Download · 5 4. Mischungsaufgabe Ein Apotheker möchte 65 %igen Alkohol herstellen. Er mischt dazu...

Jens Conrad, Hardy Seifert

Führerscheine – Terme und Gleichungen Schnell-Tests zur Lernstandserfassung

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Führerscheine – Terme und

GleichungenSchnell-Tests zur Lernstandserfassung

Auer Führerscheine Mathematik Klasse 8

http://www.auer-verlag.de/go/dl6672

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Einfache Gleichungen

Conrad, Seifert: Auer Führerscheine Mathematik Klasse 8 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth

10 Terme und Gleichungen

✂

1. Bestimme die Lösungsmengen.

a) x + 13 = 65 L = {–68}L = {78}L = {52}

b) 7x = –84 L = {11}L = {–12}L = {77}

c) 5x + 12 = –33 L = {–7}L = {–11}L = {–9}

d) 56

5 33 34

x x– –=L = {21}L = {22}L = {24}

2. Welche Gleichungen sind äquivalent (gleichwertig)?

(a | c)(b | c)(a | d)(c | f)(c | e)(d | f)(b | f)(a | d)

3. Bestimme die Lösungsmengen der Gleichungen.

a) 223

5 29

10– x x+ + =L = {–55}L = {–21}L = {–13}

b) 2 34

312 6

11x x x– = +–L = {–12}L = {–11}L = {141}

______ 9 P.

a6x + 52 – 4x = 82 d2x = 30

b5x = 120 e1,25 – 3,2x = 2,25 – 1,6x

cx = – 58

f58

15x =

Muster z

ur Ansic

ht

Einfache Gleichungen


Terme und Gleichungen 11

✂

1. Bestimme die Lösungsmengen.

a) x – 27 = 31 L = {58}L = {4}L = {–32}

b) 3x = 21 L = {5}L = {6}L = {7}

c) 11x + 78 = 50 – 3x L = {–2}L = {–3}L = {–5}

d) 38,6 – 5,6x = 4,2x – 30 L = {–8}L = {7}L = {6}


(a | c)(b | c)(a | e)(c | f)(b | e)(b |d)(d | f)(a | d)

3. Bestimme die Lösungsmengen der Gleichungen.

a) x x4

3 53

2 5+ + = , L = 25{ }

L = 23{ }

L = 27{ }

b) 52 5

2 63

130

x x x+ = + +L = {2}L = {3}L = {1}

______ 9 P.

a2,8x + 4,6 = –14,9 – 3,7x dx = 8

b79 = 3x e2x + 62 = 5x – 17

cx = –3 f4,5x = 36

Muster z

ur Ansic

ht



✂

Einfache Klammerterme

1. Welche Terme sind äquivalent (gleichwertig)?

a) 15

10 25x +( )2x + 57x10 + 5x

b) (3x – 6) · 2x 6x – 12x6x2 – 12x6x2 + 12x

2. Vereinfache folgende Terme soweit wie möglich.

a) 21 – (5x – 25) – 2x 46 + 7x7x – 446 – 7x

b) 3(4x – 12) – (6x – 21) 6x – 1515 – 21x6x + 21

c) 4 25

15 3– +x( )2,6 – 6x

2 45

6– x

2,8 + 6x

3. Welche Fläche/Flächen passt/passen zu folgenden Termen?

13

2

da

b

c

e a) A = b · c

b) A = (c – e) · a

c) A = (d + e) · (a + b)

d) A = (c – d) · a

e) A = (d + e) · b

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

______ 10 P.

2

3

1+2+3

1

2Muster z

ur Ansic

ht



✂

Einfache Klammerterme

1. Welche Terme sind äquivalent (gleichwertig)?

a) (3 – 5x) · 4x 20x2 + 12x12 + 20x12x – 20x2

b) 38

16 48x x( )+6x + 18x2x + 6x2

6x + 18x2


a) 5x + 5(2 – 4x) + 15 –15x – 2525 – 15x15 – 25x

b) 2(13 + 4x) – (5x – 13) 13x + 1313 + 3x39 + 3x

c) 24 34

44 36– +( )x–33x – 31 023x + 83727 – 41x


13

4 2

d

g

f

hk

a

b

cd

ea) A = e · a

b) A = (h – b) · d

c) A = (f – d) · (a + b)

d) A = (k – a) · (f – d)

e) A = (h – a) · d

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

______ 10 P.

1

3

1 + 2

2

4Muster z

ur Ansic

ht



✂


3 4

21

c da

fb

e

a) A = (f + e) · (c + d)

b) A = (a – c) · (b – e)

c) A = (c + d) · (b – f)

d) A = (b – e) · (a – d)

e) A = (e + f) · (a – d)

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.


a) (a – b)(c + d) ac – ad – bc – bdac + bc – bd + adad – bc – bd + ac

b) (5 + s)(t + 3) 15 + st + 5t + 3s3t + 5s + st + 1515st + 15 + 5t + 3s

c) (2x – y)(u – 3v) 3vy – 2ux – uy – 6vx2ux + uy – 3yv + 6vx2ux – 6vx – uy + 3yv

d) (3s + 2t)(3s – 2t) 6s2 + 12st – 4t2

9s2 – 6st + 4t2

9s2 – 4t2


(c | d)(b | c)(d | e)(e | f)(b | c)(d | f)(b | f)(a | b)

______ 12 P.

1+2+3+4

2

3 + 4

1

1 + 3

Produkte von Summen

e(x + y)(x – y) + y2 fx2

a2x2 – x + 12xy – 6y d2x2 – 6

c14x + (2x + 2)(x – 8) + 10 b(0,5x + 3y)(4x – 2)

Muster z

ur Ansic

ht



✂


3 4

21

c da

fb

e

a) A = (e + f) · (a – d)

b) A = (a – c) · b

c) A = a · (b – f)

d) A = (c + d) · (b – e)

e) A = (a – d) · (b – f)

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.

Fläche Nr.


a) (7 + 5a)(6 – 2a) 42 + 44a – 10a2

16a – 30a2 + 4242 – 10a2 + 16a

b) (5s – 3t)(2s – 4v) 10s – 20sv – 6st + 12tv12tv – 6st + 10s2 – 20sv6st – 20sv + 10s2 – 12tv

c) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 3x + y5 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠5x – y7

2 24 3 10x + xy – y5 7 49

2 25 21xy – y + 0,4x7 35

2 22 1 15x + xy – y5 7 49


(c | d)(b | c)(d | e)(e | f)(b | c)(c | f)(b | f)(a | b)

______ 11 P.

1 + 3

2 + 4

3 + 4

1 + 2

3

Produkte von Summen

f–t2

c(s – t)(s + t) – s2

dt2 – 9t + 8st e25t2 – (3t – s)(3 + 8t) – 3s

b2 2 13 4

5 s + 6 s + 1 st3

a524

8 6 4 5( )( )s t s t+ + –

Muster z

ur Ansic

ht



✂

1. Bestimme die Lösungsmenge.

a) 3(x + 1) = 21 L = {8}L = {4}L = {6}

b) 5x – (15 + 7x) = 5 L = {–5}L = {–10}L = {–2}

c) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠12(6x – 10) = 4 x – 22

L = {1,6}L = {1,2}L = {2,2}

d) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 15 – 19 = (56x + 96)x + 105 88

L = {3}L = {–5}L = {–4}

2. Entscheide, ob die Gleichung genau eine Lösung hat, ob sie allgemeingültig oder unlösbar ist.

a) 2 5 12

4 20( ) ( )x x– = –L = { }L = {4}L = �

b) 3(7 – 4x) – (8 – 2x) = 43 L = { }L = {–3}L = �

c) 4 3 12

8 3 112

17x x+ + =⎛⎝

⎞⎠

⎛⎝

⎞⎠–

L = { }L = {3}L = �

d) 23

6 3 5 25

5 10( )( ) ( )x x x x+ = +–L = { }

L =

L = �

______ 8 P.

Gleichungen mit Klammern

Muster z

ur Ansic

ht



✂


a) 7(x – 4) = 35 L = {7}L = {9}L = {8}

b) 3x – (21 + 5x) = –15 L = {–5}L = {–3}L = {–4}

c) 3(4x – 2) = 4(0,5x – 14) L = {6}L = {–5}L = {–7}

d) – + = + +14

12 16 35

15 10 2( ) ( )x xL = {–1}L = {–3}L = {–4}

2. Entscheide, ob die Gleichung genau eine Lösung hat, ob sie allgemeingültig oder unlösbar ist.

a) 3(2x – 16) = –(x – 8) L = { }L = {8}L = �

b) 2(5 – 1,5x) – 3(4 – x) = 3 L = { }L = {2}L = �

c) 1 19

8 15 2 6 28 81 7=x x x– , ( – ) –⎛

⎝⎞⎠

L = { }L = {3}L = �

d) ( )( ) ( )( )2 3 5 3 14

2 4 4 6x x x x+ + = + +−L = { }

L = – 97{ }

L = �

______ 8 P.

Gleichungen mit Klammern

Muster z

ur Ansic

ht



✂

1. Zahlenrätsel

Vergrößert man eine Zahl um fünf und multipliziert man das Ergebnis mit der Zahl 4, so erhält man dasselbe, als wenn man zum Siebenfa-chen der Zahl die Zahl 11 addiert. Wie heißt die Zahl?

3529

2. Altersrätsel

Herr Maier ist heute viermal so alt wie sein Sohn Marc. In fünf Jahren wird er noch dreimal so alt wie Marc sein. Wie alt wird Marc in 5 Jahren sein? Löse mithilfe einer Gleichung.

Die Gleichung lautet:

11131517

3. Aufgabe aus der Geometrie

Der Umfang eines Sechsecks beträgt 315 cm. Jede folgende Seite ist

a) um 3 cm größer als

b) zweimal so groß wie

die vorhergehende Seite. Wie lang ist die kürzeste Seite?

a) 33424551

b) 2345

4. Mischungsaufgabe

Ein Apotheker möchte 65 %igen Alkohol herstellen. Er mischt dazu 5 Liter 50 %igen Alkohol mit einer unbekannten Menge 70 %igen Alko-hol. Wie viel Liter 70 %igen Alkohol benötigt er?

9121518

5. Bewegungsaufgabe

Ein Passagierfl ugzeug fl iegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 600 km/h von Frankfurt nach New York. Nach welcher Zeit (Stunden) holt ein zweites Flugzeug, welches 2 Stunden später startet, das Passagier-fl ugzeug ein? Das zweite Flugzeug fl iegt dabei mit einer Durchschnitts-geschwindigkeit von 800 km/h.

68

1012

______ 6 P.

Anwendungsaufgaben von Gleichungen

Muster z

ur Ansic

ht



✂

1. Zahlenrätsel

Ziehst du vom 5-Fachen einer Zahl die Zahl 7 ab, so erhältst du das Dreifache der um eins vergrößerten Zahl. Wie heißt die Zahl?

x = 3x = 5x = 2x = 9

2. Altersrätsel

Anna ist 3 Jahre älter als Marie. Vor 3 Jahren war sie noch doppelt so alt wie Marie. Wie alt ist Anna heute? Löse mithilfe einer Gleichung.

1311

97

3. Aufgabe aus der Geometrie

In einem Quadrat wird eine Seite um 4 cm verlängert und die andere Seite um 3 cm verkürzt. Der Flächeninhalt des entstandenen Recht-ecks ist um 6 cm2 kleiner als der Flächeninhalt des Quadrates. Wie lang ist eine Seite des Quadrats?

4 cm5 cm6 cm7 cm

4. Mischungsaufgabe

Für einen Speisequark wird Speisequark mit einem Fettgehalt von 40 % mit Quark mit 20 % Fettgehalt gemischt. Die Mischung besteht aus 100 g des 20 %igen Quark und 400g des 40 %igen Quark. Wel-chen Fettgehalt (in Prozent) hat die Mischung?

34 %35 %36 %37 %

5. Bewegungsaufgabe

Die beiden Familien Müller und Meier wollen gemeinsam in den Ur-laub fahren. Der Wohnort von Familie Müller ist 120 km weiter vom Ferienort entfernt als der Wohnort von Familie Meier. Beide Familien fahren gleichzeitig mit dem Auto los. Müllers fahren mit einer Durch-schnittsgeschwindigkeit von 165 km/h und Meiers mit einer Durch-schnittsgeschwindigkeit von 135 km/h. Nach wie vielen Stunden wird Familie Meier von Familie Müller eingeholt?

3456

______ 5 P.

Anwendungsaufgaben von Gleichungen

Muster z

ur Ansic

ht



✂

1. Wende die binomischen Formeln an.

a) (4a – 2b)2 = __________________________________ 16a2 – 4b2 + 16ab8a2 – 16ab + 2b2

4b2 – 16ab + 16a2

b) (2,5x – 5y)(2,5x + 5y) = ________________________ 5x2 – 25y2

6,25x2 – 25

6 2514

2 2x y–

c) (7x + 3y)2 = __________________________________ 49x2 + 21xy + 9y2

42xy + 9y2 + 49x2

49x2 + 42xy + 6y2

2. Ergänze. Notiere das Lösungspaar.

a) (s – )2 = s2 – 6st + (____|____)

b) ( + y)2 = 121 + + y2 (____|____)

c) ( + 2 23

a)( – 2 23

a) = 2,25x2 – (____|____)

3. Berechne folgende Produkte bzw. Quadratzahlen mithilfe der binomischen Formeln im Kopf.

a) 84 · 76 = _____________________________________________ Lösung: (_________)

b) 732 = ________________________________________________ Lösung: (_________)

c) 872 = ________________________________________________ Lösung: (_________)

4. Schreibe als Produkt. Wende die dritte binomische Formel „rückwärts“ an.

a) x2 – 81y2 (9y + x)(9y – x)(x – 9)(x + 9)(x + 9y)(x – 9y)

b) 481

a2 + 118

a + 164

29

116

2

a +( )29

18

2

+( )a

29

18

2

a +( )______ 11 P.

(3t/9t2)

(11/22y)

6 384

5 329

7 569

Die binomischen Formeln

1,5x/7 19

a2( )

Muster z

ur Ansic

ht

Conrad, Seifert: Auer Führerscheine Mathematik Klasse 8 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth ✂

1. Wende die binomischen Formeln an.

a) (9x + 0,8y)(9x – 0,8y) = ________________________ 81 1625

2 2x y–

81 – 0,64y2

81x2 – 1,6y2

b) (4x + 11y)2 = _________________________________ 16x2 + 88xy + 111y2

44xy + 121y2 + 8x2

121y2 + 88xy + 16x2

c) (4a – 2b)2 = __________________________________ 16a2 – 4b2 + 16ab8a2 – 16ab + 2b2

4b2 – 16ab + 16a2

2. Ergänze. Notiere das Lösungspaar.

a) ( + 5z)2 = 169 + + 25z2 (____|____)

b) (0,1a + )(0,1a – 1,2b) = – 1,44b2 (____|____)

c) (12 – )2 = 144 – + 4t2 (____|____)

3. Berechne folgende Produkte bzw. Quadratzahlen mithilfe der binomischen Formeln im Kopf.

a) 23 · 27 = _____________________________________________ Lösung: (_________)

b) 332 = ________________________________________________ Lösung: (_________)

c) 482 = ________________________________________________ Lösung: (_________)

4. Schreibe als Produkt. Wende die dritte binomische Formel „rückwärts“ an.

a) x2 – 32xy + 256y2 (x – 16y)2

(16x – y)2

(x – 8y)2

b) 4,41a2 – 125

b2x4(2,2a – 0,2bx2)(2,2a + 0,2bx2)

2 1 15

2 1 15

2 2, ,+ bx bx⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠

2 110

15

2 110

15

2 2a bx a bx+⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠

______ 11 P.

(13/130z)

(1,2b/0,01a2)

(2t/48t)

621

1 089

2 304

Die binomischen Formeln

)

Muster z

ur Ansic

ht



✂


a) 5(x + 1) + 5x = 75 L = {5}L = {–8}L = {7}

b) –2(5x + 2) – 28 = –2 L = {–7}L = {–3}L = {8}

c) 5(3 + 2x) – 2(4x + 23) = –39 L = {–4}L = {–5}L = {6}

d) − −47

56 14 94 18

104 264( ) ( )x x+ = +L = {7}L = {5}L = {–3}

2. Wende die binomischen Formeln an und löse die Gleichung.

a) (x + 7)2 = (x – 3)2 L = {–3}L = {–2}L = {–4}

b) (x – 5) · (x + 5) + 37 = (x – 6)2 L = {2}L = {4}L = {6}

3. Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an und bestimme die Lösungs-menge.

a) x2 + 22x + 121 = 0 L = {–8}L = {–9}L = {–11}

b) 2x2 – 18 = 0 L = {–2; 2}L = {–3; 3}L = {–4; 4}

______ 8 P.

Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln

Muster z

ur Ansic

ht

Conrad, Seifert: Auer Führerscheine Mathematik Klasse 8 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth ✂


a) 3(x – 11) + 5x = 103 L = {19}L = {–15}L = {17}

b) –3(4x + 12) – 64 = –40 L = {–7}L = {–5}L = {3}

c) 11(2 + 4x) – (2x – 5) + 3x = 297 L = {6}L = {–5}L = {7}

d) 0 5 8 10 25

3 2 9 2 25, ( ) ( , , )x x+ =− −L = {–9}L = {5}L = {6}

2. Wende die binomischen Formeln an und löse die Gleichung.

a) (x – 3) · (x + 3) + 2 = (x –7)2 L = {4}L = {6}L = {–2}

b) (2x – 5)2 – 2x2 = 2(x – 5)(x + 5) L = 3 34{ }

L = {2}

L = 114{ }

3. Wende die binomischen Formeln „rückwärts“ an und bestimme die Lösungs-menge.

a) x2 + 14x + 49 = 0 L = {–5}L = {–7}

b) 4x2 – 676 = 0 L = {–11; 11}L = {–3; 3}L = {–13; 13}

______ 8 P.

Gleichungen mit Klammern und binomischen Formeln

Muster z

ur Ansic

ht

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