Ein praktischesVerfahren der Bestandsentwicklung einer Personengesamtheit

unter genauer Ber0cksichtigung des Neuzugangs Von Nikolaus Miiller (Stuttgart)

Die vorliegende Untersuchung resultiert aus einer bei Griindung von Ver- sorgungswerken, Pensionskassen etc. oft gestellten Frage nach dem voraus- sichtlichen Wert, d.h. dem versicherungsmathematischen Erwartungswert a) der h6chstm/Sglichen Riickstellung und b) der Belastung durch laufende Renten nach einer bestimmten Anzahl von Jahren. Bei grSt~eren Best~inden, etwa von mehr als einigen hundert Personen, kann diese Frage - - wenn auch unter erheblichem Arbeitsaufwand - - mit den iiblichen Methoden der Be- standsentwicklung n~herungsweise beantwortet werden. Bei kleineren Be- st~inden dagegen nimmt man von einer solchen Bestandsentwicklung, die so- wieso nur mit nicht ganzzahligen Anzahlen yon Personen m~Sglich w~ire, Abstand, obwohl es auger Zweifel steht, dai~ ein versicherungsmathemati- scher Erwartungswert auch hier existiert. Im folgenden wird ein praktisches Verfahren entwickelt, das die Beantwortung obiger Fragen sowohl fiir kleine als auch fiir grof~e Best~inde bei verh~iltnism~if~ig geringem Arbeitsaufwand erm~Sglicht.

1. Voraussetzungen und Grundgedanken des Verfahrens

Gegeben sei ein Bestand von ungleichaltrigen Aktlven, die alle zum gleichen Zeitpunkt zu gleichen Bedingungen in das Versorgungswerk eintreten. Als Leistungen seien vorgesehen Invaliden-, Alters- und Witwenrenten. Die An- zahl der Aktiven soll auch in Zukunft invarlant sein; es finden also nur strukturelle Verschiebungen statt, die durch die Auffiillung der Abg~inge durch den Neuzugang bedingt sind. Der Neuzugang habe ein festes Eintritts- alter. Die theoretische Seite der Vorg~inge in solchen Personengesamtheiten ist in den Arbeiten yon Moser [1] *) und Zwinggi [2] dargestellt. Fiir die Praxis wurden z. B. yon Dienst [3], [4] Verfahren vorgeschlagen, die aber die Erneuerung des Neuzugangs nicht exakt erfassen. Es wird im folgenden gezeigt, daft auch die exakte Erneuerung des Neuzugangs mit praktischen

*) Vgl. Literaturverzeichnis am Schlul~ der Arbeit.

197

Mitteln - - in erster Linie also mlttels gewShnllcher Handrechenmaschlne -- durchaus mSglich ist. Dabei wird jedoch ein ganz anderer Weg eingeschlagen, als z. B. im Verfahren yon Hetz [8]. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, daft man jeden aus der anf~inglichen Personengesamtheit Ausscheidenden dur& einen besonders kon- struierten Neuzugang ersetzt. Dieser Neuzugang ist so beschaffen, dag er ,sich selbst erneuert", also alle Abg~inge wiederum sofort ersetzt. Infolge- dessen braucht man in der anf~inglichen Personengesamtheit diesen Neu- zugang nur einmal bei jedem Abgang anzuwenden. Es erschien zwe&m~igig, s~imtliche Werte auf eine aktive m~innliche Person mit den Anwartschaften auf die Invaliden- und Altersrente 1 sowie Witwenrente 1 zu beziehen. Die Personenzahlen sind somit nicht ganzzahlig. Far jede Person der anf~ing- lichen Gesamtheit wird der Erwartungswert, d. i. die HShe der Riickstellung, der Belastung durch Rentenzahlungen etc. nach einer Anzahl yon Jahren unter genauer Beriicksichtigung des Neuzugangs festgestellt. Diese Feststel- lung erfolgt dabei - - im Gegensatz zu den bisherigen Verfahren -- nicht durch Fortschreibung des Bestands yon Termin zu Terrain, sondern durch Erfassung aller yore Beginn bis zurn Feststellungszeitpunkt stattgefundenen Ver~inderungen (Invalidisierung, Pensionierung, Tod, Neuzugang). Dieses Vorgehen entspricht der Integration, deren gl~ittender Einflufl sich dabei giinstig auswirkt. Das Verfahren fiihrt iiber die Bildung yon einigen Per- sonengesamtheiten und ihre Koppelung schliefllich zu den Werten, die den gesuchten Erwartungswert beschreiben.

2. RechnungsgrundIagen und Bezeichnungen

Die Untersuchung wird in der Weise durchgefiihrt, dai~ die Grundgedanken sofort an einem sehr allgemein gehaltenen Beispiel erl~iutert werden, dessen Wahl keine Einschr~inkung der Anwendbarkeit bedeutet. Hierzu wurde mit Riicksicht auf die Anforderungen der Praxis die diskontinuierliche Methode und ein spezielles Tabellenwerk, n~imlich die ,,Richttafeln fiir die Pensions- versicherung", yon Dr. Heubeck/Dr. Fischer, umgerechnet auf monatliche Rentenzahlungsweise, mit dem Rechnungszinsfuf~ 3'/20/o genommen. Sofern die Gesamtsterblichkeit benStigt wurde, wurde stets mit der exakt ermit- telten doppelt abgestuften Sterblichkeit gearbeitet, auf deren Anwendung infolge der angestrebten Genauigkeit des Verfahrens nicht verzichtet werden kann. Als Altersrentenbeginnalter wurden 65 Jahre angenommen; eine Re- aktivierung der Invaliden finder rechnungsm~iflig nicht statt. Die Witwen- rentenanwartschaft wurde nach der kollektiven Methode bewertet, zur Ver- einfachung wurde jedoch angenommen, dai~ die zum Zeitpunkt des Todes des Mannes hinterlassene Witwe jeweils um 5 Jahre jiinger als der Mann ist. Einen wesentlichen Bestandteil des Verfahrens bildet die Anwendung der n~iherungsweisen Summation mittels der Formel yon Sch6be [5], ohne welche die ~uflerst umfangreichen Rechenarbeiten den praktischen Wert des Ver- fahrens in Frage stellen wtirden. Die Bezeichnungsweise entspricht derjenigen

198

des verwendeten Tabellenwerks, die Terminologie der Gesamtheiten dem Lehrbuch yon Saxer [6]. Jedoch bedarf der Begriff der Gesamtheit einer Er- weiterung, die dadurch bedingt ist, daf~ die formalen Operationen der Bil- dung und Koppelung yon Gesamtheiten nicht nur auf die Anzahl der Per- sonen, sondern auch auf die Vorg~inge, wie z.B. die Bildung yon Riickstel- lungen, die Entstehung yon Nebengesamtheiten der Witwen, Invaliden etc., anwendbar sind. Im folgenden wird daher der Begriff der Gesamtheit in diesem erweiterten Sinne verwendet. Es bezeichnen: der links oben stehende Index

ge die geschlossene einfache Gesamtheit, also z.B. jede Person des An- fangsbestands ohne Neuzugang;

oe die offene einfadle Gesamtheit, dies ist der ,,sich erneuernde" Neu- zugang des festen Eintrittsahers;

on die offene nattirliche Gesamtheit als Grenzwert der offenen einfachen Gesamtheit;

oa die offene allgemeine Gesamtheit, also die geschlossene einfache Ge- samtheit mit regul~irem Neuzugang in Form der offenen einfachen Gesamtheit;

vo die verallgemeinerte offene Gesamtheit als das Uberlagerungsergebnis der offenen allgemeinen Gesamtheiten aller Eintrittsalter des Anfangs- bestands;

der rechts oben stehende Index aa Aktive, i Invalide, A Ahersrenmer, gleichgiihig, ob das Alter 65 im aktiven oder invaliden

Zustande erlebt wurde, M M~.nner tiberhaupt, y Witwen (Anzahl), w auf die Witwen bezogen (z. B. Riickstellung);

ohne Index, jedoch kenntlich durch die eckigen Klammern: Gesamt- sterblichkeit; ihre doppehe Abstufung besagt, dai~ zu Beginn der Zerfallordnung alle Lebenden aktiv sind;

ferner bedeuten k die bis zum Berechnungstermin abgelaufene Dauer, n die h~chstm/Sgliche Dauer der Aktivit~it, k2x die Anzahl der Personen, kV~ die Riickstellung Rir die Rente 1.

Einige weitere Bezeichnungen werden im Laufe der Untersuchung eingefiihrt.

3. Geschlossene einfache Gesamtheit

Diese Gesamtheit wird als Ausgangsgr/Si~e fiir die Konstruktion aller wei- teren Gesamtheiten ben~tlgt (vgl. [2]). Sie dient der Beschreibung des Zu-

199

stands der im Ausgangszeitpunkt aktiven Personen eines bestimmten Alters, die im Laufe der Zeit in die Teilgesamtheiten der Invaliden, Altersrenmer und Witwen zerfallen. Da kein Neuzugang stattfindet, erlischt diese Ge- samtheit unter Zugrundelegung des verwendeten Tabellenwerks praktisch 40 Jahre nach Pensionierung der noch Aktiven im Alter von 65 Jahren. Be- zogen auf einen Aktiven des Alters x betragen nach k Jahren

a) die Anzahl der Personen

ftir k =< n die Anzahl der Aktiven

die Anzahl der Invaliden

die Anzahl der Witwen

fiir k > n die Anzahl der Ahersrenmer

die Anzahl der Witwen

ge~aa _ r~aa k "~ x - - k F x

ge~i __ Z aa qx v i k'~x--v=0vPx " x+v 1 " k - l - v P x + l + v

k - - 1

ge~Yk,~x = ~ , ~P[xl " q[xl +, hx + ~ + ½ ~'=0

k'~x = \n"x

k--n-I

=

n , ~ x ' k - n P y + n + n p [ x ] E v P L n ' q x + n + v v - O

.hx+n+,+~. (i qy+n+~) 2 "k-n- l-vPy +n+l+v

b) die H~She der Riickstellung fiir die Anwartschaften und bereits laufenden Renten zusammen

ftir k _< n

ffir die gexrM ge~aa xraiA ge~i (12) I Mannesrenten k V x = k"~x " k V x -~- k~x" a x + k

fiir die gexrw ge~aa aw ge~i O2)a~V+ k + ge~y (12)ay + k Witwenrente k V x = kAx " k V x 27 kAx " kAx "

fiir k > n

fiir die gexr~ ge~A (12) A Altersrente kVx = k'~x " ax+k

fiir die gexrw ~e~X 02)a~ + + ge,jy (12) ̂Witwenrente kVx = k/~x " k kAx " a y + k

Der Verlauf der Werte dieser Gesamthelt mit einem Eintrlttsaher yon 25 Jahren ist aus den graphischen Darstellungen Abb. 1 und 2 ersichtlich. Dargestellt ist die Bildung der Kenmer- und Witwennebengesamtheiten be- ziiglida der Anzahl der Personen (identisch mlt der Belastung durch Renten-

200

zahlungen, daher auch Werte mit 60°/0iger Witwenrente angegeben) sowie die HShe der Riickstellung fiir die Mannes- und Witwenrenten des gesamten Bestands.

4. Offene einfache Gesamtheit

Diese Gesamtheit wird benStigt zur Erfassung des regul~iren Neuzugangs des festen Alters (Rir das gerechnete Beispiel ist x----25). Die Ausscheidenden aus dieser Gesamtheit werden ebenfalls laufend durch den Neuzugang, des- sen Abg~inge wiederum stets aufgefiillt werden, ersetzt; dadurch erneuert sich die Gesamtheit fortw~ihrend, und zwar derart, dai~ die Anzahl der Aktiven stets 1 betr~igt. Die offene einfache Gesamtheit kann aus den Werten der ge- schlossenen einfachen Gesamtheit mittels der Erneuerungszahlen gebildet werden. Da die Konstruktion der Erneuerungszahlen jedoch recht verwickelt ist (darauf hat bereits MoeschIer hingewiesen und einige Beispiele der Er- neuerungszahlen angegeben [7]), ist es zweckm~ii~iger, die offene einfache Gesamtheit durch Rekursion zu bilden. Hierzu werden zun~ichst die Er- neuerungszahlen der geschlossenen einfachen Gesamtheit benStigt. Diese sind

a a ( ~ • ) f i i r l < k _ < n : ~ a x = k - l p ~ a - k p ~ a = k - l p x q x + k - l + l x + k - 1 ,

auf~erdem fiir k = n : np~ a

Die letzte Erneuerungszahl erfai~t den sprunghaften Neuzugang, der durch das Ausscheiden der Aktiven bei x + n bedingt ist. Wegen der selbstverst~ind- lichen Relation

I1

Y kax + = 1 k = l

gen~igt die Kenntnis der vorstehenden Erneuerungszahlen fiir die Bildung der sich erneuernden Gesamtheit *).

Den vorstehend definierten Erneuerungszahlen wird im folgenden stets der nachsch[issige Charakter unterstellt; die Neueintritte erfolgen also im n~ich- sten Jahr. Man h~itte ihnen jedoch (mit Ausnahme yon npx a) auch den vor- schiissigen Charakter unterstellen kSnnen; an den numerischen Ergebnissen h~itte sich dabei kaum etwas ge~indert. Dies w~ire z.B. f~ir die Berechnung von Pensionsriickstellungen deswegen zul~issig und sogar sinnvoli, weil fiir jeden Neueintretenden bereits im Gesch~iftsjahr der Zusage die Zufiihrung eines ganzen Jahres vorgenommen werden daft. Bezeichnet man f/ir die Rekursion einen beliebigen Wert der geschlossenen einfachen Gesamtheit am Ende des k-ten Jahres m z. B. Anzahl der Witwen,

*) Auch die Erneuerungszahlen der offenen einfachen Gesamtheit, die fiir die vor- liegende Untersuchung allerdings nicht benStigt werden, kSnnen durch Rekursion ermittelt werden (s. Anhang).

201

Riickstellung fiir die Mannesrenten etc. - - mit g~W, so ergeben sich die Werte der offenen einfachen Gesamtheit nach den Formeln

k - 1 fu~ k < n °~W = ~ W + Y ~ x ~ - ° ~ W

v = l

~ , oe 0,8, Oe ftir k > n °~W = g~W + vax" k - ~W + nPx " k - n W

Die Errechnung der Werte dieser Gesamtheit fiir grot~e k ist sehr langwierig, doch kann man hier dadurch Abhilfe schaffen, dat~ man sie mittels der be- reits erw~ihnten Summationsformel yon Sch6be ausrechnet. Fiir die Spanne 5 lautet die Zweierschritt-Formel ohne Restglied im allgemeinen

C o + C , + . . . + C , 0 = 2 , 2 C 0 + 6 , 6 C 5 +2 ,2 C ,0 , oder bei mehrfacher Anwendung z. B. his C4o

Co + C1 + . . . + Clo + C** + . . . + C4o

= 2,2 C O -}- 6,6 C 5 d- 3,4 Clo + 6,6 C15 + . . . d- 2,2 C4o.

Angewandt auf die Bildung der offenen einfachen Gesamtheit bei k ~ n : oe Oe oe

~W = g~W + 1,2 • oax" kW + 6,6.5ax" k-5 w q- 3,4.10ax" k 10W oe

+ . . . + l , 2 . k a x . oW Die Erneuerungszahl oax, welcher eine reale Bedeutung nicht zukommt, kann durch Extrapolation gewonnen werden. Der letzte Term dieser Formel stellt lediglich eine ,,Randordinate" dar (daher als Koeffizient 1,2), im iibrigen ist sowieso ~o~W = 0 als Anfangsbedingung. Die AuflSsung des obigen impli-

ziten Ansatzes nach der Unbekannten ~W ergibt

g~w 6,6 • 5ax 3,4 • l o a x oe W oe °l~W-- 1----1,2.oax -~ 1 - - 1 , 2 - 0% k - 5 Jr 1 _ 1 , 2 . o % " k - l o W b . . -

Der praktische Rechengang besteht somit in der exakten Ermittlung des Wertes fiir k = 5 und der Anwendung der obigen Formel des Zweierschritts fiir k = 1 0 , 2 0 , . . . , wobei die Zwischenwerte fiir k = 15,25 . . . . , mittels analoger Formel des Dreierschritts zu errechnen find. Bezeichnet man die Koeffizienten der beiden Formeln yon Sch6be im allgemeinen mit x~ (z. B. oben sind x0 = 1,2; ×5 = 6,6; xl0 = 3,4 etc.), so lauten die Rekursions- formeln fiir dutch 5 ohne Rest teilbare Werte yon k

ge k]5 oe k W + ~ ×5~'5~ax oe

fur k < n kW -- 1 -- ~'o" o"x ~ 1 ¥ - - - ~ o "od~ -" k - 5,W

ge hi5 fiir k > n O~w _ 1~ W + ~ ~,," 5~ax oe

1 - '~o" o"~ , ~ i : -~0 • 0% " k - 5~w

l l P x Oe • k _ n W + 1 _ ~o.o%

202

Aus der gew~ihlten Schreibweise geht bereits hervor, dais man die Koeffizien- ten ein far allemal ausrechnen und die Rekursion recht schnell durchfiihren kann. Selbstverst~ndlich sind die auftretenden Unstetigkeitsstellen sowie die ,Randordinate" xs~" 5~ax fiir k _> n bei der Anwendung obiger Formeln zu beachten. Durch eine exakte Proberechnung wurde iibrigens festgestellt, daiS die Genauigkeit der N~iherungsformeln fiir vorliegende Zwecke ausreichend ist; so weicht z. B. der Weft f~ir k = 200 (!) sowohl bei der Anzahl der Per- sonen einer Nebengesamtheit, als auch bei der HShe der Riickstellung im Durchschnitt nur um rund + 1,3°/0 vom wahren Wert, der nach den For- meln der Ziff. 5 ermittelt wurde, ab. Die Bildung der Rentner- und Witwennebengesamtheiten (Anzahl der Per- sonen) und die HShe der R~ickstellung der offenen einfachen Gesamtheit ist in den graphischen Darstellungen Abb. 3 und 4 bis zu einer abgelaufenen Dauer yon 220 Jahren wiedergegeben. Den Praktiker interessieren hiervon h/Schstens die ersten 40 Jahre sowie die Tatsache, daiS man u.U. auf die exakte Ber[icksichtigung der Neuzug~inge zweiter und h/Sherer Ordnung w~ihrend der ersten 10 bis 15 Jahre, je nach den Eintrittsaltern, verzichten kann. Die offene einfache Gesamtheit, au.s tier d,ie d, argestell'ten Werte ents.tehen, beinhaltet - - wie im 1. Absatz dieses Abschnitts bereits ausgefiihrt - - stets einen Aktiven, selbstverst~indlich der strukturell sich verschiebenden Alters- zusammensetzung.

5. Offene natiirliche Gesamtheit

Der Aufbau dieser Gesamtheit ist dadurch charakterisiert, daf~ ihre j~ihrliche Erneuerungszahl gleich der Anzahl der jiingsten Personen der Gesamtheit ist und die Anzahl der Aktiven der einzelnen Alter -- bis auf einen vom Alter unabh~ingigen Proportionalit~itsfaktor - - die Ausscheideordnung wie- dergibt. Wenn sie stets einen Aktiven beinhalten soll, ergibt sich ihre Er-

Oil a a neuerungszahl Ax aus der Forderung

011 ~.~ Ax n - : ~ - - ;

v ~ 0

fiir die gew~ihlte Gesamtheit mit dem jiingsten Alter yon 25 Jahren ist on A aa = 0,02950; dies ist bekanntlich der reziproke Weft der mittleren Akti-

25

vit~itsdauer e~ a, hier von 33,9 Jahren. Jeder Wert der noch im Aufbau be- griffenen offenen natiirlichen Gesamtheit setzt sich aus den Werten der geschlossenen einfachen Gesamtheit wie folgt zusammen

k

203

Der station~ire Zustand ergibt rich friJhestens zu dem Zeitpunkt, zu dem die geschlossene einfache Gesamtheit mit ~--- 1 erlischt. Ffir das gew~ihlte Bei- spiel (x = 25 Jahre) erreicht die offene natiirliche Gesamtheit ihren statio- n~iren Zustand genau nach 80 Jahren. Die Bildung der Rentner- und Witwen- nebengesamtheiten sowie die HShe der Riickstellung ist aus den graphischen Darstellungen Abb. 5 und 6 ersichtlich. Die offene natiirliche Gesamtheit im station~iren Zustand stellt bekanntlich (vgl. [6]) den Grenzwert der offenen einfachen Gesamtheit dar, deren Kon- vergenz aus den graphischen Darstellungen Abb. 3 und 4 deutlich erkennbar ist. Das Konvergenzverhalten wird dabei in erster Linie durch die Erneue- rungszahl ~p~a bestimmt, denn in dieser HiShe voltzieht rich der jeweilige grSf~te - - ,,sprunghafte" - - Neuzugang, wenn die Aktiven direkt aus dem Aktivenstande in den Altersrentenbezug treten. Der sprunghafte Neuzugang nimmt in geometrischer Folge ab. Die Erneuerungszahlen der offenen ein- fachen Gesamtheit oszillieren um ihren Grenzwert °~Aa~ Dadurch ergibt X "

sich der Verlauf aller Werte in der Art der ged~impften Schwingung, deren Amplitude rasch abnimmt, so daf~ man bereits fiJr k = 200 den Zustand als praktisch station~ir bezeichnen kann.

6. Offene allgemeine Gesamtbeit

Die Konstruktlon der vorstehend beschriebenen Gesamtheiten ermSglicht die Bildung einer offenen allgemeinen Gesamtheit fiir jede Person des Anfangs- bestands auf die Weise, daf~ fiir jeden x-J~ihrigen (25 < x < 65) eine ge- schlossene einfache Gesamtheit gebildet wird, deren Abg~inge stets durch die offene einfacbe Gesamtheit des Alters o (ira Beispiel ist o = 25) ersetzt werden. Wegen der gew~ihlten GrSf~enordnung - - stets eine aktive Person, die die Nebengesamthelten sozusagen ,,ausscheldet", - - ergeben sich nach dieser Operation die Erwartungswerte, die den ,,Zustand" eines anfangs Aktiven nach einer Anzahl yon Jahren beschreiben, z.B. durch Angabe der yon die- sem Aktiven ,,ausgeschiedenen" und noch am Leben befindlichen Renmer, der H6he der RiJckstellung fi.ir die Witwenrenten etc.

Es betragen am Ende des k-ten Jahres

a) die Anzahl der Personen

fiir k ~ n

die Anzahl der o~ a a

Aktiven k2x = 1

die Anzahl der Invaliden

Diese zahlenm~il~ige Invarlanz des Aktiven- bestands ist die grundlegende Relation der vorliegenden Untersuchung.

k - 1 o a i ~ g e ~ i o e i

204

k - 1 d i e A n z a h l d e r o ~ y ge'lY -}- 2 vax oe~y Witwen k,~x = k~x " k - ,-,~

ffir k > n

die Anzahl der n

Renmer (Inva- oa~.~I ge,lA m oe~M lide + Alters- k~x k-~x + ft, ~ax oe~M- ~a = " k - ~l.~ ± npx " !i - n*t~

v = l rentner)

n die Anzahl der oa~y _ _ ge~y @ Z v{lx . oe~y as . oe~y Witwen kax k,~x I t - , ~ + nPx k - nac ~

b) die HShe der Riickstellung ffir die Anwartschaften und bereits laufenden Renten zusammen

far k __< n

fiir die Mannesrenten

far die Witwenrente

fiir k > n

ffir die Mannesrenten

fiir die Witwenrente

k - 1

oaxTNkVx _-- geoaak/Lx . kVxxTaiA _~_ geoik~x " (12)9-ix + k -~- Z ~Gtx " k -°exrMvv(~

oa w ge~aa aw ge~i (12) iw k V x = k~x " k V x -}- k~.x" a x + k

k - 1 @ g e ~ y V k~x . (12)fly + k ~- 2 v(lx " k - oe ~--a w

~ = 1

n oax~M _ ge~A (12) A Z oexrl~l aa OeXTM kVx -- kLx " ax + k + ~ax • k - ~Vo + nPx " k - nVo

v = l

OaVW = g e ~ A . (12)axW + .~_ ge~y k - - x k/Lx k k~x " (12)ay + k

n q_ Z ~ X k_OevWq_ aa oe w

• n p x " k - - n V a v - 1

Der Verlauf einiger Werte (Anzahl der Rentenempf~inger sowie die HShe der Rackstellung) ist ffir die Eintr i t tsal ter 25, 45 und 65 in den graphischen Darstellungen Abb. 7 - - 9 wiedergegeben. Dabei stellen die Kurven fiir x = 45 den typischen Verlauf dar, wS.hrend die Alter 25 und 65 lediglich Grenzfiille sind. In den Tabellen 1 - -4 sind die numerischen Ergebnisse nieder- gelegt. Diese wurden fiir durch 5 ohne Rest teilbare Eintri t tsal ter mit Hitfe der Formel von Sch6be ermittelt und fiir andere Eintri t tsal ter fast durchweg kubisch interpoliert*). In der Tabelle 1 - - Anzahl der Renmer - - sind in der Spalte fiir k = n jeweils 2 Werte angegeben: der obere stellt die Anzahl der Invaliden bei Erreichen der Altersgrenze dar, der untere enth~ilt auch die direkt aus dem Aktivenstande entstehenden Altersrentner.

::) Aufgerdem wurden bei ihrer Berecbnung an elnlgen Stelten weitere N~iherungen, Sch~itzungen und Vereinfachungen vorgenommen. Dariiber hinaus wurde aus Griin- den der Sicherheit die Summation innerhalb der offenen allgemeinen Gesamtheit bei v = 0 begonnen; dadurch wurden alle Werte geringfligig erhSht (vgl. Ziff. 4, Abs. 3).

205

7. Verallgemeinerte offene Gesamtheit

Dies ist der gesuchte ,,Zustand" der anf~inglichen Personengesamtheit nach einer Anzahl von Jahren, entstanden durch Uberlagerung der offenen all- gemeinen Gesamtheiten f[ir die einzelnen Eintrittsalter. Ihr Aufbau erfolgt m[ihelos mittels der tabellierten Zahlen der offenen allgemeinen Gesamtheit. Bedeuten Lx die Anzahl der x-J~ihrigen der gegebenen anf~inglichen Personen- gesamtheit und R~ die Jahresrente derselben, so betragen die Anzahl der Personen einer Nebengesamtheit, also Rentner v~. = ~x Lx • o~.~ oder Witwen die bare Belastung vo o~ dutch laufende Renten RB = ~x Lx • Rx • k2x

die Ri~cksteltung fi~r eine vo beliebige Leistungsart RV= ~ L~ • Rx • °~V~ Da die verallgemeinerte offene Gesamtheit ebenfalls die offene natiirliche Gesamtheit zum Grenzwert hat, ergeben sich schlief~lich als ihre Grenzwerte im station~iren Zustand die Anzahl der Personen einer Nebengesamtheit, also Rentner ~ t - - ~ 2 o " ~x L~ oder Witwen die bare Belastung dutch laufende Renten ~B = ~ o " ~ Lx" ~x Rx

die Riickstellung fiir eine beliebige Leistungsart voo°V: ~V~. ~x Lx" ~x Rx

Die Konvergenz der verallgemeinerten offenen Gesamtheit gegen die offene natiirliche Gesamtheit erfolgt unter keinen Umst~inden langsamer als bei ihrer offenen allgemeinen Gesamtheit mit dem niedrigsten Eintrittsaher, denn beim niedrigsten Eintrittsalter dauert es am l~ingsten, bis s~imtliche Er- neuerungszahlen der geschlossenen einfachen Gesamtheit in Aktion getreten sind; das niedrigste Eintrittsaher wird jedoch durch die offene einfache Ge- samtheit repfiisentiert. Oder in anderen Worten: Der urspr~ingliche Bestand wird am schnellsten beim hSchsten Eintrittsaher erneuert.

8. Bemerkungen zur Anwendung des Verfahrens

Sofern die Leistungen an verschiedene Personen in verschiedener HShe vor- gesehen sind, kann man dies - - wie aus den Formeln des letzten Abschnitts ersichtlich - - ohne weiteres ber~icksichtigen, da eine Abstufung der Leistungen innerhalb einer Versorgungseinrichtung nahezu unabh~ingig yon der Zeit sein diirfte. Bei versorgungsberechtigten Frauen kSnnen die verwendeten Rechnungs- grundlagen und somit auch die gewonnenen Werte an sich nicht ohne wei- teres Anwendung finden. N~iherungsweise kann man jedoch die Frauen da-

206

durch erfassen, daf~ man die fiir die M~inner geltenden Werte nimmt und sie mit der im Verh~iltnis der Barwerte der Altersrenten fiJr Frauen und Manner im Alter von 65 Jahren ,,gedehnten" Rente multipliziert. Dadurch werden wenigstens die Riickstellung und die Belastung durch die Altersrentenzahlung in etwa erfal~t. Der Dehnungsfaktor betr~igt bei den gew~ihlten Grundlagen 1,1614. Ebenfalls gedehnte Renten k6nnte man u.U. zur Beriicksichtigung der Generationensterblichkeit in den n~ichsten Jahrzehnten verwenden. Es ist jedoch zu beachten, daf~ die Abnahme der Sterblichkeit eine Erh/Shung der

a a nPx und somit eine Verlangsamung der Konvergenz bewirkt. Anwartschaften auf steigende Leistungen k/Snnten dadurch erfaf~t werden, dat~ man die tats~ichlich vorgesehenen H&hstrenten in einem -- yon Fall zu Fall verschiedenen - - Verh~ilmis reduziert, etwa auf die H/She des Anspruchs

Oaa bei Erreichen des Alters x + ex • Vorgesehene Waisenrenten werden am besten pauschal beriicksichtigt. Die Annahme eines durchschnittlichen Alters des Neuzugangs yon 25 Jahren ist in der Praxis nahezu die Regel, wenn man yore Alter einiger akademi- scher Berufe absieht. Soll jedoch ein anderes Alter angenommen werden, so kSnnen die tabellierten Werte durch folgende Uberlegung ge~indert werden. Bildet man eine offene natiirliche Gesamtheit mit dem ji.ingsten Alter yon 30 Jahren, so liegen ihre Werte im station~iren Zustand h/Sher als diejenigen der analogen Gesamtheit mit dem jtingsten Alter yon 25 Jahren um

11,5°/o bei der Anzahl der Renmer, 9,50/0 bei der Riickstellung fiir die Mannesrenten,

13,5°/0 bei der Anzahl der Witwen, 8,4°/0 bei der Riickstellung fiir die Witwenrente.

Dariiber hinaus ist das Verfahren keineswegs auf die Anwendung nur eines Alters des Neuzugangs beschr~inkt. Man kann eine beliebige AltersverteiIung des Neuzugangs annehmen, und zwar derart, dai~ jedem Alter des Neu- zugangs das Gewicht fix zukommt, so da~ ~_.]xfl~ = 1 wird, summiert fiber alle Alter, die fiir den Neuzugang in Frage kommen. Dann wird auch die sich erneuernde Gesamtheit durch eine ,geschichtete" offene einfache Ge-

~oe X~x °eW • R gebildet; ihr Grenzwert samtheit nach der Vorschrift k W = AS k x rx ist die - - ebenfalls entsprechend geschichtete - - offene verallgemeinerte natiirliche Gesamtheit. Die Bildung der offenen allgemeinen Gesamtheit mit dem ,geschichteten" Neuzugang erfolgt formal auf dieselbe Art wie bei einem nicht geschichteten Neuzugang, man braucht also die ,,Schichtung" nut einmal, n~imlich bei der sich erneuernden Gesamtheit vorzunehmen. Soll in einem speziellen Fall auch die Fluktuation des Bestands aus anderen als nur rechnungsmRt~igen Grtinden, z. B. infolge Kiindigung beriicksichtigt wer- den, so kann dies dadurch geschehen, da~ man die bei der Berechnung des Neuzugangs auftretenden Wahrscheinlichkeiten ~px aa - - etwa fiir die ersten 10--15 Jahre der Betriebszugeh6rigkeit - - noch mit den besonders ermit- telten ,,Treue"-Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Die Fluktuation beschleu-

207

nigt im iibrigen wesentlich die Konvergenz der Gesamtheit. Personen mit einem Eintrittsalter unter 25 Jahren werden am besten wie 25-J~ihrige be- handelt, da dadurch auch die erh~Jhte Fluktuatlon der jiingeren Personen teilweise erfat~t wird. Soll der anf~ingliche Bestand nach einem bestimmten Gesetz yon Jahr zu Jahr zunehmen und diese Zunahme in die Rechnung mit einbezogen werden, so kann dies sehr leicht dadurch erreicht werden, dai~ entsprechend dem Zunahmegesetz eine zus~itzliche offene einfache Gesamt- heir fiir die sp~iteren Jahre additiv aufgebaut wird. Zum Schluf~ sei vermerkt, daf~ die Aufstellung der Tabellen nach dem ge- schilderten Verfahren nicht l~inger dauert als eine Bestandsentwicklung nach irgend einer anderen Methode. Jedem Tabellenwerk wird jedoch hier die Bestandsentwicklung eindeutig (bis auf die Altersstruktur des Neuzugangs) zugeordnet. Mit den einmal aufgestellten Tabellen l~ii~t sich daher jeder Be- stand auch mit Hilfe weniger qualifizierter Kr~ifte in wenigen Stunden ab- sch~itzen. Insbesondere ist dieses Verfahren ein geeigneter Weg zur Ermitt- lung des versicherungsmathematischen Erwartungswerts bei kleineren Be- sdinden und ein bequemes Mittel zur Feststellung der sogenannten ,,alten Last" bei Griindung yon Versorgungseinrichtungen.

Eingegangen am 29. Oktober 1956.

A n h a n g

Wesentlich seltener - - wenn iiberhaupt - - wird in der Praxis die Frage nach dem Erwartungswert derjenigen Anzahl der Neueintretenden in die ge- gebene Personengesamtheit (Erneuerungszahl) in einem bestimmten Jahr ge- stellt, die die zahlenm~ii~ige Invarianz der Aktiven gew~ihrleistet. Ohne Be- rticksichtigung einer ,Treue"-Wahrscheinlichkeit ist zwar ihre Beantwortung ftir praktische Verh~iltnisse kaum yon Bedeutung. Trotzdem wird nachstehend kurz gezeigt, daft das beschriebene Verfahren auch bei dieser Fragestellung zweckdienlich sein kann. Mit ku sei die Anzahl der Ausscheidenden zum Ende des k-ten Jahres be- zeichnet. Dann ist die Anzahl der Neueintretenden jeweils ab Beginn des n~ichsten Jahres zahlenm~if~ig gleich der Anzahl der Ausscheidenden. Die Gr~Sf~en kU betragen fiir die einzelnen Gesamtheiten:

geschlossene einfache Gesamtheit

~Ux = kax = k_lpaa" (qxa~_k_ 1 + ix+k_l) , aut~erdem npx aa

offene einfache Gesamtheit k - 1

fiir k ~ n °~Ux = ~Ux + E ge, Ux" k -°:ux v = l

n

fi irk n + 1 °~,Ux= Z 'e,, oe, ~a. oe l) = ~x" k-~x + nPx (k-nLlx + v = l

208

II f i i r k > n + 2 oe ~ g e . oe. aa oe = kUx = ~"x " k - ~ x + nPx " k--nUx

offene nafiirliche Gesamtheit Oil aa °nu x = const. = Ax

offene allgemeine Gesamtheit k - 1

fiir k N n oa ge Z ge oe __ kUx = kUx "J- vUx • k_~Ua

n far k = n + 1 oa oe + aa ( oo + 1) ~Ux" k-~Uo nPx " ~k-nUo

II oe f f i r k = > n + 2 °~u x = Z g e u x . k _ , u aoe + n p ~ a . k _ n %

verallgemeinerte offene Gesamtheit VO ~X O~t,

k u ~ ~ L x " kl.lx

ihr Grenzwert ist VOoo u ~ on l l a . Z x L x

SelbstverstS.ndlich wird man bei der Errechnung der Werte nach obigen For- meln zweckmS.t~igerweise die Formel yon Sch6be anwenden. Sie liefert auch hier sehr gute NS.herungen; so wurden z. B. folgende Werte ermittelt:

k g~u25 °~u25 exakt mittels Formel

yon Sch6be

20 0,00859 0,00893 0,00893 25 1339 1403 1402 30 2215 2331 2331 35 3922 4138 4136 40 4662 5047 5047 50 963 974 60 1789 1779 7o 3369 3379

In der graphischen Darstellung Abb. 10 sind die Werte der geschlossenen, offenen und natiirlichen einfachen Gesamtheiten eingetragen. Auch hier ist die Konvergenz der Werte der offenen einfachen gegen die offene natiirliche Gesamtheit deutlich erkennbar. Als Beispiel fiir den Verlauf der Erneuerungszahlen der offenen allgemeinen Gesamtheit wurden die Werte fiir x = 45 und o = 25 in Abb. 11 dargestellt. Die Erneuerungszahlen (selbstverstSndlich ohne Beriicksichtigung anderer als nur rechnungsmSgiger Abg~inge) unterliegen betr~ichtlichen Schwankungen, so daf~ es trotz eines Ausgleichs bei grSt~eren Personenkreisen fiir manchen Versorgungstriiger wirklich interessant wiire, dieselben festzustellen. Zu ihrer exakten Berechnung m[if~ten noch die Treue-Wahrschdnlichkeiten bekannt

209

sein. Da diese in erster Linie vom Alter x abh~ingen, ist ihre Verbindung mit den Werten ~paa multiplikativ. Sofern also unter vp~ a bereits das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten verstanden wird, gelten auch hierzu die an- gegebenen Formelrt.

L I T E R A T U R V E R Z E I C H N I S

[1] Moser, Cbr.: ,Beitr~ige zur Darstellung yon Vorg~ingen und des Beharrungs- zustandes bei einer sich erneuernden Gesamtheit", Mitteilungen der Vereini- gung schweizerischer Versicherungsmathematiker, Heft 21 (1926), Seite 1.

[2] Zwinggi, E.: ,Das Problem der Erneuerung", Festgabe Moser (Bern 1931), Selte 127.

[3] Dienst, H.: ,Entwicklungswahrscheinlichkeiten fiir mehrj~ihrige Zeitr~iume bei Pensionskassenbest~inden ",Ver~Sffentlichungen des Bundesaufsichtsamtes, 2 .J ahr- gang (1953), Nr. 11, Seite 250.

[4] Dienst, H.: dto., 4. Jahrgang (1955), Nr. 2, Seite 55. [5] Scb~be, W.: ,Angen~iherte Summation und Rekursion mittels der Lubbockschen

Formel", Bl~itter der Deutschen Gesellschaft fiir Versicherungsmathematik, I/3 (1952), Seite 3.

[6] Saxer, W.: ,,Versicherungsmathematik", 1. Teil, Springer-Verlag (1955), Seite 185. [7] Moeschler, W.: ~Abbau und Erneuerung des Bestandes einer Sterbekasse", Fest-

gabe Moser (Bern 1931), Seite 163. [8] Hetz, W.: ,Untersuchungen zum Erneuerungsproblem, insbesondere seine Dar-

stellung als Markoffsche Kette", Bl~itter der Deutschen Gesellschaft fiir Ver- sicherungsmathematik, III/1 (1956), Seite 23.

210

b~

g~25

°'8 I

0,6

0,4

0,2

!

Abb

. I

Bildung der Nebenge~amthei~em

der m~nnlichen RentenempfkLuger

und @er Witwem

Ges

chlo

ssen

e ei

nfa

che

Ges

amth

eit

ausgehend

yon i~ a

= 1

: :

5 ..

....

. A

bb

. 2

..

..

..

..

HShe der R~ckstellung fttw di

e Ma~es-

und Witwenrenten

\\

/./>

/.,

k 25

A/

/ V'

/ / (

20

#0

60

0 6 ge]lY

' " k"25 80

k

g~V25'

10

\

o

/ .~

s~

- \

\ /

X"

\\

\'~

/~.

- \

\\

0 20

zl.O

60

0 0

> 80

k

0

1,6

Bi

1 d

~.~

4er ma

r

I

.5

~.~

oZ

0

\ O

ffen

e ei

nfoc

he

Ges

arnt

heit

A

bb. 3

k

aa

=

.

ild~

der N

ebenKesam~nel~en

k k

ma~1 ich

en Rentenempfan~er

\ ............

\ \

\ \\

1 x

/

/ I x

, ,)

:,

- ..

.. -

Y \

.... "

9e M

" 0

6 °k~y

k\

/j/z k

25

\\

/I

\-~ ~--/"

p \

/

,/

o

, /

k"2

5

7/"

20

~O

go

80

100

q20

140

uo

leo

200

220

k

Abb

.4

e v

~6he der Ruekstellung fu

r al

e ~a

nnes

- un

d W1

t~ ~sr

~nte

n k

25

k

/

0 ~0

60

80

100

20

R~

O

160

~0

~00

Off

ene

natO

rlic

he

Ges

amth

eit

on

aa

au

sge

he

nd

yo

n

~5

=

0,0

29

50

Abb

. 5

Abb

. 6

,ildung der Nebengesamtheiten

der minnlichen

H~he

der Ruckstellung

fur die

Rentenempf~nger

und tier Witwen

Man~es-

und Witwenrencen

,.2,

on

I ~

k~.2

5 ,6

,,4

o

on v

• k

25

on

M

on y

k)~25

- 0,6-

k/~2

5

/ /

o~

/"

/"

~"

k"25

20

#O

60

80

k O

°~ 5 - o ~

.°~

'

5

/ /

/ /

k 25

/

/

/ :.-

// I/

/

20

~O

60

30

k

b~

O,5

C 0

Abb

. 7

l:anner

~o~

~"N

. \

".<

\

x =

65

-.,..

\ 3.5

\

\

~,~

0

20

¢0

l~

Off

ene

allg

emei

ne

Ges

amth

eit

vom

o~

.

. A

bb. 8

Wl~

e~.

BI]dUn~ der Nebengesamthelt

Bi] dung der Nebengesamtnelt

der Rentenempf/n~er

der Wi~e~

koa~y

k~

x

=

65/.

/

20

~0 k

qO

\

\

x =65

\

~6he

~er Ruckstellung

qO

f~r die Mannesren~

///

" \

/

• ~

/ >-

x :

45./

-

/

-"

/ x

= 25

z-

/

j/

J

--

-~

20

~0

k

loavw

kx

Hohe der ROckstellung

f~r die Witwenrente

ff

i/.- .....

~ ~ .

~"

/

/ /

/ x

65

/ -""-

. =

/

/

/

/ x

= ~5/

/ /

x=25~

~ /

/

/ /

/ /

,D-

20

~0

k

\ \

\ \

\ \

/

i \

X \ \ \

\ - - ' 77 : ; 77 : - • = 7 : 2 7 ~ . - . - - ~ . . . . . . . . . . . . . . . . .

( \

\ \

\ N

\

\ \ \

x. x .

\

\

\

215

bo

'~ V A

bb

. 9

Off

ene

ollg

emei

ne

Ges

arn

thei

t ~o

~ °~

=

"~'

~ Ma

nnes

rent

e 1

, Wi

twen

rent

e 0,

6

°~.~xM - 0

6 oa y

\~ \

der

Rent

enem

pf~i

ng, e

r k

~

~'~

_.~

( G

esam

tbe la

z tu

ng )

0,5

/ \\

J"

/ ~ ~

///J

~

x =

25

~

0 20

HShe oe

r Oe

samt

mOc~

stel

lung

12

"" ,.

j

x ~,~.o

//

//

/

/ -

/

5/

/ //

/ .

5 //

x

= 25

"'"

/ /

//~

i / /

- /

< ///

G

20

40

k

/ J

4"

J /

~0 k

0.42

o,4

q

O,06

0,02

oa

U

k 45

Ab

b. 1

I

Ern

euer

un

gsz

oh

len

~e

r o

ffe

~e

o

all

L~

em

ein

Pn

~

esa

m~

ne

lu

t / /

---

/ °n

U25

//

'

els

G

ren

zwe

rt

/ /

/

20

q-

O

k

TabeHe 1

Anzahl der Invaliden und A1tersrentner oaoM kAx

\k 5 10 x\

25 0 ,0044 0,0086

26 44 93 27 45 102 28 48 113 29 52 126

30 0 ,0058 0,0141

31 65 158 32 73 176 33 81 197 34 91 219

35 0 ,0102 0,0243

36 113 262 37 124 285 38 137 313 39 151 347

40 0 ,0166 0,0389

41 178 436 42 192 494 43 211 569 44 237 660

45 0 ,0269 0,0773

46 307 919 47 356 1089 48 418 1283 49 496 1501

50 0 ,0592 0,1744

51 720 2012 52 868 2304 53 1035 2623 54 1221 2966

0,3336 55 0,1425 0,8263 56 1647 8141 57 1886 8007 58 2141 7859 59 2413 7700

0,2700 0,7527 60 0,8947 61 8839 7342 62 8731 7144 63 8624 6933 63 8516 6710 65 0,8408 0,6474

Im Beharrungszustand Altersrentner 0,3335.

15 20 25 30

0,0159 0 ,0287 0 ,0476 0,0908

185 318 518 1058 208 349 582 1227 230 383 667 1415 251 422 774 1623

0,0274 0 ,0468 0 ,0903 0,1850

299 524 1053 2096 328 592 1223 2362 362 674 1414 2648 403 773 1625 2952

0,3276 0,0451 0 ,0891 0 ,1857 0,7143

504 1039 2108 6969 568 1209 2379 6781 646 1401 2670 6582 742 1613 2979 6372

0,3308 0,6151 0,0857 0 ,1848 0,7277

1003 2104 7102 5921 1172 2382 6917 5683 1364 2682 6723 5437 1578 3004 6519 5184

0,3348 0 ,6306 0,4926 0,1816 0,7476 2078 7324 6084 4661 2363 7157 5854 4392 2673 6976 5615 4122 3007 6782 5368 3851

0,3366 0 ,6575 0 ,5113 0,3581 0,7774

7634 6356 4844 3310 7480 6126 4569 3044 7314 5886 4290 2785 7135 5637 4009 2536

0,6943 0 ,5379 0 ,3728 0,2299

6739 5110 3447 2077 6524 4836 3169 1872 6297 4556 2899 1686 6059 4273 2637 1522

0,5810 0 ,3989 0 ,2387 0,1383

5551 3704 2151 1270 5281 3421 1931 1187 5002 3141 1729 1135 4713 2864 1549 1117

0,4415 0 ,2594 0 ,1392 0,1136

betr~igt fiir alle Eintrittsalter

35 40

~ 0,3232 0,1842 [ 0,6976

2125 6809 2408 6628 2691 6433 2974 6226

0,3257 0,6009 0,7055

6879 5782 6690 5546 6490 5304 6279 5055

0,6058 0,4801

5828 4541 5590 4279 5345 4017 5093 3757

0,4836 0,3501

4571 3248 4303 3004 4O34 2771 3767 255O

0,3503 0,2346

3243 2163 2990 2000 2747 1859 2515 1740

0,2297 0,1647

2096 1590 1913 1558 1750 1552 1608 1570

0,1489 0,1612

1398 1675 1333 1760 1295 1868 1285 1998

0,1304 0,2150

1353 2324 1433 2520 1545 2737 1691 2975

0,1870 0,3234

die Anzahl der Invaliden und

217

Tabelle 2 H6he der RiJckstellung fiir die Invaliden- und Altersrenten oaxr~i k V x

x• 5 10 15 20 25 30 35 40

25 0,732 1,579 2 , 5 5 8 3,668 4,878 6 , 2 1 4 7 , 3 2 2 8,210 26 0,770 1 , 6 6 0 2,681 3,830 5 , 0 9 7 6,451 7,507 7,941 27 0,809 t,744 2,811 4,004 5,322 6,68I 7,692 7,678 28 0,851 1,831 2 , 9 4 6 4,188 5,553 6 , 9 0 3 7 , 8 7 8 7,422 29 0,894 1,923 3 , 0 8 9 4,383 5,786 7,118 8,063 7,175 30 0,941 2 , 0 2 0 3 , 2 3 9 4 , 5 8 7 6 , 0 2 3 7,326 8,248 6,939 31 0,991 2,122 3,398 4 , 8 0 0 6 ,261 7 , 5 2 7 7 , 9 5 9 6,715 32 1,044 2 ,231 3 , 5 6 5 5 , 0 2 2 6 , 5 0 0 7 , 7 2 0 7 , 6 8 0 6,503 33 1,100 2 , 3 4 7 3 , 7 4 2 5 , 2 5 2 6 , 7 3 8 7 , 9 0 6 7 , 4 1 2 6,307 34 1,161 2,471 3 , 9 3 0 5 , 4 8 9 6 , 9 7 4 8 ,085 7 , 1 5 5 6,127 35 1,226 2 , 6 0 3 4 , 1 2 8 5,733 7,207 8 , 2 5 6 6,910 5,965 36 1,294 2 , 7 4 3 4,341 5,985 7 , 4 3 6 7 , 9 6 6 6 , 6 7 9 5,827 37 1,368 2 , 8 9 3 4 , 5 6 5 6,241 7,660 7 , 6 8 3 6 , 4 6 2 5,708 38 1,447 3 , 0 5 4 4 , 8 0 0 6 , 5 0 2 7,878 7,408 6 , 2 6 0 5,609 39 1,534 3,228 5,047 6,766 8,089 7,143 6,075 5,531 40 1,629 3 , 4 1 6 5 , 3 0 5 7,033 8,291 6 , 8 8 9 5,906 5,473 41 1,730 3 , 6 1 8 5 , 5 7 2 7 ,301 7 , 9 8 7 6 , 6 4 7 5 , 7 5 6 5,438 42 1,840 3 , 8 3 6 5 , 8 5 0 7 , 5 6 9 7 , 6 9 4 6 , 4 1 9 5 , 6 2 5 5,424 43 1,963 4 , 0 7 0 6 , 1 4 0 7 , 8 3 7 7 ,411 6 , 2 0 5 5 , 5 1 3 5,430 44 2,098 4 , 3 2 3 6,442 8,103 7 , 1 4 0 6 , 0 0 7 5 , 4 2 2 5,457 45 2,247 4 , 5 9 5 6 , 7 5 7 8 , 3 6 6 6 , 8 8 0 5 , 8 2 6 5 , 3 5 2 5,504 46 2,406 4 , 8 7 9 7 , 0 8 4 8 , 0 7 0 6 , 6 3 3 5 , 6 6 7 5 , 3 0 9 5,577 47 2,584 5 , 1 8 7 7 , 4 2 5 7 , 7 7 9 6 , 3 9 9 5 , 5 2 6 5 , 2 8 7 5,668 48 2,784 5 ,521 7 , 7 7 9 7 , 4 9 5 6 , 1 7 8 5 , 4 0 5 5 , 2 8 6 5,775 49 3,008 5,885 8 , 1 4 7 7 , 2 1 8 5 , 9 7 2 5 ,303 5,305 5,898 50 3,259 6,281 8,529 6,948 5,781 5,221 5,344 6,033 51 3,495 6,713 8,241 6,687 5 , 6 0 7 5,165 5,409 6,188 52 3,775 7 , 1 8 3 7 , 9 4 8 6,436 5,448 5 , 1 2 7 5,491 6,351 53 4,115 7 , 6 9 5 7 , 6 5 2 6 , 1 9 5 5,305 5,108 5,588 6,517 54 4,528 8,252 7 , 3 5 7 5 , 9 6 5 5 , 1 7 9 5 , 1 o 6 5 , 6 9 6 6,684 55 5,028 8,856 7 , 0 6 5 5 , 7 4 7 5 , 0 6 9 5 , 1 2 0 5 , 8 1 4 6,847 56 5,631 8,525 6 , 7 7 9 5 , 5 3 4 4 , 9 6 8 5 , 1 3 8 5 , 9 2 8 6,978 57 6,349 8 , 2 0 5 6,501 5,337 4 , 8 8 7 5 , 1 7 2 6 , 0 5 0 7,105 58 7,199 7 , 8 9 5 6 , 2 3 4 5 , 1 5 8 4 , 8 2 6 5 , 2 2 5 6 , 1 8 0 7,228 59 8,194 7 , 5 9 5 5 , 9 8 0 5 , 0 0 0 4 , 7 8 8 5 , 2 9 8 6 , 3 1 7 7,351 60 9,348 7 , 3 0 6 5 , 7 4 3 4 , 8 6 6 4 , 7 7 6 5 , 3 9 4 6 , 4 6 3 7,476 61 9,057 7 , 0 2 7 5 , 5 2 5 4,758 4,791 5,514 6 , 6 1 7 7,605 62 8,766 6 , 7 5 9 5 , 3 2 8 4 , 6 7 9 4 , 8 3 6 5,659 6,781 7,741 63 8,474 6,501 5,156 4 , 6 3 2 4 , 9 1 2 5 , 8 3 2 6 , 9 5 3 7,885 64 8,183 6 , 2 5 4 5 , 0 1 0 4 , 6 1 9 5 , 0 2 3 6 , 0 3 4 7,135 8,04t 65 7,892 6 , 0 1 7 4 , 8 9 4 4 , 6 4 3 5 , 1 6 9 6 , 2 6 7 7 , 3 2 7 8,210

Im Beharrungszustand betr~igt fiir alle Eintrittsaher die HiShe der R[ickstellung f~ir die Invaliden- und Ahersrenten 6,329.

218

Tabelle 3 Anzaht der Witwen oa~y k~x

\k 5 10 15 20 25 30 35 40

25 0 ,0054 0,0165 0 ,0324 0 ,0552 0 ,0913 0 ,1363 0 ,1973 0,2750 26 65 183 348 611 980 1464 2107 2906 27 74 201 376 669 1052 1569 2245 3070 28 83 217 408 726 1127 1680 2389 3238 29 91 234 442 784 1207 1794 2537 3408

30 0 ,0099 0,0251 0 ,0480 0 ,0842 0 ,1292 0 ,1914 0 ,2689 0,3580 31 107 269 521 902 1382 2038 2844 3751 32 114 289 565 964 1476 2167 3001 3918 33 122 310 612 1030 1576 2301 3161 4080 34 131 335 663 1100 1682 2439 3321 4236

35 0 ,0140 0,0362 0 ,0716 0 ,1174 0 ,1794 0 ,2582 0 ,3483 0,4382 36 150 397 772 1258 1915 2734 3652 4520 37 t61 436 831 1347 2042 2890 3819 4645 38 174 476 892 1441 2174 3049 3982 4753 39 189 519 957 1541 2310 3208 4137 4842

40 0 ,0206 0,0563 0 ,1025 0 ,1645 0 ,2450 0 ,3368 0 ,4283 0,4910 41 231 604 1094 1754 2592 3529 4415 4945 42 259 645 1167 1868 2737 3688 4534 4955 43 287 689 1244 1987 2884 3842 4636 4940 44 315 735 1325 2110 3033 3990 4719 4898

45 0 ,0342 0,0783 0 ,1412 0 ,2237 0 ,3183 0 ,4129 0 ,4782 0,4830 46 358 835 1507 2370 3340 4262 4819 4719 47 373 890 1607 2507 3496 4382 4831 4584 48 389 949 1712 2647 3648 4487 4819 4428 49 407 1013 1822 2789 3795 4574 4780 4254

50 0,0428 0,1082 0 ,1938 0 ,2934 0 ,3935 0 ,4640 0 ,4714 0,4067 51 459 1157 2059 3085 4067 4645 4556 3858 52 495 1238 2185 3236 4186 4634 4384 3644 53 535 1325 2315 3386 4292 4614 4212 3431 54 579 1417 2449 3531 4380 4591 4056 3226

55 0 ,0627 0,1516 0 ,2587 0 ,3670 0 ,4448 0 ,4572 0 ,3930 0,3034 56 676 1624 2735 3805 4489 4675 4015 2875 57 730 1737 2884 3930 4506 4768 4117 2738 58 788 1856 3033 4042 4500 4832 4210 2626 59 852 1980 3180 4139 4468 4845 4267 2542

60 0,0921 0,2109 0 ,3323 0 ,4217 0 ,4409 0 ,4787 0 ,4260 0,2488 61 997 2242 3460 4274 4323 4638 4163 2467 62 1080 2378 3588 4308 4208 4376 3949 2482 63 1170 2518 3707 4316 4063 3982 3591 2536 64 1268 2661 3814 4294 3887 3435 3062 2630

65 0 ,1374 0,2806 0 ,3907 0 ,4241 0 ,3679 0 ,2714 0 ,2335 0,2769

Im Beharrungszustand betr~gt fur atle Eintrktsaker die AnzahI derWitwen 0,4072.

219

Tabelle 4 o a w H~ihe der Riickstellung fiir die Witwenrente kVx

\k x\ 5 10 15 20 25 30 35 40

25 0,817 1 , 7 4 7 2 , 7 7 9 3 , 9 1 2 5 , 0 6 7 6 , 2 8 6 7 , 3 3 4 8,302 26 0,852 1,815 2 , 8 9 6 4 , 0 5 3 5 , 2 0 7 6 , 4 8 4 7 , 5 1 4 8,456 27 0,888 1,887 3 ,013 4 , 1 9 8 5 , 3 6 4 6,678 7,694 8,586 28 0,925 1 , 9 6 2 3 , 1 3 0 4 , 3 4 7 5 , 5 3 4 6 , 8 6 8 7,875 8,691 29 0,964 2 , 0 4 2 3 , 2 4 8 4,501 5,716 7 , 0 5 4 8,055 8,774 30 1,004 2 , 1 2 6 3 , 3 6 8 4 , 6 6 0 5 , 9 0 7 7,235 8,235 8,835 31 1,046 2 , 2 1 4 3 , 4 9 2 4 , 8 2 4 6 , 1 0 6 7 , 4 1 2 8,365 8,875 32 1,090 2 , 3 0 6 3 , 6 2 0 4 , 9 9 2 6 , 3 1 0 7 , 5 8 5 8 , 4 7 7 8,896 33 1,137 2 , 4 0 3 3 , 7 5 3 5 , 1 6 6 6,518 7,754 8,571 8,897 34 1,186 2 , 5 0 4 3 , 8 9 3 5 , 3 4 5 6 , 7 2 7 7,918 8,646 8,881 35 1,238 2 , 6 0 9 4 , 0 4 1 5 , 5 3 0 6 , 9 3 5 8,078 8,703 8,849 36 1,293 2 , 7 1 6 4 , 2 0 4 5 , 7 2 4 7 , 1 4 0 8 , 2 1 7 8 , 7 4 2 8,802 37 1,351 2 , 8 2 8 4 , 3 7 5 5 , 9 2 4 7 , 3 4 0 8,333 8,763 8,740 38 1,413 2 , 9 4 6 4 , 5 5 3 6 , 1 2 7 7,533 8,425 8 , 7 6 7 8,664 39 1,479 3,071 4,738 6 , 3 3 3 7 , 7 1 7 8 , 4 9 6 8 , 7 5 2 8,575 40 1,549 3 , 2 0 3 4 , 9 2 8 6 , 5 4 2 7,890 8,545 8 , 7 2 0 8,474 41 1,622 3,342 5,118 6 , 7 5 2 7 , 9 8 4 8 , 5 7 4 8 , 6 6 4 8,350 42 1,699 3 , 4 9 0 5 , 3 1 3 6 , 9 6 3 8 , 0 7 4 8 , 5 8 4 8 , 5 9 2 8,219 43 1,782 3 , 6 4 9 5 , 5 1 6 7 , 1 7 3 8 , 1 5 7 8 , 5 7 6 8,506 8,083 44 1,872 3 , 8 1 7 5 , 7 2 6 7,383 8,232 8,551 8,407 7,945 45 1,969 3,998 5,945 7 , 5 9 0 8 , 2 9 6 8 , 5 0 9 8 , 2 9 7 7,811 46 2,068 4 , 1 8 9 6 , 1 7 3 7 , 7 0 9 8,346 8,453 8 , 1 7 2 7,685 47 2,178 4 , 3 9 5 6 , 4 1 2 7,809 8,381 8 , 3 8 2 8 ,041 7,569 48 2,299 4 , 6 1 6 6 , 6 6 2 7,890 8,398 8,297 7 , 9 0 5 7,464 49 2,433 4 , 8 5 3 6 , 9 2 3 7 , 9 5 3 8 , 3 9 4 8 , 2 0 0 7 , 7 6 8 7,374 50 2,584 5,108 7,198 7,997 8,368 8,090 7 , 6 3 3 7,301 51 2,733 5 , 3 8 2 7 , 3 2 3 8 , 0 2 3 8 , 2 9 6 7 , 9 6 3 7 , 5 0 5 7,267 52 2,906 5 , 6 7 7 7 , 4 2 3 8 , 0 3 0 8 , 2 0 2 7 , 8 2 6 7 , 3 8 3 7,252 53 3,111 5,994 7 , 5 0 0 8,018 8,088 7 , 6 8 2 7 , 2 7 0 7,254 54 3,355 6 , 3 3 4 7 , 5 5 4 7 , 9 8 9 7 , 9 5 9 7 , 5 3 4 7 , 1 6 9 7,270 55 3,644 6 , 6 9 9 7 , 5 8 8 7 , 9 4 1 7 , 8 1 6 7 , 3 8 4 7 ,081 7,300 56 3,985 6 , 7 9 5 7 , 6 0 3 7 , 8 6 5 7 , 6 5 7 7 , 2 1 9 7 , 0 1 0 7,329 57 4,386 6 , 8 7 9 7 ,601 7 , 7 7 3 7 , 4 9 3 7 , 0 6 0 6,956 7,371 58 4,853 6 , 9 5 0 7 , 5 8 3 7 , 6 6 9 7 , 3 2 6 6 , 9 1 3 6 , 9 2 2 7,426 59 5,392 7 , 0 0 9 7 ,551 7 , 5 5 3 7 , 1 6 1 6 , 7 8 4 6 , 9 1 1 7,497 60 6,012 7 , 0 5 6 7 , 5 0 7 7 , 4 3 0 7 , 0 0 3 6 , 6 8 0 6 , 9 2 3 7,584 61 6,099 7 , 0 9 0 7 , 4 5 2 7 ,301 6 , 8 5 5 6 , 6 0 6 6,961 7,688 62 6,185 7,113 7 , 3 8 7 7 , 1 6 9 6 , 7 2 3 6 , 5 6 9 7,028 7,811 63 6,272 7 , 1 2 2 7 , 3 1 4 7 , 0 3 7 6 , 6 0 9 6 , 5 7 4 7 , 1 2 5 7,954 64 6,358 7 , 1 2 0 7 , 2 3 5 6 , 9 0 7 6 , 5 1 8 6 , 6 2 8 7 , 2 5 4 8,119 65 6,445 7 , 1 0 5 7 , 1 5 2 6,781 6,455 6 , 7 3 6 7 , 4 1 7 8,305

Im Beharrungszustand betr~igt fiir die Witwenrente 8,145.

alle Eintrittsalter die HiShe der Riickstellung fiir

220