@Um dies von Quadwu ant allgemeine re kompakte Hengen zn

vuakgemeinern ,

wird folgendes beuotigt :

Lemma : Sei Ve IR" "

Offen,

I := ( c. d) e R, FECYV,

I ),

A is f ( x'

, xu ) e V×I / xneflx ' ) } ,

M :=f ( ×'

, xu ) E V×I / xu: fk ' ) } and re C ( M

,

5" "

) ein aus

A hinans zeigendes Normale # ( d.

c-FG ' )

Dann gilt fir jede Funkkon

,

#Fe C

'

( KI, R ) n C ( II

,R ) unit

± 1

ThyKompaktem Trager in KI Rake jet . . .n} : .

1

1. 1

l'

.

A 1I

1 1

a)§ . Fcx ) dx - § Fla ) yla ) dsla ).

1. :#

'

-

.

.

1

. .

.; I !X#Beweis : zunoichst fir jtu :

2, µ

"

"F(i. xndxu QFlx '

, flxnldsflx 't +c)

"

d, FI i. xu ) dxu

Fubini fcx ' )

t

a) d;

Flxl de = f ) d,

F ( x'

, xn ) dxu dx'

C

¥f 2, µ

" "

Fixixu ) dxu dx'

- f. Flxiflxtldsflx ' ) dx'

*Glx ' )

nr . : f 2;

Glisdx' ;[!,

,f, Glx' ) dx '

=p.

!→n. ,} tstltldxs dI¥m

| one dx;

G unit Null ant(

Er ,r]" zvfotynht)

= 0 da G E C'

kompahtru Trigo in V hat-

@

.. .

= - f Flx '

, xu ) djflx ' ) dx'

= ¥ Flx ) y( x ) ds ( x )

tsflt ' )and VGKT : ✓ nthttilli .

da vgl " = .

jntkofuillt

nun j=n : a) 2 Flxsdx = f.)"% Fl ×

'

, xu ) dxndx '

if ( Flx '

, fix 's ) - FC i. c ) ) dx '

÷ da F kompakkn Trigo in VXI hat.

g§ Flx )vulx ) dslx )

vnix ) : ( 1+1141×111'

)' "

& VGLXT : Vttlloflxillt a

@

Satz : ( lntegralsatz von Gaup & Ostrogradsky )

Sei AER"

Kompakt mitglattem Rand and oiuperem Normaleufeldv : da → 5

"

,Uta often und F E C '( U

,R

" ).

Dann gilt :

a) divflx ) dx = ) e Flx ), vlx ) > dslx ) ( * )

2A

Beweis : Sci { U, ]j% offeue liberdeckung von A

,so dass Use Alda ⇒ j :O

und { f ;c. C

* ( R"

,[ on ] ) } ! nine { U

; } uwtergeorduete Zvkguug der

E ins auf A.

Un

Uz

F;

( x ) i= f ;F ( × )

,also t.ge Fjlx ) = Flx ) tfxea

.

:

wir zeigen C * ) fir jedes j :

AUo

'

j :O : }ede komponente For,,k=7 , ... in hat

kompahhn Trager in Uo . Damit ist

a) Jr,

to ,k( x ) dx = 0

, also )a div to ( x ) dx = 0

Ebenso gilt ) < Fold, v( x ) > dslx ) = 0

,da to |ya=O .

JA

j±0 : Nach dem Lemma gilt far jede kompouentc Fan :

)a Jr, Fgu ( × ) dx = ) F.su ( x ) vulx ) dslx )

JA

Damitist )a divtcxsdx . §=.

§,

I 2¥67 §a|aEµHvudsH

= g)a

< F ( x ), v( x ) ) dslx )

.

D

@

Ben . : ° Tatsochlich haben wir etwas starkeres gezeigt ,wamlich :

)a Jr, Fnlx) dx = f.

a

E. rule ) dslx ) K k=1,

...

, n.

o Der Satz gilt anch, weun 2A uichtnbvall glatt

. ' st

, weun die Menge

der Puukte in keiner offenen Umgebung Graph liner C ? Fkt. ist line

( n . ^ ) - dim

. Nullmeuge ist ( → vgl . Konigsberg ).

° Fir h=7 ist Gamp I HDI,

denn unit A :[ a. b ] e R haben wir

} F '

( x ) dx = fgdiv Fk ) dx:p

Flb ) - Fla )

i. Soup"

unit 2A . Ya , b }

• In du Physik wird oft eine kurzschreibweise vwweudet :|.

8. Edx : )aE. disk)

J

o Interpretation : ) < Fcx ) , nlx ) > ds ( × ) ist" Flnp

"

von F dnroh 2A.wenn F a. B

. fesohwfeld einer Fhissigkeit ist ) &

div F ( x ) =

, ,

Quellstarke"

non F bei ×.

Anweudungsbsp . : ( Archimedlschw Auftrieb )

Beschreibt A eR3 linen in nine Fhissigkeit unit Dionte S eingetanchten

Kerper , anf den bei × ESA der Druck Sxsvlx ) ansgeinbt wind ( unit xseo ),

dann ist die gcsamte Auflriebskraft :

f = % Sx }v( × ) dsk ) unit komponenten

is :| self.

'

53

f , =/.

Sxsylesdstes =p ¥ 5¥ dx 0

^

. .

1

#/ # Soup unit Fn : ' Sxssnj gewicht du verdroingten#%€§¥,

Fhissiguut .