- Dynamik von Drehbewegungen -

Prof. Dr. Ulrich Hahn

WS 2015/2016

Physik im Studiengang Elektrotechnik

Dynamik Drehbewegungen 2

Bewegung ausgedehnter Objekte

System aus (vielen) Massenpunkten

starrer Körper: Feste Positionen der Massen-

punkte untereinander

Bewegungen eines starren Körpers:

Translation Bahnen der Massenpunkte sind kongruent

Rotation Bahnen der Massenpunkte: konzentrische Kreise

Freiheitsgrade der Rotation:

3 Punkte fest Keine Bewegung

2 Punkte fest

1 Punkt fest

0 Punkte fest

Bewegung um feste Achse

Bewegung bewegliche Achse (1 Pkt. fixiert)

Bewegung um freie Achsen

Dynamik Drehbewegungen 3

Trägheitsmoment (Drehmasse) des starren Körpers

Rotationsenergie

)1(

Starrer Körper rotiert um feste Achse:

kinetische Energie eines Massenpunktes:

22

112

11)1(

22 r

mv

mEkin

kinetische Energie des starren Körpers:

22

1 2

i

N

i

irot r

mE

N

i

ii rm1

2

2

²

N

i

ii rmJ1

2: m²kg][ J

2

2

JErot

Dynamik Drehbewegungen 4

Trägheitsmoment

J hängt ab von: Massenverteilung des starren Körpers Drehachse

starrer Körper: beliebig viele Trägheitsmomente

Spezialfälle: Drehachsen durch den Schwerpunkt

3 ausgezeichnete Achsen:

1. J: maximal

2. J: minimal

3. auf 1) und 2)

senkrecht aufeinander

J1, J2, J3: Hauptträgheitsmomente des starren Körpers

Homogene Massenverteilung: Hauptträgheitsachsen:

Symmetrieachsen

Hauptträg-

heitsachsen

Dynamik Drehbewegungen 5

Berechnung von Trägheitsmomenten

(starre) Körper kontinuierliche Massenverteilung

Beschreiben durch die Dichteverteilung bzw. r(r) )(s

r

iii Vrm r )(

r

N

i

iii

NV

VrrJi 1

2

0)(lim r

.KstarrerVolumen

Vrr d²)(

Volumenintegral in karthesischen Koordinaten:

zyxrzyxJ

RichtungzinBegrenzung

RichtungyinBegrenzung

RichtungxinBegrenzung

d)d)d²),,((( r

Sukzessives Integrieren über x, y, z Variable, über die nicht integriert wird, als Konstanten behandeln

Dynamik Drehbewegungen 6

Beispiel:

Hauptträgheitsmoment eines Quaders

x

y

z

ba

c

Vd

xr

'y

'z

homogene Dichte constr

Rotation um x-Achse

rQuader

xx VrJ d²

Koordinatenursprung

im Schwerpunkt

²)²(12

cbm

J x

Dynamik Drehbewegungen 7

Hauptträgheitsmomente einfacher Körper

Dynamik Drehbewegungen 8

Steinerscher Satz

Berechnung von J für Achsen, die nicht

durch den Schwerpunkt verlaufen:

Kinetische Energie eines Systems von Massenpunkten:

²2

i

i

ikin v

mE ²

2²

2

1 *

i

i

iS v

mvM

²2

1 Arot JE

d

)²(2

dM

²dMJJ SA

²)²(2

1 SJdM

)²(2

S,i

i

i rm

Dynamik Drehbewegungen 9

Trägheitsmoment komplexer Objekte

Objekt zerlegen in einfache Teilobjekte

i

iObjekt JJ

Speziell: Aussparungen

AussparungAussparungohneObjekt JJJ

Dynamik Drehbewegungen 10

0

0

:

v

z

Kreisbewegung: vektorielle Beschreibung Massenpunkt:

r

Bewegung um z-Achse mit

„positive“ Drehrichtung

Zusammenhang zwischen : r,,v

rv

Vektorprodukt

Regel

Eigenschaften des Vektorproduktes : ba

a

b

bac

)sin( b,aba

Ebeneb,a

bc,ac

baab

Rechte Hand Regel

x

y

Dynamik Drehbewegungen 11

Zusammenhang Bahn- und Winkelgrößen

Winkelgröße Bahngröße

Geschwindigkeit

Beschleunigung tangential

Beschleunigung radial

differentielles Wegstück

rv

rat

var

d rs

dd

Korrespondierende Größen Translation-Rotation

Translation Rotation

m J

Ft J.

Dynamik Drehbewegungen 12

radial tangential

äußere Kraft auf rotierenden Massenpunkt

äußere Kraft beschleunigte Kreisbewegung t

r

t

va

d

)d(

d

d

t

eere

t

eree

t

reer

ta r

rrrd

d

d

d

d

d

d

d

bewegliche

Achse

variabler

Radius Kraftrichtung

tangentiale Kraft Beschleunigungsarbeit Erot

consttF

gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung

E

A

s

s

ttB samW

d, J)(²

2

1 22

AErm

rer

²

Dynamik Drehbewegungen 13

Drehmoment

tFrJ :

Vektor // Drehachse J // Drehachse

Definition Drehmoment: :eJ FrM

Nm][ M

Newton II für Rotation

Kraft Drehmoment in Richtung einer Drehachse:

Angriffspunkt außerhalb der Drehachse

in eine Ebene zur Drehachse gerichtet ist

nicht // zum Abstandsvektor Drehachse-Angriffspunkt gerichtet ist

Starrer Körper: äußere Tangentialkraft

Beschleunigung aller Massenpunkte

ermM i

i

i

i

i

2 eJ tFrM

Dynamik Drehbewegungen 14

Kraftwirkung auf starre Körper

äußere Kraft System von Massenpunkten:

SaMF

in Richtung der Kraft

unabhängig vom Angriffspunkt

Beschleunigung des Schwerpunktes

Drehbewegung Drehmoment

)()( FMFMM

FrFr

Frr

)(

F

F

F

r

r

unabhängig vom Ursprung von r,r

nur abhängig vom Abstand der

Angriffspunkte der Kräfte F, F‘

äußere Kräfte : i

iS FaM

Kräftepaar: 21 FF

0 Sa

Schwerpunkt ruht

Rotation um Schwerpunkt

Dynamik Drehbewegungen 15

Kraftwirkung auf starre Körper

Lage des Angriffspunktes einer Kraft:

Translation: ohne Bedeutung

Rotation: FrrFrM //

)( Fr

Wirkungslinie:

Gerade durch den Angriffspunkt einer Kraft

in Richtung der Kraft

Verschiebung des Angriffspunktes auf

der Wirkungslinie:

gleiche Änderung des Bewegungszustandes

Kräfte an starre Körper sind linienflüchtig

Dynamik Drehbewegungen 16

Mehrere Kräfte wirken auf starren Körper

Schnittpunkt der Wirkungslinien

Angriffspunkt der Resultierenden

Vektorielle Addition der Kräfte

Gleiche und entgegengesetzt

gleiche Resultierende greifen im

Schwerpunkt an

Translation Resultierende im S

Rotation Kräftepaar

Sonderfall: Gleichgewicht bzgl. Translation: i

iF 0

bzgl. Rotation: i

iM 0

Hebelgesetz

Dynamik Drehbewegungen 17

Starrer Körper im Schwerefeld

Bedingungen für Gleichgewicht?

Translation:

Kraft zum Verhindern des freien Falls

i

ai Fgm 0

i

ia mgF

gM

Rotation: ir

aF

ar

0 aa

i

ii Frgmr

1. M/rmri

iia )(

Fa greift im Schwerpunkt an

2. g//rMrm a

i

ii

stabiles Gleichgewicht

labiles Gleichgewicht

Dynamik Drehbewegungen 19

„Kapazität“

vmp

Drehimpuls

Newton II (Translation): t

pF

d

d

Analog für Rotation: FrM

t

L

d

d

Definition Drehimpuls: prL

Nmss

mkgm][ L

gilt allgemein, nicht

nur für feste Achsen

Bewegungszustand eines starren Körpers:

Translation:

Rotation prL

J

Ströme

F

M

Ende

Start

t

t

tFp d

kurzzeitige Wechselwirkung: Ende

Start

t

t

tML d

:LM

und abhängig vom Ursprung r

Dynamik Drehbewegungen 20

Drehimpulse verschiedener Bewegungen

Massenpunkt:

gleichmäßige

Kreisbewegung

const.L

Ursprung im

Kreismittelpunkt

r

const.L

Massenpunkt:

gleichförmige

Bewegung

L rotiert um

die Achse

Ursprung auf

der Achse

r .L const

r

p

Dynamik Drehbewegungen 21

L

Drehimpuls des Schwerpunkts

Drehimpuls im Schwerpunktsystem

System von Massenpunkten: Drehimpuls

Drehimpuls: mengenhafte Größe

i

iSystem LL

i

S

*

i

*

ii Lvrm

1r 2r

Drehimpuls rotiert um die Achse

ML

im Schwer-punkt

L

L

//L

= const

Starrer Körper aus 2 Massenpunkten (gleiche Massen):

Dynamik Drehbewegungen 22

Ausgewuchteter starrer Körper

1r 2r

1L

2L

L

const.21 LLL

//L

0 M

Zur Drehachse symmetrische

Massenverteilung

gilt für beliebige Wahl des

Ursprungs von r1 und r

2

Keine Drehmomente,

keine Kräfte in Lagern

Achse Hauptträgheitsachse

Freie Achsen: Hauptträgheitsachsen, um die sich ein starrer Körper

nach Einwirkung eines Drehmomentes dreht

Stabile Rotation: Achse mit Jmax oder Jmin

Dynamik Drehbewegungen 23

Drehimpulserhaltung

System von Massenpunkten:

abgeschlossenes System

Massenpunkte wechselwirken

1

3

2

Gesamtdrehmoment der inneren Kräfte

2r

32F

12F

)( 31211 FFrM

)( 23133 FFr

)( 32122 FFr

Newton III: ijji FF

Wechselwirkungskräfte wirken parallel zur Verbindungslinie

0KräfteinnereM

const.SystemsenesabgeschlosL

externSystem ML

Dynamik Drehbewegungen 24

Kreiselbewegung

Ein Punkt des starren Körpers fixiert: Rotation um bewegliche Achse

Einfach: Fixierung im Schwerpunkt

Rotation um Hauptträgheitsachse

//L

stabile Rotation

Präzession des Kreisels: Fixierung außerhalb des Schwerpunktes

LM

L rotiert um P

tML

L

L

M

P

LL

|L|

t|M|

|L|

|L|

|L|

|M||:|

tP

allgemein: PLM