Dynamische Makroökonomik - Aktuelles · I Konjunkturtheorie erklärt die kurzfristigen...

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Dynamische Makrokonomik Prof. Dr. Christian Bayer Universitt Bonn April 27, 2010 1 / 109

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Dynamische Makroökonomik

Prof. Dr. Christian Bayer

Universität Bonn

April 27, 2010

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Aufbau der Vorlesug

1. Teil 1: Problemstellung

1.1 Einleitung1.2 Trend und Zyklus1.3 Ein Wachstumsmodel als Konjunkturmodell?1.4 Ein einfaches RBC Modell

2. Teil 2: Theorie

2.1 Dynamische Programmierung2.2 Das RBC Modell als dynamisches Problem2.3 Markov Ketten2.4 numerische Methoden

3. Teil 3: Anwendungen

3.1 Hansen’s RBC Model3.2 Kritiken, Nutzungsintensität des Kapitals und andere Erweiterungen3.3 Investitionsentscheidungen

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Literatur

I McCandless, G. (2008): "The ABCs of RBCs: An Introduction toDynamic Macroeconomic Models", Harvard University Press,Cambridge

I Heer, B. and A. Maussner (2009), "Dynamic General EquilibriumModelling", 2nd edition, Springer, Berlin.

I Adda, J. and R. Cooper (2004): "Dynamic Economics", MIT Press,Cambridge.

I Ljungqvist, L. und T. Sargent (2004): "Recursive MacroeconomicTheory", MIT press, Cambridge.

I Stockey, N.L. and Lucas, R.E. with E.C. Prescott (1989): "RecursiveMethods in Economic Dynamics", Chapters 4 and 9, HavardUniversity Press, Cambridge.

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Termine

I Vorlesung immer HS K: Di. 16.15 - 17.45 Uhr, Do. 18.00 - 19.30Uhr

I 4 Tutorien alle CIP-3:I Benjamin Born ([email protected]): Mo. 8.30-10.00 Uhr; Mi.8.30-10.00 Uhr

I Johannes Pfeiffer ([email protected]): Di. 18.00 - 19.30 Uhr; Do.8.30 - 10.00 Uhr

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EinleitungTrend und Zyklus

Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Teil 1Problemstellung

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EinleitungTrend und Zyklus

Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Kapitel 1Einleitung

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Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Konjunktur- ODER Wachstumstheorie?

I Makroökonomik versucht die Veränderungen der großenökonomischen Aggregate (Output, Beschäftigung, Konsum,Investitionen, etc.) über die Zeit zu verstehen.

I Bis in die späten 70er Jahre des 20.Jhd. war eine dichotomeSichtweise üblich:

I Wachstumstheorie erklärte langfristige Veränderungen als Ergebnisvon Marktgleichgewichten, die dem rationalen, planenenden undvorausschauenden Verhalten ökonomischer Agenten entspringen.

I Konjunkturtheorie erklärt die kurzfristigen Schwankungen alsErgebnis von Ungleichgewichten im Markt, in denen kurzfristigdenkende Agenten nach ad hoc Regeln handeln.

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Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Moderne Makro

I Die moderne Makroökonomik (der letzten 30 Jahre) hebt diesenWiderspruch zwischen der Modellierung der kurzen und der langenFrist auf.

I Die Entscheidungsträger der Ökonomie werden auch in derKonjunkurforschung - wie vormals in der Wachstumstheorie - alsvorausschauend, planend und rational beschrieben.

I Dementsprechend wird die Ökonomie nicht mehr durchVerhaltensgleichungen, sondern durch Technologien, Präferenzenund andere tiefe, zeitinvariante ökonomische Parameter beschrieben.

I Jede Abweichung von rationalem Handeln ist in diesem Paradigmadurch eine technologische Friktion zu erklären und somit wieder zurationalisieren.

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Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Konjunktur- UND Wachstumstheorie

I Damit baut heute die Makroökonomik auf einem vereinheitlichtenTheorierahmen auf.

I Das heißt jedoch nicht, dass alle Modelle gleich sind.I Je nachdem welche konkrete Frage man untersuchen will, wird manandere Elemente detailliert modellieren.

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Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Die Bedeutung quantitativer Fragen

I Mit der Einführung dieser neuen einheitlichen Theorie nahm auchdie Bedeutung quantitativ ausformulierter Modelle zu.

I Die erste Frage, die sich an diese neue Theorie stellte, war nichtmehr "ob", sondern "wie gut" sie tatsächlich beobachteteKonjunkturzyklen erklären könne.

I Aus dieser Frage heraus bewegte sich die Makroökonomik weg vonqualitativen Frage hin zu quantitativen Fragen:

I Impliziert ein Modell den richtigen Zeitverlauf der Wirkung einesgegebenen Impulses auf das ökonomische System?

I Erklärt ein Modell die relativen Schwankungen unterschiedlicherökonomischer Teilaggregate korrekt?

I Kann ein Modell auf der Basis gemessener Impulse die beobachtetenSchwankungen des Systems in ihrer absoluten Größe erklären?

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Die Bedeutung dynamischer, rekursiver Methoden

I Wenn wir aber die Entscheidungsträger als vorausschauend undrational modellieren wollen, so hat dies zur Folge, dass dieEntscheidungsprobleme eine intertemporale Struktur haben.

I Die Entscheidungsprobleme werden in der Regel hochdimensional(die Zahl der Perioden über die geplant wird).

I Haben derzeit lebende ökonomische Agenten auch ihren Nachwuchsim Blick, so kann man ihr Entscheidungsproblem als eines über einenunendlichen Zeithorizont verstehen.

I Eine Folge dieser Entwicklung ist, dass die moderne Makro nichtohne das Instrument der dynamischen Optimierung auskommt.

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Computer in der Makro: Die Bedeutung vonSimulationsmethoden

I Durch quantitative Fragestellungen, nahm auch die Bedeutung von(Computer)-Simulationen für die Makroökonomik zu.

I Beispiel: Die quantitative Frage, wie gut ein ModellKonjunkturschwankungen abbildet, kann immer nur für gegebenePräferenzen und numerische Werte für die Parameter derTechnologie beantwortet werden..

I Dies heißt auch, dass wir wesentlich komplexere ProblemeModellieren können.

I Gleichzeitig sind damit aber Programmierkenntnisse und Umgangmit Mathematiksoftware Standardhandwerkszeug vonMakroökonomen gewerden.

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Kapitel 2Trend und Zyklus

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Lernziele

I Langfristige Entwicklung des BIP: Alle Makroaggregate wachsenI Gleichmäßiges Wachstum: Die "grossen Raten" sind zeitkonstantI nichts wunderliches am "Wirtschaftswunder":KonvergenzI Konjunktureigenschaften der Makroaggregate: Investitionen sindbesonders volatil, Beschäftigung, Zinsen und Konsum sindprozyklisch.

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Aufbau des Kapitels

1. Beobachtungen zum Wachstum

2. Konvergenz

3. Der HP-Filter

4. Beobachtungen zum Konjunkturzyklus

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Beobachtungen zum Wachstum

I Längerfristige Entwicklung des BIPI Relevante Aspekte bei der Messung

I Real vs. nominalI Pro-Kopf SkalierungI Bei Ländervergleich: Kaufkraftkorrektur (PPP-Konvertierung)

I Im folgenden einige Statistiken zum WirtschaftswachstumI Quellen: Penn World Tables, OECD Economic Outlook, NationalIncome and Product Accounts (Bureau of Economic Analysis), Barround Sala-i-Martin (2004)

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Beobachtungen zum Wachstum

1950 1960 1970 1980 1990 2000 20100

50

100

150

200

250FranceGermanyItalyChinaJapanUKUSA

Das reale, kaufkraftparitätische BIP pro Kopf steigt im Zeitverlauf inallen Ländern

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Beobachtungen zum Wachstum

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010­0.2

­0.15

­0.1

­0.05

0

0.05

0.1

0.15

FranceGermanyItalyChinaJapanUKUSA

Die (realen kaufkraftparitätischen) Wachstumsraten schwanken.18 / 109

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Beobachtungen

I BIP wächst im Zeiverlauf in allen betrachteten LändernI Wachstum scheint ungefähr exponentiell zu verlaufenI Es gibt erhebliche Unterschiede zwischen den Ländern

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Wachsen arme oder reiche Länder schneller?oder anders: Nimmt die Ungleichheit zwischen Länder zu oder ab?

Welweit (114 Länder) 20 / 109

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Aber unter OECD Ländern ...Arme Länder wachsen schneller

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Exkurs: Wirtschaftswunder???

I Das was gerne als "deutsches Wirtschaftswunder" bezeichnet wirdist nicht außergewöhnlich

I Nach dem zweiten Weltkrieg war Deutschland relativ arm imVergleich zu den USA.

I Dementsprechend ist es stärker gewachsen (wir werden später einetheoretische Begründung sehen).

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Konjunkturschwankungen

I Wachstum verlauft unregelmässigI Konzeptionelle Zerlegung der beobachteten Variable in Trend- undzyklische Komponente

I Kurzfristig kann die ökonomische Aktivität somit vomWachstumspfad abweichen (Boom und Rezession)

I Zur Zeit Rezession in Deutschland, Europa und USA (genaueDefinition umstritten)

I Fur die USA datiert das National Bureau of Economic Research(NBER) den Begin und das Ende einer Rezession: demnach befindensich die USA seit Dezember 2007 in einer Rezession

I Relativ zum Trend erscheinen aber selbst ausgeprägte Rezessionenmoderat

I Im folgenden: Quartalsdaten

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Messen von Konjunkturschwankungen

I Da die makroökonomischen Aggregate im Schnitt wachsen, machtes keinen Sinn jede Veränderung an sich als konjunkturelleVeränderung aufzufassen.

I Was wir viel mehr erfassen wollen, sind Abweichungen vom Trend.I Typischerweise messen wir in Logarithmen, weil eine logarithmischdefinierte Variable skalenfrei ist.

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Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Wachstum mit konstanten Raten

I Das Messen in Logarithmen hat aber auch den Vorteil, dass sichkonstante Wachstumsraten als ein linearer Niveautrend in einerlogarithmischen Skala darstellt.

I Angenommen Y wachst mit der konstanten Rate g , dann gilt

Yt = (1+ g)Yt−1Yt = (1+ g)t Y0

I In Logarithmen geschrieben

lnYt = t ln (1+ g) + lnY0lnYt ≈ gt + lnY0

I Übungsaufgabe: Zeigen mit Hilfe einer Taylorapproximation, dassln (1+ x) ≈ x ist.

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Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Wachstum mit konstanten Raten

1950 1960 1970 1980 1990 2000 20104.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6US: Log­pro Kopf BIPLinearer Trend

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Wachstum mit konstanten Raten

I Wir können nun konjunkturelle Schwankungen als Abweichungenvon diesem langfristigen log-linearen Trend auffassen.

I Somit ergibt sich in logarithmischer Schreibweise, die konjunkturelleKomponente

yt = lnYt − lnY TRENDt = lnYt − gt − lnY0

≈ Yt − Y TRENDt

Y TRENDt

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Wachstum mit konstanten Raten

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Langfristige Zyklen

I Es gibt relativ langanhaltende Abweichungen vom linearen Trend:I 1947 - 1965: BIP unterhalb TrendniveauI 1966 - 1982: BIP oberhalb TrendI Seit 1982 (oder 1991): BIP unterhalb Trend

I Diese als langanhaltende Konjunkturschwankungen zu interpretieren,würde den Blick verstellen für die höhere Frequenz, mit der solcheSchwankungen auftauchen.

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Langfristige Zyklen

I Traditionellerweise wurde ein Konjunkturzyklus als ein 3-8 Jahrelanges (zyklisches) Phänomen verstanden.

I Dieser Sichtweise entsprechen auch die NBER Datierung vonRezessionen, die nicht dem Residuum des linearen Trendsentsprechen.

I Hinter den langfristigen Wachstumstrends können unterschiedlichePhänomene stecken:

I grundlegende technologische Entdeckungen: z.B. Dampfmaschine,Eisenbahn, Automobil, Petrochemie, Halbleiter / Computerchips, etc.

I Änderungen im BevölkerungswachstumI Anpassungsbewegungen im KapitalstockI etc.

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Erste Differenzen

I Wir müssen Konjunkturschwankungen aber nicht notwendigerweiseals Unterschied zum Trendniveau verstehen.

I Alternativ können wir sie als Abweichungen der aktuellen von derdurchschnittlichen Wachstumsrate definieren:

lnYt − lnYt−1 = lnY TRENDt − lnY TRENDt + yt − yt−1= g + ∆yt

I Wir würden nun ∆yt als konjunkturelle Wachstumskomponenteverstehen.

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Erste Differenzen

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Der Hodrick-Prescott Filter

I Allgemeiner und flexibler können wir konjunkturelle Schwankungenals Abweichungen von einem flexiblen Trend verstehen.

I Die Eigenschaft eines solchen Trends sollte seine Wachstumsrate nurlangsam zu verändern.

I Dass heißt wir zerlegen ganz Allgemein (Kleinbuchstabe meint inlogs)

yt = yTRENDt + yZYKLUSt

I Dabei wollen wir abstrakt formuliert, dass der Trend einen möglichstgleichmäßigen Verlauf aufweist.

I Gleichzeitig sollte aber nicht jede Schwankung als "Zyklus"eingestuft werden.

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Der Hodrick-Prescott Filter

Um den Trend zu bestimmen fassen wir ihn als Minimierer folgendenProblems auf

minyTRENDt

T+1

∑t=0

(yt − yTRENDt

)2+λ

T

∑t=1

(yTRENDt+1 − 2yTRENDt + yTRENDt−1

)2

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Der Hodrick-Prescott Filter

I Der Parameter λ gewichtet im Zielkonflikt:I eines einerseits möglichst glattem TrendverlaufI und einer andererseits möglichst geringen zyklischen Schwankung.

I Für λ = 0 fällt Trend und Beobachtung zusammen. Für λ→ ∞entspricht der Trend dem linearen Trend (Übung: Zeigen Sie dies!).

I Man wählt typischerweise für Quartalsdaten λ = 1600.FürJahresdaten wird meist λ = 100 gewählt.

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Der Hodrick-Prescott Filter

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Der Hodrick-Prescott Filter

I Schwankungen weniger stark als im Falle einer linearenTrendbereinigung.

I Zyklen weniger persistent.I Übergang von Boom in Rezession deckt sich gut mitNBER-Datierung.

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Volatilitäten, Korrelationen und Persistenzen

I Während man bis in die 70er Jahre des 20. Jhd. Konjunkturzyklenals tatsächlich zyklische Bewegungen auffasste und zu beschreibenversuchte,

I werden heute Konjunkturschwankungen durch zeitreihenstatitstischeEigenschaften der makroökonomischen Aggregate beschrieben.

I Dies sind insbesondere die Volatilität (Standardabweichung),Korrelationsstruktur und Persistenz (Autokorrelation ersterOrdnung).

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

zur Erinnerung ...I Mittelwert

x = T−1T

∑t=1

xt

I Varianz, Standardabweichung

s2x = T−1

T

∑t=1

(xt − x)2 ; sx =√s2x

I Korrelationskoeffi zient

ρxy :=T−1 ∑Tt=1 (xt − x) (yt − y)

sx sy

I Autokorrelation

ρx =T−1 ∑Tt=1 (xt − x) (xt−1 − x)

s2x

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Volatilitäten, Korrelationen und Persistenzen

Für die USA ergibt sich (nominale Werte, 1948-2008)

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Volatilitäten, Korrelationen und PersistenzenFür die USA ergibt sich (nominale Werte, 1948-2008)

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Volatilitäten, Korrelationen und Persistenzen

Für die EURO-Zone (nominale Werte, 1970-2008)

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EinleitungTrend und Zyklus

Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Volatilitäten, Korrelationen und PersistenzenFür die EU12 ergibt sich (nominale Werte, 1948-2008)

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Stilisierte Fakten

I Die Outputvolatilität ist ca. 1-2% relativ zum TrendverlaufI Alle BIP Komponenten sind hochgradig persistent (hoheAutokorrelationen)

I Investitionen sind die volatilste Komponente des BIP, Konsum istam wenigsten volatil.

I Beide sind prozyklisch (steigen wenn das BIP steigt)I Staatsausgaben sind azyklisch, die Nettoexporte antizyklischI Beschäftigungsverlauf ist prozyklisch.

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Beobachtungen zum WachstumKonvergenzKonjunkturschwankungenMessen von KonjunkturEigenschaften des Konjunkturzyklus

Stilisierte Fakten

I Datenanalyse ist nicht vollig theoriefrei (etwa: welche Variablen oderUnterscheidung von Trend und Schwankungen)

I Aber: unter ‘einfachen’Annahmen, lassen sich robusteBeobachtungen (oder: stilisierte Fakten) gewinnen: d.h. habenBestand gegenuber Veränderungen des Beobachtungszeitraums, desstatistischen Verfahrens (im engeren Sinne) oder der betrachtetenLander

I Im folgenden: Entwicklung der Theorie mit Blick auf diese robustenBeobachtungen

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Kapitel 3Ein Wachstumsmodell als Konjunkturmodel?

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Lernziele

I Wiederholung: Das Solow ModelI Das Solow Model prognostiziert KonvergenzI Das Solow Model kann Konjunkturschwankungen erklären

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Aufbau des Kapitels

1. Das Solow Model: Modelannahmen

2. Modellösung

3. Eigenschaften

3.1 Gleichmäßiges Wachstum3.2 Konvergenz3.3 Konjunkturschwankungen

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Das Solow-Wachstumsmodell

I Solow (1956) formulierte ein einfaches Modell ökonomischenWachstums.

I Dieses basiert zunächstI auf einer einfachen Verhaltensannahme für die Haushalte:Konstanter Sparquote

I der Annahme perfekten WettbewerbsI konstanter SkalenerträgeI exogenem technologischem Fortschritt.

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Haushalte

I Die Haushalte besitzen alle Produktionsfaktoren: Kapital Kt undArbeit N.

I Sie erzielen Einkommen rtKt + wt N aus diesen ProduktionsfaktorenI und konsumieren einen konstanten Anteil 1− σ aus diesemEinkommen.

I Es gibt nur ein Konsum-Kapitalgut (Äpfel), so dass es keineRelativpreise für Kapital gibt.

I Die Ersparnis wird in Kapital investiert

Kt+1 = (1− δ)Kt + ItIt = σ (rtKt + wt N)

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UnternehmenssektorI Die Ausbringungsmenge wird durch die Technologie

Yt = F (Kt ,Zt N)

beschrieben.I Die Produktionsfunktion F (Kt ,Nt ) ist konkav und hat konstanteSkalenerträge:

F (λK ,λN) = λF (K ,N) .

I Der Gütermarkt ist kompetitiv, Preise sind ein Datum - wir setzenden Güterpreis auf P = 1.

I Der Faktormarkt ist kompetitiv: Alle Produktionsfaktoren werdennach ihrem Grenzprodukt entlohnt

wt = ZtFN (Kt ,Zt N)

rt = FK (Kt ,Zt N)

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Exogenes Wachstum

I Der Produktivitätsparameter Z mißt die Effektivität einerArbeitsstunde.

I Technologischer Fortschritt ist hier sog. Harrod-Neutral formuliert.I Der Zeitpfad von Zt ist unabhängig von den Entscheidungen derHaushalte und Unternehmen.

I Zum Beispiel deterministisches, konstantes Produktivitätswachstum

Zt = (1+ g)Zt−1.

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Aufteilung des Einkommens

I Zunächst erhalten wir wegen des Euler-Theorems

wtNt + rtKt = (ZtNt ) FN (Kt ,Zt N) +KtFK (Kt ,Zt N)

= F (Kt ,Zt N) = Yt

I Die Haushalte erhalten also die gesamte produzierte Gütermenge alsEinkommen.

I Insofern entsprechen die Investitionen einem fixen Teil desEinkommes

It = σYt .

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

KapitalintensitätI Da die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge aufweißt,können wir Yt darstellen als

Yt = F (Kt ,Zt N) = Zt NF(KtZt N

, 1)= Zt Nf (kt ) .

I Schreiben wir nun auch den Output als "pro effektive Arbeitseinheit"

yt =YtZt N

= f (kt )

I Somit erhalten wir als Bewegungsgesetz des Kapitalstocks

kt+1 = (1− δ) ktZtZt+1

+ZtZt+1

it

= (1+ g)−1 [(1− δ) kt + σyt ]

= (1+ g)−1 [(1− δ) kt + σf (kt )]

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Exkurs: Lineare Differenzengleichungen

I Unter einer linearen autonomen Differenzengleichung versteht maneine Gleichung der Form

xt+m = α0 + α1xt + · · ·+ αmxt+m−1

I Die Lösung einer solchen Gleichung ist eine Folge {xt}t=0...∞I Typischerweise hat eine Differenzengleichung unendlich vieleLösungen. Durch hinzufügen einer Anfangs- oder Randbedingungkann die Lösung häufig eindeutig gemacht werden.

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Exkurs: Lineare Differenzengleichungen

I Wir betrachten lineare Differenzengleichungen erster Ordnung

xt = α0 + α1xt−1 = g (xt−1)

I Ein Gleichgewicht oder "steady state" der Differenzengleichung istein Fixpunkt von g

xt = g (xt ) = α0 + α1xt

I alsox∗ = (I − α1)

−1 α0

I Wir nennen das Gleichgewicht stabil, wenn das System in derUmgebung vom Gleichgewicht wieder zum Gleichgewichtkonvergiert.

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Exkurs: Lineare Differenzengleichungen

I Indem wir x∗ von beiden Seiten abziehen, erhalten wir

xt = α0 + α1xt−1xt = (I − α1) x

∗ + α1xt−1zt = xt − x∗ = α1 (xt−1 − x∗) = α1zt−1

I Durch wiederholtes Einsetzen

zt = αt1z0

I Wenn limt→∞ αt1 = 0 ist die Lösung stabil.I Dies ist genau dann der Fall, wenn alle Eigenwerte von α1 imEinheitskreis liegen.

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Exkurs: Lineare Differenzengleichungen

I Unter einer linearen nicht-autonomen Differenzengleichungversteht man eine Gleichung der Form

xt+m = α0 (t) + α1xt + · · ·+ αmxt+m−1

I Wir betrachten lineare Differenzengleichungen erster Ordnung

xt = α1xt−1 + εt

I Durch rekursives Einsetzen erhalten wir

xt = α1(α1xt−2 + εt−1) + εt =t

∑s=0

αs1εt−s + αt1x0

I ENDE DES EXKURSES

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Steady state, bedingte Konvergenz

Der steady state in diesem Modell ist erreicht, wenn

k∗ = (1+ g)−1 [(1− δ) k∗ + σf (k∗)]

k∗ =σ

g + δf (k∗)

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Phasen-Diagramm

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Goldene RegelI Die "goldene Regel" (aka "kategorischer Imperativ") lautet: "Handleso, dass dein Handeln jederzeit allgemeines Gesetz werden könnte"

I Phelps (1961) fragt, wie hoch, die Sparquote ist, welche den steadystate Konsum maximiert.

I Konsum pro effektiver Arbeitseinheit ergibt sich als

ct = (1− σ) ytc∗ = f (k∗)− σf (k∗)

I Für den steady state gilt k∗ = σg+δ f (k

∗) und somit

c∗ = f (k∗)− (g + δ) k∗

I Der optimale steady state Kapitalstock löst

f ′ (k) = g + δ

und die zugehörige Sparquote ist

σ∗ =g + δ

f (k) /k61 / 109

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Gleichmäßiges Wachstum im steady state

I Was das relative Wachstum aller Größen angeht stellen wir zunächstfest, dass der Konsum wie die Ersparnis als fixe Anteile am Outputmit gleicher Rate wie letzterer wachsen.

I Ferner wächst der Output Yt = Zt Nf (k∗) im steady state mit dergleichen Rate wie die Technologie.

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Bedingte Konvergenz

I Bis der steady state erreicht ist, gilt, dass bedingt auf dieTechnologie f und die Sparquote σ ärmere Volkswirtschaftenschneller wachsen als reiche:

I Für die Wachstumsrate erhalten wir

γt =kt+1kt

=1− δ

1+ g+

σ

1+ gf (kt )kt

und somit∂γt∂kt

1+ g

[f ′ (kt ) kt − f (kt )

k2t

]was wegen der Kokavität von f negativ ist.

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Das Solow Residuum

I Wir wollen im folgenden Annehmen, dass zusätzlich zum Wachstumder Arbeitsproduktivität es eine allgemeine "totaleFaktorproduktivität" At gibt.

I Die Technologie sich also darstellt als

Yt = AtF (Kt ,Zt N) .

I Ein Wachstum der totale Faktorproduktivität wird auchSolow-neutrales Wachstum genannt.

I Im Spezialfall von Cobb-Douglas Produktionsfunktionen ist Solowund Harrod neutrales Wachstum gleichbedeutend, sonst nicht.

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Das Solow Residuum

I Wir können das Solow Residuum prinzipiell messen.I Man erhält

lnYt = lnAt + lnF (Kt ,ZtN)∂ lnYt

∂t=

∂ lnAt∂t

+ 1F (Kt ,ZtN )

[FKKt

∂ lnKt∂t + FNZtN

∂ ln Zt∂t

]∂ lnYt

∂t=

∂ lnAt∂t

+ 1F (Kt ,ZtN )

[(F − FNZtN) ∂ lnKt

∂t + FNZtN∂ ln Zt

∂t

]

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Das Solow Residuum

I Sei nun der Anteil der Löhne am Volkseinkommenαt =

wtZt NYt

= AtFNZt NAtF (K ,ZN )

, so erhält man

∂ lnYt∂t

=∂ lnAt

∂t+

[(1− αt )

∂ lnKt∂t

+ αt∂ lnZt

∂t

]und wir haben das Outputwachstum (ohne eine Regressiondurchzuführen) in zwei beobachtbare Komponenten und ein TFPResiduum ∂ lnAt

∂t zerlegt.I Für eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion gilt die Zerlegung sogarin log-Niveaus

lnYt = lnAt + (1− α) lnKt + α ln (Zt N)

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Konjunkturschwankungen des Solow-Residuums

I In der Wachstumstheorie wurde das Solow-Residuum zunächstbenutzt um zu verstehen, wie großder Beitrag des technischenFortschritts zum Wachstum ist.

I Heute spielt das Solow-Residuum auch in der Konjunkturtheorie einewichtige Rolle.

I Im der folgenden Tabelle sind die typischen Konjunkturstatistiken fürdas Solow Residuum angegeben.

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Konjunktureigenschaften des Solowmodells

I Wir können das Solowmodell mit zeitschwankender totalerFaktorproduktivität als einfaches Konjunkturmodell verstehen.

I Dazu gehen wir aus, dass die Öknomie zunächst im steady state ist.I Das TFP ln At sei i.i.d.I Wir vernachlässigen im Folgenden das deterministische Wachstum g .

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Konjunktureigenschaften des SolowmodellsI Es ist klar, dass wegen der konstanten Sparquote log Output,log-Konsum und log-Investitionen perfekt korrekliert sind.

I Für den Kapitalstock erhalten wir

kt+1 = [(1− δ) kt + σAt f (kt )]

I und somit für das Wachstum des Kapitalstocks

(γt + 1) =kt+1kt

= (1− δ) + σAtf (kt )kt

I und damit in Logarithmen

ln [γt + δ] = ln σ+ lnf (kt )kt

+ lnAt

I Speziell für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (kt ) = kθt

erhalten wir

ln [γt + δ] = ln σ+ (θ − 1) ln kt + lnAt

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Konjunktureigenschaften des SolowmodellsSpezialfall

I Wenn nun auch noch δ = 1, so ist

ln kt+1 = ln σ+ θ ln kt + lnAt

I Dies ist eine lineare Differenzengleichung!I Lösen durch Rückwärtseinsetzen:

ln kt+1 = ln σ+ θ ln kt + lnAtln kt+1 = ln σ+ θ [ln σ+ θ ln kt−1 + lnAt−1 ] + lnAt

ln kt+1 =∞

∑s=0

θs [ln σ+ lnAt−s ]

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Konjunktureigenschaften des SolowmodellsSpezialfall

I Nehmen wir nun weiterhin an dass lnAt i.i.d. seiI Dementsprechend erhalten wir

ln kt+1 =1

1− θln σ+

∑s=0

θs lnAt−s

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Konjunktureigenschaften des SolowmodellsSpezialfall

und für die Ausbringungsmenge

ln yt = lnAt + θkt

= lnAt + θ

[1

1− θln σ+

∑s=0

θs lnAt−1−s

]

1− θln σ+ lnAt + θ

∑s=0

θs lnAt−s−1

1− θln σ+ lnAt +

∑s=1

θs lnAt−s

1− θln σ+

∑s=0

θs lnAt−s

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Konjunktureigenschaften des SolowmodellsSpezialfall

Die Volatilität des Einkommens ergibt sich als

E[(ln yt − E ln yt )2

]= E

(∞

∑s=0

θs lnAt−s

)2=

∑s=0

θ2sE lnA2t−s =1

1− θ2σ2A

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Konjunktureigenschaften des SolowmodellsSpezialfall

Die Autokorrelation des Einkommens ist dann

E [(ln yt − E ln yt ) (ln yt−1 − E ln yt−1)] /σ2A

= E

(∞

∑s=0

θs lnAt−s

)(∞

∑s=0

θs lnAt−s−1

)/σ2A

= E(lnAt +∑∞

s=1 θs lnAt−s ) (∑∞s=0 θs lnAt−s−1)

σ2A

=E (lnAt + θ ∑∞

s=0 θs lnAt−s−1) (∑∞s=0 θs lnAt−s−1)

σ2A= θ

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Konjunktureigenschaften des SolowmodellsSpezialfall

Somit erhalten wir für diesen (unrealistischen Spezialfall)

Y C I

σ√

11−θ2

σA

√1

1−θ2σA

√1

1−θ2σA

σx/σY 1 1 1ρxy 1 1 1ρx θ θ θ

Wobei θ = 1/3 ein typischer Wert ist, was eine 6% höhere Volatilität desEinkommens als des TFP Shocks impliziert.

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Modellannahmen des SolowmodellsLösung des ModellsEigenschaften

Konjunktureigenschaften des SolowmodellsSpezialfall

Zusammenfassung:

I Das Solowmodell kann zunächst auch als einfachesKonjunkturmodell verstanden werden.

I Treibende Kraft des Konjunkturzyklus sind hier Schwankungen derProduktivität.

I Diese werden durch induzierte Veränderungen des Kapitalstocksverstärkt.

I Der Verstärkungsmechanismus ist jedoch relativ schwach.

I Dadurch das der Kapitalstock schwankt, wird der Konjunkturverlaufverfestigt, allerdings fällt auch hier die endogene Persitenz desEinkommens relativ gering aus.

I Besonders problematisch ist aber die perfekte Korrelation vonKonsum, Einkommen und Investitionen, die direktes Resultat derVerhaltensannahmen ist.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Kapitel 4Ein einfaches RBC Modell

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Lernziele

I Das Ramsey-Cass-Koopmans Modell als KonjunkturmodellI Technologie-Schoks

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Kapitel 2: RBCÜberblick

1. Das Ramsey-Cass-Koopmans Modell in deterministischer Form

1.1 Haushalte1.2 Firmen

2. Produktivitätsschoks

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Ramsey, Cass und Koopmans

I Frank Ramsey (1928) formulierte erstmalig ein dynamisches,mathematisches Modell optimalen Sparverhaltens - aus Sicht einessozialen Planers.

I Cass (1965) und Koopmanns (1965) re-formulierten dieses Modellals eines einer Wettbewerbsökonomie.

I Dieses Ramsey-Cass-Koopmans Modell bildet heute den Grundpfeilerder modernen Makroökonomik.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Der Haushaltssektor

I Wir nehmen an, der Haushaltssektor bestehe aus einer Vielzahlidentischer Haushalte, die alle unendlich lange leben.

I Diese Haushalte diskontieren zukünftigen Nutzen mit demDiskontfaktor β ab.

I Alternativ können wir uns auch vorstellen, dass jeder dieserHaushalte eine Periode lebt, aber den Nutzen seiner Nachfahren mitdem Faktor β bewertet.

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EinleitungTrend und Zyklus

Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Der HaushaltssektorPräferenzen

I Haushalte ziehen in jeder Periode Nutzen aus Konsum C undFreizeit L.

I Sie sind mit einem Zeitbudget N an Arbeitsstunden ausgestattet und"ererben" einen Kapitalstock Kt aus der Vorperiode.

I Speziell sei der Periodennutzen aus der parametrischen Familie

U (C , L) =1

1− σ[Cv (L)]1−σ .

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EinleitungTrend und Zyklus

Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Der HaushaltssektorEinkommen, Kapital

I Hauhalte erzielen Einkommen aus der Vermietung ihres KapitalsrtKt und aus Löhnen wtNt .

I Der Kapitalstock entwickelt sich durch Abschreibungen undInvestitionen, so dass

Kt+1 = (1− δ)Kt + It .

I Das Kapitalgut kann ohne Verluste in ein Konsumgut undumgekehrt verwandelt werden (Äpfel).

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Zwei Perioden Version

I Zunächst betrachten wir eine zwei Perioden Version des Modells:I Der Haushalt muss entscheiden, welchen Anteil des Einkommens inder ersten Periode er sofort konumieren will, bzw. welchen erinvestiert

I Wir nehmen zunächst an, dass es keine unvorhergesehenenProduktivitätsschwankungen gibt.

I Dann kann der Haushalt den Preis für das Ausleihen desKapitalgutes in der nächsten Periode perfekt vorhersehen.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Zwei Perioden Version

I Dieser Preis sei Rt .I Damit stellt sich das Problem für den Haushalt dar als

maxC1,L1,C2,L2,I1

u (C1, L1) + βu (C2, L2)

u.d .R. C1 + I1 ≤ w1 (N − L1) + R1K1C2 + I2 ≤ w2 (N − L2) + R2 [(1− δ)K1 + I1 ]

It ≥ − (1− δ)KtCt ≥ 0

0 ≤ Lt ≤ N

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Zwei Perioden VersionLagrange Ansatz

I Die ersten beiden Ungleichheitsnebenbedingungen werden Gleichheiterfüllt, falls der marginale Nutzen überall positiv ist.

I Ferner werden die Nichtnegativitätsnebenbedingungen typischerweisemit strikter Ungleichheit erfüllt.

I Somit können wir das Maximierungsproblem in folgendem LagrangeAnsatz zusammenfassen

L = u (C1, L1) + βu (C2, L2)

−λ1 [C1 + I1 − w1 (N − L1)− R1K1 ]−λ2 {C2 + I2 − w2 (N − L2)− R2 [(1− δ)K1 + I1 ]}

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Ein Wachstumsmodell als KonjunkturmodellReale Konjunkturzyklen

Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Zwei Perioden VersionArbeitsangebot

I Das optimale Arbeitsangebot ergibt sich aus den BEO

Ct :∂u (Ct , Lt )

∂Ct= λt

Lt :∂u (Ct , Lt )

∂Lt= wλt

∂u(Ct ,Lt )∂Lt

∂u(Ct ,Lt )∂Ct

= w

I Das Arbeitsangebot wägt den Nutzen aus Freizeit und Konsum ab,so dass das Grenznutzenverhältnis gerade dem, durch den (realen)Lohnsatz gegebenen, Tauschverhältnis entspricht.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Zwei Perioden VersionOptimale Ersparnis

I Das optimale Sparverhalten ergibt sich aus den BEO

C1 :∂u (C1, L1)

∂C1= λ1

I1 : λ1 = λ2R2

C2 : β∂u (C2, L2)

∂C2= λ2

I Dies kann man zusammenfassen als

∂u (C1, L1)∂C1

= βR2∂u (C2, L2)

∂C2

I Diese Gleichung wird Konsum Euler Gleichung genannt.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Konsum Euler Gleichung

I Die Konsum-Euler-Gleichung

∂u (Ct , Lt )∂Ct

= βRt+1∂u (Ct+1, Lt+1)

∂Ct+1

gilt recht allgemein, so die Ersparnis keinen Beschränkungenunterliegt.

I Sie spiegelt wieder, dass bei optimalem Sparverhalten der marginaleNutzen aus Konsum heute, dem diskontierten marginalen Nutzenaus Konsum in der Zukunft entspricht.

I Dabei wird aber berücksichtigt, dass eine gesparte Einheit heute zuRt+1 Einheiten Konsum in der Zukunft führt.

I Aber: Euler-Gleichung keine Lösung, sondern nur BEO, die dasKonsumprofil im Zeitverlauf bestimmt.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Substitutionselastizität

I Wenn wir annehmen u = C 1−σ−11−σ (also eine Nutzenfunktion mit

konstanter relativer Risikoaversion σ),I so läßt sich die Euler-Gleichung schreiben als

C−σt = βRtC−σ

t+1

Ct+1Ct

= [βRt ]1/σ .

I Steigt der Zins so wird Konsum von heute nach morgen verschoben.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Substitutionselastizität

I Totales differenzieren liefert

d(Ct+1Ct

)=1σ

β [βRt ]1/σ−1 dRt .

I Unter Berücksichtigung, dass Ct+1Ct= [βRt ]

1/σ erhält man

d (Ct+1/Ct )Ct+1/Ct

=1σ

β [βRt ]−1 dRt =

1σR−1t dRt .

d (Ct+1/Ct )dRt

RtCt+1/Ct

=1σ

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Übung

Leiten Sie unter Verwendung der Regel von l’Hopital her dasslimσ→1

C 1−σ−11−σ = lnC !

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Unendlich viele PeriodenI Um ein nutzbares Konjunkturmodell zu entwickeln brauchen wirmehr als den zwei Perioden Zeithorizont.

I Dazu nehmen wir an, der Haushalt lebt unendlich lange (bzw. errepräsentiert eine Dynastie, siehe Übungsaufgabe).

I Er maximiert∞

∑t=0

βtu (Ct , Lt )

über die Wahl einer Konsum- und Freizeitfolge {Ct , Lt}t=0...∞.I Dabei berücksichtigt er eine Folge von Budgetrestriktionen

Ct + [Kt+1 − (1− δ)Kt ] ≤ wt (N − Lt ) + rtKt

wobeiCs ,Ks , Ls ≥ 0 Ls ≤ N ∀s.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Unendlich viele Perioden

I Auch hier können wir wieder ein Lagrange Problem aufstellen

L =∞

∑t=0

βt {u (Ct , Lt )− λt [Ct +Kt+1 − Inc (Lt ,Kt )]}

Inc (Lt ,Kt ) = wt (N − Lt ) +

1+ rt − δ︸ ︷︷ ︸Netto Kapitalmiete

KtI und erhalten wieder die Konsum-Euler-Gleichung

∂u (Ct , Lt )∂Ct

= β (1+ rt+1 − δ)∂u (Ct+1, Lt+1)

∂Ct+1

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Unendlich viele Perioden

I Konsum-Euler-Gleichung und intertemporale Budget Restriktionmüssen für den optimalen Konsumplan erfüllt sein.

I Diese reichen alleine aber nicht aus.I Entscheidend ist vielmehr die langfristige Budgetrestriktion, die wirdurch wiederholtes Einsetzen umformen können

Ct + [Kt+1 − (1− δ)Kt ] = wt (N − Lt ) + rtKt

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Unendlich viele PeriodenI Diese können wir schreiben als

Kt =Ct +Kt+1 − wt (N − Lt )

1+ rt − δ

=Ct − wt (N − Lt )

1+ rt − δ+

Kt+11+ rt − δ

=Ct − wt (N − Lt )

1+ rt − δ+Ct+1 +Kt+2 − wt+1 (N − Lt+1)(1+ rt − δ) (1+ rt+1 − δ)

=T

∑s=0

[Ct+s − wt+s (N − Lt+s )]s

∏j=0

(1+ rt+j − δ

)−1+

T

∏j=0

(1+ rt+j − δ

)−1 Kt+T+1I Wobei für T → ∞ der letzte Term verschwindet, weil der Haushaltnichts von Wert übriglassen will.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Unendlich viele Perioden

I Die langfristige Budgetrestriktion lautet also

Kt +∞

∑s=0

wt+s (N − Lt+s )s

∏j=0

(1+ rt+j − δ

)−1=

∑s=0

Ct+ss

∏j=0

(1+ rt+j − δ

)−1I Der Gegenwartswert des Arbeitseinkommens zuzüglich desAnfangskapitalstocks muss dem Gegenwartswert des Konsumsentsprechen.

I Im Allgemeinen können wir durch Budgetrestriktion undKonsum-Euler-Gleichung die Lösung lediglich charakterisieren, nichtexplizit angeben.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

ÜbungsaufgabePermanente Einkommenshypothese

ExerciseAngenommen, dass rt = r ∀t und u (C , L) = ln (C ) sei. Der Haushlaterziele jede ’Periode ein Einkommen von wt N und habe ein anfänglichesKapital K0. Ferner sei δ = 0 und β (1+ r) = 1. Außerdem mag Kt auchnegative Werte anzunehmen (K ist eine Schuldverschreibung und nichtmehr ein reales Kapitalgut).Bestimme den optimalen Konsum in jeder Periode!

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Firmensektor

I Firmen produzieren wie im Solow Modell mit einer Technologie mitkonstanten Skalenerträgen

Yt = AtF (Kt ,Nt )

I Sie agieren auf perfekt kompetitiven Güter- und Faktormärkten.I Damit ergibt sich als Nullgewinn bzw.Gewinnmaximierungsbedingung

rt = AtFK (Kt ,Nt )

wt = AtFN (Kt ,Nt )

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Steady state

I Angenommen, die Produktivität ist konstant (At = 1) - wir werdenuns später mit dem Fall von Trendwachstum beschäftigen.

I Dann muss im steady state der Konsum und die Freizeit in jederPeriode gleich hoch sein.

I Der Zins ist dementsprechend konstant.I Es gilt für die Konsum-Euler-Gleichung

u′C (C∗, L∗) = β (1+ r − δ) u′C (C

∗, L∗)

⇒ β (1+ r − δ) = 1

r∗ =1− β

β+ δ

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Steady state

I Somit ist der steady state Kapitalstock für jedes N festgelegt durch

K ∗ (N) = F−1K (r∗|N)

I und der optimale Arbeitseinsatz löst

u′L (C∗ (N) , N −N)

u′C (C∗ (N) , N −N) = wt = FN (K

∗ (N) ,N)

wobei C ∗ (N) = F (K ∗ (N) ,N)− δK ∗ (N)

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Steady stateÜbungsaufgabe

ExerciseBestimme den steady state einer Ramsey-Cass-Koopmans Ökonomie, inder die Haushalte beschrieben werden durch

u (C , L) = lnC + ηL

mit η = 3 und β = 0, 95, δ = 0, 10. Die Unternehmen haben eineProduktionsfunktion vom Cobb-Douglas Typ

Y = F (K ,N) = K1/3N2/3.

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Stochastische Produktivitätsschwankungen

I Bislang haben wir angenommen, die Produktivität sei fix.I Um ein Konjunkturmodell zu bauen, brauchen wir zeitlichfluktuierende Produktivität.

I Wenn wir die beobachteten Solow-Residuen als MaßfürProduktivitätsschwankungen nehmen, dann ist nach Abzug desTrends

lnAt = ρ lnAt−1 + εt

ein relativ gutes Zeitreihenmodell.I Typischerweise geht man davon aus, dass εt i.i.d. ist.

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Zwei Perioden Version

I Ohne weitere Methoden, mit denen wir uns im nächsten Teil derVorlesung beschäftigen wollen, ist das Ramsey-Cass-KoopmansModell mit fluktuierender Produktivität nicht zu lösen.

I Daher betrachten wir zunächst ein zwei Perioden Modell, umqualitativ die Auswirkungen eines Produktivitätsschocks zuverstehen.

I Der Einfachheit halber sei angenommen, dass ρ = 0,u (C , L) = lnC + ηL, F = K αL1−α, δ = 1.

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Zwei Perioden VersionI In der zweiten Periode konsumieren die Haushalte die gesamteProduktion und den verbleibenden Kapitalstock

C2 = A2F (K2, L2) .

I In jeder Periode muss

FN = wt = η/u′ (C )(1− α)AK αL−a = ηC

I Somit speziell in Periode 2:

(1− α)AK α2 L−a2 = ηAK α

2 L1−a2

1− α

η= L12.

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Zwei Perioden VersionI und wir erhalten

C2 = AK α2

(1− α

η

)1−α

r2 = αAK α−12

(1− α

η

)1−α

=αC2K2

I Die Haushalte müssen abwägen zwischen Konsum heute underwartetem Konsum morgen

u′ (C1) = βE1[(1− δ+ r2) u

′ (C2)]

1C1

= βE1

[r21C2

]1C1

= βE1

K2

]I Da K2 in Periode eins bekannt ist, können wir den Erwartungswertwegfallen lassen.

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Zwei Perioden VersionI Somit erhalten wir

C1 =K2βα.

I Die Budgetrestriktion impliziert nun noch, dass

C1 +K2 = Y1

so dass

K2 =βα

1+ βαY1

C1 =1

1+ βαY1.

I Schließlich erhalten wir für das Arbeitsangebot in der ersten Periode

(1− α)AK α1 L−a1 = ηC1 =

η

1+ βαAK α

1 L1−a1

L1 =1− α

η(1+ βα) .

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Das Ramsey-Cass-Koopmans ModellDer HaushaltssektorFirmensektorSteady stateProduktivitätsschwankungen

Eigenschaften

I Für den Spezialfall mit δ = 1, den wir analytisch lösen könnenerhalten wir als Resultat der Haushaltsentscheidungen letztlichwieder das Solow Modell.

I Wenn δ < 1 ist, so entstehen aber noch zusätzlicheVerstärkermechanismen:

I Die Haushalte arbeiten in Perioden mit höherer Produktivität mehrI und sparen einen größeren Anteil ihres Einkommens, um Konsum indie Folgeperiode zu transferieren (was bei δ = 1 nur mit starkabnehmenden Erträgen geht).

I Es wird intertemporal Freizeit und Arbeitszeit so substituiert, dassviel gearbeitet wird, wenn die Produktivität hoch ist.

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Übung

ExerciseLöse das 2-Periodenmodell für δ = 1/10, α = 1/3, u = lnC + ηL, η = 3numerisch.

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