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Mathematik macht Freu(n)de AB – Laplace-Experimente Verhältnisse „a zu b“ werden bei Glücksspielen auf 2 unterschiedliche Arten verwendet: 1) Gewinnwahrscheinlichkeit 1 : 6 („günstig zu möglich“) Zum Beispiel: Du möchtest mit einem gewöhnlichen Spielwürfel einen Sechser würfeln. Es gibt 6 mögliche Würfelergebnisse. Nur 1 Ergebnis davon ist für dich günstig. Umgangssprachlich sagt man: „Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 1 zu 6.“ 2) Chance 50 : 50 („günstig zu ungünstig“) Zum Beispiel: Du wirfst eine gewöhnliche Münze und möchtest, dass die Münze auf der Seite „Zahl“ landet. Es gibt also 1 günstige Seite und 1 ungünstige Seite. Umgangssprachlich sagt man: „Die Chancen stehen 50 zu 50.“ In der Wahrscheinlichkeitstheorie meinen wir bei Verhältnissen immer 1), also „günstig zu möglich“. Verhältnisse Ein Laplace-Würfel ist ein fairer 6-seitiger Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durch- nummeriert sind. Wir sagen auch: „Der Würfel hat die Augenzahlen von 1 bis 6.“ Fair bedeutet, dass jede der 6 Seiten gleich wahrscheinlich ist: „1 zu 6“ = 1 : 6 „günstig zu möglich“ a) Du wirfst einen Laplace-Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, . . . . . . eine gerade Zahl zu würfeln? „ zu 6 “ = :6 . . . mindestens die Augenzahl 2 zu würfeln? „ zu 6 “ = :6 b) Du wirfst 2 Laplace-Würfel und berechnest die Summe der beiden Augenzahlen. („Augensumme“) Trage in der Tabelle rechts die Augensummen ein. In der ersten Zeile ist die Augenzahl vom 1. Würfel. In der ersten Spalte ist die Augenzahl vom 2. Würfel. Vor dem Würfeln wettest du auf eine Augensumme. Du gewinnst, wenn du die Augensumme richtig errätst. Auf welche Augensumme solltest du tippen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Laplace-Würfeln . . . . . . die Augensumme 6 zu würfeln? „ zu “= : . . . die Augensumme 7 oder 8 zu würfeln? „ zu “= : . . . eine durch 3 teilbare Augensumme zu würfeln? „ zu “= : . . . eine gerade Augensumme zu würfeln? „ zu “= : . . . eine durch 3 teilbare oder gerade Augensumme zu würfeln? „ zu “= : c) Ich würfle geheim mit zwei Laplace-Würfeln. Vom Würfelergebnis verrate ich dir nur so viel: „Die Augensumme ist größer als 8.“ Mit diesem Wissen im Hinterkopf: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ... . . . dass die Augensumme 12 ist? „ zu “= : . . . dass ein Würfel einen Dreier zeigt? „ zu “= : . . . dass die Augensumme höchstens 10 ist? „ zu “= : . . . dass die Augenzahlen verschieden sind? „ zu “= : Gewinnwahrscheinlichkeiten Datum: 19. August 2019
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Laplace-Experimente
Verhältnisse „a zu b“ werden bei Glücksspielen auf 2 unterschiedliche Arten verwendet:
1) Gewinnwahrscheinlichkeit 1 : 6 („günstig zu möglich“)Zum Beispiel: Du möchtest mit einem gewöhnlichen Spielwürfel einen Sechser würfeln.Es gibt 6 mögliche Würfelergebnisse. Nur 1 Ergebnis davon ist für dich günstig.Umgangssprachlich sagt man: „Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist 1 zu 6.“
2) Chance 50 : 50 („günstig zu ungünstig“)Zum Beispiel: Du wirfst eine gewöhnliche Münze und möchtest, dass die Münze aufder Seite „Zahl“ landet. Es gibt also 1 günstige Seite und 1 ungünstige Seite.Umgangssprachlich sagt man: „Die Chancen stehen 50 zu 50.“
In der Wahrscheinlichkeitstheorie meinen wir bei Verhältnissen immer 1), also „günstig zu möglich“.
Verhältnisse
Ein Laplace-Würfel ist ein fairer 6-seitiger Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durch-nummeriert sind. Wir sagen auch: „Der Würfel hat die Augenzahlen von 1 bis 6.“
Fair bedeutet, dass jede der 6 Seiten gleich wahrscheinlich ist: „1 zu 6“ = 1 : 6 „günstig zu möglich“
a) Du wirfst einen Laplace-Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, . . .
. . . eine gerade Zahl zu würfeln?„ zu 6 “ = : 6
. . . mindestens die Augenzahl 2 zu würfeln?„ zu 6 “ = : 6
b) Du wirfst 2 Laplace-Würfel und berechnest die Summe der beiden Augenzahlen. („Augensumme“)Trage in der Tabelle rechts die Augensummen ein.
In der ersten Zeile ist die Augenzahl vom 1.Würfel.In der ersten Spalte ist die Augenzahl vom 2.Würfel.
Vor dem Würfeln wettest du auf eine Augensumme.Du gewinnst, wenn du die Augensumme richtig errätst.Auf welche Augensumme solltest du tippen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit 2 Laplace-Würfeln . . .. . . die Augensumme 6 zu würfeln?„ zu “ = :
. . . die Augensumme 7 oder 8 zu würfeln?„ zu “ = :
. . . eine durch 3 teilbare Augensumme zu würfeln?„ zu “ = :
. . . eine gerade Augensumme zu würfeln?„ zu “ = :
. . . eine durch 3 teilbare oder gerade Augensumme zu würfeln?„ zu “ = :
c) Ich würfle geheim mit zwei Laplace-Würfeln.Vom Würfelergebnis verrate ich dir nur so viel: „Die Augensumme ist größer als 8.“Mit diesem Wissen im Hinterkopf: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, . . .. . . dass die Augensumme 12 ist?„ zu “ = :
. . . dass ein Würfel einen Dreier zeigt?„ zu “ = :
. . . dass die Augensumme höchstens 10 ist?„ zu “ = :
. . . dass die Augenzahlen verschieden sind?„ zu “ = :
Gewinnwahrscheinlichkeiten
Datum: 19. August 2019
Mathematik macht Freu(n)de AB – Laplace-Experimente
Ein Zufallsexperiment kann verschiedene Ergebnisse haben.Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn es die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:
1) Es gibt nur endlich viele Ergebnisse. Laplace-Würfel: , , , , ,
2) Jedes dieser Ergebnisse tritt mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein. 1 : 6 = 16
Laplace-Experiment
Du wirfst einen gewöhnlichen Spielwürfel.Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl mindestens 5 ist, beträgt:
„ zu 6 “ = : 6 = 6 = % Anzahl günstige ErgebnisseAnzahl mögliche Ergebnisse
„Günstig durch möglich“
Beim Roulette sind auf einer Scheibe 37 Felder mit den Zahlen von 0 bis 36 nummeriert.Davon sind 18 Felder rot, 18 Felder schwarz, und ein Feld ist grün.Mit einer Kugel wird ein Feld zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus-gewählt. Im Bild rechts ist die Kugel auf dem Feld 24 gelandet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass . . .
a) . . . das grüne Feld ausgewählt wird?
b) . . . ein rotes Feld ausgewählt wird?
c) . . . ein Feld mit einer Zahl von 1 bis 12 ausgewählt wird?
Roulette
Jede der Zahlen von 1 bis 420 wird jeweils auf einen Zettel geschrieben.Anschließend wird einer der Zettel zufällig (mit gleicher Wahrscheinlichkeit) gezogen.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl . . .
a) . . . einstellig ist?
b) . . . zweistellig ist?
c) . . . dreistellig ist?
Zahlenraten
Eine bestimmte Wahrscheinlichkeit beträgt p = 0,000 42. Darunter kann sich Lukas wenig vorstellen.Stelle die Wahrscheinlichkeit als Verhältnis 1 : x dar.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also rund 1 zu .Wird der Versuch 2381 Mal durchgeführt, kann man erwarten, dass das Ereignis 1 Mal eintritt.
Es kann bei den 2381 Versuchen aber auch kein einziges Mal eintreten oder 2 Mal oder 3 Mal, . . . , oder 2381 Mal.
1 zu . . .
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Aus einer Klasse mit 28 Personen werden 5 verschiedene Personen zufällig mit gleicher Wahrscheinlich-keit zur Stundenwiederholung ausgewählt.Wie viele Möglichkeiten gibt es, um aus 28 Personen eine Gruppe von 5 Personen auszuwählen?
Mehr zu solchen Abzählproblemen findest du auf dem Arbeitsblatt – Kombinatorik.
Die beiden Schülerinnen Melanie und Stefanie aus dieser Klasse wollen wissen:Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass . . .
a) . . . sie beide nicht zur Wiederholung ausgewählt werden?
b) . . . sie beide zur Wiederholung ausgewählt werden?
c) . . . genau eine von ihnen zur Wiederholung ausgewählt wird?
Stundenwiederholung
Jedes Mal, wenn die oben eingeworfene Kugel auf einen Nagel • trifft, fällt sie mit Wahrscheinlichkeit 12
nach links und mit Wahrscheinlichkeit 12 nach rechts.
Ein möglicher Weg, bei dem die Kugel im Fach 2 landet, ist eingezeichnet.Wie viele verschiedene Wege gibt es, bis die Kugel schließlich in irgendeinemder 6 Fächer landet?
Jeder dieser Wege ist gleich wahrscheinlich.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel . . .
Fach0
Fach1
Fach2
Fach3
Fach4
Fach5
a) . . . im Fach 0 landet?
b) . . . im Fach 1 landet? . . . im Fach 4 landet?
c) . . . im Fach 2 landet? . . . im Fach 3 landet?
Galton-Brett
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Wir werfen einen Laplace-Würfel n Mal und zählen mit, welches Würfelergebnis wie oft auftritt.Die relativen Häufigkeiten stellen wir in einem Säulendiagramm dar:
n = 10 Würfe n = 100 Würfe n = 1000 Würfe
Die relative Häufigkeit jeder Augenzahl stabilisiert sich bei 6 = %.
Es kann auch mit einem fairen Würfel passieren, dass wir in einer Glückssträhne einen Sechser nach dem anderen würfeln.Allerdings ist eine solche Ergebnisfolge nach dem Empirischen Gesetz der Großen Zahlen nicht zu erwarten.
Empirisches Gesetz der großen Zahlen
Armin beobachtet gespannt den Roulette-Tisch und meint:„Jetzt ist 7 Mal hintereinander Rot gekommen. Jetzt muss doch zumAusgleich bald Schwarz kommen. Es gilt ja das Gesetz der großen Zahlen!“Erkläre, warum diese Aussage falsch ist.
Aber jetzt!
Wir werfen als Zufallsexperiment zwei nicht unterscheidbare faire Münzen.Dabei können wir 3 mögliche Ergebnisse beobachten:1) 2 Mal Kopf 2) 1 Mal Kopf und 1 Mal Zahl 3) 2 Mal Zahl
Sind die drei möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich? Was vermutest du?
Die relativen Häufigkeiten stabilisieren sich anscheinend bei (25 %, 50 %, 25 %). Findest du eine Erklärung?
Laplace-Experiment?
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