Ein Ball fällt aus einer Höhe von 1 m, wird vollkommen...

ÜA Physikübungsaufgaben Institut für math.-nat. Grundlagen (IfG)

Übungsaufgabensammlung Physik IfG HHN

Datei Boden_Ball.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; anharmonische Schwingung Titel Vom Boden reflektierter Ball Hinweise: Orear: Kap. 11

Hering: Kap. 5.1 - 5.1.2.5 Dobrinski: Kap. 5.1.1 - 5.1.3 Alonso Finn: Kap. 9.1 - 9.5 Kamke Walcher: Kap. 13.1

Gesp. am 02.08.2018

Vom Boden reflektierter Ball

Ein Ball fällt aus einer Höhe von 1 m, wird vollkommen elastisch reflektiert und

springt auf die Ausgangshöhe zurück. Dieser Vorgang wiederholt sich periodisch.

a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer des Vorgangs.

b) Ist die Bewegung harmonisch?

Ergebnis: a) T = 0,90 s b) nein! (F nicht proportional zur Auslenkung)



Datei Drehpendel_1.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Drehpendel-Vollkugel Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Drehpendel-Vollkugel

Es soll eine Vollkugel mit der Masse m und dem Durchmesser 2r mit Hilfe eines mas-

senlosen Fadens der Länge r wie skizziert an der Raumdecke aufgehängt werden

und sodann in (nahezu ungedämpfte) Schwingungen mit Ausschlägen kleiner 5° ver-

setzt werden.

Welche Abweichung (angegeben in % vom richtigen Ergebnis) erhält man, wenn

man die Schwingungsdauer:

a) nach der Gleichung für das Fadenpendel und

b) nach der Gleichung für das allgemeine Drehpendel berechnet?

2r

m r

Ergebnis: % 65,4



Datei Drehpendel_2.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Drehpendel-Fahrradfelge Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Drehpendel-Fahrradfelge

Eine leere Fahrradfelge werde über einen Nagel an die Wand gehängt und führt dort - ohne die Wand zu berühren - Schwingungen kleiner Amplitude aus.

Wie groß ist ihre Schwingungsdauer, wenn der Durchmesser 66 cm beträgt?

A

Ergebnis: T = 1,63 s



Datei Drehpendel_3.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Drehpendel-Uhr Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Drehpendel-Uhr

Ein Uhrpendel, bestehend aus dem Stab S mit der Masse mS und der Länge l, und

der auf ihm montierten Kreisscheibe K mit der Masse mK und dem Durchmesser 2 r,

führe Schwingungen kleiner als 5° aus.

Berechnen Sie seine Schwingungsdauer allgemein. Setzen Sie zur Vereinfachung

l = 6 r, a = 4 r und mK = 4 mS.

Drücken Sie konsequent alle Längen durch r und alle Massen durch mS aus.

Zeigen Sie auch, dass dabei - wie in der Vorlesung behauptet - die Masse vollständig

aus der Schwingungsdauergleichung herausfällt.

Ergebnis: g

rT 05.4

l a

A

S

K

m

mK

S



Datei Drehpendel_4.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Drehpendel-Rad Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Drehpendel-Rad

Zur Bestimmung des Massenträgheitsmoments eines Rades von beliebiger Gestalt

um seine Laufachse (= Figurenachse) werde eine Schnur durch die Achsöffnung ge-

zogen und rechts und links an der Decke befestigt, so dass der Radkörper senkrecht

stehend, Schwingungen kleiner Amplitude ( 5°) um die Verbindungslinie der beiden

Aufhängepunkte an der Decke ausführen kann. Die Figurenachse (= normale Dreh-

achse des Rades) stellt sich dabei parallel zur aktuellen Drehachse ein; diese soll

25 cm über der Figurenachse liegen.

Wie groß ist das Massenträgheitsmoment dieses Rades, wenn seine Masse m = 2 kg

und die Schwingungsdauer 1,2 s beträgt?

Ergebnis: 2mkg 0539.0 sJ 2mkg 179.0 AJ



Datei Drehpendel_5.docx Kapitel Schwingungen und Wellen freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Drehpendel-Stabquadrat Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Drehpendel-Stabquadrat

Ein aus vier dünnen Stäben angefertigter quadratischer Rahmen ist an einer Ecke

aufgehängt und führt Schwingungen von 1 s Dauer aus.

Wie groß ist die Seitenlänge des Quadrats?

Ergebnis: l = 21,1 cm



Datei Drehpendel_6.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Drehpendel-3 Stäbe Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Drehpendel-3 Stäbe

Ein physikalisches Pendel mit der Drehachse A bestehe aus 3 dünnen, geraden,

starren, identischen Stäben von jeweils 1 m Länge und jeweils derselben Masse m

(vgl. untere Abb.).

a) Mit welcher Periodendauer schwingt die Anordnung bei kleinen Auslenkwin-

keln?

b) Wie groß muss der Radius einer Scheibe mit der Masse 4 m gewählt werden,

die zur mechanischen Stabilisierung mit den Stäben zentralsymmetrisch ver-

schweißt werden soll, damit sich die Periodendauer der Gesamtanordnung

nicht ändert?

c) Mit welcher Periodendauer schwingt die Gesamtanordnung, wenn sich durch

unsachgemäßes Arbeiten der Gesamtschwerpunkt nach dem Anschweißen der

Scheibe um 10% in Stabrichtung 1 nach unten verlagert hat?

1

2

3

A

Ergebnis: a) T = 1,64 s b) 6

l

r c) T = 1,68 s



Datei Drehpendel_7.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Drehpendel-linsenförmige Scheibe Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Drehpendel-linsenförmige Scheibe

Bei einer "linsenförmigen" Scheibe (konstante Dichte , rotationssymmetrisch um die

z-Achse, Radius R, Masse m) sei die "Dicke" h(r) durch folgende Parabel gegeben:

2

1Rr

Hrh .(untere Abbildung)

a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment JS (allg. Rechnung, d.h. Formel

JS = ...mR2 herleiten, dazu zuerst Masse m berechnen!)

b) Die Scheibe wird an einem Punkt P im Abstand a vom Mittelpunkt reibungsfrei

drehbar aufgehängt (P kann auch außerhalb der Scheibe liegen). Berechnen

Sie die Frequenz f, mit der die Scheibe um ihren Aufhängepunkt pendelt (für

kleine Auslenkwinkel, << 1)!

Num. Rechnung für die Zahlenbeispiele: R = 0.05 m, 313

1

Ra

Ra

Ra

;;

c) Wie groß muss a / R gewählt werden, damit sich die maximale Schwingungsfre-

quenz ergibt? Wie groß ist diese?



Ergebnis: a) 2

3

1mRJs b)

R

a

Ra

R

g

3/

1

320 c)

3

1

max

fR

a



Datei Drehpendel_8.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Drehpendel-Holzscheibe Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Holzscheibe als Drehpendel

In eine Holzscheibe mit dem Radius R=20 cm und der Masse M=3.0 kg wird in einem

Abstand d=2.0 cm vom Rand ein verschwindend kleines Loch gebohrt. Die Scheibe

hängt an der Wand und ist an einem Metallstift, der durch das Loch gesteckt wurde,

reibungsfrei aufgehängt. Sie wird als Pendel benutzt und schwingt um die Achse des

Metallstiftes.

Die Erdbeschleunigung wird mit g = 9.81 m/s² angenommen.

a) Wie groß ist die Periode dieses Pendels bei kleinen Schwingungen?

b) Das Loch soll nun so versetzt werden, dass die Schwingungsdauer ein Extremum

annimmt.

Bei welchem Abstand s– jetzt von dem Mittelpunkt der Kreisscheibe aus gerech-

net – erreicht man diesen Extremwert der Schwingungsdauer?

c) Wird die Periode an diesem Punkt minimal oder maximal?

Ergebnis: a) T=1.08 s b) s=14.1 cm c) minimal



Datei Eisenkern.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel schwingender Eisenkern Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

schwingender Eisenkern

Eine Spule wird mit sinusförmiger Wechselspannung von 10 Hz bzw. 50 Hz versorgt.

Die magnetische Kraft auf ihren reibungsfrei gelagerten Eisenkern der Masse 1 kg ist

harmonisch und erreicht den Maximalwert 1 N.

Berechnen Sie die Kreisfrequenz und die Amplitude mit welcher der Eisenkern

schwingt sowie seine maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung für beide Fre-

quenzen der Wechselspannung.

Ergebnis: 10 Hz: = 62,8 Hz; x0 = 250 µm; v0 = 1,58 cm/s; a0 = 0,986 m/s² 50 Hz: = 314 Hz ; x0 = 10,1 µm; v0 = 3,18 mm/s; a0 = 0,996 m/s²



Datei Eiswuerfel.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Eiswürfel in Schale Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Eiswürfel in Schale

Ein Eiswürfel gleite reibungsfrei in einer "parabolischen" Schale (Höhe

y(x) = ax2, a = 1 m-1).

a) Zeigen Sie, dass sich für kleine Auslenkungen eine harmonische Schwingung

mit der Kreisfrequenz ga 20 ergibt!

Hinweis: für kleine Winkel << 1 gilt sin() tan() !

b) Der Eiswürfel wird bei x0 = 4 cm aus der Ruhe losgelassen.

Wann ist er erstmals bei x = 0?

Welche Geschwindigkeit hat er dann? Welche Geschwindigkeit hat er, wenn er

erstmals am Punkt x2 = -3 cm ankommt?

Ergebnis: a) sinmgFrück und axdx

dy2tansin

b) s35,01 t , s

m177,0)( 1 tv ,

s

m117,0)( 2 tv



Datei Fadenpendel_1.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Mathematisches Pendel-1 Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Mathematisches Pendel

Das Diagramm zeigt die Auslenkung eines („mathematischen“) Pendels als Funktion

der Zeit. Entnehmen Sie dem Diagramm:

a) Amplitude

b) Schwingungsdauer, Frequenz und Kreisfrequenz

c) Nullphasenwinkel

d) Berechnen Sie die Länge des Pendels!

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

phi

t /s

Ergebnis: a) 0,08 rad b) 1 s; 1 Hz; 6,28 s-1 c) 30° d) 25 cm



Datei Fadenpendel_2.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Mathematisches Pendel-2 Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Mathematisches Pendel

Ein Pendel ("punktförmige" Masse an "masseloser" Stange) schwingt mit der Perio-

dendauer T = 2 s. Das Pendel wird zur Zeit t = 0 beim Auslenkwinkel = +3° mit der

Geschwindigkeit v0 = -0,15 ms-1 angestoßen (in Richtung auf die Ruhelage).

a) Wie lang ist das Pendel?

b) Bestimmen sie die Gleichung der Pendelauslenkung x = x(t), skizzieren sie x(t)!

(Hinweis: für << 1 gilt sin() )

c) Wann und mit welcher Geschwindigkeit geht das Pendel durch die Ruhelage

(x = 0)?

Ergebnis: a) L = 0,994 m b)

83,0s

sinm 071,0 ttx c) s 0,261 t

s

m 22,01 tv



Datei Feder_Masse_Pendel_1.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Feder-Masse-Pendel-1 Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Feder-Masse-Pendel

Ein Körper der Masse m = 3 kg schwingt "reibungsfrei" an einer Feder mit der Feder-

konstanten c = 1,2 Nm-1 . Die Ruhelage ist bei x = 0. Zur Zeit t = 0 befindet sich der

Körper bei x0. Die maximale Auslenkung beträgt m 03,0ˆ x und wird zum ersten mal

zur Zeit t1 = 1 s erreicht.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Auslenkung x = x(t)!

b) Wo ist der Körper zur Zeit t = 0?

Welche Geschwindigkeit hat er zur Zeit t = 0?

Ergebnis: a)

0,632-s

10,632cos m 0,03 ttx b) m 0242,00 x

s

m 0112,00 v





Gesp. am 02.08.2018

Feder-Masse-Pendel

Ein Körper der Masse m = 4 kg hängt an einer Feder mit der Federkonstanten

D = 0,6 Nm-1. Die Ruhelage ist bei x = 0. Zur Zeit t1 = 2 s geht der Körper durch den

Ursprung (x(t1) = 0). Zur Zeit t2 = 4 s beträgt die Geschwindigkeit v2 = 4 ms-1.

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Auslenkung x = x(t)!

b) Wo ist der Körper zur Zeit t = 0? Welche Geschwindigkeit hat er zur Zeit t = 0?

Ergebnis: a)

0,796+t

s

10,387cos m 45,14tx b) m 1,100 x

s

m 40 v





Gesp. am 02.08.2018

Feder-Masse-Pendel

Ein Körper mit einer Masse von 5 kg hängt an einer Feder mit der Federkonstanten

D = 2.103 Nm-1.

Wie weit entfernt er sich maximal von der Ausgangslage,

a) wenn man die Feder sich nur sehr langsam ausdehnen lässt?

b) wenn man den Körper allein unter dem Einfluss von Feder und Schwerkraft fal-

len lässt?

Ergebnis: a) 2,45 cm b) 4,9 cm





Gesp. am 02.08.2018

Feder-Masse-Pendel

Ein Körper mit der Masse m = 4 kg hängt an einer Feder mit der Federkonstanten

k = 0,6 Nm-1. Die Ruhelage ist bei x = 0. Zur Zeit t1 = 2 s ist die Auslenkung des Kör-

pers gerade Null. Zur Zeit t2 = 4 s beträgt seine Geschwindigkeit 4 ms-1.

a) Bestimmen Sie die Orts – Zeit – Funktion des Körpers.

b) Wo befindet sich der Körper zur Zeit t = 0 und welche Geschwindigkeit hat er zu

diesem Zeitpunkt?

Ergebnis: a) )775,0s

10,387 sin(14,5m)( ttx b) m 2,01)0(x

s

m 0,4)0( v





Gesp. am 02.08.2018

Feder-Masse-Pendel

Ein Pendel wird aus seiner stabilen Gleichgewichtslage in positiver Richtung mit der

Anfangsgeschwindigkeit von 10 cms-1 ausgelenkt. Danach schwinge das Pendel frei,

ungedämpft und harmonisch mit der Periodendauer 3,14 s.

a) Stellen Sie y(t) der harmonischen Schwingung über zwei Periodendauern gra-

fisch dar!

b) Wie groß ist die Schwingungsamplitude des Pendels?

c) Nach welcher Zeit – seit Bewegungsbeginn - hat das Pendel nur noch ein Vier-

tel seiner Anfangsgeschwindigkeit?

Ergebnis: a) b) 5 cm c) 0,659 s





Gesp. am 02.08.2018

Feder-Masse-Pendel

Ein Teilchen mit einer Masse von 4 kg führt harmonische Schwingungen mit einer

Periode von 1 s und einer Amplitude von 10 cm aus.

Berechnen Sie die Kraft auf das Teilchen und seine kinetische Energie, wenn es sich

5 cm in positiver Richtung von der Gleichgewichtslage entfernt hat.

Ergebnis: 7,896 N 0,59 J



Datei Feder_Masse_Pendel_7.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Feder-Masse-Pendel mit Schwerkraft Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Feder-Masse-Pendel mit Schwerkraft

Stellen Sie die Bewegungsgleichung für ein vertikal aufgehängtes Federpendel unter

Berücksichtigung der Schwerkraft auf und lösen Sie die Differentialgleichung.

Vergleichen Sie die Lösung mit der des schwerefreien Falls.

Ergebnis: gxm

k

dt

xd

2

2

k

mgtxtx )sin()( 0



Datei Hebelpendel.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Hebelpendel Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Hebelpendel

Ein Seismograph zur Aufzeichnung extrem langsamer vertikaler Erdbebenschwin-

gungen ist im Prinzip als Hebelpendel ausgeführt.

Wie groß ist die Eigenfrequenz des um die Achse A drehbaren Hebelpendels, ausge-

drückt durch die in der Skizze angegebenen Größen l*, l, m und Federkonstante k*?

k *

Al *

l m

Ergebnis: m

k

l

lf

*)

*()

2

1(0



Datei Kleinlaster.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Federung eines Kleinlasters Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Federung eines Kleinlasters

Ein Klein-Laster habe unbeladen, aber fahrbereit, die Masse m1 = 740 kg. Beim Bela-

den mit einer Nutzlast m2 = 300 kg möge sich die Ladepritsche um 6 cm in den Wa-

genfedern senken.

Mit welcher Frequenz schwingt dieses Fahrzeug, wenn es durch einen Stoß von der

Fahrbahn her angeregt wird?

Ergebnis: T = 0,915 s



Datei Koerper.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel schwingender Körper Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

schwingender Körper

Ein Körper vollführe ungedämpfte harmonische Schwingungen: )sin( ˆ)( 0tyty .

Wie groß ist das Verhältnis der Geschwindigkeiten v1:v2, die zu den Momentanwer-

ten der Auslenkung 2 / )( 1 yty ˆ und 2 /)2 yty ˆ( gehören?

Ergebnis: 2

3



Datei Koerper_Federn.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Körper von 2 Federn gehalten Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Körper von 2 Federn gehalten

Ein Körper der Masse m wird von zwei gleichen Federn (jeweils Federkonstante D)

gehalten. Der Abstand der Befestigungspunkte der Federn beträgt d = 2 l, die Federn

haben jeweils ohne Belastung die Länge l0 (l0 < l !!).

a) Berechnen Sie die rücktreibende Kraft Fx(x) (Formel!), wenn der Körper um die

(kleine!) Strecke x zur Seite ausgelenkt wird. (x << l, d.h. jede zusätzliche Stre-

ckung der Feder sei vernachlässigbar, ll !)

b) Für m = 1 kg, D = 400 Nm-1, l0 = 0,15 m bestimme man den Abstand d der Be-

festigungspunkte so, dass sich eine Schwingung mit der Periodendauer T = 1 s

ergibt!

l

l

x

l < l

l´

Ergebnis: a)

xl

llDFX

02 b) d = 0,316 m



Datei Koerper_Platte_1.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Körper auf Platte-1 Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Körper auf Platte-1

Eine horizontale ebene Platte schwingt (sin-Schwingung!) vertikal mit der Frequenz

f = 10 Hz.

Wie groß darf die Amplitude der Schwingung maximal sein, damit ein Körper, der frei

auf der Platte liegt, nicht von ihr abhebt?

Ergebnis: A < 2,48 mm



Datei Koerper_Platte_2.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Körper auf Platte-2 Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Körper auf Platte

Eine horizontal angeordnete Platte führt in senkrechter Richtung Schwingungen mit

der Amplitude cm 7,5y aus.

Wie groß darf die Schwingungsfrequenz der Platte höchstens sein, damit ein Körper,

der frei auf ihr liegt, nicht von seiner Unterlage abhebt?

Ergebnis: 1,82 Hz



Datei Laufkatze.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Last einer Laufkatze schwingt Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Last einer Laufkatze schwingt

Eine Last mit der Masse m = 1 t hänge an einer Laufkatze, die sich mit der Ge-

schwindigkeit v = 2 ms-1 horizontal bewegt. Der Schwerpunktabstand der Last sei

5 m. Beim plötzlichen Anhalten der Laufkatze beginnt die Last zu schwingen. Behan-

deln Sie die Last als einen Massepunkt.

a) Wie groß ist jetzt die höchste Belastung des Aufhängeseils und

b) mit welcher Amplitude schwingt die Last?

Ergebnis: a) N 1061.10= 3

max F b) x = 1,4 m



Datei Loch_Erde.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Loch durch die Erdkugel Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 02.08.2018

Loch durch die Erdkugel

Stellen Sie sich vor, es gelänge, ein Loch mitten durch die Erdkugel zu bohren und

es zu evakuieren.

(Verwenden Sie nur folgende Konstanten: g =9.81 ms-2, RE = 6370 km!)

a) Welche Kraft wirkt auf einen Körper der Masse m beim Radius r (r < RE)?

b) Ein Körper fällt bei t = 0 aus der Ruhe in das Loch. Bestimmen Sie die Glei-

chung der Bewegung x(t) (x = 0 im Erdmittelpunkt). Wie lange dauert es, bis der

Körper am anderen Ende des Loches ankommt?

c) Vergleichen Sie die in b) berechnete Zeit mit der Zeit, die ein niedrigfliegender

Satellit (r RE) für eine halbe Erdumrundung braucht!

d) Der Körper werde nun mit der Geschwindigkeit -1E1 ....ms Rgv in das Loch

"geschossen". Bestimmen Sie wieder x(t)! Mit welcher Geschwindigkeit fliegt

der Körper durch den Erdmittelpunkt?

Ergebnis: a) ER

rgmF (lineare Rückstellkraft!) b) s 25321 t

c) E

s R

g2 0 s gleiche Zeit! d) 4 , 2 ERA

s

m 11179max v



Datei Oszillator.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Harmonischer Oszillator-Anfangsbedingungen Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

Harmonischer Oszillator-Anfangsbedingungen

Bestimmen Sie die Gleichung der Auslenkung eines harmonischen Oszillators mit

der Eigenfrequenz (Kreisfrequenz) 0 = 1 s-1 für folgende Anfangsbedingungen:

a) Bei t = 0 wird der Oszillator bei x(0) = 10 cm aus der Ruhe losgelassen.

b) Bei t = 0 wird der Oszillator bei x(0) = 0 mit der Geschwindigkeit v(0) = 1 ms-1

angestoßen.

Ergebnis: a) )1

1cos( m 1,0)( ts

tx b) )1

1( sin m 1)( ts

tx



Datei Pendeluhr.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Pendeluhr im Bergwerk Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

Pendeluhr im Bergwerk

Das Pendel einer Pendeluhr besteht aus einer "punktförmigen" Masse an einer "mas-

selosen" Stange der Länge l = 1 m.

a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T1 des Pendels sowie die Anzahl der

Schwingungen N1, die das Pendel in einer Woche ausführt.

b) Das Pendel sei l = 1 mm zu lang. Um wie viele Sekunden geht die Uhr

dadurch pro Woche vor/nach?

c) Die Pendeluhr (mit l = 1 m) wird nun in ein h = 200 m tiefes Bergwerk gebracht.

Wie groß ist die relative Änderung (0)

)( - (0)

ghgg

der Schwerebeschleunigung im

Bergwerk gegenüber der Schwerebeschleunigung an der Erdoberfläche? (Die

Erde soll als ideale homogene Kugel betrachtet werden!)

Um wie viele Sekunden geht die Uhr im Bergwerk pro Woche vor/nach?

Ergebnis: a) s 0061.21 T , 5,3014851 N

b) s 302t Da T2 größer ist, geht die Uhr nach.

c) (T größer geht nach.) s 5,9t



Datei Reihenschaltung.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel 2 Schraubenfedern-Reihenschaltung Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

2 Schraubenfedern-Reihenschaltung

Eine 120 cm lange Schraubenfeder mit der Federrate 3 Nm-1 werde mit ihrem einen

Ende an der Raumdecke aufgehängt; an ihrem freien Ende werde eine 80 cm lange,

zweite Schraubenfeder mit der Federrate 7 Nm-1 befestigt und danach an derem, frei

herabhängenden, zweiten Ende eine kleine Stahlkugel mit der Masse m = 500 g an-

gehängt.

Mit welcher Frequenz wird dieses Feder/Masse-System schwingen, wenn es ange-

regt wird?

Ergebnis: s

1 326.0



Datei Reisebus.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Federung eines Reisebusses Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

Federung eines Reisebusses

In einen Reisebus steigen 20 Personen mit einer durchschnittlichen Masse von je

75 kg. Hierbei senkt sich die Karosserie um 10 cm.

a) Bestimmen Sie die Konstante k der Federung des Busses.

b) Wie groß ist die Schwingungsdauer des leeren und des besetzten Fahrzeugs,

wenn die Masse des mitschwingenden Wagenteils 3000 kg beträgt?

Ergebnis: a) k = 147150 N/m b) Tleer = 0,897 s, Tbel = 1,099 s



Datei Schwebung.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; Schwebung Titel 2 Elektromotoren-Schwebung Hinweise: Orear: Kap. 21

Hering: Kap. 5.1.3 - 5.1.5 Dobrinski: Kap. 5.1.5 - 5.1.8 Alonso Finn: Kap. 9.12, 9.7, 9.9 Kamke Walcher: Kap. 13.3, 13.4

Gesp. am 03.08.2018

2 Elektromotoren-Schwebung

Zwei Elektromotoren laufen ungefähr mit der Drehzahl 3000 min-1. Der Ton, den man

von beiden zusammen hört, wird pro Sekunde zweimal lauter und leiser.

Um wieviel Prozent differieren demnach die Drehzahlen?

Ergebnis: 4%



Datei Schwingkreise.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; Schwebung Titel 2 gekoppelte Schwingkreise Hinweise: Gesp. am 03.08.2018

2 gekoppelte Schwingkreise

Zwei Schwingkreise sind gekoppelt. Wird der erste einmal angeregt, dann schwingt

der zweite 1 µs später mit Maximalamplitude.

Welchen Frequenzabstand haben die zwei Maxima der gemeinsamen Resonanz-

kurve?

Ergebnis: 500 kHz



Datei Schwingung_2dim.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Schwingung-2dimensional Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

Schwingung-2dimensional

Die x- bzw. y-Koordinate eines Teilchens folgt der Gleichung xt

x 22

2ω

d

d bzw.

yt

y 22

2ω

d

d . Der maximale x-Wert sowie der maximale y-Wert betragen jeweils R0.

Zum Zeitpunkt t = 0 s ist x = R0 und y = R0.

a) Geben Sie die Funktionen x(t), y(t), und )()( trtr

an.

b) Geben Sie die Funktion )()( tvtv

an.

c) Skizzieren Sie die Bahn des Teilchens.

Ergebnis: a) x(t) = Rocos( t), y(t) = Rocos( t), )ωcos(2)( 0 tRtr b) )ωsin(ω2)( 0 tRtv c)



Datei Tauchschwinger.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Tauchschwinger Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

Tauchschwinger

Berechnen Sie die Schwingungsdauer des in der Skizze unten gezeichneten Tauch-

schwingers. Behandeln Sie dazu die Rolle und das Seil als ideal im Sinne der Vorle-

sung. Der Tauchkörper soll im Gleichgewicht des Systems bis zur gezeichneten

Marke in die Flüssigkeit eintauchen. Setzen Sie als bekannt voraus:

Die Massen der beiden Körper m1 = 1,2 kg, m2 = 1,5 kg, die Dichte der Flüssigkeit

= 1 kgdm-3, den Querschnitt des Tauchkörpers A = 5 cm2.

a) Ist die entstehende Schwingung eine harmonische? (Antwort ist nur gültig mit

quantitativer Begründung!)

b) Geben Sie eine allgemeine Schwingungsdauergleichung für solche Tauch-

schwinger an?

c) Berechnen Sie den Zahlenwert der Schwingungsdauer für dieses spezielle Pen-

del.

Ergebnis: a) konst.

Agy

yAg

y

Vg

y

F

y

Fk Ar

b) Ag

mmT

212

c) T = 4,66 s

1

2

A



Datei Teppich.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel fliegender Teppich Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

fliegender Teppich

Auf dem Volksfest wird eine Fahrt auf dem "fliegenden Teppich" angepriesen. Das ist

eine Plattform, die eine harmonische Bewegung in vertikaler Richtung ausführt und

deren Höhe dabei zwischen 1 m und 8 m schwankt. Im oberen Umkehrpunkt fühlen

sich die Fahrgäste einen Moment lang schwerelos.

Bestimmen Sie die Periode der Bewegung.

Ergebnis: T=3,7 s



Datei Translationsschwingung.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel harmonische Translationsschwingung Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

harmonische Translationsschwingung

Die Orts-Zeit-Funktion: )sin(ˆ)( 0 txtx [ bzw. )cos(ˆ)( 0 txtx ] stellt eine

harmonische Translationsschwingung dar. x heißt die "Amplitude" der Schwingung

und 0 der Anfangswert des Phasenwinkels )( 0 t . Es soll x den Wert 5,3 cm,

0 den Wert 45° und den Wert 0,9 s-1 haben.

Man berechne die Beschleunigung, die auf den schwingenden Körper wirkt, zum

Zeitpunkt t1 = 0,3 s nach Beginn der Schwingung.

Ergebnis: 2s

m 0.0374a



Datei Transrapid.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Transrapid Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 03.08.2018

Transrapid

Nehmen Sie an, die Trasse (Länge 2 L) der Magnetschwebebahn Transrapid zwi-

schen Hamburg (HH) und Berlin (B) könnte mittels Brücken und Tunnels so gebaut

werden, dass sie genau geradlinig verläuft, also nicht der Erdkrümmung folgt. Die

Bahn sei völlig reibungsfrei (auch keine Luftreibung)!

a) Berechnen Sie die Kraft Fx, die auf einen Wagen der Masse m wirkt, der sich

bei Position x befindet! x = 0 ist in der Mitte zwischen HH und B, dort verlaufe

die Trasse genau horizontal. Welches Kraftgesetz ergibt sich für *?

Was folgern Sie daraus für die Bewegung des Wagens?

b) Der Wagen wird nun in HH (x(0) = -L) aus der Ruhe losgelassen. Bestimmen

Sie x(t)! Wie lange dauert es, bis er in B ankommt? Hängt die Fahrzeit von der

Entfernung HH - B ab? Welche maximale Geschwindigkeit erreicht er? Wie

groß ist die mittlere Geschwindigkeit? (2 L = 250 km, RE = 6370 km)

*Hinweis: Verwenden Sie geeignete Näherungen für den Fall x << RE bzw.

x/RE << 1: z.B. gilt für 2

ε1ε1 εεtanεsin 1ε ,: .

... z u m Erd m i t t e l p u n k t

H H B

- L +L

Ergebnis: a) xR

gmF

Ex

ER

gHO 2

0, b) t = T/2 = 42 min, h

km558max v ,

h

km357v



Datei U_Rohr.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Flüssigkeitspendel im U-Rohr Hinweise: Orear: Kap. 11


Gesp. am 23.08.2018

Flüssigkeitspendel im U-Rohr

In einem U-Rohr (Querschnittsfläche A) befindet sich eine Flüssigkeitssäule (Dichte

) der Länge l.

a) Berechnen Sie die rücktreibende Kraft, wenn der Flüssigkeitsspiegel in einem

Schenkel um y gegenüber der Gleichgewichtslage verschoben ist (Formel!)

b) Wie lautet die Differentialgleichung (Newton II) für die Bewegung des Flüssig-

keitsspiegels y(t)?

c) Berechnen Sie die Kreisfrequenz der Schwingung! (erst allg., dann für

l = 10 cm)

d) Zum Zeitpunkt t = 0 habe der Flüssigkeitsspiegel mit y(0) = y0 = 1 cm den hal-

ben Maximalausschlag erreicht und bewege sich nach oben. Bestimmen Sie

y(t)! Skizzieren Sie y(t)!

Ergebnis: a) gyAF 2 b) DGL: 02d

d2

2

yl

g

t

y c) s

1 140 d) 524,0= , cm 2 my



Datei Uhrenpendel.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, ungedämpfte, harmonische Schwingung Titel Uhrenpendel Hinweise:

Orear: Kap. 11 Hering: Kap. 5.1 - 5.1.2.5 Dobrinski: Kap. 5.1.1 - 5.1.3 Alonso Finn: Kap. 9.1 - 9.5 Kamke Walcher: Kap. 13.1

Gesp. am 03.08.2018

Uhrenpendel

Die Länge des Pendels einer Uhr wird so eingestellt, dass die Uhr bei kleiner Pende-

lamplitude gerade richtig geht.

Geht die Uhr vor oder nach, wenn das Pendel mit zu großer Amplitude schwingt?

(Anleitung: Vergleichen Sie die rücktreibende Kraft des Pendels mit einer harmoni-

schen Kraft.)

Ergebnis: Uhr geht langsamer !



Datei Feder_Masse_Pendel_Ged.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, gedämpfte, harmonische Schwingung Titel Gedämpftes Feder-Masse-Pendel Hinweise: Hering: Kap. 5.1.2.6 , 5.1.2.7

Dobrinski: Kap. 5.1.4 Alonso Finn: Kap. 9.11 Kamke Walcher: Kap. 13.2

Gesp. am 02.08.2018

Gedämpftes Feder-Masse-Pendel

Ein Körper der Masse m = 4 kg hängt an einer Feder mit D = 100 Nm-1. Die Rei-

bungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, FR = -k*v, mit k = 4,0 kgs-1. Zur Zeit

t1 = 0 s befindet sich der Körper bei x1 = 0 und ruht (v1 = 0). Eine äußere Kraft von

F0 = 1 N wirkt bis zur Zeit t2 = 2 s. Für t > t2 bleibt das System sich selbst überlassen,

es wirkt keine äußere Kraft mehr. Durch die 2 s lang wirkende Kraft wird das System

Feder/Masse zu Schwingungen angeregt. Wir wollen den "Einschwingvorgang" und

das "Abklingen" der Schwingung berechnen.

a) Stellen Sie die Differentialgleichung der Bewegung (Newton II) für 1) t < t2 und

2) t > t2 auf.

b) Wie lautet die allgemeine Lösung der DGl. für Fall 1) und 2)?

Hinweis: 2.) siehe Vorlesung. 1.) Suchen Sie zunächst eine spezielle Lösung

der inhomogenen DGl. Im vorliegenden Fall (konstante äußere Kraft) muss die

Lösungsfunktion x(t) nicht einmal von der Zeit abhängen (Stationäre Lsg. nach

Abklingen der Einschwingvorgänge). Die allgemeine Lösung erhalten Sie durch

Überlagerung ihrer speziellen Lösungen. mit der allgemeinen Lösung der ho-

mogenen DGl. (vergl. Vorl.).

c) Bestimmen Sie für Fall 1) die Lösung, die die Anfangsbedingungen bei t = 0 er-

füllt!

d) Wie groß sind Auslenkung x2 und Geschwindigkeit v2 zur Zeit t2?

e) Bestimmen Sie die Lösung der (homogenen) DGL für t > t2 , so dass Auslen-

kung und Geschwindigkeit stetig an die in d) gefundenen Werte anschließen.

f) Zeichnen Sie die Funktion x(t) für 0 < t < 6 s.



Ergebnis: a) mit: s

1 5

s

1 5,0 0 1.) 1

202

2

2 d

d2

d

d : ax

t

x

t

xtt

2.) 0d

d2

d

d : 2

02

2

2 xt

x

t

xtt

b) Fall 2: s

1 975,4mit eee 2ii

2 d

ttdAtx

Fall 1: +eee 1ii

11 xAtx ttd mit: m 01,01 x

c) 1022,01 , m01005,0A 1 +ecos 111 xtAtx td

d) m 0,01337=2tx , s

m 00927,02 tv

e) )cos(e 2d2 tAtx t mit: rad 655,2 rad 911,9 2+4

2

A2 0 0364 , m f) !



Datei Kernspinresonanz.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, gedämpfte, harmonische Schwingung Titel Kernspinresonanz Hinweise: Hering: Kap. 5.1.2.6 , 5.1.2.7


Gesp. am 02.08.2018

Kernspinresonanz

Bei der Kernspinresonanz entsteht durch den im Magnetfeld schnell rotierenden

Magnetisierungsvektor ein Induktionssignal in einer Empfängerspule. Da die Magne-

tisierung gleichzeitig wie *2exp Tt abnimmt, erhält man ein einer „gedämpften

Schwingung“ entsprechendes Signal mit der Abklingkonstante.

Bestimmen Sie aus den Diagrammen (beachten Sie die unterschiedliche Zeitskala!):

a) Amplitude bei t = 0,

b) Schwingungsdauer, Frequenz und Kreisfrequenz der Schwingung,

c) die Zeitkonstante *2T und die Abklingkonstante .

Ergebnis: a) 0,03 b) T = 23,8 ns f = 42 MHz = 2,64.108 s-1 c) *2T = 30 ms = 33,8 s-1



Datei Messreihe.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, gedämpfte, harmonische Schwingung Titel Bewegungsgleichung aus Messreihe für x(t) Hinweise: Hering: Kap. 5.1.2.6 , 5.1.2.7


Gesp. am 02.08.2018

Bewegungsgleichung aus Messreihe für x(t)

Sie beobachten bei einer gedämpften harmonischen Schwingung mit der Ruhelage

bei x = 0 - im Zeitraum 0 < t < 7 s wird die Ruhelage nur zweimal erreicht - folgende

Auslenkungen:

x(t) in cm t in s

20 0

0 2

-15 4

0 6

a) Berechnen Sie die Kreisfrequenz dieser Schwingung.

b) Berechnen Sie die Dämpfungskonstante dieser Schwingung.

c) Stellen Sie die Bewegungsgleichung dieser Schwingung auf und berechnen Sie

damit die Auslenkung x(t1) zum Zeitpunkt t1 = 7 s.

d) Berechnen Sie die Gesamtenergie W0 dieser Schwingung zum Zeitpunkt t0 =2 s

für eine Masse m = 1 kg.

Erbegnis: a) 0.785 1s-1 b) 0.0719 1s-1

c) ,s

10,785 ,

s

10,07191 :mit )cos()( 0 textx t x0 = 20 cm; cm 55,8)( 1 tx

d) mJ 25,9)( 00 tW



Datei Oszillator_Ged.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, gedämpfte, harmonische Schwingung Titel linearer harmonischer Oszillator Hinweise: Hering: Kap. 5.1.2.6 , 5.1.2.7


Gesp. am 03.08.2018

linearer harmonischer Oszillator

Ein linearer harmonischer Oszillator der Eigenfrequenz f0 = 5 Hz werde so gedämpft,

dass die Schwingungsamplitude in der Zeit t1 = 100 s auf 50% absinkt.

a) Wie groß ist die Abklingkonstante?

b) Der Oszillator soll zur Zeit t = 0 bei x(0) = x0 = 0.05 m mit der Geschwindig-

keit v0 angestoßen werden und nach t2 = 300 s noch mit einer Amplitude von

0.05 m schwingen. Bestimmen Sie v0!

Ergebnis: a) s

1 0069,0 b)

s

m 46,120 v



Datei Pendeltuer.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, gedämpfte, harmonische Schwingung Titel Pendeltür Hinweise: Hering: Kap. 5.1.2.6 , 5.1.2.7


Gesp. am 03.08.2018

Pendeltür

Die Bewegung einer Pendeltür mit rücktreibender Feder und Dämpfungsmechanis-

mus wird durch die DGl. des gedämpften harmonischen Oszillators beschrieben. x(t)

ist dabei die von der Türkante zurückgelegte Bogenlänge (Radius R = 1 m). Die Ei-

genfrequenz betrage 0 = 3 s-1. Der Abklingkoeffizient kann durch verschiedene Ein-

stellung der Dämpfung auf die Werte

1) s12 2)

s13 3)

s14

eingestellt werden. Durch einen kurzen Stoß wird die Tür aus der Ruhelage auf eine

Geschwindigkeit v0 = /2 ms-1 gebracht.

a) Bestimmen Sie die Lösung x(t) der DGl. für die Fälle 1, 2 und 3!

b) Skizzieren Sie den Öffnungswinkel als Funktion der Zeit (t)!

c) Wann erreicht die Tür ihre maximale Öffnung (im Fall 1, 2, 3)?

Wie groß ist jeweils der maximale Öffnungswinkel?

Ergebnis: a) Fall 1, Schwingfall: tAtx dt ωδ sine1 180

R

txt mit:

s

1 5 d

m 52

1

A 1,14 , m 246,0 , s 376,0 maxmaxmax xt

Fall 2, aperiodischer Grenzfall: ttBAtx e22 mit: 022 ,0 vBA

0,11 , m 19,0 , s 3

1 maxmaxmax xt

Fall 3, Kriechfall: tt BAtx 21 ee 33 mit:

20

2

033

2

vAB

b) ! c) 1,9 , m 16,0 , s 0,3 maxmaxmax xt



Datei Sensor.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, gedämpfte, harmonische Schwingung Titel Beschleunigungssensor-1 Hinweise: Hering: Kap. 5.1.2.6 , 5.1.2.7


Gesp. am 23.08.2018

Beschleunigungssensor-1

Eine Kugel der Masse m = 4 g befindet sich in einem horizontalen Glasrohr und wird

(wenn keine weiteren Kräfte auf die Kugel wirken) von zwei Spiralfedern, die zusam-

men die Federkonstante D = 0,4 Nm-1 haben, in der Mitte des Rohres (x = 0) gehal-

ten. Das Rohr ist mit einem dickflüssigen Öl gefüllt. Wenn sich die Kugel bewegt,

dann wirkt auf sie die Reibungskraft FR = -k*v (k = 8*10-2 kgs-1). Die Anordnung soll

als Beschleunigungssensor in einem Auto verwendet werden.

a) Das Auto beschleunigt von 0 auf 100 km/h in 8 s (konstante Beschleunigung).

Wie weit wird die Kugel dabei ausgelenkt (nachdem die Schwingungen infolge

der Dämpfung abgeklungen sind)?

b) Das Auto fährt nun mit konstanter Geschwindigkeit, die Kugel ist also bei x = 0.

Durch kurzes Betätigen der Bremse zum Zeitpunkt t = 0 erhält die Kugel die

Geschwindigkeit. v0 = 1 mms-1. Berechnen sie die Bewegung der Kugel x(t)!

(Untersuchen Sie zunächst, ob der Schwing-, Kriech- oder der aperiodische

Grenzfall vorliegt!)

c) Wann wird in b) die maximale Auslenkung erreicht und wie groß ist diese?

Ergebnis: a) x = 34,7 mm b) s

1 10 tetvtx

0 c) s 1,0 max t mm 037,0max x



Datei Stossdaempfer.docx Kapitel Schwingungen und Wellen ; freie, gedämpfte, harmonische Schwingung Titel Stoßdämpfer am PKW Hinweise: Hering: Kap. 5.1.2.6 , 5.1.2.7


Gesp. am 03.08.2018

Stoßdämpfer am PKW

Ein Kraftfahrzeug hat die Masse 760 kg, die sich auf Vorder - und Hinterachse wie

2:3 verteilt. Bei ausgebauten Stoßdämpfern kann man Schwingungen anregen. Man

misst für je 5 Schwingungen vorne 5 s und hinten 6 s.

a) Wie groß sind die vier Federkonstanten?

b) Welche Dämpfungskonstante b müssten die vier Stoßdämpfer des Wagens ha-

ben, damit sich die Federung gerade aperiodisch verhält?

c) Wie ändert sich dieses Verhalten, wenn das Fahrzeug beladen wird? Was folgt

daraus für die Auslegung der Stoßdämpfer, wenn das zulässige Gesamtgewicht

bei einem PKW-Modell erhöht werden soll (Kombi)?

Ergebnis: a) kV = 6,0 kNm-1; kH = 6,25kN/m b) bV = 1,9.10³Ns/m; bH = 2,4.10³Ns/m c) Es entstehen gedämpfte Schwingungen

Ein Ball fällt aus einer Höhe von 1 m, wird vollkommen...

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