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  • Dynamik von Wellenpaketen in verschiedenenPotentialen

    Mirko Gabski

    Seminar zur Theorie der Atome, Kerne und kondensierten Materie imWintersemester 2012/13

    14.11.2012

  • Motivation

    In der Vorlesung bisher (fast) nur stationare Zustande

    Wellenpakete naher am Teilchenbild als z.B. ebene Wellen

    Wie sieht die Zeitentwicklung aus?

    Wie hangt die Zeitentwicklung vom Potential ab?

    Wie hangt die Zeitentwicklung vom Aufbau des Wellenpakets ab?

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.2

  • Inhalt

    Wellenpaket ohne Potential

    Wellenpaket im Potential des harmonischen Oszillators

    Wellenpaket im unendlich tiefen Potentialtopf

    ohne Storungmit Storung

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.3

  • Einleitung

    zeitabhangige Schrodinger-Gleichung :

    [ }

    2

    2m2 + V (x)

    ](x , t) = i}

    t(x , t)

    Separation: (x , t) = (x)(t) = (x)eiEt/} = (x)eit

    zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung :[ }

    2

    2m2 + V (x)

    ](x) = E(x)

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.4

  • Einleitung

    Formale Losung der Schrodinger-Gleichung fur diskrete Zustande :

    (x , t) =n

    cnn(x)eiEnt/} mit cn =

    (x , 0)n(x)dx ,

    wobei (x , 0) die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t = 0 ist.Fur kontinuierliches Spektrum von Zustanden: Summe durch Integralersetzen

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.5

  • Ohne Potential

    1-dim. Schrodinger-Gleichung fur ein freies Teilchen:

    }2

    2m

    2

    x2(x , t) = i}

    t(x , t)

    Separation: (x , t) = (x)(t) = (x)eiEt/} = (x)eit

    1 dim. zeitunabhangige Schrodinger-Gleichung fur ein freies Teilchen:

    }2

    2m

    2

    x2(x) = E(x)

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.6

  • Ohne Potential

    Ebene Welle als Losungsansatz

    (x) =12

    e ikx und2

    x2(x) =

    k22

    e ikx mit k2 =2mE

    }2

    Zeitabhangige Losung mit ebener Welle:

    (x , t) =12

    e i(kxt) mit (k) =}k2

    2m

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.7

  • Ohne Potential

    Wellenpaket allgemein als Summe uber alle ebenen Wellen mit Gewichtungdurch von Wellenzahl abhangiger Amplitude:

    (x , t) =

    dk (k)e i(kx(k)t) mit (k) =}k2

    2m

    Gausches Wellenpaket:

    (x , 0) =A2e

    x2

    2b2 e ik0x

    Normierung :

    = A = (22b2)14

    Abbildung : Einhullende eines GauschenWellenpakets

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.8

  • Ohne Potential

    Bestimmen von (k) durch Fourier-Transformation:

    (k) =12

    dk (x , 0)eikx

    =A2

    dk exp

    { x

    2

    2b2 i(k k0)x

    }

    = Ab exp

    {b

    2

    2(k k0)2

    }Losen des Integrals durch Ruckfuhrung auf Gau-Integral

    (k) ebenfalls gauformig!

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.9

  • Ohne Potential

    Berechnen von (x , t):

    (x , t) =

    dk (k) exp

    {i(kx }k

    2

    2mt)

    }

    =

    dk Ab exp

    {b

    2

    2(k k0)2

    }exp

    {i(kx }k

    2

    2mt)

    }

    =Ab

    212b

    2 + i }2m texp

    k0b2 + ix212b2 + i }2m t 1

    2b2k20

    Auch hier:Losen des Integrals durch Ruckfuhrung auf Gau-Integral

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.10

  • Ohne Potential

    Berechnen von |(x , t)|2:

    |(x , t)|2 =(x , t)(x , t)

    =A2b2

    2

    b4 +( }m t)2 exp

    {

    (x }k0m t)2

    b4 +( }m t)2}

    mit A2b =12

    und b(t) =1

    b

    b4 +

    (}mt

    )2= |(x , t)|2 = 1

    b(t)exp

    {

    (x }k0m t)2

    b(t)2

    }

    Propagierender Gaupeak mit zeitabhangiger Breite und Hohe

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.11

  • Ohne Potential

    x

    Hx,tL^2

    t=0

    t=t2

    t=2 t2

    Abbildung : Freies Wellenpaket zu den Zeitpunkten t = 0, t = t2 und t = 2t2

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.12

  • Ohne Potential

    Breite des Wellenpakets :

    b(t) =1

    b

    b4 +

    (}mt

    )2b(0) = b

    Zeit bis sich Breite verdoppelt :

    t2 =

    3b2m

    }

    Zahlenbeispiele:

    Staubkorn : m = 1 g und b = 1 mm t2 1, 642 1025 s, etwa5, 2 1017 JahreElektron : m = me = 9, 109 1031 kg und b = 0, 5 A t2 3, 74 1017 s

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.13

  • Inhalt

    Wellenpaket ohne Potential

    Wellenpaket im Potential des harmonischen Oszillators

    Wellenpaket im unendlich tiefen Potentialtopf

    ohne Storungmit Storung

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.14

  • Harmonischer Oszillator

    Schrodinger-Gleichung fur den 1-dim. HO:

    ( }

    2

    2m

    2

    x2+

    m

    22x2

    )(x , t) = i}

    t(x , t)

    zeitunabhangige Schrodinger Gleichung fur den 1-dim. HO:

    ( }

    2

    2m

    2

    x2+

    m

    22x2

    )n(x) = Enn(x)

    mit En = }(n +

    1

    2

    )n(x): Eigenzustande des harmonischen Oszillators

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.15

  • Harmonischer Oszillator

    Erzeugungsoperator a und Vernichtungsoperator a

    a =

    m

    2}

    (x +

    }m

    x

    )und a =

    m

    2}

    (x }

    m

    x

    )x und p mit a und a darstellbar:

    x =

    }

    2m(a + a) =

    x02

    (a + a) mit x0 =

    }m

    p = i

    }m2

    (a a) = i p02

    (a a) mit p0 =}m

    Eigenzustande n(x) mittels Erzeugungsoperator:

    n =ann1 =

    (a)nn!0

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.16

  • Harmonischer Oszillator

    Betrachten Funktion, die keine Eigenfunktion des Hamiltonoperators ist:

    a = wobei a0 = 00

    analog zu : a0 = 00

    Zustand ist Eigenfunktion von Vernichtungsoperator a komplexe Zahl

    Zustand nach Eigenfunktionen n des Harmonischen Oszillatorsentwickeln

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.17

  • Harmonischer Oszillator

    Betrachte dazu n| :

    n| =1n!an0| =

    1n!0|an =

    nn!0|

    Entwicklung von nach n als Summe von Eigenzustanden:Erinnerung: 1 =

    n=0 |nn|

    | =n=0

    |nn| = Cn=0

    nn!|n = C

    n=0

    (a)n

    n!|n

    Normierungskonstante C aus Normierungsbedingung:

    1 = | = C 2n=0

    ||2n

    n!= C 2e ||

    2= C = e||2/2

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.18

  • Harmonischer Oszillator

    Zeitentwicklung fur Eigenzustande des HO mit En = }(n + 1/2)

    n(x , t) = n(x)eiEnt/} = ne

    i(tn+t/2) = n(eit

    )neit/2

    Zeitentwicklung von (x , t) aus bekannter Zeitentwicklung derstationaren Zustande:

    (x , t) = e||2/2

    n=0

    (eit

    )nn!

    neit/2 oder

    (x , t) = (t)(x)eit/2 mit (t) = eit

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.19

  • Harmonischer Oszillator

    Erwartungswert des Ortes:

    x = (t)(x), x(t)(x) =x0

    2(t)(x), (a + a)(t)(x)

    =x0

    2((t) + (t)), x0 =

    }m

    , x =

    }

    2m(a + a)

    Mit (t) = ||e i(t) ergibt sich:

    x =

    2x0|| cos(t ) = A cos(t )

    Selbe Zeitabhangigkeit wie bei einer klassischen Schwingungmit Amplitude A =

    2x0||

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.20

  • Harmonischer Oszillator

    Berechnung von |(x , t)|2:Ausgehend von a(x) = (x):

    a =

    m

    2}

    (x +

    }m

    x

    )=

    12

    (x

    x0+ x0

    x

    )mit x0 =

    }m

    a(x) = (x)

    12

    (x

    x0+ x0

    x

    )(x) = (x)

    (x)

    x= (x/x20

    2/x0)(x)

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.21

  • Harmonischer Oszillator

    (x)

    x= (x/x20

    2/x0)(x)

    Variablen Transformation x = x

    2x0

    (x)

    x= x/x20(x) =

    m

    }x(x)

    Analog zum Grundzustand des HO 0(x) =(m})1/4

    em2} x

    2= Ce

    x2

    2x20

    0(x)

    x= x/x200(x) =

    m

    }x0(x)

    Grundzustand 0(x) ist Gauformig!

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.22

  • Harmonischer Oszillator

    (x) verschobener Grundzustand:

    (x) = 0(x) = 0(x

    2x0)

    Zeitabhangige Losung:

    (t)(x) = (t)(x)eit/2 mit (t) = eit = ||e it

    = eit/20(x

    2x20eit)

    |(t)(x)|2 =1x0

    exp

    {x

    2x0|| cos(t )x20

    }Ein gausches Wellenpaket, welches sich nicht verbreitert, da alleSummanden in Phase sind! Koharenter Zustand

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.23

  • Harmonischer Oszillator

    Abbildung : Koharenter Zustand fur x0 = 1, || = 1, = 2 und = 0 zu denZeitpunkten t = 0, t = 1/4 und t = 1/2

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.24

  • Inhalt

    Wellenpaket ohne Potential

    Wellenpaket im Potential des harmonischen Oszillators Wellenpaket im unendlich tiefen Potentialtopf

    ohne Storungmit Storung

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.25

  • Unendlicher Potentialtopf

    Potential:

    V (x) =

    {, x

  • Unendlicher Potentialtopf

    Formale Losung der Schrodinger-Gleichung:

    (x , t) =n

    cnn(x)eiEnt/} mit cn =

    ba

    (x , 0)n(x)dx ,

    wobei (x , 0) die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t = 0 ist.

    Mirko Gabski Dynamik von Wellenpaketen 14.11.2012 S.27

  • Unendlicher Potentialtopf

    Revival: Die Ausgangswellenfunktion (x , 0) erscheint fur allet = kTr mit ganzzahligem k wieder.

    Phasen zum Zeitpunkt Tr(revival t