E2: Wärmelehre und Elektromagnetismus 4. Vorlesung – 19.04 · 2018-04-19 · Wiederholung: 1....

E2: Wärmelehre und Elektromagnetismus 4. Vorlesung – 19.04.2018

Prof. Dr. Jan Lipfert [email protected]

19.04.2018 Prof. Dr. Jan Lipfert 1

https://xkcd.com/1861/

Heute: -  Freiheitsgrade realer Gase -  Adiabatische Volumenänderungen -  Kurze Einführung in die

Quantenmechanik -  Freiheitsgrade & Wärmekapazität

realer Gase -  Freiheitsgerade & Wärmekapazität

realer Festkörpers -  Phasenübergänge

Wiederholung: Ideale Gase und Gleichverteilungssatz


Wenn sich eine System im thermischen Gleichgewicht befindet, entfällt auf jeden (klassischen) quadratischen Freiheitsgrad im Mittel eine Energie von ½ kBT pro Teilchen.

Ludwig Boltzmann (1844-1906)

https://de.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann

•  Kinetische Energie des idealen Gases: hEkini =3

2NkBT

•  Mittlere freie Weglänge: � =1p

2 · n⇡d2

•  Gesamtenergie des (klassischen) Festkörpers:

hEgesi = 3NkBT

Wiederholung: 1. Hauptsatz


Die Änderung ΔU der inneren Energie eines Systems ist gleich der Summe der ihm netto zugeführten Wärme Q und der ihm netto zugeführten Arbeit W.

�U = Q+WQ, W sind Übertragungs- oder Prozessgrößen (= keine intrinsischen Größen, beschreiben Energietransfers)

> 0 Wärme wird zugeführt < 0 Wärme wird abgeführt

> 0 System wird Arbeit zugeführt / am System verichtet < 0 System verrichtet Arbeit / Arbeit wird abgeführt

Q

W

Wiederholung: Volumenarbeit


W = 0

W = �p ·�V

(W < 0 ! ΔV > 0 Gas expandiert & verrichtet Arbeit) (W > 0 ! ΔV < 0 Gas komprimiert & Arbeit wird am Gas verrichtet)

W = �p · dV

W = nRT ln

✓V1

V2

◆

Konstantes Volumen:

Konstanter Druck:

V = konst. ΔW = 0

p = konst.

Wiederholung: Wärmekapazität


Die Wärmekapazität eines Körpers C ist definiert als Wärme ΔQ, die zugeführt werden muss, um ihn um eine Temperatur ΔT zur erwärmen:

Spezifische Wärmekapazität:

Molare Wärmekapazität:

Wärmekapazität & Freiheitsgrade monoatomarer Gase


Ein monoatomares Gas hat 3 translatorische Freiheitsgrade

Freiheitsgrade realer Gase: Rotation


Rotation diatomares Gas

Rotation polyatomare Gase

19.04.2018 Prof. Dr. Jan Lipfert

Freiheitsgrade realer Gase: Vibration

9

Symmetrische Valenzschwingung

Antisymmetrische Valenzschwingung

Knickschwingung

Diatomare Schwingungen:

Triatomare Schwingungen:

Valenzschwingung

Molekül Freiheitsgrade CV (J/mol·K) γ

Monoatomig 3 Translation Ideal: 3/2 R = 12,5 Real: 12,5 (He)

5/3 = 1,66 1,67

Diatomig 3 Translation 2 Rotation 2 Vibration (1 Mode)

Ideal: 7/2 R = 29,1 Real: 20,7 (N2) 20,8 (O2)

9/7 = 1,29 1,4 1,4

Mehratomig (N Atome)

3 Translation 3 Rotation 2·(3N-6) Vibration ((3N-6) Moden)

Ideal: (3N-3)·R Real: 29,0 (NH4) 29,7 (CO2) Siehe Plot!

Übersicht: Freiheitsgrade realer Gase


Summe der Freiheitsgrade:

Adiabatenkoeffizient:

Adiabatische Volumenänderung


Adiabatische Expansion; Video: https://goo.gl/AZAcof

Adiabatische Zustandsänderung, fort.


Beispiel: Adiabatische Kompression


Pneumatisches „Feuerzeug“; Video: https://goo.gl/t2MPcB

https://en.wikipedia.org/wiki/Fahrenheit_451

Ray Bradbury „Fahrenheit 451“

Wärmekapazität von Gasen: Abweichung von der klassischen Vorhersage bei kleinen T


Rotationsfreiheitsgrade werden aktiviert

Schwingungsfreiheitsgrade werden aktiviert

Wärmekapazität von Festkörpern

19.04.2018 Prof. Dr. Jan Lipfert 15 https://de.wikipedia.org/wiki/Dulong-Petit-Gesetz

Pierre Louis Dulong

(1785-1838)

https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_Louis_Dulong

Alexis Thérèse Petit

(1791-1820)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexis_Th%C3%A9r%C3%A8se_Petit

Raumtemperatur:

Quantenmechanik – in zwei Folien...


•  Teilchen, insbesondere Elektronen, werden durch Wellenfunktionen beschrieben

(~r)

•  Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens ist durch das Quadrat der Wellenfunktion gegeben ⇢(~r) = | (~r)|2

•  Die Wellenfunktionen erfüllen die Schrödingergleichung; Allgemein:

i~ @

@t (~r, t) = H (~r, t)

•  Für stationäre (d.h. zeitlich konstante) Zustände (mit Energie E):

(t) = (0)e�iE~ tH (~r, t) = E (~r, t)

•  Hamiltonoperator für ein einzelnes Teilchen (der Masse m) in skalarem Potential:

H = � ~22m

r2 + V (~r)

•  (Stationäre) Schrödingergleichung: ✓� ~22m

r2 + V (~r)

◆ (~r) = E (~r)

Lösungen der stationären Schrödingergleichung


Teilchen im Potentialkasten:

Wasserstoffatom (Coulombpotential):

Harmonischer Oszillator:

Balmerserie; Video: https://goo.gl/j6Nrix

https://de.wikipedia.org/wiki/Teilchen_im_Kasten

https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator_(Quantenmechanik)

https://de.wikipedia.org/wiki/Wasserstoffatom

•  Diskrete Energieniveaus für gebundene Zustände •  Drehimpuls ist quantisiert; quantisierte Energieniveaus für Rotation •  Energieniveaus des harmonischen Oszillators: •  Planksches Wirkungsquantum h = 6,626·10−34 J·s

En = ~!(n+1

2)

~ = h/2⇡

Rotationsquantisierung


Erot

=j(j + 1)

2I~2

L =pj(j + 1)~

Quantenmechanisch:

Wärmekapazität & Freiheitsgrade realer Gase


https://en.wikipedia.org/wiki/Methane

Messwerte für Methan aus http://www.ddbst.com/en/EED/PCP/ICP_C1051.php Zu sehen sind Messwerte (grün) und einen kubischen Splinefit (lila) durch die Messwerte

Methan (CH4)

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