah. Tum crit h formae 4»-f-3 (J5), atque ad p et g* primus.

Porro crit pg*lih, adeoque ctiam pRh, hinc 'prop. 11 art. 1 32; ^rkRp. At

est etiam –a/iRp, quia – «A = l (mod.p); quare fiet etiam Jf-aRp.

ISS.

Casus secundus. Quando T-{-\ eut formae \n- =.a s pfonnue An~i,

«ty«e ± P R ( T- 1) non potest esse + ( T- 1 Np site – ( T-f- 1 ) Rp Hic

casus supra fuit quintus.

Sit ut supra e*=:p-{~f(i atquc e par et •<«.

I. Quando e per p non est divisibilis, erit etiam f per p non divisibilis.

Practerca. autem erit positivus, formae t«-4-' (sivo -4). atque <C.a\ -{-pRf,

THEOEB.VÀ H-WMMENl^fcE. 107

adeoque (prop. 1» art. 1 32} ~fRp. Sed est etiai» -fttRp, quare fiet -J-aMp,

sive – aNp.

II. Quando e per p est divisibilis, sit 6=.py, atquo /=/>/«. Erit itaque

^^=14. /<«. Tum li erit positivus, formae4«-f3 (/î et ad p et g* primus.

Vono -g*pllh, adeoque -plth; hinc fit (prop. 13 art. 132, – hRp. Atest

– halîp, undefit ~aRp atque – aNp.

139.

Casus tertius. Quando T-j- est formae in-i (=«), eiusdem formae

atque +pNa: non potest esse-jraRp. ;Supra casus secundus).

Capiatur aliquis numerus primus ipso « miiioi, cuius non-resicimun sit -{•«,

quales dari supra demonstravimus (artt. 125, 129). Sed hic duos casus seorsim

considerare oportet, prout hic numerus primus fuerit formae An-1 vel 4»-|-3,

non enim demonstratum fuit, dari tales numéros primos «triusque formae.

I. Sit iste numerus primus formae 4« – f– et =«'. Tum erit -+a'Na

(art. 131) adeoquc ^a'pRa. Sit igitur t^^a'nocLw) atque e par. <«. Tune

iterum quatuor casus erunt distinguendi.

1) Quando e neque per p neque per a est divisibilis. l'onntur c* =

a'p^raf, signis ita acceptis ut f fiat positivus. Tum erit f <.«. ad «' et />

primus atque pro signo superiori formae 4 » 3 pro inferiori formae 4 « -[- 1

Designemus brevitatis gratia per [œ,y] multitudinem factorum primorum numeri

y quorum non-residuvim est x. Tum erit dpRf adeoque \a'p, =0. Hinc

erit [f.a'p) numerus par (propp. 1, 3, art. 133), i. e. aut = aut =2. Quare

erit f aut residuum utriusque numerorum a', p, aut neutrius. Illud autem est

impossibile, quum + «/ sit residuum ipsius «', atque +«iVfl' .hyp.) unde fit

+/AV. Hinc f debet esse utriusque numerorum à ,p nou-rc.sitluum.At

propter ^r_('fRp crit -j^aNp. Q. E. D.

2) (iuando e per p, ucque vero pcr a' est divisibilis, sit e=gp, atque

ff2j)=a' + ah, siguo ita detennmato, ut le fiat positivus. Tum erit A <!«• ad

«', y et /> primus, atque pro signo superiori formae 4 » -f- 3 pro inferiori vcro

formac -I » – | – 1 Ex aequatione gip=d + «/< si per p et «' multiplicatur.

nullo negotio dcduci potest, pa'Rh (a); +afij)Rd (ti); a a' hRp (y).

Ex (ni sequitur \]>d, h~ =«. adeoque 'propp. 1.3, art. 133) h, pu par. ». e.

14

108 UK COKORUBSTOS SECUXDI ORADUS.

UF, CO'WRU]b\TUS

SFCt'DI GRADUS.

erit h no»-residuum vel utrinsqne p,a, vel neutrhts. Priori in casa ex (S) se-

quitur Hh«/>i\V, et quum per hyp. sit +«AV, erit +pRa. Hinc per theor.

fuudam. quod (>ro numeris «' ipso 2'-f I ininoribus volet, +a'Rjj. Hinc

et ex eo quod /iNp, fit per (y) +«JV/>. Q. E-. D. Posteriori casu vx (tf) se-

quitur +m^Jf«', hinc ^pNu, +a'Nji, liiucquc tandem et ex hlip fit

t>x,r; ±«^>- Q. £'• .a

3' (junndo «J per «' non nutem por y> est divisibilis. Pro hoc ensu de-

monstratio tnutum non eodem modo procédât ut in praec. iieminemqiie qui hanc

penetravit poterit moritri.

t Ciuando e tum pcr a tum per p est divisibilis adeoque etiam per pro-

(luetum a [> 'numéros a, p enim btaequales esse siipponimus, quia alias id quod

demoustrarc onernm damus, esse aNp iam in hypothesi «ÎVrt' contentum foret),

sit fi = (fa'ji atque gtu'p = \uk. Tum erit A <«, ad a et p primus atque

pro signo superiori fbrinne 4 M-{- pro inferiori formae 4M-+-1. Facile vero

perspicitur, ex istn acquntionc deduci possc hnec a'pR/t.(a); +ahRa' (6;;

+aARp.y). Ex «) quod convenit cum (a) in (2) sequitur perinde ut illic,

esse vel simul ftlip, hRa vel hNp, hNa'Sed in casu priori foret per ti],

«Ru, contra hyp.; quarc erit hNp, adeoque per (y) etiam aNp.

II. Quando iste numerus primus est formne 4 «4-3. demonstratio prae-

ccdenti tam similis est, ut eam apponere .supcrfluuni nobis visum sit. In eorum

gratiam qui per se eam evolvercgestiunt quod maxime commendainns}, id tantum

observamus, postquam acl talem aeqnationem e*~bp+af (désignante b illum

numeruni primum) perventum fuerit. ad perspicuitatem profuturum, si utrumque

signuin scorsini consideretur.

140.

Casus quartm. Quundo T-4-1 est formae 4»-f-1(=ff), p formae 4« + 3,

atque +pNa, non poterit me-aRp sine

– aNp. (Casus sextus supra).

Etiam huius casus demonstrationem. quum prorstts similis sit démonstration i

casus tertii brevitutis gratia omittimus.

TJlKO!0i3fAPUNDAMENTALK. 109

141.

Casus quintes. Quando T-f-1 est formae 4n-l[–b), p eiusdem formae,

atijtte -pRb sive – pNb, nequit esse -{-bRp sive – bNp. (Casus ter-

tins supra}.

Sit yj=es(raod. b), atque e par et <i.

I. Quando e per /j non est divisibilis. Poiiatur e*=p-bf, critque

positivus, fornmc 1 w– {- 3 <& atque ad p primas. Porro erit pli/ adcoque

pcr prop. 13 art. 132, –fRp. Hino et ex -{-bflip fit –blip adeoque

+ bNp. Q.E.D.

II. Quando e per p est divisibilis, sit e–pg, atque ggp=\-j~bft.

Tum erit h formne in-t 1 atqne ad p primas, p==^p*{mm\.h., ndeoque

pBh; hinc fit -h~Rp (prop. 10 art. 132), unde et ex – bhltp sequitur –bRp,

sive +bNp. Q. E. D.

142.

Castis 8Mttu. Quando T-f-1 est formae 4»-f-3 ^=6), p formae 4»-f-l,

atque pRb, non poterit esse +bNp. (Supra casus septimus).

Uemonstrationem praecedenti omnino similem omittitnus.

143.

Casus septimus. Quando T-f-1 est formae 4»-+- 3 (=4), p emsdem for-

ante, atque -pNb sive – plih, non poterit esse -bNp sive –bRp. (Casus

quartus supra).

Sit – />~cï(mod.6), atque e par et <4.

1. Quando e per p non divisibilis. Sit – p=iê – bf eritque positi-

vus, formae -1 » -(– 1 ad p primus ipsoque b minor (etenim e certo non maior

quam b– I p<^b – 1, quare erit bf–ea-p<£ibt – b, i.e. f<^b – 1). Porro

erit ~pRf, hinc (prop. 1 0 art. 132) -fRp, unde et ex -bfRp fit -{-bRp.

sive – bNp.

Il. Quando e per p est divisibilis, sit e–pg, atque g*p = – \bh.

Tum erit h positivus, formae 4»-j-3, ad p primus et <CJ>. l'orro erit – pR/i.

unde fit (prop. 11 art. 132; -hRp. Hinc et ex bhRp sequitur -{-bRp sive

~bNp. Q.E.D,

ÏÎO dk œxdRrKXTiis stzcïavi ovt&m's;

144;

Cush.1 octaeus. Quando T-f-1 est formae 4 m -{-3 i==b), p formae 4»+l,

atijue -pNb siée – plib, non poterit esve+&i?/>. (t'nsus ultimus supra

Demonstratio periude procedit ut in casu praeeedenti.

Mef/tmiits anatogu, t/itomua ard. t t f/fM«H<t<MM</f.

145.

In demonstratt. praece. semper pro e valorem pnrem accepimus fnrtt. 1 37

144 observare convcnit, etiiun valorem impnrem adhiberi potuisse, sed tum plu-

rcs ndhuc distinetiones inti'otlucejidae fuissent. Qui his disquisitionilms delec-

tnntur, haud inutile facieut, si vives suas in evolutione horum ensuum exercitent.

Praeterea theorcmata ad residua + 2 et –2 pertinentio tune supponi debuis-

sent quum vero nostra demonstratio absque his theorematibus sit perfecta no-

vam liinc methodum nanciscimur, illa demonstrandi. Quae minime est eontem-

nendn, quum methodi, quibus supra pro demonstratione theorematis, +2 esse

residuum cuiusvis numeri primi formae S w–f- 1 usi sumus, minus directae vide-

ri possint. Reliquoscasus (qui ad numéros primos fonnanim 8»-j-3, &n -Z>,

S«-(-7 speetant; per methodos supra traditas demonstratos, illudque theorema

tantummodo per inductionem inventum esse supponemus; hanc autem inductio-

nem per sequentes reflexiones ad certitudinis gi'adum evehemus.

Si +2 omnium immerorum primorum formae Sn-l residuum non es-

set, ponatur îuinimus primus huius formae, cuius non-residuum + 2 ==«, ita

ut pro omnibus primis ipso a minoribus theorema valeat. Tum aecipiatur nu-

merus aliquis primus <««» cuius non-residuum a (qnalem dari ex art. 129 fa-

cile declucitur. Sit hic =p eritque per theor. fund. pNa.Hinc fit -2)jRa.

Sititaque è! = 2p(n\oc\.a) ita ut e sit hnpar atqne <«. Tum duo casus

erunt distiiiguendi.

1. Quando e per/) non est divisibilis. Sit ê=ip-uq q eritque q po-

«itivus. formao hn-l vol formae &h+ a (prout p est formae \n- 1 vel

4/»-f-3), <[«, atque per p non divisibilis. Iam omnes factores primi ipshts q

in quatuor classes distiïbuniîtur, sint seilicet e formne S^-f-'» /formae S« + 3,

g formae Sw-4"<r>- h formae S m-}- 7 productum e factoribus primae classis sit

E, producta e factoribus svcundnc, tertiae, quartae classis respective. F, G.JT'

') Si os uliquiicln«v nulli factoresmloMcnt. loco producti ex liis i «cribercoporturet.

iiœOBKMA PDN1>AMENÏALE 111

tsitleremus primo casum ttbi » est tbi-ratte 4 «4- 1 stve a for-His ita factis, consitleremus primo casum ttbi j> est tbrmae 4«-f 1 sive q for-

mae 8«+7. ïmn facile perspieitur fore îRE, 2 EH, \inde pRE, pRH.hineque tandem ERp, HRp. Porro erit 2 non-residuum euiusvis factoris for-

mae 8»-j-3 3 aut 8 «-{-5, adeoque ctiam p; hinc quivis talis factor non-resi-

duum ipsius p; unde facile coneluditur F G fore ipsius p residuum si /•+</

fuerit par, non-residuum si f-g fuerit impar. At /~f y impar esse non potest;

facile enim perspicietur omnes casus enumorando, EFOH sive q fieri vel formai-

b«+3 vel 8«-f5, si fuerit /+<? impar, quidquid sint singuli e,f,g,k, contra

hyp. Erit igitur FGRp, EFGHRp, sive j.R/>, hincque tandem, propter

uqRp, a Rp contra hyi). Secundo quando p est formae 4«+3, simili modo

ostendi potest, fore pRE adeoque ERp, –pRF adeoque FRp, tandem

g-h parem hinequo GHRp, unde tandem seqttitur qRp, aRp contra hyp.

II. Quando e per p divisibilis, demonstratio simili modo adornari, et u

peritis (quibus solis hic articulus est scriptus) haud difficulter evolvi poterit. Xos

brevitatis gratia eam omittimus.

Solith'o prablematis yenerulis,

140.

Per theorema fundamentale atque propositiones ad residua 1 et Hh22

pertinentes semper determinari potest utrum numerus quicunque datus numeri

primi dati residuum sit an non-residuum. At haud inutile erit,.rcliqua etiani

quae supra tradidinms hic iterum in conspectum producere, ut omnia coniuncta

liabeantur quae sunt necessaria ad solutioncm

Prohlematis: Propositis duobtts mimeris quibuscunqm P, Q, invenire, utrum

alter Q, alterius P residuum sit an non 'residuum.

Sol. I. Sit Pz^za^bc1 etc. designantibus a,b, cetc. numéros primos in-

acqualcs positive acceptas (nam P manifesto absolute est snincndus;. Brevitatis

gratia in hoc art. retationem duorutn uuraeroruin œ,y simpliciter dicenuis eam

cluatenus prior œ posterioris y residuum est vel non-rcsiduuin. l'endet igitur

relatio ipsorum Q.P a relatiouibus ipsorum Q, a"1; Q, bfj etc. (art. 105;.

Il. Ut relatio ipsorum Q, «* (de rcliquis euim Q, 6e etc. idetn valet, in-

uotescat, duo casus distingueudi.

112 DE CONOBlWrilS SECL'NDrORADUS.

1. Qnnndo Q per a est 'divisibilis. Ponatur Q:=QV, ita lit Qf per

<f non sit divisibilis. Tune si e=ct vel e^>a, erit Q-Rw*; si vero e <a at-

que impar, erit QAV: tandem si e <a atque par, hnbebit Q ad «a enndeui

rclationuiii quam habet Q ad «' Reductus est itaquo hic ensus ad

2. Quando Q per a non est divisibilis. Hic denuo duos casus distin-

giiimus.

41 Quando «=2. Tune semper erit Qlia*, quando ct=i; quando

vero a = 2. requiritur, ut sit Q forniae 4»– f- 1 duuiquc quando«='.J vel

>!i. Q débet esse formae 8«-(-l. Quae conditio si locum lmbet, erit Qllu'

ili. (juaudo « est alius numerus prîrnus. Tune Q ad a"1 eandem relatio-

iioni habebit quam liabet ad a [V. art. 101).

III. liehtio nuxneri cuiuscunquc Q nd numerum priinum a (iniparcni) ita

investigiitur. Qunndo Q>«, substituatur loco ipsius Q ipsius residuurn mini-

mum positivum secundum modulum « Hoc ad « eandem relntioucm habebit

quam habet Q.

l'orro resolvatur Q. sive numerus ipsius loco assumtus, iu factoros suos

priinos j>. p',]>" etc. quibus ndiungendus factor J, quando Q est negativus.

Tnm constat relationem ipsius Q ad « pendere a relationibus singuloruin /»/

etc. ad «. iScilicut si inter illos factores sunt 2m non-residua ipsius «, erit Qlitt,

si vern 2;«-f-l, crit QKa. Facile autem persjricitur, si inter factores p, ji, p"

etc.. bini aut quaterni aut seui aut gencralitcr 2 A aequales occurrant, hos tuto

eiici posse.

IV. Si inter factores p, p',p" reperiuntur – et 2, horum relatio ad « ex

«rtt. 1 os. 1 1 2, 1 1 3, 1 1 4 inveniri potest. Kcliquorum autem relatio ad a pendet »

rclatione ipsius « ad ipsos theor. fnnd. atquc propp. art. 1 3 Sit p unus e.\

ipsis. invenieturque, (tractando numéros a, p eodem modo lit antea Q et a il-

lis resjjcctive maioresi relationem ipsius « ad p aut per artt. 10b – 114 cletermi-

nari pos.se si scilicet residuum minimum ipsius a (mod. nulles factores primos

impares habeat;, aut iusupera rulationc ipsius p

ad numéros quasdnm primos

ipso p minores pendere. Idem valet de reliquis factoribus p" etc. Facile iam

') Itrsidmim in signifie, urt. I. – l'lcnmi(|tK' praustiit rusiduum nlmolulcminimum accipere.

KOHMAEDrVISORCSlIPSIUS XX-~A. 118

15

perspicitm- per continuationem hutus opcratûmfe tftttdein ad numéros perventum

iri quorum relatione.? per propp. artt. 10S–- i 14 detvmiiuari possint. L*er exem-

plum haec clariora fient.

Ei: Quaeritur relatio nuineri -f ^53 ad 1 23G. Est 123G = 4.3.1 03

-f- 4 5 3 il 4 per 11.2A -}~453i2:) per II. 1. Superest igitur ut relatio ipsius

-j-453 ad 103 exploretur. Eadein autem erit quam habet + .11 '~453. mod.

103; ad 103; «ulem ipsius -f-H>3 ad 41 ttheor. fund. sive ipsias –20 ad 4).

At est – 2O7Î41; unmque – 20 = – 1. 2.2.5; – 1 #41 (art.lOb); atque

-f- 5 J2-I I ideo quod 41 ~l adeoque ipsius 5 residuum est (tlieor. fund.\ iïiiic

sequitur + 'r>3 R **3 • liincquc tandem + i 53 11 1 2 3G. Est autem reveva 4 r>3

297a mod. 123U

De formit linearibm ouuien nuinero» primo*continent ilus quorumrel résidui< mval notM'esidaumest tiumerusyuicunqiic datus.

147.

Proposito nuinero quoeunque A, formula? certne exhiberi possunt. sub qui-

bus omnes numeri ad A primi quorum residuuin est A continentur sive omnes

qui esse possunt dieittores numerorun» formoe .w– A (désignante *u' quadratum

indeterniinatuni, Scd brevitatis gratin ad cos tanttun diviseras rcspicienms. qui

sunt impares atque ad A primi. quum ad hos casus reliqui facile reduci possint.

Sit primo A aut numerus primus positivas formne 4w+l aut negativus

forinae 4« – 1. Tum secundum theorema fundamcntalc omnes numeri primi,

qui, positive sumti, sunt residua ipsius A, erunt divisores ipsiusjex – A: omnes

autem numeri primi (excepto numéro 2 qui semper est divisor qui ipsius A sunt

non-iesidua erant non-divisores ipsius œœ – A. Sint omnia residua ipsius A ipso

A minora fexclusa cifra' r, r, r" etc. omnia non-residua vero », »', «" etc. Tum

quivis numerus inùmus, in aliqua formarum Ak-r, Ak~r, Ak-r" etc, con-

tentus, erit divisor ipsius ,î\p – A, quivis autem primas in aliqua formarum Ak+n,

/lÀ'-f-w' etc. conteutus non-divisor erit, désignante fc numerum integrum inde-

terminatum. lllas formas dicimus formas divisorum ipsius xx – A, lias vero/or-

mas ntm-dimortan. l'tiormnque multitudo erit |:>1– 1). Porro si B est nume-

rus compositus impar atque ARB, omnes factores primi ipsius B in aliqua for-

·

*) lluiusmodi numeros simplicitpr dicisorts {pains jrt – A diceraus unde «ponte patet quid sinl tion-

tlwixnres.

J14 DE eONQRUKNTHSSKCUîîW QRADt'S.

manu» priorum continentur adeoque étiam B. Quàre quiets mimeras imptir in

forma non-divisorum eontentus, crit non-divisor foraine .w – -4. Sert hoc theo-

rema convertere non licet; nam si J5 est non-divisor compositus impar formae

xx – A, inter factores primos ipsiusB aliqui non-diviaores erunt, quorum mul-

titudo si est par, B nihilominus in aliqua forma divisorum reperietur. V. art. 99.

Kl1. Hoc modo pro A – – 11 formne divisorum ipsius aw+11 inveniun-

turhaé: lî£-f- 1,3, 1,5,9; formae non-divisorum autem erunt lU--f-£, 0,7, S, tn.

Erit itaque – il non-residuum omnium numerorum iiuparium, qui in aliqua po-

steriorum formarum continentur, residuum autem omnium primorum ad nliquani

priorum pertinentium.

Similes formae dantur pro divisoribus atque uon-divisoribus ipsius xx – A,

qucnxcunque numerum designet A. Sed facile perspicitur, cos ipsius .1 valores

tantummodo considerari oportere, qui per nulium qundrntum sint divisibiles; patet

eniin si fucrit A=a2A', omnes divisores- ipsius a\v – A etiam fore divisores

ipsius xx – A', simili torque non -divisores. •–Distinguemus autem très casus.

1) quando A est formae -f-(4n-f-t; vel – (4m – 1). 2; quando A est formae

– (4 »* – |– I j vel -{-,4 m – 1). 3) quando A est par sive formae -jr[4n~2'.

148.

Casus prim us, quando A est formae +(!«+ ï vel –1« – 1 llcsolvatur

.1 in factores suos primos, tribuaturque iis qui sunt formae 4« + 1 signum posi-

tivum iis vero qui sunt formae 1 n – 1 signum negativum (unde flet productum

ex ipsis =A). Sint hi factores a, b, c, d etc. Distriboantur omnes numeri ipso

A minores et ad A primi in duas classes, et quidem in primant classem omnes

numeri qui sunt nullius ex numeris a, b, c.d etc. non-residua, aut duorum, aut

quatuor aut generaliter multitudims paris; in secundam vero ii. qui sunt non-re-

sidua unius ex numeris a, b, c etc. aut trium etc. aut generaliter multitudinis im-

paris. Dcsigncntur priores per r, r\ >•"etc., posteriores per n,ri, «"etc. Tum for-

mae Ak-r, Ak-{-r'. Ak-r" etc. erunt formae divisorum ipsius œx – A. for-

mae vero ^lÀ--f-«, /lA-f-»'etc. erunt formae non-divisorum ipsius xx-– A (Le.

numeriis quicunque primus, praeter 2, erit divisor aut non-divisor ipsius xx – A,

pront in a/iqua formamm priorum mit posteriorum continetur). Si enim p est nume-

*) Ncmpcqui sint primi ad A

VOtœUOl DIVISOlil'M U'SIÛS "'$£•– À. 115

J5'fi

rus primas* positivas atque aiictihts ex nutiieris a, b, c etc. rasidimm vcl non-resi-

duum, hie ipse numerusipsius p residuum vel non-residuuw crit theor. fund.).

Quave si inter numéros a.b.c etc. sunt m, quorum non-residunm est p, totidem

urunt non-residua ipsius p, aduoque si p in aliqua formarum priorum contiuetur,

erit m par et ARp, si vero in aliqua posteriorunt, crit ? impnr utque AN p.

Rv. Sit ^i == + 105 =-3x + 5X- 7. Tura numeri r.r'.r" etc. erunt

In 1 1. 1 (î, 46, 64, 79 (qui sunt uou-residuu uullius muneroruin 3, 5,7 2. s, 23,

32, 5». D2 (qui sunt non-rcsidua uumeroruiti 3,5); 20,41,59,^9,101,104 qui sunt

non-rcsiduu numerorum 3. ?;; 1 3, 52,73, S 2. 97. 1 03 (qui sunt non-residua uume-

rorum5,7. – Xumeri nutem n,n',n" etc. erunt hi 1 1,29, -M, 71. 74, SU; 22.

37,4!».5S,67,S»S; 19, 31. 34, 0I.7U.94; 17,3S,47,O2,GS, b3. Seni primi sunt non-

residua ipsius 3, scni posteriores non-residua ipsius 5, tum sequuutur non-residua

ipsius 7. tandem ii qui sunt non-residua omnium trium simul.

Facile ex combinationum theoria atque artt. 32. 90 deducitur. numcrovum

/•, r" etc. multitudinem fore

= ffi-L.1!1.- -L. '-lz^.d-jA-1 _L1 1.2 2 I ï :i |)' <

numerorum «', n" etc. multitudinem

– t'i-L.LLz. [lLzJ. _i_ id^zl- iizLzl _j_t 1,2,:1 \,2" 5~

ubi désignât multitudinem numerorum a, b, c etc.;

t = 2-'a – \){h – \)'ç– i;, etr.

et utraque series continuanda donec abrumpatur. (Dabuutur scilieet t uurneri

qui sunt residua omnium a, G, c etc..t= i=-li qui sunt non-i-csidua duorum. etc.qui sunt residua omnium a, b, c etc.. -•– qui s««t non-rcsidua duoram, etc.

sed demonstrationem hanc fusius explicnrc brevitas non permittit). l'triusque

auteni seriei summa*; est = 2' J. Scilieet prior prodit ex liac

) < /<– ï1 -i- (t +

–

iungendo termiuum secundum et tertium, quartum et quintum etc.. posterior vero

ex eadem iungendo tenninum primum aUjuc secundum, tertium et quartum etcs.

Dnbuntur itaque tot formae divisorum ipsius «i\p – .4, quot dantur formae non-

dirisorum scilieet .](« \)[l– (c | etc.

') Xcgk't-to fnctoiv I ·

110 DR CON©IH>ENTHÔ 8KCt*NDI GRADU8.

149.

Casmn secundum et terlium hic simul content plnri possumus. l'oterit seilicet

/i Ncmpcr hic poui =( – VQ, aut =.{•+ 2)Q, aut -=(– 2;Q, désignante Q

numerum formae + (•* »•+•'• aut (4 » – 1 } quales in art, pracc. considera-

vimus. Sit genernliter A~aQ, ita ut sit a aut = – 1, aut – + 2. Tum

erit A rcsiduum omnium numerorum, quorum residutun est aut uterque « et

Q, nut neuteï; non-residuum autem omnium, quorum non-rcsiduum alterater

tantuin nuinerorum a, Q. Hinc formae divisorum ne non-divisorum ipsius

jw – -A facile derivantur. Si ct = – 1, distribuante omnes niimeri ipso Ll

minores ad ipsumque primi in duas classes, in priorem ii, qui sunt in aliqua forma

divisorum ipsius œx – Q simulque in forma 4M-+-1, iique, qui sunt in aliqua

forma non-divisorum ipsius .l'a.1 – Q .simulque in forma ln-i; in posteriorem

reliqui. Sint priores /, r'etc. posteriores «, ri, n" etc. eritque A rosiduum

omnium numerorum primorum in aliqua ibrmarum lAk-j-r, iAti-}- iAk-{-r"

etc. contentonnn, non-residuum autem omnium primorum in aliqua fornmrum

*Ak-n, LIA" 4- «'etc. contentorum. – Si «^=+2, distribuautur omnes nu-

meri ij)so s Q minores ad ipsumque primi in duas classes, in primnm ii, qui

continentiir iu aliqua forma divisorum ipsius xx – Q simulque in aliqua for-

marum S h -j- 1 s « -f-7 pro signo superiori vel formarnm s«+l«^" + 3 l)ro

inferiori, iique qui contenti sunt in aliqua forma non-divisorum ipsius jrx – Q si-

mulque in aliqua harum S»-f-3, Sw-J-" pro signo superiori, vel hanun s»-)-5»

S«– |– 7 pro inferiori, in secundam reliqui. Tum desifînatis uumeris classis

prions per r, r'. r" etc. numerisqne classis posterions per », ri. n" etc. + 2 Q

erit residuum omnium numerorum primorum in aliqua fonnaruni s Q~)-<

%Qk-r, SQ^-f-etc. contentorum, omnium autem primorum in aliqua fonna-

rum SQÀ'-f-w, sQk-ti\ sQk-j-n" etc. uou-residnum. Ccterum facile demon-

strari potest, etiam hic totidem formas divisorum ipsius ,i\j.' – .-1 datum iri ac

non-divisorum.

Et: Hoc modo iijveiiitur -f-1" esse residuum omnium uumerorum pri-

morum in aliqua formarum 10Â-+ 1, :». «, 13, 27, :u, :)7. 'M) contentorum non-

rcsiduum voro omnium primorum, qui sub aliqua formarum 4U^-f-7. Il, 17, J9,

21. 23, 29. 3a continentiir.

FOBMAEBIV18OBBM IPSa'g iiP – A 117

Formae Irae plnres liaient proprietates satis racmorabilcs, quarum tamvn

unam tantuinmodo apponimus. Si li est numéros compositus ad A primas, in-

ter cuius faeton-s primo» occurruut im, qui in aliqua forma non-divisorum ipsius

xx–A continentur, li iu nliqua forma divisorum ipsius xx–A eontentus

erit; si vero multitudo fnctornm primoram ipsius 11 in aliqua forma non-diviso-

ram ipsins xx–A contcntorum impar est, li qnoque in forma non-divisorum

contentas erit. Dcmonstrationem quae non est difficilis omittinius. Hinc vero

sequitur, non modo quemvis numerum primum sed etiam quemvis compositum

hn]Mrein ad A primum qui in aliqua forma non-divisorum contineatur, nou-di-

visorem fore; ncct'ssnrio onim aliquis factor primus talis numeri débet esse non-

divisor.

Theorenin fuudamcntnle, quod sane inter elegantissima in hoc génère est

référendum, in «idem forma simplici, in qua supra propositum est, a nemine luic-

usque fuit prolatum. Quod eo magis est mirandiun. qnum aliae quaedam propo-

sitioues illi superstruendae, ex quibus ad illud facile reveniri potuisset. ill. Eulero

iam inuotuerint. l-'onnas certas dari, in quibus onuies divisores primi numeroruni

fornmc* xx – .'1 contineantur, aliasque in quibus onines non-divisores primi nu-

meroruni ciiLsdem formae sint coniprehcnsi ita ut hae illas exclmlaut, uoverat

metliodumque illas formas inveniendi eruerat sed omnes ipsius conatus ad demon-

strationem perveniendi semper irriti fuerunt, veritatique illi per inductionem in-

ventae maiorcm tnntummodo verisinùlitudinem coiiciliavcnuit. lu uli(jua quideni

tractatioue Novae démonstration! circu divisores-immerorum fonnae xx-nyy.

qiuio iu Acad.l'etrop. recitata est 1775 No»-. 20, ot post niortci» viri .summi in

T. I. JXov. Act, lmius Ac. p. -17 sqq. est cou-servutn. voti se compotem crcdidis.se

videtur: sed hic error irrepsit, scilicet p. G5 tacite supposait, formas taies diviso-

rum et uon-divisoriuu exstare • unde non difficile crat quales esse debcant deriva-

re: methodus autem qua usus est ad comprolmtionem illius supjiositionis liaud

') Xcmpu dari numéros r, r', r" etc. n, «', n" etc. omne» diversos et < I A talcs ut omnes divisons

primi ipsius xjc – A «ulj uliquu formnrumt. i l; + r, i/iA + r'ilc. contïneuntur, omnfJHjueiion-divisori-x pri-

mi sut) aliqua liimim lAk + n, iAlc + u' etc. (désignante/: numvruni iiidetcrminatumj.

lh tttiarum kbnribm cirea hm iurcsligatiimrs.

150.

151.

US DB COXOBl'ENïns gEei'NDÏ GRÀDUS.

') i:ti ipwfutetur, 1.e. p. 2l« Huiusolcgnntissimi thuorcraatis demonstratio adliuc desideratur, post-i

rjiinni a plurihux iamcludurafrustra est invustig-.ita. Quocinu plurimum i» praestitisse censendm crit, wii suc-i-esserit dcmoii«lratioii«n huius theoremntis invunire." – Quonto ardore vir immortalit demonstrationcm hu-ius llieorenmtis aliomm(]uo,quac titntummodo cusus spccialcs tlioor. fundnm. sunt. desideraverit, vtdcre lient exmultis ulii» locis ()|msct. Aimll. Conf. AMUauuulum ad dm. VIII. T. I. et diu. XIII, T. II. pluresque diss. in 5

(.'(miment. l'e-trup., ium pa«im laudutuc.

ittonea videtitr. In alio sehediasmnte De criteriis aequationis fx»-gyg=s-k8it-

utrumqtte rendit tiunem udmittat necne, Opusc. Anal. T. I. (ubi f,g, h sunt dati,

x, jf, s indeterminati) per imluctionem invcnit, si aequatio pro aliquo valore ipsius

/< =*• solubilis sit, eandem pro quovis alio valore ipsi s sccuntlum mod. 4fg

congruo, siquident sit numerus prinms, solubilem fore, ex qua propositioue sup-

positio de qua diximus haud difficile demonstrari potest. Sed etiani huins theo-

rcmatis dcmonstïatio omncs ipsius labores ehisit*), quoil non est mirandum, quia

nostro iudicio a theoremate fundamentali orat proficisceuduin. Ceteruni veritas

huius propositions ex iis quae in Sect. scquenti docebimus sponte demnnabit,

Post Eulemin, dur. Lo Gendre eiden» orgumento operam uavavit, in egi-egia

tract. Recherches tl'atia/j/se indéterminée, Hist. de l'Ac. des Se. t i &5 p. 4 05 sqq., ubi

pervenit ad tlicorcnia, quod si rem ipsain spectas cum th. fund. idem est, scilicet

designantibus p, q duos numéros prinios positivos, fore residua absolutc minima f

potestatum j)"* q « sec. tnod. q,p resp. aut ambo +1, aut ambo – 1. quando

aiit /> aut q sit formae \n- quando vero tum y> tum q sitformac •!»-{- 3,

alterum res. min. fore -f- 1 altcrum – p. 510. ex quo sec. art. 106 deriva-

tur, relationem (in signif. art. 140 acceptant; ipsius jj ad q ipsiusque q ad /> ean-

dan esse, quando aut p aut q sit formae 4»+'» oppositam, quando tum p

tmn q sit formae \n-2. Propos, haee iuter propp. art. 1 3est contenta, se-

quitur ctiam ex 1,3,9, art. 133; vicissim autem theor. fund. ex ipsa derivarii

jjotest. (,'lar. I.e Gendre ctiam denionstrationem tentavit, de qua quum perquam

ingeniosa sit in Sect. seq. fusius loquenmr. Sed quoniam in en plura sine demon-

strationesupposuit uti ipse fatetur p. 520. Nous

avons supposé seulement etc.)

quue partim a nemine hucusque sunt deinonstrata i>artim nostro quidem iudicio

sine theor. fund. ipso demonstrari nequeunt: via quam ingrcssusest, ad seopum

deduc-ere non posse vidctur, nostraque demonstratio pro prima erit habenda. –

Ceteruni infni duas ulias demonstrutiones eiusdem gravissimi theoreuiatis trodeinus.

a praec. et inter se toto coelo diversas.

[

i

i

CONaitt'EjmA» Hf*K PCRAJf. ] j|9

De congrttentih aecumlifjrmlitxnon puits.

152.

Hactenus congruentiam puram xx~ A (mod. m) tractavimus, ipsiusque re-

solubilitatem dignoscere docuimus. Radicum ipmmm investigatio per art. 105 ad

cum casum est reducta, ubi m est aut primus aut primi potestas, posterior vero

per «rt. 1 Ot ad eum, ubi m est primus. Pro hoc autcm casu ea quae in art. RIr

sqq. trndidiimis una cum iis quae in Sectt. V et VIII docebimus, omnia fere eoni-

plectuntur quae per methodos directos erui possunt. Sed hae ubi sunt applicabi-les plerumque infinities prolixiores sunt quara indirectae quas in Sect. ^'1 docebi-

mus, adcoque non tam propter utilitatem suam in praxi quam propter pulcritudi-nem memorabiles. Congmentiae secundi gradua no» jntme ad puras facile rodu-

ci possunt. l'roposita congraentia

axx-{-bx-c = 0

secundum mod. m solvenda huic aequivalebit congraentia

•l««a?^-f-4rtia?-f-4«c o(mod.4njw;

i. e. quivis numerus alteri satisfaciens etiam alteri satisfaciet. Haec vero ita ex-

hiberi potest

(2«*(-i)2 = bh – 4«c(mod.4«»J

unde omnes valores ipsius 2ax-b minores quam 4«m si qui dantur inveniri

possunt. Quibus per r, r, r" etc. designatis, omnes solutiones congr. prop. dedu-

centur ex solutionibus congruentiarum

2«* = r~b, 2ax = r'–b etc. (mod. 4am)

quas in Sect. II invenire doeuimus. Ceterum observamiu, solutionem plerumque

per varia artificia contrahi posse, ex.gr. loco congr. prop. aliam inveniri posse

dxx-ïh'x-c' r 0

illi aequipollentem, et in qua a ipsum m metiatur; haec vero de quibus Sect. ul-

tima conferri potest, hic explicare brevitas non permittit.

SECT1O QlIXTA

DE

FORMIS AEQUATION1BUSQUE INDETERMINATIS

SECUNDI GRADUS.

Btsquisitiom's proposition farmaruui éjiutiio et xitjnum.

153.

In hac sectione imprimis de functionibus duarum indetermiuatarum je, y,

huius formae

a x x -f- ï b xy -f- cyy

ubi a,l),c sunt integii dati, tractabimus, quas formas secundi gradua sive simpli-

citer formas dicemus. Huic disquisitioni superstruetur solutio problematis faniosi,

invenire omnes solutiones aequationis cuiuscunque indeterminatae secundi grnclus

duas incognitas implicantis sive hae incognitnc valores integros sive rationales

tnntiun nancisci debeant. Probleiua hoc quidom iam ab ill. ha Grange iu omni

generalitate est solutum, multaque insuper ad naturam formarum pertinentia tum

ab ho<; ipso magno geometra tum ab ill. Eulcro ]jartim prinium iu venta, partim.

a Fenimtiu olim inventa, demonstmtionibus iiitiiiita. Sed nobis ncriter furniuruiu

perquisitioui insistentibus tam multa nova se obtultirunt, ut totuni argunicntum

ab integro resuntere operae pretium duxerirnus, eo magis, quod Mronun illorum

inventa, multis locis sparsa, paucis innotuisse experti sumus; porro quod metho-

dus per quam haec tractabimus nobis ad maximnm partem est propria tandem

KOMKRORl1»REPRAESEIÏTATIO. 121

16

quod nostra sine nova illorum expositione ne întelligi quidem possent. Nullum

vero dubium nobis cssc videtur, quiu multa caque egregia in hoc génère ndhuc Ia-

teant, in quibus alii vires suas cxcrccrc possint. Cctcrum quae ad veritatum in-

signium Imtoriam pertinent, loco suo semper trademus.

Formam axx-iboi!j/-{-ci/y, quando de indeterrainatis x,y non agitur,

ita desigimbimus, (u,b,c). Haec itaque expressio cienotabit indefinite summam

trium partium, producti numeri dati a in quadratum indeterminatae cuiuscunque;

producti dnplicati numori b iu hanc indetenninatam in aliam indeterminatam

producti nnnieri c in quadratum huius .secundae indeterminatae. Ex.gr. (1,0, 2)

exprimet summam quadrati et quadrati duiilicnti. Ceterum, quamvis formae {a, b, e)

et {c.b.ài idem désignent, si ad partes ipsas tantum respicimus, tamen différent

si insuper ad partium onlintm attendimus quare sedulo eas in posterum distin-

guemus; quid vero inde lucremur in sequentibus sufficienter patebit.

A'itnwrorum repraescntatlo; déterminons.

154.

Rumeruin aliquem datuni per formam datam repraesentan dicemus si for-

mac indctenm'iiatÎM taks valores iutegri tribuuntur ut ipsius valor numéro dato

fiat aequalis. Hic habebimus sequens

ïiieobema. Si Mimerus M ita per formam (a, b, c) repraesentan potest, ut in-

determinatarum valores, per quos hoc efficitur, inter ne sint jrrimi erit bb– a resi-

dutim quadraticum numeri M.

Dem. Sint valores indeterminatarum m,n, scilicet

amm-1bmn-cnn= M

aceipianturque numeri /x, v ita ut sit fim-{-ytn– 1 (art. 40 j. Tum per evolu-

tionem facile probatur esse

« m m -îb mn-f- c» » i (« vv – 2 A/x v -f- cfi ft

=(fi[mb+-iic – v ma-nb)y – bb-–ac)\m\i-n-if

sive

Jf;«fvv – 2b{rt-c(inj =(fi mb-nc – v ma-nbjf –{bb–-ac)

Quaro crit

122 DE FORMl»&ECUNBIGBàMJB,

bb-– <te ™ (p(mb+nc)–v(ma+nb)y (mod.M)

». e. bb~ac residuum quadraticum ipsius M.

Numerum bb – ac, a cuius indole proprietates formae («, b, c) imprimisR

pendere in sequentibus doccbimus determinantem huius formae vocabimus.|

Valoret expv. \'{bb – ac){mod.M)ad quoi repraesenfatio tmmeri Mpar formant (a, b, c) pniinel. ]

155.

Erit itaque

H[mb-±-nc) – v(wi«+«i)

valor expressionis

\]{bb – «c)(mod.M)

Constat autem, numéros ju,v infinitis modis ita determinari posse ut sit ft?»4"vwl

= 1 unde alii aliique valores illius expressionis prodibunt, qui quem nexum in-

ter se habeant vidcamus. Sit non modo nm-vn = l, sed etiam n'm-{-v'n

= 1 ponatnrque

fi[mb-nc) – v[ma-nb)= v, n'[mb-nc) – *i'[ma-{-nb)

– v'

Multiplicando aequationem jitm+v»=l per (j alteram fi'»j+v'» = per (t,

et subtrahendo fit n'~ /x=«(/x'v– /xv') similiterque multiplicando illam per v'.

hanc per v, fit subtrahendo v'– v=w(fiv'– ft'v). Hinc statim proditi'

v' – =(//v – fiv')(«i»»m+ îbmn-cnn)

=(fi'v– ftv^M

sive »' = »(mod.Jlf). Quomodocunque igitur ju, v determinentur, tbrmulu

p{mb-nc) – v{ma-nb) valores diversos (i. e. incongruos) expressionis \J(bb – «c)

(mod.M} dare nequit. Si itaque » est valor quicunque illius formulae: reprac-

sentationem numeri M performam accx-{-ïbxy-{-cyy eam ubi *•=»», ,y=n,

pertinere dicemus ad valorem v expression^ ^(bb – ac) (mod.M). C'etemm faci-

le ostendi potest, si valor formulae illius aliquis sit » atque w'=« (mod.M), lo-

co numerorum fx, v, qui dant «,alios ft', v' accipi posse, qui dent v'. Scilicct

faciendo

fiet j-t

~'Nt-M=

p. na- v ~a= 1

a

WUMEKOBPM HEPHAESBKTATIO. 123

– ..“ a

1&'

vator autem formulae ex fï, v' prodiens superabit valorem ex p, v prodeuntem

quantitate (p' v – p v') M, quae fit = ( ft m -f- v») (V – v) = if–v, sive valor ille

erit =»'.

156.

Si duae repraesentationes eiusdem numeri M per eandem formam (a, b, c)

habentur, in quibus indeterminatae valores inter se primo» habent: hae vel ad

eundem valorem cxpr. \j'bb – ««^(mod. J/; pertinere possunt vel ad diverses. Sit

M – amm+2bmn-cnn = am'm'2bm'ri-+-criri

atque

j*«i-f-VB = 1 f*'»»'+v'«' = t

patetque si fuerit

ft>«6+«c)– v(»ta-f»i: =/(«»' ft + n'c) –V («*'«+ »' 6) (mod.ilf)

congruentiam semper manere, quicunque alii valores idonei pro ft, v; /ut', v'

accipiantur, in quo casu utramque repraesentationem ad eundem valorem expr.

\J(bb – ac) (mod. M) pertinere dicemus; si vero congruentia pro ullis valoribus

ipsorum /v; fi't locum non habet, pro nullis locum habebit, repraesentationes-

que ad valores diversos pertinebunt. Si vero

H(mb-nc; – v(m«-f-«i) – – (p'(m'b-ric) – v'(»i'«-f-»'4O

repraesentationes ad valores oppositos expr. \J(bb – «c) pertinere dicentur. Om-

nibus hisce denominationibus etiam utemur, quando de pluribus repraesentatio-

nibus eiusdem numeri per formas diverses, sed quae eundem determinantem ha-

bent, agitur.

Ex. Sit forma proposita haec (3,7, – 8) cuius determinans =73. Per

hanc formam habentur repraesentationes numeri 57 hae

3. 13*-f-14. 13.26 – 8.252; 3.52-|- 14.5.9 – 8.9S

Pro prima poni potest f* = 2 v = – 1 unde prodit valor expr. ^7 3 (mod. 57 )

ad quam repr. pertinet

= 2*13.7 – 25.8) -f-fl3. 3-f-25.7) =–i

UÏ4 DE FOBMISSÊCt'Nlîl Olt.tOt'S.

Simili modo repraesentatio secunda pertinere învenitiir, faciendo f*==2, v – – 1,

ad valorem -(-4. Quare arubae repraesentationes ad valores oppositos pertinent.

Antequam ulterius progredimur, observamus, formas quarum déterminant

= ab investigatiouibus scqueutibus prorsus exclusas esse, quippe qnae theo-

rematum concinnitatem tantummodo turbarent. adeoque tractationem peculiarem

postulent.

Forma aliam imjilicam, tire sub alla contenta; (ransfonnatio, propria et ûnpropriu.

157.

Si forma, F, cuius indeterminatae sunt x,y. in aliam F', cuius indeter-

minatae sunt .t1',y', per substitutiones tales

œ = ou'{-tf/, i/ = y/+èy

trnnsmutari potest, ita ut a,ti,y,iï sint integri priorem implicare posteriorem,

sive posteriorem ««4 priori contentant esse dicemus. Sit forma F haec

axx-bxy-cyy

forma F' vero haec

~t-+2&y+cyy

habebunturque sequentes très acquationes:

a' – aaa-{- 2bay -j-cyy

b'=zaa$ + h [a S + 67) -+-cyè

<==<!tf!î+2&68+cë8

Multiplicando aequationem secundam per se ipsam, primant per tertiam et

subtrahendo fit delctis partibus se destruentibus

67/ – a'c = (bb–

ac)(aè–

lîyf

Unde sequitur determinantem formae F' per determinantem format- F divisibi-

lem et quotientent esse quadratum manifesto igitur hi déterminantes eadem signa

habebunt. Quodsi itaque insuper forma F' per similem substitutionem in for-

mam F transmutari potcst, e. si tum F' sub F, tum F sub F' contenta est,

1-THiïKBFOBJrATTO.

-11 Il 1-1-12^5

formanim déterminantes erunt acquittas *} atque (aè –tiyf– l In hoc cttsu

formas aequimlentes dieemus. Quare ad forinarum aequivalentiam aequalitas dc-

terminantium est conditio necessaria licet illa ex hac sola minime .sequatur.

Substitutionem = a^-j-fty1, y = yx'-{-èy' vocabimus transformationem pro-

priam, si aë– tiy est numerus positivus, impropriam si aè– tiy est ncKati-

vus; formam F' proprie mit improprie sub forma JP contentant esse dicemus. si F

per transformationem propriam aut inipropriam in formam F' transmutari potest.

Si itaque formae F, F' sunt aequivalentes, erit 'aè – tf-y^^i, adeoque si

transformatio est propria, aè – ^y=-i, si est impropria – – 1.. Si

plures transformationes simul sunt propriae, mit simul impropriae. mnifex cas di-

cemus proprinm contra et impropriam tH.mmik.s-.

Aequiculfiitia prupriu et impro/iria.

15 S.

Sifurmurwm F, F'déterminantes sunt aequates atque F' sub F contenta: ctiam

F mb F' contenta erit et quidem propriu eel improprie prout F' ,iub F proprie vel

improprie continetur. Transeat F in F' ponendo

–a ri -f-Ciy', -y

–^x'cg'

transibitqne F' in F ponendo

m' –c\c– b> y

=– y f-f- ay

Patet enim per hanc substitutionem ex F' fieri idem quod liât ex F ponendo

va 'c#– \>y)~[– •y.v-i-aj/j, y

=y c\v–iiy)+c

–yje-ay.

sive

a1 – ,ac– tiy)iV, y– ac – tiyy

fliuc veto manifesta ex Fût>ac – tiyi'F i. e. rursus F art.praec.. Perspi-

cuum autem est, trausformationem posteriorem esse propriam vel impropriam.

prout prior sit propria vel impropria.

Si tum F' sub F, tum F sub F' proprie coutinetur, formasproprie uequi-

*) Manifcstum est ex nnnlysi prauccdcntc hanc propositionem etium ml formasc|unrum dftertninnns i-.

patere. Scd aequatio (ù – ?y)' – n(' hune casum nonost cxU'tulcmla.

126 t>E KORMI»SECKNDIOHADt'S.

valent»®, si illae sub invicem improprie. vôcabimus improprie aequivaletites Ce-

terum usus harum distinctionum utox innotescet.

Exempt. Forma 2 au? –8,1- '*lty per substitutiones x = 2^ +

= 3.i-'4- 2/ transit in formant –l 'ix'x – 1 îx'y – 2y'y', haec vero in illam factis

,v' – 2v–y, /= – a^-j-2^. Quare forrane (2, –4.3). ( – 13. –0, –2)

erunt proprte ((équivalentes.

Problcmnta quae tractare iam aggrcdieinur sunt hnec: 1. Propositis duabus

tbrtnis quibnscunque eundem deterrainantem habentibns. investigare utrmn sint

aequivalentcs necne, utrum proprie aut improprie aut utroque modo, nani etiam

hoc fieri potest. Quando vero déterminantes inaequales habent, annon saltem

altéra alteram implicet, proprie vel intproprie vel utroque modo. Denique invcnirc

omnes transformationes alterius in alteram, tam proprias quam improprias.

TI. Proposita forma quacunque, inveuire utrttm numerus datus per eam repraesen-

tari possit omnesque repraesentationes assignare. Sed quoniam formae determi-

nantis negativi hic aliam methodum rcquirant quam formac determinantis positivi,

primo trademus ea quae utrisque sunt communia, tum vero formas cuiusvis

^eueris seorsim considerabimiis.

Formae opposifae.

159.

Si forma F formata F' implicat, haec veroformam F", forma F etiam for-

mant F" implicabit.

Sint iiideterminatae formarum F, F', F" respective x,y; ai, y; ai', y" trans-

eatque F in F' ponendo

x – ax'fîy'. y =yœëy'

F' iu F" ponendo

y =a'/+6y, y = y/ + s/

patetque, F iu F" tmnsmutatura iri poncndo

x =a oV+gy'j + g(rV'+cyj. y

=y :a'A''+gy')+ê(r'a.4-ô>")

sive

x= ,aa'+b'y>+(ag'+JÏôv.1/, y =. ^d+èf^'M^

Quare F ipsani F" implicabit.

TKAN8FOHMATIQ. lg?

Quia

(aaM-SrW'+^Matf+SS'.Kya'+S/) (a^ – 6r;(a'^– d'/j-

adeoque positivus, si tuma<5 – lîy tum

a'#– Sy positivus aut uterque negati-

vus, negativus vero si alter horum numcrorum positivus alter negativus: forma

F formam F" proprie implicabit. si F ipsam F' et F' ipsam F" eodem modo

implicaut, improprie si diverso.

Iline sequitur, si quotcunque formae habeantur F, F', F", F'" etc.. qua-rum quaevis sequcntem implicet, primain implicaturam esse ultimam, et quidem

proprie, si multitude formarum, quae sequentem suam improprie implicnnt. fuerit

par, improprie si multitudo haec impar.

Si forma F formae F' est aequivalens, furmuque F' formae F": forma F

formae F" aequivalens erit, et quidem proprie, si forma F formae F' eodem modo

aequivalet ut forma F' formae F", improprie, si diverso.

Quia enim formae F, F', his F', F", respective sunt aequivalentes tum

illae bas resp. implicabunt, adeoque F ipsam F", tum hae illas. Quare F, F"

aequivalentes erunt. Ex praec. vero sequitur, F ipsam F" proprie vel improprie

implicare, prout F ipsi F' et F' ipsi F" eodem modo vel diverso sint aequiva-

lentes, ut et F" ipsam F: quare in priori casu F, F" proprie. in posteriori im-

proprie aequivalentes erunt.

Formae (a,–b,c), (c.b.a), (c, – b,a) formae [a, b,c) aequivalent, et quidem

duae prions improprie, ultima proprie.

Xam «##+ ïbxy + cyy transit in ax\v' 2bx'y cy'y ponendo

a; =#{-. o. y=Q.af – y', quae transformatio est im propria propter tx – 1–0.0 0

= – 1 in formam ca/,t/~f- îbtfy'ay'y1 A-cro per transformationem impropriam

A> = 0.4' + /» jt – d-Q-y'\ et in formam caïd %bx'y'+ay'y' perpropriam

x = o .j/ –y, y = «'+ o .y.

Hinc manifostum est, quamvis formam, formae (a, b, c) aequivalentem, vel

ipsi, vel formae (a, – b, c) proprie aequivalere; similiterque, si quae forma formam

(a, b, c) implicet aut sub ipsa contineatur, eam vel formam (a, b, c) vel formam

(a, b, c) proprie implicare, aut sub alterutra proprie contineri. Formas

(a, b, c), (a, – b, c) oppositas vocabhnus.

128 ni: Koirais sEcfXDj ORADrs.

Formai.' eonfif/tme.

160.

Si format1 a, b, c a, b', c' emwlem determinantem hnbout. insuperque est

(• = «' et 6 = – t'mod.c, sivo b~{-b '=0 'niod.c;, formas lias contigua.i dicemus.

1et quidem qunndo determinationc accnratiori opus est. priorem posteriori « parte `e

prima, posteriorem priori a parte ttlttma continuai» dieemns.

lta ex.gr. forma i, 3, 2 formnc 3. -t. 7) a parte ultima contigua, forma

(3, 1. a oppositae suae (3. – 1,3) ab utraque parte.

Formae contiguae semper sunt proprie aequivalentes. Nain forma axx- 2 bxg

-j-eyy trnll:~it irl f'ornlnnl contil;ualll x'-f.~ 2G',r'y"-f- cyJ 1)er substittltiunenl:1

-cyy transit in forninm contiguani c.v'j;iUx'i/-{-c'g'i/ per substittitionem

*= –y, g = x'

'+-y «îuae est propria ob o x 1 X – 1 – 1 uti per

cvolutioncm adiumento aequationis bb uc = b'b' – ce facile probntur:–

t

°

vero per hyp. est integer. Ceterum hae definitiones et conclusiones locum non1

habent. si c -= «' = 0. Hic vero casus occurrere nequit, nisi in formis quarum

deterininans est nnnierus quadratus.

i'ormae(it.b.c, d,b',c) proprie aequivalentes sunt, si a– a, &=A'{niod.«).

Forma enim a,b,c formae (c, – b, à propric nequivalct fart, proec.) haec verot

formae [a, b', c') a parte prima contigua erit.

Dirivins commune*roFJJirifiiliiiiuformanim.

101.

Si forma (a,b,c) formant (a',b',c implkat, quivin divisor communis numéro-

rum a,b,c etiam numéros u',b',c metietur, et quitis divisor communs numerorum

«, 2b, c ijutos d.ib'.c.

Si enim forma «j\i'~}- 2b.vg -cgg per substitutiones je = a,v' tig',

g = yki-' -f- og in formam dx'x' -{- Ib'ri g' c'g'g transit: habebuntur hae

aequatione.s

«u a 2 4a y -f- <:y y -= a

aal)-t-4'ac-|-(jy}-+-ryc = A'

«bJd+ '2bfic-+- ccc–c c'

unde propositio statim sequitur pro parte secunda proj)os. loco tiequiitionis secun-

dae hanc adhibendo 'iaali -f- *2b<aè- lîy + 2r yr – 11! )

TBAJiSVOrtMATlO. 129

17

Hine seqititur maximum divisorem tommunem numerorum a, h (H) c si-

mul metiri divisorem communem maximum numerorum a', b'(2b'), c'. Quodsi igi-

tur insuper forma [a'.b'.e'j formam [a Ac) implicat, i. e formae sunt aeqiûva-

lentes, divisor comnmnis maximus numcrorum «,4(26), c, divisori commuai ma-

ximo Humcjrorum a'.U (24'j, c' aequalis erit, quoniam tum ille hune metiri debet,

tum lue illum. Si itaque in hoc casu atb(2b), c divisorem communem non ha-

bent, ». e. si maximus =1, etiam el,V{%V), e' divisorem communem non ha-

bebunt.

Xexus omnium transformationi'm simxUum formne datae in formam datam.

102.

Problema. Si forma AXX+ 2J5XF -f- CYY F

formam axx- îbxy -cyy

implicat, utque transformatio aliqna illius in fume est data: ex hac omnes reliquat

tramformationes ipsi soutien dedueere.

Solutiu. Sit transformatio data haec X = a#-f- Y=yx-Bj/, po-namusque primo aliam huic similem datam esse X = a'x-$y, F=y.r-f-f'y,

ut quid inde sequatur investigemus. Tum positis determinantibus formarum

F, f, = D, d, atque a$ – b'y = e, a' 8 &f = é, erit (art. 1 57).

d = De = De'e', et quum ex hyp. e, e' eadem signa habeant, e – é. Habe-

buntur nutem sequentes sex aequationes

Aaa -2Bay + Cyy =o jii

^av+25a'y+cyy==fl 2;

AaG -t-I^ao-f-gy) + Cyo =6 W.

Acte+B[aix+fri) + ci8=b G V

Atiti +2BU-CU –C c [5;

A&&+2B&8±CB'è' = c '6;

Si brevitatis gmtia numéros

Aaa' + B:ay'+ya') + Cyf

A ,«b" + b'a') + B{a8 + 6y' + yé" + èa') + C [y 8 + èy1)

AW + B [M + Stf)-f CcS

180 DK KOKMJSSECtNDI QKAÛl'9.

per a', 2b', d designamus, ex aequ. praece. sequentes novas clediicemus*):

a'a–D ay'–yarf – aa [7'.

2a'b'– D[ai – ya^aë+Vy1 – 76' – eV) = 2«6 ,S'

ib'b'– DÇaë+tiY– yti'èa" 2ee') = 2bb -f 2«t- i

unde fit. addendo 2 Deé = 2 </ = 246 – 2 «c J

4W – D'aff+Sf – 76'– £<* = 4A6 A

aV –DlaS–y &, (Ô f – S a')bb

unde subtrahendo D(ao – G y) (et S – &y) = ii – «cc lit

«V – D[af – ra')(6èv~ «tf) = «c L10*

26V – D(aff+8y– y*– aa"tfff – 8ff) = 24e [11;

cv– d(js&– è$y = cc "ta1

Ponamus iam, divisorem communem maximum numerorum a, 2b, c esse m

numerosque SI, 53, S ita determinatos, ut fiât

aa+2©6-H<Se = »

art. 40; multiplicentur aequationes 7,8,9,10,11,12 resp. per 121, 2 31^, 9J35,

2 SC<S, 293S.SS aummenturque producta. Quodsi iam brevitatis caussa ponimus

Ori' + 2»A'+6/= 21 L13;

W{ai-1a')+$diac+tiy-y& – èt£) + %$B-è&)=V Ji

ubi ï', U manifesto erunt integri, prodibit

TT–DUU=mm

Deducti itaque sumus ad liane conclusionem elegantem ex binis qwbuscun-

que trumformatimibus similibus formae F' in sequi aolutionem aequationis indeter-

minatae tt – l)uu – mm, in integris, scilicet t= T, u–U. Cctcrum qmxm in

*) Otigo harum aequationum haec est: 1 fit ex 1.22 (i. e. si aequatio (t) in acquntionem (2) multiplica-

tur, sive potius, si illius para prior in partom priorem huius multiplicatur, illiusquupars posterior in posteriorem

huius, productaqueiiequaliapomtntur) S ex I l + 2 3 i sequensquaenon est numernta ex I « + ï s +

:>.4+ :i.4; KCquonsnon numerata ex 3. 4; il ex ». 6 4- 4. 6; 12 ex !>.n. Simili (Usi^imiiimcc-tinmin

sequentibus semper utemur. Evolutionem vero lectoribus relinijucre debemus.

TBANSÏ'OBHATÎO. 181

17*

t'atiociniis nostris non supposucrimus- transfûimationes esse dkersas: mut adeo

trnnslbnnatio bis considerctta sohitioncra praebere débet. Tiim vero fit propter

a' = a, ti'–tietc. a'=a,b'–b, c–c, adeoque T–tn, U–0, quae solutio

per se est obvia.

lum primam transformationem solutionemque nequationis indeterminatac

tamquani cognitas cousiderentus, et quomodo liinc altera transformatio dednci pos-

sit, sive qttomodo a',&,j, ab his «, 6, y,è, T, U pendeant, investigemus.

Adhune finem nmltiplieainus primo aequationem j] per êa' – dy', 2 per

«è^ – y6'r :f per a y – y a', [i' « per y a' – a -y', addimusque producta. undc

prodibit

[e+li!a'-(a8–$y'-y$+èa')a [lh~

Simili modo fit ex

<!ti'-tf<r . – .2; + :aé' – tiy'~ Y6"+^a')(T-f[4j)-f(ar'-ra')([5i– :6j

2(e + e;A'= î p.è' –Hy' – y® -Sa'}b b [16]

Denique ex èt>'– îîo'y {;?} [41} + {aiï– ytf) [5] + (^^– g/) l6i prodit:

,«+(î'c' = (aôv- gr'_Td'4-ga';c c [17

Substituendo hos valores (15,16, 17) in 13 fit

e + e')T= (od'– bY– yG'+Sa') (2t« + 286 +$c)

.sive

2^r=ac' – Ùy' – y6'-f-aa')»i 116;

unde T inulto facilius deduci potest. quam ex ,1 3\ – Combinando liane ae-

quationem cum 15, 10, 17 obtinetur ma – Ta, 2mb'–2Tb, mc'=Tc. Quos

valores ipsorum «', 26', c' in aequ. 7 12 substituendo et loco ipsius TT scri-

bendo mm-J)VV, transeunt illac post nmtationes débitas in lias

[af – ya'rmm= aaUU

ay' -ya') a8 +$y ~y$ – èot)mm = 2aèi7lr

132 0E F0IMI8 SECt'NBI QHADUB.

1 d

(otë'+S/–y6'–~(')~ = .lbLLrL'~

<«/– ya'){tî&~ è&)mm – «ctftf

«f+^y'-yjr-cV) -dd* – ^iT)jwm = 26ctrï7

(6c'–~6'~w~ cc·UL'

Hinc adiumento aequationis Ll4l et huius 9t«-f-23}i + ISi" --»», facile

deducitur (mnltiplieando primam, secundnm, qaartam; secundam, tertiam, quin-

tam; quartam quintatn, sextam, resp. per 2f,$,S addendoque protlucta)

(a y' – 7 a"; Vm m = m a U U

[a& + tiY – ytf – èa?j Umm = 2mbUU

(6~– !/??-= vicuu

atque hiuc, dividendo per mU'}

aU– ay' – ya')m 191

tbU ={a&-t-tiyJ– yJ>'– èa')m 20^

cÙ = \$t – èff)m 21

ex quaruin aequationum aliqua U inulto facilius quam ex I4: deduci potest.

.Simul liinc colligitur, quomodocunque 8Ï, 58, S deterniiucntur ;quod infinitis nio-dis divcrsis fieri

potest;, tum T tum U eundeni valorem ndipisci.

Iaui si aequatio 1Suuiltiplicatur per a. t9per 21j. 20 per – «, lit per

additionem

laeT+-2{\Ut~ab)U= 2{aè – tiy)ctm= 2ea'm

Simili jnodo lit ex l> 1 S -j- S ,'2ol – 2 a 2 1

2licT+ -2 :pb–ac) U–2:aè – liyjti'm – 2e6'm

Porroex y.\H +2C19 – y;20U lit

2 y/? 2'+ 2-èa– yl^U–i'.aè – Xî- y'm – îey'm

Tandem ex c lb -j- d 2o" 2yL21I prodit

2 è e T -2[èb – yc U=2 'a è – lî y é"/« – 2e #>«

') Hocnonliccrut, si esset V= 0: tunc veru uaquutionum i«, 20, si veritus stntim ex prima, tertiuet sexta praccedi'titiura«ci|u«rtur.

TBAN8F0RSIAT1O. 18g

In quibus formulis, si pro ab,e valons ex 1,3,5 substituuntur. fit

a'm –aT– aii + yCU

G m =tiT-OÔB + èCU

y m=

yT+ aA + yE;U

è'm =éT-f ISA -f èQU"

Kxanalysi praec. sequittir, nullam transformationcm fonnae F in propo-

sitae similem dari, quae non sit contenta sub formula

X =(a~–+Y ~M).c-t-J,(6~- (67~+cC;~

~+(a~+7-B:").t-+,+(ë.4+c~:«~;I

desiguantibus t, « indefinite oinncs numéros in tegros aoquatioui tt–Duu – mm

satisfacientas. Hinc vero concludere nonduin possumus omnes vulores ipsorum

t, u, nequatioui illi sntisfacientes in formula 'Ii substitutos. trnnsformntioncs

idoncas pruubere. At

1 Formam F per substitutionem, e quibusvis ipsorum t, u valoribus or-

tam scniper in formam trammutnri per evolutioncm confirmari facile potest

adiumento aequationum 1 3, et huius tt – Duu =. mm Calculum prolixiorcm

quara difficiliorem brevitatis gratia suppriinimua.

i. Quaevis transformatio ex formula deducta pro]iositae erit similis. Xamque

jr(a/– aJi-j-yO,,) xL-(èt-JiA+ c7*)«)

~ic(pt--f?B + ê(J)iOxiXyt+(aA + ylïit)

w^5 fa £ – d Y; 1 – JJ u il – a ? – rî y

3. Si format* F, f dcterminantes inaequales liabent. fieri potest. ut for-

mula ;I) pro quibustlam valoribus ipsorum t, u pmobeat substitutiones. quae

fmctiones impliccnt. adeoquc reiici deboant. Omnc.s vcro roliquor' enint trans-

formationes idoncae, nliaequc practer ipsas non dabuntur.

1. Si vero format1 /•' f enndcm dcterininautcm habcnt adeoqtie sunt ac-

quk'akittes, formula 1, n allas trausfonuatioucs quae fmctiones impliccnt praebe-

') Hinc facile dvducitur Arl' – (ôf' – x^')'":Ilcl7r (ty-t'+Y~'–)"'

Cri' –(?•/

–ït')iu

1S4 DiS TOUMISi&XTSDraBAnt'S;

bit, adeoque in hoc «tau .xolutionem. completam problemati* exhibébît. IUad veto

ita demonstramus.

Exthcoremateart.praec.sequiturinhoccocn.su, na simulforedivisoremcommu-

ijem numcrorum A. îli.C. Quouiam tt – Ditu=mm.Ht tt–BBuu–mm – ACuit,

quare tt – BBuu pci* mm divisibilis erit hinc etiam a potiori itt–ABBwu tti

adeoque (quia 2B per m divisibilis) etiam itt per mm et proin '2t per m.

Hinc &lt-Biï. £{t – Bu) erunt integri, et quidem (qaoniam differcntia inter

ipsos {g Bu est par aut uterque par aut uterque impur. Si uterqueimpnr esset.etinm

productum impar foret, quod tamquam qundruplum numeri , [tt – Uliun., queui

iutegrum esse modo osteudimus, necessario par: quure hic casus est inipossibilis,

adeoque /+ Bit ^7 – Bu- seinper pares unde &[t-Bu], ^-t – Bit;

erunt integri. Hinc vero nullo uegotio deducitur, onmes quatuor coefficientes in

r semper esse integros. Q. JE. D.

Ex pracccdentibus colligitur, si omncs solutioncs aequationis tt–Duti–inm

habcantur, omlles transformationes forniae [A, B, C in [a, b, e) transf. datae si-

miles inde derivari. lllas vero in sequeutibus invenirc docebinms. Hic tantum-

modo observanm-s iuultitudiaem solutionuni semper esse finitam quaudo D sit

negativus, aut positivus simulque quadmtvvs: quando vero Dpositivas

non qua-

dratus, infinitam. Quando hic casus lovum habet, simulque D non =d 'supra 3°;.

disquiri uisuper deberct. quomodo ii valores ipsorum t, u, qui substitutiones a frac-

tionibus libéras, ab iis, qui tractas producuut, a priori dignosci possint. Sed pro

Itocce casu infra alium methodum ab hoc incommodo liberam exponemus art. 211.

Exempt Forma <v.«.•-{- 2 y y per substitutionem propriam .c=2«t/+7y,

«^=A'4-5tf'transit in formam (G. 24, 99-

desiderantur omnes trausforniationcs

propriac formae illius in hanc. Hic D = – 2, m = 3 adeoque aequatio sol-

venda haecr: tt- 2 tut = 9. Huic sex modis divcrsis sutisfit ponendo scilieet t

t='A. –3.1. –1.1, – 1; w – 0, 0. 2, 2, –2,-2 resp. Solutio tertia et .sexta

dant sulwtitutioues in fractis, adeoque sunt rciiciendae; ex reliqnis sequuntur

quatuor substitutiones

quarum prima est propositu

2J/+ 7/ ,f'+ 5,y'

– 2,»'– 7/ | – *' – 5/

>v = | 2 jf 9// = I>i + :v/

4.^+uy -.V-^1

KORJJAKANCJPFTES. 185

Pvmuw amipiie*.

163.

Inm supra obitor dixinuis fieri posse ut forma aliqua, F, aliam. F1, tam

proprie quam improprie implicet. i'erspicuum est hoc evenire, si inter formas

F, F' alia G interponi possit, ita ut F ipsam G, G ipsam F' implicet. for-

maque G ita sit comparât», nt sibi ipsn sit improprie nequivftlens. Si enim F

ipsam G proprie vel improprie implicare supponitur: quum G ipsam G impro-

prie implicet, F ipsnm G improprie vel proprie (resp.) implicabit. adeoquo. in

utroque casu, tam proprie quam impropric (art. 159). Kodem modo hinc deduci-

tur, quoinodocunqne G ipsam F' implicare supponatur, F scmper ipsam F'

tum proprie tum improprie implicare deberc Taies vero formas dari, quae sibi

ipsae sint improprie aequivalentes. videtur in casu maxime obvio, ubi formae ter-

minus médius –0. Talis enim forma sibi ipsa erit opposita (art. 159) adeoque

improprie nequivalens. Generalius quaevis forma ;«, b, c) hac proprietate est

praedita, in qua 2 b per a est divisibilis. Huic enim forma (c, b, a) a parte pri-

ma erit contigua (art. 160) adeoque proprie aequivalens: sed (c, b, a) per art. 1 59

formae (a,b,c) improprie oequivalet: quare (a,b,c) sibi ipsa improprie aequi-

valebit. Talcs formas («, b, c) in quibus 2b per a est divisibilis, ancipites voca-

bimus. Habcbimus itaque theorema hoc

Forma F, aliam formant F' tum proprie tum improprie implicabit, si forma

uuceps inveniri potest sub F contenta ipsam F' vero implkum. Sed haec propositio

ftiam converti potest: scilicet

Thevremudira cawm ubi formasub alia simul pvnprieet improprie co/ilinta tst.

164.

Theorema. Sifortna Axx- 2Bxy Cgy [F

formam A\vœ-j- 2ffœ'y + C// KF'

tum proprie tum mproj/rie implicat: forma anceps inveniri potest, aub F contenta for-

matiujue F' implkans.

Ponamus, formam F transire in formam F' tum per substitutioncm

x = a.iV + lï/. y–

yœ 4- ojf'

ISd flE FOKMI» HKCl'ND! GRADl'S.

tum per liafte iHi di*iimitem

= OJ!-fB#, y = yu:-{-ty

'l'um désignais numeris ac – tfy. a'év – 8' y' per <?,e', erit .#.# – A'C –

ee.BB – AC. – e'e'iBB – AC; hinc ee–e'e, et, quia per hyp. e,e signa

opposita habent, «•= – <?' sivc t'-)-e' = 0. Iam patet si in F' pro substitua-

tur c'a;" – {> et pvo y'y\t:a'it", eandeiu formant esse proctitumm ac si

in F scribatur

ant i pro j .< aiV– ëy^ + ti''– yV-j-a'

i «'. a èv – « y + (8 a' – « &)

et pro yy 7(c't"–

ti' + c ( – 7'+ a'y"

i. e. -\y c' c i, jT + :.c a' – y g')/

uut 2) pro .t a (?$" – 6"y)-f"d'{ – yV -+- d'y") i. e. e\v"

et pro Y y'eV-6>i + èv(-rV'+«'/) t\ c. c'/

Designatis itaque mimeris aë – dy', 6a' – a 8', 7^ – cy', co'– yd' per

(t, b, c, d: forma F per duas substitutiones

x = ax' by", y = t\v"dy"; x = érf', y = e'y"

in eandem formani transmutabitur, nnde obtinemus tres aequntioues sequentes

Aaa~2Bac+Ccc – Ae'e 1^

Aab + B[ai+bc) + Ccd = Be'e' [&

Abb + 2Bhd+Cdd = Ce'e ï

Ex valoribus ipsorum a, b, c, d auteiu iuvenitur

ad – bc = eé = – ec = – e'e 4

Hiuc fit ex d\ – ci

Au-Bc \ad – 6c. = Ad – Bcie'e

adeoque

A a (t. – Q

Porro ex « + rf 2 -H; – c 3 fit

POKMAE ANCIPITES. 137

18

(~&+~(e+~-t-cc)(<t~–te) ==(~-t~6-B(a-dj.Ce)éé

adeoque

B{a+d) = 0

Deniquc ex a [Z]– h [î] fit

(2»6 + Cd)(ad – 6c) = (– Bb+Cd}H

adeoquo

C(a-f //)^= o

Quare quum omnes A, JB, C nequeant esse = 0 necessario erit a -+- d = 0

sive a = – rf

Ex a[2] – 6[lj fit

(JBa+ Ce) («rf – 6 f'j = (Ba – Ab}e'é

unde

^li– 2JBa– Cc= 0 [5]

Ex aequationibus e-e' = 0, a-d – 0 sive

ag__6r^_«'a'_gY==0, a& – 6y– yg'+ëa' =0 »

sequitur (a + «')(£+£') = (64-0"J(r-f y)sive

(« + eO:(7 + V) = (6 + 6'; :(«+*;

Sit rationi lmic*) in numeris minimis aequalis ratio m n, ita ut m, n inter se

primi sint, accipian turque fi, v ita ut fiat jnw 4-vw== • Porro sit r div.

comm. mtix. numerorum a, b, c; cuius quadratum propterea metietur ipsum

aa-bc sive bc – ad sive ce; quare r etiam ipsume metietur. liis ita fac-

tis, si forma F per substitutionem

A'-=M~+~M, ru

informam Mtt-iNtu -Puu [G) transire supponitur,haec anceps erit

formamque F' implicabit.

*) Siomncs « +«', T+ ï'> + fA + «ssent = o, ratio indeterminata foret, adeoque methodus

non applicahilii. Scd exigua attcntio docct, hoc cumsuppositionihus nostris consirtere non posse. Foret enim

»« – 6| = tt'î' – C'y' i. o. 0–«' adeoque, quia «=– e', «=«' = o. Hinc vero etiam B'B' – A'C t. e.

determinnus formac ï" fioret = n quales formas omnino exelusimus.

13$ OE FORMI9 SECTKW0HADU8.

Dm. I. (}uo pateat, formam G esse ancipitem, ostendemus esse

M{bft}i – 2 « fi v – c vv) = 2 Nr

imde quia /• ipsos «, 6, c metitur^(ôfift-– 2«fiv – cvv; integererit. (uleoejue

2 Ar nmltiplum ipsius M. Erit auteni

M – Amm-2Bmu-Cttu, Nr – (Aim – B'mfi – «v – Cnfi~)e C

l'orro per evolutionom facile confirmatur esse

2e+2a = e – e'+a – d– {a–a'){è-è') – (p – r)"j[y + Y

lb = {a-at;% – 6'} – '.a – d (6-f-Ù'

Hinc quoniam m 'y + y') = » (« + a'; m 'è + o) – n (tf + 6') erit

;»(2c + 2«! = – 2nb sive

wc+»t«-|-«6 = 0 .7 7

Kodem modo erit

2e – ïa = e – ê–a-d– [a-^dj[è – è')– ;6+6'j(y – y

2c =(Y-+~(Y+Y)(8-<

utque liinc n [2e– 2 « = – 2 mec sive

ne – «a + /»c = 0

lam siad mm(bfifi – 2 a \t, v – c v v) additur

(1 – mfi – mv) («»v [e – «)-)- (fltju-f- 1) 6j

-t- )«e+j««4- nb)[mn v + + (/« e – «a+wc'wivv v

quod nianifesto =0. propter

1 – jim – vj* = o, me-ma-nb = 0, ne – na-mc – 0

prodit productis rite evolutis partibusque se destruentibus deletis. 2»*vt'-f-t.

Quare erit

mmipun – 2«ftv – cvv) = 2«tve-|-6 f9"

Eodem modo addendo ad j» « (b J[ip–

2 a ju v – c vv) haec

FOUHAR ANCIPITES. 189

18*

I – ntfi– ~»v)(7»v– mfjt)e~{ 1 -f-»«|*4" »*)«)

~{me-ma -nb)fafip-[ne – na-mc)nvv v

invenitur

mn(l/[t(i – 2«juv – t'vv) = (»v – »*^)« – a il 0;

Denique addendo ad nnibpfi– 2 a (i v – c v v) haec

!m(/~{-»v – l'j(f(fi[e-j-a)-(tit~i-1}c')

– Me +»<a4-»A)»l«M – ine – na-mc) [n\iv-i\

lit

nub\i[i – 2«fiv – cvv) = – 2wfte –c il T

lani ex 9, 10, 11, deducitur

Amm- 2 J3»«» + Cnn) (6 /u. ju – 2«ftv – cvv'

=-2e^»n + £(«v – m|n) – C«|tt) + ^6– 25o – Ce

éve propter <6

Mbiifx – 2aftv – cvv; = 2Nr. Q. E. D.

Ii. L't probetur, formam G implicare formam F', demonstrabimus, primo

G transire in F' ponendo

t– '|jiaH-vy)a;'4-(j(i.d + vg)y, « = ~\na-~ my)/+ ~[nG –mè)/ (8)

secundo ;« a –mfj, -{n^ – mè) esse integros.

1 Quoniam F transit in G ponendo

x = mt + ju, t/ = nt~u

forma G per substitutionem (8) U-ansmutabitur in eandem formam iu quam F

transforniatur ponendo

jb = /«C(jua + vy/li.4-(fJb' + va)yj-|- v((»a– ««y)j?'4-(»6– »»^yj

e. = aim(i~nv)$'-{-tî(mii -in]ysive =tf.#f-l>/

et = «C(fi« + vYJ.+!M^ + ^) – MC(»«– »*?)*'+(»'' – »»^/)

i.e. =yint~{-mn)j>S(»v-mfi)jf' sive = YA-f-S/

140 DR FQBMIB8ECDKDIQHAJDUB.

Per hune vero substitutionem F transit in F': qttare per Sttbstihitionem [8]

etiam G transibit in f".

2. Ex valoribus ipsorum e,b, d invenitur a'e-{-yb – a</ = 0, sive prop-

ter < – «, na'e-[-Haa-nyb=Q; hinc ex [7\ na'e-+~naa=mye-mya

sive

!na – my)a = (my – not)e ^12]

Porro Atanb = – am[e-a), ymb = – m ia!e a a) adeoque

«« – my)b = [a' – a) me 13]

Denique fity'e – ya-{-ac – Q: hinc multiplicando per n, et pro aia substi-

tuendo valorem ex S] fit

na – my)c = y – y')ne ri 4]

Simili modo eraitur tle+èb – ï>rf= 0, sive nfi'e-nèb-{-nt>a = 0, adeoque

per 7\ nti'e-)-nfja – mèe-mèa sive

»tf – »*^«=

!m8 – «8')e 15

Porro fit 6»6 = – 6ml>-f-o), <5mi = – »* (Cï'e-f- ë«) adeoque

(nti~m$}b=z !& – ti)ute 16"

Tandem fte – èa-tic = 0: hinc multiplicando per n et substituendo pro na

valorem ex '_8j fit

«6 – »«8)c=

[è – o')«c :n"

lam quum diviser communis maximus numerorum a, b, c sit r, integri

51, S, 6 itaaccipi possunt, ut fiât

~,t-g,= r

Quo facto erit ex 1 2, 1 3, 14 1 5, 1 6, 177

21(m y – na') -f- 33 fa' – a na -f- S (y – y' n= [na – my)

~~o-M6')+<8~'–)-6~–c')K=

r !ta. tn d')

adeoque '(«a – »y. ^(»d_w^ integri. Q. E. D.

QSNBBAMA DR HEPJBAESENTATIONIBUS NUMEKORUM. 141

I0&.

Rv. Forma 3^4-14^ – 4^y in formant – 12*V– ISjry+aayy

transmutatur, tum proprie. ponendo

,r = 4/4- 1 1/. = – a1' – 2/

tum improprie ponendo

= – 7 Lc'-j- S 9/, ,y -= 1 5 x – I b/

Hicigitur a 4- a', 64-0", 7 4- y1, 24-8* sunt –70,100.14,-20; est autem

– 70:14 = 100: – 20 = 5: – 1. Facientus itaquc m– 5, « -– – 1 ju = O,

v = – 1. Numeri autem a, b, c inveniuntur – 237, – 1170, 4S, quorum di-

visor communis maximus =3==r; dcuiquc fit e=3. Hinc transfbrmatio (S1;

haec crit, .i' = 5/ – tt, jf = – t. Per quant forma ',3,7,-4": transit in for-

mam ancipiteni #^ – 10^t4"3«».

Si formae F, i1" suntacquivnlentes: forma G, sub F contenta, etiam sub c

I<" contenta erit. Sed quoniam eandeui formam etiam implicat, ipsi acquivalens

erit, et proin etiam formae F. In hoc igitur casu theorema ita enuuciabitur:

Si F, F' tam pro prie, quam improprie sunt aequivuleutes forma anceps «trique

aequivalens invemri poterit. Ceterumiuhocca.su «f= 4jl. adeoquo etiam r.

ipsum e metiens, = 1 erit.

Haec de formarum transformatione in genere sufficiant: transimus itaque

ad considerationem repraettentationum.

Gencralia de reprnaienUitvmibits numernriim prrfarmm tarumque nrfi cum traiis/nniuitiiniibuf.

l 60.

Si forma F formam /•" implicat: ijuiamque intmerus per F' repraesentari

potest, etiam per F poterit.

Siut indeterniinatao formarum F, F' respective ,r, y; x, j/ pouamusquenu-

merum M per F' repraesentari facieitdo ,v' – m, y =«, formam F vero in F'

transire per substitutionem

== a + Y x' c~'

W£ DE K0HMI8 SKeÔS&I OBADC8*

Tuitt maiiifesluin est. si ponatur

r – am-i>H, y~ym-cn ra

F titui-sire in M.

Si M pluribus inodis per formani F'repraesentari potest. e. g. etiam fa-

cicudo .«=»/, /=«': phues repraesentationes ipsius M per F inde sequentur.

Si eiitm esset tnm

a»*-f- «)«-- am'-f-(i»' tum y»j+2» = ym'ên'

foret aul «r tfy^= o adeoque etiam déterminons forniac F = 0 contra liyp.,

aut « – /«', «– «'. Hinc sequitur 3/ ad minimum totidera modis diversis per F

repraesentari posse quot per F'.l

Si igitur tum F ipsam F', tum F' ipsam F implicat «. <?.si F, F' sunt

aequivalentes, uumerusqnc M per alterutrain repraesentari potest: etiam per al-

terani repraesentari poterit, et quideni totidem modis diversis per altérant, quot

per alteram.

Denique observantus, in hocce casu divisorem communem maximum nume-

rorum m, n aequalem esse divisori conim. max. numerorum am-{-tin, ym-èn.

Sit ille numérique /i,v itaaccepti, ut fiat ju«-f-v« = û. Tum erit

(Jfi – yV;«fl*-fJj« – {fin – aV(yw+ê»)=

ac – dy J/jot+vw: =+A

Hinc div. comni. max. numerorum am+fSn, ym+hi metietur ipsum A, A vero

etiam illum metietur, quia manifeste ipsos «w-j-S«, ym-Bn metitur. Qunre

necessario ille erit =A Quando igitur m, inter se primi sunt, etiam

am-Tyn, ym-èn iuter se primi erunt.

107.

Theorema. 8i format

axx îbxy + cyy \F)

«UV+ 2iVy+c»' (F'J

mnt aequkalentes, ipsarum determinmis –D, posterwrque in priorem transit ponendo

m' = a,t' + di, y=

7.r + Cy

a~ttnr. n~ a~~rtA~s~~r:rarrur.~ rr~so~~=~r: ~5

pmro numema M per F repraenentafiii; facinwla je ~m, y = », adeoqw. per F'è'

faciendo

.«.'= a/« -j- tfw = »?', y'=

y«/ -J- £» = ri

et quidem ita ut m ad n coque ipso etiam m ad ri mit primas (imbue rejtraesenta*

tiones mit ad eundem valorem iwpressivnis \JD (mod. 3f) perHnebmt, mit ud oppositos, Z

prmtt transformatio formae F' in F propria est velirnpro/ma.

Dem, Determinentur muncri /.», v ita ut fiât f*w-f-v» = l, ponaturquc

?;a – fii – Sia + '/v

;1 «;fï= '1

qui erunt integri propter aè – yti-=

+ 1'. Tum erit

//»*'+ v'/»' – 1. Cf. urt. praec. fin.

Porro sit

H'bm~{-a)j~v[am-bn': – F. \i b'm'cri – •/ u'm'b'ri V"

erantque F, V valores expr. \/D'mod.M' ad quos ropraesentatio printa et se-

cimda pertinent. Si in T" pro yt', -î, m', ri valores ipsorum substituuntur in

F vero

pro a a a a -f- 2 b'a y -f- c' y y

pro b, a'a& l/'aè-tiy -f-f'yt

pro e, «'ti 6 -f 2 &'i^-Kcr

invenietur evolutione facta F – T" 'a è – d y/

(|unre erit aut F = F', aut V = – V, prout a<5 –6y

= -f- aut = – 1

». e. repraeseutationes pertinebunt ad eundem valorem expr. \[D (mod. M] vel ad

oppositos, prout trausformatio formae F' in F est propria vel impropria. Q. E. D.

Si itaque plures repraesentationes numeri M per fonnam 'a,b, c: ope va-

lorum inter se primorum indeterminatarum ne, t/, habentur ad valores diversos cxpr.

\jD(mod.Af; pertinentes: repraesentationes respoden tes per fonnam \à,b',c. ad

eosdem resp. valores pertinebunt, et si nulla repraesentatio muneri M per for-

mam aliquam ad valorem quendam determinatum pertinens datnr. nulla quoque

dabitur ad hune valorem pertinens per formula illi uecjuivalentcm.

w

144 DE POKM18 8ECUN1J! GBADtTJ

t»5.

Theorema. Si numéros M j/er formant a xv -+- 2 bœy cytf repraesentatur

tribuemlo ipsis x,g, eulores inter se primas m,n, ralorque expression^' \ID[mod.M),

ad quem kaec repracsentatiu pertinet, est N:formae {u,b,c\, [M, X,

^-Ç-) pro-

prie aeij'iicaleittes eriint.

Demonstr. Ex art. 1 5;> patet, numéros integros jw, v inveniri posse ita ut sit

mf.i-H'i – 1 fx{bm-cn) – v(am~bn = i\r

Quo facto forma u,b,c] per substitutionem x =ituv' – vj/'( y

=nx'nj/ quae

manifesto est pvopria, transit in forninm cuius detcrminam = i) mp-nv'f i. e.

= D, sive in formant aequivalentent quae forma si ponitur = (M', N', *^7-~),

erit

M' amm-îbmn-cnn = M. N'=~mva-(mp – nt)b-nnc = N

Quare forma in quam \a,b,c) per transformationem illam rautatur, eritNr' 1)

M.N,). Q. E. D.

Ceterum ex aequationibus

mil -f- kv = 1, fi'mb-j-nc) – v(ma-±-nb;== N

deducitur

_ino'l'nb-nN-t-ma-(-nb'

mb-j-ac--mlVî.-Y+_îp"LJ'iL*_ «N + ma + nb mb + ne-mlf

aniMi-fxïiNfi + cnn

=M

V =~M

qui numeri itaque erunt integri.

Porro observandum, hanc propositionem locum non habere, si M = 0;N,ff- D

fi dtum enim terminus–

fit indeterminatus*

169.

Si plurcs repraesentationes numeri M, per ;a, b, c) habentur. ad eundern

valorem ex pr. \/Z) mod.J/) N, pertinentes (ubi valores ipsorum w,y semper

intor se primox supponimus) plures etiam transformationes propriae formae

«, b, c\ F in 'M, N, J-j^j. (G)inde dcduccntur. rScilicet si etiam per hos:(1, ), c~ Il~, ru ~JL ,n, fG«,inde e cc uccntur, Seilicet si C mm per lios

valores œ=m'. y –ri talis repraesentatio provenit, [F) etiam per substitutionem

') ln hoc enim casu, si ad ipsum phrasin uxtcndurc volumus, haec: y este vatoremexpr. \'D(moi.JU),sivu ,VA'= M[mod.3f) signiiicubit. A*iVr– D esse multiplum ipsius M, adcoque

= o.

OENEBAtIA m KEl'BAÊSENTATIONIBtî»KI'MEKORUM. 145

19

~=~+'y', ~t r't 9i~N'f"fll~üÿ.lUE~L~JI =

JI Ji~

1

in (G) transit. Vice versa, ex quavis transformatione propria formae (F) in (G

sequetur repraesentatio numeri il/ per formam {F), ad valorem AT pertinens.

Scilicotsi [F) transit iu (G) positis x=mrf – v/, y = /<#'•+- fi/, if reprae-

sentaturper (JP) ponendo x–m, tf = n, et quonioin Jiic «w/{-«v^= 1, valor

expr. y/) (mucl Mi } ad quem repraesentatio pertinet erit |tt(ftm-f-en}<– v'\am»\-bn)

i. c. N. Ex pluribus vero transformutionibus propriis diversis, sequentur toti-

dem repraescntationes diversae ad 2V pertinentes"').– Hinc facile colligitur, si

omnes transformationes propriae formae {F) in (G) habeantur, ex his omnes re-

praesentationes ipsius M per (F) ad valorem N pertinentes sequi. T.'nde quae-

stio de repraesentationibiis numeri dati per formam datant (in quibus indetermi-

natae valores inter seprimos nanciscuntur) investigandis, reducta est ad quaestio-

nem de invenieudis omnibus transformationibus propriis formae illius in datam

aequivalentem.

Applicando iam ad haec ea quae in art. 1 62 docuimus, facile conclnditur:

Si repraesentatio aliqua numeri M per formam [F] ad valorem N pertinent sit

haec: ,t,'=«,^=7: formulam gêneraient omnes repraesentationes eiusdem nu-

meri por formam (F), ad valorem N pertinentes, comprehendentem fore hanc:

ttt~(fli + te)M

Y<-f (<ia + -(b)utg

x–

^r~• «y– m

ubi m divisor commuais ntaximus numcrorttm a, 2b, c; et t.u omnes numeri,

indefinitc, aequationi t – Duu=nnn satisfacientes.

170.

Si forma («,i,cj ancipiti alicui aequivalens, adeoque formae (if, iV,

tam proprie, quam improprie, sive tam formac (M, N, – – ), quam huic

111,- n; ~–~ proprie: ta, nmneri M bb t performamM, – N, – proprie: repraesentationes nnmeri M habebuntur performant

*) Si ex dunbus transfonnationibus propriis diversis eadem repraesentatio defluerc supponitur, illac ita

se habere debehunt

t) x =»«*' – iy', jss/'+iiy1; 2) x = 111*' – v'y', y = nr' + \t!x',

Sed ex dualms acquationilms

»i|i + «v = «in' + ni', (i(»ii 4- ne) – >(mo + nb) = |»'(»«6 + ne) – h' (nia A->ib),

facile di-dueitur i-sseaut M– aut \t = («', i =v'. At M = b iam exclusiinus.

146 DE PORMJ8SBtJUNWOHADU8.

[F], tam ad valorem N, quant- ad valorem – N, pertinentes. Et vice versa si

pinces rélrraesentatiueley uutueri M per eatidem formam (F), ad valorcs vppvsitos

expr. -D 'mod. M) N, – N, pertinentes habentur: forma [F) formae [G) tam

proprie qnatn impropric aequivalcns erit, forniaque anceps nssignari paterit, cui

[F] nequivaleat.

Hacc gencralia de repraesetltationibus hic sufficiant: de repraesentationibus.

in quibus valores illter se non primos Ilabent, iufm dicemus. lle-

speetu aliarum proprietntum formae quarum determinans est negativus prorsus

alio modo sunt tractanduc quant formae determinantis positivi quare iam utras-

que seorsim cousiderabimus. Ab illis tamqnam facilioribus initium facimus.

Defortnia determinantis negatm.

171.

J/bobleua. Proposita forma qmcunque, [a,ht(tjt cuïus déterminons negativws,

= – D, désignante D nmnerum positivum, ùtvetiire formant finie jwojme aequiva-

teuton, [A, B, C), iti qtta A nec maior quant \j%D%C, tiec minor quant îli,

Solutio. iSupponimus in forma proposita non omnes très conditiones simul

locum habere: alïoquin ellim aliam formam qimorero opus non esset. Sit b' resi-

duum abs. min. muncri – b secundum modulum «'*), atque a – – qui

erit inte^t-r quia b'b'=bb, b'h'D=bh- !)=««'= O(mod.a'). Ianl si «"<«',

fiat deuuo b" rcsid. abs. min. ipsius – b' secundum mod. a", atquc a'"=b b tD.

Si hic iterum «'<a", sit rursus V" res. abs. min. ipsius – b" secundum mod. a'"

atque «""=– ~d"

Haec operatio continuetur donec in progressione «', «",

a" «"" etc. ad termiuum «'"+l perveniatur, qui praecedeutc suo a' non sit mi-

uor, quod tandem evenire debet, quia alias progressio infinita numerorum integro-

rum coutiuuo decrescentium liaberctur. Tum forma (a' 4' a'"+l) omnibus con-

ditionibus sntisfaciet.

Dein. I. lu progressione fonnarum [a, h, a"), [a',b',a"), [a",b",a'"j etc.

quaevis praecedenti est contigua, (luare ultima primac propric aequivalens crit

(artt. 159, ICO).

*) Observareconvenit, si fonnue alicuius (a, b, a') terminus primus vel ultimus a vcl a' sit = o, ipsius(Ictiirminantcm esse quudratum positivum quuro illud in casu praesenti evenire nequit. Ex simili rntionc

termini exteri a, a formaeiletenninantis negativi, signa opposita Iwbere non possunt.

DE'l'KRMINAN'PE» NÉOATIVI. 147

19'-e

II. Quum bm sit residuum absolute minimum ipsiu» ltm .seeundum

mod. «' maior quam |«m non erit (art. 4).

111. Quia dna'"+l =D~bmb1", atque «'"+J non <«' «"'«'" non

erit >2> + i'"i' et quum V" non >i«' «'"«m non erit >J0 -+-]«'"«'"

et la'" a'" non >!>, tandemque a'" non >V1-D-

Exempt. Proposita sit forma (304, 217, 155), cuius determinans = – ai.

Hic invenitur progressio formaram

304,217,155), (155, – 02, 25}, (25,12,7), (7,2,5, (5,-2,7).

Ultima est quaesita. Eodem modo formac (121,49,20), cuius duterminans

= – 19, nequivalentesinvtmiuntur: (20,-9,5), (5, – 1,4), (4,1,5): quare

(4, 1, 5) erit forma quaesita.

Tales formas [A, B, C), quorum determinans est negittivils et in quibus

A nec niaior quam \j$D,C, nec minor quam 2J3, formas reductus vocabimus.

Quare cuivis formae determinantis negativi, forma reducta proprie aequivalens iu-

veniri poterit.

172.

pRonr-EMA. Invenire conditiones, sttb quibus dmeformae reductae non identicae,

eiusdem determinantis – D, (a, b,c), [a', b', c', jrroprie aequitmlentes esse possint.

Sohtio. Supponamus, id quod licet, a esse non >a, tbrmamque

«o?.r -|- ibœjf -f- cyy transire in a'x\v-{- 2b\v' c'y'y' \kt substitutionem

propriam x =a^j- y

=y a? -f- &#'• Tum habebuntur acquationes

aaa-{-2bay-cyy = a' [il

aa1$+b(aè + 1jy)-cyè=;b' [2]

a^– b'y= 1 [31

Ex T sequitur ad– {aa-byf-Dyy\ quare ad erit positivus; et

quum ac – D-bb, de =D -VV, etiam ac, de positivi crunt: quare

il, d, c, c' omnes eadem signa habebunt. Scd tum a tum d non ^>j-J5, adeo-

que ad non >jD; quare multo minus J0y7 (=«fl' – (aa-byf) maior quam

%D esse poterit. Hinc y erit aut 0, aut = + 1

I. Si 7 = 0, ex [3' sequitur esse aut a = l. è– auta = – 1, 5 =– 1.

148 m FORMIS SECCNDt GRAOUS.

lit utïoque castt fit ex [1] d=a, et ex [8] it'–b^+ûa. Sec! b non >$«, et

h' non >!«', proin etiaut non ]>j«. Quare nequatio 6'– .i = 4tf« coii-

sistero ucquit. nisi fuerit

aut b = b', unde sequcretur <f = -à:~ – *i±J? –Cj quare formaecacrt G .b', ttncle sequeretur i

.¡- ti = c, quare ormae

[a, h, c), y, b', c) identitiie essent eontm liyp.

aut b––b'= -+}a. lit hoc etiam casu erit e' = c formaque (a', 4', c'

erit {(t,~b,c) i.e. formae {a, b, c) opposita. patet t formas has esse anci-

pitcs propter 26 = + a.

11. Si 7 = 4:1, fit ex [1; aaa. c – a = + 2ba. Sed c non minor

quam a, adeoquo non rainor quam «': hinc aaa-c~ -a sive îba certo non

îninor quaiu aaa. Quare quunx 2b non sit maior quam a, erit a non minor

quam «a; unde necessario aut a = 0, aut =4- 1.

1) Si a=0, fit ex ^1 } d = c, et quoniam a neque maior quant c, neque

ininorqunm a, erit uecessario a'–a = c. Porro ex fit ï>7= – unde

ex 2] fl4-6'=4;èV = 4:£rt. Hinc simili modo ut in (I) sequitur esse

mit b = b', in quo casu formae [a,b,e), !a,0',c") furent ideuticoc, contra hyp.

aat l>=z – b', in quo casu formae [a,b,c], (d,b',c) erunt oppositae.

2) Si a= + l, ex [lj sequitur 4 2i = «-fc– -a. Quare quum neque

«. neque <: •<«', erit ïb non O, et non <c. Sed 24 etiam non >•«. ueque

> c, unde necessario + 26= « = c, et hinc ex aequ. + 2 – ci 4- e a.

etium =«'. Fit igitur ex 2

b' = a ;«« + yg\ + i, (aè 4 f>7

sive, propter aê – (17= 1,

b' – b –a:alï4yc)4-26l>7

–«(01)4.704 îîy

quure necessario, utante

aut h = i', unde formae :«, 4, cj >«', b', c; identicae contra 1157).

aut b – – b', adeoque formae illne oppositae. Simul in hoc casu propter

« = 4 2 h fonnae erunt nncipitvs.

liv luis omnibuscolligitur, formas <t,b,c, ,«' c; proprie aequivaleutes

esse lion posse nisi fuerint oppositae, simulque ««fancipites, aut a=-c = a=tf.

DCTËttMIMÀNÏK» NÈOATIV1. 149 =

In hisce casibus formas (a, 4, e), id,b',c) proprie aequivalere, vel u priori

facile prnevideri potuit; si enim forinae sunt oppositae improprie, et si insuper

nneipites, ctiam proprie «équivalentes esse dcbuut; si vero a – e. fonntt

~W-«~h, a-G, a,~ fornlrte 1 lr, c; contigtltt et proin aecluivaletts erit; t proyrtcr(_? 1 a~b,a) formne fa,b,c) eontigua et proin aequivalens erit; sed propter

V~bh = ac – au lit£±S]L=1F = 2« – 26, forma vero (la – £6, « – b, a

est anceps; quare (rt.é.c) oppositae suae etinm proprie oequivulclrit.

Acque facile iam diiudicari potest quaudo duae formuc reductue ;«, b, <-#,

(a, 6', c*) non oppositae improprie acquivalciitcs esso possint. Kruut enim impr.

aequivalentes, si(a,b,c, a,~b',c), qune non identicae crunt, proprie sunt

aequivalentes, et contra. Hinc patet, conditionera, sub qua Mae improprie sint

aequivalentes, esse, ut sint identicae, insuperque «ut ancipites aut «^=c

Formne vero reductae quao neque identicae sunt neque oppositae, neque proprie

neque improprie aequivalontos esse possunt.

17:i.

Puobi-ema. Proposais (imbus f omis eiusdem determinantis negatiei, F et /<

iiwestU/are utriim sait ((équivalentes:

Solutio. Quaerantur duae formne reductae f fonnis F, F' resp. pro-

prie aequivalentes: si format- f sunt pruprie, vcl improprie vel utroque modo

aequivalentes, etiam F, i<" erunt; si vero nullo ntodo aequivalentes sunt,

etiam F, F' non or mit.

Ex art. praec. dari possunt quatuor casus:

0 Sif neque identicae neque oppositae. F, F' nullo modo aequi-

vnlcntes orunt.

2) Si mut primo vol identicae vel oppositae, et secundo vel ancipites.

vel terminos suos extremos aeqnales liabent: F, F' tuin proprie, tum improprie

ae([uivalentes erunt.

3î lS^ f sunt identicae neque vero ancipites neque terminos extreinos

acq unies liabent: F, F' proprie tantum aequivalebunt.

l) lS> f sunt oppositae, neque vevo ancipites, neque torminos extremos

acqualcs liabent: F, F' improprie tantum aequivalentes erunt.

Ex. Formis (-11, 35,:JU), (7, 18, 47 i quarum déterminant -= – 5, rc-

ductae (1,0, 5]. (2,1.3) aequivalentes inveniuntur, quare illae nullo modo ae-

quivaleutes cruut. – hormis vt-ro 23, 3S. <i'). (15. 20. 27) aequivalot eadem

150 DE FORM1SSECl'NDr OKÀDUS.

vediutttt (2, 1,3}, qtt«e qnum simul sit mteeps, formae (33, 99, 63} (15, 20, 27;

tum proprie tum itiipropric aequivuk-bunt. – Formis (37, 53, 7S), (53, 73, 102),

«équivalent raluctue '9, 2, 9) (9,–

2, 9) qune quum sint oppositne, ipsarumque

tormini extremi ueqitales: foraine propositne tam proprie quum improprie erunt

aequi valantes.

174.

Multitudo omnium formarum reductarum, determinantem dntuin – D ha-

bentium, semper est finita, et, respectu numeri D, satis moclica: formae hae ip-

sae vero duplici modo inveniri possunt. Designemus formas reduetns determi-

nantis – 1) iudefinitc per (a,b,c), ubi itaque omnes valores ipsorum a,b,c c

cletermiuari debent.

Methodus prima. Accipiantur pro a omnes numeri, tnmpositivi tum nega-

tivi non nutiorus quam \j\D, quorum rcsiduum qnadraticum – D, et pro sin-

gulis a, fiat b successive aeqnalis omnibus ynloribus expr. \] – D(mod.«), non

innioribus quant i-a, tum positive tum négative aceeptis; c vero pro singulis va-

loribus determinntis ipsorum a, b, ponatur = )+Si qune formae hoc modo

uriuutur in quibus c<^«, hac erunt reiieienclae, reliquac autem manifesto erunt

reductoc.

Metkodus secunda, Accipiuntur pro b omnes numeri, tum positivi tum ne-

gativi, non maiores quam £y/jD, sivc \/|-D; pro singulis b resolvatur bb-{-JD

omnibus quibus fieri potest titodis in binos factores (etiam signorum diversitatis

ratione habita) ambos ipso 2b non minores pona turque altcr factor, et quidam,

quando factores sunt inaequales, minor =a, alter =c. Quum a non erit

>jD, omnes formae quae hoc modo prodeunt, manifesto erunt reductuc

Denique patet, nullam formam reductam dari posse quae non per utramque mc-

tliodum iureniatur.

Rv. Sit D = S5. Hic limes valorum ipsius a est qui iaect inter

1 et 11. Numeri vero inter 1 et 10 (incl.) quorum residuum – 85, sunt

1. 2, 5. 10. l'nde habentur formae duodecim:

(1.0.S5, (2,1,43), (2,-1,43), (5,0,17), (10,5, 1 1), (10. –5, 11); (–1,0,-85),

t– 2,1,– 13), (-2,-1,-43), (–5,0,-17), (–10,5,– 11, (–10, – 5, – 11).

Per methodum alteram limes valorum ipsius b ltabetur \j – qui situs est

inter 5 et 0. l'ro 6=.(), prodeunt formae

DETERMINANTESNEOAÏIVI. 15J

;i, 0. 85), (–1,0,- 85} (5, 0, 17} (– 5, 0, 11]

pro b~±l lme (2, ±L13), 2, + 1, –43;.

h-o i^=4-2 nullae habentur quia S9 in duos factoros qui ambo non <•

resolvi nequit. Idem valet de +a, +4. Tandem pro t^ + 5, proveniunt

(10, ±5, 11}, (–10, ±5,– 11}.

175.

Si ex omnibus fonnis reductis detenninantis dati, formarum binarum. quae.

licet non identicae, tamen prôprie sunt aequivalentes, alterutra reiieitur: formai*

rémanentes hac insigni proprietatc erunt praeditae, ut, quaevis forma ciusdem de-

terminantis alicui ex ipsis proprie sit aequivalens et quidem unicne tantum 'alias

enim inter ipsas aliquae propiio aequivalentes forent}, l.'ndc patet, omnes formaseiusdem detenninuntis in totidem classes dwtriltti posse qiwt formae remanserhtt, re-

fcreltclo scilicet formas eidciu reductae proprie nequivalentes in eandem classera

Ita pro /) = S5, rémanent formae

(1,0, Su;, (2,1,43}, (5,0,17), (10,5,11),

(–1,0,-84), (-2,1,-43), (–5,0,-17), (-10,5, -11 j

qunrc omnes formae determinantis –85 in octo classes distribui poterunt, proutformae priinac, aut seeundae etc. proprie aequivalent. Perspicuum vero est. for-

mas in eadem classe locatas proprie aequivalcntes fore, formas ex diversis classi-

bus proprie acquivalentes esse non posse. Sed hoc argumentum de classificatione

formarum infra multo fusius exsequemur. Hic unicam observationem adiieimus.

lam supra ostendimus, si determinnns formae (a,b,c) fuerit nogativus = – D,

a et c cadem signa liabere (quia scilicet ac = bb-D adeoque positivus ea-

dent ratione facile perspicitur, si formac (a, h, c), («', V, c) sint aequivalentes. om-

nes a, c, a', c' eadem signa habituros. Si enim jnïor in posteriorem per substitut.

vï =a ci + $/< V = y- + c/ transit crit

aaa-2bay-cyy = «'. lune

aa'= [aa-±-btif-{-Dyy, adeoque certo non negativus; quoniam vero neque «

neque «' =0 esse potest, crit aa' positivus et proin signa ipsorum a, a eadem.

Ilinc manifestutn est, formas qnarum termini exteri sint positivi, ab iis

quanuu tennini exteri sint negntivi, prorsus esse separatas, sufficitque ex formis

reductis cas tantum considerare quac terminos suos exteros positivos habent. nain.

162 DR F0B5HS SKCUSîm GIÎADUB.

rclic|tiac totidemsunt inultitttdine et ex illis oriuntur, tribuenda termhus extem

signa opposite idcmque volet de formis ex reductis reiieiendis et remanentibus.

170.

Koce itaquu pro deterrninnntibus quibusdam negativis tubulam formarum,

sccunduin quas omnes reliquae eiusdem determinantis in classes distingui possunt:

up|K>i)i»nis autem ad annotât, art. praec., semiasem tantum, seilieet eas quarum

termini exteri positivi.

D

1 (I. 0, 1).

2 (1. 0, 2).

3 (1.0, 3), (2, 1, 2\

4 (1. 0, 4), (2, 0, 2).

51, 0, 5), (2, 1, 3).

6 (1,0, 6), (2, 0, 3).

7 (1,0, 7), (2, 1. 4).

8(1,0,8), (2, 0, 4), (3, 1, 3).

9(1. 0, 9), (2, 1, 5), (3, 0, 3).

10 (1, 0, 10;, (2, 0, 5).

11 (1, 0, 11), (2, 1,6), (3, 1, 4), (3, – 1. 4>.

12 (1,0, 12), (2, 0, 6), (3, 0, 4). (4, 2. 4)._£1- r_ 1

Supernuum foret hanc tabulant hic ulterius continuare quippc quam infra

multo aptius disponere docebimus.

Patet itaque, quaravis formam determinantis 1, formae xx-yy pro-

prie aequivalerc, si ipsius termini exteri sint positivi, vel huic – oc as – yy. si

sint negativi quamvis formam determinantis – 2, cuius termini exteri positivi.

fornme rt~,c~2,yy etc.; quamvis formam determinantis 11, cuius termini ex-

teri positivi, nlicui ex his xx-iiyy. 2a\v~{-2œy-Qyy. 4Hxx+2<vy-{-lyy.

Ixjc – 1iVy- A y y etc.

177.

PROBiiEMA. Habetur series fonnarum, quarum q maevis jmiecedenti a parte poste-

non continua: desideratur transformatio aliqua propria prirnae in formam quameun-

que seriei.

DETHRMIHANTE8 NKOATIVr. 168

20

Solutio. Sint forma* (a. b, a')– F\ (a, /«") =* F'; fa", b", «"'}

– F

«" 6' «"" – F"' etc. Desiguentur ~^»~^>-6-, -A- etc.

respective per

ft',li",k'" etc. Sint indctcruiiuntuc forniaram i*1, i1", F" etc. J1, >< v" etc.

l'onatur F transmutari

iu F positisjf = a\v + C/, .y = 7V + #/

r

F" = «".1" + «y, y p" + «y

F"• = « v+ (>">=

yv"+r/'

etc.

Tum quia F transit in F' positis A' = –y', y = +

Fi in F" positis J – – /= *"+ A>"

F" in F'" positis .«"– – /= x' /«' etc. art. 1 60;

facile eruetur sequens algoritlnaus art. 159'

a' = 0 (3' = – 1 i–\ 1 S =

a" = if fi" = d' a' y"= èv S' = A"ôv 7'

a"' = i>" iT = Amff– a" y" = 8' r = /8"– 7"

a-_g-

n

«"r-a"'7""=: g" r'=/rc"-7w

m

etc.

sive

a' = 0 tT = – 1 7'= 1 «• = K

a" = ff lî" = A" d17"

= ff S" = A"6' 1

a'" = ti" jT = A"ir– S* 7'=^ a~, r=A"«"– fi

a""=sr" ti""=;(î'"– g" 7""i=r r'=/ro"-r

etc.

Oinnes lias transformationes esse proprias tum ex ipsarum fonnatiune tum

ex art. 1 59 nullo negotio (leduci potest.

Algorithmus hic perquam simplex et ad calculuin expeditus algorithmo in

art. 27 exposito est aualogus, ad quem etiam reduci potest'C'cteruin solutio

•) Erit scilicet in signis art. 27, i" = ± [–>> /• h"" • • • ±'<"]

ubi signa umbigue posit», esse disbcnt i + 1 i ++i Prout formac il; + î i •''•

et V ± [h\ r- A", A'" ± A"]

ubi signa ambigiia esse debent +-i + +i 1 – +. prout h formac ilt+a; t; î; s. Sed hoc, quod

quivisfacile ipse confirmaropoterit. fusius oxsoqui nobis brevitns non permittit.

154 »E POBMI» SECUSTMQBADB8.

haec ad formas determinantis négatif non est restrieta, sed ad omnes casas patet.

si modo nullus nnmerorum U, a", a" etc. = 0.

179.

Pkoblema. Propositis duabus formis F, f, eiusdem deteminanUs negativi,

proprie aequivalentibus invenire tmnsformationem uHquam prupriam alterius in al-

tenim.

Sol. Supponamusformam F esse [A, B, A'} et per raethotlum art. 1 1 1 in-

ventam esse progressionem formarum [A1, B', A"\ (A1, B", A"') etc. usque ad

A' B" Am+t qune sit reducta: similiterque f esse '«,«') et per eandem me-

thodum inventam seriem -a'.b'.a"), '«",4", «'") usque ad [a",btt, a"+l), quae sit re-

ducta. Tum duo casus locum liabere possunt.

1. «i formae <Am, B" Am+i), fa", b", an+Vj sunt aut identicac, aut oppo-

sitae simulque ancipites. Tum formae (Am~t.B–\Am), a", – i"»""1) cnuit

contiguac ^désignante A"1 1 terminum progressionis A, A', A' A'" penultimum,

similiaque J3""1, a" b1–1). Nam A'" = a", B"–1 == – Bm[mod. A'

b" = _i»:mod.a" sive A'"), unde J3' – b"~l = b"– Bm adeoque =0, si

formae [Am, B'n, Am+i), la", b", an+i) sunt identicae, et ==26" adeoque =0, si

sunt oppositae et ancipites. Quarc in progressione formarum

{A, B, A') (.4', B, A) 'Am-\ B""1, A'

[a\ –6»-», o'-1), {a""1, – b»-1, rt»-4). – b,a), (a,b,d) ~i

quaevis forma praecedenti contigua elit, adeoque per art. praec. transformatio

propria primae F in ultimam f inveniri poterit.

II. Si formae [Am, B">, Am+l), («", b1', «"+') non identicae, sed oppositae

simulque A"1 = A'n+l = o" = a"+l Tum progressio formarum

(A, B A'), [A\ B!, A) [Amt B1", A'"+1),a a }J¡:.l."1, » J a a

y, 6' «'-•) (««- ft»-«, «"-«) («', i, “}, [a, b, à)>

eadem proprietate erit praedita. Nam A"1+1=«", et B"1 – i""1 – – (6*+i*~l;

per o" divisibilis. Unde per art. plaec. invenictur transformatio propria formae

primae F in ultimam f

OETNMRNANTES NEOATIVl. 165

20*

Ex. Ita pro formte (23, 38, 03;, (15,20,27) habetur progressio

23,38,03, ;63,2D,10:, :tO,5,3), '3.1,2}, (2.-7,27). (27,-20,15;, 15,20,27 7

quare

h'–l, /<= 3, kK'–% NT–– 3, /<= – », /=().

Hinc declucitur transformatio formae 23;rcr-|-7C.r^-(-63^ in t5tt-H)tu-21uu

hacc: .t – – 13<– IS«, = s?-f-ll«.

Ex solutione hue nulle negotio sequitur solutio problenmtis Si formae F,f

improjme sunt aequivalentes, invenire transformationem imprapriam formae F in f.

Sit enim /'= att -j- 2i>^« -f- «'«« eritque forma opposita app – "2bp(j a'qq

formae F proprie aequivaieus. Quaeratur transformatio propria formae F in

illam, Ji = ap-$q, j/=*fp-éq, patetque F transire in f positis œ–at – ë?<,

jf =yt – c«, hancque transformationem fore impropriam.

Quodsi igitur formaeF, f tam proprie quam iinproprie sunt aequivalentes

inveniri poterit tam transformatio propriu aliqua quam impropria.

17S).

Problema.Si formae F, f sunt aequivalentes: invenire omnes

transformatio-

nés formae F in f.

Sol. Si formae F, f unico tantuni modo sunt ttequivalentes ». e. proprie

tantum vel impropric tantum quaeratur per art. praec. transformatio una formae

F inf, patetque alias quam quae hwie sint similes dari non posse. Si vero for-

mae F, f tam proprie quam improprie aequivalent, quaerantur duae transfor-

mationcs, altera propria, altera impropria. lam sit forma F =(A, B, C),

BB – i4C= – D, numerorumque A, 2 B, C divisor communis maximus ~m.

Tuin ex art. 162 patet, in priori casu onmes transforma tiones formae F in f ex

una transformatione, in posteriori omnes proprias ex propria omnesque iinproprias

ox impropria deduci posse, si modo omnes solutiones aequationis tt-Duu = mm

habeantur. IIis igitur iuventis problema crit solutum.

Ilabetur autem D–AC–BB, W = 4AC–4BB, quare &=*£%– ?£'?a ctur autem = J.l =4 111111 IIIIiI lin}

erit integer. lam si

J. ««f^Ji erit D ]>»»«: quare in tt-Duu – mm, u necessario debe-

bit esse =0, adeoque t alios valores quant -m, et – m habere nequit. Hinc

15CÎ I)K FOBMIS S15Ct!KBt ORADUS.

si F, f unico tantum modo aeqttivaleittes sunt et transfaraatio aliqua

,a' == fU'+ y =Y~'+ ~y

praeter Imnc ipsnm quai? prodit ex t = m 'art. 102', et hune

x = – a y – dy, y=–yx'èj/

aliae loeum hnbere non possmit. Si vero F, f tuin proprie tut» improprie »e-

ijuivalent. atquo propriu aliqua trunsformatio Imbetur

je – a 4- dy,=

yaf + c/

impropriaque

.~=~+~ ~==~+~'

praeter illain ex = en) et hanece

,p =– «#' – lîy, y = – y y – c'y (ex t – – «

ulia propria non dabitur; similitcrque nulla improjma praeter

= a'.r'+^y. g yV+cV; et jr = a\v'~ti'j/, y = rV-f>'

2' Si ^-J=4, sive D = m»i, aequatio tt-{-lhiu = mm quatuor sol utioues

admittet t,u;== »«,0; – m, 0; 0. 1 o, – I. llinc si uuico tantum modo

aequivalentes et transibrniatio aliqua

,v = a/4- #y, =.7*'+ sy

quatuor omnino tvansfonnntioiics dabuntur,

j! = + a/+ f>'y, = + y*'Hh ^y

r x *B + t c' !' Xfl + v ti

– 4- ?-ii±I? »' 4- s-^± i? u',v = + + y y ,a ,z+ m 1/•t – -J– i«' "t" «' – – L. '« JL «i 9

Si vero F. duobus modis acquivalent sive praetertrausformationem illain da-

tam alia ipsi disshnilis Imbetur: haec quoque suppeditabit quatuor ilILs dissimiles,

ita ut octu transforinationcs habeantur. – Ceteruni facile demunstrari potest

in hoc casu F, f semperrêvera duobus modis aequivalere.

,,t

Nam quum

D = mm – AC – BB, m etiam ipsum B metietur. Formas {^, tf..« deter-

minans erit = – I quare formac 1,0,1; vel huic I n, – 1 erit aeqnivalens.

BCTKKMtNANTKSSEHATIVI, 157

Facile vero perspieitur, per eandem transformatianem. perquam i£. f, '• transeat

in '+ 1,0, + 1;, fommm 'A, Ji, C) traiisire in +m, », +/»;, aniipitein. Qnare

forma [A, li, V aiicipiti aequivalens. cuivi* formai1, cui auqui valet tutupropric

tum impropriu aequivulebit.

~ï "1;=3, sive '1) annrr. 'l'ulll nr crit yulr olmlestllu' 1a) •> inm^'à* sivo JiJ = :J/«y«. Tiuu /« ovît jwi1 oiuitesquc .sulutiotirs

aeqtifttionis tt-{-Duit=^tnm erunt nex.

«; m, 0; –/«,«; {/«,l; – ^w, – I; .}/«,– I – }y«, J

Si itaque dune transfornuitioncs ilissimilos formae /•' in habeutur.

= «'/+!?/, y = iJ+ty

Jiabebuiitur diiodecim transfomiatioiies ..scilicot ses priori similes

.< -='-I-' M.c'+ cy, .= ± 7.'f'± ti.~

w.± ± y

== + ..I.a + ,i ± LYt, _f_ J

J -=± -1-- c y

et scx posteriori similes. quae ex his nascnntur poneu<lo pro «, 0. y. c hos

«', ii\ y, èv.

(juod vero in hoc casu scuiper F,/ utroquc modo acquivalent, ita deniou-

stramus. Konnuc'>i(;') (') determinaus erit -= – iD – – :j. adeoquc· lI6 II( Ul Ilf fIf

hacc forma (art. 1 7 U) aut format'[+: 1 «, + 3} aut huic + 2 + I + 2 accjui-

valens. l '««le facile pcrspieitur, forniani 'A,B,C> aut foriuac + i m, ». + ï m

aut huic '4:«/, j/M, +»< quae ambao sunt ancipites, aequi\ak'rc adcoquc. <"iii-

vis aequivnlenti, utroquc modo.

4 Si.supponitur Il) fit :=t~–3, 1 .=2tuod.t.4. Ni suppoiiitur ]~ – î, fit i^/ · – '

–2. adeoquo ~2 mod. I

Dvmonstrnri jiotcst, fornmin (A, H, C) neccssario posteriori acquivalcre ï se<lhoc lue non iieveMurium.

158 DE FOBMJS SECTINTJI GBADU».

Sed quum nullum quadratum esse possit = 2(mod.4). hic casus locum habere

nequit.

f> Supponendo – = 1, fit ,*£;* = 4 – l=s–l 'mod. 41. Quod quumni fit rrt Wf

impossibile sit. etiam hic casus nequit locum haberc.

Ceterum quum D neque =0, neque negativns sit, alii casus praeter eau-

meratos dari non possunt.

180.

Fkoulema. Imenire omnes repraesentationesmimeri dati M

jter formant

a<i\v+2bœy-cyjt .F, déterminants negatm – D, in quibus a, y valorex

inter se yrimos nanciscuntur,

Sul. Ex art. t54 patet, M eo quo requiritur modo repraesentari non posse,

nisi D sit resid. quadr. ipsius M. Investigentur itaque primo omnes valores

diversi {i.e. incongrui) expr. – D(moà.M), qui sint N, –N, N1, – iV,

N", – JV"etc; quo simplicior évadât calculus, omnes N, N' etc. ita determiiiari

pos.sunt, ut non sint >fitf. Iam quoniam quaevis repraesentatio ad aliqucm

liormn valomm pertinere dcbet, singuli seorsim cousiderentur.

Si formae F, [M, N,^J^)

non sunt proprie aequivalentes, nulla reprae-

sentatio ipsius M ad valorem Ar pertinens dari potest (art. 1 68). Si voro suut,

investigetur transformatio propria formae F in

M~ + 2 Awy + ~~yif x ~-f 2 l1 x J ,y y

quae sit

x =z a mf4- ëy y – yx' + èy= a A-'+ ëy,==

y~ + cy

eritque ,v = a,j/ = y repraesentatio numeri M per F ad ÀT pertinens. Sit div.

connu, max, numerorum A, 2 B, C,–m distinguanturque tres casus (art. praec:

I Si > 4 aliae repraesentationesad AT pertinentes quam hae duue

111111

x – a, jj=. y; *• =–«, y = – y non dabuntur (artt. 169, 179;.

2, Si -=4, habebuntur quatuor repraesentationesil$ lit l'

– <t/~+Yft

a~+if~.p-=+a. y = Y · + a !1- Y C. ~-±–r"J -1'

2111 1/1

Si -LJ 3 h b b ~;t'3) Si= 3

habebuntur se.ï repraesentationes

DBÏERMINANTE8NKOATIVI. 159

~===~06, ~==±Y;

x,V+r~.a~x~t y-+~~ ~xd±Yyis 'It 1 '4 1 na

= ,+, (~ a + a 1!-f-i vn C) .Ÿ = ( i x~ mï- T

Eodem modo qnaercndae sunt repraesentationes ad valores – N. ~V', -–jV*

etc. pertinentes.

181.

lnvestigatio repraesentationum numeri M per formam F, in quibus x, y

valores inter se non primos habent, ad casum iam consideratum facile reduci potest.

Fiat talis repraesentatio ponendo a–fie, y–fif, ita ut ju. sit div. comm. max.

ipsorum fie, ju/, sive e,f inter se primi. Tum erit M=mx(Aee-{'2Bef-Cff)

adeoque per n\i divisibilis; substitutio vero a?=e, y–f erit repraesentatio

numeri per formam F, in qua os, y valores inter se primos habent. Si ita-

que M per nullum quadratum (praeter 1) divisibilis est, e. g. si est numerus pri-

mus tales repraesentationes ipsius M non dabuntur. Si vero M divisores qua-

draticos implicat, sint hi \i,\i, vv, mt, etc. Quaerantur primo omnes repraesenta-

tiones numeri– per formam (A, B, C), in quibus x,.y valores inter se pri-

mos habent, qui valores si per Il multiplicantur, praebebunt omnes repraesenta-

tiones ipsius II, in quibus div. comm. max. numerorum x, y est ju. Simili

modo omnes repraesentationes ipsius – in quibus valores ipsorum x, y inter se

primi sunt, 'praebebunt omnes repraesentationes ipsius M, in quibus div. comm.

max. valorum ipsorum x, y est etc.

Palam igitur est, per praecepta praecedentia omnes repraesentationes nu-

meri dati per formam datam determinantis negativi inveniri posse.

Application** spéciales ad disccrplionem numerorum in qttadrata duo in quadratum simplet et duplex

in simples et triplex.

182.

Descendimus ad quosdam casus particulares, tum propter insignem ipsorum

elegantiam tum propter assiduam operam ab ill. Eulero ipsis impensam. unde clas-

sicam quasi diguitatem sunt nacti.

I. Per formam xx-yy ita repraesentari ut x ad y sit primus sive in

160 DE FOHJHS 6ECUSB1 URADUS,

(lut) quudvata iuteï .sejmmii diseeïpi) imlius numerus patest insï cnius residuum

quadraticum est –I. talcs- vcro immeri, positive aecepti, omnes potcrunt. Kit

M tulis numerus. omnesque vulores expr. y – 1 ^mod. M, ht: A'. – X, A". – A",

'l' t 1- f' "{'-r -+1. 1. lA™. – A" etc. Tum per art. 17C forma

yi, N, ' ^Tfemme (1,0.1: proprio

at'ijiiivak'ns crit. Sit tnuislbruiutio aliqua propria huius in illam, œ=zatf-lijt',

y :yjt'cjf'. emntqui' repraescntationos nuinori M per formant j£-yg tut

N jjertineiites hne quatuor x–n, y = -f--j»; ,r=r3Zy «=-f-«.Qnum J.' 1 t sic auceps. patct. ctiam furmrtnt :;Il:f, –A', ~-=~~`.t`~Quum forma 1,0, 1 sit anccps, patot, ctiam fonnam {M, – A', *qT-,

ipsi proprie aequivalcuteui fore, illumque proprie in liane transiuutari positis

v – a j.' – tiy', y – y#' + èjf'. lliac durivaatur quatuor ropraesentationes

ipsius M ad –A" pertinentes, .c^=-4;«. y=Z)L^; x=-+_^(, ^=+01. Manifestum

itaque est, octo repraesentationes ipsius 3/ dari quariun semissis altera ad N,

altéra ad – A' pertinent; sed liue onmes unicum tantunnnodo dlscerptiouem nu-

nieri M iu duo quadrata exhibent, M=aa-{-yy, siquidem ad qiiadrata ipsa

tantum. nuque vero ad ordineni radicuinve signa spucturnus.

Quoclsi itaque alii valores expr. y – 1 (mod.Jf) pnieter N et -N non dan-

tur. quod e.y. evenit, quaudo M est numerus primus, M unico tantum modo

in duo quadratu inter se yrima rcsolvi poterit lam quutn – 1 sit résidu um

quudruticiuiu cuiusvis nuineri primi formae ln-l (art. 10 S), mnnifestoque nu-

merus pritnus in duo quadrata inter se non prima discerpi nequeat, habemus

tlieorema:

QuiriN niimerus priiiiun formae 1 « + 1 in duo quudrata decomponi potest, et

i/iiidem unico tantum modo.

1^=0+1. 5^=1 + 1, 13 = 4 + 9. 17–1 + 16, 29 = 4 + 25, 37 = 1+36,

4l = l(i+25. r.;{ = l+l», 01– 2r> + 30, 73=9 + 0-1, 89=25 + 64.

07 = Hi+SI etc.

'l'iieorema hoc elegautissimuni iam Fennatio notuni fuit. sed ab ill. Eulero

primo demonstratum est. Comm. uov. Petr. T.Y, ad annos 17 5-1. 1 55, p. 3 sqq.

1 n T. IV, diss. exstat ad idem argumentuni pertinens. p. Il sqq., sed tuin rem

penitus noudum alwolverat, vid. impritnis art. 27.

l'uti't enim. liuiu1 c:isum suh (2) art. l'-o conti'iittim vs^f.

1

DETfiRMRÎANTPES NEâATIVI. 161

21

Si igitur 'limiteras «lîtjwis foraine 1» + aut pluribus modis uut nullo modo

in duo quadrata rcsolvi potvst, certo non erit primus.

Vice versa aatem si expr. y – 1 niod. M, prueter N et – JV alios adhue

vulores habet. aliae adhuc repraesentntiones ipsius M dabuntur, ad hus pertinen-

tes. lu hoc itaque casu jJf pluribus inodis in duo quadrata resolvi poterit r. <

05 – 1+04 = 18-4-49. 221 =25-f- 190 =

100 + 121.

ttepraesentatioties relit] uae, in quibus x, y valores ôbtinent non primos

inter se, per methodum nostram {^ncralom facile irtveuiri possunt. ()))servamus

tantuminodo si numerus uliquis factores forinae 4«+U involvens. per nullam

divisionem per quadititum ab his liberari jiossit quod fiet. si aliquis aut pluies

taliuni factorum dimeiisiotiem imparem habet\ hune nullo modo in duo quadvata

résolu possi' ').

Il. l'er fbrmani .r .(-2~ nuHusnumerus,cuiusnon-residuum –2. ita

repraesontari potest, ut x ad y sit primus, reliqui omnes poteruut. Sit 2 resi-

duum numeri M, atque AT valor aliquis expr. \J– 2 (mod. M). 'L'uni per art. 1706

f brtnae '1 0, 2) [M, N, -; propric aequivalentes erunt. Transcat illa proprie

in Itanc ponendo x – aaf-tiy', y – y tf- S$' eritque x~at <f = f repraesen-

tatio numeri M ad N pertinens. J'raeter quam et hanc x = –a, y – – y

aliae ad N non pertinebunt (art. ISO).

Simili modo, ut supra, perspicitur, repraesentationes *=:+a, y-^+y

ad valorem N pertinere. Omnes vero hae quatuor repraexentationes unicam

tantuni discerptionem ipsius M in quadratum et quadratum duplex exhibent,

et si 'praeter N et N alii valores cxpr. \j – 2(moà.M) non dantur. aliae

discerptiones non dabuntur. Ilinc adiuinento proposs, art. 11(5 facile deducitur

theoremu:

*) Si numerusJf= î'1 daab^e>' ita ut a,b, <•t'tc. ttivAnumeri primi inaequalesTormae l«+l, atqui;S productumex omnibusfuctorilius primis ipsiusM formae i -t- :) (»d (jimmformant quivisnumerus positivusfi'tluci putcsl, faciendo u = u iguando M est impar, et «V= i quatulo .V nullos factores tbrmuu 4u + :i irapli-

cat): .V tmllii mndo in duo quadrata rcsolvi putt-rit, xi .S' est nou-quadratus; si vero S est quadratus, da-

Inintur l {i + l ) (S+ i ) (j +i ) etc. discurjitioncs ijjsius M, quand» ulu|ui« numerorum a. 5, etc. est impar.aut } (« + 1 J (5 + 1) (f+ 1) etc. 4- J quundo omnes ». S, y etc. sunt pures (siquidem ml quadrata ijjsa tantuni

rcspititur). Qui in culculo comliinalionumaliquuutumsunt versuti, demonstratiunem huius theoremutis (cui.

perinde ut uliis particulavihim imtnnrari nobis non liect) ex thi-oria nostr» général! haud difficultcr crucre potf-runt. ('f. art. m.'i.

162 i)E FOKMIS StXCNOl OKADl'8.

QjmVwî mimmts primus formae Sii-(-t m/ 8» + 3 in qnadrtthmet qtiarfratum

duplex decomponi patent et quidem unico tantum modo.

I =1+0. 3=l-f2. 11 = 94-2, 17 =9 + 8, 19= l-H 1S. 41 = 9 + 32.

t:» = 25 + l<», 59 = 9 + 50. 07 – 494-lS, 73=14-72. 83 = 814-2.

89 = 814-8, 97 =254-72 etc.

Ktiain hoc thcorema. uti phira similia, Fermatio ilillotuit. sed ill. \m

Û rangé primas dcmoustratiouem «ledit, Suite des recherches tF Arithmétique, Xouv.

Mém. de l'Ac. de Berlin 1775, p. 323 sqq. Multa ad idem argiunentum pertineutia

iatu ill. Euler nbsolverot, Spécimen(le util observationnm in mathesi puni Connu,

uov. Potr. T. VI p. 1S5 sqq. Sed demonstratio complet» theorematis semper ipsius

industriain elusit. p. 220. Conf. etiam diss. in T. VIII (ad annos 1700. 1701

Suppleuientum (/uorundumt/teorematum arithmeticomm, sub fin.

III. Per methodum similem demonstratur, quemvis numermu, eiûiw resi-

duuni quadr. sit 3, repraesentari posse aut per fonnam œx-j-'Ayy, aut pr

liane 2j?*4- 2.V.J/ + 2jjt/,ita ut valor ipsius v ad valorem ipsias y sit primus.

Quare quum– sit residuum omnium numerorum primoruni forinae 3 n I

art. 1 1S\ manifestoque per formam  2 xy + îyy numeri pares tantum re-

praesentari possint: eodem modo ut supra habetur theorema:

Quii-is nitmerus primus formae3n + 1 in quadrattun

et qtwdratum triplexde-

compom potest, et quidem unico tantum modo.

1 = 14-0. 7 = 44-3, 13=14-12, 19 = 104-3. 31=44-27. 37=254-12.

43 = 164-27, 01=49 + 12. 67=64 + 3, 73 = 25 + 4Setc.

Demonstrationem huius theorematis ill. Euler primus tradidit in comnien-

tatiollc modo laudata. Comm. nov. Petr. T. VIII, p. 105 sqq.

Simili modo ulterius progredi et e.g. ostendere pussomus, quemvis uunicruni

prinmm formae 20»+ 1. vel 20« + 3, vel 20» + 7, vel 20» + 9 (quippe

quorum residuum –'» per alterutram formam xj>5jfjf, 2*^+2^+3^

repraeson tari posse, et quidem numéros primos formae 20 «+1 et 20m + 9 per

priorent, primos formae 2oj«+3, 2O» + 7 per posterioremnec non dupla pri-

morum formae 20»+ 1,20» + 9 per formam 2.t\t;+2.«y + 'it/y. dupla pri-

morum formae 20« + 3,20» + 7 per formam Jcx-byy\ sed liant: propositio-

nein infinitasque alias particulares quivis proprio marte ex praccedentibuset infra

BETKKMtlSfANTESIH)Smvr NCW-QnADRATI. 16S

21*

tradentlis derivare poterit – Transiirms itaque ad- /orna* determinantis positivi,

et quum lutrum indales prorsus alia sit, qunndo déterminai»» est quiidratus. alia.

qunndo non-quadratus: formas determinantis quadruti hic primo excludinuis post-

eaque seorsim considerabiinus.

Ui'/ormis i/eh-riitindiitin pontiri non-quadniti.

ISS.

Prohleha. Propvsitu forma quaaaique <a,b,a', cuiux déterminons pvsitivus

iiou-ijuadrutm -D;iuvenire formant huic proprie aequivalentem. [A,B,C], in qua

B sit jmsiiivvs et <\1>; A cero si est vel – A, si A negativus, inter

\'D + B et \ID – B situs.

Sol. Supponimus in forma proposita utmmque conditionem nondum locum

haberc; alioquin eniin aliam formam quaerere opus non esset. Porro observamus.

in forma determinantis non-quadruti terminum primum vel ultimum = esse non

posse art. 1 71 ann. Sit Vft(mod.n') atque intra limites VD et \D +

a

situs (accepto signo superiori quando a positivus, inferiori quando est negati-

vus) quod fieri posse simili ratione ut art. a, facile dcmonstratur, ponatuniue

tn,(l D~ct". qui erit inte~er, qnia Uli -D-Gb-D~au'~o ( 1'\ Iam sï-^–a". qui erit integer, quia – D==bb – 2>^««'=0(mod.«'V fam si

«"<«', fiât ck'iiuo b" b''mod.a] et inter \ID et \D + a" situs ,prout a"

positivus vel negativus } et – = d". Si hic iterum «'"<«", sit rursus(4

/==– i."(mod.a'"}, et inter \jD et \D + a'" situs atque b^ =z dmHaec

operatio continuctur, donec in progressione a. a", a", a"" etc. ad terminum «'" +1

perveniatur, jn-aecedente a'" non minorent, quod tandem evenire dcbet. quia

alioquin progressio infinita numerorum integrorum continuo decrescentium habe-

retur. Tum positis a'" -A, bm–B, a'"+t – C\ forma \A,B,C) omnibus i-on-

ditionibus satisfaciet.

I)em. 1. Quoniaiu in progressione forinarum ia.b.u [a'.b',a'\ («". b", «'")

«•te. qnuevis ])racccdeiiti est contigna ultima 'A, B, C- j>rimae '«, b. a) proprio

tiequivalens erit.

11. Quia B inter \iD et \D+-A situs est 'accipiendo semper signum su-

perius quando A est positivus, infoiïns qunndo A est negativus'; patet, si ponn-

tur \'D – Bz=jt, B – [\/D + A;–q. ho.s p. q fore positivos. lam facile con-

tirmatur. fore qq-f-2p<j + ïp \/D = D-J-AA–-BB; quare D -AA – BB

crit mtinerus positivus. quem ponemus --a Hinc propter D – BB–AC.

164 l>KKOkSUS>BcLspi«MABU8..

fit r = AA-+-A(J,- «deoqiie A A – AC numeras positivas: quia vero fier hyp,A non est xuaior quam C, matri&sto illud aliter fieri acquit, qiuun si AC est

ncgativus adeoque signa ipsorum A, V opposita. Hinc BB =D-±-AC<D

ndt'oqite H<C\D.

III. Porroquia – AC – D – BB, crit AC<V. et hinc quia A non

>• -l<\#- Quart' \V + A orit positivus, adeoque etimn U, qui inter

limites \JD et \D + A i'st situs.

IV. Hinc a potion \!D-{-B + A positivus, et quia \JD– B + A = – (/.

pst negativus. +A situs erit iuter yD-B et \D – B. Q. B. D.

lie. Proposita sit forma 6T, 97, MO), cuius determinans =29. Hic in-

venitur pro^ressio formarum (67. «7, UO,, 1 -10. –97. 07). (07.-37,20.

20. 3. – 1 – 1,5. 4i. lltima erit quacsitu,

l'nles formas 'A,B.L\ «letenninantis positivi non-quadrati D. in quibus A

positive acceptas iacet iuter \D-B et yD – B, JJ vero positivus est atque

<\ 'D. formas reductas vocabiinus. Formae itaque reductae deterrainanti» positivi

non-quadrati aliquantum difteruut a formis reductis determinantis negativi; sed

propter magnam analogiam inter lias et illas. denominationes diversas introdneerc

noluinnis.

1 s-i.

Si aequivalcntia cluarum formarum redttctamm detenninantis positivi aequo

facile dignosci posset. ut in formis detcnuumutis negativi 'art. 172), aequivalen-

tiani duarum formarumquarummnque eiusdem detenninantis positivi nullo negotio

diiudicare possemus. Sed hic res longe aliter se habet. h'erique potest ut per-

multae formae reductae inter se aequivalentes sint. Antequam itaque problema

hoc aggrediumur, profuudius in naturam formtiruin reductarum (detenninantis

positivi non-quadrati, quod semper hicsubintelligendum) iuquirerc iiecesse erit.

1 Si ;«. b. c) est forma reducta a et c signa opposita habebunt. Nain

posito déterminante formae –D. erit ac~bti – D, adeoque, propter b<d\D.

negativus.

21 Xumcrus c perinde ut a, positive acceptus, inter \JD-b et \jD-~b

situs erit. îs'am – c =– quare, abstractione facta a signo, c iacebit inter

^VÎ f^6 Le. inter s/B-b et^2>-+-ft.FD +-6

et'D 6

8. e, mter v etV }.

;$• Hinc patet, etiam 'c,b,d:, fore fonuani reduefaun.

DBTEHMIWASTES POSri'IVï NON-QUÀBBATr. 165

A) Tiim a tume'erttûi <3^jD. T-terque enim est

<>+i, adeo-

que « potion <2\-i>.

5 Numéros A situs erit inter \D et \IDJJla 'aecepto siguo supL-riori

quundo « positivus, inferiori qunndu est negativus Quia enim +« incet inter

\D-b et erit +«– \D – b sive b – [yD + aj positivus: b~\l)

automest iicgativns; quamobrein b inter \D et \fj)^a erit situs.. l'rorsus

eodeni modo demonstrattir. A inter \D et \!D~^c iocere prout c pos. vel acg..

0, Calvin format' reductue «, b, c. ab utraytw parte continua est mlucta hhu.

et non plures.

Fitit a'~c, b'~ – b mod.a') et inter \jD et \Z>4lfl' situs'c'=a-'p–

eritque forma [a',b',c"j fonnae '«, i, c, ab ultiina parte continua, simulque nui-

nifestum est, si ulla forma reducta forume (a, b. é) ab ultiina parte continua detur.

eam ab )mc (a',b',c') diversam esse non pousse. Hanc vei-o rêvera esse reducta m.

ita demonstramus.

A"; Si ponitur

^D + b+a'–p, ±a~ \iD–b\–q, \l)~b =r

hi jt,q,r ex 2 supra et defin. fonnae reductae erunt positivi. l'orro puutitur

b' (v'D + a)=

q\ \D~-b'=

eruntque q',r positivi, quia b' incet iuter \jD et \'D+.d. Dcnique sit h-U

-= + ««' eritque m integer. lam patet esse p-q – b-{-b', udcoque A-f-6'sive -jrma positivum et proin etiam »»; unde sequitur m– 1 certe non esse

ncgativuui. Porro fit

r+(/+nid–2b'+a, sive 26' =i- + ^f;/«– 1,«

unde 24' et necessario erunt positivi. Etquoniam b'r'=-\D, erit i'<^D.

B, Porro fit

r-utu' = \B-U, sive r+'w – 1 a' = y'D-{-b'jf.a'

quare v^+^'+w' erit positivus. Hinc et qnoninm +«'– -\iD – b')=q,

') Ubi signa ambigua «uut, supenorn semper valent quaodu a est posiuvus, inferium quatuiu a'

negativus.

DE FOSMI8 SECCNOI O6ADOS, 1..

adeoqwe positivtis, ±«' iacebit ittter \JD + V et \/D– b'. Quociïea ia,U^)erit forma redncto.

Kodem modo demonstratur si fiât 'e – a, 'b~–bmod.V, et inter

\'D

et\D±'c situs, 'a=*±-*m formai»

('a/b.'c) fore reductani. Manifesta au-et

yD-f- c aitus, tc =torrunatt !'rr,'G,`c, fore l'el uctam, nUllCS 0 au-

teni forma haec foraine a.b.c a parte prima est contigua, nliaque rodnctn prae-ter ''a, 'b, 'c hac proprietate j)raedita esse non poterit.

Jïïf. Format» reduetae (». h. – 14), ettiu» detenmntnw = m. « parteultima contigua reducta < – 11, 3. 1 :< a parte prima vero lrnec !– 22. 9. 5

7; Si formne reductae {a,b,c\ a parte ultima contigua est rcducta la\b',dtvductap c.b.a contigua crit a prima parte forma (c, b',u' et si reductae

a.b.c c a prima parte contigua est forma >A.V; reductae(c.b,a) reducta

l'c.'b,'al i contigua erit ab ultima parte. Porro etiani formae{–'â,'b,–'c).

–a.b.~C:, i–a',b',–c') rednetae erunt, et secunda primae, tertia secundne

ab ultima parte contiguae, sive prima secundae, secuudaque tertiae ta parte prima;

siniiliterque très formae– c\ b'. a' c, b. – a), (- 'c. 'b. 'a) Haec tam

obvia sunt ut explicatioiie non egeant.

IS'5.

Multitudo omnium formarum roductarum determinantis dati D semper est

finila, ipsae vero duplici modo inveniri possunt. Designemus indefinite omîtes

forums reductas determinantis D per {a,b.c, ita ut omnes valores ipsorum a,b,c c

determinare oportcat.

Methodm prima. Accipiaiitnr pro « omnes numeri (tum positive, tum né-

gative; minores quam 2\/D, quorum residuum qiiadraticum D. et pro singulisa, ponntur b

aequalis omnibus valoribus positivis expr. \/D(mod.«i inter \/Uet \'7>q:« ûrcntibus, c vero pro singulis valoribus deterniinatis ipsorum «.

ponutur = Si quac formae hoc modo oriuntur. in quibus +a extra

\D-b et \lï)~b situs est. reiiciendae sunt.

Methodm secunda. Accipiantur pro b omnes numeri positivi minores quam\'Z>. pro singulis b resolvatur bh – D omnibus quibus fieri potest modis in bi-

nos factores. qui neglecto signo inter \jD-+-b et y'D-6 iaccant. ponaturquealter =«, alter =e. Manifestum est, singulas resolutiones in factures prae-bere binas formas, quia uterque faotor tum .a. tum –c poni débet.

dctkbminantes pôsmvr nôs-qitahra'm. 167

Ex. Hit />= 79 eïuntque valores ipsius a viginti dito -f- 1. 2. 3, 3, 6. 7. 9.

10, 3, 1 4, 1 5. l'iule inveniiuitur formae undeviginti

:», S.– \h), {2,7.-18;. (3, S. –5), (3, 7. –10}, 5, S. – 3} U. 7. – 1>

0.7. – 5). '0,5.-9). 7,4.–»;, (7,3, –to)..)), 5. -0\ 9.4,-7.

'J0. 7. –3). 10. 3. –7), {13, 1. –0). [\i. :|. – aï, ,'ia. S.' – J

15. 7.-2), ',15, 2, –:>)..

totidemque aliae quae flmit ex his. si termiuoruin exteromm signa eommutantur.

puta '–1, s. 15* -2, 7, 15) etc., ita ut omues trigiuta octo sint. Set! ex his

reiieieuclue sex (± I», 1. +0'. ;± M. 3, +5', ;± 15. 2, +5 reliquae triginta

dune omnes reduetas arnplectuntur. J)er methodmn secundam eaedem formae

prodeunt scqucuti ordinc

{±7.3,^10.. (±10.3.4:7. ±7.4, +9), (±«. 4. +7. ±0, 5. + «>

:+1' _O'. ;f- 7 7r.1 ~) '+3 7-1.' :+, 7 -f-ur

±9.5.4:0;. (±2,7,4:15). (±3,7,4:10), ±5, 7, +0. 4«,7,+5.

•±10.7.4.3;. (±15.7, 4:2;, (±1. s, 415). ±:j. S. 45;.

(±5. S. 4:!), ±15, 8. +1).

1S0.

Sit /•' forma reducta determinantis D, ipsique ab ultima parte continuaforma reducta F'; huic iterum ab ultilna parte coutigua reducta F"; reducta F'"

ipsi F" continua ab ultiirm parte etc. Tum patet, omnes formas F'. F". F'" eu-

esse prorsus detenninatas et tum inter se tum formae F proprie aequivalentes.

Quoniam vero multitudo omnium formaram reductarum deterniiuantis dati est fi-

uita. maiiife.stum est, omnes formas in progressione infiuita F, F', F" etc. di ver-

sas esse non posse. Ponanms F'" et F'"+" esse identicas.ermitque F' 1.

pm+u-i retiuctae eidem formae reductae a parte prima coiitiguoe. adeoque idcn-

ticne; hinc uodem modo F'8 et F" etc.tandemque F et F" identicac

erunt. Quare in progressione F, F', F" etc., si modo satis longe contimiatur.

uecessurio tandem forma prima F recurret; et si supponimus F" es.se primamidenticam cum F, sive omnes F', F"F"~l a forma F diversas: facile ]ierspi-citur. omnes formas F. F'. F" F""1 diversas fore. Complexum harum for-

'} l'ro b- – in duos factures, qui ncglevto signo intir yï'+i ctv;i iu«>ant. ru«ilvi m-

quit! «juarehic valor est pmetcKundtw, ex eademi|ue rationc vnlores 2 et u.

168 tiiS (••ÔHÏttS SKCIÎNDI QKADKH.

maruinvwahimns permlum foi-mue F. Si igitur progressio ultirft ultimani periucli

format» produeitur, caedcm forniac F, F', jy" etc. iterum prodibunt. progressio-

que tota iiifinita F, F'. F" etc. eonstituta erit ex liât* periodo formai» F inh'ni-

tii'-s repotitu.

l'rogressio F, F', F" etc, etiam retro continuari potest. prnepouendo formne

/•' reduetani 'F, quae ipsi a parte ]>riina est coiitigua; lntif iterum reiluctam "7'

quac ipsi a prima parte contigun etc. Hoc modo habebitur progressio formarmn

utriiiujue infinita

.M ,rr; ,· x, x, p.. ~,rr,

perspicieturque facile, 'F identicam fore cuni F" "F cutn F" etc. adcoque

progressicjjiem etiunl a lnevn parte e periodo forniae F. inimitiés repetita. esse

cojistitutaïu.

.Si forais F, F', F" etc. 'F, "F etc. tribuuntur indices t), 1,2 etc. – 1,

– 2 etc. generaliterque fonnae F'" index m, fonnae "'F index –m, patet.

formas quasamque seriei identieas fore tel di cernas, prout ijmmnn indices antgrui

sint rel imwtgrui secundum niodttlum n

Ex. l'eriodus format1 (3. s, – 5,. cuius detcrniinaiis =79. invenitur Jmec:

3. S. – .V. '– ft. 7. G]. (0.5,-9, (–9.-1,7). (7.8.– 10;. '–10,7.3. l'ost

iiltituaiu iterum prodit (3. S. –5). Hic itaque m = «.

IS7.

Etre quasdaiu oliservationes générales cirai lias periodos.

1'`

Si fonnae /• F', F" etc.: 'F, "F, '"F etc. ita exhibentur:

a, h, – ur –«,«,« ii.O. – « etc.; – «, b,ut, a, b, – u. a, b, CI

oiiincs u,u',u",u" etc. 'a, "a, "a etc.eadem signa habebunt art. 1SI.1 oinucs

vero l>" etc. 'b, "h etc. eruut positivi.

*2; Hiuc uianifestum est, numeriun n (multitadinem foriimruiu ex quilms

periodus fornmc F constat) semperesse

jjarem. Eteuim termiuns priinus fonnae

cuiitsvis /• ex hacperiodo

niunifesto idem signum habebit uti terminus primas

il fonnae F, si m est \mv opposittim si m est impar. Quare quum F" et /•'

idonticae sint. « necessario erit par.

DCTERJflKAXTK» FOSlTiVI NON-^ÀDRATÎ, 160

22

3} Algoritlimus, per qncm numeri b', 6", V" etc.. a", a™ etc. iuvcniuutur,

ex art. ISI, C est hic:

= – b (mod.ti'j iuter limites sjD et yD + a;1

a" – 1-1'= (iiiod. (1) 11l el' mutes V et V +a j i' =-0

11' ~–b'i.moù.n\ vlD'T-a- «"' = ^– ~A"= "1} ,mo( ,ll! a =a"

b" ==~b"(moila' \/D+«' «' P-r^

etc.

ubi in coluiimu secunda signa superiora vel infcriora sunt accipienda. prout

«, d, a" etc. sunt positivi vel negntivi. I^oco formularum in coluunm tertia etiam

sequentes adhiberi possunt, quae commodiores evadunt quando D est mimerus

niaguus

•J, lornia quaecunque F"\ iu {leriodo formae F contenta, proprie cau-

dem periodum habet ut F. Scilicet periodus illa erit FIII, F'"+1 .F""1,

F. F' – F' in qua eaedem formae eodemque ordine occurrunt, ut in periodo

fornme F. et quae ab hac tantuinmodo respectu initii et finis discrepat.

5) Hinc patet, ouines formas reductas eiusdem determinantis D iu ipena-dos distribui posse. Accipiatur aliqua harum fonnarum F. ad libitum investi-

«i-turque ipsius periodus, F, F'. F"FU~\ qnnin desigiiemus per P. Si haee

onmes formas reductas determinantis D nondum amplectitur. sit aliqua in ipsa

non contenta G huiusquc periodus Q. 'm\ patet P et Q nullam formai»

((inimunein habcre posse; alioquin enim etiam G iu P contenta esse deberet

périodique omnino coinciderent. Si P et Q ownes formas reductas nondum ex-

luuii'iunt, aliqua ex dcficientibus periodum tertiam, 11, suppeditabit quae

nuque cum P neque cum Q formant communcm habebit. Hoc modo continunrc

possumus. usqneduin- om ncs formae reductae sint exhaustae. Ita e.g. omnes for-.

mae reductae determinantis ï H in sex periodos distribuuntur:

c'6_~

`~' ;G `G'J 'f. ua -=-J- Kb–b,a

ri< &ri+<

1a

-a.a'

«'=6-±^i7/'–b'")+a"(1 =a

1 Il

etc.

170 1>R'"FOftttlg 8ËCt«NÏ>iGRADES.

y n -1I.

(l.g, – »), (–15,7,1), (2,T,– 15}, (-15, 'M}.'

n

II.(–1.3,15), (15,7,-2), f– 2, 7, 15), (15,8.-1).

III. (3,8, –5), (–5,7,6), (6,5, –9), (–9,4,7), (7,3,-10), (–10,7.3).

IV. (-3,8,5), (5.7.-6), (-6,5,9), (9,4,-7), (-7,3,10), (10,7,-3).V. (5, 8, –3), (-3. 7, 10), (10, 3, –7), (–7, 4, 9), (9, 5, –6), '-6,7,5).VI. (-5,8,3), (3,7,-10), (–10.3,7), (7,4,-9), (-9,5,0), (6,7,-5).

6) Vocemus formas socias, quae ex iisdem terminis constant, sed ordine

inverso positis, ut (a, b, –a1) (– a', b, a). Tum facile perspicitur ex art. 184, 7,

si periodus formae reductae F sit F, F', F" Fn~\ formae F socia formis-

que F»-\ F"F". F' resp. sociae sint formae /•:

periodum formae foref. adeoque ex totidem formis con-

stare. ut periodum formae F. Periodos formarum sociarum vocabimus periodos

socias. Ita in exemplo nostro sociae sunt periodi III et Vf; I\' et Y.

7) Sed fieri etiam potest, ut forma f ipsa in periodo sociae suae F occur-

rat, uti in ex. nostro in periodo I et II, adeoque periodus formae F cum periodoformae conveniat, sive ut periodus formae F sibi ipsi sit soda. Quoties hoc eve-

nit, in hac periodo duae formae ancipites invenientur. Ponamus enim periodumformae F constare e 2 formis sive F et Fîn esse identicas; porro sit 2m+ l

index formae f in periodo formae F*), sive F*m+l et F sociae. Tum patet

etiam F' et F*m fore socias nec non F" et F2"1"1 etc. adeoque etiam F"' et

P-+«. Sit F'"= (a"`, bm, -<+<), Fm`i"t = (-<+'. 6'"+', an~'t`a1, Tum erit

bm-bm+l = 0 (mod.aœ+1); ex defin. formarum sociarum vero erit bm = bm+t 1

atque hinc 26m+l = o 'mod. «'"+'), sive forma Fm+l anceps. Eodem modo

F*m+i etF2n erunt sociae; hinc F2m+î et F2""1; jF*»'+3 et F*8 etc. tan-

demque F"'+" et Fw+"+1, quamm posterior erit anceps, uti per shnile ratio-

cinium facile probatur. Quia vero «i-f-l 1 et «t + w+l1 secundum mod. 2»

suntincongrui, formae Fm+1 et F'+"+' identicae non erunt (art. 18G, ubi midem denotat quod hic 2n).). Ita in 1 sunt formae ancipites '1, S, – 15>,

(2,7,-15), in II vero (–1,8, 15), (–2.7,15).

*) Index hic necessario erit impar, quia manifeste termini primi formarum signa opposita hahent

(vUL supra, ï).1.

DKTERÎONANTES POSmVl NON«QUAt»HATl. 171

22*

8) Vice versa, (juaemsperiodm, in qua forma anceps occurrit, sibi ipsi socia

est. Facile enim perspicitttr, si Fm sit forma reducta anceps formam ipsi so-ciam (quae etiam est reducta) simul ipsi a parte prima coutiguam esse, i. e. F"et Fm socias. Tum vero tota periodus sibi ipsi socia erit. Ilinc patet. fierinon posse, ut unica tantum forma anceps in période aliqua contenta sit.

9) Sed etiam phrres qtsam duae in eadem periodo esse nequeunt. Ponamus

enim in periodo formae F, ex 2 m formis constante, tres formas ancipites dari

F F1*, F, ad indices X, | v respective pertinentes, ita ut p, v sint numeri

inaequales inter limites 0 et 2« – 1 (incl.) siti. Tum formae Fl~' et Fx erunt

sociae; similiterque J*-1 et Fl+i etc. tandemquc F et F*x" Ex eadem ra-

tione F et F*P~l sociae erunt, nec non F et F*1; quare Fn~\ Fs^

JF2v-' identicae, indicesque 2X– 1, 2/* – 1, 2v – t secundum modulum 2»

congrui erunt, et proin etiam X^fjt^v(mod.«). Q. E. A. quia manifesto inter

limites 0 et 2« – 1 tres numeri diversi secundum modulum n congrui iacere

nequeunt.

188.

Quum omnes formae ex eadem periodo proprie sint aequivalentes. quaestio

oritur, annon etiam formae e periodis diversis proprie aequivalentes esse possint.

Sed antequam ostendamus, hoc esse impossifdle, quaedam de transformatione for-

marum reductarum sunt exponenda.

Quoniam in sequentibus de formarum transformationibus persaepe agendum

erit: ut prolixitatem quantum fieri potest evitemus, sequenti scribendi compendio

abhinc semper utemur. Si forma aliqua LXX-lMXY- NYY per substi-

tutionem X = a*4-éy, F=y^-f-^ in formam lxx-{-%ma:y-nyy trans-

formatur simpliciter dicemus, (L, M, N) transformari in [l, m, n) per substitu-

tionem a, d, y, è. Hoc modo opus non erit, indeterminatas formarum singula-

rum, de quibus agitur, per signa propria denotare Palam vero est, indeter-

minatam primam a secundo in quavis forma probe distingui debere.

Proposita sit forma reducta (a, b, – a1) déterminants D. Formetur

simili modo ut in art. 186 progressio formarum reductarum utrimque infinita,

"f>'f> f> /> et quidem sit

172 DE FOBMISSECI'SIH 6l«Dl!8.

'=(-0-, U, a), = (a1, & ~~a"'j etc.

= [–'a. 'b. « y = ("«, V etc.

Ponatur

~_=~ -4 ,Ifla etc.

.h b .= I! =='/<, ~h't'r~ ··la etc.Il –"

l'uni patet, si ut in art. 177) numeri a', a", «'" etc. tf', d", tf" etc. etc. formentur

secuntlum algorithimuu sequentem

«' _= o tf = –1 =1 S =

o' == ~'6' ==6' '5:' 1 t

a", !r==/<–6' y'"=<y' ~=A'–~

a""=ë'" 6"=/<6'"–6"Y m r."

6"=/ë'V V V V

etc.

li

(J 1i.

transformatuni iri

in per substitutionem a', d', y', <?

«". d". y", ff" a' d1".

y' S"

etc.

omuesque lias transformationes fore proprias.

Quum 'f transeat in per substitutionem propriam u. – 1, 1, la (art. 15by

transibit in per subst. prop. A, 1 – 1, 0. Ex similiratione f transibit in

"f per subst. propr. 'A, 1, – 1, 0; iu per subst. pr. 7*. 1,-1,0 etc. Hiuc

per art. 159 eodem modo ut art. 177 colligitur. si numeri '«, "a, '"a etc. 'd, "d. '"d

etc. etc. formentur secundum algorithmum sequentem

'« = h 'g = 1'y = –

1 lè = 0

"a -= 'A 'a- 1 "d = 'a"y

= 'A'yr "è =

'y

"'a = "A "a – 'a '"d = "a '"y= 7/

"y–

'y mi ="y

""« = mh '"a "a ""d – "'a ""y= "'A '"y – "y ""£=

"'y

etc. `1.

f transformatuni iri

wëtebmwantk» POsr«vrNow.(jrADKATr. 173

rn ~It t t

onmesque lias tninsformatioiies fore proprias.

Si ponitur a = t g – o, y = o, c5 = i hi numeri cnndem relationem

Imbebuut ad formam quam habent a'. &, y', c' ad a". 6". y", c" ad etc.:

'a, '(>. 'y. 'iî ad etc. Sdlicet per substitutioncm a. 6, y. è forma f traiisibit in

Tum vero progiessiones infinitao «'. a". «'" etc.. 'a. "«, "'a etc.. per intercala-

tionem termini a. coneinne iungeutur ita ut imam eontinironi utrimque infini-

tam coustituere(.-oncipi possint secundum eaudcm legem ubique progrcdientem

'"«. "«. '«, a. a', a", a' Lex progressionis haec est

"a-i-'a ^t "a, "a+a -=7* 'a, 'a+a'= ha, a + a"= AV. «'-fa'" =/«"«" etc.

sive generaliter (si iudicem negativum a dextrascriptum idem designare suppo-

nimus. ac positivum a laeva)

Simili modo progressio .(>. U 6, lî', d" continua crit. cuios lex

et proprie cum praecedente identica, omnibus terminis uno loco promotis.– 'a, 'd = a,' ë = a' etc. Lex progressionis continuae "y. 'y. y. y', y"

prit haec

et lex huius .ê. 'è. 6, S, è" erit

insuperque generaliter ov" =y'"+'.

Ex. Sit forma proposita f haec (3. 8. –5). quae transformabitur

in|ier substitutiotiem '«, 'eî, 'y, 'c

7 "«."6, "y. "o

c

7 '"«. "'ti. '"y, '"£b

etc.

a' I + a"«+l = /<a'"

6' ~'»+r == A'"+' 6"'

y'« – l_|_y»l +t

/fl m

S,u-r "+, ana.t 1d'x.t ~m

174 SB FOBïnS SECUNBIGRABC8.

in formam (–10, 1, 3)

(3, 8, -5)

"m/ (-5, 7, 6)

m/ (6, 5, -9)

7 (-9,4,7)

(7.3.-10)

(-10,7. -8)

(3,8,-5)

(-5,7,6)

(6, 5, -9)

f" (-9.4.7)

(7,3,-10)

(-10,7,3)

(3,8,-5)

/(_ 5, 7, 6)

Circa hune algorithmum sequentia sunt annotanda:

1} Omnes a, a, a' etc., 'a, "a etc. eadem signa habebunt; omnes b,b',b" etc.

'b, "b etc. erunt positivi; in progressione .h, 'A, h, h', h" signa alternabunt,

scilicet si omnes a, a' etc. sunt positivi, hm vel mh erit positivus quando m est

par, negativus quando m impar; si vero a, a' etc. sunt negativi, hm vel mh pro

m pari erit negativus, pro impari positivus.

2} Si a est positivus adeoque K negativus, K positivus etc., erit a"= – 1

neg.. (*"= AVneg.

et >a" (vel= a" si A"=

1);«""= A'V-a"

pos.et

>«'"

quia AVpos.,

a"neg.);

a"m – h""a' – a"1pos.

et>a"" (quia

A"V"pos.)

etc.

Hinc facile concluditur, progressionem o', an, am etc. in infiniturn crescere duoque

signa positiva semper duo negativa excipere ita ut am habeat signum +, +, –

–, prout m = 0, l, 2, 3(mod.4). Si a est negativus, per simile ratiocinium in-

venitur a" neg., et'"pos.

et vel > vel = a"; a""pos. >«'

a' neg. >a"" etc.,

per substitutfcraein – 805, –1 52, + 1 43, + 27

– 152,4-45, +27, –8 8

+ 45, +17, -8, –3

+ 17, –11, –3, +2

– 11, –6, +2, +1 i

– 6. +5, +1, –1

+ 5. +1, – 1. -0

+ 1, 0, 0, +1 1

0, –1, +1. –3 3

-1, -2, -3, -7I. ––&. *t

– 2, +3, –7. +10

+ 3, +5, +10, +17

+ 5, –8, +17, -27

– 8, –45. –27, -152

– 45, +143, – 152, +483

etc.

r

189.

»ETËRMmANTBSP08rnvrNON.QUADKATI. 17g

ita ut progressio à', a", a" etc. continuo erescat, signumque termini am sit -f, –

–, +, prout m~Q, 1, 2, 3(mod.4).

3) Hoc modo invenitur, omnes quatuor progressiones infinitas a\a",a'" etc.

Y, y', y" etc.; a', a, 'a, "a etc.; y, 'y, "l etc. continuo crescere, adeoque etiam se-

quentes cum Mis identicas: fJ, tf, g" etc.; %è, ïï, g" etc.; g, '6, "d etc.; 'oV'tfetc;

et prout m = 0, t 2. 3 (mod. 4) signum

ipsius a' + + (_; ipsius 6m, ± – + +

ipsius yw. ± + + – ipsius è™, -f- + – +

ipsius et, + + – +; ipsius m6, -f -f. -j- –

ipsius 'Y + – + +; ipsius mè, + qp – -+

valentibus superioribus quando a est positivus, inferioribus quando a negativus.

Teneatur imprimis haec proprietas: Designante m indicem quemcunque positi-

vum, am et y'" habebunt eadem signa quando a positivus opposita quando a

negativus, similiterque g'" et ôw; contra ma et '"y, vcl '"g et mè habebunt ea-

dem signa quando a negativus, opposita quando a positivus.

4; In signis art. 27 magnitudo ipsorum am etc. concinne ita exhiberi

potest, ponendo

+ k'=k\ ±h"=k", q:r=retc. ±h=k, +'h='k, ±"^="ytetc.

ita ut omnes k\ k" etc. A1,'k etc. sint numeri positivi

a» = +[k", k" k"

F-']61" = +

[k",F. k"" .IT

Y'" ± [k', k", k"1 A»"']; èln = ± lk', k". k"1.k1"-

ma = ± k, "k "•-•*] më = ± [k, 'k. "k. m~*k)

my = ±ik,"k m~lk'; «S = + :> --1*;

signa vero ad praecepta modo tradita determiuari debent. Secundum has formu-

las, quorum démons tmtionent propter tacilitatem omittiimis. calculus scmper ex-

peditissime absolvi poterit.

176 DE FOHMtS SECl'KD! 6HADUS

19U,

Lemma. JJesù/itatttibtts m, p, tri, tt, v, ri numéros integros quuscunqtte,ita tu-

me tif trium posteriorum mtlltts sit = 0 dieu, si iuceat intcr limites et exclu-

sive, utijue .lit mri – mri = 4^1, dewominat&rem v fore maiorem quam u et ri. ?

Veut. Munifesto un ri iatebit inter vmri et vh/w', ndcoquc ub utroqui? }

limite minus difteret quant limes ulter ab altero. i. e. erit v/«n' – 'ttnri >

r

fin ri – 'imri et ;>»// – '/nm\ sive vy>riipn – vw) et >H'/t»' – •»*). Hinc

sequitur. qiuminm fi// – v»* certe non ^=0 Ualioquiu ejiiin foret

'*=" mcontra

hyp. îieque jtri – W= 0 6x simili ratione' sed uterque ad miniinum •=!.

fore *>«' et >«. Q. E. D.

l'erspicuum itaque est, v non posse esse ^= 1 ». e. si fuerit inri–iim'-– + 1

in ter i'ractiones milluiu îiuiueruiu iutegrinu iucereposse. Qiiare ctiiun cjfra

intcr ipsas iacere nequit. ». e. fractiones istae signa opposita habere nequeunt.]

101.

Thkorkma. Si forma reduetu a,b, – ri) determinanth D /;«• substitutionem

n, ?i, y, c transit in réduction A, B, – A') eiusdem determinantis iacebit, primo.

iuter - et 'siquidem neque y neque c – 0, i. e. si uterque limes est fini- c

tus «ccejito .mpio super iori quaudo neuter horum limitum habet siynum sù/no ij/sius )

n oppvsitnm sire ctaritis, quundo aut uterque idem habet, aut alter idem, ulter r

est -^=o iuferiori quundo neuter liulwt idem ut u; secundo inter ] et'f

nùjuidem neque m neque tf -= 0 siyno superiori accepta quundo limes neuter signum u

xiyno ipsius ri cel « oppositum habet, inferiori quando neuter habet idem ut ri

Deui. Ilnbentur aeqiuitiones

uan-j- 2bay – «'yy = .'l I

«««+ 2 tO'c– u'cc -1' 2

Inde dcdtu'itui'

«_±_»£±£z'

l~

»•

ya

t/t t

e ll

*) Manifotum est, alios casus locum liubvi-e non possc, quum ex art. jiracc. proiitcr ïî– S y – i '•

limites bini ncquv signa <)|)|msitu lmlivre, neque «imul = « «"«c puisint.

«K'mtMiNÀMïKS PO8ÏTIVI NON-QÛÂOJtATÎ. 177

2:*

Y ~If.h

l =–– .n. .1)' J

~_±~+"~+<'

b

-g.

_––

– c

Aequatio 3. }. 5. 6 reiiciendn erit, si y, S, a, d resp. = 0. sed dubium hic

matiet. quae signa quantitatibus radiealibus tribui debeant; hoc sequenti modo

deeidemuss.

Statim patet in '.£ et A] necessario signa superiora accipi debere, quaudo

neque neque j signum habcat signo ipsius a oppositum; quoiiiam accepto

signo inferioriy et

fiorent quantitates ncgativae. Quia vero A et A' signa1 lrabent, ~,r'D 1. inter ~D-f-`- et ~D-`ÿ$~j adeoque in ltocee c:asuGndemliabciit, v^ ^adet inter

\l'D-)et

)/{D – '-£) adeoque in hocce caxu

,.ly~irtter

¡; t;lttare lxars prirraû tlteorematis pro rctsu lmiori e~t demoans~ inter -* et Quare pars prima theorematis pro casu priori est demon-

strata.

Kodem modo perxpicitur in ':>] et tr0] necessario signa iuferiora accipi de-

bere, quando neque 1 neque j sigitum idem babcant ut a' sive a, quia accepto

superiori n~necessario fièrent quantitates positivae. t'nde protinus sequitur.

~v j±_ r,ro hocce casu iacereinter 1 et -ç-. Demonstrata est itaque etiam pars

secunda theorejiiatis pro casu posteriori. Quodsi acque facile ostendi posset, in

et [J] sipia inferiora accipi debere, quando neutra quantitatum| sjgnum

idem ha beat ut a, et in [5" et L0j superiora, quando neque T- nequé - sig-uum oppositum liabeat: hinc simili modo sequeretur, pro illo casu ~b iacere

ïrrterr

et-ÿ pro hoc t~~`+L

ïrtter1 crt

aivc lrara lorinxa theorematis atiamiuteret

j. pro hocv-

inter i et£,

sive pars prima theorematis etiam

pro casu posteriori, et secunda pro casu priori demonstratae forent. Sed quumillud difficile quidem non sit, attamcu sine quibusdam ambaj<ibus fieri nequeat.iiK'tliocluni sequentem prapicrimus.

Quando uullus numerorum«, 6, y, è –0,

- eteadem signa habebunt

ut (iuando itaque neutra liarum quantitatum signum idem habet ut a

sive «, adeoque ~+4 inter ][-ut

cadit: neutra quantitatum y signumidem ut a habebit, cadetquo

-y;+é = îpropter aa'=JO – bh) inter

- et -j-. (iuare pro eo casu ubi neque « aequo tf =0, pars prima theor. etiam

pro casu secundo est demonstrata nam conditio ut neque y neque c =0. iam in

theor. ipso est adiecta,. Simili modo, quando uullus uumerorum «, Jî, y, c 0,

178 -VÉ -FfHtMB' SEGCNDI OKADB8.

et neque neque -j- signum signo ipsius a vél a oppositum habet, adeoqne

v 7 6 inter et iacet etiam -' et signum oppositum signe ipsius a non

habebit, cadet que -J–j,=z

*~V~ interet

ë• In eo igitur casu ubi "«-'que y

neque o =o pars sccuuda theor. ctiam pro casu secundo est demonstrata.

Nihil itaque superesset quam ut demonstretur, partem primam theor. etiam

pro casu secundo locum habere si altertiter numeromm a, "6 sit =0, et partem

secundam pro casu primo si aut y aut 8 – 0. At omnes Ai casus sunt impossibiles.

Supponamus enim, pro parte prima theor., esse neque y neque è – i); non

habere signum idem ut a atque esse 1) a = 0. Tuiu ex aequ. aè – dy = +1

lit ti – + 1, y – + 1 Hinc ex 1 A – – «', quare A et «', adeoque etiatn

« et A' signa opposita habent, unde fit \/(D – "à- >Z>>i. Hinc patet in 4

necessario signum inferius accipi debere, quia accepto snperiori jmanifesto sig-

num ide«i obtineret ut «. Fit itaque -r^>– *–-– > 1 i'propter u<C\jD-bex

def. foratae reductae), Q.E.A, quum d = + l, et non =0. – 2) Sit 6=o.

Tumexaequ. «8 – -^7 = +fit a = + 1, = +1. Hincex [2] –A'= – a'.

quare à et a et A signa eadem habebunt, unde fit \I{D -{-'–-) ~^>^D^>b. Hinc

patet in 3 signum inferius accipi debere, quia accepto superiori – signum idem

obtineret ut a. Fit itaque -]> – – > 1 Q. E. A. eadem ratioue ut an te.

Pro parte secundo, si supponimus neque a neque ô* =0; |non habere sig-

num signo ipsius a' oppositum atque 1; y = 0: ex aequ. aè – dy = + .I lit

<x – + 1. c = +l. Hincex V A = a, quare a et A' signa eadem habebunt.

unde fitD-f- "-$- > \'D >> Quocirca in ^6" signum superins erit necipien-

cturrr, quia accepto inferiori. 'r obtineret signum oppositum signo ipsius «'. Fit

igitur i>>j, Q.E.Â., quia è – ±i et (î non ^=0. Tandem 2 si

esset è – 0, ex«0 – éy-=+l lit 6 = +l, y = + l. adeoque ex ;2] – .i'=«.

Hinc \j(D – a-)^>\D^>l>, quare in 5 siguum .superius uccipieudum. Hinc

l;^>~? ^>1 • Q-E. A. Quare theorema in omni sua extensionc est denion-

stratum.

Quum (Mèrentia inter et ! sit – K: dilferentia inter *±– et - velf 8 Tf a

erit <-x; inter =±--–~ autem et là vel inter illam quantitatem et nulln

fractio iacere poterit, cuius denoiuinator non sit maior quam autc lemma

jjruec. Kodeiu modo differentia quantitatis^.V– J".

h fractionevel hac

RKl'haJMlNANl'KS1*OSITIV1*VOS-QL'ADIfATI. Î79

23*x

erit minor quam et inter illam quantitatem et mmtrem hnrnm fraetionum

iacere potest fructio cuïus denominator non sit mnior quam a et 6*.

lî>2.

Ex applicatione theor. praec. ad algorithmum art. 168 sequitur. quantitatemv

quam per L designabimus, iacereinter

et|; inter et

inter a." etf^

etc. facile enim ex art, 189,3 fin. deducitur. nullmu liornm linûtum hnbere sig-uum oppositum xigno ipsius «; quare quantitati radicali \jD signuin positivum

tribui ï"Ct^sive

interet

interet

? otc:-°"ine» itaque tVactio"ei»

-m -;«. -,7.,v etc. ipsi L ab eadem parte incebnnt, omnesque "L *" etc. a partealtéra. Quoniam vero

7'<y' -J iacebit extra et />, siniilique ratione

extra L etT.,r,

extra L etetc.

X.'nde manifestum est, lias quantitatesiacere sequenti online:

£.' fi!^H! ?T a"

7' ï1"" t" ï f^1 7'

I)ifferentia autem inter et L erit minor quam differentia inter et "I i. c

<ï,~>i, similique ratione differentia inter et L erit <rk etc. Quamobrem

iractiones *“ etc. coutinuopropius ad limitera L occedunt, et quoniam

l"' T t-'ontimio in infinitnrn erescunt, differentia fractionuni a limite quavis

quantitate data minor fieri potest.

Ex art. 189 nulla quantitatum •£, etc. signum idem habebit ut a; hinc

per ratiocinia praecedentibus omnino similia sequitur, illas et liane ~V'±*

quam per L' designabimus, iacere sequenti ordine:

ï "f ""if 'Y '"Y '?

Difterentia auteminter

et IJ minor erit quam differentia inter.[ et

minor quam etc. Quarefractiones -][ r}

etc. continuo propius ad L' nece-

dent. çt differentia quavis quantitate data minor fieri poterit.

In ex. art. ISS fit£ = = 0,296064S

et fractiones appropinquantes

h h î fo «*r. A WV. Hi-, etc. Est autem Hî = 0,2900062 Ibidem fit

7/ = – – 0,1776:î8S, fractionesque approximantes f. – |, – 4,–

–i'j.

–«V

–tt-. – JIH- etc. Est vero m = 0,1776397.

180 »E FOBMIS SECI'ÏJDI «BADIÎS.

i9â.

Theobema.Sifamae reductae f,

Pproprie «équivalentes

mut: altéra in at-

ténua periodocontenta erit,

Sit /= [a,b, – a),F = A,B, –A'), deterininans harum formarum D,

trnnseatque illa iu hancper

substitutionem propriam 3(. $3. S, 5). Tuni dico, si

periodus formaef quaerntur progressioque utrimque infinito fornmrum reducta-

rum atque transformationum formae in ipsas ematur, eodem modo ut art. îss:

eel -j- 21 fore uequalem termiuo alicui progressionis "a, 'a, a, «', a" liocque

posito= a" +33 fore = V", +6

=y"\ +3)

= & vel –21 fore aeqmilein

tenninu alicui a', et –55, – S, – 3) resp. ={îm, y"1,è'" (ubi ?» ctiani indiccm

ncgativum designare potcst).lu utroque casu F manifeste idcntica crit ciun

Dem. I. Habentur quatuor aequationes

atH« + 26«Œ – «SS = -1,i V

«a« H- *(ît3> h- «s> – «'(£$> = jî a1

«SSB+2 6ieî)--rt3D'I)= –il1 ni

a© – 86 = 1 ."4;

(.onsideramusautem primo casum. ubi aliquis numeronun 31 53. (S. X = o.

1 Si 3l = o, fitexL4i 33(S = – 1, adeoque $ = + 1. 6 = qpi. Hinc

ex [ f – a =A; ex _2] – 6 + a' 3) = B sive B = – h 'mod. a vel ^1) unde

sequitur formam [A, B, –A) formae [u,b, – a) ab ultinm parte contiguam esse.

(Juoniam vero illa est reducta, necessario cumidentica

erit. Krgo li = b',

adeoque ex '2" 6+4'=– «62) = +«'2); hinc propter ^r = fit 3)=:+/

Inde colligitur, + 3Ï, + $8, + S, + 35esse resp. =0, – I, + 1, sive

a', b", y',c'.

2° Si 33 – 0, fit ex[4; SI = + 1 2) – + I ex 3 a – A'; ex ;2

/> + «'6 = J5,sive

i=2ï(mod.a' Quoniain vero tum tum F sunt fonnae re-

ductae: tum b tum B iacebunt inter \JD et\/JD + «' (prout «' pos. vel ueg..

art. l!>5, a). Quart* erit necessario b – lî, et 0. Hinc formae .F sunt

identicaeatque +îl, +53, +S, +3> = 1, 0, 0, 1. – a, tî, y.

û(resp.).

3° Si 6 = 0, fit exL4] 31 == + 1 2) – + 1 ex 1 « = .1; ex L2_

+ aS3 + 6=JS sive b = B(mod.a). Quia vero tum b tum B iacent inter \jV

OETERMINAÎITKS l?ÔSttIVÏKON-Qt'ÀDKÀïI. 18 ï

et yD+a: erit neeessario jK=& et S8==(ï. Quitté casus hic à proembutu non

diffcrt.

i° Si SD = o, fit ex [4; Sd = + i g =q: i ex rs. « = –A'\ ex ,2

+ «21 – h – B sive /is – Mmod.w). Hiiic forma JF formae u parte prima

contigua erit, et proin eum forum 'f identica. Quare propter ^f- –l

et li =.

crit + 21 – A. Unde colligitur +31, +33, + §, + !D resp. esse -=/«, t. – l. o.

'ù1

-='y.

Superest itnquc casus ubi nullus numeroruin 21, SB, (S, = u. Hic per

l(If 9k CC T^

'1 1 b bLemma art. 190quantitates g,

idem sijçuum lmbebunt. oriunturque,emulI1. m't. 190 quantltatcs '1£' '>¿\oi

l( em slg'nuIll 111e IIIlt, orlllutnrque

inde duo casus, quum sigllum hoc vel cmn signo ipsorum a, «' convenirc vel ipsi

op))o.situni esse possit.

Il5i '1 h b t ce quantitas

])-6(qualrl dexi3,~lla-II. Si

-g, -j idem signum habent ut «: quantitas v- (quam desi^na-

bimus per L; inter bas fractiones sita erit fart. 191).), Demoustrabimus iam.(£

aequalem fore nlicui fractionma *-““, etc., 1 atquc ® proxime senuenti,«nI t\ '1 i '( ~,nr+.

B

scilicetsi -g fuent

–

-s,

fore =

-A-+-t.In art. praec. ostendimus, quan-

titates *“(eto. (quas brevitatis gratia per [i), (2). (3) etc. dcnotnbimus; at-

que L, hune ordhiem (I) observarc: (1), '3), [bl.L.lii [A), (2); prima harum

(Itiantitatum est =0 (propter a' = 0), reliquae onnies idem sigiium haboit ut L

sivc u. (.luolliarn vero per byp. (pro quibus scribcmus l1n 9~) idcm sigiiiiiiisive «. Quoniara vero per liyp. (pro quibus scribemus SDï,91) idem si^uinn

habent: patet bas quantitates ipsi ')) a clextra iaecre (aut si ma vis ab cadem parte

a qua L), etquidem, quum L iaceat inter ipsas alteram ipsi L adextra. al-

teram a laeva. Tacile vero ostcndi potest, M ipsi ;2; n dextra iarert* non posse.

alioquin cnim 9t iaceret inter (1) et L, undesëqueretur primo {2) iacere inter 9W

et 9Î adeoque denominatorem fractionis (2) maiorcm esse denominatore fractionis

SJ{ 'art. 190). secundo 9î iaccre inter (1) et (2), adeoque denora. fractionis J{ esse

maioreiu qualu denom. fractionis [2] Q. E. A.

Supponanms M nulli fractionum (2), (3), (4; etc. aequalem esse, ut, quid

inde sequatur, videamus. Tum manifestum est. si fractio 50Î ipsi L a laeva

iaceat, necessario eam sitam esse aut inter '1) et .3), aut inter ;3 et (5;, aut inter [&

et (7) etc. (quoniam L est irrationalis, adeoque ipsi â){ certo inaeqnalis, fraetioiies-

que (t), (3;, (5) etc. quavis quantitate data, ipsi L inaequuli. propius ad L uece^-

dero possunt). Si vero M ipsi L a dextra iaeet uecessuriu iacebit aut inter 2i

et (4;. aut inter (4) et (G'j aut inter 6 et >) etc. Ponanius itaque Wl iacere inter

182 DK FOIWIS SECL'NUlOBADt'S.

;«*) et »t -f- 2) patetque quantitates Wl, .[m), lm + 1), \m-$-2), L iacere seqttettti

ordine.

,11)*): », (SW), («4-2). i. (*+*)

Tum erit necessario 91 – fo + 1). Iaccbit enim 9? ipsi L adextrn; si veroetiam

ipsi '»»+i! a dextra iaceret, !'»i+l) iaceret inter 9JÏ et ?t, unde y'1 > (5.

dW vero inter M et '7*4-1) unde 6> y"'+l (art. 190), Q. JET. A; si veto M ipsi

;j»-f-l' a laevn inceret sive inter <m 4* 2) et (?«-+-}). foret 35>y"l+ï, et qui»

:/» + 2N, inter SW et 9t. foret y'"+i!>2), Q. E. A. Erit itaque W=

(»i+l\18 «",+1 ~III

sive= ==

jB-,

Quia 815D – SBS = 1. 3J erit printus ad 3) et ex simili ratione 6'" primus

ad d' l'nde facile perspicitur aequationem =consistere non posse. nisi

fuerit mit 58 = 6'" %) – èm, aut SB = – 6'" 3) = – êm Iam quum formaf

per .substitutiouem propriam o"1, & y' èm in formam transmutetur quae

est !+«' i' +a'"+l):habebuntur aequationes

aa'"a'" + 2bamym – a'fnym = ±am [6]

«a'"bJ"( + ^a"'a"'+6'"7'") – af#"= bm [e]

ali"(6"' + 2i()/"c"' – «'ê'=

+am+l [7]T

a»'g'«_g'»Y'» – 1 [g]

Hinc fit: ex aequ. 7 et 3), I|I«"l+l= – A'. Porro multiplicando aequationem

2 per a'"o'" – &(' aequationem 6' per 2135 – SB S et subtrahendo facile per

evolutionem confirmatui* esse

E-b'" = (5a"t-2lY"')C«336"1 4-6(356'" 4-Sî8'"i–a'S)g"')

+ « &" – 35 U'") (a 8( a'" 4- i (S a'" 4- Sï y"1) – a (S, f) S)'

sive quoniam vel tf" = $t £" = 2) vel îî"' = – «8, B'" = 3),

J5 – 6»' =-j- 5«m – 1 y"1) i« 33 9? 4- 2 6 53 35 – «'3535) – qp (Sam-9Iym)^'

Hinc 7^ := mod. A'] quia vero tum li tum i"1, inter

\/D

et ^-0 + iacent.

necessario erit 7i = b'" adeoque Sa'" – 91 y'" = 0. sive|=="I,

i. e. 3K = f«;

Hoc modo itaque ex suppo.sitione, Wl nulli quantitatum (2), (3). (4) etc.

aequiilem esse, deduximus. caiu rêvera alicui aequalein esse. Quodsi vero ab

Xihil hic rvt'crt, «ivoordo in (II) idem sil ut in (I), sive huic oppositus, i. e, sive (m) etinm in (I)

ipsi n laevaiaceatsive a dextra.

DETERMnrANTE* POSIT1V1 NON-<|l'ADRAÏÏ. 183

initio Bupponiimts. e»se2R = (m), manifeste erit vel St = am, g = f< vel

– 31 – «" – S =y' In utroque casu fit ex 1 et 5] A + «'" et ex ;9

/j v» = + ^<« $«».; Aj sive B r(mod Hinc simili modo ut supra

conduditur li = b"\ et hinc «^ = Db" qunrequum « nd î> priraus sit et6"" ad c'^eritaut = tf\ 3) = aut ~5B = JÎ' -®^cx' et proiu ex 17

– X. = 4. «"•+'. Quamobrom formae F, f"1 ideaticoe crimt. Adiumento ae-

qimtionis 21 3>– ©g = «'»ê'«_g»'y'» autemuullo negotio probatur, poui debere

+ » = 6' -j- $ = g", quarido + ?(= «' + S =

y' contra – 59 = 6'

– î) = – # quando 31 = a' 6 = y™ Q. ij. /).

111. Si signumquantiiatum -|

etc. signoipsius a opposituni: demuustratio

praecedenti tam similis est. ut praecipua tantum momenta addigitavisse suffleiat.

Iacebit^±* inter | et |. Fractio J

alicui fractioinim

'4 "'h

sg, r.^etc. aequahs erit ;'jI

qua posita =g*, J

erit= i\, `:

Demonstntnr autem (1) ita:jSi^ J-

nulli illarum fraetiormm aequalis esse supponi-tur inter duas taies et iacere debebit. Mini- vero eodem modo utsupra deducituv, necessario esse

6 IIIr,~

qi ~+~r "9

atquevel 3l = '»a, 6 = «"7, vel -$H = '»a, -C=*r. Quouiam vero f per

•sulistitutionem propriam '"a, '"d, my. mè informai»

= (+ '«a, "'6, q: "«';

transit: liiuc eraetgunt très aequationes, ex quibus cojiiunctis cum atHjU. 1. 2. 3. 4

atque hac."'a'"c – "'ti"'y = 1 deducitur eodem modo ut supra, tenninum primimi

.1 fonune F termiuo primo formaey nequalenics.se. illiusque terminuni mé-

dium mcdio huius congruum secundum modulum .1, unde sequitur, quia utraqueforma est reducta, adeoque utriusque tenninus médius inter

\/D et\1) + A

situa, hos tenninos medios aequnles esse: hinc vero deduciturlj = |

Veritas

itaque asscrtionis (I) deiïvata hic est ex suppositione illam esse faisant.

Suppouendo auti'inm-e

=prorsus simili modo et per easdem aeqiiatio-

184 DBPÙBM1S SECtTOM OBADt'*

nés deitionstratttr, esse etiam™* = ^r, qiiod erat secitmlnm (II}. ïïine vero

adhunento aequationum 2135 – $S=1, "'amè – '"(î'"y = i deducitur esse vel

21 = ma « "g. (S .= '"y © = '"3

vel

$ – '"«. – $ – ""6, – S = '"y. 35 -= '"<$

formasqtte F, identicns. Q. E. D.

194.

Qutini formae quns supra sodas voeavinins art. 1 87, V .seniper sint impro-

prie aequivalcntos (art. 1 59' perspicuum est, si formae recîuctae F, f improprk1

aequivaleiitessiut formnc(]uc J'1 sociu forma G, foi'inas f,

Gproprie aequiva-

leutes fore adcoque forniam G in periodo formai' f contentam. Quodsi itaquc

forniac F, ftum proprie tum itnpropriv aequivaleiites sunt, patet. tum F tuiu

G in periodoformae

f reperiri debere. (juarc: periodus haec sibi ipsi soeia erit.

duasque formas uneipites continebit(art. 1 87, 7).'1. Vnde theorema art. 1 05

egrcgie

confirmatur. ex quo iam poteramus esse eerti. forniam aliquam ancipitem dari for-

niis F, f aequivalentem.

19 ».

Phobmcma. Projmitix âuubun furmix (juibuscttiique <1>, 'f eiusdem détermina?»'

fis: dh'mlicarc utrum aequitalmtex siiit, ait/wn.

Sol. Quucrantur dune formac reductae /• propositis <l>, 'f resp. proprie

aequivalentes (art. I s:i). Quae prout aut proprie tantum aequivalent. aut impro-

pric tuutiun, aut utroque modo, aut neutre; etiam propositaeaut

proprietantmii

nequivnlentes erunt. aut impropric tantuin, aut utroque aut neutvo modo. Kvol-

\titur periodus alterutrius formae reductae e.g. periodus fbrinaef.

Si forma 71'

in hac periodo occurrit ncque vero simul forma ipsi F socia, innnifcsto casus

primux lociim habebit: contra si .socia haec adest neque vero F ipsa. ttecundus;

si utraqite. tertlm; si neutra, quartus.

liv. J'ropositae si»t formae J 29, 92, 05), (42, 59, SI) detenniiiantis 1\

i li. proprie aequivalentes inveniuntur reductae (10, 7, 3), (5, b, – 3). l'erio-

dus formaeprions

haec est: (10, 7, –'A'), ( – 3, 8, 5), (5, 7, – 6). (–6, 5, ï)].

(>.), -I. – 7). '-7. 3, 10). lu qua quum forma (5, S. – 3: ipsa non reperiatur,

DOTERSHKANTES POSITIVI NOK-QUADRATÏ. 185

24

sed totnen socia (– 3, 8, 5}: formas propositas improprie tafttum aequivalere cou-

cludimus.

Si omnes fonnae reductac déterminants clati eodem modo ut supra ;'art.

187,5) in periodos P, Q, fi etc. distribuuntur, atque c quavis periodo jbrnui ali-

qua ad libitum eligitur, ex P, F; ex Q, G; ex R, II etc.: inter lias formas

/• G, H etc. duae quae proprie aequivuleant es.se non poterunt. Quaevis imtomillia forma oiusdern deterininnutis alicui ex istis proprie acquivnlens erit et quidemunicue tantum. Hinc manifestum est, omnes formas kuim déterminante in totidemclasses

distribui passe, quot hèeantur jjeriudi, «dlicet referondo eas quae formaeF proprie acquivalent in primam classeln, cas quae formae G propric aequi\aleutiu secundam etc. Hoc modo omnes formae in eadem classe contentao proprieaequivalentes erunt, formae vero e classibus diversis non poterunt proprie aequi-valere. Sed hic huic ai^umeuto infra fusius explicando non immoramur.

19C.

Problema. Proposais duabtisformis proprie aequivalentibus <t>,<p: bwenire

transformationem propriam alterim in atteram.

Sol. Per methodum art. 1 83 inveniri poterunt duae series formarum

• *•• eti(,<p',f.f

tales ut quaevis forma sequens praecedenti proprie aequivaleat. ultimaeque <!)",-fsint formac reductae; et qimm «D, <p proprie aequivalentes esse supponuntur,necessario in periodo formae contenta erit. Sit

f =,f ipsiusque periodususque ad formam $" haec

.f .f .f · f"r <

ita ut in hac periodo index formae <t>" sit m; designenturque formae quae oppo-sitae sunt sociis forinarum

<I>, 4> (|><D" per qr, «Js. r. V" resp. *).

Tum in progressione

') Haut V oriaturex oommutandoterminum primum et ultimum tribuendoque medioaignuin oiwo-situm, similiterquo de roliquis.

186 M KôiiMi» secusdi oiunrs.

r °. s f` f"av.,fl!``r r

quaevis forum praecedenti ab ultima parte contigua erit, unde per art. 177 inveuiri

poterit transformntio propria priinne <p in ultimam <P. Illud autem de formis

reliquis progres-sionis nullo negotio perspicitur; de his W"~l sic proba-

tur Sit

/«-»=

(y, A, t);sivc <D" =

{9\ K, %') » = (/, A", i";

Forma (y, i'; tum formae [g, h, i) tum formac y, A", i") ab ultima parte con-

tinua erit; hinc i = ij– i", et –/« = *'=– A"(mod. i vel vel »"). Unde

manifestum est, formam [i",–/t"), i.e. formam W"~i formae {g, ht), i.e.

formae 1" ab ultima parte contiguam esse.

Si formae $, f improprie acquivalentes sunt forma 'f proprie aequivalebit

formae cui opposita est <I>. Inveniri poterit itaque transformatio propria formae

in formam cui $ est opposita; quae si sapponitur fieri per substitutionem

a, 6, 7, è, facile perspicitur, 'f improprie transformari in ipsam 0 per substitu-

tioucm a, – 6, y,– 0.

Hinc etiam perspicuum est, si formae 0, 'f tum proprie tum improprie

aequivalentes sint, inveuiri posse duas transformationes, propriam et irapropriam.

Ex. Quaeritur transformatio impropria formae (129, 92, 65) in formam

12, 59, 81), quam illi improprie aequivalere in art. praec. invenimus. Investi-

ganda erit itaque primo transformatio propria formae (129, 92, 65) in formam

(42, – 59, 81). Ad hune finem evolvitur progressio formarum liaec: (129,92, 65),

(65, -27, 10;, (10,7, -3), (–3, 8. 5), (5, 22, 81), (81, 59, 42), (42, -59, 81).

Ilinc deducitur transformatio propria –47, 56, 73, -87, per quam (129, 92, 05)

transit in (42, –59, 81); quare per impropriarn –47, –56, 73, 87 transibit in

4 2, 59, 81).

197.

Si transfonnatio una formae alicuius (a, b,c) .y in aeqiûvalentem <t> ha-

betur ex hac omnes transformationes similes formae 'f in 4> deduci poterunt, si

modo omnes solutiones aequationis indetermiuatae tt Duu = mm assignari,

RCTKRMINAÏlTtJ» ÏPO8IT1VI Nbît*(JUADlWTl. 187

2 1'

possunt. désignante D determinantem formtuuui <l>,<p; m divisorem eommuncm

maximum numerorum a, 2b, c (art. 1C2). Hoc igitur problema, quod pro valore

negativo ipsius D iam supra solvimus, nunc pro positivo aggrediemur. Quiti

vero manifesto quivis valor ipsius t aequationi satisfaciens etiammun mututo signo

satisfacit, similiterque quivis valor ipsius «: suffieiet si onmes valores positivos

ipsorum t, u assignare possimus, fungeturque quaelibet solutio per valores posi-

tivos, quatuor solutionum vice. Hoc negotium ita absolvemus, ut primo vwlorex

minimos ipsorum t, u (praeter hos per se obvios t=m, « = 0) invenire. tum

ex his omnes reliquos derivare doceamus.

19S.

Problesia. Invenire numéros minimos t, u aequationi indéterminable

tt – Duu – mm satisfacientes, siquidem forma aliqua [M,N,P) datur, cuim rfe-

terminans est D, numerorumqne M, 2N, P dicisor communia mamiws m.

Sol. Accipiatur ad lubitum forma reducta [a, b, –«'}. determinantis

I), ubi divisor communis maximus numerorum a, 2b, d sit m, qualem dari vel

inde manifestum est, quod forma reducta formae {M, N, P) aequivalens invuniri

potest, quae per art. 161 hac proprietate erit praedita: sed ad propositum prae-

sens quaevis forma reducta in qua conditio hacc locum habet poterit adliiberi.

Kvolvatur periodus formae f, quain ex n formis constare supponemus. lletcntis

omnibus signis quibus in art. 18S usi sumus, erit (+«", bn, – «"+'), quia «

par et in hanc formam transibit per substitutionem propriam a", d", y", c"

Quia vero f et sunt identicae: f transibit in f" ctiam per substitutionem

proin-iam 1, 0, 0, l. Ex his duatbus transformationibus similibus formae in

per art. 162 deduci poterit solutio aequationis tt–Duu – mm in integris, scili-

«et t =±{an -f-8")»* (aequ. 1 art. 162), u – £-

(aequ. 1 i)) Designentur hi

valores positive accepti si forte nondum sunt per T, U, eruntque hi 2', U valores

mmimi ipsorum t, u, praeter hos t=m, « = 0 (a quibus necessario erunt diversi.

quia manifesto 7" non poterit esse = 0).

Hupponamus enim dari adhuc minores valores ipsorum t, u puta t, u qui

sint positivi et u non =0. Tum per art. 102 forma per substitutioncm pro-

priantl,

6. 1., "atr, '#- ~t + 6 it; fi 1, in fUr111t1,111 cum 11)Sttpriam -a{t – b\\], 5, «'«, 1(( au, «-(t + iit; transformabitur in fornuxin cum ipsa

') Qubbin art. 102emnt «, t, y, K; a', 6', h'; A, S, (', a, b, < c,

lue sunt 1,0, «, i; «",?", y", a,b.–a'i a, 6, – «'; i.

188 PB PORSftS SÉCIJSPÏ ORAÏMÏ&

identioRm. lam ex art. 19», II sequitur, uut £ (t – bit) aut – -&(l – fin) alfcui

numerorutti et", a' a"" etc. aequalem esse debere. puta – a" quia enim

tt^JfiittH-wo» - b b\aa' -mm, crit tt>66uu, adeoque t – bxi posi-

tivus; hinc fractioquae respondet. fraction! -j-

iu art. 19:), idem signum s

habebit ut « vel «'); atque in casu priori ,i«'lt, -,««»• ï« (t-M>n)> in posteriori jj

easdctn quitntitates mutatis sigiiis, resp. =d1*, y!\ è*. Sod quum sit u< U i. e.b

« <C -- et > 0: crit y1* < y" et > 0; quocirca qunm progressio y. y', y" etc.

continue crescat neeessario /u iacebit in ter 0 et » exel. Forma vero respon-

dens, f'1-, identica erit cum forinnf Q. JE. A., quum omnes format' etc.

usque ittldiversae

essesupponantur. Ex his colligitur, iniiùmos valores

ipsorum t, u 'exceptis valoribus m, 0) esse T, U.

Ex. Si D – 79, »î= 1 adhiberi poterit forma (3, H, –5), pro qua n 6,

atquc a" = – S, y"= – 27, o" = – 152 (art. ISS ;. Hinc T~H0, U–9, qui [

r

siuit valores niinimi numerorum t, u, aequationi tt – 7 9 m »« = 1 satisfacientes.

199.

Ad praxin formulae adlmc comtnodiorcs erui possunt. Erit nimirum

2b y"=

– «(a" – c"). quod facile ex art. 102 deducitur, multiplicande aequ. [19jt

per 1b, [20] pcr a et mutando characteres illio adliibitos in praesentes. Llinc lit

a" + «" = 2 6»– y" adeoque

r

-j- T = nt ~rt yn~ ZJ' J 1"" ra

Per similem methodum hos valores obtinemus1

± T = m ;tx" + Û") ± U

Tum hae tum illae formulae perquam commodae evadunt, propter y" = B"

a" = ita ut si his uteris, .solam progressionem ïî'. 6", ï>lî"; si illis uti

inavis, solam hanc 6', è"\ 8" etc. snpputavis.se sufficiat. Praeterea ex art. 1 S», 3

facile deducitur, quum u neeessario sitpar. a" et

-rO*"eadeni signa habere;

neque minus c" et –ita ut in formula priori pro l' differentia absoluta, in

posteriori surama absoluta accipi debeat, ueque adeo ad signa respicere oinniuo

opus sit. Receptis signis in art. I S9, 4 adhibitis erit ex formula priori

T == m [K, k", F A"] ™6[If, k", k"' '] U = f [k', k", k"' Ifl.

DETBRM1NÀIJTBS POSITIVI KCHr.QlTADRATr. 180

ex posteriori

7' =A-J, ~== r.L' -t- y Ii: · f1

a, 1 ./I

ubi pro valore ipsius r etiam a< [/ A' 1.1'1 scribi poterit.ubipro valare ipsïus T etiam na L~, u,j

scribi poterit.

Ex. Pro D = 6t, m -= 2 adhiberi potest forma (2, 7, (j), pro qunenutar n 0; A,l A", J fI' fi Ir" mrr 4- r~p. 2, 2, 7, 2. 2.~ 7. Hinc rit

'1'=2~.2.7, 2,~7~–7~. 2,7,2,2] 2888–1365== 15233

ex tormula prima; idem provellit ex secunda

r==2~,7,2.2j+~2.7.2,2.7]

U vero fit == ~2, 2, 7, 2, 2J =~-[2, 7, 2, 2, 7]

= 195.

C'cterum plura artificia adhuc dantur, per quae calculus contrahi potest. sed

de his fusius hic loqui brevitas non permittit.

200.

Lt ex valoribus minimis ipsorum t, u c»nnes obtincamus, aequationemT T -D !7 == ? ? ita exhibemus

;~z -y~i,~D; (Y~ `~D~1

unde etiam erit

.'f'. m v.n')r ~~T rU v.Î~)e [ij

dénotante e mimerumquemcunque. lam designabimus brevitatis caussa valores

quanti tatum

'?~D'4-D"~-[-7)'- ~7t<2 "III ~ï'·>ï~ ,,7 1I D~

.“. -+ rv D~ – rn ~Dpe.

generaliterper tr, r!"resp. e. ïllttittln ~~alores pro <=0, per t°, ro° ~qui erulit

1/ 0; pro <;==)1 per t', le

(qui fiunt j; ~); pro c==2 per t", !l'; pro ~==3 per

t" u"' etc.demonstrabimusque, si pro e accipiantur omnes numeri integri non

upgativi é. c. 0, Otruiesquepositiviab 1 usque atd oo. expre~iouesiUascxhibcre

otnlres vrtlores positivos il)sorunr t, M: scilicet J ) omnes valores iIlnrum exprc.ssio-

') ln hissolis quatuorexprcssi«)ubus tt in IICqU,[t] te dénotât e~Xf~-m putestoth, in reliquis IiV·rue

°pici uUxcriptuesemper imlircnr d<i;r)MMt.

190 DE FOROTSSœUNDIOHADUB.

num esse revertt valores ipsorum t, n; H) onanes valores Ulos esse numéro» inté-

gras; III) nullos valores positivos ipsorum t, u dari qui sub formulis illis non

continoantur.

1. SubstitiUis pro t\ «* valoribus suis nullo negotio adiumento aequ. [1]

eoufirmatur, esse

(t* -j- u" \jD) t* – w*v'D) = mm i. e. f t* Du' ue = m m

II. Eodem modo facile confirmatur, esse generaliter

tc+a+te~l2T tgte, M'+'+M"

==~T taP

Hinc manifestum est. duas progressiones ^°, t', f, t"' etc., «°, «', u", u'" etc. esse22'

récurrentes et utriusque scalara relationis –, – 1, scilicet

r = lï-t-t°, r=fr-f'etc, W" = ^«'ete.

lam quoniam per liyp. forma aliqua datur, [M, N, P), determinantis D,

in qua M, 2N, P per m sunt divisibiles habebitur

TT = {NN–MP)UU+ mm

eritque adeo manifesto 4TT per »*»» divisibilis. Hinc–

erit numerus integer

et quidcin positivus. Quiavcro t° = m, t'–T, u° – 0, «'=17, ndeoque iutegri:

omnes t", t"' etc. «",«'" etc. etiani integri erunt. l'orro perspicuum est, quia

2T> mm, onmes f°, f', t", t"' etc. positivos et continuo in infinitum cresceiitcs

esse. nec non omnes u°, u', u", u'" etc.

III. Supponamus, dari adhuc alios valores positivos ipsorum t, qui in

progressione t, t', t" etc. «°, u', u" etc. non contenti sint, puta $, U. Mauife-

stmn est. qtium progressio «°, n' etc. a 0 in infinitum crescat, U necessario inter

duos terminos proximos, m" et m"+1 situmforc, ita ut sit U>«<" et U<«"+l.

l't absurditatem huius suppositionis demonstremus observamus

I" Aequationi tt – Duu = mm satisfactum iri ctiam ponendo

t –(3: t – DU «" «

= -1- fit t* – X «")j

BETERMINASTE8 POglïrVI NON«qt?ADRÀÏI. 191 r

Hoc quidem millo negotio per substitutionem conftrmatur: quod vero hi vaioies

quos ponemu8 brevitatis gratia =t,o, semper sunt numeri integri, ita ostendimus.

Si [M, N, P) est forma determinantis D, atque m divisor communis numerorum

M. ïN, P: erit tum St-fiVU tum tn + Nu" per m divisibilis adeoque etiam

\\(t»-Nun)-un[X+N\\) sive Htn~Zun. Quare u erit integer et proin etiam

quia -t = D»v-+~mm.

2° Patet u non posse esse =0; liinc enim sequeretur

vint*? = zz*&si\re

mt(Dw"Mfl + mm) = «"«"(DUU H- mm,

sive UU = «"«", contra hyp. ex qua U>«". Quum igitur praeter valorem 0,minimus valor ipsius u sit U, erit u certe non minor quam U.

3° Facile ex valoribus ipsorum t", t"+i, «",«"+' confirmari potest. esse

mV–un+Un tn+lu".

Quare tUM – Zun certe non erit minor quam «"+1?" – tn+ltf.

4°0

lamexaequatione ZZ – DUVL=mm habetur

u– V(^-f-ûû;

et similiter

=1111

aa+~ ,~( mm

~~–V~+,<)

unde facile deducituresse | > Hinc vero et ex conclusione in 3° sequitur

;ut"- ~96") 1t""f", td" ~) >ydn+it~ t"~f-~tdnJ ~t"f"'rdnü +,

sive, evolutione facta, et loco ipsorum Î2:, ^'#n, tt' + 1 tn+substitutis valoribus

suis DUU + wm, Dunun-mm, Du"+lun+l-i-mm,

1 1 > ~n i· v + pdt` qd"

unde, quoniam utraque quantitas manifesto positiva, fit transponendo

M + (^>r+-. >«w+l + '-jp, Q. E. A., quia quantitatis prioris pars prima minor est

192 »K FORÎHS SEUUSDIOBADUS.

qiittin pars prima quantitatis seeundae, née non illiiis secunda miiior quam secunda

huius. Quamobrem suppositio cortsistere nequit et progressiones te, t', t" etc.

«°, «', «" etc. omîtes valores positivos ipsorum t, « exlùbebunt.

Ex. Pro Z> – (M, m – 2 vuloves minimos positivos ipsorum t, u inveni-

mus 1523, 195: quare (»««« valores positivi exliibebuntur per has formulasjji,

t ;tss~ + t_ns `; 01 ~a + ~t s_ t °~s 4,'01 ~e2 2 J :¡-V

« = v-îrC(iTî + !r\/«r-(1-Ti-1rV«t)')vol 2 + -2 1) "2-- ~-V )

Inveuitur autem

ta=2, t'–îbM, t"–lbnt'to=23\9b21, t'"= 1523*"– ?'= 353201 8098 etc. [

«°=0, «'^=195, «"=1523«'– M°=296985, m'"=1523î«"– «'=452307900 etc.

i

201.r

Circa problenro in artt. praecc. tractatum sequentes observationes adhuc

adiicinms.

t

1) Quumaequationcm tt – Duu = ntm pro omnibus casibus solvere do-r

cuerimu.s, ubi m est divisor corn m unis maxhuus trium numerorum iï£,2N,P,·

talium ut NN – MP–D; operae pretiurn est omnes numéros qui talcs diviso-

res esse possuut sive omnes valores ipsius m pro vulore dato ipsius D assignare.

Pouatur D ~nnD', ita ut D' a factoribus quadruticis omnino sit liber, quod

r

obtinetur si pro un assuinitur maximum quadratum ipsum D înetiens: sin vero

D iam per se nullum factorem quadraticum implicaret ficri deberet » = 1.

Tum dico

Primo, si D' fuerit formac 4^+1, quemvis divisorem ipsius 2 n fore va-

lorem ipsius m, et vice versa. Si enim y est divisor ipsius 2n, habcbitur forma

,y n, cuius 1. est D, et iu rlua manifesto divisor couununis» »>-

cuius detcmiinans est D, et in qua manifesto divisor communis

maximus numerormn 9, 211. 2^£riierit g (patet enim

--(|i =

£1=- t

y gg gg

esse uumeruin integrum). Si vero, vice versa, 9 supponitur esse valor ipsius m,

scilicet divisor conimunis niaximus numerorum M,2N,P, atquc NN – MP=D: i

manifesto 4 D sive AnnU divisibilis erit per gy. Ilinc vero sequitur, 2 n ue-

cessario per g divisibilem esse. Si enimy ipsum 2» non metiretur, g et 2w

habereat divisorem communem maximum minorem quam g, quo posito =$, at-

)

HCTRiiMiWAimss posrrm non-quïchâw. 19g

~i/ r_ r.i

M.

25

que 3» =8», g–$gf, foret ririB por tfrf divisibil», ri ad adeoque etîamri ri ad g' g' primus et proin etiam Tf per y</ divisîbilis, contra hyp. secundum

quam D' ab omni factore quadratico est liberatus.

Secundo, si B fuerit formae 4A--J-2 vel 4#-|-3, quemvis divisorem ipsiusia fore valorem ipsius m, et vice versa quemvis valorem ipsius m metiri ipsum«. Si enim g est divisor ipsius n, habebitur forma [g, 0, – "), cuius deter-

minans = 2>, et ubi manifesto munerorum y, 0,u-

divisor commuuis nmxiinus

orit g. – Si vero g supponitur esse valor ipsius m, puta divisor cominuiiis

maximus nurnerorum M, 2iV, P, atque NN–MP=D; eodem modo ut supra

y metietur ipsum In, sivej

erit integer. Si quotiens hic esset impar: qua-dratum

ij? foret = 1 (mal. 4), adeoque î^fTaut s2 aut s 3,'uiod. 1,.

..<MKD'~<D_JV <jtffJ_4A''A', ~y 99 4~

At Ti'-y-Tï; – ,7-=-7r(mod-4^etprom

if aut=2 aut =:i a

imod. 1) Q. L'. il., quia omne quadratum aut cifrae aut unitati secunduin modu-

luin 4 cougruujii esse debet. Quarequotiens y

necessario erit par, adeoque

iuteger, sive g divisor ipsius n9

Patet itaque, 1 scinper esse valorem ipsius m, sive aequationem tt–Duu– 1

pro quovis valore positivo non quadrato ipsius D per praeeedentîa resolubileni

esse; 2 tune tantummodo esse valorem ipsius m, si D fuerit aut formue 4 te.

aut formtte 4 fc -f- 1

2) Si m est maior quam 2, attamen numerus idoneus, solutio aequationis

tt – Duu = mm reduci potest ad solutionem similis aequationis, ubi m est aut

1 aut 2. Scilicet posito ut ante D = «»! si na ipsum n metitur, metietur

mm ipsum D. Tum si valores minimi ipsorum p, q in aequatione pp–qq =

supponuntur esse p–

P, q= Q, valores minimi ipsorum t, u in aequatione

tt–Duu – mm erunt t=nnP, «= Q. Si vero m ipsum n non metitur,

metietur saltem ipsum 2n eritque certo par; –autem integer. Et si tune va-

lores minimi ipsorum p, q in aequatione pp – ~qq =4 inventi sunt p = P,

q = Q: valores minimi ipsorum « in aequatione tt – Duv = mm erunt

'=-f^P»

«= Q – In utroque autem casu non solum ex valoribus minimis

ipsorum p, q valores minimi ipsorum t, u, sed ex omnibus valoribus illorum mîmes

valores horum per hanc methodum manifesto deduci poterunt.

3, Designantibus t°, u"; t', u'; t", «" etc. omnes valores positivos ipsorum

194 Dfc FORB1S SKCt'KDI OBAOt'S.

t, tt inaequatione tt'–Dmi – mm (ut in art. proee.}, si eontmgit ut valores

quidam ex serie illa, vnloribus primis in eadem secundum luodulum qiienicunqm'

datum r, eongrui sint, puta f*=f (sive =/«), tfi-=u° sive –O'mod.r}; simulquo

valores proxime sequeutes vuloribus secunclis puta

t?+1==f, «?+* = «' fmod.»-)

erit etiam

tt+* = t", «P+- = «"; <P+3 = «' «P+3 = «'" etc!

Hoc facile inde deducitiir, quod utraque séries t°, f, t" etc.. u°, u', tt" etc. est ex

recurrentium génère scilicet quoniam

–Ht' – t0 tt+î ='~t?+i – ttm m

erit

t" ~x

similiterque de reliquis. llinc autem sequitur, fore generaliter

th +p s i* w/< +p = “ A(mo(j. ,.)

ilenotante /< numerum quemcunque, nec non adhuc generalius si fuerit

H = v (mod. p) fore t^ f, «i1 = «v (mod. r).

4) (.'onditionibus autem in obseiT. praec. requisitis semper satisfieri potest,

seilicet semper invetiiri potest index p (pro nxodulo quoennque dato r). pro quo sit

tp = t°, tf+l t\ «P s u°, «f+1 = w'

Ad «itiod denionstmndum obsen'amus

primo, conditioni tertiae semper satisfieri posse. Isullo enim negotio per

criteria in (1) tradita perspicietur, etiam aequationem pp – rrDqq = mm so-

lubilem fore; et si valores minimi positivi ipsorum p, q (praeter hos m, o) sup-

pouuntur esse P, Q: inter valores ipsorum t, u manifesto ernnt etiam t – P.

u = rQ. Quare P, rQ in progre-ssionibus t°, t' etc.. «°, «' etc. contenti erunt.

etsiP=< »-Q «\ erit «'= 0=:U°(mod.r). Praeterea facile perspicietur.

inter ua et «* nullum terminum fore ipsi n° secundum modulum r congruum.

Secundo patet, si hic insuper tres reliquae eonditiones adimplctac sint, puta

si etiam «' + I = «', tl~t°, tl+l = poni tantummodo debere p = X. Si

BK-rKKMl-VANïKiS 'POShivr JJOX.QrAMîATI. 195

a aut altéra iliamni rronrlifinitnm Inr>»n> nnn finJiot Ainn na**n v*a*i «“»“

25'

vero uua aut altéra ilkmm eonditionum locum non habet, dico certe statut possi

f== 2X. Xam ex aequat. [i] fortnulisque generalibus pro t*, «" in art. praec

deducitur

tî}- = (f*fx+ 2>«V) =, ir[mm+ 2l)«V-;

adeoque

a'x-t° 2~)~~

».r

tnt

quae quantitas erit numerus intpger, quia pcr hyp. r ipsum v1' metitur, nec non

mm ipsum 4D, adeoque a potiori m ipsum 27) Porro erit «**• = £-•«*,

et quoniam(!t quoiiiain

4*1*1 =4X>«i«1-|-4»»»J

adeoque pcr ?«*« divisibilis, 2*1 crit divisibilis per m, et proin «2i per r, sive

Tertio inveiiitur

«<!i «°(mod.r'j i'fertio inveiiitur

^+it> iiiit'-u1-

m

etquoniam

ex simili ratione est integer, erit

Tandem reperitur

/u+l = ^'(mod.r'l'anclem reheritur

tel+'M"+' = M'+~J'l~m

et quoniam 2tA+l per m divisibilis est ul per /•: erit

nîl+1 = w'(mod.»- Q.E.V.

Ceterum usus posteriorum duarum observationum in sequentibus apparebit.

202.

Casus partieularis problematis, nempe solvere aequationeni tt–Duu = t.

iam a gcoinetris seculi praecedentis fuit agitatus. Sagacissimus Fermatius pro-

blcma hocanalystis Anglis proposuit. Wollisiusque Brounkcrum tamquam inven-

torem solutionis, quam in Alg. Cap. 9S, Opp. T. 11 p.Wh sqq. tradit, noininat;

Ozantun Fermatium; denique ill. Euler, qui de illo egit in Cmm. Petr. M p. 175,

Connu, /wp. Kl p. 28 *), Algehra P. Il p. 220 Opusc. An. ip.MO, Pellium, undc

In hac coinm. nlfîoiitlinnis quemart. 27 exposuimus. per siinilin signa exhibetur, quodnos illic an-

iioturc negleximus.

198 ok FOKUIS 8KCUNDI OKAOUS.

problema illutl a quibusdam tmetoribus Pelfiatium voeatiim est. Omnes hae solu-

tiones, si ossentiani spectas convenhmtcum en quam obtinemus. si in art. 198

formuni réduction eam aduptumus in qua a – 1; tittamen operationem quam prae-

scribunt tandem wicess&rio Jhiiri, sive problema semper revent solubile esse, nento

auto ill. Lr. Grange rigoroso dcinonstravit, Mélangesde la Soc. de Turin T. IV

p. 19 et concinniiu Ilist. de l'Ac. de Berlin, 1767, p. 237. Kxstat hacc disqui-

sitio etiam in nupjplementis ad Euleri Afyebram iam sacpius laudatîs. Ceterimi

methodus nostra (ex principiis omniuo diversis petita, neque ad casain m – 1

restricta; plerumque plures vias ttd solutioneui perreniendi suppeditut, quoniam

in art. 19s a qmivis aliu fonnu reducta («, b, – a) proficisci possumus.

203.

Problexu. Si/ormae 0, <p sunt aequivalentes, omnes transformationes alterius

in altérant exhibere.

Sol. Quando formae hae unico tantum modo aequivaleutes sunt ». e. aut

proprie taiitum aut improprie tantum) quaeratur pèr art. 190 transformatio ima

formae <p iu <l>, quae sit a, tf, y, è, patetque alias quam quae huic sint similes,

dari non posse. Quando vero y <P tuin proprie tum improprie aequivalent, quae-

raiitur duae trausformatioucs dissirailes, i. e. altcra propria altera impropria, puta

a, 6, Y, o et a', (S1,y', tf, eritque quaevis alia transformatio aut huic aut illi similis.

Si itaque forma 'f est [a,b,c;, ipsius deterrainans =JD, divisor communia maxi-

mus nuineroruni a,lb,c (uti semper in praeo.) m, atque t, « indemnité omnes

numeri aequationi tt– Duu = mm satisfacientes: in casu priori omnes trans-

fonnationes formae <p in <t> contentae erunt sub prima formularum sequentium 1,

in posteriori vel sub prima i vel sub secunda II.

I *(«'-(«*& + 7c)«0. *(»*-(« 4- ««)«)

~(7<+(~+T~'<). riCst-f-a-i-c`'b)tt)

II ±(e(t-(itb + 1c)H), -k(?'t-~(W> + à'c)u)

_jir(T'<+f~+~)«), ~st-i- ç~'a-f-~'L)tt)

*) Quae Wallisius ad hune finem protulit l. o. p. m, 42s nihil ponderis habcnt. Pamlogismus in co con-

sistit, quod p. ils 1. 4, supponit, proposita quantitate p inveniri pouc numeros intégras «, tales ut–

mi-

nor sit quam p, defectu» vero assignato minor. Hoc utique vtrum est, quando dofectus amgnatu» est quan-

tiUudata, neque vero, quando ab a et t pendet adooque variabilisest, uti in caw praesenti evenit.

DETERMINANTE3 POSITIVI K08r«QPAÔfiAtJ. 19?

Ex. Desiderantur omnes transfbrmationes formae (! 29, 92, 65) ita formam

(12, 59, 81). Hasimproprie tantum aequivalentes esse in art. 1 95 invenimus et in

art. seq. transformatiouemimpropriam illius in hanc eruimus –47, –50, 73, 87.

Quamobrem omnes tmusfornmtiones formae (129, 92, »5) in (42, 59, bl) exhibe-

buntur per formulam

– (47tf-f 42tt<), – ;50*-f 503w}. 73f4-653M, 87C-+-780W

ubi t, « sunt indefinite omnes mimeri aequationi tt- 79««= I satisfacientes:

Iii vero exhibentur per formulas

± •= y G80 + 9V7cJ)e + (80 9y/79)e_)

± »= 27?iC(80

+ 9V/79)' (80 9v/79)e)

ubi pro e omues numeri integri non negativi sunt accipiendi.

204.

Perspicuum est, formulam*generalem omnes transformationes exhibentem

eosimpliciorm evadere, quo simplicior fuerit transformatio initialis ex qua for-

mula est deducta. lam quum arbitrarium sit, a qua transformatione proficisca-

mur. sacpenumcro formula generalis simplicior reddi potest, si ex formula primoinventa transformatio simplicior deducitur tribuendo ipsis t, u valores determina-

tos, et tune ex hac alia formula cqmponitur. Ita e.g. positis in formula in ex. art.

praec. inventa, t = S0, u – – 9, prodit transformatio simplicior quam ea a qua

profecti eramus, scilicet 29,47, –37, –60, unde deducitur formula generalis29*~ 263«, 471 – 424», –37^+ »37«, – 60<+ 543«.

Quando itaque

per praecepta praecedentia formula generalis eruta est, tentari poterit, annon.

tribuendo ipsis t, « valores determinatos + t', ±tf; -j-t", +M"etc. transfor-

matio obtineatur simplicior quam ea ex qua formula deducta fuit, in quo casu ex

illa transformatione formula simplicior derivari poterit. Ceterum in diiudicajida

simplicitate aliquid arbitrarii remanet, quod si operae pretium esset ad normam

fixam revocare, nec non in progressione t', u'; t", u" etc. limites assignare posse-mus, ultra quos transtormationcs continuo minus simplices prodeant, ita ut ultra

progredi opus non sit sed iritra illos teutamen iustituisse sufficiat: attamen quum

plerumque per metliodos a nobispraescriptas transformatio simplicissima vel sta-

198198 dk fomtis sKtrxm oiut>t's.

tim vel adhibitis pro t, te valoribus + t', + «' prodire soîeftt. hanc disquisitio-

nem brevitatis gratin supprhnimus.

205.

Problema. Livenire mines rejmiesentutiones numeri dati M per formulum

datant «j\i'-f- 2bœj/ -f- cJtJ/> cnitis determinuns positivvs non-quadratus =Z>.

Sol. Primo observamus, investigationem repracsentatiomtm per valores

ipsorum je, g inter se non primos, hic prorsus eodeiu modo, ut supra (art. 1 Si)

pro formis déterminante negativi ad cum casum rcduci posse, ubi repraesenta-

tioues per valores indetenuiuutarum inter se primos quacmntar, quod igitur hic

repetere superfluum foret. Ad possibilitatem repraesentatiomun per valores ip-

sorum a; y iuter seprimos

autem requiritur, ut D sit residuum quadraticum ipsius

JI. et si omnes valores expressiouis \!l)(mod.2l) suntiV, – N,N', – N',N", – A'"

etc. quos ita accipere licet ut nullus sit > i-M), quaevis repraesentatio uumcri

il per formam propositam ad aliqueni lioruin valorum pertinebit. Ante omnia

itaque valores illi erui debebuut; tune repraesentationes ad singulos pertinentes

deinceps investigari. Kepraesentationes ad valdrem N pertinentes non dabuntur,

nisi forrnae («, b, c) et [M, N, – -y – ) proprie aequivalentes sunt; si vero sunt,

quaeratur transformatio aliqua propria prioris in posteiïorern quae sit a, 6, y, <5.

Tum liabebitur repraesentatio numeri M per formam (a, b, c) ad valorem N per-

tinells haec: a? =a, y = y, omnesque repraesentationes ad hune valorem perti-

neutes exhibebuntur per formiùam

=-ii Qat–{ab-i-yc) u) » y

–• (y t If- (a a + y b) ti)

designante m divisorem connu unom maximum numerorum a, 2b, c; et t, u in-

defiltite omnes numeros aequationi 1 1 – JJnu = m m satisfacientes Ceterum

jiianifestum est, formulai» hauc generalem co siiuplieiorem evaderc, quo simpli-

cior sit transformatio «, lî, y, c ex qua deducta est; quare haud inutile erit, trans-

fornltitiaueln simlllicisaimtml firrlntte ;at, L, (1Il:\T fr-ü njsecundunt art.foiniationem simplicissimam formae ;«, b, c) in [M, N, –jf–'j securidum

art.

l)raec. antea eruere, et ex hac formulant deducere. – l'rorsus eodcin modo re-

praesentationes ad valores reliquos – A", Ar', – AT' etc. pertinentes (si quae dan-

tur per formulas générales oxhiberi possunt.

Ex. Quaeruntur omnes repraesentationes numeri 585 per formulant

BCTràMWANTEB POSn-m KON'QUAt)HÀÏÏ. 199

42*+ 02*jr.+ 21 yy. Quod ad repraosentstiones per .votâtes ipsorum .v, y

inter se non primos pertiuet, statini patet alias huius generis dari non posse,

quant in quibus divisor communis inaximus ipsorum x, y sit 3 quum ûSfl per

unicum quadratum 9 divisibilis sit. Quando itaque onmes repraesuntationes uti-

meri "-J-4 Le. 65 performam 42,<i?+02,t'y+2iyy invcntao suut. in quibus x' ad

y primus; omues repracscntationcs numeri 585 per formom 42#.i?+ 02^+ 2 l^y,

in quibus x ad y non primus, ex illis dérivai untur ponendo x = 3* = :$y.

Valores expressionis ^7fl(mod.65) sunt +12, +27. Itepraesentatio numeri 055ad valorem –12 pertinens invenitur #'=2, = – 1; quoeirca ontnes reprae-

sentationcs ipsius 65 ad hune valorem pertinentes exhibebuntur per formulain

,t?'= ît – 41m, /= – ï+53«, adeoque omnes repraesentntiones ipsius 585 Aine

oriundae per formulam x = 6 1 – 1 23 «, y = – 3 1 + 1 59 m. Simili modo in-

venitur formula generalis omnes repraesentationes numeri 05 ad valorem +12 l

pertinentes exliibens mf – 2 2 1 – 1 99 « = – 2 3f + 2 1 1 « et formula omnes

repraesentationes numeri 585 hinc orimidas complectens x = 06/ – 597 «,

= – 09*+633«. Ad valores +27 et – 27 autem nulla repraesentatio nu-

meri 05 pertinet – Ut repraesentationes numeri 5S5 per valores ipsorum w, y

inter se primos inveniantur, primo valores expressionis ^79(mod. eruere

oportet, qui sunt ±77-i103> ±157- +248- Ad valores +77, +103, +24S

invenitur nullam repraesentationem pertinere; ad valorem – 157 autem pertinet

repraesentatio x = 3, y–1, unde deducitur formula generalis omnes repraesen-

tationes ad hune valorem pertinentes exhibens x = 3 1 – 114 «, y = t + 1 57 m:

simiUterque invenitur repraesentatio ad +157 pertinens tv = $: y = – 87, et

formula in qua omnes similes sunt contentae .r= S3f – 740m, y – – S7f+7S9«.

llabentur itaque quatuor fommlae générales, sub quibus omnes repraesentationes

numeri 585 per formam 42>va> + G2xy + 21^ contentae sunt

je = 0f– I2:\uet y = – 3^+ 15»«tc

X = 06/ – 597 et y = – 09/+ 633 «

X = 3 – I I 4 « y – t + 1 57 il

X = S3/– 746m y = – S7 + 7S9«te

ubi t, u indefinite omnes numeros integi-os dénotant, qui aequationi /– 79»i/= I

.satisfaciunt.

Ajjplicationibus specialibus disquisitionum praecedentium de formis cleter-

200 »B FORMISSECUNDIGKADC8.

minalitis positivi non-quadrati brevitatis gratia non immortuuur, quippe quas

simili modo ut artt. 170, 182 quisque, sine negotio, proprio marte instituera

poterit. statimque ad formas determiuantis positivi quudrati, quae solae udhuc

supersunt, properamus.

»i ;.J

Do fortuit tk'tenninuntif qttadrati. i

206. I

Pkoblema. Proposita forma {a,b,c) determiuantis qnadrati h h, désignante h

ipsius radicem positivant, invenire formam (A,B, C) itti proprie aeqnivalentem, in qua

A iaceat inter limites 0 et ïh – 1 incl, B sit =ft, C=0.

Sol. I. Quouiam hh=^bb – ac, erit (A – b) a – c; – [h-b). Sit huic

rationi aequalis ratio 6 c, ita ut li ad ô sit primus, determiuenturque a, Y ita

ut sit aè – 6 y = 1 quac fieri loterunt. Per substitutionem a, d, y, è transeat

forma («, b, c) in («', b', c), quae igitur illi proprie aequivalens erit. Habebitur

auteiti (

b' – aati -H b(aè + 67) + cyh

– (A – b) aô b[a8 + g y) – {h + b) 67

=h[aÔ – 6y) = A

c' = abJ6 + 266g + c88

= (// – 6)lig-f-266a~(/< + 6)68 =0a

Quodsi itaque insuper a' inter limites 0 et 2 ld – iam est situs, forma 10', b', c,

omnibus conditionibus satisfaoiet.

il. Si vero «' extra limites 0 et 2/« – iacet, sit A residuum minimum

poiiitivum ipsius a' secundum modulum 2/ quod manifesto inter hos limites

situmerit, ponaturque A – a'–2hk. Tum forma (dtb',c") i. e. (a, h, 0) per

substitutionem 1, 0, k, 1 transibit in formam (-4, h, 0), quae formis (a', V, c'),

(a,b,c) proprie aequivalens erit omnibusque conditionibus satisfaciet. – Ceterum

perspicuum est, formam [a, b, c) transire in formam (A, h, 0) per substitutionem

a + D'A-, 6, y + oA\ ë.

Ex. Proposita sit forma (27, 15, Sj cuius determinans =9. Hic = 3; i6

rationibus – ta 27 = 8 – 18 in numeris minimis aequalis est ratio 4 – 9.

Positis itaque 6^4. ë––- », rt – – 1, y – ï, forma (a'.b'.c) fit (–1,3,0),

quae transit in foruiam (5, 3, u, per substitutionem 1, 0, 1, 1. Hacc igitur esti

DETERMINANTES QCADfiATX. 201

'ansitoue in enm nrnnnsHj» npr RiThatîtiitintiom nvnn«ïûm t a

26

forma quaesita, transitque in enra proposita per substitutionem propriara 3, 4,

-7, –9.

Taies formas (A, B, C), in quibus C = Q, £ = h, A inter limites 0 et

2 h~ 1 situs, fbmas reduetas vocabimus, quae igitur a formis reductis determi-

nantis negativi, vel positivi non«quadrati probe sunt distinguendae.

207.

Theobeha. Duae forme reductae (a, h, 0), («', h, 0), non identicae proprie

aeguivalentes esse nonpossnnt.

Dent. Si enim proprie aequivalere supponuntur, transeat prior in posterio-rem per substitutionem propriam a, g, y, è, habebunturque quatuor aequationes:

aaa- 2hay– ci [i]

aati -{ h{aè-t- 6y) = à [2]

0)66 + 2A6~ = 0. [3]

ah 6y= 1 [4]i

Multiplicando aequationem secundam per II, tertiam per a et subtrahendo fit

– /i{aè – $y)ti = $h, sive, propter [4], –$h = tk, unde necessario € = 0.

Quare ex [4], ccS=l, et a = ±l. Hinc ex [1], a±2yh = a\ quae aequatioconsistere nequit, nisi y=0 0 (quoniam tum a tum a' per hyp. inter 0 et 2 A – 1

iacent) i. e. nisi « = «', sive formae [a, h, 0), («', h, 0) identicae, contra hyp.Hinc sequentia problemata, quae pro determinantibus non-quadratis multo

maiorem difficultatem facesscbant, nullo negotio solvi poterunt.

I. Propositis duabus formis F, F' eiusdem determimntis quadrati, investi.

gare an proprie aequivaleant. Quaerantur duae formae reductae formis F, F' resp.

proprie aequivalentes; quae si identicae sunt, propositae proprie aequivalentes

erunt, sin minus, non erunt.

II. lisdem positis investiffare an improprie aequivaleant Sit forma alterutri

propositarum e. g. formae F opposita, G; quae si formae F' proprie aequivalet.F et F' impropiïc nequivalebunt, et contra.

208.

Pbobi£ha.Proposais duabus formis F, F' determimntis h h proprie aequi-

valetttibus: invenire transfonmitionem propriam alterius m alteram.

2Ô2UETORMWSECl'ND!ÔftAWS.

Sol. Formac F proprie aequtvaleat forma rechiet» <£>, qune itaque per hyp:

etiam formae F' propric aequivalebit. Quaeratur per art. 206 transformatio pro-

pria formae F in 0, quae sit a, tf, 7, c"; nec non transformatio propria format»

F' in <l> duae sit a'. 0", 7', <?. Tuuc <P transforraabitur in F' per substitutiu-

nem propriam <?'. – 6". –7', a' et hinc F in F' per substitutionem propriam

a8-tif., b'a'-ttd', 7èv – «/, 1, èV rd'

Operao pretium est, aliam formulam pro hac trausformatione formae 2(1 in

F' evolvere, ad quam formam recluctam <I> ipsam novisse ne opus quideni sit.

l'onamus formam

F esse («, b, c)F'

= («', b', c')<$ = {A,h,0)

(iuoniam rationibus – b « vel c – [h -f- b) in numoris minimis aequalis

est ratio ti:è, facile perspicitur=

yfore integrum, qui sit nec nonest ratio d facile c persplcl ur -r

=fore inte griiiii, qui sit nec 11011

£.=t integrum fore qui ponatur –y Habebitur autem

A = «aa + 2&a7 + c77 acleoque $A = aaatî 2ba$y 4- 0677 7

sive (snbstitutis pro «6, o"(/< 6) pro c, %)

gyl =aaiïh + 6(2 67 – a8) a + 6677^

sive propterb = – h – §&}

$A = 2a{aB-$y)h-h{aè – 67)*= 2aA+^

Simili modo

(5.4 = «oa8-f- 26a7^ + C7Y^

= aa8é/-f-6(2aa – 67)7 – 677/*

={aè-$yff+2y{aè~Gy)h

=27//+/

Qunre

a –"Ta" îa

Prorsus eodem modo positis

A– b' a' ai ti_ – h – b' 1

rit t

VA-jq. VA-/1

'J. jIs

BKTBBMJNANTE8 QUABBATl. 20S

26*~°

Quibus valoribus ipsorum a,y,a',y' in formula modo tnulita pro tmnsfoima-

tione formao F in F' substitutis, transit in hanc:

e f,~a,g ~–<5~' 9/7 ay–4/2/t 2* îh îh

ex qua A omnino abiit.

Si duae formae F, F' impropric aequivalentes proponuntur, et transfor-

matio impropria aïterius in alteram quneritur, sit forma G opposita formae F, et

transformatio propria formac G in F' haec «, 61, y. è, Tune manifestuni est.

a. d. – y,– 8 fore transformationem impropriam formae F in F'.

Denique patet, si formae propositne et proprie et improprie aequivalentes

sint. hoc modo inveniri posse transformationes duas alterarn propriam alteram

impropriam.

209.

Nihil itaque iam superest quam ut ex una transformatione omnes reliquas

.similes deducere doceamws. Hoc vero pendet a solutione aequationis indetermi-

imtuo tt – A A u u – mm, désignante m divisorem conuuunem maximum uume-

rorunt «, 1b, c, si («, b, c) est alterutra formarum aequivalentium. Sed haec

ncquatio semper duobus taiitum modis solvi potest, nempe ponendo aut t~m,

h =. n, aut = – m, u = 0. Ponamus enim dari adhuc aliam solutioricm

t~T, u = U, ita ut U non =t). Quia mm ipsum \hh certo metitur, crit

_t1'Y_' _Ihlll_"l'tTT .tlrh L'U

d' l Il\îl= iM*T_j_.i at(lut. tum tum HAKEquadmto iutcRra. Sed nullo 0

tu m mm • L mm mm

negotio perspicitur, niuuerum 4 duorum quadratorum integrorum tlifferentiam

esse non posse, nisi quadratum minus sit 0 i. c. U– 0, contra hyp – Si ita-

que forma F in formam F' per substitutionem a, ïî, y,8 transit alia transfor-

matio huit similis non dabitur praeter transformationem -a, – ti, –y,– c.

Qxmve si duae formac aut propric tantum, aut impropric tantum acquivalent,

duae tantum transformationes dabuntur si vero tum proprie tum improprie, qua-

tuor, nempe duae propriue duaeque impropriae.

210.

Thkorbma. Si duae formae reductae \a,h,0), (a,h,0) improprie sunt aequi-

ealentat, crit ad=mm [mod.2m/i), désignante m dimsorem communem maA'hunm

mtmeromiH a,2li, cel u,'2h; et vice sena si (i,2/t;u',2h eundem divisorem

204 PE FORMïB SECttNm GBADt'B.

communm maximum m hâtent, atque est ad~.mm{mod.'imh), fomae («, 0),

(«', h, 0) impro/rrie aequimlentes mmt.

Dem.l. Transcat forma (a,h,0) in formam («', 0) per substitutionem

impropriam a, 6, y, o ita ut habeautur quatuor aequationes

aaa + 2A(X-}' a' [IJ k

aa$ + A(aS + fiy)= i [2] f

«ëd + 2*6*ô* = 0 [3]

a« «7 = 1 [4] j

Hinc sequitur multiplicando [4] per h et subtrahendo a [2] quod ita exprimi-

mus [2] – k [4

(«io + 2*7)6= 2/« [5] t

r

similiterex yô[2j – 77 [3j – («+aë7+Ayê)[4j deletis quae sese destruunt 5

– aac = 8 + 2A78, sive – (aa+ 2/57)6= a [6]

•

denique ex a [1] aa {aa~2hy) = ad, sive

(a a + 2*7)*– ad = 2*7(00+2*7)

sive

(«a + 2/«7)2 = «a' 0nod.2A(«a + 2*7)) [7]

lam ex [5] et [6] sequitur oa+2/«7 metiri ipsos 2* et a, adeoque etiam ip-

sum m, qui est divisor communis maximus ipsorum a, 2 h; manifestoautem m

metietur etiam ipsum ca+2À7; quare necessario a a +2*7 eritaut =+w

aut – – m. Hincstatimsequiturex f7], mm^ad (mod. 2m*) Q. E. P.

II. Si a, 2 h a', 2 A eundem divisorem communem maximum m habent,

insuperque est ad~mm (mod. 2mh), £, ^^j- erunt integri.Facileïnsuperque est a a ria m (motl. 2 fia la) ni~ ~tt ni' ~~a n

8runt lntegri..l' 8C118

vero confirmatur, formam (a, 0) transire in (a', h, 0) per substitutionema' 2

(1,(1,IIUII Il

1 t fi, Q– – 7~, ^JL^ 1-t nec non hanc transformationem esse impropriam. Quare//• #/f X//•tr fil

formne illae erunt improprie aequivalentes. Q. E. 8.

Hinc etiam statim diiudicari potest, an forma aliqua reducta data (a, h, 0)1

sibi ipsi improprie aequivalens sit. Scilicet designato divisore communi maximo1

1

numerorum a,2h per m, esse debebit aa~mm (mod. 2 mlij. (

DETÈRHOTAOTES QVADïtÀTl. 205

211.

Omnes formne reductae determinantis dati h obtinentur. si in fornia in-

definita (A, h, 0) pro A omîtes numeri a 0 usque ad 2 A –1 inel. substitunn-

tur, quarum itaque multitudo erit 2 h. Perspicuum est, omnes formas determi-

nantis h h in totidem classes distribui posse, hasque iisdem proprietatibus praedi-

tasfore quas supra (artt. 175, 195) pro classibus formarum determinantis nega-

tivi, et positivi non-quadrati attigimus. Ita omnes formne determinantis 25 in

decem classes distrîbuentur, quae per formas reductas in singulis contentas di-

stingui poterunt. Hae formae reductae sunt: (0, 5, 0), (1, 5, 0), (2, a, 0), (5, 5, o),

(8, 5, 0), (9, 5, 0), quae sibi ipsae simul improprie acquivalent; (3, 5, o) cui im-

proprie aequivalet (7,5, 0); (4,5,0) cui improprie aequivalet (6, 5, o).

212.

Probikma. Invenire onmes repraesentatimm numeri dati M performam da-

tant axx-bxy-{-cyy determinantis hh.

Solutio huius problematis ex principiis art. 108 prorsus eodem modo peti

potest, ut supra (artt. 1S0, 181, 205) pro formis determinantis negativi et positivi

non-quadrati ostendimus; quod, quum nulli difficiiltati sit obuoxium, hic repetcre

8iiperfluum esset. Contra haud abs re erit, solutionem ex alio principio quod ca-

sui praesenti proprium est deducere.

Positis ut artt. 200, 2088

nullo negotio probatur, formam propositam esse productum ex factoribus tx– fyet ftc–gy. Unde manifestum est, quamvis repraesentationem numeri M per

formam propositam praebere resolutionem numeri M in binos factores. Si ita-

que omnes divisores numeri M sunt d, à', d" etc. (inelusis etiam 1 et M, et

singulis bis sumtis puta tum positive tum négative), patet omnes repraesentatio-

nes numeri M obtineri, si successive ponatur

valores ipsorum ui, y hinc crolvautur, cauquu vepraesentationes oiiciantur ubi r

h – b: a = c:– {h + b) =6:8 0

h – 6 h £ 8 «•

ce_– A6 – 6 – 9_6 8 f `~ – –s– –y

= rf, d, fx-c,

èx – = d', f» –gy = f,etc.

S0& DK KOKMIS SECt'NDI ORADUS.

âut y valores fractos obtinent Manifesto veio ex dttttbus primis ttcquationibus

sequitur

~Jl-g_~d~d _ü~-f~d_~d=,y)td

et ,ÿ ltf.ô9)~d

quos valores semper déterminâtes fore inde inanifestuni quod fîff~'èg=2h,ail-

|

eoquo numerntor certo non – 0. Cctcrnm ex codent priucipio, puta resolubi-

1litttte cniusvis format' déterminant is qtiatlmti in binos factures etiam reliqua pro- j

blemata solvi potuisseut: sed methodo ci qunm supra pro forniis déternùnantis

mm-qmulrati tradidimus analoga ctiam hic uti înaluimus.

£'.f. Quaoruiitur omnes repraesentatioucs nuraori 12 per formnm :J.j\f-(-

1*7/ lt/y. Uaec resolvitur in factores x -y et 3j?H-7^. Oranes divisores;]

million 12 sunt +1,2,3,4,6,12. I'ositis -x – y – 1 3a' + 7^-= 12lit

l

,t _= | « y = ,»“ qui valores tamquam fractî sunt rciieieudi. Eodem modo ex

divisoribus – 1, + 3, + 4,+C. + 12 valores inutiles obtineutur; ex divisores

+ vero obtinentur valores *= 2.^ = 0, et ex divisore 2 hi ,t.'= – 2.

--= o practer lins duas repraesentationes igitur aliae non dantur.

•i

Methodus haee ndhiberi nequxt, si 31 = 0. In hoc casu mauifestum est j

tînmes valores ipsorum x,j[ aut acquationi èa- – lî^=0, aut huit* fx – gi/=

c

sati.sfacere debere. Omnes aùtem solutiones aequationis ])rioris continentur in

formula x–lig, j/ = cs, désignantes indefinite numerum integrum qucnicun-

que (siquidem uti suppouitur 6, c inter se prinù suut) similiterque poncudo di-1

visoreni communem maximum îmmeroruni f,g, –m, omnes solutioncs aequatio-

iiis I)ostericris l '1. b per 1 -e==y

J,: "e. (itiare litte d for-nis posterions exhibebuntur per formulantcc=-'J~, y~'tyt. Quare hae duae for-

mulae générales omnes repraeseutationcs uunieri M in hoc casu complectentur.

In praecedentibus omnia quae ad cognoscendam aequivalentiam et ad inve-

uiendas omnes transibrniati<mes formarum nec non ad repraesentationes omnes

uumerorum datorum per formas datas indagandas pertinent, ita sunt explicata, ut

uihil amplius desiderari possc videatur. Supcrest itaque tantummodo, ut propo-

sitis duabus formis quae propter deteiminantium ïnacquii/itatem aequivalentcs esse

uequeunt. diiudicarc doceamus, an non altéra sub altéra contenta sit. et in hoc

casu oinues transformationes illius in liane invenirc.

FORSf AE Htm AUIS eONTRNTAB. gO7

Formai)aitbatt'is eantentue quibta tumeul«>i) (injuii-nhut.

213.

Supra nrtt. 157, 158 ostendimus, si forma f determinantis D formnm F

determinantis E implicet atque in ipsam transeat per substitutionem «, G1,y, è.

foreE~[aè – tiyfD; si fuerit

aè~6y = ±i, formam non rnodo impli-

care formam F sed ipsi aeqtûvalentem esse et proin si f ipsam F implicet neque

vero eidemoequivnleat, quotientem

esse integrum maiorem quam 1 Problema

itaquc hic solvenduïn erit, diiudiatre an forma data f determinantis D formamdatant F determinantis Dee

implicet, ubi e supponitur esse munerus positivuxmaior quam 1 Hoc negotium ita absolvemus, ut multitudinem finitam formorum

sub f contentarum assignare doceamus quae ita sint comparatae, ut F si sub

contenta est necessario alicui ex illis aequivalere debeat.

I. Ponamus omnes divisores (positivos) numeri e (inclusis etinm 1 et e)

esse m, m', m" etc., atque e = »»» = »iV =m"n" etc. Designemus brevitatis gratiuformam in quam transit per substitutionem propriam m, 0, o, w'ita >; 0),

formam in quam f transit per substitutionem propriam m, 1, «, » per 'm; 1 etc.

generaliterque formam in quam f per subst. propriam, m,k, 0,« transmutatur per

'm;k). Simili modo transeat f per subst. propriam m', 0. 0, «' in (/«'; o

per hanc m', 1 0, «' in hn'; 1) etc., per m", 0, 0, n" in {m"; 0) etc. etc. Omues hae

formne sub/ proprie contentae erunt, et cuiusvis determinans –Dee. Complexiun

omnium formarum {m; 0), {m; 1), {m; 2).(«»; m -1;, [m'; 0), W; 1).(»'; m'–l);

[m"; 0) etc. quarum multitudo erit m – | – «w*–|– »j"-f- etc. et quas omnes inter se

(liversas fore facile perspicitur, designemus per 2.

Si e.g. formaest haec 2, 5, 7) atque e- 5, Q comprehendet sequentes

sex formas ( 1 0), (5; 0), (5; 1). ;5; 2), (5: 3;, (5; 4) quae si evolvuntur sunt

(2. 25, 175). (50. 25, 7), (50. 35. 19), '50. 45. 35). (50. 55. 55:. '50. 05. 7i)i.

1 I. lam dico, si forma F determinantis Dee sub proprie contenta sit.

necessurio eandem alicui formarum 9proprie aequivalentem fore. Ponamus for-

mam transformari in F per substitutionem propriam «, f>. y, c. eritque

a&~ lîy – e. Sit numerorumy, o (qui ambo simul o esse itequennt divisor

coinm unis maximus positive acceptus =“, atque ]; = »«, qui manifesta erit in-

20* BË W>lt»!8SRCtiSl» GftAMJS.

teger. Aeeipiantur $> ita ut sit y^-f-8A = «, deniqùesit k resfctimm mîhi-

mum pusttivum numeri a<j-$h secundum modulum m. Tum forma (m; k)

quue manifeste erit inter iormas S2, formae F proprie aequivalebit, et quidem iu

ipsam transformaltitur per substitutionem propriam

r ~x,~h~k+ lt 5,xg+6~a`k Y

f» m fi m J*n' n

Xam primo perspicuum est hos quatuor numeros dsse intêgros; secundo fncile con-

firrantur substitutionem esse propriam; tertio patet, formam in qtmm (m; k) per

substitutionem illam transeat eandem esse in quam /*) transeat per substitutionem

na(~·+fh-t,la)-i-r, nt~~·°-`~±~~``-·9)`+'a~$. 7. d/1 1/1 Il '11 111 fi

sive quom'am mn = e = aè – bJy, adeoque ty~mn = a^, aè– mn = 67,

per hauc

L (« ig + a cV,) £ (g yy + «$ A) r «

sive denique quoniam Y^r-f"^A = n, per hanc a,ë, y, 8 i. e, perhyp., in F.

(iuare (>«; ft) et F proprie aequivalentes erunt. Q. JE. D.

Ex his igitur semper diiudicari potest, an forma aliqua data f determinan-

tis D formam F determinantis Dee proprie implicet. Si vero quocritur an f

ipsam F improprie implicet, inrestigari tantummodo debet an forma ipsi ÎP op-

posita sub f proprie contenta sit, art. 159.

214.

Peoblema. ProposiHs duabtis forints f determinantis D, et F determinan-

tis Dee, quarum prior posteriorem proprie implicat: ejphibere omnes trans/ormationes

proprias formae f in F.

Sol. Designante 8 eundem formamra complexum ut in art. praec. ex-

cerpantur ex hoc complexu omnes formae quibus F proprie aequivalet, quae sint

4>, <l> <\>"etc. Quaevis harum formarum sequenti modo suppeditabit transforma-

tioues proprias formae f in F, et quidem aliae alias (i. e. singulae diversas),

cuuctae vero cunctas (i. e. nulla transformatio propria formae f in F erit quam

non una ex formis <t>,<t>'etc. praebeat). Quoniam methodus pro omnibus formis

<l>,<!>' etc. eadem est, de una tantum loquemur.

*) Quipjiu quae per substitutionem m, le, u, n in (m;) transit V. art. l.<».If.

POBMAK SI'B AMIS CONTERtAB. 209

27

Ponnntus 4» esse [M; K). atque e = MN ita ut in <l> per substitutio-

nem propriam M, K, 0, N transeat. Porro designontur omnes traruformutiones

propriae fornroc <l> in F indofiuito pur a, 6, c, b. Tura manifesto tmnsibit in

<l>pcr substitutionom propriatn Ma-Kc, Jl/&+A'b, Ne, iVb, et hoc mode) ex

qnnvis transforrntttione propria foraine <l> in F sequetur transfornrotio propria

forainel'

in F – Eodcm modo tnictandoc sunt formne reliquac <l> <I>"etc..

quarum singulne trnnsfommtiones propriae in F transformattenuin propriam for-

mac in F prnebebunt.

1 t n])pnront. hanc solutionein ex omni parte completam esse, ostendendum crit

I. Hoc modo omnestmmfutmationes proprias possiWes furmue f in F obti'

twri. Sit transformatio quaccunquo propria formae f in F haoc a, ti, y, è atcjue

ut in art. prucc. II, n divisor commuuis maximus numororumy, è; uumeri

m, g, h, k autem eodcm modo ut illic deterrainati. Tune forma [m; k) ont inter

formas «1> <!>'etc.. et

T «j'y+!/<–& s x,f..$h r. Y ?"»"" "m -r"> Il,

« û» il' «» »

aliqua ex transformationibus propriis huius formae in F; ex hac vero per re«u-

lam modo traditain obtiiictur transformatio a, t>. y, c; liaec omnia in art. praec.

sunt denionstrata.

II. Omîtes transfbrmatlones hoc modo prodeuntes inter se d hersas esse, sett

inillam bis obtineri. Nullo quidem negotio perspicitur, plures transformationes

diversas ciusdem formae <I> vel <I»"etc. in F eandem transformationem forlnae f

in P producere non posse; quod vero etiam formae diversité e. g. <l>et <!>' ean-

dem trnnsformationem suppeditare nequeant, ita demonstratur. Supponamus.

transformationem propriam a, tf, y, 6 formae f in F obtineri tum ex transforma-

tione propria a, b, c. b formae <1> in F, tum ex transformationepropria n', b', c', b'

formae <l>' in F. Sit <t = (ilf; K). <!>'= {M': A"), e=MN=M'Nl. Habe-

buntur itaquc aequatione-s

« = Ma-j-Kc = Jtf'o'+XV :ij

ïi = Mb + Kb =M'b'+K'b' [2]

y = xYc = N'e LfT

210 DE FOBM» SÉCiaîW GRABfS,

S = M =s N'V / A)

ob– 6c = a'V– 6Y = 1 >

Ex a[-f – 6'3] sequitur adiumento aequ. [3:1, N–N'\a\>' – bc'), quare AY< me-

tietur ipsum JV; sirniliter ex ci'jl] – 6' 3" fit Na'b – 5'c)= N', quaro AT metie-

tur ipsuin N'. unde, quia tum N tum Ar' supponuntur esse positivi. erit neces-

saria N = N', et M = M\ et hine ex » et 4 c = c', b = b'. Porro fit ex

a'i] – Ff

K = M'{aV – W) + K'[aV–ht)== AT(aV– ba') + A"

hinc 7f /r(mod.ilf) quod fieri nequit nisi K K', quia tum JC tum Jf

iacent inter limites 0 et JW – 1. Quamobrem formae 0, 0' non swnt diversae.

contra hyp.

C'eterum patet, si D fuerit negativus vel positivus quadratus, pur metho-

chun hanc omnes transformationes proprias forraae f in F revera inveniri posse;

si vero D positivus non-quadmtus formulae certae générales assignari poterunt,

in quibus omnes transformationes propriae (quorum multitudo infinita) conten-

tac erunt.

Denique, si forma F improprie sub formaf

contenta est, omnes transfor-

mationes impropriae illius in hanc per methodum traditam facile exliiberi poterunt.

Scilicet si a, 6, y, 8 indefinite omnes transformationes proprias formae in for-

mam quae formae F opposita est, designare supponitur: omnes transf. impropriae

formae f in F exhibebuntur per a, – 6. y, – B.

En. Desidenvntur omnes transformationes formae 2,5,7) in (275,0, – 1),

quae sub illa tum proprie tum improprie contenta est. C'omplcxum formarum iî

pro hoc casu iam in art. praec. tradidimus; examine instituto invcnitur, tum

'5: I) tum (5; 4} formae (275, 0, – 1) proprie aequivalere. Omnes transforma-

tiones propriae formae (5; 1) Le. (50, 35, 19) in (275, o,–

1) per theoriain no-

strnni supra explicatam inreniuntur contineri sub formula generali

IGf– 275W, – -*+J0«, – l5^+275«, t– 15 M

ubi t, n designaut indefinite omnes numéros integros aequationi tt – 275«m– 1

POttir.VE DBÎ'KRMIKAKTIS 0. ^Jl

27A

satisfadeiites; qfîâre omnes transfonnatione» propritte formae (2, s, 7 in

'275, 0, 1) hinc oriundae eontentne erunt sub formula generali

65f– 1100k. – 4t+1iùu, – 15f-f-275«, t – iba

Simili modo omnes transformationes propriae formac '5, 4) le, (5o, ii5, 7«.i in

(275, 0. –1) continentur sub formula generali

H*+275«, f-j-14tt, –15/– 275m, – f– 15«

adeoque omnes transformationes propriae formue (2, 3, 7) in (275. 0, M hinc

oriundae sub hac

10^4-275j«, f+10«, –15^–275»/. –t~$U

Hae dune fornuilae igitur omnes transformationes proprias quaesitas amplcetun-

tur *) – Eodem veo modo invenitur, omnes transformationes improprias fortune

2. 5, 7) in '275. 0, – 1) sub sequentibus duabus formulis contentas esse:

(I) 05f– 1100m, if– 05«, – 15/-J-275W, – f-flôw

et 'II) 10>-|-275k. –t– 10«, – 15<– 275«. f-fl5«

Formae detrrminmith u.

215.

Ilucusque formas determinantis 0 ab omnibus tlisquisitionibus cxclusimus

de his itaque, ut theoria nostra ab omni parte compléta evaclat, quaedam adhuc

sunt adiieienda. Quoniam gencralitcr demonstratum est, si forma aliqua deter-

minantis D formam determinantis D' implicet. D' esse inultiplum ipsius JD,

statim patet, formam cuius determinans =0 alinm formnm quam cuius determi-

nans ctiam sit = 0 implicare non posse. Quare duo tantummodo problemaUi

solvenda restant, scilicet 1° propositis duabis formis F, quorum posterior hubet

determinantem U, datidicarc utrum prior j/osteriorent implicet vécue, et ht illo casu

omnestraïusforinationes illiits in Aanc exhibere, 2° Invenive omnes repraesentationes

uumeri dati per formant datant determinantis it. Problema primuin aliam mctlw-

*) C'oncinniusomnes truitstbrnintioiie»propriaeexhibentur per fonnulami«< -4- 55«, > + iu – \i– au. –t – 3u il

(lenotnntibus u indcfinilc omnes intrgroMnoquatiimi tt – i\ttn = «atinfacientcs.

.212 DE POBMI88ECUNDIQRADt'8.

dirai retjuirit, qimndo determinans prions foi-mae f etittifl est o, niiain qîatndo

non est 0. Hacc oinuîa iam exponumus.

I. Ante onniia observamus quumvis fonnnm a &<#•+ 'bbxy -cyy, cu-

ius (Ictcrinirians bb – «c = «, ita cxm'bori posse m'g,v- fty}* denotaiitibus

g, h numéros inter so primos m integrum. Sit enim m divisor communs ma-

xhmis ijisorum a, c eodein signo ncceptus quo lii numeri ipsi sunt ntfecti (hos

.siguu opposita habcre noit posse facile perspieitiiv), eruntque iutegri inter se

prinii non uogutivi, jji-ocluctiim ex ipsis= – e. quadratum, ndcoque illi ipsi

quadrnta art. 21). Sit^–ffff, ~~hh, cruntque etiam g. h inter se primi,

(Hihh = '–, et (ili= + •-•

lliuc mtct

m'yv + hy* fore = axx-ïbœy-cyy

tam propositae sint duae formao /) F, utraque détermina ntis o. et qui-

(1cm sit

= mtjx+W/, F = M{GX+HYf

itn utad G atl H sillt primi. Tum dico, si fonna implicet forniam F,

m aut ipsi M acqualem esse aut saltem ipsum M methï et quotientem esse qua-

dratuni et vice versa si sit quadratum integrum. F coutentnm esse sub

Si onim per substitutionem

x =aX+tY, y = yX+cY

in F tvnnsire supponitur, erit

%(GX+HYf = Q{a0+vA)X+{fy+U)Yy

unclc facile sequitur J esse quadratum. Ponatur = ee, eritque

e{GX-HY) = ± ({aff+rh)X+{ëg + èh)Y),le.

+ eG = ag-f/i, + eH =iïg-j-èh

si itaquc 0, ita dctcrniinantur ut sit (&G-$H = 1, crit

±c –©% + y/<) + .£>(6V+SA), adcoquo integer. Q. E. P.

Si vero, vice versa, supponitur, esse quadratum intcgrum ~ee, forma/'

iml)licabit formait! F. Scilicet integri a, o1, y, ita potcrtiut deterniinnri ut flaî

ruiùiAk i)ËTfc.ïjnsrANTis «. 213

..1

ay+yk = ±eG, tiy + èk ±elt

Aecipiantur enim integri g, ita ut fiât g^-f-OA– 1, satisfietque aeqmuioiii-

bus illis poneudo

a= ±eG$-fts, y z=. +eG\)–tfs

-= +<j-A/. -= +c~–~x'

qiiicunque valores integri ipsis z, z' tribuantur; quare F contenta erit sub

Q. E. S. Simul hautl diffieulter intclligitur, lins formulas omnes vnlores quos

a, ti, y, è naucisci possunt, i. e. omnes trnnsfonnationcs formne f in F exhihere.

si modo z, d indefinite oranes numeros integros exhibere snpponantur.

II. Propositis duabus formis f–axx- %bxy -f cyy cuius determinans

non =0, etF=M{GX~{-H Yf cuius determinans -.= 0 (designnntibus ut

ante G, H numeros inter seprimos), àico primo, si f implicet ipsam F, nume-

rum M per formam f repraesentatri posse; secundo, si M per f repraesentari

possit, F subf contentam esse; tertio, si in hoc casu omnes repraesentationes

numeri M per formumf indefinite exhibenntur ita x – i, ^=y, omnes trans-

formationes formae f in F exhiberi ita Gi, Ht, Gu, H<j. Quae omnia sequenti

modo demonstramus.·

1° Ponamus transire in F per substitutionem «, g, y, c, accipianturque

numeri (3. $ ita ut sit ® (? + £# = Tune manifestum est, .si ponatur

<v=a®-+-1}$, y = -f®8$, valorem formne fieri M, adeoque M reprae-

sentabilem esse per formam f.

2° Si supponitur esse aii-2biu-cvv = AI, manifestum est. per

stitutionem G|, H£, Chi, Ho, formam f transire in F. Quod vero

3° in hoc casa substitutio GZ,,IIi, Gu, Hu omnes tamsformationes formae

in F exhibent, si £, u supponantur exhibere omnes valores ipsorum m, y, qui

faciunt f–M, ita perspicitur. Sit a,ljty,è transformatio quaecunqae formae

fin F, et ut ante ®G-§H=: 1, Tum inter valores ipsorum <v, y cmntetiain hi

x =:a© + d^, y = y<3+8$

ex quibus obtiuetur substitutio

214 DÉ FOKMISSECBNBiORABPS.

G(a@+tf|>}. H!a®+$$), 0{r«+^; J5T{7«-M$}sive

a .-f-. ~(6<?-.aR). ~-+- ü'a H- g.G

Y+~~G-~). c+~jJT-~G~

Scd quoniam

~fax+6y)~2&(ctX+ër(YX+~y)+<jX+eF~ = ~Gx+~y;"

erit

a a c – 1> 7a =

Jf ; £ G – 7 H;1

c(Ï>y– aè7= MftG-aHf

adeoque (quum determinans formae per [aè – 6" 7/ multiplicntus aequalis sit

determinanti formae F i. e. =0, adeoque etiam a£ –67

=0],

ÏG–yH= 0, HG – aH=: 0

Hine substitutio illa transit in hanc a, 6, 7, <5,unde patet, formulant traditam

omnes transformationes formae f in F suppeditare.

III. Superest ut omnes repraesentationes numeri dati per formam datam

determinantis 0 exhibere doceamus. Sit forma haec m[gx-hyf< patetque

statim, numerum illnm per m divisibilem, et quotientem quadratum esse debere.

Si itaque numexus propositus statuitur =mee, perspicuum est pro quibus va-

loribus ipsorum x, y fiât m{gx-ltyY = tnee, pro iisdem fieri gx-hy aut

= -e, aut =– e. Qttare omnes repraesentationes habcbuntur, si omnes

solutiones aequationum linearium gx-hy – e, gx-hy = – e in integris, sunt

inventae. Has vero solubiles esse constat (siquidem g, h sunt inter se primi ut

supponitur). Scilicct si g. ï) ita determinantur ut sit 8^ + ^'==l. acquationi

priori satisfiet ponendo te = $e-{-hg. y=

[je – yz: posteriori vero facieudo

ji ;= – §e-hz, y – – \)e – gz. dénotante z intcgrum queincunque. Simul

vero formulae hac omnes valores integros ipsorum .t1, y exhibent, si z indefinite

numerum qucmvis integrum designare supponitur.

3OJE.CTIOÀEQITATIOKUSrINDEl<EKMHfATA«Uïf. 215

Solutto gênerait* omniumiityiiulianam inthtvnnimtlwniM scmwdiyratlus dua» incoymlat Impliewdiiim

/»)• numéros intégras,

His dtsquisitionibns coronidis loco apponimus

216.

Pbobi^ma. Invettire omîtes sohtiones aequationis getteralis*) indeterminatue

secundi gradus duas incognitas implkantis

a « + 2 b xy -f cyy -f- 2 dx -+- 2 ejf -f– »

'ubi a, b, c etc. mnt integri quicuuque dati) per numeros integros.

Sol Introducamus loco incognitarum x, y alias

fj=

[bb – «c)a?-f-J<? – cd et q ==(bb-~ ac)y~bd – ne

qui manifeste semper erunt integri, quando x, y sunt integri. Quo facto habe-

bitur oequatio

app-Upq->rcqq-f[bb – ac)*(bb – ac)(aec– 2bde-cdd)– «

sive posito bvevitatis gmtia numéro

f{bb– acf-(bb– ac)!aee– 2bde + cdd) = –M

hnee

app-{-2bpq~cqq –M

tam onuies solutiones huius aequationis. i. e. omnes rcpmesentationes aunierî M

per formant {a, b, c) in praecedentibus inveuire docuimus. Si vero ex singulis

valoribus ipsorum p, q, valorcs respondentes ipsorum x,y adiumento aequntionnm

j. l' +Sjf_bl: g + ae– bd.v =bb – «r bb – ac

detenniiHuitur, facile perspicitur omncs hos valores acquatioui proposituc satis-

faire et nullos TOlores integros ipsorum x, y dari qui hoc modo non obtinean-

tur..Si itaque ex omnibus valoribusipsorum a, y sic prodeuntibus valores

fractos ciiciinus omnes solutiones quaesitae remnncbunt.

Circa hanc solutionem scquentin sunt observanda.

') Si uoquatio proponcrctur in (jua cocfBcicns«ccundus cjuartiKrel tjuiiilus non i-ssctpar,multi|ilienlaper i uat»forniam rccipcret rjuiim hic supponinius.

21& DE TORMIS 8ECDN0I OBADCS»

t" Si aut M per formant fa, ô, c) repraesentari non potest. aut ex milia

repmesentutione vnlores integri ipsorum .r, sequuntur: aequatio in intégra nullo

modo .solvi potcrit.

2° Qunndo dctorminans fonnae 'a,b,c\, i, e. nuniems hb – ac est nega- |

tivus. velpositivus qundmtus sitnulque- M no» – « multitude»

repraeseutatio~ |

num nuiucri M lier formnm («, &, c) erit fiuita, et proin ctinin mtiltitudo on»-|

niam soluttomim aequationis pwpositae (si quae omnino dantuv) finita erit. i

•lu Quamlo bb – ae est positivas iiou-quadratus vel qundrntus et sinml

M – i): nuinerus M, si iillo modo, wfîtitis vtodis dieersis per fonnam '«,«•rw

rcpraesontiui ]iuterit; sed quoniam impossibile est, lias repraesentationes onines

ijms invcnire et tontnrc utrum vtilores iute^ros ipsoram x,y praebeant nn fine- «

tos, îu'cessnrium est rcgulnm tratlere per qnnin qunndo forte nulla omiiino vu-

prneseutntio vnlores intégras ipsorum <v, y praebere iiotest de hac vu certi fieri

])ossimus> 'nam quotcunque reprnesentationes in hoc casu tentatae fucrint. nbsque

tali régula ad certitudinein mnnqunm perveniremus}; quando vero aline veprac-

sentntionus clant valores integros ipsorum x, g, aliae fractos: docendnni erit quo-

modo hae ab illis a priori gencralitcr di^nosci possint.

l" Qunndo lh – ac = i): valores ipsorum x, y per formulas prucceden-

tes omnino non possunt determinari quare pro hoc casu metlwdus jjeculiaris inve-

stijïari debebit.

217.

Pro eo cusu, ubi bb – ac est uumeruspositivus non-quadratns..sujjra

docuimus. omnes repraesentationes numeri M per forinam ajjp -f- îbjtq -(- cqqq

si quae omnino dentur) exhiberi posse, per unain vel per jilures formulas taies

!J ~( t tLi tt, rJ -= ,N ( -i- ~` t! j

denotantibus ?{, 58. S. 35 numéros in tegros dtitos. m divisorcm eomnninem maxi-

nuun numerorum a, 1b, c; denique t, u indefinitc omnes numéros integros at--

([iiationi tt – [bb – ac,uu– mm .sati.sfaeientes. Quoniam omnes valores

ipsorum t, u tiun positive tum négative accipi possunt pro siugulis illurum ibr-

inaruniquaternatt alias substituere poterimus.

p=

ifWt + tov), q ,],{&-+- 35«

l> -= i (SI 58 u q = J- [dt–D u

SOUTIO AEQt;A'HONBM INDErKUSflSATAHCV; 217

2S

= &(–~+~ ? q == ,,K–6~+~)

P--y*i + 9*). î =-*(«* 4- »«ita ut multitudo omnium formularum nunc quater maior sit quam antea t et w

vero non amplius omnes numeros aequationi tt – [bb – ac\uu = mm satisfa-

cientes exprimant, sed positivos tantum. Quaevis harum formarum itaque seorsini

eonsiderari, et qui valores ipsorum t, u praebeant valores integros ipsorum x, y,

i»vestigari debebit.

Ex formula

P = trWt + S&u,, q=

-L{®t + 2)u) [ï]

scquuntur valores ipsorum x, y M

“ N<+a«+nte~–M)t<- S<!+'BM+M«e–wM«i(64 – oc)

9n»(64-«f)

mbd

Supra vero ostendimus, omnes valores (positivos) ipsorum t constituere progres-sionem recurrentern t°, t', t" etc. similiter valores respondentes ipsius « quoquescricm recurrcntem formare n?, «', u" etc.; praeterea assignari posse numerum ptalem, ut secundum modulum quemcunque datum fiat

tt t°, t*+l t', #'+* = t" etc.. «P u°, «P+1 = u etc.

J*ro hoc modulo accipiemus numerum m{bb – ac), designabimusque brevitatis

gratia valores ipsorum x, y qui prodeunt ponendo t = t°, u – u", et quibustribuemus indicom 0, per x°, y°; similiterque eos qui prodeunt faciendo t = t',

u = m', per af, quibus tribuemus indicem 1, etc. Tune nullo negotio perspi-

cietur, si y1* fuerint numeri integri atque • p rite deterrninatus, etiam .«/l+f,

/'+P; nec non J+*t, y+«P et generaliter */l+*?. /+*?, intégras fore; et

contra si .?* vel sit fractus, etiam «*+* vel /'+*? fractum fore. Hinc

titcile Gonclnditur, si valores ipsorum x, y, quibus indices 0, 1, 2 p – i eoni-

jietunt. e\olvantur, et pro nullo liorum inclicum tutu .v, tum y integer sit, nullumoui nino indicem dari, pro quo tum <v, tum y valores integros recipiont, in quo

casu ex formula [11 nulli valores integi-i ipsorum x, y deduci poteruut. Si vero

inter illos indices aliqui sunt, puta ji, \x, ji" etc. quibus valores integri ipsorum

j-, y respondent, omnes valores integri ipsorum x, y, qui quidem ex formula il"

obtineri possunt. ii erunt. quorum indices sub aliqua formularum jA-f-A-f», ji'-M'p,

S18 \m ÏOBM18 .'SHCVNU OIMDI.'S.

{*"•+•*p etc. sunt contenti, dénotante k imtéfitnte omnes numerus integros pu-

sitives, inclusa etiam cifra.

Formulae roliquae sub quibus valores ipsorum p, q contenti sunt, prorsus

eodem modo sunt tractttndne. Si contingeret, ut ex nulla omnium harum for-

mularum valores integri ipsorum x, y obtineantur, aequatio proposita in integris

nullo prorsus modo solvi possot; quoties vero revera est solubilis, omnes solutio-

nes in integris per praecepta iu praeee. tvadita exhiberi peteraut.

218.

Quando bb – ac est numerus quadrntus atque M = o, omnes valores ip-

sorum p, q comprehensi erunt sub duabus huiusmodi forraiilis p=y\z, q =%s;

]) = Wz, q = 5Q'g, ubi s indefinite désignât quemvis nuraerum integrum 91,53.

2T, 3.V vero sunt integri dati, quorum primas cum secundo, tertiuscum quarto

divisorem communem non habent (art. 212). Omncs itaque valores integri ipso-

rum .i1, y ex formula prima oriundi contenti erunt sub formula [1]

gg-f frf – la Sbt + ae – id`

bb – «c'-`~

bb – ac

omnesque reliqui ex formula secunda oriundi sub hac [2]

“ Ws+rd-be e m+ne-bd d

– ~if-7^ y–

– w^r~

Sed quoniam utraque formula etiam valores fractos praebere potest nisi

bb – ac = 1) opus est ut eos valores ipsius z, qui tum ipsum x tum ipsum y

integrum reddunt, a reliquis in utraque formula separemus; attamen sufficit pri-

mam solam considerare, quum pro altéra prorsus eadem methodus adhibenda sit.

Quoniam SI, 58 inter se primi sunt, duos numeros a, 6 itadeterminare

licebit, ut iiat a 21+ b 33 = 1 Quo facto habetur

ax-+-bt/)(bb – ac) –z-a(cd–bé)-+-b(ue – bd;

unde statim patet, omnes valores ipsius z qui valores integros ipsorum e, y pro-

ducere possint, necessario numéro o(6e – crf) + B(i<? – ae) sec. mod. bb – ucc

congrues sive sub formula (bb – a c) z' •+ n (6 e – c(t)~{-i(bd – ae) contentos esse

debere, designante z indefinite numerum integrum. Hinc facile loco formulae

[1] obtinemus scquentem

MomiO ABQl'ATIOKr» IKDKTKBSmfATOKDI. 219

2S%

v 6x~a-°~`"~ ba ~é

M – Mz' tt X~= ar) ~sD(G~·-ctt)y – ~g – a x-––r,,<:––-

quum Mut pro omnibus valoribus ipsins x' aut pro nllllo valorcs intègres ipsorum

,c·, y praebere manifestum est, et quidem casus prior semper 10cuUl liabebit, quando

~(~–ac) et ~(&e–e~) sec. mod. LL-ctc sunt congrui. posterior quundosunt incongt'ui. 1'rorsus eodctn modo tractanda erit formula '2'. solutiones-

que in illte~;ris (.si quas prueberc potcst) a reliquis separandae.

219.

Quando bG-cac = o, formaa~t'-(-2&~+c~ cxhibcnpotcritHa:

1Il(a.f+u9~ ubi m, a, 6 suntintegri (art. 215;. Ponatur a trans-

itque aequatio proposita in hanc

?<+ 2 ~A' + 2 P~ -+/ == U

undeetex x .= :ct.t'-)-6y, deducitur

%.m~x-f-2rs-H Lf_ xne:z-t`la~-aJ.if

2ac-llrl~ ~2C<<–2te

w

lam patet, nisi fuerit ae iid (quem casum statim seorsint considerllbimus j,

valores ipsorum v, y, ex lus iormulis deductos tribuendo ipsi x valorem quem-

cunque, aequationi propositae satisfacel'c; quare nihil superest. nisi ut eos va-

lores ipsius z dcterminarc doccamus, ex quibus valores inta~ri ipsorum V, y se-

qnantur.

Quoniam av -+-1iy= z, necessario pro z numeri i~ateyrt talltuln accipi

possunt; praeterea vero manifestum est, sialiquis valor ipsius x tum ipsum e.

tl1mipsunl y intcgrum reddat, omnes valores ipsius x illi sccnudum modlllum

lae- 2 6 d congruos itidcm valores integros producere. Quodsi itaque pro =

omnes numenintegri a 0 tisquead 2 a e 2 û d (quando a e û d est posi-

tivHs~ aut ad 2~c1-2ae-1 (quando ae–6</ est iiegativus) iiiel. substituulitur.

et pro nullo horum ,.a1ornm tum x tuln y integri fiunt, nullus onulino valor ipsius

valores intègres ipsorum ,u, y producet, nequatioque proposita in integris nullu

modo poterit resolvi; si vero quidam ex illis valoribus ipsius ipsis x, y vttlores

illtegros conciliant, puta hi 4, .1, etc. (quos etiam pcr solutionern collgruentia-

rum secundi gradus ex principiis sect. IV illvenirc` Ucct); orurtes solutiones prodi-

220 mvoumsSECeirai'qrmk».

bimt ponentto g *= (2ae – 2S</}»-f Ç, z = {%*e – 26rf)»4-C etc., desigmutti'

0 indefinite omnes numeros integros.

220.

Pro eo qiwra cxclosimus casu, ubi ae = l)(i, methodura peculiarem iiula-

gare oportet. Supponamus, a, d inter se primosesse, quocllicere ex art. 2ir>. I

constat, critquc = |- numertis integer (art. 1 9) quem statuemus =A. Tune

acquatio proposita hanc induit formam

max + »»% + hf – hh-mf= o

manifestoque adeo rationaliter solvi nequit, nisi h h – mf fuerit numerus qua-

dratus. Sit hh – mf–kk, patetque aequationi propositae sequentes duas ae- |

quivalere

ma.iV-mt>y-h-t-k= o, et maœ -+-mi>i/ h – k = o

e. quamlibet solutionem aequationis propositae etiam alterutri Imrum aequatio-

uum satisfacere, et vice versa. Aequatio prior manifesto in integris solvi nequit, i

nisi h-k per m fuerit divisibilis, simili terque posterior solutionem in integris ]

non admittet nisi h – À* per m fuerit divisibilis. Hae vero conditiones ad re-

solubilitatem utriusque aequationis sufficiunt (quia a, inter se primi esse sup-

ponuntur) omnesque solutiones secundum régulas notas exhiberi poterunt.

221.

C.'asum in art. 217 consideratum (quia omnium difiieillimus est) exemple) il-

lustramus. Proposita sit aequatio xœ %xy -yy- 2 a? – 4^-f-l=o. Ex

hac primo per introductionem aliarum incognitarum p = 1 5* – 9, q – l Sj/ H

derivatur aequatio pj>~{- Spq-{- qq = – 540. Huius autem solutiones omnes in

integris, contineri inveniuntur sub quatuor formulis sequentibus:

y>= G/, q = –2it– 90»

p = Gt, q = – 24* + 90«

p = –6/, q = 24t– 90î*

= –Qt, q = 24*+ 90 «

dciiotantibus t, « indefinite omnes numéros integros positivos aequationi

ANNOTATIONIS HBTÔKICAK. 221

,a:aC .a~r.ea_ .i!u_- u 1_-tt– 15«w\=| satfsfaeiente», quo* compleetitnr formula:

t = £ ((4 + y'15)" + (4 – \/t 5/*)

ce==.(:~+Vt-t5/')

si m indefinite omnes numéros intégras positivos (inclusa etiam cifra) désignât,

(inamobrem omnes valores ipsorum x, y contenti erunt sub formulis his:

iP –|-(2#+3). y =

– (S #4- 30k H- 2)

= ^-(–2^4-3), j^ =i(Sf– 30m– 2)

,1: ==~-(–2~+3). -=

~(~–:)OM–2)

=1(– 2*+3), .y = i(«/4-30« – 2)

l'raeceptis autem nostris rite applicatis, reperietur, ut valores integri prodeaut, in

formula prima et secunda eos valores ipsorum t, u accipi debere, qui proveniantex indice n pari; in tertia quartaque vero eos, qui ex impari n obtineantur.

Solutiones simplicissimae habentur hae: m=. 1 – 1 – 1 y = – 2, o, 12 2 resp.Ceterum observare convenit, solutionem problematis in artt. praecc. expli-

cati plerumque per inultifaria artificin abbreviari posse. praesertim quantum ad

exclusionem solutionum inutilium i. e. fractioucs implicantium pertiuet; sed haec

ne nimis lougi fiainus hoc loco praeterire coacti sumus.

Aniiutationcs kistoricae.

222.

Quoniam complura ex iis quae hucusquc pertractavimus otiaiu ab uliis fîco-

motris considerata sunt, horum merita silentio praeterire non possumus. De for-manm aeptimlmtia disquisitiones générales instituit ill. l,a tîrange, Noue. Màn.

de l'Ac. de Berlin, 1773 p. 2tî3 et i775;>.323 sqq., ubi imprimis ctocuit, pru quo-vis dcterminante dato multitudinem finitam formarum dari ita companitamm ut

quaevis forma illius determinantis alicui ex ipsis aequivalens sit. adeoque omues

formas determinantis dati in classes distribui posse. Fostea clar. Le (jeudre plures

proprietates élégantes huius classiiicationis ad maximam partein per iuductionem

detexit, quas infra trademus demonstrationibusque muuicraus. Ceterum distine-

tionem aequivalentiae propriac et impropriae, cuius usus maxime in disquisitio-Jiibus subtilioribus couspicuus est, nemo hucusque attigerat.

Froblema famosum in art. 21 G sqq. explicatum ill. La Uruugu primus coni-

222 I>BPORSHS«ECl'SBI OHADTO*

plete resuivit, Hist. de ÏAe. de Berlin, 1767 p. 105 et 17ÔS p. 181 sqq. Exstàt

solutio fsetl minus complétai etiam inSttppl. ad Éuferi Atyebram iam soepius Ihu-

tlatis. Iam untea ill. Euler idem argumentant aggressus fuerat, Comm.Petr. T. VI

175 Comm. Noe. T. IX p. 3 Ibiâ. T. XVIII p. 1 55 sqq.. sed investigationem

sitarn eo semper restrinxit, ut ex aliqua solutione, qunm iam cognitam esse sup-

ponit, aliae dcriventur; praetereaque ipsius methodi in paucis tantummodo casi-

bus omnes solutioncs snppeditare raient(vid. La Grange Hist. de t'Ac, de Berlin

1707. j>. 2')tr Quum ultima hariun trhira comincntt. reccntioris dati sit quam

solutio La Graiigiaua, dune problema omni geucralitate amplcctitur llihilque hoc

respectu desiderniiduin relinquit: Euler tune temporis (Tomus XVIII Commcn-

tariorurn pertiuet ad anmuii 1773, et a. 1 774 est publicatus) illam solutionem non-

duni novisse videtur. Cctcrum solutio nostra (perinde ut omnia reliqua quae in

hac sectionc hactenus tradidimus) principiis onmino diversis est superstructa.

C)uae ab aliis, Diophanto, Fermatio etc. hue pertinentia sunt tradita, casus

maxime spéciales spectant; quare quum eorum quae praesertim mempratu digna

visa sunt. iam supra mentio facta sit, sigillatim omnia enarrare supersedemus.

Quae hactenus de formis secundi gradus exposuimus, pro primis tantum

démentis huius doctrinae sunt habenda innixiiis liane disquLsitioncm persequon-

tibus campus se aperuit uobis vastissimus ex quo en quae attentione iinpriniis

digna ridentur, in sequentibus excerpenuis. Xnnique argtimciitum hoc tant fer-

tile est, ut permulta alia, quae iam nune invenire nobis contigit, brevitatis gratin

silentio praeterire oporteat: multo vero plura sine dubio adhuc latent novosque

conutus cxspcctant. Cctcrum in limine haratn investigationuni statim adnotarc

conveuit. formas determinantis 0 inde exclusas esse. nisi contrarium moneatur.

DKQUISiriOX£S VLTBSIOHJES DE FORMIS.

Disiribulh formant mdéterminant h dati in classex,

223.

Iam supra (artt. 175, 195, 211) ostendimus, proposito numéro quoeunque

intefîro D sive positive sive negativo) assignari posse multitudinem finitam for-

marum F, F', F" etc. determinautis 1), ita oompamtaruni. ut quacris forma de-

6l»fKmi"«O FOHJfARt'M IN CCASSES. 22S

terminatttis D proprie aequivalens sît alicui ex illis et quidem unicae tantum.

Omnes igitur formne determinantis D 'quartun multitudo est inh'nita) seeundimi

illas formas clutssificari poterunt, formaiulo scilicet e «mtplexu omnium formnrum

fortune F proprie nequivaleutium classera primant; e formis quae formne F' pro-

prie aequivnlent, secundora etc.

Ex singulis classibus ibrmarum determinantis dati D, forma aliqun eligi et

tamqunm forma repraesentans totius classis considerari poterit. Per se quident

prorsus arbitrarium est, quaenam forma ex quaque classe accipiatur, attamen ea

semper praeferenda erit, quae reliquas simpUcitute superare videtur. Simplicitnsformae alicuius (a, b, c) maniftsto ex magnitudine numerorum a, b, c aestiman-

da est, meritoquo forma («', V, c') minus simplex dicetur quam (a, b, c) si «'>«,

b'>b, c">e. Sed hiuc res nondum determinatur penitus, arbitrioque nostro re-

linquitur e.g., utram ex formis (17, 0,-45), (5, 0,– 153, pro simpliciori ha-

bere nialimus. Plerumque tamen e re crit, sequentem normam observare:

I. Quando determinans D est negativus, adoptentur formae reductae in

singulis classibus conteutae taniquam formae repraesen tantes; ubi vero iu eadem

classe duae formac reductae reperiuntur (quae erunt oppositae, art. !72\ recipia-tur ea, cuius terminus médius positivus.

II. Quando determinans D est positivus non-quadratus, cvolvatur perio-dus formae nlicuius reductae in classe proposita contentae, in qua aut duae for-

mae ancipites invenientur aut nulla (art. 1 S7).

1) In casu priori siut formue ancipites hae: [A, B, C), {A, B', C'y, resi-

dua minima numerorum B, B secundum modulos A, A' resp. M, M' 'quae

positive accipi poterunt msi sunt = 0} denique-~–

= N, !ti?™£ – tf\positive accipi poterunt nïsi sunt 0;; denique .¡- .1; ~1'-=

His ita factis, ex formis [A, M, – N), {A', M', –A1") ea quae simplicissima vi-

detur, pro forma représentante accipiatur. In hoc iudicio forma cuius terminus

médius = 0, praeferatur; quando vero terminus medius aut in utraque aut in

neutraest 0, ea quae terminum primum minorem habet, alteri praehabenda, et

quando termini primi magnitudine sunt aequales signis diversi, signum negati-vum positivo postponenduni.

2) Quando vero nulla forma anceps in tota periodo habetur, eligatur ex

omnibus periodi formis ea quae terminum primum sine respecta signi minimum

224 DE FQRM»8ECDNPIGRADU8.

habet, it» qttideïft, ut si dnae foimae in eadem periodo occurrent, in quarum al-

téra idem terminus primus signo positivo nffectus sit in altero negativo, posterior

priori postponatur. Sit haec forma {A, B, C,, deducaturque ex ipsa codera modo

ut in casu praec. forma alia {A, M.–-N) (puta, accipiendo pro M residuum ab-

l mïliitnuut ipsius .Zf secundum mod. A, fi, d 11%M.V.)h

haecsoluto minimum ipsius B secuntlum mod. A, et faeiendo N=~~A ):

haec

demum pro repraesentnnte adoptetur.

Quodsi vero cveniret, ut idem terminus primus minimus A ]>luribus {leriodi

forniis conimunis sit omnes hae formae eo quo praescripsinius modo tractandae

et ex formis prodeuntibus ca cuius terminus medius quam minimus evadit tam-

quam forma repraesentans assumenda erit.

Ita e. (f. pro D= 305 habetur periodus inter alias haec: (17,4, 17),

(–17,13,8), (S, 11,– 23), (–23; 12,7}, (7,10,-7). (–7,12,23:, (23,11, – S\

i – 8. 13, 17), ex qua primo eligitur forma (7.10, – 7), hineque secundo cleduci-

tur forma repraesentans (7, 2, – 43\

III. Quando determinans est positivus quadratus =&k, ernatur forma

reducta (A, k, 0) in classe proposita contenta et, si /i< aut =k, pro for-

ma repraesentante ipsa recipiatur si vero A > k, nssumntur illius loco forma

A – 2£, k, 0), cuius terminus primus erit negativu-s, sed niinor quam k.

Ex. Hoc modo omnes formae determinantis – 235 distribuulltur in

classes sedecim, quarum repraesentontes erunt: (1, 0, 235), (2, 1, 118), (4.1, 59).

/l. – 1, 50;, 5. 0, 47). '10, 5, 26;, (13, 5, 20), (13, –5, 20). octoque aliae a

prnecedentibtts in solis siguis terminorum externorum diversae (– 1. 0, – -235

:~2. 1, –US) etc.

Omncs formae determinantis 79 in sex classes discedunt, quarum reprae-

sentantes '1.0,-79;. '3.1. – 26;. (3, – 1. – 20), (–1,0,79), (–3,1.20.,

– :3. – 1. 26.

224.

l'er hanc itaque classilicationem formae quae proprie aequivalentes sunt, n

reliquis omnino segregabuntur. Duae formae ciusdem determinantis D, si ex

eadem classe sunt. proprie aequivalentes erunt; quivis numerus per unam reprae-

seiitabilis ctiam per alteram repraesentari poterit; et si numerus quicunque M

per formam priorem ita repraesentari potest. ut indeterminntae valores inter se

«(SWHmtTIO FORMARCMIN CÙ&SgS. 225

2!t

jM'imos Iiftbcnnt. idem mimeras per alterctm formant' eodem niôdo ropmesentari

potcrit. et quidein ita, nt utraque repraesentatio ad euudcm valorem expression!*

\/J) raotl. M, pertinent. Si vero dune foruiac ad classes diversas pertinent, pro-

prie «équivalentes non eruiit; a repraesentabilitate nuniuri alicuius dati per unam

ad repmesentabilitateru ciusdem nunicri per nltetum eoueludi uequit; contra si

numerus M per nltcrnm rcprnesentari potest ita ut valorcs iudeterminatarum iu-

ter se primi sint. stathn oorfi siunus, nullum sïnrilem repruesentationem ciusdem

numori per formam altcram dari, quae ad eundein valorem expr. \D moil.M

portincat Y. artt. 107, 1 OS).

Contra «tique fieri potest. ut formai' duao F, F', o classibus diversis K, A"

impi-opric aequivolcntcs sint, inquo casu guaevis forma ex altéra classe aiim foj--

mat- ex altera improprie aequivalebit; quaevis forma ex K formam sibi oppositamhabebit in K', classosquo ipsae A'. K' oppositae dici-ntur. Ita in exempta primoart. praec. classis tertia formarum det. –235 quartac, septirna octal-ne opposita

est in ex. secundo classis secunda tertiae, quinta sextae.Propositis itaque dua-

bus formisqnibuscunque e classibus

oppositis. quivis numerus M qui per alteram

repraesentari potest. etiam per alteram poterit; quod, si in altéra fit per valores in-

determiimtarum inter se primos, in altera perindo fieri poterit, ita tamen. ut liac

duac repraesentationes ad valores ojipositos expr. y'D.'mod. M) pertineant.Ceterum reguke supra traditae pro eleetionc formarum repraesentantium ita sunt

coustitutae, ut classes oppositae formasreprésentantes oppositas seniper nancis-

cantur.

Deniquc dantur etiam classes sibi qms oppositue. Seilicet si forma aliquasimul cuiu forum opposita in eadem classe continetur, facile perspicitur omnes

formas huius dassis tum lu-oprie tumimproprie inter se aequivalentes esse, ojijio-

sitasquc suas seemn habere. Hanc indolcmqttae\is classis habebit, in qua forma

anceps continetur. et vice versa in quavis classe sibi ipsi opposita uccessario forma

anceps reperietnr 'art. 103, 105), quamobrem <r/«**«.yauwps nuncupabitur. Ita

inter classes formarum determinantis 235 octo ancipites habeutur. quariun re-

praeseutantes sunt il. 0. 235), (2. 1. lis; '5, 0, 47), '10, 5, 20;, •'– 1, o, 235;,2- J- 11(* '~3- y- – 47), ( – 10. 5. – 26'; inter classes formarum deter-

minantis 7U dune, quarum repraesentantes 1. o. – 7!l)..– I. o, 70).– Ceterum

si formne repraesentantes secundum regula-s nostras determinatae sunt, classes

aucipites nnllo negotio inde cci^nosci potcruut. Seilicet pro cleternlinllnte positivo

22G «K FOKMI8 RkCÏ'Sm OÏÏÀDtS.

non-quadrato elassis aneeps certo formant repraesentautem âncipitctn nanrisdtur

{art. 194); pro déterminante jiegativo forma repraesentans classis ancipitis aut ipsa

anceps erit, aut talis cuius termini externi sunt aequales (art. 172;; dcuiquc pro

déterminante positivo quadrato per art. 210 facile diiudieatur, an forma ropraesen-

tans sibi ipsi iuiproprie aequi valons sit ndeoque classis, quatn repraesentat, onceps.

225.

Iam supra (art. 175) ostendimus, in forma (a, b, c) determinantis negativi

terminos externos eadem signa habere tum inter se tnm cum termiiiis cxternis

cuiusvis nliae formae illi aequivalentis. Si a, c sunt positivi, formani 'a, b, c,

positivant voeabinms nec non totam classcm in qua a, b, c) continetur et quac v

solis formis positivi.? constabit, classent positicam diecnnis. Contra [a, b, c) erit

forma negatim, et in classe negatiw contenta, si a, c sunt negativi. Per formani

positivant numeri negativi, per negativam positivi repraesentari nequeunt. Si

forma [a, b, c) est repraesentans alicuius classis positivae forma (– a, b, –c

repraesentans classis negativae erit, unde sequitur, multitudineni classiùm positi-

varum nmltitudini negativarum aequalem esse, et, simul ac illae fuerint assigna-

tae, etiam lias haberi. Quocirca in disquisitionibus super formis determinantis

negativi plerumque sufficit classes positivas considerare, qnippe quarum praprie-

tates ad classes negativas facile transferuntur.

("eteiaim distinctio haec unice in formis determinantis negativi locuni habet;

per formas determinantis positivi sine discrimine numeri positivi et uegattvi re-

praesentari possunt, quin adeo haud raro duae formae tales '«, b, c), [ – a, b, -c)

in hoc casu ad eandem classera sunt referendae.

Distribiilio elatsium in ordina.

220.

Formam quamcunquc (a, b, c, primitimm vocamus si numeri a, b, c divi-

sorem communem non habent; alioquin dicitur derivata, et quidem, posito nninc-

rorunt a, b, c divisore communi niaximo =w, forma (a, b, c) erit derivata e forma

primitiva (– --). Ex hac definitione statim liquet, otnnes formas, quarumv>tt tu tt`~· q q

déterminant per nulluin quadratum 'praeter 1) divisibilis sit, necessario primitivas

esse. Porro ex art. 161 patet, si in aliqua classe data formarum determinantis

D forma primitiva inveniatnr. omncs formas liuius classis primitivas fore. iu quo

DISTHIBITIO CtASSICJ* tX OKWNEif; 227

•2(1•

ciwu elassis ipsa primitiea dieetut'. Porro manifestum est. ai forma alitma F de-

terwiimwtis D derivata sit ex forma primitiva determinantis n dasscsque ht

quibus fortnac 2*1, resp. contincuntur, sint li, X", omnes formas o classe K deri-

vatas fore e classe primiti va k\ quocirca classcm K ipsam ex cktsse primitiea /(

(hrkutam in hoc casu vocabinuis.

Si («, b, c) est forma printitiva, neque vero a, c simul pares (t1. e. si tutt

uterque impar aut saltem nlterttter) facile intelligittir, non modo a,b,c, sed

etîam a, 2b, c divisorem commmicni liabere hou posse. in quo casu forma («, 6, c

dkitm pruprie jm'mitiva sive m\>lmter forma propria. Si vero («, b, c. est forma

primitivn, numcri a, autom nmbo pares patet, muuoros u,2b,c dhisorcm

commancm 2 habere (qui simul erit maximus) vocabiturquo '«, b, c; forma im-

projme jmmitim, me sinipliciter forma impropria*). In hoc cnsu b neccssario

erit impar (alioquin enim (a, b, c) non essct forma prhnitiva); quare erit 64– 1

mod. 4) adeoque quoniam «c por 4 divisibilis, dctermiuans bb – «c = l (mod. 4,.

Formae impropriae itaquc tantumiaodo pro déterminante formae 4 n 1 si est

positivus. vcl formne – [\n~A), si est negativus, locum hobent Ex art. ICI1

uutcin perspicumn est, si in classe aliqua data forma proprie primitiva inveniatur,

omnes formas huius classis propric primitivos esse; contra classem quae formam

improprie primitivani implicet ex solis formis impropric primiti\i.s constare. Quain-

obreiu classis ipsa iu casu priori proprie primitiva seu siinplicitor/mi/jm; in poste-

riori improprie primititu seu imprupria appellabitur. Ita e.g. inter classes posi-

tivas foriuurum deternùmuitis – 2a sex suut propriae, puta quurum repraesen-

tantes '1 0, 235;. (4. 1, 59), :4,1

). 59). u, 0, 47), (13, 5. 20). 13, –5, 20).

totidemque inter ucgativas; binae vcro inter utrasquc impropriae. Classes

formarum determinantis 79 (utpote numeri formae 4 n -J- il) omnes saut propriac.

.Si forma a, b, c, est derivata, et quidem primitiva {" *. , haec aut,>1 formu :ca, l, e;, est ( cr1\'ata, et qttidein e lmintitivtt Mtliaec aut

propric primitiva aut impropric esse potcrit. In casu priori m crit divisor com-

munis maximns etiam numerorum a, 2b, c; in posteriori horum munerorum div.

comm. mux. erit 2 m Hinc intelligitur distinctio inter formam e forma proprie

primitiva dericatam et formam ex improprie primitiea derivatam; née non (quoniam

propter art. 101 omnes formae eiusdem classis hoc respectu perinde se habent)

') llos terminus propriu et improprie ideo hic clogimus, quia alii mugis itlonei non oecttm-bant, quod ad-

monemus, no quls inter hanc signifleationumeumque qua inde ab art. t usi sumus, uuxuinoccuttum quacrat,

qui nullusadest. Ceterum ambiguitas certe hinc non est meluenda.

223 DE KOBMISSECL'HIK GHABL'8.

inter chtssem (lematam e classe pmptie primitiva et elassem et improprie primitiva

derieatam.·

l'or lias distinetiones fundnmeutum jiriimun nacti sumus, cui distributionem

orlluium clnssium formnrum dcterminnntis dati in varies ordincs superstition; pos- £

sumus. Classes rimis, qunrum représentantes sunt format» («, h, c), [a, b', e) i»|

enndem unlùiem coniicieiuus, si tum numeri a, b, c cundem divisorem communon ï

maximum hahent ut a', lt, e', tum a, 24, e euntlem ut a, lit, «'; si vero aut alter- [

titra nut utraque lmruui conditionum locum non habet, classes ad onlint-s di reniai

referentur. Hinc statim patet, omnes classes proprio primitivas unum ordinem

coiistittiere. omnes classes improprie primitivas, alium; si mm est quadratum

detenuiuiuitum D tuetieiis, classes tlcrivatae e classibus proprie priinitivi.s deter- iS

nlinlluti, t~ £' 1 ordirleln peculillrem, nliumqne 1 derivittne e l,minantisformabunt ordinem peculiarem nliumque classes tlerivatne e classi- 5

bus improprie primitivis determinautis – etc. Si forte D per îuilluui quodra- ï1//1//

tum i>raeter t; divisibilis est, ordiues classitim derivatarum non aderunt adeoque 3

aut luuis tuntum ordo dabitur quando D= 2 vel 3 sccumlum mod.4), puta ordo (

classium proprie priinitivarum, aut duo (quando 2>=1 (mod.4}) scilicet (). clns- f

siiuu proprie priinitivarum et O. cl. intpr. priinitivarum. Per principia t-tilculi

combinatiouum haud difficile conditur régula sequens ^eneralis: Si supponitur

1) – D' 2Ï|A «8*6*! c*t – ita ut D' nullum factorem quadraticum implicet, et l]

a, b, c etc. sint nutncri primi impares diversi (ad quam formam quivis numerus '<

ri'digi potest faciendo /j= 0, quando D per 1 non est divisibilis; et a, 6, y etc.

umnes =1», sive quod eodeni redit omittendo factores aîa, 63Î, c8ï etc., qunndo D

por nullum qaadratiuu impar dividi potest): habebuntur aut ordines

~+')~+')~+1)(7+!).

iiumpc quumlo 7J'= 2 vel 3 mod. J ',: aut ordines

> + 2) «+!)(«»+ «)Î7+»y.

quaudo X)'= 1 mod. -1'. Sed dcmomtnitionem huius reculât1 supprimimuii, quo-

nium llctluc ditfioilisneque hic adeo uccessaria est. “

Kv. I. Pro D– 15 = 5. 3* habentur sex classes, quarum représentantes t

:i. 0, – -iSj, '–1.0.45), (2,1,-22), (–2, 1,22), (», 0,-15), 'G, 3, – C). t

Ilao distribuiuitur in quatuor ordines, scilicet (). l coiuprehendet duas classes pro-

prias (juaruni repr. 0, – 15),–

I, 0. 45); (). 11 continebit dnas classes ini-

OHWSt'MIfAKTM'IO tN OENKBA. 229

proprias, quamm repr. (2, 1, –22;, (–2. 1, 22); Ô. IH eontinebit unnm classent

derivatam e propria deterrainnutis 5 pata" cuius repr. ;3, o, I b 0. IV con-

stabit ex uua classe derivatn eximpropria det. 5, puta cuius rcpr. ~,6, a, –t;

Ex. 2. Classes positivât1 deterrainantis –99= – 11.38 intcr quatuor

ordines distribuontur: C). 1 complectetur classes proprie primitivas soquentes ")

( 1 0. 9»), (4,1, 25). (4,-1,25), (5, 1, 20), (5, – J 20), (9, 0,11); O. Il coilti-

uebit classes improprins (2, 1, st>), 'to, î, 10); C). III classes derivatus e propriis

deteruiinantis –II, (3, 0, 33), (9, 3, 12), (9, –3, 12); 0. IV classent uiiicam

derivatam ex impropria det. –11, (6, 3, 1 8). Classes negativae lrnius determi-

nantis prorsus eodem modo in ordines distribui poterunt.

Observamus. classes oppositas xemper ad ettmlem ordinem referri, cuius theo-

rematis ratio nullo negotio jx»rspicitur.

227.

Kx his di\ersi« ordinibus imprintis ordo classium proprie primitivariuu nrn-

xitnam attentionem meretur. Xam singulae classes derivatae a certis classibus

prhnitivis detenniuuntis nùuovis) origincm trahunt, ex quarum consideratione eu

quae ad illas spectaut plerumquc sponte sequuntur. Infra auteni docebinms.

({iiamlibet classem improprie primitivara simili modo quasi associatam esse aut

unicae classi proprie primitivae aut tribus (ciusdem determinantis). l'orro pro de-

terminantilms ne^ativis classes negativas practerire licebit, quippe quibus sin^ulis

certac classes positivae semper respondent. L't itaque naturam classium proprie

primitivarum profundms penetremus, ante omnia ditferentiam certam essentialem

explicabimus secunrtuin quam totus ordo classium propiïarum in plura generu

subdividi potest. (juoniam hoc ai^umcutum gravissimuin hactenus nondum at-

tijïimus, res ah integro nobis erit repotenda.

OnUiiumjiarlilio in i/tucn.

22b.

'l^iEOHEMA. Per j'OI'JIllt11tquamcmujue jjrojme prmitivam Frepraesentari //o.s-

iimt infinité multl uutneriper numerum primum quetneunque datum p non dimibiles.

Dem. Si formaF=aKvji-îbœj/cj/y, manifestant est, p omnes très

numéros a, -Ht, c simul ntetiri non posse. lam quaudo et per p non est divisi-

') Adhiboiub lirevitatis raus<a formas repriicsentantes pro c-liissilmsipsis ijunrum vice i'un);untur.

230 UB POHSfl» SKOUNttl GUAIH:

bilis, patet. si pro x assnmatur nnmerus quicunque per /> non divisibilis pro y

vero numerus per /> divisibilis, valorem forniae F fieri non divisibilem per p;

quando c pcr p non est divisibilis, idem obtinctur tribuendo ipsi x valorem di-

visibilem ipsique y valorem non divisibilem denique quando tutn a tum e per w

p simt divisibiles, adeoque 2 h non divisibilis, forma F valorem per /> non divi- if|

sibilem induet tribuendo tum ipsi x tum ipsi y valorcs quoscunqtte ]>er p non I

divisibiles. Q. E. D.|

Manifestum est, theorema etiam pro formis improprie primitivis locum ha-

bere. si modo non fuerit p = 2.

Quoniam plures Inùusmodi conditiones sinvul consistere possunt, ut idem

nunierus per qiiosdam numeros primos datos divisibilis sit, per alios non divisibi-

lis V. art. 32: facile perspidtur, numéros ,v, y infinité multis modis ita deter-¡

minari posse, ut forma prinn'tiva axx Ihxtj cyj/ valorem per quotcunque

numéros prhnos datos non divisibilem adipiscatur. a quibus unice cxcludeudus est 2.u

quoties forma est improprie primitiva. Hinc patet, theorema generalius ita pro- x\

poni posse: Per fortnam quameunque pnmitivam repraesentari possunt injinite tmtlti

nttmeri, qui ad numerttm qitewamqite datum ( impur em quando forma est improprie h

firimitica) sint primi. \i\

9229. ii

Theokema. Sit F forma primitii'u determininitis D, j> numerus primus ip~ n

.%•«?«D mettais tum numeri per p non dimilnfex qui per formant F repraeseutari a

possunt, in eo convenient, lit vel omîtes sint residua quadratka ipsius p, vel omîtes «««• q

residiiu.

Dent. Sit F = [a, h, e] m, m' duo numeri quicunque per p non divisibi-

les qui pcr formam F rejiraesentari possunt scilicet

m =agg + îbgh + clih, ni =

ag'g'-t--2v(/h'-{-clih'

Tum erit

mm' =0w'H-6(.?/<'+/ )+ch/i f –Dij/iï ~h<J r

quare mm quadrato congruus crit secundum modulum D, adeoque etiam secul-\1

diun p, i.e. mm' crit residuum quadraticum ipsius p Ilinc sequitur, aut utrum-

que m, m' esse residuum quadraticum ipsius p, aut utmmque noa-residuuni.

Q. E. D. l

ORDINl'tt PAHTÏÏIO W DKNERA. 231

.Simili modo probntm1, quajido determiiinns D per 4 sit divisibilis, utnnes

numéros impures per F repruesentubiles vel esse == 1. vel omues =s 3 'mod. 4).

Scilicet productum e duobus numeris talibus in hoc casu semper erit residuum

qnadr. ipsius 4 adeoque = 1 (motl. 4) quaro vel uterque erit –: 1 vel uter-

que s 3.

Denique quando D per 8 est divisibilis, productum e duobus numcris qui-

buscunque imparibus, qui per F repraeseutari possuut, crit R. Q. ipsius s et

proin s 1 (mod. 8). Quare in hoc casu omnes numeri impares per F repraesen-

tabiles vel erunt ™t, vel omnes ^3, vel oranes ^5, vel omnes =7 (mod. S^.

Ita e. g. quunt per formam '10, .'$, 17; repraesentari possit numerus 1<)u

qui est X. K. ipsius 7: omnes numeri per 7 non divisibiles, qui per formam il-

lam repmesentari possunt, non-residua ipsius 7 erunt. Quum 3 per for-

mam ( – 3, 1, 4ft) repraesentabilis et sec, mod. 4 sit =1, omnes numeri im-

parcs per formam liane repraesentabiles perinde se habebunt.

Cetennn, si ad propositum praesens necessarium esset, facile deinonstraiT

possemus numéros per formam F repraeseiitabiles ad nullum numerum prirauni

qui ipsum D non metiatur, talem relationem fixamhabcre, sed promiscue tuni

residua tum non-residua numeri cuiusvis primi ipsum D non mctientis per for-

mam F repmesentari posse. Contra respectu numerorum 4 et 8 analogon quod-

dam etiam in aliis casibus locum habet. quos praeteiire non possumus.

I. Quando deternnnuns D formae primitivae F est ~3(»w/. -1): </»»»c'a-

numeri impures per formam F repraesentabifes vel ~l, vel omnes =:s a

[mod. 4). Si enim m, m' sunt duo numeri per F repraesentabiles, productum

mm' codem modo ut supra sub formam pp – Dqq redigi poterit. Quando ita-

que uterque m, m' est impar, necessario alter numerorum p, q par erit, altcrim-

par adeoque alterum quadratorum pp, qq, ^0, alterum =l(mod. 4). L'nde

facile deducitur, pp – Dqq certo esse si (mod. 4), adeoque aut utrumque

m, m', =1, aut utrumque s 3 (mod.4). Ita e.g. per formam (10, 3, 17) alii

numeri impares quam qui sunt formae 4 n -f- 1 repraeseutari nequeunt.

II. Quando déterminons Dformae primitime F est 2 mod. S omnes

numeri impares, per formam Frepraesentabiles, erunt vel partim i^à\ partim =7,

tel partim partim -–ïi'niod.b). l'onnnuis ciiim m, m esse duos numéros

232 1>K FOKJHS StXrSIUOttAUt'îJ.

impures pet1 F repraesentabiles quorum igitur produetunt mm sut) forniam

pp–Dqq rcdigi potcrit. Qunudo ergo uterque m, m est impar, necessario p

impar esse debebit 'quia 1) par, adeoque pp~\ 'uiod. S^ qq vero erit vel =o u

vel = vel = 4, et pruiu Dqq vel == 0vol =2. Hinc mm'=pp–Dqq

lit vel =1 vel = 7 'mod. S si itaque vi est vel = 1 vel =-7. ctinni m

erit vel s 1 vel s 7 si vero 111 est vel = 3 vel = 5 etiani m' erit vel 3

vel ™ 5. E.ff. omnes uunicri impnres pei" fbnnnm '3. 1, s) repraesentabiles

sunt nut =3 mit =5 (mod. S), uullique muneri fonnne Sw-f*1 llllt *>«+" 7

per ibrmam illam repraesentmi possunt.

111. Quatulu déterminant! D formae primitirae F est =«(w/orf. S^: per

furmum/tarte

repruesentari posswitnumeri impures tel taies tantum qui sunt = I et

= 3»(/.ii', vel taies tantum qui sunt =5 et =7 (iworf. Denioustrntionem

prcicccdcnti (in Il omnino similem quisquenullo negotio evolvere poterit. lta

e. ff, per formam i>, 1,7) unice tales muneri impares possuat repraesentari qui

.sunt aut =5 aut ^7 mod. S,.

230.

Omnes igitur numeri qui per formam primitivam datam F detenuiuantis

D repraesentari possunt, relationem fixam habebimt adsingulos

divisorcs primes

ipsius D (per quos quidem ipsi non sunt divisibilesmuneri imparcs vero qui per

F pos.suut repraesentari, in quibusdam casibus etiam ad numeros 4 et S relatio-

nem fixam habebimt, scilicet ad 4, quoties D aut ^0 aut ^3 inod. l., et

ad S, quoties D aut =0, aut =2 aut =0 mod. S"). Talent relntionem ad

singulos hos numerus. ckaracterm seu charucterem purticulareuiformae F vocabi-

mus sequontique modo exprimemus: Quando sola rcsidtm qnadrntiea numeri primi

p per formam F repraesentari possunt.tribuemus ipsi charaeterem Bp, in easu

opposito characterem Xp; similitor scribemus 1,4, quando alii numeri impares

per formam F repraesentari uequeunt nisi qui suut ïb 1 inod. 4j. uude statiiu

liquct quales characteres expriniantur per signa 3.1: l.b; :<>: j.S: ">.

Denique formis jjer (Juns numeri impares tales soli rc))raesentari possunt qui sec.

'} l'ro (lctcrniinantibus per » iltvi<iliHHiu< ivïuiin ml uuiuc-rum i ncirliiri tiotcsi i|Uuniam in hue ciwu sul^

rt'IiUiunc ;ul - iamvst contenta.

flROINTM i'AHïmn tN QË.\Kkïw 23g

30

tnod.S sont vel = 1 vel =7, tribuemus dimueterem 1 et1,h; ex <jûo %uificatiocharactenun 3 et 5, 8; iefi, et 7, S spoute scquitur.

ChaructereK singuli foraine primitivae datae [a, b, c; chsteroiiiiiuitis l) som-

per ex uno sultemmimerorum «, c

(qui manifeste per forma» illnin antbo sant

rcpraesentabilui} coguosci possunt. Namquotas ;> est diviser

prinro» ipsius D,

certe unus nuucroram «, c per y, non oritdivisibUis; si cuiin utetque per y> divi-

sibilis esset, p etiamipsum bb{=D-j.acj metiretur. et proiu etintn ipsmn h, i.t.forma («, b, c) non esset primitiva. Simili modo iu iis casibus, ubi forma «, b, c,ad nuineram 4 vel 8 relntionem fixan liabet. c-erto ad minimum unus mimeroruin

«, ciiupar crit, ex quo igitur relatio illa deprehendi potorit. Ita t. g. diomctor

formae (7, 0, 23' respectu numeri 23 e numéro 7 concluditur Nn, e'iusdvin for-

mae character respectu nuiucri 7 habetur ex numéro 23 puta Ri; deuique din-racter huius formae respectu numeri 4, puta »,4, vel e numéro 7 vel e inmuro23 colligi potest.

Quoniam omnes numeri qui per formam aliquam F in classe K contentant

repraescutari possunt, etiam per quamlibet aliam formam huius classis Mimt re-

praesentabiles: manifesto singuli characteres formae F omnibus reliquis formishuius classis quoque compétent, quapropter illos tatuquain characteres totiusclassis considérera licebit. Singuli itaquc characteres classis cuiuslibet primitivoedatae ex ipsius forma représentante cognoscuntur. (.'lasses oppositae senipercliaracteres omnes eosdem habebunt.

231.

Coinpiexus omnium cliaractenun particularium formae vel classis datae con-

stituet cliarocterem integrum huius formae vel classis. Ita c. g. character integerformae (10, :), 17), vel totius classis quam repraesentat erit 1.4; Ni; iS"23.

Simili modo chameter integer formne (7,1,-17; crit 7, 8; 14 3; iVô, ua'm cha-

racter particularis 3,4iu hoc casu oinittitur quia in charactcrc 7. S iam est con-

tentus. Ex hoc fonte petinms subdivisioMcm totius ordinis classium proprio

lirimitivarum positivarum quando det. est negntivus; determinantis dati in plurafltuera diversa, referendo om»es classes, quae cundem cluimcterem intégrant ha-

l>ent. ad genus idem; quarumque characteres integri diversi sunt, ad gênera di-

versa. Singuli» vero geueribus eos characteres integros tribuemus. quos classes

sub ipsis contciitnc habent. Ita e.p. pro detenninantp – 10 J habentur sedecim

2M DK FORM1SSECUNDiORAIJCR.

De multitudinc characterum iutegrorum diversoruni. qui quidcm a priori

sunt possibiles, teneantur sequentia.

I. Quando determinans D per S est divisibilis, respectu uumeri S qua-

tuor characteres particulares diversi sunt possibiles; numerus 4 nullum characte-

rem peculiarem suppeditat (annot. ad art. praec.). Praeterea respectu singulorum

divisorum primorum imparium ipsius D bini characteres dantur; quare si iUorum

multitudo est w*. dabuntur omnino 2"l+î characteres integri diversi (statuendo

m – 0 quoties D est potestas binaria).

II. Quando det. D per 8 non est divisibilis, sed tamen per 4, itisuperque

per ne numeros primos impares: omnino habebuntur 2"I+I characteres integri

diversi.

III. Quando dct. D est par neque vero per 4 divisibilis, erit vel = 2

niod.8) vel i=6. In casu priori dabuntur duo characteres particulares respectu

mimcri 8 puta \etl, 8, atque 3 et 5, 8; in casu posteriori totidem. Posita igi-

tur multitudine divisorum primorum imparium ipsius D, –in: habebuntur

omnino 2BI+I characteres integri diversi.

IV. Quando D est impar, erit vel =1 vel ^3(mod. 4y. In casu po-

steriori respectu numeri 4 duo characteres diversi dantur, qualis relatio in casu

priori in eharactercm intégrant non ingi'editur. Quare désignante m idem ut

alite, in casu priori dubuntur 2' in posteriori 2"' + characteres integri diversi.

Probe vero notanduin est, hinc neutiquam sequi, totidem gênera rêvera

classes positivue propria primitivae. quae sequenti modo in quatuor gênera distri-

buuntur:

Charactor Classium foitnae repraesentantes

1,4; 1Ï7; JR23 ft, 0, 161), (2, 1, St), f9, 1, 1S), '9, – 1, 18;

J.4: AV7; iV23 :û. 2, 33), (5, –2. 33), (10, 3, 17;: (10, –3. 17)

3,4; Ri: A'23 'J, 0, 23), '11, 2, 13), (11, –2, 1D). (14,7, 15)

3.4; JSfl: Rl'.i (3. 1, 54), -3, – 1, 54), 1, 27). '0. ~1, 27)

OHbnrtnr partitio in oeneha. 23g

30'

dnri quot eharacteres divem a priori sint possibiles. In exempte quidem uostro

liorum semissi tantum revera classes sive gênera respondeiit, lrullaeque classes

positivae dantur quibus characteres 1,4; #7; N 23 vel 1,4; Ar7; ii23: vel

3,4; JB7; -R23 vel 3,4; N7 A' 23 competant. De quo argumente gravissimo

infra fusius agetur.

Formae (1,0, – jD), quae haud dubie inter omnes formas deterininantis 1)

pro simplicissima habenda est, nomen formae principalis abhinc tribuemus; elas-

sem totam in qua illa reperitur, classent principalem vocobimus; denique genus

totum in quo classis principalis contenta est, genus principale dicetur. Probe

itaque distinguendae sunt forma principalis, forma e classeprincipal! et forma e

génère principali; nec non classis principalis et classis e genorc principali. Ilis

denominationibus seniper utemur, etiamsi forte pro déterminante aliquo aliae

classes praeter principalem vel alia genera praeter genus principale non

dentur, uti e. g. evenit plerumque, quando D est numerus primus positivus

formae l?t -f- 1.

232.

Quamquum en quae de formarum characteribus explicata sunt proxime eum

in rincju sunt allatu, ut subdivisio ordinis positivi proprie primitki inde petatur:

tamen nihil iinpedit quominus eadem etiam ad formas classesque negativas aut ad

iinproprie primitivas applicentur, atque tum ordo improprie primitivus positivus,

tum ordo proprie primitivus negativus, tum ordo improprie primitivus negativus

ex eodem principio in genei-a subdividantur. Ita postquam e, g. ordo proprie pri-

mitivus formarum determinantis 145 in duo genem sequentia subdivisus est

-R 5, #29 (1, 0, –145), (5, 0. –29; «:

Ar5, AT29(3, 1,-48). (3. – 1. –48)

etiam ordo improprie primitivus periude in duo gênera subdividi potest:

1Î5, 2i29 )(4, 1, –36., (4. –1, –36)

Nb, Nn(2, 1,-72), (10, 5. –12)

vol, sicuti classes positivac formarum detcrminantis – 1 29 in quatuor gênera

distribuuntur:

^36 [>K POHïriS SECt-N'Dt OïfAI>VS.

1,1; Ri; Er.i ^1, 0, 12»). {1«i, 1, 13), (10, – t, là

l.-l: AT3; iV-KJ ;2, 1,65), (5. î, 26), (5, – J. 20;

3.-1; R\ 2V43 3. 0, 43). (7, 2, 19), i7, -–2, 19;

3.4: JX%; #13'0. 3. 2:»'. 'Il, 5. 14), '11.– 5. 14'

t'tiam classes négativité in quatuor ordiucs discedunt

:i. 1 i\i; .A'43 – 1.0,-129. !– 11). 1, – 13}..– lO, – I.–I3',

3.4; JB:5: lii''–2,1.-05), f– 5, 1,-20), '– 5. – î, – 20)

l.-l: .A'3; lin –3.0, –43), (–7. 2, –1»), (–7, –2. –19)

l.-l: R:); A'-13– 0. 3, – 23), [– 11, 5, – 14), ( – 1 1 – r>. – 14)

Atttuuou qiuun systoma classium ncgativaruni systemati positivtirum seniper tam

similo ovudut. plcnunqttc superfiiuiui videbitur illud seorsirn construere. Ordi-

nii\n ijnpropric primitiviim autem ad proprie primitivum reducere mfm docebinms.

Tandem quod attinet ad ordines derivatos: pro liaruiu subdivisionc regulue

novae non sunt nocessariac. Quurn enim quivis ordo derivatus ex aliquo ordine

priniitivo deteruii nantis minoris) origincm trahat. illiusque classes singulac ad

singulns huius sponte referautur: manifesto subdivisio ordinis derivati e suhdivi-

sione ordinis primitivi peti poterit.

233.

Si forma ^primitivaj F = [a, b,c) ita est coniparata, ut inveniri possint duo

numeri g, Il tales ut liât ^y=«, </h = b, /th~c secundum modulum datiun tu,

dkemus formant illam esse residuum quadraticum numeri m atque gx^hy va-

lori'iu expressionis \(<i<i'œ2bœj/-+cj/t/{<inoà.m;, sive brevius {<() valorem

expr. \Ka,b,c} vel \JF .mod.w; (ieneraUus. si multiplicator M, ad modulum m

primus. cius est indolis ut fieri possit

y g = «. g = h M, h h = cM (mod.w

dicemus Jl/x(«, l>, Cj sive MF esse res. quadr. ipsius m, atque g, /i;. valorem

expressionis \jM(«,b,c) vel 31 F (motl m). Ita e.fl. forma (3, 1,54) est res. quadr.

ipsius 23 atque .7, Jo) valor expr. y(3i >. 54)(mod.23); similiter (2, –4) valor

expr. y/5 do. 3, I", unod. 23). Ustis harum definitionum infra ostendetur: hic

notentnr propositionos sequentes

ÔRÏMîaW! l'ABÏlïKJ > IX QKNEBA. 2&1

I. Si M{a,b, c) est R. Q. numeri m, Ihv determïiumtetn forcnae («, b, e

mctictur. Si enim (g, h) est valor expressionis \]M'a, h, c}'mod.m), sive

gg~aM, gk~bM, Ah~cM [mod. m

erit bbMM~acMM~(>, sive [bb–ac)MM per w divisibilis. Quoninm

auteni 3/ ad m primus esse supponitur, etium M – «c per m divisibilis erit.

II. SiM{a,b,e) est R. Q. ipsius ?«, atqtie m aut numenus primus mit

potestas numeri primi, puta ==/: charucter particularis formao [a,b,c) respectu

numeri p erit vel Rjj vel Np, prout M est residuum vel iion-residumn ipsius p.Hoc statini inde sequitur, quod tum aM tum cM est residuwn ipsius ;»sive ipsius ;>, atque ad minimum unus numerorum «, c

per /> non divisi-

bilis (art. 2. '{(>).

Simili modo, si (manentibus reliquis; m =4, erit vel 1,4 vel 3, cha-

racter part. formae 'a, b, c), prout ilf=l vel ==3; nec non si ï»=<s vel altior

potestas numeri 2. erit 1,8; 3,8; 5, 8; 7, S char. part, formae {a, b, c. prout

Jf = 1; 3; 5; 7 (mocl. 8) resp.

III. \'ice versa si m est numerus primus aut minieri priiui imparis potestas

= determinantem bb – ac metiens. atque M vel residuum vel non-residuum

ipsius p, prout character formae (a, b, c) respectu ipsius 1) estRp vel Njj resp.,

erit M (a, b, c) resid. quadr. ipsius m. Quando enim a per y non est divisibilis.

aM crit res. ipsius p adeoque etiam ipsius m; siitaque g est valor expr. \iaJ\l

mod.m). h valorexpr. ^(mod.aj), erit gg==aM; ah~.bg, adeoque

affh^bgg – abM et gh~bM

denique

ahh==:bgh~bbM=BbbM– {bb– ac)M~ae.M

adeoque hh~cM, i. e. [g, h) valor expr. \jM(a,b,cr Quaudo vero a per m

est divisibilis, certo c non erit; unde facile perspieitur cadem resultare, si proh assumatur valor expr. \/cJI/(mod.mj. pro g valor expr. ~(moU.»«).

Simili modo demonstratur, si m fuerit == ipsnmque bb – ac metiatur,

numemsque M accipiatur vel si vel ^3, prout 1.4 vel 3.4 4 fuerit char. part.

28S DE FORiriS SECCSDr OBADCS.

tomme \a,b,c}: fore M{a,b,c) res. qtt. ipsius m. Nec non, si ut fuerit – S vel

altior potestas ipsius 2, per quam bb – ae divisibilis sit. atque M nccipiatur

r~ 1 3; ."»;7 mod. Sj, prout character paît, formae («, ft, «•) respectu numeri S

postulet Ji {«, h, c) fore res. qu. ipsius m

IX. Si determinuns forniae [a,b,e) est =1), atque Miu,b,c) nu;, qu.

ipsius T), onini's characteres particulares formae («, b, c) tum respectu singulorura

divisorum primorum impariuiu ipsius J), tum respectu numeri 4 vel numeri S

si ipsuni D îiictiuntur: ex numéro M statim cognosci possunt. Ita e. y, quuin

3(20. 10. 27 sit resid. qu. ipsius 440, scilicet (150,9) valorexpr. \/3 (20, 10, 27)

sec. mod. 410 utque ÎÎ-Y5, ;ili 1 1 characteres formae (20, 10,27) sunt :i.5>;

AT5 2i 11. Soli characteres particulares respectu numerorum 4 et S, quoties

dcteriuiumiteni non metiuntur, nexum uecessnrium cum numéro M non habeiit

V. Vice versu, si numerus M ad 1) pritnus oranes chameteres particulares

foruiue f«, L, c) m secomplectitur (exceptis

cliaracteribusrespectu

imnieroruni 4, &,

quando ipsuui 1) non metiuntur;: erit M{a, b,c) res. qu. ipsius D. Nain ex III

patet. si D sub fonnam + A*!?'!)'1. redigatur, ita ut A, li, C etc. sint

imtneri primi diversi, fore M [a, b.c. resid. qu. singulorum A*, J3C, C etc. Si

igitur valor expr. \M{u,b,c secundum înod. est 31, SC); secundum mod.

tâ\ fJB, 33": sec. mod. C7, (6, S') etc. numérique y, h ita determinantur ut sit

g = 25 S etc.; = 31', JB\ 6' etc. secundum modules A'x, Jb\ C etc. resp.

art. 32;: facile perspiciettir, fore gg^aM, gh^bM, hh~cM secundum

ciiines modulos Aa, li*1, V etc. adeoque etiam secundum modulum D qui illo-

runt est prodwctum.

VI. l'ropter has rationes numeri tales ut M vocabuntur numeri chameterù

stkl formae '«, b, e, poteruntque per plures huhismodi nnnieri îiullo negotio

inveniri, simulac omnes characteres particulares huius formae sunt erUti; simpli-

cissimi autem tcntnndo plerumque evolvuntur facillime. Manifcstum est, si M

sit numerus charactcristicus formae primitivne datae determinantis D, otnncs nu-

méros, ipsi M secundum mod. D congruos, fore numéros characteristicos eiusdem

formae; formas in eadem classe, sive etiam iu classibus diversis ex codem génère,

contentas cosdeiii numéros charactcristicos habere, quauiobrem quivis numorus

cdifposrno 'koriukûm!" 289 î

eharacteristieit» format* datât- etinm toti cîassi et generi tribui poïest; denique 1

semper esse numerum chnntcteristieum format1 clussis et generis principaHs sive

quamlibot forntam e génère prhicipali esse residuum déterminait ti* sni.

VII. Si [g, le) est valor expr. \!M(a, b, e) (mod. m ) atque g'~g, =

'mod. m) erit etiani {g1, It) valor ciusdem expi-essionis. Talcs valoros pro nequi'vakntibns haberi possunt; contra si (g, h), {g, h') sunt vnlores eiusdeni expr.

\M la, b, c) neque tamen simul g'~g, K = h (mod. m) fera sunt wnsendi.

Manifeste quotics (^, A) est valor talis exprcssionis, ctiam ( – g, – h) erit, facile-

que demonstratur, hos valores semper esse diversos nisi m = 2. Acquc facile de-

monstratur, expressiouem \(«» 6>c) {mod.»») plurcs valores diversos quant duos

tales (oppositos; habore non posse, quando m sit aut numerus primus impar aut

nnnteri primi iniparis potestas aut = 4 quando vero ? sit = 8 aut altior pote-

stas numeri 2, quatuor omnino dari. Ilinc facile dcducitur per VI. si déterminai!»

D formae [a, b,c) sit = + 2!iyt*JB* designantibus A, li etc. numeros pri-

mos impares diversos quorum multitude –n, atque M numerus eharacteristieus

illius formae: dari omnino vel 2" vel 2" + l vol 2"+3 valores diversos expr.

\!M[a, b, c) (mod. D), prout /x vel <2 vel =2 vel > 2. Ita e.g. haben-

tur sedecim valores expr. y'7 (12, 6, – 17) (mod. 210, putat (+1S, +1lj, j,

V+ 18, ±2'J;, (+18, +91), (4-16, +109, f+TS, 4llJj, (±78, ±b9r

'+78, +61), (+78, 4 101). Demoustratiouem ampliorem (juum ad scquvn-

tia non sit ndeo ueeessaria, brevitatis gratia non apponimus.

VIII. Denique observamus si duarum formnriun aequivalentium \a,b,c),

a, b', c1) determinans sit D, numerus charaeteristicus M, priorque transeat in

posteriorem per substitutionem a, 6, y, è: ex quovis valore expr. )JM [a, b, c) ut

(g, h) sequi valorem expr. \/M(dtb',c'}, puta («# + y/t, %+é/t). Domon-

stmtionem quisque nullo negotio eruere poterit.

Ile C'jtnposi firme farmariim.

234.

Postquam haec de formis in classes gênera et ordines distribuendis praetni-

simus, proprietatesque générales quae ex his distinetionibus statim defluuut (;x-

plicavimus, ad aliud argumentum gi-avissimum transimus a nemine hucusque

240 DK FOHMi» SKOtKDI QHABUH.

attactum de foritraram mmpmtime. In cuins ctisquisitiotùs; liutiae, »o postluit

démonstration un» seriem continuant interrumpere oporteat, statim intercalannis

Lemma. Habentar quatuor séries mimerontm inteyromm

a, a, a"a": h, b'.b" .h"; c, c', c" c" d, d\ d" d"

ed' ueijue inultis puta n-) tetwink constantes, aUjue ita comparatif, ut

cil– de, cd"–dc" etc., c'd"–d'c" etc. etc.

respective sint

= klab'–bu k{uh"–bd) bII,

etc., k{db"–b'd) etc. etc.

jsivc generaliter

ci.cl,tdiv,~ .=/(/~–o'')

dénotante k nuinenuii integrtim dattim X. /.c integrus quoscunque inneqnules inter o

et h incf. quorum maior fi' yruetereu omnes «'A" – &'«!* divisorem commuuem

hoh hubent. Tune inveniri pomtut quatuor nttmeri integri a, tf, y. c taies, vt sit

aa+tib^c, aa +W = c', ad' -{-tV = c etc.

ya + èb= d, ~>a'èb'

= d', 7«"+ èb"= (/" etc.

siée generaliter

a«'-f g&v = c\ y«''+ oP «v

quo facto erit

ctè-67=

Quuni per hyp. mimcri ab' – bd. ab" – bd' etc, dû" – Z»V etc. (quorum

multitudo crit =$!n-}-iïn) divisorem communem non lmbeant. inveniri pote-

runt totidoni alii numeri iutegri. per (laos illis resp. nutltiplioutis productoruiu

•sunima tint ^=1 art. 40. Designentur himultiplicatorcs per (0.1), '0,2 etc.

1. 2; ('te.. si\'t! gt'm-ruUtcr multipUcatoripsius <–<<t~ per ;i.· i)j itii tit it

ZfcM'/P – Û-tP;= 1

lJer litemm donotainus uggregatum omnium valoiuin cxpressionis. cui praetixa

'i Considi-ramlo « tani(|imm a" h tainijuum cti- Ccterum manifestu imdvm uuijiiatio vnlciiit

juoque (jUUiulo = i* mit i. > <x.

COMPOSITIO POHMAKUM. 24i

31

est. qui oriuntttr tribncndo ipsis X, y. omnes valores inaequales inter o et ». ita

ut sit [i > X). Quo facto si statuitur

hi <x, 6, y, 6 proprietatibus praescriptis erunt pracditi.

Dem. I. Dénotante numerum quemcunque intcgrum inter 0 ut h erit

a~+6~ = 2(~~(~+~-e'~–)

Et per calculum similcm cruitur

II. Quoniam igitur

fit

similique modo

«V-V- «!*•=: ti[alb» – b>>a?-)

s a'dP~ rfV= «(^i"1– ^fll1)

ex quibus formulis valores ipsorum a, S, y, multo facilius erni possunt, si

modo X, fi ita accipiuntur, ut a* F– fia!1 non sit =0, quod certofieri poterit,

quia omnes «'i1* – ft^a11 pcr hyp. divisorem communem non habent, adeoqueomues = 0 esse nequeunt – Ex iisdem aequationibus deducitur, multiplicande)

primam per quartam, secundam per tertiam et subtrahendo,

(aè-tif/Jlf – tf-a*? =.{alP – &<?)[(?> d*-dl<?) = k{£ir – &a*T

unde uecessurio

2{X, ji)^*»-^) = a, Sft, |*)(«V-cV) = g

f~, Nc)(f~- ~) =y. (~ ~–< = c

=~X~~(c'e''–e~)

Cv~· (~ 1~)(cr. d;~ cl~. c,

=c^^jiJîa' –

= c'

yay + SV= d\ Q.E. P.

c'- = aah -f 6 h1 ci*= a«i* 4- ?> 6!'

JV – tf-c* = at/ir – tf-tP)

<~–~== Y(o'-6''–

«c – 67 = A. Q.E.S.

M% DB FOBUIBSKCUKPI0HADC8.

235. J.

Si forma AXX+ 2UXK+ CYY.F

transit in productum e duabus formis

aJi<B-iibxy+cyy.f, et «V*f 2 h\v'y' + c>

per substitutionem talem

x=~+~'+~+~'r== q xx'-f- jxJ ~l'~ ~z, q "·~J

(quod brevitatis causa in sequentihus semper ita exprimemus Si F transit in yy

per substitutionem p, p'.p", p"; q> q'> f» S™*})» dicemus simpliciter, forraain 2*1

transformahilcm esse in si insuper haec transformatio ita est comparât» ut

sex numeri

v<f–<ip> p<(–*ip> m –n* > i>4–<u>> pv –vp pi ~~<ip

divisorem communem non habcant: formam F e formis compositam voca-

bimus.

Inchoabimus hanc disquisitionem n suppositione genoralissiina formam F

in ff transire per substitutionem p, p, p", p"; q, <[, q", q'" et quae inde sequan-

tur uvolvemus. Manifeste huit* suppositioni ex asse aequivalcbunt sequentes no-

vem aequationes [i. e. -simulac hae aequationes locum liabent, F per substitutio-

nem dictain trnnsibit in ff, et vice versa)~y 1

App-{-2Bpql -Cqq = ad [i\

Ap'jt -iBp'q' +C<[q' = ac [2]

Ap"/ -2BpY -Cq"q" = cd [3]

Ap"p"2Bp"'q"'+Cq'"q"' = cc> • • M

App1 -B(J)q' +qp) +Cqq' = ab' [5]

App" +B(pq" +qp") +Cqq" =*«' [6]

Ap'f+B'qlf +<tf) +Cq'f = b<? [7]

Apy"+B(1>Y'+q"p'") + Cq"q" = cl>' ••• [8]

Aipf+pyi+Bipf+qfr+fq'+ffl+Cisf+q'çn^lW. [9]

') ln hac igitur designatione ad ordinal» tum coefficientium p, p' etc. tum formarum f, probe ruspi-

cere oporttt. Facile auttna perspicietur, si ordo fonnarum convertatur ut prior fiat posterior, cocfli-

cientea q' cum his p', g" commutandos esse, reliquos suo quemlibet loco manerc.

COMPOSraGFOttMASf M. 24S

31*IK

Sint déterminantes fontutfum F, f, f resp. D, d, d'; divisures communes

inaximi numerorum À, 2B, C; a, 2b, c; a', 2b', c' resp. M, m, m' (quos omnes

positive acceptos supponimus). l'orra detenninentur sex numeri integri M, 58, S.

f S* S' ita ut sit i

3ïa-4-2$86-f Ce = ?«, St'«'4-255'ft'4-6'c' = »*'C

Denique designentur numeri

~?' 2 r! l~ 7~ ~< ~?~ ? rl 1M'-fi/f w~<> 7^?/ ^9> > /<?'?' /y"-?"

resp. per P, Q, Ii, S, T, U, sitque ipsorum divisor communis maximus positive

<

acceptas =k Iam ponendo

Apf-B[i>fjm-+-q/)+Cfjq'" = hb'+A 10o

fit ex aequ. 9

ApY-ï-n.Jci+qyi+Cq'q" = bb'–à [U]

Kx his undecim aequationibus 1 Il, sequentes novas evolvimus*}:m.aa.a.1». .Z~ }"

DPP – <«« [12]

DPiE-S) 2d'ab [13] r

DPU = rf'ac– (Ai – diT) [M;

V{li–Sf = 4rf'W+2(AA – rf<) [15;

D'R – S)U = 2<ic [10

Z>ï/Lr = t/'cc- [17]

ZIQQ = rf«V [lfc;

DQfiî+S; r= 2rf«T [10j

DQT = da'c'-{\A – dd') [20]

D{R+8? = idb'b'+2(M – dd') .21,

D[R+8)T = 2db'c' L22

DTT = dc'c ,23".

Ilinc rursus deducuntur hae duae:

') Urij{u harum auquationum luicut-st: J2 ex i.i – l.ï; ta ex i.u – l.ï – 2.>i; u ex iv.il – o.

i-"i ex s.s + i.v + in. m i- 1 Mi – 1.4 – ï.:i – < – il. ",• lues >.u – :i.î – 4.«i !T ex S. 4– :i.4. Dvducti»

si-x reliquarum uode-m modo udoniatur, si moilo aoquutiones ï,z,~ cum aequationibus 3, n, v resp. commit-

tnnltir, et reliquat' 1,4. », lu, n cudem loco rluincejis rvtincntur, |mtti isexfl.O– 1.3 etc.

244 I)B FORMIS SECUSIil GRADUS.

v^ _^ftj a MA 1 litji; Û == 2d'aa(ûâ– dd')

o = (AA– ddj– 2rf'«c(AA– dd')

scilicet prior ex 12.15 13.13, posterior ex 14.14 – 12.17; unde facile per-

spicitur, necessario esse A A – tid' = Q, sivc sit a – 0, sive non sit =0*).

Supponemus itaque, in aequatt. 14, 15, 20, 21 ad dextram deleri AA – dd'.

lam stetuendo

3!JP+~(7!<S')+6!7== m n'

~'Q+~'(2Ï+~)+<S'y=N~ 9a

(ubi «, »' etiam fractioncs evadcrc posse probe notandura, etsi mn', vin neces-

sario sint integri): facile ex aequatt. 12 17 deducitur

Dmmn'ri = rf'(2la+23)4+Sc)s = d'tnm

similiterque ex aequ. 1 S 23

Dm'm'nn =rf(8l'a'-f29J'6'+e'c')!! = dm'm'

Erit igitur d = Dnn, d' = Driri, unde nanciscimur conclusioneji puuuii

Déterminantes formanim F, f, f' necessario inter se hahent rationcm quadratorum;

et seotndam: D semper metitur numéros dm'm', d'mm. Patet itaque, D, d, d'

cadem signa habere. nullamque formam in productum ff' transformabilem esse

posse, cuius doterniiuans maior sit quam divisor communis maximus numerorum

dm'm', d'mm.

Multiplicentur aequationes 12, 13, 14 resp. per 81, S, S; similiterque per

eosdem numeros aequatt. 13, 15, 16, et 14, 16, 17; addantur terna producta.

dividaturque summa per Dmu', scripto pro d', Driri. Tune prodit

P – an, R–S= 2bri, U = en'

Simili modo nmltiplicntis aequationibus 18, 19, 20 nec non 19, 21, 22 c*t

20, 22, 23 resp. per 2T, 3V, g', obtinctur

Q = «'«, R+S = 2b'n, T = en

') Haue derivutiu ucquationU Ai = dd' ad institutum praesons sufiieit; alioquiu nnalysin elcgantiurcm

sod hic niuiH prolisam tradvre jiossvmus, directu duduci'iido ux ui'cjuutionibus i hanc u = (A A – tltl')'.

coufomto-pomxKvtà- 245

JSine habetui- eoscuisio tertia Numeri à, 2b, e proporUmaks sxmt numeris

P,R – 8, U, positaque il forumrations ad hus ut i ad ri, erit ri radin qttadratu ex

gj similiterqne mmeri a', 26', c' ad Q.R+-8, T eandem mtiunem huhent, qitae

siponitur esse ut 1 ad n, erit n radù quudrata eueCeterum quantitates w, ri radiées vel positivao vel negativae ex «,

esse

possunt, unde distinctionem petimus, quae primo aspectu sterilis videbitur, sed

cuius usus in seqnentibus sufiicienter apparebit. Scîlicet dicemus, in trnusforaa-

tione formae F in ff formam f accipi directe quaudo ? est positiva, inverse

quando » negativa; similiterque accipi directe vel inverse, prout ri positiva vel

negativa. Accedente autem conditione ut k sit = 1 forma F vel ex utraqueforma f, f' directe composita, vel ex utraque inverse vel ex f directe et ex f'inverse, vel ex f inverse et ex directe dicetur prout vel n, ri ambue sunt

positivae, vel ambac negativae, vel prior positiva postelior negativa, vel priornegativa posterior positiva. Ceterum quisque facile intelliget, has relattiones ab

ordine quo formae f, f' collocantur (vid. annot. prira. ad art. praes.) non pendere.

Porro obsen'amus, divisorcm maximum communem numerorum P, Q, R,

S, T, U puta k metiri numeros mri, m'n (uti ex valoribtis supra stabilitis niani-

festum est) adeoque quadratum kk ipsos ta mri ri, m'm'nn, atque Dkk ipsos

A' mm, dm'm'. Sed et vice versa quivis divisor communis ipsorum mit, m'n ine-

tietur ipsum k. Sitenim e talis divisor, qui manifesta etiam numeros «»', Ilri,

cri, a'n, -2b'n, c'n metietur, i.e. numéros P, 11– 8, U, Q, R+8, T et proinetiam ipsos 2B et 2-8. Iam si

esset numerus impar, etiam imparesse

deberet (quoniam summa et diffcrentia sunt pares) adeoque etiam productum impar.Hoc autem productum fit =±{l'b'nn–bbrint) = ± {d'nn+a'c'nn – dn'ri–acrin):=

4 ( ad par, (iuare==

^[a'c'nn–acriri) adeoque par, quia e ipsos a'n, en, ari, cri metitur. Quare

– necessario erit par, et proin R nec non S per e divisibilis. Quoniam igiture omnes sex P, Q, R, 8, T, U metitnr, metietur etiam ipsorum divisorem com-

munem maximum k. Q. E. D – Hinc concluditur, k esse divisorem eommu-

nem maximum numerorum mri, m'n; unde facile perspicietur, Dkk fore divi-

sorem commmm maximum numenrum dm'm', d'mm. est coscusio qcartà.

Patetitaque, quoties F ex et compositasit, D fore divisorem communem

maximum, numerorum dm'm', d'mm, et vice versa; quae propiïotas etiam tam-

quam detinitio formae compositae adoptari potuisset. Forma igitur coinposita <.

24C 1)B POH.MI» BKCUMO1ORAl>fS.

formis f, f" déterminante!» maximum possibilem inter omnes formas in pjfodttc-

tiim ff triuisformabiles habet.

Anteqnam ulterius progredi possimus, ante omnia valorem ipsius A acca-

ratius définira oportot, queiu qiiidcm ostendimus esse =\'dd'

=\jDDnnriri,

sed c-uius sigmtm hinc nonduiu determinntur. Ad hune finem ex aeqimtt. funda-

mentalibus 1 – 11 eruhnus DPQ – ±au (quae oequ. obtinetur ex 5.(>– 1.11),

adeoque Dadnri – \aa, unde nisi aliquis mimurorum a, a' est -=0, fit

A = D««'. Sed promis simili modo exaequatt.

fiuulcl. octo aliae deduci possuut,

in quibws ad lnevam Du h' ad dextram A multiplicati habeantur per îab', ac,l

2i«', Abh', 2bc', ca, 1cU, ce'), unde facile concluditur propterea quod nequel

oinne.s • a, 2b, c, ncquo omnes «', 2b', c possunt esse = 0, in omnibus casibus fieri.1

A = Dhh, adeoque A idem signum habere ut D,d,d' vel oppositum. prout h,l

ti' eadeia sijîiia hnbeant vel divei'sa.t

Porro observanms, numéros an, '2uh', ad, 2 bit', AbV, 2bc',ca', 2cb', ce,

2 bli' 2 A. 2bï> – 2 A omnes per mm' divisibiles esse. De uovem prioribus hoc

per se manifestum est, de duobus rcliquis autem simili modo denionstrari potest t

ut antea ostendimus R et S per e divisibiles esse. Scilicet patet, 4ii'+4A et

ihli – 4 A per «m*»' divisibiles esse (quoniam lA= \JlGdd' atquc 4rf pcr mm, i

\d' per mm' divisibilis, adeoque 10 d(V per mmm'm' et 4& per min. et différait-v

tiani quotientium parem; productura ex quotientibus facile demoiistratur esse pur. j

unde nterque quotiens par, et 2 4 U 2 A, 2bb' – 2 A per mm' divisibiles.

lam ex uudccim aequationibus fundamentnlibus facile deducuntur sex se-1

quentes

APP = aa'q'q – 2<ib'qq +ac'qq

AQQ =aa'fj'Y

–2 ba'qq"+ ca'qq

AliR =udfcf– 2 (bb'+ A) qf-{~ ccqq

AS S =uc'q"q" 2 ibU- A) q'q+ca'q'q

ATT =ac'q"Y–2bc'q'q"-{-Cc'q'q'

AUU =ca'q"'g"'– 2 cb'q"qm- cc'q"q" l.

Hinc sequitur, omncs APP, AQQ etc. divisibiles esse per mm', unde!|

facile dériva tur, quoniam Ak divisor cominunis maxinnis nunieroruni PP, QQ,c

!f

") Annlysin quamlectores facile- duteguroputerunt hrevitatis caussa sujipriiiiuruu]tortct.

1

coMposrrio poitsiAR»Mf. 247

BRetc, etiam Akk pet mm' divisibilem esse. Sobstitutis autem pro a, 2b, c,

«', 26', c' valoribussuis »

etc.sive (/>?'– j/) etc., trnnsibunt in sex alias ae-

quationes, in quibus ad dextram habebuntur producta ex quantitato ~</q"~qq")

in PP, Q Q, MB etc. Calculum facillimuin leetoribus rclinquimus. Hinc se-

quitur (quoniam omnes PP, QQ etc. esse =0 nequeunt) Anri = q'q"–qf.Simili modo ex aequationibus fundamentalibus derivantur sex aline aequa-

tiones, a praecedentibus in eo tantummodo discïepantes quod [>ro A ubiquehabetur C et pro q, q, q", q" resp. />, p'.p'.p' quas ipsas brevitatis caussa non

adscribimu.s. Hinc eodem modo sequitnr, Ckk per mm' di\isibilem esse atqueCnri –ftp–pp'

Denique ex eodcm fonte petuntur sex aequationes hae

BPP = –aap'q' +aV{pq'+qp') – ac'pq

BQQ= –aa'p"q"+ba'(juj"+(jp") – capq

BEE =–aa'p'Y+ibV+tyipf+qp'l-ccpq q

BSS =– ac'p"q" + [b b'– à) (p'q"-h q'p") ca'p'q

BTT = – aci/y-f- & c' {p'q'"+ q'p") – c f>V/

buu =–cayy'+cb'(p'Y'+qy")–cc'p"q"l 'i' c? wiw ) 1

unde perinde ut ante concluditur, 2BkÂ- divisibilem esse ptr mm' atque%Bnn' =

pf+q/'–j/q-'–qy,

Quoniam itaque ^LA->5r,iBkk, Ckk per /»»*' sunt divisibiles facile per-

spicietur, etiam Mkk per mm' divisibilem. esse cleberc. Ex aequatiouibiui fun-

damentalibus autem colligitur, M metiri ipsos ««', 2ab', ad, 2ba', 4bV, Ibc, ca,

2cb', ce', adeoque etiam ipsos am', 2b m, cm' (qui sunt divisore.s conlln. max.

trium prîmoruin mediorum et ultimorum. resp.) denique etiam ipsum mm' qui

est horum div. comm. max. Hinc patet, in eo casu ubi forma F ex formis f'

composita est sive k = 1, necessario esse 31= mm'. Quae est cokcltoio quinta.

Si div. comm. max. numerorum A, B, C est 2K, hic erit vcl –M {quando

forma F est proprie primitiva vel ex proprie primitive derivata) vel = M (quando

F est forma improprie primitiva vel ex impropric prim. derivata); similiter dc-

signando divisorcs comm. max. numerorum ci, b, c; a, b', c resp. per m, ai' erit «i

vel =m vel \ni, et ne vel =»*' vel = m. lam patet, mai metiri ipsum d,

m'in' ipsum d', adcoque m ut m 'm' ipsum dd' sive A\, et mm' ipsum4.

248 DEFOfiMÏS SEfL'NDl GltADt'S.

Hfatc ex sex ultimis aequationibus pro BPP etc. sequitur, mm' metfriij^iatn

Bkft, adcoque (quum etiam ipsos Akk, Ckk metiatttr) ctinm ipsam Mkk.

Quoties igitur F ex f' composita est, metietur ntm' ipsum 3W. Quando

itaque in hoc casu utraque est proprie primitiva vel ex propvie primitiva

derivata sive mm' – mm = M, erit M = M sive F similis forma. Quando

vero. iu eadem suppositione, aut utraque f' aut alterutra saltem est impropric

primitiva vel ex iinpropwe primitiva derivata, e. g. forma f; ex nequationibus

fundamentalibus sequitur ad, 2ab', ac', b d, 2bb', be't cd, 2cb', ce' per 33Î divi-

sibiles esse adeoque etiam am', bm, cm' et lune quoque mm' – l-mm' = \-M;

unde necossario in hoc casu crit 2K=J-3f, sive etinin forma F vel impr. pritn.

vol ex impr. prim.derivata. Quae officiant conclusionsm sextam.

Tandem observamus, si novem aequationes

an' = P, 2bn' – R~S, cri = U

a* = Q, 2i.'n = i?+S, cn=T

Anri = (/(/'– qf, îBnri –pq'qf–p'q–qp", Cnri – y/jw/','I

0'1111 =qq-qq, 1Hl =pq+qp IJ n1/ llp

quas. quouiam in sequentibus saepius ad ipsas revenire oportebit, per 8 designa-

bimus, locum ^abere supponantur, spectatis adeo ipsis n, ri tamquam incogiùtis,

quarum tamen neutra = 0 per substitutionem facile confirmari etiam nequatio-

ncs fundamentales 1 9 necessario veras esse sive formam (A, B, C) yvx substi-

tntionem p, p\ p", q, q, q", q" in productum e formis (a, b, c) [a, b', c) transire;

practereaque esse

bb – ac = nn[BB – AC), b'b'–ac=riri[BB – AC)

Calculum quem hic apponcre nimis prolixum foret lectorum industriae commit-

timus.

236.

Problema. Propositis duabus formis quorum déterminantes aut aequaUs sunt

aut saltem rationem quadratorutn inter se habent: invenire formam ex illis empositatn.

Sol. Sint formae componendae («, b, c) («', b', c) haruni deter-

minantes d, d'; divisores communes maximi numerorum a, 2b, c; «', 26', c' resp.

m, m'; divisor comm. maximus numerorum dm m, d'mm eodem signo ut d, d'

eOMl'OSITO* l-tHIÎIMÏtfW. 249

32

afiectus D. Tune-~p, -~g2 erunt

numeri positivi inter se primi ipsorumqtte

produetttm, quadratum; quare ipsi erunt quadrata (art. 21). Ilinc\f~ erunt

quautitates rationales quas ponemus = n, ri, et quidem accipiemus pro n valo-

rem positivum vel negativum, prout forma f in compositionem vel directe vêt

inverse iugreeli debet, siniiliterqtte signuni ipsius ri ex ratione qua in compo-sitionem iugredi debet, determinabimus. Erunt itaque mri, trin numeri integri

inter se primi; n et ri nutem etiam fractiones esse possunt. Ilis ita fictis, oh-

servamus, ari, cri, au, en, M-b'n, hri – Un esse intègres, quod de quatuor

prioribus per se manifestum est (quum ari = "mmri etc.); de duobus reliquis

eodeju modo probatur ut in art. praec. demonstratum fuit, R et S per divisihi-

les esse.

lam accipiantur quatuor numeri integri S, C, £", C" ad libitum, ea sola

conditione. ut quatuor quautitates in aequatione sequente (I) ad laevam positae

non oranes simul =0 fiant, ponaturque

aari+a'a'n+Sy'Xbri+b'ri) = M I

-£ari+!ù"'c'n~ &"(bri-b'n) = ^q

&"cri–Qa't) + m.bri-ù'n) – (*<

~£i"cri-D'c'n a(btt'+Vri) = M'"

ita ut q, q', q", q" fiant integri divisorem communem non habentes. quod obtine-

tur accipiendo pro \x divisorem communem maximum quatuor muuerorum, qui in

his aequationibus sunt ad laevam. Tune igitur per art. 40 inveniri poterunt qua-tuor numeri integri $, $', *)?", $'" taies ut fiat

?' -iw `i·` ~1 "-f-= 1

Quo facto determinentur numeri p, p, p", p'" per aequationes .sequentes

^'«»'+5pVw4-?W+6'«; p fil)

-«Prt«'-f«P'V«– pw-ft'n) = p

Tcri-%a'n +«P' 'Im-Vri) = p"

~$"cri – Wn – «|î bn'+b'n) = f

Tandem ])onatur

<jq"~qq"– Anri, pq'Jrqp'"–p'q"qp"

– ïBnri, p'p" – pp"= Clin'

250 DE FORJnS SECt'SDt GRADBS.

Tune A, B, C erant numeri integri formaque [A, B, C) F ex forais f, f

coniposita.

Dem. I. Ex aequatt. I nullo negotio eonfirmantur sequentes quatuor

neqimtiones

IL lam ponamus, numéros integros 58, S, SI', S', (S, SU,9{* ita deter-

rainatos esse ut fiât

l'une erit

Hinc atque ex aequatt. (III) facile confirmatur, si statuatur

tore

Quoties [a=1, hae aequationes non sunt necessariae sed ipsarum loco

aequatiojies (I), quibus omnino analogae sunt, retineri possunt. Quodsi nunc ex

aequatt. II, IV valores ipsorum And, 2Bnn, Cnri {Le. numerorum q'q" – qq""etc.) evolvuntur et quae mutuo se destruunt delentur: invenietur..singulorum

0 = q'eri –i'c'n–

q'"{bri–b'n) (III)

0 = q en' -q"dn– q"[hri-h'n)

0 = fan'-j-qc'n q'[bn'-j-b'n)

0 _= q"an–q'an– q(bri–b'n)

Sla+2536 + Sc = m

~'+2~+@'C'== ni

~«~'+2<B<'9ï'M'+6c~'M'+9ta'MM+2~M+6'c'9'!K = ) l

-qnm'~q"%lM-q'"{®W+mi) = q

çaW– }"€'»+ ^(©W– 8W) = q'

– ^csr+sirsi /(©sr-as1») = q"

H'a ri + Cj"dn-q'"{b ri-b'n) = q (IV) J– q« ri + q" c « q"(è ri– b'u) = î'

q'"c«' – qa'w + q'(6«' – b'n) =g"

– q"c«' – q'c'-rt q(6«'+6'«) = q"

œsfposmo FdHSfARt'M. 251

a2'

partes esse vel producta ex iritegrâ in nn\ vel ex integm in dn'ri vel ex integrôiu d'nn. iusuperque omnes pattes constituentcs ipsius 2Bnn' implieare facto-

rem 2. Hinc concluditur (quoniam dn'n'=d'nn, et proin –' = –"== y/rfrf'sunt integrij, A, B, C esse numéros integros. Q. E. P.

nn' lin V

III. Substituendo ex aequatt. (II) valores ipsorum p, p', p", f, facile

comprobatur adiumento aequatt. (III) et huius

~?+W+~"+~'Y'=1 t

esse

1><Ζ <U>' = «»'> pf- qp'p'q"qy = 2 b p'f– <['f = en1

p r/'– qp" = «'w j» jT– qp'+p'q"– qy= 2 6'« – c'«

quae aequationes identicae sunt cum sex prioribus (Q) art. praec.; tres reliquaeautent iam per hyp. locum habent. Quare (ibid. mbfin.) forma F transibit in f f

per substitutionein p,p',p",f\ q,q',q"q"\ ipsiusque determinans erit ~D,

sive aequalis divis. comm. max. numeiorum dm'm', d'mm, quamobrem per concl.

quartam art. pracc. F ex f, composita erit. Q. E. S. Denique facile per-

spicietur. F ex f' ita compositam esse ut praescriptum sit, quum signa quan-titatum », ri iam ab initio rite sint determinata.

237.

Theokema. Si forma F in production e duabus formis f, f est transforma'

bilis, atque forma f formant f" implicat: F etiam in productum e formis f, f"

tmnsformabilis erit.

Dem. Retineantur pro formis F, f, f omnia signa avt. 235; forma

sit = {«", c"), transeatque in/" per substitutionem a. ti, y, E. Tune

îmllo negotio perspicietur, F transire in ff" per substitutionem

V s «,"~n G;u«/»+y/. 6/»4-V. a/+r/ *èp'"

aq+yq, Gq + èq, aq'+yf, tiqH+èf Q. E. D.

Positis brevitatis caussa coefficientibus

a/i + 7/»'. «>> + oV etc. = «p, $', Ç-, Ci, £'. £", Z"

252 m Fonsfis seccndi owabits

numeroque a© – ëy e; ex aequntt. Q art. £85 facile coiifiïniatur, esse

$C – £Ç' = ane e

%*Z.m-ZLf'~f£."+£T = Une

u ~rrr- nn4ybmG af G

+' '+'= CMC

$ C" £ y = a« a « + -2a-( Un + y 7 c'«= «"«

l

<PC"Cr+?'C"-0r = 26"*1· .in ~G.W'N

-t- 'T. \1 yru

WO"'–£fm= <•"«/1

£'£l"-£i£r = A» ne

~u~+ m'"Q}'«.lOI ln" 2 2JBHMCi'-< ~+,-+'.t..4-.¡;o+, = "1Il!

^'5|J"_«P«JJ'" = C«»V c'

lam designato déterminante fonnae per d", erit e rndix qiutdrotn exet

quidem positiva vel negativa, pi-out forma formatn f" vel proprie vel intproprio

implicat. Quare rie erit radix quadrata ex unde patet, novem aequatiojjes

praccedentes aequationibus Q art. 235 prorsus unalogas esse, formamque f in

transformntione fornuie F in eodem modo accipi, ut in transfonnatione

formae F' in fonnara vero in illa vel eodem modo ut in hac. vel op-

posito pront ipsum proprie implicet vel improprie.

23%.

Ïheorema. Si forma F sub forma F' est contenta atque in productum e for-

mis f f tramformahilis: etiam forma F' in idem productum tmmfomabilis erit.

Dem, Retentis pro formis F, f, f iisdem signis ut supra et .supponendo

formnm F' trnnsire in F pcr substitutionem «, ti,y,è, facile perspicietur, F'

per substitutionem

«jj-j-Ûq, ap'+Gi/, a/tiq", a/'+Sr/"yp+èq. n>'+è<h

ryf+W. r/'+cî'"

idem fieri quod F per strbstitutionem />. /,p",p' < < q", q"\ adeoque F' persubstitutionem illam transirc in

ff. Q. E. 1).

Praetercu per similem cnlculum ut in art. praec. facile coun'rinatur, F' co-

dem modo inff" transforniabilem fore ut F, quando F' ipsam i*1 proprie impli-

cet quando vi-ro F improprie sub F' contenta sit, transformatioiies formae F

inff et fonnae F' in ff oppositas fore respectu utriusque formae scilicct

CftSfï'OSiïIO PORSfAKfB. ^53

» ::n..». s.1X~t~

qwae ex his formis in altérai» tronafbrnmtuntein directe ingraliatur. in altéra ai-

cipi hivcrse.

Ex combinatione theorematis praesentis cum tlieor. art. praec. obtinemus

sequens Keneralius Si forma F in producUm ff est transformabiUs, atque formue

f.f resp. implicant formas g, g, forma F vero snb forma G contenta cst: G ht

production g g1 transformabilis crit. Nam per theor. art. praes. G tmasfonimbi-

lis erit in ff', hinc per theor. art. praec. in fg' et per idem theor. etiani in g g.Porro patet, si omnes tres formac G formas gt g', F proprie implicent. Geodem modo in gg transforraabilem fore respectu formarum g, g, ut F in frespeetu formarum idem evenire, si illae tres implicationes omncs sint im-

propriae; denique aeque facile determinari poterit, quomodo G in transforma-

bilis sit, si ex illis iraplicationibus aliqua duabus reliquis sit dissimilis.

Si fonuae F, f, f" formis G, g, g resp. sunt aequivalentes hue eosdem

déterminantes habebunt ut illae, et quod pro formis sunt nuineri m, ni, idem

erunt pro formis g, g (art. 101). Hinc nullo negotio par conclus. quartain art.

235 deducitur, inhoccc casu G ex g, g compositam fore, si F ex ton»[jositasit. et quidem formam g in compositionem illam eodem modo ingredi, ut finhanc, quando F ipsi G eodem modo nequivaleat, ut ipsi g, et contra: simili-

terque g' in compositione priori vel eodem modo vel opposito accipiendam ut

ilt posteriori, prout aequivalentia formarnm g aequivalentiae foriiiurum /• Gsimilis sit vel dissimilis.

239.

Theorkma. Si forma F ex formis ff composita est: rjnaevis a/ia forma in

prodmtum ff' eodem modo transformai» lis ut F, ipsam F proprie implicàbit.Vent. Ketentispro F.ff omnibus signis art. 235. aequationes Si etiam

hic locum habebunt. Ponamus fornmm F' = U',#, C), tmius determinans

=D', transire in productum ff' ]ier siibstitutionem ^>, p',f, f- q, q'. q". q"' de-

signemusque numéros

H'~ (\r\ ï>q"– qp". pq'" – q p' pV-qV'. p'i)'"– qV", p"q"q'V

resp. per

Q\ W, S', V

2Jtè BËiPOMSll» SEC'UNDl ORADtS*

Tune habelmntur novem aequationes ipsis Q omnino shmles puta

F = «n', U– 8' = 2in'. IT = i-n'

# = an. #-f -S' = 2b'n, T = en

qV'-qq'" = A'nn', pf+ ^vV'-iV= 2^itn', W-n'"

= C'nn'

quas i>er li' designabimus. Quantitates «•, n' hic erunt radiées quadratae ex

]j,, g;et quidein iisdem signis resp. aftiectne ut n, ri; si igitur rndix qua-

drata ex positive accepta (quae erit mimerus integer) statuitur =A; crit w=Aw,

n' = Â-«'. Hinc et ex aequatt. senis prioribus in ià et W manifestum est, fort1

P'P, 0'==~, R'~hn

8' = kS, T' = k '1', U=kU

Quare per leinma art. 234 determinari poterunt quatuor numeri integri a, t», y. c

tales ut fiat

«^4-8// = y7>+ £? = q

«/+ 6< = P#. ï/+ ^ï = < etc.

atquc

6-Y

Substitutis his valoribus ipsorum p, q, ))', q' etc. in aequatt. tribus ultimis 2'.

facile contirmatur adiumeuto aequationum n = kn, ri – kit' triumque ulti-

înariun Q, fore

A'a a+2 JB'ay + C'y y = A

/i'a6+5'(aÔ+dy)-f Cyè =

.4'66-)-2~'{~+C'~=r

quapropter forma F' per substitutioncm a, 6, y, Ô (quae propria erit, quoniam

«o – tiy – k est positivus) transibit in F, i. e. formam F proprie implicabit.

Q. E. D.

Si itaque F e formis etiam composita est (eodem modo ut F ex iis-

dem.. formae F' eundem determinantem liabebunt, eruntque adeo proprie ae-

quivalentes. CJeneralius, si forma G e formis g, g eodem modo composita est ut

COMPO8ITIO FOKWABUJfi £55

F exf.f resp., formaeque g,jf ipsis ftf proprie aéquivatent: formae F, G

proprie aequïvalebunt.

Quum is casus ubi ambae formae componendae compositionem directe ingre-diuntur, simplicissimus sit, ad ipsumquc reliqui facile reducantur, illum solum in

sequcntibus coutemplabimnr, ita ut si forma nliqua simpliciter dicatur e duabusaliis composita, semper subintclligere oporteat, ex utraque illam proprie esse com-

positara*). Eadem restrictio valebit, quoties forma in productum e duabus aliis

transformabilis dicetur.

Theorema. Si e/ormis f, f' composita est forma F; ex F et f" forma $;ex f, f" forma F'; ex- F' et f' forma $': formae proprie aequivalentes erant.

Dem, I. Sit

deteriuiiiantes harum septem forraarum resp. d, d', d", D, D\ 2), © qui omnes

eadem signa et rationem quadratorum inter se habebunt. Poito sit na divisor

communis maximus numeiwum a, 26, c, similemque significationem habeant

m, m", M relative ad formasf", F. Tum ex concl. 4 art. 235 D erit div.

coinin. max. numerorum dm'm', d'mm adeoque Dnî'ni' div. comm. max. imme-

rorum dmmnfm", d'mmm"m"; M– mm; 5D div. comm. max. num. Dm'm",

d"MM, sive numerorum Dm"m", d'mmm'm'. Hinc concluditur, 2) esse div.

comm. max. trium numerorum dm'mm"m", d'mmm"m", d'mmm'm'; ex simili autem

ratione 2)' eorundem trium numerorum divisor communis maxiraus erit; quare

quum 2), S)' eadem signa habeant, erit 2) = 55'sive formae g. £' eundeni dc-

termiuantem habebunt.

') Similher ut in comirositione rationum (quae cum compoaitiono fonnarum raagnam analogiam hnhct)

subtnteliijîi solet, rationes componemlas directe «ccipivudu esse nisi ubi eomrorium monetur.

240.

f = axx -2bxy + cyy

f = a'afx + 2 b\v'y + c'y 'y= a x. 2 ,~y J aJ

f=nfs"f +2tVy +c"y"y"=a,~¡q ,119 CYY

F=ylXX+2BXY-fCYY

F' =A'X'X'+ 2 B'X' Y'+ C T T

Ç = 213ÊÏ +233X9 4-eSDg'= «T3E'

H-2$3T$' + S'g)'2)'

250^ 1>K KOKMIS SEfl'SDJ 6KADI;S.

Il.lanl ti~üt~at F ïn ,~f' per ~tcbstitutionenn

X ==/r,a~;al-y~i,eJ-~é~'J·Z'+·1/r,JcJ'

r ==cl,t ~i- q',r,q"J, c1 "J.~

atqnu S iu 7'y" per Slll)St1t1.1t1U11(.'111

x ==~x.t."+))'xy'+),"r~"+fiy

q ~'X,9"+ `i' lr,Z''+ q ~r yrr

t,.1'

l'et d' D d"

I.ll '1'rque radiées quadratae positivae exÎ~, l~, per n, ?. 91, ri'. Tuuc

per art. 1:3~ habcbuuturdecem et octo aequaHouctt. quarunt alterit ad

traiisforiiititioiieiii foriiitte Fin ~f' pertinebit, altera ad transformatiouetu for-

mac S in 1,:f". Pritua erit pc~·-r//i an', ad cuius instar facile fOl'1lml'i

pon't-unt reliquae brevitatis gratia hic omittcndae. Ceterum quantitates fI. M. 91. n'

rntioltlce quidem erunt..sed non uccessario numeri httegri.

111. Si valores ipsorum A, Y in valoribus ipsorum X, ~) substituutttur.

prodit t substitutio talis:

Ï ==(r.t-~<+'2)A-)-(3)~c'-p(4)~

+ .c/ ·z'.t'+- :6~+ (7~y~"+ ~)yy.~

ll =(9, ~+ (i u; ,c ,i~.c/ (11 ~.y~)- (i 2;

+(!3~+'~)~"+~5~+(t0)~"

per quam manifesto ij transibit in productum C'oefficiens (1 erit

=p+qli': valores quindecim l'etiqnorum non apponimus. quippe quos quisque

lIullo negotio evolvet. Desi~emU8 numerum !i ) 10) (21(n) per (1,2", nume-

rum 1 )))–~)(9) per ( t :3) et general,iter (b-–(~+-~ per

.supponendo g, li esse intègres inaequllles inter 1 et 1 U, quorum maior A~; hoc

modu otuuiuo viginti et octo signa habebuntur. lam denotatis radicibus quaclratis

yositivis ex per tt. ti, (quaeerunt =K9f. M'9ï!. eruelttur sequente. 2~

vc·quzttiones:

'j 1{0ruII1signorutu siKnificutiopraeicus 11011est confundendit cum M, itt dua iu art. tw aecepta erant;uamnumeti per ltaer signu l~ieerprcssi ai>lraimr respoadentiia, Ilui in art. 2:n prr numéro.. sitnilihus!i~is~/< dctwtatu'i tnttltiplirntuntnr.

co.wposmo formarum. 257

33

1.2., c^nan" (8,5) =V«/h – irttf

1.3 = ««V(3.o)

=W+M"n-W -®tttt'n"

I l =« //n"+ ulJ'xi (3, 7) – a"c'n

1 5, = a Vil(3, 8}

=fct'n"+ AVtt

i,i$ =«'An"+«'6"« (4,5) Utfn–bbV– fc&V+Dntfn"

1 7;=

«7>n'+ «7/« (4, 0) = b'c"n /,cV

1 1 s;=

é A'n"-f- b ôVf *« 4- © « «'»" (4 7 J = /A-'n – h c'n"

(2 3 = a /Ai'– « 6'n"(4 s; = cV'n

f-2.4 =afV;51C) = c«V

2, J: ^= aVu–abri1(5. 7) = f«"n'

(2,0 – a'c'n(5, 8) = é'eif-f A"cïi'

(2, 7)=

66V+ W"n– ft6V– SDnn'n". (e, 7) = b"cri–b'cn"

X s -=ic"u'4- //c'n (e, s)

= cc"n

'.».4 ,^«cn"<7, %)

= ct-V

([lias per (l> designahinius novemque aliae

(10; (il) – (9) (12)= «n'it"8l

t «.1 «; – (2» (t 1 ) {»; ( 1 0) -+- (4) (0) = 2«tOT

(2)(3) – (i)(-i)= «n'n'5

-(«ij(lG)-i-(10:(l5; + (ll)(l4; – (12) (13)= 2iu'n"2l

(l)(l0)-(2)îl5)~(3)(14)+(4)(13)/= 4ftl|VC

4-(6)(12)-l«î(»lî-(7)(lO)4-(S)(9)\

– (l)(S)H-(2;(7)4-(3)(C)-(4)(2>) = 2i«'n"6

IU) (16) – (13) (18)= Cît'n"2l

(&) (16) -(6; (15) -(7) (14) + (S) (13) = 2cn'n"58

(6) (7) – (5) (8)= cn'n"£

<l»a.s designabimus per H1 ').

IV. Originem omnium harum 37acquationiun dcduccre niuiis prolixuiu

foret: suificiet quasdnni confirmavisse, ad quarum instar reliquae haud difficulter

denionstrari poterunt.

*) Obwrvare convenit 1s nlins aequationcs his V gimiles erui posse, in quibus ail dcxtraw loco focio-

nim «, sA, c hnbeantur «', ih', e'; a", tb", c": scd has quum ad institutum nostrum nnn tint neci-ssiriac,

umittimus.

2S8 DEFOHMia8ECIWJI ORADl'S.

t; Habetar

(1,2: = (1)(iO> – (2)(9>

= (pq'~ mO/p+ (pf <i W+ «Mm-Kp'Y'~ O">/

== tt"t-2.Bj~-(-C'yy)= n"««'

quae est aoqu. prima. j

2} Kitt

l,:j = ();ii –. :j;(9; = ftq"– qpVW– *)– «"9f««' = ««V

tiequ. secuncla.

3) Krit

;i.s; = ,i;;io;-(s}(9)

.=')~'+~f-qfj~(PV-~?7~+~tV' P

= u''f~+~~f+~+C~J+&f-)

“" (fc b'+ ^d(T)+Ml [b'n + bri) *}

= n"tt'4-n'6i"4-iti'ft"+3)n n'n"

utiquatio uctava in <t>. Aoquationcs reliqwas lectoribus confirmandos linquitnus.

V. Kx aoquatt. <I> sequitur, viginti octo numeros (1,2), (1,3) etc. uullum

divisorejn communem habere, sequenti modo. Primo observamus, viginti septem

producta e ternis factoribus. quorum primus vel n, secundus aliquis numororum

«', 24', c', tertiusque aliquis numerorum a, 2b", c"; vel primus n', secundus ali-

quia e numeris a, 2b, c. tertius aliquis numerorum a", 2b", c"; veldeuique primus

n", secundus aliquis numerorum a. 26, e tertiusque aliquis e numeris a', îb', c'

singula haec viginti septem producta propter aequatt. 4> aequalia esse vel alicui

ex viginti octo numeris (i, 2). (1,3) etc. vel plurium siuutuae aut differentiae (e.

««'«" = (1,5,, 2îl«'i" = (l,6) +(2, 5), 4n6'6" = (1, 8) -f (2, 7) +(3, G)+4,5;.

et sic de reliquis) quamobrem si lii numeri divisorem communem haberent, hic

necessario etiam omnia illa producta metiri deberet. Hinc vero facile deducitur

adiumento art. 40 et per mcthodmn saepius in praecedentibus adhibitam, eundent

divisorem etiam numéros nm'm", xùnm", vi'mni metiri debere adeoque horum

') Hocsequitur ex acqu. 10 art. îis clsqq. Quunlitns radienlis \,<ltl' fit = Iinn'= 3)n«'9}?}= 3)iim'.

11.» Jt

GOJfPOglTIOFO8«AHK)J, 259

33*

quaclrata qaae sunt (Î^X'i 'i^?^ £»««*! pet illius quadrotum divisi-quadrata quae sunt-$-' --f- per 1 lU8 qua ratum diviri-

bilia esse, Q. E. A., quoniam per 1 trium nuraeratomm divisor communia maxi-

mum est ÏD adeoque quadrata ipsa divisorem communem liabcre uequeunt.

VI. Haec omnia pertinent ad transformationem formac Ç in ff'f"; ct ex

trnnsformationibus fonnae F in ff' formaeque in Ff doducta sunt. Sed

prorsus simili modo e transformationibus formae F' in ff" formaeque g' -in F'f

derivabitur tmnsformatio forrane in talis:

•k" = (1>+ (2}l*^y+(3/ay^4. etc.

?)' = ^>.tV+(10/li?j?y'+(ll/a^V'4- etc.

designando oranes coefficientes similitcr ut in transformatione format' Ç in ff'f.

singulisque distinctionis caussa lineolam afflgendo). ex qua perinde ut ante 2S

aequationes ipsis <t> analogae deduceutur, quas per <l>' designabimus, noveinquc

rtliae ipsis V analogae. quas exprimemus jjer t". Scilicet denotando

t v10)'– (2)'(9)' per (1,2/. (l)'(l I ;'– '3/(0/ per '1.3"1 ), pC! )..1'. ¡ ,1.. ,'I)CI .)

iieqiiationes <|)' erunt

1, 2:' = ««'n". ;i, 3/ = aa"n\ etc.

ueqnatioiiRH V autem

,10''ii/– ;o/(12;' – rtn'n"9l', etc.

Evolutionem uberiorem brevitatis gratia Icctoribus reliuquimus; ceterum periti

novum caiculum ne necessarium quidcni esse, sed analysin primam per analogiam

facile hue tronsferri posse invenient). Quibus ita factis, ex <l> et <!>' statim

sequitur

.1,2,) = II, 2)', (1,3) (1,3/, (1,4).= fl, 4/. ;2,3i=(2,:»)', etc.

liinc vero et indc quod omnes (1 2;, (1, 8), (2, 3j etc. divisorem communem (per Y,

non habent, adiumento lemmatis art. 234 concluditur, quatuor numéros intégras

«i. 6. y, è ita determinari posse, ut fiat

«HJ )'+ «{9/ = (1), a(2)'+6(10)' = 2,, a(3/+faJ(ll)' = (3;, etc.

Y!l)'4-c(9.' = (!) rf2,'+o-(ll))' s= 10,, y'»/-f-ofl 1)' = fil), etc.

atque aè – îîy= 1.

360 »B POBMIS8SCUNOI©RADU3.

Vil. Hinc atque sabstituendo ex tribus aequatt. prVil. Hinc atque substituemlo ex tribus aeqnatt. prittifo 4' valores ipsonim

«21, «53, «S. et ex tribus aequ. prûuis V vâlores ip.sorm»i a$'. «S*. «S* facile

confirmatnr fore

« l\aa-+2%<iy-+-§yy) «3T |M

tl,2{(lb+~ac+ül:+Œ)'li ~«~'

ff;2l(ï(> + 2$tf£-f-<5<^} = «6'(Î'j

mule, nisi «-=0. manifeste sequitur. fonnam $ trausire in per substitutio-

111:111propriam ex. ?», y.è. Adhibendo autem loco triuin aequatîonum prima-

mm in *1" et q" tres sequentes, facile coniirmabuntur tres aequatioues modo

traditis oinnino .similes. in quibus loco factoris ti ubique invenitur b\ mule patet,

eandem conclusionem etiamnum vnlere. si modo non sit 6 = 0. Uenique adlù-a

bendo très iiltimas aequationes W, V invenietur eodem modo. conclusioueme

veram esse. nisi c = «. Quocirca quum certo omnes a. b, c simul – u essex

ucqucant. necessario forma per subst. a. 6. y. è transibit iu adeoque liuie tformae proprie aequivalobit. Q. E. D.

1

241.M

Talem fontiain »t vel g'. q«ae oritur. si uua trium formarum datarum >

cuiuponitur cum ea quae ex couipositiono duarum reliquarum resultat, ftf Us tri- “

lus formis composition voeabunus. patetque ex art. praec. uihil hic intéresse. fl

quonont ordine tres formae componantur. Simili modo propositis quotcunque

formis etc. 'quanun déterminantes rationem qundratoruni inter se

habere debent si forma f componitur cumf', resultans cum

f", quae hinc

oritur cuin etc. forma quae ad finem huius operationis prodit ex omnibus for-ntlt

/• etc. composita dicetnr. Facile vero demonstratur etiam hic

arbitrarium esse, quouam ordine formae componantur; i. e. quoeunque ordiut- hat*formae coraponantur. formas ex compositioue oriundas semper propric aequiva-

lentes esse. Porru manifestum est, si formis f'.f" etc. proprie aequivaleant

formae ff, g, g" etc. resp., fonnam conipositani ex his proprie aequivaleutem foret

formae ex illis compositae.i

r

eojiposmo pôRtfARU». gjjt

242.

Propositiones praececleutes formarum compositiuncm maxiiun universalitute

cuiuplectnntnr; pngxediniur iam ad applications tnngis partieuluros. pcr qua»illaruni ordinem

interrumpere uoluimus. Ac primo quidem resumomus pvoblemaart. 230, quod per eonditiones sequentes liraitabimus primo ut f brume eompo-

nendaeeundemdeterminantemhabeant, sive sit d = d'; secundo ut m, ni sint

inter se primi; tertio ut forma qnaesita directe ex utrnque composta.sit. Hinc etiam mm, m'm inter se primi crunt; quare divisor cowimuuis

iiiaximus numerorum dninî, il m m le. D liet =d – d\ atque n .-»'-=].

(iuatuor quautitates O, Û'. Û". Ù"\ quae ad libitum assumi pos.suut. stntucraus

– t, 0, 0, 0 resp., quod semper licebit unico casuexcopto. ubi «. d, h+b'

simul sunt =0, ad quein igitur hic non respiciernus; manifesto uutein hic casus

occurrere nequit nisi in formis detenninantis positi\i quadrati. Tune j»tet. |ttieri divisorem communem maximum numerorum a. a. 64-4': numéros $', f". *$'"

ita ttccil)i debere ut fiat

5|J'«4-«P"rt'4-<P'"(64-6': = ja

ipsum f vero omnino arbitrarium esse. Hinc provenit. snlistitut-ndo 1. c. pro

/>, q, p, q etc. valores sucs:

:1ü ~r

==C~,3ct ci .-f- s,~3'ciL"-i--~fpéG-f s, ~GG'-f D~)

C autem per aequationem AC = BJi – D poterit (tetermiuari si modo non

simul a et a = ».

In hac igitur solutione valor ipsius A uou pendet a valoribiis ipsorum^5, W, «P"# (qui infinitis modis diversis determinuri possunt); B autem alios

valores obtinebit tribuendo lus numeris alios valores, operaeque pretium est inve-

stigare, quomodo omnes valores ipsius B inter se conuexi sint. Ad hune finem

observamus

1. Quomodocunque determinentur <P", f"\ valores ipsius B inde

prodeuntes omncs congruos esse secundunl modulum A. l'ouamus, si statuatur

<P = V. W = P'. r=p". V = f, fieri B = ®

facieudo autem

¥ = P4-b. $ ^p'+b1. iT=p"+b". r' = P'"4-b"' prodire B = «4-2)

262 m fohshs secvss» wt*iDV&;

Tune igitur erit

ffj»'+a'b"+ b+bW' «, aab + ab'V+aW+ibb'+D ;V=

p$

M'ultiplicando aequationis posterioris partem primam per ap'df-[b-b'jf\

secundnm per p, et subtrahendo a producto primo quautitatem

(ca G'11'-f-ci G l,"+ IGG·D' ") (a b, b" (G -t- G,, b",j

quae proptcr ucquationem priorem manifesto erit =0, habebitur evolutione facta

H sublatis quae se destruunt

uci (~b-f-('G'-G`,11"c~b,-i-i(b-G'i~-f-c~b~c,+c~b" !Jo P.

«nde manifesto {i|xSD per «a, sive 35 per i. e. per A divisibilis erit. atquc

5? = %$)'moà.A'

11. Si valores p, p', p" p'" ipsorum ty\ ?P", reddant 2? =8, inveniri

pos.se alios valores horum numerorum ex quibus li nanci.scatur valorem quem-

cuiique datum ipsi 33 secundum mod. A congruum, puta $ô-kA. Primo ob-

servamus quatuor numéros jt c, c, h – V divisorem communem habere non

pusse; nam si quem haberent, hic metiretur sex numéros a, d, b-b', c, c, b – b'

aduoquc tum ipsos a, 2b, c, tum ipsos a, 2b', c et proin etium ipsos m. ni, qui

per hyp. inter se sunt primi. Quamobrem quatuor numeri integri h. II. h", h'"

poterunt assignari tales ut fiat

/iVt+h'c-i'/t"c+/nb– e) - 1

Quo facto si statuitur

A- A = b, ?c(IÏ"b + b' –/<«') – |xb'

k(k'tb+b'; + kmà) =|ib", -.k!-Kd+h\ = jib"

patet. ipsos b, b', b". b'" esse integros; porro facile confirmatur fieri

ab'+a'b"+(6+i')bm = 0

««'b-f-«//b'4-«'6b"+(iè'+D)b'"=

?~({iA+f/4-c7t"+(6– b')h"')–

pkA

liX iteq11F1t1o11C 1)rlOrl pat('.t, (.'tlaill ~,1-'+-b, ~1"`-b', ~1"-+-b"~ ~b"' ease valores ipso-Ex aequatione priori patet, etiam p-f-b, p'+b', p"+b", p'"+b'" esse valores ipso-

rum ty. f, ty": ex posteriori, hos valores producere B= ®kA. Q.E. D.

GOMPOSITIO POBMABt'Urï 263

Hinc perspicuiun est; Ssemper ita determinari posse ut iaceat inter 0 et ^1– t

incl.. siquidem A est positivus; velinter 0 et – A – si A négativux.

243.

Ex aequationibus

~3'ca ~3"cé-s~f" (b- b'j 13(~a c~ ~ftt b'-I-;3"ti b-f-r.~i", ~b f-f. L:~ )

deducitur

B<.+~OP~'+~'(6'c)

=G',+ (~ o -I- (6 G,. c~

quare

3=3 6(mod.»-jet

2? =; A' (mod. £,

Quotiesinter se prinli sunt inter 0 et A – 'sive inter » et –A–\

quando A est negativus) unicus tantuui numerus iacebit qui secundum niod. –

sit b, et b' fieo.111od. qui

si statllitur -=13atque

l~al 1-'

sit ~b, et =6'sec. mod.j;

qui si statiiitur B atque Q!LrJl.-i\ paiam

est, (A, B, C) e formis («, b, c), («', b', c') compositam fore. In hocituque ctisu

ad iuventionem formao compositae ad numeros $', î|î", <p™ nonamplius ojjortet

vespicere*). Ita e. g. si quaeritur forma e fonnis (1 o, 3, 1 1), (i 5, 2, V eomposita.erunt a, a, 6+6' resp. = 10, 15,5; |i– 5; hinc A– G; J3 = 3 (mod. 2 et =2 1

(mod.3), unde B=â atque (0, 5, 21) forma qnnesita. Ccterum conditio nt

'j, jinter se primi sint, omnino aeqiiivolet huic, ut numeri duo a, a divisorem

cominuuem maiorem non habeant quam très a, a, ù-{- b', sive, quod eodem redit.

ut divisor coramunis maximus numerorum a, d etiam numeruin i-f- metiatur.

Notcntur imprimis sequentes casus particulares:

1) Propositis duabus formis («, b, cj, (a\b'.c) einsdem determinautis D

ita comparatis ut divisor comm. max. numerorum a, 26, c primus sit ad div.

comm.max.num. «', 26', c, atque a primus ad a':forma ex his composita Llli.C'

invenitur faciendo A– ad, JB~6(mod.«) et si' (mod. a'), C=^^?-Hic

casus semper locum habet, quando altera formarum componendarum est forma

principaUs, puta « = 1,6 – o, c = D. Tune erit A = a\ B statui poterit

*) Quod«emperefficitur ndhibfndu congruentins

«H =. «'H _«'b lb + V)h bh'+'D~uii. d;)a

–;x ,i « ji

(mod..rl/V. a !a u u ;x

264 UK TORMtS SKCfNW «ftADl'S.

~b\ tindefiet C=ë\ qimre a* forma principal et quuctmqiw alla formaeiusikm _

ih'termtnanth-i cumjmita eut haec forma ipsa.

2; Si duae formae ojjpuxitac proprie primitivae sunt componendae puta

(a. b, c) et «, –h. c], erit |a – a. Hinc facile perspicitur, formant principalom

1 u. – D; ex illis esse compositani.

0 0 0 0 0 0 0 0 03 Proposais quotciuique fomiis proprie primitivis, a, b, c {a. b. c).

•a", I". c") etc. ciusdcm determinantis D, quanun tenniui antécédentes «. «', «"

etc. sunt uumeri inter se primi. forma [A. H, C, ex illis omnibus contposita in-

vonîtur. statuendo .1 aequalem produoto ex omnibus «,«'.«" etc.; B congruum

i 1)sia li. l' G" ctc. 1 1 1 l(, a', (t" etc. resl).; C'= ~IfD~

faciluipsis b. U. b" etc. secundum motlulos «, a, a" etc. resp.; C'=– -J--

Facili-

euiiu perspicietur. ex cluabus formis (a. b, c) (a, b', c) conipositam fore formain

ll ü r~ re'-1),,

1 ltaC atqtle ~lt', li'. C'~ f. i t6 (!`(4 `.~û

1)!««'.B. – ~–

ex hac atque <a", /> c") formum i'« «'«B, ~<

etc –

\*iet» versa

-1 l'roposita forma proprie primitiva (A, B, C) determiuantis D. si ter-

minus A in factures quoteunque inter se primos a, a', a" etc. resolvitttr; uumeri

b li. b" etc. ipsi B vel aequales vel saltem sec. mod. a, a, a" etc. resp. cougrui

accipiuntur, ntque fit ac – bb – D, dc–h'b'–D, «"c" = 4T– Detc: forma

A, B, C) composita erit e forutis (ti, b, c), (a G` C), ilb' G" C`j, sive tll~(&rNW.<

/•exolubilis. Nullo ne^otio probatur. eandem propositionem adhuedum valerc.

etianisi forma {A. B, C) sit improprie primitiva vel derivata. Hoc itaque modo

qnaelibet forma in alias eiusdem determinantis resolvi potest, quarum tennini

antécédentes omnes sint vel nunieri primi vel numerorum primorum potestates.

'l'alis resolutio saepeuumero commode applicari potest, si ex pluribus formis datis

componenda est una. Itîi e,y. si quaeritur forma composite e formis (3. 1. 1 3-1j.

to. 3,41). (J5.2.27), resolvatur secunda in has (2, 1,201), (5,– 2, SI), tertia in

lins ''3. – 1.134), (5.2,81), patetque formam ex quinque formis (3, 1,1 34;,J'

'2.1.201,. (5,-2,81). i'3. – 1,134), (5, 2, 81} compositam, quoeunque ordine

accipiantur etiam ex tribus datis compositam fore. At ex compositione primae

cum quarta oritur forma principalis (1. o. 401; eadem provenit ex composi-

tione tertine cum qui n ta; quure ex compositione cunctarum conftatur forma

(2. 1, 201).~i.

eOMPO8JTIOTORMAttl'Jf. 266

34

5i lroptér rei utilitatem operae Protium est, hatce meihodum adhuc amplius

exptieare. Ex observatione pmecedente maniiestum est, problenua, quotcunqueformas datas proprie primitivas eiusdem determinantis coinpoiiere. reduci possead compositionem forrnarum, quarum termini initiales sint potestates numerorum

primorum (nam numerus primus tamquam sui ipsius potestas prima coli-siderari

potest). Quantobrem eum imprimis casum contemplari coirvenit, ubi duae for-

mae proprio primitivae (a, b, c), (< b', c') sunt componendae, in quibus a et a'

sunt potestates eiusdem numeri primi. Sititaque a==~, 0'-==~ designante A

numerum primum, supponamusque (quod licet), x non esse minorem quamErit itaque /il div. comm. max. numerorum a. N, qui si insuper ipsum b-G'

metitur, habebitur casus initio lmius art. consideratus, eritque (A, .B, C) ex pro-

positis composita si statuitur ~1==~ JS==t(mod.) et =-V'.mod.1), quaeconditio posterior manifesto omitti potest; C

== ~– si vero Il ipsum

& + non metitur, necessario div. comm. max. horum numerorum et ipse erit

potestasipsius h, sit igitur ="'1, eritque v < (statui débet ~=0. si forte hl

et b-f-b' inter se primi sunt). Si itaque <P'. <)8", ita determinantur, ut fiat

~+<p"~+<p'"(~') = /1

Ip vero ad libitum assumitur, forma (A, B, 0) ex datis erit composita, si statuitur

A .r h"d-s", j?==&-{-A'<pA~–<P'(t-&')-<;). C xli-n

Sed facile perspicitur, in hoc casu etiam \13' ad libitum assumi posse. quare sta-

ttiendo ~3 !?'= 0 fit

~–c~–

sive geiieraliter

B =A~+&–c~"

desigrnarrte k numerum arbitrarium (art. praec.). Irr hanc formulam simplicissi-mam solus ingreditur, qui est valor expr. ~(niod.

Si e.g. quaeritur

forma composita ex )6.3.t9) et (8, 1, 37 est A=2. x=4, h = 3 ~=2.

t) siaeexpr.1

( (mod, h") unde B = b ch" 4 (D -66') · h''( dA)8\Ve expr. mo un

~=~=~y~7T hr

266 »K KOKMISSECl'.VDIGftADt'8.

Iline À=g, $'" valor expr. | (mod. S) qualis est J unde B -- S* – 7 3 adeo-

qucfaciendo k~9, B– – atque Çc=37, sive (8. 1. 37) forma quaesita.

Propositis itaque formisquotcuuquc quarum termini initiales onmes sunt

potestates immerorum primorum, eireiimspicieiulum erit, imm aliquarum termini

antécédentes sint potestates eiimkm numeri primi, atque hae inter se respective

per regulam modo tmditam componendae. Hac ratione prodibunt foraine, qua-rum termini primi etiamnum erunt potestates numerorum primorum. sed omnino

diversorum; forma itaque ex his coruposita per observ. tertinm definiri poterit.

E.g. proposais formis (3,1,47), (4.0,35;, (5,0,2s), (10,2,9), (9,7,21), (J 0,6, il),ex

prima et quintn confiatur forma (27,7,7); ex secunda et quarta confit

0. 6, 1 1 ) ex hac et sexta(1,0,1 40) quae negligi potest. Supersunt itaque

(5.0.2S). (27,7,7), ex quibus produeitur (135, –20,4), cuius loco assumi potest

proprie aequivulens !4, 0, 35). Ilacc itaque est resultans ex compositionc sex

projjositarum.

Ceterum ex hoc foute plura alia artiticin in applicatione utilia hauriri pus-

.sunt; sed ne nimis longi fiamus. uberiorem huius rei tractationem supprimimus.

ad alia difficiliora properantes,

244.

Si per formant aliquam f repraesentari potest numerus a, per formam

numerus «', atque forma Fin est trnnsformabilis: nullo negotio perspicitur.

productum a a performam F repraesentabile fore. Hinc statira sequitur, quan-do déterminantes harum forniarum sint negativi, formam F positivam fore, si vel

utraque sit positiva vel utraque negativa; contra F fieri negativam, si altéra

formarum sit positiva altéra negativa. Subsistamus ineo imprimis casu,

quem in art. praec. consideravimus, ubi Fex f, f' composita est, atque/ et

F eundem detcrmiimntcui D habent. Supponamus insuper, repraesentationes

numerorum a, d per formas f' fieri per valores indeterminatarum inter se pri-mos, atque priorem pertinere ad valorem b expressionis <JD (mod. a), posterio-rem ad valorem b' expr. y.D'mod.rt'), ponaturque bb~ JD = ac, b'b'–D = a'c.

Tune per art. 1C8 formae (a, 6, c), («', b\ c') proprie aequivalebunt fomiis

quare F etiam ex illis duabus formis composita erit. Sed ex iisdem formis com-

posita erit forma [A,B,C), si, posito numerorum a, o'. b -f divisore com-

muni maximo =, statuitur fi –J-

B~b et b' sec. moriiilos l,±. re.sp.,ïx t,,

mapoumo ottujNt'M. 2G7

t_ 1'-

3-J*

A C = BB – B; quare haec forma proprie aeqttivalebït formae F. Jani per for-mam

AjL'x-Bxy-C^tf repraesentatur numerus ad, faciemlo^={», ^=0,

quorum valorunt divisor comm. inox, est p; quare au etiaui per fornmm F re-

pracscntari poterit ita ut valores iudctenniaatoraia habeant divisorem cominunein

înoxiniuni part. ICO;. Quoties igitur evadit ja = I ad per formam F reprae-

sentnri poterit tribuendo indeterininatis valores intcr se primos, repraesentatio-

quc.haecpcrtincbit ad valorem B expr. \/D .'moct. <*«' ipsis A, i' secuudum mo-

dulos «, «' resp. congruum. Conditio (x=

l semper locum habet. quundo a, a'

inter se primi sunt; generaliter autem, quando div. comm. max. ipsorum a. a ud

6-f-'1 est primus.

CompofUio ordinum.

245.

Thborema. Si forma f ad eundem onlinem referenda est ut g, similiterque

f est eœ eudem online lit <j forma F ex f,f eomposita eundem detemintmtem ha.

Mit e.t' eodemque online erit ut forma G ex < g composita.

Dm. Sint formae F =(a, b, cj, («'. b', c), (A, B, C, resp., ipsarum-

que déterminantes = d, d', D. Porro sit numerorum a, 2b, c div. comm. max.

– m; numerorum «, b, c div. comm. max. = ni; sinùlesque siguificutiones ha-

beant ni, m' respectu fornlae et M, SR respectu formae F. Tune ordo for-

mac f detertninabitur per numeros d', m, m, unde iidem numeri etiam pro forma

g valelmiit; eadem ratione numeri d', m', m' idem erunt pro forma g quod sunt

pro forma f'. lam per art. 235, numeri D, M, ÏSI determinati sunt per d, d', m.

m, m, m; scilicet erit D divisor communis maximus ipsorum dm'm, d'mm;

M -.mm; atque 2W = mm' (si simul m = m, m =m'} vel = 2mm' (si

m = 2m. aut m'=2m"). Qnae proprietates ipsorum D, M, SOï. quum inde se-

quantur, quod F ex f,f' composita est: facile perspieitur, D, M et SOÎ etiam

pro forma G valere, adcoque G esse ex eodem ordine ut F. Q. E. D.

Ex hac ratioue ordinem in quo est forma F, compositum dicemus ex ordi-

nibus in quibus sunt formae ita e. g. ex duobus ordinibus proprie primi-

tivis semper compositus est similis ordo; ex proprie primitivo et improprie primi-

tivo, improprie primitivus. Simili modo intelligelldum est. si ordo aliquis ex

pluribus aliis ordinibus compositus vocabitur.

DE FOBMI& SECDNDl GRADUH.268

Cumymitio yeneeum.

240.

Probiema. Propositis duabus formis primitives quibusamque ex qua.rum cmponitione oritur F: ex generifms ad quae pertinent f, f definire geimx ad

quod re/erenda erit F.

Sol. 1. Considerenms primo eum casum ubi ad minimum una formarum

e- S- prior est proprie primitiva, designemusque déterminantes formarum

f,F per d d', D. Tune D erit divisor communis niaximus numerorum

dm'm', d' ubi m' est aut 1 aut 2, prout formaf' est proprie aut iniproprie pri-

mitiva autem in casu illo pertinebit ad ordinem propric priinitivuin, in hoc ad

improprie primitivuin. Iam genus formae F definietur per ipsius characteres

particulares, nernpe tum respectu siugulorum divisorum primorum impanum i\y-sius D. tum, pro quibusdam casibus, respectu numerorum aut 8. Hos igitur

shigulos determinare oportebit.

1°. Si p est divisor quicunque primus impar ipsius D, necessario ctiam

ipsos d, d' metietur, adeoque etiam inter characteres formarum occurreut

ipsarum relationes ad p. lam si per f repraesentari potest numerus a, pernumerus a': productum a a repraesentari poterit per F. Si itaque tum pertum per f' repraesentari possunt residua quadratica ipsius p (per p non divisi-

bilia), etiam per F residua quadratica ipsius p repraesentari poterunt, i. e. si

utraque habet characterem Rp, forma F eundem chameterem habebit.Simili ratione F habebit characterem Rp, si utraque f' habet characterem

A>; contra F habebit char. Np, si altera formarum f,f' habet Rp. al-tera Np.

2°. Si in characterem integrum formae F ingreditur relatio ad numerum 4,talis relatio etiam in characteres forrnaruni ingredi debet. Nam illudtune tantummodo evenit, quando D est =0 aut =3(mod. 4). Quando D

per 4 est divisibilis, etiam d mm' et d' per 1 divisibiles erunt, unde statim pa-let, non posse esse

impropric primitivam, adcoque esse •»»'= 1 hinc tum iltum d' per 4 divisibiles erunt, et in utriusque characterem ingicdietur relatio ad 4.

Quando 2>s3(mod. 4), metietur D ipsos cl, d'; quotientes erunt qua-drata. adeoque etiam d. d' necessario vel == 0 vel =3 (mod. 4 ), et inter cha-

COMPOSITIOSENEBUlf. 269

racteresipsamm relatio ad 4. Hinceodem modo ut in (i°) sequitur cha-racterem fonnae F fore 1.4. si vel utraque f, f' habeat f,4 vel utraque3.4; contra clmroctercm formae P fore 3,1, si nltem formarum Imbeat1,4, altéra 8,4.

3". Quando D per 8 est divisibilis, etiam d' erit; lûnc certo proprieprimitiva. w'=:i 1 atque etiam d per S divisibilis; quare inter characteres formaeP aliquis e eharacteribus 1,8; 3,8; 5,8; 7,9 tune tantu.n locum habere potest.« etiam in charactere tum formae tum formae f' talis relatio ad 8 adest.Facile autem confirmatur eodem modo ut ante, characterem formae F fore 1,S.si f et respectu ipsius eundem habeant; characterem formae P fore 3,b.si altera formarum babeat 1,8 altera 3,8, vel altera 5,8 altera 7,S;.F la-bere 5,8, si/ habeant t.s et 5,8 vel 3,8 et 7,8; F habere 7.8, si ethabeant vel 1,8 et 7,8, vel 3,8 et 6.8.

4°. Quandoest D 2 (mod. S) crit d' vel =o 0 vel =2(.nod.b., hincm = 1, adeoque etiam d vel su 0 vel s 2 (mod. S}; attamen uterque d, d' pers divisibilis esse nequit, quoniam D est divisor communis maxïmm ipsorum.Quare in eo tantum casu alteruter characterum 1 et 7,8; 3 et 5, 8, formae Ftribui debebit, ubi vel vtraque forma/, f' aliquem ex illis habet, vel altera ali-

quem ex illis, altera aliquem horuin 1,8; 3,8; 5. 7,8. Hinc facile deducitur,characterem formae F determinari per tabulam sequentem, si character in mar-

gine positus pertineat ad alteram formarum ad alteram vero characterin facie

;l<?n,83e«,"s~|

vel 1,8 vel3,8

vel 7,8 vel 5,8 8

I 47,8 '.l«f 7,8* 345,8"

|j et 5, 8 3 etlj Tênj]L.

5°. Eodem modo probatur, ipsi F tribui non posse alterutrum characte-mm 1 <#3,8; ft et 7,8, nisi etiam aliquis ex iisdem saltem uni formarum f,competat, alterique vel aliquis ex iisdem, vel aliquis ex his l,b; :8; 5.S; 7,8.

fit. FORSHS SECUNDI OKADt'S.%W

Et quidem choructer forraae F deterininatritur per hanc tabulant incumsmar-

Rine et fucie suut eharneteres forniamm f,

|| 1^3,8 | 5<?f7,S

!vell.8.Yel5,S

j:vel3,8 vel7,S

le*3,8 le#3,8 5e*7,8

5e(7,8i: 5^7,8 | 1^3,8

II. Si utmque forma f, f' est improprie primitiva, erit D cUvisor com-

munis muximus numerorura 4< <ld', sive |D div. coinm. maxinms mimeroruiu

d, < Hinc facile sequitur, tum < tum d', tum .{ D fore -1 'mod. l'o-

nerulo autem F =[A, II C div. connu, niax. numeromm A. Ii, C erit = 2.

et div. comm. max. numerurum A, 2B, C erit 4. Quare F erit forma derivata

ex improprie primitiva fcA, JiJ, iC cuius detorminaus erit {D, et cuius genus

determinabit genus formae F. Charactcr autem illius fonnae tomqaaui impro-

prie primitivac, relationes ad 4 vel 8 non implicabit, sed tantununodo relationes

ad singulos divisores primos impares ipsius {D. Iam quum omnes hi divisores

manifeste etiam ipsos d, d' metiantur, atque semissis cuiusvis producti duorum

factorum. quorum alter per f alter per f' est repraesentabilis per formam

'l-A. \B, C) repraesentari possit: facile perspicietur, characterem liuius formae

respectu cuiusvis numeri primi ini paris p ipsuin l D metientis fore Ry, tum si

fuerit2 Jty atqne formae f, f' respectu ipsius p eundem characterem habeant.

tum si fuerit 2 Np atque characteresfbrmarum f respcctu ipsius p oppositi;

contra characterem illius formae fore Np, tum si habeant characteres ac-

quales respecta ipsius p atque sit 2Np, tum si habcant oppositos atque

sit 2ify.

247.

Lx solutione problematis pracc. manifestum est, si g sit forma primitiva

ex eodem ordirie et génère ut f nec non y forma primitiva ex eodem ordinc et

génère ut f': formam ex g et g compositam ad idem genus pertiuerc, ad quod

pertinent forma ex f et f' composita. Hinc sponte sequitur significatio garnis

COMPOSIÏIO GBNERl'jr. gîl

ex duobus oJiis geaanUm (sive etiam plui'îbus} ctmpositi. Porro ibindc patét.si

eunttem déterminante»! habeant atque f sit forma e geuere principali.F vero ex

f et f' composita: F fore ex eodcm génère utquocin» geuus

principale in compositione cum aliis generibus einsdem determinantis semperomitti poterit. Si vero reliquis manentibus f non est o génère prindpali a«-tem forma primitiva: F certo erit ex alio génère qnam f'. J>eniquc si

ff suntformae proprie primitivae eiusdem generis. F crit e gênera priucipnli; si vero

f' sunt ambae proprie primitivae eiusdem determinantis. sed e diversis gene-ribus, F ad gémis principale pertinere non poterit. Quodsi itaque forma <juae-cunque proprie primitiva cum se ipaa componitur, forma inde resiUtan», quaeetiam proprie primitiva ciiudcmque determinantis erit, necessario ad genus prin-cipale pertinebit.

24b.

Pkobuma. Proposais duabus formis rjuibuscutujue f, f, e rjuibus atmposituest F: e generikts formmum f, f' itejimre genus fortuite F.

Soi Sit -= («, b, c. · > c'}, F = 'A,B. C, porro mdiv. connu, max. numerorum a, b, c, atque m' div. comm. max. numero-rum a, b', c,

ita ut sint derivatae e primitivis ("-).], 6- c'm m In m" m" m'

quas denotabimus per f, resp. lam si saltem una formarum f, f' est prôpiieprimitiva, divisor connu, max. nuinerorum A, B, C erit mm', adcoque F derivatae forma primitiva (A, £, n|?). undepatet, genus formae Fpendereaîle mlll 111111

genere formae Ç. Sed facile perspicietur, per eandem substitutionem trausirein f f perquam

F transeat inadeoque g ex f, f esse compositam, ipsius-

que genus per ]>roblema art. 246 determinari posse. Si vero utraquc f, f est

improprie primitiva, divisor e. m. numerorum A, B, C erit 2 mm', Ibrniaque $etiamnum ex f, f composita et manifeste e proprie primitiva (– –

-t'etIamnum ex f. coml)oJllta et rnttm esta p proprle prumtlVa 2liiïi?' amm" innu-:derivata. Huius itaque formae genus determinari poterit per art. 24C; et quumF ex eadem forma derivata sit. ipsius genus hinc sponte innotescit.

Ex hac solutione manifestum est, tlieorema in art. praec. pro formis primi-tivis explicatum. scilieet si g1 sint ex iisdem generibus resp. rtt f, g, formant a

f', g' compositam cjc eodcmgénère fore, ex

quo sit forma e.r f, g composita, genera-liter pro formis

quibuscunque valere.

272 VU [•OKMIS SECt'NDI OBADl*;

Cmnpotitla elumium.

249.

Theorkma. Si format' f, f nmt ex iisdem ordinibits generilnts etclassibus

ut g, g resp.: forma ex f et f eomposita ex eadem classe erit ut forma ex g et g

eomposita.

Ex hoc thcoremate (cuius veritas ex art. 239 protinus sequitur) sponte pute-

bit significatio classis e duabus classibtis datis sive etiam e pluribus compositae.

Si classis qunecunque K cum classe prineipali componitur. classis K ipsa

prodibit sive classis priucipalis in compositione cum aliis classibus eiusdem deter-

minantis uegligi potest. Ex compositione duarum classium oppositarxmi propric

primitivartim semper oritur classis principalis eiusdem determinantis (v. art. 243".

Quum itaque quaevis classis aueeps sibi ipsa opposita sit: ex compositione cuius-

vis clnssis ancipitis propric primitivae cum se classis prijtcipalis eiusdem de-

terminautis provenit.

Propositio ultinia etiam conversa valet: scilicet si eue compositiune classis

proprie primitivae K cum se ipsa provenit classis principalis H eiusdem déterminais

tis, K necessario erit classis anceps. Si enim K' est classis opposita ipsi K, c

tribus classibus K, K, K' composita erit eadem classis quae oritur ex H et IC;

ex illis provenit K (quoniam K et K' producunt H, haec cum If ipsam K),ex his IC; quare K cum K' coincidet eritque adeo classis anceps.

Porro notetur propositio haec: Si classes K, L oppositae sunt classibus

K', L' resp, classis ex K et L eomposita classi ex K' et II compositae erit oppo>situ. Sint formae g, g' resp. e classibus If L, K', L'; forma F composita

ex f. g, atque F' composita ex f, g'. Quum f' ipsi f, atque g' ipsi g impro-

prie aequivaleaut. F autem composita sit ex utruque f, g directe: F etiam ex

g' eomposita erit, sed ex utraque inverse. Quare forma quaecunque, quae

ipsi F improprie aequivalet, composita crit ex f', g' directe adcoque ipsi F'

proprie aequivalebit (artt. *23S. 2 :i 9} undc F, F' improprie aequivnlebunt. clas-

sesquc ad quas pertinent, oppositae erunt.

Iliuc sequitur, si classis anceps K cum classe aucipite L compouatur.

semper prodire classem ancipitem. Nam opposita erit classi, quae composita est

e classibus ipsis K, L oppositis, adeoque sibi ipsi. quoniam hae classes sibi ipsae

sunt oppositae.

comï'ositjoc'ï,à88h;m. 273

ijutuuur uru

35

Denique observainus, si pïopositae siut classe» duae quaeeunque K, Leiusdcm determinantis, quarum prior sit proprie prirnitiva, semper inveniri posseclassem M eiusdem determinantis, ex qua atque K composa sit L. Manifestehoc obtinetur, accipieudo pro M classem quac composita est ex L atque classe

ipsi K opposite; simul perspicictur facillime, hanc classera esse unicam quao hac

proprietate sit praedita, sive classes diversas eiusdem dot. cum eadem classe pr.prim. compositas producere classes diversas.

Classium compositio commode per tdgniim additionis, +, denotari potest,sicuti classium identitas per signum aequnlitntis. In his signis propositio modotradita exhiberi potest ita: Si K' est classis opposita ipsi K. crit K+K' tlas-

sis principalis eiusdem determinantis, unde If+iT-f-L = L; posita itaqueK'+L = M, erit K-M = L, uti desiderabatur; si vero praeter it alia Mdaretur eadem proprietate praedita, sive if-f M' = 1, foret K-K'-{- M'= Zr-f K' = Jf, unde Jlf = Jlf Si plures classes identicae componuntur.hoc (ad instar

multiplicationis) denotari potest preefigeiido ipsarum numerum, itaut 2 K idem designet ut K+K, 3ff idem ut K+K+K etc. Eadem signaetiam ad formas transfem possent, ita ut («. &. c) + («', b, c') designaret formamex [a,b, c), («', 6'. c') compositam: sed ne vel species ambiguitatis oriri possit,hac abbi-eviatione abstinere malumus, praesertim quod tali signo \jM[a,b. c)

significatiouem peculiarem iam tribuimus – Classera 2 A' ex dupHcatime «MK oriri dicemus, classem %K ex triplkatione etc.

250.

Si D est numerus per mm divisibilis (ubi ipsum m positivum supponimus1,:dabitur ordo formarum determinantis D ex ordine proprie primitivo determinan-tis derivatus (sive duo, quando D est negativus, nempe positivus et negati-vus) mauifesto forma (m. 0, -^)

ad illum ordinem pertinebit (scilicet ad posi-tivum) meritoque tamquam forma simplicissima iu eo considemri potest (sicuti– m^ 0, -) crit simplicissima in ordine negativo quando D neg.). Si insuperest

mm=/[(mod-4), dabitur etiam ordo formarum det. D ex improprie primi-tntt~D

nUII- Dtivo det. –derivatus, ad quem manifeste forma (2 m, m, ^) pertinebit etttt na

m

pro simplicissima in eodcm habebitur. (Quando D est neg., rursus duo ordincsdabunturetin négative forma 2 ni, -m, Zr^ pro simplicissima habebiturIta e.ff., si etiam eum casum ubi m = 1 hue referre lubet, in quatuor ordinibus

274 PE''FOiCKISStX't'NlJt OHABl'S.

a '8 k.f_ 1 n

formamm det. 45 sequentes eront simpKeissimae (J, 0, – 45), '2. 1 –221

.;$, o, – 1">), 3, – 6). Quibus ita intcllectis, offert se

Pboblema. Proposita forma quacunque F ex ordine O, invenire formam pro-

prie primitivam (positivât*) einsdem determinantis, es cuiits compositioriecum forma

in O simpUcissima oriatiir li'.

Sol. Sit forma F~ 'ma, mb, me) derivata c primitiva /= («, b, c) cuius

determinans =d, supponamusque primo, fesse proprie primitivam.

Primo ob-

servamus, si forte a ad 2dm non sit primus, certo dari alias formas ipsi (a, b, c)

proprie aequivalentes, quarum ternrini primi hac proprietate sint praediti.Nam per

art. 228 dantur mimeri ad 2dm primi per formam illam repraesentabiles;sit talis

uumerus «' =^aaa-1ba-(-c^y, supponamusque, (quod licet), a, yesse

inter se pr imos; tum, acceptis {}, ô ita ut fiât aè – tif = l, transeat f per

substitutionem a, d, Y. ô in formam («', b', c), quae illi proprie aequivalebitet

proprietate praescriptu erit praedita. Iam quum etiam F et {a'm, b'tn, cm) proprie

acquivaleaut, facile perspicietur, stiflicere eum casum considerare ubi « ad 2dm

sit primus. Tune (a, à m, emm) erit forma proprie primitiva (si enim a, 2bm, emm

divisorem communem haberent, hune etiam 1dm == 2bbm– 2acm implicaret)

eiusdem determinantis ut F, eonfirmaturque facile, F transmutari in productuml

e forma (m, 0, –dm), quae, nisi F est forma negativa, erit simplicissimaordinis

O, in («, bm, emm) per substitutionem 1, 0, -b, – cm; 0, in, a, bm, unde per

critérium in obs.4. art. 235 concluditur, F ex (m, 0, – dm) et (a, bm, emm) esse

compositam. Quando autem F est forma negativa, transibit in productumo :i

forma simplicissima eiusdem ordinis (– m, 0, dm) in positivant (–a, bm, – cmvij`

pcr substitutionem 1, 0, b, –cm; 0, – m, -a, bm, adeoque ex ipsis erit com-

posita.

Secundo, si f est forma improprie primitiva, suppouere licebit •}« ad 2dm

esse primum; si enim liaec proprietas in forma locumnondum habet, inveniri

potest forma ipsi f proprie aequivalens et bac proprietate praedita. Ilinc autem

sequitur facile, (£«, bm. 2cm ni esse formam proprie primitivam eiusdem deter-

minantis ut F; aeque facile confirmatur, F transire in productume formis

M

C±2/w- +'"• ±l(»<– dm,). (±i«, bm,±_'2cmm)

per substitutionem/1

a

jii'r.fiTt'DisES -cuimm m -snimus ètiammi's costentab™. 275

t n W T W t~

J, o. +(!+*), -m; 0, ±2»», ±\a, {b±i)m

uln signa inferiora accipienda sunt quando F est forma negativa, superiora in

casibus reliquis, adeoque ex his duabns formis esse compositam, quarum priorerit simplicissima ordinis 0, posterior forma

proprie primitiva (positiva).

251.

Peobijema. Propositis duabus formis F, f eiusdem determinantis D et ad

cundem ordinem O pertinentibus invenire fomam proprie primitimm determinantis

D, tjuae cum f composita producat F.

Sol. Sit <p forma simplicissima ordinis 0; formae proprie priraitivaedet. D, quae cum 'f compositae producant ipsas F. /resp.; denique f' forma

proprie primitiva, quae cum f composita producat Tuuc forma F compositaerit e tribus formis <p f, sive e duabus f, Q. E. L

Quaevis itaque classis ordinis dati considerari potest tamquam composita ex

quaeunque classe data eiusdem ordinis et aliqua classe proprie primitiva. eiusdem

deter minantis.

Pro déterminante dato in singulis generSmteiutdm ordinia contente/:sunt classes aequemultae.

252.

Theobema. Pro determinante dato in shigulû generibus eiusdem ordittis s

contentae sunt classes aeque mttltae.

Dm. Pertineant gênera G et H ad eundem ordinem constet G ex h

classibus K, K\ K"K* sitqite L classis aliqua e génère H. Investige-

tur per art. praec. classis proprie primitiva M eiusdem determinantis, ex cuius

compositioue cum K prodeat L, designenturque classes quae oriuntur ex com-

positione classis AI cum K', K\K"~l resp. per L', L'Ln~K Tune ex

obs. ultima art. 249 sequitur, omnes classes L,L',LK.Ln~i esse diversas, et

per art. 24S omnes pertinebunt ad genus idem t. e. ad genus H. Deuique per-

spicietur facile, H alias classes praeter has continere non posse, quum quaevis

classis generis H tamquam composita considerari possit ex M et alia classe eius-

dem determinantis, quae necessario semper erit e génère G Quocirca H perinde

ut G continet n classes diversas. Q. E. D.

35*

276 DE EOB3US 8E0UNin GHADI.S.

ComjiaraiUui- multiludmtt clamiiui m awgulix generitus ordinum diversontm eontentorum.

253.

Theoretna praecedens supponit ordinis identitatcm neque ad ordines diversos

est extendcmlum. Ita e.y. pro déterminante -171 dantur 20 classes positivae.

quae reducuntur ad quatuor ordines: iu ordine proprie primitivo duo continente

guuero, utrumque sex classes complectitur: in ordine impr. primitive duo genera

quatuor classes possident singula binas; in ordine derivato ex 0. proprie prim.

det. –19 unicum est genus tres classes complectens; denique O. derivatus ex

impr. prim. det. –19 unicum genus habct ex una classe constans; perinde se

habent classes negativae. Opcrac itaque pretium est, in principium générale in-

quirere, a quo nexus inter multitudincs classium in diversis ordinibus pendeat.

Supponamus, K, L esse duas classes ex eodem ordine (positivo) O determinan-

tis D, atque M classem proprie primitivam eiusdem det. ex cuius compositione

uuin K oriatur L, qualis per art. 251 semper potest assignari. lam in quibus-

clam casibus fieri potest, ut M sit mica classis pr. primitiva, quae cum K com-

posita producat L; in aliis plures classes diversac pr. primitivae exstare possunt

hac proprietate praeditae. Supponamus generaliter, dari.»* huiusmodi classes pr.

primitivas, M, M', M"Mr~\ quae singulae cum K compositae producant

eandem classem L, designemusque illarum complexum per W. Porro sit L' alia

elassis ordinis O '& classe L diversa), atque N' classis pr. prim. det. D, quae

cum L composita eificiat L', desigueturque complexus classium N'M, N'M\

N'M"N'Mr~l (quae omnes eruut proprie primitivae et inter se diversae-

per W. Tune perspicictur facile, K cum classe quacunque ex W compositam

produccre L', unde concluditur, W et W' nullam classem communem habere;

praeterca nullo negotio comprobatur, nullam classem pr. primitivam in complexu

W" non corîtentara dari, quae cum K composita producat ipsam L'. Eodem

modo patet, si L" sit alia classis ordinis O a classibus L, L' di versa, dari r

formas pr. primitivas tum inter se tum a formis W, W diversas, quae singulae

cum K compositae ipsam L" producant, et perinde res se habebit pro omnibus

reliquis classibus ordinis 0. Quoniam vero quaevis classis pr. prim. (positiva)

determinantis D cum K composita classem ordinis O producit, facile hinc col-

ligitur, si multitudo omnium classium ordinis O sit «, multitudinem omnium

classium proprie primitivarum (positivarum) eiusdem determinantis fore rn. Ha-

HUKrmJDWKs ctAssiBM isr s^GCtis oenembi's contëxtarkh. 277

bemus itaque regulam generalem: Benotantibus Kt L classes qwiseuiique ordinis

0, atque r multitudinem classium proprio primitivarum diversarum eiusdom de-

terminantis, quae singulae cum K compositae ipsam L producunt, multitudo

omnium classium in ordine proprie primitivo (positivo) r vicibus maior erit quammultitudo classium ordinis 0.

Quum classes K, L in ordine 0 omnino ad libitum assumi possint, etiam

classes identicas accipere liccbit, et quidem e re crit ea classe uti. in qua conti-

netur forma huius ordinis simplicissima. Quam itaque pro K et L assumendo.

res eo reducta est, ut omnes classes proprie primitivae assignentur, quae cum K

compositae ipsam K reproducant. Hue via stemitiu1 per sequens

254.

Theohesu. Si F = (^4, B, C) est forma simplicissima ordinis O dutermi-

nantis D, atque f– (a, b, c) forma proprie primitiva ewsdem déterminante: perhanc formam f repraesentari poterit mmerus A A, si F oritur per compositionem

formarum f, F; et vice t'ersa F ex se ipsa atqite f coviposita erit, si AA per f

repraesentari potest,

Dem. 1. Si F in productum fF transit per substitutionem p, p

ij, q. q", q"; ex art. 235 liabemus

-«</ Y– ibqq'+cqq) –A3, unde AA = aq'q"– 2bqq"+cqq. Q.E.P.

Il. Si supponitur, AA per/repraesentori posse, designentur valores indeter-

miuatarum per quos hoc officitur per q". –q, sive sit AA – aq"q"–2l>qq"cqq.

ponaturque

fa -q[b + B) = Ap q C = Ap\ q" [b B) qc = Ap

q"C = Apm, q"a~q[b-B) = Aq, q"{b + B) -qc= Aq"

Quo facto, facile confirmatur. F transire in productum fF per substitutionem

p, 2»', p", p"; q, q', q", q' atque adco ex et F compositam esse, si modo omnes

numeri p, p' etc. sint integri. lam per dcscriptionem formae simplicissimae Best vel 0 vel fii, adeoque integer; indidem patet, semper esse integruin.Hinc

q'–p,p',q"'–p",p'" erunt integri, superestque adeo tantummodo ut ]n-o-

betur p et esse integros. Fit autem

2"8 DE FOKMIS SECTNDI GBAUUS.

~?~ n (' ,ï~'y~ ?Y't'

~~+2P?N ca-9_~f' p~+-==<a ~l A .3

quamobrem si 1J = 0 fit

eeC' Mff ~~Cj~ ca 9_i4't h~~ c–~

et proiu p, p" integri; si vero B == J-*i. fit

au C » n u h Q'i"C

PP+M = a-Lj-' ?1>+Î>(1 = c –

unde aeque facile conclnditur, p et p" in hoc quoque casu esse integros. Ex his

colligitur, F ex fet F esse conipositam. Q. E. S.

255.

Problema itaque eo reductum est, ut omnes classes proprie primitivas deter-

minantis D assignare oporteat, per quarum formas repraesentari potest AA.

Manifeste AA repraesentari potest per quamvis formam, cuius terminus primus

est vel A A velquadratum partis aliquotae ipsius A; vice versa autem, si AA

repraescntnri potest per fonnamf,

tribucndo ipsius indcterminatis valores ae,

ye. quorum divisor communia maximus e, forma f per substitutionem a, 6, y, c

transibit in formam. cuius terminus primus *- formaque hacc proprie aequivalebit

formae/,si 6, 8 ita aceiphmtur ut fiat ac – iSy

= 1; undo patet, in quavis

classe, per cuius formas repraesentari possit AA, in veniri formas, quarum ter-

minus primus sit AA vel quadratum partis aliquotae ipsius A. Res itaque in

co vcrsatur. ut omnes classes proprie primitivae det. D eruantur, in quibus huius-

modi formae occiirraiit, quod obtinetur sequenti modo: Sint a, a, a" etc. omnes

divisores (positivi) ipsius A; investigentur omnes valores expr. \jD[mod.aà) inter

0, et «« – 1 incl. siti, qui sint b, h', b" etc. statuaturque

bb – D = aac. O'ù'–D – aac.1

b"b"– B = aac" etc,

complexus formarum (aa, b, c), (aa, b'. c) etc. designetur per F. Tune facile

perspicitur,in quavis classe det. D, in qua occurrat forma, cuius terminus primus

aa, etiam aliquam formam ex V contentmn esse debere. Simili modo eruantur

omnes formae det. D, quarum terminus primus a'd, médius inter 0 et a'a –1

incl. situs, designeturque ipsarum complexus per V: eademque ratione sit F"

WW,TITl'DINE9 CI.AS8HJW IN «NQtîI.t» tfKNKKHrt.'S tUVl-EKTABUM. 270

comploxtts «imilium formarum quarum terminus prirnus a" a etc. Encifintiir ex

V, V, V" etc. omnes formac, quae non sunt proprie primitivae, reducantur reli-

quae in classes, et, si forte plures adsint ad eandem classcm pertinentes, in sin-

gulis classibus una tuntum retineatur. Hoc modo omîtes classes quaesitae habe-

buntur, eritque harum multitudo ad unitatem ut multitudo omnium classium

proprie primitivarum (positivarum) ad multitudinem classium in ordine 0.

Ex. Sit D – – 531, atque O ordo positivus derivatus ex ordine improprie

primitivo det. –59, in quo forma simplicissima (6, 3, 90) sive A = 0. Hic

a, «',«",«'" erunt 1,2,3,0; F continebit formom (1,0,531); V" has (1,1,133),

(4,3,135); F" has (9,0,59), (9,3,00), (9,6,63); denique V" bas (30,3,15).

(36,9,17), (36,15,21), (36,21,27), (36,27,35), (36,33,45): sed ex his duodedm

formis sex sunt reiiciendae, puta ex F" secunda et tertia, ex V" prima, tertia,

quarta et sexta, quae omnes sunt formae derivatae; sex reliquae omnes ud classes

diversas pertinere inveniunttu. Rêvera multitudo classium proprie primitivarum

(positivarum) det. -531 est 18, multitudoque classium impr. primitivarum (pos.)

det. – 59 (sive multitudo classium det. 531 ex his derivatarum) 3, adeoque illa

ad liane ut 6 ad 1

256.

Solutio haec per observationes sequentes générales adhuc magis illustrabitur.

1. Si ordo V est derivatus ex ordine proprie primitivo, metietur AA ipsum

D; si vero 0 est impr. primitivus vel ex impr. prim. derivatus, erit A par, D

per [A A divisibilis et quotiens ^1 (mod.4). Hinc quadratum cuiusvis divisons

ipsius A metietur vel ipsum D, vel saltem ipsum 4D. et in casu posteriori

quotiens semper erit 1 (mod. 4).

Il. Si oo ipsuni D metitur, omnes valoresexpr. \jl)[mod.aah qui qui-

dem inter 0 et au – 1 iacent, erunt 0, a, 2a. aa – a, adeoque a multitudo

formarum in F; sed inter lias tot tantummodo erunt proprie primitivae. quot

niuneTOrum

v~ pt. L-.l.. 1'Ïa-i;`aa' au aa aa

280 de PORMISSECUNBlGRADL'â.

etiiti « divisorem communom non habent. Quandoa – t, F ex ttiiica forma

constatât, (1,0, ~D), quae semper erit proprie primitiva. Quando a est 2 vel

potestas quaecunque ipsius 2, senûssis illorum a numerorum par erunt. semissis

impar; quare in F aderunt f« formae proprie primitivao. Quando a est alius

uuinerus primus p vel potestas numcri primi p, tres casus sunt distinguemli:

scilicet. omnes illi a numeri ad a primi erunt, adeoque omnes formae in F pr.

primitivae, si per p non est diviaibili» simnlque non residuum quadraticum,tlll, D ( I)tl

ipsius p; si vero p ipsum metitur, in F erunt^=--}-

formae pr. primitivae;

denique si(- est

res. quadr. ipsius p per p non divisibile. in V erunt

formae pr. primitivae. Haec omnia nullo negotio demonstrantur. Generaliter

autem posito a= Vjrq'W. designantibus p, q, r etc. numeros primos impares

diversos, multitudo formarum pr. primitivarum in F erit NPQli. ubi statui

débet

N– 1 (siv = O) vel JV= 2y-1 (si v>0)P = p" (si – est non-residuum quadr. ipsius p) vel

P = [p – l}]^"1 (si D per ^> est divisibilis) vel

P = (/>– 2) pz~l (si – est res. qu. ipsius p per p non divisibile

Q. R etc. autem eodem modo ex q, r etc. sunt definiendi ut P ex p.

III. Si aa ipsum D non metitur, erit integer et ™i(mod.4), valo-

resque expr. \jD[mod.aa) hi J-a, f-o, fa.aa– J-o, unde multitudo formarum

in PT erit a, tot autein inter ipsas erunt proprie primitivae quot ex numeris

D D DD 2

=-+. S- r.-V. ?.-(•-«t

ad a sunt primi. Quoties ~^= 1 (mod.8), omnes hi numeri erunt parcs, adeo-

que in F nulla forma pr. primitiva; quando autem^=5 (mod.8). omnes illi

uumeri erunt impares, adcoque omnes formae in F pr. primitivae, si a est 2

vel potestas ipsius 2 generaliter autem in hoc casu tot formae pr. primitivae in

F erunt, quot illorum numerorum per nullum divisorem primum imparem ipsiusa sunt divisibiles. Multitudo haec erit NPQR. si a = 2lprq*-i* ubi sta-

tuere oportet N- 2\ ipsos P, Q, R etc. autem eodem modo ex p, q, etc. de-

rivare ut in casu praecedente.

MWr-TITl'WN'E» CUSSICT IN SINOIXIS ~Ot»ËliIBl!S CONTËSTARUM. 281

315ti

IV, Hoc itaque modo multitiulines forniarum pr. primitLvàruni in V, V, V

etc. definiri possunt; pro aggregato omnium haruin multitudiimm haud diffieulter

oruitar sequens régula generalis: Si A= 2v2f®ï(5ï. desiguantibus 51, @etc. numéros primos impares diwrso.s, inultitudo totalis onntium formarum pr.

pri.nitivarum in 1', F'. F" etc. crit . ubi statui débet

u~ 1 (si i^ =1. »nod.&>, vd

n (si j-j iuteger vel

n 3 (si -J~ =5,ujod.

&); porvo

n =.- 31 (si SI ipsum ~7^ inetitur}vel

a= 51 + (si 31 ipsum non

metitiir, accipiendo signum superius

vel inferius prout j^est non-residuum vel res. qu. ipsius 'H)

denique b, c etc. eodem modo ex S», S derivari ut a ex 5t. Demoustrationem

iusius hicexplicare, brevitas non ponnittit.

V lam quod attinet ad nroltitudincm classiurn, quas suppeditant formac

pr. primitivae in T', T", V" etc., très casus .sequentes suut distinguendi.

Primo, qiumdo D est numerus negntivus, singulac formac pr. primitivaein V, P etc. constituent classait peculiarem, sive multitudo ipsa classium qnae-sitarum expriifietur per formulnm in observ. praec. traditam duobus casibus ex-

ceptis scilicet ubi-g

vel = – -l vel = – 3, sive ubi D vel = –A A vel

– \AA. Ad demonstrationcm huius theorematis manifesto ostendi tantum-

inodo débet, fieri non posse, ut duae formae diversae ex V, ï", V" etc. sint

proprie aequivaleutes. Supponamus itaque, {hh, i, *), (M, f. k') esse duas for-

mas diversas pr. primitivas ex F, F'. 1"' etc. ad eandem classemjmtinentes.

transeatque prior in posteriorem per substitutionem propriam a, fi!y c: unde

liabebuntur aequatione.v

«c – tf7= l. kAaa + iiay + tn^M, kkati + i[aS+Sy)+kyè = ï

llinc facile coucluditur, primo Y certo non esse =^0 (unde sequeretur, esse

tt + '• ''A =-. h'h', i'~i(mod.hh) adeoque formas propositas identicas. contra

28S UE F0R.W9 SKCTOni ORAWS.

hyp.); secundo, y divisibilem esse per divisorem maximum commtmem nitmero-

rum h, h';¡ (poncndo enim hune divisorem -=r, hic manifesto etiam metie-

tur ipsos 2i, 2î", ad k vero erit primus; praeterea rr metietur ipsum

hhk – h'Kk' : ii – i'ï; unde facile deducitur. r etiam metiri ipsum »–-»": ha-

beturautem aï – t» /<7/ « -f- y A- unde yk et proin etiam y divisibilis erit

per tertio. esse ra/tlt-+-ytf – Dyy--khh'h\ Ponendo itaque ahh-yi-–.rp.

t Dh nh"h"

y–rq, p et y erunt integri quorum posterior non --o. atque j>p~Dqq – -–•

Sedd 141,19,14, erit iiiiinerus niinin)tts I)er 11..

et h'h'l'

siinul 1 1, '1 'l' l il),*ItlllSed– -;- erit numerus miniums per h h et It'h' simul divisibilis adeoque ipsum

.'1.1A

et proin etiam ipsum 47) metietur. quare ^j^ erit integer (negativus',.'1 et pr01l1 etlaln lpsmn -l IIIctletul', quarc h hÎe' ,negatl\'us,.

quein statuendo – –e, erit 1)p-Dqq- – sivo 4

=.- (^j?)*+«??.in qua

aequationo pars {Vrrf tamquam quadrutum ipso 4 minus necessario erit vel oaequationo pars ;h~ tainqtiain quadruturn ïpso minus necessario erit vel 0

vel 1. lu casu priori erit eqq -= 4, et J) -. –(y-)*, unde sequitur,

esse t,

quadrntmu signo negativo affectum adeoque certo non = 1 (mod. 4} neque adeo f(

O ordiucni improprie primitivum neque eximproprie primitivo deri\ratum. Hinc u

j-jerit integer. unde facile deducitur, e per 4 esse divisibilem, qq -– 1.

D,!`r`~`,=atque ,.1.1 integrum. I~inc necessario erit D AA siveD –{-)~ atque

etiam"jj- integrum. Hinc necessario erit D – il^. sive

D1 qiiae est '1 Iii ensu liosteriori erit eqq 3, 1

ià– quae est excePt'° prima. In casu posteriori erit eqq 3, nudee

ar! .1 et 4 D hh;.g, ,hJ~;y2

eiit integer, qui, quoiiiain lier quadm-Xe – 3 et 4D = –

3'}*;hinc

3-)"erit integer, qui, quoniam perquadra- JE

tum integrum (v-) inultiplicatus producit 3 non poterit esse alius quam 3 “

hinc iD~– – %AA sive Dr. – J AA, quae est exceptio secunda. In omni- x

bus igitur reliquis casibus omnes formae pr. primitivae in Tr, T" V" etc. ad

classes diversas pertiuelmnt. Pro casibus exceptis ea, quae ex disquisitiolle

haud difficili sed hic brevitatis caussa supprimenda resultaverunt, apposuisse sut-

ficiat. Scilicet in priori, ex formis pr. primitivis in F, V, V" etc. binae semper

ad eandem classem pertinebunt, in posteriori ternae, ita ut multitudo omnium

classium quaesitarum in illo casu fiat semissis, in hoc trieus valoris expressions

in obs. praec. traditae.

Secffltlo quando D est numerus positivus quadratus singulae formae pr.

primitivae in V, V, V" etc. sine exceptione classem peculiarem constituunt.

Supponamus enim, [hh, t, k), (/«' i', k') esse duas tales formas diversas proprie j

aequivalentes, transeatque prior in posteriorem per substitutionern proprinm

«, 6, y, è. Tum patet, omnia ratiocinia pro casu praec. adhibita, in quibus non a

supponatur D esse negativum, etiam hic valere. Designantibus itaque p, q, r i

j

MOLTITUWSES GLàBBlCtt M 3JNQUUS OBNEMBU» eONTBNTABVM 283

36*

idem ut illie, etiam hic eritJ^£ iutegei», at non amplius negativus sed positivtrs

insuperque quadratus, quoposito =</< erit'%£f–9ffqq^ i, Q. E. A., quia

differentia duorum quudratorum nequit esse 4, nisi quadratum minus fuerit 0:

quamobrem suppositio consistere «equit.

Pro casu tertio autem, ubi D est numerus positivus nou quadratus, rc-

gulam generalem pro comparanda miihitudine formaram pr. primitivarum in

F. F', F" etc. cum multitudine classium diversarum inde resultantium lmcusquenon habemus. Id quidem asserere possunms hanc vel illi aequalem vel ipsius

parteni aliquotam esse; quiii etiam nesum singularem inter quotientem horum

numerorum et valores uiinimos ipsomtu t, « aequatjoni tt–Dvu – AA satis-

fitcieutes deteximus. quem hic explicare îiiniis prolixum foret; an vero possibilesit, illum quotientera in omnibus casilms ex sola inspectione numerorum D, A

cognuscere (ut in casibuspraecc), de hac re nihil certi pronunciare possumus.

Ecce quaedam exempla, quorum muneruin quisque facile augere poterit. Tra

D = 1 3 A ^= 2 multitudo formaruin pr. prim. in V etc. est 3 quae omncs

suut aequivalentes sive unicam classem efficiunt; pro I> = 37, .4=2, etianr

tres formae pr. prim. iu F etc. habeutur, quae ad tres classes diversas pertinent;

pro D = 5SS, A -= 7. habentur octo formae pr. prim. in F etc. quae efficiunt

quatuor classes, pro D = $67, A – 17 in F etc. sunt 1 S formae pr. primitivae.totidem pro D = 1 445, A = 17, sed quae pro illo déterminante in duas classes

discedunt. pro hoc in sex.

VI. Ex applicatione huius theoriae generalis ad cum casum, ubi 0 est

ordo improprie primitivus, colligitur, niultitudinem classium in hoc ordiue con-

tentaruiu fore ad multitudinem omnium classium in ordine proprie pritnitivo. ut

1 ad multitudinem classium proprie primitivarum diversarum, quas hac tres formae

1,0, – JD (4, 1,'), (1, 3.

-~)efficiunt. la quidem liinc resultabit unica

elassis, quando D= 1(mod. 8), quia in hoc casu forma secunda et tcrtia sunt

improprie primitivae; quando vero Z) = 5 (mod. S) illae tres formae omnes erunt

proprie primitivae totidemque classes diversas producent, si D est negativus, unico

casu excepto, ubi D = – 3, in quo unicam classem constituunt; denique casus

ubi D est positivus (formae S«+5) ad eos pertinet. pro quibus régula generalis

hactenus desideratur. Id tamen asserere iiossumus. illas tres formas in hoc casuA .A.U.

284 DE FOKMIS SECUSOI GKADUS.

vel ad très classes diversas pertînere vel ad unieam, numqwira ad <\xtm\ facile

enim perspicitur. si fi 1 M, –D), ''4. t, *–), (4, 3, ~–) resp. perti-enim perspicitur, si formae (1, o, – B), [A, 1, -–-}, (4, 3, ~– ) resp. perti-

neant ad classes K, A", K", fore #+&" = A", A"+A" = K", adeoque. si K

et A" idonticae esse supponantur, etiam A" et A"* idcnticas fore; simili rntione

si li et A'" supponuntur esse idonticae, etiam K' et A'" erunt; deniqtie quum

sit K'K"= K, ex suppositioue, A" et A'" iden tiens "esse, sequitur, otiam

A' et K" coincidere; unde colHgitur. vel otnnes tr«« classes K, K', K" esse di-

versas, vel omues tres iden tiens. E. y. iafrn 600 duntur 75 uumeri formae

S n 5 inter quos sunt 16 déterminantes pro quibus casus prior locum habet

sive multitudo classium in ordine pr. primitivo ter maior est quam in impr. immi-

tivo. puta »7, 101, 141, 1S9, 197, 2G9, 325, 333, 349, 373, 3S», 389, 405, 4!*5, 557.

573; pro 59 reliquis casus posterior valet, sive multitudo classium in utroque

ordine est acqualis.

VII. \'ix opus erit, observare, per disquisitionem praecedentem non su-

lum multitudines classium in ordinibus diversis eiusdem determinantis eomparari

posse sed illam etiam ad quosvis déterminantes diversos qui rationem quadrato-

rum inter se teneant esse applicabilem. Scilicet design an te O ordinem quem-

cunque det. dm m. O' ordinem det. dm'vf, 0 eomparari poterit cum ordine pro-

prie primitivo det. dm m, atque hic cum ordine derivato ex ordine pr. prim. det.

< sive, quod respectu multitudinis classium eodem redit, cum hoc ordinc ipso;

ut cum eodein promis simili ratioue comparai! poterit ordo O'.

De muttittidine classium anripHum.

257.

Inter omnes classes ilt ordine dato determinantis dati imprimis classes an-

cipites disquisitionem uberiorem postulant, determinatioque multitudinis hurum

classium ad multa alia viam nobis aperiet. Sufh'cit autem, hanc multitudiuom in

solo ordine pr. primitivo assignarc, quum casus reliqui ad hune facile reduci pos-

sint. Hoc negotium ita absolvemus, ut primo omnes formas ancipites pr. primi-tivas [A. B, C) determinantis propositi D, in quibus vel li = u vel B – -J A,

eruere, tune ex harum multitudiue multitudiucm omnium classium ancipitutn

pr. primitivarum det. D inveuire doceamus.

HVVmVBÛ CkASSIÙM ANClPITtlf. «85

tiflTUl» m- iirïmif'ivHf' f A fi fJ\ itntm.niiitan(ir< 71 ^ie^t.,I. Omîtes formats pr. primitivae (A, 0, C) determinantis D mnnifesto in-

veniuntnr, nccipiendo pro A smgulos divisores ipsius D ftum positive tum né-

gative) pro quibus V= – »

fit primus ad A. Quando itaque D = l dune

huiusmodi fonnne dantur (î, 0, – il, (–1,0,1); totidem quando D – – 1.

puta :1, 0, î), (– 1. 0, – 1); quando D est nmnerus primus aut nuineri

primi potestas (sive siguo positîvo sive negativo). quatuor dabuntur (1, 0, – D.

(–1, U, D), (D, «, –-»), {– D, o, I). (ieneraliter autem, quando D per n

numéros priiuos diversos est divisibilis inter quos hoc loco etiam 2 in compu-tum ingredi debet): dabuatur oinnino 2M+I lmiusniodi formae; scilicet positoD = +PQR. dcsignantibus P, Q, R etc. numeros primos diversos aut nu-

meroram primorum diversorurn potestates, quorum multitudo = «, valores ipsiusA erunt 1, P, Q, R etc. atque producta ex quotcunque horum numerorain:

horum valorum multitudo fit per theoriam combinationum 2", sed duplicanda

est, quoniam singulis valoribus tum signum ]K).sitivum tum uegativum tribuere

oportet.

II. Simili modo patet, omnes formas pr. primitivas (2J3, B, Cj determi-

mmtis D obtineri, si pro Ji accipiantur ouuies divisores ipsius D 'positive

et négative), pro quibus C– k[B – ^)fit integer et ad ïB primus. Quum

itaque C necessario debeat esse impar, adeoque CC –: 1 (mod. S), ex

D =BB – 21W = {B – Cf – CC sequitur. D esse vel ==3 (mod. I quando

B impar, vel =u:mod.&), quando B par; quoties itaque D alicui numerorum

1 2, 4, 5, 6 sec. mod. 8 est congruus, nullae huiusmodi formae dabuntur. Quando

D = 3 (mod. 4), C fit integer et impar. quicunque divisor ipsius D pro B acci-

piatur; ne vcro ('divisorem

comm. cum 2 B liabeat. B ita accipi debebit. ut -* ad

fi fiât primus; liincpro D–-–1 duae formae habentur (2.1.1' ( – 2, --t. – î;.

generaliterquc facile pcrspicitur. si multitudo omnium numerorum primorum ipsum

D metientium sit », omnino emei^jere 2"+l formas.- Quando D pcr S est divi-

sibilis, V fit integer. accipieudo pro B divisoremquemeunque parem ipsius D;

conditionialtcriautem, utC–lB – f^

J)ad 2 B sit primus, satisfit primo, ac-C:OJ\ ltl0lU fi tel'l nlltmn. ut ,=: J ,ja 2 slt IJ11mlls, slitls

tprullo, uc-

cipiendo pro B omnes divisores imparitur pares ipsius D, pro quibuscum B

divisorem connnunem non liabet, quorum multitudo (habita ratione diversitatis

siguoruni) erit 2"+', si D per « numeros primos impares diversos divisibilis

esse snpponitur: secundo, accipiendo pro B omnes divisores pariter parcs ipsius

286 n~ ~crtt~en s~ce~~ a~ancTs.

n

jD, pro quibut fitprimusad B, quorum mdtitttdaqueque erit 2"+l, ita

ut in hoc casu omnino habeantur 2w+ai huiusmodi formae. Scilicet ponendo

D = + 2'*PQ.ft. désignante f* exponentem maiorem quam 2; P, Q. Il nu-

méros primos impares diverses aut talium numerorum primorum potestatcs quo-

rum multitudo n: tum pro \B, tum pro accipi possunt valores 1, P, Q, Il

etc. productaque ex quotcuuque horum numerorum, signo et positivo et ne-

gativo.

Ex Iris omnibus colligitur, si D per » numeros primos impares diversos

divisibilis supponatur (statuendo n = 0. quando D = + aut +2 2 aut potestas <

hinarii], multitudinem omnium formarum pr. primitivarum (A, JB, C), iu quibus

li vel o vel iA, fore 2"+t quaudo D aut = 1 aut =5(mod. 8); 2" +î quando

D = 2, 3, 4. 6 aut 7 (mod. S); denique 2"+' quando D = 0 (mod. 8). Quam

coniparando cum us quae in art. 231 pro multitudiue omnium characterum possi-

bilium formarum primitivarum det. D tradidimus, observamus, illam in omnibus

casibus praeciseesse duplo hac maiorem. Ceterum mnnifestum est, quando D

sit negativus, inter illas formas totidem positivas affore quot negativas.

258.

Oinnes formae in art. praec. erutae manifesto pertinent ad classes ancipites,

et vice versa in quavis classe ancipite pr. primitiva det. D saltem una. illarum for-

marum contenta esse debet; in tali enim classe certo adsunt formae ancipites et

cuivis formae aucipiti pr. primitivae (a, b, c; det. D aliqua formarum art. praec.

aequivalet scilicet vel

(a, 0, – --)vel [a, J-fl, a-a – – )

prout b vel =0 0 vel =1 a (mod. a;. Problemaitaquoeoreduetumest. ut quot

classes diversas illae formae constituant, investigemus.

Si forma (a, 0, c) est inter formas art. praec, forma (c, 0, at inter easdem

occurret et ab illa semper erit diversa, unico casu excepto, ubi a = c .= + 1

adcoque D – – 1, quem aliquantisper seponemus. Quoniam vero hae formae

manifesto ad eandem classem pertinent, sufficit unam retinere, et quidem reii-

ciemus eam, cuius terminus primus est maior quam tertius; eum casum ubi

« = – c = + 1 sive D = 1 quoque seponemus. Hoc modo omnes formas

Mt'hTtTODO CLÀSSIIÎM VtNCIPITCBr. 287

.:1.-[A, 0, C) ad sémissem reducere possumus, retinendo e binis semper unam; et in

omnibus remanentibus erit A <C\f^pD.

Simili modo si inter formas art. praec. occurrit forma 2 h, b, c inter eas-

dem reperietur

[4c-U, b 2c~b,c) = (-'?. -J. ci\4 e 2 b, 2 b, C

quae illi proprie nequivaleris et ab ipsa diversa erit, unico quem seponimus casu

excepto, ubi c = h = + 1 sive D – – 1 Kx his duabus formis eam retineri-

sufficit, cuius terminus primus est minor quam terminus prirnus alterius (magni-tudine aequnles, signis diversi in hoc casu esse nequeunt); unde patet, etiam

omnes formas (2B, B, C) ad semissem reduci posse, e binis unam semper oii-

ciendo et in remanentihus esseJ3<

sive J3<v/+D. Hoc modo ex omni-

bus formis art. praec. semissis tantum reinanet, quarum complexum per W de-

signabimus., uildlque superest, nisi ut ostendamus, quot classes diversae ex hisformis oriantur. C'eterum manifestum est, in co casu ubi D sit negativus, toti-

dem formas positivas in W affore quot negativas.

1. Quando D est negativus, singulae formae in W pertinebunt ad classes

diversas. Xam omnes formae (^4,0, C) erunt reductae; similiter omnes formae

(211, B, 0) reductae erunt, praeter eas in quibus C'<2J3; in tali vero forma

crit 2C'<2£+C; unde (quoniam J5< JLe. B<2C–B, adeoque 2B<2C,

sive B<C), 20– 22?<C et C – B<i\C et proin (C, C – B.C), quaemanifesto illi aequivalet, forma reducta. Hoc modo totidem formae reductae

habentur, quot formae habentur in W, et quum facile perspiciatur, inter illas

neque identicas neque oppositas occurrere posse, (unico casu excepto, ubi

C--B = 0 in quo erit B = 0 ==± 1 adeoque D = – I quem iam sepo-

suimus) omnes ad classes diversas pertinebunt. Hinc colligitur, multitudinem

omnium classium ancipitum pr. primitivarum det. D multitudini formarum in

JV seu semissi multitudinis formarum art. praec. aequalem esse; in casu ex-

cepto autem D = ~l per compensationem idem evenit, scilicet duae classes

habentur, ad quarum altcmm pertinent formae (1, 0, 1), (2, 1,1), ad alteram hae

(-– 1, 0, – 1), (–2, –1, – 1). Generaliter itaque pro déterminante negativomultitudo omnium classium ancipitum pr. prim. aequalis est multitudini omnium

288 DE FOIOHS SECUK'W ORAPt'Si

chnrnctcrum assigrtabiiinm fommrtim prinûtivarum huius detetminantis; multi-

tudf) classiuni ancijiitiun pr. prim. positivarusn nutem semissis erit.

11. Quando D est positivus qiuulratus =/</<, lmucl difficile demoustratiir,

siugulns formas in IV ad classes diversas pertinere; sed pro hoc ensu ad proble-

matis solutioncm adhuc brevins sequenti modo pervenire possumus. (juuni pcr

art. 21i> Il in quavis classe ancipite pr. prim. det. h h, neque in nlla alia. tontine»-|

tur forma reducta u«n '«. h, 0), in qua « est valor e.\pr, \/l (mod. 2/<) inter 0 et

2/ – j iut'l. situs: perspicuuiu est, totidem classes aucipites pr. prim. det. h h

dari. quot valores expressio illa habeat. Ex art. 1 05 autem nullo negotio dedu-

eitur, uiultitudiueni horuin valorum esse 2" vel 2"+l vel 2"+s. prout h sit i

impur vel impari ter par \'el pariter pur, sive prout D = 1 vel s 4 vol = 0 [moi[. 8),(

désignante ra multitudiucm divisorum primorum iinparium ipsius h sive ipsius D.

Ilinc collif»itur, nmltitudiiiem classium ancipitum pr. prim. semper esse seniissem

multitudinis oinniuni foruiarum iu art. praec. erutarum, sive multitudhii forinarum

in W vel omnium rharucterum possibilium aequalcm.

IU. Quando D est positivus uon>quadmtus ex singulis formis (il, B, C)l

iu W cou tentis alias deducamus A, B', C' aecipiendo Ji'B[moA.Aj et inter

limites \JJet \J)J^A ubi signum superius vel iuferius adhibeiuluin prout A 1

est lrcrb. vel lreg.; cttcltte 11' 11'1/1) l 1 1 tf.est pos. vel neg. atque C' =–i-; désignera usque

haruni complexum per W.

Manifosto hae foriuac eruut proprie primitivae ancipites det. D, atquc otnncs li-

inter se diversae: praeterea vero omues eruut foraine- reductae. Quando enim

A<C\D, 2?' manifeste» erit<C\D atque positivus; praeterea B'^> \/D^-A

adcoque A>\D – B' et proin A, positive acceptus certo inter \jD-B' et

\B – B' situs. Quando veroA^>\D, non poterit esse B = U (quippe quas

tonnas eiechnus), sed erit uecessario J3= ^A; hiiic B' magnitadine ipsi \A

aequalls, signo positivus ;quoniam enim A<^2\D, + \-A iacebit iuter limites

ipsi B' us.signatos ipsique B scc.utod.il erit congruus; quare B' = + j-A),

proiu B' <\D, unde 2J5'< \jB-B' siveA<\jD-B\ quamobretu -±A

necessario iuter limites \jD-B' et \D – B' iacebit. Denique IF' omîtes for- «

mas reductas pr. prim. ancipites det. D coutiuebit: si enim (a, b. c) est huiusmodi

forma. erit vel 6:=0. vel i–^mod.a,. in ca.su priori mnnifesto non poterit

esse 4-<« tieque adeo «>yD. quapropter forma [a, 0.-j

certo contenta

r:

e

jfi'EWWbo etAssmif AserpiTCM. 289

37

erit in ÏF. et rcspondons («. b.c) in \F'\ iu posteriori certo erit a < 2\[D.

ndeoque («, +«. {a–f}in IF contenta, atqne respondens («.&.<•< in HT.

Kx lus colligitiir. multitudinem formarum in W aequalem esse multitudini

onmium fontiftrnm rcductorum ancipitum pr. prim. det. D; quoniani vero in sin-

iîulis classibus aneipitibus hinae formnc reductae ancipites continentur -'nrtt. 1S7,

194), multitudo omnium classium ancipitum pr. prim. det. D erit setnissis multi-

tudinis formarttm in W, sive .îemissis multitudinis omnium cliaractorum assigna-

bilium.

259.

Multitudo classium ancipitum improprie primitivarum detcrminantis dati D

multitudini proprie prinûtivarum eiusdem det. semper est aequalis. Sit K clnssis

[mncipalis atque K', K etc. reliquae classes ancipites pr. primitivae huius de-

terminantis; L aliqua classis anoeps improprie primitivo eiusdem det., e. g. ea

in qun est forma(2, 1 $ – | D). Prodibit itaque ex compositione classis cum K

classis L ipsa ex compositione classis J, cum K', K" etc. provenire suppona-

înus criasses L', L" etc. resp., quae manifesto omnes ad eundem deterrninantem

J) pertinebunt, atque improprie priniitivuc et ancipites erunt. Patet itaque,

tlieoromademonstmtumfore, simulac probatum fuerit, omnes classes L. L', L"

etc. esse diversas, aliasque ancipites impr. prim. det. D praeter illas non dari.

Ad hune h'nem sequentes cusus distinguimus

I. Quando multitudo classium impr. primitivarum multitudini pr. primiti-

varum aequalis est, quaevis illarum oritur ex compositione classis L cum classe

determinata proprie primitiva. unde necessario omnes L, L', L" etc. erunt diver-

sac. Désignante autein 8 classem quameunque ancipitern impr. prim. det. D,

dubitur classis proprie primitiva $ talis ut sit ft-fi = Ç; si classi .Tt opposita

est classis Çt'. erit etiam (quoniam classes L, Ç sibi ipsae opjjositae sunt)

Si'L – 2. unde necessario Jï cum S' identica erit adeoque classis anceps:

hinc ® rci)crietur inter classes K. K', K" etc. atque £ inter has L, L', L" etc.

Il. Quando multitudo classium improprie primitivarum ter minor est quam

muttitudo classium pr. primitivanuu. sit H ctassis in qua est <brma (4. 1 1-1)\multitudo classium pr. primitivarum, sit H classis in qua est forma (4. 1, –-).H' ea in qua est forma '4, 3.

<i~J' eruntque H. H' proprie primitivae et tum

290 DE FOR»!» -8BCGWI GftADtf8,

inter se tu»» a classe principal) K diversae, atque H-J^-H' – K; 2H–H'.

•lH'~H\ et si ? est classis quaecunque improprie primitiva det. I). quae oritur

ex compositione classis L cum proprie primitiva $, erit etiam 2 = L-$?-H

et l' – Z + $ + praeter tres classes (pr. prim. atque diversas) Ë. f+#-

8-j-H' aliac non dabuntur. quae cum L compositae ipsam ? producant. Quoniain

igitur si Ç est anceps atque Sf ipsi $ opposita etiam 1/+®'==$- necessario

JT cum aliqua illarum trium classium identica erit. Si $'.= $, erit $ anceps;

si St'-–9 + H, erit K = « + ft' – 2 Sf + ff = 2 (« + Jf ') adeoque ft + H

anceps; similiterque si ®' = Si-{-H' erit $-(-#" anceps, unde concluditur.

? inter classes L, L', L" etc. necessario reperiri. Facile autem perspicitur. inter

tres classes B-j-H, ®-}-H' plures ancipites esse non posse si enim tum Jï

tum il+// ancipites essent sive cum oppositis suis $', ®H' resp. identicac.

foret Jt+Jf = iî-f-Jï'; eadem conclusio résultat ex suppositione, tetf-}-#' t

esse ancipites; denique si ^ï-f-JÏ, iî-f-iï' ancipites sive cum oppositis suis

a'+ff. ft'+lT identicae essent, fieret f + H+S'+iï^ t'-f-+^+i1/

uuda 2 iï = 2 sive H' = Jf Quamobretn unica tantum classis anceps pr.

prim. dabitur, quae eum L composita ipsam S producit, adeoque omnes L, L'. L" ·

etc. erunt diversae.

Multitudo classium ancipitum in ordine derivato manifesto aequalis est mul- l

titudini classium ancipitum in ordine primitivo, ex quo est derivatus, adeoque per

praecedentin semper poterit ussignari.s

260.

Problema. Classis proprie primitiva K determmantis D oritur ex duplica'

Hone classis proprie primitimek eiusdem determinantis: qitueruntur omnes simiks

classes, eœ (juarum duplicationeclassis K oritur.

Sol. Sit II classis principalis det. D atque H', H", H'" etc. reliquac

classes ancipites pr. primitivac eiusdem determinantis; classes quae ex harum

compositione cum k oriuntur, k-H\ k-H", k-H'" designentur per k\ k", k'"

etc. Tune omnes classes k, k', k" etc. erunt pr. primitivae det. D et inter se

diversae; acque facile perspicitur, ex singularum duplicatione oriri classem K.

Dénotante autem S classem quameunque pr. prim. det. D, quae duplicata pro-

ducit classem K necessario inter classes k, k', k" etc. contenta erit. Ponatur

enim il = A-+ .Ç), ita ut .£> sit classis pr. prim. det. D (art. 249). eritque

Mt'wfrrùo ôLASBitiH AJidprmi. 291

.0.

37"

2#-f-2|> == 21 = K– %k; unde facile coiicluditur. 2$ coincidere euro classe

principali, $ esse ancipitem sive inter H. II', II" etc. contentam, atque & huer

k, k'. Il etc.; quamobrem hae classes completam probleinatis solutionem exhibent.

Ceterum manifestum est, iu eo casu. ubi D sit negativus. e classibus

k. k', k" etc. semissem fore classespositivas, semissem negativas.

Qiuun igitur quaevis classis pr. prini. det. D, quae ex ullius classis similis

duplicatione oriri potest. omnino ex totidem classium shnilium duplicatione pro-

veniat, quot classes ancipites pr. prim. det. D dantur: perspicuum est, si multi-

tudo cunctarum classium pr. prim. det. D sit r, multitude omnium classium

ancipitum pr. prim. huius det. h, multitudinem omnium classium pr. prim. eius-

dem det. quae ex duplicatione similis classis produci possint, fore Eadem

formula résultat, si, pro det. negativo, characteres r, n multitudinem classium

jwsitivarum désignant, ille omnium pr. prim., hic solarum ancipitum. Ita e,g, proD = – 161 multitudo omnium classium pr. prim. positivarum est 16, multitude

ancipitum 4, unde multitudo omnium classium, quae per duplicationem alicuius

classis oriri possunt, debebit esse 4. Et rêvera invenitur, omnes classes in génère

principali contentas hac proprietate esse praeditas: scilicet classis principalis1 0. 161) oritur ex duplicatione quatuor classium ancipitum; (2, 1, 81) ex du-

plicatione classium (9, 1, 18}, (9, – 1, 18), (11, 2, 15), (il. –2, 15:; (0, 1 1S"

ex dupl. classium (3, 1, 54), [6, 1, 27), (5, –2, 33), (10, 3, 17); denique

9. –1 18) ex duplicatione classium (3, –1 54), (6, –1, 27,\ [5, 2, 33..

10, –3. 17).

Cette semmi omnium eharaelerum pro déterminante dato astignabilium gtnera propric primitka o

("positiva pro det. neg.J retpondere nequeunl.

261.

Theokema. Semissi omnium characterum assignabilium pro déterminante posi-tivo non-qtiadrato nulla gênera proprie primitiva respondere possunt; pro déterminante

negativo aident nutta gênera proprie primitiva positiva.

Dem. Sit m multitudo omnium generum proprie priraitivoruni (positivo-

rum) determinantis D; k multitudo classium in singulis generibus contentarum,

ita ut km sit multitudo omnium classium proprie primitivarum (positivarum i;`

n multitude omnium characterum diversorum pro hoc det. assignabilium. Tune

292 DU '-VOXHI» SECtTNPtGKADUS.

per art. 2T>* multitudo omnium elassium ancipitum (positivarum) pr. primitivarum

erit in; hine per art. praec, multitudo omnium classium pr.prim., qune ex «lupli-

catione similis elassis oriri possunt, erit Sed per art. 247 hac classes omnes

pertinent ad genus principale, in quo coutinciitur k classes; si itaque omnes

classes generis principalis ex tluplicatione alicnius elassis proveniro possunt quod

rêvera semper locum habere in sequentibus demonstrabitur), erit = k sive

m – |«; certo autem neqtiit esse > A1neqite adeo m > |«. Qnoniam ita-

que multitudo omnium generum pr. prim. (positivorura) certo non est maior quam

.semissis omnium charactemm assignabiliuni ad minimum horutn seiuissi talia

gênera respoudew? nequeunt. Q. E. D Ceterum probe notaudum est, hinc

noudum sequi seniissi omnium charactermn assiguabilium revex-a respondere gê-

nera pr. prim. (positiva), sed huius propositionis gravissimae veritas infra demum

e reconditissimis numerorum mysteriis enodori poterit.

Quum pro déterminante negativo totidem gênera negativa semper exstertt

quot positiva, manifeste ex omnibus characteribus assignabilibus non plures quam

semissis generibus pr. prim. negativis competere possunt, de qua re ut et de ge-

neribus impr. prim. infra loquemur, Dunique observamus, Uieorema ad déter-

minantes positives quudratos non exteudi pro quibus nullo negotio perspicitur

singulis characteribus assignabilibus gênera revera respondere.

Theoremuti* fundmmnlulis et rdiqwjrum thmivmuUim ad residua – i, +ï, i iiertinvitliwn

ileni'.iistratio Sfcmulu.

•202.

lit eu itaque casu, ubi pro déterminante non-quadrato dnto D duo tantuni-

modo cluuacteres diversi assignari possunt, uuico tantum genus pr. primitivum

jjositivum'i respuudcbit, (quod non poterit esse aliud quam genus principale;.

alter nulli fortnuc pr. prim. pos.) illius determinantis competet. Hoc evenit pro

deternnuantibus – 1, 2, –2, –4. numeris piimis formae 4t*-f-l positive, iis-

que formae 1 « +3 négative acceptas denique pro omnibus numerorum primo-

rum foruuic tw-f-l potestatibus expouentis imparis positive suintis, et pro pote-

statibus numerorum priuiomm formae An-i positive vel négative sumtis prout

exponentes sunt pares vel impares. Ex hoc principio methodum novam haurire

possumus, non modo tlieorema fundanxentale, sed etiaui reliqua theoremata Sect.

praec. ad residua – I. +2. –2 pertinentia demonstraudi quae a methodis in

TIIKORESTAnINI>A»J5SrAtB. 2^8

Sect. praee. adhibitis omiiino est divers», eleganfiaque iiis neutiquam inférior

aestimanda videtur. Determiirantem 4 autem, et qui sunt numerorum primo-

rum potestates quum nihil novi doceant praeteribimus.

Pro déterminante –1 itaquc nulla forma positiva datur, cuius character sit

3.4; pro déterminante +2 2 uulla omniiio forma, cuius character sit 'A et 5. S:

pro déterminante – 2 nulli formae positivae competet character fi en. S: pro

deteminante -j-p, si p est numerus primus formae 4«-f-l, vel pro détermi-

nante -p, si p est numerus primus formae 4« + 3, nulli formae pr. pr. ( posi-

tivae in easu post.) competet character Xp. Hinc theoremata Sect. praec. se-

quenti modo demonstramus:

I. Est – 1 nou-residuum cuiusvisnumeri j(positivi) format* 4»-f-3. Si

enim –1 résidu um talis numeri A esset faciendo –1 BB – AC, foret

{A, J3, C) forma positiva det. –1, cuius eharacter 3, 4.

Il. Est -1 residuum cuiusvis numeri primi p formae 4« + J. Nam

character formac ( – 1, o, p), sicuti omnium proprie primitivarum det. 1. erit

lip, adeoque – \Rp.

III. Tum + 2 tuni – est residuum cuiusvis numeri primi p format

1. 'If' 1 fS, 1, "1' .11 %eS,:i, S. 3.«J»+1. Nam vel formae (S, 1, (_8i j,^ve] jwe

f8i a>±-zt)t (_s. 3. Cl!!

u

erunt proprie priinitivao (prout n impar vel par), adeoque ipsarum character Rp:

hinc 4-Si{yj et -~sRp, unde etiam2 lip, ~2ltp.

IV. Est -f-2 non-residuum cuiusvis uumeri formae s»-(- 3 aut "5w-|r>.

Si enim esset rcsiduum talis numeri A. daretur forma (A, B. 0, determinantis

H- 2. cuius cliaracter '.i et 5, S.

V. Simili modo est non-resicluiun cuiusvis nuuteri formae s«-f-ô r,

aut S«-f- alioquin enim daretur forma {A. Ji, C) determiuantis – 2. cuius

character et 7, S.

VI. Est 2 residuum cuiusvis numciï primi p formae 8// 4- 3. liane

proiiositioncm per inetliodnm duplicein demouutraru licet. Primo, quum per l\'

sit +îNp, at(juo per I, ~\Np, necessarioerit – 'llip. Demoustratio .w-

mnda petitur ex consideratione déterminai) tis -2p, pro quo quatuor characteivs

sunt assignables, puta Rp, I et'i, S; lip, Hetl.b; Xp, lefi.b; J\'p. iwtl.h.

ex (juibus igitur saltein fluobus nulla gênera respondebunt. lam formae

294: DK FOKJHS SKCttNDI OttADt'S.

M. »>. – ip) competit eharacter prîmus; formae ( – U 0. ip) quartu»; quare qui

reiici debent sunt secunrîus atque tertius. Quum itaque character formae

p. ». – 2; relative ad numerum S sit 1 et%, S, ipsius character relative ad p non

potrrit esse alius quam Rp, unde iRp.

VII. Est +2 residuum cuiusvis numeri primi p formae Hn-7 quod

per methodum duplicem demonstrare licet. Primo, quum ex I et V sit –\Np,

-~2Np. erit -2Rp. Secundo quum vel (8, t. --+-£) vel (8," 3.^) sit forma

proprie primitiva determinantis – p (prout w par vel impar). ipsius character

erit Rp, adeoque tiRp et 2 Rp.

VIII. Quilibet numerus primus p formae 4»-f-l 1 est non-residuum cu-

iusvis uumeri imparis q, qui ipsius p non-residuum est. Patet enim, si p esset

residuum ipsius q, dari formam proprie primitivam determinantis p, cuius cha-

racter Np.

IX. Simili modo si numerus quicunque impar q est non-residuum numeri

primi p formae 4m-f- 3. erit -p «on-residuum ipsius q; alioquin enim daretur

forma positiva pr. primitiva determinantis -p cuius character Np.

X. Quivis numerus primus p formae 4» -f-1 est residuum cuiusvis alius

uumeri primi q, qui ipsius p residuum est. Si etiam q est formae 4»-f- 1. hoc

statim sequitur ex VIII si vero q est formae 4n-S, erit etiam –residuum

ipsius p (propter II) adeoque pRq (ex IX).

XI. Si numerus quicunque primus q est residuum alius numeri primi p

formae 4»-}- 3, erit – p residuum ipsius q. Si enim q est formae 4»-f-l; ex

VIII sequitur pRq, adeoque (per II), –pRq; casus autem ubi etiam q est for-

mae \n 4-3, huic methodo se subducit, attamen facile ex consideratione deter-

minantis -pq absolvi potest. Seiiicet quum ex quatuor cliaracteribus pro hoc

déterminante assignabilibus Rp, lïq; Rp, Nq; Np, Rq; Np, N<j duobus nulla

genero respondere possint, atque formarum '1,0, – pq), ( – 1,0, pq) characte-

res respective sint primus et quartus, character secundus et tertius nulli formae

pr. prim. det. pq competere possunt. Quum itaque character formae [q, 0, – p)

res\>. mitneri p per hyp. sit Rp, eiusdera formae character respectu numeri q

débet esse Rq, adeoque –pRq. Q. E, D.

Si in proposs. VIII et IX, q snpponitur designare numerum primum, hae

cum X et XI innetae tlieorcma fundamentale Scct. praec. exhibent.

CHARACl'EHES QUlnf S GENERA ItESl>O\I)ERE NEQUEUKT. 295

£aekaraetemntsemnsi», quibus tjtnem reapondere wqueunt, propitt» dvUrminunlur.

263.

l'o-stquam theorema fundamentale demonstratione nova comprobavimus, eam

characterum semissem, quibus nullae formae pr. primitivac (positivae) respondere

possunt. pro déterminante qnocunque non-quadrato dato discernere ostendcmus,

quocl negotium eo brevias absolvere licebit, quum ipsius fundamentum iam in

disquisitione artt. 147–150 sit contentum. Sit ee quadratuiri maximum, deter-

rainantem propositum D metiens, atque D – D'ee, ita ut D' nullum factorem

quadratum implicet; porro sint «, b, c etc. omnes divisores primi impares ipsiusD', adeoque D' sine respectu signi sui vel productum ex his numeris vel duplumliuius producti. Designetur per 2 complexus characterum particularium 2V«, Nb,

Ne etc., solus, quando Z)'==l (mod.4); adiuacto charnetere 3, 4, quando D'=- a

atque e impar aut imparîter par; adiunctis his 3, S atque 7,8, quando D' = 3

atque e pariter par; adiuncto vel charactere 3c#5,8, vel duobus 3, 8 atque 5,8.

quando D'= 2 (mod. 8) atque e vel impar vel par; denique adiuncto vel cha-

ractere ùeti, 8, vel duobus 5,8 8 atque 7,8, quando D'=0 (mod. S) atque e

vel impar vel par. His ita factis, omnibus characteribus integris, in quibusmuititudo impar characterum particulorium & continetur, nulla genera proprie

primitiva (positiva) determinantis D respondere potcrunt. In omnibus casibus

characteres particulares qui exprimunt relationem ad tales divisores primos ip-sius D, qui ipsum D' non metiuntur, ad generum possibilitatem vel impossibili-tatem nihil conférant – Ex theoria combiuationum autem facillime perspicitur.hoc modo revera semissem omnium characterum integrorum assignabilium excludi.

Demonstratio horum praeceptorum adornatur sequenti modo. E principiisSect. praec. sive theorematibus in art. praec. denuo demonstratis nallo negotio

deducitur. si p sit numerus primus (impar positivus) ipsum D non metiens. cui

aliquis e charactcribus reiectis competat, D' implicare multitudinem imparem

factorum, qui sint non-residua ipsius p atque adeo D', et hinc etiam D, esse

non.residuum ipsius p; porro facile perspicitur, productum e uumeris quotcuu-

que imparibus ad D primis, quorum nulli aliquis characterum reiectorum com-

petat, etiam cum tali charactere consentire non posse; hinc vice versa perspicuumest, qut'invis numerum imparem positivuia ad D primum, cui aliquis clmraete-

290 l>B FOKMI»SKOt'XDtSRADl'S.

cum rciectôruin convénîat, coïto tdiqucttt factorem prinuirn eiusdem qualitatis im-

plicare. atlooque D ipsius non-residiunu esse. Si itaque form» proprie priiuitiv»

positiva déterminant!» D daretur, ulicui charactcrum roun-torum respondons,

1) foret non-residuum euiusvis numeri positivi imparis ad ipsiun prîtni per ta-

lt'iii formam ropracseutabilis. quod nmnifesto cam theoremate art. 151 consistera

nequit.

Tamquam exempla eonferantur classificationes in artt. 231 232 traditae,

quaruin uunicruni quisque pro lubitu augere poterit.

204.

Hoc itaque modo pro quovis déterminante non-quadrato dato omnes cha-

racteres assiguabiles in duas species P, Q aequaliter distribuuntur, ita ut nulli

i-horncteruin Q forma proprie primitiva fpositiva respoudere possit, rcliquis au-

tem quantum quidern httcusque novinrus, nihil obstet, quominiis ad tales for-

mas pertineant. Circa bas characterum species notetur imprimis propositiose-

quens, quae ex ipsarum criterio facile deducitur: Si eharacter ex P cum cha-

mctere ex Q c-omponitur i.ad nornrnm art. 240 perinde ac si etiam huic genus

respondcrot; prodibit rharnetcr ex Q; si vcro duo eharacteres ex P. velcluo^ex

Q romponuntureharacter resultans ad P pertinebit.

Adiumento huius theo-

remutis etiam pro gencribus negativis atque improprie primitivis semissis omnium

chameterum assignalnlium excludi potest sequeuti modo.

I. Pro déterminante negativo D genera negativa positivis hoc respecta

prorsus contraria erunt scilicet nullus characterum P pertinebit ad genus pro-

prie ])rimitivum negativuin. sed haec gênera omnin habebunt cliaroctercs ex Q.

Qnamlo enim D'= 1 'mod. 4}, crit – D' numerus positivus formae 4m -f- 3

adeoque inter a. b, c eto. multitado impar numororum formne 4 »-+- quorum

singulomm non-residuum erit –1. unde patet, in characterem integruin formae

~-l, u. I>iin hoc casu ingredi înultitudinem imparem chameterum particularium

ex 12. sive illuin pertinere ad Q; quando U' = 3 (mod.4î,ex simili rationc

inter et, b. cote vel nullus numerus formae l«-f:s reperietur.vel duo, vel

quatuor etc.. sed quum vel 3,4vel 3, S vel 7., S in hoc casn occurrat inter cha-

racteres particulares formae '–I, 0, D.. pntet, characterem integrum huius for-

mae etiam hic pertinere ad Q. Eadent couclusio aeque facile in casibus reliquis

éiuRAën-atKS quroos qesera respondere keqi-evxt. 29?

3 S

obtmetur, ita ut forma negativa (– J, 0, D) semper habeat charactcrem ex Q.

Sed quoniam hnec forma cum quncuuquc nliti pr. primitiva iiegàtiva eiusdem det.

composita similem formant positivam producit, facile perspicitur, nullam formam

pr. prim. negativam eharacterem ex P habere posse.

Il. l'ro generibus improprie primitivis (positivis) simili modo prubatur, rem

veleodem modo se haberc ut in proprie primitivis, vel contrario, prout D~l J

vel = 5 (mod. 8). Nam in casu priori erit etiam D'- (mod. S), unde facile

concluditur, inter numeros a, h, cote, vel nullum numerum formae S«-f-3 et

Sn-j- 5 reperiri vel duos vel quatuor etc. (scilicet productum ex quotcunque nu-

meris iniparibns, inter quos mimeri formao 8« + 3 et 8 n + 5 coniunctim multi-

tudinem imparem efficiunt, semper evadit vel 3 vel =5:mod.S\ productum

autem ex omnibus ce, b, c etc. aequale esse debet vel ipsi D' vel ipsi – D'); hinc

patet, characterem integrum formae (2, 1,l~-}

involvere vel nullum characte-

rem particularem ex Q, vel duos vel quatuor etc., adeoque pertinere ad P. Iam

quum quaevis forma improprie primitiva (positiva) determinantis D spectari possit

tamquam composita ex (2, 1, ij~) atque proprie primitiva (positiva) eiusdem de-

terminantis, perspicuum est, nullam formam improprie primitivam positivam)

characterem ex Q in hoccasu habere t posse. In casu altero. D 5 'mod. S),

omnia contraria sunt, scilicet D', qui etiam erit ^5, certo multitudinem ini-

parem factorum formae S« + atque S»– (–5 implicabit, undc concluditur,

characterem formae (2,1, '-y-), atque hinc etiam characterem cuiusvis formae

improprie primitivae (pos.) det. D pertinere ad Q, adeoque nulli characterum

P genus impr. prim. pos. respondere posse.

III. Denique pro determinante negativo gênera improprie primitiva nega-

tiva rursus contraria sunt generibus improprie primitivis positivis. scilicet illa non

poterunt haberc characterem ex P vel ex Q, prout 2?=1 vel =5 -mod. S),

sive prout – D est formae S«-f-7 7 vel ^« + 3. Hoc nullo negotio deducitur

inde. quod ex compositione formae (– 1,0. D). cuius character est ex Q, cum

formis improprie primitivis negativis eiusdem determinantis formne improprie pri-

mitivae positivae proveniunt adeoque, quando ab his exclusi sunt cliaracteres Q,

necessario ab illis cxclusi esse debent characteres P, et contra.

298 DE FORMÏS 8KCm« OKÀDt'S.

Hetltotttsptcitliarii, numéro» primos in dm qtiadrata decomponendt.

205.

Ex disquisitionibus artt. 257, 258 supra multitudine classium ancipitum.

quibus omnia praccedentia sunt superstructa multae aliao eonclusiones atten-

tione perdignue deduci possunt, quas brevitatis caussa supprimere oportet: se-

quentem tamen, clegatttia sua insignem, praeterire non possumn». Pro determi-

nante positivo p, qui est numerus pr imus formae 4 w– {- I unicam tantummodo

classem ancipitem proprie primitivam dari ostendimus; quapropter omnes formae

ancipites proprie primitivae talis determinantis proprie aequivalentes erunt. Si

itaque b est numerus integer positivus proxime minor quam \jp, atque p – bb

= «', formae (1,4, – «'), ;–M,«'). proprie aequivalebunt, adeoque, quuw utra-

que manifesto sit forma reducta, altéra in alterius periodo erit contenta. ïribuendo

formae priori in periodo sua indicem 0, index posteriori» necessario erit impar (quo-

niam termini primi harum duarum formarum signa opposita habent); ponatur ita-

que = 2»» +1. Porro facile perspicitur, si formae indicum 1,2, 3 etc. resp. sint

(- a', b', a") (a", b", -a'") (-a", b"\ «"") etc.

indicibus 2»», 2 m – 1. 2»» – 2, 1m – 3 etc. responsuras esse formas

.«', b, -1), (-«", b', a'), (a"\ b", –a"), (-«" b"\ «'"} etc.

Hinc colligitur, si forma indicis ?» sit (A, B, C), eandem fore (–6*. B, -A;.

adeoque C= – A et p = BB-AA, Quare quivis numerus primus formae

4 n 4~]in duo quadrata decomponi potest (quam propositionem supra, art. 182,

e principiis prorsus diversis deduximus) et ad talem decompositionem pervenirca

possumus per methodum simplicissimam et omnino uniformem, scilicet per evolu-

tionem periodi formae reductae, cuius determinans est ille numerus primus et cu-

ius terminus primus 1, usque ad formam, cuius termini externi magnitudine sunt

aequales, signis oppositi. Ita e.g. pro p= 233 habetur (1,15, – S), ( – 8, 9, 1 9;f

(19,10,-7), (-7,11,16), (16,5,-13), (–13,8,13), atque 233=044-169.

Ceterum patet, A necessario fieri imparem (quoniam (il, B, – A) débet esse

forma proprie primitiva), et proin B parem. Quum pro déterminante po-

sitivo p, qui est numerus primus formae 4 n + I etiam in ordine improprie pri-

mitivo unica tantum classis anceps contineatur, perflpicuum est, si g sit numerus

t'OIWf AKÏKftîfARÏAE. 299

s

_i_

38*'r~

impar proximé minor quam \jp, atque p– gg = \h, formas îeductàs impro-

prieprimitivas [2, g, – 2/«), (~2,g,2ft) proprie aequivalere adeoque alteram

in alterius periodo contentam esse. Hinc per ratiocinia praccedcutibus omnino

similia coneludituv in periodo formae (2, $,~ 2/t) reperiri formam cuius ter-

mini externi magnitudine aequales sint, signa hnbeant opposita, ita ut discerptio

numeri p in duo quadrata etiam hinc peti possit. Patet autein terminos exter-

nos huius formae fore pares, adeoque medium imparem; et quum constet, nuuie-

ruin primant unico tantum modo in duo quadrata decomponi posse, forma per

hanc posteriorem methodum inventa erit vel (B, +A, -B) vel {–B, + A.B..

Itaiu oxemplonostro pro />-=233 habetur (2,15, –4], (–4,13,10), (10,3, –14'.

– 14. 11, »;, (s, 13, -S), et 233= 169 + 64 ut supra.

DHMESSIO COXTlNtiXS ÏRACTATVM DE FORMIS TERKAIiUH.

266.

Hactenus disquisitioncm nostram ad tales functiones secundi gradus re-

strinximus, quae datas indeterminatas implicant, neque opus fuit, denoiniiiatio-

nem specialeni ipsis tribuere. Sed manifesto hoc argumentum tamquam sectio-

nem maxime particularem disquisitionis generalissimae de functionibus algebraicis

rationalibusintegris homogeneis plurium indeterminatamm et plurium dimensionum

considerare, talesque functiones secundum multitudinem dimensionum informas

seciiiuli, tertii, quarti gradus etc., secundum multitudinem iudeterminatarum au-

tem in formas binarias, terminas, quitter narias etc. commode distinguere possu-

inus. Formae itaque, hactenus simplicitor sic dictae, vocabuntur formae bina-

riae secundi gradus tales autein functiones ut

Axji + 2 Bxy + Cyy + 2 Dxz -(- 2 Ei/g + Fzz

denotantibus A, B, C, D, E, F integros dates) dicentur formae ternariae secundi

gradus et sic porro, Proxime quidem Sectio praesens solis formis binariis secuudi

gradus est dicata; sed quoniam complurcs veritates ad lias spectantcs, eaeque pul-

cherrimae, adhuc supersunt, quarum fons proprius in theoria fonnaraui teriiariti-

rum secuudi gradus est quaerendus, brevem ad hanc theoriam digressionem hic in-

tercalamus in qua ex primis cius clementis ca trademus, quae ad lnerfectionem

theoriae formarum binariarum sunt uecessaria, quod geonietris acceptius fore spe-

800 Ï)E FOHMISSECOKDIOKAPCS.

î-amus, quam si illas vel supprimeremits vel per metitodos minus genuiaas erue-

rcmiut. Exactiorem autem de hoc argumento gravissimo disquisitionem ad aliam

accasioucm nobis reservare debemus, tum quod ipsius ubertas limites huius ope-

ris iam mine longe cgrcdeietur, tum quod spes est, luculentis ndhuc iucrementis

eani in postmim locupletatum iri. Formae vero tum quaternariae, quinariae etc.

secuudi gratins tum omncs superiorum graduum hoc quidem loco ab instituto

nostro penitus 'exeluduntur *) sufficiatque hune canipum Vnstissiraum geometra-

rura attentioni commendavisse in que niateriem ingeutcm vires suas exercciidi.

Arithmoticaiuque sublimiorcm egregiis incrementis augendi invenient.

267.

Ad pcrspieuitatcm multum proderit, inter tres indeterminatas, in forniain

ternariani ingrcdientes simili modo ut in fonnis binariis ordinem fixura stabi-

lirc, ita ut inàeterminata prima, secundo, et tertia ab invicem distinguantur; in dis-

liojjondis autem singulis formae partibus hunc ordinem semper obscrvabimus, ut

primum locum obtineat ea pars quae quadratum indetcrminatae primae implicat,

in sequentibus eae quae implicant quadratum indeterminatae secuudac, quadra-

tum tertiae, productum duplum secundae in tertiam, productum duplum primae

in tertiam, productum duplum primae in secundam deinceps sequantur; denique

numéros integros determinatos per quos haec quadrata et producta dupla multi-

plicata «mit, eodem ordine colffidentem jirimum, secundum, tertium, qnartttm, quin-

tum, sextum vocabimus. Ita

«**+ a'x\v'a"a!"x"+ îbx'x" 26'am-"+ 26"^r

erit forma ternaria rite ordinata, cuius indeterminata prima ,r, secunda J, ter-

tia coi.'fficiens primus « etc., quartus b etc. Sed quoniam ad brevitatem mul-

tum conferet, si non semper necesse est, indeterminatas formae ternariae per li-

teras peculiares denotarc eandem formam, quateuus ad indeterminatas non ro-

spicinms etiam lioc modo

• a«', a"

\b. b', b")G 6'. b"

designabinuis.

') Propter Imnc rationem formau binarincvol tcmnriue meundi gradux in sequentibus semper sunt intel-

ligciidae, quotiosde talibus formis simpliciter loquemur.

PÔKJfAE TEBSARrAB. SOI

Ponemto

oritur alia forma

quam formue

adiunctam dicemus. Hinc rursus invenitur, denotando brevitatis caussa nmnerum

abb+a'b'b'+a"b"b"– aaa"– 2bb'b" per 1)

BB-A'A"- aD, B'B'-AA"= a'D. B"B"~AA' = u"D

AB–B'B"=hD, A'B'–BB"=b'l). A"B' – BB'=b"D

unde patet. formae F adiunctani esse formam

Numerum D, a cuius indole proprietates formae ternariae imprimis pcudent,

determinantem huius formae vocabimus; hoc modo determinans formae F fit

= DD, sive aequalis quadrato determinantis formae f, cui adiuncta est.

Ita e. g. formae ternariae .»• "» °\ adiuncta est (-««. -•*««. -im utrius-

que determinans = 1.7,-1, ~.1 21i, -III. 1:1:1.

Formae ternariae determinantis 0 ab investigatione sequente omnino oxclu-

deiitur, quippe quae, ut in formarum ternariarum theoria, alia occasione nherius

tradcnda. ostendctur. sjiecie tanturn sunt ternariae, revera<iue binariis aequi-

pollcutcs.

Si forma aliqua temaria f detcrminantis 1), cuius indetcrminatac sunt

v,£,x" puta prima – A-ctc.) in formam temariam g determinantis E. enius

indeterminatae sunt y y, transmutatur per suhstitutionem tnlem

b b – da" = A, b'b'–a a" = A b"V – a a A"

ub–b'b" = B, a'b'–bb" = XT. u'b'–bl! = /i"

( A A',A" 1 F

( )p

V/i, Iî'. J3"

/a, a, n"\

CL > L', L"f

\b, b', W)"J

/«D, a'D, n"flv

t, n. G'n. r,'D\t>D, b'D. (J'D)

u'

u' c

· .f

20S.

302 DE KOBMBSECUND!GHAOCS.

a~ y' -~· Y.~

ubi novent coCfificientes a, I» etc. omnes supponuntur esse niuneri integri, brevi-

tatis caussa neglectis iudetenninatis simpliciter dicemus, transire in g per sub-

stkutionetn >S:

a, $, Y

a, tf', Y

a", 6", y"

atque f implkare ipsam g, sive g $\nb f contentant esse. Ex tali itaque suppo-

sitione sponte sequuntur sex aequationes pro sex cofifïicieutibus in g, quas appo-

uere uon erit uecessarium; lnnc autem per calculum facilem sequentes conclusio-

nes evolvnntur

I. Dosignato brevitatis caussa numéro

ag'r"-fgr'a"+ra'ë"– y$'a"- ay 6"- tia'f per x

invenitur post débitas reductiones E = kkB, unde patet, D metiri ipsum E

et quotientem esse quaclratum. Patet itaque, numerum k pro transformationi-

bus fonnarum temariarura simile quid esse, ac numerum aô – 6 Y in art. 157ï

pro transforinationibus formarum binariarum, puta radicem quadratam ex quo-

tiente determinantium, unde coniectare possemus, diversitatem signi ipsius k

etiam hic stabilire differeutiam cssentialeni inter transformationes atque implica-

tioues proprias et improprias. Sed rem propius contemplando perspicuum est.

transire in g etiam per hanc substitutionem

– a. – d. –y

_a\ -g', -y

–ai'. –$". -y"

pouendo autem in valore ipsius k pro a, – a, pro 6, – 6 etc. prodibit – À\

quare haec substitutio substitutioni S dissimilis foret, et quaevis forma ternaria.

aliam uno modo implicans eandem etiam altero modo implicaret. Talis itaque

POKMABfERXABfAK. 303

di&tinçtiô quoniam in formis ternanis nullum usum habet, hit omniuo pro-scribetwr.

II. Denotando per F, G formas ipsis g resp. adiunctus, detcrmiiian-

tur coëffidentes in F per («efficientes in coëfficientesque in G per valores

coCincientium formae g ex nequationibus quas suppeditat substitutio S notos.

Exprimendo cofifficientes formae f perliteras, ex comparatione valorum coêiïi-

cientium formarum F, G nullo negotio confirmatur. F implicare formam G at-

que in eam transmutari per substitutionem (S1)

Calculum ipsam nullis Uifficultatibus obnoxium non adscribimus.

III. Forma g per substitutionem {S")

manifesta in eandem formam transmutatur, in quam f transit per hanc

k, 0, 0

sive in eam, quae oritur multiplicando singulos coëfficientes formae f per kk.

liane formam designabimus per f.

IV. Prorsus simili modo probatur, formam G per substitutionem [S'

a, ai a"

«Y- «Y r'«"-fa'. «'S"-a"g'

«"7 – < fa y a", a"G a 6"

67'– fi'r, ya'-ya, aff -a'6

t-f–Vi, 6"77-8r", 6/-g'r

ya»™TV, fa-ya", y ai– fa

aW~a"&, a"g-ctg", «g'-a'g

o, k, 0

0, 0, k

b\ g', g"

r. y. y

r

304 i>b poimjs sEéryoi OHAwnji

èraiwire in formant, quae oritur ex JP, multiplicande» singulos coiîfficientci per X-4-.

Hane formam exprimemus per F'.

Substitutionem -S'" oriri dicemus per tninspositionein substitutionis S;

tune mauifesto S rursus prodit ex transpositione substitutionis 8' atque S\ S"

altera ex alterius transpositione.– Substitutio 8' commode appellnri potest

substitutioni 8 adiuncta, unde substitutioni -S'" adiuneta crit S".

269.

Si non modo forma implieat ipsam g, sed etiam haec illam formae g

«équivalentesvocabuntur. In hoc itaque casu non modo D ipsum JE mctictur.

sed etiam E ipsum D, undc facile concluditur, esse debere D = E. Vice

versa autem. si forma f implieat formam geiusdem deterrninantis, hae dune

formae erunt aequivalentes. Erit enini fadlnbendo etidem signa ut in art. praec.

exeipiendoque casum ubi D== 0) k – + 1, adeoque forma f', in quam transit

g per substitutionem S", cum f identica, sive f sub g contenta. Porro patet,

iu hoc easu etiam formas F, G, ipsius g adiunctas, inter se aequivalentes

fore, posterioremque in priorem transire per snbstitutionem S' Denique vice

versa si formae F. G aequivalentes esse suppmmtur, atque prior transit in

posteriorem per substitutioncm T, etiam formne g aequivalentes erunt, trans-

ibitque f in g per substitutionem ipsi T adiunctam, atque g in per eam.

«mac oritur ex transpositione substitutionis T. Nam per has duas substitutiones

resp. transit forma ipsi F adiuncta in formam ipsi G adiunctam atque haec in

illam hae duae formae autem oriuntur exg multiplicande singnlos coëffi-

cientes per D; undc nullo negotio concluditur, per easdem substitutiones transire

in atque g in vesp.

Si forma ternariaf

formam ternariam f' implieat, atque haec formam•

implicabit etiam f ipsam Facillime cnim perspicictur, si transeat

in f" per substitutionem

a, H. ya. b. r

«', if, y'a". 6", f

270.

in per substitutiomtm

o, s, Ç

è\ g', v

~,tè". i". i"

fokmae -•mauMui, 306

km rttfkM nntMiUnii'nnnMit

39

transmutatuni iri per substitutionem

ai+W+yèm. ag-j-dg'-j.-yg", «C+gÇ' + yÇ"

«tf-HT* +7'g", a'g+ïjv + 7V'f ax+d'C'-)-7'C»

a'-a+S-ê'-f/a", a"g4-iî"Ê'+T"6", a'X4-d"C'-l-7"C"

In eo itaque casu, ubi f aequivalet ipsi atque f' ipsi f", forma f etiam

formae aequivalebit – Ceterum sponte manifestum est, quomodo haec theo.

remata ad plures formas sint applicanda.

271.

Ilinc iam patet, omnes formas ternarias, perinde ac binarias, in classe,

distribui posse, referendo ad classem eandem formas aequivalentes, non-aequiva-

lentes ad diversas. Forniae itaque determinantium diversorum certo ad classes

diversas pertinebunt, et proin classes infinité multae formarum ternariarum da-

buntur formae autem ternariae eiusdem determinantis modo minorem modo ma-

iorcm classium numerum efficiunt; quod vero tamquam proprietas palmaris harum

formarum est considerandum, omnes formae eiusdem determinantis dati semper cm-

stituunt classium multitudinem fini tam. Evolutioni uberiori huius gravisshni theo-

rematis praemittenda est explicatio sequentis differentiae essentialis, quae inter

formas ternarias obtinet.

Quaedam formae ternariae ita sunt comparatae, ut per ipsas sine discrimine

repraesentari possint numeri positivi et negativi, e.g. forma xx-yy – zz, quam-

obrem formae indefinitae vocabuntur. Contra per alias numeri negativi reprae-

sentari nequeunt, sed (praeter cifram quae prodit, ponendo singulas indeterminatas

= 0) positivi tantum, ut xx-i/y-zz, qnnre formae positivae dicentur; deni-

que per alias numeri positivi repraesentari nequeunt, ut – aux – yy–ze, unde

appellabuntur formae negativae; formae positivae et negativae nomine communi

formae defînitae dicentur. Ecce jam criteria generalia, per quae haec formarum

indoles discerni poterit.

Multiplicando formam ternariam

= a**4-«V«-f-aVa?"4- 2 bx'^+ 2 b'œx" 2 b"xx'

306 BE FORHIRSECVNDÏGRADIÎ8,

determinàntis D per «, denotamloque coCfflcientes formae ipsi f adiunctae

perinde ttt in art. 267 per A, A, A", B, B', B", prodit

;a x-b x b x~ A x·,x 2 B.c x A:r x Il g

multiplicando deuuo per A, provenit

A'{ax+trrf+b'jr?–{Ajf–Bjc'?+aD4!tf=A !c

Hinc statim concluditur, si tum A' tuin aD sint numeri negativi, omnes valores

ipsius h esse negativos, uude manifesto per formam f tales tantammotlo numeri

repraesentari poterunt, quorum signum oppositum est signo ipsius a A, i. e. iden-

ticum cum signo ipsius a, sive oppositum signo ipsius D. In hoc itaque casuf

erit forma detinita, et quidem positiva vel negativa, prout a est positivns vel

ne^ati\-us, sive prout D est negativus vel positivus.

Si vero vel vterque aD, A' est positivus, vel alter positivus alter negativus

(neuter =0), facile perspicietur li per debitam quantitatnm x,xtcê' determi-

nationem valores tum positivos tum negativos nancisci posse. Quare in hoc casu

f valores tum eodem signo affectos ut a À tum opposito obtinere poterit, eritque

adeo forma indefinita.

Pro eo casu ubi A' = 0 neque vero a = 0 fit

g .-= [ax+FJ+b'tfï – af{A"d-~lBtf) 1

Tribuendo ipsi x valorem arbitrarium qui tamen non =0), accipiendoque

ita utyj – x" signum idem obtineat ut But (quod fieri posse facile perspicitur.

quuin B nequeat esse =0, hinc enim foret BB – A'A" = aD =0, adcoquc

etiam I) – Q, quem casum excludimus) erit 3e'{A'x'~–iBx") quanti tas positiva,

unde facile patet, x ita determinari posse, ut g obtineat valorem negativum.

Manifeste hi valores etiam ita accipi poterunt, ut, si desideretur, omnes sint

integri. Denique patet, si ipsis x\ x" valores quicunque tribuantur, ipsum .i' v

tam magnum accipi posse. ut fiat positivus. Hinc concluditur. in hoc casu

formam f esse indefinitam.

FOKStAE ÏEHîf AHIAE, 30?

39*

Denique si « – 0, erit

f =f<W+2&)-<t"+2.f~+~

Accipiondo itaque J, rf ad lubitum, ita tamen ut ôV-f-K*" non sit ^o :<mod

manifeste fieri poterit, nisi sitnttl L' et b" sint = 0 tune autem foret D u;, ~i,

uullo negotio perspicitur, x ita deterrainari posse, ut f obtineat valores tum

positivos,tum negativos. Quare etiam in hocce casu f crit forma indeflnita.

Eodem modo, ut hic ex numeris aD, A' indolem formaef diiudicavimus.

etiam aD et A" adhiberi possunt, ita ut f sit forma definita, si tum aD tum

A" sit negativus; indefiuita ill omnibus reliquis casibus. Nec non prorsus simili

modo cidem fini hiservire potest consideratio numerorum a'D et A, vel horum

«'!> et A", vel horum a"D et A vel denique ipsorum a "D et A'.

Ex lus omnibus colligitur, in forma tlefinita sex numeros A, A', A",

aD, a'D, a"D esse negativos, et quidern in forma positiva a, «', a" erunt positivi,

D negativus; m negativa autem a, a', a" erunt negativi, D positivus. Hinc

patet, omnes formas ternarias determinaiitis dati positivi distribui innegativas

et indefinitas; omnes autem determinaiitis negativi in positivas et iudefinitas

denique formas positivas determinantis positivi. scu ncgativas determinantis ne-

gativi omuino non dari. – Indidem facile perspicitur, formae definitae semper

udiunctam esse definitam et quidem negatiwm, indefiuitae indefinitam.

Quum omnes numeri per formam ternariam datam repraesentabiles mani-

festo etiam per omnes formas huic aequivalentes repraesentari possint: formae

ternariae in eadem classe contentae vel omnes erunt indefinitac, vel omnes positi-

vae, vel omnes negativae. Quamobrem has formarum denoniinationes etiam ad

classes intégras transferre licebit.

272.

Theorema in art. praec. propositum, quod omnes formae ternariae deter-

tuinantis dati in multitudinem finitam classium distribuuntur per methodum ei

qua in formis binariis usi sumus analogam tractabiinus scilicet ostendendo.

primo, quo j>acto quaevis forma ternaria ad formam simpliciorem reduci possit.

dcin, formarum simplicissimarum (ad quas per tales reductiones perveniatnr'

multitudinem pro quovis déterminante dato esse h'nitam. Supponaums geiierali-

308' DE FOttSHSSKCrSDIOBADtT8.

ter, proposîtaiw esse formam ternariam /= (£ ?;$determinantis D (a cifra

*

diversi) quae per substitutionem [S)

a, 6, 7

«', S', 7'

a", 6", 7"

transeat in aequivalentem g – (";$£)!versabiturque negotium nostrum in

eo, ut a, 6, 7 etc. itadefiniantnr. ut forma g simplicior evadat quam f. Sint

formae ipsis g adiunctae resp. [%£$.), ($, $;?«)•quae desig»ent»'> per

F, G. Tune per art. 269 F transibit in G per substitutionem ipsi Sadiuno-

tam, G autem in F per substitutionem ex transpositione ipsius S oriundam.

Numerum

«6l7"+a'6"7 + a"ë7'-a"6'7 – aeY-«'dï"

qui esse debebit vel =•+- vel = – • 1 denotabimus per A\ Quibus ita factis

observamus

I. Si fiat 7 = 0 y= 0 a" = 0 6" -= 0, 7" = 1

fore

m=:aaa+2i"aa(4-a'(x'a', m = a6ë-{-2W+aW, m" = a"

» = 6 6'+ 6'(J »' = h a'-}- lia n" = a a d + ft" (a S'+ 6 o'; + aW

Praeterea esse debebit a 6' – 6a' vel == +1 vel = – I. Ilinc manifestum est,

formam binariara (a, b", à), cuius detenninans est A! transmutari per substitu-

tionom a, ti, d, ë' in formam binariam (m, n", m) determinantis M", et proin

ipsi aequivalere propter aff – tfot' = + i unde erit M" = à! quod etiaiu di-

recte facile confirmatur. Misi itaque [a, b", a) iam est forma siniplicissima in

classe sua, ipsos a, tf, a', ti' ita determinare lk-ebit, ut (»i, n", m] sit forma sim-

plicior et quidem e theoria aequivalentiaeformarum binariarum facile concludi-

tur, hoc ita fieri posse, ut m non sit maior quam \J – §A", siA" fuerit negati-

vus. vel non maior quam y A",si A" fuerit positivus, vel >« = (), si A" – », ita

ut in omnibus casibus valor (absolutus. ipsius m certe vel infra vel saltem usquc

ad V±M" deprimi possit. Hoc itaque modo fornla ad aliam reducitur coëf-

ficientem primum. si fieri potest, minorem liabentem et cuius forma adiuncta

cogfficientem tertium eundem habet ut forma F ipsi f adiuncta. In hoc consistit

rt&uctio prima.

FOBJJAK TÉBNABIAE. jJQO,

U- Si veto fit a = 1 g = o. y = 0, a = 0. a" « o. erit

A =g'y' – g'y

= + 1 substitutio itaque ipsi S adiuncta erit °

±1, O. 0

per quam F transibit in G. Habebitur itaque

Hinc patet, formam binariam (A", B, A'), cuius determinans est Da, transire

per substitutionem &, –y1, ~d", 7" in formam (M", N. M') determinantis Dm.

adeoque ( propter ë'y"- y'ë" = -f i vel propter Da –Dm) ipsi aequivalerc.

Nisi itaque (^1", B, A') iam est forma simplicissima classis suae, coefficienteK

6', y', 6", y" ita determinari poterunt, ut [M". N, M') sit simplicior, et quidemhoc semper poterit fieri ita, ut M" sine respectu signi non sit maior quam

^4-}Da. Hoc itaque modo formaf reducitur ad aliam coëfflcientem primum

eundem habentem, sed cuius forma adiuncta co8fficientem tertium si fieri potestminorem habeat quam forma F ipsi f adiuncta. In hoc consistit reductio

secunda.

111. Si itaque f est forma ternaria, ad quam neque reductio prima nequesecunda est applicabilis. i. c. quae per neutram in formam simpliciorem trans-

mutari potest: necessario erit tum a a < vel = $A", tum A" A" < vel = ^aDsine respectu signi. Hinc a* erit < vel =

*fA'A", adeoque «J< vel =f*«D.

«*< vel |4 D, et a< vel := -1- ~D; lune rursus A"A" vel = ~fl y~'D' atque

yl"< vel = $$D\ Quamobrem quamdiu a vel A" hos limites adhuc superant,necessario una aut altera reductionum praecedentium ad formam f applicari

poterit. C'eterum haec conclusio non est convertenda, quum utique saepius

o,p, y, -d"u"fn

o,-y,

r g-

m = e, ri = bY+b"y, n" = W+W

»»' =aW-|-2ôg'd"4-o"g"6''

in =«Yr'+2ir'r"+«'YY

n =

a'€y'-{-b{#f +)'&') + a"ÏÏ'y"

itf =4YY 2 J5 r'r"+ ^"TÏ

NA'y" ,B ( ~~yn. ~r~) A,r~

1}(" = ~'ë"6''– 2 B A"r

31Q DE FORM1SSECfSDI 6»A»US.

aeeidftt, ut forma termina cuius eoOfficiens pïifflus, atque coefficient tertius for-.

mae adianctac iam sunt infra illos limites, nihiloroimis per unam alteranwe re-

ductiouem twlhuc simplicior reddi possit.

IV. Quodsi vero ad formam ternariam quamcunque datam determinantis

1) altérais vicibus reductio prima et secunda applicantur, i. e. ad ipsam prima

vel secunda. ad eam quae hinc résultat secunda vel prima, ad eam quae hinc

provenit iterum prima vel secunda etc., manifestum est, tandem necessario ad

forma»! perventum iri, ad quam neutre amplius applicari possit. Quum enira

inagnitudo absuluta tum coOfficientium primorumformarum hoc modo prodeun-

tium tum coe'fficientium tertioruan formarum illis adiunctarum continuo alternis

vicibus eadem maneat atque decrescat, hic progressasnecessario tandem alicubi

finietur, quia alioquin duae series infinitac numerorum continuo deeresceutium

liubercutur. Hinc iam nacti sumus egregium theorema: Quaevis formaternaria

determimtntïs D redltei potest ad aliam aequimlmtem,cuius contiens primus

non

sit maior quam £v'Z>, atque co'èfficiens tertius formae ?>s» adiunctae non maiur quum

J-^Ii* sine respecta signi, siquidem forma propositahis proprietatibus ipsa nondum

est praedita. (,'eterum loco coCfficientis primi formae atque tertii formae

ipsi f adiunctae prorsus simili modo tractare potuissemus vel coL'fncientem pri-

mum formue ipsius et secundum adiunctae; vel secundum formae ipsius et pri-

muui vel tertium adiunctae; vel tertium formae ipsius et primumvel secundum

adiunetae, quibus viis perinde ad finem nobis propositum perveniremus:sed e

re est, methodo uni constanter adhaerere, quo facilius operationeshue perti-

nentes ad algorithmum fixum reduci possint. Denique observamus, duobus

coGfficientibus, quos infra limites fixos depriniere docuimus, limites adhuc minores

constitui posse. si formae definitae ab indefinitis separentur: hoc vero ad institu-

tum praescns non est necessariuni.

273.

Ecce iam quaedam exempla, per quae praecepta praecedentia magis illu-

strabuntur.

1. Stt ~'– (19,21. bO'). erit y– ;s.–s~ D –)~n y– $Y I

t r –35i, bi;f, -3iu

– -1,

Quum (19, 1. 21) sit forma binaria reducta, cui alia, termini primi minoris quam

19, non acquivalet, reductio prima hic non est applicabilis; forma binaria

FOltMAETËHNAIttAE; 311

(A B,A)= (–398,257,–100}autan per theoriara aequivalentiae fornaaruni

binariarum in simpliciorem aequivalentem (–2, i, –10} transmutabilis invenitur.

in quant transit per substitutionem 2,7, 3, 11 Fuciendo itaque 6'= 2, y'= – 7,

6"' = -– 3, y"=n, applicnntla erit ad foïraara substitutio |il Ï! *| per

quam invenitur transire in hancL,,iï; Î"2J) ••

Coëfficiens Wtiusquam invenitur transire in hartc (- $5', -b2 f'. CoUffieieus tertiLt~

formae, huic adiunctac, est –2, quo respecta f simplicior est censenda quam

Ad formam npplicari potest reductio prima. Scilicet quum fornra binu-

ria (19, – 82,354) transmutetur in (I, 0, 2) per substitutionein 13, 4, 3. t

applicanda crit ad formam f' substitutioj l\ l per quam transit in hanc

11 10– OS, 10, 0' V

Ad formamcui acliuncta est

(-^J»> -«^ t~J),denuo applicari potest

reductio secunda. Scilicet (–2, –95, –4513) transit per substitutionem

47, 1,– 1, 0 in (– 1, 1, –2': quamobrem adf upplicanda erit substitutio

ô! t ?'. per quam transit in'• '• .?).

Huius coCfficiens primus per

reductionem primam amplius diminui non potest, neque formae, ipsi adiunctae.

tertius per secundam.

Es. 2. Proposita sit forma cui adiuncta est (-s. -«^

et cuius deterniinans = 2. Hic successive reperiuritur, applicando alternatitu

reductionem secundam et primam

substitutionesperquastransit in

i.

O. o

lf 1 10 2 ÿ~

O.--to \1 0, 1

1°, Jn1.5 o. 0 ~2, -n, ol

fi, °1I i y = f",

1. 10

\1 1 \-2 -10)

Ç 1.

t. JU0. U. ~-2, ·1, U-1

-1 -1

Forma f per reductionem primam vel secundam ulterius deprimi nequit.

274.

Quando fonna ternaria habetur, cuius coëfficiens primus, atque formae ad-

iunctae tertius, quantum fieri potest per methodos praecedentes sunt depressi

methodus sequens reductionem ulteriorem suppeditat.

312 I)K FORMIS SECt'NW 6RADU9.

Adhibendo signa eadem ut in art. 27 2, et ponendo a = 1, a' = 0, ff= i,

a"– 0, *T= 0. 7" = t, i. e. adhibeudo substitutionem

1. 6, y

0, 1 Y

0, 0, 1

erit

M==a. ~'==a'+2&ë+a66. ~"=a"+2&Y+2~Y+<!7T+2~7'+<'Y7

« – 64.aY4-W4-4'(7+dy)4-o«7. «' = 6'+«7+*Y. w"=6"+«6

praeterea

M" = Am, N^B- A'y\ N'^B'-m- A"y

Per talem itaque substitutionem coëfficientes a, A", qui per reductiones praece-

dentes diminuti suut, non mutantur; quamobrem negotium in eo versatur, ut

per idoneam determinationem ipsorum 6, 7 7' depressiones in coëfficientibus

reliquis obtineantur. Ad hune finem observamus primo, si fuerit A" = 0, sup-

poni posse, esse etiam a = 0 si enim a non = 0, reductio prima adhuc se-

inel applicabilis foret, quum cuivis formae binariae determinantis 0 aequivaleat

forma talis (0, 0, h), sive cuius terminus primus=

(V. art. 215). Prorsus

simili ratione supponere licet, esse etiam A" = 0 si fuerit a = 0, ita ut vel

neuter numerorum a A" sit 0 vel uterque.

In casu priori manifestum est, ipsos 6, 7, 7' ita determinari posse, ut sine

respectu signi «", N, N' resp. non sint maiores quam J-a, j-A', \A'. Ita in

exemple primo art. praec. transibit forma postrema (|J; tJ), cuiadiuncta est

'ï'î' 1»)' per substitutionemI;1 ;•)

¡inlmnc (1; l\ J) •••• cui

adiuncta est(~J* ~J..

u u.

lu casu posteriori, ubi a = A" – 0 adeoque etiam 6" = 0 erit

,«. = o, »»'=«'.1

»" -= «" + 2i7' + 2ft'7+«'7Y

» = b+a'y+b'6, ri – b\ n" = 0

Erit itaque

D == a 6'4' = »»'»'»'

perspicieturque facile d et 7' ita determinari posse. ut n fiat aequalis residuo

absolute minimo ipsius b secundum modulum, qui est divisor communis maximus

FORMAËTÈKNABIAE. 318

10t~

ipsorum «', b\ i. e. ut n fiat non maior quam semissis huius divisoris sint* re-

spectn signi, adeoque n = 0, quoties a', b' inter se sunt primi. Ipsis 6. y'

in hune modum determinatis, valor ipsius y ita accipi poterit, ut m" non sit

maior quam b' sine respecta signi; hoc quidem impossibile esset, quando i/ 0;tune vero foret D=0, quem casum exclusimus. Ita fit pro forma postrenia in

ex. 2 art. praec. n = – 2 – 6>-f-2y', unde statuendo 6 = – 2, y = 0, fit

» = 0, porro m" – 2 – 2 y, et ponendo y = 1 m" = 0. Habemus itaque

substitutioiiem|i', ~ï', il

1per quam forma illa transit in

("' _).o 0, 0, 1 o, -1, o

275.

Si habetur series formarum ternariarum aequivalentium etc..

atque transformationes cuiusvis harum formarum in sequentem: ex transforma-

tionibus formae f in f formaeque f' in f per art. 270 deducitur transformatio

formae f inf"; ex hac atque transf. formae f" in sequitur transf. formae f

in f etc., manifestoque hoc pacto transformatio formae f in quamcunque aliam

serici inveniri poterit. Et quum ex transformatione formae f in quamcunque

aliam aequivalentem g deduci possit transformatio formae g in f [S" ex £

artt. 2C8, 269), hoc modo erui poterit transformatio cuiuslibet formae seriei

f', etc. in primam Ita pro formis exenipli prirni art. praec. inveuiuntur

substitutiones

13, I, n 13, Jii, – 4 i:i, – 20, l«

t>, î, – 7 h, si, –2 <i, –M, 7

–«,–3, 11 – 9, – 1:10, 3 – «, 14, – It

per quas f transit in f resp. et ex subst. ultima haecJs.' Il »! per

quam transit in f. Simili modo pro ex. 2 art. praec. prodeunt substitutiones

1,-1, Il 1 2, – 3, –1–3, 4, –3 :t,

2,I. u–9 4, –3 :<,

II), –I I, 11 2, 4. 1

per quas resp. transit forma [lt,<2Ù>

2) in (0- _2> atque haec in illam.

276.

Theorema. UlassiuM, i» guax omnes formae ternariae determinantist dati dû'

tribuuntur mulHtudo semper rstjînita.

814 DE KORMIBSECUNIMGRABUB.

J)em. I. Multitudo omnium formanim {' f," *“) dcterminantis dati I», in

quibus a .= 0, <>"= 0, b non maior quam semissis divisoris comm. max. nume-

rorum a', b'; a" non maior quam b\ manifesto est fini ta. Quoniam enim esse

debet àb'b' =-D, pro 6' alii valores accipi nequeunt, quam -j-1 –1 atque

radiées quadratorum ipsum D metientium (si quae alia praeter 1 dantur) signo

positivo et negativo affectae, quorum valorum multitudo ftnita est. Pro singulis

autem valoribus ipsius b' valor ipsras a est determinatus, ipsorumque b, d' va-

lores manifesto limitantur ad multitudinem finitam.

II. Simili modo finita est multitudo omnium formaram(£' £,' £, determi-

nantis D, in quibus a non =0, neque maior quam i^ + -D; b"b" – aa = A"

non =0 0 neque maior quam J-^D8; b" non maior quam j-a; ai – b'b"–Bet

a'b' – bb" = B' non maiores quam \A". Nam multitudo omnium combinationum

valorem ipsorum a, b", A", B, B' nnita erit; his vero singulis detertninatis. etism

formae coëfficieutes reliqui a', b, b', a", coëmcientesque formae adiunctae

bb – aa" = A, b'h'–aa" = A', a"b"–bb' = J3"

determinati erunt per aequationes hasce:

h"h"–A"SB~aD jyj?' – a'D ™

J31T + b"Da

–a

– 2»–<A

– i» • -° –

**–?¥. – H«' + B'l>" i' _A'Bl–BB" Bb" + Fa°~

JJ ""–

"•"•–

D" –

“b'b'–A1

bb– A bb' + £"a

––

– j~-–

pr-

lam quum omnes illae formae obtineantur, eligendo e cunctis combinatioiiibu.s

valorum ipsoruin a, b", A", B, B' eas, e quibus etiam d, a", b, b' valores integros

nanciscuntur, Ularmu multitudo manifeste crit finita.

III. Cunctae itaque formae in I et II multitudinem finitam classium coti-

stituunt, quae etiam formarum ipsarum multitudine minor esse poterit, si quae

ex ipsis inter se sunt aequivalentes. Iam quum per disquisitiones praecedentes

quaevis forma ternaria determinantis D alicui ex illis formis necessario aequiva-

leat, i. e. ad aliquam e classibus, quas hac formae constituunt, pertineat: bac

classes omnes formas det. D complectentur, ». e. omnes formae ternariae det. 7>

in multitudinem finitam classium distribuentur. Q. E. D.

forïme tebkabiab; 316

40*

277.

Regulae, per quas omnes formae in I et Il art. praec. erui possunt, ex

ipsarum explicatione sponte defluunt; quare sufficiet quaedam exempla apposuisse.

Fro D = 1 formae I hae sex (per ambiguitatem signorum) prodeunt

(0, »>0\ (0, l,±l)o, -1-1, 0 0, :I, fi

in formis II a et A" alios valores quam -f*1 et – 1 habere nequeunt, pro sin-

gulis quatuor combinationum hinc oriundarum b", B et B' poni debent = o,

unde emergunt quatuor formae

/»,–i, ii i–ï, fi»î'~h i-u–u-i)^0, 0,»^' 0,0,0'' ^°» •• • U, », 0'0

Simili modo pro D – – 1 sex formae I quatuorque II habentur,

Vo,±i,oJ' U, ±1, o'1 Vo,

1,

o, o^1y

*> o.o,

t,

o" », o,t>>' vo, o, »>

Pro D = 2 sex formae I proveniunt

/O,2,0^ /O, ï, ±1)Vo, ±1,0' ^o, ±i. <W

octoque formae II

,1, -1, 2\t, 2\ M, 1,-2) /–«, ~t\

0, 0,0'' V 0,0,0'' H, O, 0^' V 0, 0, 0-

M, – 2, J\ (-1,2, 1\ fi, 2,-M f-l,– 2, -1)^0, 0,0'" 0,0,0'' V0, 0, 0'1 0, 0, 0'

Ceterum multitudo classium ex his formis in his tribus casibus prodeuntium

formarum multitudine multo minor est. Scilicet facile confirmatur

I. formam ("'î1') transire in*U,1, 0'

/o,i,

t>\ /o, i, n (o,i,

-nm, i, -i'.

li,-i,t'' ^o, +i, o^' H, ±t,o^' o,o, fi, o'

resp. per substitutiones

i, o, o o, o, i o, o, i i, o, –t

o, i, o I o, i, –i o, t,1, i

Il,s, t, –i

0,0,-1 ±1,1, 1, 0 ±1,-1,-1 0, – I, 1

tbrraam ('» '> -•) autem in ('• –l> '), l~x> '» M per solam indeterminatarum per-vo,o, o' \o, o, o; vo,o, o' l

inutationem. Quare illae decem formae ternariae det. 1 ad has duas reducuntur

816 DE FOHOTRSECUNDIOKADUS.

fo,i, o) [~l'l'~l); pro Priori. si magis arridet, etiam haee(£•'£} accipi

;'u,. u:" Ut Ci, Ue

1» o. ü

potest. Quum forma prior indefinita sit, posterior definita, manifestum est, quam-

vis formam ternariam indefinitam det. t aequivalere formae xx-iyz, quamvis

dofinitam huic – xx – yy – es

II. Prorsus simili modo invenitur, quamlibet formam ternariam indefini-

tam déterminant» --» aequivalere formae – a#2y», quamlibet definitam

huic xai-{-yy-sz.

III. Pro déterminante 2 ex octo formis (II) statim reiici possunt seciuida.

sexta et septima, quippe quae ex prima per solam indeterminatarum permutatio-

nem oriuntur, similique ratione etiam quinta quae e tertia, et octava quae e

quarta perinde proveninnt; tres reliquae cum sex formis 1, tres classes consti-

tuimt; scilicct (u'2* transit in {"' i>u) per substitutionem \l'.V. o( formaque

O,1,U «~ 0,-1,0 1o.o.sf•m, -a-) in

», o, g'

*-», t,o/'\«,

– t, o'1 ^o, t, v'1 U,– t, o' o, ii, «'\0, l, t) ~),–<,0~' 1), l, 1) ~0,– 0' '<, Il, Il

resp. per substitutiones

1

t, o, t t, u,– t | t, o,

U,

0 t, u, 0t, o, uU

1

i,2,u », î, « i,î, – » I »,ï, » «i ».

i, i, u i, i, u i, i, –i i, i, i «, i, i

Quaevis itaque forma tcrnaria cleterminantis 2 ad uliquam ex his tribus est retlu-

cibilis

:0,2,°)'il, l, -2\ /-1, -1,-2

\«, 0, ï, 1, <,J'0i

/

-0,I, U,

1,–2«" t

– II, I, – II, I, –2 U<

loco primae, si magis placet, etiaui (*| J; JJ) accipi potest. Manifeste autom quaevis

forma ternaria definita necessario aequivalebit tertiae – mai – yy – 2zx, quum

duae priores sint indefinitae; quaevis indefinita primae vel secundae, et quidem

primae îjux+ïye, si ipsius coëfficiens primus, seeumlus et tertius simul sunt

pares quoniam facile perspicitur, talem formam per substitutionem quameunque

in sinùlem formam transire. jwleoquc formae secuildae aequivalere non posse

secundae jsx+yy – izz autem, si ipsius col'fficicns primus, sccuudus et ter-

tius non simul pares sunt, sed unus, duo omnesve impares (in talem enim for-

mam ex simili ratione forma prima 2xx+ lyx per nullam substitutionem trans-

formabilis esse poterit).

"VOIOM& TEBSTABIAE. 317

Qaod igitur in exemplis artt. 273, 274 evenit, ut forma définit»(•*• *••*•;1

determinantis –1 1 ad hanc xx-{-yjf-gsi, atque forma indefinita C*2} deter-

minantis 2 ad 2o?o? – 2yz sive (quod eodem redit) ad 2**4- 2yz 'rcduceretur.

per disquisitiones praecedentes a priori praevideri potuisset.

278.

Per formam ternariam, cuius indcterminatae sunt x, x, se", repraesent(mtltl'

tum numeri, tribuendo ipsis x, # œ" valores determinatos, tum forniae binariae

per huiusmodi substitutiones

x = m t -f » u ne' = m't 4- n'u a?" = ni't+ ti'u

designantibus m, «, m' etc. numeros déterminâtes; t, « indeterrainatas format'

repracsentatae. Ad theoriam itaque completam formarum ternariaram require-

retur solutio sequentium problematum I. Invenire omnes repraesentationes

numeri dati per formam ternariam datam. II. Invenire omnes repraesentationes

formae binariae datae per ternariam datam. III. Diiudicare, utrum duae formae

temariae datae eiusdem determinantis aeqttivalentes sint, neene, et in casu priori

omnes transformationes alterius in olteram invenire. IV. Uiiudicare, utrum

forma ternaria data aliam datam determinantis maioris implicet, neene, et in

aisu priori omnes transformationes illius in hanc assignare. De quibus proble-

matibus longe difficilioribus quam analoga in formis binariis alio loco pluribus

agemus: hic disquisitionem nostram restringimus ad ostendendum, quomodo

problema primum ad secundum secundumque ad tertium reduci possit; tertium

vero pro casibus quibusdam simplicissimis formarumque binariarum theoriam im-

primis illustrantibus solvere docebimus; quartum hic omnino exdudemus.

279.

Lemha. Proposais tribus numeris integm quibusainque u. a', a" (qui tumen

non omnes simul -=Q): invenire se.v alios B, £', B", C. C\ C" ita comparâtes utjiat

BC"– B"C = a B"C– B C" = a'. B C– B'C = a

Soi. Sit a div. oomm. max. ipsorum «. a, a", accipianturque integri

A, A'. A" ita ut fiât

Au + A'tt+AV – a

31g DE F0MC8 SECONOi ORADCS.

Porro accipiantur tres integri S, £'. <T ad îubitum ea sola conditione, ut tres

numeri SX– VA, O– $4", <S4'~O. quosresp.per b,b\ W ipsorumque

divisorem communem maximum per 6 designabimus, non fiant simul = 0. Tune

ponatur

a'b"– a"tf=crôC, a"è-a6" = a6C', ab'–db – aGC"

patetque, ipsos C, 0', C" fore integros. Denique accipiendo iiitegros 5J, S91,33"

ita ut fiat

f$ L.-+- ~'b'-i- ~"8"

ponendo«

~a-f-a'-f-. s,a~ == la

et statuendo

B=a~-A~. B'==aS'–A~ B" = a~i"aA"

hi valores ipsorum B, S, B", C, C, C" aequationibus praescriptis satisfacient.

Invenitur enim

aB+a'B'+a"B" = 0

AA+i'A'+6"= 0 unde bB + b'B'+VB"– «té

lam ex valoribus ipsorum C', C" fit

a${B'C"–B"C') = ab'B'-a'bB'–a"bB!>-+ab"B"

1

= <t(&B+6'B'+6"B")-&(aB+a'B'+a"B")= a6a

adeoque B'C"– B"C = a; similique modo invenitur B'C BC" = a',

BC'~B'C = a". Q. E. F. Ceterum analysis per quam haec solutio inventa

est. nec non methodus ex una solutione omnes inveniendi, hic sunt suppri-

mendae.

280.

Supponamus, formam binariam

att-2btu-{-cuu .<p

FORMAETKRNABIAB. 319

curas determinans = D repraeisentari per formam ternariam f\ cuius huléter-

minatae x, al, x", ponendo?

i» = mt-nn, af = nit+n'u, af = m"t-j-n"n

ipsique f adiunctam esse formam F, cuius indeterminatae X, X', X". Tune

per calculum facile confirmatur (designando cofifficientes formarum f, F per lite-

ras peculiares) sive etiam ex art. 268. II, protinus deducitur, numerum D reprae-

sentari per F ponendo

X = m'n"~ »»V, X' == vi'n – mri', X" mri~m'n

quae repraesentatio numeri D repraesentationi formae y per f aditmcta com-

mode dici potest. Si valores ipsarum X, X', X" divisorem communem non I

habent, brevitatis caussa hanc repraesentationem ipsius D propriam vocabimus.

sin secus, impropriam, easdem denominationes etiam repraesentationi formae y

per f, cui illa repraes. ipsius D adiuncta est, tribuemus. lam iaventio omnium

repraesentationum propriarum numeri D per formam F sequentibus momentis

innititur:

1. Nulla repraesentatio ipsius D per F datur, quae non ex aliqua reprae-

sentatione alicuius formae determinantis D per formam f deduci possit. i. e. tali

repraesentationi adiuncta sit.

Sit enim repraesentatio quaecunque ipsius D per F haec X = L.

X' –- L', X" = L"; accipiantur per lemma art. praec. m m', m". ». »', n" ita

ut fiât

m'n"– nfri L m"n – m »" = L',r

m n – m'n – U

transeatque f per substitutionem

â)=zmt + » mi x = m't~ nu j? =. m"t -(- ri'u

in formam binariam ç = att-±-2btu-±-cuu. Tune facile perspicietur. D fore

determinantem formae 'f ipsiusque repraesentationi per f repracsentationem pro-

positam ipsius D per F adiunctam.

Ex. Sit /==.™+.*V4-#y, adeoque F^r. – XX-X'X'– X"X":

B-z – 209; ipsiusque repraesentatio per F haec X=l. X' b. X" 12:

320 DE FORMIS 8ECUND1 OUADUB.

hinc mvenmntur valores ipsorum m, m', m", n, »', «" bi – 20, l, I – 12, Ô, t

resp.. atque <p r– 402 tt- 452 *« -{- 1 45 »w.

II. Si 'f. /sunt formae binariae proprie aequivalcn tes, quacvisreprae-

sentatio ipsius D per F alicui repraesentationi formae -f per f adiuncta, etiam

ulicui repraesentationi forraae x per adiuncta erit.

Sint p, q indeterminataeforrnae transeat <f in per substitutionem

propriam t aj) + 8q,« = ip-$q, sitque aliqua repraesentatio forraae f

per f haec

x == mt-nu, d – m't + n'u, x" = m't+n'u. (J8)

Tune trullo negotio perspicitur si ponatur

am-yn~ g, am'yri = g, am"yn" =g"

gm+a« = h tint+M = AT. *> m"+ ^«" = A"

formam x repraesentatum iri per f statuendo

x=ffp + kq, 4-^jfp + Kq, J=fp + kmq.{K)

calculoque facto invenitur ( propter a h – 6 y= 1) esse

9' h"– g* H– m'n– m"n, g"h –g H' = m"n ~mn, gh'–g'h – mri–m'n ô

i. e. repraesentationibus R. R' eadem repraesentatio ipsius D per F adiuncta est.

Ita in ex.praec.formae 'f aequivalereinvenitur x = 1 3/>p – lO/jgr+lS^

in quam illa transit per substitutionem propriam t = – 3j»-f-<y, « =r: 5/i – 2y;

hinc invenitur repraesentatio formae per haec w = 4j, il?' =– 3/» +

t." <îp–.q, ex qua eadem numeri 209 repraesentatio deducitur. a qua pro-

fecti eramus.

111. Denique si duae formae binariae -f x determinantis D. quaruni in-

determinatae sunt t, u\ p. q, per f repraesentari possunt, alicuique repraesen-

tationi unius eadem repraesentatio propria ipsius JD per F adiuneta est. atquc

alicui repraesentationi alterius, illae formae necessario erunt proprie aequivalen-

tes. Supponamus ç î-cpraescntari per ponendo

,v – mt+nu. a? .= m't+n'u j?" m"t+ nu

PfttttfXE TERNARISIK. 321

41

y vero statuendo

r-},p + hq. V -ff'p + h'q, x"-.t/p + Wq

tttquu esse

»<«"–»*"«'yh"–g"h' .= L

m'n – mn"fh–'gl,"

- L'

mri–m'n–ylt–g'k–L"titit- ittie yli'-y'li =

Accipiantur iutegri ita ut fint Ll+LT-L"l" poijaturquo

«V- «7' = j»/, «7 » r M, n /'– «7 = M"

/V- l"m = N, r»t lmn = N\ Im – l'm= N"

deuique stntuatur

gM+g'M'+jfM.' -a, hM- h'M'+ K'M" = S

<9N+ff'N'ff"N" =y. hN+h'N'+ h"N"

= è%

Hinc facile derlucitur

am + yn^y – liyL+g'L'+fL") = </

tim-i-cn =k – V.kL + k'L+K'L") = /«

sinnlique modo

lx 1!é -t- Y!i = ti 9aa' ~1' li a na"-i- Yat" ~9', ~ré' r !1" lé.

Hinc patct. /«f-f-7««, mt-n'u, m"t-n"u transire per substitutioneni

/=o/»+«y. « = Y/»+aî.(S)

in yp-hq. f/p-h'q. <f"p-U'q resp. uude manifestum est. 'f transire per

substitutionem S iu eaudeutforma»» in quam f transeat ponendo

.a~ gy-j-lelJ, x' = ~jp-f-.ll'q. ,c" =g"p-i-ll"y

adeoque i» fonuani y, cui itaque aequivalet. Denique per substitutiones dobitas

facile inveuitur

ac~liy=

[Ll+L'r+LT)*= 1

quocirca substitutif) S est propria, fonnacque propric aequi va lentes.

322 ϻK FOBMIS 8K0PNDI fiRADBS.

Ex his observationibus derivantur regulae sequeutes ad inveniendum omues >

repraesentationes proprias ipsnts D per F: Evolvantur omnes classes formarum

binariarum determinantis D, et ex singulis una forma ad libitum eligatur; quae-

rantur omnes repraesentationes propriae shigularum harum forrnarum per f (re-

iectis Us, quae forte per f repraesentari nequeunt), et ex singulis hisce repraesen-

tationibus deducantur repraesentationes numeri D per F. Ex 1 et II manife-

stum est, hoc modo omncs reprncsentationes proprias possibiles obtineri, adeoque

solutiouem esse complétant; ex III, transformationcs formarum e classibus di-

versis certo producere repraesentationes diversas.

2S1.

Investigatio repraesentationum ùnpropriarum numeri dati D per formant F

ad casum praecedentem facile reducitur. Scilicet manifestum est, si D per nullum

quadratum (praeter 1) divisibilis sit, tales repraesentationes omnino non dari;

sin secus, metientibus ipsum D quadratis M. jxjji, w etc., omnes repraesenta-

tiones improprias ipsius D per F inveniri, si omnes repraesentationes proprian

numerorum jj, –-etc. per eandem formam evolvantur, indeterminatarumque

FIL n

valores per X, (t, v etc. resp. multiplicentur.

Hoc itaque modo inventio omnium repraesentationum numeri dati per for-

mam ternariam datam, quae alicui formae ternariae adiuncta est, a problemate

secundo pendet; ad hune vero casum, qiû primo aspectu minus late paterc videri

posset, reliqui ita reducuntur. Sit D numerus repraesentandus per formam

,g, 9, i: f.

'.J'J; *“cuius determinans à, et cui adiuncta est forma

(jj jt' j^) =/•Tuuc

huic rursus adiuncta erit(^' ^} *£“) = F, patetque, repraesentationes numeri

AD per F (quarum investigatio a praecc. pendet) omnino identicas esse cum

repraesentationibus numeri D per formam propositam. – Ceterum quand»

onmes coëfficieutes forniae f divisorem communem |x lmbent, perspicuum est,

omnes coGfficientcs fonnae F divisibiles esse per jjifi, quoeirca etiam AD per ji|*

divisibilis esse dfbcbit (alioquin nullae repraesentationes dareiitur); repraesenta-

tionesque numeri D per formam propositam coincident cum repraesentationibus

numeri•-• per formam quae oritur ex F, dividendo singulos coL'fïicientcs per

Hfi, quae forma adiuncta erit ei, quae oritur ex dividendo singulos coëfficien-

tes per (i.

Denique observamus, hanc problematis primi solutionem in uuico casu, ubi

POBSUE TERNARUE. 323

41^

Z> = 0, non esse apptëcabtlem; hic enim omnes forraae binariae dëterroinantk

D in multitudinem finitam classium non distributinttir; infra autem hune casum

ex aliis principiis solvemus.

282.

Envestigatio repraesentationum formae binariac datae, cuius determinans

non =0*), per ternariatn datam peiidet ab observationibus sequentibus

I. Ex quavis repraesentatione propria formae binariae (p, q, r) = 'f deter-

minante D per ternariam f determinantis A deduci possunt integri B, B'

tales ut sit

BB = àp, BB' = – &q, B'B' = àr (mod. D)

i. e. valor expressionis \jk{p, –q, r)(mod. D). Habeatur repraescntatio propria

formae 'f per f haec

a? = et* -f gM, ce' – a't -J- ^w x" = a"t -j- d"«

(designantibus x, w\ a! t, « indeterminatas formarum f.'f); accipiantur iiucgri

y, y, 7" ita ut

(ct'6"– a"6') y +(a"6 – a 6") 7'+ (ag'~ a'd) 7"

= A fiat vel = -f 1 vcl = – 1 transeatque f per substitutionem

a, g, y

a, 6', y'

· a", 6". 7"

in formam(•• «") =g, cui adiuncta sit

(^ *• Çj– G. Tune manifestum111lormam

6, hl, b" 9, CUI a lUnctaSlt B B")

= une mamlcRtum

est, fore a –p, b" = q. a' = r, A" = D, atque A determinantem formae g;

tmde

®0BB = A/)+4'D, JF= – A^4-B"Z>, J3'£'=dr + ylD

Ita c. y. forma 19 tt- 6 tu- 41 uu repraesentatur per xœ-+-x'x'x"x" ponendo

A-=3/-f 5«, a?'– 3f– 4«, /=*; undestatuendo 7 = – 1, f = 1, 7"– 0.

*) Hune casum per methodum nliquantum diversam tractandum hoc loco bwvitatw caussn prsetorimu».

424 DE FORMISSKCL'NDl ORADUS.

eruitur Ji – 171, Jî'=== 27, sive valor I x I 27 cxpr. ~(_ ( t 9, –:t, tt)

(mod. 770).

Ilinc iam sequitur, si l(p, – q, r) non sit residuum quadratum ipsius D.

'f per millain fonnam tcrnariam determinantis 1 proprie repraesentnbileni esse

jjossc; in eo itnquv casu, ubi A, D inter se primi .sxint, A niimerus charactoristi-

cus ibrmae •{ esse debebit.

Il. Quum y, y', y" infinité multis modis diversis detcnninari possint.

etinm alii at(iuc alii valores ipsorum B, B' inde prodibullt, qui quern nexutu

inter se habeaut videanms, Ponamus, etiam ë, c, o" ita comparatos esse. ut

y <T_ «"«' o + ;«"{> ati") g'+ (a S'-a'tf)

g" = f fiât vel = + 1 vel =

fonnnmque f transira per substitutioncm]

«

a. tf, c

a'. C, o'

a", 6". S"

in(g- g/ J")

= g, oui adiuncta(|- |I)

= ©. Tuuc g, g erunt aequivalcutes,

adeoque etiam G et ©, et per applicationeni praeceptorum in artt. 209, 270 tra-

ditorum* invcnitur. si statuatur

,tiy_(}Y)o+(6"y – 8y")a'-f (6y'-(5'y)o"= C

(yV'-yV)c + ;T"«-r«")o'4-(7«'-7'«; = H

formam transire in G per substitutionemt,

0. 0

0, k. 0

't. f

Hinc crit

B >) f D-f k'?3 J3'-=<:îD+fA-S8' o

adeoquc, propter fA = + l, vel .8 = 58, 2?' = 23', vcl J5 = – 35, B' = &-W

mod.I?'. In casu priori valores B,B'). (33, 33') aequivalentes vocaraus, in

posteriori oppositos; repraesentationein formae 9 autem ad quonilibet valorem c

._u.]

*) Emendoex transf. formuef in y, transformationem formae g in ex hac atque transf. fornwin g, transf. fonnac g in (Ji deuique ex hac, per tmuspositionem, transf. formae @ "m a,

I

t«)»MAETBlflfcUttAK; 325

expr. \fà(p, – g, »')(mod.D)t qui ex ipsa per methodmn in I dcduci potcst. yee-

tinere dicemus. lfinc oinnes- valorés, ad quos cadom repraesentatio pertiitet. vpI

aequivaleiitcs ernnt vol oppositi.

111. \'icc versa autem, si ut ante in 1 repraesentatio format' 'f per liai-c

,i' =at-)u etc. ad valorem [li, li') pcrtinct, qui inde deducitur adiumentn

traiisfonnatiouis

eadem quoque ad quemvis nlitun valorem (58, 33') pertiiiobit. qui illi vel aequiva-

lens est vel oppositus; i. e. loco ipsorum y, y', y" alios intcgros ?', r" ampen*

liccbit. pro quibus aequatio [Q], liaec

locum habeat, et qui itn comparati sint, ut cotffficiens et .') in forma ei adiuiuta.

in quam pcr substitutioncin [S)

transit, resp. fiant = i8, 8'. Statuatur cuim

(accipiendo lue et postea signa superiora vel iufcriora prout valores /}. lï

(3î, 2J') aequivalentes siuit vel oppositi), unde Ç, ij ernnt intcgiï trnnscatquc

per substitutioneni

iu formam o, cuius dctcriniuantcm esse A, in forma adiuncta vero eoGfliciciito

4 et 5 resp. = 53, SB' lieri facile perspieietur. Faciondo auteni

« C4- ïî >j + y o a'L + fi'ij + y _u «?'. «"Ç 4- îî"^ + = r

(a'6"-a"OJ'/o + (a"ti-abJ" c'+(«6'– ,x'&)c' = ±\1

-I- .Zi = '~i ti D +B'~='8'-)-(1D

rx, 6, Y

«', H', i

«", 6". fri

a, tf c

a', «', è'

a", tj'\ è"u

J, o, C

0, 1, 1|

o, o, -j-i

326 De FÔÏtStlS SKCl'NDl GRADl'S.

nulla uegotiopntebit, f per substitutionem (8) transiré in g, atque aequationi

'Q'i satisfactnm esse. Q. E. D.

283.

Ex his principiis deducitur methodus sequens, omnes repraesentationes

proprias formae binariae

'f = ptt~{-2qtu-run

determinantis D per ternariam f determinantis à inveniendi.

l

1. Eruantur omnes valores diversi (i. e. non-aequivalentes) expressionis>

V à']), – q, r(mod.D). Hoc problema pro eo casu, ubi f est forma primitiva

ntque .1 ad D primus, supra (art. 233) solutum est, casusque reliqui ad hune

facillime reducuntur, quam tamen rem fusius hie explicare brevitas non permittit.

Observamus tantummodo, quoties A ad D primus sit, cxpressionem A(j», – g, r)

residuum quadraticum ipsius D esse non posse, nisi <p fucrit forma primitiva.

Supponendo enimi;

âp = BB-DA', –ùhj=BB'–DB", âr = B'B'-DA

fit

{DBH–b9)* = (DA'+àp)(DA + br) t

hinc, per evolutionem et substitucndo qq – pr pro D, fitl

[

{qq–pr)[B'B'–AA')-b{Ap + 2B"q+Atr)+àb = 0

unde facile concluditur, si p, q, r divisorem communem haberent, hune etiain

ipsum A A metiri; tune vero A ad D primus esse non posset. Quare p, q, r

divisorem communem habere nequeunt. sive 'f erit forma primitiva.

II. Designemus multitudinem horum valorum per m. supponamusque.

inter eos reperiri n valores, qui sibi ipsis oppositi sint (statuendo n = 0. quando

talcs non adsunt). Tune manifestum est, ex m – reliquis valoribus bines

semper oppositos fore fquoniam cuncti valores complete haberi supponuntur

reijciatur e binis quibusque valoribus oppositis unus ad libitum, remanebuntque

umniiiu valores f (»» + »).i Ita e. g. ex oeto valoribus expr. \j– 1 (19,– 3.41

KOBMABTÉRNABrAB.527

(môd.77©) his (39,237), (171,– 27}, (269,-83), (201, –127), :– 39, – 237:.

(–171, 27), (– 2Q9, 93), (–291, 127), quatuor posteriores suntreiiciendi, tam-

quam quatuor prioribus oppositi. Ceterum perspicuum est, si (B, B') sit valor

sibi ipsi oppositus, 2 B, 2 B' et proin etiam 2àp, 2&q, 2àr r per D divisibiles

fore; quodsi itaque A, D inter se primi «mit, etiam 2p, 2q, 1r per 1) clivisi-

biles eruiit. et quum, per I, in hoc casu etiam p, q, r divisorem communem

habere nequeant, etiara 2 per D divisibilis esse debebif, quod fieri acquit irisi

1) vel = + 1 vel = + 2. Quamobrem pro omnibus valoribus ipsius D maio-

ribus quam 2 semper erit n = 0, si à ad D est primus.

III. His ita factis manifestum est, quamvis repraesentationem propriam

f'ormae y per f uecessario ad aliquem e valoribus remanentibus pertinere debere.

et quidem ad unicum tantum. Quare hi valores successive sunt percurrendi re-

pvaesentationesque ad singulos pertinentes investigandae. Ut inveniantur reprae-

sentationes ad valorem datum (B, B') pertinentes, primo determinanda est forma

ternaria9 – {% 'p 'Ç)

cuius determinnns =A et in qua a=/>, W=q, «' = r,ternaria g 6 61,,CU1USdeterminnns = et in qua a =p, = q, ti r,

ab – h'b" = B, a'U–bb" = B'; valores ipsorum «", b, b' hinc iuveuiuntur udiu-

mento aequationum in II art. 270, ex quibus facile perspicitur. ineocasu. ubi

A. D inter se primi sint, b, b' «" necessario fieri integros fnempe q^oniam hi très

numeri, multiplicati tum per D tum per à integros producunt). lam si vel

uliquis coefficientiura b, b\ b" fractus est, vel formae y non sunt aequivalentes:

îiullae repraesentationes formac per ad (B, B") pertinentes dari possunt; si

vero b, b', a" sunt integri formaeque y aequivalentes, quaevis transformatio

illius in liane ut

talem repraesentationem suppeditat puta

iiianifcstoque iiulla huiusmodi repraesuntatio exstare poterit, quuc jioii ex aliqua

transtbrmatione dcduci posset. Hoc itaque modo ea problcmatis secundi pars,

quae investigat repracsentatiom!s^>'6»/>/7«A-. ad probleina tertium iam est reducta.

x .– at-tiu, ,v = a 't -j- d 'u >r" – a"t -f (> "«

Il, Û. Y

« b y

Ix". Û v"«", d".

323 DE POiUlIS SECl'SOl OHADl'S.

IV.. Ccterum tmnsforai«tioncs diversae fbrmftû in g semper prodiieunt

repraesentatioiies di versas eo solo casa exeepto ubi vnlor (B. B'} sibi ipsi op-

positus est. iu quo bimie transformatioues unîeaiu soniper reprnesentationeMn sup-

pcditant. Supponcndc eniiu transire in g etiain per substitutioncm

u. b\ o

«', 8', c'

a", tf". i"

quae eandem repr. praebet ut transf. praec.) dcnotuudoque per k, f C '] nu-

méros eosik'iii ut in Il art. praec. crit

B =*ÏB-HfI>, B' = Atiî'+;fl>

si ituquc vel uterque fe. f supponitur = +1 vel uterque = – 1, erit (quia»

casi.uu D -~=zU oxelusimus)C = °. «j

– «. unde facile sequitur 0=7, è' –y\

c" –y"; quaru illae dune transforma tiouos iu co solo ctusu diversae esse possunt,

ubi altcr numerorum A*,f est 4* '• a^tliï – • tunc erit B ;= – U. J3'== – 5',

mod. D,. sivc valor (JS. /?') sibi ipsi oppositus.

V. Ex j^s, quae supra (art. 271) de criteriis foriuarum definitarum et iude-

tinitaruiu traditliinus, facile sequitur, si A sit positivus, D negativus, atque 'f

forma uegativti, y ficri fornuun tlefinitam negativam; si vero A sit positivus, at-

(jiu! vel D positivus. vel 1) negativus et 'f forma positiva g evadure forimuui

indefinitani. lani quuni g certo aequivnleutcs esse ncqucant, nisi respeetu

huius (jualitatis .siiniles .siut. manifestmu est. formas binarias detenniiiantis ]iosi-

tivi ne(; non positivas, per tornariam negativam proprie repraesentari non possc,

uwjul' forums binarias negativas per tcnmrinm iudcfiiiitnin detenninantis positivi:

sed per formuiu ternariain prioris postcriorisve speeiei unice binarias posterions

(iiiorisve \va\>. Simili modo concluditur, per formuni ternariain detenninantis

uc^ntivi deh'nitam i.c. positivam unice rej)raesentari binarias positivas, per in-

definitnm unice negativas et formas det. positivi.

2vl.

Quum repriiesentationes improjmne formae bimiriae 'f determiuautis J)

per ternariain r-ui adiuneta est F, t;ae sint, ex quibus repraesen tationes

FORW.vK TKH.VAKfÀK. S2!»

12r

iûtpt-opriae nnmeri 7> per formam F scquuntur. 'f per tnaniibsto tiequit im-

proprie rqrniescntnri. nisi Dfiiotorcs quudmtos implicot. Pomumis. omnmqttîi-

clmttt ipsum 1) metiuiitiapraeter 1 esse ee, e'e, e' etc. quorum multitudo fi-

nitii (.'rit, fiuiu Miipponiinus, nonos.se /i^o;. praebcbitque quaclibet repr. iinpr.

format' y ])er ropraeseiitationem immeri I) per F, ill (pia valoms iiKlctcrniinu-

tarmn filiqiieiH «• mimcris e. < e" etc. pro di vison.1 conununi muximo Imbcbunt:

hoc respecta brovitatis cnussn qmun vis repr. iiupr. fbrniuc 'f ad divisoreiu qtuidru-

tuiu i'^ vol «e vi'l e"c" etc. jH'i'titwre dicoinus. Iurn onmes rt.')*r. forumi1 'f udciin-

doin divisorcin quatlratuin dutum «e tuius rndicoin e positive nrccptiun suppuni-

imis pprtinentfs por régulas soquuutos iuveiiiiuitur, ex quaruui dcruoiistnitioiic

Nyiithetica, propter bravitatcin lue [micferciifla. sumlysis per qiuiiii ovolutao sunt.

ttirile mstitui potorit.

Primo crunntur oiniies tbrmuo binariac (k'tcrmiiiaiiti.s - rjutiu in ibrninin 'f

traiiscunt per substitittioitem pro])riain talem T /.t-j-hi, l.r =\xu, dcsiiîiiau-

tiljns T. U indettmninatas talis forniac; t, « indet. format* 'f • \x intégras

positives quorimi productum itaque =e]; ). integnuu positivuni niinoiTiu quniii

•a sive etiaiu cii'mm. ITnu fortune imu transforniationibus l'pspotidontibus. ira

invoniuntnr:

Aw|iH'tur v. succossivo siiiffulis divisovilms ipsius e positive aeceptis inclii-

sis etiam I et«l, tiatque jji = pro siii<(ulis valoribus detoririinatis ipsoruin

\i tribuaiitur ipsiÀ oinnes valoros integri

a u usque ad ja – 1. quo pacto omnes

transibrniatioiies certo liabcbuutur. lain forma, quae pcr quumvis substitutioni'iii

T = xt-lu, U \i.u in 'f transit, invenitur invostigaudo formam. in qnam z

transit ])or liane t ~=–

V. « =pc/;

sic format1 siii^uli*! tiiinsfonuationi-

bus rt'spondentos obtinclmiitur; sttl ex omnibus his forints eue tautitin rctincndui*sunt. in (|uibus omnes tros coëfiïcientcs evadunt iutvgri

Secundo ponamus <l> esse aliquain ex hisco formis. quue in 'f transeat per

Mibst. = y.t-ï» U \ur, investigentur omnos ropraesentatioucs proprim1

') Si de hoc problbUMU-l'tisiusaijorohic licurot sohitiunum uilinuiliun eonlriilicrc |mssemu.s.Ici stalim

uiivium est. pru x ulîos divhurvK îpsius < acciiiurc nuu «.'ssc iiteiissariura nisi quorum i|ua<lruiuin nictiiitur

••n-flicifiili'iii jiriimim forjiisuf 5. f.'t'KTuni hoc problvmu, vx <juu otiaiii «nlutiuiiift siinDliciorcs prubl. artt. i\

1 «l'rdiui ]iii<siint. ulin ocMsionr Mmira n>«unieri! nobis rt"iiM'\«imu>.

830 DE FOKMI»SKCUN»!ORAOrS,

foi-mue <l> per y(si quae dantur), cxhibeautuique iadefinite per

= 31 T+9Î17. ,v = %'T+Sb'U, = r T-HB'tf • • (»

denique ex singulis '9î) deducatur repraesentatio

lt- = af4-J)«, y – o'IH-tf'», #" = a7-M"« (?

per aequationes

« = x«, a' = *«'. a* = vM" (B1.

Eodem prorsus modo, ut forma <t, tractentur formae reliquae per regulam pri-

main inventae si plures adsiuit), ita ut ex singulis cuiusque repraesentationibus

propriis aliae repraesentationes deriventur, dicoque, hoc modo prodire cunctas

repraeseutationes formae 'f ad divisorem ee pertinentes, et quidcra quamlik't

seniel tantuni.

Dent. I. Formam ternariam per quamvis substitutionem (p) revem

transire in 'f tam obviuin est, ut explicatione ampliori non opus sit: quam-

libet autem repr. 'p)esse impropriam et ad divisorem ce pertinere, inde patet,

quod numeri a%"– a"lY, a"6' – a 6", a&– a'd resp. fiunt = e(W– r®

<f(if'S3 – 2(93"), t'(Sl©'– 9ï'iB), unde illoram divisor comm. max. manifesto erit

e (quoniam '9Î) est repraesentatio propria).

II. Ostendemus ex quavis repraesentatione data ((>) formae 'f, iuveniri

posse repraeseiitatiouem propriara formae determinantis – inter formas per re-

gulam primam inventas contentae, sive Wt valoribus datis ipsorum a, a', a", ë, 6'. I)"

deduci posse valores integros ipsorum x, X, ja, conditionibus praescriptis atquc

valoresipsorum SI.S'.ST, 93, 58', 33", aequationibus (1?) satisfacientes etqui-

dem unico tantum modo. Primo statim patet ex tribus nequ. primis in (JB), pro

x accipi debere divisorem communem maximum ipsorum a, d, a" signo positivo

quum enim Sl'93"– 2f'93', 2l"« – KS", H&–W& divisorcm communem non

habere debeant, etiam S(, St', W div. comm. habere nequeunt,: hinc etiain

M 81'. 21" determinati erunt, nec non p. = (queni nceessario integrum fieri

facile perspicitur). Fonamus, tws integros c,a', a" ita acceptos esse. ut fiat.

a SU + «'$('+ a"9ï" 1 scribainusque brevitatis caussa A1 pro nSP + a'9^|-o"23".

h nm&ls teknarme. 331

atum.s su oui

42*

Tune ex tribus itltimis aeq. (J8) sequttur, esse debere citi-f a'a"-}-a"6"' – *f M-undestatim patet, pro l nnicuro tantummodo valorem inter limites 0 et (i– -1 1

situm dari. Quo facto quum etiam $, 3?', 33" valores déterminâtes naaeiseantur.

nilril superest nisi ut demonstremus hossemper hinc intégras evadere. Fiet

autoni

» = i^) = i-C'î(*a8t)-a(o<«'-fo"6-;)+«it

=J(o"(a"e – «8") -o'(W8'- 2l'ôT)+3t*

=iCï»"{«"ë– ad") a' a S'- a'6)) -HU-

eritque adeo manifesto integer, similiterque facile confirmatur, etiam ipsos © W"

valores integi-os naneisci.– Ex his ratiociniis colligitur, nullam repraesentatio-

îiem impropriara formae <p per ad divisorem ee pertinentem oxstare posse.

quae per methodum traditam vel non vel pluries obtineatur.

Quodsi iam eodem modo rcliqoi divisores quadrati ipsius D tractantur.

repraesentationesque ad singulos pertinentes eruuntur. cunctae repraesentationcs

impropriae formae ç per habebuntur.

Ceterum ex hac solutione facile deducitur tlieorema ud finem art. praec.

pro repraess. propriis traditum etiam ad im proprias patere, scilicet generaliter

nullam formam biiiariain posith-am det. negativi per teruariam negativam reyn-ae-

sentari posse etc.; patet enim, si y sit forma talis binaria, quae propter illud

theorema per proprie repraesentari nequeat, etiam omues formas determinau-

tiumTe • 7?

etc., iPsani '-f implicantes per proprie repraesentari non posse.

quum hae formae omnes detcrnûnantem codem signo affectum habeant ut 'f et.

quoties hi déterminantes negativi sunt, vel omnes évadant formae positivae vel

negativae prout ç ad illns vel ad has pertinet.

2S5.

De quacstionibus problema tertium nobis propositum constituentibus (ad

quod duo priora in praccc. suntreducta). scilicet propositis duabus formis terna-

riis eiusdem determinantis, diiudicare, utrum aequivalcntes sint neene, et in casu

priori omnes transformationcs alterius in alteram invcnirc, pauca tantum hoc loco

iiwerere possumus, quum solutio compléta, qualem pro problematibus analogis

in formis binariis tradidimus. hic adhuc uiaioribus difficultatibus sit obnoxia.

fHSJ m: fohhis skci'mm ghawst

(juumohivtis ml quosda»* casus partieuhues projeter quos pruecipuc haeece tli-

sjressi» institutu est disqui.sitioiiem nostram Hmitabimus.

1 l'ro ilctorniimntL' +1 supra osteimnn est, omnos formas terminas in

«tuas classes distribui. quarum altéra unnics formas imlefinitas. altéra umues de-

Jinitas ne»;ativas continent. Jline statim conchutitar duas formas terminus

qiuiscunque tlct. J aequivalentes esse, si vel utraque sit dt'iiuita vel utraque inde-

tinita; si vero nltem sit definita altéra indefhiita. aeqnivalentiam loeum mm

liubero prunositionis pars posterior innuifesto valet generaliter pro fonuis déter-

minant» caiuseaiique Simili modo daae fornmc quaefiuujne detenaiuantis

– 1 certri si vol utraque definita est, vel utraque iudetiuita.

Duao forrnav detinitac detenninantis 2 sempor aequivalebnntduae indefinitut1

non ut'quivtiloljuut. si in altéra tres eoëflfieientcs primi oinnes [)an*s sunt, in altéra

vero non omîtes sunt pares; in casibus reliquis 'si vel utraque très coism'cieu tes

jmnios simul jiares hahet. vel neutra' aequivalehnnt. Hoc modo atlhuc multu

plures jiropositiones spéciales cxlnbere posseinus. si supra 'art. 277. plura exeiujilti

evoluta fuissent.

Il. l'ro omnibus lù.M-e casibus poterit etiam. (lcsiguauti))ux f, f tonnas

ternarias atiquivalentcs. transformatio una alterius in alteram inveniri. Xam pro

omnibus casibus in quavis classe fonnariun tciraariarum rnultitudo satis parva t'or-

înarum supra assigimta est,ad

(juaruin aliquaui per niethodos uniformes quaevi.s

tonna cittsdetn irlassis reduci possit: lias omnes ad unicain reducere ibidem docui-

mus. Sit /•' liaec forma in ea classe, in quu sunt potemutqtie per prue-

eepta supratradita inveniri transfonnationes formarum

t"in F, née non for-

mai* F in f". Ilinc per art. 270 deduci poterunt transfonnationes formae f

in f iornmeque fill

111. Superesset itaque tantuinmodo, ostendere, quo pacto ex una transfor-

matione tbrnuu- tuniariae f in aliam J"omnes tran.sformationes possibiles derivari

possint. I.I«c problemn pendet ah alio sitnpliciori scilicet inveuire omnes tnrns-

l'onnationes formae ternariae fin se ipsani. Nimirum si f per plures substitu-

tioues t ;t" etc. in seipsam et per substitutioucm in/" transit, pa-

tet si ad uornui.ii1 art. 27 0 combiuetur transformatio [t, cum [~ {-, l~" etc.,

]>rodire transfonnationes, perquas omnus in y" trauseat; praetereaper calculum

facile probatur, quanivis transformatioueni formae f in f hoc modo deduci pusse

t1 conibiuatione transformationis datae \t\ formae fin f' cum aliqua et quidein

FORtoAÊ TEIUMKUK. 3JJ&

r miiea) tmn.sfommt«me fbrmaef m se ipsam. adeoque ex eombiitatiom* tmiistbr-

mationis datae formae- in/' cum omnilms tïansfonimtioinbus format- ia <e il-sam oriri w«wt'.vtrnnsibn)iatioues formae in et quidem singulas sumet tuiitum.

luvostiKutionem omnium trnnsfomintionum fomuic iu se ipsnm uri eum

easum hic restringimus, ubi est forma tlefinita, cuius coiifîicieatfs l. r». fi omuo

^oA). Sit îtti(iuc/l= 'f). t-xhibeaiiturque omnes substitutioiics |t(juas in se ipsam tmiisit. indefinitc pur

«. tf. 7

a. ë'.

I,( (j

u

«", f>y"

ita ut satistiori {lebcat ucquationibus

« rx rx -i- u ~x iz' «'rx"rx" = et .i2

cr tï ii ri ii'U"-i-- ei "ii"'iï.' “'

~y7+«'7'7'+~'YY'-= fi"

rrrxt~-f-y~xR-f-« <x i~ = il

<r rx u ~x" ri 'rx"= u

«Cy+~Y+~"7"-=

lain très casus sunt clistiu^ueudi

1. Quando «. «', «" (qui idem sigiium lmbebunt, onaies sunt hmeiiuulcs.

sii]»ijoiminus «<«', «'<«" (si alius mngiiitudinis ordo adest. oaedein conclti-

.sinnes jirorsus simili modo oraentnr). Tune aequ. prima in '12; iimniicsto requirit.

ut sit «' = a" =0. adooqnc a = + 1 hinc per aequ. 4, û erit Jj – o.

y _= it;

similiter ex aequ. 2 exàt bv" = o, ot proin \i' = ±1 hinc fit. pur aoeju. (i.

y – o, ut per :j, y"= +1 ita ut(ob siguorum ambi^uitatcin indcptsidunti'm

omnino habcantur S traiisformationes diversac.

II. ( junuUo c nuiucris «,«',«" duo sunt aequales e.if.a' – a", tertius

iuaeq uulis .supjionuinus

yj/vwo «<«'. Tune coclcin modo ut in casu pince, erit # .– u. a" – o.

»/+1. })_-», y = 0; ex aequ. 2, :{, u autem facile deducitur. esse di'lKMc

') ("asus r«lii|ui uhi est furmu delinita, ad hunc reduci |iussunt si vi-m i-st fomin indi'Knitii riu-ilm-

ilus umiiinu divi-mi adliibcntln. ti-nnsfurniiuiunuinqtiu multitudainltiiît» frit.

334 DE FORMfS TERSARHSSECUNJ» ORADK8.

vel g' = ± i. =r 0. «• = 0. = + vel 6' 0. y == +*, S" ± I,

f = 0.

Sivero, secundo, «>«', eaedem eonclusiones sic obtinentur: ex aequ. 2, 3

necessario erit t; = 0, Y= 0, et vel tf' = + 1, 7'

= 0, 8" 0 7"= + 1.

vel li' = 0, 7' = + 1 0"' + 1 7" = o; pro suppositione utraque ex aequ.

4, erit a' = 0, et" = t), atque ex 1 a – +1. Habentur itaque, pro utro-

quecasu, 16 transformationes diversae Duoeasus reliqui, ul»i vel a = «".

vel a = «', prorstts simili modo absolvuntur, si modo characteres a, a', a" in

priori cum t, l> l> in posteriori cum 7, 7', 7" resp. commutantur.

III. tiuando omnes a, a', a" aequales simt. aequationes 1.2,3 requirunt.

ut e tribus nunieris a, a', a", née non ex tî. 0", 9", ut et ex 7, 7', 7" bini sint

– U. tertius =+l. Per aequ. 4.5,0 autem facile intelligitur, e tribus numeris

a. fi. 7 unum tantummodo == +1 esse posse. similiterque ex a', ï> 7', née

non ex «". l> 7". Quamobrem sex tantnmmodo combinationcs dantur\r 11 1 ^«^\«.«,^«.«*<u'«. v«»««v.t v«*«*vv

« | a j a a' | a" | a" = + 1

1)"1 e,l 1 e 6" 1 t;

'6'=±1

71717 71717 = ±1

C'oi.!fficientes seni reliqui == «

[t

ita ut ob signorum ambiguitntcm omnino 4 transformationes habeantur. Idem

typus etiam casus praccedentes complectitur: sed e sex columnis primis prima

sola accipi debct, quando a, a", a" omnes sunt inaequales; columna prima et se-

cunda, quando f<'=«"; prima et tertia. quundo «==«': prima et sexta, quando

<t ==YI

Il = a.

Ilinc colligitur. si forma f in aliam acquivaleuton'

,f' transeat per substitutionem

.al =~y~J I -l- GJ VII c hIy syI I -i- VIJ IYx 1I c '\H -i- E1I.N-I-I VII.N11

01111lCStransfo formae f in f' contineri sub schemate sequeute

j! * je1 x ja" a" j = +{èj/ 4-sy+C/)

i

1 "1A'")1

~'j==+(~+-ey-t-),Il 't',1 X f x a: ,Il 1=

O!) +e!} .9)

eu discrimine, ut sex columnae primac omnes adhibendae sint, quando a^=d-~a":

1

1 t

APPIiCATIONES AD TOEORUM FOKMÂltrM BI.VAMAJini* 335

columna 1 et 2, quando a', a" aequales, « inaequalîs; J et 3, quando « – a;

I et 6 quando a = a"; denique columna prima sola quando « «', «" omnes

iuaequales. In casu primo transformationum multitudo erit 4 S, in secundo, ter-

tio et quarto 10, in quinto 6.

«-

QVAJBDAiî APPL1CAT1OXB8 AD TIIEOMIAM FORMAHUM MXARIARUX.

De inucm'eiula forma, e entas dttplicatione forma binai ia datu geiuri* principalùi oriatur.

Ab hnc succincta primorum elementorum theoriae formarum tornarinrum ex-

positione ad quosdcm applicationes spéciales progredimur, inter quas primunt lo-

cum meretur sequens

280.

Pboblema. Proposita forma binaria F = (A, B, Cj determinantis D ad

t/etius jjrinci(Htle pertinente: meenire formant binariam e cuius dupticutionc if ta

oriatur.

Sol. 1. Quaeratur repraesentatio propria formae ipsi F oppositae F'

ATT-' 2BTU-CUU per ibrmam ternariam xx – 2j/z. quae sit

~=ay+6u'. ~=a'r+6~. ~=<x"r+6"~

quod ficri posse e theoria pracc. formarum ternariarum facile eolligitur. Quuin

cuim F per hyp. sit e génère principali, dabitur valor cxpr. \/{A, B. C)(mod. D;.

undc inveniri poterit forma ternaria ç determiuantis 1, in quam [A, – B. C tarn-

quani pars ingrediatur, cuius formae coofficientes omncs fore integros nullo nego-

tio perspicietur. Aeque facile intelligitur, y fore forniam indefinitam (quoniam

per hyp. F certo non est forma negativa;; undc necessario formae xx – lys ae-

quivalens erit. Assignai! poterit itaque transformatio huius in illam quae re-

pi-aescutationem propriam formae F' pcr œx – 2yx suppeditabit. Tune igi-

tur erit

A ^z ita – 2«'«". – li = ali – a' (>" – «"?> C = S fi – 2 (>'()"

S3ft I>B FORSfl» TKIt-VAMIIS SKOfNlM GHAOt'S.

pm> désignât!» numeris «ï>'– «'!>, «'0" – «"$', a"tf– «& I~"per a.b.e resp..

hiporro 'l'J~natl!l nttrrterïx ~tX,b

a txb, a r rx in -cxnrv W oi ij-(I) in tr~r ce.li. l'esp..fri

(livtstm'in eumtuuni'in nou hcibelmnt, eritquo D – bb – lac.

II. Mine utliumcuto obsorvationis ultimue art. 235 facile conriuditur F

trtiusire por substitutioueui 2 ïï'. ïî. tf, l> 2»/ «. «, «" in producturn format1

2«. -–6. <• m se ij).sîun. uoo non per .substitutionem o". 0, fi1, 2u" «'. «, «. 2 m"

in prodnctuiu forinnc «. – />. 2r in se ipsain. Inm divisor conimunis maxinms

iinmoronim 2a. 2b, îc est 2; si itaque*• est irnpnr. 2a, 2b, c divisorem corn-

iiiuiK.'iu non habcbuut, sive '.in, – b, c erit forma proprie priinitiva;siiniliti'r.

« <i est impur, 'a. – b. 2c) forma proprie primitiva crit; in casu priori 7'1 ori-

tur ex dn]<li<-ntiune formae lu. –b, c ], lu posteriori ex iluplicatione forniac

u. – 2c., (Y. tond. -l. art. 235 unus von» Iionun casumn certo semper locuin

liubvliit. Si euim uterque «. c usset par. b uccessni'io foret impur; inm facile

confirmatur esse lT«-|-l)A + li'e – ». a"a-ab-+-a'c – 0. nnde scquerc'tur,

lit. nb. itdvoque etium « et lî esse pairs. liinc autein A et V forent pures,

(juofl ussi't contra hypothesin seeundttin quam F est forma e ftenerc prineipali

îiiU'oquc ex online propric primitivu.. C'otenun fieri i;tiuni potost ut tum «

tum c impares sint. in quo itaque casu duae statim formae habebuntur. e qua-

nun duplioutioue F oritur.

Kt. l'roposita sit forma F = 5, 2,31;. det. –151. Valor e.xpres-

•iionis y-». 2. 'M: hic iuvenitiir 55, 22;; hinc forma ternaria 'f.=

(.'J'1, _*)'<

Imic ja-r ]>niecepta art. 27 2 aequivalens invenitur iornia{),' q"»"-1 in

y transit per substitutiunem 'î] --•«! î'. Hinc udmiricnto transforinatiomuitrn: s. 1 v

in art. 277 traditarutii invenitur, transire in 'f per .substitutionem

]ï', u «' Fit itaque «=ll. = – 17. c – 20; quare quuni « sit iwpnr.i, ii. »>

Fit itnqllc (/ = Il. II = 17, c= 211; (}tUl1'C<lUlllU (l sit impur.

oritur ex dnplkatione forniao II, 17. 10 transitque in productain lmius for-

mac iu se ipsam per substitutioucm – 1. – 7. – 7. – ls: 2. 3. 3. 2.

Ouin'Aux chunicterllittis, jiravtrr «<«, t/iii m «rit. -J •• ar, i imji'iX'iihilrx inmili tant, f/r-iir/n nemi rrxjnwdiiil

2S7.

Circa prublema in art. praec. solutuin sequentes adhuc annotationes adii-

'iiuus.

1. Si forma F \wr substitutionem p. jj p y/ q. tf, # in productuui

e dunbus fonnis 7*. i. /• /•' transforinatur. u traque uti semper sup])o-

ÂPPMCAT10KS3 AU TIIEOKIAM KOKMARUÏI BJÎÎAKMHtM. &J7

13

nimns proprie accepta), habebuiitur aequatîoHea, ex concl. 3 art. 235 facile de-

duceudae

ji'hn – p'h'n – pin'–ïn)– 0

p" – p iu'ut)-~p'kn – k'n)-p'"{hri – lin)– « ~l

p'kri–pk'n–fyn'–ïn)= 0

tresque aline ex las per eommutationem numerorum p, p\ p", p" cum y. q"

oriuudac; «, «' sunt radices quadrutnc positivae e quotieutibus prodeun titras, si

déterminantes formarum [h, i, k' "U, i', A') per det. formne F dividuntur. Si

itaque liae formae sunt ideuticae, sive » = «', h = i – /• = k', illae

uequatione.s trunscunt in lias

h 1If f..

'1.[p"–rn= 0. [p"–p in = 0.

(/–/»'#.=«

undc crit necessario p =p", prorsusquo simili modo q' = q Tribueudo

itaque forrnis h, i,k), i'. !·'j ettsd'c~rrt iHdetcrminntas t, rt designandoque in-

detcrininatas formae F per T, U. transibit F per substitutiouein

T=tpt1 + 2ptH+pmint. U^qtt+îqtU-(fuu i» !htt-2itu-j-kuiï:

U. Si formaJ-' oritur e duplications formae orietur etiam e duplicatione

cuiusvis alius formae cumf

in eadem classe contentae sive classis formae F e

duplicationc classis formae f i\. art. 23S). Lta in ex. art. praec. (5, 2,31) orie-

tur etiam e duplieatione formae (11, – 5,16), ipsi (11, 17, -10) proprit' nequiva-

lentis. Ex una classe, per cuius dupl. classis formae F oritur, omnes (si plures

dantur) invcniuutur adiuniento probl. 260; in exemple nostro alia lmiusmodi clas-

sis positiva non dabitur, quia una tantummodo classisanceps j>roprie primitiva

positiva det. –.151 cxstnt (puta priucipalis) quum ecoinpositione

classis uuicae

ancipitis negativae (–1, 0, –151), cum classe 11, – 5, 10 oriatur classis

– II. –5. – 10, haec erit unica negativo, e cuius duj)licatione clttssis "D, 2, 31

oritur.

111. Quum per solutionem ipsam probl. art. praec. cvictuin sit. quaunis

classent formarum binariarum proprie prinùtivnm (positivam) ad genus priiicipale

IJurtinentem ex alicuius classis pr. prim. ciusdem det. duplicatione oriri posse theo-

a'iua art. 2(51. per quod certi eramus, ad minimum seniissi omnium characterum

388- DE POHMIS TERKAKUS SKCPNDI GftAPm

pro detormi liante noii-qnadroto dttto D assignttbilium gênera proprie primiti va

positiva) respondere non posse, eo iam ampliatur, ut praecise semissi omnium ho-

rurn chttracterum talia gênera revera respondeant. alteriquc ideo semissi nulla re-

spondore possint (V. demonstr. illius tlieor.). Quaro qmini in art. 264 omnes illi

cliaracteres assignabiles in duas species P, Q aequaliter distributi sint, e quibus

posteriores Q fonnis pr. prim. 'positivis) respondere nou posse probatum erat, de

reliquis atttem P incertum maneret, an singnlis gênera semper revera responde-

rent: aune hoc dubiura penitus est sublatum, certique sumus, in toto characte-

rum complexu P nullum adesse, cui genus non respondeat Hinc facile quo-

que deducitur pro determinante negativo in ordine pr. prira. negativo in quo

omnes P impossibiles solosque Q possibiles esse in art. 264,1 ostensura est.

omnes Q rêvera possibiles esse. Désignante enim K characterem quemcunque1

ex Q, f formait arbitrariani ex ordine pr. prim. ncg. formarum det. D, atque K'

ipsius characterem, hic crit ex Q; unde facile perspicitur, characterem ex K, K'

composition (ad normam art. 246) ad P pertinere, adeoque formas pr. primitivas

positivas det. D exstare, quae ei respondeant; ex compositione talis formae cum

f manifesto orietur forma pr. prim. ueg. det. D, cuius character erit K, – Pror-

sus simili ratione probatur, in ordine improprie primitivo eos characteres, qui per (

praecepta art. 264 II. III soli possibiles inveniuntur, mnnes possibiles esse, sive1

sint P sive Q. Haecce theoremata, ni vehementer fallimur, ad pulcherrima [

in theoria formarum binariarum sunt referenda, eo magis quod licet summa sim- 1plicitate gaudeant, tamen tam recondita sint ut ipsarum demonstrationem rigoro- t

sain absque tot aliarum disquisitionum subsidio condere non licent.

Thmria tkcompositioiiM (uni numtsrorum tuai formurum binariarum in tria quadrilla.

Transimus iam ad aliam applicationem digressionis praecedentis ad dis-

cerptiouem tum numerorum tum formarum binariarum in terim quadrata, cui

praemittinuis sequens

2SS.

Problema. Désignante M numerum positivum invenire conditioner nub qui-

bus formae binariae primitivae negativae determinantis – M dari possint, quae sint

residua quadratica ipsnts M sive pro quiGats i sit neuaerus <vlaurartea·isticus.

DEC0»POSmo FOKMAnt'MHIXAttUttL'M IN TWA <è»:ABttATA. S39

434

Sot. Designemus per Q eomplexura omnium charaeterum particalarrom,

quos praebent retationes numeri i tutn ad singulos divisores primos impares)

ipsius M tum ad numerum S vel 4, quando ipsum M metitur; manifesta hi cha-

racteres erunt Rj>. Rp. Mp" etc., denotantibus />> etc. illos divisores

primos, atque 1, quando 4-, 1,8 quando & ipsum M metitur. Praeterea uta-

mur literis P, Q in eadem signiiicatione ut in art. praec. sive ut in 264. lam

distingunmus casus sequentes.

L. Quando M per t divisibilis est, Q erit character integer, patetque ex

art. 233 X, 1 talium tantummodo formarum muncrum characteristicum esse posse,

quorum character sit U. Sed mnnifestum est, Q fore elittracterem forraae prin-

cipalis (1, 0, M), adcoque ad P pertinere et proin formae proprie primitivae

negativae eompetere nou passe; quare quum formae improprie primitivae pro tali

det. non dentur, nullae omnino formae prim. neg. in hoc casu dantur, quae sint

residua ipsius M.

II. Quando 3f=3(mod. 4), prorsus eadem ratiocinia valent ea sola ex-

ceptione ut in hoc casu ordo improprie primitivus negativus exstet. in quo cha-

racteres P vel possibiles erunt, vel impossibiles, prout ilf=3 vel ^7(mod.3^, 1

Y. art. 264, III. In casu igitur priori in hoc ordine genus dabitur, cuius cha-

racter sit Q, unde 1 erit numerus characteristicus omnium formarum in ipso

contentarum; in casu posteriori nullae omnino formae negativae hac proprietate

praeditae dari poterunt.

III. Quando M 1 (mod. 4), Q nondum est character complétas sed

insuper acccdcre débet rclatio ad numerum 4; patet autem, Q necessario in

characterem formae, cuius num. char. sit 1, ingredi debere, et vice versa, formant

quamvis, cuius character sit vel S; 1,4, vel 2; 3,4, habere numerum char. 1.

lam 2; 1,4 manifesto est character generis principalis, qui ad P pertinet adeo-

que in ordine pr. prim. negativo impossibilis est; ex eadem ratione Q;3,4 ad Q

pcrtinebit (art. 263), unde ipsi in ordine pr. prim. negativo genus respondebit,

«uius formae omnes habebunt num. char. 1. Ordo improprie primitivus in hoccasu ut in sequente non datur.

IV. Quando 3f=2(mod.4), ad 2 accedere debet relatio ad S quo fiat

i.hamcter completus, puta vel i et 3, g. vel 5 ct7, 8, quando Jf:=2(mod.S); et

vel \etl, 8, vel Zeth, 8, quando M =6(mod.8). l*ro casu priori character Q;

1^3.8 S manifesto pertinet ad P. adeoque 2; 5en,S ad Q, unde ipsi respon-

•540 iœ fokshs ïERNÀims HEera&t a«.i&b8i

débit genus pr. priin. neg.; simiïique ratione pro posteriori unuirt gémis in ordinc

pr. prim. negativo dabitur, cuius formai: proprietate praescripta praeditaesint.

pttta cuius charactcr U; 3 et 5, S.

Ex his eolligitur, formas primitivas negrttivas clet. – M, qmiruin numerus

«•haraeteristicus sit 1, dari. quando M alicui numcrorum 1,2,3,5,0 seeumhun

iiiodulutn s congruus sit et quittera in unico semper génère, quod improprium erit

quando ilf=E3; talcs formas omuino «on dari, quando i¥ = 0, 4 vel7 (mod.S

('cterum manifestum est, si (– «, –b, –c) sit forma primitiva negntivn, cuius

uuin. char. + 1 '«, b, e) esse fornuuu primitivam positivnm, cuius num. eliur. – 1;l

hino per.spicuun» est, in quinque casibus prioribus quando M = 1, 2, 3, 5, G) dari

genus unum primitivum positivum, cuius forinae lmbeant num. char. – 1, et qxii-

dcm pro Jf=3 improprium, in tribus reliquis vero (quando .¥= 0,4.7/ ta-

lc. formas positivas omnino dari non posse.

289.

Circa repraescntationcs proprias formarum binuriarum per ternariam

Vd. j^yy _j_ gz .-– e theoria generali iu art. 2 Stradita colliguntur haec

I. Forma binaria 'f per proprie repraesentari nequit nisi fuerit forma

positiva primitiva, atque –1 c. det. formac /} ipsiusnumerus characteristicus.

Quare prodeterniinante positivo,

nec non pro negativo – M, quando M est vel

per 4 divisibilis vel forinae S« + 7. llullae forinae binariae pcr f proprie reprac-

sentabiles dantur.

II. Si vero 'f = {p, q, r; est forma positiva primitiva determiuantis – M,

utquc – 1 numerus cliaracteristicus forinae <p, adeoque etiam oppositac [p, – q, r,:

ilabuntur repraesentntioues propriae forinae '? per fad quemlibet valorem datum

CXpr, y – !jK -q, r) pertinentes. Scilicet omnes coëfficientes formae ternariae y

det. –1 'art. 2 S 3) necessario fient integri, g vero forma definita, adeoque ipsi f

certo acquivalens (art. 2&5, I).

III. Multitudo omnium repraesentationumad eundem valorem expr.

\–(j), –q, r) pertinentium in omnibus casibus, praeter M = 1 et M – 2, pcr

art. 283, III aeque magna est ac multitudo transfonnationum formae in q,

adeoque, per art. 285, = 48; ibinde patet, si una reprnesentatio ad valorem

datum pertinens habcatur, 47 reliquas inde derivari, valores ipsorum x. y. z

DKeoMFôsmo votaïxRvx mxAniÀut'ji m vuï\ qlupuata. 341

omnibus quittas fieri potest Miodï* tant inter se permutando tum »ignis oppwntiK

aflïciendo; quare omnes 48repraesentatioues uukam

decompositionem format* •?

in tria quadrata prwlucuut, si ad quadrata ipsa tantum. neque ad ipsorum ordi-

nom radicumvc signa vespicitur.

I\ l'osita multitudinc omnium muueroraiu prituorum imparimu diverso-

rumipsum M metiontiam – ft, hnud difficile ex art. 233 coucluditnr. tuultitu-

dinem omnium valorum diversoruih expressiouis \f – '/j, – q, r)[rt\(A.M fort-– 2^, e quibus per art. 2S3 semissem tantum considorare oportet (quando J/> 2

(juarc multitudo omnium ropraesentationum propriurum forniae -f pur f crit

= 4 S 2 fX = 3.21"1"3: multitudo uutem discerptioumn diversanun in terna

quadrata = 2'1"1.1.

Ex. Sit 'f = \<dtt+Gtu-i\ un, adeoque M = 770; hic quatuor valo-

res .sequentes expr. y'- (19. – », 41) (mort. 77 0; consideraïc oportet 'art. 2S:

39, 237), (171, –27;, (20«, – S3), (291, –127). Ut inveuiautur ropmesenta-tiones ad valorem

(39, 237) pertinentes, primo eruitur forma ternaria ('*• ".>*) =g.f't.fin quani per praecepta artt. 272, 275 transire invenitur per substit'ûtionem

j- a.»•

ij untle habetur repmesentatio formai; -f per f liaec:

.<==~–G:<. ~==–3~–2M. :3 t tc

repraesentationes 47 reliquas ad eundem valorem pertinentes, quae ex horum

valorulll permutatione signorumque conversioue oriuntur, brevitatis caussa non

adscribimus. Omnes vero 48 repraesentationes cundem discerptionem formae 'fin tria quadrata

*f–12f«+3OMtf. 9/f 12/»( + 4««. Qtt+ùtu-t-uu u

pruducunt.

Prorsus simili modo valor (1 7 1– 27 j suppeditat discerptionem in quadrata

;3*4-5m)s, (3/– 4m*. tt\ valor (2G9, –83) liane (f -j- 0 « ^^f-f «!(- '3<– 2»)*:

denique valor (2fll. –127 liane 7+3« "+ 3 f-f-4 «/-f- 3 – 4// s; singulac

hac dccompositioncs 4 S repraesentationibus aequipollent l'raeter lias 1921

repraesentationes autem sive quatuor disoerptiones aliae non dabuntur. quum

770 per nuUam quadratum divisibilis sit, adeoque repraesentationes inipropriae

exstare non possint.

342 DE FOKSHS TERNABttS SECt'ÏÏPÏ GttÀDl».

290.

De formis deterrainantis – et – 2, quae quibusdam exceptionibus obno-

xiae erant, paucis seorsim agemus. Praeinittimus observationem generalem, si

•f, 'f' sint formae binariae aequivaleiites quaecunque (6) transformatio data il-

lius in hnne ex combinntione repraesentationis cuiusvis formae per aliquam

ternariam f cum substitutione (tt) prodirc repraesentationem formne y per

porro ex reprnesentationibtts propriis ipsius <p hoc modo oriri repraesentationes

proprias formae 'f', e diversis diversas, deniqite e cunctis cunctas. Haec omnia

per calculum facillime comprobatttur. Quare una formarum f, y' totidem modis

per f rcpraesentari poterit ac altera.

I. Sit primo y =tt-{-uu, atque y' forma quaecunque alia binaria po-

sitiva det. – 1, cui itaque ç aequivalebit; trauseat y in 'f per substitutio-

nera t – a,t'$u, « = y ?'-}-£«'. Forma ç repraescntatur per teruariam

/= gz-yy-zg ponendo x =t, y

= «, z – 0; permutando x, y, z hinc

emergunt sex repraesentationes, et e singiilis rursus quatuor mutando signa ip-

sorum t, u, ita ut omnino 24 repraesentationes diversae habeantur, quibus unit-a

discerptio in tria quadrata aequipollet et praeter quas alia.? dari non posse facile

perspicitur. Hinc concluditur, etiam formam 'f' unico tantum modo in tria qua-

drata decomponi posse, putain (at'u'f, fyf'-f-8«'/s et 0 quae discerptio

24 repraesentationibus aequi valet.

Il. Sit y = tt-2ua, 'f' quaecunque alia forma binaria positiva det. – 2,

in quam ? transeat per substitutionem t = at't)u\ u =-yt'-{-8u. Tune

simili modo ut in casu praec. concluditur, ç, et proin etiam unico tantum

modo in tria quadrata discerpi posse, puta ç in tt~uu-uu, atque 9' in

'a t' + 6 u"? -f-! [y t' -Bu')2-}- [y t'-{-ou"f; talem dccompositionem 24 repraeseu-

tationibus aequipollerc facile perspici potest.

Hinccolligitur, formas binarias deterininantiutn –1 et –2 respectu mul-

titudinis repraesentationum per ternariam xx-yj/i-gs cum aliis formis binnriis

omnino convenire; quum enim in utroque casu fiat ji = 0, formula in art. praec.

IV, tradita utique producit 24 repraesentationes. Ratio huius rei est, quod duac

exceptiones, quibus tales formae obnoxiae erant, se mutuo compensant.

Theoriam generalem repraesentationum impropriarum in art. 284 explicn-

tam ad formam as<s-yy- zz applicarc. brevitatis gratia supersedemus.

OKÔVPOSîrrO'roAiirÀBGMiM'KABt.Ùit'MIN'.iitÏA'QrADBATA. 34.1

«ini f291.

Quacstio de inveniendis omnibus repraesentationibus propriis ww»*mpositivi

dati M per formam œji-tjy-sg primo per art. 281 reducitur ad investigatio-

uein repraesentationum propriarum numeri –M performam – aix–j/jf–zs

==/; hae vero per praecepta art. 2S0 ita oruuntur:

I. Evolvantur onmes classes formanun binariarum detcrtninuntis – J/,

quftriun formae pcr XX + YY- ZZ= F (cui formae ternuriae adiuucta est f)

proprie repraesentari possunt. Quando M = 0, 4 vel 7 (niod. S), tales classes

per art. 28S non dantur, adeoque M in tria quadratn, quae divisorem conununeni

non habeant, discerpi nequit*). Quando vero M = 1,2, 5 vel 6, dabitur genus

positivum proprie prhnitivum et quando M = 3 improprie primitivum. quod

omues illas classeseomplectetur: designemus multitudinera harum classium per k.

II. Eligantur iam ex hisec classibus k formae ad lubitura, e singulis una.

quae sint 'f 'f', 'f etc. investigentur omnes omniumrepraesentationes propriae

per F. quarura itaque inultitudo erit 3.2!*+s* = K, désignante (i multitiidi-

nem factorum primorum (impnrium) ipsius M; denique e quavis huiusmodi re-

pi*aesentatione ut

X =m t + nu Y–m't-{- n'u Z –

m" t -f ri'u

derivetur repraesentatio ipsius M per .PA"-(-yy+« lmec

x =m'n" – tn"ri, y = m"n – m m", s mri–m'n

in complexu harum K repraesentatioiuim quem per y designemus. oiniies re-

praesentationes ipsius M necessario contentât» erunt.

III. Supercst itaque tantummodo, ut inquiramus num in ii repraesen-

tationes identicae octurrere possint; et quum ex art 2S0, 111 iamconstet, eax

repraeseutationcs in 0. quae e formis diversis e.g. ex 'f et y derivatae sint. r»1-

*) Hacc impossibilitas ctmm indu manifesta, quod summa trium quadratorumimparium ncccKsnriufit– (mod. s) j summa duorum iraparium cumuno pari vel = 2 vel s o summaunius imparis cum duobus pu-ribus vel = l vel = 5 denique summa trium parium vel s 0 vel = 4 sed in casu postremo rcpracseutnti»manifvsto est itnprupria.

^4 DR KOHMIS ÏKHNAKIld »KCUMDt GBADU8.

eessario diversas esse sola cUsquisitio restât, hh reprnesettatianes divers» ei«s-

demfonmie, e. >. ipsius ?, per F, repraesentationes identieas numeri 'M per

w+JtM + producore possiut lani statim munii'fstum est, si inter repraesen-

tntioncs ipsins reperintur hnec

A = Mt+ntt, Y – ui't+Hii, – iit"t-nu r

inter castleni fore haut

X= –tut –nu. Y= – m't – n'u. – – m't~rt"u r

nt«iue exutraque derivuri enudem rejmiesentatiouem ipsius M, quae desigiietur

per [lt]; exHininemus itaque. num enclem [H) ex aliis ndhucrepraesentationibus

tomme 'f sequi possit. Ex art. 2^>0. lit facile deducitur, stntucudo ibi = -fsi omues transformutioiies proprine fonnae y ia se ipsani exliibeantur ]>er

t =at-ilu. u

p-cit

omnes cas repraeseutationes formne«p, e quibus M sequatur. expressumiri per

,»= am~n)t -{-'lim-j-cnn n

j/ =« «,'+ y «' t + li «/ + c «' «

r =f«w/'H-v«" b'/«"+c«" «

At u theoria trausfonnatiomuii ibrinaruni bhjariarum det, negativi in art. I7«.i!i

«•xplieata se<iuitur in omnibus casibus practer M =t 1 et M = 3 duas tall-

tmnniodo transformatioiiesproprias formae 9 in se ipsam dari, puta «, S, y, c'

– 1.0. 11, 1 et = – 1. 0, i), –| resp. qmun enim 'f sit forma primitiva. id

quod in art. 17fl dexignalmtur per m, erit vel 1 vel 2, et proin, prueter casus ex-

ceptos. certo 1 locum ibi babebit Quare ili e solis r, provenire poterit,

tulcoque quaevis repraesentatio propria numeri M bis et non pluries in Q repe-rietur. et multitiido omnium repraess. propriarum diversarum ipsius M erit

.i/v ^.3.2!»+*

Quod attinet ad casus exceptes, nmltitudo tmnsibnnationum propriarum 1

formae ? in se ipsam per art. 179 erit 4 pro M = 1, et 6 pro Jtf=3; reveraquefacile confirmatur, multitudinem repraesentationum propriarum numcroruin I. :<

esse J A', li resp. scilicet uterque nuiuerus unico tantum modo in tria qua-

OECOMl'OSnW WRMAia'M BINAKnBrXf IN ïl<U QUAbBÂTA. 345

44

drata discerpi potcst 1 in t -f o + « 3 in 1 -f- 1 -f t discerptio ipsius t sup-

peditat sex, discerptio ipsius 3 octo repraesentationes diversas; K vero fit = 24

pro 3/=l (ubi {a = 0, k–i) et – 4S pro Jlf=3 (ubi jt=i, *= j).

Ceterum observamus, si h désignât multitudinem classium ilt gencre prin-

cjpali, cui raultitutlo classium in quovis alio génère proprie primitivo per art. 2522

aequalis est, fore A = h pro Jf=l,2,5 vel C (mod. 8), scd A1= \h pro

M = 3 (mod. S), unico cnsa M = 3 excepto, ubi /• = /< = 1 Pro numeris itaque

formae 8w-)-3 multitudo repraesentationiun genemliter est = 2!l+îA, quum in

numéro 3 duae exceptiones sesc compensent,

292.

Discerptioncs numerorum (ut formarum binariarum supra) in tria quadrata

a repraesentationibus per formamxx-yy-sz ita di-stinguimus, ut in illis ad

solam quadratorum magnitudinem, in his vero insuper ad ipsorum ordinem radi-

cumque signa respiciamus, adeoque repracsentationes x =a, y = b, z = c. et

,t- = o', y= A', j = c' pro diversis habeamus, nisi simul a = «', b = b\b' c = c';

discerptiones autem in ««-f-M-f-ec et in «V+W-f-c'c' pro una, si nullo

ordinis respectu habite hacc quadrata illis aequalia sunt. Hinc patet,

I. Discerptioneni numeri M in quadrata aa-f-M-f-cc aequipollcre 4 S

repraesentationibus, si nullum sit = 0 omniaque inaequalia; 24 autem, si vel

unum = reliqua inaequalia, vel nullum =0 atquc duo inter se aequalia. Si

vero in discerptionc numeri dati in tria quadrata duo ex his sunt = 0, mit unum

= 0 reliqua aequalia, aut omnia acqualia, repraesentationibus 6, aut 12, mit 8

aequivalens erit; sed haec evenire nequeunt nisi in casibus singularibus, ubi M= 1

aut 2 aut 3 resp., siquidem repraesentationes esse debent propriae. His exclusis

supponamus, multitudinem omnium discerptionum numeri M in terna quadrata

(divisons communis cxpertia) esse JE, atqne inter has reperiri e in quibus unum

quadratum 0, et e' in quibus duo quadrata aequalia; illae etiam tamquam dis-

cerptiones in bina quadrata, hae tamquam discerptiones in quadratum et qua-

dratum duplum spectari possunt. Tune multitudo omnium repraesentationum

]>ropriarum numeri M per oex -yy -f- zz erit

=24 (<? + *') H- 48 (E~e – er = 48JS– 24 <e + e')

d I>EPOBMISTEKNAKliaSKCCKDIGRÀDUS.

At.c theom fonnarum binaïiamm facile deducitur, e fore vel =s 0 vel = 21*1.

prout –1 sit non-rcsiduum vel residuum quadraticum ipsias M, nec non é?f=o u

vel = 2'A~I, prout –2 non-residuum vel residuum ipsius M, dénotante pmultitudincm factorum primomm (imparium) ipsius M (v. art. 182; expositionemuberiorcm hic supprimimus). Hinc facile colligitur, fore

E = i*k, si tum –1 tum –2 sit N.R. ipsius ill;

E – 2|A"2(A<-f2), si uterque immcrus sit residuum; denique

JE? = 2 1A" *(*•+ 1), si alter residuum sit alter non»residuum.

lu casibus exclusis M = 1 et M = 2, haec formula praeberet JS=? quum esse

dobent E = 1; pro Jf = 3 autem recte provenit E = 1, exceptionibus so

mutuo compcnsantibus.

Si itaque if est numerus primus, fit jjl = 1 adeoque JB = -|-(/t-f-2)

quando ilf=l (mod.S); JS = ^(A+l) quando Jlf = 3 aut ==5. Haecce theo-

reinata specialia ab ill. Le Gendre per inductionem detecta et in oommentatione

egregia iam saepius laudata Hist. de tAc. de Paris 1785 ^.530 sqq. prolata fue-

runt, etsi sub forma aliquantum diversa cuius rei ratio imprimis in eo est sita,

<iuod aequivalentiam propriam ab impropria non distinxit, et proin classes oppo-sitas commiscuit.

IL Ad inveutionem omnium discerptionum numeri M in terna quadrata

sine div. corara.) non opus est, omnes repraesentationes proprias omnium forma-

runi 'f <p', 'f" eruere. Primo enim facile confirmatur, omnes (48) repraesenta-

tiones formae 'f ad eundem valorem expr. \J–[i>, – q, r) pertinentes (statuendo

'f – [p, q, r]) disceri)tionem eandem numeri M pracbere, adeoque sufficere, si

una ex illis habeatur, sive quod codem redit, si tantummodo omnes diversae

discerptiones*) formae ç interna quadrata conscriptae sint, et perinde de reli-

quis ç', ç" etc. Dein si <p est e classe non ancipite, eam formam, quae e classe

opposita electa est. omnino praeterire liccbit, sive e binis classibus oppositis uni-

cam considerarc sufficit. Quum enim prorsus arbitrarium sit, quaenam forma e

singulis classibus cligatur, supponamus e classe opppsita ei in qua est eligiformam ipsi <p oppositam, quae sit = Tune nullo negotio perspicitur, si

') Semper subintelligendum propriae, si hanc expressioncra a repraesentationibus ad discerptionestransferre lubet.

£»EC0MI»0SITIO KORST Attl'M UlSTAlMAUUJI jtî TfiÏA QUAPUATA. 347"

4-r1 i

discerptiones propriao formae 7 indefinitc exhibeautut per

omnes discerptiones formae 9' cxpressnm iri per

nec non ex his easdem discerptiones numerî 31 derivari ut ex illis. Denique

pro eo casu ubi est forma e classe ancipite, attamen neque g classe piïncipali

neque formae (2, 0, |3f) nut (2, 1, \{M- !)) aequivalens (prout M par aut

impar), e valoribus expr. y/ – y, – q,r) semissem omittere licet; sed brevitatis

caussa hocce compendium fusius hic non explicamus Ceterum iisdem com-

pendiis etiam utipossumus quando omnes

reprnesentationes propriae ipsius JI

per i'X1 -f- y y -+- 22 desiderantnr, quum line e discerptionibus facillime evol-

vantur.

Exempli caussa ijivestigabimus omnes discerptiones numeri 770 in terna

quadrata, ubi (a = 3, e = e' == 0, adeoquc E= 2fc. l'er classificationem for-

umrum binnrinrutn positivarum determinautis –770, quant quoniam aquovis ad

normam art. 231 facile condi potest brevitatis gratia non aclseiïbimus, invenitur

classium positivarum multitudo = 32, quac omnes suut proprie primitivae et in-

ter S genera distribuuntur, ita ut sit k– 4 et proin E=i>. Genus, cuius uu-

merus characteristicus – 1, respectu uuinerorum 5, 7, 11 manifesto cliaracteres

particulares lia; ÀT7; A" 11 liabere debet, uiide per art. 203 facile' conclutlitur.

ipsius characterem respectu numeri S esse debere le? 3, 8. Iam in eo génère,

cuius character ietz, S; Rb; N7; Nil, quatuor classes reperiuntur, pro qua-

rum repraesentantibus eligimus formas (6, 2, 129), (6, – 2, 129;, 19, 3, 41',

19, – 3, 41); classem secundam vero et quartam rciieimus, utpotc primae et ter-

tiae oppositas. Quatuor discerptiones formac (19, 3, 41) iam in art. 2S9 tradidi-

mus, equibussequunturdisceiiJtioues numeri 770 in9-f-3til+40O, 1 G-j-25-f-72»,

!sl -4-400 -f- 2S9, 576 + 1 09+ 25. Simili ratione iurcniuntur quatuor discerptio-

nes formae 0 ^-j– 4 jT – (– 1 2«m in

{t– s«is-{-f2^-(-«}s4-(^4-s«;.ï, •– io«/4-;2f+5«)*+i74-2u)'

2f – M;*4-f. 1 0«)*+ 't+ 2 « s. 2 1+ 7k;8 + [/ – S u'f~ 't – 1 «'

!g t -f- h rr)a--[- ( J t-i-. !é re)$- (9 "t-f- Ic"re)s

C^ – *»€)• -+- C5T>– *•)* -|- 0" – A"*»)*

348 DE POBMIS TEBNABIIS SECirKDI ÛKAUES.

resp. c valoribusexpression!» y'– (6, –2, 1 29} tùsee oi-ituidae (4 S, 369), (G2v– 1 4 9),

(92,– I59J, (202,61); uude prodetmt diseerptiones numeri 770 in 225-f-256-j-28&,

l-f-l44_f.O25, 0-14-S14.025, 104-2254-529. Pmeter lias octo discerptionos

aliae non duntuv.

Quae ikI discerptioncs mtmeroruin in terua quudrata divisores communes

habentia attinent, tam facile e tlieoria geucrali art. 2S1 sequuntur, ut non opussit huic rei inuuorari.

Jknwmtratio t/ieornimlionFrrmalianurum qttvmci* iti/ei/nim in tnt numéros trigonales rel quatuor giuitlratit

dirrrryi yn.rarr.

21j:j.

Disquisitiones praeccdentes etiam suppeditant demonstrationem theorcmatis

famosi, omnem numerum integrum positiwtn in tres numéros trigonales diswrpi posse,

quod a Fermatio olim iuveutum est, sed cuius demonstratio rigorosa liactenus de-

siderabatur, Manifestum est, quamvis discerptionem numeri M in trigonales

} *(*+ 1 ) + ly'y-i- 1 'f" .~x (x _i- i )

producere discerptionem numeri 8 3/-4-3 in terna quadrata imparia

'2^4-i)*4-(2^4-i)!î4-(2r+i):!2

et vice versa. Quivis autem nnmerus integer positivus Sl/4-3 per theoriam prae-cedentem in tria quadrata resoltibilis est, quae necessaria erunt imparia (V. annot.

art. 291 resolutiouumque multitudo pendet tum a multitudine factorum primo-rum ipsius S.V4. 3, tum a multitudine classium, in quas formae binariae deter-

minantis – (SJf4-3) distribuuntur. Totidcm discerptiones numeri M in ter-

nos trigonales dabuntur. Supponimus autem, ^i\4.'4-l) pro valorequocunque

integro ipsius x tamquam trigonalem spectari; quodsi magis placeret cifram ex-

cludere, theorema ita immutarc oporteret: Quivis integer positivus vel ipse tri-

gonalis est, vel in duos vel in très trigonales resolubilis. Similis mutatio in theo-

remate sequente facienda esset, si cifraiu a quadratis excludere placeret.

Ex iisdemprincipiis dcmonstratur aliud Fcrmatii theorema, quemeis nume-

rum integrum positimm in quatuor quadrata decomponi posse. Suhtrahcndo a nu-

méro formae 4«4-2 quadratum arbitrarium lllo numéro minus), si uumcro formae

.1.SOMTI0 AËQUAÏiOSlS (tXV + blfj/CZS

i (f. Sé9

4#-{-t quadmtttm par, a numéro formae 4 «4- 3 quadratum impar, residuum in

omnibus his casibns in tria quadrata resolubile crit, adeoque numerus propositus

in quatuor. Uenique numerus formae 4 n exhiberi potest per i*N ita ut JV ad

aliqumn trium tortnarurn praeccdentium pertineat: resoluto autem ipso N in qua-

tuor quadrata, etiam 4!*JV resolutus erit. A numero formae 8»-f3 etiam sub- =

duci potest quadratum radicis pariter paris, a numero formae 8«+7 quadratum î

radicis nnporiter paris. a numéro formae S«+4 qundratum impar, residiiumquo

in tria quadrata resolubile erit. Ceterum hocce theorema iam ab ill. La (irange

demonstratum erat, Nouv. Mêm. tïel'Ac. de Berlin 1770 p. 123, quam deiuonstra-

tionem (a nostra prorsus diversam) fusius explicavit ill. Euler in Actis Ac. Petr.

Vol.[I. j».48. – Alia Fermatii tlieoremata quae praecedentium quasi continua-

tionem constituunt, quemvis numerum integrum in quinque numéros pentagonales,

sex hexagonales, septem heptagonales etc. resolubilem esse, demonstratione hac-

tenus carent, aliaque principia requirere videntur.

Solutin aegiiatiom's nzx + 4yy + az = o.

294.

Theorema. Designantibus a, b, c numéros inter se primos, quorum mdlus ne-

que.– 0 neque per quadratum dMsihilis, aequatio

axx-bifjf-{-cgg= 0 {Q)

resolutimiem in integris non udmittet (praeter fume x = y = s = 0 ad quant non

respicimtis) nisi – bc, ~ac, –ab resp. sint residua quadratica ipsorum a, b, c, at-

que Id numeri signitt i'll aequalibll,' uffecti; his vero quatuor condition ibtt.s lucitm

habentibus (Ï2) in integris molubilis erit.

Dem. Si [W) per integros oninino est resolubilis, etiam per taies valores

ipsorum x, g, z resolvi poterit, qui divisorem communem non habent; nam valo-

res quicunque aequ. y satisfacientes etiamnum satisfacient si per divisoreni

communem maximum dividuntur. Iam supponendo app-bqq-crr = o. at-

que p, q, r a divisore conununi liberos, etiam inter se primi erunt; si onim q, r

divisorem communem jx haberent, hicad p primus esset, |i|* autem metirotur

ipsum app adeoque etiam ipsum a, contra hyp. et perinde p, r; p, q inter se

prilni erunt. Repraesentatur itaque – app per forrnam binariam bjfij~{-czz..

350 UE FO1I.M1S TKKNAR1IS 8ECUN1M GKADU8.

tribùendo ipsis y, valores inter se primos q, r; unde iïlhts deterttimttns – 6e

`

residuiim quadratieum ipsius app adeoque etiam ipsius a erit (art. 154); eodem

modo erit – acRb, – abRc, Quod vero (£2) resolutionem admittere non pos-

ait. si a, b, c idem sîgnum habeant, tam obvium est, ut explicatione non egeat.

Demoastrationem propositiouis iuvcrsac, quae tlieorematispartem secundam

coustituit, ita adornabimus, ut primo formani ternariam ipsi (°»*'c) ,f aequi-~0,0, oivalentcm invenire doceamus. cuius codfficicutes 2, 3, 4 per abc divisibiles sint,

undc secundo solutionem aequationis (S) deducemus.

I. Investigentur tres integri A, B, C a divisore communi liberi, atque

ita comparati, ut A primus sit ad b et c; £ ad a et c; C ad « et b;¡

aAA-bBB-cCC autem per «6c divisibilis, quod efficietur sequenti modo.

Sint 21, B, S resp. valores expressionum \j – icfmod. «), \j – «c'mod. b), \j – a b

raod. c) qui necessario ad u, b, c resp. primi erunt. Accipiantur tres integri

a, 6, c omnino ad lubitum, modo ita ut ad a, b, c resp. primi sint (e. g. omnes

= 1), determinenturque A, B, C ita ut sit

A = bc(mod.b) et ^cG(mod.c)

B = co(mod.c) et ^a9l(mod.«) rC = ab(mod.a) et =65J'mod.i) l

Tune fiet

uAA+bBB+cCC– aa[bm + cbb) = oo(iSl3l-S(3(i; = o (mod.«)

sive per a divisibilis, et perinde per b, c, adcoque etiam per abc divisibilis erit.

Praeterea patet. A necessario fieri primum ad b et c; B ad a et c; C ad a et b.

Si vero hi valores ipsorum A, B. C divisorem communem (maximum) \x impli-

cant, .hic manifesto ad a, b, c adeoque ad abc primus erit; quare illos valores

per (A dividendo novos obtinebimus qui divisorem communem no» habebunt.

valorem ipsius <tAA-bBB-cCC etiamnum per abc divisibilem producent.

adeoque omnibus conditionibus satisfacieut.

II. Numéris A. B, C, hoc modo determinatis. etiam Aa,Bb, Oc divi-

sorem communem non habebunt. Si enim haberent div. comm. |i. hic necessario

primus esset ad a 'quippe qui tum ad Bb tum ad Cc primus est) et similiter ad

mtvaoAEQUA'rtfjs» <ijpjr-^6yy-f-e»-== «. 351

b et c; quore p etiani ipsos A, B, C rnetiri deberet, contra hyp. Inveniri pofc-runt itaqne integri a, tf, y tales, ut sit aAa + ûBb-t-y Ce = 1; qimemntur

insuper sexintegri a d', 7', a", S", 7" tales, ut sit

lam transeat per substitutioncm

in(»!<'«") g !^lllie ipsi f aequivaleus erit), dicoque m', m", « per uhc di-

visibiles fore. Ponatur enim

eritque

d = BrCe – CBb, & = CAa – A°Cc, y = A"Bb~B"Aa

a"=C'Bb-B'Cc, G" = A'Cc – C'Aa, y"=B'Aa-ABL

Quibus valoribus in aequationibus

.substitutis fit, secundum modulum a,

i. e. m', ta", n per a divisibiles emnt; similique modo iidem numeri per c

adeoquc etiam per abc divisibiles inveniuntur. Q. E. P.

g 'f- y'*5" = ^« 7'«"- «Y = Bb a'd"- 6'a" = Ceuy-yu= a, ya"-Wy'=Bb, au-ua= c

a, a', a"

t, 6', 6"

t. r'. f

tf"7_7"S–

A', y"a– a"y = J3', a"ë-6"a = C

ëy'-yg' ya'-ay'B", ag'-6a'=:C"

»»' = «a'a' + fcô'ë'+cy'y'

«r= flaV4-6gffg"4-cy"y"

« = aa'a"+6é'b"f cy'y"

m bcAn£[BBb- CCc) = 0

»»"== 6 c J.'4f (J?J3fe-f- CCc) == 0

» bcAA'{BBb+ CCc) 0

352 DE FOBMW TKKNAHJJS SKt'l'NW OHADUS.

litPonamu», eoneimiitatis caussit. determinantem fonnattim g, i.e.

numerum – abc = d.

patetque. transire per substitutionem [S]

in formant ternariam(*J jr-JJ?) =^' detcrminantis «* quac itaque sub f

contenta crit. Iam dico. huic ibnnae y' necessario aeqnivalereliane $ *•

=y".

Patetenim. 'J'

=y'" fore formain ternariam determinantis 'i porro

quum pur liyp. «, b, c eadem signa non habeant, f erit forma indefinitn. unde

facile concluditur, etiam y' et y1" indettnitas esse debere; quare y'" aequivalebitformae

;|-J-J) art. 277;, poteritque transfonnatio (S') illius in liane inveniri;

manifesto autem per [S" forma j/' transibit in Hinc etiam sub f con-

tenta erit, et ex combinatione substitutiouum (-S1), (8') deduectur transformatio

forniae in Quae si fuerit

nianifestum est, duplicem solutionem aequationis (S) haberi, puta x–$', y~'î.

z = L, et x –è", y – g", g = Ç"; simul patet, neutros valores simul = 0

evadere posse quum necessario fiât

Exmphm. Sit aequatio proposita 7*.f – 15^y + 23za = 0, quae reso-

lubilis est. quia 315 iÎ7. –ICI 12 15, 105^23.Habentur hic- valores ipsorum

'4, (S hi 3, 7. 6: faciendoque a – b–ç = I invenitur yl = 9S>, II = – 3<i.

C – s. Hinc eruitursubstitutio j -î: ?: .JJ}Í per quam transit in

142(1, M1U0, -734M TLTÎ^, fit«.S». »'

-ïlli. -134«, 4735^–tlmC fit

~,20, 1

-2115. -1:~6, 4.35

nul = 3/. m =± J/'tf. = il/'V. n = A'< «' = A", “" y

hv+WLS+è"K'è*£'tc-m = rf. q. e..s-. S

.o.( Î2IS,

2ï,

O) = J-Î4H, 2, -2s

22

“• ,3M0*O0, «, -3-

1U320, 2i, – j – I. – 18 in, 4ï3i.

ad, a, «"

tid, «', g"

7'. 7"

è, o', 'è"

s, s', e"f

'< I» • !>

HOIXTIO AEQl'ÀTiOXfcï {t M -{• fy'ffi -{- C g Z – 0. 353

45

Forum y trunsire mvtïnitw itt(J'J'JJ; per substitution©»*»

1 J. i. Il

j – ïllu, – liHiti, – »lï)f»SfM

– m, – ;ja, –i n'nv

qua cum (£) eombinata prodit luiec: j -V. '»•–»!¡

per quam transit in y".Habemus itaquc duplicom aequationis propositae solutionem >v =

1 1 y= <),

j = 4, et x == J2, jf == – 9, r ^= :); posterior siinpliciar redditur dividcndo

vnlores per divisorem comuiuucm 3, uudc ,if = 4, j> = – -3,

2f>5.

Pars posterior theorematis art. praec. etiaai sequenti modo absolvi potest.

Quaeratur integer h talis, ut sit a h == S(mod.c), (characteres 21. SB, S eadem

siguifientione accipimus ut in urt. praec), fiatque ahà-j-b = ci. Tune facile

perspicitur, i fieri intcgrum, numerumquc –al esse determinantem formae

btuariae (a c, a A, i).?. llaec forma certo non crit ])ositiva '^quuni enitn per

hyp. a, 0, c eadem signa non habeunt, ab et ac simul positivi esse nequeuntj

porro habebit nutnerum cluiractcristiciuu – 1 quod syntlietice ita doraonstramus

Determinentur integri e, e' ita ut sit

e== o:mod.«) et ^©;niod.t;; c e' =31{mod.«; et = AS(mod.A ly

uritque {e, e) valor expr.y' – (ac, ah, i) imod. – «A,. Nam secuudum modulum « erit

ce 0 = – rtc, <?c = u s – «A

ce ce = î(2( – 6 c =: – e z i adeoque cV = –i

secundum modulum b autem erit

ce =: SBS s – «c, c«e = A3J93 =; – «c/<li adeoque 6'e'= – «/<

cc«fV = //AS893 – «c/< – cc« adeoque eV = – i

i.'tiedem vero tres congruentiae quae secundum utrumque modulum a, h locum

lmbent, etiam secundum modulum «4 valebunt. Hiuc per theoriam formarum

temariarum facile concluditur, y repraescntabilein esse per formait) ("'• J* "i:

sit itaque

ar.tt-2alatra-iran ~= – c:M)''+2(Y/+CM)(6/+~<;

354 )>Rferons 'vmsktattt mcvsm shadi's.

eritque, multipliesndo per c,

a!ct + kH'f-buu – c[at-+&u)i-+-2e'yt+èu){M+(,u) di

llinc patet, si ipsis t, u taies valores deicrmiimti tribuantur, ut vol yt-{-Sti.

vel s^f-C« fiat =0, liaberi solutionem tiequntionis Q, cui igitur satîsfiet tum per

M~cc – yh, y=y, s – ac – tiy

tum per

= Ce– «A. # = e, « = aC – ^«

t

simul manifestam est. neque illos valores neque lios simul =0 fieri posse; si1)

enim cc-–y/< = 0, 7 = 0, fieretetiam 8 = 0 atque y = –(at-t>uf, unde

rti = 0 contra hyp. et perindc de alteris. – In exemplo nostroinvenimus for-y

mam 'f hanc '101, –63, 2-1), valorem expr. \J– y (mod. 105)= (7, – 51), at-

quc repraesentationem formae 'f per ("Jj^'J)liane, h

ç – _(13« îtt}' -f- 2(11 *– 4w)(15*– 5«)

lliuc prodeunt solutioncs x = l, y – 1 1 « = – 9 a? = 20, = 15, ar = – 5, T

sive dividende per 5 et negligendo signura ipsius ?, ir = 4,^ = 3, = 1.

Ex his duabus methodis aequationcm Q solvendi posterior co praestat. a

quod plerumque per numéros minores absolvitur; prior vero, quae etiam per

varia artificin hic silcntio praetereunda contrahi potest, elegantior videtur ea im-

primis ratione, quod numeri «, b, c prorsus codem modo tractantur, calculusquer

per horum permutationem quameunque nihil mutatur. Hoc secus se habet in

methodo secunda, ubi calculus maxime commodus plerumquc provenit, si pro «

accipitur minimus, pro c maximus trium numerorum datorum, uti in exemplo

nostro fecimus.

De. uwtltmln ;«V quant ill. Lr (tendre theorema fiimlamentah tractacit.

290.

Elcgans theorema in artt. praecc. explicatum primo inventum est ab ill. Le1)

(iendre, Ilist. de l'Ac. de Parts 17S1 p. 507, atquc demonstrationc pulcra (a dua-

bus uostris omnino divcrsa) munituin. Simul vero hic egregius geometra l)oc loco

operani dédit, demonstrationem propositionum, quae cum theorematc fundamcntali

mtiriaAfqcjiTi6m'a>v'J!+tijrjf-{-es3]'ù. 355

45*

Sect. prftee. cohveniimt. inde derivare, quitta aâ hiiue scopum non idoneaiH «obis

videri iam supra ileclarnviraus, art. 15 t. Hic itaque locus erit, hanc demojistra-

tionem (per se valde elegantem) breviter exponendi iudiciique nostri rationes ad-

iungendi. Praeniittitur sequeus observatio Si mmeti a,b,c omnes sunt ~l 1

modA), aequatio ax,v-byy~ est – 0 ;2) solitbilis esse nequit. Fticillime

enim perspicitur, valorem ipsius nxx+byy-czz necessario in hoc casu fieri

vel ~l, vel ~2, vol = 3(mod. 4], nisi omnes x, y, z simul pares accipian-

tur si itaque Q solubilis esset, hoc aliter fieri non posset quam per valores pares

ipsorum os,y,z, Q. E. A., quoniam valores quicunque acquationi Q satisfacien-

tes etiamnum satisfaciunt, si per divisorem cominunem maximum dividuntur, undo

necessario ad minimum unus impar prodire débet. Iam casus diversi thcorcmatis

demonstrandi ad sequentia momentnreferuntur:

I. Designautibus jt, numéros primos formae 4 n + 3 (positivos iiiac-

quales), nequit simul esse pRq, qRp. Si enim possibile esset, manifestum est

statuendo 1 = a, – p-=ib, – q – c, omnes conditiones ad resolubilitatem

aequationis «•*•*•-}- byy-j-czs = 0 adimplctas esse (art. 294); eadem vero per

observationem praec. rcsolutioncm non admittit; quare suppositio consistere ne-

quit. Hinc protinus sequitur propositio 7 art. 131.

II. Si j) est numerus primus formae 4n-{-i, q numerus primus formae

4« + 3, nequit simul esse qRp, pNq. Alioquin enim foret ~pEq, atquc

aequatio xx-pyy – qzs = 0 resolubilis, quae per obs. praec. resolutionem

respiût. Hiuc derivantur casus 4 et 5 art. 131.

III. Si p, q sunt numeri primi formae 4»-f-l. nequit simul esse pRq,

qNp. Accipiatur alius numerus primus r formae 4 m+ 3, qui sit residuum ip-

sius q et cuius non-residuum sit p. Tune erit per casus modo (II; demonstratos

tjRr, rNp. Si itaque esset pRq, qNp, foret qrRp, prRfj, pqXr et proin

– pqEr. Hinc aequatiu pxx-qyy – rzz = 0 resolubilis esset contra obs.

praec; quare suppositio consistere nequit. Hinc sequuntur casus 1 et 2 art. 131.

CoiKÏnniiis lue casus sequenti modo tractatur. Designet r numerum j>ri-

mum formae 4 + 3 cuius non.residuum sit p. Tune erit etiam rXp, adeo-

que supponendo pRq, qiïp) qrRp, porro –pRq, – jiRr et proin etiam

– pRqr: quare aequatio œ<x+pyy – qrzz = (\ resolubilis esset contra obs.

praec. Hinc etc.

IV. Si p est numerus primus formae 4»-f-l. y primus formae 4»-f-3,

4 5*ç

~â6 PEFOR31.R' TEæMRnS ORAI)1*9.

nequit simul essepRq, qNp. Accipiatur numerus primus auxiliaris r format'

4»-f-t qui sit noiwesiduum ntriusque p, q. Tune erit (per II) q Nr et (per

IIi; y>AV; hinc //f/Ai*; si itaquo essot />#< ^IV/», haberctur etiam prXq,

– prliq, qrlip; quuro aequatîo pxw – qgy + rsz– 0 rusolubilis osset.

Q. B, A Hinc dorivantiir casus et 6 art. 1 ai.

V. IJesignantibus />, y numéros primos formae l n + 3, nequit simul

esse /»ATy, y A/». Snpponeijflo enim fieri possr, et necipiendo numerom primiuiï

auxiliarom r ibrinae l«-f- 1, qui sit nou-residiiuni utriuxque j>, q erit qrlip.

prJiq; porro (per II) ^AV, qNr, mule pqlir et –pqlir; hinc aeqnatio

– /> j'jr – | + rzs =«= 0 ])ossibilis contra obs. praec. Hinc deducitur casus

S art. 131.

1

2!>7.

J)emoustrationem praec. proprius contcniplando quisque facile intolliget, oa-

sus 1 et II ita ubsolutos esse ut nihil obiici jwssit. lt dcmonstrntione» casuiun

reliquorum innituntur existeutiae nmncroiiim auxiliarimu qua uondum demon- a

strata methodus manifeste) oinnem vim perdit. Quae suppositiones etsi tain spe-ciosac sint ut minus attendenti demoustratione ne

opus quidem esse videri pos-

sit. atquc certc theorenia demonstrandum ad maximum probabititatis graduni

evehant, tamen si rigor geometrieus desiderctur, neutiquam gratuito sunt admit-

tendue. Quod quidem attinet ad suppositionem in IV et Y, exstare uumeruin

priinuin r formae •!«+•. qui dnorum aliorum primorum datorum p, q non-

residuum sit, e Scct. IV facile coneluditur, omnes numéros ipso Ipq minores ad

ipsutnque primos (quorum multitudo est 2(p~ \)[q– \)~) in quatuor classes

aequaliter distribui, quurum una continent uon-residua utriusque p, q, très reli-

quac residua ipsius p non-residua ipsius q, non-residuaipsius p residua ipsius

q, residuautriusque p, q; et in singulis clnssibus semissem fore numéros formae

J«-f-1, semissem formae 4»-f-3. Ilabebuntur itaque inter illos[_p – \)(q–\ i

non. utriusque p, q formae 4«+i, qui sint y, g, /etc.; numeri

l p– I. H – 1 } reliqui sint hjt'ji" etc. Manifeste omnes numeri in formis Apqt-g.

^ifî' + y. *pqt-t-g"ete. (G) contenti quoque erunt non-residua ipsorum p, qibrinae -l«-(~ 1. lam patet, ad suppositionem stabiliendam demonstrari tantum-

modo deberc. sub formis (<?) certo contineri numéros primas quod sane iam perse valde pluusibile videtur. quum hae formae una cum his \pqt-h. \pqt-ti qU:.

sôUT-io AEQtAïiosis «uijr'-ï-hjfji .-f-ess = »>, 357

[H] omnes numéros ad ipq pritnog adeoqne etiam omnes nonteros absolate pri-mos (prnetor 2,p, q) comprehendant mtllnque ratio adsit, quin numeromin pri-moram séries inter illns formas aequalitcr distributi siut. ita ut purs uctuva ref'e-

ratttur aù [Q), rcliqui ad '). Attamen perspieuum est, tale ratiocinium a ri-

gorcgoometricoloiigeabes.se. lU. Le Gendre ilrse fatetur, demonstmtiononi

theoremntis, siùj tali forma î<t-l, designantibus k, numéros inter se primas

datas t indefinituni certo contincri numéros primas satis difficileni videri niu-

thodumque obiter addigitat, quac for.san illuc eondueere po.ssit; multne vero dis-

quisitiouos praeliiniiuires necessariac nobis videntur, antuquain liaece quidein vin

ad deinonstrationem rigorosam pervonire liceat. – C'irca aliam vero supposi-tionem (III, met)», sveunda) dari Mumcrum primuin r formae 3 rt -3, cuius nott.

rcsiduuni sit alius numerus primus datus p fornine 1 n -f- 1 ill. Le Gendre nihil

omjiino ndiccit. Suiira demonstravimus 'atrt. 12!)}, numéros primos quorum X.li.

sit p certo dari, sed mothodus nostm haud idonca videtur ad existentiam talimu

numerorum prirnorum qui situai sint formae i n 3 ostendendam ait hic requi-

ritur neque vero in dem. nostra prima), (eteruin veritatem quidem huius suppo-

.sitionis ita facile probarc possumus. Per art. 2S7 dabitur genus positivum forma-

ruin biiiariarum det. – p, cuius character :$,l; Kp\ sit la.ke) talis forma

atqne « impar (quod supponere licet). Tu m a erit format' -I?j-f3 atquo vol

ipse primus vel saltem factorem primum r format' J»-f3 implicaliit. Erit au-

tem –plia, adeoquc etiam –pRr, unde pNr. At probe notandum est.

propp. artt. 203. 2S7 tlieoremati fundamentali inniti, adeoque cireulum vitiosuni

fore, si qua huius pars illis sujwrstruatur.–

Dcnique suppositio in methodo

prima III adhuc multo magis gratuita est, ita ut non opus sit plura de illa hit-

adiicere.

Liceat observation cm addere circa casum V, qui per methodum pruec. qui-

dem non satis probatur, attamen per sequentetn commode absolvitur. Si illk si-

mulessct pNq.qNp, foret –pRq, ~qRp, undc facile derivutur –1 esse

numorum characteristicum formae [p,<hq), quac proin, (secuudum theoriam for-

inaruinternariai-um) perfonnam $x-j/y-sz repraesentari potorit. Sit

pt 1 4- q un :.= Utt- 6«* + [a't + Vu? + [at + fî"«

sive

a « -4- a'a'-f- a"a" =p lî !Î + ti'(i'-(- d"fi" = q, a 6 + a'6"+ a%" u

&8# BE FORMIR -TERVARIK SECt-KBI GlUDtS.

eruntqucex

aequatt. 1 et 2, omnes a, a', a", tf.'ff, 6" impaires; tant veiro nm-

nifesto aequntio tertia consistere ncquit. – Hmul absimili modo etiam casus II

absolvi potest.

29 S.

PkobIjKMa. Designantibits a, b, c numéros qitoscunque, quorum tant m nullus

= (i: invenire conditiones resolnbilitatis aeqnationis

axx-byy-czz – 0 (<o).

Sol. Sint aa, tftf, y y quaclrata maxima ipsos bc, ac, ab resp. metientin,

tiatque aa =tiyA, 66 =

ayB, yc = atfC. Tum A, B, C erunt integri,

inter se primi; aequatio (w) autem resolubilis erit vel non erit, prout haec

A X X 4- B Y 7+ CZZ= 0 (S)

resolutionem admittit vel non admittit, quod per art. 294 diiudicari poterit.

Dem. Ponatur bc = Slaet, «c = ^ë6, ai = 6yy, eruntque 8(, 53, S

integri a factoribus quadratis liberi atque 3l = 5C, S3 = ^4C, <$. – AB; hinc

31586 = (iJSC)*, adeoque ABC = Atl = J5S3 = CS necessario integer. Sit

numerorum 3(, ^1S( divisor comm. max. m, atque 2I=#m, ylSf = A/«, eritque

g primus ad h, nec non (quia 31 liber a fact. qu.) ad m. lara fit hftm–gAA%

= </53S, unde g metietur ipsum h h m, quod manifesto impossibile est, nisi

y= +1. Hinc 51 = +w, ^4 = +/«, et proin integer, et perinde B C

integri erunt. Q. E. P. Quura 31 = B C factores quadratos non implicet,

necessario B, C inter se primi esse debebunt; et similiter A ad C et ad B pri-

mus erit. Q.JS.S. – Denique patet, siaequationi (Q) satisfaciat X=P, Y=Q,

Z=B, aequationem (w) resolvi per a = aP, ^i=0Q, z = yR; et vice

versa si huic satisfiat per x- –p, y = q, z – r, illi satisfieri per X = tiy/>.

Y=uyq, Z~a.tr. unde vel utraquo resolubilis vel ni'Utra. Q. E. T.

Mvpraeiurntatin cifrut per formas ttritarias quiiscuiK/Ki:

2<J9.

VwmuatA. Propost ta forma teruaria

f = axa>+a\i\v+ax'\r"2bœ>v'i- ib'xjf+ib'jtJ

R1BPRÀÉ3RNTATIO CIFHAR PEft FORMAS TEimiHAS QfrASCUSQCE, 359

invenire, an cifirà per eam repmexmtun possit {per valons indeterminatmim qui non

simul = 0).

Sol. 1. Qttando a = 0, valores ipsorum x, x" ad lubitum assumi possunt.

patctque ex aequatione

«A-V-f 26a/o-"+«W = -ïx[Vx"-{-h"x')

x inde valorem determinatnm rationalem nancisci; quoties pro x hoc modo

fractio proveint, oportet tantummodo, valores ipsorum x, $', x" per fractionis

denominatorom multiplicare, habebunturque integri. Unice excludendi sunt t

taies valores ipsorum x", qui reddunt l'a!' h" je = 0, nisi simul faciant

a*V+ 2 *V+ oV.j?"= 0, in quo casu 4i? ad libitum accipi poterit. Simul

patet, hoc modo omnes solutiones possibilcs obtineri posse. Ceterum is casus, ubi

V et b" = 0, hue non pcrtinet; tune enim a1 in f non ingreditur, sive f est

forma binaria, cifraeque repraesentabilitas per f e theoria talium formarum diiu-

dicari dcbet.

Il. Quando vero non est a = 0, aequationi /= o aequivalebit haec

{«* + iV+ bYf – A'M+ 2 Bx'x"– A'x'Y = o

ponendob"b" aa'^A', a b b'b" = £, b'b'~aa" = A'

lam quando hic A' – u, neque vero J3= 0, manifestum est, si a<B-b"té-b'x"

atque ,v" ad lubitum assumantur, x et x' inde rationaliter determinari, et quando

integri non fiant, saltem multiplicatorem idoneum integros productunun. Pro

unico valore ipsius x" puta pro A'" = 0 valor ipsius a&<b"x'b'x" non est ar-

bitrarius sed quoque = 0 poni debet; tune vero x' ad lubitum assumi poterit

valoremque rationalem ipsius x producet Quando vero simul A" et B = 0.

patet, si A' sit quadratum = kk, aequationem /= 0 reduci ad has duas lineares

(e quibus vel una vel altéra locum liabere débet

aa. _|_ fjé+ (//+ k) x" = o, a -f 6V+ 4'– A) .t"o u

si vero (in eadem hyp.) A' est non-quadratus manifesto solutio aequ. propositac

l>endet ab his (quae simul locum liaberc debent) x" et ax-l>'x' rt.

360 1»b FOHMIS tKJtNAlUIS ..HKUUNN QHADUS.

t'eterum vix nécessamtm erit observais, methodhm in 1 etfam «pplicari

pusse, quando «' vel «" – », methodumque in II, quundo A' – 0.

III. Quando vero née a née A' – 0 aequationi = t> ncquivalet hnec

«lesiguando.pcr i> tletenuiiiautcui formucf sivu per Du numerum BB – A' A! »

Quando D == o, solutio simili modo se habubit ut irt fine casus praec; scilicet

si /l" est quadratum= kk, aequ. prop. rcducitur ad lias

si vero A" est non-quadratus fieri clebet

« .f + 6V+ bY o /1V– 2i .c" o

Quando autem D non -u, rcducti sunms ad aequationeni=

A"tt– uu-Davv- o

cuius possibilitas per art. praec. diiudicari potest. Quodsi haec aliter resohi

acquit, quani per t o, « = 0, v =^0, manifeste etiam proposita aliain .solu-

tionem non admittet, quam liauc ,v^0, j.' 0 ,i"0; si vero illa aliter

solubilis est. c valoribus integris quibusvis ipsorum t, u, v derivabuntur per

u(>quutioues

& t. A"a"13,t~' == M t·

sultom valores rationales ipsorum ,r, ,r', x", e quibus, si fractioues involvunt. ])eridotieuin tuultiplicatorcnt intcgri elici poterunt.

(juamprimum autem mm solutio oequationis /-= 0 in integris inventa est.

])rol)lcrna ad casum I reduci, et perinde ac illic solutiones omnes exhiberi pote-ruut sequenti modo. Satisfaciaut aequationi /= 0 valores ipsorum x œ, x" hi

«, a', «", quos a factoribus communibus libcrossuppouimus, accipiautur 'per

ilrtt. 40, 279) integri g. b", 6", y, y', y" taies, ut sit

M~Y'a'(ë"y-~Y")+a"(6/-6'Y, t

KKPttilESESTATIO CIFRAÎK 1»ËB "POÎÛÎAS TKRÎÏAKIAS QL'ASCU.VQfE. 36 j

•16G

transeatque f pet substitutionem

x = ay+ ey-f ry, y = «> + ey+ ry, y = «> + ey+ 7y {S,

irt

.9=

c yy -i- i~J~J c"J ,l ,i-1 2 w-t- ~J n-f- 2 cl'

Tune manifesto erit c = 0, atque g ipsi f nequivalcns, unde facile concluditur.

ex omnibus solutiouibus aequatiouis y = u cïerivari (per S) omnes solutiones

aequationis f~Q 0 in iutegris. loin ex 1 sequitur, omnos solutiones aequ. g = 0

contineri sub formulis

j5/ = –t[c']jp+2dpq+e"qq), j/'=2i:(d"pp-±d'pfj), y=ls'il"pq-d'<ni

designautibus p, q intégras indefinitos, z nuinerum iudefinitum, pro quo ctiaiu

fractiones accipi possunt, modo ita ut y, J, y" integri maneant. Ilis valoribus

ipsorum y, y, y" in [S) substitutis, oinnes solutiones acqu. /= 0 in integris

hnbebuntur Ita e. g. si

== A'A'+~t-A''V– 4~ 2~+ &·

atque una solutio aequationis /= 0 habetur &'= 1 x'= – 2, .c" = 1 feciendo

ïî, 6', d", y, f, f 0, 1, 0, 0, 0, 1 prodit

9=

y/4- 4/H2jry

Hinc omnes solutiones aequ.= 0 in integris contentae erunt sub formula

y = – *{pp – 42J'i + 3ï}, = 12«jJ?, /= \%sq<i

et proin omnes solutiones aequ. = sub hac

x = –z{pp – <[pq + qq)

4 =îs{pp+2pq + qq)

x" = – <ï(/>^ – ipq – n??)

Sniuti" generalis ac</ita/t'iiiuni iiuMerminnfarum stcundi i/ruiltis duat incnffiiitns imp'icaiitium

per quantitutr* ratiouaks.

300.

E problenmta art. pracc. sponte deftuit solutio aequationis iudcterminatae

axx-lbxy-cyy- Idx + ley +f= 0

302 MS FO&MISMNAHliSSKCUNDIGRjUHJS,

si valore* tantummotlo rationales desiderantttr quam, si integri postulantur.

supra (art. 216 sqq.) iam absolvimus. Nam omnes valores rationalcs ipsorum

x, y exhiberi possunt per j,ita ut t, uy v sint integri unde patet, solu-

tioncm illius acquationis per numéros rationnlcs itlenticam esse cum solutionc

aequationis

att-}-2btu-cttu-2dtv-2evV'{-fvv = 0

per numéros iutcgros haec vero convenit cum aequ. in art. praec. tractata. Ex-

cludi debent cae solae solutiones ubi -= 0 tales autem proveniro nequeunt.

quando 66– «c est numerus non-quadratus. Ita e.y. omnes solutiones aequa-

tionis (in art. 221 per integros generaliter solutae)

.Pit-f- 80.^+^+2^– 4^+1 =0

per numeros rationales contentae erunt sub formula

, – PP– ^t'i + i'i « – – îM±i£5L±.sJL?.v

~––u~?' ~py_aly-ttqY

desiguantibus jt, q intégras quoscunquc Ceterum de his duobus problemati-

bus arctissimo nexu coniunctis breviter tantummodo hic egiraus, multasque ob-

servatioues hue pertinentes suppressirnus tum ne nimis prolixi fierenms. tum

quod solutionem aliam probl. art. praec. habemus, principiis generalioribus in-

nixam, cuius expositionem quia peuitiorem formarum ternariarum disquisitio-

nem postulat, ad aliam oecasionem nobis reservare debemus.

Du midtitudine mediacri geiurum.

301.

Kevertimus ad formas binarias, de quibus adhuc plures proprietates singu-

lares receusere oportet. Et primo quasdam obsenationcs circa multitudinem ge-

neruin et classium in ordine propric primitivo (positivo pro det. neg.) adiieiemus,

ad quem brevitatis caussa disquisitionem restringimus.

Multitudo gêner um, in quae omnes formae (pr. prim. pos.^ detenninantis dnti

positivi vel negativi +D distribuuntur, semper est 1, 2,4~t vel altior potestas

uumeri 2, cuius exponens pcndet a factoribus ipsius D, et per disquisitiones

praecc. omnino a priori inveniri potest. Iam quum in serie îiumcrorum naturali

iiumeri primi cum magis minusque compositis permixti sint, evenit, ut pro pluri-

Mvvmvbù mkdiochis oexeiîitm. 3G&

46'

bus deternmiantibus successivis ~hl>, +(!>-{- ï), + (Z?-f-£) etc. niuïtitudo ge-

ueram nunc crescat nunc dccrescat, nullusque in hac serie perturbata ordo adosse

videatur. Xihilonunus si multitudines generum multis dett. successîvis

±D, ±(0-H; • ±(D+m)

respondcntcs ndduntur, summtique pcr detcrininantium multitudinem dividitur, mul-

titudo generum médiums provenit, quae circa médium determinantium + (D-j-J-»»)

locum habere conseri poterit, progrcssiouemque valde regularem constituit. Sup-

jionimus autem, non modo m. esse satis magnum, sed etiam D multo maioreiu,

ut ratio determinantium extremorum D. D-j-m non nimis a ratione aequalitatis

discrepet. Kegularitns illius progressionis ita intelligenda est: si D' est numerus

multo maior quant D, multitudo generum mediocris circa determinantem +D'

sensibilitcr maior erit quam circa D; si vero D, D' non nimis differunt, etiam

generum multitudines médiocres circa D et D' fere aequales erunt. Ceterum

multitudo mediocris generutn circa determinantem positivum -D semper fere

acqualis invenitur multitudini mediocri circa negativum eoque exactius quo ma-

ior est D, qumn pro valore parvo prior paullulum maior evadat quam posterior.

llae observationes mngis illustrabuntur per exempla sequentia, e tabula classificu-

tiottis formarum binariarum plures quam 4000 déterminantes compleetente ex-

cerpta. Inter centum déterminantes a 801 usque ad 900 reperiuntur 7 quibus

unicum genus respoudet; 32, 52, 8, 1 quibus resp. 2, 4, 8. 1*6 gênera respou-

deut hinc omnino emergimt gênera 359, unde multitudo mecliocris =3,59.

('entum determinantes negativi a –80! usque ad 900 producunt gênera 3G0.

Exempla sequentia omnia desumuntur a determinantibus negativis. In centatle

JG (a -1501 usque ad – 1GO0) mult. med. generum invenitur 3.S9; in cen»

tade 25 est 4,03; iu centade 51 prodit 4,24; c sexcentis dett. –9401

–10000 computatur 4,59. Ex his exemplis patet multitudinem generum me-

diocrem multo lentius crescere, quam déterminantes ipsos; sed quaeritur, quae-

nam sit lex huius progressions 9 per disquisitionem theoroticam satis diffici-

lem, quam hic explicare nimis prolixum foret, inventuiu est. multitudiuem geiie-

rum mediocrem circa determinantem -f- D vel D quam proxime exhiberi

per formulam

a log D + 6

364 I>KFORMI9 BINAR1I9SECtN»! OHAOl'S.

ubi a, 6 sunt quantitates constantes, et quklem

a~~ =0.4052847340

désignante semiperipheriam circuli cuius radius t

tf = lag + 'Aaah – A a log 2 = 0,8830400102

ubi g est summa seriei

1 “ log(i -f i)-4_-j._ log (1 + • 4- J – log ;l 4-l) 4- etc. = 0,5772150049

(V. Eulcr Inst. Cale. Diff. p. 444); h vero summa seriei

î-log 2 4- log3 3 + Vrlng 4 + etc.

quae per approximationom inventa est =0,9375482543. Ex hac formula patet,

multitudhicm mediocrem generum crescere in progressione aritlimetica, si deter-

minantes augeantur in geometrica. Valores huius formulae pro D = 850|,

1 5504- 2450f 50504-, 9700| inveniuntur 3,617; 3,86; 4,046; 4,339; 4,004,

qui a multitudinibus mediocribus supra datis parum discrepant. Quo maior fuerit

determinans médius, et e quo pluribus multitudo mediocris computetur, eo minus

a valore formulae differet. Adiumento huius formulae etiam aggregatum multi-

tudinum generum determinantibus successivis ^rD, + ( D-j- i ) -f- (D -j- na)respondentium quam proxime erui potest, si multitudines mediocres singulis re-

spondentes c^mputantur et in summam colliguntur, quantumvis diversi sint ex-

tremi D, D-m. Haec summa erit

= a (logD4-log{D4- 1)4- etc. +log(^+»)) + 6(«i4-l)

sive satis exacte

= a((D4-»»j log(D4- «) – (»- 1) log {D- 1)) 4- (d-a) («4- 1)

Hoc modo summa mult. gen. pro dett. – usque ad – 100 invenitur = 234,4.

quum rêvera sit 233; similiter, a – usque ad – 2000, = 7110,0, quum sit

7112; a –9001 usque ad – 10000 ubi est 4595 formula praebet 4594,9, qua-

lis consensus vix exspectari potuisset.

MCi.TfTCDÔ JfEDIOCKIS OkASStt'M. 305

302.

Jiespectu multitudhm clussinm (pr. primit. posit.. quod semper subintelli-

gendum) déterminantes positivi prorsus aliter se habent quam negativi quam-obrem utrosque seorsim considembitims. In co hi cum illis convoniuut, quod ju-odéterminante dato in singulis generibus classes aeque multne contineiitur adeo-

quo multitudo omnium classium aequalis est producto e multitudine ^enorum in

multitudinem classium in singulis generibus contentarum.

Quod primo attinet ad déterminantes négatives, multitudo classium pluri-bus dett. successivis – Z>, – (D+l), –

(D+2) etc. respondentium progres-

sionem aeque perturbatnm constituit, ac niultitudo generum. Multitudo classium

mediocris autem (cui definitione opus non erit) valde regulariter crescit. ut ex

exemplis sequentibus apparebit. Centum determinantes a –500 usque ad

– 600 suppeditant classes 1729, unde multitudo mediocris -17,29..Similiter

in centade 15 multitudo classium mediocris invenitur 2S.2C; e centadibus

duabus 24 et 25 computatur 36,28; e tribus 61, 62 et 63 prodit 58,50 e quinque

91 .95, fit 71,56; denique e quinquo 96.100 fit 73,54. Haec exempta osten-

dunt, classium multitudinem mediocrem leutius qnidem crescere, quam déter-

minantes, multo tamen citius, quam multitudinem mediocrem generum: levi

autem attentione cognosectur, illam satis exacte crescere in ratione radicuin qua-

dratarum e determinantibus mediis. Rêvera per disquisitioncm theoreticain inve-

nimus, classium multitudinem mediocrem circa determiuantem – I) proxime

exprimi per:

ubiYVD-c ú

denotante e summam seriei

valores médiocres secundum hanc formulam computati ab iis, quos supra e tabula

classificationum exscripsimus, parum differunt. Adiumento huius formulae etiam

aggrcgatuin multitudinum omnium classium (pr. pr. pos.) determinantibus suc-

De multttutline meiiiocri elwmittm.

y .= 0,7407lb3l15 =

l + Â-f-A+A+rK etc.

è «,2026423673 =

866 DR POKMia BiSAitHS faCCt'NWO»AOl%

cessivis – V, – (D-f-i), – (2?4~2). – {D-m – 1} respmtentïum qannt

proxime assignari potest, quantumvis extremi sint diversi, summando multitudi-

nes médiocres illis déterminai) tibus secundum formulam respondputes, uude crit

–y(v/D_j_v/1;jD4-i)+etc4-v(2?+»*– 1)) – cm

sive quam proxime 1

= r-Yt~n--I-~u~1)'U-)1~-a~a

ita c.ff, illud aggregatum pro centum dett. – 1 – 100 ex formula computatur

= 4SJ,1 quum rêvera sit 177; mille determinantes –1 .– -10U0 secuntlum

tabulam suppeditant 15533 classes, formula dat 15551,4; millias secunda sistit

classes 2&59S secundum tabulant, formula praebet 2S5S5.7; similiter millias

tertia rêvera suggerit 37092 classes, formula dat 37074,3; millias décima dat

72549 per tabulam, formula 7 2572.

303.

Tabula determinantium negativorum secundum diversitatem classificationum

ipsis respondentium digesta multas alias observationes singulares ofert. Pro de-

terminantibus formae – (8»+;{) multitudo classiuin (tum earum quae in omni-

bus. tum earum quae in singulis generîbus pr. primitivis contentac sunt) semper

divisibilis est per 3, unico déterminante –3 excepto, cuius rci ratio ex art. 256,

VI sponte sequitur. Pro iis determinantibus, quorum formae unicum genus

conficiuut, multitudo classium semper impar est; quum enim pro tali determi-

nante unica tantum classis anceps detur, puta principalis, multitudo classium

reliquarum, c quibus binae semper oppositae erunt, necessario erit par, adeoque

multitudo omnium impar; ceterum haec posterior proprietas etiam pro determi-

nantibus positivis valet. Porro series determinantium, quibus eadem classifi-

catio data (i. e. multitudo data tum generum tum classium) respondet, semper

abrumpi videtur, quam observationem satis miram per aliquot exempla illustra-

mus. (Xumerus primus, romanus, indicat multitudinem generum pr. prim. pos.;

sequens multitudinem classium in singulis generibus contentarum; tune sequitur

series detenninantium, quibus illa classificatio respondet, et quorum signum

negativum brevitatis caussa omittitur\

BCtTiTuno «BDiocRis awssinr. 307

f. t.1,2,3,4,7

I. 3.11,19,23, 27,31, 43, 67, 163

I. 5. 47, 79, 103, 127

I. 7.71, 151, 223,343, 463, 487

1 1 b, 0, 8, 9, 1 0, 12, 13, 1 5, 1 0,1 8, 22, 25, 2S, 37, 5S

H. 2. 14, 17, 20,32, 34, 30, 39, 46,49,52,55,03, 04,73, S2, 97. 100. 142.

14%, 193

IV. 1 21, 24, 30, 33,40, 4 2, 45, 48, 57, 00, 70.72, 78, S5. SS, 5)3. 1 02. 1 J 2, 1 30.

133,177,190,232,253

VIII. 1 105, 120, 1C5, 108, 210, 240, 273, 2%0, 312, 330, 345. 357, 3S5,

408,402,520,700

XVI. 1 840, 1 320, 1 365, 1843

Similiter 20 determinantes reperiuntur (maximus =–1423), quibus classifi-

catio 1.9respondct; 4 (maximus =~J303), quibus respondet classificatio

I. 11 etc.; classificationes IL 3; II. 4; II. 5; IV. 2 respondent determinantibus

uon pluribus quam 48,31,44,69 resp., e quibus maximi – G52, – SC2, –1318.

– 1012. Quuin tabula, ex qua haec exempla sumsimus, longe ultra maxhnos de-

terminantes hic occurentes producta sit '), ncc ulli amplius prodierint ad illas clas-

sificationes pertinentes: nullum dubium esse videtur, quin series adscriptae rêvera

abruptae sint, et per analogiam conclusionem candcm ad quasvis alias classifica-

tiones extendcre licebit. E.g. quum in tota milliadc decima determinantium nul-

lus se obtulerit, cui multitudo classium infra 24 responderet: maxime est verisi-

mile, classificationes 1.23; 1.21 etc.; 11.11; II. 10 etc. IV. 5; IV..1; IV. ;j;

VIII. 2 iam ante – 9000 desiisse, aut saltem perpaucis determinantibus ultra

–10000 competere. Demonstrationes autem rigorosae harum observationum per-

difficiles esse videntur. – Non minus admiratione digmim est, quod onmes dé-

terminantes, quorum formae in 32 aut plura gênera distribuaiitur, ad minimum

binas classes in singulis generibus habeant. adeoque classificationes XXXII. 1.

LXIV. 1 etc. omnino excidant (minimo ex huiusmodi dett., –9240, respondet

XXXII. 2); satisque probabile videtur, multitudinc generum crescente continue)

plures cla^sificationes excidere. Hoc respectu 65 déterminantes supra traditi.

') Dumhaecimiirimunlur, usque ad –300» unotraetu, nec non per totnm milliadem duciinam |ilu-

romjuu ulins cLMitados Uispcrsus, i|uibus ticcedunt pormulti dctcrminiiiitcs singularcs suttulo electi.

36& DE FOHJlirt BJ.NAHHSSKCINDIOHAUfS.

quibus tlussifieationes ï. 1 ILt; tV.î; VIH. 1; X.VI. 1 respojtflent, vnlrte

suut îueutorabilcs, perspk-iturquc facile, illos omîtes ne solos his duabus proprieta-

tibus itisiguibus gaudere, ut oinnes classes fovmamm ad ipsos pertinentes aneipi-

tes siut, et forma? quaecimqite in codent génère contcntae necessario tum proprie

tuiu impropric aoquivaleaut. Ceteruin ikletu 05 nuuieri sub aspectu paullulum

diverso cuius inentio infra fiet et cuin critorio demonstratu facili) iam ab ill. Eu-

lci'o traditi sunt Noue. Mm. de i'Ac. (le Berlin 1 77 1>y>. u:is.

3U-I.

IMultitudu classium pr. primitivarum, quasformae binariae det. positivi quu-

drati kk constituant, omnino a priori assignari potest, multitudinique numerorum

ad 2k primorum ipsoque miuonuu aequalis est; undo per ratiocinia non difficilia

sed hic supprhuendu deducitur, multitudincm mediocrem classium ad taies déter-

minantes cirai kk pertincutium proxime exprimi per – Déterminantes po-

sitivi uon-quadrati autem lioc respectu phaenomena prorsus singulnrin offerunt.

Scilifct quum classium multitudo parva, c. g. classificatio I. 1 aut I. 3 nut II. 1

etc. pro deterininantibus negativis et quadratis parvis tantum et inox omnino

cessantibus locmn Uabeat: contra e determinautibus positivis non-quadratis, sal-

tem non pennagnis pars longe maxima tales classificationes praebent ubi untca

classis in quovis génère continetur, ita ut hae I.»; I. »; II. 2; 11.3; l\. 2 etc.

sint rarissiniae. Ita e.g. inter 90 dett. non-qu. infra 100 reperiuntur il, 4S, 27,

quibvis respondent classificationes I. 1, IL 1, IV. 1 resp.; unicus tantum (37; ha-

bet 1. H; duo (34 et S2) habent IL 2; unus (79) II. 3. Attamen, determi-

nantibus crescentibus clnssium nmltitutlines maiores sensim frequentiorcs fiunt;

ita inter 96 dett. non-qu. a loi usque ad 200 duo (101, 197) habent 1.3;

quatuor (145, 146,178,194) 11. 2; très (141, 14s, 1S9) IL 3. Ex 197 dett.

a Sui usque ad 1000 très habent 1.3; quatuor II. 2; quatuordecim IL 3; duo

11.5; duo IL C; quindedm IV. 2; scx IV. 3; duo IV. 4; quatuor VUI. 2;

reliqui N.j imam classem in quovis gencre Quaestio curiosa foret. nec gi-ci-

metrarum sogacitatc indigna, secundum quam legem déterminantes unam classem

in quovis génère habentes continuo rariores fiant, investigare: hactenus nec per

theorinm deciderc possumus, nec per observaliouein satis certo coniectare. utiuin

tandem omuinoabrumpautur (quod tanien pnruni probabile \idetur;. aut saltctu

infinité mri évadant, an ipsorutii frequentiu ad limitent fixutn continuo uiagis acte-

AMioniTHjïï-s soiaviÀim çumvit.' 369

17Î

tkrt. Multitude elussium mediocris iu ratiôue paruni maioiï increscit, qttam nral-

titudo gêneront. longequo leutius quant radkes quadïatae e deteriiiinantibus; inter

soo et 1000 illft invcuitur = 5,01. Liceat his observationibus nliam adiicero.

quac analogiam inter déterminantes positivos et négatives quodninniodo restituit.

Seilieet inveuinms, pro deterntinante positive D non tain iriultitttdinem clussium

ipsam, quam potius hanc multitudiuem per loguritlimum quantitatis t-u\D

muitiplicatam (designantibus t, u numéros minimos, praeter 1,0, acquationi

tt – Duu– 1satisfneieutes) multitudbti classiurn pro déterminante negntivo

pluribus rationibus hic fusius non explicaudis analogatn esse, atquc valorem me-

diocreut illius producti acque exacte exprimi per formulai» talctn m\ij)~n; setl

vuloics quuntitatum con.stantium m, n hactenus per theoriam determinare non

licuit; si quid ex aliquot centadibus determinantium inter se contparatis conclu-

dere perniissum est m parum a 2 J differre videtur. Ceterum de prbieipiis

tlisquisiliomun praecedenttum circa valores médiocres quaiititatuin lege analytiennon

progretlientijtm, sed ad taleju legcm asytnptoticc continuo niagis approximan-

tium alia oecasione fusius agere nobis reservamus. Transiinus iam ad aliani dis-

quisitioneni qua classes diversae pr. prini. eiusdcm det. inter se compambuutur.

finisque lmic longae sectioni ini])ouetur.

Altjnrithmux wigulari* climxium jirujirie primitiearum; ih-Urminanh» rri/uluivis et irmjulam tic.

305.

TiiKOKfju. Désignante Kclassentprincijmlm fvrmurum determinantis dati D,

C classent quameunque afiavi e génère imnajmli fornumtm eiusdem det.; 26', ZC.

*C etc. classes resp. e dujjlicatione triplkatione qnadruplicatione etc. classis Cor-tas {ut m art. 249; in progressivité C, 2C, 3 C etc. satis contimtata tandem ad dus-

sem ctirn K identkam pereenitur xiqiponendoque mC case primam cum li ideuti-

cam, atque multitudinem omnium clussium iu génère principuli = n erit rel m «.

rel m paru aliquota ipsius il.

Dem. 1. Quum onmes classes A', C, 26', aC'etc. necessario udgenus prin-

cipale pertincant (art. 217;, classes n+\ 1 priorcs huius seriei A', C, 2C nC

nmnifesto omnes diversae esse nequeunt. Erit itaque vel K cum aliqua classiam

C?, 2C, :\C.itC identica, vel saltem dune ex his classibus inter se identicuc.

370 DB PORHÏS DW ABUS gECrNDÏ ORjtyt'S.

SU rC=zsC atque r>«, eritque etîam

(r– 1)0 – 's– 1)0, {r~2)C = {s~2)Cetc. et (r+1-ijCsC

unde (r~s)C=: K. Q. E, P.

II. Hinc etiam protinus sequitur, esse vel m = n vel »*<», superestque

tnntummodo, ut ostendamus, in casa posteriori m esse parlera aliquotam ipsius ri.

Quum classes

if, C, 20 [m – 1)0, quarum eomplexum per 6

designabimus, totum genus principale in hoc casu nondum exhauriant, sit C ali-

qua classis lmius generis in E non contenta, dcsigneturque complexus classium. r

quae ex compositione ipsius C' cum singulis classibus in S oriuntur, puta )

C", C'0, C+iC &+(m – l)C per S'

iam facile perspicitur, omnes classes in S' tum inter se tum ab omnibus in S di-

versas esse et ad genus principale pertinere; quodsi itaque S et S' hoc genus

omnino exhauriunt, habebimus n= 2m; sin minus, erit 2 »?<». Sit in casu

posteriori C" aliqua classis generis principalis nec in S nec in S' contenta, de-v

signeturque complexus classium ex compositione ipsius C" cum singulis classibus ?

in (S prodeuntium ». e. harum

C", C"+C, CT+ 2C C"+[m – l)C per 6"

putetque facile, has omnes inter se et ab omnibus in S et S' diversas esse, et ad

genus principale pertinere. Quare si <5,<S',6" hoc genus exhauriunt, crit w = 3/«:

sin minus, «>:)?», in quo casu classis alia C'" in génère principali contenta,

ucque vero in S, S' vel S", simili modo traetata docebit, esse vel « = 4 m vel

»>4»«, et sic porro. lam quum n et m sint numeri finiti, genus principale

neccssario tandem exhaurietur, eritque « multiplum ipsius /«, sive in pars ali-

quota ipsius H. Q. E. S.

1

Eœ. Sit D – –356, C= (5, 2, 72)*), invenieturque 2 C= (20, S, 21), 3

3_C' = (4,_0,99):_4£= (20,-8,21), 5C = (5, – 2,72), 6C=(I, 0, 356). Hic |,

") Classes hic semper f or formas(simplicissimas) in ipsis contentas exprimuntur.

ALOOJttïJfMt'S SKîQltLARJg CfcASSIUM. S71

47

itaqne est w==o, h vero pro hoc déterminante est 12. Aeeipiendo pro C elas-

sem (8, 2,45), classesqninque reliquae in <£' crunt (9,-2,40), f», 2.40),

(S, -2,45;, (17,1,21), (17,-1,21).

306.

Demonstratio theor. praec. omnino analoga inrenietur demonstrationibus in

iirtt 45, 49, reveraque theoria multi])licationis classium cum argumento in Sect.

III. tractato permagnam undique affinitatem habet. At limites huius operis non

perntittunt, illam theoriam ea qua cligna est ubertatc hic persequi; quocirca pau-cas tantummodo observatioues hic adiiciemus, eas quoque deraonstrationes, quae

apparatiun prolixiorem requirerent, supprimeraus, disquisitionemque amplioremad alimn occasionem nobis reservabimus.

I. Si series K, C, 2C, '3 C etc. ultra{m – \)C producitur, eaedem clas-

ses iterum comparent,

m C = K, (m + 1 j C== C. (m + 2) C = 2 C etc.

generaliterquc (spectando concinnitatis caussa K tamquam OC) classest)Ctg'V

identicae erunt vel diversae, prout g et g' secundum modulum m congrui sunt

vcl incongrui. Classis itaque C semper identica est cum principali K.

II. Complexuni classium A', 6', 2C. (m – i)C, quem supra per S de-

signavimus vocabimus periodum classis C, quae expressio non est confundeuda

cum periodis formarum rednetaruni det. positivi non-quadrati in art. Ibu .sqy.tractatis. Patet itaque, e compositionc classium quotcuuque in vaclein période

coutentaruiu oriri classem in en periodo quoque oontentain

gC+gC+jft'vtt:. = ^+y+/+etc.)6'

III. Quuui C + [m – \jC– K,classes C et ;«k – 1)6' oppositac erunt,

et pexiude 26' et 'm – 2)C, %C et ^ui – 3. Cote. Si itaque m est par, classis

\mC sibiipsa opposita erit adeoque anceps; vice versa, si in 6 praeter K

adhuc alia classis anceps occurrit, puta gC. erit gC=

{m–g)C adeoquo

= m –g – m\ Hinc sequitur. si m sit par. praeter duas li et >,mC\

379 !>E FORSH.* 1HNARHB SECPSW OHSIH'S.

si vero m ait impur, praeter unam K, aliam classent «meipitem in S contentom

esse non posse.

IV. Si pcricxlus ulicuius classis hC in S contourne supponitur esse

li, kC, 2hC, aAC. [m-~l)JtC

mnnifesttim est, ni h esse mnltiphim minimum ipsius h per m divisibile. S»

itaque m et h iuter se priini sunt, erit /– w, duneque periodi easdem classes

sed online diverse disposons continebunt; generaliter autem désignante jx divi- v

sorem conun. mux. jpsorum »», A, evitm –

llinc patet, niultiludincm clas- i

siuin in periodocuiusvis classis ex S contentarum esse vel m vel partem aliquo-

»

tam ipsius m; et quidem tot classes in 6 habebunt periodos m tenninoruin. i

quotnuineri ex his 0,1,2.»»– 1 ad m primi sunt, sive

?»*,uteutlo signo

)(

art. M generaliter vero tot classes in G habebuntperiodos

tenninoruin, quot

numeri ex his 0, 1, 2 m – 1 divisorem maximum \x.cum m coininunem lia-

bent, quorummultitudinemesse rf'~facile perspicitur. Si itaque m = n, sive

4

fof«?« genus principale sub (£ contentum, dabuntur in hoc génère omuino 'ftl

classes, quarum periodi idem genus totum includunt, etye classes, quamni

periodi ex e terminis constant, dénotante e divisorem quemeunque ipsius ra.

Hnee conclusio generaliter valet, quando in génère principali ulla classis datur.

cuiiu periodus ex « terminis constat.

n

V. Sut) endem suppositione systema classium gencris princi palis aptiust,

disponi nequit, quam aliquam classeiu, periodum n terni iuorum habentem, quasi

pro hasi adoptando, generisque principalisclasses codem online collocando, quo

in illins periodo progrediuntur. Quodsi tunc classi principnli index 0 adseribitiir.

classi, quae pro basi accepta est, index 1 et sic porro: per solam indicum additio-

nem inveniri poterit, qtiaenam classis e compositione classium quarutneunque

generis principalis oriatur. Ecce excmpluui pro déterminante – S5C, ubi clas-

sam {«.1,2,40) pro hasi accepiraus

i1

«(1, 0, S.M) I I (2«, S 21) I > [20, r-S il)

I (il, >, «) (lî, 1, ïl)a

( s, 2, 15)

1 (S, 2, îl)fi ( 4, 0, <i!l) 10 ( 5, –2, ïlj

(5, 2, 72) fi i (1 i, -t, 21) i 11 l, 1~,-2,72):i (s, – i, Ai) (17, – I, îl) II ( «, – ï, I»)

ÀtooKmiMrs styortAUis ci»assU'm, 3T3

VI. Quamquaw vero tum tvnulogin eum Scct.HI, tum hutttetio cirai plure.

qunin 20f) déterminantes ncgativo-s, longpquc ucLhuc plures positives noa-qundra-

tos institut» maximum probubilitatero afferre vidcaittur, illam suppositionem pro

omnibus detettnhmntibiui locum haberc: tnli.s couelu-sio uiliiloiniuus fnlsa foret, et

per tabiilne elassititationuiu continuatiouoin rufelleretur. lacent, brevitatis faussa,cos tletenninantos, pro quibtts totutn geaus priucipalo uniene periodo includi

potes-t, regulares vocare, roliquoy vêro, pro quibus hue fieri nequit, irrvyutares.

Hoc ai^mucutum, quod ad aritlunetkae sublimiuris niysteria maxime rccoiiditti

pertinere, disquisitionibusque difficilliniis locum reliuquere videtur, paucis tun-

tum observationibus hic illustrare possumus, qui bus sequentem gcucralem [«w-mittiinus.

Vil. Si in génère principali classes C. C' occurruiit, quarum periodi ex

m, m' classibus constant, atque M estnumerus minimus per m et m divisibilis:

in eodem geuere etiam classes dabuntur. quorum periodi jlf terminos coutiucant.

Kesolvatur M in duos factorcs r, r iuter se jn-imos, quorum alter (r) inetiatur

ipsnni m, alter (/) ipsum m fv. art. 73), lmbcbitquo classis "'C'-)- C'== G`"

proprictatem praescriptam. Suijponamus eniin, periodum classis C" constare

ex y termiuis, eritque

TTy qrm' r~ru~ C-

== 7rm'C'K = 9r C" =zgmC-{- fJ™- C1

=K+ !'r£

C = C

undo per /»' divisibilis esse debebit si ve gr per r, adooque etinm </ per r.

l'rorsus simili modo y per r divisibilis invenitur, unde etiam per rr' – M divi-

sibilis erit. Sed quum mauifesto sit MC"= K, erit etiam M per g divisibilis:

quare necessario M –g. Hinc uullo uegotio sequitur, înultitiulinem maximum

classium, in ulla periodo contentarum 'pro dot. dato divUibilcm esse per nml-

titudincin classium in quavis alia periodo (classis ex eotlem generc principali

•Simul ibindo methodus derivari potest, talem classem cuius periodus sit quam

maxima (adeoque pro det. regulari totum gunus principale complectatur) eruendi.

nietliodo artt. 73, 74 prorsus auuloga, etsi in praxi laborem per plura artificia

coutrahere liceat. Quotiens c divisione numeri n per multitudinem classium in

periodo maxima, qui pro dcterniinantibus regularibus est 1 pro irregularibus

semper fit integer maior quam 1, et pro his iniprimis connnoclus est ad diversus

irregularitatis species cxprinicndab-; quamobrem expunem irregu hritatis tlici poterit.

374 !>EK0K.WI»1H.VARIIS8KCTNWGRADfg.

VIII. Haetenu* régula gênerait» non habetur, per quant déterminantes

regnlares ab irregularibtts a priori distingui posseitt, praesertim quum inter po-

steriores numeri tum priini tum compositi veperiantur; suih'ciat itaque quasdam

observationes particulares hic acliunxisse. Qiinudu in génère priucipali plures

quam dune classes aneipites coutiucntur déterminons certo est irregularis atque

exponens irregularitutis par; quamlo vero una tantum aut duae in illo génère

ndsunt, det. aut régnions erit aut snhem exp. irr. impar. Omncs determiimntcs

uegativi formae – V2i GÂ'-j– 27), unico – 27 excepto, irregulares simt et exp.

irr. per 3 divisibilis idem valut de dett. llegg, formae – (lU0OA-i-75) et

– (IOOOA'+67 5;, unico – 7i» excepto, infinitisque aliis. Si exp. irr. est nume-

rus prinius p, aut saltem per p divisibilis, h per pp divisibilis erit, unde sequi-

tur, si n nullum divisorem quadratum iinpliect, deteriniunntem certo esse rcgu-

larcin. Pro solis detcrniiuantibus quadrutis positivis ee a priori semper dignosci

potest, utruin rcgulares sint an irregulures; scilicet illud evenit quando e est

J nut 2 aut munerus primus impar aut potestas numeri priini iniparis hoc in

omnibus reliquis casibus. Pro dett. ncgg., irrcgulares continuo frequentiores

evadunt, quo maiores fiunt detenniuautes e.g. in tota millindc prima tredecim

irregularcs reperiuntur, (signo uegatiro omisso) 57 G, 5S0. S20, SS-1, 900. quorum

exp. irr. est 2, atque 213, 307, 339, 159, 075, 755, SOI, «74, quorum exp. irr. 3;

in milliadc seeunda reperti sunt 13, quorum exp. irr. 2, atque t5, quorum exp. irr.

3; in milliadc décima 31 cum exp. irr. 2 atque 32 cum exp. irr. 3. Xum déter-

minantes cum exp. irr. mniori quam 3 infra 10000 occurrant. decidcre non-

dum licet; ultra hune limitent exponentes qnicunque dati provenire possunt.

Frequentiam determiuantium uegativoruin irregularium ad frequentian» regula-

rium continuo inagis, dett. crescentibus ad rationem constanteln appropinquare

valde probabile est, cuius determinatio geouietnirani sagacitato magnopere digna

i'orct. Pro deteriniiuuitibiis positivis nou-quadi'atis irregularcs multo ruriores

>tuit: taies, quorum exp. irr. par sit. infinité multi certo dantur [e.y. 3020 pro

quo est 2,; nullum qtioquc dubiiun videtur, quin talcs exstent, quorum exp. irr.

sit impar. et>à futeri oporteat, nullum rie hnctenus nobis obtulisse.

IX. De adoruatione maxime cuiinnodnsy.stcmatis clnssiuin, in gencfr

priucipali j)ro déterminante irregulari contentarum, hic agerc propter brevitatem

non licot; oliscrvnmns tantum modo, quuiu unica basis hic non sufiieiat, duas

AtÀXÎHttliilVÏ SÏNOILAKIS CJ.ASSICM. 375

vol ticleo plm-es adhuc classes hic esse accipiemlas, e qutmun multiplieatione et =

compositions omnes produenutur. Hinc indices diiplkes aitt mn/tijjHcex «nagent.

qui eundent fere usum prnestabuut ne simpliccs pro regularibus. Sed hauc rem

alio tempore fusius tractabinms.

X. Doniquc observamus, quum omnes proprietates in hoc art. et pmec cou-

sideratae imprimis a numéro « pcudeant, qui similc quid est ac p – in Sect.

III, hune numerumsumntaattentiouedigumn esse; qualilobrein quam maxime

optandum esset, ut in ter ipsum atque determinantem ad quem pertinet, nexus

generalis detegatur. De qua te gravissima eo minus despcroudum censemus, quo-niam iam successit, valorem mediocrem producti ex n iu multitudiuem generuni

(quae a priori assignari potest) saltem pro déterminai! tibus negativis formulae ana-

lyticnc subiicere (art. 302).

307.

Disquisitiones artt. praecc. solas classes generis principales complectuntur.

adeoquc sufficiunt tnm pro dctt. poss., ubi unicum omnino genus datur, tum pro

negativis. ubi unicum genus positivum adest, si ad genus negativum resiiiccre no-lumus. Superest, ut de reliquis quoque geueribus (pr. primitivis) quaedam ad-

iiciamus.

I. Quando in génère G' a principali G (eiusdem det.) diverso ulla classis

anceps datur, totidem in ipso aderunt ne in G. Sint in G classes aijcipites L,

M, Netc. (inter quas etiam erit classis priucipalis K), in G' vcro hae L',M',N'

etc., designeturque illarum complexus per .4, complexus harutu per A. Quum

manifesto omnes classes L-L\ M-j~L\ iV-f- L' etc. ancipites diversaeque sint.et ad G' pertineant, adeoque sub A' contentae esse debeant: multitudo classium

in .'i' certo nequit esse minor quant in A; similiter quum classes ÏJ-Ii,

M' + L', N'L' etc. diversae ancipitesquo sint et ad G pertineant, adeoquesnb A contineantur, multitudo classium in A

nequit esse miuor quam in A';

quare multitudines classium in A et A' necessario aequalcs erunt.

1II. Quum multitudo omnium classium ancipitum multitudini generum ae-

qualis sit (artt. 261, 2&7 III): manifestum est, si in G una tantum classis anceps

M7ti »K toumis kixarii» sica-sm obadv».

cletuï, iu quovis génère imam classera ancipitein coutentam esse debere; si in G

dune ancipitcs exstejit, in semissi omnium generum binas dari. in reliquis nullas;

(leiiiqtte si iii G plures aneipites eontineantur, putti «' partent «tam omnium

«enerum a classes ancipites coutiuere, reliqua uulla*.

III. Sint, 'pro eu casu, ubi G duns classes ancipites continct, G, G', G"

etc. ea gênera, quoe binas, atqne H, H', H" etc. en quae nnllas continent, <le-

signeturque complexus illorum per (5, coinplexus horum per J^). Quum e coin-

[)ositione dunrum c-lassium ancipitum semper provcniat classis anccps (art. 2-19),

nullo ncgotio [icrspicietur, e compositione duonun ^cnerum ex © scnipcr prudirc

geuus ex ©. llinc porro sequitur, e compositione generis ex (S cum génère ex

Ap prodirc ex $; si enim e.tj. G'll non ad $ sed ad (S pertiueret,

etirini G'H-G' ad W refercudnut esset. Q. K A., quoniaiu G'-f-G'– G

adeoque G' H+ G' – II Dcnique facillime intellîgitur, gênera G -{-II,

(Ï'+II. G"+ II etc., unacumlii» II +11. /+/ /+/ etc. omuia di-

versa fore adeoque cum © et «Ç) sintul sumtis identica; sed, per eu quae modo

demonstrata sunt, gênera G-ll, G'II, G"IIetc: omnia pertinent ad .Ç)

adeoque huuc complexuin exhauriunt; quare necessario reliqua II H, IT-j-II,

H" H etc. ontnin ad 0 pertincbuut, ?". f. e compositione duorum fïeneruin ex

ip seniijer oritur genus ex Q.

M*. Si E est classis gencris I", a principal! G diversi, patet. 2Jt', IjK,

6 JE etc. omnes ]>ertincre ad G; lias vero 'iE,i>E, 7 E etc. ad T'. Si itaque

periodus classis 2 JE ex »» terminis constat: manifesto in serie JE, 2/i', 3£ctc.

classis 2 /«JE, nec nlla prior, cum Ii identica erit, sive periodus classis E ex 2 ni

terminis constabit. Hinc multitude terminoriun iu periodo classis cuiuscunquc,

ex alio génère quam principali, erit vel In vel pars aliquota ipsius 2n, désignante

n multitudinein classitun iu singulis generibus.

V. Sit C classis data geueris principalis G; E classis generis T", e cuius

duplicationc C oriatur (qualis scmper dabitur, art. 286), atque omnes classes an-

cipites (pr. prim. eiusdem det.) K, K', le"* etc., eruutque ornpres classes, e qnanuu

"l I loc|irn -rjlis rlt'tcrminuutilun iiTc^uluribus evenire pottst eritque n scmiicr potostus binarii.

AfiQOKITIlMr» SlNOt'LABJS OLASSÏl'M. 377

\s

duplfcMione C oritm, Ime: E (= E+K). 2î-f A", JS-f-iTete., quorum «>m-

plexus expriraatur pcv Q; multitudo harum classium aequalis erit nniltitudhn

chissium ancipitmn sive multitudhti generum. Manifestant est, e classibiis in Q

tot ad genus V pertinere, quot aueipite.s dcntur iu G; designando itaque harum

ntttltitudirrem per «, patet, irt quovis génère vel a classes ex Q dari vol nullas.

Hinc facile colligitur, quamlo sit a = 1, in quovis génère eoiitineri unatn <:las-

sem ex 2; quando a – 2, seraissem omnium gcuerum binas classes ex U con-

tiiiere, îeliqua nullas, et quidem scmissem priorem vel totum cum ® coincidcre

(inendeinsignificationeutsupralll), postcriorem cum $, velhanccum ©, illam

c"m Quando « adhuc maiov est, semper i>ars «ta omnium gencrum clas-

ses li ineludcnt (siugulu o classes).

1. Supponannis iam, C esse talem classent, cuius periodus ex « tenni-

nis constet, perspideturque facile, in eo cnsu, ubi a – 2 adeoque n par, millani

ex Q ad G pertinere posse 'tuncenim talis classis in periodo classis C contenta

forpt; si itaque esset –rC, sive 2rC=C, foret 2/- = i (mod.w'. Q. E. A.

quamobrciu quum G ad © pertiueat, necessario onmes classes Q inter gwiera &

distrilmtae eruut. liinc colligitur, quouium (pro det. reg.) in G oninino duntur

•f/t clnssos periodos ni terniinorum Imbentes, pro eo casu ubi a= 2 iiiveiiiri in

quovis génère § omnino 2'f« classes, quarum periodi 2« termines, adwicjut'

tum {jeiius suum tum principale, compleetantur; quando vero «=i, in quovis

génère a principali diverso 'f « lmiusniodiclasses dnbuutur.

VII. His obsenationilnis mcthodunisequentem supcrstnùnius, systenia

omnium elassium pr. prim. pro quolibet déterminante rcgiilari dato firregulares

enim omnino seponimus' quam aptissime construendi. Kligatur ad lubitnm clas-

sis JE. cuius periodus 2« terminos, adcoque tum genus suum quod sit V tutn

principale G complectatur: classes hortuu duorum generum ita dispouantur ut

iu illa periodci progrediuntur. Iloc modo res iam absoluta erit, quaudo plurn gê-

nera quant haec duo omnino non adsunt, sive reliqua adiicere non necesse vidutur

e. g. pro tali det. neg.. ubi duo tantuia gênera positiva dantur). Quando vero

quatuor aut pluva gênera construenda sunt. reliqua hoc modo tractentur. Sit V

nliquod e reliquis ntque 1*^1"= T" dabunturque in F' et V" duae classes

uncipites puta vel in utroque una. vel iu nltero duac. in altero tailla ex his eli-

378 DE FGRMI8BIKAWI89ECCNB1QKAOl'8,

gatur una A itd hibitum, patetquc facile, si A cum singulis elassibus in 6 et l'

componatur, prodire 2» classes diversas ad F' et V" pertinentes, adeoque

haec gênera omnino exhaurientes; ita haec quoque gonera orclinari poterunt.

Si praeter haec quatuor gênera alia adhuc supersunt, sit V" unum e reliquis.

atque V", V" V" gênera ea, quae prodeunt e compositione generis V" cum

F, V et F". Haec quatuor gênera V" F' quatuor classes aucipites con-

thiebunt, patetque, si ex his una A' eligatur atque cum siiif»uljs classibus irt

G, F, F', V" coraponatur, omnes classes in F' V" prodire Si adhuc

plura gênera supersunt, simili modo continuctur, donec omnia exhausta sint.

Patet, si multitudo omnium generum construendorum sit 21*, omnino opus fore

[i– 1 classibus ancipitibus, et quamvis classem horum generum produci posse

vel e multiplicatione classis E, vel e compositione classis, e tali multiplicatione

ortae, cum una pluribusve ancipitibus. Ecce duo exempla, per quae haec i«tie-

cepta illustrabuntur; plura de usu talis constructionis vel de artificiis, per quae

labor sublevari potest, hic adiicere non licet.

Quatuor gênera positiva; in singulis quaternae classes.

1,4} lil; lin

(i, o. ici)=K

(9, 1, 18) = 1E

(2. 1,H\) = \E

(y. -1, 1s) = gE

i,is Iii; A'r-i

il, 0, 23)= A

(II, –2, 15)=

A-2E

(H, 7, 15) = A-E

(II, 2, 15) = il+6JB

I. Determinans – 161,

G Y

.i,4j -Vïj Un

3, 1,541=£e

(0, – 1, 27) --= :\E(6, 1, 27 = hE

(3, – 1, 54. = TE

V v

l,l; -7i A'ï:l

(lu, 3, 17) = A-E

(5, 2, 33 =/l-+-3£

(5, –2, :»:$) = A->E

(10,-3, 17) = 4+ 7 JE

AMJOfflTHJfES ^SOraiXÀHBCLASSÏt'M. 379

48*

)e<3, »,• i\*3; JStJi «y»

,2, 0,273)= A

(11.– 2, bd) – A~{-iE\

(11. 2, 60)=ii-f 4JS|

(3, 0, 1S2) = A'

(17. 7, 35) = ^f2J5

(17.-7, 35)^A'-f4jS

(6, 0, 9t) = A + A

(19, 9, 33) = A+A+2E

(19. –9.33) = A + A-Ï-4E

H. Determmims – 540.

Octo gênera positiva; in singulis ternae classes.

G

iett, s-, #ïj Ri; iij3

(1, 0.546) = K

(22,-2, 25)= 22?

(22, 2, 25}= 4JS

v

ieti, S; Ar»i ArTi A'iï

(5, 2, 110} = £

(21, 0, 20} = :\E

(5, –2, 111))= jE

F' ~fl

srf7, Si 7<SiA'ïî «in

(10, 2, 55; = ^-j- £

(13, 0, -12) =A-àE

(10,-2, 55)= 4+5J3

f"

U'(3, S)A'ïjA'7;iî 13

pr""

&»<?,S;J{:i(2fT;J\').l

(15,-3,37)=ii'+B

(7, 0,7S) = ^+3£

(15, 3, 37)= ^'+5 Jg

pr.»r.

ie«ï, s; /f3j iS'ij iVn

tt mm

»«<î, &; A'ïi iîîi Kl»

(23, 11,20) = il+A'-f- Jï

(14, 0,39) = il 4-4'+ 3 Jï

(23.-11,29)=

A+A'A-SE

SECTIO SEXTA.

VAU1AE DISQUISITIONUM P1UECEDENT1UM APPLICATIONES.

SOS.

Quani fertilis sit arithmcticn sublimior veritatibus, quae in aliis quoqtit1 ma-

tlicseos partibus usum praestent, pluribus iam passim locis addigitavimus quas-

dain vero applicatioues quac cxpositionem ampliorem merentur, seorsim tmctarc

non inutile duximu.s, non tam ut hoc argumentum quo plura voluminn facile ini-

plcri possent, exhauriatur, quani potius ut per aliqua specimina illustrctur. In

hacce quidem Sectione primo de resolutione frnctionuni in simpliciores agemus

dein de conver-sione fractionum communium in décimales; tum methodum novam

exclusionis explicabimus, solutioni acquationum indeterminatarum secundi gra-

dus iaservientem; tundeiu methodos novas expeditas tnulemus, muncros primos a

i'ompjjsitis dignoscendi, horumque- factores explorandi. Iji Sectiouc sequento

antiMii tlieoriam guncralom generis peculiaris functionuni per totani analysin

latissimc patentis, quatenus cum arithmetica sublimiori arcti&sime connexa est. <

stabiliemus. imprimisque theoriam sectiouis circuli, cuius prima tahtum ele-

îuenta Imctemus innotucrunt, novis iucibmentis amplifie-arc .studebimus.

1

Uemlutio J'ructionuin in simpliciares.

• 309. l

Pboblema. Vractionem "' atius (knominator 11 est pruductum e diwlius nu-

maris inter se primis a, h, iit duas ulim discerpere, quurum denomiuutuves sud a, b.

«ESOIïCTIO KKAfHOXlM JJf StMl'UtTOlHÎS. 381

Ae/. huit tmetiones quaesitae | fierique debebit te-f ay – tn; hiuc .t

ont radixcongruentiac bœ-=mlmoû.a' qime per Sect. II erui potcrit. « vero

fict«

Cctuntm constat, congrueutiam bx~m radiées infinité raultas. sed sv-

vuudum « eoiigrnas, habere. imica vero tunturo positiva minorque quant « <1«-

bitur fieri uutem potest etiam, ut y evndat negativus. Vix uecesse crit inonere.

y etifim lier eongruentinm ag~.mlxna&.b), atque je per ucquutionem jc='ffy

inveniri passe. E.g. proposita fmetiouc J?, erit 4 valor expr. îï(mod. 7,.

unde ?? resolvitur in |+ n

3 lu.

Si fractio|" proponitur,

cuius denominator « est productum c fhitoribus

quotcuuque inter se primis a, b, c, d etc. per art. pracc. primo in duas ii'solvi i

potest, quorum denomiuatores sint « et bed etc.; seeunda iterum in duas denu-

nnuatorum b et cd etc. posterior rursus in duas et sic porro uiide tandem

fractio proposita sub hanc fovmsun redigetuv

-s=! + j. + l+» +etc.

m a h • c > cl(>te.

Xumeratores a, 6, y, ê etc. manifesta positivos ac denominntoribus suis minores

aceipere licebit, practer ultimum, qui reliquis determinatis non amplius est arbi-

trorins, atque etiam negativus aut denominatore maior fieri potest (siquidem non

suppouinius m<C_n.. 'l'uni plerumque e ru erit. ipsum sub formam -IflÀ- redi-

gere, itaut s sit positivais ac minor quam c, /• vcro iute^r. Deniquo i«itet,

«, b, c etc. ita accipi posse, ut sint vel uumeri primi vel uumerorum primornm

potestntes.

Ex. Fractio |^| cuius denominator == -l.:{.7.ll lioc modo resolvitur

in l-KVrî AV in t – ??; –H in I – iV andc. «cribendo – I pro

fit sn = î+3-H + .v– i-

:il I.

Krnctio unico tantum modo sub fonnnm -a--f-r-|- eto. 4^ k wduci potrst.00''

ita ut a, 6 etc. sint positivi ne minores qunm a, b etc. scilicet supponendo

“-=

7l + A- + -J + etc. + A- =“-+ 77+ J +

etc. + A

âi*2 VAIUAEWSvKIâïnOXUiï MiAËcmuasm-JlAl'PUCATlOKfiS.

atquo etiatu «', ti' ete. positivos ac minores quatn a, 6 etc. necesstirio erit

a = a\ d = £'. y = y' etc., k = A\ Multiplieando eaiiu per « = «4c etc..

pntet ficri /w – ab cd etc. – a'bcd vtc.nwà. a), undo, quoniam ierf etc. ail a

primas est, neeessario «sa' adeoque «=a#, et periude 6 = d' etc., mule

l'tiutu sponte k -= k'. lam quum prursus arbitrarium sit, cuiusnnm denominatoris

uumerator primus .supputetur, inanifestuni est, omnes numerrttores ittt investigari

possc ut a iu art. praec, puta 6 per cougrueutkm daerf etc. =«»(mocU). y

per hnneyabd etc. /« (mod. c) etc.; sununa omnium fractionuin sic inveuttmim

vel propositac "(' nequolis erit, vel differeiitin numéros integer =Â', qua via

simul coufirmationem calculi nanciscimur. Ita iu ex. art. prnec. valorps expr.

J-S-J iniod. 4 ji »-j (mod. »; 534 (mod. 7 1 Vv' {motl i 1 ) statim suppeditant uume-

nitores 1.2. 1,1denominatoribus 4,3,7,11 resloondentes. ..suramaque harum

fractiouuui propositam unitate superarc inveuitur.

Coiwersiofractionum cuvununimrriu ilwitnuhs.

312.

Dekixitio. Si fractio communis in decimalem convertitur scricm figura-

runt dcdmaliuin '} (excluso si quis adest numéro integro;, sive finita sit, sive in

iutiuitum excurrat, fractionis mantissam vocamus, expressionem alias tantum-

modo apud logarithmos usitatam, in significatione latiori accipieutes. Ita e. g.

fractionis -• mautissa est 125. mantissa fractionis $•) 1S75, fractioais 3V mau-

tissa 054054 in inf.

Ex hac definitione statim patet, fractiones eiusdem denominatoris

easdem vel diversas mautissas habere, prout numeratores l, m secundum n con-

}jrui sint vel iucongrui. Mautissa finita non mutatur, si ad dextram cifrae quot-

cunque apponaiitur. llantissa fi-actionis obtinetur, xesciudemlo a montissa

fractionis%uram primam et generaliter mantissa fractionis --– inveuitur

rescindendo v figuras primas mantissae ipsius Mantissa fractionisstatim

figura significativa (». e. a cifradiversa) incipit, si n non > 1 u si vero « >- 1 0 ac

nulli potestati ipsius 10 aequalis, multitudoque figurarum e quibus constat est k,

printae k~ 1 figurae manti-ssae ipsius erunt cifrae atque demum sequens A-ta

crit .significativa. ïliuc facilededucitur, .si [

nian tissas diversus liabeaiit 1:

Urevitati» caussa ilis(|iiWtiuncmU'ijucutcm sirl<jstcma vulgan- deaulicuni nstrinjfimus (jtnim l'acilu'ut ijuudrisitliuil extendi pussit.

COSVKRSIO' WactlOJÏL'M œillIlNÏDl I.V lUKIMAUSS.. 383

si m sec. » ineongrar;, hascerto in primis k figum conveniw? non posse, set! =

sirtltem in ku discrepnre debere. •

31n.

Pbobmsma. Dato denominatorefractions m~ atque primis k Jigmris ex ipsim

mantissa, mvenire numeratorem m, quem ipso n minorent xuppommm.

Sol. Considérai tuv îllae A1figurai.» tumquam numerus integer. qui per «

multiplicctur, prodnetumque per 10* tlnidatur (sivo k ultiniae fijçurne ri'sccen-

tur). Si quotiens est integer sive figurae reseetne cifrac), ipse manifesto erit nu-

încmtor quaesitus atque mantissa data compléta; sin minus, numerntor quacsitus

erît integer proxime maior, sive ille quotiens unitate auctus, postquam figurae dé-

cimales sequentes reiectne sunt. Ratio liuius regulne tem facile ex iis. quae

ad finem art. praec, observavinuis cognoscitur, ut explicatione uberiori opus

non sit.

Ex. Si constat, duas figuras primas mantissae fractionis, cuius denomina-

tor 23, esse G?>, habemus productum 23.09 = 15S7. a quo duas ultimas figu-

ras abiieieudo, unitatemqnc addendo mimcmtor quaesitus prodit = 1 0.

314.

Inchoamus a consideratione taliutn fractionum, quaruni denominatores sunt

uumeri primi vel numerorum primorum potestates, postonque reliquas ad has re-

ducerc ostendemus. Et primo statim observamus, nmntissam fractionis 'cuius

uumeratorem a per numerumprimum p lion divisibilem esse semper supponimus

finitam esse, atque ex fi figuris constare, si p=2 2 nut = 5; in casu priori

haec mantissa, tamquam numéros integer considerata. erit = ô^w. in posteriori

– 2<*a. Uaec tam obvia sunt, ut expositione non egennt.

Sivero j> est alius numerus primus, Ji>'« per;;1* nuniquam divisiliilis erit,

quantnnivis magnus accipiatur r untle sponte sequitur. mantissam fractionis

F = necessario in infinitum progredi. Supponaraus, 10*" esse potestatein in-

fimam numeri 10, quae unitati secundura modulum p'x congrftufit i'oni. Sectio

III, ubi ostendimus. c vel numéro[p – I)^1 aequalein vol ipsius partem ali-

qwotam esse), perspicieturque facile, etiam I orrt fore îmwerum. in série 1 o«. 1 oo«lU0««etc. primum. qui ipsi a secundum cundem modulum sit congruus. lam

fi, Wu loun1"<(/, d 1qUU11l1JCl' art. 312 mantlssne A-actionum

1;~ioriantur. Cien1C17t1() mau-

&J4 VAJUAE OISQUISITIOXI'U l'IfctKCEOES'nt'Jt U'PUGATIQ.NES.

tissae fractionis F figurant prîmain. ctetas e figuras primas resp., manifestant

est. in hac mnntissit post primas e figuras, neque prias, casdem iternra repcti.

Fias primas e figuras, e quibus infinitifs repetitis man tissa formata est, ptrioilum

lmius ninntissac1 sive fractionis F rocare possunius, patetijiie. niagnitudinem poxù-

odi, i, e. inultitudinem nguraruni, e quibus constat, quae est =c, a numeratore

« oiuniuu iudepeudenteni esse, et per suhun ileuonùnatorem determinari. Ita t. g.

periodws fraetionis -fc est l)tt. fractionis f jjerjodus 42S571 '•.

Simulac igitur fractionis alicuius periodtis habetur, mantissa ad figuras quot- L

cunque produci poterit. Porro patet, si fuerit h = 1o'« fmod.y/), periodum frac- s

tionisoriri. si primao À figurao periodi fractionis F (supponendo \<ie quod

licet reliquis e – X postscribantur adeoque cum periodo fractionis F simul pe-

rbdos onuiium fractionum haberi. quaruin numeratoresipsis 1 0«, 100a, 1OOOaetc.

secuudmu dcnoininatorem y/ sint congrui. Ita e. g, qiuint 6^3.10* (mod. 7).

periodus fractiouis ? stati m e periodo fractionis fit S57142.

Quotics itaque pro modalo jj'1 numerus 10 est rndix primitira artt. 57, &9),

e periodo fractionisprotiuus

deduci poterit periodus cuiusvis nlins fractionis

•cuius numerator m per p non divisibilis), tôt figuras abilla a laeva resecando

et ad dextram restituendo, quot unitates habet index ipsius m, numéro 10 pro

basi accepte Hiuc jjerspicuum est, quamobrem in liocce easu nunierus 1 0 in ta-

bula 1 semper pro basi acceptus sit v. art. 72

Quando vero 1 o non est radix primitiva. e periodo fractionis earnm tan-

tummodo fractionum periodi exsciiuU possunt, quarum numeratores alicui potes-

tati ipsius 1 secundum y/ sunteongrui. Sit 10' potestas infima ipsius 10 nni-

tati secundum congrua, [y – 1 /V*"1= ef, atque talis radix prhnitiva r pro

basi accepta, ut index numeri 10 fiât fart. 7 t'. la hoc itaque .systernato nu-

meratores fraction un», quarum periodie

periodo fractionisy,

exscindi possuut.

habebuntindices f, 2f. 3/ ef –

simili modo c periodo fractionis '“ dc-

duci possunt \ieriofli fractionum, quarum numeratores 10c. llior, lOOOrctc. irt-

dicibus /-f- 1 2/f- 1. :<+ etc. respondentes; e periodo fractionis cum nume-

ratoro rr cuius index 2) deducentur periodi fractionum cum nunieratoribus quo-

') Cel. Koljertsoii puriodi inilium et linem duobus gmiictisfigurai-primai*et ultimuc siiprascrijitis imlicut

[Thcirti ••/ cirritfafimj frmtionx l'hilm. Trnu*. Kiiii /i. au:}, cluod hic non noccssitrium pulamus.

eojîVEHSio nacmsivx cômmuxïcsï us dkcimalkb. :J8i>

49

mm Indices /-f-2. 2/*+2. 3/-f-2ete.; geuernliterque c poiiodo fractionis cum=

muncrutore r* derivari potoruut periodi fruetiouuiu cum numcratoribtis quorum

indices /-f-i, 2/'+«. 3/+ «etc. ] Une facile colligitur, si taiituinmodo periodi

fractioinim cum numeratoribus 1, r, rr, r3 r^~l habeautur omîtes rcliquas

iude per solo m truii.s|jositioiioni deduci posse adiumento reguluc sequeutis Sit

index nnmeratoris m fractionis propositae i» systemate ubi r pro basi accep-llU ex nttnrerrttoria ~n l1'netlOnlS prolxositae 111 ~ystcJl1!1te u1/1'1'0

lavi !I(:CCP-

tas est, =(quem suppouimus miuorein quam [p – \)jP~x): fiut ;dividendo

\m f)i af-j~Û, itaut a, l) sint inte^ri positivi (sive etiam 0) atque 'i<

quo facto orietur periodus fractioiiis e periodo fractionis, euius numeratorduo frtctu urietur PC1'lO( us l'nctlOlllSl

c l'el'IOC 0 finctiortis, cuius tletmercttor rr

'adeoque I, quando ti = u_\ collocumlo huiux « primas figuras post rcliquas

(adeoque iianc ipsnm perioduin rotinondo, quaudo a = o}. J Iaec .sufficientor dc-

clurabuut, cur in condenda tabula I norniam in art. 72 explicatain sequuti simus.

316.

•Secundum haec principia pro omnibus denominatoribus formae p'k iufra

1 000 tabulai» periodorum necessariarum construxiimis, qunm integram sive otiam

ulterius continuatam occasione data publici iuris fociemus. Hoc loco tabula III

usque ad luw taiitunt producta taniquain specimen sufficiat. cui cxplicationc vix

opus erit. l'ro iis denominatoribus, ubi H) est radix primitivu, periodos frac-

tioinim cum numeratore 1 cxliibct (puta pro 7, 17, 19, TA. 25), 17, 59. (M, !I7 ';

pro reliquis. periodos nutneratoribus 1 r, rr, r^ respoudentes quae per

numéros adseriptos (o), (1,, {2) etc. sunt distinctae; pro basi r semper eadera

radix priniitiva adoptatn est ut in tabula I. Ilinc igitur periodus fractionis cuius-

vis, cuius denominator itt hac tabula continctur, adiumento praeceptorum art. praec.

erui poterit, postquani numérotons index por tabulam I est computatus. ("eterum

pro denominatoribus tam parvis uegotium aeque facile absque tabula 1 absolverc

poteriinus, si per divisionein vulgnrem tot figuras initiales mantissae quaesitae corn-

putamus. quot per art. 313 necessariae suiit ut ab omnibus aliis ciusdem deno-

minatoris distingui possit (pro tabula III non plures quam 2), omuesque periodos

dcnoininatori datorespondentes pcrlustrainus, usquedum ad illas figuras initiales

perreniamus. quae periodi initiuin haud dubie indicabunt: niouerc tamen oportet,

illas h'guras etiam separatas esse posse, ita ut prima ,'vel plures) h'ncm aiicuius pe-riodi constituant, reliqua vel rcliquue eiusdem initium.

Ex. (juaeritur periodus fractioui» | Hic pro uiodulo t'J per tab. l

49

380 VABIAK DJSQlJIsmONUM t'UAKCKBKNTlUJrt APPUCAHOSES.

I~u 1.n~u ~&1 n. n _1~ 1 t~ a ~,v 1

hubetur îml. 1 2 = 2 ind. 2 -f- ind. 3 – 39 = 3 (mocl 1 '%) (art. 57) qnnre'qtram

pro hoc casu unica tantum periodus uuiuentturi I respondens habeatur. huius

très primas figuras ad fincm transloeare oportet, undc fit periotlus quaesita 631")

749-l7:)01»-l21 1>52. –Aequo facile

perioeti initiam e dimbus pritnis figiiris 03 in-

ventum i'uisset.

Si periodus fractionis J J- desideratur, fit pro modulo 53, ind. -15 =2 ind. :t

-f-iud. 5 – 4'J; multitudo pcriodoruiu hic est 4=/. atque 4» =

12/-f-l;

quare apcriodo

cum ( 1 siguata 1 2 primuc figuvae postpoucudac erunt ultimae.

puriuchisqiw (]iuiosita fit S4(J0.r)0ii037735. Figurne initiales si in hoc casu se-

pnrntac suut in tabula.

Observabiinus adhuc, adiumento tabulae III etiani numerum invcniri posse,

qui pro niodulo dato 'in ip.sa sub dcnomiuatoris titulo contento) indici dato n1-

spuudcat. ut in art. 51) polliciti sumus. Patctenini per praece., iuveniri posse pe-

rioduin fractionis. cuius numeratori licet inc^uitus sit; index clatus respondeat:

sufficit autetu, tot figuras initiales huius periodi excevpere, quot figuras hnbet de-

noniiimtor; ex illis per art. 313 eruetur uumcrator sive numerus quaesitus indici

duto responden.s.

:n 7

l'or praceedeiitiu mautissa fractionis ouiuscvmque, cuius denominator est

uumcrus prinms aut nunieri primi potestas intra limites tabulae, ad figuras quot-

cunque sine computo orui potest; sed adiumento disquisitionuin in initio huius

Sectionis tabulât1 ambitus multo latius patet, omnesque fractiones quarum deno-

niinatores sunt producta c numeris primis aut primorum potestatibus intra ipsius

limitem, complectitur. Quum enim talis fractio in alias docomponi possit, quarum

denomiuatores sint hi factores, atque has in fractiones décimales ad figuras quot-

cunquo convertere liceat, restât tantunnnodo, ut hac in siunmam uniantur. Ce-

temm vix opus crit monere, suinmae sic prodeuntis figuram ultiinam insto mino-

roni evadore posse; manifesto autem defectus ad tot unitates adscendere nequit.

quot fractiones particulares adduntur, unde hae ad aliquot figurAS ulterius compu-

tare conveniot. quani fractio proposita insta desideratur. Exempli caussa conside-

rabimus fractionent^Jt^j^ = F ''> cuius denorainator est productum e nume-

*) Jiaecfractioestunac-x iis quac ad radicem quudratam ex 2°j quamproximeappropinquant et <iui-'icm exceuiM est minor ijuam septem unitutes in loco figurau fkcinmlis rigenimau.

CONVfiKSJO FttAWTOXfM COJIMCSmV i.V UEUJIÀLES. 387s!

yaumns cuuw

Il (J1

ris 10, 9. 5, 49, 13, 47. 59. Per pweoepta stipra data invenitai1 F i-f-H-f-

i 4**4- ïî + iV+ fr + Si- quac fraetioue* particulares ita ut sequitur. m

décimales eonvcrtuntur: k

I ™ l

|i – O,OS7f»

– <»,

3 – 0,4444444444 -1 4441444444 44

U = O,44S9795«J1S b 30734693S7 75

,»â- = 0,3t>40153>»40 153S4(iir>aS 40

-,î, = 0, 1 JSi):iO17O2 1270595744 GS

II = U, iSl:{.J5<J322 O:iUS9S:JO50 S4

i1 ^= .1,795*315233 12719.11100 T7

J)cfectus huius sunimae a iusto certo minor est quinque uuitatibus in fiffura

ultima vigesima secunda, quare viginti primao indc mutnri nequeunt. Calculuni

utl plures figuras pvotliiccndo pro duabus figuris ultimis )7 prodit 1893930

Coterait) vcl nobis non moncutibus quisque videbit, hauc metliodum, fractio-

ues communes in décimales convertendi ci potissimum casui accomodatam esse*,

ubi multac figurne docimalesdesiderentur qiumdo eiiim pauene sufficiunt. divisio

vulf-Jtris sive logarithmi aeque expcdite plerumque adhiberi poteruut.

318.

(iuum itaque resolutio talium fractionum, quarum denominatores e pluribus

nnmeris primis diversis compositi sunt, ad eum casum iam reducta sit, ubi deno-

uiinator est primus aut primi potestas: de illamm mantissis pauca tantum adiieie-

nms. Si denominutor factorem 2 et 5 non continet, mantissa etiam hic e perio-

dis constabit, quoniam pro hoc quoque casu in serie 1 0, 100, 1 000 ad terminum,

unitati secundum denominatorem congruum, tandem pervenitur. siimilqne huius

termini exponens, qui per art. 92 facile determinari poterit, periodi magnitudinem

a nuincratarc independentem indicabit, siquidem hic ad denominatorem primus

fuerit. – Si vero dcuominator est formae 2*5^, désignante AT numeruin ad

1u primum, a et f> nuntcros, quorum unus saltem non est 0. fractionis mantissa

post primas a vel ïi figuras (prout « vel I> maior) e periodis constare incipiet.

«uni poriodis fractionum cum denominatore A7 vespectu longitudhns convenieuti-

38$ VJMIAK IHSQnsrtWVf'M PRAKVHrëNTIVM APPIdOmOMES»

bus: hoc facillime inde derivatur. quod illnfraetio in etuas alias cum denominnto-

ribns 2*58 et N resolubilis est quarum prior post primas a vel 6* figuras ab-

nunpctur. Cctcrum de hoc argumente) militas alias observationos adiieerc pos-

semu*. prnesertim circa artinciu. talcn» tabulam ut III quam eitissime eoustruendi.

quas brevitatis cuussu eu lubentius hoc loco supprimimus quum plura hue perti-

nentin tmn a ccl. Kobertson 1. c.. tnm n cel. Benioulli [Nour. Mêm. de l'Ac. tle

Jieiiîn 1771 p. 273* in'm sint tratïita.

•Suliili" euwjrmuliw xx =: A fer melhwtum ejcctusioiu'x.

:$J9.

Congnientine .t\t' = .-1 (mod. m), quae convenit cum nequntione indetermi-

natu *\v – A-mi/, pombilitatem ia Soct. IV (art. 1 40'. ita tmetavinms, ut nihil

aiaplius desiderari posso videutur: respeetu investigationis ineo^nitae ipsius nutcin.

iam supra ai-t. J 52; obsen'aviinus, metliodos indireetas diroetis longe esse praefe-

riuidas. Si m est numerus primus ad quem casum reliqui filcile ruducuutur), ta-

bulam indicum 1 'cum III secundum obs. art. :UGcombinatam) ad hune fiuem ad-

hibere ])osseniu.s ut iu art. 00 generalius osteadiinus; haec vero metliudus intra

tabulae limites restricta foret. Propter bas rationes methodum sequentem gone-

raliM» ac expeditum arithmeticae amatoribus bautl iugratam fore speramus.

Ante omnia observamus, sufficere, si ii tautummodo valores ipsius j? habeaii-

tur. qui siut positivi attuie non uiaiores quam $ m, quiua quivis alius horum ali-

cui vel ipsi vel négative sumto secundum modulum m congruus sit; pro tali vero

valor(~ ipsius iv %-nlor ipsitts y 1",1..1

et -ilIll/J

Acoii-valorc ipsius x valor ipsius y necessario inter limites – et { m

– cou-

tentus erit. Methodus itaque, quae statim se offert, in eo consisteret, ut pro sin-

gulis valoribus ipsius y intra hos limites contentis. quorum complexuni exprime-

nnis per Q, vnlor ipsius A-my, quem por F denotabimus, coniputetur, iique

soli retinenntur pro quibus Ir fit qundnituin. Quaudo m est munerus purvus

[e.ff. infra -tu), hoc teutamen tam brève est, ut nontractionc vix opus sit;

quaiidoautem m est magnus. labor per mi'.tliodttm exchmonis sequentem, quantum

lubet. abbreviari poterit.

320.

Sit E numerus arbitrarius integer ad m primus ac inaior quam 2; omnia

i.'ius nou-residua quadrntica diversn [t. e. secundum jE incongrua) haec a, b, c. etc.

SOM'tïO CONttlM'ENTMK <l\V A. 389

denique milices eongrncntîorum

+ '»Jf = «, A + m y = b .1 + mg – t- <mi. sec. mod. JB

hac a, tf, Y etc. quas omites positivas ne minores quam E accipere licebit, Si

itaque ipsi y valor alicui ex lus mimeris or, b\ y etc. seoundum E congruus tri-

biiitur, valor ipsiu-s V =A~mg imlo oriuudus alicui ex his «, 6, totc. cwi-

grtms et proin uon-rcsklmim ipsius E crit, neque adeo quadmtum esse jjoterit.Hine patet, ex Q oinnes statim numéros tamquam inutiles oxcludi posse, qui sub

ibnuis Et+a, Et-$, Et-y etc. coutentiwut, sufficietquo, tcntnmcn de re-

liqms, quorum cpmplexus fit Q', instituisse. In ilk operotioue numéro E noiiieu

exclmle/ttia trilmi potest.

Aceipiendo autein pro excludente mimerum idoncum alium JE1, prorsus si-

mili modo iuvMiiciitHr tot nnmeri «', b", etc., quot non-residua clivera quadra-tica habet, quibus g secundum niodulum E' congruus esse nequit. (junre denuo

ux L>' eiieere liccbit omiies numéros sub formis J5't-a, i'V-f-lJ'. JSV-f-y'ete.eontentos. Hoc modo contiminri poterit, alios alio.sque semper cxdudentes adhi-

bendo, donec multitudo numerorum ex Q tantum deminuta fuerit, ut non tliffici-

lius videatur, omîtes superstites tentanùni rêvera subiicere, quam exclusiones no-

vsis instituerc.

Ei: Propositu aequatione .jm- = 22 -f «7^, limites valorum ipsius g erunt

– H et 24 î – §i, uttde {quoiiioiii inutilitus valoris u perse est obvia iî eom-

prehenck't numerox 1,2,:}. 34. Pro E = U habetur unicum nou-residumn

« = 2; undefit a – 1 excludendi sunt itaque ex 12 omîtes nuiiieri formae

:< t- I multitudo remnnentium i>' «?rit 1 0. Simili modo pro B – 1 habettiru = 2, b = :}, unde a o, {>' = l jjunrc reiici dcbent itumeri formae 4 t̂ et

\t-{- 1 restantque hi octo 2. :$. (i. l J. Il, i->, 1b, 23. Perinde pro E = re-

iicieitdi inveniuntur nuuteri ibrniarum Mot 5/+ 3: remaneiitque Li 2. 0.11, M.

Ëxcludcus fi retnoveret numéros fonnurum dt-i 1 et Gf-f-4, lu vero (qui cumuumeris formae -At- 1

couveniuiit^ intn absunt. Excludens 7 eiieit numeros

fomurum 7^+ 2. 7/+:j, 7^-f s. ac relinquit hos 0,11,11. Hi pro g substi-

tuti producunt rosp.F– oui, 1 0 S t> i:tSO. e

quibus valor secuiuhis solus est

«juadratus, unde .t= Jf- TA.

390 VA1U.4EDlSQfJHlTIOSL'jr L'HAKCEUENtll'SiAPPL.ICATIONE3.

ta tt4t821.

Qmun openctio cum exdndente E institut* e wtloribus ipsius V, valoribus

ipsius y ilt U respondentibus, outnes eos releget, qui sunt non-residua qimdratica

ilrsins E. resichm vero eiusdcm numeri non attingat; facile intelligitur, usai» exelu-

dcutiuui E et iE uihil diffère, si E sit iuipar, qmun in hoc casu E et 2E cadcm

residua et non-residua habctint. Hinc patet. si successive muneri 3,4,5 etc. tam-

quum exclttdeitto» ailltibeaiitnr. numevosimparitev parcs G, 10, 14 etc. tamqimut

supi'i-Huos [irautereundos csm*. Porro perspiciium est, operationem duplicem. cum

cxcludcntibus JE, JE' iiiqtittitani, omnes eos valores ipsius T* removere, qui vel

utriusque E. E' vol ullius non-residua sint, oosque qui sint utriusque residun, re-

nmiieie. loin quum in eo casu, ubi E et E' divisorem communem non habent.

illi nuinori eiecti oniues sint non-residua atque hi superstites residua producti

EE'. iimnifestuni est, usuni oxcliidentis EE' in hoc casu omnino tantundcm ef-

ncerc. ac usmn duorum E, E\ adcoque illutn, post hune, supcrnuum fieri. Quarc

eus quoque excludcutcs omues practerire licebit, qui in duos factores inter se pri-

uios resolvipossuut, sufficiutquo

iis uti. qui suut vcl nunieri primî (i])sum m non

nietientcs vel primurum potcstates. Denique manifestum est, post usum exclu-

deutis jj', qui sit potestas numeri prîmi p. excludentem p seu ji1, quando v<|i.

.su}>vrfiuiiiu fieri: quum enim ]î-1 iuter valores ipsius V .sola sui residua reliquerit.

a potion non-resitluaipsius p

autpotestatis cuiusvis inférions

p' non ainplius

aderunt. Si vero p aut p' ium autu p'1 adhibitus est, hic manifesto taies tantum

valores ipsius V eiieere potest, qui simul sunt residua ipsius p aut j>v) atque non.

residua ipsius p' quart' huiusmodi tantum non-residua ipsius p* pro ce, b,cetc.

accipere snf'ficdct.

322.

Computus numerorum a, 6, y etc. curas excludenti dato E respondentium

nmltuiu contrahitur per observationes sequentes. Sint 3(. $5, S etc. radiées con-

^ruentiarum mg=a, mj/ = b, my = c etc. (mod. E) atque k radix huius my

;= – A. patctque fieri « = 31 + Ij^^S+A-, y^S + ^etc. lam si ipsos

33, S etc. rêvera per solutioucm illarum congrucntiaruni cruerc oporteret, haec

via ipsos a, 6, y etc. invenieiidi nihilo utique brevior foret, quam ea quam supra

ostendimus: sed illud neutiquam est nacessarium. Si enim, primo, E est nume-

rus primus, atque »j residuum qu. ipsius E, patet per art. 9 s, ipsos 53, (S etc.

SOfctTTO AEQFATrONIS 1NDÉTËBM1KATAEW$X-+»gg -j=. A. 391

qui sunt valoresexpr. £, £

etc. (mod. JE), fieri non-vesidua diversa ipsius E, ï

adcoque cum ipsis a, g, y etc. omnino convenire, abs-tmhendo ab ipsorum online. °

cuius uihil hic refert; si vero in eadem suppositione m est non-residuuiu ipsius E. 2numeri 91. 2?, 6 etc. cum omnibus residuis quadraticis, abiecto o, convenieut. 1

Si E est quadratum numeri prinii (imparis} =fp, atqoe p iam tnmquam ex- teludens applicatus, sufficit per art. praec, pro «, b, c etc, ea non-resitlua ipsius

/> nssumere quae sunt residua ipsius yj, i. e. numéros y;, 2^, 3y> pp –p s(.i-«

licet oranes numeros infta pp praeter 0, qui per p sunt divisibiles;; hinc vero

facile pczspicitur, pro 9(,©, g etc. omuino eosdem muneros proveiiire deberc. ali- »

ter tantum dispositos. Similiter si post appUcationcm exeludontium p c-t jjp pu-î

uitur H–p*, sufficiet pro «, A, c etc, accipere producta singulorum non-resi-

duorumipsius p in pp, unde pro 33, S etc. provenient vel iidem numeri, vel

producta ipsius pp iu singula residua ipsius y praeter 0, prout m est icsidunm

vel non.residuum ipsius p. Geueroliter aceipiendo pro B potestatem quanicun-

que numeri primi puta p*, omnibus inferioribus iamapplicatis, pro 2f. <p, g etc.

prodibunt producta ipsius y^"1 vel in omnes numéros ipso p minores, i>semper

=

excepto, quando j* par, vel in omnia non.icsidua ipsius p minora quam p, quando

•a impar atque mlip, vel in omninresidua, qunndo mNp. – Si £ = ,| ade-o-

•juc « = 2, b =3, .pro 31, «8 habemus vel 2 et 3 vel 2 et L prout m =

aut=3(mod. 4)..Si post usum excl. 4 statuitur £' = S, habemus a =

unde 21 fit 5, 7, 1. 3. prout »= 1, 3, 5, 7 (mod.S (ioucralitcr autem si E

est potestas altiorquaecunque binarii puta ï-\ inferioribus iam applicatis poui

débet ta = 2*-1, i = 3.2!i-2, quando jx est par, unde fit 9( = 2v-\ 33 l)^

vel = 2"1"8 prout »=1 vel =3, quando ven> (i est impar. ponendum est«= 5.2I*"3, iinde 21

aequalis fit producto numeri 2;i~i in 5, 7, l. vel 3. prout«»= 1, 3, 5 vel 7 (mod. 8).

Ceterum periti facile comminiscentur apparatum per quem valores inutiles

ipsius y mechanice ex Q eiici possillt, iiostquain pro tot excludcntibus quot neces-

snrii videntur numeri a, 6, y etc. sunt computati: sed de hac re sicut de aliis ar-

tificiis laborera contrahendi hic agere non licet.

Xolutio an/uatiniiU indeh-rminatac mxjc + nyy = Aper i/elimomt.

323.

Omnes repraesentationes numeri dati per formam binariam mxv + nyif.

392 VAMAKWSyl'lsmoîce.W l'MÀRéKDENÏll'JiAréuCÀTIOM».

sive solutione* aeqtwtiom's imletenninntae mxx-n#jf – A, in Aectione Vr me-

tbodo gciicrnli iuuenire docuhuus, euhis brevitas quoque iïthil desiderawlum re-

liuqucrc vif letur si omnes vulores expr. – mn secuuduin moduluiu A ipsum,

et per suos factures qusidratos divisum, iam babentur; hic; uutcin pro eo casu, jj

ubi nn est positivu*. suliitioncm cxplicabiuius directa umlto expeditiorem si|

ud liane illos valores antea coinputnrc oportet. Nupponemns auteni, numéros m,

h et ^1 osse positives atqut» iuter se primes, qimrn casus rdiqui ad hunc facile

possint reduci. M'anifosto quoque sttiticit, valores positivos ipsorum «ï. y eruere,

quum roliqui indo per solam si^noruni mutationcni deducautur.

l'erspiciuun est. œ ita coiuparatum esse debere, ut '-–- pro quo seribe-

mus Y, positivus, integer. et quudratus ovudat. Conditio prima requirit, ut >v

11011Sit inaior quum secuudu iam per se locum liabet quando n = 1 alio-

quin n-'quirit, ut valor expr. – mod.w sit residuum quadraticurn ipsius n, cle-

signandoq ue omnes valores diversos expr. y" (mod. n) per +r, +r'etc., x sub

aliqua formanun ttt~{-r, ut – r, nt-r etc. contentus esse deliebit. Sinipli-

cissinnun itaque foret omnes numéros lmruni formarura infra limitem \JA- quo-

rum complcxum p(;r Q exprimi'iiuis. pro ,r substituere eosque solos rctinerc.

pro quibus V lit quudmtum. Hoc tenta inen, quantum lubeat, coutrohere. in

art. sq. dooebimus.

324.

Mctkodus exchisionum, per qviam lioe effieiemus, perinde ac in disqu. praec.

in eo consistât, ut plures numéros, etiam hic excludentes vocandos ad lubitum

accipianms pro quibusuam valoribus ipsius .r valor ipsius F fiât non-rcsiduum

qu. horum excludentium, investi^emus, talesque ,« ex Q eiieiamus. Per ratio-

fàuia iis quae in art. :$21 exposuimus omnino nualo^u apparet, taies tantunt ex-

cludentes udliibendos esse. qui sint uumeri primi aut nuinerorum priiitorum pote-

states, et pro excludente posterions generis ea tantum ipsius non-residua a valo-

ribus ipsius Ir arcenda, quac sint residua omnium potestatuni inforiorum eiusdeni

nunveri primi, siquidem exclusio emn liis iam est instituta.

Si itaque exehuleiis E=p'1 includunclo etiam eum cusuiu ubi ji = 1

ubi pest nuincrus prinius ipsum iu non motions, supponamusque

esse sum-

*) Uri'vitatis caussa Uuoscasus. in ijuibu*»« per /i estdivMbtlis ai- non divisihilis. «imulcoin|ilcctïmurin pvsturiori -1= u puneru ujiurti't.

soutto XGQriTjdNig mDËrKBKlxÀï'Ak mJcx-viftt – A. 31)3

50U

roiun poiestatem eiusdcm numeri primi per quaia » sit tlivisibilis. Sint «; h e etc.

non-residua quadratiea ipsius E 'cmmia, quando p – 1 neeessaria sive ea quae

sunt residua potcstatum inferiorum. quando f*> 1). Computentur radiées eon-

gruentiarum ms~A – na, mz^A – nb, ms=A – nc etc. mocl. Eps = /»!* + v'•

quae sint a, ô\ y etc., patctquc facile, si pro quo valore ipsius x fiat xx~a

imoà.Ep'), valorem respondentem ipsius V fieri s« mod.JB) sive non-resi-

duutn ipsius JET,simfliterque de numeris reliquis lî, y etc. aeque facile vice versa

perspicitur, si quis valor ipsius x producat F = « ixnoà.E), pro eodem tieri

i?a? = a (mod. Ep1), adeoque omnes valores ipsius x, pro quibus xx nulli nume-

rorum a, lî, y etc. sec. mod. Ep1 congruus sit, tales valores ipsius TT producere,

qui nulli numerorum a, b, c etc. sec. mod. E sint congrui. Eligantur iam e nu-

meris a, ô", y etc. omnia residua quadratica ipsius Epi*, quae sint y, g\ g" etc.,

computentur valores expressioiium %i~,~ig', V.9 c~te. ~lmod. Ep'), ponamusqtie liinecomputentur valores expressionum \ig \j<f, \j< etc. (mod. JS/ ), ponamusque hinc

prodire +/ +/ +/ etc. His ita factis manifestum est, omnes numeros for-

maruni EpHt + h, Ep't-jrh', Ep't-^ à" etc. ex Q tuto eiici posse, nullique va-

lori ipsius x in Q post hanc exclusionem remanenti valorem ipsius V sub formis

Eu-a, En-{-l, Eu ~c etc. contetitum respondere posse. Ceterum inanife-

stum est, tales valores ipsius F iam per se e nullo valore ipsius x prodire posse.

quando inter numeros a, 6, y etc. nulla residua qu. ipsius Ep"1 inveniantur, ad-

eoque in hoc casu numerum E tnmquam excludentem applicari non posse.

Huiusmodi excludentes, quot placet, adhiberi, atque sic numeri in iî ad lubituiu

diminui possunt.

^'ideamus iam, annon etiam numeros primos ipsum m metientes, taliumve

numerorum potestates tamquam excludentes adhibere liceat. Sit B valor expr.

rl (niod.m,), patetque, F semper ipsi B secundum mod. m congru um fieri. qui-

cunque valor pro x accipiatur, adeoque ad possibilitatem aeqtt. proj). necessario

requiri, ut B sit residuum quadraticum ipsius m. Designante itaque p diviso-

rem qucmcunque primum imparem ipsius m, qui per hyp. ipsos » et A, adeo-

que etiam ipsum B non metictur, pro valore quoeunque ipsius x erit V resi-

duum ipsius p adeoque etiam cuiuscunque potestatis ipsius p\ quamobrem p ip-

siusque potestates nequeunt excludentium loco haberi. Promis simili ratioue.

quando m per S est divisibilis, ad aequ. prop. possibilitatem necessario requiri-

tur, ut sit B~ 1 (mod. s), unde etiam V pro valore quoeunque ipsius x fict = 1

(mod. S et proin biuarii potestates ad exclusionem non idoucnc. Quando au-

394 VARIAS WISQUISI'ÏIONL'M PKAHGSDENT1C.U AWUt'ATlONES.

tem m per. 4 neqius vei-o per S est divisibilis, ex simili ratiene esse tlebeMt B=! 1

(mod. 4), adcoquc valorexpr. (mod. S) vel 1 vel 5 designetur ler C. Nullo

negotio perspieietur pro valore pari ipsius x hic fieri F = C; pro impari,

Fs C+ 1 (mod. S; unde pntet, valores pares reiiciendos esse quando C=5;

impures, quando 0 = 1 Denique quando /« per 2, neque vero lier -1 est

divisibilis, sit ut aute Cvalor expr. (mod. S), qui erit 1,3,5 vel 7; atque D

valor huius^(mod. 4), qui erit 1 vel 3. Iam quum valor ipsius Fmanifesto

semperfiat ==C – 2D**(mod.8), ndeoquepro «pari =C, pro impari =C– 21),

facile hinc colligitur, reiieiendos esse oinucs valores inipares ipsius x, quando

C = 1 omnes pares, quando C = 3 et D = t aut C = 7 et D = 3, atque

valores rémanentes omnes producere V=: 1 (mod. 8) sive residuum cuiusvis

potestatis binarii; in ensibus reliquis autem, puta quando C = 5, aut C = 3 et

D = 3, aut C = 7 et D = 1, fiet V= 3, 5 vel 7 (mod. S), sive et accipiatur

par sivc impar, unde liquet, in his casibus aequationem prop. solutionem omnino

non admitterc.

Ceterum quum prorsus simili modo, ut hic valorem ipsius x per exclusiones

invenixe docuimus, etiam, mutatis mutandi.s, valorem ipsius y elicerepossimus,

methodum exclusionis ad problematis propositi solutionem duobus semper modis

applicare licebit (nisi m = n = 1 ubi coiucidunt), e quibus is plerumque est

praeferendus. pro quo Q terminomm multitudinciu minorem coutinet, quod facile

a priori aestimari poterit. – Denique vix necesse erit observare, si post aliquot

exclusiones omîtes numeri ex Q abierint, hoc ut certum indicium inipossibilitatis

aequationis propositae esse considerandum.

325.

Ex. Proposita sit aequatio 3*^4-455^= 10857362, quam duplici

modo solvemus, primo investigando valores ipsius *•, dein valores ipsius y. Limes

illorum in hoc casu est ^36191203-, qui cadit inter 1902 et 1903; valor expr.

(mod. 455.) est 354 atque valores expr. \/354 (mod.455) hi +82, +152,

+ 173, + 212. Hinc S constate 33 numeris sequentibus: 82, 152, 173, 212,

243, 282, 303, 373, 537, 607, 628, 667, 698, 737, 758, 828, 992, 1062, 1083,

1122, 1153, 1192, 1213, 1283, 1447, 1517, 1538, 1577, 1008, 1047, 1008, 1738,

1902. Numerus 3 in hoc casu ad exclusionem adhiberi nequit, quia ipsum m

metitur. Pro exclndente habemus « = 2 b = 3 unde a == 0, 6=3,

sotrtro AEQUATiosm i.N-pBrKRMmAfAË mxx^-nytf – A. 395

50-

g = »>, atque valoresexpr. v^(niod.4} hos o et 2; hinc sequitur, omnes nu-

méros fonnarum 4 et 4? +2, t. e. omnes pares ex £2 oikiendos esse designcn-tur (sedecim) reliqui per 21. Pro E = 5, qui etiam ipsum « metitur, habemus

radiées congruentiarum me–A – 2b et«;r:=i4 – »« (mod. 25) bas 9 et 24,

quaeambae sunt residua ipsius 25, valore.%que expressioimm \Jl) et v'2*(mod.25'nu"t i:i' i7! eiectis ex 0* omnibus numeris formarum 25f+3, 25?+ 7

restant hi decem (2"): 173, 373, 537, 007, 737, 10S3, 1213, 1283, 1517, 1377.

Pro E = 7, habemus congruentiarum mz~A– 3», mx–A– 5«, »js=^4– o»

(mod. 49) radiées 32, 39, 1S,quaeon)ncssunti'esiduatpsius49.atquevalores

expr. \/32, \/39,lS(mod. 49) hos +9, +23, +19; eiectis ex ii" numeris

formamm 49/ + 9, 49*+ 19, 19^+23 rémanent hi quinque (Q'"): 537.737.

10S3, 1213, ir>l7. l'ro JS=S habemus a = 5, unde a = 5, qui est non-

residuum ipsius 8; quare excludens 5 non potest adhiberi. Numerus 9 ex ea-

dem ratione praeteroundus est ut 3. Pro E = t numeri «, b etc. fiuut 2, a.

7, 9, 10; v = o; unde numeri a, 8 etc, = S. 10, 5. 0, 1, e quibus tres suut

residua ipsius 11 puta 0, 1, 5; hinc dedudtur, ex ÏT reiieiendos esse numéros

formamm I \t, 1H + 1, lt^+4, quo facto rémanent 537, 10S3, 1213. Quos

tentando prodeunt pro V resp. valores 2 1 9a 1 1 «129, 1 1 1 o1 e quibus secundus

ac tertius soli sunt quadrata. Quare aequ. prop. duas solutiones per valores po-sitivos ipsorum x, y admittit, =

10S3, y = 127, et x =1213, y

= 119.

Secundo. Si alteram eiusdem aequatiouis incognitam per exclusiones indagare

placet, ponatur haec sub formam455.j.vt+ 'èyy – 10657302, commutando x

cum y, ut omuia signa artt. 323, 324 retinere liceat. Limes valorum ipsius x hic

cadit inter 154 et 155;valorexpr. ^-(inod.«)

est 1; valoresliuius y't (mod. 3)

sunt + 1 et – 1. Quare Q continct omnes numéros formamm 3/+1 1 et

3^–1, i. e. omnes per 3 non divisibiles usque ad 154 incl., quorum multitudo

est 103; applicando auteni praecepta supra data invenitur, pro excl. 3; 4; 9; 11

17; 19; 23 reiiciendos esse numéros fonnarum 9t+4; 4t. 4J+2 sive omnes

pares; 27t±l, 27f+10; Ut, Ut±i, Ut±'i; l7t±Z, \7t±4, I7t±û,

I7t±1; 19^+2, 19^+3, 19/+-8, 19/ + 9; 23/, 23^+1, 23^+5, 23t+7,23 1 +0, 23 1 + 1 0. 1-Iis dcletis superstites invcuiuntur 119, 1 27 qui duo soli

ipsi V valorem quadratum conciliant, éasdcmque solutiones suggerunt, ad quas

supra pervenimus.

•*&G VAttUE DISqUISmONDit tfRAKOEDENTIUM AWMCA'MONK^

326.

Methôdus praecedens iam per se tarn expedita est, ut vix quidquam optau-ilum rclinquat; attamen per multifaria artificia magnopere adhuc contrahi potest,e quibus hic panca tantum attingere licet. Itestringemus itaque disquisitionemad eum casum, ubi excludens est numerus primus impar ipsum A non metiens,

sive talis primi potestas, praesertim quoniam casus reliqui vel ad huuc reduci vel

methodo analoga tractari possunt. SupponendojM-MKO, excludentem E–p esse

1A 1/" nLuumerum primum ipsos m, n non metiontem, atque valores expr. – – –

– '^utc. (mod./j) rcsp. k, Sï, $, (S etc.: nunieri a, ï>, y etc. inveniuutur per con-

gruoHtias a = A-4-8(, Jj – k-j-B, y = A-+S etc. (mod.^). Nuineri M, ©, 6 etc.

autem per artificium ei prorsus simile, quo in art. 322 usi sumus, sine congrueu-tiarum computatione erui possunt, et vel cum omnibus non.residuis, vel cum

omnibus residuis ipsius p (praeter 0) convenient, prout valor expr. –-(mod.p),sive quod hic eodem redit) numerus mn est residuum vel non-residuum ipsius p.Ita iu ejn. II art. pracc. pro E == 17 fit k = 7; – mn = –1365 = 12 est

unn-residiium ipsius 17; hinc numeri SI, 9) etc. erunt 1, 2, 4,8, 9, 13, 15, l<>G

adooque numeri a t etc. 8, 9, 11 1 5, 1 6, 3, 5, 6 ex lus residua sunt 8, 9,15. 1 0.

uude + h, H etc. fiunt + 5, 3, 7, 4 – Quibus saepius occasio est huiusmodi

problemata solvendi, commoditati suae eximie consulent, si pro pluribus numeris

primis p, valores ipsorum h, A' etc. singulis valoribus ipsorum A (1,2, 3. |»– 1

respoudcntes in duplici suppositione (putaubi –m» est residuum et ubi non.

rcsiduum ipsius p) computent. Ceterum observamus adhuc, multitudinem numt'-

rorum h, –h, h etc. semper esse ${p– 1), quando uterque numerus k et – »*»a~

sit residuum vel uterque non-residuum ipsius p; |(y> – 3), quando prior 12., po-sterior NR; £(^4-1), quando prior NR; posterior JB.; sed demonstrationem

liuius thcorematis, ne nimis prolixi fiamus, supprimere debemus.

Quod autem, secundo, eos casus attinet, ubi E est numerus primus ipsum« metiens, aut potestas numeri primi (imparis) ipsum n metientis seu non

metientis, hi adhuc expeditius tractari possunt. Omnes hos casus simul com-

plectemur, omnibusque art. 324 signis retentis ponemus n^rip"1, ita ut te per pnon sit divisibilis. Numeri a, b, c etc. erunt producta numeri p*'1 vel in omnes

numeros ipso p minores (praeter 0), vel in omnia non-residua ipsius p infra p,

prout p est par vel impar; exprimantur indefinite per up*"1. Sit k valor expr.

~-{mod.y>+v), eritqueper/) non divisibilis. quia endem proprietas in A suppo-

AU* METHODira CDNGBUBKTJAMJfX~A SOLVBKm. 3..9.7

ttitur; pom> patet, omnes a, g, y etc. ipsi k sec. mod. y/ congruos fieri. adeoque

p nihil ex 8 excludere, si *JV/»; si vero kRp adeoqueetiam

kRp^+\ sit >•

valor expr. yÀ-(mod./l+v), qui per p non erit divisibilis atque e valor huiua

– Sr(mod«/»)» eritque a – rr-f 2er«/>v(mod./»f+v), unde facile colligitur. a

esse residuum ipsius p^\ atque valores expr. ^a{moù.f-+H) fieri +(»•+««/>hinc omnes h, h', h" etc. exprimentur per r+uef-1. 1. Denique nullo negotiohinc concluditur, numeros Il, iï etc. oriri ex additione numeri r ctin» pro-ductis numeri |>c+v-1 vel in omnes numeros infra p (praeter 0), puta quaudo (x

par; -vel in omnia non«residiia ipsius p infra hune limitem, quando |a impar

atque eBp sive, quod lue eodem redit, quando – 2wrn'Rp; vel in omnia residua

praeter 0), quaudo fi impar atque –%mrnNp.

C'eteram simulac pro singulis exeludentibus. quos applicare placet, uumeri

h, h' etc. sunt eruti exclusionem ipsam etiam per operationes mechanicas perfi-cere licebit, quales quisquc harum rerum peritus facile proprio morte excogitare

poterit, si operae pretium esse videbitur.

Tandem observare debemus, quamvis aequationem aœx~ 2bœy-{-cjfy–M,in qua bb – ac negativus == – D, facile ad eam formam, quam in praecc. cou-

sideravimus, reduci posse. Designando enim divisorem communem maximum

numerorum a, b per m, et ponendo

a = m «'.b – mb\ J = de – m b'ti = » a'x + b'tf –lit

aequ. illa manifesto aequivalet huic maix'-{- alyy = a M, quae per praecepta

supra tradita solvi poterit. Ex huius autem solutionibus eae tantnm erunt reti-

nendae, in quibus x– b'y per «' fit divisibilis. sive unde x vnlores intégrasnnneiscitur.

Alia methodut conymenliam ix W A sulvondipro m catu, tibi A rat tinjutimu.

327.

Quemadmodum solutio directa aequationis ajsM-2lwjr-j-cjfjf = M in

Sect. V contenta valores expr. \jibb~ «c)(mod. M) notos supponit: ita \ice versa

pro eu casu, ubi bb– ac est uegativus, solutio indirecta in praecc. exposita me-

thodum expeditissimam subministrat, illos valores cruendi, quae, praesertim provalore perrnagno ipsius M, methodo art. 322 sqq. longe est praeferenda. Sup])o-nemus autem. M esse numeruiu primum. aut saltem ipsius factores. si coin pu-

39X"AIUAE DISQ.ln8rrlO~Cn PRAr.cEDDTlt:HAI'PJ,ICATIGNJo:S.

tsitus esset adhue incognitos; si enim constaret, humertim primum p ipsmn M

metiri. atque esse M = p^M', ita ut M' factorem p non amplius implicet,

longe conuuodius foret, valores expr. \J{bb – ac) pro moclulis et M' sigillatim

explorare (priores ex valoribus sccondnm modulum p, art. 101), valoresque sec.

mocl. M ex horum combiuatione deducere (art. 105).

Quaerendi sint itaque omnes valores expr. – D(mod.M), ubi D et M

positivi .supponuntur atque M sub forma divisorum ipsius &\v-D contentas

art. 1 47 sqq.' alioquin enim a priori constaret, nallos numeros expressioni pro-

positae satisfacere posse. Sint valorcs quaesiti, e quibus bini semper oppositi cruut,

+ »•. ±' ±r"etc, atque D+rr=Mk, D+r'r'=Mh\ D + »'V"= Mh" etc.;

porro designcntur classes, ad quas formae [M, r, h), (M, – r, h), [31, >• h'),

M. ~r, [M, r", /<"). 'M, –r", h") etc. pertinent, resp. per S, –S, S', –S'.

G", – 6" etc., ipsarumque complexus per ©. Hae classes quidem. gencraliter

loquondo. tamquam incognitae sunt spectandne; attamen perspicuum est, primo,

oiunes esse positivas atque proprie primitivns, secundo, omnes ad idem genus per-

tiuerc. cuius ckuracter ex indole numeri M, i. e. ex ipsius relationibus ad singulos

divisores primos ipsius D (insuperque ad 4 aut 8, quando hae sunt necessoriae)

facile cogiiosci possit (art. 230). Quum suppositum sit, M contineri sub forma

divisorum ipsius xœ-{-D, a priori certi esse possumus, huic characteri necessario

genus pos. pr. pr. formoruin determ. – D rcspondere, etiamsi forsan expressioni

y– D.iuod. M) satisfieri nequcat: quum itaque hoc genus sit notum, omnes

élusses iu ipso contentae erui poterunt, quae sint C, C\ C" etc., atque ipsarum

complexus G. Patet igitur, singulas classes S, – S etc. cum aliqua classe in

G identicacs esse debere; fieri potest quoque, ut plures classes in & inter se,

adeoque cum eadem in G identicae sint, et quando G unk-ani classem continet,

certo omnes in © cum hac convenient. Quare si e classibus C, 0'. C" etc. for-

mae (simplissimae) etc. cliguntur, 'una e singulis): e singulis classibus

iu © uua forma inter lias reperietur. lam si axx-2bj>'jf-t-cyjj est forma in

classe S contenta, dabuntur dune repraescntationcs numeri M per ipsam ad va-

lorem /• pertinentes, et si una est x = m, y = m, altera erit as = – m, y =

– n; unicus casus excipi debet, ubi D = 1, in quo quatuor repraesentationes

dabuntur (v. art. 180).

Ex his colligitur, si omnes repraesentationes numeri M. per singulas formas

/etc. investigentur (per rnethodum indirectam in praecc. traditam), atque

M Àk METBOÏHJS CONOHl'KSTÏÀia XX ^Â SOUTENU. 399

ïjine valores expr. \/– JD(modf. M), ad quos singulae pertinent deducantur ;art.

154 sqq.), mnes valores huius expressionis inde obtineri, et quident singulos bis,

aut, si D=i, quater. Q. E. F. Si quae formac inter etc. reperiuntur,

per quas M repraesentari nequit, hoc est imlicium, ipsas ad nullam classem in

© pertinere, adeoque negligcndas esse: si vero M per nullam illnrum formnrum

repraesentari potest, necessario -D debebit esse noiwesiduum quadraticiun ip-sros M. – C'irca has operationes teneantur mlluic observationes sequentes.

I. Repraesentationes numeri M per formas etc., quas hic adhibemus,

subiutelliguntur esse tales, in quibus indetermiiiatarum valores inter se primi sunt:

si quae aliae se offerunt, in quibus hi valores dimorcm communem |* lia beat

(quod tune tantummodo accidere potest, ubi ftjji metitur ipsum M, certoque ao

cidet, quaudo– -^K^):

l«»e ad institutum praesens omnino negligi dobent. etsi

alio respectu utiles esse possint.

II. Ceteris paribus labor manifeste eo facilior erit, quo minor est multitudo

classium etc., adeoque brevissim us, quando D est unus e 05 uumeris

in art. 303 traditis, pro quibus in singulis goneribus unica tantum classis datur.

III. Quum binae semper huiusmodi repraesentationes $ = m, y = n

•» = – »'. y = – «ad eundeni valorem pertineant, perspicuum est, sufficere,

si eae tantummodo repraesentationes considerentur, in quibus y positivus. Taies

itaque repraesentationes diversae semper valoribus diversis expr. \/– D'mod. M)

respondent, unde multitudo omnium valorum diversorum multitudini omnium ta-

lium repraesentationum prodeuntium nequalis erit (semper excipiendo casum

D = 1 ubi illa huius semissis erit).

IV. Quoniam, simulac alter duorum valorum oppositorum + r, – cog-

nitus est, alter sponte innotescit, operationes adhuc aliquantum abbreviari possunt.

Si valor r obtinetur e rcpracscntatione numeri M per formam in classe C con-

tentam, e. si (S = C; valor oppositus manifesto emerget e repraesenta-

tione per formam, in classe ipsi C opposita contcntam, quae différons crit a classe

C, nisi haec est anceps. Hinc sequitur, quando non omnes classes in G ancipi-

tes sint, e reliquis semissem tantum considerare oportere, puta e binis oppositis

quibusque uuam, alteram negligendo, e qua valores iis, quos prior suppeditavit.

oppositos msultare iam absque calculo praevidere licet. Quando autem C est an-

ceps, ambo valores r et – r simul inde émergent; puta, si ex C forma anceps

400 VAKUE IHSQUlStTIOSUHl'BAKCEUKNTlUMAPVUÇATIOKKK.

a#$-i-2bj}jt<$*epp eleeta est, atque valor r prodiit e repr. # = m. y = n. va-

lor – /• prodibitex hac x = – m– y – n.

V. Pro eo ensu, ubi D=X, una tantum classis omnino datur, e quafor-

inam Ji)œyt/ electam esse supponere licebit. Quodsi valor r ex repraesenta-

tione x =m, y = ?< provenit. idem ex his prodibit x = – »«, y = – »; et = «,

y = – »«; .f = – «, y = m, oppositusque – r ex his x m y= – «;

.1- – m, y= n; x =

n, y = mj; a? =–m, # = – i»; quare ex his octo reprr..

quae unienm discerptionem coustituunt. una sufficit. si modo valori inde résultant!

oppositum associemus.

VI. Valor expr. \J– Z>(mod. M ad quem repr. haec M~amm-+-2bmn

•cnn pertinet, per art. 155 est \n.[mb-+-nc) – ^[?na-nb) me numerus qui-

cunque huic sccundum M congruus, ipsis ji, v ita acceptis, ut fiât jjl»« + v» = 1.

Designando itaque talem valorem per v. erit

mv (iw mb -f- tic) v [M – mnb –une) = {y.m-f- vw) [mb-f- wc)= mb -nc (mod. M)

Hinc patet, e esse valorem expr. '£– (mod.3f); similique modo invenitur. v

esse valorem expr.–

(mod. if).Hae formulae saepeiiumero ei, ex qua

deductae fuerunt praeferendae sunt.

:;2b.

Exempta. 1. Quaemntur omnes valores expr. y – 1 365 (mod. 5428(58 1 =M);

numerus M hic est 1, 1, 1, o, 1 (mod. 4. 3, 5, 7, 13) adeoque sub forma di-

visorum ipsorum jcx~ xx-A, &\v – 5. et sub forma non-divisorum ipsorum

ù\v-{-7. m – 13, et proin sub forma divisorum ipsius $£•}- 13C5 contentus; cha-

racterque generis, in quo classes © reperientur, erit 1,4; JJ3: JÎ5; Ni; N i 3. In

hoc génère unica classis continetur, e qua eligimus formam6##-f- 6.^4- 229^

ut omnes repraesentatioixes numeri M per hanc inveniantur, ponemus 2iV-y=x,

unde fieri debebit3#V-f-155#y= 2itf. Haec aequatio quatuor solutiones admit-

tit. in quibus y est positivus, puta<y==127. a/= + 10S3, y = n9, ,r'=+1213.

Hinc prodeunt quatuor solutiones acqu. (iœiV-±-Gxjt-+-229yy – M, in quibus y

positivus,JloRitivus,

x 178 –005 547 -– 0(50

y 127 127 119 Jl'Jil

Solutio prima clat pro r valorem expr. –- sive – (mod. M) unde inveni-~ii ~np

OBAKMEPHODlNUMEROKUMTPACTOKE8INVEKTKMMDI* 401

Lc1 llttJ lïLL

5!

tur 2a&«97 S; secunda prothicit valorem oppositum – 2350878; tertia hune

2000262, quarta oppositum 26OU2G2.

II. Si quaerendi sunt valores expr. \J– 2S0 (mod. 4272943 =M), cha-

racter gcucris, in quo classes © contentae suut, invenitur 1 et 7, S; JKli; Rui;

quare crit genus principale, in quo très classes eontinentur, per formas -fl, 0,2*0),

(N,0, 23), (14, – C, 23) exhibitae; ex his tertiam, utpote secundae oppositam

négligera licet. Per formam *(- 2SOy^ duae repraesentationes niuncri M in-

veniuntur, in quibus y positivus, puta y = 103. ce = + 1 1 13, undc protlpunt

valores expr. propositac hi 1 493445 – 1 493445. Per formam (14,0, 23)"autem

M non repraesentabilis invenitur. unde concluditur, praeter duos valores inven-

tos alios lion dari.

III. Proposita expr. \/– 70 (mod. 907331), clnsses © contentae esse cle-

bebmit in génère, cuius cliaractcr 3 et 5, S R 5; AT7 in hoc unica classis reperi-

tur. cuius forma repraesentans haec (5, 0, 14). At calcule instituto invenitur,

numerum 997331 per formam (5,0,14) non esse repraesentabilem quatnobrcm

– 70 necessario crit non-residiium qu. illius nulncri.

Duae mul/wilt, numéros oiuipostïois a primistliffiiowi-nili illnrumque-factures iucesiitjandi.

329.

Problemci, numéros primos a compositis dignoscendi, hosquc in factores suos

primos resolvendi, ad gravissinm ac utilissima totius arithmeticae pertiuere, etgeo-

metrnriun tum rcterum tuni recentiorum iuthistrinm ne .sagacitatem occupavisse,

tam notum est, ut de hac re copiose loqui supei-lluum foret. Xihilominus fateri

oportet, omnc.s methodos hucusque prolatas vel ad casus valde spéciales restrictas

esse, vel tam operosas et prolixas, ut iani pro nunieiïs talibus, qui tabulnrum a vi-

ris meritis constructarum limites non cxccdunt, i. e. pro quibus methodi artificia-

les supervacuae sunt, calculatoris etiam exercitati jmtieutiam fatigent ad maiores

autem plerumque vix applicari possint. Etsi vero illne tabulae quae in omnium

manibus veisautur et quas subinde ndhuc ulterius continuatum iri sperare licet.

in plerisque casibus vulgo occurrentibus utique sufficiant: tamen calculatori perito

oceasio haud niro se offert, c numerorum inngnoruin resolutionc in factores magna

emolumeuta capiendi, quae temporis dispendiiun médiocre largiter compensent;

practereaque scientiae diguitas requirerc videtur, ut omnia subsidia ad solutioneui

problematis tam clegantis ac eclebris sedulo cxcolantur. Proptcr has rationes non

402 VâUlAKIMBQWSmONl'51t'RAECEDENTlUSIAPPLICATIONS».

tlubitamus, quin dtiae methodi seqttentes, qntmim efficaciatn ne brevitatem long»

experientia eonfirmare possumus, nrithtneticae amatoribus haud ingratae sint fu-

turae. C'eterum in problenuitis natura fundatum est, ut methodi quuecunque cou-

tinuo prolixiores évadant, qtio maiores sunt nameri, ad quos applicantur; attamen

pro methoclis sequentibus difiicultates perlente increscunt, numérique e septem.

octo vel adeo adhuc pluribus figuris constantes praesertim per secundani felici

semper suceessn tractati fuerunt, omnique céleri tate, quam pro tantis numeris

exspeetare oequuni est qui secundum omnes inethodos hactenus notas laborem.

etiam caletilatori indefntignbili intulcrabilcin, requirerent.c

Antequam methodi sequentos in usum vocentur, semper utilissimum est, di-t

visioncm numeri cuiusque propositi per aliquot numeros primos minimos tentare.j

puta per 2.3, 5,7 etc. usque ad 19 aut adhuc ulterius, non solum, ne poe-

nitcat, talem numerum, quando divisor est, per methodos subtiles ac artificiosas t

émisse, qui multo facilius per solani divisionem iuveniri potuisset*), sed etiain, f

quod tuuc, ubi nulla divisio successit, applicatio methodi secundae residuis ex illis

divisionibus ortis mngno cum fructu utitur. Itae. si numerus 314159205 in

factores suos resolvendus est, divisio per 3 bis succedit, posteaque etiam divisio- i;

nés per 5 et 7, unde habetur 314159205 = 9.5.7.997331, sufficitque numerum

'997331, qui per 11, 13, 17, 19 non divisibilis inrenitur. examini subtiliori

subiicere. Similiter proposito numéro 4342944S, faetorem 8 auferemus, metho-

dosque magis artificiales ad quotientem 54280S1 applicabimus. i

330. (

Fundamcntnm methodi peimae est tlieorcma, quemtis numerum, positivumseu

negativum qui alius numeri M residuum quadraticum sit, etiam residuum cuiusvis

divisons ipsiusM esse. Vulgo notum est, si M per nulluni numerum primum

infra \jM divisibilis sit, certo M esse primum; si vero omnes numeri primi infra

hune limitem, ipsum M metientes sint p, q etc. numerum 3f vcl ex his solis (ip-

.sorumve potestatibusl compositum esse, vel umim tantum alium factorem primum

maiorem quam \JM implicare posse, qui invenitur, dividendo ipsum M per p. q

etc., quoties licet. Designando itaque complexum omnium numerorum primorum

infra \jM (exclusis iis, per quos divisio frustra iam tentata est) per Q, manifestoc

') ï'.o niaftis,ijuodintur sex numéros, gencraliter loquendo.vix nnus per omnes î. :i. i u non <ii- <;

viiibHisroj)«ritiir.

UVkti MKTffOWt NL'JfKKOlft'M FACTORKS Iînt'K8'riOANr>ï. 40S

;>i

sufficit, si orones divisores primi ipsius M, in Q contenti, habcantur. tam si ali-

eunde constat, numerum aliquem r (non-quadratum; esse residuum quadraticum

ipsius M, nullus certo mimcrus primus cuius NR. est r tlivisor ipsius M esse

poterit qunrc ex Q omnes huiu.sinocU mtmeros primas (qui plerumque omnium

.semissem fere efficient) eiieere licebit. Si irtsuper de alio numéro uou-quadnito,

constat, ipsum esse residuum ipsius M, e numeris primis in li post priinaui

exchtsionem relictis iterum eos excluderc potorirnus, quorum AI?, est qui rur-

sus illorum semissem fere confieient, siquidem residua r et suut intlcpendvutia,

i. e. nisi alterum necessario per se est residumn omnium uumeromni, quoriun re-

siduum est ulterum, quod eveniret, quandu rr esset quadratuin,. Si adlmc alia

resicluaipsius M noti sunt, /• /etc., quae oinnia a reliquis sunt iudependen-

tia'), cum singulis exclusiones similcs institui possunt, per quas niultitudo nume-

rorum in Q rapidissime diminuetur, ita ut inox vcl omnes deleti sint. in quo casu

M certo erit mimcrus primus, vel tam pauei restent (inter quos omnes divisores

primi ipsius M, si quos habet, manifesto reperientur) ut divisio per ipsos nullo

negotio tentari possit. Pro numéro niillionem non nmltum stiperante plerumque

sex aut septem; pro numéro ex octo aut novein figuris constante, novem aut di--

cein exclusiones abunde suffleient. Duo iam sunt, de quibus agere ojjortobit, primo

quomodo residua ipsius M idonen et satis nnilta inveniri possint, deimk quo pacto

exelusiouem ipsarn commodissime perfieere liceat. Sed ordinein harum quaestio-

num iuvertemus, praesertim quonium secunda docebit, qualia potissiimun residtiii

ad hune n'nem siut cominoda.

331.

Numéros primos, quorum residuum cstnumeriis dattts r (quem lier uuUiiin

quadratuin divisibilem supponerc licet^. ab iis, quorum non-re.siduum est, sive di-

visores expr. jus – r a non-divisoribus dislinguere, in Scct. IV copiose docuimus.

scilicet omîtes priorcs sub certis ltuiusmodi formulis rs-a, rs-b etc.. aut ta-

libus irz-j-a, lrz~b etc. contentos esse, posterioresquc sub ultis similibus.

(jaotics r est numerus valde parvus, exclusiones tuliumento harum formularum

*) Si productume numerisqtiotcunr|ue r, r\ r" etc. <|iintli-.itimiest quisque ipsortuu e. g. r crit risi-

duum cuiusvUnumeri primi (nulluin ex ipsis metientisj, qui rvliquorutn r', >•"etc. residuum est. L't igitur m-

sidua (|uutcun>juvtninijuamindupeliduntia considerari possint nullura productumnec i*binis iicc-v ternis etc.

quadratuin esse oportot.

404 < VARUEUISQUISmOBVMPïfctECEBEKTU'MfAWUCATIONK8.

jiereommotb perfiei possuut; e.g. exeladendi étant omnes numeri formae te+ 3,

quaudo r=– 1; omnes numeri fbnnaram Sar + 3 et $5 + 5, quando ? :c= 2

etc. Sed quum non semper in potestate sit, Imiusmodi residua numeri propositi3/ invenire neque fonnulnrum applicatio pro valore magiio il)silts )" satis com-

moda sit, iiigens lucrum est. kboremque exclusionis mirifvco sublevat, si pro mul-

titudine satis magna numerorum (;•) per quadmtuin non divisibilium tum positi-vorum tum negativorum tabula iam constructa linbetur, in qua immeri primi, quo-

rum residua sunt illi singuli ,r), ab iis, quorum non-residua sunt, distingiumtur.

Tal's tabula perincle ndornari poterit ac spécimen ad calcem Jinivis operis adiec-

tum supraque ium description; sed ut ad iustitutum praesens utilitatem satis am-

plnm praestet, numeri primi in margine positi (nioduli) longe idterius puta saltem

usque ad louo aut ad 10000 continuati esse debent, practereaque commoditas

nuxltuin augetur, si in facie etiam numeri compositi et negativi recipimitur, etsi

hoc non sit absolute uecessnrium, ut e Sect. I\' perspicuuni est. Ad summum au-

tçm commoditatis fastigium usus talis tabulae evehetur si singulae columellae

verticales, e quibus constat, exseeantur lamellisqtte aut baculis pseperianis simili-

'Jlls, ngglutinantur, ita ut eac, quae in quovis casu sunt neeessaiïae ». e. quae nu-

meris r, r, /'etc., residuis numeri propositi in factores resolvendi, respondent,

separate examinari possint. Quibus iuxta tabulae columnain pritnam (quae mo-

dulos exhibet; rite positis, i. c. ita, ut loca singulorum baculorum eidem numéro

primo columnae primae respondentium cum hoc in directum iaeeant, sive in ea-

Uvm Hnea hori/.ontali siti sint: nmnifesto ei nnmeri primi quipost exclusiones

itnu residuis r. r. r", ex <2 rémanent, per solaniinspectionem immédiate cognos-

ci poteriuit; uimirum hi convenieut cum iis in colunma prima quibus in omni-bus baculis adiacentibus lineolae respondent. reiieique debent omnes, quibus in

ulfo bacillo spatium vacuum adiacet. Per exemplum haec suffieienter illustrabun-

tur. Si aliennde constat, numéros 0, + 13, – M, +17, +37, –53 esse

residua ipsius 94)7331. consociandae erunt columna prima (quae in hoc casu us-

que ad 997 continuata esse débet, i. e. usque ad numerum primum proxime mi-

norem quam y'99733l) atque lamellae in quorum facie numeri – c, + 13 etc.

suut suprascripti. Ecce portem seliematis hoc modo prodeuntis

MURWSTKÔBi"NFIIKROKt'U FÀOfÔRËSiNVËStïOANÏJl. 405

Qnemadmodum hic ex sola inspectionu co^uoscitur, ex iis uumeris primis,

qui in hac schematis parte continentur, solum 1 27 post exclusiones cum residuis

– 0, 13 etc. in iî rclinqui, ita schéma intcgruin usque ad 997 exteusum ostendit.

omiiino millum alium ex Q rauanere; divisione autem tcntata. Û97331 per 127

rêvera divisibilis invenitur. Hoc itaque modo ille numerus in factures primos

127 x 7S53 resolutus Imbetur '

(.'oterum ex hac exposition© abundc colligitur, praesertim utilia esse residua

non nimis mugiia, aut saltem in foctores primos non niiuis niaguos resolubiliu.

quum tabulac auxiliaris usus iinmediatus non ultra numéros in faciu positos

[jatcat, ususque mediwtus taies tantum coinplectatur, qui in factores in tabula

coutentos resolvi possunt.•

Ad invenienda residua numeri dati M très methodos di versas tradeinus.

quaruin expositiojji duas obsenationes praeinittinms quarum adiumento e resi-

duis minus idoneis simpliciora derivari possunt. Primo, si numerus a A- h per

quadratum Ak divisibilis (quod ad M primum esse supponitur) est residuum

ipsius 31, etiam a erit residuum; propter hanc rationem residua per ma^iia

*) Auctur upiiarutura satis umplum tabulnu hic descriptac- quem ad usum suum cnn«trui>ndunicuravit.

publivi iurUlubuntvrfacoret, si paucitas vonim, quibuo u«ui e«sc iratcst sumtibus talis incepti «usU-man-IN

sufficerut. Si quis interua aritluneticac uraator, principiis prubo peoutratis:,proprio marte talem tiibulnm <iliicondere optât, auctor magnae voluptuti sibi duect, omnia cum m .molumenta ac artiHcia pir liu-ras rum-municarv.

-Mi + 13 -14 j +17j +87 j -53 j

7 –

17$

–

23

J

etc.

113 –127– – – – – j –l :3 1–––etc.

332.

40»» ..VARIAS BISQl'ISmO.VPM J'RAKCEBKïrnrSt APPUCATIONKS.

quadrata divisibilia aeque utilia sunt àe jmrva; omniaque residua per methodos

scquentes suppeditata a fraetoribtis suis quadratis statim liberatn supponemus.

Secundo si duo pluresve numeri sunt residua, ctiam productum ex ipsis residuum

erit. Combinando liauc observationem cum praec, persaepe e pluribus residuis.

quue non omnia sunt satis shnplicia, aliud aclmodum simplex deduci pote.st si

modo illa multos factores communes implicant. Hanc ob caussnm talia quoque

residua valde sunt opportun», quae e multis factoribus non nimis mognis eom-

posita sunt. conveuietque onmia statim in factores suos resolvere. \"is harum

observatiouum nielius per exempla usnmque frcqucutein quant per pmecepta per-

cipietur.

I. Methodus siniplicissima, iisquo, qui per fréquentent exercitationcin imu

aliquam dexteritatem sibi concilia verunt, conimodissima consistit in eo, ut M

aut generalius multiplum quodcunque ipsius M quomodocunque in duas partes

decomponatur k3I = a-{-b (sire utraque sit positiva sive altera positiva altéra

negativa', quarum productum signo inutato erit rcsiduum ipsius M; erit enini

– «/> – «« = 66 (mod.il/), adeoque – abliM. Xumcri a, b ita accipiendi sunt,

ut productum pcr quadratum maguum divisibile quotiensque vel parvus vel sal-

tem in factores non nimis magnos rcsolubilis évadât, quod semper non difficile

eflici poterit. Imprimis commendandum est, ut pro a accipiatur vel quadratum,

vel quadratum duplex, vel triplex etc. a numéro M numéro vel parvo vel in

.factores coinmodos resolubili discrepaus. Ita e.g. invenitur 997 33 1 =999*– 2.5.07 ï

= »»4S+5.M.I3»= 2.706ï + :{.J7.:Js= 3.575* -+-> 1.3 1.4» = 3.577* – 7. 13.4*

– :i. 57SS – 7.19.37 =11.299*4-2.3.5.29.4'= 11.301*+ 5 12*etc. Hinc ha-

bentur residua sequentia 2.5.07, –5.11, – 2.3.17, – 3.11.31, 3.7.13, 3.7.19 37.

–2.3.5. 1 1 .29; discerptio ultinui suppeditat residuum 5.1 quod iam habeimis.

l'ro residuis –3.11.31, –2.3.5.11.29 hacc adoptare possumus 3.5.31, 2.3.29.

ex illorum combinatioue cuni – 5.11 oriunda.

II. Methodus seeunda et tertia inde petuntur, quod, si duae formne bina-

riue yA, B, C), {A', B\ V) eiusdem dctcrmiuantis M, aut –31, aut generalius

+ kM, ad idem genus pertinent, numeri A A', AC, A'C suut residua ipsius

A- M; hoc nullo negotio inde perspicitur, quod numerus quivis characteristicus

unius formae, puta m, etiam est numerus char, alterius, adeoque m A, mC,

Pl'AK HEtfKMUJiCjJEROKl'MKACTOHESIXVESTIGA.VM. 407

m A', mC omnes residua ipsius &M. Si itaque («, b,a') est forma reducta deteï-

minctntis positivi J»f aut gencralius Xi M, atque («', «") (a", h", a"') etc. forniae

ex ipsius periodo, ndeoquc ipsi ncquivalentes et a potiori sub eodem génère eon~

tentae; mimcri ad, ««", aa' etc. omnes cruut residua ipsius M. C'oinpiUus

multitudinis magnae formarum talis periodi facillime adiumento algoritlmii art.

187 instituitur; residua simplicissima plerumque prodeunt statuentlo « = l en

quae factores nimis magnos iraplicant erunt reiieienda. Ecce initia periodorum

formarum ;1, 998, –1327) et (1, MI2, – OIS), quarum déterminantes sunt

997331, 1994002:

1, 993, –1827) j ( 1,1412,– «ISj

(–1327,329. 670) (– 9tS. 1342, 211)

( 070,341,-1315) ( 211, 1401, – 151)

(–1315,974, 37) (– 151, 1317. 17231

( 37, 9S7, – 020)

1 1723, 400,-1002

(– 020,891, 325) (–1002, 050. 1173"

325, 734, –llil) ( 1473, S 17. – 901)

(–1411,677, 382) :– 901. 9S5, 1137

3S2, S51, – 715) etc.

Sunt itaque residua numeri 997331 omnes numeri – 1327, 670 etc.: negligendoautem ca, quac faetores nimis magnos implicant, haecee habemus: 2.5.07. 37. 13.

– 17.S3, –5.11.13. –2.3.17, –2.59, –17.53; residuum 2.5.G7, nec non hoc

– 5.1 1, quod e combinatione tertii cum quinto cvolvitur, iani supra erueramus.

III. Si C est classis quaecunque formarum det. neg. – M sive generalius

-kM, a principali diversa, ipsiusque periodus haec 2C, 3C etc. (art. 307:: clas-

ses 2C, iC etc. ad genus principale pertinebunt; hae vero 3C, aC etc. ad

idem genus ut C. Si itaque (a,b,c) est forma (simplicissima) ex C atque (a, b\ c

forma ex aliqua classe illius periodi puta ex nC, erit vel «', vel ad residuum

ipsius M, prout n par vel im par (in casu priori manifeste etiam c\ in posteriori

«c, cd et ce').). Evolutio periodi, i. e. formarum simplicissimarum in ipsius clas-

sibus, mira facilitate perficitur, quando « est valde parvus, praesertim quanclo

est =3, quod semper efficere licet. quando Ailf ^2(mod,3 Ecce initium

periodi classis, in qua est forma (3, 1. 332444

40K VAK1AKlïISQt'ISmOSt'H PllAEGEnENTlDMAPMICATIONEP.

C ( 3, J, 332444} ftC( 729, –20», 1 4 28)

iC[ 9, – 2. 110*15) 7C ( 47»$. 201), 2tS7)

3C ( 27, 7. 36940) «C ;tO27, S42. 10S5)

4C < SI, 34, J2327) HC(932,-437,1275)

5C (243. 34. 4109) I0C ( 425, 12, 2347)

Hine promanant rcsidua linutilibns rcicctis) 3.176, 1027, 10S5, 425 sive (tollcndofactures quadratos) 3.7.17, 13. 79, 5.7.31, 17, c

quorum combinationenpta cum

octu residuis in 11 inventis facile eruuntur dnodecim sequentia – 2.3, 13, –2.7.

17, 37. –53, –5.11, 79, – S3, –2.5», –2.5.31, 2.5.C7; scx priorasuut codent,

quibus in art. 331 usi sumus. Adiici potuissent residua 19 et – 29, si ça quoque

in usuni vocare voluissemus quae in I reperta sunt; reliqua illic eruta ab iis

(juae hic evolvimns iam sunt dependentia.

333.

^Iethodus skcunda, numerum datum M in factores resolvendi, petitur e

consideratione valorum talis expr. y – D.'mod.JH), obsen-ationibusque sequcnti-

hu.s innititur.

1. Quando M est numerus primus aut potestas numeri primi (intparis

ipsumque D non metientis), erit -D residuiim vel non-residuum ipsius M,

prout 3/ vel in forma divisorum vel in forma non-divisorum ipsius xx-D con-

tinetur, et iu casu priori expressio – D(mod. M) duos tantummodo valores

tli versos habel)it. qui oppositi crunt.

II. Quando veru M est compositus, puta = pjj'p" etc. designantibus

/j, fj\ y/' etc. numéros primos (di versos impares ipsumque D non metientes) aut

talium numerorum potestates -D tune tantummodo residuum ipsius M erit.

quaudo est residuum singulorum y, p'^fete., L e. quando Ili numeri omnes in

fortnis di^^sorum ipsius &\v-j-D coiitinciitur. 33csignando autem valores expr.

V – 1)sec. modulos

p,p, jt"etc.

resp. per +»•, +;r', +j'"etc. omnes valores

eiusdem expressionis sec. mod. M orientur. eruendo numeros, qui secundum />

sint -~r aut £= – /•. secundum li aut ==r aut – /etc.. quoeirca ipsorum

multitudo fiet =2!\ désignante |* multitudinem namerorum p,j/,p"ctc. Quodsi

itaque lii valores sunt R, – JB, If, –R'. R" etc., sponte crit Iî=JÎ secundum

omnes p. p\ p" etc.. sed secundum nullos li=E – R, unde diviser communis

IWAB MKTHODT Sl«SEROKUJt FACTURES OiVEST ÏOANM. 409

52

maximus numeri M cum R–R erit M, et I div. comm. max. ipsius M cum

iî-f--K; sed valores duo nec identici nec oppositi ut R et JB' necessario unum

pluresve numeromm p,p',p" etc., neque vero secundum omnes, congrui erunt,

et secundum icliquos JB~ – jR'; hinc illorum productum crit divisor communis

maximus numerorum M et R–R', produetumque horum d. c. m. ipsorum M

et JS-f-JX'. Hinc facile sequitur, si omnes divisores communes maximi ipsius M

cum differentïis inter singulos valores expr. ^– D(mod.M) atque aliquem valo-

rem datum eomputoutur, horum coinplexum continere numeros 1, p, p, p" etc.

atque omnia producta e binis, ternis etc. horum numerorum. Roc itaque modo e

ealorihus illius expressionis numéros p, p', p" etc. ervere licebit.

t.'eterum quum methodus art. 327 singulos hosce valores ad valores expres-sionum huius formae

(mod.il/; reducat, ita ut denominator n ad M primussit: ad institutum praesens ne necessarium quidem est, lias ipsas computare.Nam div. comm. max. numeri M cum differentia inter R et JB', qui cum

conveniunt, manifesto etiam erit div. comm. max. ipsorum M et nri[R~R'

sivo ipsorum M et mri–m'n, quippe cui nri[R–R') secundum modulum M

est congruus.

334.

Applicatio observationum praecc. ad problema, de quo agimus, duplici modo

institui potest; prior non solum decidet, utrum numerus propositus M primussit an compositus, sed in hoc casu etiam factores ipsos suppeditat; posteriorautem eatenus praestat, quod plerumque calculum expeditiorem permittit, sed

factores ipsos numerorum compositorum, quos quoque a primis protinus distin-

guit, interdum non profert, nisi pluries repetatur.

I. Investigetur numerus negativus – D, qui sit residuum quadraticum

ipsius M, ad quem finem methodi in art. 332 sub 1 et II traditae adhiberi pote-

runt. Perse quidem arbitrarium est, quidnam residuum eligatur neque hic ut

in methodo j)raec. opus est, ut D sit numerus parvus; sed calculus eo brevior

erit, quo minor est multitudo classium formarum binariarum in singulis gencribus

pr. pr. det. – D contentarum; quamobrem imprimis talia residua, quae inter 65

numéros art. 303 continentur, si quae se ofterunt, opportuna erunt. Ita pro

M = 997331 ex omnibus residuis negativis supra erutis hoc 102 maxime

410 VAHIAK IHBQUSMONUM BRAKCEDENTIUM APPUCATIONES.

irtonemn esset. Etittmtur oraties valores diversi expr. \f– D(iKôd. M); qtuxlsi

duo tatitinn provttiiunt (oppositi), M certo erit vel numerus primus vel numeri

primi potcstas si plures, puta 21*, M compositus erit ex |* numeris primis, aut

primorum potestatibus, diversis, qui factores per mcthodum art. prncc. erui pote-

runt. Utruin vero Jii factores numeri primi sint an primorum potestates tum

pcr se fncillimunt erit dignoscere; tum etiam via ipsa, pcr quam vnlorcs expr.

\~D invcniuntur, omnes numéros primos, quorum potestas aliqua ipsum M

metitur, sponte indicat; scilicet si M divisibilis est per qutulratum numeri primi

ille calculus certo etiam imam pluresve repracsentationcs tales numeri M,

M = amm-1bmn-cnn, produxerit, in quibus divisor comm.max. numero-

rum m, n est (et quidem ideo, quod in hoc casu – D etiam est residuum

ïpsius.1[

Qtiando vero Il 'd"t in qua m et n divisoremipsius ^_). Quando vero nulla repraesentatio prodiit, in qua m et n divisorem

commuuem habent, hoc certum indicium est, M per nullum quadratum divisibi-

lcm esse adeoquc omnes p, p, /etc. numéros primos.

Ex, Per methodum supra traditam inveniuntur quatuor valores expr.

y – 4«S(mod. U97331) eum valoribus harum-f –. +~ convenientes; di-40S (itio(l. 9973:J 1 eum va Ol'l us *" 113 '•™i" if cOnV011101l S; (1-

visorcs communes maxiuù 0073.11 cum his 3.1004 – U3.2À24 et 3.1C04-J-

1I3.2S2-1 sivecum 314120 et 324104 erutiiitur )ii 7S53 et 127, unde 997331

– 127.7853, ut supra.

II. Accipiatur aliquis numerus negativus -D talis, ut 31 contentus sit

in forma divisorum ipsitis u?a'+D; per se arbitrarium est, quis huiusmodi nu-

meras eligatur, sed commoditatis caussa imprirnis videndum est, ut multitudo clas-

sium in generibus det. -D sit quam maxime parva. (.'eterum inventio talis nu-

meri nulli difficultati obnoxia est, si tentando adeatur; nam plerumque inter mul-

titudinem considerabilem numerorum tentatorum pro totidem fere M in forma

divisorum continetur, ac in forma non-divisorum. Quare maxime e re erit, ten-

tamen a 65 numeris iu-t. 303 iuchoarc (et quidem a maximis), et si eveniret, ut

nullus idoneus esset (quod tamen generalitcr loquendo inter 16384 casus semel

tautum accidit) ad alios progrcdi, ubi classes binae in singulis generibus conti-

nentur. – Tune investigentur valores expr. \J – 2>(mod. M), et si qui inveni-

untur, factores ipsius M prorsus eodem modo inde deducantur ut supra; si vero

nulli valores prodeunt, adeoque -D est non-re.siduum ipsius M, certo M ne-

que numerus primus neque numeri primi potestas esse poterit. Quodsi in hoc

DVAK METHODÏ XCMKUOUrM l'ACTOHES INVES'f IOANDI. 411

.2*

casu fnetores ipsi ilesiderantui*, vcl eandcm operationcm lupëtere ©portet, ulio» va-

lons pro D accipieudo, vel ad mctiiodum aliam confugcre.

Ita e. g, tentnmhie facto 997331 contentus iuvenitur in iortiia noii-diviso-

rum ipsonnn ».»-+- 1&4S, xx- liJCû, A'a?4-i32o, scil in forma tlivisoruin ii^ius

.f.f-f-^lW; \)ïo vdoribus cxpr. – S40 (mod. 0O7U3I protlcunt oxpr. +'-2™-

– TïT'ulu*e "t'em fnctores deduciuitur ut ante. – Si quis jilura exemplu (k>-

siderat, art.52S consulat, ubi priinmn docet esse 542S0S1 = 3O7.17CS3; st'cun-

durn, 1272913 esse uumerum primum tertituu. tȔ>7 3 :t1 certe o pluribus priinis

compositmn esse.

i »

Ceterum limites lmius oi)eri.s praecipua tnntunt momeiitu utriusque uiethcKli

fnctores investigttndi hic exsequi permiserunt disquisitioncm uboriorom una cuin

pluribus tabulis auxiliaribus aliisque subsidiis alii occusioui rest-rvamus.

AEQVAT1ON1BUS ( HtCÏJLl SECTIONES DEFINIKNTIBUS.

335.

Inter iucrementa splendidissima mnthesi per recentiorum luborcs adiecta.

theoria fuuctionum a eirculo pendcntium procul dubio locum imprimis insigncm

tenct. Cui mirabili quantitatum generi, ad quod in disquisitionibus maxime he-

terogenels saepissinic deferimur, cuiusque subsidio milla universae mntheseos pars

uarere potest, samnii geometrae recentiores industriam sagacitatemque suam tam

assidue impemlerunt disciplinamque tam vastam inde efFormaverunt ut parum

exspectari potuissct, ullam huius thcoriae partem nedum olementarem atque in

liminc quasi positnm, gravium adhnc increineiitorum capacem esse. Loquor de

theoria functionutn trigonometricarum arcubus cum pevipheria comniensurabili-

bus rcspondeiitium sivo de theoria polygonorum regularium cuius quam parva

pars hucusquc enucleata sit Sectio pracscns patefaciet. Mirari possent lcctores,

talem disquisitionem in hocce potissimum opere, disciplinae primo aspectu ma-

xime Jieterogeueae imprimis dicato. institut; sed tractatio ipsa abuude declarabit.

quam intimo nexu hoc argumcntum cum arithmetica sublimiori coniunctuin sit.

(.'cteruiu principiu theoriao, quam expoucrc aggrcdimur, multo latius patent,

quam liic extundinitur. Naniquc non solum ad functioncs circulares, sed pari suc-

SEC.'ÏIO SEPT IM A

DE

REBUCTIOAJ) CASl'SlSIMl'UCISSIMUM.. 413

cessa ad mutais alias funetiones transscendcnte» applkari possunt, e.g. ad eas, quae

ab integralif^jz.^ pendent, prnetereaque etiam ad varia congruontiarum gê-

nera sed quoniam de illis functionibus transseendentibus amplum opus peculiare

paramus, de eongruentiis autem in continuatione disquisitionum arithmcticnmm

copiose tractabitur, hoc loco solas functiones cireulares considerare visum est.

Imo lias quoqae, quas summa gencralitato amplecti liceret, per subsidia in art. sq.

exponenda ad casum simplieissimum reducemus, tum brevitati consulentes, tum

ut principia plane nova huius theoriac eo facilius intelligantur.

Dùqumtio nducilur ad etuum simplicissimum ubi multitudo partium in quas circulum meure oportet,

est numerus priiiius.

336.

Designando circuli peripheriam sive quatuor angulos rectos per P, suppo-

nendoque m, n esse integros, atque n productum o factoribus inter se prinàs

a, b, c etc. angulus A ="– per art. 3 10 sub haue formam reduci potest A =

{- + j + 7 + etc.)P, funetionesque trigonometricae ipsi respondentes e func-

'b de'J.IJ CP

't'b } d t d dtionibus ad partes –etc. pertinentibus per metliodos notas deducentur.

Quoniam itaque pro a, b, c etc. numeros primos aut numerorum primorum po-

testates accipere licet: manifesto sufficit, sectionem circuli in partes, quarum nml-

titudo est numerus primus aut primi potestas, considerare, polygonuraque n late-

rum e polygonis a, b, c etc. laterum protinus habebitur. Attamen hoc loco dis-

quisitionem ad eum casum restringemus, ubi circulus in partes dividendus est,

quarum multitudo est numerus primus (impar), sequenti praesertim ratione in-

ducti. Constat, functiones circulares angulo respondentes e functionibus

ad ^–pertinentibus per solutionem aeqiiationi.s pu gradus derivari, et perinde ex

'Il'P

l.~ dal)

t, t ,t'illis per nequationem aeque altam fnnetiones ad ^y pertinentes etc. ita ut. si

polygouum p laterum iam habeatur, ad determinationem polygoni pl laterum ne-

cessario solutio – 1 aequationum pu gradus requiratur. Etiamsi vero theo-

riam sequentem ad hune quoque casum extendere liceret, tamen hac via non mi-

nus ad totidem aequationes />" gradus delaberemur, quae, siquidem p est nume-

rus primus ad inferiores deprimi nullo modo possunt. Ita e.g. infra ostendetur.

polygonum 17 laterum geometrice construi posso: sed ad determinationem poly-

goni 289 laterum aequationem 17mi gradus nullo modo evitare licet.

414 1>B AËÇI'ATIGNIBUS CIRCl'U SE0T1ONE8 DEFlNIENTHIt'S.

Acquatûmespro funetionibus trigouometrkk arcumn, qui mut par* aut parles totiiHfmphmœ:

rediictiofimctioniitntrifjrittoiiietricttntintitlrtulires (iii/itiitioitù .r*– i := u,

337.U

Sntis constat, functioncs trigonometricas omnium anguloriuu –, denotando K

per k indemnité omnes numéros u, 1, 2.n– 1, per radiées aequatiouum «"

gradus exprimi, puta mius per radices huius (1)

*-{*+! =S? ^-à ^B+etc. i^M = u

tG l.2 ~1i1 l.l.J~ 2n-4

cosinus per radiées huius (II) i(

,2'u-- ).j–~

t «.«–3.j–t

)M.tt–t.M– _<)) t t t )

t= I)

n

.1 loi1.2 a 1 'L a + etc ~,ï i M.== U

dcniquc tangentes per radices huius (III;

T7:r' -etc.-f-9dW = 0

Hae uequationes (quae generaliter pro quovis valore impari ipsius n valent, II

vero pro pari quoque), ponendo « = 2m-+-l, facile ad graduai »»tum deprimun-=

tur; scilicet I et III, dividendo partem a laeva per x et substituendo y pro xx.

Aequatio II autem manifesto radicem x = 1 (=eosO) implicnt, et e reliquis

binae semper nequales sunt(cos

= cos -x eos=

cos {-~a^' etc.);

quare ipsius pars a laeva per – divisibilis, quotiensque quaclratum erit, cuiusq

radieem quadratam extraliendo, auquatio II reducitur ad hauc3

-+ ~-p"– ~w– 1) .?"––(M– 2)~"

_j_± »'-' •=» A,m-i_|_l >«~3-»»-i^-a_ct(. “ “

cuius radices erunt cosinus ungulorum – -–. Ulteriores reductiones

liarum aequationnm pro eo quidem casu, ubi n est uumerus primus. hactenu-s

non habebantur.

Attamcn nulla harum aequationum tam tractabilis et ad institutum nostrum

tam idouea est, quam haec #" – 1 =0. cuius radices cum radicibus illarumw

arctissime connexas esse constat. Scilieet, scribendo brevitatis caussa i pro quun-

titate imaginaria ^–1. radices acquationis .i1" – 1 – o cxliibcntur peri.

bl> .1-1' tcos– -f-ian" =-

M K

,11

THEORIA IWOICt'M AKQl'A'WONm .t1*'™ I -= ». 415

ubi pto A aedpiendi sunt orone* numeri 0, t* 2.#t. Quoeirea quum sit

i- = cos-» sin – radiées aequationis I exlûbebunturper -]-.{r – ~)

sivc per ït -rr

n

d'

11

'Ilt 1

+ 11-1_rr, d' 2, d'

ri

*^jr->radiées aequationis II per 'f- ~) = denique radiées aequa-

tionis III per Hanc obeaussam disquisitiouem considération) aequatio-

nis if" – l–o superstruemus ipsura « esse numerum primum imparem suppo-

neiido. Ne vero investigatiomun ordinem interrmnpere oportcat. sequons lernma

liic pmemiuimus.

33~.

Puoblkma. Data aequatione

(W) s"' 4- Az'1 + etc. = o

invenire aequatiomm (W). cuius radiées sint potestates X' radiewn avquatiwiis [W

désignante X expmumtem integntm positimim dutum.

Sol. Desigaatis radicibus acquationis W per a, b, c etc., radiées aequ.

W' esse debebunt «' bl, cl etc. Per theorema notum Newtonianum e eoëfficien-

tibus aequ. W invenire licet aggregnta qunrumlibet potestatum radicum «, e

etc. Quaerantur itaque summae

«>_}- i'-f- c'-f etc., «*+ iïX+ c2'' etc. etc. usque ad «"|K4- 6"(>+ c'f etc.

undc \ia inversa per idem theorema coëflficicntes aequ. IV' dedut'i poterunt.

Q. E. F. Simul liinc liquet, si omnes coGffleientes in IF sint rationales. o«i-

ues quoque in W rationales evadere. Alia quidein via probari potest. si illi om-

lies integri sint, etiam hos omnes integros fieri; huic autcm tlieoremati. ad institu-

tum no.strum non adeo necessario, hic non inunoramur.

:»3«.

Acquatiu j? – 1 = 0 (in suppositione semper nbhiuc subintelli^enda. u

esse numeruin prinuun imparem) unieain radicem realem implicnt. x = 1 w – 1

reliquae. quas aequatio

y-'+y'^ + etc. -f-f- J = o

complectitur, «mnes sunt imaginariae; harum complexum per 12, ftinctionenujuc

j!1 + x" + etc. + x -f per X

416 t>E AK^ITATIOSIMUSC1RCULISECTIOKE8 URPUHENTIHV8.

denotabirous. Si itaque f est radix quaecunque ex 9r erit 1 = r" = »*• etc.,

et generoliter f*" = I pro quovis valore integro ipsius e, positivo seu négative;hinc perspicuum est, si X, p sint integri secundum n eongrui, fore r* = r|A. Si

vero X, p sec. mod.» incongrui sunt, r* et t* inaequales erunt; in hoc enim ?

casuinteger v ita accipi potcst. ut lint (X-»-n)v = l (mod.«), unde yP--f»J* = r, ï

adeoque r*-i* certo non =1. Porro patet, quamvis potestatem ipsius r etiam

radieem aequ. V– 1 = 0 esse; quocirca quum qiiantitates 1 (=/), r. rr r"

omnes sint diversae hae exhibcbuut omnes radices aequ. – 1=0, et proiuhae r, rr, r* Z'"1 cum Q coïncident. Facile liinc generalius colligitur, a

oouvenizc cum /• r", /-3* si e sit integer quicuuque per n non divi- `

sibilis, positivus seu ncgativus. Erit itaque

X –(,p – re) {œ– r8") (.r-r3*) (*4»-i'})

unde

~.r_.1_Ya~r9e,+ -1, et et 1 +1'+r2'+, -f-r("-11e == o LI

Dans radices tales ut r et£(= /), aut generaliter re et t~* reciprocas voca-

bimus; manifestum est, productum ex duobus factoribus simplicibus a? – y et

x –fieri reale = xx~ 2i«cos«u-(-l ita ut angulus o> vel angulo vel

alieui multiplo eius sit aequalis.J

340.(

Quoniam itaque, una radice ex Q per r expressa, omnes radiées aequ.•?"– 1 = 0 per potestntes ipsius r exprimuiitur, productum, e pluribus radicibushuius aequ. quomodocunque conflatum, per r*1 exhiberi poterit, ita ut X sit vcl 0,vel positivus et <». Designando itaque per y[t, u, v .) functionem algebi-ai-cam rationalem integram indeterminatarum t, u, v etc., qualem per summam ta-

lium partium hfif'v' exprimerelicet: raanifestum est, si pro t,v,c etc. quae-dam e radicibus aequ. a?– 1 = 0 substituantur, puta t = a, u~b, v = c etc.,

'f («, b, c .) sub formani

A+£r+A"rr+Ami*+ 4- 4V"1

reduci posse, ita ut coëfficientes A, A' etc. (e quibus etiam aliqui dcesse adeoque-= 0 fieri possunt) sint quantitates determinatae, insuperque omnes hos coBfficien-

tes integros fieri, si omnes coëfficientes determinati in ç (t, u, v .}, i. e. omnesl

1

THËORI* KADICI5! ÀKQl^ÔNiS jp 1 0. 417

.{1

h sint intcgri. Qntxlû vero postca pro t, u, e .substiUmutur ««, bk <•?.

resp.. qimovis pars nt /tf/'v' quae autca reiluccbiiuir ud /• «une fier /

unde facile couclutlitur, n'cri

?'««. U, ce .] – A+A'rr~{-A"rl-A"'r" + + .!>

Pcrindc erit Kimeralitcr, pro valore quooiuujue inte^ro ipsius À.

f it\ h'\ c'\ ..)= A-A'/+A"rl +- -j-.f'yi')'

(jime propositio nmxinii est îaonienti, fumlanientumquo disquisitiomim scquon-

tium constituit. – Hinc sequitur etiam

y 1 1 1 – ? «", 6". c" .i = A-A"A' + + -1'

«oc non

•f >, h. «. -f-'f ««. t/ ce. +'f :'rt3, /A'1. -f- .f'f «" c" = ,,A

quae ittiqui* summa semper fit intégra pcr Il tlivisibilis quaudo omnes coi'fficien-

tes tletcrminati in fit. it, v .) sunt integri.

'l'heurta ratlicum niytiatioitia /"– I – o (tibi siijj/wiiititr, h <«*? nuuierttni primum).

Omittriitl'i («(/(»(•«( I, nliqaiu- [U) cautiiu-ntur tu mijtiatwnr X = + jr""s •+- efr. + J + 0.

J-'mtel'vi X frtii/ri ttii/uil in Jitelurin lufirion-t, in qitiliux niions i-ifffrit ntes niai ration» <

3-11.

TriKOitKJU. Si functiu X per functiouem infetioris yrudits

P – x1' + AJ-1 + Bd* + -f Kx + L

est (Heisihilis, coifficientai A. JJ L omnes integri esse nei/iicunt.

Deui. Sit X = PQ, atque ty coin plexus nulicuni acquationis 7*^=0,

O coniplexus radicutn acquationis Q ^= 0, ita ut Q constet ex ty et C siimil

snmtis. l'orro sit 9Î coniplexus radîcum ipsis ^|3 reciproctirum S coniplexus

radicuin ipsis JQ reciprocarum, siutquc radiées, quae coiitincntur in dt, radiées ac-

quationis Ji– o quani ficri y--f- j- x'l -f etc.

-f- œ = o facile perspi-f}unhollls 1-= fI (1 UUIII fieri ~v'+ L

'é- etc, + L ~v+ j= II ficile C pC'I'S]II-

citiur) eaeque quae continentur in <& radiées acquationis .S' – o. Manifeste)

etiam radiées di et S iunctue complexuiu ii efficient, ac erit iî<S = X. (uni

quatuor casus distiiifjuinui.s.

418 Jjfi AEQl'ATIOSJBV» CISCULl SECMONES BEmiESTIBUS.

l. Quando $ convenit ctim 8Î adeoque P = R. In hoc casu mauifesto

binae semper rudices in $ reeiproeae erunt, adeoque P prodactum ex £X facto-

ribus talibus duplicibus n'œ– %x cosw-f- ] quura talis factor sit ={x – eosu))*

+9inw*, facile perspieietur, P pro vnloro quocunque reali ipsius x necessario

valorem rcalcni positivum obtincro. Sint aequatioues, quarum radiées suut qmi-

dratn, cubi biquadrata potestatos h – ltM radicum in $ resp. hae P'= o,P"= o, JP'"– o, F' = o, siutquo valores funotionum P, P, P" P\

quos obtinent statuendo *• = 1, resp. j>.p',p" .y, tune per ante dicta p erit

quantitus positiva et prorsus simili rationc etiani p, p" etc. positivao erunt. Quum

itaque p sit vnlor ftmetionis (1 – t) (1 – «)(j – v) etc., quem obtiuet ponenclu pro

t, n, e etc. radiées in valor ciusdera, statuendo pro t, «, v etc. qimdrata il-

larum radicum etc., insnperque valor pro t – 1, rt = 1, = i etc. manifeste

liât =0:summn />+/+/> • + erit iuteger per » divisibilis. Practerea

facilo perspicietur, produetnui PP'P" fieri = X'; adeoque ppp" =»}:

Iam si oinues coëfficicntes in P rationales ossent, omnes quoque in P', P"

etc. per art. 3 3 rationales évaderont; pcr art. 4 2 autem cuneti hi coGffidentes

necessario forent integri. I-Iinc etiam p,p, /etc. omnes integri forent, quorum

productum quum sit «' multitudo vero n – 1 > X, necessario quidam ex ipsis^iltein n – 1

– X) esse debebunt = 1, reliqui vero ipsi n velpotestnti ipsius

» aequales. Quodsi itaque g ex ipsis suut =1, summa p+jj'-fetc. mani-

festo erit =j/ (mod. n) adeoque certo per n non divisibilis. Quart» suppositio((jnsistere ucquit.

II. Quando ty et di non quidem coincidunt, attamen quasdam radiées conl-

munes continent, sit Z liarum complexus atquo 21=0 aequatio, cuius radiées

suut. Tune 2' erit divisor communis maximus funetionum P, R (ut c theoria

uequatiouum constat). Mauifesto autem binae sein per radiées in ï reeiprocae

erunt. mide per aute demonstrata omnes coCfficientes in 2' rationales essc neque-unt. Hoc vero certo eveniret, si omnes in P adeoque etiam omnes in JB ratio-

nales essent, ut e natura operationis, divisiorcm conim. max. investigaudi sponte

spquitur. Quare suppositio est absurda.

III. Quando £i et 3 vcl coincidunt, vel saltem radiées communes impli-

cant, prorsus eodem modo omnes coëfficientes in Q rationales esse nequeunt; fie-

rent vero rationales, si omnes in P rationales essent; hoc itaque est impossibile.

IV. Si vero neque ty cum 3Î, neque JD cmn S ullam rndicem commu-

THEORIA ttÀWei'M A^fAWWflS .r" – T ^i (I 419

53

nem habet, omnes radiées neeessario reuerientur in <&, omnesque £ in 3Î,

unde erit P=»9et Q = R. Qunmobroin X = PQ erit productuni ex P

in li i. e.

ex &+A&* + Kx + & in 4-f + £*+/1ex JI .t."Ç' .n..v J 111..0

1: L.'1'

L

unde statuendo # = i fit

?t L ( t A -E- If .+. I,'x

Iara si omnes coi?fficientc$ in P rationales, adeoque pcr art. 12 etiatu intcgri es-

sent, L qui coGfficientem ultimwnx in X i. e. unitntctn metiri deheret, necessario

foret = + 1, undc + m esset numerus quadmtus. Quod quum hypothosi re-

piignet, suppositio consisterc nequit.

Ex hoc itaque tlioorcmate liquet, quomodocunque X in factores resolva-

tur. horuin coGffieicntcs partim saltom irrationales fieri, adeoque aliter. quain pcr

aequationcm elevatam, tlctcrminari non posse.

Pn/mitum é'tqtwilionum leguenlium dnhratur.

342.

Propositum disquisitionum soqaentium quod paucis dcclaravissf haud in-

utile crit. eo tendit, ut X in factores continuo plures gbadatim resolvatur, et qui-

dem ita, ut horum coiifficientes per aequationes ordinis quam infimi deternaneu-

tur, usque dum hoc modo ad fnctorcs simpliccs sive ad radiées ii ipsas pervenia-

tur. Scilicet ostendemus, si numerus n – t quomodocunque in factores integros

a, li, 7 etc. resolvatur (pro quibus singulis numerosprimos accipere licet) X in

a factores1

climensionum resolvi possc quorum coCfficientes per aequatio-a o.ctOl'CS (ImCnSlonum resolvi }losse, quorum co' ClCn cs per aeCjl1ntlO-

nem au gradus deterniincntur; sinculos hos factores iterum in li alios">-

di-

mensionum ndiumento acquationis litl gradus etc., ita ut désignante v multitudi-

nem factorum a. lî, y etc. inventio radicum 2 ad résolution um v aeqnationum

a".6", ytletc. gradus reducatur. E.g. pro n– 17. ubi n – 1 = 2.2.2.2.

quatuor aequationes quadraticas solvere oportebit; pro « = 73 tres quadraticas

duasque cubicas.

Quum in sequentibus persacpe tales potestates rndicis r considemndac sint.

quarum cxponcntes rursus sunt dignitates, lmiusniodi expressioncs autem non

sine molestia typis describantur: ad facilitandain impressionent sequenti in po-

420 ?>k ,vi:c}t%vïinxiBi*s cimcvm skctionkw oefisikxtim's.

•rtcrum abbreviatione ùtettmr. Pro r, rr. r* etc. seribemus f!\ [2], [3] etc., ge-

m>niliton|uo pro dénotante K integrnm qnemcunquc, "X]- Talcs Unqtie ex-

pressiomvs penitus deterniinatae nwidum simt, set! fiunt, .siiuulae pro n sive I

nulix ileteruiiuntn ex 12 uccipitur. J-'runt ituque gouemliter X, p] iicquulos vol

inaoqunlos. pro ut À, ,u secuudiun inodulum n congrui simt vol iiicongrui poriti

0 – I; À. [x – À–{– |jt À :– Àv; suinnta 0 -)-+ '& .+ '«–(;/» r,

vel » vt'l- k. i>iout À jier « ho» *Hvi«bilis est vel <livt.sibilts.-

OmHex rwlirr.1 !i /a nrlns rlunies {yerinint) ilixtriliiiHitlar.

Si. pro uidilulo «. est iitimerus talis. qualeni in Soct. III raclicoiii primi-

tiviim dixiimo u – 1 utmu'iï 1. y, gy .f/s lus 1, 2, :« – 1 secumluin

iihxI. n cou^nii cruut. et>i alio online, pu tu quivis iiuincrus uiiius scriei con-

içruuiu liabi'bit in ultora. Ilinc sponto scquitur, radiccs I gy y"

ému ii coiiiriilcrc: et prorsus simili modo {ït'iieralius

),yy /.y"cuin 12

loiucicicnt. dusi^uaute À intoy;nun (|uuincuu([ue per « non divisibilem. l'omi

(juiun sit g"~l -s= 1 wod. u uullu ne-jotio perspicietur, duas radiées ï-g'1 uf

iflciiticas vel di versas esse, j)rout jx. v sccuiuluin n – i congrui .vint vel iucongrui.

Si itaque G est alia radix primitiva, radiées J ij/ •y" ctium cum

his 1 G G"1 si ad ordineiii non respidtur..Scd praeterea

facile probatur. si c sit divisor ipsius « – 1, atque ponatur « – 1 = cf. = /<,

G' H, etiam numéros 1. h/t.l bis I, H. IV.• secun-

dum « t'ongruos esse(sine respectu ordinis Supponanius eniin G^y"' (mod.w)

sitque |j, nuineriis urbitrnrius positivus et < f atque v rcsiduum minimum ipsius

ijuo fniod./). 'L'une erit -m jauh1 il hinc =^<1 == G'* (inod.

,ive H'l~=/i', i. e. quivis numerus posterions seriei I, JT2 etc. cougruum

habebit iu série I, h, hit. et perinde vice versa. Ilinc manifestum est,

/radiées 1, h. hli\l^~y- identioas esse cum bis :'l [H, IV .ILf~

gcuornliu.s(|uu eodem modo facile perspicietur

X. U U/i~)J/-v cum X, Mil )JP UP~1':

convenire. At/girr/atum taliuin radicutn + )Ji -(-ete.-f- À/ quod. quuin

IMSTmiHTIORVDItTM Si I.N"PEKfOIJOS. (21

non mutotur (iccipieiulo pro y ttliitm radicem prmiittvnm, taniquum iudepcmleus

nff considenmdum est pcr (/, 1} dcsignabiums; oaruuttwu radicum comjtfcvtuK

imubimus jii-i'iodttm f. À;, ulu ad mdkum ordinein non respkitur In ex-

liibendu tali poriodo e re crit, singulus nidiccs. e quibus constat, ud expressioneni

siinpliei.ssinmin redueere, put» pro numeris )./<, lA/mtc a'siduu miniiuu sw-.

raod. n substituere secundum quorum inagnittidiiicin si placct, otiuiii pi-riodipartes ordinnri poterunt.

E. tf. l'ro n– lit, ubi 2 est radix primitiva periodus tj. 1 constat c

radicilms f, S. «lj, '512, ÎOÏIO ^:i270S sive T. 7, S", 11 !2. Is.

Similiter poriodus ;ii, 2} constat ex 2\ ':»', .V, ]}", i o 17. J'criwlus

U, U cuin pracc. idontitu iuvcmtur. l'oriotlus 'l>, l'i coutinet I o il lu.

ja;, i:>.

I *«<•/« Ikiiirnuttta d* j/rri'xl!* riulifttin U.

ail.

C'irca liuiusuiodi périodes stntim se oftcruut observationes .scquetitr-s:

I. Cimn» sit À/< À/c'"1"' £=:< etc. mtmifestum est, ex ii>-

deni rndicibus. e quibus coustet h,, otium consturc y'. /< y*. À/ etc.:

fîcneraliter itaque désignante À'" radieein quaniciuique ex 'J\'l> huée perio-

dus cumf. t' onuiino identicii erit. Si itttquc duac periodi ex aequo multis

radicibus lonstantcs qualcs siurih'x diccmiiK ullam radiceni conimuneiii liubcnt.

manifeste) identkac crunt. (juan? fieri nequit ut duae radiées in aliqua periodo

siinul cuutincuutur, in alia simili vero una cumin tantum reperiatur; porro ]>atet.

si duae radiées X\ ad eaiulem periorluni tenninorum pertineant. valorem

expr i 'mod. «) nlicui potestati ipsius heongruum esse, sive suppuni pusse

), 1, :lIIod,1/)-

Il. Siy* = – -1 e – 1 periudus J iiianifcsto cum 12 coiucidit:

in reliquis vero casibus il ex e periodis [f, 1 y f, y y <

compositus erit. Hue jjeriodi itaque omniuo inter se diversae emnt patetque.

quainvis aliam siinileinperioduiii À; cum haruni aliqua coineidere. siquidem

X ail Q pertinciit, i. e. si À pur « non divisibilis sit. Perioilus f, o. auteiu

aut f/, /i*«) maniiesto exf unilatibu.s est iromposita. Aeque facile persjjicitur.

') AiÇKrcgutuniin sw|iionlibus uiiampcriuili vulori-inmuuuricumvucarv licual, aut simplicitt-r tu-rimlum.ulii ;inibij,'iiit:\s uuii mi'tui/ml».

422 DE AEQUATIONIBUS CEROrU SECTIONEB DEKENIENTiBfS.

si X sit numéros quieutique per » non divisibilis, etimn complexura e perfodo-

run» (f, X), (f, Xg), (f, \gg) .(/, Xj/1) cum Û convenire. Itae.^r. pro

n .– 19, /= 0, Q constat e tribus periodis (o, 1), ((5,2), (0,4), ad quorum alî-

qttam quae vis alia similis, praetcr (0,0) reducitur.

III. Si « – est productum tribus numeris positivis a, b, c, mmiifestnm

est. quamvis periodum hc tunninorum ex b periodis c terminorum compositam

esse, puta (hx, X) ex (c, À), (c, X/), (c, ).), (c, lfb~a), unde Jme sub

illa conteiitae dicentur. Ita pro n = 19 jwriodus (0,1) constat o tribus (2. 1),

2,S\ (2,7), quarum prima coutinot radiées r, ri!i; secundn » »* tertia r7, ru.

345.

Theobema. Sint (f, X), (f, |x) duae periodi similes, hknticae aut diversae,

constetque if, X) e radkibus [X], ,_).'], .7,"] efc. Tune productum ex' (f, X) i« [*}

''nY aggregatum f periodurum similium puta

=(/. X+ri + C/1. *'+!*) + W X"+|»)4-ete. = TF

D««. Sit ut supra « – 1 = ef; g radix primitiva pro modulo « ntque= g\ unde per'praeeedentia crit (/. X) =

(/; lh) =(/ X/i/* etc. Hiuc pro-

(hictum quaesiturn erit

à*] • (/• *) + [|] • (/ XA) + >/< (/, Xh h) 4- etc.

adcoque

= > +1*3 +[xa +|x] .+[x/+(x;

H-jU +|i*] 4-p^A+|iA] + ;x^ +|»aj

+ [lkh + v.hh}+yi* +V./ih}. + i)Jtf+l+lxhh} etc.

quae expressio omuino ff radiées continet. Quodsi hic singulae columnae ver-

ticales seorsim in summam colliguntur manifeste prodit

(/• X+ |i) + {/. U+w +.+(/, X/+^

quam expressionem cum W convenire nullo negotio perspicitur. quum numeri

X, X', X" etc. per hyp. ipsis X, lh, 1/iA X/»/"1 secundum modulum n congruiesse debeant (quonam ordine hic nihil interest) adeoque etiam

À+ |x, x'-f-j». r-f-ft etc. ipsis X+(x, X/i-f^, X/iA+ji X/i' + ti. Q-D-

oisnammo HADiettir a tu mbrio&os. 423

Huie theoremati adiungimus eorollaria seqtientia

crit

1. Désignante k integmm quemcunquc, productum ex (f, H) in (/, Ajt;erit

= (/ *(*+!»)) + (/. *(*'+(*)) + (/. *(X" + |i)) + etc.

II. Quum singulae partes, o quibus W constat, vel cum oggregato (/ u,,qttod est =/, vel cum aliquo ex his (/, t; (f, g), {f, gg) {f, f*) cou-

veniant, W ad formam scquentem reduci poterit

w = «/+*(/, i)+6'(/ ^)+*v. «?)+••• +*•(/. /-1;

ubi coëfficientes «, b, 4' etc. erunt integri positivi (sive etiam quidam =0) porro

patet, productum ex [f, M) iu (/, Â-|x) tuuc fieri

=«/+*(/ fc) + b'lf, kg) + .+V{f, *) j

Ita a. g. pro » = 19 productum ex aggregato (0,1) in se ipsum, sive quadra-

tum huius aggregati fit =(G, 2) + (0, 8) + (0, 9) + (0, 12) + (0, 1 3) + («, 19)=-

15 + 2(0, 1 ) + (0, 2) -f-2 («, -1).

III. Quum productum ex singulis partibus ipsius W in periodum similem

(f, v) ad formam analogam recluci possit, manifestum est, etium productum e tri-

bus periodis (/. X) [f, p). [f, v) per c/+ rf(/ 1; + rfE[/ <î/<1) cxliibcri

posse, et coi'fficientes c, d etc, integros ne positivos (sive = 0) evaderc, insu-

])erque pro valore quocuuque iutegro ipsius k iieri

(/, k\) {/, *ji) f/ *v) = cf+ d (f, k) + (V{f, kg) + etc.

L'erinde hoc theorema ad producta e periodis similibus quotcunque extenditur

uibilquc interest, sivc hae periodi ouincs diversae siut, sive partim aut cunctae

identicae.

IV. Hinc colligitur, si in functione quacunque algebrnica rationali iutugni

F – <?[t, «, v .) pro indetorminatis t, «, «etc. resp. substituant w periodi m-

miles [f, ï), (/ (*,), (f, v) etc., eius valorem ad formam

A+B{f,l) + B'lf,sr)+B"lf.9Sl)+.+B'iïf-1, J

reducibilem esse, coofficientesque A, B, B'etc. onines integros iieri, si omues

«•«Officieutos determinati in F siut integri; si voro jrostea pro t, «, rctt. «;s|i. I

4.21 DK AEQI'AÏIÙNHU.'SUlttlXM SKe?H>NKX DKFINJKSTIMIH,

substituuutm* if, kh). 'ftk\x\, if.kyvU:. valorem ipsius F minci ml /t-f-

B-f.k' + D''f.*tf\+etc.

Mti.

TllKOREMA. SU])])OHI'H(iu À l'&SL1 MIHH'IUIUJH'f II 110II llil'i.sihill'lll et Si filn'llllll

lirrcitatis en/o p pro (/>} ipmeiûs atia similis perioifus {/* (*}• ubi etUtiit y. pcr n

»o/« ilieisibilis inijjfiunitut: reduci [joterit mb fueuuuu talon

« + 'V "h IJ'P + • • + <>l

ifll ut cijr^irtc/ih's <t. 0' i'fc. sint quantitutes detcniihiatuv ratiotink.s.

IJcm. DesitfiR'iitur ml tibbreviuiuluiu pcriocli f.hff', '>«/, À// etc.

usqui' uri f.\ll~l- «îuuriuii tnultitudo est t – -I. ut ciiut quarum nliquu }i-

ncc-t'ssuri» coiivt'uk't. \>vv y/, y/ y/"etc. Jlubctur itaquc statiiu aequatio

n ] +/>+y/4_/+/h0tc ;i 1

i-\t)lv(.'uclo uuteni .sei-uudiun praeccpta art. prncc. valores jjotestatuni i psi us p iis-

(|iic ad « – ltul". f – 2 uliste talcs prnumimbuut.

u– 7>/>-j- A-uj)-dp'u"it"a"'i>" -qU- 'Il

»– +ll- bjj -j- b'p -+ b"/ + />"> -(-etc. III

n – + f-h cj> + c'jj -+ c>" + <> -f etc. I. etc.

ul)i oiuiics (•oCfficicntcs 1, «, a etc. H. b, b' etc. etc. crunt iittcgi'i. ntquc. quod

probe uotanduin est et c.\ art. prnec. sponte sequitur, n À omuiuo indepeiideutes;

/.(. oiU'dum aoquationes vtinmnum rulcliuiit, quicuuque alius valov ipsî À tribu-

iitur: haoc annotatio inaiiifesto etiani ad aequ. 1 extenditur, si mudo /> por «

iiou divisibilis aceipiatur. –. Supponamus {jl; –y/; fucillimu enim pcrsj)i-

(.-it'tur. si|*i cum ulia periodo ex

j> p vtc. cuiivcniat. nuiocinia scquentibiis

prursus analojra atlhilicri possc. (iuuin multitudo aequationuiu l, II, III etc. sit

e – quantitates p". p" etc., quarum multitude = e – 2, per metliodos notas

inde eliiuinari possunt, ita ut prodeat nequatio talis [%) ab ipsis libéra

« =« + 93/i + <&pjt +etc. + -Xllp1-1 + Mp (

quod ita ticri poterit. ut omnes t::oëfficielltl's "A, iH M sint integri atque corte

non oinnes = n. tam si hic non est "H – o. jirotinus liquet, pinde ita. ut in

lUOII 0ll11WS = Il, am si Iiit, iioii cst ) 91 = u. l'1'otUllls lQUCt, p'

iiide ita. ut 111

WSTMBCïiO RAPIC'CM i.» 1S l'KUIOUOg. 425

:1-1·1

theoremattr enuntiatnm est, delenuinari. Supercst itaque, ut demonstremus.

= o fieri non posse.

Supponendo esse 9i =0, acquatio Z fit SD?/1 + etc.

®j> 4. W = o,

eui, quum ultra gradum «– ltmn corto non aseendat, plures quam e- valo-

res djrasiipsius ;> satisfacore nequeuut. At quum auquationes, e quibus 7. de- -1

ducta fuit, a X sint indépendantes, liquet, etiam 7, a X non pendere, sive looiiiu

Imbeïo. quicunque integer per « non divisibilis pro X accipiatur. Quare acqu.Z sutisnut, cttïrunque ex e a4,git~g~atis (1, 1 ,t, g;, 'f, ~lJi ~) neclart-lis statuatur p, unde sponte sequitur, haec afjgrejpita omnia ina«-qualia esse non

posse, scd ad minimum duo iuter se nequalia esse duberc. Contiucat unum e duo-

bus talibus aggregatis aequalibus radiées Ç C C" t;tc., alterum lias îj tj".

r/'letc, supponamusque (quodlicet), omues numéros Ç, C, u'etc, ij, r, i,"ete.esse positivos et <«: mauifesto oinnes etiamdiversi eruut, nullusque = o. l)e-

sifnietur functio

4- -+- .1- 4- etc. – x*> *V– xr" – etc.

euiu.s terminus summus lion ultra .(. ascendet, per I', patctquc fieri F=o.

si statuatur ,v = lanc F iinplicabit fuetorem œ–T, quem eum fuuc-

tione in praec. per X dertotata communem hubebit; hoc vero ubsurdum esse, facile

ntonstmri poterit. Si enini Y cum X ullum factorcm connuuncm haberet. divi-

ser coinmunis maximws functionum X, Y (quem ccrto usque ad « – 1 diiuen-

siones ascendere nonposse iam ijide patet, quod Y pcr x est divisibilis}, omnes

eoOfficientcs suos rationales haberet ut e natura operationuin divisorom conimu-

nciu maximum duarum talium functiomun investigandi. quarum coC-fficieutes om-

nes sunt rationales, sponte sequitur. Sed in art. 341 ostendimus, X iniplicurenon posse factorcm pauciorum quam « – 1 dimensionum, cuius coëfficientes om-

ncs sint rationales: quamobrem suppositio, esse 9Î == o, oonsistere nequit.

Eœ. Pro «^19,/== 6. fit |»/»=

6 4-2/» 4-/»' +2/. undc et ex

i» = |4-|_y_|_y deducitur =

1–j>jj, /= –5–^4- Quare

(«, S)= 4 –

(6.1; (tt,4) =– 5 – 'O.i; 4-(6, 1;*

'6. 4) -1(6.2~, (6. ) ) 5 6, 2'

+ rui 2~

0. i: _= I – «..| ?\V

[G. 2 =–>– M. \) 4- '0, 4s

Jâtf iœ ,i BqpÀrnosnB» cmm,i skctiones PRraiEXTiuirs.

347.

TnEOREMA, »SïF– 'f [t, il. r .} est funetio ineariabilis*) atgebraka

ratiomili.s intégra f indetermwatarum t, u, v etc., trique substituerait) pro /m f radi-

ces in permit) (f, X'. contentas, va/ur ipsius F per prueceptu art. 340adformam

A-f-1"_t' + ~l"2: + t'fe. == IV

mlua'tur: radiées qutie tu Me exjjremone ad eandem periudum (/uamcumjiw f teniti-

nortim pertinent, cuifficieittes uequalen liulebunt.

Hem. Sint q dune radices ad mium camlemque poriodum pertinen- t

tes, supponanturqnc y*. positivi et minores qiuun «, ita ut demonstrare oporteat.

p et in Ilr cundem coCfticicutem liabere. Sit </=/> fmod. «); sint porro

radiées in :l) contentae À", ')! )"] etc., ubi numéros X, X', >" etc. positi-

vos et minores qiwun w supponiinus; deniquo sint residua minima positiva nmne-l

rorum h/'1'. i-'(/ t"(/e etc., seeunduni modulum w, hnecji, ft', |t"etc., quae

manifesta oum numeris X, X', X" etc. identiea erunt, etsi ordino trnnsposito. lam

ex art. îMO patet,

?;>].w]. )"<] ••} = >!} i

ri'duci ad |

-l + .-i'v/ -f-ra^i-f-ete. autadA + A' 0] +A'T0' i -f etc. = H"

désigna» do pcr 0, 0' etc. residua minirna nunieroruingw, îg'e etc. seeunduni

i

modulum «, undc inanifestum est. \qy habere cundem coëfficientein in (1V'\

quem j^' ha lient in [W). Sed nullo uegotio perspicitur, ex evolutione expressio-

nis T, idem proveuire atque ex evolutione huius 'f(L|Ji\ [j*'i, "(/etc.). quoniam

|i s X//Vr. jx' = etc. inod. »'; lrnec vero exl)ressio idem proclucit ac hnec

'f À", etc.), quoniam numeri ja, ji, |i"etc. ordine tautuin ab his X, X', X"etc.

discrepnnt cuins ill fimctionc invariabili nihil intorest. Ilinc colligitur. TJ"

omuino identicain fore cum TTr; quaniobrein radix y] cundem coCfficientein in

IV habebit ut j)\ Q. E. D.

Ilinc inanifestum est, W roduei pos.se sub fonnam

l'uiictionv* invurialiilvs cas vocari culistgtt, cjuîlms omnes indeturminalau codi-m moilo insmit. sive cla-

rius, <)iiau nuii nmtuntur, quomuducunquv indeterminatac inter «i? pormutentur cuiiismodi sunt <. y. suinm»

omuium, proiluotum ex ontiiibtu, summn prodtivturum c binis etc.

DisTRiBt-no irarwcu.v a ïs mmoms. 427

ra Ii + ~) d' f': ~). + ~')a, } Y: 1 tl; "9,9; (1 Í.9 ,i

ita ut cotffficientes A, a. «f sint quantitates determinatao, quae iiisuper integri

cnuit, si omnes eofifficicntes rationales ia F sunt integri. Ita e.g. si n = 19.

– 0. X =1, atqne functio y désignât aggregutuin productorum e binis imle-

traninatis, eius valor rcducitur ad 3 -f- ( «, 1 ) -j- '6, 1 ].

Porro facile porspicietur, si postêa pro t, «. «-etc. radiées ex alia periodo

k\) substituantur, valorem ipsius F fieri

A+a{f, k) +«' *) +a'J\ kgy, + etc.

34$.

Qiwm in nequntione qiiacunquc

œS–a#f~l- iSxf-t – yxS-*= 0

coOfficientes a, lî, y etc. siut functioncs invariabîles radicum, puta a sumina om-

nium, lî Niuninu productorum c billis, Y sunmia productorutn e ternis etc.: in

aequatione. cuius radiées sunt radices in periodo If. eontentae. coPffieicns j>ri-

mus crit .= À:, singuli reliqui vero sub formnm tulcm

A+a'f, i) + cé ',Î J; + tif, 0-1'

reduci poternnt, ubi onmcs .1. a, a etc. erunt integri; praeterenque ]mtet. acqiia-

tiojiem, cuius radiées siut radiées inquacimque alia periodo [f, kh) eontentae. ex

illa derivari si iu singulis coiiffieieutibus pro 1} substituatur f k, pro

g\ {f, kg) et gcueraliter pro 'f,j>], [f,kp). Hoc itaque modo assignari

poturuut e aequutiones z = 0. z – 0, g" 0 etc., qunrum radiers sint radices

eontentae in (/, 1}. in (/,(/). (/, y;/t etc., quamprimum e oggreguta 1;,

(f, ggetc. innotnerunt, mit potins quuniprimum unum quodeunque eorum inven-

tum est, quoniain pur art. :tlC ex uno onmia reliqua rationaliter deducere licet.

(juo pactosimul functio X in e factores dimensionum resoluta habetur: pro-

ductuin enini e functionibus s, s, s" etc. nianifcsto erit = X.

Ex. Pro «= 19 sumina omnium radicum in periodo .6, 1; est ='6, 1)

= a; sumnia productorutn binis fitt S-|<3. 1 <>.• = 'î: similiter

54

42S |>K AKQl'ATlOKIUltt CUttTU SECTIONKS DKKINIE.Yt'Ilil».

stimma productorum e ternis invenitur – 2+2(e, l) + (0, 2)–

7! sumtns

produetonun e quaternis =3-f (6, 1) + (0,4) = «?; sminina produetorum e qui-

nis =:'0, 1)

= «; productum ex omnibus = 1; quarc aequatio

s =,ro_a,ti4+b\i't – yjr'+c.iM1– s#+l

= o

oniucs radiées in (0, 1) contentas comploctitur. Quodsi in coOfficientibus a, l>, y

etc.. pro (0,1), ;g,2), (0. 1'; resp. substituautur (0,2), (0,4), (0,1), prudibit ae-

quatio s – 0, quoe radiées in (0.2) complcctctur; et si eadem commutatio hic

ilenuo applicatur, liabebittir ncquatio s" .= u, ratlices in (u,4) complcctcns. pro-

dm-tunique ss's" crit = X.

:J49.

Flerumque comniodius est. praesertim quoties f est numerus magnus, cofif-

lieiciitcs l), y etc. secundum tlieorenm Ncwtoniainini e summis potestatum radi-

cum deducere. Scilicot sponto patct, sumtnam quadratorum radicum in l

contentarum esse =(/, 2).), summam cuborum =

(/ 3X) etc. Scribendo ita-

que brlvitatis caussa pro (/' X), • 2X}, (/, 3 À), etc. q, q', q" etc. erit

a = q, 26 = aj – q\ 3y = tiq– aq'q" etc.

ubi producta c duabus poriodis per art. 345 statim in summas periodorum suut

couvertenda. Ita inexemple nostro, scribendo pro G, 1}, '0, 2), '0, 4} resp, p, p, p"

«Ullt q, q, q", q" q" q'm resp.=

p, /»'»", hinclUI q, q q ?" q resp, = 1), j~ j~ y j~ p' une

a –p, 2l> =pp ~p

=0 -f- Ip -f 2y>"

3y = (3+/>-f-/)/»-+/i'=

0 + 0/»+ 3/

\l–{* + 2p+p')p – [i-{-p+p')p'+pp-p"

=12 + 4/>+4y>"etc.

(?eterum sufficit sentissent coiifn'cientium tantum hoc modo computarc; etenim non

difficile probatur, ultimos ordine inverso primis vel aequales esse, puta ultimuni

= 1, penultimum = a, antepenultimum = l) etc., vol ex iisdem resp. deduci,

si pro 'f. 1), (/ #) etc. substituantur if, – 1), (/. – g) etc. sive (/, » – 1).),

/• w~ i'. etc. Casus prior locum habet, quando f est par; postcrior, quando

impar; coëfîiciens ultimus auteni semper fit =1. Fundamentum huius rei in-

nititur theoremati art. 79; sed brevitatis caussa huic argumento non immomniur.

BUtrnmem rabici?» u nt màobos. 42f>

350. Z

Theorema. Sit n –t productitm e tribus

integris pusitkis «, l>, y; eomtet

periodus 'dy, l), quae est tiy tetminorum, ex tf periodis minoribus y tvrminorum S

his[y, V). [y, X' [y, )") etc., suppvnamusqtte, si in functione 8 indetmninuhmtm.

oc

nimiUteruffectautmart.'A\1,pHtaiuF–^{t. «, *) pro imhtmninutis t. u, v etc.

substituatitur ai/gret/ata (y, (y, ^'), (y, etc. resp., eius valorem pet pmecepttt 'l

art.:Uô. IV redttei ad

A+a^, ij-ha'ty, <,) +a' (y, <) + a«{y, (/)= W la'y, 1) ay, .lIi'" a 9 a y.,fl

Tumdico, si F sit functw imariabilin eus periodos in W, quae svb eadem periodu l

(îy termiiiorum conteutue sint i. e. generalitcr taies[y, et [y, g'+tl). désignante

v integrum quemcunque, co'éffitientes eosdem habituras esse. Z

Dem. Quum periodus (6 y, /) identica sit cum hac[tiy,l], minores

hae (y. X(«/*), (y, ty*), (y, À"^a) etc. e quibus manifosto prior constat, nccessn-=

rio cum iis convenient, c quibus posterior constat, etsi alio ordine. Quodsi itaque. l.

illis pro t, u, v etc. resp. substitut!» F in W" transire supponitur W" coinci-

det cum W. At per art. 347 erit

W" =^+«(y,/)+«'(y,l+1} +a%y*) -f «*(T, ^H*

li-i-'avY` ~lx)"f-`a (Y`9'`~1~ · -a·'y, j' -a' Jx`'.

quare quum haec expressio cum W convcnirc debeat, coëfficiens primus, sccim-

dus, tcrtius etc. in W (ineipiendo ab a) Jieccssario conveniet cum a-f-1to.

a-f-2t0, a-f-3t0 etc., unde nullo negotio concluditur, genemliter coPfficientes

periodorum (y,^), (y,^), (y, f*+* (y, g**+»), qui sunt |i+ltus, «+^+1^.

2a + |x + 1 tus va + ijl– f- i tUR,inter se convenirc dcbere. Q. E. D.

Hinc munifestum est, W rcduci posse ad formant

*+a{6y, 1)+«'(C7, <,) +a({tfy,

ubi omnes coëfficicntcs A, a etc. integri erunt, si omnes coL!flicientcs detenninati

iu F sunt integri, Porro facile perspicietur, si postea pro iadetcnninatis in F

substituantur 6 poriodi y terminoruni in alia periodo {Jy termiiiorum. puta in

(6y, U-) contentac, quae manifeste erunt.y, Ait), (y, )'it), (y, /A-; etc.. valorem

hule prodeuntem foreA+a[\îy, A-} + «'(Uy, </A-) -f-«E (lîy, /•). l

430 DKAKQL'ATlONlHt'l»WKCTMSKCTIOHESDEFlNIENTUBt'S.

Ceterttirt patet, theoremtt ad eitm qttaque castim extendi pusse, ubi a =

sive &*y = «-– I; scilicet hic mnnes eoCfîfieientes in Waequales erunt un de

redueetur sub formant A-a dy, v.

351.

lietentis itaque omnibus signis art. liraec., nianifestum est, singulos coiîf:

dentés acquationis, euius radiées sunt tf aggregata 'y, X) (y, X'i, (y, ?" et(

sub funnum talem

A+a[f>y, i)-j-«'{iy,< -f-w'fgy, /•;

reduci posse. atque numeros A, «etc. omnes fieri integros; acquationern auter

cuius radiées sint l) periodi y terminorum in alia periodo lîy, A- Xi contentae, (

illa derivnri si ubiquo in couflicientibus pro qualibet periodo (d y, |jt) substitui

turKdy, A'p..Si igitur a = ï, omnes 6 periodi y terminorum detcruûnabiuitt

per acquationem bJtl gradus, cuius singuli coijfficiclltes sub formamA-fa(dy,

rediguntur, adeoque sunt quuntitutes coynitae, quoniam (tiy, 1)=

(» – 1,1;= –

Si vero «x^> 1, coOfficientes aequationis, cuius radiées sunt omnes periodi y te

niiiiorum in aliqua periodo data dy terminorum conten tau quantitates eognitt

erunt, simulac valores numerici omnium a perioclorum dy tcrminorum inni

tuerunt – Oeterum calculus eopfficientium lmrum ncquntionum .saepe cominodii

instituitur praesertim quaudo 6 non est valde parvus, siprimo sunimae

potestt

tum radicum eruuutur, ac deiu ex his per theorema Newtonianum ooGffieienu

deducuntur, simili modo ut supra art. 349.

Kv. I. Quaeritur pro w == 19 acquatio. cuius radiées sint aggiegata ;6. 1

0, 1, ;(>, 4.. Designando lias radices per /»', p" resp. et aequationem quaesi

tum per

.*•* – Axjc+ILv – C = 0

fit

A=z p+p'+f, B = pp'pp"+p'p". C = pp'p"

Hinc

.4 = 18. i) = –l

porro luibctur

mixrw miv&tiôm x – r>. 431 i

pp'=

p + V+* W=

2/>+3/»'+/A p'p" = *p+p'+ 2pL'P J~ ~,ej'J, · ~l,i~n"`

,~1,`.3!,`~)'· t) ~1'=

3r? p. 2p

unde

C i F

i_ I-e

B = c '/»+//+/) = e ( is. i) =r – e

deniquo fit

C = (/>+*/+ 3/»")/ = 3:ti, 0)+ l !p+p'+p"j = is_ li 7

qnare aeqimtio quaesita

J-i-wx– (i.V– 7 = 0

l'tendo mcthodo altéra habeums

7~+/+~"==-t^j

–6 + 2y; +y+ 2/ j»y = 0 -f 2//+/+ îp pp" = a -f- 2/-| + 2y/

unde

/»+//+//= 1 s + 6 (/>+/»'-+. = i3 s

siniilitcrquc

P*+P"+P'a-=

30 + 34 (/,+/+/,= 2

liint- pcr tlieorema Xewtoniauum eadem aequatio derivatur ut ante.

II. Quaeritur pro n = 19 aoquatio, cuius radiées sint aggrefîata 2. 1 '2.7

2, s,. Quibus resp. pcr q, q, y" designatis invenitur

1+9'+i"– .«. 'J. Sf?'+7îr+?y= («, l. + (0, • ?ÎV/"= 2 + -.0. 2

mule, retentis signis ex, praec, aequatio quaesita crit

– p d\V + (yj +;) ,tf – 2 –y/ 0

Aequatio. cuius radiées sunt aggi-cgiito 2,2j, (2,», (2,5;. sub (G, 2, contenta, c

pracccdentc deducitur substitueudo pro p,p',p" resp. p'.p'.p, cademque sub-

stitutione itomra facta, prodit aequatio. cuius radiées suut ag^regata i2. 4), (2. «

(2. a) sub '6,4) contenta.

Dhqiiisitwitiliu.i pmeee..iiij)<T«tnu'tt<r snlutiu aequaliimis X «.

352.

'l'iieoreinatsl praecedentia cum consectariis annexis praeci]>ua totius tlieoriae

momenta continent, modusque valores radicuni S> inveniendi paueis iam tradi

poterit.

43i* DE AKOF.VTIONlM'tf êlRCl'U SKtTlONKS OBKtSrKSïlBfS.

Ante omnia accipiendus est mimerus g, qui pn> îiiodtilo sit radix primi-

tiva. residuaque minium potéstatum ipsius y usquc ad y" secundum nioduluni

w eruenda. Resolvatur //– t in fuetores, et quidem. si problema ad aequatio-

ues gradus qiuun infitai mlucere lubet. iu factorespriinos; sint lu ordine promis

arbitrario' «, d. y. Û. pona turque

?t – )l M– )1 ft

t

= h Y v = rt = r C = 6, etc.

Distribuantur omîtes radiées S2 iu a périodes a tcnniiiorum liât1 singulae mrsus

ill 6 périodes h terniitiorum; Ime siugulae denuo in y periodos etc. Quaeratur

per art. prai'f. aequatio a" ^radus [A-, cuius radiées sint illa a oggregatn a ter-

iriiiiomiu, quorum itaque valorcs per resolutionem huius aequntionis inuotescent.

At hic difficultas oritur, quum incertum videatur, cuinain radici aequationis

A quodvis aggregatum aequale statucnduin sit, puta quaenam rudix per a, l\

qimcimui per f«, g. etc. denotnri deboat: htùc roi sequonti modo remedium afferri

poterit. Per [a, \] dcsigimri potest radix quaeeunque aequationis (^l'i: duum

eiiim quaevis radix huius aequ. sit nggregatum « radicum ex Q. otnitinoque arbi-

trarium sit. quaenam radix ex U per [l] denotetur, manifesto supponere lieebit,

nliqunui ex iis rndicibus, e quibus radix quaeeunque data aequ. (jV. constat, per

1" expriini, unde illa radix aequ. [A) fiet '«,; radix ~1] vero hinc nondum

peiiitus deterininatur, sed etiamuiun prorsus arbitrarium seu iiulefinitum nianct.

quanniain rudiceni ex iis. quae '«. t fonstituunt. pro rl"^ adoptnre velimus. Si-

inulac vero <a.\) determinatum est, etiam omnia reliqua aggregata a termino-

nim rationaliter inde deduci poterunt (art. 346}. Hinc simul jmtet, uuicam tan-

tununodo radiceni per huius resolutionem crucre oporterc. – Potest etiam me-

tliodus scqucns, minus directa, ad hune finem adliiberi. Accipiatur pro 1" radix

deteriniimta, i.e. ponatur Y = cos k V -f-/sin kl' integro k ad lubitiun eleeto.

itu taineii ut per « non sit divisibilis; quo facto etiam 2\]»]etc. radiées deter-

miuattts indicabuut, unde etiam aggregata 'a. V. [a, g etc. quantitates determina-

ta.s desiguabunt. Quibus e tabulis simuun levi tantum talamo coinputatis, puta

en praecisionc ut quae maiora quaeve minora sint decidi possit, nulhim dubium

suiieres.se poterit, quibusnam sigiiis singulac radices aequ. {^-1^;siut distinguendae.

Quando hoc modo otnuiu « aggregata « terminorum inventa sunt, investi-

îîctur per art. praec. aequatio B, t)u giadus. cuius radiées sint lî aggregata i

terminorum sub '«, I contenta: coOmcientes huius uoquationis oinnes eruntquau-

SQM-TIO AÈQt'ATJOMS À" 0. 433

5ô :)

titates cognitae. Quum adlrnc arbitrarïnm sit, quaénawi ex « s= ftb radieibus

sub (a, t) eontentisper [1] deiiotetur, quaelibet rattix data uequ. '/?' per [b, 1;

exprimi poterit, quia manifesto supponcre licet, aliquam b radicum, e quibus com-

positn est. per il deuotari. Iuvestigetur itaque una radix qunucunqne nequa-

tionis [B) per eius resolutionem, statuatur= (A, 1), deriventurque inde per art.

:14O omnia reliqua aggregata b terminorum. Hoc mudo simul calculi confirma-

tiouoin îiancisciniur, qiium som])cr ca aggregnta h terminorum, quac ad casdem

périodes a teruiinoruin pertinent, suinmas notas conficcre debenut. – In qui-

busdam casibus aequo expoditum esse potest, a – 1 alias acquationes6Xl gradus

eruen1 quarum radiées sint resp. singula G aggregata b terminorum in reliquis

periodis « tcnninoruin, [a, y\ [a, g g etc. contenta, atque omnes radiées tum ha-

ruin aequatiouum tum aequationis B per resolutionem investigare tune vero si-

mili modo ut supra adiumento tabulao sinuum deeidere oportebit, quibusnam pe-

riodis b terminorum singulae radiées hoc modo prodeuntes aequales statui debe-

ant. Cetcrum ad hocce iudicium varia alia artificia adhiberi possunt, quae hoc

loco complète explicarc non lieet; unum tamen, pro eo casu ubi lî = 2. quod

imprimis utile est. ac per exempta brevius quani per praeeepta declarari poterit.

in exemplis sequentibus cognoscere lieebit.

rostquain hoc modo valores omnium ati aggregatorum b terminorum in-

vcntisuut, prorsus simili modo hinc per aequationcs y" gradus omnia ait y ag-

gvegata c terainorum detertninari poterunt. Scilicet vel imam aequationem y11

gradus. cuius radiées sint 7 aggregatac terminorum sub 'b. \) contenta, per art.

:}5(t eraero; per cius resolutionem unani radieem quameunque clicere et = 'c. 1;

statuere, tandemque hinc per art. 'M omnia reliqua siinilia aggregata deducere

oportebit: vel. simili modo omninoa 6 acquationes fu gradus evolvere, quarum ra-

dices sint resp. 7 aggregata c terminorum in singulis periodis b terminorum con-

tenta, valores omnium radicum omnium harum aequationum per resolutionem es-

trahere, tandcuique ordincm harum radicum perinde ut supra admmento tabnlae

simiuni. vel. pro y= 2, per artificium infra in exemplisostendendum determiiiare.

Hoc modo 1 manifeste tandem 1/1 tcrmino-Hoc modo pergendo, manifeste» tandem omuia '7– aggregata 1 termiuo-

rum habebuntur; evolvendo itaque per art. 34S aequationem Ctl gradus, cuius ra-

diées sint t. radiées ex ii in \) eontentae. Imius cot?fficientes omnes erunt

quantitates cognitac; quodsi per resolutionem una eius radix quaecunquc elicitur.

liane = I" statuere licpbit. omuesque reliquac radiées Q per huius potestates

434 I)K AH$t!.VnOXIBrK ClRm.l SKtTIONES nEFlSJKXTIBfSi

habobURtur. Hi mngis plaeet, etiam ûmnes radiées illius aequatiowis per pe«olutio-

nem erui, praetereaque pcr sohitionem – aliarum aequationmn £lt f,'Ki-

dus, cjuae rcsp. omue.s Ç radiées in singulis rcliquis periodis £ termiuoruin con-

tentas exhibent, omnes reliquae radiées H iuremrî ]>oterunt.C'cteruiu patet, siiuulao prima nequatio [A' .soluta sit, sive shnnlac valorem

omnium a aggrogntorum « terminoruin linbeuntur. etiam resolutioucm funetioni.»

X in a factore» a «Uiuensionuin per art. »4S sponte Itaberi porroque post soltt-

tionent aoeju. (J3). sive postquain valores oinnium ad aggregatorum h terniiuo-

miii inventi si nt, singulos illos factores iteriun in ti, sive X in atf factores h di-

meiisiomnn resolvi etc.

:<5:<.

Rvemplum frimum pro h – 19. Quum hic fint «– 1 = :u.2, inventio

mdictim ii ad solutionem duarum acquationum cubicaruni uniusquc quadratictu-

est redueenda. lloe exemplum eo facilius intelligetur quod operationes necesso-

riae atl maximam portera in praececlentibus iam sunt eontentoe. Accipiendo pro

mdice primitiva <j numerum 2, residua minima eius potestatum haec prodeunt

exponentes potestatum in serie prima residuis sunt suprascriptij

0. 1. 2. ». 4. 5. 6. 7. H. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 10. 17

t. 2. 4. S. 10. 13. 7 .14. 9. 1S. 17. 15. 11. :$. «.12. i>. 10U

Ilinc per artt. 344, 345 facile deducitur distributio sequen.s omnium radi-

cuni 12 in très periodos senomni harumque singularum in ternas binoruni termi-

uorum

(2 1) .111, [j %]

~C.),

} (2.

~) [5], [1 f]

(2. :).[:],[.2]

(2, !).M,['7] ]

U = ~1 g, 1) (6.2) (2, le), [a], [lflJ

(!,<t).[4],[.4]

t(!. 4). [~J, [I~]

;(i, 4j ¡ (2, 13)", [f.J, [13J(9 e~% r..1 riO'1

Aequatio 'A), cuius radiecs sunt nggregata (0,1), (0,2), 'G. -1;. invenitur

<-)-,£• a?– G*– 7 = 0. cuius una radix eruitur – t,22IS701 023. Haï ic per

ifi, I oxprimeiido fit

st>w"«o -u:<jt'ATio.vis A' .^= ii pro « -=i f!f. 435

b:>

M; = 4 – (6, »)*= 2,ao7Otsc-m

ti.i;;== r> – ;o, ij + («, i;» = – 2.2&SM 24Sts

fliiie A in très factores « dimensioimin rooluta erit si lu valures in art. 34S

sulwtituimtur.

Aequatio B], cuius radiéessunt aggregntu (2,1,, (2.7,, [2, <], jirodit haec

.f1 – (0. 1 ju+ ( 0, 1 H- 0, 1) ).i' – 2 – «. 2} =0

MVC

.t'n+1.22l870l023*M-– :»,507«l«i04-H4'– •1.5O701S04-I1 = u

cuius mm rndix clicitur – l.as4503143», quam per '2,1 cxpriincmus. l»cr

methodum art. 3-10 autaninveniunturncquntiones sequentes, ubi brevitatiscaussa

q pro 2, 1) scribitur:

•2.2=qq~- 2, 2,3) = ff-Zq, ! = – 400 + 2, '2.6; =- y3– a9s+5#y

;2,li =?«_ Ojf1 + ttjfsf– 2, ;2,7; î7-7ya+ H, y

2, S) = vN-V+2O7i-lGry</+2, (2, il = ,yu – y,/ + 27 ,/– :lO<?3+!)7

C'oiuniodius quant per praeeepta urt. 34(5 haenequationes in «-usu praesenti per

reflexiones sequentes evolvi pessunt. Suppoiiendo

tJ' AJPt = cos– -4- ë silz.

t»!) I»

litt

=tos'si^' + /sin!s1*- – fos*f – »sin* adcoque '2,1-icos*

nec non fjpneraliter

=cos^ + /sin- adcoque (2.X, = X + [l S)v – À +;– X" ^=2 cos'

Quare si|j

=cosw, crit '2,2;

= 2 cos 2 w, (2,3;– 2 cos 3 w etc., mule

pcr

aequationes notasi>ro cosimibus angulorum multiplicium caedem ibrmulac ut su-

pra derivantur. iam ex his fonnulis valores uumerici sequentes eliciuntur:

2,2; = – U,lfiûl5Stt90«.> 2,«/ = 0,490070074»

(2,3) = 1.57S2SJ Ut SS j (2,7) =– 1 ,75S<> 175021

2,4) = –1,9727220008 | (2,S)= l,S910344S34

2.5i^ I.093S963162 i (2,0) = – 0,Sl)330ÛS40«

436 I>E AEQttATJONllH'S CIKfl'M M-XTIOKKS DKPINIHNTHUS.

Valere* ipsorum '2,7), .[$,& etiam ex neqiiatione ( Jî) euius cluse reliquao ra-

diées sunt, elM possiwt, dubiumqtie, tttta haruiti mdictim fiat (2,7) etutra (2. S.

vol per calculum approxinnituni secimdum formulas praece. vcl per tabulas si-

mnim toUetur, quae obiter tnntuni ecmsultae ostcndunt. fieri (2, 1)= 2cosw po-

nendo w –,79 P, uude fieri oportet

7 = -icos H' P = 2cos ,"“ P, et (2, S)= 2cosf JP = 2cos1^ff/>

Sintiliter aggregata 2,2), '2,3). 2,5] etiam per aeqiuitiouenj

lf3~- G, 2) ^+((0,1) +(«,2})^– 2- (0,4}= 0\t

c

cuius radiées suut, invenire licet, iucertitudoque quncuam rndiecs illis aggiv-

gatis res/j. ncqualos statuendae sint, prorsus eudem modo romovebitur ut ante:

et perinde ctium aggrt>gata '2,4), (2,0), '2,9) per uecjuutionein

.r3– ii, 4, j-4- C (0. 2) -+• '>, -1; ) je – 2 – G, I)= «

elici potemnt.

Dcuiquc ~\] et jS] sunt radiées aequationis œ>v– (2, !).*+ I =0, qua-

rum altéra fit =f(2. 1"+«VO ~1 î2-1)*) = i"(2- O + 'VG – i(*?D. "^cra

=|(2, 1 – «V'Ct –I 2-2))- hinc valores numorici = – O, (J772S 157101 +

0,7 357239107/. Scdccim radiées rcliquoe vel ex evolutionc potestatum utriusvis

harum radicum vcl e solutione octo aliamin similium acquatioiium deduci pos-

sunt, ubi in inetliodo posteriori vel per tabulas .sinuum vel per artificiiun in ex. sq.

explicandum deeidi debebit, pro utra radiée parti imaginariae sigmn» positivum

et pro utra negativum praefigendum sit, lioc modo inventi sunt valores sequentes,

ubi signum superius radici priori, inferius posteriori rcsponclcrc supponitur:

i; et JS'= – 0,677 2S1 57 10 + 0,7357239107»

2" et 17' = –0,0825793455 Z£.0.i)965S44<J3Ot i

;3'et:io;= 0,7891405094 + 0,6142127127* i

4"' et ~Vù~= –0,9803613034 + 0,1645945<J0ni

>" et [14'= 0.54G04SI 5S1 + 0,S371664783î i

[6'et [13"

= 0.2454S54S71 + 0,96940026591

[7' et 12' = – 0.879J737512 + 0,1759-173930»i

S et 11 = 0,9458172117 + 0,3246991692/ i

9 et 10' – –0,1(11095 1247 + 0.91 57733207/ i

«Ott'TIO AEQt'ATIONIS Jt= 0 PRO ft= If. 437

351.

Evmptiim semuèim pro «= 17. Hic habetur n – 1 = 2.2.2.2. quam-obrem calculus radicum iî ad quatuor aequationes quadraticas reducendus frit.

Pro radiée primitiva hic nccipiemus uumerum 3, cuius potestates residua minium

.sequentia secundum modulum 1 7 suppeditant

0.1.2. 3.-1.0. 0. 7. S. 9.10.H.12.13.H.15

1.3. 9. 10. 13. 5. 15. 11. 10. 14. S. 7. 1.12. 2. G

Hinc emerguntdistributiones seqnentes complexus Q in périodes duas ucto-

îionun quatuor quaternorum. octo binorum terminorum

I'4

j\ jC». ')•.[!]. [u]

<f J(«. «).[-],[ •]

()mn

l'S

r

'(7.13),[~], rU]

o- JC*. »).[»], [M]

(c )

((2. *).[«]. [U]

/'4 lOi K*' '«)••['].t>0]

•' H-2, ll).[«], [t.]

Aequatio ;>1), cuius radiées sunt aggregata (S. 1). >. pt-r pracceptaart. 351 invenitur haec + *~4 = o huius radiées computantur J -f- > 17

= 1,561 552S 1 2S et– J^i 7 = – 2,50 1 552S 1 2S priorem .statueinus

–(%, 1), unde necessario posterior ponenda erit = 's. 3\

Porro aequatio, cuius radices mint oggregnta (4, 1) et (4. 0,, enùtur haec

[B)i ane – (8, 1).r-~i = o; luiiiis sunt (8, 1)± j\/f4 + ((s. *)*J = * 1

+ ^y(12-f-3(8, i)-j-}(s, 3)); cam, in qua quantitati radicali signuia positivum

tribuitiir, 9 et cuius valor numericus est 2,0494*1 1777, statuemus = ;4. 1

nnde sponte altera, ubi quantitas radicalis négative sumitur et cuius valor est– 0,4879233649, per (4, y) exprimi debebit. Aggregata autem reliqua quatuor

terminorum, puta (4, 3) et (4, 10) duplici modo indagari posmint. SdUcct^n*»

per methodum art. 346, quac formulas sequentes suppeditat, ubi nd albreviandum

pro (4, t) scribitur p:

,1, 3)= –

« -f- 3j, – j.y/ o;H4 j ri0_:{ j (

(4. 10) = «-f. 2p – pp – lp3 = 2,9057030442

138 HE AUQCATION'WL'» CIUUI'U I&CHÙNK& DKPlNIKNTmi:».

Eadcitt luctliodtHetttuti htmo iWmtiIam largitm* 4, y = – l – top-t-pp+p*.unde raior idem elieitur, q tient nttto tnulidinius. Si>cnmh voro «giçregat» 1, 3).

1. H)fi t'tiani peu- rcsolutionom aequutionis, cuius radiées simt, detenninare licet.

quao ai'quutio fit j\r – s, 3^ – 1 == (>, unde eius radiées sunt S, 3`

±î\( •»•+• >. »*). «vu.j >, 3i + ivïu + 4;S, i;-f:»>. a ) et r.s. :» –

!\(1 2+ I T -j-3 S,3 ); dubiuiii vt'ro, utram radieom per (1,3} et utram pur

I I o exprinicre o|jurti'iit, per urtificium sequeus, euius mentioue»» iu art. 'Ai>i in-

ii'fimus, tolk'tur. Kvolvutur produvtiiin ex l, I – !'4, it iu 1, :i – |, lo

uiido euiLT^ere iuveuictur 2 >, 1–2 >. 3)"i; iam liuius expressionis valor maui-

est positivus putu – -i\ praetereaque ctiam produvti factor primas

h 1 – I. !> positivus ot puta =-f\(l2-(-3 S. T +4 S, 3 ). quare nei-essario

otiain «ilter iiictor (1, 3]. – t, lu positivus t's.se debebit et proin 1.3 radici

priori, in «nia .sij,'num positivum radieali praofigitur, et (4, 10posteriori aocjuale

statui. Cctcruni liiuc iidem valorcs uumerici derivuiitur ut supra.

l uucti> aggregatis quatuor tenniuoruni invuntis, iiroffrcdimur ad aj^regata

duoruui teniiinomm. Aequatio 'C cuius i-adiccs suut hac (2, ly, 2, 13. sub

1. 1 contentae. eruitur hacc tf.r– [4, 1 '.f-f- '• 3 =0; huius indices sunt

4. I ±{ I –-I 4, 3. -{- -1, 1 ') sive| 4. 1 + J f l -+- .4. a) – 2 1. 3) J: viim.i.

ubi quantitas radicalis positive sumitiir et cuius valor reporitur -– 1.SC-MH445SS,

statuimus –2.1,. unde '2,13 aoquale fiet nlteri, cuius valor –0,1^1531)7189.

Si ajrîjTegata reliqua cluonirn tcrniirionmi jier nietlioduni art. ;M(5 investigare

plact't. pro 2, 2 ;2, 3 2, 4' 2..V, 2, 0 '2. 7 2. S. eaedeni formulât* ad-

hiberi i)otenmt quai; iu ex. praec. pro quantitatilms similiter desi^natis tradidi-

iuus, puta 2,2. (sive 2, 15),= 2. 1}' – 2otc Si vero magis arridot, binas

per ro.-olutiouem acquationis quadraticae couiputare, pro liis '2.9, 2, l»1 iuve-

nitur accp-iatio ,v,c – (4, y\t-f-'l, lu = o. cuius radiées evolvuntur .] -1, 0, +

J 1 +1.1– 2 1, loj; quo pacto vero signum ainbiguum hic dcfinire oporteat.

simili modo decidetur ut supra. Scilicct per evolutioneni producti 2.1, 2. 13,

in 2.1) – 2. l.V produc-itur –M, I +'1.9;– '1,3 +;i.Hl\- quod quum maiii-

iesto sit nejîsitivuni, tnctor 2. 1 • 2.13; vero iiositivus. uoeessario '2.9 – '2,15;

Wtu iii'1-ilcs huius arlilkii in co c(uisi«tit, (juoil u priori prnouderi jmti'rat, lioece pruductttm cvulutum

.tfSjreïiita :|itucir icrminorum non cuiitiucn> sutl per sola n^'n'jratii «pto tcrniiuorunt exhiberi iiovsu. cuiiH roi

ratiniK'in hic lircvitiilis cuusu |iraetorcimilau> jwri'.i faciliimv <!v]irvhi:iidvut.

S<>l.fn<> AKQI'ATIOMS X '– 0 1>KO »= 17. 43» '>

tiegativu» esse debe bit. quoeirea in expressione tinte data signum xtipeims- posi-tivuni pro 2, I.V, pro '2.«J infcrins ncgativiu» adoptandum crit. Hinc coniputa-

tiir 2.!), = – 1.9659 lUIUO-1, '2, 1 5} = 1 T47*»Ot 7%:t 11. l'erinile quum e\

ovolutione jiroducti ex {2,1 – (2, 13) in 3; – (2. ô prodeat 1,0 – 4,10.

adeoqui? quai» titas positiva, faetorem (2,3; – (2..V, positivum esso coudmlinim

tune sijnili culculo ut autc iustituto invcnitur

2,ay=

{ (4,3)4-4 VC-J-f-'l.lO; – 2 1.9J -= «,Sï>M707J JOU

(2.5)=

J-l.3) – J V(t4- (1J«>/ – 2 (4.9 ) = – O..14732r>!»SOl 1

Dtmiquc pcr operationes omnino «nnloîjas oruitur

(2.10.=

(i.i u; – 3 v'C 1 Hh- 1- :»; – 2 1 J = –1.700434271:»

(2.11}=

j(4,io) + l-v(4 4-l,3)– 2(4. »;)= -1.20520i)272S

Superest ut ad radiées SI ipsas dosceudamus..Aequatio D;. cuius radic-cs

siuit et -10'1, prodit .ca,1– '2. l)*-f- 1 = ». unde radiées -j ;2. 1 +iV( 2. 1 "–4 )J

•autpotius }'2. 1 ,±«v'C1 – l/)sive J •2. 1) + |-«v(2– (2, 15;); sigmun su-

])erius pro l", iuferius pro "1 G ndoptamus. (Juatuordeeim rcliquae rudices vcl pcr

liotestates ipsius 1 habebiintur; vel per resolutionem septem aequatioimm qua-

(Iraticariun. quae singulac binas exhibent, ubi incertittido de signis quantitutum

radicaliuiu pcr idem artificiuin tulli poterit ut in praeeedentibus. Ita i 4 et 1:t

sunt radiées aequationis ,v,c– (2. i:i .P+1 = °- adeoque { 2, t3 +^ /\f 2 – 2.U j;);

per evolutioncm produeti ex [l1 – 'l(i in t – \'A" avitem prodit i."> – '2,3..

adeoque quantitas rcalis negativa, quare qmim ^1 j – *t U~ sit -f- «^(2– 2. 1 5;J.

i.e. productum ex imaginaria i in roalcm positivum, etiam 4 – VAesse débet

productum ex in realem positieam propter ti u= – 1 liiuc colligitur. pro 1

sigimm superins, pro [13] inférais accipiendum esse. Simili modo pro raditïbus

Si et _9" iuvenitur j'2. i)) + |î\/(2 – '2, 1,), ubi. quoniam produt-tum ex

[1] – [10] in [8]– -fO] fit (2.8/ – 2. 10, adeoque uegativuni, pro \b' .signiun mi-

perius, pro fflj iuferius accipere oportet. (,'omputando ]ierindc radiées reliquat,

sequentes valorcs numericos obtinemus. ubi radicibus prioribus siffim superiorn.

posterioribus inferiora respondere subintclligundum est:

440 OË AKql^ïIOXJBUS CÏRCÏU SËCÏIÔNHSDgmtKKTIBt'g.

rt]. [16, 0,9324722294 + 0,3612416602*r

'i' '15" 0.7 3900*91 72 + 0,07 3095(54 301

:>, ".14 0.44573S305& + 0.S95J «329 1 1ï

'4", [13 O.O9220S3595 + 0.0957341763» é

5 > 12 – 0,2730029901 + 0,90182504321

la], ;tr.–0,0020340304 + 0,79801-2273»

,7' 10 – 0,8502171357 +0.520432 1 629ï

g-, y – 0,9829730997 + 0.1S3749517S»

l'ossent quidem ea, quae in praecc. suut tradita, ad solutionem acquationis

t-" – 1 – 0 adeoque etiam ad inventioncm fuuctionum trigonotnetricarum arcu-

bus cum peripheria conimensurabilibus respondcntiuin sufficere: attamen, propter

rei gravi tatein, linem huic disquisitioni imponere non possumus, qiiin antea ex

magna copia qiuim observatiomim hoc argumentum illustrantium tum positiouum

ei nffmiui» vel inde pendentium quaedam hic annectamus. lnter quae talia potis-

simttm eligemus, quae sine magno aliaruni disquisitionum apparatu absolvere li-

cet. uliterquc ca considerari nolimus quam ut spedmina huius amplissimae doctri-

nae. in posterum copiose pertractaudae.

Dii(jiiitiliunes utteriores de radicum periodh.

Ai/grei/ttta in (jiiibus terminorum mulliludu par, sunt quanlitates reairs.

355.

Quum n semper supponatur inipar, erit 2 inter factores ipsius ta – 1 com-

]>lexusque Q ex J (« – 1) periodis duorum terminorum formatus. Talis pcrio-

dus ut '2, X). e radicibus j> et J'<1^ constabit. dénotante (/ut supra ra-

dkeni priinitivani quaincuuque pro modulo ». Sed fit ^f') = – I (niod. «

adeoque /(") – À(V. art. 02" unde 5 ("~1)'= – À. Quare sup-

• k 1' kl' 7' 1: 1' • /ponendo a. = cos –

-f-'S111"' et proin – A' = cos – ism- iitag-0- II,.1~

77 ll ll

grcgotum 'â. À = 2 cos * Unde hoc loco hanc tantuunnodo conclusioneni de-

duciinus. valorem cuiusvis aggregati duormn tcrininomm esse quautitatcm renleni.

Quum quaevis periodus cuius terminorum niultitudo par= 2a. in « périodes

biiioruin turmiuoruiu discerpi possit. pat(?t fjoiifralius. valorem cuiusvis aggregati,

om-iMBrrio KiWctîM 9 m ï>f?À» PËiuonos, 441 ï.

émus tenfttMoram mtiîtitutlo pur, senliper esse quantitatem rèatcm. Qoodsi itaqtu.»il, art. :i*>» iiiter factort» a. li. y etc. binarius ad ultimum locum reservatur, om-

nesopemtioues. usquediun ad aggrejtatuduorum terminonuuperveniatur. per quan-

titates rcale.s absolventur, imaghmriaeque tuuc detuum introducuutur quaxulo ah

his oggregutis adradiées ipsas progredierk

JttuirqimUrmc. perqnaui ilistritutic i-mtfcum il ùi tUùû jiiriwlu.i tlijimtur.

:i.r>(>.

•Siuiminiu altcntioneiii morenturaequatiunes auxiliarcs, pcr quas pro quoli-

Let valons ipsius n o^regata complcxuii» ii constitut'uti«i deterniinantur. quac

mirum iu modum cum propriettitibtis maxime reconditis numeri « coinioxao sunt.

Hoc vero loco disqui-sitioaum ad duos ensus «equeutus rostriiigemus primo tle au-

quatioue quadratica, euius radiées sunt aggrfgnta i a – 1 ) tcnninoriun jwcumIu,

pro eo ca.su, ubi u – 1 factovciu :$ implicat, de cubica, cuius radiées sunt urçïto-

f^ata i « – li teriiiinuriini ngcnms.

.Scribcndobrevitati.scaus.sa /« pro j(«– 1, et designando pet g radieem

primitîvutu quQincunquu pro modulo «, compluxus U e duabus periodis .m, f. et

(w. constabit, contincbitque prior radiées 1 \g// c/3 posterior'ms

• i .î/"1 •• Suppouendo ru.sidua minima positiva îmmerorum

/••• secundmn niodulum n esse, ordinc arbitrario, li, li'. ït" v.tc. uec

non residua ljorum.< hauc A". A". JTetc, ratlkes, u quibus /«, 5

constat eomenii'iit cum bis l H ii' Ji" etc.. radicesquo periodi !>/«, cum

his A" N' iY'^etc. lam patet. oinnes nunieros 1. 11 if" etc. esse ««/•rf«« quadratica numeri m, et qmun oinnes diversi ipsoque « minores sint îpsonun-

que uuiltitudo ^= 'm –i adeoque multitudini cunctorum rcsiduorum positivo-

riuu ipsius u infra n acqualis, haec residua ctun illis numcris omniuo convenient.

Hinc! sponte sequitur. omnes numéros N, A", A7" etc.. qui tum inter se tum ab

ipsis \.]t,lî' etc. diversi sunt et cum lus simul svnnti ounies numéros 1, 2. :i

.n – 1 exljauriiuit. cum omnibus non-residuix qmultuticis positivis ipsius n in-

ira Il convenire del)ere. Quodsi iam supponitur. aoquationom, cuius radiées sunt

u^regivta m. /«. esse

<\t'–~t.t'B=: 1)titt

.1 ^= m. + m.– t. B = tw, 1; x •>«,

:ncIi

442 I>E AEQtUTIONJHUS CIRCT-LI SECTIOKES DKFINIKKÏHJI'S.

Productum ex 'm. t) in [m, g) per art. fit

= [ai, N+ 1' ~nt` tv~1 `- w. ~+i + ~`tc. = Ily

atque hinc rcducotur sub fornmm tnlem a' m, (>)•+• fi [m, \)-{-y'm, g\ Ad de-

terminationcm eoOflicientium «, J>, y observants, primo, fieri « – |– ï> – f– y =»«

seilicet quoninm multitudo nggrvgatorutu in W est – vi; secundo, esse 6"=Y

hoc scqnitur ex art.3f>o, qmtm prochictnm [m, i)x:nt,ff) sit funetio invarinbi-

lis aggrcgntorum m, 1;. /«,,</). c quibus si^regixtum mains ',ta-1. J) composi-

tum est tertio, quum oinnes muncri iV-J-1 A"-|-l. A"f-l etc. iufrn limites

2 et M + l cxcl. coutincantur, manifestum est, tel uullum nggicgntum in W ad

m. H] rccluci iuleoquc esse a == u. quando inter numéros N, N', N" etc. nou

oecurrat «– 1, vel unum puta {m, n), et proiu haberi « = 1. quando n – 1

inter mimuros N, X', A'" etc. reperiatur. Hinc colligitur, in casu priori lieri

« z= 0. S =Y

= iw, in posteriori a = j. fî =Y

–.j-(/« – i), sinml Ilinc se-

quitur quum uumeri Il ety necessario fiant integri casum priorem locum lia-

bere. sive n 1 (aut quod idem est • – 1 ) inter non-residua ipsius » non repe-

riri. quaudo ut sit par sive « formac 4 A:-f- 1 casum posteriorem vero adosse,

sive w – aut – inter non-residua ipsius n reperiri. quoties m sit impar

sive w formae 4 A + '•)• Hinc productum quaesitum fit, propter Im, o} = m,

m. l + m. (/)= –1 in casu priori =

– \m, in posteriori =|>+ 1), ndeo-

que aequatio quaesita in illo casu xx + – !(« – 1)= <>, cuius radiées sunt

– 1+1\'h. in hoc veroj1j?4-* + -K»+1; = », cuius radiées

– i+i*Vw-

Quaecnnque itaque radix ex £ pro [\ adoptataest, differentia inter sum-

nias 9Î' et 9Î ubi pro 9i omnia residua, pro 9Ï omnia non-rcsidua qua-

dratica positiva ipsius infra h substituenda sunt, erit =+V/w- pro »^1, et

=+i\!n. pro «==3 mod. 4\ Nec non liine facile sequitur. dénotante A- inte-

îçruin quemcunqne per n non divisibilem, fieri

v,os^-vcos^=:±vwet

2sia*y:v8in*^uU

pro « = I itiod. 4 contra pro u = :.3 ( nloct..t j dMereutiam illtull == 0, hanc

') Hoc muilu nacti sumus tlfinonstratiuiicm novmn theoremntis, esstt resirtuum omnium numero-

rum primorum tbrniac ik + non-residuura omniumIbrmtiu l/t+J, quodsupra (art. lus, lu», ïm) iam

[ilurilms modis dirorsk coni]irolHitumfuit. Si mugis arridet, hoc thporema suppouere, non necessariutnerit. addistinctionem «luoinimcnsuum diversorum cius conditions ntioncm hnberc,quod 6, y iam per se Hunt integri.

DBTRmrno radiccs s in pl'as i'ëkîôdos. 443

56*

– àz\ln< «F1*16theort'inntft propter olegantiara suam valde sunt memoiabilia. C«-

terum observamus, signa superiora semper valerc. quaudo pro X- ampiatur imitas

aut gcueralius residmtm qiuulraticum ipsius », inforiora. quuudu pro k hoii.ji'm-

cluuin assumatur, nec non huucce thcorviuatft sulvu vel potius auctn elegantia sua

etiam atl valorcsquosvis compositos ip.sius n cxtomli posse: seilde hisrobus. «juao

altioris sunt intïagiuis, hoc loco tacero eanunque cousidorationem ad aliam ocea-

sionctn nobis rcserNiuo oportut

Dtmnmtiatin thviiremutis In flvcl. Il' nmmtmurud.

357.

Sit aoquatio mu gratins, cuius radiées suut m radiées in jwrioilo m. I con-

tentae. liaee

x"> – a + bj»-' – etc. = 0

sivc z=i), eritque «= 'm, i;, singuliquc îcliqui coi?fficicntes h etc. sub forma

tali 91 + 33 m, 1 +^.m,(f) eompreheiisi, ita ut SI, 3.<, (S sint integi-i ;art. :tlS^;

dcnotaudoquc pcr z functionom, in quam x transit, si pro {m, I) ubique sub-

stituitur ini.ff), pro [m, y) vero ';«, y y) sivo quod idem est >, 1,. radiées ao-

quationis s – u cruut radiées in [m, y) contcntac, productuinque

1 ri 1 vzz:= == X– wr

– A

JJotest itaque ad formani talem Ji-f .S';»<, 1)+ ï'(/«, reduci, ubi i?..S. l'

crunt fuuctioucs integrae ipsius $, quorum omncs coi-fficientes etiam iiitejrri erunt

quo facto Uabebitur

s = R- S [m, g\ T 'm, 1}

Ilinc fit jicribendo brevitatis caussa p et q pro 'm,\) et [m, y) resp.

2r=27e+.S4-2v>H-?} – (r– si^-y= 2«-«– ï1– r~.S' /»– yj

similiterque

2 r -= -Ili–S- T+ !'f~S)p-q

undc ponondo

2JÎ – .S– 2'= I*. T– S,= Z

444 »E AÉQFATIOKIBrB CIRCltt,! SSenOîîE» BEKlSlENTIurS.

f:t4X~yy-eoquequum(~–~==~

!X== Y. r~

siguo supft'iot-i valcntc, dttnnclo 11 pstiurmac -lk-1, inibnori, quaudo Il turtnat-

.1 A' + :J. Hoc est theorcma, (-mus sitpra art. )3t) polliciti su-

tnus. 'i'erminosduos.snmmosfnuctionis 1" seiiiper fieri 2~+.t' sunnnum-

(lne fnnctiouis ~< facile pers~icictur; coilfficientes-rcliqui autem, quimnni-

testo omne-s crunt ïlltegrï. variantpro di%-ersa iiidole uunicri il, lice fortiiulne FUtil-

lytiette geiterali .subit<i possunt.

1-e, Pro il 17acquatio, cuius radices snnt octo radices in 1 cou-

tcntac. pcr l'mcccptn art. :US cl'l1itul'

,t'~ y.t'' + ~-1-l~ 2 ~l~J+ 3 <y\~ + (G+ :t~ + tItJi.t'\

(4~ + 3 ~+ +~+ 2~ .t-–+ )– il

ilitc(t'

I~ -= 4 .p" c .<+- 4 ~t- 1

8 =––4~-{-3~4~+A\c–~

'1' = 2 ~"– 3 ~+ 5~– 3 .)- 2 ~t-

atque 11i11c

y== 2~+~+ ~j 7~+ -Lt-'+7~+ 5.<\t'+.t-+ 2

Z.t'x°-x'I- Z.c'-i-.cx-L',t'-f-x

Kc'ce adhuc alia quaedatu exempla:

__«_ _l_s'iTï+T" ji

""

5 j2.i\e4-'ï4-2 .t

V 2 ,«?*-{- •*•– ,f–2.iM'4-.i.1

Il j 2^4-A'1– 2^4- 2 * * – x –2 i.rJ4-.f

13| 2li?"4-lî!34-4.t;<– ^4-4*^4-^4-2 | ll-14-1^4-l|.

1912^4-^–4^4-3^4-5^-5^ ij/«_^4_jr»4-a.1^4-ir

,t'f- .l ;L ~t' x' l

23 2A'114-A-1M-5/– 8cPH – 7.P7 – la» i a.'in4-7 – 2,t« – 2/'

4--i.r34-7*14-8jrl4-5aîa.1– *•– 2 j – ^4-j.\t'4-.i

mstrtfSïMo iûmccM U i.v tues peiuodoh, 145

De <t<</<i<ilioiw prit tlistnhiitimi,- raiticum U in tnx prriiitb.1.

355.

Progredimur ad cousitlei-ationeni aequatiomim cubiearum, per quns iu «>casn. ubi» estformae 3*+i, tria

uggregnta 1> – 1} terminurum comploxum

Q componcntia dutenninautur. Sit g xadix primitiva quaceunquo pro module «.atqno .5 (« – i: = Wi qui wit integer par. Tune tria a^rc^ata. c qitibus L> con-

stat, enmt>,i;, [m, g), \m,gg]. pro quibas resp..scribemu.s /», patetquc

primuni coutiucro radiées I', >3', y ;>• secundum lias y, /;» y-»U-rtiniii lias jf9]t y y-]. Suppoijendo, aoquatiouem quuvsitimt esse

.~–t--+-–0-= u

«t

A=P+P'+P", B = pp-t-py+p/, C = Pl,y

unde protinus hnbotur .4 = _i. siut rusiduu raiuiiim positiva numeronun

y"-c secuudumntoduhun tl orciiiie tirbitrario litiec ~1, .\8, Œl'te" rttque St~i

ipsorum compkxus superadiecto numéro 1 similitcr «iut ST, SV. S'ctc residuuminima numerorum g, < g\ .», ntquc it' iUoram conqjexus: deniqueSI", 33", (S" etc. residua miniiua ipsoruin g g, g\ y* ,J* et ft« comm c.mplcxus.unde oinnes uumeri in tf i{', «" diversi erunt et cum his 1, 2, 3 n – con-

venient. Auto omnia hic observandum est, numentm « – I necessurio iu Aè re-

poriri quippe quum esse xesidunm ipsius f/7 facile perspicitur. llinc facile

quoque consequitur, duos numéros tales n–h semper in ««fc« trium com-

plcxuum «,«',«" reperiri, si cuiin alter est residimmpotestatis ,/• alter erit

J~rnalli

~u~rcsiduum potestatis y+T, aut huius y-T! si ).> DenoU-mus hocc-c si^mo

(««) multitudinem numerorum in série 1, 2, S H' qui tuni ipsi tum simulmimeri proximi unitate maiores in & continontur; similiter sit -Mit'; innltitudoMumcroruin in codent série, qui il)si in Si proxime sequentes vero iu il' contiueii-

tur, mule simul significatio «guorum (W), (ft'il), iA'St'), W («"«', f.U"«').

«"il") sponto iunotesect. Quo facto dico primo, ficri;â«'# ft'ft.. '.Suppo-

uondo enim, h, h', k", etc. esse omnes numéros serici 1, 2, 3 .«– i, qui ipsiin Si

proxime maiores h + //+ 1 /+ 1 etc. autem in St' rontinentur. et

quorum ideo multitudo=(fift' wonifcstum est. omnes numéros n-h~

n–li–i, n–h"–\ etc. in $' contineri, proxime maiores vero n–h, n – h' etc.

44& DE AEQt'ATiOJflBBSCtKGl'U SÉCTIOSËS DÉMSHîîJTmrS.

in $; quare quum tales numeri omniiio deiitar ($'4Î), certo iiequit esse

#Tf;<Wi?,, et jjorinde demoiistretur, esse non posse (4Wj< ft'ft". qnmirra

in uunieri necessnrio aequalcs eruut. Promis eodum modo probatur 4UF) = iî"JÏ;,

i$'4T"= ,41"$'}.Secundo, qiuun necessnrio quemvis mitnerum ex Si, niuximo

n – 1 exeepto sequi debeatproxhne inaior vel in Si vel in 4F vel in fi" con-

tentus. summa5Ï Âè;-J– (it At + ®& fict aequalis nniltitudini omnium nuniero-

ram in Si ituitnte demiimtne jmttt = m – 1 et simili rationeerit

'«'«;+'.«'«';+ «'«" = -aT + 'fi"»^ +;«-«-; = m

Ilis ita pniepnrntis ovolvimus per praecepta art. 345 5 productum pp' in

(/#. 9I*H- 1) –f-"» $3 -f- !}-}-«, g'-(-i -j-etc, quum expressiuiiem facile perspicie-

tur reduci ad W$t)p -f- .iï'ff '#+- ''41 :'4î" et quum pcr art. 315 1 productuni

j)'/ exillo oriatur, substitueudo pro '.m, 1'. »/ [m, g g, resp. >«, ('«,

i. e. pro y 1 y IYresp. I y 11lr tiet ylr I 1I = iSI St,p- · I ;St I ~t I p II ~;SfI S~fII

et prorsus simili modo =(St 'ii; /»"-+-(S "5i '» -|- ^'4t" Hinc protinus sequi-

tur jwr/j«o

JB = m lj'p -{-]> = – »/

secundo quum simili ratioue, ut antea yj/ evolutum est, etiam pjt" ad '4>"4î}^

-f 4î"4T;f- ft"Si" i>" reducatur, atque haec expressio curn praecedente identica

esse debeat, nccessario erit '«"«" =(&'&'[ et fiî"ft") =

(ft'fl). Ilinc calli»itur

statuendo

N'.e";==~=:«. ;~t"St";= 'St'S,; ~St"L. (St`S')~~St"5~=~55~")= r

tien «*-l =fft4ï + ^4rt',i+'fifi"; = '&g- + b-c, atque a + i + c^j». imdc

?.fffi= « – i ita ut illae uovem quantitates incognitac ad tres, a. h, c, sive po-

tins propter uequationem a-b-c – m ad duas reductae sint. JJcnique patet.

quadratum pp evolvi in w,1 + l +)" 2I + Iy 4-(»«, 33-f-l .+ m, (S+l -fotc;

inter partes huius expressiouis reperietur m, m, quae reducitur ad ;/«. o sive ad

m. rcliquas vero facile pcrspicictur reduci ad<&Si j>&§:']jj -+-<&&" p". uude

habetur y^_=

/« -f <l – 1 )p -f- 6yV-f- cy/.

Hoc itaque modo per disquisitiones pracccdcntes quatuor hasce reductiones

nacti sumus.

«iSï»iBi.Tjo Rsoicnr if in tkes PEKioiiôg. 447

pp=

w-f {a– } ;f_fy/_f_ ty

/>/ = lp+cp'+ap"

M-= cp+ap'+hp"1

j/ «p + hp + Cp"

1

ubi inter tres incognitos «, 4, c iwquatio comlitionalis

rt-|)_|_c – jM 1

intercéda, insupcrque ccrtum est, ip.sas esse numéros integros. Hiuc colliyitur

C1) X/I ji'

-=ct/,l, + G/r! j c. Jr`~

=«* + ;««

+AA+cc–o)/»+{«6 + frc4.oc:/+f«4 + fcc-j_<ir;1/l"

Atquiim y> ait funetio invarialâlis «gKregatorum /»' confidentes, purquos hoec in expr. praec. maltiplicata sunt. uccessario aequales enmt art. asuunde liabctur ucquatio novn

aa -j- \,b + ce – « = ab -bc-ac ,'U

atque hiuc (J =«w+ ,'«i_(_it._f_wc: lp+p-+p" sive propter et

/»+/»'+/t1

C-- ««– 6<;(III 1

Ium etsi V hic a tribus incogiiitis peudeat. inter quas dune tantum aequationesliabeutur, tamcu liae, adiumento conditionis, ex qua «. b, c mnt integri. ad plc-unm determinationem ipsius C suflidunt. quod ut cstemlannis. uuquationem Irita exhibcinus

I U + 1 21, -f 12c 4- I = ;waa + :iiiM+ Mec– :«a«6 – :(u,/r – ni,

– 2l«4-12/>4- l2<r4-4 .J

]»ars prior. por I. fit =1 2»<4-4 = .\v\ posterior vero reducitur ad

(i rt – 3 – :» r –2 4- 2 7 ;/» – r

s

aut «Tibcndo A- pro adi:»it-2i'+27 A-c". Jliut patet. mt-

UKiruui 4m (>< Kcncraliter quadruplum cuiuslibet primi formai' 3w+l" r perfarmam

.i\r4-27^/ repraesoutari posso, quod quidem siiic difficulté c theorin

'M8 DE AEQfATIOXIBt'S CIBCt'U SKCTinXG» jncnMlKNTtBt'S,

gênerait ibmuiram biiiitrâmim dedttd putost, attamcn satis mirant est, talem dis-

••erptionem cum valorilms ipsarum a. h, c rohiiercru. At niunenis -1n setnper

unk-o tuutum mudo in qundrntum et quadratum 27l)lox diseerpi potest. quod ita

iloinonstmniux " Sistipponatur

\n tt+'2"vn = f>f27 «Vticret primo

ti'cundo 'i Grt te

.sr't'ttrulu

tf-j- •iïuui-i7'tu'– t'tr– 1G««

ti-i'tio

[tu + t'u tii – t'a – t n u'u' – au]

es uvqiiutiuiic tertia sequitur, ipsum «, quoniain est muncrus primus, altenitruni

nuiiKToruiutu' t'u, tu' – t'u uictiri; o

prima et secunda voropatet, utruinque

hune îiuintTttni esse niiuorcinquam -h quart' i.s. quem n metitur. necessario esse

(k'bft -= i). udcoque ctiiun «V – «« = 0, unde «'/<'== «K et /=~. <

(lune illae discorptiunes non différent. Siitaque discerptionem ipsius l « in quu-

(Iratuni t't quadratuin 27|lll"x notam supponimus qiuun vol per methodum direc-

tiuu Sect. vel per indiroctnin in artt. :12:J. :$2 1 traditaiu eruere licet [mta si ha-

lietur lu – .1/J/-+- -2" NX, quadrata :U-– 2 s, b – c,* dcteriniuatti erunt,

et loco aequatioiiis II dans iam uacti erimus. Sed facile patet non soluin qua-

dratuin :\k – 2 ' sedetiam rudicetn ipsam \\k – î penitus determinatam esse

qmim onim necessario sit vel – -f-IW vel = – M, ambi}çuit»us inde tolletur.

quotl k fieri débet iuteger. quaiuobrein statuetur 3 A1 –2 ^= -M vel = M,

prout M est formne îi^+1 1 vel :i;+2t. Iam quuin fiât A<=2«– A –c

:\a – >ii. erit « = J /« + 4 + c = m – « –i 2/« – /«•}, uude

C aa – bc –au– .i-f-c'f- { – c*

i ,« + /• • – :> 2 m – k • + .{ A'.V – k A- + :i A- m + { NX

atquc sic onines coeffieientes aequ. quaesitao inventi. Q. E. F. Iiaec formula

Mugi< directe hui.-ci:u prupusitu u priucipiis Scct. V prciliuri posscl.

+) -ManilVsUi .V ncquit esse formai' :iî, «lioquin niiin i » per :i divistbilis cradurvt. Ad umbitfui-

Jîitcm, utrum li– t- siaiui iUrbi'ut = .V, un = –.V, hic non optu wt respiccro, iiocjue cliam p«r rui iiutu-

r«m ullu modo uufvrri ixiie<t. rjmim Il clcc-tioiiemdicis primitirai' g pendeat, itu ut pro uliis rudicilm*priinhi-vN diifuruutia 4 -r

pusitivn evudut. pro aliis ncgulivu.

flâ{t:ATIÔ.Yl'M t*E(( gi'As ci IMVESlU.VreR KKUUCÏIO AI> l'UH.lS. 449

udhitc simptieior evadit, si pro NN oiusvatoï éxaequ. tyk– 2r-f-27 A'À* = <»«

– 12m-4 substituitur, imde clicitur calculo fucto

C -= ,&'?-3~) (M-+.

Idem valor etiam ad:< 2; A^V-f-A3 – U/c+k – *»« + »< reduci potest, quae

expressio. ad usum quidem minus idonen. protinus inonstrat, C ut par est. certo

cvadcre intcgrum.

Ea: l'ro » = 1«) fit 4 n – 49 + 27 undc 3 A- – 2 = + 7, k = 3,

C = (G-f- .r)7) = 7 et aequatio quacsita .1^+ a\î? – o* – 7=0 0 ut .supra

(art. 351). Simili modo pro « = 7, 13, 31 37, 43, (il, 67 valor ipsius k erui-

turresp. 1, –1, 2, – 3, – 2, 1, – 1, mule C*=l, – 1, s, – -1 1, – s. 9, – -5.

Cctcrum etsi problema in hoc art. solutum satis intricntuin sit, tameu id

supprimera noluimus, tum propter solutionis elegantiam, tum quod variis artificiis

in usum vocnndis ocoasionem dedit, quae in aliis quoque quaestionibus iusigni

cum fructu adhiberi poterunt*

Aequatiimum per t/itus radiées Q inccuiuitlur rcduclio ad puran.

359,

Disquisitiones prnecc. circa incentionem aequationum auxiliarium versabau-

tur iam de earum solutione propiietatem niagnopere insignem cxplicabimus. (.'oii-

stat, omnes summorum guometrarum labores, aequationum ordinem quartum su-

perantium resolutioncm gcueralem sive (ut accuratius quid dcsideretur defiuiam)

AvnsctXHVM nsDi'CTioxEU aditras, iuvenieiuli semper hactenus irritos fuisse, et vix

dubium manet, quin hocee problema non tam analyseos hodiernae vires superet,

quam potius aliquid impossibile proponat (Cf. quae de hoc argumente annotavi-

mus in Demonstt. nom etc. art. 9 Xihilomiuus certum est. iimunieras aequatio-

nes affectas cuiusque gradus dari, quae talem reductionem ad puras adiuittunt,

geometrisque gratum fore spenunus si nostras aequationes auxiliares semper huereferendas esse ostenderimus. Scd propter amplum atnbitum huius disquisitionis.

*) Corollar. Sit t radix aequntionis «•– i =u «t habebb {p + tp'+ ttp"y = – (3f+A'v–n}.ltiaL =

cosq, 'xT siüp eritqücKiat = cosç, – – = sin» critqucV'-i«M v' tt

V -i+ ï cosJv v'«; Ms + i (tnod. :i)i i=if (i.s.s »,)' (mad. h)

.Sctztman :t^+ l -= y so vrtreldie Ok-ichung – 3ny–2fii – «.

450 OR AEÇCATTOSmUSCIHCEfcl SKCTIOSK&DEFINIKNTmUS.

pracci|ma tantum momenta quae ad possibilittitem ostendendam necessarm suni.

hoc loco tradirmis, nberioremque tractationem, qua hoc argiunentum perdignum

est, ad aliud teinpus differimus. Prncinitteudae sunt quaedmn observntiones gé-

nérales circa radiées aequ. jf – 1 = 0, qnae eum quoquu easurn complectantiir,

ubi e est numeruscomposites.

I. Exhibcutur hae radiccs (ut ex libris elementaribus notum est) per

cos- ?. .-j.- ?sht 1~, ttbi pro A' nectp!pn<h t p nnmpn 0, ), 2, 3 .c–).cos- -f--?sitr «bi pro k nccipiendt snnt e nnmeri 0, 1, 2, 3 e – },

aut quicunque alii lus sceundum moduhun e congrui. l'naradix, pro k.-ti mit

generaliter pro k lier e divisibili fit = I cuivis alii valori ipsius k radix nb 1

divcrsa rcspondct.

II. Qiuun sit (cos-+

ism – )= eos– – |~tsm– -, patet, si R11. Quu)n sit

(co.s -}-tsm –= cos– -)-!sm– ptltet, Sl Jt

e. a (t

sit radix talis, quao respondeat valori ipsius k ad e primo, in progressione R, RR.

R etc. terminum eimn quidem esse =1, onmes antécédentes vero ah 1 diver-

sos. Ilinc statini sequitur, omnes e qnantitates 1, R, RR, R3 /?*' inae-

qualcs esse, et qunmmanifcsto omnes ocquationi af–\ =0 satisfaciant, exhibe-

bunt omnes radices huius acquationis.

III. Denique in eadem suppositionc aggrcgntam

l + fi*+ JB* + RA(-0 fit = o

pro quovis valore integro ipsius per e non divisibili; ctcnim est =jz.ia>

cn~

ius fractionis luunerator fit = 0, dcnorainator vero non = 0. Quando vero X

per e divisibilis est, illud aggregatum mauifesto lit = e.

3Gn.

Sit, ut scmper in praecc, m numerus primus, y radix priniitiva pro modulu

n, atque h – 1 productum e tribus integris positivis a, 6, y: brcvitatis caussa

disqitisitioucm ita statini institucmus ut etiam ad casus ubi a aut Y= 1 pa-

teat; quando -f = 1. pro aggregatis {y, J), (y, g) etc. rndices A], [y1 etc. acci-

pere oportebit. Nupponamus itaqueex omnibus a aggregîitis l>y tcrniinorum

eognitis (lïy, t;. (tiy,{/). [tiy.gff)- (p y. <l~hj deducenda esse oggi'cgata y ter-

minonnn quod ncgotium supra ad acquntîouoni affectam ïj1' gradus reduximus.

nunc vero per puram aeque altam absolvere docebimus. Ad abbreviandum pro

aggregatis

j". 1;, a:,Y,9 t rI

ÀWtVXffiXVÏi PKK QCAS KADICES U INvisXIUinrB HEOUCI'IO AU fL'IU-S. 161 t

57

qiwc snb(<ïy, |); contenta suut, scribomu» utb>e m reslu.; pro bis

sub(Sy.<?) ccmtentis resp. <t.b'm'; pro lus

resp. m", b" .m" etc. iisque ad ea, quae sub tfy.y*"1) eontineutur.

1. lam designet R indofiaito ratlicem acquationis *s– 1 = y, suppoim-tmisquo ex evolutione potestatis l>tae funetiouis

oriri per praeceirtn art. 315r,

ubi omîtes coCffidcntes N, Â, li, .-l'etc. cruut functioucs ratioualesinterne îp-

sius iî. Supponautur etiam potestates 6tlu; duaruin aliarum fimctiomim

u =llf'a + Itb+RRC.+J&m, u' =

b + Rc+ItlUl. +12* -+.#-•“

resp. evolvi in U et L", perspicieturque facile ex art. 350, quum «' oriatur ex t

comiuutando aggregatu «, b, c. m resp. emn b, c, d «, fore

l'orro patot. quum sit u = Riï, fore U–lfU'. quaro propter J?ç – l

coilfficientcs correspondentes in U et L"aequalcs crunt: dciiiquc, quum t et «

iu eo tautum différant, quod a in t per unitateni, in « per lif' multiplicatur, fit-

cile intelligetur, omnes coCfficiontes correspondwitcs (/. c. qui cadem aggregatu

multiplicaut; in T et Uaequales esse. et proin etiam omnes eoëfflcientes <;or-

rospondentes iu T et U'. Ilinc tandem collipitur a Ji C etc. – M:

(r.w). (7. *)•• (7.^

t = a +M + RRc + Rf-<m

N + yla -f 7M -f- Cc -f 3//«

+ il'rf 4. J/t' + CV -f 31'm'

+ 4V h- ut + cy .+ jiv

-f- etc.

"'t" ."j".

=- y

U' = AY+ 4* -f- lie +- C'rf + Jl/fl rr

+ AV+B'c'+ C'rff.+J/V

+ 4T+J3V+- Crf" +.1/V

+ etc.

éoi IJE AEQUATlO.Nini'â CIKC1M S»:CTIOKKH DKFlStENTiriCS.

.-t – B = 6''ett\, A"=U"= C'etc. etc., undc T îeducitur ad formant talem

iV4-/l(t)y, i)-}-{ir<j!f-X(!iy,^}ete.

u!»i sin^tili coCificientes X, A. -ri' etc. sub formata talem reducere licet

/> II*-1 -f yj^'+y/lf'^H- etc.

itu utjt. /> y>"

etc. sint miHieri ititegri tluti.

II. Si pro Il accipitur radix dctenninata acqaatiouis <– ] = u 'cuins

solutioiicm iam habcri supponinius et quidoin talis, cuius nulla infcrior potestas

(Ittam Jïta unituti ncquulis est, ctinm l' quantitas determinata erit, ex qua t \kyaoquationeiii puram f'–T– 0 derivare liect. At quum hnec aoquntio lî 111-

diecs Imbeat, quac erunt (, ilt, lïlit lir'~lt, dubium videri potcst, quaranaj»

radiwm adoptare oporteat. lloc veroj>rorsus arbitrarium esse, ita facile apparo-

bit. Meminisseoportet, postquam omnia aggregata lïy terminorum detenninnta

shji, radicetn 1; eatenus tantum defiiiitani esse, ut aliqua exlîy radieibus in

f)-#. 1) coiitentis hoc signo denotari debeat; et perin oimiino arbitrarium esse,

quidnain ex ti aggregatis ipsutn Hiy. 1 constituentibus per « dt-signare velimus.

(juodsi iam, nliquo a^gn?gato deterniinato per « expresso supponatur fieri t =ï.

facile pcu'spicietur, ai postca aggregntum id quod modo designabatur per i, per

Il denotare lttbcnt, eu quae antea émut c, d. a, b, mine fieri b, c. M, a. adeo-

que valorem ipsius t aune -=|;i^2'7^ Simili modo si per a id aggroga-

tum exprhuere placet, quod ab initio evut c, valor ipsius t fict ïl^"2, et ita

porro t euicunque quantitotuni 2\ 2"lif' 2iif'~s etc. aequalis censeri potest,

i, n. cuilibet radici acqu. xtl– T = o. jn-out aliud nliudvc aggregatum sub fîy, I)

contenttim pcr (y, 1) expressuu» supponatur. Q. JS. D.

III, Postquam quantitas hoc modo determinata est, tf – 1 alias in-

vestira re oportet, quae ex t prodeunt, si in ehisexpressione pro li successive

lili. R*. IV. li'1 substitunlltur, piita

/'= a + Rlil> + Rlc.I{if'm, t" -= u + R3Ij + R0c -f-Ii38-3»* etc.

Ultinia quidem iam liabetur. quum manifesto tint =a-b-c .m –

tiy. I

reliquae vero scqucnti modo crui pusstuit. Si per praecepta art. 345, simili modo

ut autea in 1. productum /t' evolvitur. probabitur per metliodum prne-

«•edenti prorsus unalogam quod inde prodent ad formam talem

AKQUATIONUMMai 0^8 KAÛICÉ8 U 1NVENIISÏLB UEDWHO AU KKAS. 453

-1-i~=~Y'l l -(-~i' y.~Jl ~n;ti ~r9J~tC. ~·

reduci posse, ita ut «, «' etc. sint functioiu» mtioiiales intograo ipsius R.

adeoque T' quantitas nota, unclehabebitur ?*=?£.

Prorsus eodem modo siex evolatione producti *«~V

prodire supponitur T", lmec oxpressio similemformam habehit et

proin ex dus valore iioto derivabitur t" per aequatiouemm !°t~n s 1/1

~f-> l'erûideV" per acquationcm talcm invenietur t'" – ita ut 2""sit quantités nota etc.

2

Hacc mcthodus non foret applicabilis si fieri possct t = u mule etinmesse deberet T = T = T" etc, = 0; sed probari potest, hoc esse impossibile.etsi demonstrationcm propter prolixitatcm hoc loco

supprimera oporteat. IJnn-tur etiam urtificia peculiaria, per quae fractiones

Ç, Çetc. in functiones ratio-

uales intégras ipsius R convertere licet; nec non methodi bravions pro eu casuubi Œ= 1 valons ipsarum t', t" etc. eruendi, quae omuia hic silentio prae-terire debemus.

IV. Italique simulae t, t', t" etc. inventae sunt, habebitur statim perobs. III art. pracc. t+t>+t"+tte. = g«, unde valor ipsius a notas erit ex

quo perart.îMO valores omnium raliquorum aggregntorum y teroùuorum derivari

poterunt Valores ipsorum b, c, d etc. etiam per aequationes .sequentc-.s elici

possunt. quarum ratio cuivis attendenti facile patebit:

U = I~r, t .1~°,-Y t' .+,. ~lr's t" + etc.

tic =it^-t+I^f+B^r+etc.

U =ieaC-V-{-2e3î-V'+Ii3î-4- etc. etc.

Kx niagno numéro observa tionum ad disquisitiojicm prnec. ptTtinontiuinhic unam tantum

attingimus. (juod attinet ad .solutionem acquatiouis punie*'– T = o facile patet, 2' in plerisque cnsibus valorem imaginarium P--1-. i (,lhabere, unde illa solutio partim a sectione anguli /cuius tongens = J partim a

sectionerationis (unitatis ad v/TP-f QQ ;,) in l> partes, ut constat, pendebit.Ubi valde mirabile est (quod tamen fusius hic non exsequimur valorem ipsius\f[PP-Q Q) se»i])er rationaliter per quautitates iam notas exprimi posse. ita ut.

pi-aeterextractionemradicisquadraticae. ad solutionem miu sectio aiiffuli mjiii-ratur. e.y. pro ï>i sola trisectio auguli.

Tandem quum uihil obstet. quo minus statuainus a–y ™i adecque

454 b£ AEQI'ATIONJIU S ClItCUM StaTlOXES BKFIjrfKCTIRfS;

ri = n – I: rrltrrtifesttrrn est. soltitionem aequntionis jp" – 1=0 statim retîiiei

posse ud soliitUmem aequntionis purae » – l" graclus a,– T= o, ubi T per

radiées aequationis je"x – =0dctcrmiimbitur. Inde adiumento observatio-

iiis motlo thcttte rolligitur, sectionem circuli iutogri iu « partes requirere 1° scctio- l-

uem circuli inteiîi-i iu «--1 partes. 2U sectionctu alius arcus, qui illa sectione l

tocta coustrui potest, ia n – partes, 3"extractionem unius radicis quadraticae.

et qukleiu ostendi potest lmiic semjier es.se \n.

Applicatlo ttisijiu's((i<'it<(in jirateedriitittin ml ftmetituw» Iriyonvnutrkas,

yitthoiltu ««(/«/«> <j«iOia singidut radiée» U rvijiomleiDit digtwsa'iuli.

Il

301.

Superest, ut nextuu inter radices 0 atqite functiuncs trigonometricas nngulo- M

mm /( n. “••-“' adhiupropuiscontenipleiiHir. Methodus, quaiu pro in- a

venientlis radicibus (Jexposuinms, ita compuratn est, ut adliuc inccrtuiu reliuquat ]:

uisi tubulau sinuuni inter laborem ita ut supra dixiuius consultac fuerint, quod t;

taiiicu minus dircctiun foret qtmenum radiées shtgulis illis angulis respondeantl' l' a l' a 1'

Le. quncuam rudix sit = ros-(- 1 siu qnaonnra – cus-j-«siu~ etc.

Iîacc vero inccrtitiido facile discutitur, reflectendo cosinus aiisriiloruin – u

-(-- '– coutmuo decresccrc liquide m ctiam signoruin ratio habeaturi si- i

nus omnes'positivos esse; angulos^±}JH xem eos_

deiu resp. cosinus liabcre ut illos, sinus autcin négatives ecterum magnitudine v

absolutu siuubus illorum aequales. Quarc e radicibus 12 duao istuo, (juae partesi

rcalcs nmxiiuas iuter seaequales, liabeut, resi>oudcbunt angulis I~. ^=i' et

quidem priori ea. ubiquautitas imaginaria i per quantitatem positivain. posteriori

oa. ubi « per quantitatem uegntivain multiplicata est. Ex n –3 reliquis radicibus

istm- rursus, quae inuximas partes renies hubeut, aujjulis 'lV~, ("resjiondebunt

1,?, le

ut sic: porro. – Simulai; ci radix cuian^nlus–

rospondet a<;nita est. eau quae

augulis reliquis respoudent etiani illcle clistillriui }jotcrunt, quod, si illa suppona-

tur e-sse •- X. angulis * i- etc. înauifesto respondebunt radiées "2?..

3/ I À etc. Ita in excmplo art. 353 illico videtur. angulo ,'“ P aliam radicem re-

spundere non posse quam hauc1 1 aupiloque JJP radicem

[bj; .vimiliter angulis

\{,P. ,:1UP, J jj P etc. respondent radiées 31, 'IC 111. r.etc. In exemplo

art. 3.1-1 nngulo ,>7 P manifesto respondet radix :_l], angulo ,P haec etc.

Hoc itacjui' modo cosinus et sinus auguloruiu etc. pleue determinati eruut.L

APPtteÀtio ad rrsrnoxKS TifW«)xo\ïïm«CA.s. 455 i

Tatigenk'.i, cofatit/eittes, secaittn ri msecaiites e siimbus t.( euaintibm aOsyue itMtioue di-rinuitur.

302.

Quod vero attinot rai reliquas fimetiones trigonometricas hortun niigulurmn.

pussent ene quidem e cosimibus et siuubus re.spondentibus per methodos vul«o

notas facile dorivari, puta sécantes et tangentes, divideudo unitatem et sinus per

cosimt»; nec non cosecantes et cotangerites dividende uuitatem et cosinus pur si-

nus. Sed commodhis plerumque idem obtinetur adiumento formularura sequeu-tiura absque divisionilnis pur nieras additiones. Sit w angulus quiemique ex his

«' »• •

~r~ atflue cosTO + tsiu» = E, mule Ji erit aliqua e radicibus L>.

Hinc fit

cos (0~+~ iiïlt·

,i~ = =.(.~

Hinc fit

~tt i y-xn~ ~rr r!xx csecw =1 :Fie tallgw =

1.~1t1tcosee. =

1t1~- cotaiigw

lum numeratores harum quatuor fractionum ita transformare ostcudemus. lit per

denominatores divisibilcs évadant.

I. Propter M = je"+' = RSn+l, fit 2li = Ji-f R*»+> qunui exjm'-ssiu-

uem per l+liJB divisibilem esse patet, quinn « sit muncrus impar. Mine- fit

sec» =J2– Jf-f-iî5 – J?7 -f-JB1»'-1

adeoque (quum propter .sinw = – sin(2w~l)o>. siu3u» = – .sin'2» – 3, 10

etc. nmnifesto fiat sin w – sin 3 tu + sîn 5<o -f- sin (2 « – J ) u» = 0)

sec tu =cos w – cos 3 co -{- cos 5 o> + cos 2 « – 1 «

si vu tandem, (quoniam cosco =cos;2« – i}o>, cusîlto = cos'2« – :i 10 etc.).

= 2 (cos w – cos 3 u) -f- cos » a)Ip cos )j – 2) wj + eus « tu

signo superiori vel inferiori valente prout » est formac -lA+J vol U-+:j. Ma-

iiifcsto luiec formula ctiam ita exhiberi potest

set-o) – +(1 – 2 eus 2 o>-|- 2 cos 4 tu +2cos!M – I oj)

Il. Simili modo substituendoI – li'+' pro I – RU. prodit

456 DKAEQUAÏIOSUîfSCIUCIUSKÇTIONËSO^INIENTlBi:»,

sive quoniaui « – iî*" •= 0, JRH – iî* = 2 «sin 2<o,#» – R1" =. 2 sin 4to etc.).

taiigto =2(sin2w – sin

4u>-)-siiiG(u ipsin(«~ t)u>)

n~~t-RR-== ()–l)+(!–~JR)-t-(t-JÏ').(t-

cui us agKregjtti partes siugiiloe per 1 – J2JÎ sxmt divisibiles. Hine

~~üit==

i i `~' R n) -i- C 1-f- R R -i- R') ( 1- R R-Rr -t-= :« – i ) 4- (« – 2) n r + « – 3; iv 4- u8"-1

quoeiren uiultiplicaudo per 2, subtrahciulo

rursusque per R multiplicando fit

*u=

f»-l)i2+'.«-3)^3+;K-O)«i. -:«_:r ^(«-î)^1

unde protinus deducitur

quae formula etiam ita cxhiberi potest

cosecto = – -(2sin2(o4"lsin4tl)4-6sin(}u) • • • ~{-(n – l; sin n – l)o>)

IV. Multiplicande» valorem ipsius -_j^ supra traditum per 1 + -R Zî et

snbtrahcndo

prodit

tat~M==t(t-F~+R'–N"–

III. Quant habcatur + Mi -{-& +R*>~S z^m fit

= («~1){1 +«124-^ -f U2»-8)

cosec u> = ~Qn – 1 ) siu u> -f- (» – 3 ) sin 3 w – [tt – 1 sin 2 « – 1 } a>)

=^Ol – ] s"ltt) 4" (» –3) sin 3 to 4- etc. 4- 2 sin [m – 2, o>)

0 = (h-1}(1 H-RJS + iî1 4-22*

' 'jzrJnc iu – 2^^4- f« – 4) a1 + 'a» – 0 .if1 – 1* 2 .if*_ïx,11-' 1¿-,11 '(i.n -1/1-2.

Appucmn ïr> fùxctiqnes TKiooNojtBi'ftiCAS, 457

5S

umto statîm seqtu'tur

cotn»K«>=i(w_2)sm2(u+:w-.j;.sJn-l«>+ «-«.viuoto. «-2 sin»-2w

^C« – 2)«Ji2w-(-(w~4>intw -Msm>-3> + sm'# –\.m) [

quam formulani ctiam hocce modo oxliiberc licet

cotangw = –~Csinw-f- 3siii3<o -f 'm– 2;sin.t

–2 w)

Mkoiliumjualwtin

prnfu,wti<,Ml,M trirjnmutctriri* tunnsin- éjmuumli.

303.

Quemadmodum, .supponendo n~-i – ef, functio X in e factorcs f di-mensionum resolvi potust, simulae valorcs omnium e ag^rejcatorum f tcrminoruin =

mnotueruntart. :ilS): ita tune etinm, supponendo ^=a

esse acquationc.n« – I u ordinis cuius radiées sint sinus aut quaelibet aliae fuuctiones

trigonome-tricae angulonun

fe^tf, fuactiû y inc f lUmeHsioniim

resolvi poterit. cuius rei pi-accipua momenta haec suut.

(.'onstet U ex cpuriodis terimnorum lii.s 1; = JP, F,

i>wetc. perio-dUSq"! P f ratlicibus

]•[«:> :'•>«•; P' ex lus ;«'], V_ Vj etc. P" ex1US

:'– -c"- ctc- etc- Kespondeat radici [r anguliw w adcoque radicibas

-a ,&;ete. anguli ««, 6«>ctc., radicibus [«' 7/1 etc. anguli «'w, i'wctc. radi-cibus

:«" 6"; etc. anguli «"co, 6"u> etc. etc.perspicieturque facile, onmes lios

angulos dmul sumtos euin angulis J, ?. ?/ ^rJil' rospectu fttnctioillini

tngonometncarum'i convenire. (iuodsi itnque fuuetio, de qua agitur, pcrcliarat-

terem -f augulo praefixum duuotctiir; producturu ex e thetoribus

A' – 'fw, x – 'f«w. x – 'f li m etc.

•statuatur – F, productum exhis# – ?«'». x–'fb'w etc. = Y', productum ex his

v – ?«"«>. a1– ç/a)etc.= F" etc.: îiecessario erit ]u-oductum YY'V =/.

Supercst iam ut demonstremusomnes coëfficientes in fuuctiouilms I'. Y', Y"

etc. ad formam talem

') Hoc resptetu duo anguli convunium, quorumailforemia vel ticriphi-riac i.ilejfraf vi-1ulicui nus mul-ti|)Io aequulis est, <jual«swcmidumjuriph-riam rUI,yru»s vocare possemus, i congnu-nlMin sensu aliquantiimlntiori inu-lligere lulicret.

458 J»K AHQUATIOXIBl'.» ClRt'l'lI 9ECTIOSKS DKPISIENTiBl'S.

~+~t)+~+~+~(/)

reduci posse. quo facto nianifesto omnes pro roguitis luibcmU erunt, simulnc va-

lorem omnium aggregatornui terminoram innotticrunt hoc seqtienti modo etti-

oienius.

Sicuti cos mi ) -f- J 1 siu w^-jrrj-i/r»- ita pcr art.

pruec. reliquat' quoquc fïuictioue.s trigoiioint'triiae iingiili <u ad foruiatu talem ve-

duci possuut j|-f i; + 6 j •!4-X 1 34-t'tc. milloqiio uegotio perspieictur.

tunctumciu tmguli /i-w tune fieri =3I-|~?3 /.• -f- (S k *-f '/î"*s-J- etc. dénotante

A- iuti'grmn <|iit'Hicuiiquo. iam quum siu^uli eoOffieientes in Y sint fimctionos

rationales inle^rao iuvnrin biles ipsarum 'fw, -fau>, 'fbwctu., perspicuum est, si

pro lus quautitatibus valoies sui substituniitur, singulos cot5fficientes fieri functio-

ne.s ratioimles intégras invuriabilcs ipsarum 1;, «], t etc.; quamobrem per

art. :i47 tid fbnrmmA-B'J\ 1} + C!f, <j- etc. reducentur. lit promis .simili

ratione etiam oninos couiRcientos in 1", Y" etc. ad formain simileui reducere

licebit. Q. E. D.

:J64.

Cirea problcma art.praec. quasdani adliuc obsenntioncs adiieimus.

l. (iuuni singuli coi^fficientes in Y' sint fuuctiones talcs radie um inpe-

riodo ly quam=

[f, «') .statuere Iket coutentarum quales fuuctiones radicum

in P sunt coëfficientes respondeutes in Y, c;x art. :i47 înanifestuia e,t, l"ex Y

derivari posse. si modo ubique in Y pro J). \J,y), ;) etc. resp. substi-

tuantur '«'». '/«' agy) etc. Et perindo Y" ex Y derivabitur substi-

tuendo ubique in F pro I;, (/,£, {f, g g) etc. resp. /,«" J,a"g), f,agg) i

etc. etc. Simulatquo igitur functio Y evoluta est. reliquat' F', 1"' etr. nullo

negotio indc sequuntur.

II. Supponcndo

F = j. «a-1 -f (U-s t.tc.

coPfRcientos tf etc. crunt resp. summa radinum ocqu. F – 0 i.a. quantitatum

ifw, 'f«H>. y bat etc., summa productorum c binis etc, At plcrumquc Ili coûffi-

cientes multo conuuodius oruuntur pcr methodum ci, quac art. îl-li) tradita est. si-

uiilem, computaudo .sunnnain radicum '^to, yaia, tpAwctc. sumniani quadmtoruin.

APPUCATfO-Al) Ft'NcnOîfES TmiHWOMCTKieAS. 459

5S*

cuborum etc., atqtie bine per theoretna àîewtanianum illos co(?fficientes dcduccu-

do. Quoties y désignât tangpiitcrn sccaittom. tottuigeiitem atit roswantem,

iullaic alia compeiulia dautur, quae tamcn .siloutio hic praeterimus.

!lf. Consiik'mtioiiom pceuliarem rneretur is casus, ubi f est muucrus par.

adooque qiuievii porioilus P, P\ P" etc. ex\f ]u'riudi.s bitiormn tcrinitiorum

compositn. (.'omtet P ex his {>, Y 2.ci [-2,b '2.cetc.. eonvcnicntque inuncri

1, ft, b. c etf. atque w – I, n – (t, n – h, n – cvU: simul smnti, ciim his 1,«,

h. eetc. a ut saltcui quod hic eoclcm redit lus sccimdum moduluin n congrui orurit.

Scd ust 'f « – l;«i- +'fw' 'f n~ a (t) i?flwt'tf., ;.iijiiU superioribus va-

lentibus. quotius desi^uat cnsimim aut scrantuni. inferioribu^.(junndo 'f <;xpri-

mit sinuin. taiigonti'in, cotuugcuitcm aut «roscfuntom. Hinc colligitur. in duobus

casibus prioribus iiiter factures, c quibus coinpositas est Y, binos semper awpia-

lcs adcoque Y qiuulratum esse, et quidetn Y ^=. gy si y ponatur acqualis

producto ex

,t – io x – -f n « v – '£ 6 <uetc.

•Siiuiliter in ii.sdem casibus fanctiones reliquat* Y', Ir"etc. quadrata erunt. et qui-

dott suppotK'udo1" constarc ex (2, n'\ '2, & '2. c' etc.; 1'3" ex 2,(t" 6"dom .supponendo P' constare ex '2, n'\'2, h" '2, c'; etc.; P" ex '2, a" 2, 6"),

(2, c") etc. etc. productum ex .v – ïfl'w, x – '-fb'to, &• – y c'tu etc. esse -y, pro-

ductum ex jc – 'ftt'W, x – 'f6"(oetc. =y'etc., erit Y' – ify\ Y" = y" etc.;

nec non etiain functio Z quadratum erit conf. supra art. :s:57:, et radix producto

ex g, y, y" etc. aequalis. Oeterum facile perspicietur, y,y etc. perinde ex y

derivari, ut ï" Y" etc. exF sequi tinte in [ diximus; nec non singnlos co6fii-

eientes in y quoque ad formaiu

.4+B/1) + C(/ + etc.

reduci posse. quum suminae singularum ])otcstatum rad. aeqn. y – 0 manifesto

sint scinisses potestatum acqu. Y == o adeoque ad talem formam reducibiles.

In (quatuor casibus posterioribus autem Y erit productum e factoribus

rr – "fw^, <?£ – .'fftto2, j\p – .'çÈo/'etc.

adeoquc fortune

t' – ),.r·~ jj. etc.

pntetquc coëfficientes À, ja etc. e summis quadratorum, biquadratorum etc. ra-

460 bk AEQlUTIOSIBl'SClttCTXtSECTIÔSESDBRinENTIHCB<

diemn'f co, 'fa<o. 'f6wetc. dcduci posse; et similiter se Itabebunt funetiones

I", ï" etc.

Ri: 1. Sit /< = 17, /-= s ntquu tlvugiiet 'f cosimun. Hine fit

=.Y+ j-– ~+ j .~< .f+ ,-}.)'

oportetque atleoy/f

in duos factores quaternanun dimcnsionum.y,/ rcsolvere.

l'eriochis F – ,'8.i_. constat ex •>. 1), (2, »), ;î,n). (2,15;. «mie 5f erit prodne-

tum e faetoribus

~–~M..t-9tt)..('–~t:!(M, ,f–'{.)r)M

Substitucndo j-f-^ « – X:

pro ç*w, invenitur

'fw+'^iuo+'f 1 3o> + <f i nw=-i;>, i), {'fu);s4- '^«w)*-}- (^i 3o))*4->i ô(o)*= 2+ };s,i

iwvindc sununa cuborum – £{S, 1) + i 'S, 3), summa biquadratorum=

1J

+ vV(^>. '}; liinc per thcorema Xuwtoniauum coOfficicutibus in y dctunninatis

prodit

if=^-rs,i}^+iC(b.i;-4-2>3;>j!i((sti;.4.3(sj»))*+ilïC{s.i)+(8.8î)

y vcro ex y derivatur comnmtando (S, 1} cuiii's, 3); substitucndo itaque pro

(s, 1 ,S, 3) valores– { -f- y 1 7 – – | y 1

7fit

j/ = /+(i – .{ y 'I7y – ;» + i \/i7)^*1+îl-+-i-V 17)* – iV

;(/ .= -t''+(;+;7\t-'–7).t\t.'+~–~17).<–~

Simili modo y/Z in quatuor iactores binarum dimensionum resolvi potest quo-

rum prim us erit > – ço>) 'j; – <fl3u>), secundus {.r – ^flw) {.«.'– 'f 1 5 co) tortius

(.t– 'f3o>; (,»-– ç5uj). quartus > – -f 10w) (,«,• – 'film' omiicsque coOfficicntes

in his faetoribuspcr quatuor ajïgregata (1,1;, (l,i»), (4,3;, (-1,10) exprimi poterunt.

Manifesto autem productuin e iactore primo in secundum erit y, productum e ter-

tio inquartum y'.

Rv. II. Si, omnibus rcliquis mauontibus. 'f sinum indicarc supponitur.

ita ut

Z = *"– v*»+ «,v*w- »,V*W+ ïi! -î^– § î V+ AV^1 r il ii**+-eiV«

in duos factures b dimensionum ,y .y1 resolvereoporteat erit ,y productum

e

APPLICATIO A» FENCTIONES TlUOOHÔJÏK'f RÏCÂ8. Ml

quatuor fftCtol'ibus dupUcibu8

.f.t'–(-pM~, ·t',L' ( !1 wjY, .t-–t:~)'t-~–~tj~"

tnm quum sit Ykw J(kJ erit

;'Ÿhwix=

– [2 + j ~< -j '2 M – 2 ={– .2k:y'~tt-2k

htnededucitursummaquadratot-uht mdicumiw, f 9w, r J :3 w ~~ttu haut

1), carandembiquadmtommsutntna =~–i), SlUlUl11l putestutuIUtartiin ==

~–~(sj)–~(s.:<). summct octavarum ~–(S.)–~ 's. :1,

Hinc fit

y0=

~-(3–; l;,),z'+-(x-a.f5, 1) + K~, 3J~

–(~–t~J.+.\ (~ :<D-~+ .'<f– i)+. 's.:<

y' derivatur ex commutalldo (s, 1, 3). ita ut per substitutiouem vatunm)

horum aggregatonun habeatur

y=,t:fm.t. 17`,'Ca,.ÿ.. I, s- z.lïi,t's-'t' m~Jlï).2',L' m.r. ~tlï i

.== ;t,N- (Il +'Â.y17:,vo+ (~ +~7)~- ~~+ \/t7)~~+,~

5

a

ü

\il7

l'erinde Z ili quatuor factores l'esol\'i potest. quorum coëfficiclltes peI' a~rc~ata

quatuor terntiuor um cxprimi possunt. et quidem productum e duebus erit y, pro-ductum c duobus

reliquis

Srctionrx cirruli, grtrt.s'~rr arvltuetinon, ~Ma<<<'<M M-<~«V con.streeclirurrx georrrctrirrrx yrr~&~rrr /i"

~C5.

lleclu:~imus itaque, per disquisitiones praeccdcntps. sectionent cÍ1'culi in Il

partes, si teestnumerusprimus, ad solutioucm totacquatiouum, inquotiacto-

res resoh-ere licet numerum M–<. quarum acquationum gradus per utaguitudi-

nemiactorumdctermiuantur. Quotics itaque rL-1 1 est liotestas iiniiieri 2, quud

cvcuitprovaloribusipsius 11 his 3, 5. 17, 257, O¡j5:\i etc., sectiocircujiadso-

las aequcttiones quadraticas reducetur, fuuctioucsqac trigollolllctricae au~utunuu

xa 21'ctc. per rttdires qurldrctticcts l, l, lrro ntn~nitucliucetc. per radites quadratiens plus nuuusvc complicatas pro )na~uitudux'

ipsius tt, exhiberi potcrullt j quoci1'cn in lus casibus sectio circuli iu rt partessive descriptio pulygoni ii /1 1atcl'UJII manifcsto per coustructiuncs "eotuc'-

462 DE.AEQlTATIOSIBl'aCtRCULl8ECTI0NE8 DEFIXIEXTIHUS.

tricas absolvi poterit, fta e. p. pro n .-= 17 ex artt. 354. 38 f facile pro cosinu

aiigult fy-P expressio iisiec tlerivntur:

–'«-+- 1'«\ 17-f M' "»i– 2\ »7

4-l\'C"+"->\ 17– >l– 2y/i7 .– 2v>l+2\'l7;)

cosinus, multiploruiu illius aniruli formamsiitiilem, sinus uutem uno si^no rndicali

plm hubent. Majxnojjcro suuo est îniranclum. quod. quuiii ium Eutlitlis tcmpori-

bus (v-irculi divisibilitas geometrieu in très et quinque partes nota ftierit, nihil his

invcntis iutonnllo 2U00 aunomin atlirctum sit, oiuncsque «çeoinctnie tmnqimm

certuiu pruuuutiuvcriiit. j)rnctcr illns sectioucs casque, qimo spoutc indu dcinanant,

pu ta sectioii(.s in ]: :).-> r>.2:t, 15.2;i ncc non in 2:* partes, millas alias per

coiistruetioncs lît-onietricas absolvi posso. C'cterum facile probatur. si «mue-

rus priinus « sit _=•)'" -j- 1 etiom ex])O»entem wj alios faetores primos qunm

nuinei'uni 2 iuipliraru non pusse, udcuquc rcl == I vol =2 vel.ultiori potes-

tati uumeri 2 uequulcm esse debt're si euim m per ulliun numerum impareni i

unitate îiminran divisibilis esset at(jue m – C>j, foret 2"f- 1 divisibilis per

2T<-j- 1 adeotiue nece.s.ario comiiositus. Omnes ittiquc vulorosipsius », pro ([111-

bus ad nieras aequationes quadraticus deferiinur, sub tonna 2S< -]- l eontinentur;

ita quinque numeri :i, 5, I", 257, 05537prodeunt statuendo v = o, l. 2, 3, 1

sive m -= I. 2. 1. S. 10. Ncutiquam vero pro omnibus nuineris sub illa forma

contentis seetio eireuli geometricc perfieitur sed pro iis tantuni qui sunt numeri

primi.Ferruatius

quidem induclionedeceptus affirmaverat, oinnes numéros sub

illa forma contontos la'c-tssario primos esse: at 111. Enler liam: regulam iam pro

•i --= 5 sive M – Si erroncuia esse, miniero 2:is+ 1 i= 42U-1907297 factorem

01 t involvente, priinus auimudvertit.

Quoties aiitciu – 1 alios faetoresprimos praeter 2 im plient, sem per

ad

acquntioncs altiores deferiinur; puta ad unampluresvc cubieas. cjuando 3 scmel

aut pluries inter faetores primos ipsius « – I reperitur, nd aequationes quinti

tjradus. (|iumdo n – I divisibilis est per 5 etc.. o.mxio.ie kioohe uejiossiiukk l'osst1-

MLS. IMS AKyiATIOXES KUÏVAÏAS Nl'LI.0 MODO Xl-X KV1TAU1 NKC AD IXKKUIOUKS KKDl'CI l'O.SSK,

i.'tsi limites liuius operis liane deinonstrationem hic traderc non patiantur. quod

tanieu monenduin esse diiximus ne quis adhue alias suctioncs praeter cas, quas

theoria nostra suggerit, c.y. sectioues in 7, II, Kl, 19 etc. partes, ad construttio-

nes geometricas perducere s];eret. tempusque inutiliter terat.

AWfcïemo ai> n-NCTioNK» triuonojii-tric.v». 46M

:!tt(t.

Si circnlus in «* partes secaitdus est. désignante a niunemm primum. nm-

nifesto hoc geomctiice perfkere lic-ft, quundo cl == 2. ueque vero pro tillo alio

vuloro ipsius a. siquidem «> 1 timceiiim pmeter eus aequutiones. quae ad se<-

tionem ilt « partes requiruntiir, nece.s^ario adlaio «– 1 alias «" gradu< .sulvere

oportet; «'tiam lias nuUo modo nec evitare nec dopriint-re licet. (iradus ituque ao-

quntiomim Mecessariamni e -factoribns primis numori >– Vu'-1 gunoraliter '.sci-

licetpro

coquoejuc easu ubi a =

I) cognost-i possunt.

Deniiiut' si circulas in i\' – u%f>c" partes secandus est, dcnotantilni.s

«, b, cetc. uuineros primos inaequalcs, sutficit. sectiones in a'\ b" cl rtv. partesperfetis.se uirt. :j:»Cj; quare ut gnulus aequationuni ad hiuic Jineui îietpssariuiu

cognoscniitur, facturesprimos uumerurum

>-l>– .4–1 c-lrV-'etc.

sive quod hic uodem redit producti ex lus muneris(.on.siderare oportet. Obser-

vetur, hocprodiictmnexpriinere multitudinem numerormn ad N priiiioruw ip-

soque miuoruiH art. 3S\ CJeometiïce ita(iue sectio tune tantumniodo absolvitur.

quaudo hic numerus est polestas binarii; qiiajido vero faetores primos alios quam2 putu ji,p etc. iinplk-at, aequationcs gradus y/y'etc. nuUo modo evitari

])o.ssunt. llinc colligitur gcneralitcr ut circuliis geometrico in A partes ilividi

possit. A" essc debere eel 2 aut altiorem potostateni ijwius 2, rel mmienim primamformae 2"'+l. rei produetuni e phiribus huiusniodi nmneris priiuis. r#7 pro-duotum ex uno tali primo aut pluribus in 2 aut potostateni altiorem ipsius 2 sive

brevius, requiritur, ut N neque ullum factorem primuin impareni (jui non est

formae 2"'+l, implicct. neque etiam ullum fuctorein priinum formiic 2"fl 1

plurics. Huiusmodi valores ipsius AT infra 300reperiantur lu 3S:

2, 3, .1, 5. G, S, 10, 12, 10, 10. 17. 20, 21, 30, 32, 34, 40, 1S, 51. 00. (il, OS, SO.

S5, »0. 102, 120, I2S, 130, 1UO, I7U. 192. 21)1, 240, 255, 256, 257. 272.

59

ADDITAMKXTA.

Ad art. 2s. Soltitio acquationis indeterniinatae a t –bg ~j- | non primo

iihill. Kulero ut illic (licitur sed iam a ffomnctra 17mi samdi Bacliet cle Mrziriac.

celebri J)iop}muti editore et coinmoatatoix' jK-riccta est. cui ill. La (iraiiife liuiic.

honorcm vindicavit Add.à f Ahji-bm tl'Euler p. r>2.'i. ubi simul inotliotli indoles

indicata est Bachot iiivcntum siiuni in editioni' secuntla libri Problèmes ji/ai.sans«t dr/ectalih:* qui se font //«/• /c.v tiouibrci, 1 02t. tmdirlit: in cditiono prima il Lyon

1012 (juain solani inihi vidcre licuit. nonduiii exstat. veriinitniueii iarn annmi-

tiatur.

1<I artt. 151. 2!M>. 2ii7. 111. Le Gendre dciiionstrutiouem suarn donuo c.

|uisiiit iu ojn'ic praeflaro Jitxai d'uni- thi'vrie des nombres \h 211 sqq.. attauieii ita.

lit iiiliil i-vsL'iitiale iniifatitiii .sit: qiiaiiiubrt'iu haet mcthodiis ctiaiuiitini oniiiibu^

«ibiectionilius in art. 207 prolatis obnoxia manet. Theorenia quideni cui una sup-

positio innititur irl quavis projîrcs.sioue aritlnuetiea l-j-k, /4-2/.1t'tc. iiuiir-

ros prinios reperiri..si /• et divi.torcm coininuiicni non Iiabeant. fu>ius in hoc

«pcrc ccnisideratuin estp.

12sqtj. sed rij^iri ^eona-trico nontluni satistiictuin esw

vidctur. Attanien tune quaque. quando hoc tlivoriMiia plene diMiiiiiistmtiun erit:

suppo.sitioaltéra

supererit tlari numéros prinios forniae -l«+ :t. r|uonun non-re-

siduuin (Uiadraticuni sit uuinerus primus datus ibnuac \n- I positive Mimtus

quuc an rigorose deinon.strari possit. n\>\ theorenia fuudumeutule ip^uin iain

sujjjMtuitur iicsi-io. Ceti-ruiu observare oportet. ill. 1-e (iendre liane posterio-

rcm suppositiuneni non tacite sed ipsimi ((uoejue enm non (li.ssimti-

lavisse, p. 221.

460 AlïDITÀMENtA.

Ad artt. 2SS – 293. De eodem argumente, quocl hic tamquam applicatio

specialis thcoriae formarum ternariamm exhibetur. et respeetu rigoris et generali-

tatis ita absolutum esse videtur. ut niliil amplius desiderari possit, ill. ],e (iendre

iu parte III operis sui p. 321-400 disquisitionem ntulto ampliorem iitstituit

Principiis et inetliodis usus est a nostris prorsus divers» attamen hac viacomplu-

ribus difticultatibus iniplicatus est. quae effecerunt, ut theoremata palmaria de-

înoiistratione rigorosa muiiire non licuerit. Ha? difficultates ipse candide indica*

vit sed ni fallimur hae quidem facilius forsaii auferri potcrunt, quain ea. quod in

hac quoque disquisitione theorema modo menioratum lu qnavis pro^rcssium*

arithllletica etc. suppositum est. p. 3 i 1 annot. in fille.

Ad ai't. 300 VIII. In chiliade tertia deterniinantium negativorum reperti

•>unt :J7 irregulares, iuter quos 1 habent indicem irre«ularitatis 2. et 1 rcli-

qui indicem 'A.

Ad eundem X. Quaestionem hic propositam plene .solvere nuper successit.

quam disquisitionem plures partes tum ^irithmeticae subliinioris tum Analyseos

mirifice illustrantem in continuatione huius operis trademus quam primuin licebit.

Eadem docuit, coëfïicientem m in art. 304, esse = jn = 2,345SS47(516. desig- 1

nante y eandera quantitatem ut in art. 302, et ut ibidem semicircuinferen-

tiam cireuli cuius radius 1

*) Vel nobiç non monentibus lvctorct cnvebunt, nennstras forma? ternarias cum eo, quod ill. l.e (n'iuln-

forme trinaire d'un nombre dixit. confunilant. Scilîvvt jier hanci-xpressioiiemindiciivit (Ivcomponitiuncmnu- ?

meri in tria quadram.. t

59*Il-

T A B U l A E.

468

Tabula I. artt. :>v !i|

s. 3. 5. -.u 1j.1-.1y.23.:? 31.37.+!. 4.3.+? 5j.}i).Ci.6?.?i :7'>.S}.S<)

î 1

S 1. j

7 3 2. 1. 5

y j ». 5 4

11 1. H. 4.

13 <> 5. K. y. 11

16 5 1 1

1- 1: 1:. 11 '). 13 12

ly 1: J-. 5 2. 1: 6 13. x

23 i-: S. y;. 15. 11. 3 12. 1-. 5

15 1 1 5 16 11).13 lU il

1 5. id. 15 S. 15 iî.u

29 ic 11. 18. :sj 2. 7.15.24

31 11 j iî.m.îv. 4.29 :). i.:s.:i

32 5 i 3 1 5 4 0 3

57 5 "-34- !».<» 4 t;. 5 • =5 =1 15

41 0 î6.I5.:s.j>j. Ji-îî- 9-î°- =s • i=

43 3y.i-. 5. 0 40.16. :< 25 32 35 iS

4- , 3<=- »** • ï* • i-42.:y.3V-45 5-:4-:S-r

4y it 2.13.41. 16 9.31.35.32.24 •«. 30. 2;

53 -5' 9 • 3 • îs • 4û 2S .41.41 59. û 45. 33. 55. S

59 1: 15.52. 54.44.45 j. 14. :?. 4 -.41. 2.13.55 :N

61 ic 4-. 42. 14. s;. 45 :=• ¥) îy • 25 '5 31 '«-41 -4'-4~ 5'-i".1-

C4 5 3. i.k. 5 15.12. -.14. 11il ». y. 14. 15. 121-- 5. 1. 3

6? 12 29. y. 39. -.61 ;j. H.:(i. : 43 .44. ly 6; .64 5-54-5 5

-1 <:z jS.iS. 14. 33.43 J-3S.5. 4 13.ic.55.44. 1- jy.29.1-. il

-3 5 U. 6. 1.33.55 59.11.62.46. 35 11.64.4.51.51 à 55. 5.5X.5..44

79 :y 5-j.-1.j4.1y. 71 -4.9.13.52. I -6.21 .4-. 55 I- -5 54. 4

81 11 25. '.35. J 38.15.1:. 1.~ 5.- 14.24.29.1:. 13 45.53. 4.S-J.J3 3, 4K. 5;

S3 & 3.52.81.24.72 67.4.59.16.36 3: .6c. 38.49.69 13.2a. 54.55. 17. 43.4-

Sy 3: 72.S-.18. 4 65. 82. 53. 31. 29 5- – .6- 59 J4 i..45.iy.32.îO 08.46.

y- ii S6. î. 11.53. »2 S3.19.2-.79.4- :6.41.71,44.6s 14.65 .32.51 :5,5 i-j.yt 1*

40»

Tawla II. (art. 9»;

I +1 +J. +5 +" +M +l3+|-+l9+:j+î>/+ji+5-++i ++j++-+53+5i»+('I+&-+"l+-}+-(j+S3 +&>+<>-

j :''.

“•

s_ I _

'i

j~i_j L_

~™ I i :IZ '_i" U Li~Z' ;Z_'

:9

i_|l

ji i i

_

>

i .V'j Li~n

“ -–

I w'jJ_! I i-: L1 _i_j.r97 .r

m

TahixaIII..art. 3 1 0

3 (o} 3 î {i)..6

> (o)..14î»57 î

9 (oj..i; (»)..»! (i). îîi-.ttj. V4j..7l [5).5

m (o)..c9i »..i8; (i). • 36-, îj;?îi {+)..«

"3 (c).. 0-6953; (O..+6I5Î*

J- (o).. =588135194 «1764-

19 (o) 0516515-89 4-36S411

»5 (o) • • C434-8160S 6956511739 13

2-(c)..cj-; I0..C-4! (î)..I4*S (3) ••»«*! (4) -.59»; (5)-s5

19 (o; 03448Î-586 «68965517 1413-93»

3« (oil.3iis8c645 161:9! (1) 54838-096- -419}

J- (o;o: (i}..i35i (î)..6-s; {3 ..3-S: f4;«9»; (s J • • 459

(6) sy- (?}.. 486; (8)..43»i rA •• (10)..810; (u)..O54

41 fc;0î439i (O..1+634; (ï)..87804; (3)..i68î9; (4)..60975! !5/6S«53! (61.. 95"" (-).-T°73

43 (o).. «325581 39 534883-IC9 3; (i)..65ii6î-9c6 9-6-441860 4

47 (o}..ï2iî-6j95* 446So85is6 3SÏ97S7ÎÎ4 0425531914 893617

49 (a) CÎC4C8J&32 653C612Ï44 8979591836 7546V3«"5 5'

53 (o) 0188679145 183; (i)..49C566-J377 358; (1) ..754^169811 310-, (3) ..6116415094 339

59 (c).. 0169491515 413-38S135 5««O3389 83c5084745 7*»7«'8'44 06779661

6< (o).. 0163934426 Ï195081967 113114754° 9836065573 7704918031 7868851459

67 (c).. 0149253731 343*835810 8955133880 597; (i).. 17910447-6 «194019850 7461686567 164

"i (0).. «40845070 4SÏ535λ" 6761563380 38169; (1).. 8731394366 1971830985 9154929577 46478

73 (o).. 01369863: (i).. 06849315; (1).. 34:465-5; (3).. 71131876; (4) 56164383

(5).. 80811917; (6).. 041095X9! (").. iO54-945i (*)•• oi739"*6

79 (o).. 0116581178 481; (1 36708IS6S75 949: {1) 64556961C1 531

1 (3).. 7115189873 417; (4).. 9140506329 113: (5) -914683544 30;

81 (o).. 0113456-9! (i\. 133802469; (i).. 493817160; [3).. 431098-65: (4).. 753086419; (5).. 183950617

i3 [o).. 0110481917 7108433-34 939^59-361 445-831315 3

(1,1.. 6314096385 5421686746 98-9518071 1*1(1566165 k.

89 t (c, 0111359550 561797-528 0898876414 4943810114 7191

(i).. 3370786516 8539315X41 6966192134 8314606741 5-3G

97 (o).. 010309*783 5151546391 -5157-3195 876288659-" 938144319!! i)6i.i;-ii649 4845360854 741168041

3;u340it6 185567

IJKiJHJATIOj, y

Pkakkatiop 5

Sectio t'itniA. De munernrum congruentia in génère p. 9.

Xunieri congrui moduli, residua et non-residuu tirt. l sq.

Reitidua mininis, l.

Propositionus vlemcntares de congruis, 5.

Quaedam applicutioncs 12.

Ski'ïio skcumm. De eongraentiis primi gradin p. 14.

Tluiorvniattt pracliminaria de numeris [mmis, factorihusetc, art. 13.

Solutiu congruentiarum primi gradus, m.

De invenieiido numéro seamûum modulas dutos residuis ilatis cougruu. 32.

Congruentiae linenres quae plures incognitas implicant :i;.

Theori'muta varia, 3S.

Skctid tkutia. De residuis potestatun» p. 38.

Residua terminorum progressionis georautricae abunitatuincipientUconstituuiU seriem periudicam, urt. ii.

(.'otm'dermttur j»ï>im modttti y«i sunt iiiwieri primi.

l'onemlu modulum –p, multitudu temiinoruni in periodo metitur mimerum p– i, art. is.

Permotii theorema, su.

Quot numens rt'spondeant periodi, in quibus terminorum multitmio est divisor datus immeri ju – i. art. '

Kudioes primitivnc, bases, indices, S7.7

Algurithmus indicum, £<>.

De radicibus congruentiae x" A, art. nu.

Xexus indicum in svstcmatibus diversis. n'j.

Bases usibus peculiaribu» accomniodatao 7-\

Mvthodus «ulieus primitivas nssignaudi, ;:).

Theorcmnta varia de periodis et radicilms primitivis, ;:>.

(Theorann Wikoninnum ï<0-

C 0 N T E N T A.

172 mXTEXTA.

It? maifali* qui .vint ituMer-iritM primorum (luUaltitea art.»!.

Machtli'/iti situt jjotintatmhiaarii, nu.

ilml-tl! i: plnritiut priiuis rumpu-tili vi.

Ski'Tiu i^L'.vkta. Du cuiignientiis socumli gnulu» I» 73.

l(u*iduii l't nmi-rcsuluei c|iiaili\uicii art. 'M.t.

Huotiis nuidulus v»t muiRTUi primu* imiUiiiulu ivsitluuruiu ij«u uiitiuruiit iinihitudini iitm-iv«iiliiiuuiii

iifi]iiulï« '>

liuuustiu. ulru;u Imuni'ii-. cuiii|)utim> i'l-vUIuuiii miiiieri |iriuii ilsili tit un iion-n-iidiiiim. »)> intinlc t'nc-lu-

rum iiL'iulvt, 'iv

lk' niutlulis. ijui sunl nianori eoinjuj^iti i un.

l 'ri u- ri uni ^ciiuralf uiruiii nuiiionii ùatus iiuiirtî priuiï ilmi risj'iuiim sii un mjii-i-vsjilmini i u<

l>(ti/ulii(i"/t'-( •/< inim'rii jirimis i/i(nnim wàlutt a«t /toii-rcsidua $«ttt nuuuri dut! lu:.

lU'-àiluum i arl. I >>••.

Uvsiduu -r «t – ïi ait- tiï.

Husiduu -t- i-l – art. n:.

1

IU-«t(lua + v i-t >> an. i ji.1.

l>o + t un. iji. 1. '

l'rui'iJuraiiu ud diiijuisiiiuiiviu jçi-iu-nili-m \i:>,°

I'it in.lui'tioïK-iii thuuri-iua ^oucralu ifiimluimiitaUj sliibiltUir, Luiichisiuii'. -;i|U(; iiidi- di/Uucuutur, i;u.

lK'iiiuu-ilnttiu ri^'oriHa huius tlu-uri'imitis l.ij.

Mulliudus imuliikii ihuurL'iua art. Ml lU-muuslrundi i u.

Sulutio jmiblvmatis )jiin.'r;ili< I iii.

Dv l'ui-mis îiiiiiuriiius nmiii-< uumi-Ms iiriiuus wntiuvniibui, i|uunuu wl ru«iduutn \el iiuu-asiiliiiun c-»t

uuiiu-t'u<> i)uii:H:ii|U.- clulus, i i;.

Ile ulturuiu iuljurilni< wrca \uf~ invi'slijçiitiom. m.

lh> viiiijjruviitiU «ecundi pradus nui) purîs, i:.j.

Si-:i tiu qcinta. De furniis :ii'<xu;iti< >tiîliiiss<[iic iiidctcriiiinatis sccuudi gmdtis p. 12u.

Disquisuionis iiiM|iu-ituui lurmanim ik-.intlw ti -i^iuun. un. !

Xmnui'iinini ri']jrai.'S('iitiiti(i; <li.'tcruiiuuu. l.M.t.

\alorcs txpr. \kb–acj jihoiI. J/) ad «juu* tvpruMvututïu uuuivri M jior foniiaiii ,«. /«•; pt-niiiui. n

l-'urnui ;tli:iin iiiijilituns, sivo sul) ulia cuiiu-uta traiist'urmatiu, jiro]j|iti et ini|>ru|iria l^

.U'4uivuk-miu, iirupru cl iui]in>-)ria nv.

K<irni»v uji|ju«ilue, •>, Luiili^UiiL* I

HivÎMirv-s cuiiuiiuuus cu.niciumiimi l'uriiiarum, im.1.

Xl-xu^ (imniuiu l raiwlurmutiotiuui sitiiiluuii Icirinjc ilu'.m1 in t'unmim «Utaiu, i-

l;(i.'inup :iii':t|jitc< lj-i.i.

Tluruiviiiu circa cusiuii uiii furma sul) alia siimil pr^priu cl împroprïi.- ciitit'uta e<l hi. r.

UviiuruUa ilf ri.'[>nn;.sfiitaliijnil>U'i nuiniTorum pur format vuruuuiui* iiexu cuni trumturnialiuuiinKf !(«.

lh J'ui'mU 't'-tn'iiiùntilli'S jm/atti'i, 17 1.

A]i|>licttli>iiK"> s;k:iiaK's ad (liscvrjitiuiifin minu'rurum in c|uadratii du>>. in ijuadraluni Miupli-x i-t duplv\,

iu simplux ft tri{ilt'X, l^J.

Jh J'ormii •lilirmiiHiittis /lanifiri ium-ijuuilrali 1 > i.

tWFEKTA. 473

00()

De formti determinunth quaitrali, art. ïà-s.

Farmiio sub uliis contentai) quibus tauwii nu» aequîvttiont 2 1ï.

Fnnn«c itdermuumtis u, iirt. jis.

Sulutia generati* omnium aequationum indetsrmiiiataruni .wcumit- |»ra<ius duns iiiratriiiùis imjilicantiutn

por numéro* iiiU'gro» ï hAnnotation*» hitluricav ta.

Annotutiuacs huturicit);. 222,

IJt.iqi(àitioncs ullt-rinreu île /ormi*.

nhlributiuformanun detvimiuiintiadtttiinelaiwi, art. îts; classiumiu qriliiw«. m.

Onlimim imrtitio in gcnura, ris,

lk coinjjosiliomi /oriiuiriim TH.

Compositid onlimim il», gL'iicrum, ï4«, ciassiuin, il«.

Pru (U'turmimmtc Juto in siii^uli< guntriljus chisdem ordinis tinsses ai-quu multae cuntiiiciitur im.

(um|uiniimir mtiltitudiiiv^ i-Inwiiuni in singulis içciifribus ordinum diversorum cuntontarum jas.

De multitudinc cJiissium iwicipituiH, ï:,7.

Cvrtu «cmissi omnium cliuractentm pro dcturminantu dato assigmibilUim jf'in'fa prupric priiiiiliva (posi-

tiva pro dot. nejf.) ri'spomlcn' ni-quvunt iM.l,

Thvurvniath t'iiiidainentults et ri'licjuorum thcarcmatum ad rcsidua –1, +-», –2 pertinvntiun clemon-

«tratii» si'cunda, ai; -j

Eu chartti'tunini semissts (|uibiw jouera rospiiduro ncqueunt propiua deturrainmitur ïos.

Mutliudus puculiuris numéros prîmos in duo quadi-ata ducompouendi l<>->.

Mjrinxiii cimtiiivm Iracltilum rfc /nriius Urnariix, art. 2<iKm|q.

Quaedum applicatmiir* ad tluuriam fnrmuriim liiiiarùiruiii.

Ue hivcuù'iidu forma c cuiiis duplicatiano fanua binuria data gcueris principalis urimur, ave.

Omnibus ckaructcrilnti praetcr ius. qui in artt. Mi, ï«i impos.sibik's inverti sunt. gênera Kvora

ruspumU'iit i s; III.

ïlicoria dccumposhioiiis tum uuinuroruui lum l'umuirum binariaruin in tria quudrntu, ï"».

lk'inoiHtratiu tlieoremiituiii l'Vmmtiauomm queiuvis iutcsmin in lru> nunii'ro-. trijionak's vel quatuor

(juadr.ita diicerpi pos^i' Vf-,

SoUitiaii(.'c|iiutiouis axjt-t-lii/i/ r;: = u art ï l

De methudu jicr (juam.ill. Lu (ii'iidrc tlicorcma fuiidiimcntale tructavit, J'jii.

KcpracscnUtiu cilVne por formas tci-iiaria* quascuiujuv, ïau.

Sulutio KcnerulN uequatiununi iudeterminatnrum seuuntli gradusduas iucotrnitas iinjiîirantiiini per<|uanti-

tates rationales, mm.

lie iiitiltituctiiit* itK'diucri jftiK'nim un; chiisium, un.

Alguritlunin siiiRiilaris cla«siutn pnipriu primilivarum i di-tt'rniinanU's re^ularvs i-t :ri-i.j.'ulan;« etc.. :iu.s.

Secïio sk.vi'a. Variae api)lic;ationes disquisitionum pracccdontium p. 3M0.

Hosolutio tmctiuiuim in sini]ilii.ii)ix'.s, art. sua.

Convursio l'ractioiuuu communium in décimales, :n i.

Soluncu'cjn^niuntiau s A per muthuilum (/xclusionis 31».

Solutiu auquntioni» indotcrminatac «i jtj- -t- «j/.y = -1 per exclusiones. vi-

4^ CONTENTA.

GOSLAUIAK KX Ol'l'JCISA E. W. Cï. KlKCHKIi.

Ali» niethodu» congrmmtmm zz-zA stoh-encii pro co cnsu ubl A est Mgatlvtw, art. ni.

Dusa methodii numéro» composites a primi* digncwcemli ilUmimque «ictères ftimtfgimdi, m.

Sectio septima. Deaequatioçibus,

rircuti Sectiones (leftnicntibus p. 412.

Hi«juisitio redwitur ad citgum ihnpUcittlmtim, ubi multitude partium, in quas eirculum seeare oportet,est numurus primus, art. asti.

Ac([imùones pro functioniljtw triKunomi.'trki* arcuum qui sunt \mn aut purte» totius pvriphvriw!; re-

ductio functioiium tri^unonictrii'iirum nd radiées iiucjuutioiiis y – 1 = » art. 3»;.

Thtvriu radicum huitis a^uatiauà (ubi supponitur ra esse mimerum priinnmj.Omittondo rudicun l, retiquuc (!i) continentur in iKHjuatiunc X = y-' + x" + etc. +/ + 1 = «.

Funetio A'resulvi nequh infactorvi iiiferiort..4, in quilms omiius coëfliciuntcs sint rtitiuiiak-», a*t

Propositum disquisttiuiium wquentium dvclaratur, 142.

Omnes radiées U in eortus classes (périodes) distribuuntur, 343,

Varia tliuorenmtu de his periodis, :u 1 sqq.

His disquisitionibus superstruitur .solutio aequatiuni-s X = 0 art. 352.

Exempta pro n = 1», ubi negutium ad duas aequationvs cubica* unamquu quadruticam. et pro «= 1:,ubi ad quatuor quadruticas reducitur, artt. aw. ïj t.1.

DisquisitioHtts ultrriwi's ik /iw aryunu-ntn.

Afïgregata, in quibus tei-minorummultitudo par, sunt quantitates reaies, sss.

De aequatione, per qimm distributio mdicum 9 in </i«w periodos deflnitur, ne.

Demonstnitio tlieoremutis in Sert. IV commémorât! a j 7

De aequatione pro distributione radicum « in Ires pcriudos, :ias.

Aequationum, per quas radiées U inveniuntur reduetio ad punis, :)M.

Applicad» dàquûitioitum prtmrdeutimn ad funcliuiiea triyonomctricas.

Methodus, ungulos quibus simjulac nulices Ji respondeant dignoscendi sni.

Tangentes, cotangentes, secantes et cosecantes e sinubu» et cosinubus nbsque divisionc derivantur, 361.

Methodus, aequationes pro tunctionibus trigonometncis successive deprimeiuli, aoa.

Sectiones circuli, quas per aequationes quadraticot «ive pur constructiones (,'eornrtricas perlicere licet, jos.

•Additaukntaj,

4G5

T*WUEp. 467.

AKHAX G.

HANUSCHRimit'HR AUFZKIC1INUKGRNVON OAUSS.

7m Art. ID. Anéantie numéro tertio C, «V majttmm dirisnr cmnnwni.i nuiiunrum C, itvù-rmimiitur-

quenumeri k.i itavtstt itl + yC- ?. umh- erit HA + HB + tC' = > JIWmCo «,*“<>. i.

<*< (/iViVor communia MiinTomm A, 11. C, cl guident nwriiiim, si mini cxsfunl majî.r <>, /orrt

*0' + «.-f + ï.=~integer, Q. E. A.

fJ fi -fi IJ

Fiietum est itaqtie quml pn^mtitim fiternt. ikm atulmmn» k't = n, ktssb, / = c, ?.'

Zu Art. 114. Cnnciimiui tlemoustrutio {ta acloniutnr («»«–«»)«= t +'«'*+ t) {a*" – ï),

(II'" -)- .")' = 2 + (,~ + ) ) (“ atlrnyrrr t. t -F-(«b"°-tt"), t~ + (rnnrl. tta7- t

Xu don itt Art. 250 VI anReffoboncn ï c positiven Weterminanten von der Form •>« + J, lur w\e]\v dit Auxali!

der cigi'ntlich priniitiven Classon drei mnl grôsser ist als dic der uneigentlich primitivcn -37, .i'

«indhii»ug«mst: en, rot, m, tôt, rat, ho, sm, stt, sas, m, m, 92s, 033, st3. 991 «<

coque inter 125 rxsUnl 31,

'/m <lcn Wortfii des Art, aot t Hoo modo ïummn mult. gen. pro dett. usque ad 1 on inwniiur = ri t, »

<|uum revemsit 233. a -l mpic ml -3000, tabula iHtiO, formula HW.U.

Vm Art. 336. mire» ath 'uhUn lier Form a1"1 + i Vrimsahle», m ic«r<k cil, /nntllnglk/i .j,nii/u rtrr Au*-

drutk fHr Aie Mengt- der in li,,l« itthvmhi, 'Anhhn (Xl khimr a/s dû: ijeffetom- Zahl M nM-r

arirt CIo~DII'y81'/1/

log l2

/m dem Lohrsatw in Art. v. aber die ïliciler einer algebraischen gamen rutiumileii l-unttion mit «anuttlili-enOoMcicnten 17(17 Jul. ti.

Au den ^'urten des Art. I Jws l'osujuam rigorose demonstraviums, c{ucmris numermn jirimum f'irmac i« + i, «t

positive et négative acceptum, alicuivis nuim-ri primi ipsu miiidi-i» non-resiiUuum esse. ll,we </«».«-

stmliunrm detetimu* 1796 Apr. S.

'lu Art. 131. Tlworemafuiuhmentalv fier iiiductiuimm dnleettim i795 Jhrtia.

JJvmomtratio prima, qu«e. in hoc .mtioiu: Irudilur inventa i79(i Jjtr.

476 HASnSt'IlRIFTWCIfK AIÎPKÉrCHNCNQES VOS QAUSS.

Zu den Worton de* Art. i.ii:Investigationera (thôor. fond.) tuïïmo geneniHu* tnstitimmu*. Conteinplcimir

duos numéro* quoscunqito impart» imcr se primo. signis quibtiseunquo allectos, P Ht Q. – –

1T96 Apr. i9.

7m den Worten des Art, ni: l'rstetereu theurematti ad resklmi -f-j et – 2 pertinent!» tune aupponi tfebuis.wnt ¡

quum vero noitrn demumtratio absquu lus theoreraatibus sit jwrivcta, novuiu lilnc methodum mmcisciinur,

ilta deraonstrundi. /W Fi-hr.

'An dcr l.Vber>chrift dcr.Scctio quintat 1 Je fomiU «««iiiutionllnisqui1 iiuU'tvnntnutis Kvcumli (çradiM. /«*

« Jim. -a. mm.

Zu (Uni Worti'ii ùv* Art. ï> i ail aliud itrgumentum itravissiraum Iransimus u nuinine Imcusque attuctum, de

furaiartim coiii|iiisitiimc. Ifuu disi/nis», inehuatm mttumna IJ'JX.

Zu den Worten du» Art. ï«a Kx hue prinripio methodum noviim haurire positumus, nun modo thi'urcmn funda-

mcntalc, sed etium ruliijiui tlu-urumuta Scct. praet. ad rotidua – t, +•,–! nertinfntw di-mon-

xtramli, – –PriMiju'u huins im-l/n.tli primant M Muteront iT9il Jut. il fit ejceultn et ml fnrmnm jnw-

smitein retliteta lire », ISUU.

Zu dun Worten di-s Art. a <; « sed quuiiitim compluri-s vuritates ad lias spectantes uacquu pulchorrimni', ad-

hue Kiipcrsuiit i|uarum fous proprius in tk-uria formuvum termiriarum xveundi (fradus est quacrendus.

brevom ad hnne theoriam digressionum hic intc-rcalanms, Fc.br. /4. iTUO.

i

Zu den Wortcn dw Art. iri; seiliect ostendvndo, primo, <|uo piicto quaovis forma ternaria ad formai» sim- i

plictorvm reduci possit dein fortnurumsimplicmimarum (ad tjuas per tôles reductiunes pyrveniatur), Tt

multitudinem pro quovis dvtcrminanto dato esse finitam. 1$00 Frbr. 13.

'ùx den Wonm des Art. av; III: J'rorsus simili ratione probatur, in online impropriu primitivo eos chiiractu- il

res, qui ,kt prucci-pta art. ïr. i U, 111 »«li povsiliilf.s inreniiintiir. omnes possiliiles t.«c, sire sint P sive ij

Q. – Hacci-u thvurcmatn etc. Drimitttral'mur jjrimum mirnita siiul .#•/«<• Ayrili tT'JS. a

Zu den Worten des Art..iu2 Multitudo elassium mediocris autem (cjuac dutinitione opus nou habebit) vnlde ri-

gulariter crewit, Itlru prima ùiUio u. iï'J'J.

Zu ilcn Wurti'U dc< Art. :nni X: Deniquv obsen-amu< quuni omnes pnipriettttvi in hoc iirt. et pnipc. consido-

ratae imprimis a numéro « pemk-ant, ((tii simile quid est au ji– -1 in Suet. III, hune lUiiiK-rum sumraii

atU'iitioni* iliffiiiim esscj quamiibrem quam maxime optaiidum tsset, ut intur ipsum ulque (ivteriuiiiunteiu,

ml quem pertini'l. nexus ^eniTali-i ik-te^atur. – -Ex /•-< tt Ji!* w tir finvum'l <•! nili!' nmplini ri,-

xidvraiitlitm sinunif A"«c.<(/ – lin: /.SWAIlil

/u Art. l'ii. Vimtlum in IT /jttrlrx iliri'ihikiti <«.« iirniuctrire. tbitrjrintu* 1TUH Mari. '4M,

i

(j

n

srHU-SSBEMJÏHKl'NG XII* XKIEX At'SGAUK.

Dieser i-iMi- lliuicl vun CUr.»* Werkcn i«t (.-in Wiedernbdruck dur im Jalire ivit in Octuv i-r»chiMic-

ncn «iobi-n Sectioiicn der Uisquis. Aritlim. Die ucliti* Section, auf dit- an nu-hren Stelleii vcrwieson wirtl

tuul clic tîjtvM wnl anfanga mit dcn (ibrijjcn zu verûileiitliehcii beubsichtiKtc, fiiultt sic-h untur seim-n Ilund-

Mchriftvn. ])n cr die Ausarbcitung dersclbcn aber nicht in glek-her Weise aljjjcsclilossen liât wk- dit der

sitliun «pttcn Sertiiinen, stj «ïrd sic in dicser Au«({iibf dcu arithmt'ti.iclicn Alihundluntrcn dus Xathlnsac» sich

;m<e!iliossen.

Textandertinj^n sind in den l)i-=<|u. Ar. nur an folgcridni StclU-tt vorgcnummcn

In Art. m sind Mu bcidi-n Kinsclmltungi-n {ii > u) und (> lîj wd – is.V.i, ->;A's) irmjjcfUKl «ortlcn.

In Art. lus. Ih-munstr. i«t 'iii serk- (1) u tvrniinos ussu jic-r p divisi biles, l termini* Jier jf divisiliiles,

t- terminus \>vr p* divisibilcs etc.' statt in série (I) u terminos esse per p divisibles ncque vpw ]ier

ir, h terminus per J>* non «utem per /i3 divisibilos, r n-rmimis; ]ier ;/3 non utitcm per /)' etc.' jfcseljtt

wiirdvn.

In Art. \i" III sind die iiaeh 'Si cnini+4 vel – h £ r (mod. ;i), erit AA =ir/- (mod. if,), ademim- ter-

minus i(ii – bh) per ii ilivMÏbili-i.' in der Auxgahr vun isoi noeb fal^undcn Wurte mulltiqui- mn\>

!{<t–-bl>).' iHisjji-lnsseii.

In Art. 13« ist ùlieridl 2\'«+i statt -i^u uud demuni'li ; stutt i »ls <licjcuij;i' Xnhl. \n* m wt-U-her «

jitilenlalls nicht licrali^elil |rvsetxt wtmleil.

lu Art. ia« liiuteti' der Schlui« der CntursuchaiiK ûber den Kall (i) 'J-'ucilc vero perspicitur, <x 'Ma ru-

i|ualioiu' deduci pusse Imec tïji/th, ±u/,)ill<ï, ±,,n'hlip; c|uac «un ii« ijunv in (Jj inwiiimus c<m-

VL-niunt. In relicjuis iiutein dfinuiisiniUo ust uadvni.' Dinwx ist gemilss di-r X»te ^eiindcrt. dii- (jai'hs

duni Art. der Ablituidlung ï'krtmiuiitu uril/imttki ilriiioiistralin nuai bcijjeiïi'tt liât: 'Haud alis rc

«rit, luvKHi uli<|ucm emirum, ijui neseiu qun negligeiifti in illtus duiuunstntifinii vxpusitiom-iii irn-psit.

hic indteare atqui- curriffere. Vag. (lus) inde a 1.(1 4) nitiocinia sequemia sunt suli*titiirndu: Kacile

vero perspicitur, ex ista acr|uuliuue deduei posse Itnvc a'ji li/i (a) ±u/Utu'fi); ±uh Up.{•().

Kx (*) t|uud cuiinmil cum (a; in (•) wquitur perindu ut illic, esse vc-1 simul hltp, hllu\ vel k.Yji, /«'.

Sed in tant priori fnrrt per (î), alla' contra byp. uuuro eril liKp, iideoijui- per (7) etûiin -iX/i.

*78 8CHLU88BEMERKCS9.

In Art. 17 1 ist sufolge einer handiochrittlichon Bemorkung 'in qua A nec inoior quant <j\D, C, iiec minor

quam M' ntatt 'in qua A non >iD, S non > C non <^T gesetet wofden.

In Art. U4. Melhodm teetmdv. ist 'Quum a non i-rit >v''î-i>» omnes formai) quai* hoc modu prodeunt,nranifesto erunt reduetae.' gesotet statt 'Si quai- formai- hoc modo prodeunt, in quibuS a>v'}D,orunt reiiciendae, roliquae vero omnes inunil'i'sto crunt reductae.'

lu Art. no VI onthûlt die frtlhcre Aingabc unter dun positivi-n Uetermimuiten vonderForm *.»-(-&,far

«clchi' die AnsMihl dvr CUmcn in der (.-igentlich priniltivoii Ordnung drciiiml grôssor ist nts div in

der uni-igentlich primitivvn uuch di-n Dftcmiiimnt sut, dein aber von buidvu Arten glcich vicl Clus-

stn «ugehârwn.

In Art. 302 ist ziiftilgi' einer hundselmftlichen Ik-merkung tlic Anzalil der Cluswn flir Uns iwciti- 'lauscnd

di-r nviratiren Determinunti-n r.\i 'iw:> angcgcbiMi und nk-ht zu a-<io:i, wiv in der frUhem Ausgabi- «ont.

In Art. 308 sind far die Ciassiflcutionen II. i; II. s IV. die Mc-ngeii di-r Dvtemiinnntcn nuch den im

Nttchltt»* vargefundenon Tnfcln m :t\, n, «» angi-gi-beii and nichl wic in dur friîljiM-un Aiwpilw «i

32, 4^, 01.

In Art. 325 ht •ut, nt±i, 23t±: 2J/ + î3< + u, 2s; + io. lits di-lctis supmtitra invpimmtur

119, 12T qui duo soli ipsi ('valorem quiidratum conciliant', gesetzt statt 'Ut, ï:U±: 1U±T,

ut±<j, t.it±\i). His ddi'tis suptrstitfs invi-niuntur 11si, 127, m, c quibus duo priores soli ipsiV valorem quadratum conciliant.'

In Art..in» IV sind die Worte 'quum pro plvrixquc ulih ncquutionibus eubicis, qunruin radiecs onnies rca-

lcs sunt simul unguli et ratiiini* trk-ctio evitari ncqueat.' lîie nuf: V. g, pm î =. sola trisectio

anguli', falgtcn, und der.ii fnriclitîgkeit G»css in seinem Iltindvs(.-ni]ilare notirt luit aus|î<-lu«*ui. •

Diu Noten auf Sfite so, ma, ) :i: ni, 2 •<; un, sind déni hondschriftlichen Xui-hla«e «itlclmt.

Die «UMere Vonn ist bei der nouon Ausjr^lii- xur Krli-iclileruiuf der L'cbi-wicht uini^oti AbanderunKcn

fttgeti duu Druck diese.s Wurke* int JnhreiMii unterworfcn, nmn glaubte sidi dnzu uni so mc-hr berechtigt,als Chais ausgexprochenerWciw uuch in uiiduritii l'uukti-n uuf Hiiumeruparniss llûcksicht genummen. Viele

Kunnrlu, die derTextzeile cinjçcschlossen warc-n, sind uligciiondert li«wu<geset!!t. Uic InhulHunstilien, die

xuMiiimengestullt <lcm A\'«rko vorangingcii, sind aueh den eiiwelnen AbilitilunK«i und niclit mu- iKn sectio-

nen wie in der orstun Ausgabi- bi-igvlugt, die «UgmieiiK-ri'ii danintor sind den Siitcn als ïbtr^clirift jjoffi'bc-n.

«

GOTTIXCrEN.

OEPUOCKT IX UKK DIETEKiCHSCHKX UNIVKRiilTATS-UUL'CKKKEl

W. (II. 8AK8TSKH.