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Dynamik, Stabilitat und Optimierung

Anne Leucht

Otto-Friedrich-Universitat BambergWintersemester 2019/20

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Ablauf

Vorlesungen: Do. 08 - 10 Uhr, F21/03.83

Ubungen: Fr. 08 - 10 Uhr (14-tagig), F21/03.8425.10., 08.11., 22.11., 6.12., 20.12. od. 10.01.,17.01., 31.01., 07.02.

Dozent: Anne LeuchtI Sprechstunde:

F in Vorlesungszeit donnerstags, 10:30-11:30 Uhr, F21/00.73! Voranmeldung per E-Mail erforderlich

I E-Mail: [email protected]

PrufungI Klausur: 60 MinutenI Termin: tba

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Veranstaltungsbegleitendes MaterialVC-Kurs: Dynamik, Stabilitat und Optimierung

Selbsteinschreibung

→ Einschreibeschlussel:

Vorlesungsfolien(kapitelweise sukzessive bereitgestellt, jeweils dienstags)

Aufgaben fur Ubungen (Hausaufgaben und Prasenzaufgaben)

spater: Probeklausur

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Veranstaltungsbegleitendes MaterialLiteratur laut Modulhandbuch

Chiang (1984), Fundamental Methods of Mathematical Economics,McGraw-Hill (New York)

Chiang (1992), Dynamic Optimization, McGraw-Hill (New York)

Christensen, und Kiefer. (2009), Economic Modeling and Inference,Princeton University Press (Princeton, New Jersey)

Dobbener (1998), Analysis - Studienbuch fur Okonomen, 2. Auflage,Oldenbourg (Munchen)

Feichtinger und Hartl (1986), Optimale Kontrolle okonomischer Prozesse,de Gruyter (Berlin)

Hamilton (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press(Princeton, New Jersey)

Sydsaeter, Hammond, Seierstad, und Strom (2005), FurtherMathematics for Economic Analysis, Pearson (Harlow)

Tu (1994), Dynamical Systems, Springer (Berlin).

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Inhalt

DynamikBetrachtung sich andernder Systeme

(z.B. zeitliche und/oder raumliche Dynamik)

↙ ↘

1 Stabilitat

? Gelangt ein System auseinem speziellen oderbeliebigen Startszenariokommend in einenGleichgewichtszustand?

? Charakterisierung desGleichgewichts

? Entwicklung des Systems,wenn Gleichgewicht nichterreichbar

2 Optimierung

Ziel: Maximierung /Minimierung einer Zielgroßedie vom gesamten(zeitlichen) Verlauf dermodellbeschreibendenFunktionen abhangt

? Bedingungen fur die Existenzvon Losungen

? Umgang mitNebenbedingungen

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1 Methoden der Stabilitatsanalyse1.1 Differenzengleichungen

1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

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Motivation

Beispiel 1.1 (Makrookonomisches Gutermarktmodell)

Yt Einkommen in Periode t

Ct Konsum in Periode t

c marginale Konsumquote (c ∈ (0, 1))

Ca autonomer Konsum

Ia autonome Investitionssumme

(1) EinkommensfunktionYt = Ia + Ct

(2) KonsumgleichungCt = Ca + c Yt−1

(3) Gleichgewichts-/Stabilitatsbedingung

Yt = Yt−1 = Y

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MotivationBeispiel 1.1 (Makrookonomisches Gutermarktmodell)Herleitung der statischen Gleichgewichtslosung Y

exogene Großen c , Ca, Ia

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Motivation

Beispiel 1.1 (Makrookonomisches Gutermarktmodell)Analyse der statischen Gleichgewichtslosung Y

formal:

Y =Ia + Ca

1− c= f (Ia,Ca, c)

mit f (x1, x2, x3) = x1+x21−x3

komperativ-statische Analyse: Wie andert sichGleichgewichtslosung Y bei Anderung der Modellparameter Ia, Ca, c?

→ exemplarisch Anderung in Abhangigkeit von Anderung in Ia:

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Motivation

Beispiel 1.1 (Makrookonomisches Gutermarktmodell)Von der statischen zur dynamischen Analyse

! bei statischer Analyse unberucksichtigt: zeitliche Aspekte

z. B. gelangt Modell durch ”Parameterschock” inUngleichgewichtszustand

→ Findet es nach gewisser Zeit in Gleichgewicht zuruck?

Beispiel:I Ausgangszustand Ia = 200, Ca = 100, c = 0.5

→ zugehoriges Gleichgewichtseinkommen Y = 300/0.5 = 600

I Parameterschock: Ia wachst sprunghaft auf Ia = 300I zugehorige stabile Losung Y = 400/0.5 = 800

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MotivationBeispiel 1.1 (Makrookonomisches Gutermarktmodell)Von der statischen zur dynamischen Analyse

Fortsetzung Beispiel:I Startkonstellation nach Schock:

Ia = 300, Ca = 100, c = 0.5,Y0 = 600

I zeitliche Entwicklung (Sequenztabelle):

C1 =

Y1 =

C2 =

Y2 =

C3 =

Y3 =

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MotivationBeispiel 1.1 (Makrookonomisches Gutermarktmodell)Dynamische Analyse

Betrachtung eines beliebig gestarteten Modells

→ Eingangsparameter Ia, Ca, c ,Y0

Iteration:

Y1 = Ia + Ca + cY0

Y2 = Ia + Ca + cY1 = Ia + Ca + c(Ia + Ca + cY0)

= (Ia + Ca)(1 + c) + c2Y0

Y3 =

...

Yt = Ia + Ca + c Yt−1 = (Ia + Ca)t−1∑k=0

ck + ctY0

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MotivationBeispiel 1.1 (Makrookonomisches Gutermarktmodell)Dynamische Analyse

→ bei beliebig gestartetem Modell - nach t Schritten:

Yt = (Ia + Ca)t−1∑k=0

ck + ctY0

= (Ia + Ca)1− ct

1− c+ ctY0

→ Systemstabilisierung:

limt→∞

Yt =Ia + Ca

1− climt→∞

(1− ct) + limt→∞

ctY0

=

→ Modell ist dynamisch stabil:bei fester Parameterkonstellation und beliebigem Startwert Y0

konvergiert Modellvariable Yt gegen GleichgewichtswertAnne Leucht Dynamik, Stabilitat & Optimierung WS 2019/20 13 / 50

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MotivationBeispiel 1.1 (Makrookonomisches Gutermarktmodell)Dynamische Analyse

bisher: zeitdiskrete Analyse: t = 0, 1, 2, 3, . . . Monate/Jahre o.a

→ Differenzengleichungen [Abschnitt 1.1]I zur Erinnerung

Yt = Ia + Ca + c Yt−1, t ∈ N bzw. Yt+1 = Ia + Ca + c Yt , t ∈ N0

I hieraus erhalt man

Yt+1 − Yt = Ia + Ca + (c − 1)Yt

weitere Moglichkeit: zeitkontinuierliche Betrachtung t ∈ [0,∞)[Abschnitt 1.2]

Y (t + δ)− Y (t) = ? fur δ nahe 0

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1 Methoden der Stabilitatsanalyse1.1 Differenzengleichungen

1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

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1.1 DifferenzengleichungenHeuristik

Folge (xt)t∈Z

∆ linearer Differenzenoperator

∆xt = xt − xt−1

→ Hintereinanderausfuhrung als Potenz notiert

∆2xt = ∆(∆xt) =

→ Differenzen k-ter Ordnung als Funktion von xt , xt−1, . . . , xt−kdarstellbar

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1.1 Differenzengleichungen

Definition 1.1.

(i) Fur (reelle bzw. komplexe) Folgen (xt)t∈N0 und (qt)t∈N0 sowie eineFunktion f : Rk → R bzw. f : Ck → R heißt

f (xt+k , . . . , xt) = qt , t ∈ N0, (1)

Differenzengleichung (kurz: DG).

(ii) Die Folge (qt)t∈N heißt Storglied.

(iii) Eine Differenzengleichung der Form

xt+k + ak−1xt+k−1 + · · ·+ a0xt = q, t ∈ N0, (2)

mit a0 6= 0 heißt lineare Differenzengleichung (kurz: LDG) k-terOrdnung mit konstanten Koeffizienten.

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1.1 Differenzengleichungen

Definition 1.2.

(i) Eine lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizientenk∑

l=0

alxt+l = q, t ∈ N0, ak = 1,

heißt homogen, falls q = 0.Andernfalls wird sie inhomogen genannt.

Beispiel 1.2 Beim einfuhrenden Gutermarktbeispiel 1.1 mit

Yt+1 = Ia + Ca + cYt

handelt es sich um eine

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1.1 DifferenzengleichungenInteressierende Fragestellungen

? Losungsmenge von DGen

→ in Beispiel 1.1: in Abhangigkeit vom Startwert existieren ∞ vieleLosungen (vgl. Folie 12)

? existiert Startwert x∗, der zu stationarer Losung xt = x∗ ∀t fuhrt

→ in Beispiel 1.1: Y0 = Y

? Gelangt ein System aus einem speziellen oder beliebigen Startszenariokommend in einen / nahe an einen Gleichgewichtszustand?

? Entwicklung des Systems, wenn Gleichgewicht nicht erreichbar

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1.1 Differenzengleichungen

Definition 1.3.

(i) Eine Folge (xt)t heißt (spezielle oder partikulare) Losung der DG(1) uber der Menge S ⊆ N0, wenn

f (xt+k , xt+k−1, . . . , xt) = qt , t ∈ S.

(ii) Eine Losung x∗ heißt stationare oder Gleichgewichts-Losung uberder Menge S , wenn

f (x∗, . . . , x∗) = qt , t ∈ S.

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1 Methoden der Stabilitatsanalyse1.1 Differenzengleichungen

1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Ziele:

Charakterisierung der Losungsmenge

Untersuchungen zur Existenz stationarer Losungen

Untersuchungen zur Stabilitat der DGen

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Satz 1.1 (Losbarkeit LDGen 1. Ordnung).

Die Losung einer LDG 1. Ordnung mit konstanten Koeffizientenxt+1 + axt = q und Startwert x0 ∈ R ist gegeben durch

xt =

{(−a)t

(x0 − q

1+a

)+ q

1+afur a 6= −1

x0 + qt fur a = −1.

Bemerkung:

∃! Losung zu jedem beliebigen Startwert

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beweis:

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beweis:

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beweis:

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.2 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)

zur Erinnerung: Yt+1 = Ia + Ca + cYt , d.h.

Losungsformel zu (beliebigem) Startwert Y0:

I a = q =

→ Yt = (−a)t(Y0 − q

1+a

)+ q

1+a

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Korollar 1.2 (Losbarkeit homogener LDGen 1. Ordnung).

Die Losung einer homogenen LDG 1. Ordnung mit konstantenKoeffizienten xt+1 + axt = 0 mit Startwert x0 ∈ R ist gegeben durch

xt = (−a)t x0.

Beweis:

Satz 1.1:

xt =

{(−a)t

(x0 − q

1+a

)+ q

1+a fur a 6= −1

x0 + qt fur a = −1, t ∈ N.

mit q = 0

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Stabilitat von Losungen im homogenen Fall (x0 = 2)

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Satz 1.3 (Dynamische Stabilitat von Losungen).

In der Situation von Satz 1.1 gelten folgende Aussagen

(a) Fur a = −1

(i) liefert im homogenen Fall jeder Startwert x0 eine Gleichgewichtslosungx∗ = x0,

(ii) divergiert die Folge (xt)t unabhangig von der Wahl von x0 fur q > 0bestimmt gegen ∞ und fur q < 0 bestimmt gegen −∞.

(b) Fur a 6= −1 liefert x0 = q1+a eine stationare Losung x∗ = x0 = q

1+a .Fur beliebigen Startwert x0 6= x∗ und

(i) |a| < 1 ist die DG global asymptotisch stabil, d.h.

limt→∞

xt = x∗ =q

1 + a

(ii) |a| > 1 divergiert (xt)t ,

(iii) a = 1 oszilliert (xt)t auf x0 und q − x0.

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beweis von Satz 1.3:Satz 1.1:

xt =

{(−a)t

(x0 − q

1+a

)+ q

1+a fur a 6= −1

x0 + qt fur a = −1.

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beweis von Satz 1.3 (Fortsetzung):Satz 1.1: fur a 6= −1

xt = (−a)t(x0 −

q

1 + a

)+

q

1 + a

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.3 (Spinnweb-Modell)

Elementarmarkt:

Dt Nachfrage zur Zeit t

Pt Marktpreis zur Zeit t

St Angebot zur Zeit t

I unterstellen lineare Zusammenhange: mit α, β, γ, δ ∈ RI γ < 0, δ > 0

(1) Dt = α + γ Pt

(2) St = β + δ Pt−1

(3) Gleichgewicht St = Dt

Gleichsetzen:

→ LDG 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten fur (Pt)t

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.3 (Spinnweb-Modell) [Fortsetzung]

Losung (Anwendung von Satz 1.1)

Stabilitatsanalyse fur α > β → Anwendung von Satz 1.3I Fallunterscheidung:α = 10, β = 0, P(0) = 0.5

(i) δ < −γ (globale asymptotische Stabilitat)

(ii) δ > −γ (Divergenz)

(iii) δ = −γ (gleichmaßige Oszillation)

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.3 (Spinnweb-Modell) [Fortsetzung](i) δ < −γ (globale asymptotische Stabilitat)

I Skizze fur γ = −1, δ = 0.7

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.3 (Spinnweb-Modell) [Fortsetzung]

(i) δ < −γ (globale asymptotische Stabilitat)

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.3 (Spinnweb-Modell) [Fortsetzung]

(ii) δ > −γ (Divergenz)

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.3 (Spinnweb-Modell) [Fortsetzung]

(ii) δ > −γ (Divergenz)

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.3 (Spinnweb-Modell) [Fortsetzung]

(iii) δ = −γ (gleichmaßige Oszillation)

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1.1 Differenzengleichungen1.1.1 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beispiel 1.3 (Spinnweb-Modell) [Fortsetzung]

(iii) δ = −γ (gleichmaßige Oszillation)

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Differenzengleichung 1. Ordnung: f (xt+1, xt) = qt

→ betrachten folgenden Spezialfall:

(a) f (xt+1, xt) = g(xt) + xt+1, (b) qt = q, ∀t

alsoxt+1 = q − g(xt) =: F (xt)

ausgeschlossen ist damit z.B.

? Kriterien fur Stabilitat von Losungen

? Im Falle der Existenz stationarer Losungen: Welchen Einfluss hatWahl des Startpunktes auf Konvergenzverhalten?

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Zur Existenz von Gleichgewichtslosungen

Definition Gleichgewicht: x∗ = F (x∗)

→ aquivalente Gleichgewichtsbedingung: F (x∗)− x∗ =

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Zur Stabilitat von Gleichgewichtslosungen

Definition 1.4 (Asymptotische Stabilitat / Instabilitat).

Die Differenzengleichung erster Ordnung der Form xt+1 = F (xt), t ∈ N,moge eine Gleichgewichtslosung x∗ besitzen. Dann heißt x∗

(i) global asymptotisch stabil, wenn fur jeden Startwert x0:

limt→∞

xt = x∗.

(ii) lokal asymptotisch stabil, wenn

∃ ε > 0, sodass ∀ x0 mit |x0 − x∗| < ε gilt limt→∞

xt = x∗.

(iii) instabil, wenn

∃ ε > 0 : ∀ x mit 0 < |x − x∗| < ε gilt |f (x)− x∗| > |x − x∗|.Anne Leucht Dynamik, Stabilitat & Optimierung WS 2019/20 43 / 50

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Zur Stabilitat von Gleichgewichtslosungen

in Situation (i) von Definition 1.4: ∃! Gleichgewichtslosung

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Zur Stabilitat von Gleichgewichtslosungen

Satz 1.4.

Es sei F : I → I , fur ein I ⊆ R und x∗ eine Gleichgewichtslosung vonxt+1 = F (xt). Ist F in einem offenen Intervall U ⊆ I um x∗ stetigdifferenzierbar, so

(i) impliziert |F ′(x∗)| < 1, dass x∗ lokal asymptotisch stabil ist und

(ii) |F ′(x∗)| > 1 impliziert, dass x∗ instabil ist.

Ist F sogar stetig differenzierbar auf I und gilt |F ′(x)| < 1, ∀x ∈ I , dannist x∗ global asymptotisch stabil.

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beweis von Satz 1.4

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Beweis von Satz 1.4 (Fortsetzung)

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Phasendiagramm: graphische Losung

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Phasendiagramm: graphische Losung

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1.1 Differenzengleichungen1.1.2 Nichtlineare Differenzengleichungen 1. Ordnung

Phasendiagramm: graphische Losung

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