Documenta Mathematica - .Documenta Mathematica ... Ordered Configuration Spaces of Spheres 115

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  • Documenta Mathematica

    Gegrundet 1996 durch die

    Deutsche Mathematiker-Vereinigung

    Decomposing the trefoil knotinto two linked twisted unknotted filaments

    by crossover collision, see page 695ff.

    Band 5 2000

  • Documenta Mathematica veroffentlicht Forschungsarbeiten aus allen ma-thematischen Gebieten und wird in traditioneller Weise referiert.

    Documenta Mathematica erscheint am World Wide Web unter:http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta

    Artikel konnen als TEX-Dateien per E-Mail bei einem der Herausgeber ein-gereicht werden. Hinweise fur die Vorbereitung der Artikel konnen unter derobigen WWW-Adresse gefunden werden.

    Documenta Mathematica publishes research manuscripts out of all mathe-matical fields and is refereed in the traditional manner.

    Documenta Mathematica is published on the World Wide Web under:http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta

    Manuscripts should be submitted as TEX -files by e-mail to one of the editors.Hints for manuscript preparation can be found under the above WWW-address.

    Geschaftsfuhrende Herausgeber / Managing Editors:

    Alfred K. Louis, Saarbrucken louis@num.uni-sb.deUlf Rehmann (techn.), Bielefeld rehmann@mathematik.uni-bielefeld.dePeter Schneider, Munster pschnei@math.uni-muenster.de

    Herausgeber / Editors:

    Don Blasius, Los Angeles blasius@math.ucla.eduJoachim Cuntz, Heidelberg cuntz@math.uni-muenster.deBernold Fiedler, Berlin (FU) fiedler@math.fu-berlin.deFriedrich Gotze, Bielefeld goetze@mathematik.uni-bielefeld.deWolfgangHackbusch, Leipzig (MPI) wh@mis.mpg.deUrsula Hamenstadt, Bonn ursula@math.uni-bonn.deMax Karoubi, Paris karoubi@math.jussieu.frRainer Kre, Gottingen kress@math.uni-goettingen.deStephen Lichtenbaum, Providence Stephen Lichtenbaum@brown.eduAlexander S. Merkurjev, LosAngeles merkurev@math.ucla.eduAnil Nerode, Ithaca anil@math.cornell.eduThomas Peternell, Bayreuth peternel@btm8x1.mat.uni-bayreuth.deWolfgang Soergel, Freiburg soergel@sun7.mathematik.uni-freiburg.deGunter M. Ziegler, Berlin (TU) ziegler@math.tu-berlin.de

    Title Page: Decomposing the trefoil knot into two linked twisted unknottedfilaments by crossover collision, see page 695ff.

    ISSN 1431-0635 (Print), ISSN 1431-0643 (Internet)

    SPARCLeading Edge

    Documenta Mathematica is a Leading Edge Partner of SPARC,the Scholarly Publishing and Academic Resource Coalition of the As-sociation of Research Libraries (ARL), Washington DC, USA.

    Address of Technical Managing Editor: Ulf Rehmann, Fakultat fur Mathematik, UniversitatBielefeld, Postfach 100131, D-33501 Bielefeld, Copyright c 2000 for Layout: Ulf Rehmann.Typesetting in TEX, Printing: Schury Druck & Verlag, 83064 Raubling, Germany.

  • Documenta Mathematica

    Band 5, 2000

    Atallah AffaneFormules de Representation Integralepour les Domaines de Cartan 113

    Karl-Heinz Hoffmann, Victor N. StarovoitovZur Bewegung einer Kugelin einer zahen Flussigkeit 1521

    A. Iliev and D. MarkushevichThe Abel-Jacobi Map for a Cubic Threefoldand Periods of Fano Threefolds of Degree 14 2347

    N. Christopher PhillipsA Classification Theoremfor Nuclear Purely Infinite Simple C-Algebras 49114

    Eva Maria Feichtner and Gunter M. ZieglerThe Integral Cohomology Algebras ofOrdered Configuration Spaces of Spheres 115139

    Laurent Bonavero and Shigeharu TakayamaSome Boundedness Results forFano-Like Moishezon Manifolds 141150

    Jinya NakamuraOn the Milnor K-Groups ofComplete Discrete Valuation Fields 151200

    Elke WilczokNew Uncertainty Principlesfor the Continuous Gabor Transformand the Continuous Wavelet Transform 201226

    Claudia WulffTransitions from Relative Equilibriato Relative Periodic Orbits 227274

    Jens LieberumThe Number ofIndependent Vassiliev Invariants inthe Homfly and Kauffman Polynomials 275299

    Heinz KonigOn the Inner Daniell-Stoneand Riesz Representation Theorems 301315

    iii

  • Erez Lapid and Jonathan RogawskiStabilization of periods of Eisenstein series andBessel distributions on GL(3) relative to U(3) 317350

    Andrew BakerIn-Local Johnson-Wilson Spectraand their Hopf Algebroids 351364

    Hans-Georg Ruck and Ulrich TippHeegner Points and L-Series of AutomorphicCusp Forms of Drinfeld Type 365444

    J. F. JardineMotivic Symmetric Spectra 445552

    Ivan KauszA Modular Compactificationof the General Linear Group 553594

    Ralph J. BremiganPseudokahler Forms on Complex Lie Groups 595612

    Michael BrinkmeierStrongly Homotopy-CommutativeMonoids Revisited 613624

    Robert Lauter, Bertrand Monthubert, Victor NistorPseudodifferential Analysison Continuous Family Groupoids 625655

    M. V. BondarkoLocal Leopoldts Problemfor Rings of Integers in Abelian p-Extensionsof Complete Discrete Valuation Fields 657693

    Bernold Fiedler and Rolf M. MantelCrossover Collision of Scroll Wave Filaments 695731

    iv

  • Documenta Math. 1

    Formules de Representation Integrale

    pour les Domaines de Cartan

    Atallah Affane

    Received: May 31, 1999

    Communicated by Joachim Cuntz

    Abstract. For a bounded, symmetric and circled domain D inCn, considered as the unit ball of some Jordan triple system V , wegive Koppelman-Leray and Cauchy-Leray formulas. These formulassupply us integral operators for solving the equation u = f whenf is a closed (0, q) form with coefficients in C0(D). These operators,constructed by the help of the generic norm of V , are invariant bysome Lie subgroup in the group of biholomorphic transformations ofD and the solutions obtained satisfy an estimation of growth at theboundary.

    2000 Mathematics Subject Classification: 32M15, 32F20.Keywords and Phrases: -problem, bounded symmetric domains.

    1. introduction.

    Nous appellerons domaine de Cartan tout ouvert borne D de Cn qui soit

    symetrique, cest a dire que pour tout z de D, il existe une transformationbiholomorphe involutive Aut(D) dont z est un point fixe isole.

    cercle, cest a dire quil contient lorigine et quil est stable par les trans-formations du type z eitz, t R.

    Un domaine de Cartan est dit irreductible sil nest pas produit de deuxautres domaines. La classification de tels domaines fournit quatre classesdenombrables et deux domaines exceptionnels, le premier dans C16, le seconddans C27. Pour la classe des boules de Lie et le premier domaine exceptionnel,des formules de representation integrale ont ete etablies par Roos [7]. Plus tard,Hachaichi [2] a donne, pour la classe du disque generalise, une formule permet-

    tant de resoudre le -probleme avec une estimation de croissance au bord. Dansce travail, nous mettons a profit une approche algebrique, approche developpeedans [5] et qui consiste a considerer un domaine de Cartan D comme la bouleunite dun systeme triple de Jordan V (associe canoniquement) pour obtenirdeux formules generales, la premiere du type Koppelman-Leray, la seconde du

    Documenta Mathematica 5 (2000) 113

  • 2 Atallah Affane

    type Cauchy-Leray. Ces formules, construites a laide de la norme generiquede V , fournissent des operateurs de resolution f Tf du -probleme avecune donnee dans C0(D) et verifiant des estimations de la forme:

    supzD| Tf(z)d(z, D)N | C sup

    zD| f(z) |

    ou d est la distance usuelle et N un entier positif fonction de la dimension, durang et du genre de V . Il savere que T est invariant par un certain sous groupede Lie H du groupe des automorphismes de V , cest a dire:

    T (hf) = h(Tf) h H.Lorsque D est irreductible, H nest autre que le stabilisateur de l originedans Aut(D). Dans la seconde section, nous rappellons certains elements de latheorie des systemes triples de Jordan qui permettent dune part de prouverque les domaines de Cartan sont a pseudo-bord, de lautre de construire demaniere naturelle des sections de Leray. Dans les sections suivantes, nousdonnons les formules annoncees et comme tous les elements intervenant dansleur elaboration sont invariants par le stabilisateur de lorigine dans Aut(D),linvariance des operateurs de resolution sera assuree.

    2. Les domaines de Cartan et les systemes triples de Jordan.

    La reference pour toutes les notions introduites dans cette section est [4], [5]et [6]. Nous appellerons systeme triple de Jordan (en abrege STJ) un espacevectoriel V de dimension finie sur C muni d un triple produit

    V V V Vx y z { x y z }

    C-bilineaire et symetrique en (x, y), C-antilineaire en z et verifiant lidentite

    {xy{uvz}} {uv{xyz}} = {x{yuv}z} {{uvx}yz}.Dans la suite, nous utiliserons les notations suivantes:

    {xyz} = D(x, y)z = Q(x, z)y ; Q(x) = 12Q(x, x)

    B(x, y) = 1D(x, y) +Q(x)Q(y)et nous designerons par Aut(V ) le groupe des isomorphismes h de V tels que:

    h({xyz}) = {h(x)h(y)h(z)} x, y, z V.Un sous-systeme de V est un sous espace-vectoriel W tel que {WWW} W.Un ideal est un sous-espace vectoriel I tel que {IV V } + {V IV } I et nous

    Documenta Mathematica 5 (2000) 113

  • Representation Integrale pour les Domaines de Cartan 3

    dirons que V est simple sil ne possede pas dideal propre, semi simple sil estsomme dideaux simples. Un STJ est dit hermitien positif (en abrege STJHP )si la forme hermitienne u | v = trD(u, v) est definie positive. En fait, toutSTJHP est semi-simple. Pour tout ce qui suit, V designe un STJHP dedimension n et . | . son produit hermitien.Un element e de V est dit tripotent si Q(e)e = e. Lorsque deux tripotents e ete verifient lune des proprietes equivalentes suivantes:

    D(e, e) = 0 ; D(e, e) = 0 ; {eee} = 0 ; {eee} = 0nous dirons quils sont fortement orthogonaux. A tout tripotent e correspondune decomposition de V dite de Pierce. De fait, D(e, e) est un endomorphismede V auto-adjoint pour la forme hermitienne . | . et ne peut admettre commevaleurs propres que 0, 1 et 2. Dou la decomposition or