Eigenschaften von Relationen

Ronja Enseleit

November 11, 2016

Welche folgender Relationen sind reflexiv?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt reflexiv, falls:

Definition

∀x ∈ A : xRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind reflexiv?

R1 = {(a, a), (c , c)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (b, a), (c , c)}R3 = ∅

Welche folgender Relationen sind reflexiv?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt reflexiv, falls:

Definition

∀x ∈ A : xRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind reflexiv?

(((((((

(((hhhhhhhhhhR1 = {(a, a), (c , c)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (b, a), (c , c)} ����

�XXXXR3 = ∅

Welche folgender Relationen sind irreflexiv?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt irreflexiv, falls:

Definition

∀x ∈ A : ¬xRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind irreflexiv?

R1 = {(a, a), (c , c)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (b, a), (c , c)}R3 = ∅

Welche folgender Relationen sind irreflexiv?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt irreflexiv, falls:

Definition

∀x ∈ A : ¬xRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind irreflexiv?

((((((((

((hhhhhhhhhhR1 = {(a, a), (c , c)}

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(((((((hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (b, a), (c , c)}

R3 = ∅ �

Welche folgender Relationen sind symmetrisch?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt symmetrisch, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ⇒ yRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind symmetrisch?

R1 = {(a, a), (c , c)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (c , b), (c, c)}R3 = {(a, c), (b, b), (c , a)}R4 = ∅

Welche folgender Relationen sind symmetrisch?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt symmetrisch, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ⇒ yRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind symmetrisch?

R1 = {(a, a), (c , c)} �

(((((((

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(hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (c , b), (c , c)}

R3 = {(a, c), (b, b), (c , a)} �R4 = ∅ �

Welche folgender Relationen sind asymmetrisch?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt asymmetrisch, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ⇒ ¬yRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind asymmetrisch?

R1 = {(a, a), (c , c)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (c , b), (c, c)}R3 = {(a, c), (b, b), (c , a)}R4 = ∅

Welche folgender Relationen sind asymmetrisch?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt asymmetrisch, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ⇒ ¬yRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind asymmetrisch?

(((((((

(((hhhhhhhhhhR1 = {(a, a), (c , c)}

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R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (c , b), (c , c)}

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R3 = {(a, c), (b, b), (c , a)}R4 = ∅ �

Welche folgender Relationen sind antisymmetrisch?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt antisymmetrisch, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ∧ yRx ⇒ x = y

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind antisymmetrisch?

R1 = {(a, a), (c , c)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (c , b), (c, c)}R3 = {(a, c), (b, b), (c , a)}R4 = ∅

Welche folgender Relationen sind antisymmetrisch?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt antisymmetrisch, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ∧ yRx ⇒ x = y

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind antisymmetrisch?

R1 = {(a, a), (c , c)} �

(((((((

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R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (c , b), (c , c)}

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R3 = {(a, c), (b, b), (c , a)}R4 = ∅ �

Welche folgender Relationen sind konnex?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt konnex, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ∨ yRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind konnex?

R1 = {(a, a), (c , c), (b, b), (a, b), (c , b), (c, a)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (c , b), (c, c)}R3 = {(a, c), (b, b), (c , a)}R4 = ∅

Welche folgender Relationen sind konnex?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt konnex, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ∨ yRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind konnex?

R1 = {(a, a), (c , c), (b, b), (a, b), (c , b), (c, a)} �

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R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, a), (c , b), (c , c)}

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R3 = {(a, c), (b, b), (c , a)}��

��XXXXR4 = ∅

Welche folgender Relationen sind semikonnex?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt semikonnex, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind semikonnex?

R1 = {(a, a), (c , c), (b, b), (a, b), (c , b), (c, a)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, b), (c, b)}R3 = {(a, c), (b, a), (c, a)}R4 = ∅

Welche folgender Relationen sind semikonnex?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt semikonnex, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind semikonnex?

R1 = {(a, a), (c , c), (b, b), (a, b), (c , b), (c, a)} �R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, b), (c, b)} �

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R3 = {(a, c), (b, a), (c, a)}���

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Was lsst sich aus was folgern?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt konnex, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ∨ yRx

Eine Relation R auf einer Menge A heißt semikonnex, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx

Die Relation R ist auf der Menge A.Was folgt aus was?R ist konnex ? R ist semikonnex

Was lsst sich aus was folgern?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt konnex, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : xRy ∨ yRx

Eine Relation R auf einer Menge A heißt semikonnex, falls:

Definition

∀x , y ∈ A : x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx

Die Relation R ist auf der Menge A.Es gilt:R ist konnex ⇒ R ist semikonnex

Welche folgender Relationen sind transitiv?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt transitiv, falls:

Definition

∀x , y , z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind transitiv?

R1 = {(a, a), (c , c), (b, b), (a, b), (c , b), (c, a)}R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, b), (c, b), (c , a)}R3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)}R4 = ∅

Welche folgender Relationen sind transitiv?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt transitiv, falls:

Definition

∀x , y , z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz

Beispiel:A = {a, b, c}Welche der folgenden Relationen auf A sind transitiv?

R1 = {(a, a), (c , c), (b, b), (a, b), (c , b), (c, a)} �

(((((((

(((((((

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(hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

R2 = {(a, c), (b, b), (b, c), (a, b), (c , b), (c , a)}R3 = {(a, a), (b, b), (c , c), (a, c)} �R4 = ∅ �

Welche Eigenschaften gelten bei dieser Relation?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt...

Definition...reflexiv, falls: ∀x ∈ A : xRx...irreflexiv, falls: ∀x ∈ A : ¬xRx...symmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ⇒ yRx...asymmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ⇒ ¬yRx...antisymmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ∧ yRx ⇒ x = y...konnex, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ∨ yRx...semikonnex, falls: ∀x , y ∈ A : x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx...transitiv, falls: ∀x , y , z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz

Sei A = {a, b, c} und R eine Relation auf A.R = {(a, c), (a, b), (b, c)}

Welche Eigenschaften gelten bei dieser Relation?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt...

Definition...reflexiv, falls: ∀x ∈ A : xRx...irreflexiv, falls: ∀x ∈ A : ¬xRx...symmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ⇒ yRx...asymmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ⇒ ¬yRx...antisymmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ∧ yRx ⇒ x = y...konnex, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ∨ yRx...semikonnex, falls: ∀x , y ∈ A : x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx...transitiv, falls: ∀x , y , z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz

Sei A = {a, b, c} und R eine Relation auf A.R = {(a, c), (a, b), (b, c)}

Welche Eigenschaften gelten bei dieser Relation?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt...

Definition...reflexiv, falls: ∀x ∈ A : xRx...irreflexiv, falls: ∀x ∈ A : ¬xRx...symmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ⇒ yRx...asymmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ⇒ ¬yRx...antisymmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ∧ yRx ⇒ x = y...konnex, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ∨ yRx...semikonnex, falls: ∀x , y ∈ A : x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx...transitiv, falls: ∀x , y , z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz

Sei A = {a, b, c} und R eine Relation auf A.R = {(a, a), (c , a), (a, b), (c , b), (c , c), (a, c), (b, c), (b, b), (b, a)}

Welche Eigenschaften gelten bei dieser Relation?

Eine Relation R auf einer Menge A heißt...

Definition...reflexiv, falls: ∀x ∈ A : xRx...irreflexiv, falls: ∀x ∈ A : ¬xRx...symmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ⇒ yRx...asymmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ⇒ ¬yRx...antisymmetrisch, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ∧ yRx ⇒ x = y...konnex, falls: ∀x , y ∈ A : xRy ∨ yRx...semikonnex, falls: ∀x , y ∈ A : x 6= y ⇒ xRy ∨ yRx...transitiv, falls: ∀x , y , z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz

Sei A = {a, b, c} und R eine Relation auf A.R = {(a, a), (c , a), (a, b), (c , b), (c , c), (a, c), (b, c), (b, b), (b, a)}