Dualität Zweiphasen-Simplexalgorithmus Lösung ...pbecke2m/or1/dual3.pdfBisher: Für Anwendung...

Dualitat Zweiphasen-Simplexalgorithmus

Losung allgemeiner linearer Programme

Bisher: Fur Anwendung des Simplexalgorithmus muss eine primaloder eine dual zulassige Basislosung vorliegen.

Fur allgemeine lineare Programme konnen wir dies direktnicht gewahrleisten.

Im Folgenden: Unter Ausnutzung dualer Techniken leiten wir eineMethode her, mit der zu jedem LP, dass eine optimaleLosung hat, eine solche berechnet werden kann.

Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester 2014 277 / 298


Allgemeine Form

Wir gehen von einem LP mit n Variablen und m Nebenbedingungen aus.Die Zielfunktion habe die Gestalt

min oder max z =nX

j=1

cjxj

unter den Nebenbedingungen

nX

j=1

aijxj

8<

:

�=

9=

; bi fur i = 1, . . . ,m

und Nichtnegativitatsbedingungen

xj � 0 fur einige oder alle j = 1, . . . , n.



Anforderungen fur primalen Simplex

zu maximierende Zielfunktion

nur Gleichheitsbedingungen

Nichtnegativitatsbedingungen fur alle Variablen

ein nichtnegativer Vektor auf der rechten Seite

ein primal zulassiges Ausgangstableau in kanonischer Form, d.h. mitm Einheitsvektoren, die eine Basis bilden



Zielfunktion, rechte Seite, Vorzeichenbeschrankung

(1) Falls eine zu minimierende Zielfunktion vorliegt, multipliziere diesemit �1 und maximiere �z .

(2) Multipliziere alle Gleichungen und Ungleichungen derNebenbedingungen mit bi < 0 mit dem Faktor �1.

(3) Ersetze jede nicht vorzeichenbeschrankte Variable xj durch zweivorzeichenbeschrankte Variablen x 0j � 0 und x 00j � 0 mit xj = x 0j � x 00j .



Damit hat das lineare Programm die Gestalt:

max z =nX

j=1

cjxj


nX

j=1

aijxj bi fur i = 1, . . . ,m1

nX

j=1

aijxj � bi fur i = m1 + 1, . . . ,m1 +m2

nX

j=1

aijxj = bi fur i = m1 +m2 + 1, . . . ,m1 +m2 +m3

und Vorzeichenbedingungen

xj � 0 fur j = 1, . . . , n



Bemerkungen:

n ist die Anzahl der Variablen nach Schritt (1) bis (3).

m1,m2,m3 bezeichnet dabei die Anzahl der -, �- und=-Nebenbedingungen.

m := m1 +m2 +m3



Erzeuge Normalform

(4) Wandle jede -Nebenbedingung durch eine Schlupfvariable um ineine Gleichung der Form

nX

j=1

aijxj + xn+i = bi

(5) Wandle jede �-Nebenbedingung durch eine Schlupfvariable um ineine Gleichung der Form

nX

j=1

aijxj � xn+i = bi

Alle Schlupfvariablen xn+i sind vorzeichenbeschrankt, also xn+i � 0. Jetzthaben wir Normalform, aber keine kanonische Normalform und damit nochkein primal zulassiges Tableau.



Kunstliche Variablen

(6) Addiere zu jeder ursprunglichen �-Nebenbedingung eine kunstlicheVariable yk � 0, so dass die Nebenbedingung lautet:

nX

j=1

aijxj � xn+i + yk = bi

(7) Addiere zu jeder ursprunglichen =-Nebenbedingung eine kunstlicheVariable yk � 0, so dass die Nebenbedingung lautet:

nX

j=1

aijxj + yk = bi



Jetzt haben wir ein Simplextableau in kanonischer Form mit derBasislosung

xm+i = bifur die xm+i von ursprunglichen -Nebenbedingungen und

yk = bkfur die ursprunglichen �- und =-Nebenbedingungen.

Problem: Nur wenn fur alle kunstlichen Variablen yk = 0 gilt, ist diesesLP aquivalent zum ursprunglichen LP.



Zweite Zielfunktion

(8) Bilde aus den kunstlichen Variablen die zusatzliche Zielfunktion

minY =m2+m3X

k=1

yk

Entsteht bei der Minimierung Y = 0, dann wird die Erweiterungnivelliert und wir haben eine zulassige Basislosung.

(9) Multipliziere die zusatzliche Zielfunktion mit dem Faktor �1, um eineMaximierung zu erhalten.

max y = �Y =m2+m3X

k=1

�yk



(10) Lose alle Gleichungen mit kunstlichen Variablen nach diesen auf

yk = bi �

0

@nX

j=1

aijxj � xm+i

1

A

bzw.

yk = bi �nX

j=1

aijxj

und ersetze sie in der zweiten Zielfunktion durch die gewonnenenAusdrucke.Dieser Schritt dient dazu, dass die Koe�zienten der yk in derZielfunktionszeile zu 0 werden zu lassen, damit ein primal zulassigesTableau vorliegt.

Insgesamt haben wir jetzt ein primal zulassiges Simplextableau vorliegen.



Zweiphasen-Simplexalgorithmus

Algorithmus 5.15

Bearbeite das durch die Schritte (1) bis (10) aufgestellte Tableau in zweiPhasen:

1 Ero↵nungsphaseMaximiere die Zielfunktion y = �Y mit Hilfe des primalenSimplexalgorithmus. Transformiere dabei die ursprunglicheZielfunktion z stets mit.

I Gilt fur das Optimum y < 0, dann existiert keine zulassige Losung furdas ursprungliche LP.

I Gilt y = 0, dann streiche die Zeile mit der zweiten Zielfunktion und diekunstlichen Variablen und fahre mit Phase 2 fort.

2 OptimierungsphaseMaximiere die erste Zielfunktion mit dem primalenSimplex-Algorithmus.



Bemerkung

In der Ero↵nungsphase nahert man sich schrittweise einer Ecke derMenge X der zulassigen Losungen.

In der Optimierungsphase bestimmt man ausgehend von dergefundenen Ecke aus der Ero↵nungsphase eine optimale Losung desLP.



Beispiel: Zweiphasen-Simplexalgorithmus

Beispiel 5.16

Wir betrachten das folgende LP:

minZ = �x1 � 2x2


x1 + x2 8 (I)2x1 + x2 � 2 (II)x1 � x2 = �3 (III)

x1, x2 � 0

(1)max z = �Z = x1 + 2x2



Fortsetzung Beispiel.

(2) Wir multiplizieren (III) mit �1 und erhalten die neue Gleichung (III):

�x1 + x2 = 3

(3) entfallt, alle Variablen sind vorzeichenbeschrankt

(4,5) Wir fuhren fur (I) und (II) Schlupfvariablen ein:

x1 + x2 + x3 = 8 (I)2x1 + x2 � x4 = 2 (II)

(6,7) Kunstliche Variablen fur (II) und (III):

2x1 + x2 � x4 + y1 = 2 (II)�x1 + x2 + y2 = 3 (III)




(8) Zusatzliche Zielfunktion:

minY = y1 + y2

(9) Optimierungsrichtung der zusatzlichen Zielfunktion herumdrehen:

max y = �Y = �y1 � y2

(10) Wir losen (II) und (III) nach y1 bzw. y2 auf

y1 = 2 � 2x1 � x2 + x4y2 = 3 + x1 � x2

und setzen die Terme der rechten Seiten in die Zielfunktion ein.Hierdurch entsteht

y = �5 + x1 + 2x2 � x4




Damit konnen wir das 1. Tableau fur die Ero↵nungsphase aufstellen:

BV x1 x2 x3 x4 y1 y2 bx3 1 1 1 0 0 0 8y1 2 1 0 �1 1 0 2y2 �1 1 0 0 0 1 3z �1 �2 0 0 0 0 0y �1 �2 0 1 0 0 �5

Wir maximieren y und wahlen dazu x2 als Pivotspalte. Damit ist y1 diePivotzeile.




2. Tableau Ero↵nungsphase:

BV x1 x2 x3 x4 y1 y2 bx3 �1 0 1 1 �1 0 6x2 2 1 0 �1 1 0 2y2 �3 0 0 1 �1 1 1z 3 0 0 �2 2 0 4y 3 0 0 �1 2 0 �1

Man beachte, dass auch die Zeile fur die ursprungliche Zielfunktionangepasst wurde.Jetzt bleibt nur x1 als Pivotspalte, dann ist y2 die Pivotzeile.




3. Tableau Ero↵nungsphase:

BV x1 x2 x3 x4 y1 y2 bx3 2 0 1 0 0 �1 5x2 �1 1 0 0 0 1 3x4 �3 0 0 1 �1 1 1z �3 0 0 0 0 2 6y 0 0 0 0 1 1 0

Damit ist die Ero↵nungsphase abgeschlossen und wir haben mit

x =

0

BB@

0351

1

CCA

eine Startecke fur die Optimierungsphase.




Wir streichen die kunstlichen Variablen und die zusatzlicheZielfunktionszeile und erhalten damit das 1. Tableau derOptimierungsphase:

BV x1 x2 x3 x4 bx3 2 0 1 0 5x2 �1 1 0 0 3x4 �3 0 0 1 1z �3 0 0 0 6

Es liegt noch keine optimale Losung vor.Pivotspalte wird x1, Pivotzeile x3.




2. Tableau Optimierungsphase:

BV x1 x2 x3 x4 bx1 1 0 1/2 0 5/2x2 0 1 1/2 0 11/2x4 0 0 3/2 1 17/2z 0 0 3/2 0 27/2

Damit terminiert der Zweiphasen-Simplexalgorithmus.

x =

52

112

!ist eine optimale Losung des originaren LP,

mit Zielfunktionswert Z = �272 .



Zusammenfassung

Zu jedem primalen LP gibt es ein korrespondierendes duales LP.

Die Betrachtung sowohl des primalen als auch des dualen LPermoglicht tiefergehende Einblicke in das zu Grunde liegende Problem.

Zueinander duale LPs sind eng miteinander verbunden: gegenseitigeSchranken, Gleichheit der Zielfunktionen in den Optima,Entsprechungen bei Struktur-, Schlupf-, Basis-, undNichtbasisvariablen.

Zwei-Phasen-Simplexalgorithmus zur allgemeinen Losung von linearenProgrammen.


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