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Ein Skript fur Analysis III

Chris Preston

Wintersemester 2002/03

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Die erste Halfte dieses Skripts (Kapitel 1-13) ist eine Einfuhrung in die Maß-und Integrationstheorie. Die Darstellung ist zum Teil durch Cohn [5] und Taylor[24] gepragt. Die zweite Halfte beschaftigt sich mit dem Satz von Stokes furUntermannigfaltigkeiten von Rn; hier haben die Texte von Konigsberger [16] undSpivak [23] die Darstellung beeinflusst.

Ein herzlicher Dank gilt Jens Rottmann fur das Aufspuren von Druckfehlern undUngenauigkeiten.

Chris PrestonFebruar, 2003

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Inhaltsverzeichnis

1 Maße auf Algebren und σ-Algebren 4

2 Fortsetzungssatz von Caratheodory 11

3 Maße auf den reellen Borelschen Mengen 17

4 Vervollstandigung von Maßraumen 23

5 Messbare Abbildungen 27

6 Das Integral: Erster Teil 36

7 Das Integral: Zweiter Teil 43

8 Produktmaße und der Satz von Fubini 48

9 Endliche signierte Maße 56

10 Der Satz von Radon-Nikodym 59

11 Das Integral als Halbnorm 65

12 Noch ein Darstellungssatz von Riesz 77

13 Der Transformationssatz 84

14 Multilineare Algebra 93

15 Differentialformen 105

16 Der Satz von Stokes fur Ketten 117

17 Untermannigfaltigkeiten 123

18 Integration von Differentialformen 138

19 Der Satz von Stokes 145

20 Die klassischen Satze 154

Literatur 155

Index 157

1 Maße auf Algebren und σ-Algebren

Sei X eine Menge; die Menge aller Teilmengen von X wird mit P(X) bezeichnet.

Eine nichtleere Teilmenge A von P(X) heißt Algebra, wenn gilt:

(1) X \ A ∈ A fur alle A ∈ A,

(2) A ∪ B ∈ A fur alle A, B ∈ A.

Eine nichtleere Teilmenge B von P(X) heißt σ-Algebra, wenn gilt:

(1) X \ A ∈ B fur alle A ∈ B,

(2)⋃∞n=pAn ∈ B fur jede Folge Ann≥p aus B.

Eine nichtleere Teilmenge M von P(X) heißt monotone Klasse, wenn gilt:

(1)⋃∞n=pAn ∈ M fur jede monoton wachsende Folge Ann≥p aus M,

(2)⋂∞n=pAn ∈ M fur jede monoton fallende Folge Ann≥p aus M.

Die folgenden Aussagen folgen unmittelbar aus den Definitionen:

(1) Jede σ-Algebra ist sowohl eine Algebra als auch eine monotone Klasse.

(2) Fur jede Algebra A (und insbesondere fur jede σ-Algebra A) gilt ∅, X ∈ Aund B \ A ∈ A fur alle A, B ∈ A.

(3) Ist A eine Algebra, so sind⋃nk=1Ak und

⋂nk=1Ak Elemente von A fur alle

A1, . . . , An ∈ A, n ≥ 1.

(4) Ist B eine σ-Algebra, so gilt⋂∞n=pAn ∈ B fur jede Folge Ann≥p aus B.

Lemma 1.1 Sei Ann≥p eine Folge aus einer Algebra A. Dann gibt es eine FolgeBnn≥p paarweise disjunkter Elemente aus A mit Bn ⊂ An fur jedes n ≥ p und⋃∞n=pBn =

⋃∞n=pAn.

Beweis Setze Bp = Ap und fur jedes n > p sei Bn = An \⋃n−1k=p Ak. Dann ist

Bnn≥p eine Folge aus A mit den gewunschten Eigenschaften.

Lemma 1.2 (1) Eine monotone Klasse ist eine σ-Algebra genau dann, wenn sieeine Algebra ist.

(2) Eine Algebra A ist eine σ-Algebra genau dann, wenn⋃∞n=pAn ∈ A fur jede

Folge Ann≥p paarweise disjunkter Elemente aus A.

4


Beweis (1) Sei A eine monotone Klasse, die eine Algebra ist. Da A eine Algebraist, ist X \A ∈ A fur jedes A ∈ A. Sei nun Ann≥p eine Folge aus A und fur jedesn ≥ p setze Bn =

⋃nk=pAk. Dann ist Bnn≥p eine monoton wachsende Folge und

Bn ∈ A fur jedes n ≥ p, da A eine Algebra ist. Damit ist⋃∞n=pBn ∈ A, da A

eine monotone Klasse ist. Aber⋃∞n=pBn =

⋃∞n=pAn, und dies zeigt, dass A eine

σ-Algebra ist. Die Umkehrung ist trivial richtig.

(2) Sei A eine Algebra und nehme an, dass⋃∞n=pBn ∈ A fur jede Folge Bnn≥p

paarweise disjunkter Elemente aus A. Sei Ann≥p eine Folge aus A; dann gibtes nach Lemma 1.1 eine Folge Bnn≥p paarweise disjunkter Elemente aus A mit⋃∞n=pBn =

⋃∞n=pAn und damit ist

⋃∞n=pAn ∈ A. Da A eine Algebra ist, ist

ferner X \ A ∈ A fur jedes A ∈ A und dies zeigt, dass A eine σ-Algebra ist. DieUmkehrung ist wieder trivial richtig.

Lemma 1.3 Sei S eine nichtleere Teilmenge von P(X).

(1) Es gibt eine kleinste σ-Algebra σ(S), die S enthalt. (Mit anderen Worten:σ(S) ist eine σ-Algebra mit S ⊂ σ(S) und σ(S) ⊂ B fur jede σ-Algebra B mitS ⊂ B.)

(2) Es gibt eine kleinste Algebra a(S), die S enthalt. (a(S) ist also eine Algebramit S ⊂ a(S) und a(S) ⊂ A fur jede Algebra A mit S ⊂ A.)

(3) Es gibt eine kleinste monotone Klasse m(S), die S enthalt. (m(S) ist alsoeine monotone Klasse mit S ⊂ m(S) und m(S) ⊂ M fur jede monotone KlasseM mit S ⊂ M.)

Beweis (1) Der Durchschnitt einer beliebigen Familie von σ-Algebren ist wiedereine σ-Algebra; ferner ist P(X) eine σ-Algebra, die S enthalt. Sei also σ(S) derDurchschnitt aller σ-Algebren, die S enthalten. Dann ist σ(S) eine σ-Algebra mitS ⊂ σ(S) und σ(S) ⊂ B fur jede σ-Algebra B mit S ⊂ B.

(2) und (3): Genauso wie (1).

Man sagt, dass σ(S) die von S erzeugte σ-Algebra und m(S) die von S erzeugtemonotone Klasse ist.

Satz 1.1 (Monotone class theorem) Fur jede Algebra A gilt σ(A) = m(A).

Beweis (1) Es ist klar, dass m(A) ⊂ σ(A), da σ(A) eine monotone Klasse istmit A ⊂ σ(A).

(2) Es muss also gezeigt werden, dass σ(A) ⊂ m(A), und dafur genugt es zuzeigen, dass m(A) eine Algebra ist: Nach Lemma 1.2 (1) ware dann m(A) eineσ-Algebra mit A ⊂ m(A) und daher mit σ(A) ⊂ m(A).


(3) Sei m′(A) = X \ A : A ∈ m(A) und setze M = m(A) ∩ m′(A). Dann giltA ⊂ M (da X \ A ∈ A fur jedes A ∈ A) und man sieht leicht, dass M einemonotone Klasse ist. Damit ist m(A) ⊂ M, d.h., M = m(A) und dies zeigt, dassX \ A ∈ m(A) fur alle A ∈ m(A).

(4) Fur jedes A ∈ m(A) setze MA = B ∈ m(A) : A ∪ B ∈ m(A). Dann istMA ⊂ m(A) und wieder sieht man leicht, dass MA eine monotone Klasse ist.

(5) Es gilt MA = m(A) fur jedes A ∈ A: Da A∪B ∈ A ⊂ m(A) fur alle B ∈ A,ist A ⊂ MA. Folglich ist m(A) ⊂ MA, d.h., MA = m(A).

(6) Es gilt MB = m(A) fur jedes B ∈ m(A): Nach (5) ist A∪B ∈ m(A) fur alleA ∈ A und damit ist A ⊂ MB. Folglich ist m(A) ⊂ MB, d.h., MB = m(A).

(7) Nach (6) ist A ∪ B ∈ m(A) fur alle A, B ∈ m(A), und zusammen mit (3)zeigt dieses, dass m(A) eine Algebra ist.

Setze R+∞ = R+∪+∞, wobei R+ = x ∈ R : x ≥ 0, also ist R+

∞ Teilmenge dererweiterten Zahlengeraden R. Das Element +∞ von R+

∞ wird aber lediglich mit∞ bezeichnet. Die Addition + und die Multiplikation · auf R+ werden auf R+

∞

erweitert: Fur alle x ∈ R+∞ gilt x + ∞ = ∞ + x = ∞, fur alle x ∈ R+

∞ \ 0 giltx · ∞ = ∞ · x = ∞, und 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0. Diese Verknupfungen sind assoziativund kommutativ und es gelten die ublichen Distributivgesetze. Ist xnn≥p eineFolge aus R+

∞, so definiert man

∞∑

n=p

xn = sup

m∑

n=p

xn : m ≥ p

,

wobei x ≤ ∞ fur alle x ∈ R+∞. Insbesondere ist

∑∞n=p xn = ∞, falls xn = ∞ fur

ein n ≥ p.

Sei nun S eine nichtleere Teilmenge von P(X) und µ : S → R+∞ eine Abbildung.

Die Abbildung µ heißt subadditiv, wenn µ(A ∪ B) ≤ µ(A) + µ(B) gilt fur alleA, B ∈ S mit A ∪B ∈ S.

Die Abbildung µ heißt additiv, wenn µ(A∪B) = µ(A)+µ(B) gilt fur alle A, B ∈ Smit A ∪ B ∈ S und A ∩ B = ∅.

Die Abbildung µ heißt σ-subadditiv, wenn µ(⋃∞

n=pAn

)≤∑∞

n=p µ(An) gilt fur

jede Folge Ann≥p aus S mit⋃∞n=pAn ∈ S.

Die Abbildung µ heißt σ-additiv, wenn µ(⋃∞

n=pAn

)=∑∞

n=p µ(An) gilt fur jede

Folge Ann≥p paarweise disjunkter Elemente aus S mit⋃∞n=pAn ∈ S.

Die Abbildung µ heißt monoton, wenn µ(A) ≤ µ(B) gilt fur alle A, B ∈ S mitA ⊂ B.

Die folgenden Aussagen folgen unmittelbar aus den Definitionen:


(1) Sind S, T Teilmengen von P(X) mit T ⊂ S und ist µ : S → R+∞ subadditiv

bzw. additiv bzw. σ-subadditiv bzw. σ-additiv bzw. monoton, so ist dieEinschrankung von µ auf T auch subadditiv bzw. additiv bzw. σ-subadditivbzw. σ-additiv bzw. monoton.

(2) Falls ∅ ∈ S, so ist jede σ-subadditive Abbildung µ : S → R+∞ mit µ(∅) = 0

subadditiv und jede σ-additive Abbildung µ : S → R+∞ mit µ(∅) = 0

additiv.

Sei nun S eine Teilmenge von P(X) mit ∅, X ∈ S. Eine σ-additive Abbildungµ : S → R+

∞ mit µ(∅) = 0 heißt Maß auf S.

Eine vernunftige Integrationstheorie setzt ein Maß auf einer σ-Algebra voraus.Der Fortsetzungssatz von Caratheodory, der in Kapitel 2 behandelt wird, besagt,dass jedes Maß auf einer Algebra A sich zu einem Maß auf σ(A) fortsetzen laßt. InKapitel 3 wird untersucht, wie man Maße auf einer geeigneten Algebra A ⊂ P(R)konstruieren kann. Maße auf σ-Algebren B ⊂ P(Rn) erhalt man dann spater mitHilfe von Produktmaßen.

Ist µ ein Maß auf einer σ-Algebra B ⊂ P(X), so heißt (X,B, µ) ein Maßraum.

Lemma 1.4 Ein Maß µ auf einer Algebra A (und insbesondere ein Maß aufeiner σ-Algebra) ist monoton und σ-subadditiv.

Beweis Seien A, B ∈ A mit A ⊂ B. Da µ additiv ist und B \ A ∈ A, istµ(A) ≤ µ(A) + µ(B \ A) = µ(A ∪ (B \ A)) = µ(B), und daraus folgt, dass µmonoton ist. Sei nun Ann≥p eine Folge aus A mit A =

⋃∞n=pAn ∈ A. Nach

Lemma 1.1 gibt es dann eine Folge Bnn≥p paarweise disjunkter Elemente ausA mit Bn ⊂ An fur jedes n ≥ p und

⋃∞n=pBn = A. Da µ monoton ist, gilt

µ(Bn) ≤ µ(An) fur alle n ≥ p; ferner ist µ(A) =∑∞

n=p µ(Bn), da µ σ-additiv ist.Daraus ergibt sich, dass µ(A) ≤

∑∞n=p µ(An), und damit ist µ σ-subadditiv.

Lemma 1.5 Sei µ ein Maß auf einer Algebra A.

(1) Ist Ann≥p eine monoton wachsende Folge aus A mit A =⋃∞n=pAn ∈ A, so

gilt limn→∞ µ(An) = µ(A).

(2) Ist Ann≥p eine monoton fallende Folge aus A mit A =⋂∞n=pAn ∈ A und

µ(Ap) <∞, so gilt limn→∞ µ(An) = µ(A).

Beweis (1) Sei Bp = Ap und fur n > p setze Bn = An \An−1. Dann ist Bnn≥peine Folge paarweise disjunkter Elemente aus A mit An =

⋃nm=pBm fur jedes

n ≥ p und A =⋃∞n=pBn. Damit ist

µ(A) =∞∑

n=p

µ(Bn) = limn→∞

n∑

m=p

µ(Bm) = limn→∞

µ(An) .


(2) Fur jedes n ≥ p sei Bn = Ap\An; dann ist Bnn≥p eine monotone wachsendeFolge aus A mit

⋃∞n=pBn = Ap \A. Nach (1) ist also limn→∞ µ(Bn) = µ(Ap \A).

Da aber µ(Ap) < ∞, ist µ(Ap \ A) = µ(Ap) − µ(A) und µ(Bn) = µ(Ap) − µ(An)fur jedes n ≥ p. Damit ist limn→∞ µ(An) = µ(A).

Satz 1.2 Sei A ⊂ P(X) eine Algebra und sei µ : A → R+∞ additiv mit µ(∅) = 0

und µ(X) <∞. Dann sind aquivalent:

(1) µ ist ein Maß auf A.

(2) Fur jede monoton fallende Folge Ann≥p aus A mit⋂∞n=pAn = ∅ gilt

limn→∞ µ(An) = 0.

Beweis (1) ⇒ (2): Dies folgt unmittelbar aus Lemma 1.5 (2).

(2) ⇒ (1): Sei Ann≥p eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus A mitA =

⋃∞n=pAn ∈ A. Fur n ≥ p setze Bn =

⋃∞m=n+1Am = A \

⋃nm=pAm; dann

ist Bnn≥p eine monoton fallende Folge aus A mit⋂n≥pBn = ∅. Damit gilt

limn→∞ µ(Bn) = 0. Fur jedes m ≥ p ist aber

µ(A) = µ(Bm ∪

m⋃

n=p

An

)= µ(Bm) +

m∑

n=p

µ(An) ,

da µ additiv ist, und daraus ergibt sich, dass µ(A) =∑∞

n=p µ(An). Dies zeigt,dass µ σ-additiv ist.

Ein Maß µ auf einer Algebra A ⊂ P(X) heißt endlich, wenn µ(X) < ∞ undheißt σ-endlich, wenn es eine Folge Ann≥p aus A gibt mit µ(An) <∞ fur jedesn ≥ p und X =

⋃∞n=pAn.

Lemma 1.6 Sei A ⊂ P(X) eine Algebra und seien B1, B2 ⊂ P(X) σ-Algebrenmit A ⊂ B1∩B2. Fur j = 1, 2 sei νj ein endliches Maß auf Bj mit ν1(A) = ν2(A)fur alle A ∈ A. Dann gilt ν1(A) = ν2(A) fur alle A ∈ σ(A).

Beweis Sei M = B ∈ B1 ∩ B2 : ν1(B) = ν2(B); dann ist A ⊂ M und nachLemma 1.5 ist M eine monotone Klasse. Daraus ergibt sich nach Satz 1.1, dassσ(A) = m(A) ⊂ M und insbesondere ist ν1(A) = ν2(A) fur alle A ∈ σ(A).

Satz 1.3 Sei µ ein σ-endliches Maß auf einer Algebra A ⊂ P(X) und seienB1, B2 ⊂ P(X) σ-Algebren mit A ⊂ B1 ∩ B2. Fur j = 1, 2 sei νj ein Maß aufBj mit ν1(A) = ν2(A) = µ(A) fur alle A ∈ A. Dann gilt ν1(A) = ν2(A) fur alleA ∈ σ(A).


Beweis Da µ σ-endlich ist, gibt es eine Folge Ann≥p aus A mit µ(An) < ∞fur jedes n ≥ p und X =

⋃∞n=pAn. Nach Lemma 1.1 gibt es dann eine Folge

Bnn≥p paarweise disjunkter Elemente aus A mit Bn ⊂ An und damit mitµ(Bn) < ∞ fur jedes n ≥ p und

⋃∞n=pBn =

⋃∞n=pAn = X. Fur j = 1, 2 und

jedes n ≥ p definiere νi,n : Bi → R+∞ durch νi,n(B) = νi(B ∩ Bn) fur jedes

B ∈ Bi. Dann sieht man leicht, dass νi,n ein Maß auf Bi ist, und νi,n ist endlich,da νi,n(X) = νi(Bn) = µ(Bn) <∞. Ferner gilt

ν1,n(A) = ν1(A ∩ B1) = ν2(A ∩ B2) = ν2,n(A)

fur alle A ∈ A, und daraus folgt nach Lemma 1.6, dass ν1,n(A) = ν2,n(A) fur alleA ∈ σ(A). Damit gilt

ν1(A) =∞∑

n=p

ν1(A ∩ Bn) =∞∑

n=p

ν1,n(A) =∞∑

n=p

ν2,n(A) =∞∑

n=p

ν2(A ∩Bn) = ν2(A)

fur alle A ∈ σ(A).

Sei xaa∈F eine beliebige Familie von Elementen aus R+∞. Dann wird die Summe

dieser Elemente definiert durch

∑

a∈F

xa = sup

∑

a∈∆

xa : ∆ eine endliche Teilmenge von F

.

Insbesondere ist∑

a∈F xa = ∞, falls xa = ∞ fur ein a ∈ F . Fur eine Familiexkk∈[n] (mit [n] = 1, 2, . . . , n) ist es klar, dass

∑k∈[n] xk =

∑nk=1 xk. Ist ferner

xnn≥p eine Folge aus R+∞, so sieht man leicht, dass

∑n∈Np

xn =∑∞

n=p xn, wobei

Np = n ∈ N : n ≥ p.

Sind xaa∈F , yaa∈F Familien von Elementen aus R+∞ mit xa ≤ ya fur jedes

a ∈ F , dann ist es auch klar, dass∑

a∈F xa ≤∑

a∈F ya.

Lemma 1.7 Sei x(a,b)(a,b)∈F×G eine Familie von Elementen aus R+∞; fur jedes

a ∈ F sei xabb∈G die Familie mit xab = x(a,b) und fur jedes b ∈ G sei xbaa∈Fdie Familie mit xba = x(a,b). Dann gilt

∑

b∈G

(∑

a∈F

xba

)=

∑

(a,b)∈F×G

x(a,b) =∑

a∈F

(∑

b∈G

xab

).

Beweis Ubung.

Sei S eine nichtleere Teilmenge von P(X) und fur jedes a ∈ F sei µa : S → R+∞

eine Abbildung. Definiere eine Abbildung∑

a∈F µa : S → R+∞ durch

(∑

a∈F

µa

)(S) =

∑

a∈F

µa(S)

fur jedes S ∈ S.


Satz 1.4 Ist die Abbildung µa : S → R+∞ additiv bzw. subadditiv bzw. σ-additiv

bzw. σ-subadditiv bzw. monoton fur jedes a ∈ F , so ist es auch∑

a∈F µa.

Beweis Nehme an, µa ist σ-subadditiv fur jedes a ∈ F , und sei Snn≥p eineFolge aus S mit S =

⋃∞n=p Sn ∈ S. Dann gilt nach Lemma 1.7, dass

(∑

a∈F

µa

)(S) =

∑

a∈F

µa(S) ≤∑

a∈F

(∞∑

n=p

µa(Sn)

)=∑

a∈F

∑

n∈Np

µa(Sn)

=∑

n∈Np

(∑

a∈F

µa(Sn)

)=∑

n∈Np

(∑

a∈F

µa

)(Sn) =

∞∑

n=p

(∑

a∈F

µa

)(Sn)

und dies zeigt, dass∑

a∈F µa σ-subadditiv ist. Die anderen Falle sind ahnlich.

Fur jedes a ∈ F sei µa ein Maß auf einer Algebra A. Nach Satz 1.4 ist dann auch∑a∈F µa ein Maß auf A.

2 Fortsetzungssatz von Caratheodory

Der folgende Satz ist Teil des Fortsetzungssatzes von Caratheodory (Satz 2.2).

Satz 2.1 Jedes Maß µ auf einer Algebra A laßt sich zu einem Maß auf σ(A)fortsetzen: Es gibt ein Maß ν auf σ(A) mit ν(A) = µ(A) fur alle A ∈ A. Istferner µ σ-endlich, so ist ν eindeutig durch µ bestimmt.

Beweis Die Existenz von ν folgt unmittelbar aus Satz 2.2. Die Eindeutigkeit furein σ-endliches Maß µ folgt dagegen direkt aus Satz 1.4.

Sei X eine Menge. Eine monotone σ-subadditive Abbildung µ : P(X) → R+∞ mit

µ(∅) = 0 heißt außeres Maß.

Sei S eine Teilmenge von P(X) mit ∅, X ∈ S und sei µ : S → R+∞ ein Maß auf

S. Definiere eine Abbildung µ∗ : P(X) → R+∞ durch

µ∗(A) = inf

∞∑

n=0

µ(An) : Ann≥0 eine Folge aus S mit A ⊂∞⋃

n=0

An

.

Lemma 2.1 Die Abbildung µ∗ ist ein außeres Maß.

Beweis Es ist klar, dass µ∗ monoton ist und µ∗(∅) = 0 (da µ(∅) = 0). Es mussdaher gezeigt werden, dass µ∗ σ-subadditiv ist.

Sei Snn≥p eine Folge aus P(X) und setze S =⋃∞n=p Sn. Ist µ∗(Sn) = ∞ fur ein

n, so ist auch µ∗(S) = ∞, da Sn ⊂ S und µ∗ monoton ist, und in diesem Fall istµ∗(S) = ∞ =

∑∞n=p µ

∗(Sn). Es kann also angenommen werden, dass µ∗(Sn) <∞fur jedes n ≥ p. Sei ε > 0; fur jedes n ≥ p gibt es dann eine Folge An,kk≥0 ausS mit Sn ⊂

⋃∞k=0An,k und

∑∞k=0 µ(An,k) < µ∗(Sn) + 2p−1−nε.

Sei h : N → n ∈ N : n ≥ p × N irgendeine bijektive Abbildung und seiBmm≥0 die Folge aus S mit Bm = Ah(m) fur jedes m ≥ 0. Sei M ≥ 0; dann gibtes N ≥ p und K ≥ 0, so dass h(m) ∈ p, p + 1, . . . , N × 0, 1, . . . , K fur allem ∈ 0, 1, . . . ,M und damit gilt

M∑

m=0

µ(Bm) =M∑

m=0

µ(Ah(m)) ≤N∑

n=p

K∑

k=0

µ(An,k)

≤N∑

n=p

(µ∗(Sn) + 2p−1−nε) ≤N∑

n=p

µ∗(Sn) + ε ≤∞∑

n=p

µ∗(Sn) + ε .

11


Folglich ist∑∞

m=0 µ(Bm) ≤∑∞

n=p µ∗(Sn) + ε. Aber S =

⋃∞n=p Sn ⊂

⋃∞m=0Bm (da

es zu jedem n ≥ p und jedem x ∈ Sn ein k ≥ 0 mit x ∈ An,k und daher ein m ≥ 0mit x ∈ Bm gibt) und daraus ergibt sich, dass

µ∗(S) ≤∞∑

m=0

µ(Bm) ≤∞∑

n=p

µ∗(Sn) + ε .

Da ε > 0 beliebig ist, ist also µ∗(S) ≤∑∞

n=p µ∗(Sn) und dies zeigt, dass µ∗

σ-subadditiv ist.

Die Abbildung µ∗ heißt das von (X,S, µ) erzeugte außere Maß.

Satz 2.2 (Fortsetzungssatz von Caratheodory) Es sei A eine Algebra mitA ⊂ P(X) und sei µ : A → R+

∞ ein Maß auf A. Sei ferner µ∗ das von (X,A, µ)erzeugte außere Maß und setze

B = S ∈ P(X) : µ∗(T ∩ S) + µ∗(T \ S) = µ∗(T ) fur alle T ∈ P(X) .

Dann gilt:

(1) B ist eine σ-Algebra mit A ⊂ B.

(2) Die Einschrankung von µ∗ auf B ist ein Maß.

(3) Fur alle A ∈ A ist µ∗(A) = µ(A).

(4) Sei B ∈ B mit µ∗(B) < ∞ und ε > 0; dann gibt es eine Folge Ann≥0 ausA mit B ⊂

⋃∞n=0An, so dass µ∗ (

⋃∞n=0An \B) < ε.

(5) Sei B ∈ B mit µ∗(B) < ∞ und ε > 0; dann gibt es ein A ∈ A, so dassµ∗((A \B) ∪ (B \ A)) < ε.

Sei ν die Einschrankung von µ∗ auf B; dann wird der Maßraum (X,B, ν) dieCaratheodory-Fortsetzung von (X,A, µ) genannt.

Als Vorbereitung fur den Beweis von Satz 2.2 werden einige Lemmas benotigt:

Lemma 2.2 Sei λ : P(X) → R+∞ ein außeres Maß und setze

B = S ∈ P(X) : λ(T ∩ S) + λ(T \ S) = λ(T ) fur alle T ∈ P(X) .

Dann ist B eine σ-Algebra und die Einschrankung von λ auf B ist ein Maß.

Beweis (1) Es ist klar, dass ∅ ∈ B, und insbesondere ist B 6= ∅.

(2) Fur jedes S ∈ B ist X \S ∈ B, da T ∩(X \S) = T \S und T \(X \S) = T ∩Sfur alle T ∈ P(X).


(3) Seien S1, S2 ∈ B; fur alle T ∈ P(X) gilt dann

λ(T ) = λ(T ∩ S1) + λ(T \ S1)

= λ(T ∩ S1) + λ((T \ S1) ∩ S2) + λ((T \ S1) \ S2)

= λ(T ∩ (S1 ∪ S2) ∩ S1) + λ((T ∩ (S1 ∪ S2)) \ S1) + λ(T \ (S1 ∪ S2)) ,

da (T \ S1) ∩ S2 = (T ∩ (S1 ∪ S2)) \ S1, (T \ S1) \ S2 = T \ (S1 ∪ S2) und auchS1 = (S1 ∪ S2) ∩ S1. Aber

λ(T ∩ (S1 ∪ S2) ∩ S1) + λ((T ∩ (S1 ∪ S2)) \ S1) = λ(T ∩ (S1 ∪ S2))

und daraus ergibt sich, dass λ(T ∩ (S1 ∩ S2)) + λ(T \ (S1 ∪ S2)) = λ(T ) fur alleT ∈ P(X). Damit ist S1 ∪ S2 ∈ B.

(4) Nach (1), (2) und (3) ist B eine Algebra.

(5) Seien S1, S2 ∈ B mit S1 ∩ S2 = ∅; da S1 ∈ B gilt also

λ(T ∩ (S1 ∪ S2)) = λ(T ∩ (S1 ∪ S2) ∩ S1) + λ((T ∩ (S1 ∪ S2)) \ S1)

= λ(T ∩ S1) + λ(T ∩ S2)

fur alle T ∈ P(X).

(6) Sei Snn≥p eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus B. Durch Induktionnach m folgt nun aus (5), dass fur jedes m ≥ p

λ(T ∩

( m⋃

n=p

Sn

))=

m∑

n=p

λ(T ∩ Sn)

fur alle T ∈ P(X).

(7) Sei Snn≥p eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus B. Da λ monotonist, gilt fur jedes m ≥ p nach (4) und (6), dass

λ(T ) = λ(T ∩

( m⋃

n=p

Sn

))+ λ(T \

( m⋃

n=p

Sn

))

=m∑

n=p

λ(T ∩ Sn) + λ(T \

( m⋃

n=p

Sn

))≥

m∑

n=p

λ(T ∩ Sn) + λ(T \

( ∞⋃

n=p

Sn

))

fur alle T ∈ P(X). Da λ σ-subadditiv ist, folgt daraus, dass

λ(T ) ≥∞∑

n=p

λ(T ∩Sn)+λ(T \( ∞⋃

n=p

Sn

))≥ λ

(T ∩

( ∞⋃

n=p

Sn

))+λ(T \( ∞⋃

n=p

Sn

)).

Aber ein außeres Maß ist stets subadditiv und daher gilt auch

λ(T ) ≤ λ(T ∩

( ∞⋃

n=p

Sn

))+ λ(T \

( ∞⋃

n=p

Sn

)).


Damit gilt λ(T ) = λ(T ∩

(⋃∞n=p Sn

))+ λ(T \

(⋃∞n=p Sn

))fur alle T ∈ P(X),

und dies zeigt, dass⋃∞n=p Sn ∈ B.

(8) Nach (4), (7) und Lemma 1.2 (2) ist B eine σ-Algebra.

(9) Die Einschrankung von λ auf B ist ein Maß: Sei Snn≥p eine Folge paarweisedisjunkter Elemente aus B. In (7) wurde es schon gezeigt, dass

λ(T ) ≥∞∑

n=p

λ(T ∩ Sn) + λ(T \

( ∞⋃

n=p

Sn

))

fur alle T ∈ P(X). Insbesondere gilt dann mit T =⋃∞n=p Sn, dass

λ( ∞⋃

n=p

Sn

)≥∞∑

n=p

λ(Sn) + λ(∅) =

∞∑

n=p

λ(Sn)

und daher ist λ(⋃∞

n=p Sn

)=∑∞

n=p λ(Sn), da λ σ-subadditiv ist.

Lemma 2.3 Sei A ⊂ P(X) eine Algebra und sei µ : A → R+∞ ein Maß auf A.

Sei ferner µ∗ das von (X,A, µ) erzeugte außere Maß. Dann gilt:

(1) µ∗(T ) = µ∗(T ∩ A) + µ∗(T \ A) fur alle A ∈ A, T ∈ P(X).

(2) µ∗(A) = µ(A) fur alle A ∈ A.

Beweis (1) Da µ∗ subadditiv ist, ist µ∗(T ) ≤ µ∗(T ∩ A) + µ∗(T \ A). Es mussalso gezeigt werden, dass µ∗(T ) ≥ µ∗(T ∩ A) + µ∗(T \ A), und dafur kann manannehmen, dass µ∗(T ) < ∞. Sei ε > 0; dann gibt es eine Folge Ann≥0 aus Amit T ⊂

⋃∞n=0An, so dass

∑∞n=0 µ(An) ≤ µ∗(T ) + ε. Aber

∞∑

n=0

µ(An) =∞∑

n=0

(µ(An ∩A) + µ(An \ A))

=∞∑

n=0

µ(An ∩ A) +∞∑

n=0

µ(An \ A) ≥ µ∗(T ∩ A) + µ∗(T \ A) ,

da An ∩A, An \A ∈ A und T ∩A ⊂⋃∞n=0(An ∩A), T \A ⊂

⋃∞n=0(An \A). Also

ist µ∗(T )+ ε ≥ µ∗(T ∩A)+µ∗(T \A) und damit µ∗(T ) ≥ µ∗(T ∩A)+µ∗(T \A),da ε > 0 beliebig ist.

(2) Sei A ∈ A; dann ist

µ∗(A) = inf

∞∑

n=0

µ(An) : Ann≥0 eine Folge aus A mit A ⊂∞⋃

n=0

An


und insbesondere ist µ∗(A) ≤ µ(A). (Man nehme einfach A0 = A und An = ∅

fur alle n ≥ 1.) Sei nun Ann≥0 eine beliebige Folge aus A mit A ⊂⋃∞n=0An.

Sei B0 = A0 ∩ A und fur jedes n ≥ 1 setze Bn = (An \⋃n−1k=0 Ak) ∩ A. Dann ist

Bnn≥0 eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus A mit Bn ⊂ An fur jedesn ≥ 0 und

⋃∞n=0Bn = A. Da µ ein Maß auf A ist, ergibt sich daraus, dass

µ(A) =∞∑

n=0

µ(Bn) ≥∞∑

n=0

µ(An)

und dies zeigt, dass µ(A) ≥ µ∗(A). Damit gilt µ∗(A) = µ(A) fur alle A ∈ A.

Beweis fur Satz 2.2: Die Aussagen (1), (2) und (3) folgen direkt aus Lemma 2.2und Lemma 2.3.

(4) Sei B ∈ B mit µ∗(B) < ∞ und ε > 0. Dann gibt es eine Folge Ann≥0 ausA mit B ⊂

⋃∞n=0An, so dass

∑∞n=0 µ(An) < µ∗(B) + ε. Nun ist µ(An) = µ∗(An)

fur jedes n ≥ 0 und µ∗(⋃∞

n=0An

)≤∑∞

n=0 µ∗(An), und damit gilt

µ∗( ∞⋃

n=0

An \B)

= µ∗( ∞⋃

n=0

An

)− µ∗(B) < ε ,

da nach (2) die Einschrankung von µ∗ auf B ein Maß und daher additiv ist.

(5) Genauso wie in (4) gibt es eine Folge Ann≥0 aus A mit B ⊂⋃∞n=0An, so

dass∑∞

n=0 µ(An) < µ∗(B) + ε/2. Wahle m ≥ 0, so dass∑∞

n=m+1 µ(An) < ε/2und setze A =

⋃mn=0An. Dann ist A ∈ A und

µ∗((A \B) ∪ (B \ A)) = µ∗(A \B) + µ∗(B \ A)

≤ µ∗( ∞⋃

n=0

An \B)

+ µ∗( ∞⋃

n=m+1

An

)< ε ,

da die Einschrankung von µ∗ auf B additiv ist und (A \B) ∩ (B \ A) = ∅.

Lemma 2.4 Sei µ ein Maß auf einer Algebra A ⊂ P(X) und sei (X,B, ν) dieCaratheodory-Fortsetzung von (X,A, µ). Fur jedes B ∈ B mit ν(B) <∞ gibt esdann ein A ∈ σ(A) mit B ⊂ A und ν(A \B) = 0.

Beweis Nach Satz 2.2 (4) gibt es zu jedem m ≥ 1 eine Folge Am,nn≥0 aus A mitB ⊂

⋃∞n=0Am,n, so dass ν (

⋃∞n=0Am,n \B) < 1/m. Setze A ∈

⋂∞m=1

⋃∞n=0Am,n;

dann ist A ∈ σ(A) mit B ⊂ A, und es gilt ν(A \B) ≤ ν (⋃∞n=0Am,n \B) < 1/m

fur jedes m ≥ 1, d.h., ν(A \B) = 0.


Satz 2.3 Sei µ ein σ-endliches Maß auf einer Algebra A ⊂ P(X) und sei(X,B, ν) die Caratheodory-Fortsetzung von (X,A, µ). Fur jedes B ∈ B gibt esdann ein A ∈ σ(A) mit B ⊂ A und ν(A \B) = 0.

Beweis Da µ σ-endlich ist, gibt es eine Folge Cnn≥p aus A mit µ(Cn) < ∞fur jedes n ≥ p und X =

⋃∞n=pCn. Sei nun B ∈ B und fur jedes n ≥ p setze

Bn = B ∩ Cn; da ν(Bn) ≤ µ(Cn) < ∞, gibt es nach Lemma 2.4 ein An ∈ σ(A)mit Bn ⊂ An und ν(An \ Bn) = 0. Setze A =

⋃∞n=pAn; dann ist A ∈ σ(A) mit

B ⊂ A und es gilt ν(A \B) = 0, da

A \B =

(∞⋃

n=p

An

)\

(∞⋃

n=p

Bn

)⊂∞⋃

n=p

(An \Bn)

und ν(⋃∞

n=p(An \Bn))≤∑∞

n=p ν(An \Bn) = 0.

Satz 2.4 Sei µ ein σ-endliches Maß auf einer Algebra A ⊂ P(X) und bezeichneauch mit µ die eindeutige Fortsetzung von diesem Maß auf A zu einem Maß aufσ(A). Dann gibt es zu jedem B ∈ σ(A) und jedem ε > 0 eine Folge Ann≥0 ausA mit B ⊂

⋃∞n=0An, so dass µ(

⋃∞n=0An \B) < ε.

Beweis Sei µ∗ das von (X,A, µ) erzeugte außere Maß; also ist nach Satz 2.1 undSatz 2.2 µ(B) = µ∗(B) fur jedes B ∈ σ(B). Da µ σ-endlich ist, gibt es einemonoton wachsende Folge Emm≥1 aus A mit µ(Em) <∞ fur jedes m ≥ 1 undX =

⋃∞m=1Em. Sei nun B ∈ σ(A) und ε > 0; da µ(B ∩ Em) < ∞, gibt es nach

Satz 2.2 (4) eine Folge Fm,kk≥0 aus A mit B ∩Em ⊂⋃∞k=0 Fm,k, so dass

µ

(∞⋃

k=0

Fm,k \ (B ∩Em)

)= µ∗

(∞⋃

k=0

Fm,k \ (B ∩ Em)

)< 2−mε .

Sei Ann≥0 eine Aufzahlung der Elemente in der Doppelfolge Fm,km≥1,k≥0.Dann ist Ann≥0 eine Folge aus A mit B ⊂

⋃∞n=0An und es gilt

µ

(∞⋃

n=0

An \B

)≤ µ

(∞⋃

m=1

(∞⋃

k=0

Fm,k \ (B ∩Em)

))

≤∞∑

m=1

µ

(∞⋃

k=0

Fm,k \ (B ∩Em)

)<

∞∑

m=1

2−nε = ε .

3 Maße auf den reellen Borelschen Mengen

Sei G die Menge der offenen Teilmengen von R und setze B(R) = σ(G). Also istB(R) die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Teilmengen von R enthalt; sie heißtdie σ-Algebra der Borelschen Mengen des R. Man sieht leicht, dass jedes Intervallin B(R) liegt.

Lemma 3.1 Sei µ ein endliches Maß auf B(R) und definiere eine Abbildungα : R → R durch α(x) = µ((−∞, x]). Dann hat α folgende Eigenschaften:

(1) α ist monoton wachsend und beschrankt.

(2) α ist rechtsseitig stetig: Zu jedem x ∈ R und jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0,so dass |α(y)− α(x)| < ε fur alle y ∈ [x, x+ δ).

(3) limx→−∞ α(x) = 0: Zu jedem ε > 0 gibt es ein B ∈ R, so dass |α(x)| < ε furalle x ≤ B.

Beweis (1) Es gilt α(x) = µ((−∞, x]) ≤ µ((−∞, y]) = α(y) fur alle x ≤ y, da(−∞, x] ⊂ (−∞, y], und damit ist α monoton wachsend. Ferner ist α(x) ≤ µ(R)fur alle x ∈ R und daher ist α beschrankt.

(2) Sei x ∈ R und fur jedes n ≥ 1 sei An = (−∞, x+1/n]; dann ist Ann≥1 einemonoton fallende Folge aus B(R) mit

⋂∞n=1An = (−∞, x] und daraus ergibt sich

nach Lemma 1.5 (2), dass

limn→∞

α(x+ 1/n) = limn→∞

µ(An) = µ((−∞, x]) = α(x) .

Sei ε > 0; dann gibt es ein N ≥ 1, so dass |α(x + 1/N) − α(x)| < ε und damitist nach (1) |α(y)− α(x)| < ε fur alle y ∈ [x, x+ 1/N).

(3) Fur jedes n ≥ 0 sei An = (−∞,−n]; dann ist Ann≥0 eine monoton fallendeFolge aus B(R) mit

⋂∞n=0An = ∅ und daraus ergibt sich nach Lemma 1.5 (2),

dass limn→∞ α(−n) = limn→∞ µ(An) = µ(∅) = 0. Sei ε > 0; dann gibt es einN ≥ 0, so dass |α(−N)| < ε und damit ist |α(x)| < ε fur alle x ≤ −N .

Satz 3.1 Sei α : R → R eine beschrankte, monoton wachsende, rechtsseitigstetige Abbildung mit limx→−∞ α(x) = 0. Dann gibt es ein eindeutiges endlichesMaß ν auf B(R), so dass ν((−∞, x]) = α(x) fur alle x ∈ R.

Beweis Fur −∞ ≤ a < b < +∞ sei 〈a, b〉 = (a, b] und fur −∞ ≤ a < +∞ sei〈a,+∞〉 = (a,+∞). Setze

A =

n⋃

k=1

〈ak, bk〉 : n ≥ 0 und −∞ ≤ a1 < b1 < a2 < · · · < an < bn ≤ +∞

,

wobei⋃0k=1〈ak, bk〉 = ∅; insbesondere ist (−∞, x] ∈ A fur jedes x ∈ R.

17


Lemma 3.2 A ist eine Algebra mit σ(A) = B(R).

Beweis Ubung.

Lemma 3.3 Zu jedem A ∈ A gibt es ein eindeutiges n ≥ 0 und eindeutigeElemente −∞ ≤ a1 < b1 < a2 < · · · < an < bn ≤ +∞, so dass A =

⋃nk=1〈ak, bk〉.

Beweis Dies ist klar.

Nach Lemma 3.3 kann eine Abbildung µ : A → R+ definiert werden durch

µ( n⋃

k=1

〈ak, bk〉)

=n∑

k=1

(α(bk) − α(ak)) ,

wobei α(−∞) = 0, α(+∞) = sup(α(R)) und µ(⋃0

k=1〈ak, bk〉)

= 0. Insbesondere

gilt (mit n = 1, a1 = −∞ und b1 = x), dass µ((−∞, x]) = α(x) fur alle x ∈ R.

Lemma 3.4 Die Abbildung µ : A → R+ ist additiv: Fur alle A, B ∈ A mitA ∩ B = ∅ ist µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).

Beweis Ubung.

Lemma 3.5 Sei A ∈ A und sei ε > 0; dann gibt es n ≥ 0 und reelle Zahlen−∞ < a1 < b1 < a2 < · · · < an < bn < +∞ mit

⋃nk=1[ak, bk] ⊂ A, so dass

µ(⋃n

k=1(ak, bk])≥ µ(A) − ε.

Beweis Ubung. (Hier wird die rechtsseitige Stetigkeit von α benotigt.)

Sei A ∈ A und ε > 0; nach Lemma 3.5 gibt es dann ein beschranktes B ∈ A, sodass der Abschluss B von B eine Teilmenge von A ist und µ(B) ≥ µ(A) − ε.

Lemma 3.6 µ ist ein endliches Maß auf der Algebra A.

Beweis Nach Lemma 3.4 ist µ additiv und ferner gilt µ(R) = sup(α(R)) < +∞und µ(∅) = 0. Nach Satz 1.2 genugt es daher zu zeigen, dass limn→∞ µ(An) = 0gilt fur jede monoton fallende Folge Ann≥p aus A mit

⋂∞n=pAn = ∅.

Sei also An∞n=p eine monoton fallende Folge aus A mit⋂∞n=pAn = ∅ und sei

ε > 0. Fur jedes n ≥ p gibt es nach Lemma 3.5 ein beschranktes Bn ∈ A mit


Bn ⊂ An und µ(Bn) > µ(An) − 2−n−1ε. Fur jedes n ≥ p sei Cn =⋂nk=pBk; dann

ist Cn ein beschranktes Element von A mit Cn ⊂ An. Ferner ist

Cn =

n⋂

k=p

Bk =

n⋂

k=p

(Ak \ (Ak \Bk)) =( n⋂

k=p

Ak

)\

n⋃

k=p

(Ak \Bk) = An \n⋃

k=p

(Ak \Bk)

und daraus ergibt sich, dass

µ(Cn) ≥ µ(An) −n∑

k=p

µ(Ak \Bk) ≥ µ(An) −n∑

k=p

2−k−1ε > µ(An) − ε ,

d.h., µ(Cn) > µ(An)− ε. Da⋂∞n=pAn = ∅, ist auch

⋂∞n=p Cn = ∅. Aber Cnn≥p

ist eine monoton fallende Folge abgeschlossener Teilmengen von R und nach demSatz von Heine-Borel ist die beschrankte abgeschlossene Menge Cp kompakt. Alsogibt es ein m ≥ p, so dass Cm = ∅ und damit auch Cn = ∅ fur alle n ≥ m.Folglich ist µ(An) < ε fur alle n ≥ m und dies zeigt, dass limn→∞ µ(An) < ε. Danun ε > 0 beliebig ist, muss dann limn→∞ µ(An) = 0.

Nach Satz 2.1 lasst sich das Maß µ auf der Algebra A zu einem Maß ν auf derσ-Algebra B(R) = σ(A) fortsetzen, und es gilt

ν((−∞, x]) = µ((−∞, x]) = α(x)

fur jedes x ∈ R. Ferner ist ν endlich, da ν(R) = µ(R) = sup(α(R)) < +∞.

Zur Eindeutigkeit von ν: Sei ω ein weiteres Maß auf B(R) mit ω((−∞, x]) = α(x)fur alle x ∈ R; nach Lemma 1.5 (1) ist dann auch ω(R) = sup(α(R)) = α(+∞).Fur alle −∞ ≤ a < b ≤ +∞ gilt also

ω(〈a, b〉) = ω(〈−∞, b〉) − ω(〈−∞, a〉) = α(b) − α(a)

und daraus ergibt sich, dass ω(A) = ν(A) fur alle A ∈ A. Daher gilt nach Satz 2.1,dass ω(B) = ν(B) fur alle B ∈ σ(A) = B(R), d.h., ω = ν.

Damit ist Satz 3.1 bewiesen.

Ein Maß µ auf B(R) heißt lokal endlich, wenn µ(B) < ∞ fur jedes beschrankteB ∈ B(R), also ist µ lokal endlich genau dann, wenn µ((a, b]) < ∞ fur allea, b ∈ R mit a < b. Insbesondere ist ein lokal endliches Maß σ-endlich. Dasnachste Ziel ist, Satz 3.1 auf lokal endlichen Maßen zu verallgemeinern.

Lemma 3.7 Sei µ ein lokal endliches Maß auf B(R). Dann gibt es eine Abbildungα : R → R, so dass µ((a, b]) = α(b)−α(a) fur alle a, b ∈ R mit a < b. Ferner istjede solche Abbildung monoton wachsend und rechtsseitig stetig.


Beweis Definiere eine Abbildung α : R → R durch

α(x) =

µ((0, x]), falls x ≥ 0,−µ((x, 0]), falls x < 0.

Dann gilt µ((a, b]) = α(b) − α(a) fur alle a, b ∈ R mit a < b: Ist 0 ≤ a < b, sogilt µ((a, b]) = µ((0, b]) − µ((0, a]) = α(b) − α(a), ist andererseits a < 0 ≤ b, sogilt µ((a, b]) = µ((a, 0]) + µ((0, b]) = α(b) − α(a), und falls schließlich a < b < 0,so ist µ((a, b]) = µ((a, 0]) − µ((b, 0]) = α(b) − α(a).

Sei nun α : R → R eine beliebige Abbildung mit µ((a, b]) = α(b) − α(a) fur allea, b ∈ R mit a < b: Dann gilt α(y)−α(x) = µ((x, y]) ≥ 0, falls x < y, und damitist α monoton wachsend. Ferner ist α rechtsseitig stetig: Sei x ∈ R und fur jedesn ≥ 1 sei An = (x, x + 1/n]; dann ist Ann≥1 eine monoton fallende Folge ausB(R) mit

⋂∞n=1An = ∅ und daraus ergibt sich nach Lemma 1.5 (2), dass

limn→∞

(α(x+ 1/n) − α(x)) = limn→∞

µ(An) = µ(∅) = 0 ,

da µ(A1) = α(x + 1) − α(x) < ∞. Sei ε > 0; dann gibt es ein N ≥ 1, so dass|α(x+1/N)−α(x)| < ε und damit ist |α(y)−α(x)| < ε fur alle y ∈ [x, x+1/N),da α monoton wachsend ist.

Satz 3.2 Sei α : R → R monoton wachsend und rechtsseitig stetig. Dann gibt esein eindeutiges Maß ν auf B(R), so dass ν((a, b]) = α(b)−α(a) fur alle a, b ∈ R

mit a < b.

Beweis Fur jedes n ∈ Z definiere αn : R → R durch

αn(x) =

0, falls x ≤ n,α(x) − α(n), falls n < x ≤ n + 1,

α(n+ 1) − α(n), falls x > n + 1.

Dann ist αn monoton wachsend und rechtsseitig stetig; ferner ist αn beschrankt,da αn(x) ≤ α(n+ 1)−α(n) fur alle x ∈ R, und limx→−∞ αn(x) = 0. Folglich gibtes nach Satz 3.1 ein (endliches) Maß νn auf B(R), so dass νn((−∞, x]) = αn(x)fur alle x ∈ R. Definiere nun ν : B(R) → R+

∞ durch ν(B) =∑

n∈Zνn(B) fur jedes

B ∈ B(R). Nach Satz 1.4 ist ν ein Maß auf B(R).

Es wird nun gezeigt, dass ν((a, b]) = α(b) − α(a) fur alle a, b ∈ R mit a < b.Nehme zunachst an, dass es ein m ∈ Z gibt, so dass (a, b] ⊂ (m,m+ 1]. Dann istνn((a, b]) = 0 fur alle n 6= m und damit gilt hier

ν((a, b]) = νm((a, b]) = νm((−∞, b]) − νm((−∞, a])

= αm(b) − αm(a) = (α(b) − α(m)) − (α(a) − α(m)) = α(b) − α(a) .


Nehme jetzt an, dass es kein m ∈ Z mit (a, b] ⊂ (m,m + 1] gibt, und setzep = minn ∈ Z : n > a und q = maxn ∈ Z : n < b; also ist p ≤ q. Hier giltnach dem ersten Fall, dass

ν((a, b]) = ν((a, p]) +

q−1∑

k=p

ν((k, k + 1]) + ν((q, b])

= (α(p) − α(a)) +

q−1∑

k=p

(α(k + 1) − α(k)) + (α(b) − α(q) = α(b) − α(a) .

Zur Eindeutigkeit: Sei ω ein weiteres Maß auf B(R) mit ω((a, b]) = α(b) − α(a)fur alle a, b ∈ R mit a < b. Daraus ergibt sich mit Hilfe von Lemma 1.5 (1), dassω(A) = ν(A) fur alle A ∈ A. Die Einschrankung von ν auf A ist aber σ-endlichund daher gilt nach Satz 2.1, dass ω(B) = ν(B) fur alle B ∈ σ(A) = B(R), d.h.,ω = ν.

Sei µ : R → R+∞ monoton wachsend und rechtsseitig stetig. Nach Satz 3.2 gibt

es dann ein eindeutiges Maß µ auf A, so dass µ((a, b]) = α(b) − α(a) fur allea, b ∈ R mit a < b. (Naturlich ist µ die Einschrankung auf A von dem durchSatz 3.2 bestimmten Maß auf B(R).) Ferner ist µ explizit gegeben durch

µ( n⋃

k=1

〈ak, bk〉)

=

n∑

k=1

(α(bk) − α(ak))

fur −∞ ≤ a1 < b1 < a2 < · · · < an < bn ≤ +∞, wobei α(−∞) = inf(α(R))und α(+∞) = sup(α(R)). Sei nun (R,Bα, λα) die Caratheodory-Fortsetzung von(R,A, µ). Nach Satz 2.2 und Satz 3.2 gilt dann Folgendes fur den Maßraum(R,Bα, λα):

(1) B(R) ⊂ Bα und µα((a, b]) = α(b) − α(a) fur alle a, b ∈ R mit a < b.

(2) Die Einschrankung von µα auf B(R) ist das einzige Maß ν auf B(R) mitν((a, b]) = α(b) − α(a) fur alle a, b ∈ R mit a < b.

Wichtigstes Beispiel: Die Identitatsabbildung idR : R → R ist streng monotonwachsend und stetig und daher insbesondere monoton wachsend und rechsseitigstetig. Setze B(R) = BidR

und λ = µidR. Dann gilt:

(1) B(R) ⊂ B(R) und λ((a, b]) = b− a fur alle a, b ∈ R mit a < b.

(2) Die Einschrankung λo von λ auf B(R) ist das einzige Maß ν auf B(R) mitν((a, b]) = b− a fur alle a, b ∈ R mit a < b.

Die σ-Algebra B(R) heißt die σ-Algebra der Lebesgueschen Mengen des R und λheißt das Lebesguesche Maß. (Die Einschrankung λo von λ auf B(R) wird meistensauch Lebesguesches Maß genannt.)


Es gilt B(R) ⊂ B(R) ⊂ P(R) und in der Tat ist B(R) 6= B(R) und B(R) 6= P(R).Hier wird nur das Letztere gezeigt und dafur braucht man folgendes Lemma. FurA ⊂ R und t ∈ R setze A+ t = s+ t : s ∈ A.

Lemma 3.8 Fur jedes A ∈ B(R) und jedes t ∈ R ist A + t ∈ B(R) und es giltλ(A+ t) = λ(A).

Beweis Ubung.

Satz 3.3 Es gilt B(R) 6= P(R). Es gibt also eine Teilmenge von R, die keineLebesgue-Menge ist.

Beweis Definiere eine Aquivalenzrelation ∼ auf [0, 1] durch: x ∼ y gilt genaudann, wenn y − x ∈ Q, und fur jedes x ∈ [0, 1] sei [x] die Aquivalenzklasse, diex enthalt, d.h., [x] = y ∈ [0, 1] : y ∼ x. Mit Hilfe des Auswahlaxioms kannein Vertretersystem H fur die Aquivalenzklassen gewahlt werden, d.h., H ⊂ [0, 1]und H ∩ [x] besteht aus genau einem Element fur jedes x ∈ [0, 1]. Es wird nungezeigt, dass H /∈ B(R).

Sei qnn≥0 eine Aufzahlung der Elemente in der abzahlbaren Menge [−1, 1]∩ Q

und fur jedes n ≥ 0 setze Hn = H + qn. Dann ist Hnn≥0 eine Folge paarweisedisjunkter Teilmengen von R. (Ist x ∈ Hn∩Hm, so gibt es y, z ∈ H mit y+ qn =x = z+qm und dann ist y = z+(qm−qn). Folglich ist y ∼ z und damit y = z, d.h.,n = m.) Ferner ist [0, 1] ⊂

⋃∞n=0Hn ⊂ [−1, 2]. Nehme an, dass H ∈ B(R). Dann

ist nach Lemma 3.8 Hn ∈ B(R) mit λ(Hn) = λ(H) fur jedes n ≥ 0. Daraus ergibtsich, dass H∞ =

⋃∞n=0Hn ∈ B(R) und λ(H∞) =

∑∞n=0 λ(Hn) =

∑∞n=0 λ(H) nur

0 oder ∞ sein kann. Aber dies ist ein Widerspruch, da

1 = λ([0, 1]) ≤ λ(H∞) ≤ λ([−1, 2]) = 3 ,

und daher ist H /∈ B(R).

4 Vervollstandigung von Maßraumen

Erinnerung: Ein Maßraum ist ein Tripel (X,F , µ) bestehend aus einer Menge X,einer σ-Algebra F ⊂ P(X) und einem Maß µ auf F .

Ist (X,F , µ) ein Maßraum, so heißt N ∈ F µ-Nullmenge, wenn µ(N) = 0. Manbeachte: Ist Nnn≥p eine Folge von µ-Nullmengen, so ist auch

⋃∞n=pNn eine

µ-Nullmenge, da µ(⋃∞

n=pNn

)≤∑∞

n=p µ(Nn) = 0.

Ein Maßraum (X,F , µ) heißt vollstandig, wenn jede Teilmenge einer µ-Nullmengewieder in F liegt. Also ist (X,F , µ) vollstandig, wenn

B ∈ P(X) : es gibt eine µ-Nullmenge N ∈ F mit B ⊂ N

eine Teilmenge von F ist.

Satz 4.1 Fur jedes Maß µ auf einer Algebra A ⊂ P(X) ist die Caratheodory-Fortsetzung (X,B, ν) von (X,A, µ) ein vollstandiger Maßraum.

Beweis Sei µ∗ das von (X,A, µ) erzeugte außere Maß. Dann gilt

B = S ∈ P(X) : µ∗(T ∩ S) + µ∗(T \ S) = µ∗(T ) fur alle T ∈ P(X)

und ν ist die Einschrankung von µ∗ auf B. Sei nun N ∈ B mit ν(N) = 0 undsei B ⊂ N . Dann gilt µ∗(B) ≤ µ∗(N) = ν(N) = 0, d.h., µ∗(B) = 0, und darausergibt sich, dass fur jedes T ∈ P(X)

µ∗(T ∩B) + µ∗(T \B) ≤ µ∗(B) + µ∗(T ) = µ∗(T ) ,

da T ∩B ⊂ B und T \N ⊂ T . Andererseits gilt µ∗(T ) ≤ µ∗(T ∩B) + µ∗(T \B),da µ∗ subadditiv ist, und damit ist µ∗(T ∩ B) + µ∗(T \ B) = µ∗(T ) fur jedesT ∈ P(X), d.h., B ∈ B.

Sei X eine Menge; fur A, B ∈ P(X) setze A B = (A \ B) ∪ (B \ A). DieseMenge A B heißt symmetrische Differenz von A und B.

Lemma 4.1 (1) Es gilt A B = ∅ genau dann, wenn A = B.

(2) Fur alle A, B ∈ P(X) gilt (X \ A) (X \B) = A B.

(3) Sind A, B, N ∈ P(X) mit AB ⊂ N , so gilt A ⊂ B ∪N und B ⊂ A ∪N .

(4) Sind Aγγ∈F , Bγγ∈F Familien aus P(X), so gilt

(⋃

γ∈F

Aγ

)

(⋃

γ∈F

Bγ

)⊂⋃

γ∈F

Aγ Bγ .

23


Beweis Ubung.

Sei nun (X,F , µ) ein Maßraum, setze

N = B ∈ P(X) : es gibt eine µ-Nullmenge N ∈ F mit B ⊂ N

und sei F = A ∈ P(X) : es gibt ein B ∈ F mit A B ∈ N. Insbesondere istF ⊂ F , da ∅ ∈ N .

Satz 4.2 F ist eine σ-Algebra. Ferner ist F = F genau dann, wenn (X,F , µ)vollstandig ist.

Beweis Sei A ∈ F ; dann gibt es ein B ∈ F und eine µ-Nullmenge N ∈ F mitAB ⊂ N . Nach Lemma 4.1 (2) ist also (X \A) (X \B) = AB ⊂ N undX \B ∈ F , da F eine σ-Algebra ist. Daher ist X \A ∈ F . Sei nun Ann≥p eineFolge aus F . Dann gibt es eine Folge Bnn≥p aus F und eine Folge Nnn≥p vonµ-Nullmengen, so dass An Bn ⊂ Nn fur jedes n ≥ p. Aber

⋃∞n=pNn ist eine

µ-Nullmenge,⋃∞n=pBn ∈ F , da F eine σ-Algebra ist, und nach Lemma 4.1 (4)

ist(⋃∞

n=pAn

)(⋃∞

n=pBn

)⊂⋃∞n=pNn. Daraus folgt, dass

⋃∞n=pAn ∈ F , und

dies zeigt, dass F eine σ-Algebra ist.

Nehme an, dass (X,F , µ) vollstandig ist, also ist N ⊂ F , und sei A ∈ F . Danngibt es B ∈ F mit A B ∈ N ⊂ F , und damit ist A ∈ F , da

A = (A ∩ B) ∪ (A \B) = (B \ (A B)) ∪ ((AB) \B) .

Folglich ist F = F . Nehme umgekehrt an, dass F = F , und sei A ∈ N . Danngilt A ∈ F = F , da A = A ∅ und ∅ ∈ F . Dies zeigt, dass N ⊂ F und daherist (X,F , µ) vollstandig.

Lemma 4.2 Sei A ∈ F und seien B1, B2 ∈ F mit A Bi ∈ N fur i = 1, 2.Dann gilt µ(B1) = µ(B2).

Beweis Es gibt µ-Nullmengen N1, N2 ∈ F , so dass A Bi ⊂ Ni fur i = 1, 2.Nach Lemma 1.4. (3) ist dann B2 ⊂ A ∪N2 ⊂ B1 ∪N1 ∪N2; damit ist

µ(B2) ≤ µ(B1 ∪N1 ∪N2) ≤ µ(B1) + µ(N1) + µ(N2) = µ(B1) + 0 + 0 = µ(B1)

und genauso gilt µ(B1) ≤ µ(B2), d.h., µ(B1) = µ(B2).

Nach Lemma 4.2 kann eine Abbildung µ : F → R+∞ definiert werden, so dass

µ(A) = µ(B), falls B ∈ F mit A B ∈ N . Insbesondere gilt µ(B) = µ(B) furalle B ∈ F .


Satz 4.3 Die Abbildung µ ist ein Maß auf F und der Maßraum (X, F , µ) istvollstandig.

Beweis Sei Ann≥p eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus F . Dann gibtes eine Folge Bnn≥p aus F und eine Folge Nnn≥p von µ-Nullmengen, so dassAnBn ⊂ Nn fur jedes n ≥ p. Per Definition ist also µ(An) = µ(Bn) fur jedes n

und µ(⋃∞

n=pAn

)= µ

(⋃∞n=pBn

), da

(⋃∞n=pAn

)(⋃∞

n=pBn

)⊂⋃∞n=pNn und⋃∞

n=pNn eine µ-Nullmenge ist. Fur jedes n ≥ p setze B′n = Bn \ Nn; dann istB′nn≥p eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus F , da

B′n = Bn \Nn ⊂ Bn \ (An Bn) = An ∩Bn ⊂ An

fur jedes n ≥ p. Ferner ist µ(B′n) = µ(Bn), da B′n ⊂ Bn ⊂ B′n ∪ Nn und damitµ(B′n) ≤ µ(Bn) ≤ µ(B′n) + µ(Nn) = µ(B′n) + 0 = µ(B′n). Schließlich gilt auch

µ(⋃∞

n=pB′n

)= µ

(⋃∞n=pBn

), da

⋃∞n=pNn eine µ-Nullmenge ist und

∞⋃

n=p

B′n ⊂∞⋃

n=p

Bn ⊂∞⋃

n=p

B′n ∪∞⋃

n=p

Nn .

Daraus ergibt sich, dass

µ

(∞⋃

n=p

An

)= µ

(∞⋃

n=p

Bn

)= µ

(∞⋃

n=p

B′n

)

=

∞∑

n=p

µ(B′n) =

∞∑

n=p

µ(Bn) =

∞∑

n=p

µ(An) .

Folglich ist µ ein Maß auf F . Sei nun N ∈ F mit µ(N) = 0 und sei A ⊂ N . DaN ∈ F , gibt es ein B ∈ F und eine µ-Nullmenge N ′ ∈ F mit N B ⊂ N ′, undµ(B) = 0, da µ(N) = 0. Aber dann ist B ∪ N ′ ∈ F auch eine µ-Nullmenge undA ⊂ N ⊂ B ∪N ′. Damit ist A ∈ F und dies zeigt, dass der Maßraum (X, F , µ)vollstandig ist.

Der Maßraum (X, F , µ) heißt Vervollstandigung des Maßraumes (X,F , µ).

Satz 4.4 Sei (X, F , µ) die Vervollstandigung eines Maßraumes (X,F , µ). Zujedem F ∈ F gibt es dann Elemente A, B ∈ F mit A ⊂ F ⊂ B, so dassµ(B \ F ) = 0 und µ(F \ A) = 0.

Beweis Sei F ∈ F ; per Definition gibt es dann E, N ∈ F mit µ(N) = 0 undE F ⊂ N . Setze A = E \ N und B = E ∪ N ; dann sind A, B ∈ F mitA ⊂ F ⊂ B und µ(B \ F ) = µ(F \ A) = 0, da B \ A ⊂ N .


Satz 4.5 Sei µ ein σ-endliches Maß auf einer Algebra A ⊂ P(X), sei (X,B, ν)die Caratheodory-Fortsetzung von (X,A, µ) und sei νo die Einschrankung von νauf σ(A). Dann ist (X,B, ν) die Vervollstandigung von (X, σ(A), νo).

Beweis Sei (X, σ(A), νo) die Vervollstandigung von (X, σ(A), νo) und sei A einElement aus σ(A). Es gibt also ein B ∈ σ(A) und eine νo-Nullmenge N ∈ σ(A),so dass AB ⊂ N . Dann ist N ∈ σ(A) ⊂ B auch eine ν-Nullmenge und folglichist AB ∈ B, da nach Satz 4.1 (X,B, ν) vollstandig ist. Daraus ergibt sich (wieim Beweis fur Satz 4.2), dass A ∈ B, da A = (B \ (AB))∪ ((AB) \B) undB ∈ σ(A) ⊂ B. Dies zeigt, dass σ(A) ⊂ B.

Sei umgekehrt B ∈ B; da µ σ-endlich ist, gibt es nach Satz 2.3 ein A ∈ σ(A)mit B ⊂ A und ν(A \ B) = 0. Da A \ B ∈ B, gibt es wieder nach Satz 2.3 einN ∈ σ(A) mit A \B ⊂ N und ν(N \ (A \B)) = 0. Damit ist νo(N) = ν(N) = 0,da N ⊂ (N \ (A \ B)) ∪ (A \ B), und B A = A \ B ⊂ N , d.h., B ∈ σ(A).Ferner ist νo(B) = νo(A) (nach der Definition von νo) und ν(B) = ν(A) = νo(A),da B ⊂ A ⊂ B ∪ (A \ B), d.h., ν(B) = νo(B). Dies zeigt, dass B ⊂ σ(A) undν(B) = νo(B) fur jedes B ∈ B.

Daher ist B = σ(A) und ν = νo, d.h., (X,B, ν) ist die Vervollstandigung von(X, σ(A), νo).

Nach Satz 4.4 ist (R, B(R), λ) die Vervollstandigung von (R,B(R), λo).

5 Messbare Abbildungen

Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung; fur A ⊂ Y setze wie ublichf−1(A) = x ∈ X : f(x) ∈ A und fur S ⊂ P(Y ) definiere f−1(S) ⊂ P(X) durchf−1(S) = f−1(A) : A ∈ S.

Lemma 5.1 Seien X, Y Mengen und sei f : X → Y eine Abbildung.

(1) Ist B ⊂ P(X) eine σ-Algebra, so ist A ∈ P(Y ) : f−1(A) ∈ B auch eineσ-Algebra.

(2) Ist F ⊂ P(Y ) eine σ-Algebra, so ist f−1(F) auch eine σ-Algebra.

(3) Fur jedes S ⊂ P(Y ) gilt f−1(σ(S)) = σ(f−1(S)).

Beweis (1) und (2) sind klar, da f−1(Y \B) = X \ f−1(B) fur jedes B ⊂ Y und

f−1(⋃∞

n=pBn

)=⋃∞n=p f

−1(Bn) fur jede Folge Bnn≥p aus P(Y ).

(3) Nach (2) ist f−1(σ(S)) eine σ-Algebra und daher gilt σ(f−1(S)) ⊂ f−1(σ(S)),da f−1(S) ⊂ f−1(σ(S)). Andererseits ist E = A ∈ P(Y ) : f−1(A) ∈ σ(f−1(S))eine σ-Algebra (nach (1)) mit S ⊂ E und daraus ergibt sich, dass σ(S) ⊂ E , d.h.,f−1(σ(S)) ⊂ σ(f−1(S)).

Seien X, Y Mengen und E ⊂ P(X), F ⊂ P(Y ) σ-Algebren. Eine Abbildungf : X → Y heißt dann E|F-messbar, wenn f−1(F) ⊂ E .

Sind E ⊂ P(X), F ⊂ P(Y ) und G ⊂ P(Z) σ-Algebren und ist f : X → Y eineE|F -messbare Abbildung und g : Y → Z eine F|G-messbare Abbildung, so istg f : X → Z eine E|G-messbare Abbildung.

Lemma 5.2 Seien E ⊂ P(X) und F ⊂ P(Y ) σ-Algebren und f : X → Y eineAbbildung; ferner sei S ⊂ P(Y ) mit F = σ(S). Dann ist f E|F-messbar genau,wenn f−1(S) ⊂ E .

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Lemma 5.1 (3).

Fur einen metrischen (oder topologischen) Raum X setzt man B(X) = σ(G),wobei G die Menge der offenen Teilmengen von X ist. Also ist B(X) die kleinsteσ-Algebra, die alle offenen Teilmengen von X enthalt; sie heißt die σ-Algebra derBorelschen Mengen oder die Borel-σ-Algebra von X.

Sind X und Y topologische Raume, dann gilt nach Lemma 5.2, dass jede stetigeAbbildung f : X → Y Borel-messbar ist, d.h., f ist B(X)|B(Y )-messbar.

Eine Abbildung f : X → Rn heißt F-messbar, wenn sie F|B(Rn)-messbar ist.Nach Lemma 5.2 ist eine Abbildung f : X → R genau dann F -messbar, wennf−1((−∞, t]) ∈ F fur alle t ∈ R (und f−1((−∞, t]) = x ∈ X : f(x) ≤ t).

27


Es ist nutzlich, die Menge R+∞ mit einer σ-Algebra zu versehen. Setze

B(R+∞) = A ∈ P(R+

∞) : A \ ∞ ∈ B(R) ;

man sieht leicht, dass B(R+∞) eine σ-Algebra ist. Diese Schreibweise wird durch

das folgende Lemma gerechtfertigt:

Lemma 5.3 Definiere : R+∞ ×R+

∞ → R+ durch (s, t) = | exp(−s)− exp(−t)|,wobei exp(−∞) = 0. Dann ist eine Metrik auf R+

∞ (und in der Tat ist (R+∞, )

ein kompakter metrischer Raum) und B(R+∞) ist die Borel-σ-Algebra.

Beweis Ubung.

Eine Abbildung f : X → R+∞ heißt F-messbar, wenn sie F|B(R+

∞)-messbar ist.Nach Lemma 5.2 ist eine Abbildung f : X → R+

∞ genau dann F -messbar, wennf−1([0, t]) = x ∈ X : f(x) ≤ t ∈ F fur alle t ∈ R+, da B(R+

∞) die kleinsteσ-Algebra ist, die die Intervalle [0, t], t ∈ R+, enthalt.

SeienX1, . . . , Xn Mengen (mit n ≥ 2) und fur jedes k = 1, . . . , n sei Fk ⊂ P(Xk)eine σ-Algebra. Setze X = X1 × · · · × Xn und sei S ⊂ P(X) die Menge allerTeilmengen von X der Form A1×· · ·×An mit Ak ∈ Fk fur jedes k. Die σ-Algebraσ(S) heißt die Produkt-σ-Algebra von F1, . . . , Fn und wird mit F1 × · · · × Fn

bezeichnet.

Satz 5.1 Seien X, Y1, . . . , Yn Mengen (mit n ≥ 2) und E ⊂ P(X), Fk ⊂ P(Yk),k = 1, . . . , n, σ-Algebren; setze Y = Y1 × · · · × Yn und F = F1 × · · · × Fn. Furjedes k sei fk : X → Yk eine Abbildung und sei f = (f1, . . . , fn) : X → Y dieAbbildung mit f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)) fur alle x ∈ X. Dann ist f E|F-messbargenau, wenn fur jedes k = 1, . . . , n die Abbildung fk E|Fk-messbar ist.

Beweis Fur jedes k sei pk : Y → Yk die durch pk(y1, . . . , yn) = yk definierteProjektionsabbildung. Dann sieht man leicht, dass pk F|Fk-messbar ist. Ist alsof E|F -messbar, so folgt daraus dass fk E|Fk-messbar ist, da fk = pk f .

Nehme nun umgekehrt an, dass fur jedes k die Abbildung fk E|Fk-messbar ist.Dann ist f−1(A1×· · ·×An) =

⋂nk=1 f

−1k (Ak) ein Element von E fur alle Ak ∈ Fk,

k = 1, . . . , n, und damit ist f−1(S) ⊂ E , wobei S wie in der Definition vonF = F1 × · · · × Fn ist. Daraus ergibt sich nach Lemma 5.1 (3), dass

f−1(F) = f−1(σ(S)) = σ(f−1(S)) ⊂ E ,

d.h., f ist E|F -messbar.


Fur jedes k = 1, . . . , n (mit n ≥ 2) sei (Xk, dk) ein metrischer Raum; dann wirdX = X1 × · · · ×Xn als metrischer Raum angesehen bezuglich der durch

d((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = maxd1(x1, y1), . . . , dn(xn, yn)

definierten Metrik d : X ×X → R+ auf X. Fur Rn (als n-maliges Produkt vonR mit sich selbst) ist d aquivalent zu der ublichen Metrik und erzeugt damit diegleichen offenen Mengen.

Lemma 5.4 Es gilt B(X1 × · · · ×Xn) = B(X1)× · · · × B(Xn) und insbesondereist B(Rn) = B(R) × · · · × B(R)︸︷︷︸

n-mal

fur jedes n ≥ 2.

Beweis Ubung.

Im Folgenden sei X eine Menge und E ⊂ P(X) eine σ-Algebra. Die Menge allerE-messbaren Abbildungen von X nach R (bzw. nach R+

∞) wird mit M(X, E) (bzw.mit M+

∞(X, E)) bezeichnet.

Satz 5.2 Sind f, g ∈ M(X, E), so sind die Abbildungen f+g, fg, f∧g, f∨g, |f |und cf (c ∈ R) auch in M(X, E), wobei f ∧g = minf, g und f ∨g = maxf, g.

Beweis Definiere h : X → R2 durch h = (f, g); nach Satz 5.1 und Lemma 5.4ist h E-messbar (d.h., E|B(R2)-messbar). Betrachte nun eine stetige Abbildungϕ : R2 → R; dann ist ϕ B(R2)-messbar und folglich ist ϕ h E-messbar, d.h., dieAbbildung x 7→ ϕ(f(x), g(x)) ist E-messbar. Aber die Abbildungen (s, t) 7→ s+ t,(s, t) 7→ st, (s, t) 7→ s ∧ t und (s, t) 7→ s ∨ t sind stetig und damit sind dieAbbildungen f + g, fg, f ∧ g und f ∨ g Elemente von (X, E). Die ubrigen zweiFalle sind ahnlich.

Nach Satz 5.2 ist M(X, E) ein reeller Vektorraum (als Untervektorraum vonAbb(X,R)). Fur f : X → R definiere Abbildungen f+, f− : X → R durchf+ = f ∨ 0 und f− = −(f ∧ 0). Also gilt f+ ≥ 0, f− ≥ 0, f = f+ − f− und|f | = f+ + f−. Ist f ∈ M(X, E), so sind nach Satz 5.2 f+ und f− ebenfalls inM(X, E).

Satz 5.3 Sind f, g ∈ M+∞(X, E), so sind die Abbildungen f + g, fg, f ∧ g, f ∨ g

und cf (c ∈ R+∞ ) ebenfalls in M+

∞(X, E).

Beweis Fast identisch mit dem Beweis fur Satz 5.2. (Man sieht leicht, dass dieAbbildungen (s, t) 7→ s+ t, (s, t) 7→ st, (s, t) 7→ s∧ t und (s, t) 7→ s∨ t stetig sindals Abbildungen von R+

∞ × R+∞ nach R+

∞.)


Ist xnn≥p eine Folge reeller Zahlen bzw. eine Folge aus R+∞, so setzt man

supn≥p

xn = sup(xn : n ≥ p) und infn≥p

xn = inf(xn : n ≥ p) .

Man beachte, dass

lim supn→∞

xn = infn≥p

(supm≥n

xm

)und lim inf

n→∞xn = sup

n≥p

(infm≥n

xm

).

Ist fnn≥p eine Folge von Abbildungen vonX nach R, so bezeichnet supn≥p fn dieAbbildung g : X → R mit g(x) = supn≥p fn(x) fur alle x ∈ X. Diese Schreibweisewird aber nur verwendet, wenn die Abbildung tatsachlich existiert (d.h., wennsupn≥p fn(x) < +∞ fur alle x ∈ X). Die Abbildungen infn≥p fn, lim supn→∞ fn,lim infn→∞ fn und limn→∞ fn werden analog behandelt.

Das Gleiche gilt auch fur Abbildungen von X nach R+∞. In diesem Fall existieren

aber stets die Abbildungen supn≥p fn, infn≥p fn, lim supn→∞ fn und lim infn→∞ fn.

Lemma 5.5 Sei fnn≥p eine Folge aus M(X, E).

(1) Ist supn≥p fn(x) < +∞ fur jedes x ∈ X, so ist supn≥p fn ein Element vonM(X, E).

(2) Ist infn≥p fn(x) > −∞ fur jedes x ∈ X, so ist infn≥p fn ebenfalls ein Elementvon M(X, E).

Beweis (1) Setze g = supn≥p fn; fur jedes t ∈ R gilt

g−1((−∞, t]) =

x ∈ X : sup

n≥pfn(x) ≤ t

=

∞⋂

n=p

x ∈ X : fn(x) ≤ t =

∞⋂

n=p

f−1n ((−∞, t]) ,

und folglich ist g−1((−∞, t]) ∈ E fur jedes t ∈ R. Damit ist g ∈ M(X, E).

(2) Dies folgt unmittelbar aus (1) angewendet auf die Folge −fnn≥p.

Satz 5.4 Sei fnn≥p eine Folge aus M(X, E).

(1) Ist lim supn→∞ fn(x) ∈ R fur jedes x, so ist lim supn→∞ fn ein Element vonM(X, E).

(2) Ist lim infn→∞ fn(x) ∈ R fur jedes x, so ist lim infn→∞ fn ein Element vonM(X, E).

(3) Gibt es eine Abbildung f : X → R, so dass f(x) = limn→∞ fn(x) fur jedesx ∈ X, so ist f ebenfalls ein Element von M(X, E).


Beweis (1) Da lim supn→∞ fn(x) < +∞, ist supm≥n fm(x) < +∞ fur jedes n ≥ pund nach Lemma 5.5 (1) ist die Abbildung f ∗n = supm≥n fm ein Element vonM(X, E) fur jedes n ≥ p. Ferner ist infn≥p f

∗n(x) > −∞ fur jedes x ∈ X, da

lim supn→∞ fn(x) > −∞. Aber lim supn→∞ = infn≥p f∗n, und daraus folgt nach

Lemma 5.5 (2), dass lim supn→∞ ∈ M(X, E).

(2) Analog zu (1).

(3) Dies folgt unmittelbar aus (1) oder (2), da fur jedes x ∈ X

f(x) = lim supn→∞

fn(x) = lim infn→∞

fn(x) .

Satz 5.5 Sei fnn≥p eine Folge aus M+∞(X, E). Dann sind supn≥p fn, infn≥p fn,

lim supn→∞ fn und lim infn→∞ fn auch Elemente von M+∞(X, E). Existiert ferner

der Limes limn→∞ fn(x) fur jedes x ∈ X, so ist limn→∞ fn ebenfalls ein Elementvon M+

∞(X, E).

Beweis Identisch mit dem Beweis fur Lemma 5.5 und Satz 5.4.

Setze M+(X, E) = f ∈ M(X, E) : f ≥ 0. Jedes Element von M+(X, E) kann alsAbbildung von X nach R+

∞ aufgefasst werden und ist als solches E-messbar. Diesbedeutet: M+(X, E) kann (und wird) als Teilmenge von M+

∞(X, E) betrachtet.

Fur jede Teilmenge A ⊂ X wird eine Abbildung χA : X → R definiert durch

χA(x) =

1 falls x ∈ A,0 sonst,

und heißt die charakteristische Funktion von A. Es ist klar, dass χA ∈ M+(X, E)genau dann, wenn A ∈ E , da

χ−1A ((−∞, t]) =

X falls t ≥ 1,X \ A falls 0 ≤ t < 1,

∅ falls t < 0.

Eine Abbildung f ∈ M(X, E) heißt elementar, wenn Bild (f) endlich ist. DieMenge der elementaren Abbildungen in M(X, E) wird mit E(X, E) bezeichnet.Sei E+(X, E) = E(X, E) ∩ M+(X, E); insbesondere ist χE ∈ E+(X, E) fur jedesE ∈ E .

Lemma 5.6 Fur alle f, g ∈ E(X, E) sind f + g, fg, f ∨ g und f ∧ g ebenfalls inE(X, E). Ferner ist cf ∈ E(X, E) fur alle f ∈ E(X, E), c ∈ R.



Lemma 5.7 Zu jedem f ∈ M+∞(X, E) gibt es eine monoton wachsende Folge

fnn≥1 aus E+(X, E), die punktweise gegen f konvergiert.

Beweis Fur jedes n ≥ 1 definiere eine Abbildung fn : X → R+ durch

fn = nχE∞+

n2n∑

m=1

(m− 1)2−nχEm,n,

wobei E∞ = x ∈ X : f(x) = ∞ und

Em,n = x ∈ X : (m− 1)2−n < f(x) ≤ m2−n .

Dann gilt 0 ≤ fn ≤ fn+1 ≤ f fur jedes n ≥ 1, fn(x) = n fur jedes x ∈ E∞ undf(x) − fn(x) ≤ 2−n fur alle x ∈ Bn, wobei Bn = x ∈ X : f(x) ≤ n. Darausergibt sich, dass die Folge fnn≥1 punktweise gegen f konvergiert. Aber E∞ ∈ Eund Em,n ∈ E fur alle n ≥ 1, 1 ≤ m ≤ n2n, und nach Lemma 5.6 ist damitfn ∈ E+(X, E) fur jedes n ≥ 1.

Lemma 5.8 Sei f ∈ M(X, E) beschrankt. Zu jedem ε > 0 gibt es dann eing ∈ E(X, E) mit |g(x) − f(x)| < ε fur alle x ∈ X.

Beweis Da f beschrankt ist, gibt es c ∈ R+ mit |f(x)| ≤ c fur alle x ∈ X. WahleN mit Nε ≥ c und definiere g : X → R durch

g(x) =

N∑

k=−N

kεχEk

wobei Ek = x ∈ X : kε < f(x) ≤ (k + 1)ε fur jedes k. Dann ist g ∈ E(X, E)und |g(x) − f(x)| < ε fur alle x ∈ X.

Im Folgenden sei (X, E , µ) ein Maßraum. Fur Abbildungen f, g : X → Y sagtman, dass f = g µ-fast uberall, wenn es ein N ∈ E mit µ(N) = 0 gibt, sodass x ∈ X : f(x) 6= g(x) ⊂ N , d.h., wenn x ∈ X : f(x) 6= g(x) in einerµ-Nullmenge enthalten ist. Sind f, g ∈ M(X, E), so ist nach Satz 5.2 die Menge

x ∈ X : f(x) 6= g(x) = x ∈ X : f(x) − g(x) 6= 0 = X \ (f − g)−1(0)

stets in E . In diesem Fall ist also f = g µ-fast uberall genau dann, wenn dieMenge x ∈ X : f(x) 6= g(x) selbst eine µ-Nullmenge ist. Das Gleiche gilt furElemente von M+

∞(X, E), da x ∈ X : f(x) 6= g(x) ∈ E fur alle f, g ∈ M+∞(X, E).

(Der Beweis dafur ist eine Ubung.)


Sei nun fnn≥p eine Folge aus M(X, E) und f ∈ M(X, E). Man beachte, dass

x ∈ X : limn→∞

fn(x) = f(x) =

∞⋂

k=1

∞⋃

N=p

∞⋂

n=N

x ∈ X : |fn(x) − f(x)| < 1/k

und insbesondere ist x ∈ X : limn→∞

fn(x) = f(x) ∈ E .

Man sagt, dass fnn≥p im µ-Maß gegen f konvergiert, wenn

limn→∞

µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) = 0

fur jedes ε > 0. Man sagt, dass fnn≥p µ-fast uberall gegen f konvergiert, wenn

µ(X \ x ∈ X : f(x) = limn→∞

fn(x)) = 0 .

Satz 5.6 Nehme an, dass µ endlich ist und die Folge fnn≥p µ-fast uberall gegenf konvergiert.

(1) Dann konvergiert fnn≥p im µ-Maß gegen f .

(2) Zu jedem ε > 0 gibt es ein E ∈ E mit µ(E) < ε, so dass auf X \E die Folgefnn≥p gleichmaßig gegen f konvergiert.

Beweis Setze F = x ∈ X : f(x) = limn→∞

fn(x) und fur jedes ε > 0, n ≥ p sei

Eεn =

∞⋃

k=n

x ∈ X : |fk(x) − f(x)| > ε .

Dann ist Eεnn≥p eine monoton fallende Folge aus E mit

⋂∞n=pE

εn ⊂ X \ F und

daraus ergibt sich nach Lemma 1.5 (2), dass limn→∞

µ(Eεn) = 0, da

limn→∞

µ(Eεn) = µ

(∞⋂

n=p

Eεn

)≤ ν(X \ F ) = 0 .

(1) Da x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε ⊂ Eεn fur jedes n ≥ p, konvergiert fnn≥p

im µ-Maß gegen f .

(2) Sei ε > 0; fur jedes m ≥ 1 gibt es dann ein nm ≥ p, so dass µ(E1/mnm ) < 2−mε.

Setze E =⋃∞m=1E

1/mnm ; dann ist E ∈ E und µ(E) <

∑∞m=1 2−mε − ε. Ferner

konvergiert die Folge fnn≥p gleichmaßig gegen f auf X \E: Fur jedes x ∈ X \Egilt |fn(x) − f(x)| ≤ 1/m fur alle n ≥ nm.

Satz 5.7 Konvergiert fnn≥p im µ-Maß gegen f , dann gibt es eine Teilfolgenkk≥1, so dass fnk

k≥1 µ-fast uberall gegen f konvergiert.


Beweis Ubung.

Es gibt eine wichtige Verallgemeinerung von Satz 5.7. Man sagt, dass die Folgefnn≥p eine Cauchy-Folge im µ-Maß ist, wenn es zu jedem ε > 0 und jedemδ > 0 ein N ≥ p gibt, so dass fur alle k, m ≥ N

µ(x ∈ X : |fk(x) − fm(x)| > δ) < ε .

Satz 5.8 Sei fnn≥p eine Cauchy-Folge im µ-Maß. Dann gibt es eine Teilfolgenkk≥1, ein F ∈ E mit µ(F ) = 0 und ein g ∈ M(X, E), so dass g = lim

k→∞fnk

χX\F .

Beweis Ubung.

Im Folgenden sei (X, E , µ) die Vervollstandigung von (X, E , µ).

Lemma 5.9 Zu jedem f ∈ E+(X, E) gibt es ein g ∈ E+(X, E) mit g ≤ f undg = f µ-fast uberall.

Beweis Sei f ∈ E+(X, E); dann ist f =∑

α∈B αχFα, wobei B = Bild (f) (und

damit eine endliche Teilmenge von R+) und Fα = x ∈ X : f(x) = α. Nun istFα ∈ E , da Fα = f−1(α) und α ∈ B(R+

∞), und folglich gibt es nach Satz 4.4ein Eα ∈ E mit Eα ⊂ Fα und µ(Fα \ Eα) = 0. Setze g =

∑α∈B αχEα

; dann istg ∈ E+(X, E) mit g ≤ f und

µ(x ∈ X : g(x) 6= f(x)) = µ

(⋃

α∈B

(Fα \ Eα)

)≤∑

α∈B

µ(Fα \ Eα) = 0 .

Satz 5.9 Zu jeder Abbildung f ∈ M(X, E) gibt es eine Abbildung g ∈ M(X, E)mit g = f µ-fast uberall.

Beweis Nehme zunachst an, dass f ∈ M+(X, E). Nach Lemma 5.7 gibt es alsoeine monoton wachsende Folge fnn≥1 aus E+(X, E), die punktweise gegen fkonvergiert, und fur jedes n ≥ 1 gibt es dann nach Lemma 5.9 ein gn ∈ E+(X, E)mit gn ≤ fn, so dass µ(x ∈ X : gn(x) 6= fn(x)) = 0. Da 0 ≤ gn ≤ fn ≤ f furjedes n, ist insbesondere 0 ≤ lim supn→∞ gn(x) ≤ f(x) < +∞ fur jedes x ∈ X.Sei g : X → R die durch g(x) = lim supn→∞ gn(x) definierte Abbildung; nachSatz 5.4 (1) ist g ∈M(X, E) und fur alle x /∈ N =

⋃∞n=1Nn ist

g(x) = lim supn→∞

gn(x) = limn→∞

fn(x) = f(x) ,

wobei Nn = (x ∈ X : gn(x) 6= fn(x)), d.h., x ∈ X : g(x) 6= f(x) ⊂ N . Aberµ(N) ≤

∑∞n=1 µ(Nn) = 0 und daher ist µ(x ∈ X : g(x) 6= f(x)) = 0.


Im Allgemeinen (d.h., ohne die Annahme, dass f ≥ 0) betrachtet man f+ undf−. Diese sind beide in M+(X, E) und folglich gibt es Elemente g1, g2 ∈ M+(X, E)mit µ(x ∈ X : g1(x) 6= f+(x)) = µ(x ∈ X : g2(x) 6= f−(x)) = 0. Setze nung = g1 − g2; nach Satz 5.2 ist g ∈ M(X, E) und da f = f+ − f−, ist

x ∈ X : g(x) 6= f(x) ⊂ x ∈ X : g1(x) 6= f+(x) ∪ x ∈ X : g2(x) 6= f−(x)

und damit ist µ(x ∈ X : g(x) 6= f(x)) = 0.

6 Das Integral: Erster Teil

Im Folgenden sei (X, E , µ) ein Maßraum. Das Ziel ist es nun, einen geeignetenUntervektorraum L1(X, E , µ) von M(X, E) zu konstruieren zusammen mit einerpositiven Linearform

∫· dµ : L1(X, E , µ) → R. (Letzteres bedeutet, dass

∫(α1f1 + α2f2) dµ = α1

∫f1 dµ+ α2

∫f2 dµ

fur alle f1, f2 ∈ L1(X, E , µ), α1, α2 ∈ R, und∫f dµ ≥ 0 fur alle f ∈ L1

+(X, E , µ),wobei L1

+(X, E , µ) = f ∈ L1(X, E , µ) : f ≥ 0.) Von dieser Linearform wirdmindestens Folgendes erwartet:

(1) Fur jedes E ∈ E mit µ(E) <∞ ist χE ∈ L1(X, E , µ) und∫χE dµ = µ(E).

(2) Ist fnn≥p eine monoton fallende Folge aus L1+(X, E , µ), die punktweise

gegen 0 konvergiert, so ist limn→∞

∫fn dµ = 0.

(3) Ist fnn≥p eine monoton wachsende Folge aus L1+(X, E , µ), die punktweise

gegen ein Element f ∈ M+(X, E , µ) konvergiert und supn≥p∫fn dµ <∞, so

ist f ∈ L1(X, E , µ) und limn→∞

∫fn dµ =

∫f dµ.

Zunachst wird eine Abbildung Iµ : E+(X, E) → R+∞ definiert. In einem zweiten

Schritt wird diese Abbildung zu einer Abbildung Iµ : M+∞(X, E) → R+

∞ erweitert.Ein Element f ∈ M+(X, E) ist per Definition in L1(X, E , µ), wenn Iµ(f) < ∞,und in diesem Fall setzt man

∫f dµ = Iµ(f). Schließlich ist f ∈ M(X, E) ein

Element von L1(X, E , µ), wenn f+ und f− in L1(X, E , µ) liegen, und es wird hier∫f dµ =

∫f+ dµ−

∫f− dµ gesetzt.

Die Abbildung Iµ : E+(X, E) → R+∞ wird explizit definiert durch

Iµ(f) =∑

α∈B

αµ(x ∈ X : f(x) = α) ,

wobei B = Bild (f). (Erinnerung: Per Definition ist 0 · ∞ = 0.) Naturlich hatman dann auch Iµ(f) =

∑α∈B+

αµ(x ∈ X : f(x) = α) mit B+ = Bild (f)\0.Insbesondere gilt Iµ(χE) = µ(E) fur jedes E ∈ E .

Sind f, g ∈ E+(X, E) mit f ≤ g, so ist Iµ(f) ≤ Iµ(g). (Der Beweis dafur isteine Ubung.) Ist also fnn≥p eine monoton wachsende Folge aus E+(X, E), soist Iµ(fn)n≥p eine monoton wachsende Folge aus R+

∞ und damit existiert derLimes limn→∞ Iµ(fn).

Lemma 6.1 Sei g ∈ E+(X, E) und sei fnn≥p eine monoton wachsende Folgeaus E+(X, E) mit lim

n→∞fn ≥ g. Dann gilt lim

n→∞Iµ(fn) ≥ Iµ(g).

36


Beweis Fur jedes m ≥ 1, n ≥ p sei Fm,n = x ∈ X : fn(x) > g(x) − 1/m.Dann ist Fm,nn≥p eine monoton wachsende Folge aus E mit

⋃∞n=p Fm,n = X fur

jedes m ≥ 1. Fur jedes E ∈ E ist also Fm,n ∩ En≥p eine monoton wachsendeFolge aus E mit

⋃∞n=p Fm,n ∩ E = E und daraus folgt nach Lemma 1.5 (1), dass

limn→∞ µ(Fm,n ∩ E) = µ(E).

Da Iµ(0) = 0, ist die Behauptung des Satzes trivial richtig, wenn g = 0. Es kannalso angenommen werden, dass Bild (g) 6= 0. Sei B+ = Bild (g) \ 0 und furjedes α ∈ B+ setze Eα = x ∈ X : g(x) = α. Sei ferner E =

⋃α∈B+

Eα undsei δ das kleinste Element in B+. Ist aber 1/m < δ, so ist (g − 1/m)χFm,n∩E einElement von E+(X, E) mit (g − 1/m)χFm,n∩E ≤ fn, und folglich ist

Iµ(fn) ≥ Iµ((g − 1/m)χFm,n∩E) =∑

α∈B+

(α− 1/m)µ(Fm,n ∩ Eα) .

Fur alle m ≥ 1 mit 1/m < δ ergibt sich daraus, dass

limn→∞

Iµ(fn) ≥ limn→∞

∑

α∈B+

(α− 1/m)µ(Fm,n ∩ Eα) =∑

α∈B+

(α− 1/m)µ(Eα) .

Nehme nun zunachst an, dass µ(E) <∞. Dann ist

∑

α∈B+

(α− 1/m)µ(Eα) =∑

α∈B+

αµ(Eα) − µ(E)/m = Iµ(g) − µ(E)/m ,

und also ist limn→∞ Iµ(fn) ≥ Iµ(g)−µ(E)/m fur alle m ≥ 1 mit 1/m < δ. Damitist limn→∞ Iµ(fn) ≥ Iµ(g). Ist andererseits µ(E) = ∞, so ist (mit 1/m < δ/2)

limn→∞

Iµ(fn) ≥∑

α∈B+

(δ/2)µ(Eα) = (δ/2)µ(E) = ∞

und insbesondere ist limn→∞ Iµ(fn) ≥ Iµ(g). (In der Tat ist in diesem Fall auchIµ(g) = ∞.)

Lemma 6.2 Seien fnn≥p, gmm≥q monoton wachsende Folgen aus E+(X, E)mit lim

n→∞fn = lim

m→∞gm. Dann gilt lim

n→∞Iµ(fn) = lim

m→∞Iµ(gm).

Beweis Setze f = limn→∞ fn. Fur jedes m ≥ q gilt limn→∞ fn = f ≥ gm unddaraus folgt nach Lemma 6.1, dass limn→∞ Iµ(fn) ≥ Iµ(gm) fur jedes m ≥ q. Alsoist limn→∞ Iµ(fn) ≥ limm→∞ Iµ(gm). Aber limm→∞ Iµ(gm) ≥ limn→∞ Iµ(fn) giltgenauso, d.h., limn→∞ Iµ(fn) = limm→∞ Iµ(gm).

Sei f ∈ M+∞(X, E); nach Lemma 5.7 gibt es mindestens eine monoton wachsende

Folge fnn≥p aus E+(X, E) mit limn→∞ fn = f , und Lemma 6.2 zeigt dann,


dass der Limes limn→∞ Iµ(fn) unabhangig von der Wahl dieser Folge ist. DieAbbildung Iµ : E+(X, E) → R+

∞ kann also fortgesetzt werden zu einer AbbildungIµ : M+

∞(X, E) → R+∞ mit der Eigenschaft, dass

Iµ

(limn→∞

fn

)= lim

n→∞Iµ(fn)

gilt fur jede monoton wachsende Folge fnn≥p aus E+(X, E).

Sind f, g ∈ M+∞(X, E) mit f ≤ g, so ist Iµ(f) ≤ Iµ(g): Seien fnn≥p, gnn≥p

monoton wachsende Folgen aus E+(X, E) mit f = limn→∞ fn und g = limn→∞ gn.Dann ist fn∨gnn≥p eine monoton wachsende Folge aus E+(X, E), die auch gegeng konvergiert, und fn ≤ fn ∨ gn fur jedes n ≥ p. Folglich ist

Iµ(f) = limn→∞

Iµ(fn) ≤ limn→∞

Iµ(fn ∨ gn) = Iµ(g) .

Ist also fnn≥p eine monoton wachsende Folge aus M+∞(X, E), so ist Iµ(fn)n≥p

eine monoton wachsende Folge aus R+∞ und damit existiert der Limes lim

n→∞Iµ(fn).

Satz 6.1 (Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi)) Fur jedemonoton wachsende Folge fnn≥p aus M+

∞(X, E) gilt

Iµ

(limn→∞

fn

)= lim

n→∞Iµ(fn) .

Beweis Setze f = limn→∞ fn. Nach Lemma 5.7 gibt es zu jedem n ≥ p einemonoton wachsende Folge fn,mm≥p aus E+(X, E) mit fn = limm→∞ fn,m. Furjedes m ≥ p sei gm = fp,m ∨ · · · ∨ fm,m; nach Satz 5.2 ist gm ∈ E+(X, E) und

gm = fp,m ∨ · · · ∨ fm,m ≤ fp,m+1 ∨ · · · ∨ fm,m+1 ≤ gm+1 .

Folglich ist gmm≥p eine monoton wachsende Folge aus E+(X, E). Aber fur allem ≥ n ≥ p gilt fn,m ≤ gm ≤ fm ≤ f , da sowohl fn,m ≤ fp,m ∨ · · · ∨ fm,m = gm alsauch gm = fp,m ∨ · · · ∨ fm,m ≤ fp ∨ · · · ∨ fm = fm. Daraus ergibt sich, dass

fn(x) = limm→∞

fn,m(x) ≤ limm→∞

gm(x) ≤ f(x)

und damit ist f(x) = limm→∞ gm(x) fur alle x ∈ X. Nach der Definition von Iµbedeutet dies insbesondere, dass Iµ(f) = limm→∞ Iµ(gm). Daraus folgt nun, dass

Iµ(f) = limm→∞

Iµ(gm) ≤ limm→∞

Iµ(fm) ≤ Iµ(f) ,

da gm ≤ fm ≤ f fur alle m ≥ p, d.h., Iµ(f) = limn→∞

Iµ(fn).


Satz 6.2 (Lemma von Fatou) Fur jede Folge fnn≥p aus M+∞(X, E) gilt

Iµ

(lim infn→∞

fn

)≤ lim inf

n→∞Iµ(fn) .

Beweis Setze f = lim infn→∞ fn. Fur jedes n ≥ p sei gn = infm≥n fm; dann istgnn≥p eine monoton wachsende Folge aus M+

∞(X, E) mit limn→∞ gn = f unddaraus ergibt sich nach Satz 6.1, dass Iµ(f) = limn→∞ Iµ(gn). Aber gn ≤ fm unddamit auch Iµ(gn) ≤ Iµ(fm) fur alle m ≥ n ≥ p. Fur jedes n ≥ p ist daherIµ(gn) ≤ infm≥n Iµ(fm), und dies zeigt, dass

Iµ(f) = limn→∞

Iµ(gn) ≤ limn→∞

(infm≥n

Iµ(fm)

)= lim inf

n→∞Iµ(fn) .

Lemma 6.3 Fur alle f ∈ M+∞(X, E) and alle α ∈ R+ mit α > 0 gilt

µ(x ∈ X : f(x) ≥ α) ≤Iµ(f)

α.

Beweis Setze E = x ∈ X : f(x) ≥ α; dann ist αχE ∈ E+(X, E) mit αχE ≤ fund daraus folgt, dass αµ(E) = Iµ(αχE) ≤ Iµ(f).

Satz 6.3 Sei f ∈ M+∞(X, E).

(1) Es gilt Iµ(f) = 0 genau dann, wenn µ(x ∈ X : f(x) > 0) = 0.

(2) Es gilt Iµ(fχN ) = 0 fur alle N ∈ E mit µ(N) = 0.

(3) Ist Iµ(f) <∞, so ist µ(x ∈ X : f(x) = ∞) = 0.

Beweis Fur jedes α ∈ R+ setze Eα = x ∈ X : f(x) ≥ α.

(1) Sei E = x ∈ X : f(x) > 0. Ist Iµ(f) = 0, so ist nach Lemma 6.3 µ(Eα) = 0fur jedes α > 0 und damit ist µ(E) = µ(

⋃∞n=1E1/n) ≤

∑∞n=1 µ(E1/n) = 0. Nehme

umgekehrt an, dass µ(E) = 0 und sei g ∈ E+(X, E) mit g ≤ f . Dann ist g ≤ bχE ,wobei b = max(Bild (g)), und folglich ist Iµ(g) ≤ Iµ(bχE) = bµ(E) = 0. Darausergibt sich nach der Definition von Iµ(f), dass Iµ(f) = 0.

(2) Dies folgt unmittelbar aus (1), da x ∈ X : (fχN)(x) > 0 ⊂ N .

(3) Fur jedes α > 0 ist x ∈ X : f(x) = ∞ ⊂ Eα und daraus ergibt sichnach Lemma 6.3, dass µ(x ∈ X : f(x) = ∞) ≤ µ(En) ≤ Iµ(f)/α. Damit istµ(x ∈ X : f(x) = ∞) = 0.

Lemma 6.4 Fur alle f, g ∈ E+(X, E) und alle a, b ∈ R+ gilt

Iµ(af + bg) = aIµ(f) + bIµ(g) .


Beweis Es ist klar, dass Iµ(af) = aIµ(f), und daher genugt es zu zeigen, dassIµ(f+g) = Iµ(f)+Iµ(g). Setze Eh

α = x ∈ X : h(x) = α fur jedes h ∈ E+(X, E),α ∈ R+. Nun ist Ef+g

γ =⋃α+β=γ E

fα ∩ E

gβ und damit ist

µ(Ef+gγ ) = µ

( ⋃

α+β=γ

Efα ∩ E

gβ

)=∑

α+β=γ

µ(Efα ∩Eg

β) .


Iµ(f + g) =∑

γ

γµ(Ef+gγ ) =

∑

γ

γ∑

α+β=γ

µ(Efα ∩E

gβ)

=∑

γ

∑

α+β=γ

(α+ β)µ(Efα ∩ E

gβ) =

∑

α

∑

β

(α+ β)µ(Efα ∩ E

gβ)

=∑

α

∑

β

αµ(Efα ∩E

gβ) +

∑

α

∑

β

βµ(Efα ∩E

gβ)

=∑

α

αµ

(Efα ∩

⋃

β

Egβ

)+∑

β

βµ

(⋃

α

Efα ∩ E

gβ

)

=∑

α

αµ(Efα) +

∑

β

βµ(Egβ) = Iµ(f) + Iµ(g) .

Satz 6.4 Fur alle f, g ∈ M+∞(X, E) und alle a, b ∈ R+ gilt

Iµ(af + bg) = aIµ(f) + bIµ(g) .

Beweis Seien fnn≥p und gnn≥q monoton wachsende Folgen aus E+(X, E) mitlimn→∞ fn = f und limn→∞ gn = g. Nach Lemma 5.6 ist dann afn + bgnn≥p∨qeine monoton wachsende Folge aus E+(X, E), die gegen af + bg konvergiert, unddaraus folgt nach Lemma 6.4, dass

Iµ(af + bg) = limn→∞

Iµ(afn + bgn) = limn→∞

(aIµ(fn) + bIµ(gn))

= a limn→∞

Iµ(fn) + b limn→∞

Iµ(gn) = aIµ(f) + bIµ(g) .

Lemma 6.5 Es gilt Iµ(fχE) = Iµ(f) fur alle f ∈ M+∞(X, E) und alle E ∈ E mit

µ(X \ E) = 0.

Beweis Nach Satz 6.4 und Satz 6.3 (2) ist

Iµ(f) = Iµ(fχE + fχX\E) = Iµ(fχE) + Iµ(fχX\E) = Iµ(fχE) .


Satz 6.5 Sei fnn≥p eine monoton fallende Folge aus M+∞(X, E) und nehme an,

dass Iµ(fq) <∞ fur ein q ≥ p. Dann ist

Iµ

(limn→∞

fn

)= lim

n→∞Iµ(fn) ,

und insbesondere gilt limn→∞

Iµ(fn) = 0, falls limn→∞

fn = 0.

Beweis Setze f = limn→∞ fn. Nehme zunachst an, dass fq ∈ M+(X, E) (d.h.,fq(x) < ∞ fur alle x ∈ X). Dann ist auch fn ∈ M+(X, E) fur alle n ≥ q. Furjedes n ≥ q sei gn = fq − fn + f ; nach Satz 5.2 also ist gnn≥q eine monotonwachsende Folge aus M+(X, E) mit limn→∞ gn = fq und daraus ergibt sich nachSatz 6.1, dass limn→∞ Iµ(gn) = Iµ(fq). Aber gn + fn = fq + f fur jedes n ≥ q undfolglich gilt nach Satz 6.4, dass

Iµ(fq) + Iµ(f) = Iµ(fq + f) = limn→∞

Iµ(fq + f) = limn→∞

Iµ(gn + fn)

= limn→∞

(Iµ(gn) + Iµ(fn)) = limn→∞

Iµ(gn) + limn→∞

Iµ(fn)

= Iµ(fq) + limn→∞

Iµ(fn) .

Damit ist Iµ(f) = limn→∞ Iµ(fn), da Iµ(fq) <∞.

Nun wird der Beweis durchgefuhrt ohne die Annahme, dass fq ∈ M+(X, E). SeiE = x ∈ X : fq(x) < ∞; nach Lemma 6.3 (3) ist also µ(X \ E) = 0. Nun istfnχEn≥q eine monotone fallende Folge aus M+(X, E) mit limn→∞ fnχE = fχEund Iµ(fqχE) ≤ Iµ(fq) < ∞. Daraus ergibt sich nach dem ersten Teil und nachLemma 6.5, dass Iµ(f) = Iµ(fχE) = lim

n→∞Iµ(fnχE) = lim

n→∞Iµ(fn).

Fur f ∈ M+∞(X, E) definiere µf : E → R+

∞ durch µf(E) = Iµ(fχE).

Satz 6.6 (1) Fur jedes f ∈ M+∞(X, E) ist µf ein Maß auf E .

(2) Sei Iµ(f) < ∞; dann gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass µf(E) < εfur alle E ∈ E mit µ(E) < δ. (Man sagt, dass µf absolut stetig bezuglich µ ist.)

Beweis (1) Offensichtlich gilt µf(∅) = Iµ(0) = 0. Sind E, F ∈ E mit E∩F = ∅,so ist fχE∪F = fχE + fχF und also gilt nach Satz 6.4, dass

µf(E ∪ F ) = Iµ(fχE∪F ) = Iµ(fχE) + Iµ(fχF ) = µf (E) + µf(F ) .

Damit ist µf additiv. Sei nun Enn≥p eine Folge paarweise disjunkter Elementeaus E , setze E =

⋃∞n=pEn und fur n ≥ p sei Fn =

⋃nk=pEk. Dann ist fχFn

n≥peine monoton wachsende Folge aus M+

∞(X, E), die gegen fχE konvergiert, unddaraus ergibt sich nach Satz 6.1, dass

µf(E) = Iµ(fχE) = limn→∞

Iµ(fχFn) = lim

n→∞µf(Fn)


Aber nach der Additivitat von µf ist µf(Fn) =∑n

k=p µf(Ek) fur jedes n ≥ p unddamit ist µf(E) =

∑∞n=p µf(En), d.h., µf ist σ-additiv.

(2) Fur jedes n ≥ 1 sei Fn = x ∈ X : f(x) > n; dann ist fχFnn≥1 eine

monoton fallende Folge aus M+∞(X, E) mit Iµ(fχF1) ≤ Iµ(f) < ∞, die gegen

fχF∞konvergiert, wobei F∞ = x ∈ X : f(x) = ∞, und daraus folgt nach

Satz 6.5 und Satz 6.3 (2) und (3), dass limn→∞ Iµ(fχFn) = Iµ(fχF∞

) = 0.

Sei nun ε > 0; dann gibt es q ≥ 1 mit Iµ(fχFq) < ε/2. Sei δ = ε/(2q); fur alle

E ∈ E mit µ(E) < δ gilt dann nach Satz 6.4, dass

µf(E) = Iµ(fχE) = Iµ(fχE∩Fq+ fχE\Fq

) = Iµ(fχE∩Fq) + Iµ(fχE\Fq

)

≤ Iµ(fχFq) + Iµ(qχE) = Iµ(fχFq

) + qµ(E) < ε/2 + ε/2 = ε ,

da fχE∩Fq≤ fχFq

und fχE\Fq≤ qχE .

Die Umkehrung von Satz 6.6 (2) ist auch richtig: Ist ν ein endliches Maß auf E , dasabsolut stetig bezuglich µ ist, dann gibt es ein f ∈ M+

∞(X, E) mit Iµ(f) <∞, sodass ν = µf . Dies ist der Satz von Radon-Nikodym, der im Kapitel 10 behandeltwird.

7 Das Integral: Zweiter Teil

Im Folgenden sei (X, E , µ) ein Maßraum. Eine Abbildung f ∈ M(X, E) heißt nunµ-integrierbar, wenn Iµ(f

+) und Iµ(f−) beide endlich sind, und in diesem Fall

setzt man ∫f dµ = Iµ(f

+) − Iµ(f−) .

Insbesondere ist f ∈ M+(X, E) genau dann µ-integrierbar, wenn Iµ(f) < ∞und hier ist

∫f dµ = Iµ(f). Ist E ∈ E , dann ist χE µ-integrierbar genau, wenn

µ(E) <∞ und in diesem Fall ist∫χE dµ = µ(E).

Lemma 7.1 Eine Abbildung f ∈ M(X, E) ist genau dann µ-integrierbar, wennIµ(|f |) <∞.

Beweis Da |f | = f+ +f−, ist nach Satz 6.4 Iµ(|f |) = Iµ(f+)+ Iµ(f

−) und damit

maxIµ(f+), Iµ(f

−) ≤ Iµ(|f |) ≤ 2 maxIµ(f+), Iµ(f

−) .

Daraus folgt, dass Iµ(|f |) <∞ genau dann, wenn Iµ(f+) <∞ und Iµ(f

−) <∞,d.h., genau dann, wenn f µ-integrierbar ist.

Die Menge der µ-integrierbaren Abbildungen in M(X, E) wird mit L1(X, E , µ)bezeichnet. Es gibt also eine Abbildung

∫· dµ : L1(X, E , µ) → R.

Satz 7.1 L1(X, E , µ) ist ein Untervektorraum von M(X, E) und die Abbildung∫· dµ : L1(X, E , µ) → R ist linear.

Beweis Da Iµ(0) = 0, ist 0 ∈ L1(X, E , µ). Seien f, g ∈ L1(X, E , µ) und a, b ∈ R.Da |af + bg| ≤ |a||f | + |b||g|, ist nach Satz 6.4

Iµ(|ab+ bg|) ≤ Iµ(|a||f |+ |b||g|) = |a|Iµ(|f |) + |b|Iµ(|g|)

und damit ist nach Lemma 7.1 af +bg ∈ L1(X, E , µ). Dies zeigt, dass L1(X, E , µ)ein Untervektorraum von M(X, E) ist.

Fur f, g ∈ L1(X, E , µ) ist (f + g)+ − (f + g)− = f + g = f+ − f− + g+ − g− unddamit (f + g)+ + f− + g− = (f + g)− + f+ + g+. Nach Satz 6.4 ist also

Iµ((f + g)+) + Iµ(f−) + Iµ(g

−) = Iµ((f + g)−) + Iµ(f+) + Iµ(g

+)

und daraus ergibt sich, dass∫

(f + g) dµ = Iµ((f + g)+) − Iµ((f + g)−)

= Iµ(f+) − Iµ(f

−) + Iµ(g+) − Iµ(g

−) =

∫f dµ+

∫g dµ .

43


Sei schließlich f ∈ L1(X, E , µ) und a ∈ R. Ist a ≥ 0, so gilt

∫af dµ = Iµ((af)+) − Iµ((af)−) = Iµ(af

+) − Iµ(af−)

= aIµ(f+) − aIµ(f

−) = a

∫f dµ .

Ist andererseits a < 0, so gilt

∫af dµ = Iµ((af)+) − Iµ((af)−) = Iµ(|a|f

−) − Iµ(|a|f+)

= |a|Iµ(f−) − |a|Iµ(f

+) = −|a|(Iµ(f+) − Iµ(f

−)) = a

∫f dµ .

Dies zeigt, dass die Abbildung f 7→∫f dµ linear ist.

Setze L1+(X, E , µ) = f ∈ L1(X, E , µ) : f ≥ 0. Per Definition ist

∫f dµ ≥ 0 fur

alle f ∈ L1+(X, E , µ) und also ist die Abbildung f 7→

∫f dµ positiv.

Lemma 7.2 Sei f ∈ L1+(X, E , µ). Fur jedes g ∈ M(X, E) mit |g| ≤ f ist dann

g µ-integrierbar und |∫g dµ| ≤

∫f dµ. Insbesondere gilt |

∫g dµ| ≤

∫|g| dµ fur

alle g ∈ L1(X, E , µ).

Beweis Da |g| ≤ f , ist Iµ(|g|) ≤ Iµ(f) und daraus folgt nach Lemma 7.1, dass gµ-integrierbar ist. Ferner gilt

∣∣∣∣∫g dµ

∣∣∣∣ = |Iµ(g+) − Iµ(g

−)| ≤ Iµ(g+) + Iµ(g

−)

= Iµ(g+ + g−) = Iµ(|g|) ≤ Iµ(f) =

∫f dµ .

Hier ist der Satz von der monotonen Konvergenz:

Satz 7.2 Es sei fnn≥p eine monoton wachsende Folge aus L1+(X, E , µ), die

gegen ein Element f ∈ M+(X, E) konvergiert. Gilt limn→∞

∫fn dµ < ∞, so ist

f ∈ L1+(X, E , µ) und

∫f dµ = lim

n→∞

∫fn dµ.

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Satz 6.1.

Hier ist eine weitere Version des Satzes von der monotonen Konvergenz:


Satz 7.3 Es sei fnn≥p eine monoton wachsende Folge aus L1+(X, E , µ) mit

limn→∞

∫fn dµ < ∞, setze E∞ = x ∈ X : limn→∞ fn(x) = ∞ und definiere

eine Abbildung f : X → R+ durch

f(x) =

limn→∞

fn(x) falls x ∈ X \ E∞,

0 falls x ∈ E∞.

Dann ist µ(E∞) = 0, f ∈ L1+(X, E , µ) und

∫f dµ = lim

n→∞

∫fn dµ.

Beweis Man betrachte fnn≥p als Folge aus M+∞(X, E) und sei f = limn→∞ fn

(mit f ∈ M+∞(X, E)). Also ist E∞ = x ∈ X : f(x) = ∞ und f = fχX\E∞

, und

damit ist f ∈ M+(X, E). Nach Satz 6.1 ist Iµ(f) ≤ Iµ(f) = limn→∞ Iµ(fn) < ∞

und folglich ist f ∈ L1+(X, E , µ). Ferner ist nach Satz 6.3 (3) µ(E∞) = 0, da

Iµ(f) <∞, und daraus ergibt sich nach Lemma 6.5, dass

∫f dµ = Iµ(f) = Iµ(fχX\E∞

) = Iµ(f) = limn→∞

Iµ(fn) = limn→∞

∫fn dµ .

Satz 7.4 Sei fnn≥p eine monoton fallende Folge aus L1+(X, E , µ). Dann ist

limn→∞ fn µ-integrierbar und es gilt

∫ (limn→∞

fn

)dµ = lim

n→∞

∫fn dµ ,

und insbesondere gilt limn→∞

∫fn dµ = 0, falls lim

n→∞fn = 0.


Hier ist das Lemma von Fatou:

Satz 7.5 Sei fnn≥p eine Folge aus L1+(X, E , µ) mit lim infn→∞ fn(x) < ∞ fur

alle x ∈ X. Gilt lim infn→∞

∫fn dµ <∞, so ist f = lim inf

n→∞fn ∈ L1

+(X, E , µ) und

∫f dµ ≤ lim inf

n→∞

∫fn dµ .


Hier ist eine weitere Version des Lemmas von Fatou:


Satz 7.6 Sei fnn≥p eine Folge aus L1+(X, E , µ) mit lim infn→∞

∫fn dµ < ∞,

setze E∞ = x ∈ X : lim infn→∞ fn(x) = ∞ und sei f : X → R+ die Abbildung,die definiert ist durch

f(x) =

lim infn→∞

fn(x) falls x ∈ X \ E∞,

0 falls x ∈ E∞.

Dann ist µ(E∞) = 0, f ∈ L1+(X, E , µ) und

∫f dµ ≤ lim inf

n→∞

∫fn dµ.

Beweis Dieser ist fast identisch mit dem Beweis fur Satz 7.3.

Satz 7.7 (Satz von der dominierten Konvergenz) Sei fnn≥p eine Folgeaus L1(X, E , µ), die gegen ein f ∈ M(X, E) konvergiert. Nehme an, es gibt eing ∈ L1

+(X, E , µ), so dass |fn| ≤ g fur alle n ≥ p. Dann ist f ∈ L1(X, E , µ) und

limn→∞

∫|f − fn| dµ = 0 .

Insbesondere gilt∫f dµ = lim

n→∞

∫fn dµ.

Beweis Nach Lemma 7.2 ist f ∈ L1(X, E , µ), da |f | ≤ g. Fur jedes n ≥ p seign = supm≥n |f − fm|; da 0 ≤ gn ≤ 2g, ist nach Satz 5.2, Satz 5.4 und Lemma 7.2gn ∈ L1

+(X, E , µ). Nun ist die Folge gnn≥p monoton fallend und limn→∞ gn = 0,und daraus ergibt sich nach Satz 7.4, dass limn→∞

∫gn dµ = 0. Aber |f−fn| ≤ gn

und daher ist limn→∞

∫|f − fn| dµ = 0. Ferner gilt nach Lemma 7.2, dass

∣∣∣∣∫f dµ−

∫fn dµ

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫

(f − fn) dµ

∣∣∣∣ ≤∫gn dµ

fur jedes n ≥ p, und folglich ist auch∫f dµ = lim

n→∞

∫fn dµ.

Sei f ∈ L1(X, E , µ); dann ist fχE ∈ L1(X, E , µ) fur jedes E ∈ E , da |fχE| ≤ |f |,und man schreibt meistens

∫Ef dµ statt

∫fχE dµ.

Satz 7.8 (1) Fur jedes f ∈ L1+(X, E , µ) ist die Abbildung E 7→

∫Ef dµ ein

endliches Maß auf E .

(2) Fur jedes f ∈ L1(X, E , µ) ist die Abbildung E 7→∫Ef dµ absolut stetig

bezuglich µ: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass |∫Ef dµ| < ε fur alle

E ∈ E mit µ(E) < δ.


Beweis (1) Dies folgt unmittelbar aus Satz 6.6 (1).

(2) Nach Satz 6.6 (2) ist die Abbildung E 7→∫E|f | dµ absolut stetig bezuglich µ

und damit auch die Abbildung E 7→∫Ef dµ, da |

∫Ef dµ| ≤

∫E|f | dµ.

Lemma 7.3 Fur f, g ∈ L1(X, E , µ) gilt f = g µ-fast uberall genau dann, wenn∫Ef dµ =

∫Eg dµ fur alle E ∈ E .

Beweis Ist f = g µ-fast uberall, so ist nach Lemma 7.2 und Satz 6.3 (1)

∣∣∣∣∫

E

f dµ−

∫

E

g dµ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫

(f − g)χE dµ

∣∣∣∣

≤

∫|f − g|χE dµ ≤

∫|f − g| dµ = Iµ(|f − g|) = 0 ,

da µ(x ∈ X : |f − g|(x) > 0) = µ(x ∈ X : f(x) 6= g(x)) = 0. Damitist∫Ef dµ =

∫Eg dµ fur alle E ∈ E . Gilt umgekehrt

∫Ef dµ =

∫Eg dµ fur alle

E ∈ E , so ist mit C+ = x ∈ X : f(x) ≥ g(x) und C− = x ∈ X : f(x) < g(x)

0 =

∫

C+

f dµ−

∫

C+

g dµ−

∫

C−

f dµ+

∫

C−

g dµ

=

∫

C+

(f − g) dµ+

∫

C−

(g − f) dµ

=

∫(f − g)+ dµ+

∫(f − g)− dµ =

∫|f − g| dµ = Iµ(|f − g|)

und daraus folgt nach Satz 6.3 (1), dass µ(x ∈ X : |f − g|(x) > 0) = 0, d.h.,f = g µ-fast uberall.

Lemma 7.4 Seien f ∈ L1(X, E , µ), g ∈ M(X, E) mit f = g µ-fast uberall. Dannist g ∈ L1(X, E , µ).

Beweis Nach Satz 6.3 (1) ist

Iµ(|g|) = Iµ(|g − f + f |) ≤ Iµ(|g − f |) + Iµ(|f |) = Iµ(|f |) <∞ ,

da µ(x ∈ X : |g(x) − f(x)| > 0) = 0, und damit ist g ∈ L1(X, E , µ).

8 Produktmaße und der Satz von Fubini

Im Folgenden seien (X1, E1, µ1) und (X2, E2, µ2) Maßraume mit den Maßen µ1

und µ2 σ-endlich.

Erinnerung: Die Produkt-σ-Algebra E1 × E2 ist die kleinste σ-Algebra, die alle‘Rechtecke’ der Form E1 × E2 mit E1 ∈ E1 und E2 ∈ E2 enthalt.

Es wird gezeigt, dass es ein eindeutiges Maß µ1 × µ2 auf E1 × E2 gibt, so dass

(µ1 × µ2)(E1 × E2) = µ1(E1)µ2(E2)

fur alle E1 ∈ E1, E2 ∈ E2. Dieses Maß µ1 × µ2 heißt Produktmaß von µ1 und µ2.

Sei A die Menge aller Elemente von E1 × E2, die eine Darstellung der Form

n⋃

k=1

Ek × Fk

besitzen, wobei E1, . . . , En ∈ E1, F1, . . . , Fn ∈ E2 und (Ej×Fj)∩(Ek×Fk) = ∅,falls j 6= k. Eine solche Darstellung fur ein Element von A wird zulassig genannt.Man beachte aber, dass sie nicht eindeutig ist.

Lemma 8.1 A ist eine Algebra mit σ(A) = E1 × E2.

Beweis Ubung.

Sei B ⊂ X1 × X2. Fur jedes x1 ∈ X1 sei Bx1 = x2 ∈ X2 : (x1, x2) ∈ B undfur jedes x2 ∈ X sei Bx2 = x1 ∈ X1 : (x1, x2) ∈ B. Diese Teilmengen heißenSektionen von B.

Lemma 8.2 Sei B ∈ E1×E2; dann ist Bx1 ∈ E2 fur alle x1 ∈ X1 und Bx2 ∈ E1 furalle x2 ∈ X2. Ferner ist die Abbildung x1 7→ µ2(Bx1) ein Element von M+

∞(X1, E1)und die Abbildung x2 7→ µ1(B

x2) ein Element von M+∞(X2, E2).

Beweis Sei x1 ∈ X1 und setze S = B ∈ E1 × E2 : Bx1 ∈ E2. Ist⋃nk=1Ek × Fk

eine zulassige Darstellung fur ein Element A ∈ A, so ist Ax1 =⋃k∈∆ Fk, wobei

∆ = k : x1 ∈ Ek, und damit ist A ⊂ S. Ferner sieht man leicht, dass S einemonotone Klasse ist. Folglich gilt nach Satz 1.1 und Lemma 8.1, dass E1×E2 ⊂ S,d.h., S = E1 ×E2. Fur jedes B ∈ E1 ×E2 und jedes x1 ∈ X1 ist also Bx1 ∈ E2, undgenauso ist Bx2 ∈ E1 fur jedes x2 ∈ X2.

Es wird nun gezeigt, dass fur jedes B ∈ E1 × E2 die Abbildung x1 7→ µ2(Bx1) einElement von M+

∞(X1, E1) ist. Sei zunachst C ∈ E2 mit µ2(C) < ∞ und sei T die

48


Menge aller B ∈ E1 × E2, fur die die Abbildung x1 7→ µ2(C ∩ Bx1) ein Elementvon M+

∞(X1, E1) ist. Ist⋃nk=1Ek×Fk eine zulassige Darstellung fur A ∈ A, so ist

µ2(C ∩Ax1) =n∑

k=1

µ2(C ∩ Fk)χEk(x1) ,

und also ist A ⊂ T . Sei Bnn≥p eine monoton wachsende Folge aus T und setzeB =

⋃∞n=pBn. Fur jedes x1 ∈ X1 ist (Bn)x1n≥p eine monoton wachsende Folge

aus E2 mit⋃∞n=p(Bn)x1 = Bx1 und daraus folgt nach Lemma 1.5 (1), dass

µ2(C ∩Bx1) = µ2

(∞⋃

n=p

C ∩ (Bn)x1

)= lim

n→∞µ2(C ∩ (Bn)x1) .

Damit ist nach Satz 5.5 B ∈ T . Sei nun Bnn≥p eine monoton fallende Folgeaus T und setze B =

⋂∞n=pBn. Fur jedes x1 ∈ X1 ist dann (Bn)x1n≥p eine

monoton fallende Folge aus E2 mit⋂∞n=p(Bn)x1 = Bx1 und daraus ergibt sich

nach Lemma 1.5 (2), dass

µ2(C ∩Bx1) = µ2

(∞⋂

n=p

C ∩ (Bn)x1

)= lim

n→∞µ2(C ∩ (Bn)x1) ,

da µ2(C ∩ (Bp)x1) ≤ µ2(C) < ∞. Folglich ist nach Satz 5.5 B ∈ T . Daher istT eine monotone Klasse mit A ⊂ T und also ist nach Satz 1.1 und Lemma 8.1T = E1 × E2. Dies zeigt, dass fur jedes C ∈ E2 mit µ2(C) < ∞ und fur jedesB ∈ E1 × E2 die Abbildung x1 7→ µ2(C ∩ Bx1) ein Element von M+

∞(X1, E1) ist.

Da aber µ2 σ-endlich ist, gibt es eine monoton wachsende Folge Cmm≥q aus E2

mit µ2(Cm) <∞ fur jedes m ≥ q und X2 =⋃∞m=q Cm. Fur jedes B ∈ E1 × E2 ist

dann nach Lemma 5.1 (1) µ2(Bx1) = limm→∞ µ2(Cm ∩Bx1) fur jedes x1 ∈ X unddaraus ergibt sich nach Satz 5.5, dass die Abbildung x1 7→ µ2(Bx1) ein Elementvon M+

∞(X1, E1) ist.

Das gleiche Argument zeigt naturlich auch, dass die Abbildung x2 7→ µ1(Bx2) ein

Element von M+∞(X2, E2) ist.

Man beachte: Die Annahme, dass µ1 und µ2 σ-endlich sind, spielt eine wichtigeRolle im Beweis fur den zweiten Teil von Lemma 8.2.

Sei Y eine Menge und f : X1 ×X2 → Y eine Abbildung. Fur jedes x1 ∈ X1 wirdeine Abbildung fx1 : X2 → Y durch fx1(x2) = f(x1, x2) und fur jedes x2 ∈ X2 eineAbbildung fx2 : X1 → Y durch fx2(x1) = f(x1, x2) definiert. Diese Abbildungenheißen Sektionen von f .

Lemma 8.3 Sei F ⊂ P(Y ) eine σ-Algebra und sei f : X1 × X2 → Y eine(E1 × E2)|F-messbare Abbildung. Dann ist fx1 E2|F-messbar fur jedes x1 ∈ X1

und fx2 ist E1|F-messbar fur jedes x2 ∈ X2.


Beweis Dies folgt unmittelbar aus dem ersten Teil von Lemma 8.2, da es klarist, dass (fx1)

−1(F ) = (f−1(F ))x1 und (fx2)−1(F ) = (f−1(F ))x2 fur alle F ∈ F ,x1 ∈ X1 und x2 ∈ X2.

Sei f ∈ M+∞(X1 × X2, E1 × E2); nach Lemma 8.3 ist fx1 ∈ M+

∞(X2, E2) fur jedesx1 ∈ X1 und also gibt es eine Abbildung I∗,µ2(f) : X1 → R+

∞, die durch

I∗,µ2(f)(x1) = Iµ2(fx1)

definiert ist. Genauso gibt es eine Abbildung Iµ1,∗(f) : X2 → R+∞, die durch

Iµ1,∗(f)(x2) = Iµ1(fx2)

definiert ist.

Lemma 8.4 Fur jedes f ∈ M+∞(X1 ×X2, E1 ×E2) ist I∗,µ2(f) ∈ M+

∞(X1, E1) undIµ1,∗(f) ∈ M+

∞(X2, E2).

Beweis Ist g ∈ E+(X1 ×X2, E1 × E2) mit Bild (g) = ∆, so ist

I∗,µ2(g)(x1) = Iµ2(gx1) = Iµ2

(∑

α∈∆

α(χBα)x1

)

=∑

α∈∆

αIµ2((χBα)x1) =

∑

α∈∆

αIµ2(χ(Bα)x1) =

∑

α∈∆

αµ2((Bα)x1)

fur jedes x1 ∈ X1, wobei Bα = g−1(α), und daraus folgt nach Satz 5.3, Satz 6.4und Lemma 8.2, dass I∗,µ2(g) ein Element von M+

∞(X1, E1) ist.

Sei nun f ∈ M+∞(X1 ×X2, E1 × E2); nach Lemma 5.7 gibt es dann eine monoton

wachsende Folge fnn≥1 aus E+(X1 ×X2, E1 ×E2) mit f = limn→∞ fn. Fur jedesx1 ∈ X1 ist also (fn)x1n≥1 eine wachsende Folge aus M+

∞(X1, E1), die gegen fx1

konvergiert, und folglich gilt nach Satz 6.1, dass

I∗,µ2(f)(x1) = Iµ2(fx1) = limn→∞

Iµ2((fn)x1) = limn→∞

I∗,µ2(fn)(x1)

fur jedes x1 ∈ X1. Damit ist nach Satz 5.5 I∗,µ2(f) ∈ M+∞(X1, E1) und genauso

ist Iµ1,∗(f) ∈ M+∞(X2, E2).

Lemma 8.5 Ist⋃nk=1Ek × Fk eine zulassige Darstellung fur A ∈ A, so ist

Iµ1(I∗,µ2(χA)) =n∑

k=1

µ1(Ek)µ2(Fk) = Iµ2(Iµ1,∗(χA)) .

Insbesondere ist Iµ1(I∗,µ2(χA)) = Iµ2(Iµ1,∗(χA)) fur alle A ∈ A.


Beweis Nach Satz 6.4 gilt fur jedes x1 ∈ X1, dass

I∗,µ2(χA)(x1) = Iµ2((χA)x1) = Iµ2

(n∑

k=1

χEk(x1)χFk

)=

n∑

k=1

χEk(x1)µ2(Fk)

und daraus ergibt sich (wieder nach Satz 6.4), dass

Iµ1(I∗,µ2(χA)) = Iµ1

(n∑

k=1

χEkµ2(Fk)

)=

n∑

k=1

µ1(Ek)µ2(Fk) .

Aber genauso gilt Iµ2(Iµ1,∗(χA)) =∑n

k=1 µ1(Ek)µ2(Fk).

Lemma 8.6 Es gilt Iµ1(I∗,µ2(χB)) = Iµ2(Iµ1,∗(χB)) fur alle B ∈ E1 × E2.

Beweis Sei C ∈ E1, D ∈ E2 mit µ1(C) und µ2(D) endlich, setze F = C ×D undsei S = B ∈ E1 × E2 : Iµ1(I∗,µ2(χF∩B)) = Iµ2(Iµ1,∗(χF∩B)); nach Lemma 8.5 istA ⊂ S. Sei Bnn≥p eine monoton wachsende Folge aus S und setze B =

⋃∞n=pBn.

Nach mehrfacher Anwendung von Satz 6.1 gilt dann, dass

Iµ1(I∗,µ2(χF∩B)) = Iµ1

(I∗,µ2

(limn→∞

χF∩Bn

))

= Iµ1

(limn→∞

I∗,µ2 (χF∩Bn))

= limn→∞

Iµ1 (I∗,µ2 (χF∩Bn))

= limn→∞

Iµ2 (Iµ1,∗ (χF∩Bn)) = Iµ2

(limn→∞

Iµ1,∗ (χF∩Bn))

= Iµ2

(Iµ1,∗

(limn→∞

χF∩Bn

))= Iµ2(Iµ1,∗(χF∩B))

und folglich ist B ∈ S. Ist Bnn≥p eine monoton fallende Folge aus S, so zeigt einahnliches Argument, dass

⋂∞n=pBn ∈ S. (Hier wird Satz 6.5 statt Satz 6.1 benotigt

und dies ist der Grund fur die Einfuhrung der Mengen C und D mit µ1(C) <∞und µ2(D) <∞.) Damit ist S eine monotone Klasse, die A enthalt, und also istnach Satz 1.1 S = E1×E2. Dies zeigt: Iµ1(I∗,µ2(χF∩B)) = Iµ2(Iµ1,∗(χF∩B)) fur alleB ∈ E1 × E2 und alle F = C ×D mit µ1(C) und µ2(D) endlich.

Nun folgt wie im Beweis fur Lemma 8.2, dass Iµ1(I∗,µ2(χB)) = Iµ2(Iµ1,∗(χB)) furalle B ∈ E1 × E2 (und wieder braucht man hier die Annahme, dass die Maße µ1

und µ2 σ-endlich sind).

Definiere nun eine Abbildung µ1 × µ2 : E1 × E2 → R+∞ durch

(µ1 × µ2)(B) = Iµ1(I∗,µ2(χB)) ( = Iµ2(Iµ1,∗(χB)) )

fur jedes B ∈ E1 × E2.


Satz 8.1 µ1 × µ2 ist ein Maß auf E1 × E2. Ferner ist es das eindeutige Maß νauf E1 × E2 mit ν(E1 ×E2) = µ1(E1)µ2(E2) fur alle E1 ∈ E1, E2 ∈ E2.

Beweis Zunachst ist (µ1 × µ2)(∅) = µ1(∅)µ2(∅) = 0, da ∅ = ∅ × ∅. Sei alsoBnn≥p eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus E1 × E2, fur jedes n ≥ psei Cn =

⋃nk=pBk und setze B =

⋃∞n=pBn. Dann ist χCn

n≥p eine monotonwachsende Folge aus M+

∞(X1 ×X2, E1×E2), die gegen χB konvergiert und darausfolgt nach mehrfacher Anwendung von Satz 6.1 und Satz 6.4, dass

(µ1 × µ2)(B) = Iµ1(I∗,µ2(χB))

= Iµ1

(I∗,µ2

(limn→∞

χCn

))= Iµ1

(limn→∞

I∗,µ2 (χCn))

= limn→∞

Iµ1 (I∗,µ2 (χCn)) = lim

n→∞Iµ1

(I∗,µ2

(n∑

k=p

χBk

))

= limn→∞

Iµ1

(n∑

k=p

I∗,µ2 (χBk)

)= lim

n→∞

n∑

k=p

Iµ1 (I∗,µ2 (χBk))

= limn→∞

n∑

k=p

(µ1 × µ2)(Bk) =∞∑

n=p

(µ1 × µ2)(Bn) .

Dies zeigt, dass µ1 ×µ2 ein Maß auf E1 ×E2 ist. Sei nun ν ein beliebiges Maß aufE1×E2 mit ν(E1×E2) = µ1(E1)µ2(E2) fur alle E1 ∈ E1, E2 ∈ E2. Ist

⋃nk=1Ek×Fk

eine zulassige Darstellung fur A ∈ A, so ist

ν(A) =

n∑

k=1

ν(Ek × Fk) =

n∑

k=1

µ1(Ek)µ2(Fk) = (µ1 × µ2)(A)

und damit ist ν(A) = (µ1×µ2)(A) fur alle A ∈ E1×E2. Da aber die Maße µ1 undµ2 σ-endlich sind, sieht man leicht, dass auch µ1 × µ2 σ-endlich ist, und darausergibt sich nach Satz 1.3, dass ν = µ1 × µ2.

Satz 8.2 Fur alle f ∈ M+∞(X1 ×X2, E1 × E2) gilt

Iµ1(I∗,µ2(f)) = Iµ1×µ2(f) = Iµ2(Iµ1,∗(f)) .

Beweis Nach Lemma 8.6 und nach der Definition von µ1 × µ2 gilt

Iµ1(I∗,µ2(χB)) = Iµ1×µ2(χB) = Iµ2(Iµ1,∗(χB))

fur alle B ∈ E1×E2. Nach Satz 6.4 ist also Iµ1(I∗,µ2(f)) = Iµ1×µ2(f) = Iµ2(Iµ1,∗(f))fur alle f ∈ E+(X1 ×X2, E1 ×E2). Daraus folgt nach Lemma 5.7 und mehrfacher


Anwendung von Satz 6.1, dass auch Iµ1(I∗,µ2(f)) = Iµ1×µ2(f) = Iµ2(Iµ1,∗(f)) furalle f ∈ M+

∞(X1 ×X2, E1 × E2).

Ist (X, E , µ) ein Maßraum, so schreibt man manchmal∫f(x) dµ(x) (oder etwas

Ahnliches) statt∫f dµ, wenn das Argument von f explizit vorkommt. Ferner

wird die Abbildung∫ ∗

· dµ : M(X, E) → R benotigt, die definiert ist durch

∫ ∗f dµ =

∫f dµ, falls f µ-integierbar ist,0, sonst.

Satz 8.3 (Satz von Fubini) Sei f ∈ L1(X1 × X2, E1 × E2, µ1 × µ2) und setzeE1 = x1 ∈ X1 : fx1 ∈ L1(X2, E2, µ2), E2 = x2 ∈ X2 : fx2 ∈ L1(X1, E1, µ1).Dann ist µ1(X1 \ E1) = 0, µ2(X2 \ E2) = 0, die Abbildung x1 7→

∫ ∗fx1 dµ2 ist

µ1-integrierbar, die Abbildung x2 7→∫ ∗fx2 dµ1 ist µ2-integrierbar und es gilt

∫ (∫ ∗fx1 dµ2

)dµ1(x1) =

∫f d(µ1 × µ2) =

∫ (∫ ∗fx2 dµ1

)dµ2(x2) .

Beweis Nehme zunachst an, dass f ∈ L1+(X1×X2, E1×E2, µ1×µ2) und betrachte

f als Element von M+∞(X1 ×X2, E1 × E2) mit Iµ1×µ2(f) <∞. Dann ist

X1 \ E1 = x1 ∈ X1 : Iµ2(fx1) = ∞ = x1 ∈ X1 : I∗,µ2(f)(x1) = ∞ ,

und daraus folgt nach Satz 8.2 und Satz 6.3 (3), dass µ1(X1 \ E1) = 0. Sei jetztg : X1 → R+ die Abbildung mit g(x1) =

∫ ∗fx1 dµ2 fur jedes x1 ∈ X1. Dann ist

g = I∗,µ2(f)χE1 (und insbesondere ist g ∈ M+(X1, E1)) und daraus ergibt sichnach Lemma 6.5 und Satz 8.2, dass

Iµ1(g) = Iµ1(I∗,µ2(f)χE1) = Iµ1(I∗,µ2(f)) = Iµ1×µ2(f) .

Damit ist g µ1-integrierbar mit∫g dµ1 =

∫f d(µ1 × µ2), d.h., die Abbildung

x1 7→∫ ∗fx1 dµ2 ist µ1-integrierbar und es gilt

∫ (∫ ∗fx1 dµ2

)dµ1(x1) =

∫f d(µ1 × µ2) .

Sei nun f ∈ L1(X1 ×X2, E1 × E2, µ1 × µ2). Da |f |x1 = |fx1| fur jedes x1 ∈ X1 istE1 = E∗1 , wobei E∗1 = x1 ∈ X1 : |f+|x1 ∈ L1(X2, E2, µ2). Nach dem ersten Teilist aber µ1(E

∗1) = 0 und damit ist µ1(E1) = 0. Fur jedes x1 ∈ X1 ist ferner

∫ ∗fx1 dµ2 =

(∫ ∗(f+)x1 dµ2 −

∫ ∗(f−)x1 dµ2

)χE∗

1(x1) ,


und nach dem ersten Teil (angewendet auf |f |, f+ und f−) ist die Abbildungx1 7→

∫ ∗fx1 dµ2 µ1-integrierbar und es gilt

∫ (∫ ∗fx1 dµ2

)dµ1(x1) =

∫ (∫ ∗(f+)x1 dµ2 −

∫ ∗(f−)x1 dµ2

)dµ1(x1)

=

∫ (∫ ∗(f+)x1 dµ2

)dµ1(x1) −

∫ (∫ ∗(f−)x1 dµ2

)dµ1(x1)

=

∫f+ d(µ1 × µ2) −

∫f− d(µ1 × µ2) =

∫f d(µ1 × µ2) .

Dieses Argument zeigt naturlich auch, dass µ2(X2 \E2) = 0, dass die Abbildungx2 7→

∫ ∗fx2 dµ1 µ2-integrierbar ist und dass

∫ (∫ ∗fx2 dµ1

)dµ2(x2) =

∫f d(µ1 × µ2) .

Das folgende Ergebnis ist eine Art Umkehrung von Satz 8.3. Man beachte aberdie Voraussetzung, dass f ≥ 0.

Satz 8.4 (Satz von Tonelli) Es sei f ∈ M+(X1 × X2, E1 × E2, µ1 × µ2). Istµ1(x1 ∈ X1 : fx1 /∈ L1(X2, E2, µ2) = 0 und ist x1 7→

∫ ∗fx1 dµ2 µ1-integrierbar

so ist f ∈ L1+(X1 ×X2, E1 × E2, µ1 × µ2).

Beweis Man betrachte f als Element von M+∞(X1 ×X2, E1×E2, µ1×µ2). Wie im

Beweis fur Satz 8.3 sei E1 = x1 ∈ X1 : fx1 ∈ L1(X2, E2, µ2) und sei g : X1 → R+

die Abbildung mit g(x1) =∫ ∗fx1 dµ2 fur jedes x1 ∈ X1. Dann ist g = I∗,µ2(f)χE1

und nach Voraussetzung ist µ1(X1 \E1) = 0. Daraus ergibt sich nach Lemma 6.5und Satz 8.2, dass

Iµ1×µ2(f) = Iµ1(I∗,µ2(f)) = Iµ1(I∗,µ2(f)χE1) = Iµ1(g) <∞

und damit ist f ∈ L1+(X1 ×X2, E1 × E2, µ1 × µ2).

Sei nun n ≥ 2 und fur jedes k = 1, . . . , n sei (Xk, Ek, µk) ein Maßraum mit µkσ-endlich.

Erinnerung: Die Produkt-σ-Algebra E1 × · · · × En ist die kleinste σ-Algebra, diealle ‘Rechtecke’ der Form E1 × · · · ×En mit Ek ∈ Ek, k = 1, . . . , n, enthalt.

Setze X = X1 × · · · ×Xn und E = E1 × · · · × En.

Satz 8.5 Es gibt ein eindeutiges Maß µ auf E mit

µ(E1 × · · · × En) = µ1(E1) × · · · × µn(En)

fur alle Ek ∈ Ek, k = 1, . . . , n. Dieses Maß heißt Produktmaß von µ1, . . . , µnund wird meistens mit µ1 × · · · × µn bezeichnet.


Beweis Betrachtet man X als Produkt von X1 × · · · × Xn−1 und Xn, so siehtman leicht, dass E = (E1 × · · · × En−1) × En. Die Existenz und Eindeutigkeit vonµ folgt also aus (n− 1)-maliger Anwendung von Satz 8.1.

Sei λ das Lebesguesche Maß auf B(R) und n ≥ 2; nach Lemma 5.4 gilt dannB(Rn) = B(R)×· · ·×B(R) und folglich gibt es nach Satz 8.5 ein eindeutiges Maßλn = λ× · · · × λ auf B(Rn), so dass

λn(B1 × · · · ×Bn) = λ(B1) × · · · × λ(Bn)

fur alle B1, . . . , Bn ∈ B(R) und λn heißt Lebesguesches Maß auf B(Rn).

Sei (Rn,B(Rn), λn) die Vervollstandigung von (Rn,B(Rn), λn). Dann heißt B(Rn)die σ-Algebra der Lebesgueschen Mengen des Rn, λn wird auch LebesgueschesMaß genannt und wird meistens lediglich mit λn bezeichnet.

Man beachte: Sind (X1, E1, µ1) und (X2, E2, µ2) vollstandige Maßraume (mit µ1

und µ2 σ-endlich), so ist der Maßraum (X1×X2, E1×E2, µ1×µ2) im Allgemeinennicht vollstandig. Insbesondere kann man zeigen, dass B(R) × B(R) 6= B(R2).

Seien f, g ∈ L1(R,B(R), λ) und definiere eine Abbildung h : R2 → R durchh(x, y) = f(y − x)g(x) (also ist h ∈ M(R2,B(R2))). Fur jedes x ∈ R ist dieAbbildung |h|x ∈ L1(R, (B)(R), λ) und

∫|h|x dλ =

∫|f(y−x)g(x)| dλ(y) = |g(x)|

∫|f(y−x)| dλ(y) = |g(x)|

∫|f | dλ .

Folglich ist die Abbildung x 7→∫|h|x dλ λ-integrierbar und daraus ergibt sich

nach Satz 8.4, dass |h| und damit auch h λ2-integrierbar ist. Definiere nun eineAbbildung f ∗ g : R → R durch

(f ∗ g)(y) =

∫ ∗f(y − x)g(x) dλ(x)

(d.h., (f ∗ g)(y) =∫ ∗hy dλ). Nach Satz 8.3 ist f ∗ g ∈ L1(R,B(R), λ) und es gilt

∫f ∗ g dλ =

∫h dλ =

∫ (∫ ∗hx dλ

)dλ(x)

=

∫ (∫ ∗f(y − x)g(x) dλ(y)

)dλ(x)

=

∫g(x)

(∫ ∗f(y − x) dλ(y)

)dλ(x)

=

∫g(x)

(∫f(y) dλ(y)

)dλ(x) =

∫f dλ

∫g dλ .

Die Abbildung f ∗ g heißt die Faltung von f und g.

9 Endliche signierte Maße

Hier wird eine Zerlegung fur endliche signierte Maße prasentiert, die eine wichtigeRolle im Beweis fur den Satz von Radon-Nikodym in Kapitel 10 spielen wird.

Im Folgenden sei E ⊂ P(X) eine σ-Algebra. Eine Abbildung ω : E → R heißtσ-additiv, wenn fur jede Folge Enn≥p paarweise disjunkter Elemente aus E die

Reihe∑∞

n=p ω(En) konvergiert mit der Summe ω(⋃∞

n=pEn

).

Man beachte: Ist ω : E → R σ-additiv, so ist ω(∅) = 0. (Man betrachte eineFolge Enn≥1 mit En = ∅ fur jedes n ≥ 1.) Daraus folgt, dass ω auch additivist.

Eine σ-additive Abbildung ω : E → R heißt endliches signiertes Maß. Jedesendliche Maß µ : E → R+ ist ein endliches signiertes Maß. Ferner gilt:

Lemma 9.1 Sind µ1, µ2 : E → R+ endliche Maße, so ist µ1 − µ2 ein endlichessigniertes Maß.


Das nachste Ergebnis zeigt, dass die Umkehrung von Lemma 9.1 richtig ist.

Satz 9.1 (Hahn-Jordan-Zerlegung) Sei ω : E → R ein endliches signiertesMaß. Dann gibt es F+, F− ∈ E mit X = F+ ∪ F− und F+ ∩ F− = ∅, sodass ω(E ∩ F+) ≥ 0 und ω(E ∩ F−) ≤ 0 fur alle E ∈ E . Ferner sind dieAbbildungen ω+, ω− : E → R+, die definiert sind durch ω+(E) = ω(E ∩F+) undω−(E) = −ω(E ∩ F−) fur alle E ∈ E , endliche Maße auf E mit ω = ω+ − ω−.

Beweis Sei C = C ∈ E : ω(E ∩ C) ≤ 0 fur alle E ∈ E. Insbesondere ist C 6= ∅,da ∅ ∈ C. Das folgende Lemma spielt eine entscheidende Rolle im Beweis furSatz 9.1:

Lemma 9.2 Zu jedem B ∈ E mit ω(B) < 0 gibt es ein C ∈ C mit C ⊂ B undω(C) ≤ ω(B).

Beweis Fur jedes α ∈ R+∞ setze α∗ = α∧1; insbesondere ist ∞∗ = 1. Sei zunachst

δ1 = supω(F ) : F ∈ E mit F ⊂ B (also ist δ1 ∈ R+∞, da ω(∅) = 0) und wahle

F1 ∈ E mit F ⊂ B und ω(F ) ≥ δ∗1/2. Durch Induktion nach n konnen nun eineFolge δnn≥1 aus R+

∞ und eine Folge Fnn≥1 aus E definiert werden mit

δn = supω(F ) : F ∈ E mit F ⊂ B \

n−1⋃

k=1

Fk

56


und Fn ∈ E eine Teilmenge von B \⋃n−1k=1 Fk mit ω(Fn) ≥ δ∗n/2 fur jedes n > 1.

Insbesondere ist Fnn≥1 eine Folge paarweise disjunkter Teilmengen von B. SetzeF∞ =

⋃∞n=1 Fn und C = B \ F∞. Dann ist ω(F∞) =

∑∞n=1 ω(Fn) ≥

∑∞n=1 δ

∗n/2,

und daraus ergibt sich, dass sowohl ω(F∞) ≥ 0 als auch∑∞

n=1 δ∗n <∞. Damit ist

ω(C) = ω(B) − ω(F∞) ≤ ω(B) und es gilt limn→∞ δn = 0. Sei E ∈ E ; da

E ∩ C = E ∩ (B \ F∞) ⊂ B \n−1⋃

k=1

Fk ,

ist ω(E ∩C) ≤ δn fur jedes n ≥ 1, d.h., ω(E ∩C) ≤ 0. Dies zeigt, dass C ∈ C.

Setze α = infω(C) : C ∈ C; also ist (zunachst) −∞ ≤ α ≤ 0.

Sei Cnn≥1 eine Folge aus C und sei C =⋃∞n=1Cn; setze C ′1 = C1 und fur

n > 1 sei C ′n = Cn \⋃n−1k=1 Ck. Dann ist C ′nn≥1 eine Folge paarweise disjunkter

Elemente aus E mit⋃∞n=1C

′n = C; fur jedes E ∈ E gilt also

ω(E ∩ C) = ω

(∞⋃

n=1

(E ∩ C ′n)

)=

∞∑

n=1

ω(E ∩ C ′n)

=∞∑

n=1

ω

(E ∩

(Cn \

n−1⋃

k=1

Ck

))=∞∑

n=1

ω

((n−1⋂

k=1

(E \ Ck)

)∩ Cn

)≤ 0

und folglich ist C ∈ C. Fur jedes n ≥ 1 ist ferner

ω(C) = ω(Cn) + ω(C \ Cn) = ω(Cn) + ω((X \ Cn) ∩ C) ≤ ω(Cn)

und damit ist ω(C) ≤ infn≥1 ω(Cn).

Dies zeigt insbesondere, dass α 6= −∞. (Ist α = −∞, so gibt es fur jedes n ≥ 1ein Cn ∈ C mit ω(Cn) ≤ −n und dann ware µ(

⋃∞n=1Cn) ≤ −m fur jedes m ≥ 1.)

Da α 6= −∞, gibt es fur jedes n ≥ 1 ein Dn ∈ C mit ω(Dn) ≤ α + 1/n. SetzeD =

⋃∞n=1Dn; dann ist D ∈ C und ω(D) ≤ infn≥1 ω(Dn) = α, d.h., ω(D) = α.

Es gibt also ein F− ∈ C mit ω(F−) = α, und da F− ∈ C, ist ω(E ∩ F−) ≤ 0 furalle E ∈ E . Sei F+ = X \ F−; also gilt X = F+ ∪ F− und F+ ∩ F− = ∅.

Nehme an, es gibt ein E ∈ E mit ω(E ∩ F+) < 0. Nach Lemma 9.2 gibt es dannein C ∈ C mit C ⊂ E ∩ F+ und ω(C) ≤ ω(E ∩ F+), und daraus folgt, dassF− ∪ C ∈ C mit ω(F− ∩ C) = ω(F−) + ω(C) ≤ ω(F−) + ω(E ∩ F+) < ω(F−).Dies ist ein Widerspruch, und damit gilt ω(E ∩ F+) ≥ 0 fur alle E ∈ E .

Sei ω+, ω− : E → R+ die durch ω+(E) = ω(E ∩ F+) und ω−(E) = −ω(E ∩ F−)definierten Abbildungen. Dann sieht man leicht, dass ω+ und ω− endliche Maßeauf E sind, und fur alle E ∈ E gilt

ω(E) = ω((E ∩ F+) ∪ (E ∩ F−)) = ω(E ∩ F+) + ω(E ∩ F−) = ω+(E)− ω−(E) ;


d.h., ω = ω+ − ω−.

Das folgende Lemma wird im Beweis fur den Satz von Radon-Nikodym benotigt:

Lemma 9.3 Seien µ, ν endliche Maße auf E mit µ(X) > 0 und ν(X) > 0. Danngibt es ein F ∈ E mit ν(F ) > 0 und δ > 0, so dass ν(E ∩ F ) ≥ δµ(E ∩ F ) furalle E ∈ E .

Beweis Wahle δ mit 0 < δ < ν(X)/µ(X); dann ist ω = ν − δµ ein endlichessigniertes Maß und also gibt es nach Satz 9.1 F+, F− ∈ E mit X = F+∪F− undF+ ∩ F− = ∅, so dass ω(E ∩ F+) ≥ 0 und ω(E ∩ F−) ≤ 0 fur alle E ∈ E . SetzeF = F+; dann gilt ν(E ∩ F ) ≥ δµ(E ∩ F ) und ν(E \ F ) ≤ δµ(E \ F ) fur alleE ∈ E . Insbesondere ist dann

ν(F ) = ν(X) − ν(X \ F ) ≥ ν(X) − δµ(X \ F ) ≥ ν(X) − δµ(X) > 0 .

10 Der Satz von Radon-Nikodym

Im Folgenden sei (X, E , µ) ein Maßraum und sei ν ein weiteres Maß auf E . Bisauf Weiteres wird angenommen, dass µ und ν beide endlich sind, d.h., es giltµ(X) <∞ und ν(X) <∞.

Erinnerung: Das Maß ν heißt absolut stetig bezuglich µ, wenn es zu jedem ε > 0ein δ > 0 gibt, so dass ν(E) < ε fur alle E ∈ E mit µ(E) < δ.

Nun heißt ν schwach absolut stetig bezuglich µ, wenn ν(E) = 0 fur jedes E ∈ Emit µ(E) = 0, und in diesem Fall schreibt man ν ≪ µ.

Lemma 10.1 Es gilt ν ≪ µ genau dann, wenn ν absolut stetig bezuglich µ ist.

Beweis Ubung.

Satz 10.1 (Satz von Radon-Nikodym fur endliche Maße) Es sei ν ≪ µ.Dann gibt es ein f ∈ L1

+(X, E , µ), so dass ν(E) =∫Ef dµ fur alle E ∈ E . Dieses

Element f ist µ-fast uberall eindeutig: Ist g ∈ L1(X, E , µ) mit ν(E) =∫Eg dµ fur

alle E ∈ E , so ist dann g = f µ-fast uberall.

Beweis Man betrachte die Menge

U =g ∈ M+

∞(X, E) : Iµ(gχE) ≤ ν(E) fur alle E ∈ E

;

also ist U 6= ∅, da 0 ∈ U . Seien g, h ∈ U und sei A = x ∈ X : g(x) ≥ h(x); furjedes E ∈ E gilt

Iµ((g ∨ h)χE) = Iµ(gχE∩A) + Iµ(hχE\A) ≤ ν(E ∩A) + ν(E \ A) = ν(E) .

Dies zeigt, dass g ∨ h ∈ U fur alle g, h ∈ U .

Sei α = supIµ(g) : g ∈ U; da Iµ(g) ≤ ν(X) fur alle g ∈ U , ist α ≤ ν(X) < ∞.Fur jedes n ≥ 1 wahle gn ∈ U mit Iµ(gn) ≥ α − 1/n und sei hn = g1 ∨ · · · ∨ gn;also ist hn ∈ U . Nun ist hnn≥1 ist eine monoton wachsende Folge aus M+

∞(X, E)mit α− 1/n ≤ Iµ(gn) ≤ Iµ(hn) ≤ α fur jedes n ≥ 1. Setze h = limn→∞ hn; dannist h ∈ M+

∞(X, E) und nach Satz 6.1 ist Iµ(h) = limn→∞ Iµ(hn) = α.

In der Tat ist h ∈ U : Sei E ∈ E ; dann ist hnχEn≥1 eine monoton wachsendeFolge aus M+

∞(X, E), die gegen hχE konvergiert und folglich ist nach Satz 6.1Iµ(hχE) = limn→∞ Iµ(hnχE). Fur jedes n ≥ 1 ist aber Iµ(hnχE) ≤ ν(E), dahn ∈ U , und damit ist auch Iµ(hχE) ≤ ν(E).

Es wird nun gezeigt, dass Iµ(hχE) = ν(E) fur alle E ∈ E . Nehme also an, dassdies nicht der Fall ist. Da h ∈ U , gibt es dann ein D ∈ E mit Iµ(hχD) < ν(D).

59


Insbesondere ist ν(D) > 0 und daher ist auch µ(D) > 0, da ν ≪ µ. Definiereµ′, ν ′ : E → R+ durch µ′(E) = µ(E ∩ D) und ν ′(E) = ν(E ∩ D) − Iµ(hχE∩D)fur alle E ∈ E (und man merke, dass ν ′(E) ≥ 0, da h ∈ U). Dann sieht manleicht (mit Hilfe von Satz 6.6 (1) im Fall von ν ′), dass µ′ und ν ′ endliche Maßesind, und es gilt ν ′ ≪ µ′: Ist E ∈ E mit µ′(E) = 0, so ist µ(E ∩ D) = 0; damitist ν(E ∩ D) = 0 (da ν ≪ µ) und Iµ(hχE∩D) = 0 (da h ∈ U), d.h., ν ′(E) = 0.Ferner ist µ′(X) = µ(D) > 0 und ν ′(X) = ν(D)− Iµ(hχD) > 0. Nach Lemma 9.3(angewendet auf µ′ und ν ′) gibt es nun ein F ∈ E mit ν ′(F ) > 0 und ein δ > 0, sodass ν ′(E ∩ F ) ≥ δµ′(E ∩ F ) fur alle E ∈ E , und da ν ′ ≪ µ′, ist auch µ′(F ) > 0.Setze h′ = h + δχD∩F ; dann ist h′ ∈ M+

∞(X, E) und fur jedes E ∈ E gilt

Iµ(h′χE) = Iµ(hχE) + δµ(E ∩D ∩ F ) = Iµ(hχE) + δµ′(E ∩ F )

≤ Iµ(hχE) + ν ′(E ∩ F ) = Iµ(hχE) + ν(E ∩D ∩ F ) − Iµ(hχE∩D∩F )

= Iµ(hχE\(D∩F )) + ν(E ∩D ∩ F ) ≤ ν(E \ (D ∩ F )) + ν(E ∩D ∩ F )

= ν(E) .

Damit ist h′ ∈ U . Dies ist aber ein Widerspruch, da

Iµ(h′) = Iµ(h) + δµ(D ∩ F ) = α + δµ′(F ) > α .

Daraus ergibt sich, dass Iµ(hχE) = ν(E) fur alle E ∈ E .

Setze nun f = hχA, wobei A = x ∈ X : h(x) < ∞; dann ist f ∈ M+(X, E).Da Iµ(h) = ν(X) < ∞, ist nach Satz 6.3 (3) µ(X \ A) = 0, und daraus folgtnach Lemma 6.5, dass Iµ(fχE) = Iµ(hχEχA) = Iµ(hχE) = ν(E) fur alle E ∈ E .Insbesondere ist Iµ(f) = ν(X) < ∞, damit ist f ∈ L1

+(X, E , µ) und fur alleE ∈ E ist

∫Ef dµ = Iµ(fχE) = ν(E).

Die Eindeutigkeit von f folgt unmittelbar aus Lemma 7.3.

Das Element f ∈ L1+(X, E , µ) in Satz 10.1 heißt die Radon-Nikodym-Dichte (oder

einfach die Dichte) von ν bezuglich µ.

Maße τ1, τ2 auf E heißen paarweise singular, und man schreibt τ1 ⊥ τ2, wenn esE1, E2 ∈ E mit X = E1 ∪E2 und E1 ∩E2 = ∅ gibt, so dass τ1(E1) = τ2(E2) = 0.

Satz 10.2 Es gibt endliche Maße ν1, ν2 auf E , so dass ν = ν1 + ν2, ν1 ≪ µ undν2 ⊥ µ. Ferner ist diese Zerlegung eindeutig: Sind ν ′1, ν

′2 weitere Maße auf E mit

ν = ν ′1 + ν ′2, ν′1 ≪ µ und ν ′2 ⊥ µ, so ist ν ′1 = ν1 und ν ′2 = ν2.

Beweis Sei τ = µ + ν; dann ist τ ein endliches Maß auf E mit µ ≪ τ . Folglichgibt es nach Satz 10.1 ein f ∈ L1

+(X, E , τ), so dass µ(E) =∫Ef dτ fur alle E ∈ E .

Setze D1 = x ∈ X : f(x) > 0 und D2 = x ∈ X : f(x) = 0, und definiereν1, ν2 : E → R+ durch ν1(E) = ν(E ∩D1) und ν2(E) = ν(E ∩D2) fur alle E ∈ E .Dann sind ν1 und ν2 endliche Maße auf E mit ν = ν1 + ν2.


Nun ist X = D1 ∪ D2, D1 ∩ D2 = ∅, ν2(D1) = ν(D1 ∩ D2) = ν(∅) = 0 undµ(D2) =

∫D2f dτ =

∫0 dτ = 0, und damit ist ν2 ⊥ µ.

Sei nun E ∈ E mit µ(E) = 0. Fur jedes n ≥ 1 sei En = x ∈ E : f(x) ≥ 1/n;dann ist Enn≥1 eine monoton wachsende Folge aus E mit E ∩ D1 =

⋃n≥1En,

und daraus folgt nach Lemma 1.5 (1), dass ν1(E) = ν(E ∩D1) = limn→∞ ν(En).Fur jedes n ≥ 1 ist aber

ν(En) ≤ τ(En) =

∫χEn

dτ ≤

∫nfχE dµ = n

∫

E

f dµ = nµ(E) = 0 ,

und damit ist ν1(E) = 0. Dies zeigt, dass ν1 ≪ µ.

Zur Eindeutigkeit: Seien ν ′1, ν′2 weitere Maße auf E mit ν = ν ′1 + ν ′2, ν

′1 ≪ µ

und ν ′2 ⊥ µ (und da ν ′1(X) + ν ′2(X) = ν(X) < ∞, sind ν1 und ν2 endlich). Daν2 ⊥ µ und ν ′2 ⊥ µ, gibt es E1, E2, E

′1, E

′2 ∈ E mit X = E1 ∪ E2 = E ′1 ∪ E ′2

und E1 ∩ E2 = E ′1 ∩ E ′2 = ∅, so dass µ(E1) = µ(E ′1) = ν2(E2) = ν ′2(E′2) = 0.

Setze F1 = E1 ∪ E ′1 und F2 = E2 ∩ E ′2; dann ist X = F1 ∪ F2, F1 ∩ F2 = ∅ undµ(F1) = ν2(F2) = ν ′2(F2) = 0. Da ν1 ≪ µ und ν ′1 ≪ µ, gibt es nach Satz 10.1f, f ′ ∈ L1

+(X, E , µ) so dass ν1(E) =∫Ef dµ und ν ′1(E) =

∫Ef ′ dµ fur alle E ∈ E ,

und da µ(X \ F2) = µ(F1) = 0, folgt dann aus Lemma 6.5, dass

ν1(E) =

∫

E

f dµ =

∫

E∩F2

f dµ = ν1(E ∩ F2) = ν1(E ∩ F2) + ν2(E ∩ F2)

= ν(E ∩ F2)

= ν ′1(E ∩ F2) + ν ′2(E ∩ F2) = ν ′1(E ∩ F2) =

∫

E∩F2

f ′ dµ =

∫

E

f ′ dµ

= ν ′1(E)

fur alle E ∈ E , d.h., ν ′1 = ν1. Damit ist auch ν ′2 = ν2, da

ν2(E) = ν(E) − ν1(E) = ν(E) − ν ′1(E) = ν ′2(E) .

Die in Satz 10.2 angegebene Aufteilung von ν als Summe von ν1 und ν2 heißtLebesguesche Zerlegung von ν bezuglich µ. Der Beweis fur Satz 10.2 zeigt, dassdiese Zerlegung eine sehr einfache Form hat: Es gibt namlich D1, D2 ∈ E mitX = D1∪D2 und D1∩D2 = ∅, so dass ν1(E) = ν(E∩D1) und ν2(E) = ν(E∩D2)fur alle E ∈ E .

Nehme nun an, dass die Maße µ und ν σ-endlich sind. Genauso wie fur endlicheMaße heißt ν schwach absolut stetig bezuglich µ, wenn ν(E) = 0 fur jedes E ∈ Emit µ(E) = 0, und wieder schreibt man dann ν ≪ µ. Ist ν absolut stetig bezuglichµ, so ist es klar, dass ν ≪ µ. Die Umkehrung ist aber im Allgemeinen falsch, wenndie Maße nicht endlich sind.

Folgendes Ergebnis ist der Satz von Radon-Nikodym fur σ-endliche Maße:


Satz 10.3 Sei ν ≪ µ. Dann gibt es ein f ∈ M+(X, E) mit fχE ∈ L1+(X, E , µ)

und ν(E) =∫Ef dµ fur alle E ∈ E mit ν(E) < ∞. Dieses Element f ist µ-fast

uberall eindeutig: Ist g ∈ M+(X, E) mit gχE ∈ L1(X, E , µ) und ν(E) =∫Eg dµ

fur alle E ∈ E mit ν(E) <∞, so ist g = f µ-fast uberall.

Beweis Da µ und ν σ-endlich sind, gibt es Folgen Cnn≥1, Dnn≥1 paarweisedisjunkter Elemente aus E mit X =

⋃∞n=1Cn =

⋃∞n=1Dn und µ(Cn) < ∞ und

ν(Dn) < ∞ fur alle n ≥ 1. Sei Bnn≥1 eine Aufzahlung der Elemente in derDoppelfolge Cℓ∩Dmℓ≥1,m≥1. Dann ist Bnn≥1 eine Folge paarweise disjunkterElemente aus E mit X =

⋃∞n=1Bn mit µ(Bn) < ∞ und ν(Bn) < ∞ fur alle

n ≥ 1. Fur jedes n ≥ 1 definiere nun µn, νn : E → R+ durch µn(E) = µ(E ∩ Bn)und νn(E) = ν(E ∩ Bn). Dann sind µn und νn endliche Maße mit µn ≪ νn.(Ist νn(E) = 0, so ist ν(E ∩ Bn) = 0 und damit µn(E) = µ(E ∩ Bn) = 0, daµ≪ ν.) Nach Satz 10.1 gibt es also fur jedes n ≥ 1 ein fn ∈ L1

+(X, E , νn), so dassµn(E) =

∫Efn dνn fur alle E ∈ E . Definiere f : X → R durch f(x) = fn(x) fur

alle x ∈ Bn, n ≥ 1; also ist f =∑∞

n=1 fnχBnund insbesondere ist f ∈ M+(X, E).

Sei E ∈ E mit ν(E) < ∞ und fur jedes n ≥ 1 setze En = E ∩⋃nk=1Bk; dann

ist Enn≥1 eine monoton wachsende Folge aus E mit E =⋃∞n=1En, und daraus

ergibt sich nach Lemma 5.1 (1), dass ν(E) = limn→∞ ν(En). Aber

ν(En) =n∑

k=1

ν(E ∩ Bk) =n∑

k=1

νk(E) =n∑

k=1

∫

E

fk dµk

=n∑

k=1

∫

E∩Bk

fk dµ =

∫

E

n∑

k=1

fkχBkdµ =

∫gn dµ ,

wobei gn = (∑n

k=1 fkχBk)χE , und gnn≥1 ist eine monoton wachsende Folge, die

gegen fχE konvergiert. Folglich ist nach Satz 7.2 fχE ∈ L1+(X, E , ν) und es gilt

ν(E) = limn→∞

ν(En) = limn→∞

∫

E

f dµ =

∫fχE dµ =

∫

E

f dµ .

Der Beweis fur die Eindeutigkeit ist zur Ubung uberlassen.

Folgendes Ergebnis ist der Lebesguesche Zerlegungssatz fur σ-endliche Maße:

Satz 10.4 Es gibt Maße ν1, ν2 auf E , so dass ν = ν1 + ν2, ν1 ≪ µ und ν2 ⊥ µ,und diese Zerlegung eindeutig: Sind ν ′1, ν

′2 weitere Maße auf E mit ν = ν ′1 + ν ′2,

ν ′1 ≪ µ und ν ′2 ⊥ µ, so ist ν ′1 = ν1 und ν ′2 = ν2.

Beweis Ubung.

Die in Satz 10.4 angegebene Aufteilung von ν als Summe von ν1 und ν2 heißtLebesguesche Zerlegung von ν bezuglich µ. Wie in Satz 10.2 hat diese Zerlegung


eine sehr einfache Form: Es gibt namlich D1, D2 ∈ E mit X = D1 ∪ D2 undD1 ∩D2 = ∅, so dass ν1(E) = ν(E ∩D1) und ν2(E) = ν(E ∩D2) fur alle E ∈ E .

In Kapitel 11 wird ein Satz von Radon-Nikodym fur ein endliches signiertes Maßbenotigt. Sei wieder µ endlich und sei ω : E → R ein endliches signiertes Maß.Dann heißt ω schwach absolut stetig bezuglich µ, wenn ω(E) = 0 fur jedes E ∈ Emit µ(E) = 0, und wieder schreibt man ω ≪ µ.

Satz 10.5 Sei ω ≪ µ. Dann gibt es ein f ∈ L1(X, E , µ), so dass ω(E) =∫Ef dµ

fur alle E ∈ E . Dieses Element f ist µ-fast uberall eindeutig: Ist g ∈ L1(X, E , µ)mit ω(E) =

∫Eg dµ fur alle E ∈ E , so ist dann g = f µ-fast uberall.

Beweis Nach Satz 9.1 gibt es F+, F− ∈ E mit X = F+ ∪F− und F+ ∩F− = ∅,so dass ω(E ∩ F+) ≥ 0 und ω(E ∩ F−) ≤ 0 fur alle E ∈ E . Ferner sind dieAbbildungen ω+, ω− : E → R+, die definiert sind durch ω+(E) = ω(E∩F+) undω−(E) = −ω(E ∩F−) fur alle E ∈ E , endliche Maße auf E mit ω = ω+ − ω−. IstE ∈ E mit µ(E) = 0, so ist µ(E ∩ F+) = 0 und damit ω+(E) = ω(E ∩ F+) = 0,da ω ≪ µ. Folglich ist ω+ ≪ µ und genauso ist ω− ≪ µ. Nach Satz 10.1 gibtes also f1, f2 ∈ L1(X, E , µ), so dass ω+(E) =

∫Eg1 dµ und ω−(E) =

∫Eg2 dµ fur

alle E ∈ E . Setze f = f1 − f2; dann ist f ∈ L1(X, E , µ) und es gilt

ω(E) = ω+(E) − ω−(E) =

∫

E

f1 dµ−

∫

E

f2 dµ =

∫

E

(f1 − f2) dµ =

∫

E

f dµ

fur alle E ∈ E . Genauso wie im Beweis fur Satz 10.1 folgt die Eindeutigkeitunmittelbar aus Lemma 7.3.

Eine σ-Algebra F mit F ⊂ E heißt Unter-σ-Algebra von E . Zu jeder Unter-σ-Algebra gibt es eine zugehorige bedingte Erwartung, deren Existenz, die jetztfestgestellt wird, eine wichtige Anwendung des Satzes von Radon-Nikodym ist.

Im Folgenden sei F eine Unter-σ-Algebra von E . Ist B ⊂ P(Y ) eine σ-Algebra,so ist jede F|B-messbare Abbildung f : X → Y offensichtlich auch E|B-messbar.Insbesondere ist M(X,F) ⊂ M(X, E) und M+

∞(X,F) ⊂ M+∞(X, E).

Sei nun µ ein beliebiges Maß auf E und sei µ′ die Einschrankung von µ auf F ;also ist µ′ ein Maß auf F .

Lemma 10.2 (1) Fur jedes f ∈ M+∞(X,F) ist Iµ′(f) = Iµ(f).

(2) Sei f ∈ M(X,F); dann ist f µ′-integrierbar genau, wenn f µ-integrierbar ist(als Element von M(X, E)) und in diesem Fall ist

∫f dµ′ =

∫f dµ.


Beweis (1) Dies folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass Iµ′(f) = Iµ(f) fur jedesf ∈ E+(X,F).

(2) Dies folgt aus (1).

Nach Lemma 10.2 (2) ist M(X,F) ∩ L1(X, E , µ) = L1(X,F , µ′). Im Folgendenwird angenommen, dass das Maß µ endlich ist.

Satz 10.6 Zu jedem f ∈ L1(X, E , µ) gibt es ein g ∈ M(X,F) ∩ L1(X, E , µ), sodass

∫Fg dµ =

∫Ff dµ fur alle F ∈ F . Ferner ist g µ-fast uberall eindeutig: Ist

g′ ∈ M(X,F) ∩ L1(X, E , µ) mit∫Fg′ dµ =

∫Ff dµ fur alle F ∈ F , so ist g′ = g

µ-fast uberall.

Beweis Nehme zunachst an, dass f ∈ L1+(X, E , µ) und definiere ν : F → R+

durch ν(F ) =∫Ff dµ fur alle F ∈ F . Dann ist ν ein endliches Maß auf F und

ν ≪ µ′, wobei µ′ wieder die Einschrankung von µ auf F ist. (Ist F ∈ F mitµ′(F ) = 0, so ist µ(F ) = 0 und damit ν(F ) =

∫Ff dµ = 0.) Nach Satz 10.1 gibt

es also ein g ∈ L1+(X,F , µ′), so dass ν(F ) =

∫Fg dµ′ fur alle F ∈ F . Daraus

ergibt sich nach Lemma 10.2 (2), dass g ∈ M(X,F) ∩ L1(X, E , µ) und fur alleF ∈ F ∫

F

g dµ =

∫gχF dµ =

∫gχF dµ

′ =

∫

F

g dµ′ = ν(F ) =

∫

F

f dµ .

Sei nun f ∈ L1(X, E , µ); dann gibt es g1, g2 ∈ M(X,F) ∩ L1(X, E , µ), so dass∫Fg1 dµ =

∫Ff+ dµ und

∫Fg2 dµ =

∫Ff− dµ fur alle F ∈ F . Setze g = g1 − g2;

dann ist g ∈ M(X,F) ∩ L1(X, E , µ) und es gilt∫

F

g dµ =

∫

F

g1 dµ−

∫

F

g2 dµ =

∫

F

f+ dµ−

∫

F

f− dµ =

∫

F

f dµ

fur alle F ∈ F .

Zur Eindeutigkeit von g: Sei g′ ∈ M(X,F) ∩ L1(X, E , µ) mit∫Fg′ dµ =

∫Ff dµ

fur alle F ∈ F . Dann ist nach Lemma 10.2 (2)∫

F

g′ dµ′ =

∫

F

g′ dµ =

∫

F

f dµ =

∫

F

g dµ =

∫

F

g dµ′

fur alle F ∈ F , und daraus folgt nach Lemma 7.3, dass g′ = g µ′-fast uberall.Damit ist auch g′ = g µ-fast uberall.

Das Maß µ heißt Wahrscheinlichkeitsmaß oder W-Maß, wenn µ(X) = 1. Ist µein W-Maß, so heißt (X, E , µ) Wahrscheinlichkeitsraum oder W-Raum.

Sei (X, E , µ) ein W-Raum und F eine Unter-σ-Algebra von E . Nach Satz 10.6gibt es zu jedem f ∈ L1(X, E , µ) ein Element Eµ(f |F) ∈ M(X,F) ∩ L1(X, E , µ),so dass

∫F

Eµ(f |F) dµ =∫Ff dµ fur alle F ∈ F ; ferner ist Eµ(f |F) µ-fast uberall

eindeutig. Eµ(f |F) heißt die bedingte Erwartung von f bezuglich F .

Fur E ∈ E heißt Eµ(χE|F) die bedingte Wahrscheinlichkeit von E bezuglich F .

11 Das Integral als Halbnorm

Im Folgenden sei (X, E , µ) ein Maßraum. Fur jedes p ∈ R mit 1 < p <∞ sei nun

Lp(X, E , µ) = f ∈ M(X, E) : |f |p ∈ L1(X, E , µ)

und fur p ∈ R mit 1 ≤ p <∞ definiere ‖ · ‖p : Lp(X, E , µ) → R durch

‖f‖p =

(∫|f |p dµ

)1/p

.

Insbesondere ist ‖f‖1 =∫|f | dµ fur jedes f ∈ L1(X, E , µ). Im Folgenden sei

p ∈ R mit 1 ≤ p <∞.

Lemma 11.1 Sei f ∈ Lp(X, E , µ).

(1) Es gilt ‖f‖p = 0 genau dann, wenn f = 0 µ-fast uberall.

(2) Fur jedes a ∈ R ist af ∈ Lp(X, E , µ) und ‖af‖p = |a|‖f‖p.

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Satz 6.3 (1) und Satz 6.4.

Satz 11.1 (Minkowskische Ungleichung) Fur alle f, g ∈ Lp(X, E , µ) ist dieSumme f + g in Lp(X, E , µ) und es gilt ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Beweis Sei : R+ → R gegeben durch (t) = tp; dann ist ′′(t) ≥ 0 fur allet ∈ R+ und folglich ist konvex: Es gilt (tx+ (1− t)y)p ≤ txp + (1− t)yp fur allex, y ∈ R+ und alle t ∈ [0, 1].

Ist ‖f‖p = 0, so ist f = 0 µ-fast uberall und damit f + g = g µ-fast uberall.Folglich ist f + g ∈ Lp(X, E , µ) und ‖f + g‖p = ‖g‖p = ‖f‖p + ‖g‖p. Die analogeAussage gilt naturlich auch, wenn ‖g‖p = 0. Es kann also angenommen werden,dass ‖f‖p > 0 und ‖g‖p > 0.

Setze t = ‖f‖p/(‖f‖p + ‖g‖p), damit ist 1 − t = ‖g‖p/(‖f‖p + ‖g‖p). Dann ist

|f + g|p ≤ (|f | + |g|)p

= (‖f‖p + ‖g‖p)p

(‖f‖p

‖f‖p + ‖g‖p·

|f |

‖f‖p+

‖g‖p‖f‖p + ‖g‖p

·|g|

‖g‖p

)p

= (‖f‖p + ‖g‖p)p

(t|f |

‖f‖p+ (1 − t)

|g|

‖g‖p

)p

≤ (‖f‖p + ‖g‖p)p

(t

(|f |

‖f‖p

)p+ (1 − t)

(|g|

‖g‖p

)p).

65


Daraus ergibt sich, dass |f + g|p ∈ L1(X, E , µ) und

∫|f + g|p dµ ≤ (‖f‖p + ‖g‖p)

p

(t

∫ (|f |

‖f‖p

)pdµ+ (1 − t)

∫ (|g|

‖g‖p

)pdµ

)

= (‖f‖p + ‖g‖p)p(t+ (1 − t)) = (‖f‖p + ‖g‖p)

p .

Daher ist f + g ∈ Lp(X, E , µ) und ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.

Nach Satz 11.1 und Lemma 11.1 (2) ist Lp(X, E , µ) ein Untervektorraum vonM(X, E) und wird als solcher als reeller Vektorraum betrachtet.

Lemma 11.2 Fur jedes f ∈ Lp(X, E , µ) und jedes δ > 0 ist

µ(x ∈ X : |f(x)| > δ) ≤

(1

δ‖f‖p

)p.

Beweis Setze E = x ∈ X : |f(x)| > δ; dann ist

‖f‖pp =

∫|f |p dµ ≥

∫δpχE dµ = δpµ(E)

und damit ist µ(E) ≤ (‖f‖p/δ)p.

Sei V ein K-Vektorraum (mit K entweder R oder C). Dann heißt eine Abbildung‖ · ‖ : V → R+ Halbnorm, wenn folgendes gilt:

(1) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ fur alle x ∈ V , λ ∈ K (und insbesondere ist ‖0‖ = 0).

(2) (Dreiecksungleichung) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ fur alle x, y ∈ V .

Ein halbnormierter K-Vektorraum (oder einfach halbnormierter Vektorraum) istein Paar (V, ‖ · ‖) bestehend aus einem K-Vektorraum V und einer Halbnorm‖ · ‖. Insbesondere ist nach Satz 11.1 und Lemma 11.1 (2) (Lp(X, E , µ), ‖ · ‖p) einhalbnormierter Vektorraum.

Im Folgenden sei (V, ‖ · ‖) ein halbnormierter Vektorraum. Eine Folge xnn≥raus V heißt konvergent gegen x ∈ V , falls es zu jedem ε > 0 ein N ≥ r gibt, sodass ‖xn − x‖ < ε fur alle n ≥ N .

Lemma 11.3 Sei xnn≥r eine Folge aus V und seien x, x′ ∈ V . Konvergiertxnn≥r gegen x und gegen x′, so ist ‖x′ − x‖ = 0.


Beweis Sei ε > 0; da xnn≥r gegen x und gegen x′ konvergiert, gibt esN, N ′ ≥ r,so dass ‖xn − x‖ < ε/2 fur alle n ≥ N und ‖xn − x′‖ < ε/2 fur alle n ≥ N ′. FurM = maxN,N ′ ist dann

‖x′ − x‖ = ‖x′ − xM + xM − x‖ ≤ ‖x′ − xM‖ + ‖xM − x‖

= ‖xM − x′‖ + ‖xM − x‖ < ε/2 + ε/2 = ε ,

und dies zeigt, dass ‖x′ − x‖ < ε fur alle ε > 0. Folglich ist ‖x′ − x‖ = 0.

Eine Folge aus V heißt konvergent, wenn sie konvergent gegen mindestens einElement von V ist. Eine Folge xnn≥r aus V heißt Cauchy-Folge, wenn es zujedem ε > 0 ein N ≥ r gibt, so dass ‖xm − xn‖ < ε fur alle m, n ≥ N .

Lemma 11.4 Jede konvergente Folge aus V ist eine Cauchy-Folge.

Beweis Sei xnn≥r eine konvergente Folge aus V , es gibt also ein x ∈ V , sodass xnn≥r gegen x konvergiert. Sei ε > 0. Dann gibt es ein N ≥ r, so dass‖xn − x‖ < ε/2 fur alle n ≥ N . Also gilt

‖xn − xm‖ = ‖xn − x+ x− xm‖ ≤ ‖xn − x‖ + ‖x− xm‖

= ‖xn − x‖ + ‖xm − x‖ < ε/2 + ε/2 = ε

fur alle m, n ≥ N , und dies zeigt, dass xnn≥r eine Cauchy-Folge ist.

Lemma 11.5 Jede Cauchy-Folge xnn≥r aus V ist beschrankt: Es gibt c ∈ R+,so dass ‖xn‖ ≤ c fur jedes n ≥ r.

Beweis Es gibt ein N ≥ r, so dass ‖xm−xn‖ < 1 fur alle m, n ≥ N , und darausfolgt, dass ‖xn‖ ≤ 1 + ‖xN‖ fur alle n ≥ N . Sei c = 1 + ‖xr‖ + · · ·+ ‖xN‖; dannist ‖xn‖ ≤ c fur alle n ≥ r.

Wenn jede Cauchy-Folge in V konvergiert, so heißt der halbnormierte VektorraumV vollstandig.

Satz 11.2 Der halbnormierte Vektorraum (Lp(X, E , µ), ‖ · ‖p) ist vollstandig.

Beweis Sei fnn≥r eine Cauchy-Folge aus Lp(X, E , µ). Zu jedem ε > 0 undjedem δ > 0 gibt es also ein N ≥ r, so dass ‖fk−fm‖p < ε1/pδ fur alle k, m ≥ N .Daraus folgt nach Lemma 11.2, dass fur alle k, m ≥ N

µ(x ∈ X : |fk(x) − fm(x)| > δ) ≤

(1

δ‖fk − fm‖p

)p< ε ,


und dies zeigt, dass fnn≥r eine Cauchy-Folge in µ-Maß ist. Nach Satz 5.8 gibtes daher eine Teilfolge nkk≥1, ein F ∈ E mit µ(F ) = 0 und ein f ∈ M(X, E),so dass f = lim

k→∞fnk

χX\F . Nach Lemma 11.5 ist dann

lim infk→∞

∫|fnk

|pχX\F dµ = lim infk→∞

∫|fnk

|p dµ = lim infk→∞

‖fnk‖pp <∞ ,

und daraus ergibt sich nach dem Lemma von Fatou, dass |f |p ∈ L1+(X, E , µ), d.h.,

f ∈ Lp(X, E , µ). Wieder nach dem Lemma von Fatou gilt nun fur alle n ≥ r, dass

‖fn − f‖pp =

∫|fn − f |p dµ =

∫limk→∞

|fn − fnkχX\F |

p dµ

=

∫limk→∞

|fn − fnk|p dµ ≤ lim inf

k→∞

∫|fn − fnk

|p dµ = lim infk→∞

‖fn − fnk‖pp

und damit ist limn→∞

‖fn − f‖p = 0, da fnn≥q eine Cauchy-Folge ist.

Es gibt einen vernunftigen Kandidaten fur Lp(X, E , µ) mit p = ∞. Ein Elementf ∈ M(X, E) heißt im Wesentlichen µ-beschrankt, wenn es N ∈ R+ gibt, so dassµ(x ∈ X : |f(x)| > N |) = 0. Die Menge aller im Wesentlichen µ-beschranktenElemente in M(X, E) wird mit L∞(X, E , µ) bezeichnet. Es ist sofort klar, dassL∞(X, E , µ) ein Untervektorraum von M(X, E) ist und wird als solcher als reellerVektorraum betrachtet. Definiere ‖ · ‖∞ : L∞(X, E , µ) → R+ durch

‖f‖∞ = infN ∈ R+ : µ(x ∈ X : |f(x)| > N) = 0 .

Man sieht leicht, dass ‖ ·‖∞ eine Halbnorm ist. Ferner gilt ‖f‖∞ = 0 genau dann,wenn f = 0 µ-fast uberall.

Lemma 11.6 Fur jedes f ∈ L∞(X, E , µ) ist µ(x ∈ X : |f(x)| > ‖f‖∞) = 0und damit gilt µ(x ∈ X : |f(x)| > N) = 0 genau dann, wenn N ≥ ‖f‖∞.

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Lemma 1.5 (1), da

x ∈ X : |f(x)| > ‖f‖∞ =

∞⋃

n=1

x ∈ X : |f(x)| > ‖f‖∞ + 1/n

und µ(x ∈ X : |f(x)| > ‖f‖∞ + 1/n) = 0 fur jedes n ≥ 1.

Satz 11.3 Der halbnormierte Vektorraum (L∞(X, E , µ), ‖ · ‖∞) ist vollstandig.


Beweis Sei fnn≥r eine Cauchy-Folge aus L∞(X, E , µ), fur jedes m, n ≥ r sei

Em,n = x ∈ X : |fm(x) − fn(x)| > ‖fn − fm‖∞

und setze E =⋃∞m=1

⋃∞n=1Em,n. Nach Lemma 11.6 ist µ(Em,n) = 0 fur alle

m, n ≥ r und damit ist µ(E) = 0. Sei x ∈ X \ E; fur alle m, n ≥ r ist dann|fm(x) − fn(x)| ≤ ‖fm − fn‖∞ und folglich ist fn(x)n≥r eine Cauchy-Folge (inR). Definiere f : X → R durch

f(x) =

limn→∞

fn(x) falls x ∈ X \ E,

0 falls x ∈ E;

also ist f ∈ M(X, E). Fur jedes x ∈ X \ E, n ≥ r, ist nun

|fn(x) − f(x)| = limm→∞

|fn(x) − fm(x)| ≤ lim infm→∞

‖fn − fm‖∞

und insbesondere ist |f(x)| ≤ |fr(x)|+lim infm→∞ ‖fn−fm‖∞ fur alle x ∈ X \E.Damit ist f ∈ L∞(X, E , µ). Ferner ist ‖fn − f‖∞ ≤ lim infm→∞ ‖fn − fm‖∞ furjedes n ≥ r und daher ist lim

n→∞‖fn − f‖∞ = 0.

Satz 11.4 (Holdersche Ungleichung) Sei q ∈ R+∞ mit 1/p + 1/q = 1 (also

ist q = ∞, falls p = 1). Fur alle f ∈ Lp(X, E , µ), g ∈ Lq(X, E , µ) ist dann dasProdukt fg in L1(X, E , µ) und es gilt

∣∣∣∣∫fg dµ

∣∣∣∣ ≤ ‖f‖p‖g‖q .

Beweis Nehme zunachst an, dass p > 1 (und damit q < ∞). Fur alle s, t ∈ R+

gilt dann st ≤ sp/p + tq/q. (Dies war ein Teil von Aufgabe 46, Analysis II.) Esgilt deshalb |fg| ≤ |f |p/p + |g|q/q und daher ist fg ∈ L1(X, E , µ). Ist ‖f‖p = 0oder ‖g‖q = 0, so ist |

∫fg dµ ≤

∫|fg| dµ = 0, da fg = 0 µ-fast uberall, und in

diesem Fall ist |∫fg dµ| ≤ ‖f‖p‖g‖q trivial richtig. Es kann also angenommen

werden, dass ‖f‖p > 0 und ‖g‖q > 0. Nun ist

|f |

‖f‖p·

|g|

‖g‖q≤

1

p·|f |p

‖f‖pp+

1

q·|g|q

‖g‖qq

und daraus ergibt sich, dass∫

|f |

‖f‖p·

|g|

‖g‖qdµ ≤

1

p

∫|f |p

‖f‖ppdµ+

1

q

∫|g|q

‖g‖qqdµ =

1

p+

1

q= 1 ;

d.h.,∫|fg| dµ ≤ ‖f‖p‖g‖q. Folglich ist nach Lemma 7.2


∣∣∣∣ ≤∫

|fg| dµ ≤ ‖f‖p‖g‖q .


Der Fall mit p = 1 und q = ∞ muss noch behandelt werden. Nach Lemma 11.3ist µ(X \ E) = 0, wobei E = x ∈ X : |g(x)| ≤ ‖g‖∞, und |fg|χE ≤ ‖g‖∞|f |;daraus folgt nach Lemma 6.5, dass fg ∈ L1(X, E , µ) und


∣∣∣∣ ≤∫

|fg| dµ =

∫|fg|χE dµ ≤ ‖g‖∞

∫|f | dµ = ‖f‖1‖g‖∞ .

Es wird nun als Nachstes gezeigt, wie man aus dem halbnormierten Vektorraum(V, ‖ · ‖) einen normierten Vektorraum konstruiert.

Erinnerung aus Linearer Algebra: Sei U ein Untervektorraum von V . Dann gibtes den Quotientenraum V/U (zusammen mit dem kanonischen Homomorphismusπ : V → V/U) und es gibt eine Standard-Realisierung von V/U : Sei ∼ dieAquivalenzrelation auf V , die definiert ist durch: Es gilt x ∼ y genau dann,wenn y − x ∈ U . Sei V/∼ die Menge der Aquivalenzklassen und fur jedes x ∈ Vbezeichne mit [x] die Aquivalenzklasse, die x enthalt. Sind x1 x2, y1, y2 ∈ V mitx1 ∼ y1 und x2 ∼ y2, so ist x1+x2 ∼ y1+y2 und λx1 ∼ λy1 fur alle λ ∈ K. Es gibtalso eindeutige Abbildungen + : V/∼ × V/∼ → V/∼ und · : K × V/∼ → V/∼,fur die gilt: [x] + [y] = [x + y] und λ[x] = [λx] fur alle x, y ∈ V , λ ∈ K.Man sieht leicht, dass mit diesen Verknupfungen V/∼ ein K-Vektorraum ist. Seiπ : V → V/∼ die Abbildung mit π(x) = [x] fur jedes x ∈ V ; dann ist π einHomomorphismus mit Kern π = U . Ist ferner W irgendein K-Vektorraum undψ : V → W ein Homomorphismus mit Kernψ = U , so gibt es einen eindeutigenHomomorphismus ϕ : V/∼ → W mit ψ = ϕ π. Damit kann (und wird) V/ ∼als ‘der’ Quotientenraum V/U angesehen werden.

Setze N = x ∈ V : ‖x‖ = 0; dann ist N ein Untervektorraum von V unddaher gibt es den Quotientenraum V/N = V/ ∼, wobei x ∼ y nun bedeutet, dass‖y − x‖ = 0. Sind x, y ∈ V mit x ∼ y, so ist ‖y‖ = ‖x‖, da

‖y‖ = ‖x+ y − x‖ ≤ ‖x‖ + ‖y − x‖ = ‖x‖ = ‖y + x− y‖ ≤ ‖y‖+ ‖x− y‖ = ‖y‖

und folglich gibt es eine eindeutige Abbildung ‖ · ‖ : V/N → R+, fur die gilt:‖[x]‖ = ‖x‖ fur alle x ∈ V .

Lemma 11.7 Die Abbildung ‖ · ‖ : V/N → R+ ist eine Norm und damit ist(V/N, ‖ · ‖) ein normierter Vektorraum. Ist ferner der halbnormierte Vektorraum(V, ‖ · ‖) vollstandig, so ist es auch der normierte Vektorraum (V/N, ‖ · ‖). Indiesem Fall ist also (V/N, ‖ · ‖) ein Banachraum.

Beweis Ubung.

Sei 1 ≤ p ≤ ∞; die oben beschriebene Konstruktion kann (und wird) auf demhalbnormierten Vektorraum Lp(X, E , µ) angewendet. Den dadurch entstehenden


normierten Vektorraum bezeichnet man mit Lp(X, E , µ). Sind f, g ∈ Lp(X, E , µ),so ist nach Lemma 11.1 (1) [f ] = [g] in Lp(X, E , µ) genau dann, wenn f = gµ-fast uberall. Nach Satz 11.3 und Lemma 11.7 ist Lp(X, E , µ) ein Banachraum.

Der Fall mit p = 2 ist sehr wichtig. Nach Satz 11.4 ist fg ∈ L1(X, E , µ) fur allef, g ∈ L2(X, E , µ) und f1g1 = f2g2 µ-fast uberall, falls f1 = f2 µ-fast uberallund g1 = g2 µ-fast uberall. Daraus folgt nach Lemma 7.4, dass eine Abbildung〈·, ·〉 : L2(X, E , µ) × L2(X, E , µ) → R definiert werden kann durch

〈[f ], [g]〉 =

∫fg dµ

fur alle f, g ∈ L2(X, E , µ). Dann ist es klar, dass 〈·, ·〉 ein Skalarprodukt aufL2(X, E , µ) ist und fur alle f ∈ L2(X, E , µ) gilt

‖[f ]‖2 =√

〈[f ], [f ]〉 .

Damit ist L2(X, E , µ) ein euklidischer Vektorraum und nach Satz 11.3 sogar einHilbertraum.

Sei (U, ‖ · ‖) ein normierter K-Vektorraum. Der normierte Vektorraum L(U,K)aller beschrankten Linearformen h : U → K heißt Dualraum von U und wirdmit U∗ bezeichnet. Erinnerung aus Analysis II: Eine Linearform h : U → K heißtbeschrankt, wenn es ein c ∈ R+ gibt, so dass |h(x)| ≤ c fur alle x ∈ U mit ‖x‖ ≤ 1(und eine Linearform ist beschrankt genau dann, wenn sie stetig ist). Ferner wirdder Vektorraum U∗ als normierter Vektorraum angesehen bezuglich der Norm‖ · ‖∗ : U∗ → R+, die gegeben ist durch ‖h‖∗ = sup|h(x)| : x ∈ U mit ‖x‖ ≤ 1fur jedes h ∈ U∗. Nach Satz 8.6 im Analysis-Skript ist der normierte VektorraumU∗ stets ein Banachraum, da K ein Banachraum ist.

Fur einen Hilbertraum (U, 〈·, ·〉) gibt es eine explizite Darstellung fur U∗: Zujedem x ∈ U ist die durch γx(y) = 〈y, x〉 definierte Abbildung γx : U → K einElement von U∗. Umgekehrt gibt es zu jedem γ ∈ U∗ ein eindeutiges x ∈ U ,so dass γ = γx. (Dies war die Zusatzaufgabe zu Blatt 6, Analysis II). Also istdie lineare Abbildung x 7→ γx von U nach U∗ ein Isomorphismus und man siehtleicht, dass diese Abbildung tatsachlich eine Isometrie ist: Es gilt ‖γx‖∗ = ‖x‖fur alle x ∈ U . Dieses Ergebnis ist einer der Darstellungssatze von Riesz.

Durch diesen Darstellungssatz kann der Dualraum von L2(X, E , µ) beschriebenwerden: Fur jedes [f ] ∈ L2(X, E , µ) ist die durch

γ[f ]([g]) =

∫fg dµ

definierte Abbildung ein Element von L2(X, E , µ)∗, und umgekehrt gibt es zujedem γ ∈ L2(X, E , µ)∗ ein eindeutiges [f ] ∈ L2(X, E , µ), so dass γ = γ[f ].


Fur jedes 1 ≤ p < ∞ gibt es auch einen Darstellungssatz fur den Dualraum vonLp(X, E , µ), der ebenfalls von Riesz stammt, und jetzt zum Teil behandelt wird.

Sei also 1 ≤ p < ∞ und sei wieder 1 ≤ q ≤ ∞ mit 1/p + 1/q = 1. Sei nun[g] ∈ Lq(X, E , µ); nach Satz 11.4 ist fg ∈ L1(X, E , µ) fur alle f ∈ Lp(X, E , µ)und f1g1 = f2g2 µ-fast uberall, falls f1 = f2 µ-fast uberall und g1 = g2 µ-fastuberall. Daraus folgt nach Lemma 7.4, dass eine Abbildung γ[g] : Lp(X, E , µ) → R

definiert werden kann durch

γ[g]([f ]) =

∫fg dµ

fur alle f ∈ Lp(X, E , µ).

Lemma 11.8 Fur jedes [g] ∈ Lq(X, E , µ) ist γ[g] eine beschrankte Linearform.Ist p > 1, so gilt ‖γ[g]‖∗p = ‖[g]‖q. Ist µ σ-endlich, so gilt auch ‖γ[g]‖∗1 = ‖[g]‖∞.

Beweis Es ist klar, dass γ[g] linear ist, und da nach Satz 11.4

|γ[g]([f ])| =


∣∣∣∣ ≤ ‖f‖p‖g‖q = ‖[f ]‖p‖[g]‖q ,

ist γ[g] beschrankt mit ‖γ[g]‖∗p ≤ ‖[g]‖q.

Sei nun p > 1, und setze h = (χF − χX\F )|g|q−1, wobei F = x ∈ X : g(x) ≥ 0;

dann ist |h|p = |g|(q−1)p = |g|q, da (q − 1)p = q, und damit ist h ∈ Lp(X, E , µ).Aber hg = |g|q und daraus folgt, dass

|γ[g]([h])| = |

∫hg dµ| =

∫|g|q dµ =

(∫|g|q dµ

)1/p(∫|g|q dµ

)1/q

=

(∫|h|p dµ

)1/p(∫|g|q dµ

)1/q

= ‖[h]‖p‖[g]‖q .

Ist ‖[g]‖q = 0, so ist ‖γ[g]‖∗p = ‖[g]‖q trivial richtig. Ist andererseits ‖[g]‖q > 0, so

ist auch ‖[h]‖p > 0, und dann ist h′ = ‖h‖−1p h ∈ Lp(X, E , µ) mit ‖[h′]‖p = 1 und

|γ[g]([h′])| = ‖[g]‖q. Daher ist ‖γ[g]‖∗p ≥ ‖[g]‖q, d.h., ‖γ[g]‖∗p = ‖[g]‖q.

Sei jetzt µ σ-endlich und p = 1; also ist [g] ∈ L∞(X, E , µ). Da ‖γ[g]‖∗1 = ‖[g]‖∞trivial richtig ist, wenn ‖[g]‖∞ = 0, kann es angenommen werden, dass ‖[g]‖∞ > 0.Sei 0 < ε < ‖[g]‖∞ und setze D = x ∈ X : |g(x)| ≥ ‖g‖∞−ε, also ist µ(D) > 0.Da µ σ-endlich ist, gibt es dann ein E ∈ E mit E ⊂ D und 0 < µ(E) < ∞. Seinun h = (χF − χ

X\F )χE , wobei wieder F = x ∈ X : g(x) ≥ 0; dann isth ∈ L1(X, E , µ) mit ‖h‖1 = µ(E) > 0 und hg = |g|χE , und folglich ist

|γ[g]([h])| = |

∫hg dµ| =

∫|g|χE dµ ≥

∫(‖[g]‖∞ − ε)χE dµ

= (‖[g]‖∞ − ε)µ(E) = (‖[g]‖∞ − ε)‖[h]‖1 .


Daraus ergibt sich, dass ‖γ[g]‖∗1 ≥ ‖[g]‖∞ − ε, und daher ist ‖γ[g]‖∗1 = ‖[g]‖∞

Nach Lemma 11.8 gibt es also eine Abbildung F : Lq(X, E , µ) → Lp(X, E , µ)∗,die definiert ist durch F ([g]) = γ[g] fur jedes [g] ∈ Lq(X, E , µ). Es ist klar, dass Flinear ist und nach Lemma 11.8 gilt ‖F ([g])‖∗p = ‖[g]‖q fur jedes [g] ∈ Lq(X, E , µ),d.h., F ist eine Isometrie.

Satz 11.5 Nehme an, dass das Maß µ σ-endlich ist. Dann ist die AbbildungF : Lq(X, E , µ) → Lp(X, E , µ)∗ ein Isomorphismus.

Beweis Es muss nur gezeigt werden, dass F surjektiv ist, da eine Isometrie stetsinjektiv ist. Nehme zunachst an, dass µ endlich ist und sei γ ∈ Lp(X, E , µ)∗. Daµ endlich ist, ist χE ∈ Lp(X, E , µ) fur jedes E ∈ E und also kann eine Abbildungν : E → R definiert werden durch ν(E) = γ([χE ]); insbesondere ist ν(∅) = 0.Sei Enn≥r eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus E , setze E =

⋃∞n=r En

und sei Fn =⋃nk=r Ek fur jedes n ≥ r. Nun ist

‖χFn− χ

E‖pp =

∫|χFn

− χE|p dµ =

∫|χFn

− χE| dµ = µ

(∞⋃

k=n

Ek

)=

∞∑

k=n

µ(Ek)

und damit ist limn→∞

‖χFn− χ

E‖p = 0. Folglich gilt

limn→∞

∣∣∣∣∣n∑

k=r

ν(Ek) − ν(E)

∣∣∣∣∣ = limn→∞

∣∣∣∣∣n∑

k=r

γ([χEk]) − γ([χE ])

∣∣∣∣∣= lim

n→∞|γ([χFn

]) − γ([χE])| = 0 ,

da γ stetig ist. Dies zeigt, dass ν ein signiertes Maß ist. Ferner ist ν ≪ µ, da

|ν(E)| = |γ([χE ])| ≤ ‖γ‖∗p‖[χE ]‖p = ‖γ‖∗p(µ(E))1/p

fur jedes E ∈ E . Daraus ergibt sich nach Satz 10.5, dass es ein g ∈ L1(X, E , µ)gibt, so dass ν(E) =

∫Eg dµ fur alle E ∈ E . Daher gilt γ([χE]) =

∫χEg dµ

fur jedes E ∈ E und durch Linearitat gilt dann auch γ([f ]) =∫fg dµ fur jedes

f ∈ E(X, E).

Folglich gilt γ([f ]) =∫fg dµ fur jedes beschrankte f ∈ M(X, E): Sei ε > 0; nach

Lemma 5.8 gibt es ein h ∈ E(X, E) mit |h(x) − f(x)| < ε fur alle x ∈ X. Dannist ‖f − h‖p ≤ (µ(X))1/pε und |

∫fg dµ−

∫hg dµ| ≤ ‖g‖1ε und damit ist

∣∣∣∣γ([f ]) −

∫fg dµ

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣γ([f ]) − γ([h]) +

∫hg dµ−

∫fg dµ

∣∣∣∣

≤ |γ([f ]) − γ([h])| +

∣∣∣∣∫hg dµ−

∫fg dµ

∣∣∣∣ ≤(‖γ‖∗p(µ(X))1/p + ‖g‖1

)ε .


Da ε > 0 beliebig ist, ist also γ([f ]) =∫fg dµ.

Als Nachstes wird gezeigt, dass g ∈ Lq(X, E , µ) mit ‖g‖q ≤ ‖γ‖∗p. Zuerst wirdder Fall mit p = 1 behandelt. Fur α ∈ R+ sei Fα = x ∈ X : |g(x)| ≥ α undsei h = χFα

(χE − χX\E), wobei E = x ∈ X : g(x) ≥ 0. Dann ist h ∈ M(X, E)

beschrankt und hg = |g|χFα≥ αχFα

und damit ist

α‖h‖1 = αµ(χFα) ≤

∫hg dµ = γ([h]) ≤ ‖γ‖∗1‖h‖1 .

Folglich ist α ≤ ‖γ‖∗1, falls ‖h‖1 = µ(Fα) > 0, und also ist g ∈ L∞(X, E , µ) mit‖g‖∞ ≤ ‖γ‖∗1.

Nehme nun an, dass p 6= 1, und fur jedes n ≥ 1 sei gn = |g|q−1(χFn− χ

Gn),

wobei Fn = x ∈ X : 0 ≤ g(x) ≤ n und Gn = x ∈ X : −n ≤ g(x) ≤ 0.Setze En = x ∈ X : |g(x)| ≤ n; dann ist gn ∈ M(X, E) beschrankt und es giltgng = |g|qχEn

. Folglich ist fur jedes n ≥ 1

∫

En

|g|q dµ = γ([gn]) ≤ ‖γ‖∗p‖gn‖p

= ‖γ‖∗p

(∫

En

|g|q−1p dµ

)1/p

= ‖γ‖∗p

(∫

En

|g|q dµ

)1/p

und daraus ergibt sich, dass∫En

|g|q dµ ≤ (‖γ‖∗p)q. Nun ist aber |g|qχEn

n≥1

eine monoton wachsende Folge aus L1+(X, E , µ), die gegen |g|q konvergiert. Nach

Satz 7.2 ist also |g|q ∈ L1(X, E , µ) und∫|g|q dµ ≤ (‖γ‖∗p)

q. Mit anderen Worten:Es gilt g ∈ Lq(X, E , µ) und ‖g‖q ≤ ‖γ‖∗p.

Fur jedes 1 ≤ p <∞ ist daher g ∈ Lq(X, E , µ) und ‖g‖q ≤ ‖γ‖∗p.

Sei nun f ∈ Lp(X, E , µ) und fur jedes n ≥ 1 sei Bn = x ∈ X : |f(x)| ≤ n. NachSatz 11.4 ist |fg| ∈ L1(X, E , µ) und |fχBn

g| ≤ |fg|, und daraus ergibt sich nachSatz 7.7, dass

∫fg dµ = limn→∞

∫fχBn

g dµ. Aber∫fχBn

g dµ = γ([fχBn]), da

fχBnbeschrankt ist. Ferner sieht man leicht, dass limn→∞ ‖fχBn

− f‖p = 0 unddamit ist limn→∞ γ([fχBn

]) = γ([f ]). Daher ist γ([f ]) =∫fg dµ.

Dies zeigt, dass γ = γ[g] = F ([g]) und folglich ist F surjektiv, falls das Maß µendlich ist.

Nehme jetzt an, dass µ ein σ-endliches Maß ist. Dann gibt es eine Folge Bnn≥1

paarweise disjunkter Elemente aus E mit µ(En) < ∞ fur jedes n ≥ 1 und mitX =

⋃∞n=1Bn. Fur jedes n ≥ 1 definiere µn : E → R+ durch µn(E) = µ(E ∩ Bn)

fur jedes E ∈ E ; also ist µn ein endliches Maß. Sei nun γ ∈ Lp(X, E , µ)∗; fur jedesf ∈ Lp(X, E , µn) ist fχBn

∈ Lp(X, E , µ) und folglich kann eine lineare Abbildungγn : Lp(X, E , µn) → R definiert werden durch γn([f ]) = γ([fχBn

]). Ferner istγn beschrankt, da

∫|f |p dµn =

∫|fχBn

|p dµ, d.h., γn ∈ Lp(X, E , µn)∗. Nach dem


ersten Teil gibt es daher ein gn ∈ Lq(X, E , µn), so dass γn([f ]) =∫fgn dµn fur

alle f ∈ Lp(X, E , µn). Insbesondere gilt dann

γ([fχBn]) = γn([f ]) =

∫fgn dµn =

∫fgnχBn

dµ

fur alle f ∈ Lp(X, E , µ), da Lp(X, E , µ) ⊂ Lp(X, E , µn). Definiere g : X → R

durch g(x) = gn(x) fur alle x ∈ Bn n ≥ 1, d.h., g =∑∞

n=1 gnχBn. Dann sieht man

leicht, dass g ∈ Lq(X, E , µ) und γ([f ]) =∫fg dµ fur alle f ∈ Lp(X, E , µ).

Bemerkung: Ist p 6= 1, so ist die Abbildung F : Lq(X, E , µ) → Lp(X, E , µ)∗

ein Isomorphismus fur ein beliebiges Maß µ. Um dies zu beweisen, braucht maneinige Standard-Ergebnisse aus der Funktionalanalysis (Satze von Hahn-Banachund Milman). Wenn µ nicht σ-endlich ist, so ist im Allgemeinen die AbbildungF : L∞(X, E , µ) → L1(X, E , µ)∗ nicht surjektiv. Uber den Dualraum L∞(X, E , µ)∗

ist wenig bekannt.

Im oben prasentierten Beweis fur Satz 11.5 spielte der Satz von Radon-Nikodymeine wichtige Rolle. Wie aber schon erwahnt wurde, folgt Satz 11.5 fur den Fallp = 2 (und ohne die Annahme, dass µ σ-endlich ist) direkt aus der Darstellungvon U∗ fur einen Hilbertraum U (d.h., direkt aus der Zusatzaufgabe zu Blatt 6,Analysis II). Diese Darstellung von L2(X, E , µ)∗ liefert einen einfachen Beweis furden Satz von Radon-Nikodym (fur endliche Maße), der von John von Neumannstammt.

Sei also µ endlich und sei ν ein weiteres endliches Maß auf E mit ν ≪ ν; setzeτ = µ + ν. Da τ endlich ist, ist 1 ∈ L2(X, E , τ) und damit ist nach Satz 11.4L2(X, E , τ) ⊂ L1(X, E , τ). Ferner ist es klar, dass L1(X, E , τ) ⊂ L1(X, E , ν) undes gilt f = g ν-fast sicher, falls f = g τ -fast sicher gilt. Folglich kann nachLemma 7.4 eine Abbildung γ : L2(X, E , τ) → R definiert werden durch

γ([f ]) =

∫f dν

fur jedes f ∈ L2(X, E , τ). Dann ist γ linear und

|γ([f ])| =

∣∣∣∣∫f dν

∣∣∣∣ ≤∫

|f | dν ≤

∫|f | dτ =

∫1 · |f | dτ ≤ ‖1‖2‖[f ]‖2

fur jedes f ∈ L2(X, E , τ), d.h., γ ∈ L2(X, E , τ)∗. Also gibt es ein g ∈ L2(X, E , τ),so dass γ([f ]) =

∫fg dτ fur alle f ∈ L2(X, E , τ), und daher gilt

∫f dν = γ([f ]) =

∫fg dτ =

∫fg dµ+

∫fg dν ,

d.h.,∫f(1 − g) dν =

∫fg dµ fur alle f ∈ L2(X, E , τ).


Setze B = x ∈ X : g(x) < 0; da χB ∈ L2(X, E , τ), ist

0 ≤ ν(B) =

∫χB dν =

∫χBg dτ ≤ 0 ,

d.h., ν(B) = 0. Sei nun A = x ≥ X : g(x) ≥ 1; hier gilt

0 ≥

∫χA(1 − g) dν =

∫χAg dµ ≥

∫χA dµ = µ(A) ≥ 0

und wieder ist µ(A) = 0. Folglich ist auch ν(A) = 0, da ν ≪ µ, d.h., τ(A) = 0.Definiere eine Abbildung g′ : X → R durch

g′(x) =

g(x) falls 0 ≤ g(x) < 1,

0 sonst;

dann gilt g′ = g τ -fast uberall und 0 ≤ g′(x) < 1 fur alle x ∈ X. Fur jedes n ≥ 1sei gn = (1/(1 − g′)) ∧ n; dann ist gnn≥1 eine monoton wachsende Folge ausL2

+(X, E , τ), die gegen 1/(1−g′) konvergiert, und also ist g′gnn≥1 eine monotonwachsende Folge aus L1

+(X, E , τ), die gegen h = g′/(1 − g′) konvergiert. Aber

∫g′gn dµ =

∫ggn dµ =

∫gn(1 − g) dν =

∫gn(1 − g′) dν ≤

∫1 dν

fur alle n ≥ 1, und daraus ergibt sich nach Satz 7.2, dass h ∈ L1(X, E , µ). Sei nunE ∈ E ; dann ist g′gnχEn≥1 eine monoton wachsende Folge aus L1

+(X, E , µ), diegegen hχE konvergiert und gn(1− g′)χEn≥1 ist eine monoton wachsende Folgeaus L1

+(X, E , ν), die gegen χE konvergiert. Nach Satz 7.2 ist also

ν(E) = limn→∞

∫gn(1 − g′)χE dν = lim

n→∞

∫g′gnχE dµ =

∫hχE dµ =

∫

E

h dµ ,

d.h., ν(E) =∫Edµ fur alle E ∈ E .

12 Noch ein Darstellungssatz von Riesz

Ein metrischer Raum (X, d) heißt lokal kompakt, wenn es zu jedem x ∈ X eineoffene Umgebung U von x gibt, so dass der Abschluss U kompakt ist. Da eineabgeschlossene Teilmenge einer kompakten Menge wieder kompakt ist, ist (X, d)lokal kompakt genau dann, wenn es zu jedem x ∈ X ein ε > 0 gibt, so dass derabgeschlossene Ball B(x, ε) = y ∈ X : d(x, y) ≤ ε kompakt ist. Insbesondereist Rn lokal kompakt fur jedes n ≥ 1.

Im Folgenden sei (X, d) ein lokal kompakter metrischer Raum. Die σ-AlgebraB(X) der Borelschen Teilmengen von X wird hier einfach mit B bezeichnet.Ferner wird der reelle Vektorraum C(X,R) der stetigen Abbildungen von X nachR nun lediglich mit C(X) bezeichnet.

Fur f : X → R sei supp(f) der Abschluss der Menge x ∈ X : f(x) 6= 0. Mansagt, dass f einen kompakten Trager hat, wenn die Menge supp(f) kompakt ist.Also hat f einen kompakten Trager genau dann, wenn es eine kompakte MengeK gibt, so dass f(x) = 0 fur alle x ∈ X \ F .

Bezeichne mit Ck(X) die Menge aller stetigen Abbildungen von X nach R mitkompaktem Trager. Da die Vereinigung zweier kompakter Teilmengen wiederkompakt ist, ist Ck(X) ein Untervektorraum von C(X) und wird als solcher alsreeller Vektorraum betrachtet. Sei C+

k (X) = f ∈ Ck(X) : f ≥ 0.

Es folgen ein paar Fakten uber stetige Abbildungen mit kompaktem Trager, diespater eine wichtige Rolle spielen werden. Man beachte, dass die Metrik d auf Xeigentlich nur im Beweis fur Lemma 12.1 (d.h., in Aufgabe 17 (3), Analysis II)explizit vorkommt.

Lemma 12.1 Sei K eine kompakte und U eine offene Teilmenge von X mitK ⊂ U . Dann gibt es ein f ∈ C+

k (X) mit χK ≤ f ≤ χU und supp(f) ⊂ U .

Beweis Die Menge X \U ist abgeschlossen und disjunkt von K und folglich gibtes nach Aufgabe 22 (2), Analysis II, offene Mengen V1, V2 mit K ⊂ V1, X\U ⊂ V2

und V1 ∩ V2 = ∅. Nun ist X \ V1 eine abgeschlossene Menge disjunkt von F unddamit gibt es nach Aufgabe 17 (3), Analysis II, eine stetige Abbildung f : X → R

mit f(X) ⊂ [0, 1], f(x) = 1 fur alle x ∈ K und f(x) = 0 fur alle x ∈ X \ V1.Also ist supp(f) ⊂ V1 ⊂ X \ V2 ⊂ U ; daher ist f ∈ C+

k (X) und per Definitiongilt χK ≤ f ≤ χU .

Lemma 12.2 Seien U1, U2, K ⊂ X mit U1 und U2 offen, K kompakt und mitK ⊂ U1 ∪ U2. Dann gibt es kompakte Teilmengen K1, K2 von X mit K1 ⊂ U1,K2 ⊂ U2 und K = K1 ∪K2.

77


Beweis Sei F1 = K \ U1 und F2 = K \ U2; dann sind F1 und F2 kompakt (alsabgeschlossene Teilmengen der kompakten Menge K) und disjunkt, da

F1 ∩ F2 = (K \ U1) ∩ (K \ U1) ⊂ K \ (U1 ∪ U2) = ∅ .

Nach Aufgabe 22 (2), Analysis II, gibt es also offene Mengen V1, V2 mit F1 ⊂ V1,F2 ⊂ V2 und V1 ∩ V2 = ∅. Setze K1 = K \ V1 und K2 = K \ V2. Dann sind K1

und K2 kompakt (als abgeschlossene Teilmengen der kompakten Menge K) mitKi = K \ Vi ⊂ K \ Fi ⊂ Ui fur i = 1, 2 und mit

K1 ∪K2 = (K \ V1) ∪ (K \ V2) = K \ (V1 ∩ V2) = K .

Lemma 12.3 Seien U1, U2, K ⊂ X mit U1 und U2 offen, K kompakt und mitK ⊂ U1 ∪ U2. Dann gibt es g1, g2 ∈ C+

k (X) mit supp(g1) ⊂ U1, supp(g2) ⊂ U2

und g1(x) + g2(x) = 1 fur jedes x ∈ K.

Beweis Nach Lemma 12.2 gibt es kompakte Mengen K1, K2 ⊂ X mit K1 ⊂ U1,K2 ⊂ U2 und mit K1 ∪ K2 = supp(f), und daher gibt es nach Lemma 12.1f1, f2 ∈ C+

k (X) mit χKi≤ fi ≤ χ

Uiund supp(fi) ⊂ Ui fur i = 1, 2. Sei g1 = f1

und g2 = f2 − (f1 ∧ f2); dann sind g1, g2 ∈ C+k (X) mit supp(gi) ⊂ Ui fur i = 1, 2

und fur jedes x ∈ K gilt

g1(x) + g2(x) = f1(x) + f2(x) − (f1(x) ∧ f2(x)) = f1(x) ∨ f2(x) = 1 .

Lemma 12.4 Seien U1, . . . , Un offene Teilmengen von X und sei f ∈ C+k (X)

mit supp(f) ⊂⋃nk=1Uk. Dann gibt es f1, . . . , fn ∈ C+

k (X) mit supp(fk) ⊂ Uk furjedes k = 1, . . . , n, so dass f = f1 + · · · + fn.

Beweis Nehme zunachst an, dass n = 2. Also sind U1, U2 offen und f ∈ C+k (X)

mit supp(f) ⊂ U1 ∪ U2. Nach Lemma 12.3 gibt es dann g1, g2 ∈ C+k (X) mit

supp(g1) ⊂ U1, supp(g2) ⊂ U2 und g1(x) + g2(x) = 1 fur jedes x ∈ supp(f). Seif1 = fg1 und f2 = fg2. Dann sind f1, f2 ∈ C+

k (X) mit supp(fi) ⊂ supp(gi) ⊂ Uifur i = 1, 2 und f = fχsupp(f) = fχsupp(f)(g1 + g2) = f(g1 + g2) = f1 + f2.

Der allgemeine Fall folgt nun durch Induktion nach n.

Ein Maß µ auf B wird lokal endlich genannt, wenn µ(K) <∞ fur jede kompakteTeilmenge K von X.

Lemma 12.5 Ist µ ein lokal endliches Maß auf B, so gilt Ck(X) ⊂ L1(X,B, µ).


Beweis Nach Lemma 5.2 ist Ck(X) ⊂ M(X,B). Sei f ∈ Ck(X); dann gibt es einekompakte Teilmenge K von X mit x ∈ X : f(x) 6= 0 ⊂ K und da f stetig ist,ist f(K) eine kompakte und damit eine beschrankte Teilmenge von R. Es gibtalso ein c ∈ R+, so dass f(K) ⊂ [−c, c]. Folglich ist |f | ≤ cχK und daraus ergibtsich, dass f ∈ L1(X,B, µ), da Iµ(cχK) = cµ(K) <∞.

Sei µ ein lokal endliches Maß auf B; nach Lemma 12.5 kann man dann eineAbbildung γµ : Ck(X) → R definieren durch γµ(f) =

∫f dµ fur jedes f ∈ Ck(X).

Es ist klar, dass γµ linear ist, d.h., γµ ist eine Linearform, und ferner ist γµ positiv :Es gilt γµ(f) ≥ 0 fur alle f ∈ C+

k (X), wobei C+k (X) = f ∈ Ck(X) : f ≥ 0. Das

Hauptergebnis dieses Kapitels zeigt unter anderem, dass die Umkehrung auchrichtig ist: Ist γ : Ck(X) → R eine positive Linearform, dann gibt es ein lokalendliches Maß µ auf B, so dass γ(f) =

∫f dµ fur alle f ∈ Ck(X).

Ein Maß µ auf B heißt regular, wenn µ lokal endlich ist und es gilt:

(1) Fur jedes B ∈ B gilt µ(B) = infµ(U) : U offen mit B ⊂ U.

(2) Fur U ⊂ X offen gilt µ(U) = supµ(K) : K kompakt mit K ⊂ U.

Im Allgemeinen gibt es lokal endliche Maße, die nicht regular sind, aber in allenpraktischen Fallen ist jedes lokal endliche Maß automatisch regular. Dies ist zumBeispiel der Fall, wenn der (lokal kompakte) metrische Raum X σ-kompakt ist,d.h., wenn es eine Folge kompakter Teilmengen Knn≥1 gibt mit X =

⋃∞n=1Kn.

Insbesondere ist jedes lokal endliche Maß regular, wenn X = Rn. (Der Beweisdafur ist eine Ubung.)

Satz 12.1 (Darstellungssatz von Riesz) Sei γ : Ck(X) → R eine positiveLinearform. Dann gibt es ein eindeutiges regulares Maß µ auf B, so dass

γ(f) =

∫f dµ

fur alle f ∈ Ck(X).

Beweis Dieser erstreckt sich uber die nachsten vier Seiten.

Setze Ck(X) = f ∈ Ck(X) : 0 ≤ f ≤ 1. Fur U ⊂ X offen und f ∈ C

k(X)schriebt man f ≺ U , wenn supp(f) ⊂ U (und dann gilt auch 0 ≤ f ≤ χU).

Im Folgenden sei γ : Ck(X) → R eine positive Linearform. Fur U ⊂ X offen sei

ν(U) = supγ(f) : f ∈ Ck(X) mit f ≺ U .

Da γ positiv ist, ist ν(U1) ≤ ν(U2), falls U1 ⊂ U2, und folglich kann ν zu einerAbbildung ν : P(X) → R+

∞ fortgesetzt werden durch die Vorschrift

ν(S) = infν(U) : U offen mit S ⊂ U

fur jedes S ∈ P(X).


Lemma 12.6 Die Abbildung ν : P(X) → R+∞ ist ein außeres Maß.

Beweis Es ist klar, dass ν(∅) = 0 und dass ν monoton ist.

Es wird erst gezeigt, dass ν(⋃∞n=p Un) ≤

∑∞n=p ν(Un) fur jede Folge Unn≥p von

offenen Teilmengen vonX. Sei f ∈ Ck(X) mit f ≺

⋃∞n=p Un. Da supp(f) kompakt

ist, gibt es ein m ≥ p, so dass f ≺⋃mn=p Un, und nach Lemma 12.4 gibt es dann

fp, . . . , fm ∈ C+k (X) mit supp(fn) ⊂ Un fur jedes n, so dass f = fp + · · · + fm.

Insbesondere ist fn ≺ Un fur jedes n, und daraus folgt, dass

γ(f) =

m∑

n=p

γ(fn) ≤m∑

n=p

ν(Un) ≤∞∑

n=p

ν(Un) .

Damit ist ν(⋃∞n=p Un) ≤

∑∞n=p ν(Un).

Es wird nun gezeigt, dass ν(⋃∞n=p Sn) ≤

∑∞n=p ν(Sn) fur jede Folge Snn≥p aus

P(X). Dies ist trivial richtig, wenn∑∞

n=p ν(Sn) = ∞, es kann also angenommenwerden, dass

∑∞n=p ν(Sn) < ∞ und damit ist ν(Sn) < ∞ fur jedes n ≥ p. Sei

ε > 0; fur jedes n ≥ p gibt es dann eine offene Menge Un ⊂ X mit Sn ⊂ Un undν(Un) < ν(Sn) + 2−n−1ε. Insbesondere ist U =

⋃∞n=p Un offen mit

⋃∞n=p Sn ⊂ U


ν

(∞⋃

n=p

Sn

)≤ ν(U) ≤

∞∑

n=p

ν(Un) ≤∞∑

n=p

(ν(Sn) + 2−n−1ε) ≤∞∑

n=p

ν(Sn) + ε .

Da ε > 0 beliebig ist, ist dann ν(⋃∞n=p Sn) ≤

∑∞n=p ν(Sn).

Folglich ist die Abbildung ν monoton und σ-subadditiv mit ν(∅) = 0, und daherist ν ein außeres Maß.

Lemma 12.7 Fur jede offene Menge U ⊂ X und jedes T ∈ P(X) gilt

ν(T ) = ν(T ∩ U) + ν(T \ U) .

Beweis Es wird erst gezeigt, dass ν(V ) = ν(V ∩ U) + ν(V \ U), wenn U und Voffene Teilmengen von X sind. Da ein außeres Maß stets subadditiv ist, genugtes zu zeigen, dass ν(V ∩ U) + ν(V \ U) ≤ ν(V ), und dafur kann man naturlichannehmen, dass ν(V ) < ∞. Sei ε > 0; da ν(V ∩ U) ≤ ν(V ) < ∞, gibt es einf1 ∈ C

k(X) mit f1 ≺ V ∩U , so dass γ(f1) ≥ ν(V ∩U)−ε/2. Setze K = supp(f1);also ist V \ K eine offene Menge mit ν(V \ K) ≤ ν(V ) < ∞ und folglich gibtes ein f2 ∈ C

k(X) mit f2 ≺ V \ K, so dass γ(f2) ≥ ν(V \ K) − ε/2. Da aberV \ U ⊂ V \K, ist dann auch γ(f2) ≥ ν(V \ U) − ε/2. Sei nun f = f1 + f2; dasupp(f1)∩ supp(f2) = ∅, ist f ∈ C

k(X) mit f ≺ V , und daraus ergibt sich, dass

ν(V ) ≥ γ(f) = γ(f1) + γ(f2) ≥ ν(V ∩ U) − ε/2 + ν(V \ U) − ε/2

= ν(V ∩ U) + ν(V \ U) − ε .


Da ε > 0 beliebig ist, ist dann ν(V ∩ U) + ν(V \ U) ≤ ν(V ).

Seien nun U, T ⊂ X mit U offen und T beliebig. Wieder genugt es zu zeigen,dass ν(T ∩ U) + ν(T \ U) ≤ ν(T ) und man kann annehmen, dass ν(T ) <∞. Seiε > 0; dann gibt es eine offene Menge V mit T ⊂ V , so dass ν(V ) ≤ ν(T ) + ε.Also ist ν(T ∩ U) + ν(T \ U) ≤ ν(V ∩ U) + ν(V \ U) = ν(V ) ≤ ν(T ) + ε, da νmonoton ist, und damit ist ν(T ∩ U) + ν(T \ U) ≤ ν(T ).

Lemma 12.8 Sei f ∈ C+k (X).

(1) Es gilt ν(T ) ≤ γ(f) fur jedes T ⊂ X mit χT ≤ f .

(2) Es gilt γ(f) ≤ ν(K) fur jede kompakte Teilmenge von X mit f ≤ χK .

Beweis (1) Sei ε ∈ (0, 1) und setze U = x ∈ X : f(x) > 1 − ε. Da T ⊂ U ,ist dann ν(T ) ≤ ν(U). Ferner ist U offen, und ist g ∈ C

k(X) mit g ≺ U , so istg ≤ χ

U ≤ (1 − ε)−1f und damit γ(g) ≤ (1 − ε)−1γ(f). Daraus ergibt sich, dassν(U) ≤ (1 − ε)−1γ(f). Dies zeigt, dass ν(T ) ≤ (1 − ε)−1γ(f) fur alle ε ∈ (0, 1),und daher ist ν(T ) ≤ γ(f).

(2) Da f ≤ χK , ist insbesondere f ∈ Ck(X). Ist U offen mit K ⊂ U , so ist f ≺ U

und damit γ(f) ≤ ν(U). Also ist auch γ(f) ≤ ν(K).

Sei nun µ die Einschrankung von ν auf B.

Lemma 12.9 µ ist ein regulares Maß auf B.

Beweis Setze

F = S ∈ P(X) : ν(T ∩ S) + ν(T \ S) = ν(T ) fur alle T ∈ P(X) .

Nach Lemma 12.6 ist ν ein außeres Maß und daraus ergibt sich nach Lemma 2.2,dass F eine σ-Algebra ist und die Einschrankung von ν auf F ein Maß ist. NachLemma 12.7 ist aber jede offene Teilmenge von X in F und damit ist B ⊂ F .Folglich ist die Einschrankung µ von ν auf B ein Maß.

SeiK eine kompakte Teilmenge vonX. Nach Lemma 12.1 (mit U = X) gibt es einf ∈ C+

k (X) mit χK ≤ f und nach Lemma 12.8 (1) ist dann µ(K) = ν(K) ≤ γ(f).Insbesondere ist µ(K) <∞, und dies zeigt, dass µ lokal endlich ist.

Sei nun U eine offene Teilmenge von X. Nach Lemma 12.8 (2) gilt dann

γ(f) ≤ ν(supp(f)) = µ(supp(f)) ≤ µ(U)

fur jedes f ∈ Ck(X) mit f ≺ U und daraus folgt, dass

µ(U) = supµ(K) : K kompakt mit K ⊂ U .

Da aber per Definition µ(B) = infµ(U) : U offen mit B ⊂ U fur jedes B ∈ B,ist damit µ ein regulares Maß.


Lemma 12.10 Es gilt γ(f) =∫f dµ fur alle f ∈ Ck(X).

Beweis Sei zunachst f ∈ C+k (X) und sei ε > 0. Da f(supp(f)) eine kompakte

Teilmenge von R ist, gibt es ein c ∈ R+, so dass f(X) ⊂ [0, c]. Wahle m ≥ 1 mitmε > c und fur n = 1, . . . , m definiere eine Abbildung fn : X → R durch

fn(x) =

0 falls f(x) ≤ (n− 1)ε,f(x) − (n− 1)ε falls (n− 1)ε < f(x) ≤ nε,

ε falls nε < f(x);

also ist f = f1 + · · ·+ fm. Nun ist fn = ((f − (n− 1)ε)∧ ε)∨ 0 und damit ist fnstetig. Ferner ist fn ≥ 0 und supp(fn) ⊂ supp(f), und folglich ist fn ∈ C+

k (X).Setze K0 = supp(f) und fur n = 1, . . . , m sei Kn = x ∈ X : f(x) ≥ nε;insbesondere ist Fm = ∅. Fur jedes n = 1, . . . , m gilt dann χKn

≤ fn/ε ≤ χKn−1 ;

damit ist εµ(Kn) ≤∫fn dµ ≤ εµ(Kn−1) und außerdem ist nach Lemma 12.8

εµ(Kn) ≤ γ(fn) ≤ εµ(Kn−1). Daher gilt

ε

m−1∑

n=1

µ(Kn) = ε

m∑

n=1

µ(Kn) ≤m∑

n=1

γ(fn) = γ(f) ≤ ε

m−1∑

n=0

µ(Kn) und

ε

m−1∑

n=1

µ(Kn) = ε

m∑

n=1

µ(Kn) ≤m∑

n=1

∫fn dµ =

∫f dµ ≤ ε

m−1∑

n=0

µ(Kn)

und daraus ergibt sich, dass |γ(f) −∫f dµ| ≤ εµ(K0) = εµ(supp(f)). Da dies

fur alle ε > 0 gilt, ist also γ(f) =∫f dµ.

Sei nun f ∈ Ck(X) beliebig; dann sind f+, f− ∈ C+k (X) und folglich ist

γ(f) = γ(f+ − f−) = γ(f+) − γ(f−)

=

∫f+ dµ−

∫f− dµ =

∫(f+ − f−) dµ =

∫f dµ .

Lemma 12.11 Ist τ ein regulares Maß auf B, so gilt

τ(U) = sup∫

f dτ : f ∈ Ck(X) mit f ≺ U

fur jede offene Teilmenge U von X.

Beweis Sei U offen; es ist klar, dass sup∫f dτ : f ∈ C

k(X) mit f ≺ U ≤ τ(U),

da 0 ≤ f ≤ χU fur jedes f ∈ C

k(X) mit f ≺ U , und fur die umgekehrteUngleichung kann man annehmen, dass τ(U) > 0. Sei also α mit 0 < α < τ(U);da τ regular ist, gibt es dann eine kompakte Teilmenge K mit K ⊂ U , so dassτ(K) > α. Nach Lemma 12.1 gibt es also ein f ∈ C+

k (X) mit χK ≤ f ≤ χU

und supp(f) ⊂ U . Damit ist f ∈ Ck(X) mit f ≺ U und da, χK ≤ f , ist

τ(K) ≤∫f dτ . Dies zeigt, dass τ(U) ≤ sup

∫f dτ : f ∈ C

k(X) mit f ≺ U.


Lemma 12.12 Sind µ1, µ2 regulare Maße auf B mit∫f dµ1 =

∫f dµ2 fur alle

f ∈ Ck(X), so ist µ1 = µ2.

Beweis Nach Lemma 12.11 gilt µ1(U) = µ2(U) fur jede offene Teilmenge U vonX, und folglich gilt

µ1(B) = infµ1(U) : U offen mit B ⊂ U

= infµ2(U) : U offen mit B ⊂ U = µ2(B)

fur jedes B ∈ B, d.h., µ1 = µ2.

Damit ist Satz 12.1 vollstandig bewiesen.

Sei τ ein beliebiges lokal endliches Maß auf B. Dann definiert f 7→∫f dτ eine

positive Linearform auf Ck(X), und folglich gibt es nach Satz 12.1 ein eindeutigesregulares Maß µ auf B, so dass

∫f dτ =

∫f dµ fur jedes f ∈ Ck(X). Dies zeigt,

dass es zu jedem nicht regularen lokal endlichen Maß auf B ein regulares Maßgibt, das die gleiche Wirkung auf die Elemente von Ck(X) aufweist.

13 Der Transformationssatz

Seien I = [a, b] und J = [c, d] Intervalle, und sei T : I → J eine bijektiveAbbildung mit T und T−1 : J → I beide stetig differenzierbar. Ist f : J → R

stetig, so gilt nach der Substitutionsregel (Satz 18.4, Analysis-Skript), dass

∫ d

c

f(t) dt =

∫ b

a

(f T )(s)|T ′(s)| ds :

Ist T monoton wachsend, so ist T (a) = c, T (b) = d und T ′ > 0 und hier ist

∫ d

c

f(t) dt =

∫ T (b)

T (a)

f(t) dt =

∫ b

a

(f T )(s)T ′(s) ds =

∫ b

a

(f T )(s)|T ′(s)| ds .

Ist dagegen T monoton fallend, so ist T (a) = d, T (b) = c und T ′ < 0 und damit

∫ d

c

f(t) dt =

∫ T (a)

T (b)

f(t) dt = −

∫ T (b)

T (a)

f(t) dt

= −

∫ b

a

(f T )(s)T ′(s) ds =

∫ b

a

(f T )(s)|T ′(s)| ds .

In diesem Kapitel wird die mehrdimensionale Verallgemeinerung dieser Regelprasentiert.

Lemma 13.1 Sei (X, E , µ) ein Maßraum und F ⊂ P(Y ) eine σ-Algebra; seif : X → Y eine E|F-messbare Abbildung. Dann ist die durch ν(F ) = µ(f−1(F ))fur jedes F ∈ F definierte Abbildung ν : F → R+

∞ ein Maß auf F .

Beweis Es gilt ν(∅) = µ(f−1(∅)) = µ(∅) = 0, und ist Fnn≥p eine Folgepaarweise disjunkter Elemente aus F , so ist f−1(Fn)n≥p eine Folge paarweisedisjunkter Elemente aus E und damit ist

ν

(∞⋃

n=p

Fn

)= µ

(f−1

(∞⋃

n=p

Fn

))

= µ

(∞⋃

n=p

f−1(Fn)

)=

∞∑

n=p

µ(f−1(Fn)) =

∞∑

n=p

ν(Fn) .

Folglich ist ν ein Maß auf F .

Das Maß ν in Lemma 13.1 heißt das Bildmaß von µ unter f .

Im Folgenden sei λ das Lebesguesche Maß auf B(R). Per Definition ist λ daseindeutige Maß auf B(R), so dass

λ((a, b]) = b− a

84


fur alle a, b ∈ R mit a < b. Da λ(c) = 0 fur jedes c ∈ R, gilt auch

λ([a, b]) = λ((a, b)) = λ([a, b)) = b− a

fur alle a, b ∈ R mit a < b.

Fur jedes t ∈ R definiere τt : R → R durch τt(s) = s + t und fur t ∈ R \ 0definiere γt : R → R durch γt(s) = ts. Die Abbildungen τt und γt sind stetig unddamit B(R)|B(R)-messbar.

Lemma 13.2 (1) Sei t ∈ R; dann gilt λ(τ−1t (B)) = λ(B) fur alle B ∈ B(R).

Also ist das Bildmaß von λ unter τt wieder λ.

(2) Sei t ∈ R \ 0; dann gilt λ(γ−1t (B)) = |t|−1λ(B) fur alle B ∈ B(R). Also ist

das Bildmaß von λ unter γt das Vielfache |t|−1 von λ.

Beweis (1) Das Bildmaß ν von λ unter τt ist ein Maß auf B(R) mit

ν((a, b]) = λ(τ−1t ((a, b])) = λ((a− t, b− t]) = (b− t) − (a− t) = b− a

fur alle a, b ∈ R mit a < b. Daraus ergibt sich nach der Eindeutigkeit von λ, dassν = λ.

(2) Sei ν das Bildmaß ν von λ unter γt und sei ν ′ = |t|−1ν. Dann ist ν ′ ein Maßauf B(R) und fur alle a, b ∈ R mit a < b gilt

ν ′((a, b]) = |t|λ(γ−1t ((a, b])) = |t|−1λ((ta, tb]) = |t|−1(tb− ta) = b− a ,

falls t > 0, und

ν ′((a, b]) = |t|−1λ(γ−1t ((a, b])) = |t|−1λ([tb, ta)) = |t|−1(ta− tb) = b− a ,

falls t < 0. Daraus ergibt sich nach der Eindeutigkeit von λ, dass in beiden Fallenν ′ = λ.

Im Folgenden sei n ≥ 1 fest und sei λn das Lebesguesche Maß auf B(Rn). PerDefinition ist λn das eindeutige Maß auf B(Rn), so dass

λn(B1 × · · · ×Bn) = λ(B1) × · · · × λ(Bn)

fur alle B1, . . . , Bn ∈ B(R).

Fur jedes t ∈ Rn definiere τt : Rn → Rn durch τt(s) = s + t fur alle s ∈ Rn. DieAbbildung τt ist stetig und damit B(Rn)|B(Rn)-messbar.

Satz 13.1 Sei t ∈ Rn; dann gilt λn(τ−1t (B)) = λn(B) fur alle B ∈ B(Rn). Also

ist das Bildmaß von λn unter τt wieder λn.


Beweis Dieser ist fast identisch mit dem Beweis fur Lemma 13.2 (2). Das Bildmaßν von λn unter τt ist ein Maß auf B(Rn) und nach Lemma 13.2 (2) gilt

ν(B1 × · · · ×Bn) = λn(τ−1(B1 × · · · ×Bn))

= λn(τ−1t1

(B1) × · · · × τ−1tn (Bn)) = λ(τ−1

t1(B1)) × · · · × λ(τ−1

tn (Bn))

= λ(B1) × · · · × λ(Bn) = λn(B1 × · · · × Bn)

fur alle B1, . . . , Bn ∈ B(R), wobei t = (t1, . . . , tn). Daraus ergibt sich nach derEindeutigkeit von λn, dass ν = λn.

Erinnerung: Jede lineare Abbildung von Rn nach Rn ist beschrankt und damitstetig. Der normierte Vektorraum L(Rn,Rn) = L(Rn,Rn) aller solcher linearenAbbildungen wird mit End(Rn) bezeichnet. Ferner wird mit Aut(Rn) die Mengeder invertierbaren Elemente in End(Rn) bezeichnet.

Sei T ∈ End(Rn); sind A, B ∈ M(n×n,R) darstellende Matrizen fur T bezuglichirgendwelcher Basen von Rn, so sind A und B ahnlich und daraus folgt, dassdet(A) = det(B). Man definiert also det(T ) = det(A), wobei A eine (beliebige)darstellende Matrix fur T ist.

Es folgt unmittelbar aus den Eigenschaften der Determinanten fur Matrizen, dassdet(idRn) = 1 und det(S T ) = det(S) det(T ) fur alle S, T ∈ End(Rn). Fernergilt det(T ) 6= 0 genau dann, wenn T ∈ Aut(Rn).

Lemma 13.3 Die Abbildung det : End(Rn) → R ist stetig.

Beweis Sei α eine Basis von Rn und fur jedes T ∈ End(Rn) sei MT die Matrix vonT bezuglich α. Dann ist die Abbildung T 7→MT von End(Rn) nach M(n× n,R)linear und damit stetig, da End(Rn) endlichdimensional ist. Aber die Abbildungdet : M(n × n,R) → R ist stetig und det(MT ) = det(T ) fur alle T ∈ End(Rn)und folglich ist die Abbildung det : End(Rn) → R auch stetig.

Lemma 13.4 Sei c ∈ R und definiere ψc ∈ Aut(R2) durch

ψc(s1, s2) = (s1 + cs2, s2)

fur alle s1, s2 ∈ R. Dann ist λ2(ψ−1c (B)) = λ2(B) fur alle B ∈ B(R2). Also ist

das Bildmaß von λ2 unter ψc wieder λ2.

Beweis Sei B1, B2 ∈ B(R) und setze f = χψ−1

c (B1×B2). Da (x, y) ∈ ψ−1c (B1 × B2)

genau dann, wenn τcy(x) ∈ B1 und y ∈ B2, ist f(x, y) = χτ−1cy (B1)(x)χB2(y) fur

alle x, y ∈ R. Damit ist f y = χB2(y)χτ−1

cy (B1) und nach Lemma 13.2 (1) ist dann


Iλ,∗(f)(y) = Iλ(fy) = χ

B2(y)λ(τ−1cy (B1)) = χ

B2(y)λ(B1) fur alle y ∈ R. Darausergibt sich nach Satz 8.2, dass

λ2(ψ−1(B1 × B2)) = Iλ2(f) = Iλ(Iλ,∗(f))

= Iλ(λ(B1)χB2) = λ(B1)λ(B2) = λ2(B1 × B2) .

Ist also ν das Bildmaß von λ2 unter ψc, so ist ν(B1 ×B2) = λ2(B1 ×B2) fur alleB1, B2 ∈ B(R), und folglich gilt nach der Eindeutigkeit von λ2, dass ν = λ2.

Satz 13.2 Sei T ∈ Aut(Rn); fur jedes B ∈ B(Rn) gilt dann

λn(T−1(B)) = |det(T )|−1λn(B) .

Das Bildmaß von λn unter T ist also das Vielfache |det(T )|−1 von λn.

Beweis Zunachst werden einige Spezialfalle behandelt.

(1) Sei c ∈ R und definiere T ∈ Aut(Rn) durch

T (s1, . . . , sn) = (s1 + cs2, s2, s3, . . . , sn)

fur alle (s1, . . . , sn) ∈ Rn. Mit ψc ∈ Aut(R2) wie in Lemma 13.4 gilt dann

T−1(B1 × · · · × Bn) = ψ−1c (B1 × B2) × B3 × · · · ×Bn

fur alle B1, . . . , Bn ∈ B(R) und daraus folgt nach Lemma 13.4, dass

λn(T−1(B1 × · · · ×Bn)) = λn(ψ−1c (B1 × B2) × B3 × · · · ×Bn)

= λ2(ψ−1c (B1 × B2)) × λ(B3) × · · · × λ(Bn)

= λ2(B1 × B2) × λ(B3) × · · · × λ(Bn) = λn(B1 × · · · × Bn) .

Nach der Eindeutigkeit von λn gilt also λn(T−1(B)) = λn(B) fur alle B ∈ B(Rn),und man beachte, dass in diesem Fall det(T ) = 1.

(2) Sei π ∈ Sn eine Permutation von 1, . . . , n und definiere T ∈ Aut(Rn) durch

T (s1, . . . , sn) = (sπ(1), . . . , sπ(n))

fur alle (s1, . . . , sn) ∈ Rn. Fur alle B1, . . . , Bn ∈ B(R) gilt dann

λn(T−1(B1 × · · · × Bn)) = λn(Bσ(1) × · · · × Bσ(n))

= λ(Bσ(1)) × · · · × λ(Bσ(n))

= λ(B1) · · · × λ(Bn) = λn(B1 × · · · ×Bn) ,

wobei σ = π−1. Nach der Eindeutigkeit von λn ist wieder λn(T−1(B)) = λn(B)fur alle B ∈ B(Rn), und man beachte, dass in diesem Fall |det(T )| = 1.


(3) Seien c1, . . . , cn ∈ R \ 0 und definiere T ∈ Aut(Rn) durch

T (s1, . . . , sn) = (c1s1, . . . , cnsn)

fur alle (s1, . . . , sn) ∈ Rn. Mit γt wie in Lemma 13.2 (2) ist dann

λn(T−1(B1 × · · · × Bn))

= λn(γ−1c1

(B1) × · · · × γ−1cn (Bn)) = λ(γ−1

c1(B1)) × · · · × λ(γ−1

cn (Bn))

= |c1|−1λ(B1) × · · · × |cn|

−1λ(Bn) = |c1 · · · cn|−1λn(B1 × · · · ×Bn)

fur alle B1, . . . , Bn ∈ B(R). Folglich gilt λn(T−1(B)) = |c1 · · · cn|−1λn(B) fur alleB ∈ B(Rn), und hier ist det(T ) = c1 · · · cn.

Sei Aut0(Rn) die Menge der Elemente aus Aut(Rn), die zu den Fallen (1), (2) und

(3) gehoren. Fur jedes T ∈ Aut0(Rn) gilt also λn(T−1(B)) = |det(T )|−1λn(B) fur

alle B ∈ B(Rn). Sind S, T ∈ Aut0(Rn), so gilt dann auch

λn((S T )−1(B)) = λn(S−1(T−1(B))) = |det(S)|−1λn(T−1(B))

= |det(S)|−1|det(T )|−1λn(B) = |det(S T )|−1λn(B)

fur alle B ∈ B(Rn). Daraus folgt, dass λn(T−1(B)) = |det(T )|−1λn(B) fur alleB ∈ B(Rn), falls T = T1 · · · Tm mit T1, . . . , Tm ∈ Aut0(R

n).

Sei M0(n × n,R) die Menge der Matrizen, die vorkommen als Matrizen vonElementen aus Aut0(R

n) bezuglich der kanonischen Basis. Linksmultiplikationdurch eine Matrix aus M0(n × n,R) fuhrt eine elementare Zeilenumformungaus, und es gibt genugend solche Umformungen, um jede invertierbare Matrixin die Einheitsmatriz zu uberfuhren. Zu jedem T ∈ Aut(Rn) gibt es daherElemente S1, . . . , Sm ∈ Aut0(R

n), so dass Sm · · · S1 T = idRn. Da aberS−1 ∈ Aut0(R

n) fur jedes S ∈ Aut0(Rn), gibt es zu jedem T ∈ Aut(Rn) Elemente

T1, . . . , Tm ∈ Aut0(Rn), so dass T = T1 · · · Tm.

Daraus ergibt sich, dass λn(T−1(B)) = |det(T )|−1λn(B) fur alle B ∈ B(Rn) furjedes T ∈ Aut(Rn).

Satz 13.3 Sei T ∈ Aut(Rn); fur jedes B ∈ B(Rn) ist T (B) ∈ B(Rn) und es gilt

λn(T (B)) = |det(T )|λn(B) .

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Satz 13.2 angewendet auf T−1 ∈ Aut(Rn), daT (B) = T−1(T−1(B)) und det(T−1) = (det(T ))−1.

Fur jede offene Teilmenge U von Rn setze B(U) = P(U)∩B(Rn); es ist klar, dassB(U) ⊂ P(U) eine σ-Algebra ist. Ferner ist die Abbildung λnU : B(U) → R+

∞, diedefiniert ist durch λnU(B) = λn(B) fur alle B ∈ B(U), ein Maß auf B(U).


Bemerkung Diese Schreibweise B(U) ist gerechtfertigt: Wird U als metrischerRaum mit der induzierten Metrik angesehen, so sieht man leicht, dass B(U) diedazugehorige Borelsche σ-Algebra ist.

Erinnerung Seien U und V offene Teilmengen von Rn. Eine bijektive AbbildungT : U → V heißt Diffeomorphismus, wenn T und T−1 : V → U beide stetigdifferenzierbar sind.

Satz 13.4 (Transformationssatz) Seien U und V offene Teilmengen von Rn

und sei T : U → V ein Diffeomorphismus. Eine Abbildung f ∈ M(V,B(V )) istgenau dann f λnV -integrierbar, wenn (f T )|det (∂T )| : U → R λnU -integrierbarist und in diesem Fall gilt

∫f dλnV =

∫(f T )|det (∂T )| dλnU .

Beweis Dieser erstreckt sich uber die nachsten vier Seiten.

Im Folgenden seien U und V stets offene Teilmengen von Rn und T : U → V einDiffeomorphismus. Da T−1 stetig ist, ist T (B) ∈ B(V ) fur jedes B ∈ B(U).

Im Beweis ist es nutzlich, die Maximum-Norm ‖x‖ = max|xk| : 1 ≤ k ≤ n (mitx = (x1, . . . , xn)) als Norm auf Rn zu verwenden. Diese Norm und die ublicheNorm sind naturlich aquivalent; der große Vorteil der Maximum-Norm ist es, dassBalle Wurfel sind, zum Beispiel ist B(x, ε) = (x1−ε, x1 +ε)×· · ·×(xn−ε, xn+ε)und der abgeschlossene Ball B(x, ε) = y ∈ Rn : ‖y − x‖ ≤ ε ist der Wurfel[x1 − ε, x1 + ε] × · · · × [xn − ε, xn + ε]. Man beachte ferner, dass

λn(B(x, ε)) = λn(B(x, ε)) = (2ε)n .

Lemma 13.5 Sei S : U → Rn eine differenzierbare Abbildung, sei C = B(x, a)ein abgeschlossener Ball mit C ⊂ U und nehme an, es gibt ein ε > 0, so dass‖∂S(y) − idRn‖∞ ≤ ε fur alle y ∈ C. Dann gilt

λn(S(C)) ≤ (1 + ε)nλn(C) .

(Man beachte, dass S(C) ∈ B(Rn), da S(C) kompakt ist.)

Beweis Nach Satz 20.7 vom Analysis-Skript gilt, dass

‖S(y) − S(x)‖ ≤ (1 + ε)‖y − x‖ ≤ (1 + ε)a

fur alle y ∈ C, da C konvex ist und

sup‖∂S(y)‖∞ : y ∈ C ≤ 1 + sup‖∂S(y) − idRn‖∞ : y ∈ C ≤ 1 + ε .

Daraus ergibt sich, dass S(C) ⊂ B(S(x), (1 + ε)a) und folglich gilt

λn(S(C)) ≤ λn(B(S(x), (1 + ε)a)) = (1 + ε)n(2a)n = (1 + ε)nλn(C) .


Lemma 13.6 Sei K eine kompakte Teilmenge von U und sei ε > 0. Dann gibtes ein δ > 0, so dass gilt: Ist c > 0 und ist C = B(x, a) ein abgeschlossener Ballmit C ⊂ K, a ≤ δ und mit |det(∂T (y))| ≤ c fur alle y ∈ C, so ist dann

λn(T (C)) ≤ c(1 + ε)nλn(C) .

Beweis Die Abbildung y 7→ (∂T (y))−1 = ∂T−1(T (y)) von U nach End(Rn) iststetig und damit beschrankt auf K; es gibt also r > 0, so dass ‖(∂T (y))−1‖∞ ≤ rfur alle y ∈ K. Ferner ist die Abbildung ∂T : U → End(Rn) stetig und damitgleichmaßig stetig auf K; es gibt also ein δ > 0, so dass ‖∂T (y1)−∂T (y2)‖∞ ≤ ε/rfur alle y1, y2 ∈ K mit ‖y1 − y2‖ ≤ δ.

Sei nun C = B(x, a) ein abgeschlossener Ball mit C ⊂ K, a ≤ δ und mit|det(∂T (y))| ≤ c fur alle y ∈ C. Definiere eine Abbildung S : U → Rn durchS = Q−1 T , wobei Q = ∂T (x). Nach der Kettenregel ist S differenzierbar und

∂S(y) − idRn = Q−1 ∂T (y) − idRn = Q−1 (∂T (y) − ∂T (x))

fur alle y ∈ U , da ∂Q−1(z) = Q−1 fur alle z ∈ Rn. Folglich ist

‖∂S(y) − idRn‖∞ = ‖Q−1 (∂T (y) − ∂T (x))‖∞

≤ ‖Q−1‖∞‖∂T (y) − ∂T (x)‖∞ ≤ r(ε/r) = ε

fur alle y ∈ C. Da T = Q S, ist also nach Satz 13.3 und Lemma 13.5

λn(T (C)) = λn(Q(S(C))) = |det(Q)|λn(S(C))

= |det(∂T (x))|λn(S(C)) ≤ cλn(S(C)) ≤ c(1 + ε)nλn(C) .

Fur jedes m ≥ 1 sei Im = (k2−m, (k + 1)2−m] : m ∈ Z. Die Intervalle in Imsind also paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ist R. Sei auch

Cm = I1 × · · · × In : I1, . . . , In ∈ Im ;

die Wurfel in Cm sind also paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ist Rn. Furjedes A ⊂ Rn und m ≥ 1 sei CAm = C ∈ Cm : C ⊂ A und sei Am die Vereinigungder Mengen in CAm. Dann sieht man leicht, dass Amm≥1 eine monoton wachsendeFolge Teilmengen von A ist und Am ∈ B(Rn) fur jedes m ≥ 1, falls A ∈ B(Rn).

Lemma 13.7 Fur jede offene Teilmenge W von Rn gilt⋃m≥1

W m = W .


Lemma 13.8 Sei c > 0 und sei W ⊂ U offen mit |det(∂T (x))| ≤ c fur allex ∈W . Dann gilt λn(T (W )) ≤ cλn(W ).


Beweis Nehme zunachst zusatzlich an, dass die offene Menge W beschrankt istmit W ⊂ U . Sei ε > 0; da W kompakt ist, gibt es nach Lemma 13.6 ein q ≥ 1, sodass λn(T (C)) ≤ c(1 + ε)nλn(C) fur alle C ∈ CWm und alle m ≥ q. Daraus ergibtsich, da λn(C) = λn(C), dass fur alle m ≥ q

λn(T (W m)) = λn

( ⋃

C∈CWm

T (C))

=∑

C∈CWm

λn(T (C))

≤ c(1 + ε)n∑

C∈CWm

λn(C) = c(1 + ε)nλn(W m) ≤ c(1 + ε)nλn(W )

und folglich gilt nach Lemma 13.7 und Lemma 1.5 (1), dass

λn(T (W )) = limm→∞

λn(T (W m)) ≤ c(1 + ε)nλn(W ) .

Da dies fur alle ε > 0 richtig ist, ist λn(T (W )) ≤ cλn(W ).

Sei jetzt W eine beliebige offene Teilmenge von U . Dann gibt es eine monotonwachsende Folge Wmm≥1 beschrankter offener Mengen mit Wm ⊂ U fur jedes mund W =

⋃∞m=1Wm. (Da Rn \U abgeschlossen ist, gibt es eine stetige Abbildung

h : Rn → R mit 0 ≤ h ≤ 1 und h(x) = 1 genau dann, wenn x ∈ Rn \ U .Setze Wm = x ∈ W : h(x) < 1 − 1/m und ‖x‖ < m; dann ist Wm offenund beschrankt mit Wm ⊂ x ∈ Rn : h(x) ≤ 1 − 1/m ⊂ U fur jedes m, undW =

⋃∞m=1Wm.) Gilt |det(∂T (x))| ≤ c fur alle x ∈ W , so folgt aus dem ersten

Teil, dass λn(T (Wm)) ≤ cλn(Wm) ≤ cλn(W ) fur jedes m und daraus ergibt sichnach Lemma 1.5 (1), dass λn(T (W )) ≤ cλn(W ), da T (Wm)m≥1 eine monotonwachsende Folge ist mit T (W ) =

⋃∞m=1 T (Wm).

Lemma 13.9 Sei c > 0 und sei B ∈ B(U) mit |det(∂T (x))| ≤ c fur alle x ∈ B.Dann gilt λn(T (B)) ≤ cλn(B).

Beweis Mit Vm = B(0, m) ist Vmm≥1 eine Folge offener Teilmengen von Rn mitλn(Vm) <∞ und Rn =

⋃∞m=1 Vm, und folglich gilt nach Aufgabe 26 (3), dass

λn(B) = infλn(W ) : W offen mit B ⊂W ⊂ U .

Es genugt daher zu zeigen, dass λn(T (B)) ≤ cλn(W ) fur jede offene Menge Wmit B ⊂W ⊂ U .

Sei also W offen mit B ⊂ W ⊂ U und sei ε > 0. Da x 7→ det(∂T (x)) stetig ist,ist Wε = x ∈ W : |det(∂T (x))| < c + ε offen, und B ⊂ Wǫ ⊂ W ⊂ U . Darausergibt sich nach Lemma 13.8, dass

λn(T (B)) ≤ λn(T (Wε)) ≤ (c+ ε)λn(Wε) ≤ (c+ ε)λn(W ) ,

und da ε > 0 beliebig ist, gilt dann λn(T (B)) ≤ cλn(W ).


Lemma 13.10 Sei c > 0 und sei B ∈ B(U) mit |det(∂T (x))| ≥ c fur alle x ∈ B.Dann gilt λn(T (B)) ≥ cλn(B).

Beweis Nach der Kettenregel ist ∂T−1(T (x)) ∂T (x) = idRn und damit

1 = det(idRn) = det(∂T−1(T (x)) ∂T (x)) = det(∂T−1(T (x))) det(∂T (x))

fur alle x ∈ U . Damit gilt |det(∂T−1(y))| ≤ 1/c fur alle y ∈ T (B) und darausergibt sich nach Lemma 13.9 (angewendet auf T−1 und T (B)), dass

λn(B) = λn(T−1(T (B))) ≤ (1/c)λn(T (B)) ;

d.h., λn(T (B)) ≥ cλn(B).

Im Folgenden setze h = |det (∂T )|, µ = λnU und ν = λnV .

Lemma 13.11 Fur jedes B ∈ B(U) gilt λn(T (B)) = Iµ(χBh).

Beweis Nehme zunachst an, dass λn(B) < ∞. Sei ε > 0 und fur jedes k ≥ 1 seiAk = x ∈ B : (k − 1)ε ≤ h(x) < kε. Dann ist

(k − 1)ελn(Ak) ≤ Iµ(χAkh) ≤ kελn(Ak)

fur jedes k ≥ 1 und nach Lemma 13.9 und Lemma 13.10 gilt auch

(k − 1)ελn(Ak) ≤ λn(T (Ak)) ≤ kελn(Ak) .

Daraus ergibt sich, dass |λn(T (Ak)) − Iµ(χAkh)| ≤ ελn(Ak) fur jedes k ≥ 1. Nun

ist∑∞

k=1 λn(T (Ak)) = λn(T (B)) und

∑∞k=1 λ

n(Ak) = λn(B), und nach Satz 6.1ist∑∞

k=1 Iµ(χAkh) = Iµ(χBh). Da aber ε > 0 beliebig ist und λn(B) < ∞, ist

also λn(T (B)) = Iµ(χBh).

Sei B ∈ B(U) beliebig. Dann gibt es eine monoton wachsende Folge Bkk≥1 ausB(U) mit λn(Bk) < ∞ fur jedes k ≥ 1 und B =

⋃∞k=1Bk. Nach Lemma 1.5 (1)

und Satz 6.1 gilt nun

λn(T (B)) = limk→∞

λn(T (Bk)) = limk→∞

Iµ(χBkh) = Iµ(χBh) .

Beweis fur Satz 13.4 Fur jedes A ∈ B(V ) gilt nach Lemma 13.11, dass

Iν(χA) = ν(A) = λn(A) = λn(T (T−1(A))) = Iµ(χT−1(A)h) = Iµ((χA T )h) .

Folglich gilt Iν(f) = Iµ((f T )h) fur alle f ∈ E+(V,B(V )) (nach Satz 6.4)und damit fur alle f ∈ M+

∞(V,B(V )) (nach Satz 6.1). Sei f ∈ M(V,B(V )); da|f T | = |f | T , ist also f λnV -integrierbar genau dann, wenn die Abbildung(f T )h : U → R λnU -integrierbar ist und in diesem Fall gilt

∫f dλnV =

∫(f T )|det (∂T )| dλnU .

14 Multilineare Algebra

Im Folgenden seien V und W reelle Vektorraume mit V endlichdimensional; sein = dim V .

Erinnerung: Alle Normen auf V sind aquivalent. Ist ‖ · ‖ eine Norm auf V , soist (V, ‖ · ‖) ein Banach-Raum. Werden V und W als normierte Vektorraumebetrachtet (bezuglich irgenwelcher Normen), so ist dann jede lineare Abbildungf : V → W beschrankt und damit stetig; es gilt also L(V,W ) = L(V,W ).

Der Vektorraum L(V,R) heißt Dualraum von V und wird mit V ∗ bezeichnet. Esgilt dim V ∗ = dimV = n. Zu jeder Basis (v1, . . . , vn) von V gibt es die zugehorigeDualbasis (ϕ1, . . . , ϕn) von V ∗: Es gilt ϕk(vj) = δkj fur alle 1 ≤ j, k ≤ n, wobei

δkj =

1 falls j = k ,0 falls j 6= k .

Sei r ≥ 1; eine Abbildung α : V r →W heißt multilinear, wenn fur jedes 1 ≤ k ≤ rund alle v1, . . . , vk−1, vk+1, . . . , vr ∈ V die Abbildung

v 7→ α(v1, . . . , vk−1, v, vk+1, . . . , vr)

(von V nach W ) linear ist. Die Menge aller multilinearen Abbildungen von V r

nachW wird mit Lr(V,W ) bezeichnet. Es ist klar, dass Lr(V,W ) ein Untervektor-raum von Abb(V r,W ) ist und wird als solcher als reeller Vektorraum betrachtet.Insbesondere ist L1(V,R) = V ∗. Es ist nutzlich, L0(V,R) = R zu setzen.

Seien r, s ≥ 1. Fur α ∈ Lr(V,R), β ∈ Ls(V,R) definiere α⊗ β : V r+s → R durch

(α⊗ β)(v1, . . . , vr+s) = α(v1, . . . , vr) · β(vr+1, . . . , vr+s)

fur alle (v1, . . . , vr+s) ∈ V r+s. Dann sieht man leicht, dass α ⊗ β multilinear ist,d.h., α⊗ β ∈ Lr+s(V,R). Es gibt also eine Verknupfung

⊗ : Lr(V,R) × Ls(V,R) → Lr+s(V,R)

(α, β) 7→ α⊗ β .

Lemma 14.1 Seien r, s, t ≥ 1.

(1) Die Abbildung ⊗ : Lr(V,R) × Ls(V,R) → Lr+s(V,R) ist bilinear.

(2) Fur alle α ∈ Lr(V,R), β ∈ Ls(V,R), γ ∈ Lt(V,R) gilt

(α⊗ β) ⊗ γ = α⊗ (β ⊗ γ) .

93



Da ⊗ assoziativ ist (im Sinne von Lemma 14.1 (2)), konnen ‘Produkte’ ohneKlammern geschrieben werden. Ist r ≥ 2 und sind ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗ = L1(V,R),so gibt es das Produkt ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕr ∈ Lr(V,R), das gegeben ist durch

(ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕr)(v1, . . . , vr) = ϕ1(v1) × · · · × ϕr(vr)

fur alle (v1, . . . , vr) ∈ V r.

Satz 14.1 Sei (v1, . . . , vn) eine Basis von V und sei (ϕ1, . . . , ϕn) die zugehorigeDualbasis von V ∗. Fur jedes r ≥ 2 bilden dann die nr Elemente

Ur = ϕk1 ⊗ · · · ⊗ ϕkr: 1 ≤ kj ≤ n, 1 ≤ j ≤ r

eine Basis von Lr(V,R). Insbesondere ist dimLr(V,R) = nr.

Beweis Es wird zunachst gezeigt, dass jedes α ∈ Lr(V,R) als Linearkombinationder Elemente in Ur geschrieben werden kann. Seien u1, . . . , ur ∈ V . Fur jedes1 ≤ j ≤ r gibt es aj1, . . . , ajn ∈ R, so dass uj =

∑nk=1 ajkvk, und dann ist

ϕi(uj) = ϕi

( n∑

k=1

ajkvk

)=

n∑

k=1

ajkϕi(vk) = aji

fur alle 1 ≤ i, j ≤ n. Daraus folgt, dass

α(u1, . . . , ur) = α( n∑

k1=1

a1k1vk1 , . . . ,n∑

kr=1

arkrvkr

)

=n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

a1k1 × · · · × arkrα(vk1, . . . , vkr

)

=n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

ϕk1(u1) × · · · × ϕkr(ur)α(vk1, . . . , vkr

)

=

n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

α(vk1, . . . , vkr)ϕk1(u1) × · · · × ϕkr

(ur)

=

n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

α(vk1, . . . , vkr)(ϕk1 ⊗ · · · ⊗ ϕkr

)(u1, . . . , ur) ;

d.h., α =∑n

k1=1 · · ·∑n

kr=1 α(vk1, . . . , vkr)ϕk1⊗· · ·⊗ϕkr

. Es wird nun gezeigt, dassdie Elemente in Ur linear unabhangig sind. Nehme also an, dass

n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

bk1,...,krϕk1 ⊗ · · · ⊗ ϕkr

= 0 ,


wobei die bk1,...,kraus R sind. Seien 1 ≤ ij ≤ n, 1 ≤ j ≤ r; dann ist

0 =

n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

bk1,...,kr(ϕk1 ⊗ · · · ⊗ ϕkr

)(vi1 , . . . , vir)

=

n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

bk1,...,krϕk1(vi1) × · · · × ϕkr

(vir) = bi1,...,ir ;

d.h., bi1,...,ir = 0 fur alle 1 ≤ ij ≤ n, 1 ≤ j ≤ r. Dies zeigt, dass die Elemente inUr linear unabhangig sind.

Fur r ≥ 2 definiere eine Abbildung ⊗r : (V ∗)r → Lr(V,R) durch

⊗r(ϕ1, . . . , ϕr) = ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕr

fur alle ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗. Dann sieht man leicht, dass ⊗r multilinear ist, d.h.,⊗r ∈ Lr(V ∗,Lr(V,R)).

Satz 14.2 Zu jedem α ∈ Lr(V ∗,W ) gibt es eine eindeutige lineare Abbildungf : Lr(V,R) → W , so dass α = f ⊗r.

Beweis Ubung.

Satz 14.2 besagt, dass Lr(V,R) (zusammen mit der Abbildung ⊗r) das r-facheTensorprodukt von V ∗ ist. Das Tensorprodukt des Dualraumes V ∗ kann man alsoexplizit angeben.

Sei r ≥ 2; eine multilineare Abbildung α : V r →W heißt alternierend, wenn gilt:

α(v1 . . . , vj−1, vk, vj+1, . . . , vk−1, vj , vk+1, . . . , vr) = −α(v1, . . . , vn)

fur alle (v1, . . . , vr) ∈ V r und alle 1 ≤ j < k ≤ r.

Satz 14.3 Sei r ≥ 2. Fur α ∈ Lr(V,W ) sind aquivalent:

(1) α ist alternierend.

(2) Fur jedes (v1, . . . , vr) ∈ V r und jede Permutation π ∈ Sr gilt

α(vπ(1), . . . , vπ(r)) = sign(π)α(v1, . . . , vn) .

(3) Es gilt α(v1, . . . , vr) = 0, falls es 1 ≤ j < k ≤ r mit vj = vk gibt.

(4) Es gilt α(v1, . . . , vr) = 0, falls v1, . . . , vr linear abhangig sind.


Beweis (2) ⇒ (1) ⇒ (3) und (4) ⇒ (3) sind klar, und (1) ⇒ (2) folgt aus derTatsache, dass jede Permutation ein Produkt von Transpositionen ist.

(3) ⇒ (4): Seien v1, . . . , vr linear abhangig. Da α(v1, . . . , vr) = 0 sofort gilt,wenn v1 = 0, kann man annehmen, dass v1 6= 0. Dann gibt es 1 < k ≤ r undc1, . . . , ck−1 ∈ R, so dass vk = c1v1 + · · ·+ ck−1vk−1 und daraus folgt, dass

α(v1, . . . , vr) = α(v1, . . . , vk−1, c1v1 + · · ·+ ck−1vk−1, vk+1, . . . , vr)

=

k−1∑

j+1

cjα(v1, . . . , vk−1, vj , vk+1, . . . , vr) = 0 .

(3) ⇒ (1): Fur alle (v1, . . . , vr) ∈ V r und alle 1 ≤ j < k ≤ r gilt

0 = α(v1 . . . , vj−1, vj + vk, vj+1, . . . , vk−1, vj + vk, vk+1, . . . , vr)

= α(v1 . . . , vj−1, vj, vj+1, . . . , vk−1, vj + vk, vk+1, . . . , vr)

+ α(v1 . . . , vj−1, vk, vj+1, . . . , vk−1, vj + vk, vk+1, . . . , vr)

= α(v1 . . . , vj−1, vj, vj+1, . . . , vk−1, vj , vk+1, . . . , vr)

+ α(v1 . . . , vj−1, vj , vj+1, . . . , vk−1, vk, vk+1, . . . , vr)

+ α(v1 . . . , vj−1, vk, vj+1, . . . , vk−1, vj, vk+1, . . . , vr)

+ α(v1 . . . , vj−1, vk, vj+1, . . . , vk−1, vk, vk+1, . . . , vr)

= α(v1 . . . , vj−1, vj, vj+1, . . . , vk−1, vk, vk+1, . . . , vr)

+ α(v1 . . . , vj−1, vk, vj+1, . . . , vk−1, vj, vk+1, . . . , vr)

= α(v1, . . . , vr) + α(v1 . . . , vj−1, vk, vj+1, . . . , vk−1, vj, vk+1, . . . , vr)


α(v1 . . . , vj−1, vk, vj+1, . . . , vk−1, vj , vk+1, . . . , vr) = −α(v1, . . . , vn) .

Fur r ≥ 2 wird die Menge der alternierenden multilinearen Abbildungen von V r

nachW mit Ar(V,W ) bezeichnet. Es ist klar, dass Ar(V,W ) ein Untervektorraumvon Lr(V,W ) ist. Nach Satz 14.3 ((1) ⇒ (4)) ist Ar(V,W ) = 0, falls r > n. Esist nutzlich, A1(V,R) = V ∗ und A0(V,R) = R zu setzen.

Sei r ≥ 1; fur jedes α ∈ Lr(V,W ) definiere Alt(α) : V r →W durch

Alt(α)(v1, . . . , vr) =1

r!

∑

σ∈Sr

sign(σ)α(vσ(1), . . . , vσ(r)) .

Da fur jedes σ ∈ Sr die Abbildung (v1, . . . , vr) 7→ α(vσ(1), . . . , vσ(r)) multilinearist, ist Alt(α) ∈ Lr(V,W ). Ferner ist die Abbildung Alt : Lr(V,W ) → Lr(V,W )linear. Fur r = 1 ist naturlich Alt(α) = α.


Lemma 14.2 (1) Es gilt Alt(α) ∈ Ar(V,W ) fur jedes α ∈ Lr(V,W ).

(2) Es gilt Alt(α) = α fur jedes α ∈ Ar(V,W ).

(3) Es gilt Alt(Alt(α)) = Alt(α) fur jedes α ∈ Lr(V,W ).

Beweis (1) Sei π ∈ Sr; fur jedes (v1, . . . , vr) ∈ V r gilt dann

Alt(α)(vπ(1), . . . , vπ(r)) =1

r!

∑

σ∈Sr

sign(σ)α(vπσ(1), . . . , vπσ(r))

= sign(π)1

r!

∑

σ∈Sr

sign(πσ)α(vπσ(1), . . . , vπσ(r))

= sign(π)1

r!

∑

σ∈Sr

sign(σ)α(vσ(1), . . . , vσ(r))

= sign(π) Alt(α)(v1, . . . , vr)

und daraus folgt nach Satz 14.3 ((2) ⇒ (1)), dass Alt(α) ∈ Ar(V,W ).

(2) Sei α ∈ Ar(V,W ); dann gilt nach Satz 14.3 ((1) ⇒ (2)), dass

Alt(α)(v1, . . . , vr) =1

r!

∑

σ∈Sr

sign(σ)α(vσ(1), . . . , vσ(r))

=1

r!

∑

σ∈Sr

sign(σ) sign(σ)α(v1, . . . , vr) =1

r!

∑

σ∈Sr

α(v1, . . . , vr) = α(v1, . . . , vr)

fur jedes (v1, . . . , vr) ∈ V r, d.h., Alt(α) = α.

(3) Dies folgt unmittelbar aus (1) und (2).

Lemma 14.3 Seien r, s ≥ 1.

(1) Fur alle α ∈ Lr(V,R), β ∈ Ls(V,R) gilt Alt(α⊗ β) = (−1)rs Alt(β ⊗ α).

(2) Fur alle α ∈ Lr(V,R), β ∈ Ls(V,R) mit Alt(α) = 0 gilt

Alt(α⊗ β) = Alt(β ⊗ α) = 0 .

(3) Fur alle α ∈ Lr(V,R), β ∈ Ls(V,R) gilt

Alt(Alt(α) ⊗ β) = Alt(α⊗ β) = Alt(α⊗ Alt(β)) .

(4) Sei m ≥ 2 und fur k = 1, . . . , m sei sk ≥ 1. Dann gilt

Alt(Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αm−1) ⊗ αm) = Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αm)

= Alt(α1 ⊗ Alt(α2 ⊗ · · · ⊗ αm))

fur alle αk ∈ Lsk(V,R), k = 1, . . . , m.


Beweis (1) Sei τ das Element von Sr+s mit τ(k) = s + k fur k = 1, . . . , r undτ(r + k) = k fur k = 1, . . . , s; also ist sign(τ) = (−1)rs. Dann gilt

(r + s)! Alt(α⊗ β)(v1, . . . , vr+s)

=∑

σ∈Sr+s

sign(σ)α(vσ(1), . . . , vσ(r))β(vσ(r+1), . . . , vσ(r+s))

=∑

σ∈Sr+s

sign(στ)α(vστ(1), . . . , vστ(r))β(vστ(r+1), . . . , vστ(r+s))

=∑

σ∈Sr+s

sign(στ)α(vσ(s+1), . . . , vσ(s+r))β(vσ(1), . . . , vσ(s))

= (−1)rs∑

σ∈Sr+s

sign(σ)β(vσ(1), . . . , vσ(s))α(vσ(s+1), . . . , vσ(s+r))

= (−1)rs(r + s)! Alt(β ⊗ α)(v1, . . . , vr+s)

fur jedes (v1, . . . , vr+s) ∈ V r+s. Damit ist Alt(α⊗ β) = (−1)rs Alt(β ⊗ α).

(2) Seien α ∈ Lr(V,R), β ∈ Ls(V,R) mit Alt(α) = 0 und setze

H = σ ∈ Sr+s : σ(k) = k fur alle k = r + 1, . . . , r + s ;

also ist H eine Untergruppe von Sr+s. Fur π ∈ Sr+s sei πH die Nebenklasseπσ : σ ∈ H. Fur jedes π ∈ Sr+s und jedes (v1, . . . , vr+s) ∈ V r+s gilt nun

∑

σ∈πH

sign(σ)α(vσ(1), . . . , vσ(r))β(vσ(r+1), . . . , vσ(r+s))

=∑

σ∈H

sign(πσ)α(vπσ(1), . . . , vπσ(r))β(vπσ(r+1), . . . , vπσ(r+s))

=∑

σ∈H

sign(πσ)α(vπσ(1), . . . , vπσ(r))β(vπ(r+1), . . . , vπ(r+s))

= β(vπ(r+1), . . . , vπ(r+s)) sign(π)∑

σ∈H

sign(σ)α(vπσ(1), . . . , vπσ(r))

= β(vπ(r+1), . . . , vπ(r+s))(r + s)! sign(π) Alt(α)(vπ(1), . . . , vπ(r)) = 0 ,

da Alt(α)(u1, . . . , ur) = 0 fur alle (u1, . . . , ur) ∈ V r. Es gibt aber Elementeπ1, . . . , πm ∈ Sr+s mit πjH ∩ πkH = ∅, falls j 6= k, und mit Sr+s =

⋃mk=1 πkH .

Daraus ergibt sich, dass fur alle (v1, . . . , vr+s) ∈ V r+s

(r + s)! Alt(α⊗ β)(v1, . . . , vr+s)

=m∑

k=1

∑

σ∈πkH

sign(σ)α(vσ(1), . . . , vσ(r))β(vσ(r+1), . . . , vσ(r+s)) =m∑

k=1

0 = 0 ;

d.h., Alt(α⊗ β) = 0. Nach (1) gilt nun auch Alt(β⊗α) = (−1)rs Alt(α⊗β) = 0.


(3) Nach Lemma 14.2 (3) gilt Alt(Alt(β)−β) = Alt(β)−Alt(β) = 0 und darausergibt sich nach (2), dass

0 = Alt(α⊗ (Alt(β) − β)) = Alt(α⊗ Alt(β)) − Alt(α⊗ β) ;

d.h., Alt(α ⊗ Alt(β)) = Alt(α ⊗ β). Der analoge Beweis zeigt nun, dass auchAlt(Alt(α) ⊗ β) = Alt(α⊗ β).

(4) Dies folgt unmittelbar aus (3).

Seien r, s ≥ 1. Fur α ∈ Ar(V,R), β ∈ As(V,R) definiere α∧ β : V r+s → R durch

α ∧ β =(r + s)!

r!s!Alt(α⊗ β)

nach Lemma 14.2 (1) ist α ∧ β ∈ Ar+s(V,R). Es gibt also eine Verknupfung

∧ : Ar(V,R) × As(V,R) → Ar+s(V,R)

(α, β) 7→ α ∧ β .

Lemma 14.4 Seien r, s, t ≥ 1.

(1) Die Abbildung ∧ : Ar(V,R) ×As(V,R) → Ar+s(V,R) ist bilinear.

(2) Fur alle α ∈ Ar(V,R), β ∈ As(V,R) gilt α ∧ β = (−1)rsβ ∧ α.

(3) Fur alle α ∈ Ar(V,R), β ∈ As(V,R), γ ∈ At(V,R) gilt

(α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) .

Beweis (1) ist klar, und (2) und (3) folgen unmittelbar aus Lemma 14.3 (1) und(4).

Da ∧ assoziativ ist (im Sinne von Lemma 14.4 (3)), konnen ‘Produkte’ ohneKlammern geschrieben werden. Ist r ≥ 2 und sind ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗ = A1(V,R),so gibt es insbesondere das Produkt ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕr ∈ Ar(V,R).

Lemma 14.5 Sei r ≥ 2 und fur k = 1, . . . , r sei sk ≥ 1. Dann gilt

α1 ∧ · · · ∧ αr =(s1 + · · · + sr)!

s1! × · · · × sr!Alt(α1 ⊗ · · · ⊗ αr)

fur alle αk ∈ Ask(V,R), k = 1, . . . , r. Insbesondere gilt

ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕr = r! Alt(ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕr)

fur alle ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗.


Beweis Dies folgt durch Induktion nach r aus Lemma 14.3 (4).

Lemma 14.6 Sei r ≥ 2 und seien ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗. Dann gilt

ϕπ(1) ∧ · · · ∧ ϕπ(r) = sign(π)ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕr

fur jede Permutation π ∈ Sr. Insbesondere ist ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕr = 0, falls es j, k mitj 6= k gibt, so dass ϕj = ϕk.

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Lemma 14.4 (2).

Lemma 14.7 Sei (v1, . . . , vn) eine Basis von V und (ϕ1, . . . , ϕn) die zugehorigeDualbasis von V ∗; sei r ≥ 2. Dann gilt

(ϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkr)(vj1, . . . , vjr) =

1 falls (j1, . . . , jr) = (k1, . . . , kr) ,0 sonst,

fur alle 1 ≤ j1 < · · · < jr ≤ n, 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n.

Beweis Da id die einzige ‘monoton wachsende’ Permutation ist, ist

σ ∈ Sr : (jσ(1), . . . , jσ(r)) = (k1, . . . , kr)

=

id falls (j1, . . . , jr) = (k1, . . . , kr) ,∅ sonst,

und daraus ergibt sich nach Lemma 14.5, dass

(ϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkr)(vj1, . . . , vjr) = r! Alt(ϕk1 ⊗ · · · ⊗ ϕkr

)(vj1, . . . , vjr)

=∑

σ∈Sr

sign(σ)(ϕk1 ⊗ · · · ⊗ ϕkr)(vjσ(1)

, . . . , vjσ(r))

=∑

σ∈Sr

sign(σ)ϕk1(vjσ(1)) × · · · × ϕkr

(vjσ(r))

=

1 falls (j1, . . . , jr) = (k1, . . . , kr) ,0 sonst.

Satz 14.4 Sei (v1, . . . , vn) eine Basis von V und sei (ϕ1, . . . , ϕn) die zugehorigeDualbasis von V ∗. Fur jedes r ≥ 2 bilden dann die

(nr

)Elemente

Vr = ϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkr: 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n

eine Basis von Ar(V,R). Insbesondere ist dimAr(V,R) =(nr

).


Beweis Es wird zunachst gezeigt, dass jedes α ∈ Ar(V,R) als Linearkombinationder Elemente in Vr geschrieben werden kann. Fur j = 1, . . . , r sei 1 ≤ kj ≤ n.Sind die Indizes k1, . . . , kr alle verschieden und ist π ∈ Sr die Permutation mitkπ(1) < · · · < kπ(r), so ist nach Lemma 14.6

ϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkr= sign(π)ϕkπ(1)

∧ · · · ∧ ϕkπ(r).

Ferner ist ϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkr= 0, falls ki = kj fur ein i 6= j. In allen Fallen ist

also ϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkrein Vielfaches eines Elements aus Vr. Nach Satz 14.1 gibt es

nun Koeffizienten bk1,...,kr, so dass α =

∑nk1=1 · · ·

∑nkr=1 bk1,...,kr

ϕk1 ⊗· · ·⊗ϕkrund

daraus folgt nach Lemma 14.2 (2), dass

α = Alt(α) =

n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

bk1,...,krAlt(ϕk1 ⊗ · · · ⊗ ϕkr

)

=1

r!

n∑

k1=1

· · ·n∑

kr=1

bk1,...,krϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkr

.

Damit ist α eine Linearkombination der Elemente in Vr. Nehme nun an, dass

∑

1≤k1<···<kr≤n

bk1,...,krϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkr

= 0 .

Sind 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ n, so gilt nach Lemma 14.7, dass

0 =∑

1≤k1<···<kr≤n

bk1,...,kr(ϕk1 ∧ · · · ∧ ϕkr

)(vi1 , . . . , vir) = bi1,...,ir ;

d.h., bi1,...,ir = 0 fur alle 1 ≤ i1 < · · · < ir ≤ n. Dies zeigt, dass die Elemente inVr linear unabhangig sind.

Fur r ≥ 2 definiere eine Abbildung ∧r : (V ∗)r → Ar(V,R) durch

∧r(ϕ1, . . . , ϕr) = ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕr

fur alle ϕ1, . . . , ϕr ∈ V ∗. Dann sieht man leicht, dass ∧r alternierend ist, d.h.,∧r ∈ Ar(V ∗,Ar(V,R)).

Satz 14.5 Zu jedem α ∈ Ar(V ∗,W ) gibt es eine eindeutige lineare Abbildungf : Ar(V,R) →W , so dass α = f ∧r.

Beweis Ubung.

Satz 14.5 besagt, dass Ar(V,R) (zusammen mit der Abbildung ∧r) das r-facheaußere Produkt von V ∗ ist und man schreibt deswegen oft

∧r V ∗ statt Ar(V,R).


Da dimV = n, ist nach Satz 14.4 dimAn(V,R) = 1. Fur V = Rn ist dies nichtsanderes als die Eindeutigkeit der Determinanten: Man kann M(n × n,R) mit(Rn)n identifizieren, indem das Element (v1, . . . , vn) ∈ (Rn)n als Matrix mit Zeilenv1, . . . , vn angesehen wird. Dann ist die Determinante det : M(n × n,R) → R

das eindeutige Element α ∈ An(Rn,R) mit α(e1, . . . , en) = 1, wobei (e1, . . . , en)die kanonische Basis von Rn ist.

Lemma 14.8 Sei α ∈ An(V,R) mit α 6= 0. Dann ist α(v1, . . . , vn) 6= 0 fur jedeBasis (v1, . . . , vn) von V .

Beweis Sei (v1, . . . , vn) eine Basis von V , sei (ϕ1, . . . , ϕn) die zugehorige Dualbasisund setze ψ = ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn. Nach Satz 14.4 ist (ψ) eine Basis von An(V,R) undalso gibt es ein c 6= 0, so dass α = cψ. Nach Lemma 14.7 ist nun ψ(v1, . . . , vn) = 1und damit ist α(v1, . . . , vn) = c 6= 0.

Satz 14.6 Sei α ∈ An(V,R) und f ∈ End(V ); dann gilt

α(f(v1), . . . , f(vn)) = det(f)α(v1, . . . , vn)

fur alle v1, . . . , vn ∈ V .

Beweis Sind v1, . . . , vn linear abhangig, so sind auch f(v1), . . . , f(vn) linearabhangig, und in diesem Fall ist nach Satz 14.3

α(f(v1), . . . , f(vn)) = 0 = det(f)α(v1, . . . , vn) .

Es kann also angenommen werden, dass (v1, . . . , vn) eine Basis von V ist; sei(ϕ1, . . . , ϕn) die zugehorige Dualbasis und setze ψ = ϕ1∧· · ·∧ϕn. Nach Satz 14.4ist (ψ) eine Basis von An(V,R) und nach Lemma 14.7 ist ψ(v1, . . . , vn) = 1.Sei A = (aij) ∈ M(n × n,R) die Matrix von f bezuglich (v1, . . . , vn); also istf(vj) =

∑ni=1 aijvi fur jedes j. Nach Lemma 14.7 und Satz 14.3 gilt nun

ψ(f(v1), . . . , f(vn)) = ψ( n∑

i1=1

ai11vi1 , . . . ,

n∑

in=1

ainnvin

)

=

n∑

i1=1

· · ·n∑

in=1

ai11 · · ·ainn(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn)(vi1, . . . , vin)

=

n∑

σ∈Sn

aσ(1)1 · · ·aσ(1)n(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn)(vσ(1), . . . , vσ(n))

=

n∑

σ∈Sn

sign(σ)aσ(1)1 · · ·aσ(1)n = det(A∗) = det(A)

= det(f) = det(f)ψ(v1, . . . , vn) .


Damit ist α(f(v1), . . . , f(vn)) = det(f)α(v1, . . . , vn) fur alle α ∈ An(V,R), da (ψ)eine Basis von An(V,R) ist.

Satz 14.7 Sei 〈·, ·〉 : V × V → R ein Skalarprodukt. Dann gibt es ein bis aufVorzeichen eindeutiges Element ω ∈ An(V,R), so dass |ω(v1, . . . , vn)| = 1 furjede orthonormale Basis (v1, . . . , vn) von (V, 〈·, ·〉).

Beweis Naturlich gibt es eine orthonormale Basis (u1, . . . , un) von (V, 〈·, ·〉) undda dimAn(V,R) > 0, gibt es dann nach Lemma 14.8 ein ω ∈ An(V,R) mitω(u1, . . . , un) = 1. Sei nun (v1, . . . , vn) eine beliebige orthonormale Basis von(V, 〈·, ·〉) und sei f : V → V der eindeutige Automorphismus mit f(uk) = vk furjedes k = 1, . . . , n. Dann ist f orthogonal und damit ist | det(f)| = 1. Darausfolgt nach Satz 14.6, dass |ω(v1, . . . , vn)| = | det(f)ω(u1, . . . , un)| = 1.

Sei ω′ ∈ An(V,R). Da dimAn(V,R) = 1, gibt es c ∈ R mit ω′ = cω und dann gilt|ω′(v1, . . . , vn)| = 1 fur jede orthonormale Basis (v1, . . . , vn) von (V, 〈·, ·〉) genau,wenn |c| = 1.

Im Folgenden sei auch der Vektorraum W endlichdimensional. Sei f : V → Weine lineare Abbildung, d.h., f ∈ L(V,W ), und sei r ≥ 1. Fur jedes α ∈ Lr(W,R)gibt es dann eine Abbildung f ∗(α) : V r → R, die definiert ist durch

f ∗(α)(v1, . . . , vr) = α(f(v1), . . . , f(vr))

fur alle (v1, . . . , vr) ∈ V r. Nun sieht man leicht, dass f ∗(α) multilinear ist, unddamit gibt es eine Abbildung f ∗ : Lr(W,R) → Lr(V,R). Die Abbildung f ∗ istlinear, da fur alle α, β ∈ Lr(W,R), a, b ∈ R, (v1, . . . , vr) ∈ V r gilt

f ∗(aα + bβ)(v1, . . . , vr) = (aα + bβ)(f(v1), . . . , f(vr))

= aα(f(v1), . . . , f(vr)) + bβ(f(v1), . . . , f(vr))

= af ∗(α)(v1, . . . , vr) + bf ∗(β)(v1, . . . , vr) = (af ∗(α) + bf ∗(β))(v1, . . . , vr) .

Ist α alternierend, so ist es auch f ∗(α), und folglich ist die Einschrankung von f ∗

auf Ar(W,R) eine lineare Abbildung f ∗ : Ar(W,R) → Ar(V,R).

Da A0(W,R) = A0(V,R) = R, ist es nutzlich, f ∗ = idR zu setzen, wenn r = 0.

Lemma 14.9 (1) Ist U ein weiterer endlichdimensionaler reeller Vektorraumund sind g : U → V und h : V →W lineare Abbildungen, so ist (h g)∗ = g∗ h∗

(als Abbildungen von Lr(W,R) nach Lr(U,R) fur jedes r ≥ 0).

(2) Fur jedes r ≥ 0 ist (idV )∗ : Lr(V,R) → Lr(V,R) die Identitatsabbildung.

Beweis Beide Teile sind klar.


Lemma 14.10 Sei f ∈ L(V,W ) und seien r, s, t ≥ 1.

(1) Fur alle α ∈ Lr(W,R), β ∈ Ls(W,R) gilt f ∗(α⊗ β) = f ∗(α) ⊗ f ∗(β).

(2) Es gilt f ∗(Alt(γ)) = Alt(f ∗(γ)) fur alle γ ∈ Lt(W,R).

(3) Fur alle α ∈ Ar(W,R), β ∈ As(W,R) gilt f ∗(α ∧ β) = f ∗(α) ∧ f ∗(β).

Beweis (1) Fur alle (v1, . . . , vr+s) ∈ V r+s gilt

f ∗(α⊗ β)(v1, . . . , vr+s) = (α⊗ β)(f(v1), . . . , f(vr+s))

= α(f(v1), . . . , f(vr)) · β(f(vr+1), . . . , f(vr+s))

= f ∗(α)(v1, . . . , vr) · f∗(β)(vr+1, . . . , vr+s)

= (f ∗(α) ⊗ f ∗(β))(v1, . . . , vr+s) ;

d.h., f ∗(α⊗ β) = f ∗(α) ⊗ f ∗(β).

(2) Fur alle (v1, . . . , vt) ∈ V t gilt

f ∗(Alt(γ))(v1, . . . , vt) = Alt(γ)(f(v1), . . . , f(vt))

=1

r!

∑

σ∈St

sign(σ)γ(f(vσ(1)), . . . , f(vσ(t)))

=1

r!

∑

σ∈St

sign(σ)f ∗(γ)(vσ(1), . . . , vσ(t)) = Alt(f ∗(γ))(v1, . . . , vt) ;

d.h., f ∗(Alt(γ)) = Alt(f ∗(γ)).

(3) Nach (1) und (2) gilt

f ∗(Alt(α⊗ β)) = Alt(f ∗(α⊗ β)) = Alt(f ∗(α) ⊗ f ∗(β))

und daraus folgt, dass f ∗(α ∧ β) = f ∗(α) ∧ f ∗(β).

Satz 14.8 Sei f ∈ End(V ); dann gilt f ∗(α) = det(f)α fur jedes α ∈ An(V,R).


15 Differentialformen

Im Folgenden sei U stets eine nichtleere offene Teilmenge von Rn. Sei E einendlichdimensionaler reeller Vektorraum und sei f : U → E eine Abbildung. Daalle Normen auf E aquivalent sind, hangt die Stetigkeit von f nicht davon ab,welche Norm auf E benutzt wird. Das Gleiche gilt fur Differenzierbarkeit, stetigeDifferenzierbarkeit, usw. Dies gilt insbesondere fur die Vektorraume Ar(Rn,R),r ≥ 0.

Sei (v1, . . . , vm) eine Basis von E. Fur jedes k = 1, . . . , m gibt es dann eineeindeutige Abbildung ck : U → R, so dass f(x) = c1(x)v1 + · · ·+ cm(x)vm fur allex ∈ U .

Lemma 15.1 Die Abbildung f : U → E ist stetig bzw. q-mal differenzierbar bzw.q-mal stetig differenzierbar (mit q = 1, 2) genau dann, wenn jede der Abbildungenck : U → R, 1 ≤ k ≤ m, es ist.

Beweis Ubung.

Die Basis von E kann auch vom Punkt x ∈ U abhangen: Fur k = 1, . . . , m seivk : U → E eine Abbildung und nehme an, (v1(x), . . . , vm(x)) ist eine Basis von Efur jedes x ∈ U . Dann gibt es fur jedes k = 1, . . . , m eine eindeutige Abbildungck : U → R, so dass f = c1v1 + · · ·+ cmvm, d.h., so dass

f(x) = c1(x)v1(x) + · · · + cm(x)vm(x)

fur alle x ∈ U .

Sei r ≥ 0; eine Abbildung ω : U → Ar(Rn,R) heißt Differentialform der Ordnungr oder auch r-Form. Da A0(Rn,R) = R, ist eine 0-Form nichts anderes als einereellwertige Abbildung ω : U → R. Eine 1-Form heißt auch Pfaffsche Form undda A1(Rn,R) = L(Rn,R) = (Rn)∗, ist eine 1-Form eine Abbildung ω : U → (Rn)∗.

Die Menge aller r-Formen auf U wird mit Ωr(U) bezeichnet; als Untervektorraumvon Abb(U,Ar(Rn,R)) wird Ωr(U) selbst als reeller Vektorraum betrachtet. Furω1, ω2 ∈ Ωr(U) und a1, a2 ∈ R ist also die Abbildung a1ω1 + a2ω2 ∈ Ωr(U)definiert durch (a1ω1 + a2ω2)(x) = a1ω1(x) + a2ω2(x) fur alle x ∈ U .

Insbesondere ist Ω0(U) = Abb(U,R). Es gibt eine ‘Skalarmultiplikation’

· : Ω0(U) × Ωr(U) → Ωr(U)

(f, ω) 7→ fω ,

die gegeben ist durch (fω)(x) = f(x)ω(x) fur alle x ∈ U .

Seien r, s ≥ 1; dann gibt es eine Abbildung ∧ : Ωr(U) × Ωs(U) → Ωr+s(U), diedefiniert ist durch (ω1 ∧ ω2)(x) = ω1(x) ∧ ω2(x) fur alle x ∈ U .

105


Nach Lemma 14.4 (1) ist die Abbildung ∧ : Ωr(U) × Ωs(U) → Ωr+s(U) bilinear,und ferner gilt (f1ω1) ∧ (f2ω2) = f1f2 ω1 ∧ ω fur alle f1, f2 ∈ Ω0(U), da

((f1ω1) ∧ (f2ω2))(x) = (f1(x)ω1(x)) ∧ (f2(x)ω2(x))

= f1(x)f2(x)ω1(x) ∧ ω2(x) = (f1f2 ω1 ∧ ω)(x)

fur alle x ∈ U .

Sei r ≥ 0; dann ist es nutzlich, Abbildungen ∧ : Ω0(U) × Ωr(U) → Ωr(U) und∧ : Ωr(U) × Ω0(U) → Ωr(U) durch f ∧ ω = ω ∧ f = fω zu definieren.

Sei f : U → R eine differenzierbare Abbildung; dann ist die Ableitung ∂f eineAbbildung von U nach L(Rn,R) = (Rn)∗, d.h., ∂f ∈ Ω1(U) ist eine 1-Form, diejetzt meistens mit df statt ∂f bezeichnet wird.

Die Projektionsabbildungen werden nun mit x1, . . . , xn bezeichnet: Fur jedesk = 1, . . . , n ist also die Abbildung xk : Rn → R definiert durch

xk(x1, . . . , xn) = xk

fur alle (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Insbesondere sind x1, . . . , xn Elemente von (Rn)∗ und(x1, . . . , xn) ist die Dualbasis zur kanonischen Basis (e1, . . . , en) von Rn. Fernerist xk differenzierbar und die 1-Form dxk ∈ Ω1(Rn) ist die konstante Abbildungvon Rn nach (Rn)∗ mit dxk(x) = xk fur alle x ∈ Rn.

Lemma 15.2 Sei r ≥ 2 und fur j = 1, . . . , n sei 1 ≤ kj ≤ n. Dann gilt

dxkπ(1) ∧ · · · ∧ dxkπ(r) = sign(π)dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

fur jede Permutation π ∈ Sr. Insbesondere ist dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr = 0, falls es i, jmit i 6= j gibt, so dass ki = kj.

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Lemma 14.6.

Die Einschrankung von dxk auf U ist ein Element von Ω1(U), das einfach wiedermit dxk bezeichnet wird.

Lemma 15.3 Sei r ≥ 1 und sei ω ∈ Ωr(U); dann gibt es eindeutige Elementefk1,...,kr

, 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n, aus Ω0(U), so dass

ω =∑

k1<···<kr

fk1,...,krdxk1 ∧ · · · ∧ dxkr .

Ferner ist ω stetig bzw. q-mal differenzierbar bzw. q-mal stetig differenzierbargenau dann, wenn jede der Abbildungen fk1,...,kr

, 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n, es ist.


Beweis Nach Satz 14.4 bilden die Elemente

Vr = xk1 ∧ · · · ∧ xkr : 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n

eine Basis von Ar(Rn,R), da (x1, . . . , xn) die Dualbasis von (e1, . . . , en) ist. Alsogibt es eindeutige Elemente fk1,...,kr

, 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n, aus Ω0(U), so dass

ω(x) =∑

k1<···<kr

fk1,...,kr(x) xk1 ∧ · · · ∧ xkr

fur alle x ∈ U , d.h., so dass ω =∑

k1<···<krfk1,...,kr

dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr . Der Restfolgt unmittelbar aus Lemma 15.1.

Sei r ≥ 0. Es ist klar, dass die Menge der stetigen bzw. q-mal differenzierbarenbzw. q-mal stetig differenzierbaren Elemente in Ωr(U) ein Untervektorraum vonΩr(U) ist. Ferner gilt:

Lemma 15.4 Seien ω1 ∈ Ωr(U), ω2 ∈ Ωs(U) stetige bzw. q-mal differenzierbarebzw. q-mal stetig differenzierbare Formen (mit r, s ≥ 0 und q = 1, 2). Dann istes auch ω1 ∧ ω2.

Beweis Ubung.

Lemma 15.5 Fur jede differenzierbare Abbildung f : U → R gilt

df = ∂1f dx1 + · · ·+ ∂nf dxn .

Beweis Sei x ∈ U ; nach Lemma 18.2 (Analysis-Skript) gilt dann

df(x)(v) =n∑

k=1

λk∂kf(x) =n∑

k=1

xk(v)∂kf(x) =n∑

k=1

∂kf(x)xk(v) ,

fur alle v = (λ1, . . . , λn) ∈ Rn, und daraus ergibt sich, dass

df(x) =

n∑

k=1

∂kf(x)xk =

n∑

k=1

∂kf(x)dxk(x) =( n∑

k=1

∂kf dxk)(x)

fur alle x ∈ U , d.h., df = ∂1f dx1 + · · ·+ ∂nf dxn.

Zu jeder differenzierbaren 0-Form f ∈ Ω0(U) gibt es die 1-Form df ∈ Ω1(U). Seir ≥ 1; es wird nun zu jeder differenzierbaren r-Form ω ∈ Ωr(U) eine r + 1-Formdω ∈ Ωr+1(U) zugeordnet. Sei also ω ∈ Ωr(U) eine differenzierbare r-Form mit

ω =∑

k1<···<kr

gk1,...,krdxk1 ∧ · · · ∧ dxkr .


Nach Lemma 15.1 sind die Abbildungen gk1,...,kr, 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n, alle

differenzierbar und folglich kann eine r + 1-Form dω ∈ Ωr+1(U) durch

dω =∑

k1<···<kr

dgk1,...,kr∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

definiert werden. Nach Lemma 15.5 ist dann

dω =∑

k1<···<kr

n∑

j=1

∂jgk1,...,krdxj ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr .

Insbesondere ist d(dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr) = 0 fur alle 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n, da

d(dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr) = d(1 dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr)

= ∂1 ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr = 0 ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr = 0 .

Lemma 15.6 Sei g ∈ Ω0(U) eine differenzierbare 0-Form und fur i = 1, . . . , rsei 1 ≤ ji ≤ n; dann ist

d(g dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr) = dg ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr .

Beweis Ubung.

Lemma 15.7 (1) Ist ω ∈ Ωr(U) eine stetig differenzierbare r-Form, so ist dier + 1-Form dω stetig.

(2) Ist ω ∈ Ωr(U) eine zweimal differenzierbare r-Form, so ist die r + 1-Formdω differenzierbar. Ferner ist dω stetig differenzierbar, falls die Form ω zweimalstetig differenzierbar ist.

Beweis (1) Dies folgt aus Lemma 15.5 und Satz 21.3 (Analysis-Skript).

(2) Dies folgt aus Lemma 15.5 und Satz 23.3 und Satz 23.4 (Analysis-Skript).

Satz 15.1 Seien r, s ≥ 0.

(1) Fur differenzierbare Formen ω1, ω2 ∈ Ωr(U) und alle a1, a2 ∈ R gilt

d(a1ω1 + a2ω2) = a1dω1 + a2dω2 .

(2) Fur differenzierbare Formen ω1 ∈ Ωr(U), ω2 ∈ Ωs(U) gilt

d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)rω1 ∧ dω2 .

Insbesondere gilt fur differenzierbare Formen f ∈ Ω0(U), ω ∈ Ωs(U), dass

d(fω) = df ∧ ω + fdω .

(3) Fur jede zweimal stetig differenzierbare Form ω ∈ Ωr(U) gilt d(dω) = 0.


Beweis (1) Dies folgt unmittelbar aus Satz 20.10 (Analysis-Skript).

(2) Fur r = s = 0 ist dies nichts anderes als die ubliche Produktregel (Satz 20.13(Analysis-Skript)) fur differenzierbare Abbildungen von U nach R.

Sei nun s ≥ 1, sei f, g ∈ Ω0(U) differenzierbar, sei 1 ≤ k1 < · · · < ks ≤ n undsetze ω = gdxk1 ∧ · · · ∧ dxks; also ist ω ∈ Ωs(U). Dann ist

d(f ∧ ω) = d(fω) = d(fg dxk1 ∧ · · · ∧ dxks)

= d(fg) ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks = (gdf + fdg) ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks

= (gdf) ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks + (fdg) ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks

= df ∧ (gdxk1 ∧ · · · ∧ dxks) + fdg ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks

= df ∧ ω + fdω = df ∧ ω + f ∧ dω .

Daraus folgt nach (1), dass d(f ∧ ω) = df ∧ ω + (−1)0f ∧ dω und damit auch

d(ω ∧ f) = d(f ∧ ω) = df ∧ ω + f ∧ dω = dω ∧ f + (−1)sω ∧ df

fur alle differenzierbaren Formen f ∈ Ω0(U), ω ∈ Ωs(U).

Seien schließlich r, s ≥ 1, sei 1 ≤ j1 < · · · < jr ≤ n, 1 ≤ k1 < · · · < ks ≤ n, seif, g ∈ Ω0(U) differenzierbare 0-Formen und setze ω1 = fdxj1 ∧ · · · ∧ dxjr undω2 = gdxk1 ∧ · · · ∧ dxks . Dann ist nach Lemma 15.6

d(ω1 ∧ ω2) = d(fg dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks)

= d(fg) ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks

= (gdf + fdg) ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks

= (gdf) ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks

+ (fdg) ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks

= (df ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjr) ∧ (gdxk1 ∧ · · · ∧ dxks)

+ (−1)r(fdxj1 ∧ · · · ∧ dxjr) ∧ (dg ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxks)

= dω1 ∧ ω2 + (−1)rω1 ∧ dω2 .

Daraus folgt nach (1), dass d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)rω1 ∧ dω2 fur alledifferenzierbaren Formen ω1 ∈ Ωr(U), ω2 ∈ Ωs(U).

(3) Sei zunachst f ∈ Ω0(U) eine zweimal stetig differenzierbare 0-Form. Nach (1)und (2) und Lemma 15.5 ist dann

d(df) = d( n∑

k=1

∂kfdxk)

=

n∑

k=1

d(∂kf dxk) =

n∑

k=1

d(∂kf) ∧ dxk

=n∑

k=1

( n∑

j=1

∂j(∂kf) dxj)∧ dxk =

n∑

k=1

n∑

j=1

(∂j∂kf) dxj ∧ dxk = 0 ,


da dxj ∧ dxk = −dxk ∧ dxj und nach Satz 23.5 (Analysis-Skript) ∂j∂kf = ∂k∂jffur alle 1 ≤ j, k ≤ n.

Sei nun r ≥ 1, sei 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n, sei f ∈ Ω0(U) eine zweimal stetigdifferenzierbare 0-Form und setze ω = fdxk1 ∧ · · · ∧ dxkr . Dann gilt

d(d(ω)) = d(df ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr)

= d(df) ∧ (dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr) − df ∧ d(dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr)

= 0 ∧ (dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr) − df ∧ 0 = 0 .

Daraus folgt nach (1), dass d(dω) = 0 fur jede zweimal stetig differenzierbareForm ω ∈ Ωr(U).

Lemma 15.8 Sei s ≥ 1 und fur j = 1, . . . , s sei ωj ∈ Ωkj(U) zweimal stetigdifferenzierbar. Dann ist d(dω1 ∧ · · · ∧ dωs) = 0.

Beweis Ubung.

Sei nun V ⊂ Rm offen, sei f : U → V eine differenzierbare Abbildung und seir ≥ 0. Fur jedes x ∈ U gibt es dann das Element ∂f(x) ∈ L(Rn,Rm) und damitdie Abbildung (∂f(x))∗ : Ar(Rm,R) → Ar(Rn,R). Zu jeder r-Form ω ∈ Ωr(V )auf V kann also eine r-Form f ∗ω ∈ Ωr(U) auf U definiert werden durch

(f ∗ω)(x) = (∂f(x))∗(ω(f(x)))

fur alle x ∈ U . Insbesondere ist f ∗g = g f fur eine 0-Form g ∈ Ω0(V ), da(∂f(x))∗ = idR. Ist r ≥ 1, so gilt fur alle x ∈ U , v1, . . . , vr ∈ Rn, dass

(f ∗ω)(x)(v1, . . . , vr) = ω(f(x))(∂f(x)(v1), . . . , ∂f(x)(vr)) .

Die r-Form f ∗ω heißt das Zuruckholen von ω mittels f nach U .

Satz 15.2 (1) Fur alle ω1, ω2 ∈ Ωr(V ), a1, a2 ∈ R gilt

f ∗(a1ω1 + a2ω2) = a1f∗ω1 + a2f

∗ω2 .

(2) Es gilt f ∗(gω) = (g f)f ∗ω fur alle ω ∈ Ωr(V ), g ∈ Ω0(V ).

(3) Fur alle ω1 ∈ Ωr(V ), ω2 ∈ Ωs(V ) gilt f ∗(ω1 ∧ ω2) = f ∗ω1 ∧ f ∗ω2.

(4) Fur jedes j = 1, . . . , m gilt f ∗(dxj) = dfj, wobei f = (f1, . . . , fm) (unddamit gilt nach Lemma 15.5, dass f ∗(dxj) = ∂1fj dx1 + · · ·+ ∂nfj dxn).

(5) Sei W eine offene Teilmenge von Rℓ und sei g : V →W eine differenzierbareAbbildung. Dann gilt (g f)∗ω = f ∗(g∗ω) fur alle ω ∈ Ωr(W ), r ≥ 0.


Beweis (1) Fur alle x ∈ U gilt

(f ∗(a1ω1 + a2ω2))(x) = (∂f(x))∗((a1ω1 + a2ω2)(f(x)))

= (∂f(x))∗(a1ω1(f(x)) + a2ω2(f(x)))

= a1(∂f(x))∗(ω1(f(x))) + a2(∂f(x))∗(ω2(f(x)))

= a1(f∗ω1)(x) + a2(f

∗ω2)(x) = (a1f∗ω1 + a2f

∗ω2)(x) ,

d.h., f ∗(a1ω1 + a2ω2) = a1f∗ω1 + a2f

∗ω2.

(2) Fur alle x ∈ U gilt

(f ∗(gω))(x) = (∂f(x))∗((gω)(f(x)))

= (∂f(x))∗(g(f(x))ω(f(x))) = g(f(x))(∂f(x))∗(ω(f(x)))

= (g f)(x)(f ∗ω)(x) = ((g f)f ∗ω)(x) ,

d.h., f ∗(gω) = (g f)f ∗ω.

(3) Fur alle x ∈ U gilt nach Lemma 14.8 (3)

(f ∗(ω1 ∧ ω2))(x) = (∂f(x))∗((ω1 ∧ ω2)(f(x)))

= (∂f(x))∗(ω1(f(x)) ∧ ω2(f(x)))

= (∂f(x))∗(ω1(f(x))) ∧ (∂f(x))∗(ω2(f(x)))

= (f ∗ω1)(x) ∧ (f ∗ω2)(x) = (f ∗ω1 ∧ f∗ω2)(x) ,

d.h., f ∗(ω1 ∧ ω2) = f ∗ω1 ∧ f ∗ω2.

(4) Fur alle x ∈ U , v ∈ Rn gilt nach Satz 21.3 (Analysis-Skript), dass

(f ∗(dxj))(x)(v) = dxj(f(x))(∂f(x)(v)) = xj(∂f(x)(v)) = dfj(x)(v) ,

d.h., f ∗(dxj) = dfj.

(5) Sei ω ∈ Ωr(W ). Fur alle x ∈ U gilt nach Lemma 14.9 (1) und der Kettenregel

((g f)∗ω)(x) = (∂(g f)(x))∗(ω((g f)(x)))

= (∂g(f(x)) ∂f(x))∗(ω(g(f(x))))

= ((∂f(x))∗ (∂g(f(x)))∗)(ω(g(f(x))))

= (∂f(x))∗((∂g(f(x)))∗(ω(g(f(x)))))

= (∂f(x))∗((g∗ω)(f(x))) = (f ∗(g∗ω))(x) ;

d.h., (g f)∗ω = f ∗(g∗ω).

Sei ω =∑

k1<···<kr

gk1,...,krdxk1 ∧ · · · ∧ dxkr ∈ Ωr(V ). Nach Satz 15.2 gilt dann

f ∗ω =∑

k1<···<kr

(gk1,...,kr f) dfk1 ∧ · · · ∧ dfkr

.


Satz 15.3 Sei W ⊂ Rn eine offene Menge und sei T : U →W differenzierbar.

(1) Sei ω ∈ Ωn(W ) eine n-Form auf W . Fur alle x ∈ U gilt dann

(T ∗ω)(x) = det(∂T (x))ω(T (x)) .

(2) Fur jedes g ∈ Ω0(W ) gilt

T ∗(g dx1 ∧ · · · ∧ dxn) = (g T ) det(∂T ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn .

Beweis (1) Dies folgt umittelbar aus Satz 14.8, da

(T ∗ω)(x) = (∂T (x))∗ω(T (x)) = det(∂T (x))ω(T (x)) .

(2) Nach (1) gilt fur jedes x ∈ U , dass

(T ∗(g dx1 ∧ · · · ∧ dxn))(x) = det(∂T (x))(g dx1 ∧ · · · ∧ dxn)(T (x))

= det(∂T (x))g(T (x)) dx1 ∧ · · · ∧ dxn)

= ((g T ) det(∂T ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn)(x) .

Lemma 15.9 Sei f : U → V stetig differenzierbar und sei ω ∈ Ωr(V ) einestetige r-Form auf V . Dann ist f ∗ω ∈ Ωr(U) stetig.

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Satz 15.2: Es gilt

f ∗ω =∑

k1<···<kr

(gk1,...,kr f) dfk1 ∧ · · · ∧ dfkr

,

falls ω =∑

k1<···<kr

gk1,...,krdxk1 ∧ · · · ∧ dxkr .

Satz 15.4 Sei f : U → V zweimal stetig differenzierbar und sei ω ∈ Ωr(V ) einestetig differenzierbare r-Form auf V . Dann ist f ∗ω ∈ Ωr(U) stetig differenzierbarund es gilt f ∗(dω) = d(f ∗ω).

Beweis Sei zunachst g ∈ Ω0(V ) eine stetig differenzierbare 0-Form auf V . Nachder Kettenregel ist dann g f stetig differenzierbar und es gilt

d(g f)(x)(v) = (dg(f(x)) ∂f(x))(v) = dg(f(x))(∂f(x)(v)) = f ∗(dg)(x)(v)

fur alle x ∈ U , v ∈ Rn, d.h., d(f ∗g) = d(g f) = f ∗(dg).


Sei nun r ≥ 1, sei 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ m, sei g ∈ Ω0(V ) stetig differenzierbarund setze ω = g dxk1 ∧· · ·∧dxkr . Nach Satz 15.2 ist f ∗ω = (gf) dfk1∧· · ·∧dfkr

,damit ist f ∗ω stetig differenzierbar und nach Satz 15.1 (2) und Lemma 15.8 gilt

d(f ∗ω) = d((g f) dfk1 ∧ · · · ∧ dfkr)

= d(g f) ∧ dfk1 ∧ · · · ∧ dfkr+ (g f) d(dfk1 ∧ · · · ∧ dfkr

)

= d(g f) ∧ dfk1 ∧ · · · ∧ dfkr.

Andererseits gilt nach Satz 15.2

f ∗(dω) = f ∗(dg ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr)

= f ∗(dg) ∧ f ∗(dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr) = f ∗(dg) ∧ dfk1 ∧ · · · ∧ dfkr

und damit ist f ∗(dω) = d(f ∗ω), da d(g f) = f ∗(dg). Nach Satz 15.1 (1) undSatz 15.2 (1) ist also f ∗(dω) = d(f ∗ω) fur jede stetig differenzierbare r-Formω ∈ Ωr(V ) auf V .

Sei r ≥ 1. Eine r-Form ω ∈ Ωr(U) heißt exakt, wenn es eine differenzierbarer− 1-Form η ∈ Ωr−1(U) gibt, so dass ω = dη, und dann heißt η eine Stammformfur ω. Sei r ≥ 0. Eine differenzierbare r-Form ω ∈ Ωr(U) heißt geschlossen, wenndω = 0.

Nach Satz 15.1 (3) ist eine Form ω geschlossen, falls ω = dη mit η zweimal stetigdifferenzierbar. Das Poincaresche Lemma (Satz 15.5) besagt, dass die Umkehrungrichtig ist, falls U sternformig ist: Die Menge U heißt Sterngebiet oder sternformig,wenn es einen Punkt a ∈ U gibt, so dass st(a, x) ⊂ U fur alle x ∈ U (mit st(a, x)die Strecke von a nach x). Zum Beispiel ist eine konvexe Menge sternformig.

Satz 15.5 (Poincaresches Lemma) Ist U ein Sterngebiet, so ist jede stetigdifferenzierbare geschlossene r-Form mit r ≥ 1 exakt.

Beweis Zunachst werden keine Voraussetzungen uber die offene Menge U ⊂ Rn

gemacht. Sei V eine offene Teilmenge von Rn × R mit U × [0, 1] ⊂ V .

Lemma 15.10 Sei f ∈ Ω0(V ) eine stetige 0-Form auf V . Dann ist fur jedesx ∈ U die Abbildung t 7→ f(x, t) von [0, 1] nach R stetig. Ferner ist die Abbildung

x 7→∫ 1

0f(x, t) dt von U nach R stetig.

Beweis Ubung.

Lemma 15.11 Sei f ∈ Ω0(V ) eine stetig differenzierbare 0-Form auf V . Dann

ist die Abbildung x 7→∫ 1

0f(x, t) dt von U nach R stetig differenzierbar und es gilt

d(∫ 1

0

f(·, t) dt)

=

n∑

j=1

(∫ 1

0

∂jf(·, t) dt)

dxj .


Beweis Ubung.

Fur die letzte Projektionsabbildung von Rn+1 = Rn×R nach R wird t statt xn+1

geschrieben. Sei r ≥ 0 und sei ω ∈ Ωr+1(V ) eine r + 1-Form auf V ; dann hat ωeine eindeutige Darstellung der Form

∑

k1<···<kr

fk1,...,krdt ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr +

∑

k1<···<kr+1

gk1,...,kr+1 dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1

mit fk1,...,kr, gk1,...,kr+1 ∈ Ω0(V ), wobei in diesen Summen k1 < · · · < ks stets

1 ≤ k1 < · · · < ks ≤ n bedeutet. Ist ω stetig, so kann nach Lemma 15.10 einestetige r-Form I(ω) ∈ Ωr(U) auf U definiert werden durch

I(ω) =∑

k1<···<kr

(∫ 1

0

fk1,...,kr(·, t) dt

)dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr .

Nach Lemma 15.11 ist I(ω) stetig differenzierbar, falls ω es ist.

Definiere nun Abbildungen ϕ, ψ : U → V durch ϕ(x) = (x, 0) und ψ(x) = (x, 1)fur alle x ∈ U . Dann sind ϕ und ψ differenzierbar, und sind ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn+1)und ψ = (ψ1, . . . , ψn+1), so gilt dϕn+1 = dψn+1 = 0 und dϕj = dψj = dxj furj = 1, . . . , n.

Lemma 15.12 Fur jede stetig differenzienbare r + 1-Form ω auf V gilt

I(dω) + d(I(ω)) = ψ∗ω − ϕ∗ω .

Beweis Sie zunachst ω = f dt ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr mit 1 ≤ k1 < · · · < kr ≤ n undf ∈ Ω0(V ) stetig differenzierbar. Dann ist einerseits

d(I(ω)) = d

((∫ 1

0

f(·, t) dt)

dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

)

= d(∫ 1

0

f(·, t) dt)∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

=( n∑

j=1

∫ 1

0

∂jf(·, t) dt dxj)∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

=n∑

j=1

(∫ 1

0

∂jf(·, t) dt)

dxj ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

und andererseits ist

dω = df ∧ dt ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr =(n+1∑

j=1

∂jf dxj)∧ dt ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

=n+1∑

j=1

∂jf dxj ∧ dt ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr = −n∑

j=1

∂jf dt ∧ dxj ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr ,


da dxj ∧ dt = −dt ∧ dxj und dxn+1 ∧ dt = dt ∧ dt = 0. Folglich gilt

I(dω) = I(−

n∑

j=1

∂jf dt ∧ dxj ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

)

= −n∑

j=1

(∫ 1

0

∂jf(·, t) dt)

dxj ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr

und damit ist I(dω) + d(I(ω)) = 0. Aber hier ist

ψ∗ω = ψ∗(f dt ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr) = (f ψ) dψn+1 ∧ dψk1 ∧ · · · ∧ dψkr= 0 ,

da dψn+1 = 0, und genauso ist ϕ∗ω = 0, und daher ist

I(dω) + d(I(ω)) = 0 = ψ∗ω − ϕ∗ω .

Sei nun ω = g dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1 mit 1 ≤ k1 < · · · < kr+1 ≤ n und g ∈ Ω0(V )stetig differenzierbar. Nach Satz 18.1 und Satz 18.3 (Analysis-Skript) gilt

∫ 1

0

∂gn+1(x, t) dt = g(x, 1) − g(x, 0)

fur alle x ∈ U , und daraus ergibt sich, dass

I(dω) + d(I(ω)) = I(dω) = I(n+1∑

j=1

∂gj dxj ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1

)

= I(∂gn+1 dt ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1 +

n∑

j=1

∂gj dxj ∧ dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1

)

=(∫ 1

0

∂gn+1(·, t) dt)

dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1

= (g(·, 1) − g(·, 0)) dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1

= g(·, 1) dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1 − g(·, 0) dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1

= (g ψ) dψk1 ∧ · · · ∧ dψkr+1 − (g ϕ) dϕk1 ∧ · · · ∧ dϕkr+1

= ψ∗(g dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1) − ϕ∗(g dxk1 ∧ · · · ∧ dxkr+1) = ψ∗ω − ϕ∗ω .

Nach der Linearitat von d, I, ψ∗ und ϕ∗ gilt nun I(dω) + d(I(ω)) = ψ∗ω − ϕ∗ωfur jede stetig differenzienbare r + 1-Form ω auf V .

Lemma 15.13 Nehme an, es gibt a ∈ U und eine zweimal stetig differenzierbareAbbildung h : V → U mit h(x, 0) = a und h(x, 1) = x fur alle x ∈ U . Dann istjede stetig differenzierbare geschlossene r-Form auf U mit r ≥ 1 exakt.


Beweis Es gilt h ψ = idU und (h ϕ)(x) = a fur alle x ∈ U ; folglich gilt

((h ψ)∗ω)(x) = ((idU)∗ω)(x) = (∂idU(x))∗(ω(x)) = id∗U(ω(x)) = ω(x)

fur alle x ∈ U ; d.h., (h ψ)∗ω = ω fur alle ω ∈ Ωr(U). Ferner gilt

((h ϕ)∗ω)(x) = (∂(h ϕ)(x))∗(ω(a)) = 0∗(ω(a)) = 0

fur alle x ∈ U ; d.h., (h ϕ)∗ω = 0 fur alle ω ∈ Ωr(U).

Sei r ≥ 1 und sei ω ∈ Ωr(U) eine stetig differenzierbare geschlossene r-Formauf U . Nach Satz 15.4 ist die r-Form h∗ω ∈ Ωr(V ) stetig differenzierbar mitd(h∗ω) = h∗(dω) = h∗0 = 0. Damit gilt nach Lemma 15.12 und Satz 15.2 (5)

d(I(h∗ω)) = I(0) + d(I(h∗ω)) = I(d(h∗ω)) + d(I(h∗ω))

= ψ∗(h∗ω) − ϕ∗(h∗ω) = (h ψ)∗ω − (h ϕ)∗ω = ω − 0 = ω ;

d.h., ω = d(I(h∗ω)), und insbesondere ist ω exakt.

Sei nun U ein Sterngebiet, und ohne Beschrankung der Allgemeinheit nehme an,dass 0 ∈ U und st(0, x) ⊂ U fur alle x ∈ U . Sei γ : R → R irgendeine zweimalstetig differenzierbare Abbildung mit γ(R) ⊂ [0, 1], γ(0) = 0 und γ(1) = 1 (wieetwa γ(t) = sin2(tπ/2)). Setze V = U × R und definiere h : V → U durchh(x, t) = γ(t)x. Dann ist h zweimal stetig differenzierbar mit h(x, 0) = 0 undh(x, 1) = x fur alle x ∈ U . Nach Lemma 15.13 ist also jede stetig differenzierbaregeschlossene r-Form auf U mit r ≥ 1 exakt. Damit ist das Poincaresche Lemmabewiesen.

16 Der Satz von Stokes fur Ketten

Ist X eine Menge, so bezeichnet FS(X) die Menge aller Abbildungen f : X → Z,fur die die Menge x ∈ X : f(x) 6= 0 endlich ist. Es gibt dann die Abbildungen+ : FS(X)×FS(X) → FS(X) und · : Z×FS(X) → FS(X), die gegeben sind durch(f + g)(x) = f(x) + g(x) und (nf)(x) = nf(x) fur alle x ∈ X. Zusammen mitdiesen Verknupfungen ist FS(X) ein Z-Modul. (Dies bedeutet: Mit dem Korperersetzt durch den Ring Z sind die Axiome fur einen Vektorraum erfullt.) DasElement f ∈ FS(X) mit x ∈ X : f(x) 6= 0 = x1, . . . , xm und f(xk) = nkfur k = 1, . . . , m schreibt man als n1x1 + · · · + nmxm. Die Elemente von FS(X)werden formale Summen genannt.

Im Folgenden sei U stets eine nichtleere offene Teilmenge von Rn. Sei r ≥ 1;ein singularer r-Wurfel in U ist eine stetige Abbildung c : [0, 1]r → U . Es istnutzlich, R0 = [0, 1]0 = 0 zu setzen; ein singularer 0-Wurfel in U ist dann eineAbbildung c : 0 → U .

Bezeichne nun mit Sr(U) die Menge aller singularen r-Wurfel in U . Eine r-Kettein U ist ein Element von FS(Sr(U)) und die Menge aller solcher Ketten wird mitKr(U) bezeichnet. Eine r-Kette hat also die Form n1c1 + · · ·+ nmcm mit m ≥ 0,n1, . . . , nm ∈ Z und c1, . . . , cm ∈ Sr(U).

Sei r ≥ 1; fur 1 ≤ k ≤ r und ǫ = 0, 1 definiere ıǫk : Rr−1 → Rr durch

ıǫk(x1, . . . , xr−1) = (x1, . . . , xk−1, ǫ, xk, . . . , xr−1) .

(Fur r = 1 soll dies bedeuten, dass ıǫ1(0) = ǫ.) Dann ist ı0k ∈ L(Rr−1,Rr) undı1k = ek+ ı0k; insbesondere ist ıǫk differenzierbar mit ∂ıǫk(x) = ∂ı0k fur alle x ∈ Rr−1.Folglich ist ıǫk zweimal stetig differenzierbar mit ∂2ıǫk = 0.

Man beachte, dass ıǫk([0, 1]r−1) ⊂ [0, 1]r; die Einschrankung von ıǫk auf [0, 1]r−1

wird ebenfalls mit ıǫk bezeichnet. Ist c : [0, 1]r → U ein singularer r-Wurfel, sogibt es fur jedes 1 ≤ k ≤ r und ǫ = 0, 1 den singularen r − 1-Wurfel cǫk = c ıǫk.

Fur jedes r ≥ 1 wird eine Abbildung ∂ : Sr(U) → Kr−1(U) definiert durch

∂c =

r∑

k=1

(−1)k+1(c1k − c0k) =

r∑

k=1

1∑

ǫ=0

(−1)k+ǫcǫk

fur alle c ∈ Sr(U). Durch Linearitat kann diese Abbildung fortgesetzt werden zueiner Abbildung ∂ : Kr(U) → Kr−1(U): Es gilt also

∂(n1c1 + · · · + nmcm) = n1∂c1 + · · · + nm∂cm

fur alle m ≥ 0, n1, . . . , nm ∈ Z und c1, . . . , cm ∈ Sr(U).

Satz 16.1 Es gilt ∂(∂c) = 0 fur alle c ∈ Kr(U), r ≥ 2.

117


Beweis Sei r ≥ 2; fur 1 ≤ j < k ≤ r und 0 ≤ ǫ, δ ≤ 1 definiere zunachst eineAbbildung ıǫ,δj,k : Rr−2 → Rr durch

ıǫ,δj,k(x1, . . . , xr−2) = (x1, . . . , xj−1, ǫ, xj , . . . , xk−2, δ, xk−1, . . . , xr−2) .

Lemma 16.1 Sei r ≥ 2, 1 ≤ k ≤ r und 1 ≤ j ≤ r − 1. Dann gilt

ıδk ıǫj =

ıǫ,δj,k falls j < k,

ıδ,ǫk,j+1 falls j ≥ k

fur alle 0 ≤ ǫ, δ ≤ 1.

Beweis Ubung.

Um Satz 16.1 zu beweisen, genugt es zu zeigen, dass ∂(∂c) = 0 fur alle c ∈ Sr(U).Sei also c ∈ Sr(U) (mit r ≥ 2). Dann gilt nach Lemma 16.1

∂(∂c) = ∂( r∑

k=1

1∑

ǫ=0

(−1)k+ǫcǫk

)=

r∑

k=1

1∑

ǫ=0

(−1)k+ǫ∂cǫk

=r∑

k=1

1∑

ǫ=0

(−1)k+ǫ(r−1∑

j=1

1∑

δ=0

(−1)j+δ(cǫk)δj

)

=

1∑

ǫ=0

1∑

δ=0

(−1)ǫ+δr∑

k=1

r−1∑

j=1

(−1)k+jc ıǫk ıδj

=

1∑

ǫ=0

1∑

δ=0

(−1)ǫ+δr∑

k=1

(k−1∑

j=1

(−1)k+jc ıǫk ıδj +

r−1∑

j=k

(−1)k+jc ıǫk ıδj

)

=1∑

ǫ=0

1∑

δ=0

(−1)ǫ+δ( r∑

k=1

k−1∑

j=1

(−1)k+jc ıδ,ǫj,k +r−1∑

k=1

r−1∑

j=k

(−1)k+jc ıǫ,δk,j+1

)

=1∑

ǫ=0

1∑

δ=0

(−1)ǫ+δ(r−1∑

j=1

r∑

k=j+1

(−1)k+jc ıδ,ǫj,k +r−1∑

k=1

r−1∑

j=k


)

=

1∑

ǫ=0

1∑

δ=0

(−1)ǫ+δ(r−1∑

k=1

r∑

j=k+1

(−1)j+kc ıδ,ǫk,j +

r−1∑

k=1

r−1∑

j=k


)

=

1∑

ǫ=0

1∑

δ=0

(−1)ǫ+δ(r−1∑

k=1

r−1∑

j=k

(−1)j+1+kc ıǫ,δk,j+1 +

r−1∑

k=1

r−1∑

j=k


)

= 0 .

Sei r ≥ 1; ein singularer r-Wurfel c : [0, 1]r → U heißt q-mal differenzierbar bzw.q-mal stetig differenzierbar (mit q = 1, 2), wenn es eine offene Menge V ⊂ Rr


mit [0, 1]r ⊂ V und eine q-mal differenzierbare bzw. q-mal stetig differenzierbareAbbildung h : V → U gibt, so dass c die Einschrankung von h auf [0, 1]r ist. Einsingularer 0-Wurfel wird stets als zweimal stetig differenzierbar angesehen.

Lemma 16.2 Sei r ≥ 1 und sei c ∈ Sr(U) q-mal differenzierbar bzw. q-mal stetigdifferenzierbar. Fur jedes 1 ≤ k ≤ r und jedes ǫ = 0, 1 ist dann der singularer − 1-Wurfel cǫk q-mal differenzierbar bzw. q-mal stetig differenzierbar.

Beweis Dies ist trivial richtig, wenn r = 1; nehme also an, dass r ≥ 2. Es gibt eineoffene Menge V ⊂ Rr mit [0, 1]r ⊂ V und eine q-mal differenzierbare bzw. q-malstetig differenzierbare Abbildung h : V → U , so dass c die Einschrankung von hauf [0, 1]r ist. Sei W = (ıǫk)

−1(V ); dann ist W eine offene Teilmenge von Rr−1,da ıǫk stetig ist und [0, 1]r−1 ⊂ W , da ıǫk([0, 1]r−1) ⊂ [0, 1]r. Definiere g : W → Udurch g(x) = h(ıǫk(x)) fur alle x ∈ W . Dann ist g q-mal differenzierbar bzw.q-mal stetig differenzierbar, da ıǫk zweimal stetig differenzierbar ist, und cǫk ist dieEinschrankung von g auf [0, 1]r−1.

Eine r-Kette n1c1 + · · · + nmcm ∈ Kr(U) heißt q-mal differenzierbar bzw. q-malstetig differenzierbar, wenn der singulare r-Wurfel ck es fur jedes k ist. Sei r ≥ 1;ist c ∈ Kr(U) q-mal differenzierbar bzw. q-mal stetig differenzierbar, so ist esauch ∂c (nach Lemma 16.2).

Lemma 16.3 Sei r ≥ 1; sei V offen mit [0, 1]r ⊂ V und seien g, h : V → Rn

stetig differenzierbare Abbildungen mit g(x) = h(x) fur alle x ∈ [0, 1]r. Dann istauch ∂g(x) = ∂h(x) fur alle x ∈ [0, 1]r.

Beweis Es ist klar, dass ∂g(x) = ∂h(x) fur alle x ∈ (0, 1)r, und damit gilt∂g(x) = ∂h(x) fur alle x ∈ [0, 1]r, da ∂h und ∂h stetig sind.

Sei r ≥ 1 und sei c ∈ Sr(U) stetig differenzierbar; es gibt also eine offene MengeV ⊂ Rr mit [0, 1]r ⊂ V und eine stetig differenzierbare Abbildung h : V → U ,so dass c die Einschrankung von h auf [0, 1]r ist. Sei nun ω ∈ Ωr(U) eine stetiger-Form auf U ; es gibt dann die r-Form h∗ω ∈ Ωr(V ), und nach Lemma 15.9 isth∗ω stetig. Da V ⊂ Rr, gibt es ferner eine eindeutige stetige 0-Form f ∈ Ω0(V ),so dass h∗ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxr. Dann ist

f(x)(dx1 ∧ · · · ∧ dxr)(x) = (h∗ω)(x) = (∂h(x))∗(ω(h(x)))

fur alle x ∈ V , und daraus folgt nach Lemma 16.3, dass χ[0,1]rf eindeutig durchc und ω bestimmt ist (und hangt nicht von der Wahl von V und h ab). Da [0, 1]r

kompakt ist, ist χ[0,1]rf ∈ L1(Rr,B(Rr), λr). Ein Integral∫cω kann daher durch

∫

c

ω =

∫

[0,1]rf dλr


definiert werden. Ist c ∈ S0(U), so setzt man∫cg = g(c(0)) fur jede stetige 0-Form

g ∈ Ω0(U) auf U .

Fur eine stetig differenzierbare r-Kette c wird∫cω durch Linearitat definiert: Ist

c = n1c1 + · · · + nmcm mit c1, . . . , cm ∈ Sr(U) stetig differenzierbar, so ist

∫

c

ω =m∑

k=1

nk

∫

ck

ω

fur jede stetige r-Form ω ∈ Ωr(U) auf U .

Der folgende Satz ist eine Version des Satzes von Stokes fur Ketten.

Satz 16.2 Sei r ≥ 1, sei ω ∈ Ωr−1(U) eine stetig differenzierbare r−1-Form aufU und c ∈ Kr(U) eine zweimal stetig differenzierbare r-Kette in U . Dann gilt

∫

c

dω =

∫

∂c

ω .

Beweis Sei zunachst c ein zweimal stetig differenzierbarer singularer r-Wurfel.Dann gibt es eine offene Menge V ⊂ Rr mit [0, 1]r ⊂ V und eine zweimal stetigdifferenzierbare Abbildung h : V → U , so dass c die Einschrankung von h auf[0, 1]r ist. Fur k = 1, . . . , r und ǫ = 0, 1 sei W ǫ

k = (ıǫk)−1(V ) und bezeichne die

Einschrankung von ıǫk auf W ǫk auch mit ıǫk. Also ist W ǫ

k eine offene Teilmenge vonRr−1 mit [0, 1]r−1 ⊂W ǫ

k und ıǫk : W ǫk → V .

Als Vorbereitung fur den Beweis betrachte eine stetig differenzierbare r−1-Formη ∈ Ωr−1(V ). Nach Lemma 15.3 gibt es dann eindeutige stetig differenzierbare0-Formen f1, . . . , fr auf V , so dass

η =

r∑

j=1

fj dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxr ,

wobei das Dach uber dxj bedeutet, dass dieser Faktor wegzulassen ist.

Lemma 16.4 (1) Fur jedes 1 ≤ k ≤ r und jedes ǫ = 0, 1 gilt

(ıǫk)∗η = (fk ı

ǫk) dx1 ∧ · · · ∧ dxr−1 .

(2) Es gilt dη =( r∑k=1

(−1)k+1∂kfk

)dx1 ∧ · · · ∧ dxr.

Beweis Ubung.


Lemma 16.5 Sei g : V → R stetig differenzierbar; fur jedes 1 ≤ k ≤ r gilt dann∫

[0,1]r∂kg dλ

r =

∫

[0,1]r−1

(g ı1k − g ı0k) dλr−1 .

Beweis Seien x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xr ∈ [0, 1]; dann gilt nach Satz 18.1 undSatz 18.3 (Analysis-Skript), dass

∫ 1

0

∂kg(x1, . . . , xk−1, t, xk+1, . . . , xr) dt

= g(x1, . . . , xk−1, 1, xk+1, . . . , xr) − g(x1, . . . , xk−1, 0, xk+1, . . . , xr)

= (g ı1k − g ı0k)(x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xr) .

Daraus folgt nach dem Satz von Fubini, dass∫

[0,1]r−1

(g ı1k − g ı0k) dλr−1

=

∫

[0,1]r−1

∫ 1

0

∂kg(x1, . . . , xk−1, t, xk+1, . . . , xr) dt dλr−1(x1, . . . , xk, . . . , xr)

=

∫

[0,1]r−1

∫

[0,1]

∂kg(x1, . . . , xk−1, t, xk+1, . . . , xr) dλ(t) dλr−1(x1, . . . , xk, . . . , xr)

=

∫

[0,1]r∂kg dλ

r .

Sei nun ω ∈ Ωr−1(U) eine stetig differenzierbare r − 1-Form und setze η = h∗ω.Nach Satz 15.4 ist η ∈ Ωr−1(V ) stetig differenzierbar und es gilt dη = h∗(dω).Wie oben hat η eine eindeutige Darstellung

η =r∑

j=1

fj dx1 ∧ · · · ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxr

mit f1, . . . , fr ∈ Ω0(V ) stetig differenzierbar und nach Lemma 16.4 (2) ist dann

h∗(dω) = dη =( r∑

k=1

(−1)k+1∂kfk

)dx1 ∧ · · · ∧ dxr .

Nach der Definition von∫cdω und nach Lemma 16.5 ist also

∫

c

dω =

∫

[0,1]r

( r∑

k=1

(−1)k+1∂kfk

)dλr =

r∑

k=1

(−1)k+1

∫

[0,1]r∂kfk dλ

r

=r∑

k=1

(−1)k+1

∫

[0,1]r−1

(fk ı1k − fk ı

0k) dλ

r−1

=r∑

k=1

1∑

ǫ=0

(−1)k+ǫ∫

[0,1]r−1

fk ıǫk dλ

r−1 .


Sei 1 ≤ k ≤ r und ǫ = 0, 1; nach Lemma 16.4 (1) und Satz 15.2 (5) ist dann

(h ıǫk)∗ω = (ıǫk)

∗(h∗ω) = (ıǫk)∗η = (fk ı

ǫk) dx1 ∧ · · · ∧ dxr−1 .

Aber h ıǫk ist zweimal stetig differenzierbar und (h ıǫk)(x) = (c ıǫk)(x) = cǫk(x)fur jedes x ∈ [0, 1]r−1, und folglich ist nach der Definition von

∫cǫk

ω

∫

cǫk

ω =

∫

[0,1]r−1

fk ıǫk dλ

r−1 .


∫

c

dω =r∑

k=1

1∑

ǫ=0

(−1)k+ǫ∫

cǫk

ω =

∫

∂c

ω .

Durch Linearitat gilt nun∫cdω =

∫∂cω fur jede zweimal stetig differenzierbare

r-Kette c ∈ Kr(U).

17 Untermannigfaltigkeiten

Im Folgenden sei q stets 1 oder 2. In den Kapiteln 22 und 23 vom Analysis-Skriptsind die folgenden Eigenschaften von q-mal stetig differenzierbaren Abbildungenzu finden:

Kettenregel (Satz 20.14 bzw. Satz 23.3):

Seien U ⊂ Rn, V ⊂ Rm offen und f : U → V und g : V → Rℓ q-mal stetigdifferenzierbare Abbildungen. Dann ist gf : U → Rℓ q-mal stetig differenzierbarund es gilt ∂(g f)(a) = ∂g(f(a)) ∂f(a) fur alle a ∈ U .

Satz uber die Umkehrabbildung (Satz 22.1 bzw. Satz 23.4):

Sei U ⊂ Rn offen und sei f : U → Rn eine q-mal stetig differenzierbare Abbildung.Sei a ∈ U und nehme an, dass ∂f(a) invertierbar ist; setze b = f(a). Dann gibtes eine offene Umgebung W von a in U und eine offene Umgebung V von b inRn, so dass f die Menge W bijektiv auf V abbildet und die Umkehrabbildungg = f−1 : V → W q-mal stetig differenzierbar ist. Ferner konnen W und V sogewahlt werden, so dass ∂f(x) invertierbar ist und ∂g(f(x)) = (∂f(x))−1 fur allex ∈W .

Satz uber implizite Funktionen (Satz 22.4 bzw. Satz 23.6):

Sei 1 ≤ m < n, sei U ⊂ Rn offen und f : U → Rm q-mal stetig differenzierbar.Ferner sei c ∈ U mit f(c) = 0 und mit rang ∂f(c) = m. Dann gibt es eine offeneUmgebung W von c in U , einen orthogonalen Endomorphismus ψ ∈ End(Rn),eine offene Menge U0 ⊂ Rn−m und eine q-mal stetig differenzierbare Abbildungg : U0 → Rm, so dass

z ∈W : f(z) = 0 = ψ((x, y) ∈ U0 × Rm : y = g(x)) .

Bemerkung: Es gilt rang ∂f(c) = m genau dann, wenn ∂f(c) surjektiv ist.

Seien U und V offene Teilmengen von Rn. Eine bijektive Abbildung f : U → Vheißt Cq-Diffeomorphismus, wenn f und die Umkehrabbildung f−1 beide q-malstetig differenzierbar sind.

Sei f : U → V ein Cq-Diffeomorphismus und setze g = f−1; nach der Kettenregelist dann ∂f(x) invertierbar und es gilt (∂f(x))−1 = ∂g(f(x)) fur alle x ∈ U . DieUmkehrung ist auch richtig:

Satz von der Diffeomorphie (Satz 22.2 bzw. Satz 23.4):

Sei U ⊂ Rn offen und sei f : U → Rn eine q-mal stetig differenzierbare injektiveAbbildung mit ∂f(x) invertierbar fur jedes x ∈ U . Dann ist V = f(U) eine offeneTeilmenge von Rn und f : U → V ist ein Cq-Diffeomorphismus.

123


Sei 0 ≤ m ≤ n. Nun wird erklart, was eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeitvon Rn ist.

Eine Teilmenge M von Rn heißt m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit vonRn, wenn es zu jedem p ∈ M eine offene Umgebung U von p in Rn und einenCq-Diffeomorphismus h : U → V ⊂ Rn gibt, so dass h(M ∩ U) = Rm

0 ∩ V , wobei

Rm0 = (x1, . . . , xn) ∈ Rn : xk = 0 fur alle k = m+ 1, . . . , n

(und insbesondere ist Rn0 = Rn und R0

0 = 0). Naturlich ist eine m-dimensionaleC2-Untermannigfaltigkeit von Rn auch eine C1-Untermannigfaltigkeit.

Wie man leicht sieht, ist M eine n-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit vonRn genau dann, wenn M eine offene Teilmenge von Rn ist. Ferner ist M genaudann eine 0-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn, wenn jedes p ∈ Misoliert ist, d.h., wenn es zu jedem p ∈ M eine offene Umgebung U von p in Rn

gibt, so dass M ∩ U = p.

Lemma 17.1 Ist M 6= ∅ eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit vonRn, so ist die Zahl m eindeutig durch M bestimmt. (Ist M auch ℓ-dimensionaleCq-Untermannigfaltigkeit von Rn, so ist also ℓ = m.)

Beweis Sei M eine m-dimensionale und eine ℓ-dimensionale Cq-Untermannig-faltigkeit von Rn und sei p ∈M . Dann gibt es offene Umgebungen U1 und U2 vonp in Rn und Cq-Diffeomorphismen h1 : U1 → V1 ⊂ Rn und h2 : U2 → V2 ⊂ Rn, sodass h1(M ∩ U1) = Rm

0 ∩ V1 und h2(M ∩ U2) = Rℓ0 ∩ V2.

Setze U = U1 ∩ U2 und fur k = 1, 2 sei gk die Einschrankung von hk auf U undsei Wk = hk(U). Dann ist gk : U → Wk ein Cq-Diffeomorphismus und es giltg1(M ∩U) = Rm

0 ∩W1 und g2(M ∩U) = Rℓ0 ∩W2. Sei nun f = g2 g

−11 ; dann ist

f : W1 → W2 ein Cq-Diffeomorphismus mit f(Rm0 ∩W1) = Rℓ

0 ∩W2.

Seien ϕ ∈ L(Rm,Rn) und ψ ∈ L(Rn,Rn−ℓ) die Abbildungen, die gegeben sinddurch ϕ(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0) und ψ(x1, . . . , xn) = (xℓ+1, . . . , xn).Dann ist (ψ f ϕ)(x) = 0 fur jedes x ∈W1 und daraus ergibt sich, dass

0 = ∂(ψ f ϕ)(x) = ∂ψ(f(ϕ(x)) ∂f(ϕ(x)) ∂ϕ(x) = ψ ∂f(ϕ(x)) ϕ

fur jedes x ∈ W1. Folglich ist Bildϕ ⊂ Kern (ψ ∂f(ϕ(x))) und da ∂f(ϕ(x))invertierbar ist, ist dann

m = dim Bildϕ ≤ dim Kern (ψ ∂f(ϕ(x))) = dim Kernψ = ℓ ;

d.h., m ≤ ℓ. Genauso gilt aber ℓ ≤ m, und daher ist m = ℓ.


Lemma 17.2 (1) Sei M ⊂ Rn, sei h : U → V ein Cq-Diffeomorphismus mith(M ∩ U) = Rm

0 ∩ V , sei U ′ ⊂ U offen und sei h′ die Einschrankung von hauf U ′. Dann ist h′ : U ′ → V ′ = h(U ′) ein Cq-Diffeomorphismus und es gilth′(M ∩ U ′) = Rm

0 ∩ V ′.

(2) Ist M eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn, so ist es auchM ∩ U fur jede offene Teilmenge U von Rn.

(3) Eine Teilmenge M von Rn ist eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeitgenau dann, wenn es zu jedem p ∈M eine offene Umgebung U von p in Rn gibt,so dass M ∩ U eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn ist.

Beweis (1) Es ist klar, dass h′ : U ′ → V ′ ein Cq-Diffeomorphismus ist, und

h′(M ∩U ′) = h(M ∩U ∩U ′) = h(M ∩U)∩ h(U ′) = Rm0 ∩ V ∩ h(U ′) = Rm

0 ∩ V ′ .

(2) und (3) folgen unmittelbar aus (1).

Lemma 17.3 Sei M eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit. Dann gilt:

(1) M ist lokal abgeschlossen in Rn: Zu jedem p ∈ M gibt es ein ε > 0, so dassM ∩ B(p, ε) eine abgeschlossene Teilmenge von Rn ist.

(2) M ist eine Fσ-Menge in Rn: Es gibt eine Folge Fkk≥0 abgeschlossener Teil-mengen von Rn, so dass M =

⋃k≥0 Fk.

(3) M ist parakompakt: Zu jeder Familie Uaa∈A offener Teilmengen von M mitM =

⋃a∈A Ua gibt es eine abzahlbare Teilmenge ∆ von A, so dass M =

⋃a∈∆ Ua.

Beweis (1) Sei p ∈ M ; dann gibt es eine offene Umgebung U von p in Rn undeinen Cq-Diffeomorphismus h : U → V ⊂ Rn, so dass h(M ∩ U) = Rm

0 ∩ V .Wahle ε > 0, so dass B(p, ε) ⊂ V ; also gilt M ∩ B(p, ε) = h−1(Rm

0 ∩ h(B(p, ε))).Aber B(p, ε) ist kompakt, Rm

0 abgeschlossen und h und h−1 sind stetig. Folglichist M ∩ B(p, ε) kompakt und damit abgeschlossen.

(2) Sei p ∈ M ; dann gibt es eine offene Umgebung U von p in Rn und einenCq-Diffeomorphismus h : U → V ⊂ Rn, so dass h(M ∩ U) = Rm

0 ∩ V . Wahlenun xp ∈ Qn und εp ∈ Q mit εp > 0, so dass p ∈ B(xp, εp) ⊂ V . Wie in (1) istM∩B(xp, εp) eine abgeschlossene Teilmenge von Rn undM =

⋃p∈MM∩B(xp, εp).

Da aber Q und Qn abzahlbar sind, gibt es eine Folge pkk≥0 aus M , so dassM =

⋃k≥0M ∩ B(xpk

, εpk).

(3) Nach (2) gibt es eine Folge Fkk≥0 abgeschlossener Teilmengen von Rn, sodass M =

⋃k≥0 Fk und fur jedes k ≥ 0 gibt es eine Folge Fk,jj≥0 kompakter

Teilmengen von Rn, so dass Fk =⋃k≥0 Fk,j. Sei nun Uaa∈A eine Familie offener

Teilmengen von M mit M =⋃a∈A Ua. Zu jedem k, j ≥ 0 gibt es eine endliche

Teilmenge ∆k,j von A, so dass Fk,j ⊂⋃a∈∆k,j

Ua. Setze ∆ =⋃k, j≥0 ∆k,j; dann ist

∆ eine abzahlbare Teilmenge von A mit M =⋃a∈∆ Ua.


Lemma 17.4 Sei M eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn.Dann ist es auch ψ(M) fur jeden Cq-Diffeomorphismus ψ : Rn → Rn.

Beweis Sei p ∈ ψ(M) und sei p′ ∈M das eindeutige Element mit ψ(p′) = p. Nungibt es eine offene Umgebung U von p′ in Rn und einen Cq-Diffeomorphismush : U → V ⊂ Rn, so dass h(M ∩ U) = Rm

0 ∩ V . Sei U ′ = ψ(U) und definiereh′ : U ′ → V durch h′ = hϕ, wobei ϕ die Einschrankung von ψ−1 auf U ′ ist. Dannist U ′ eine offene Umgebung von p in Rn und h′ ist ein Cq-Diffeomorphismus mith′(ψ(M) ∩ U ′) = h(M ∩ U) = Rm

0 ∩ V . Folglich ist ψ(M) eine m-dimensionaleCq-Untermannigfaltigkeit von Rn.

Satz 17.1 Seien m, ℓ ≥ 1, sei U eine offene Teilmenge von Rm und f : U → Rℓ

q-mal stetig differenzierbar. Dann ist

graph(f) = z ∈ Rm+ℓ : z = (x, f(x)) fur ein x ∈ U

eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rm+ℓ.

Beweis Definiere h : U × Rℓ → U × Rℓ durch h(x, y) = (x, y − f(x)); dann ist fbijektiv mit h−1(x, y) = (x, y + f(x)) fur alle (x, y) ∈ U × Rℓ. Ferner sind h undh−1 q-mal stetig differenzierbar und damit ist h ein Cq-Diffeomorphismus. Aber

h(graph(f) ∩ (U × Rℓ)) = h(graph(f)) = (x, 0) : x ∈ U = Rm0 ∩ (U × Rℓ)

und fur jedes z ∈ graph(f) ist U × Rℓ eine offene Teilmenge von Rm × Rℓ, die zenthalt. Damit ist graph(f) eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit vonRm+ℓ.

Sei 1 ≤ m ≤ n, sei U eine offene Teilmenge von Rn und sei f : U → Rm einedifferenzierbare Abbildung. Dann heißt a ∈ U ein regularer Punkt von f , wenn∂f(a) ∈ L(Rn,Rm) surjektiv ist. Ferner heißt b ∈ Rm ein regularer Wert von f ,wenn jedes a ∈ U mit f(a) = b ein regularer Punkt von f ist.

Satz 17.2 (Satz vom regularen Wert) Sei 1 ≤ m < n, ℓ = n − m, sei Ueine offene Teilmenge von Rn und sei f : U → Rm q-mal stetig differenzierbar.Ist b ∈ Rm ein regularer Wert von f , so ist M = f−1(b) eine ℓ-dimensionaleCq-Untermannigfaltigkeit von Rn.

Beweis Sei p ∈ M ; nach dem Satz uber implizite Funktionen gibt es eine offeneUmgebung W von p in U , einen orthogonalen Endomorphismus ψ ∈ End(Rn),eine offene Menge U0 ⊂ Rℓ und eine q-mal stetig differenzierbare Abbildungg : U0 → Rm, so dass

M ∩W = ψ((x, y) ∈ U0 × Rm : y = g(x)) = ψ(graph(g)) .


Nach Lemma 17.4 und Satz 17.1 ist also M ∩W eine ℓ-dimensionale Cq-Unter-mannigfaltigkeit von Rn und daraus ergibt sich nach Lemma 17.2, dass M eineℓ-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn ist.

Sei n ≥ 1 und sei A ∈ M(n× n,R) symmetrisch; dann ist die Quadrik

Q = x ∈ Rn : xtAx = 1

eine (n − 1)-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn: Fur n = 1 bestehtQ aus hochstens zwei Punkten; sei also n ≥ 2. Definiere f : Rn → R durchf(x) = xtAx; dann ist f q-mal stetig differenzierbar mit ∂f(x)(ξ) = 2xtAξ furalle x, ξ ∈ Rn und insbesondere ist ∂f(x) surjektiv fur jedes x ∈ Q. Damit ist1 ein regularer Wert von f und daraus ergibt sich nach Satz 17.2, dass Q eine(n− 1)-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn ist.

Fur jedes n ≥ 0 ist die n-Sphare Sn = x ∈ Rn+1 : ‖x‖ = 1 eine Quadrik(mit A = En+1). Damit ist Sn eine n-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit vonRn+1.

Sei n ≥ 1 und identifiziere den reellen Vektorraum M(n× n,R) mit Rn×n. Setzem = 1

2n(n− 1); dann ist die orthogonale Gruppe

O(n) = B ∈ Rn×n : BtB = En

eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn×n: Die Menge Ms(n×n,R)der symmetrischen Matrizen ist ein Untervektorraum von M(n × n,R) und furjedes A ∈ M(n×n,R) ist die Matrix AtA symmetrisch. Definiere eine Abbildungf : M(n×n,R) → Ms(n×n,R) durch f(A) = AtA. Man sieht leicht, dass f q-malstetig differenzierbar ist und ∂f(A)(B) = AtB+BtA fur alle A, B ∈ M(n×n,R).Ferner ist ∂f(A) surjektiv fur jedes A ∈ O(n), da in diesem Fall

∂f(A)(12AB) = At(1

2AB) + (1

2AB)tA = 1

2B + 1

2Bt = B

fur jedes B ∈ Ms(n × n,R) gilt. Damit ist nach Satz 17.2 O(n) = f−1(En) eineCq-Untermannigfaltigkeit von Rn×n der Dimension n2 − dim Ms(n × n,R) = m,da dim Ms(n× n,R) = 1

2n(n + 1).

Sei 1 ≤ m < n und sei U ⊂ Rm offen. Eine q-mal stetig differenzierbare Abbildungf : U → Rn heißt Cq-Immersion, wenn ∂f(a) ∈ L(Rm,Rn) injektiv ist fur jedesa ∈ U .

Lemma 17.5 Sei U ⊂ Rm offen, sei f : U → Rn eine Cq-Immersion undsei a ∈ U . Dann gibt es eine offene Umgebung U0 von a in U , offene MengenW, V ⊂ Rn mit U0 × 0 ⊂ W und f(U0) ⊂ V und einen Cq-Diffeomorphismush : W → V , so dass f(x) = h(x, 0) fur alle x ∈ U0.


Beweis Setze ℓ = n − m und definiere p1 ∈ L(Rn,Rm), p2 ∈ L(Rn,Rℓ) undκ ∈ L(Rn,Rn) durch p1(ξ, η) = ξ, p2(ξ, η) = η und κ(ξ, η) = (0, η) fur alleξ ∈ Rm, η ∈ Rℓ. Sei ϕ ∈ L(Rm,Rn); dann sieht man leicht (wie im Beweisfur Lemma 22.2 (Analysis-Skript)), dass ϕ p1 + κ ∈ L(Rn,Rn) genau danninvertierbar ist, wenn p1 ϕ ∈ L(Rm,Rm) invertierbar ist.

Sei a ∈ U und nehme zunachst an, dass p1 ∂f(a) invertierbar ist. Definiereh : U × Rℓ → Rn durch h = f p1 + κ; dann ist h q-mal stetig differenzierbarund es gilt ∂h(a, 0) = ∂f(a) p1 + κ. Damit ist ∂h(a, 0) invertierbar und folglichgibt es nach dem Satz uber die Umkehrabbildung eine offene Umgebung W von(a, 0) in U × Rℓ und eine offene Umgebung V von f(a) = h(a, 0) in Rn, so dassh die Menge W bijektiv auf V abbildet und die Umkehrabbildung h−1 : V →Wq-mal stetig differenzierbar ist. Sei g die Einschrankung von h auf W ; also istg : W → V ein Cq-Diffeomorphismus. Setze U0 = x ∈ Rm : (x, 0) ∈ W; dannist U0 × 0 ⊂ W und da f(x) = h(x, 0) fur alle x ∈ U , ist f(U0) ⊂ V undf(x) = g(x, 0) fur alle x ∈ U0.

Nehme nun lediglich an, dass ∂f(a) ∈ L(Rm,Rn) injektiv ist; sei J ∈ M(n×m,R)die Matrix von ∂f(a) bezuglich der kanonischen Basen von Rm und Rn. Also istrang J = rang ∂f(a) = m und damit gibt esm Zeilen von J , die linear unabhangigsind. Genauso wie im Beweis fur Satz 22.4 (Analysis-Skript) gibt es dann einenorthogonalen Endomorphismus ψ ∈ End(Rn), so dass p1 ψ ∂f(a) invertierbarist. Aber ψ f ist auch eine Cq-Immersion und p1 ψ ∂f(a) = p1 ∂(ψ f)(a);nach dem ersten Teil des Beweises gibt es daher eine offene Umgebung U0 von ain U , offene Mengen W, V ⊂ Rn mit U0 × 0 ⊂ W und (ψ f)(U0) ⊂ V undeinen Cq-Diffeomorphismus g : W → V , so dass ψ(f(x)) = g(x, 0) fur alle x ∈ U0.Nun ist aber ψ−1 g : W → ψ−1(V ) ein Cq-Diffeomorphismus, f(U0) ⊂ ψ−1(V )und es gilt f(x) = (ψ−1 g)(x, 0) fur alle x ∈ U0.

Satz 17.3 (Immersionssatz) Es sei U ⊂ Rm offen und sei f : U → Rn eineCq-Immersion. Zu jedem a ∈ U gibt es dann eine offene Umgebung U0 von a inU , so dass f(U0) eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn ist.

Beweis Sei a ∈ U ; nach Lemma 17.5 gibt es dann eine offene Umgebung U0 vona in U , offene Mengen W, V ⊂ Rn mit U0 × 0 ⊂ W und f(U0) ⊂ V und einenCq-Diffeomorphismus g : W → V , so dass f(x) = g(x, 0) fur alle x ∈ U0. Nun isth = g−1 : V →W ein Cq-Diffeomorphismus und

h(f(U0) ∩ V ) = h(g(U0 × 0) = U0 × 0 = Rm0 ∩W .

Folglich ist f(U0) eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn, da Veine offene Umgebung von p in Rn ist fur jedes p ∈ f(U0).

Sei 1 ≤ m < n und U eine offene Teilmenge von Rm. Eine Cq-Immersionf : U → Rn heißt Cq-Einbettung von U in Rn, wenn f injektiv ist und dieUmkehrabbildung f−1 : f(U) → U stetig ist.


Satz 17.4 Sei U ⊂ Rm offen und f : U → Rn eine Cq-Einbettung von U in Rn.Dann ist f(U) eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn.

Beweis Sei p ∈ f(U) und sei a ∈ U das eindeutige Element mit p = f(a).Nach Satz 17.3 gibt es also eine offene Umgebung U0 von a in U , so dass f(U0)eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn ist. Da p ∈ f(U0), gibtes dann eine offene Umgebung V von p in Rn und einen Cq-Diffeomorphismush : V → W ⊂ Rn mit h(f(U0) ∩ V ) = Rm

0 ∩W . Da aber g = f−1 : f(U) → Ustetig ist, ist nach Satz 11.1 (Analysis-Skript) f(U0) = g−1(U0) offen in f(U) unddamit gibt es nach Satz 10.8 (Analysis-Skript) eine offene Teilmenge V ′′ von Rn,so dass f(U0) = f(U)∩V ′′. Setze V ′ = V ∩V ′′ und sei h′ die Einschrankung von hauf V ′; dann ist V ′ eine offene Umgebung von p in Rn, h′ : V ′ →W ′ = W ∩h(V ′)ist ein Cq-Diffeomorphismus und

h′(f(U) ∩ V ′) = h(f(U) ∩ V ′′ ∩ V ′) = h(f(U0) ∩ V′)

= h(f(U0) ∩ V′) ∩ h(V ′) = Rm

0 ∩W ∩ h(V ′) = Rm0 ∩W ′ .

Folglich ist f(U) eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn.

Satz 17.5 Sei M eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn. Danngibt es zu jedem p ∈M eine offene Umgebung V von p in Rn, eine offene MengeU ⊂ Rm und eine Cq-Einbettung f : U → Rn von U in Rn, so dass f(U) = M∩V .

Beweis Sei p ∈M ; dann gibt es eine offene Umgebung V von p in Rn und einenCq-Diffeomorphismus h : V → W ⊂ Rn, so dass h(M ∩ V ) = Rm

0 ∩W . Sei nuni0 ∈ L(Rm,Rn) gegeben durch i0(x) = (x, 0) fur alle x ∈ Rm, sei U = i−1

0 (W )und definiere f : U → Rn durch f(x) = h−1(i0(x)) fur alle x ∈ U . Dann ist Ueine offene Teilmenge von Rm und f(U) = h−1(i0(U)) = h−1(R ∩W ) = M ∩ V .Ferner ist f injektiv und q-mal stetig differenzierbar und es gilt

rang ∂f(x) = rang ∂i0(x) = rang i0 = m

fur alle x ∈ U , d.h., f ist eine Cq-Immersion. Schließlich ist f−1(y) = p1(h(y)) furalle y ∈ f(U) = M ∩ V und damit ist f−1 stetig. Also ist f eine Cq-Einbettungvon U in Rn.

Sei A Teilmenge eines metrischen Raumes (X, d) und sei x ∈ A. Eine Teilmenge Uvon A heißt dann offene Umgebung von x in A, wenn U eine offene Teilmenge vonA ist mit x ∈ U . Nach Satz 10.8 (Analysis-Skript) ist U eine offene Teilmenge vonA genau dann, wenn es eine offene Teilmenge V von X gibt, so dass U = A∩ V .Fur A offen stimmt also diese Definition mit der Vorherigen uberein.

Seien M ⊂ Rn, p ∈M . Sei U eine offene Umgebung von p in M und sei V ⊂ Rm

offen. Eine bijektive Abbildung ϕ : U → V heißt m-dimensionale Cq-Karte von


M um p, wenn ϕ und ϕ−1 beide stetig sind und iM ϕ−1 eine Cq-Immersion vonV in Rn ist, wobei iM : M → Rn die Inklusionsabbildung ist (mit iM (x) = x furalle x ∈M). Naturlich ist dann iM ϕ−1 eine Cq-Einbettung von V in Rn.

Satz 17.6 Eine Teilmenge M von Rn ist eine m-dimensionale Cq-Untermannig-faltigkeit von Rn genau dann, wenn es zu jedem p ∈ M eine m-dimensionaleCq-Karte von M um p gibt.

Beweis Sei M eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn und seip ∈ M . Nach Satz 17.4 gibt es dann eine offene Umgebung W von p in Rn, eineoffene Menge V ⊂ Rm und eine Cq-Einbettung f : V → Rn von V in Rn, so dassf(V ) = M ∩W . Setze U = M ∩W ; dann ist U eine offene Umgebung von p inM . Sei ϕ : U → V die Einschrankung von f−1 auf U ; dann sind ϕ und ϕ−1 stetig,da f und f−1 stetig sind. Ferner ist iM ϕ−1 = f und damit ist iM ϕ−1 eineCq-Immersion von V in Rn. Dies zeigt, dass es eine m-dimensionale Cq-Karte vonM um p gibt.

Nehme umgekehrt an, dass es zu jedem p ∈ M eine m-dimensionale Cq-Kartevon M um p gibt. Sei p ∈ M ; es gibt also eine offene Umgebung U von p inM , eine offene Menge V ⊂ Rm und eine bijektive Abbildung ϕ : U → V mitϕ und ϕ−1 beide stetig und iM ϕ−1 eine Cq-Immersion von V in Rn. Setzef = iM ϕ−1; dann ist f eine Cq-Immersion von V in Rn mit f(V ) = U . Fernerist f injektiv und f und f−1 = ϕ sind beide stetig; d.h., f ist eine Cq-Einbettungvon V in Rn. Folglich ist nach Satz 17.4 U = f(V ) eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn. Aber U hat die Form M ∩W mit W eine offeneUmgebung von p in Rn und daraus ergibt sich nach Lemma 17.2, dass M einem-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn ist.

Im Folgenden sei M stets eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn.Fur p ∈M wird nun eine m-dimensionale Cq-Karte von M um p lediglich Kartevon M um p genannt. Ferner bedeutet Karte von M eine Karte von M um p furein p ∈M . Eine Familie ϕa : a ∈ A heißt Atlas fur M , wenn es fur jedes p ∈Mein a ∈ A gibt, so dass ϕa eine Karte von M um p ist. Nach Satz 17.7 gibt eseinen Atlas fur M und nach Lemma 17.3 (3) gibt es einen Atlas ϕa : a ∈ Afur M mit A abzahlbar. Ist M kompakt, dann gibt es naturlich einen endlichenAtlas.

Sei ϕ : U → V ⊂ Rm eine Karte von M . Die Cq-Immersion iM ϕ−1 : V → Rn

heißt dann die Parametrisierung von U bezuglich ϕ und wird mit←ϕ bezeichnet;

es gilt also←ϕ(ϕ(p)) = p fur alle p ∈ U und ϕ(

←ϕ(a)) = a fur alle a ∈ V . Fur jedes

p ∈ U heißt ϕ(p) ∈ Rm der Vektor der lokalen Koordinaten von p bezuglich ϕ.

Ist f : X → Z eine Abbildung und Y ⊂ X, so wird die Einschrankung von fauf Y auch mit f bezeichnet. Der Definitionsbereich von f muss dann aus demKontext festgestellt werden.


Satz 17.7 Seien ϕ1 : U1 → V1, ϕ2 : U2 → V2 Karten von M mit U1 ∩ U2 6= ∅;sei U = U1 ∩ U2. Dann ist ϕ2 ϕ

−11 : ϕ1(U) → ϕ2(U) ein Cq-Diffeomorphismus

mit Umkehrabbildung ϕ1 ϕ−12 : ϕ2(U) → ϕ1(U). Ferner gilt

←ϕ1 =

←ϕ2 (ϕ2 ϕ

−11 )

(als Abbildungen von ϕ1(U) nach ϕ2(U)).

Beweis Da ϕ−11 und ϕ−1

2 stetig sind, sind ϕ1(U) und ϕ2(U) offene Teilmengenvon Rm. Ferner ist es klar, dass die Abbildung ϕ2 ϕ

−11 : ϕ1(U) → ϕ2(U) bijektiv

ist mit Umkehrabbildung ϕ1 ϕ−12 : ϕ2(U) → ϕ1(U).

Sei p ∈ U ; da die Einschrankung einer Cq-Immersion eine Cq-Immersion ist, gibtes nach Lemma 17.5 fur k = 1, 2 eine offene Umgebung V ′k von ϕk(p) in ϕk(U),

offene Mengen Wk, U′k ⊂ Rn mit V ′k × 0 ⊂ Wk und

←ϕk(V

′k) ⊂ U ′k und einen

Cq-Diffeomorphismus hk : Wk → U ′k, so dass←ϕk(x) = hk(x, 0) fur alle x ∈ V ′k .

Sei U ′ = U ′1 ∩ U ′2; also ist U ′ eine offene Umgebung von p in Rn. Fur k = 1, 2sei W ′

k = h−1k (U ′) und sei h′k die Einschrankung von hk auf W ′

k; dann ist W ′k eine

offene Teilmenge von Rn und h′k : W ′k → U ′ ist ein Cq-Diffeomorphismus. Setze

nun V ′′k = x ∈ V ′k : (x, 0) ∈ W ′k; damit ist V ′′k eine offene Umgebung von ϕk(p)

in Rm und es gilt h′k(x, 0) =←ϕk(x) = ϕ−1

k (x) fur alle x ∈ V ′′k . Fur alle y ∈ U ′

gilt ferner y = ϕ−1k (ϕk(y)) = h′k(ϕk(y), 0); folglich ist (ϕk(y), 0) = (h′k)

−1(y) unddamit ϕk(y) = p1((h

′k)−1(y)). Daraus ergibt sich, dass

ϕ2 ϕ−11 (x) = (p1 (h′2)

−1 h′1)(x, 0)

fur alle x ∈ V ′′1 und dies zeigt, dass ϕ2 ϕ−11 in ϕ1(p) q-mal stetig differenzierbar

ist. Da p ∈ U beliebig ist, ist daher ϕ2 ϕ−11 : ϕ1(U) → ϕ2(U) q-mal stetig

differenzierbar. Genauso ist ϕ1ϕ−12 : ϕ2(U) → ϕ1(U) q-mal stetig differenzierbar

und folglich ist ϕ2 ϕ−11 ein Cq-Diffeomorphismus. Schließlich ist es klar, dass

←ϕ1 =

←ϕ2 (ϕ2 ϕ−1) (als Abbildungen von ϕ1(U) nach ϕ2(U)).

Sei p ∈M ; ein Vektor v ∈ Rn heißt Tangentialvektor an M im Punkt p, wenn esε > 0 und eine stetig differenzierbare Kurve γ : (−ε, ε) → Rn mit γ((−ε, ε)) ⊂M ,γ(0) = p und γ′(0) = v gibt. Die Menge aller Tangentialvektoren an M im Punktp wird Tangentialraum an M im Punkt p gennant und wird mit TpM bezeichnet.

Satz 17.8 Sei p ∈M und sei ϕ : U → V eine Karte von M um p. Dann gilt

TpM = Bild ∂←ϕ(ϕ(p)) ,

und insbesondere ist TpM ein Untervektorraum von Rn mit dim TpM = m.

Beweis Sei v ∈ Bild ∂←ϕ(ϕ(p)). Dann gibt es ein u ∈ Rm mit v = ∂

←ϕ(ϕ(p))(u).

Da V offen ist, gibt es ein ε > 0, so dass ϕ(p) + su ∈ V fur alle s ∈ (−ε, ε);

definiere γ : (−ε, ε) → Rn durch γ(s) =←ϕ(ϕ(p) + su). Dann ist γ eine stetig


differenzierbare Kurve mit γ((−ε, ε)) ⊂ U ⊂ M , γ(0) =←ϕ(ϕ(p)) = p und mit

γ′(0) = ∂←ϕ(ϕ(p))(u) = v, d.h., v ist ein Tangentialvektor an M im Punkt p. Sei

umgekehrt v ein Tangentialvektor an M im Punkt p. Dann gibt es ε > 0 und einestetig differenzierbare Kurve γ : (−ε, ε) → Rn mit γ((−ε, ε)) ⊂M , γ(0) = p undγ′(0) = v. Durch Verkleinern von ε kann man annehmen, dass γ((−ε, ε)) ⊂ U .

Dann gilt←ϕ ϕ γ = γ und insbesondere ist

v = γ′(0) = ∂←ϕ((ϕ γ)(0))(u) = ∂

←ϕ(ϕ(p))(u)

mit u = (ϕ γ)′(0). Damit ist v ∈ Bild ∂←ϕ(ϕ(p)) und daraus ergibt sich, dass

TpM = Bild ∂←ϕ(ϕ(p)). Da nun

←ϕ eine Cq-Immersion ist, gilt ferner

dim TpM = dim Bild ∂←ϕ(ϕ(p)) = m− dim Kern ∂

←ϕ(ϕ(p)) = m .

Man beachte: Fur jede Karte ϕ : U → V von M um p ist ∂←ϕ(ϕ(p)) als Element

von L(Rm,TpM) ein Isomorphismus.

Seien m, ℓ ≥ 1, sei U eine offene Teilmenge von Rm und sei f : U → Rℓ eineq-mal stetig differenzierbare Abbildung. Nach Satz 17.1 ist

graph(f) = z ∈ Rm+ℓ : z = (x, f(x)) fur ein x ∈ U

eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rm+ℓ. In diesem Fall gibt eseinen Atlas fur N = graph(f), der aus der einzigen Karte ϕ : N → U besteht,

wobei ϕ(x, f(x)) = x fur jedes x ∈ U . Die Parametrisierung←ϕ : U → Rm+ℓ ist

dann gegeben durch←ϕ(x) = (x, f(x)) fur jedes x ∈ U . Fur alle x ∈ U , ξ ∈ Rm

gilt also ∂←ϕ(x)(ξ) = (ξ, ∂f(x)(ξ)) und daraus folgt, dass

T(a,f(a))N = graph(∂f(a))

fur alle a ∈ U .

Satz 17.9 (Satz vom regularen Wert) Sei 1 ≤ m < n, ℓ = n − m, sei Ueine offene Teilmenge von Rn und f : U → Rm q-mal stetig differenzierbar. Seib ∈ Rm ein regularer Wert von f und setze N = f−1(b) (also ist M eineℓ-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn). Fur jedes p ∈M gilt dann

TpN = Kern ∂f(p) .

Beweis Sei p ∈ N ; wie im Beweis fur Satz 17.2 gibt es eine offene UmgebungW von p in U , einen orthogonalen Endomorphismus ψ ∈ End(Rn), eine offeneMenge U0 ⊂ Rℓ und ein q-mal stetig differenzierbares g : U0 → Rm, so dass

N ∩W = ψ((x, y) ∈ U0 × Rm : y = g(x)) = ψ(graph(g)) .


Sei α : U0 → graph(g) gegeben durch α(x) = (x, g(x)); dann ist α bijektiv mitα und α−1 stetig. Definiere nun ϕ : N ∩W → U0 durch ϕ(q) = α−1(ψ−1(q)) furalle q ∈ N ∩W = ψ(graph(g)); dann ist ϕ auch bijektiv mit ϕ und ϕ−1 stetig.Setze h = iM ϕ−1; also ist h : U0 → Rn gegeben durch h(x) = ψ(x, g(x)) undfolglich ist h eine Cq-Immersion. Dies zeigt, dass ϕ eine Karte von N um p istmit

←ϕ = h und insbesondere ist TpN = Bild ∂h(ϕ(p)). Fur alle x ∈ U0 ist aber

h(x) ∈ N und damit f(h(x)) = b. Daraus ergibt sich, dass

0 = ∂(f h)(ϕ(p)) = ∂f(p) ∂h(ϕ(p))

und daher ist Bild ∂h(ϕ(p)) ⊂ Kern ∂f(p). Nun ist dim Bild ∂h(ϕ(p)) = ℓ, da Neine ℓ-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn ist, und

dim Kern ∂f(p) = n− dim Bild ∂f(p) = n−m = ℓ ,

da ∂f(p) surjektiv ist. Also ist Kern ∂f(p) = Bild ∂h(ϕ(p)) = TpN .

Lemma 17.6 Sei f : M → R eine Abbildung. Dann ist f stetig genau, wenn furjede Karte ϕ : U → V fur M die Abbildung f

←ϕ : V → R stetig ist.

Beweis Sei ϕ : U → V eine Karte fur M . Da←ϕ stetig ist, folgt die Stetigkeit

von f ←ϕ aus der von f . Da aber ϕ stetig ist und (f

←ϕ) ϕ = f|U (mit f|U die

Einschrankung von f auf U), folgt umgekehrt die Stetigkeit von f|U aus der von

f ←ϕ, und naturlich ist f stetig, wenn f|U stetig ist fur jede Karte ϕ : U → V fur

M .

Im Folgenden sei 1 ≤ d ≤ q. Ist U eine offene Teilmenge von Rm, g : U → R eineAbbildung und a ∈ U , so wird g d-mal stetig differenzierbar um a genannt, wennes eine offene Umgebung V von a in U gibt, so dass die Einschrankung von g aufV d-mal stetig differenzierbar ist.

Lemma 17.7 Sei f : M → R eine Abbildung und p ∈M ; dann sind aquivalent:

(1) Es gibt eine Karte ϕ : U → V von M um p, so dass f ←ϕ d-mal stetig

differenzierbar um ϕ(p) ist.

(2) Fur jede Karte ϕ : U → V von M um p ist f ←ϕ d-mal stetig differenzierbar

um ϕ(p).

Beweis Fur k = 1, 2 sei ϕk : Uk → Vk eine Karte von M um p. Nach Satz 17.7 istf

←ϕ1 = f

←ϕ2(ϕ2ϕ

−11 ) (als Abbildungen von ϕ1(U1∩U2) nach R) und ϕ2ϕ

−11

ist ein Cq-Diffeomorphismus. Folglich ist f ←ϕ1 d-mal stetig differenzierbar um

ϕ1(p) genau dann, wenn f ←ϕ2 d-mal stetig differenzierbar um ϕ2(p) ist.


Sei nun f : M → R eine Abbildung und sei p ∈ M . Dann heißt f d-mal stetigdifferenzierbar um p, wenn es eine Karte ϕ : U → V von M um p gibt, so dassf ←ϕ d-mal stetig differenzierbar um ϕ(p) ist. Die Abbildung f heißt d-mal stetig

differenzierbar, wenn sie fur jedes p ∈M d-mal stetig differenzierbar um p ist.

Sei r ≥ 0 und setze Ar(M) =⋃p∈M Ar(TpM,R); dann heißt eine Abbildung

ω : M → Ar(M) Differentialform der Ordnung r oder auch r-Form auf M , wennω(p) ∈ Ar(TpM,R) fur jedes p ∈M . Eine r-Form ω aufM ist also eine Vorschrift,die jedem p ∈M ein Element ω(p) ∈ Ar(TpM,R) zuordnet. Da A0(TpM,R) = R,ist eine 0-Form nichts anderes als eine Abbildung ω : M → R.

Die Menge aller r-Formen auf M wird mit Ωr(M) bezeichnet und Ωr(M) wirdals reeller Vektorraum betrachtet: Fur ω1, ω2 ∈ Ωr(M) und a1, a2 ∈ R ist dieAbbildung a1ω1 + a2ω2 ∈ Ωr(M) definiert fur jedes p ∈M durch

(a1ω1 + a2ω2)(p) = a1ω1(p) + a2ω2(p) .

Insbesondere ist Ω0(M) = Abb(M,R). Es gibt eine ‘Skalarmultiplikation’

· : Ω0(M) × Ωr(M) → Ωr(M)

(f, ω) 7→ fω ,

die gegeben ist durch (fω)(p) = f(p)ω(p) fur alle p ∈M .

Seien r, s ≥ 1; dann gibt es eine Abbildung ∧ : Ωr(M)×Ωs(M) → Ωr+s(M), diedefiniert ist durch (ω1 ∧ ω2)(p) = ω1(p) ∧ ω2(p) fur alle p ∈M .

Nach Lemma 14.4 (1) ist die Abbildung ∧ : Ωr(M)×Ωs(M) → Ωr+s(M) bilinear,und ferner gilt (f1ω1) ∧ (f2ω2) = f1f2 ω1 ∧ ω fur alle f1, f2 ∈ Ω0(M), da

((f1ω1) ∧ (f2ω2))(p) = (f1(p)ω1(p)) ∧ (f2(p)ω2(p))

= f1(p)f2(p)ω1(p) ∧ ω2(p) = (f1f2 ω1 ∧ ω)(p)

fur alle p ∈M .

Sei r ≥ 0; dann ist es nutzlich, Abbildungen ∧ : Ω0(M) × Ωr(M) → Ωr(M) und∧ : Ωr(M) × Ω0(M) → Ωr(M) durch f ∧ ω = ω ∧ f = fω zu definieren.

Sei ϕ : U → V ⊂ Rm eine Karte fur M ; fur jedes r ≥ 0 gibt es dann eineAbbildung (

←ϕ)∗ : Ωr(M) → Ωr(V ), die definiert ist durch

(←ϕ)∗(ω)(a) = (∂

←ϕ(a))∗(ω(

←ϕ(a)))

fur alle ω ∈ Ωr(M), a ∈ V , wobei hier ∂←ϕ(a) als Element von L(Rm,TpM)

mit p =←ϕ(a) angesehen wird (und damit ist (∂

←ϕ(a))∗ eine Abbildung von

Ar(TpM,R) nach Ar(Rm,R)). Fur r = 0 ist also (←ϕ)∗ω ∈ Ω0(V ) gegeben durch

(←ϕ)∗(ω)(a) = ω(

←ϕ(a)), d.h., (

←ϕ)∗f = f

←ϕ fur alle f ∈ Ω0(M).

Ist W ⊂ U offen, so gibt es durch Einschrankung eine ‘Inklusionsabbildung’ vonΩr(U) in Ωr(W ) und damit eine Abbildung von Ωr(M) nach Ωr(W ), die ebenfalls

mit (←ϕ)∗ bezeichnet wird.


Lemma 17.8 Seien ϕ1 : U1 → V1 ⊂ Rm, ϕ2 : U2 → V2 ⊂ Rm Karten von M mitU = U1 ∩ U2 6= ∅. Dann gilt (

←ϕ1)∗ = (ϕ2 ϕ

−11 )∗ (

←ϕ2)∗ (als Abbildungen von

Ωr(M) nach Ωr(ϕ1(U))).

Beweis Dieser ist fast identisch mit dem Beweis fur Satz 15.2 (5), da nach

Satz 17.7←ϕ1 =

←ϕ2 (ϕ2 ϕ

−11 ) (als Abbildungen von ϕ1(U) nach ϕ2(U)).

Sei ϕa : a ∈ A ein Atlas fur M mit ϕa : Ua → Va, sei r ≥ 0 und fur jedes a ∈ Asei ωa ∈ Ωr(Va). Die Familie ωaa∈A heißt dann vertraglich, wenn

ωa = (ϕb ϕ−1a )∗ωb

gilt als Elemente von Ωr(ϕa(Ua ∩ Ub)) fur alle a, b ∈ A mit Ua ∩ Ub 6= ∅. Ist

ω ∈ Ωr(M), so ist nach Lemma 17.8 die Familie (←ϕa)

∗ωa∈A vertraglich. DieUmkehrung ist auch richtig:

Lemma 17.9 Sei ϕa : a ∈ A ein Atlas fur M und ωaa∈A eine vertraglicheFamilie von r-Formen. Dann gibt es eine eindeutige r-Form ω ∈ Ωr(M), so dass

ωa = (←ϕa)

∗ω fur jedes a ∈ A.

Beweis Sei p ∈ M ; ist a ∈ Amit ϕa : Ua → Va und p ∈ Ua, so wird die Inverse desIsomorphismus ∂

←ϕa(ϕ(p)) ∈ L(Rm,TpM) mit αa bezeichnet. Seien a, b ∈ A mit

ϕa : Ua → Va, ϕb : Ub → Vb und p ∈ U = Ua ∩ Ub; setze ψ = ∂(ϕb ϕ−1a )(ϕa(p)).

Da←ϕ1 =

←ϕ2 (ϕ2 ϕ

−11 ), folgt aus der Kettenregel, dass

∂←ϕa(ϕa(p)) = ∂

←ϕb(ϕb(p)) ∂(ϕb ϕ

−1a )(ϕa(p)) = ∂

←ϕb(ϕb(p)) ψ

und damit ist αb = ψ αa. Da ferner ωa = (ϕb ϕ−1a )∗ωb, gilt

ωa(ϕa(p)) = ((ϕb ϕ−1a )∗ωb)(ϕa(p))

= (∂(ϕb ϕ−1a )(ϕa(p)))

∗(ωb(ϕb ϕ−1a (ϕa(p)))) = ψ∗(ωb(ϕb(p))) .

Seien nun v1, . . . , vr ∈ TpM ; dann gilt

ωa(ϕa(p))(αa(v1), . . . , αa(vr)) = ψ∗(ωb(ϕb(p)))(αa(v1), . . . , αa(vr))

= ωb(ϕb(p))(ψ(αa(v1)), . . . , ψ(αa(vr)))

= ωb(ϕb(p))(αb(v1), . . . , αb(vr))

und folglich hangt ωa(ϕa(p))(αa(v1), . . . , αa(vr)) nicht von der Karte ϕa um p ab.Also gibt es eine eindeutige Abbildung ω(p) : (TpM)r → R, so dass

ω(p)(v1, . . . , vr) = ωa(ϕa(p))(αa(v1), . . . , αa(vr))


fur alle v1, . . . , vr ∈ TpM fur jede Karte ϕa um p, und man sieht leicht, dassω(p) ∈ Ar(TpM,R). Auf diese Weise wird ein Element ω ∈ Ωr(M) konstruiert.Ist ϕa : Ua → Va eine Karte um p, dann gilt

ωa(ϕa(p))(u1, . . . , ur) = ω(p)(∂←ϕa(ϕa(p))(u1), . . . , ∂

←ϕa(ϕa(p))(ur))

= (∂←ϕa(ϕa(p)))

∗ω(p)(u1, . . . , ur)

fur alle u1, . . . , ur ∈ Rm, d.h., ωa(ϕa(p)) = (∂←ϕa(ϕa(p)))

∗ω(p), und dies zeigt,

dass ωa = (←ϕa)

∗ω fur jedes a ∈ A. Ist ω′ ein weiteres Element von Ωr(M) mit

ωa = (←ϕa)

∗ω′ fur jedes a ∈ A, so sieht man leicht, dass

ω′(p)(v1, . . . , vr) = ωa(ϕa(p))(αa(v1), . . . , αa(vr))

fur alle v1, . . . , vr ∈ TpM fur jede Karte ϕa um p, und daraus ergibt sich, dassω′ = ω.

Sei r ≥ 0; eine r-Form ω ∈ Ωr(M) heißt stetig bzw. d-mal stetig differenzierbar,

wenn fur jede Karte ϕ : U → V fur M die r-Form (←ϕ)∗ω ∈ Ωr(V ) stetig bzw.

d-mal stetig differenzierbar ist.

Lemma 17.10 Sei ϕa : a ∈ A ein Atlas fur M und sei ω ∈ Ωr(M). Ist (←ϕa)

∗ωstetig bzw. d-mal stetig differenzierbar fur jedes a ∈ A, so ist ω stetig bzw. d-malstetig differenzierbar.

Beweis Ubung.

Fur den Rest des Kapitels sei M eine C2-Untermannigfaltigkeit von Rn.

Satz 17.10 Sei r ≥ 0; fur jede stetig differenzierbare r-Form ω ∈ Ωr(M) gibt eseine eindeutige stetige (r + 1)-Form dω ∈ Ωr+1(M), so dass

(←ϕ)∗(dω) = d((

←ϕ)∗ω)

fur jede Karte ϕ fur M .

Beweis Sei ϕa : a ∈ A ein Atlas fur M mit ϕa : Ua → Va fur jedes a ∈ A. Fur

jedes a ∈ A ist (←ϕa)

∗ω ∈ Ωr(Va) eine stetig differenzierbare r-Form, sei also ηadie stetige (r+1)-Form d((

←ϕa)

∗ω) auf Va. Sind a, b ∈ A mit U = Ua∩Ub 6= ∅, so

ist nach Lemma 17.8 (←ϕa)

∗ω = (ϕb ϕ−1a )∗((

←ϕb)∗ω) als Elemente von Ωr(ϕa(U)),

und da ϕb ϕ−1a zweimal stetig differenzierbar ist, gilt nach Satz 15.4

ηa = d((←ϕa)

∗ω) = d((ϕbϕ−1a )∗((

←ϕb)∗ω)) = (ϕbϕ

−1a )∗(d((

←ϕb)∗ω)) = (ϕbϕ

−1a )∗ηb .


Dies zeigt, die Familie stetiger (r+1)-Formen ηaa∈A ist vertraglich, und damitgibt es nach Lemma 17.9 eine eindeutige stetige (r + 1)-Form dω ∈ Ωr+1(M), so

dass←ϕa(dω) = ηa = d((

←ϕa)

∗ω) fur jedes a ∈ A. Es folgt dann unmittelbar aus

Satz 15.4, dass auch←ϕ(dω) = d((

←ϕ)∗ω) fur jede Karte ϕ fur M .

Die (r+ 1)-Form dω ∈ Ωr+1(M) heißt die außere oder Cartansche Ableitung vonω ∈ Ωr(M).

Satz 17.11 Seien r, s ≥ 0.

(1) Fur stetig differenzierbare Formen ω1, ω2 ∈ Ωr(M) und alle λ1, λ2 ∈ R gilt

d(λ1ω1 + λ2ω2) = λ1dω1 + λ2dω2 .

(2) Fur stetig differenzierbare Formen ω1 ∈ Ωr(M), ω2 ∈ Ωs(M) gilt

d(ω1 ∧ ω2) = dω1 ∧ ω2 + (−1)rω1 ∧ dω2 .

(3) Fur jede zweimal stetig differenzierbare Form ω ∈ Ωr(M) gilt d(dω) = 0.

Beweis (1) Fur jede Karte ϕ fur M gilt nach Satz 15.1 (1), dass

d((←ϕ)∗(λ1ω1 + λ2ω2)) = d(λ1(

←ϕ)∗ω1 + λ2(

←ϕ)∗ω2) = λ1d((

←ϕ)∗ω1) + λ2d((

←ϕ)∗ω2)

= λ1(←ϕ)∗(dω1) + λ2(

←ϕ)∗(dω2) = (

←ϕ)∗(λ1dω1 + λ2dω2) ,

und daraus ergibt sich nach der Eindeutigkeit in Satz 17.10, dass

d(λ1ω1 + λ2ω2) = λ1dω1 + λ2dω2 .

(2) und (3): Diese folgen aus Satz 15.1 (2) bzw. Satz 15.1 (3) genauso wie inBeweis fur (1).

18 Integration von Differentialformen

Sei M eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn (mit q wieder 1oder 2). Karten ϕ1 : U1 → V1 und ϕ2 : U2 → V2 fur M heißen gleich orientiert,wenn det ∂(ϕ2 ϕ

−11 )(x) > 0 fur alle x ∈ ϕ1(U2). Insbesondere sind ϕ1 und ϕ2

trivial gleich orientiert, wenn U1 ∩ U2 = ∅.

Ein Atlas A = ϕa : a ∈ A fur M heißt orientiert, wenn je zwei Karten in A

gleich orientiert sind. Die Untermannigfaltigkeit M heißt orientierbar, wenn eseinen orientierten Atlas fur M gibt.

Satz 18.1 Sei 1 ≤ m < n, ℓ = n − m, sei U eine offene Teilmenge von Rn

und sei f : U → Rm q-mal stetig differenzierbar. Ist b ∈ Rm ein regularer Wertvon f , so ist die ℓ-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit M = f−1(b) von Rn

orientierbar.

Beweis Ubung.

Es gibt Untermannigfaltigkeiten, die nicht orientierbar sind. Ein Beispiel ist dieTeilmenge Bild f von R3, wobei f : [−π, π) × (−1, 1) → R3 definiert ist durch

f(θ, t) =((1 + t cos(θ/2)) cos(θ), (1 + t cos(θ/2)) sin(θ), t sin(θ/2)

).

Man sieht leicht, dass Bild f eine 2-dimensionale C2-Untermannigfaltigkeit vonR3 ist; sie wird Mobiusband genannt.

Sei A = ϕa : a ∈ A ein orientierter Atlas fur M mit ϕa : Ua → Va fur jedesa ∈ A, sei ψ ∈ Aut(Rm) und sei ϕa = ψ ϕa : Ua → ψ(Va) fur jedes a ∈ A. Dannist A = ϕa : a ∈ A auch ein orientierter Atlas fur M , da

det ∂(ϕb ϕ−1a )(x) = det(ψ ∂(ϕb ϕ

−1a )(ψ−1(x)) ψ−1)

= (detψ) · (det ∂(ϕb ϕ−1a )(ψ−1(x))) · (detψ−1)

= det ∂(ϕb ϕ−1a )(ψ−1(x)) > 0

fur alle x ∈ ϕa(Ub). Ist aber detψ < 0, so haben die Atlanten A und A entgegen-gesetzte Orientierungen: Es gilt det ∂(ϕb ϕ−1

a )(x) < 0 fur alle x ∈ ϕa(Ub) undalle a, b ∈ A.

Nun ist eine orientierte Untermannifaltigkeit ein Paar (M,A) bestehend aus einerUntermannigfaltigkeit M und einem orientierten Atlas A fur M . Im Folgendensei (M,A) eine m-dimensionale orientierte Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn mitA = ϕa : a ∈ A und mit ϕa : Ua → Va fur jedes a ∈ A.

Eine Karte ϕ fur M heißt orientierungstreu bezuglich A, wenn der Atlas A∪ ϕorientiert ist. Da aber A fest ist, wird eine solche Karte lediglich orientierungstreugenannt.

138


Lemma 18.1 Seien ϕ1 und ϕ2 orientierungstreue Karten fur M . Dann ist derAtlas A ∪ ϕ1, ϕ2 orientiert und insbesondere sind ϕ1 und ϕ2 gleich orientiert.

Beweis Ubung.

Sei nun ω ∈ Ωm(M) eine m-Form auf M und sei ϕ : U → V eine Karte fur M .

Dann ist (←ϕ)∗ω eine m-Form auf V und folglich gibt es eine eindeutige 0-Form

f ∈ Ω0(V ), so dass (←ϕ)∗ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxm. Diese Abbildung f : V → R wird

mit ϕ0ω bezeichnet.

Lemma 18.2 Sei ω ∈ Ωm(M) eine m-Form auf M und sei ϕ : U → V eineKarte fur M . Dann gilt:

(1) ϕ0ω(ϕ(p)) = 0 fur alle p ∈ U mit ω(p) = 0.

(2) Ist U1 eine nichtleere offene Teilmenge von U und ist ϕ1 : U1 → V1 = ϕ(U1)die Einschrankung von ϕ auf U1, so ist ϕ0

1ω : V1 → R die Einschrankung vonϕ0ω : V → R auf V1.

Beweis Beide Teile folgen unmittelbar aus der Tatsache, dass

ϕ0ω(ϕ(p)) dx1 ∧ · · · ∧ dxm = (∂←ϕ(ϕ(p)))∗ω(p)

fur alle p ∈ U .

Lemma 18.3 Sei ω ∈ Ωm(M) eine m-Form auf M und seien ϕ1 : U1 → V1 undϕ2 : U2 → V2 Karten fur M mit U = U1 ∩ U2 6= ∅. Dann gilt

ϕ01ω = (ϕ0

2ω T ) det(∂T )

als Abbildungen von ϕ1(U) nach R, wobei T = ϕ2 ϕ−11 : ϕ1(U) → ϕ2(U). Mit

anderen Worten: (ϕ02ω T ) det(∂T ) ist die Einschrankung von ϕ0

1ω auf ϕ1(U).

Beweis Nach Lemma 17.8 gilt (←ϕ1)∗ω = T ∗((

←ϕ2)∗ω) als Elemente von Ωm(ϕ(U))

und daraus folgt nach Satz 15.3 (2), dass fur alle x ∈ ϕ1(U)

ϕ01ω(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxm = T ∗((

←ϕ2)∗ω)(x) = (T ∗(ϕ0

2ω dx1 ∧ · · · ∧ dxm))(x)

= ϕ02ω(T (x)) det(∂T (x)) dx1 ∧ · · · ∧ dxm

und damit ϕ01ω(x) = ϕ0

2ω(T (x)) det(∂T (x)). Folglich ist (ϕ02ω T ) det(∂T ) die

Einschrankung von ϕ01ω auf ϕ1(U).

Satz 18.2 Zu jedem ω ∈ Ωm(M) gibt es eine eindeutige m-Form |ω| ∈ Ωm(M),so dass ϕ0|ω| = |ϕ0ω| fur jede orientierungstreue Karte ϕ fur M .


Beweis Fur jedes a ∈ A setze ωa = |ϕ0a| dx

1 ∧ · · · ∧ dxm. Seien a, b ∈ A mitU = Ua ∩ Ub 6= ∅ und sei T = ϕb ϕ−1

a : ϕa(U) → ϕb(U). Da det ∂T > 0, giltdann nach Satz 15.3 (2) und Lemma 18.3, dass fur jedes x ∈ ϕa(U)

(T ∗ωb)(x) = |ϕ0b |(T (x)) det ∂T (x) dx1 ∧ · · · ∧ dxm

= |ϕ0a(x)| dx

1 ∧ · · · ∧ dxm = ωa(x)

und folglich ist die Familie ωaa∈A vertraglich. Nach Lemma 17.9 gibt es dann

eine eindeutige m-Form |ω| ∈ Ωm(M), so dass ωa = (←ϕa)

∗|ω| fur alle a ∈ A,d.h., mit ϕ0

a|ω| = |ϕ0aω| fur jedes a ∈ A. Ferner gilt dann ϕ0|ω| = |ϕ0ω| fur jede

orientierungstreue Karte ϕ fur M , da A ∪ ϕ ein orientierter Atlas ist.

Nun setze

Ωm+ (M) = ω ∈ Ωm(M) : ϕ0ω ≥ 0 fur jede orientierungstreue Karte ϕ .

Insbesondere ist |ω| ∈ Ωm+ (M) fur jedes ω ∈ Ωm(M). Fur jedes ω ∈ Ωm(M)

setze ω+ = 12(|ω| + ω) und ω− = 1

2(|ω| − ω); dann sind ω+, ω− ∈ Ωm

+ (M) mitω = ω+−ω− und |ω| = ω+ +ω−. Ferner gilt ϕ0ω+ = (ϕ0ω)+ und ϕ0ω− = (ϕ0ω)−

fur jede orientierungstreue Karte ϕ fur M .

Eine m-Form ω ∈ Ωm(M) auf M heißt messbar, wenn ϕ0ω ∈ M(V,B(V )) furjede orientierungstreue Karte ϕ : U → V fur M . Es ist klar, dass die Mengeder messbaren m-Formen ein Untervektorraum von Ωm(M) ist. Ferner sind dieFormen |ω|, ω+ und ω− messbar, wenn ω messbar ist.

Fur ω ∈ Ωr(M) setze Σ(ω) = p ∈M : ω(p) 6= 0.

Lemma 18.4 Sei ω ∈ Ωm(M) eine messbare m-Form und seien ϕ1 : U1 → V1

und ϕ2 : U2 → V2 orientierungstreue Karten fur M mit Σ(ω) ⊂ U1 ∩ U2. Dannist ϕ0

1ω : V1 → R λmV1-integrierbar genau, wenn ϕ0

2ω : V2 → R λmV2-integrierbar ist,

und in diesem Fall ist ∫ϕ0

1ω dλmV1

=

∫ϕ0

2ω dλmV2.

Beweis Setze U = U1 ∩ U2 und sei T = ϕ2 ϕ−11 : ϕ1(U) → ϕ2(U). Dann ist

nach Lemma 18.3 (ϕ02ω T ) det(∂T ) die Einschrankung von ϕ0

1ω auf ϕ1(U). AberT und T−1 sind stetig, det(∂T ) > 0 ist stetig und nach Lemma 18.2 (1) giltϕ0kω(x) = 0 fur alle x ∈ Vk \ ϕk(U). Nach dem Transformationssatz (Satz 13.4)

ist also ϕ01ω genau dann λmV1

-integrierbar, wenn ϕ02ω λmV2

-integrierbar ist, und indiesem Fall ist∫

ϕ01ω dλ

mV1

=

∫χϕ1(U)ϕ

01ω dλ

mϕ1(U) =

∫((χϕ2(U)ϕ

02ω) T ) det(∂T ) dλmϕ1(U)

=

∫((χϕ2(U)ϕ

02ω) T )| det(∂T )| dλmϕ1(U)

=

∫χϕ2(U)ϕ

02 dλ

mϕ2(U) =

∫ϕ0

2ω dλmV2.


Eine messbare m-Form ω ∈ Ωm(M) auf M wird direkt integrierbar genannt,wenn es eine orientierungstreue Karte ϕ : U → V fur M mit Σ(ω) ⊂ U gibt undϕ0ω : V → R λmV -integrierbar ist. In diesem Fall wird das Integral von ω uber Mdefiniert durch ∫

ω =

∫ϕ0ω dλmV .

Nach Lemma 18.4 hangt diese Definition nicht von der Wahl der Karte ϕ ab.

Sei B(M) ⊂ P(M) die kleinste σ-Algebra, die die offenen Teilmengen von Menthalt. Nach Lemma 17.3 (2) ist M ∈ B(Rn) und daraus sieht man leicht, dassB(M) = P(M) ∩ B(Rn).

Lemma 18.5 Sei ω ∈ Ωm(M) eine messbare m-Form und sei g ∈ M(M,B(M)).

Dann ist gω eine messbare m-Form und ϕ0(gω) = (g ←ϕ)ϕ0ω fur jede Karte ϕ

fur M . Insbesondere ist gω ∈ Ωm+ (M), falls ω ∈ Ωm

+ (M) und g ∈ M+(M,B(M)).

Beweis Nach Satz 15.2 (2) gilt ϕ0(gω) = (g ←ϕ)ϕ0ω fur jede Karte ϕ : U → V

und g ←ϕ ∈ M(V,B(V )), da

←ϕ : V → Rn stetig ist. Also ist gω eine messbare

m-Form.

Lemma 18.6 Sei ω ∈ Ωm(M) direkt integrierbar und seien f, g ∈ M(M,B(M))beschrankte Abbildungen. Dann sind fω, gω und (f + g)ω direkt integrierbar und∫

(f + g)ω =∫fω +

∫gω. Ist ferner ω ∈ Ωm

+ (M) und 0 ≤ f ≤ 1, so gilt auch∫fω ≤

∫ω.

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Lemma 18.5.

Eine Folge εkk≥0 aus M+(M,B(M)) heißt (messbare) Zerlegung der Eins furM , wenn es fur jedes k ≥ 0 eine orientierungstreue Karte ϕ : U → V gibt, sodass Σ(εk) = p ∈M : εn(p) 6= 0 ⊂ U , und

∑k≥0 εk(p) = 1 fur jedes p ∈M .

Lemma 18.7 Es gibt eine Zerlegung der Eins fur M .

Beweis Fur jedes p ∈ M sei ϕp : Up → Vp eine orientierungstreue Karte um p.Nach Lemma 17.3 (3) ist M parakompakt und folglich gibt es eine Folge pkk≥0

aus M , so dass M =⋃k≥0Upk

. Setze B0 = Up0 und Bk = Upk\⋃k−1j=0 Upj

furk ≥ 1. Dann ist Bkk≥0 eine Folge paarweise disjunkter Elemente aus B(M) mit⋃k≥0Bk = M und ferner gilt Bk ⊂ Upk

fur jedes k ≥ 0. Setze nun εk = χBk

; dannist εkk≥0 eine Zerlegung der Eins fur M .


Lemma 18.8 Sei ϕ : U → V eine orientierungstreue Karte, sei ω ∈ Ωm+ (M)

eine messbare m-Form mit Σ(ω) ⊂ U und sei εkk≥0 eine Zerlegung der Einsfur M . Dann ist ω direkt integrierbar genau, wenn εkω direkt integrierbar ist furjedes k ≥ 0 und

∑k≥0

∫εkω <∞. In diesem Fall ist

∫ω =

∑k≥0

∫εkω.

Beweis Setze f = ω0 und fur k ≥ 0 sei fk =∑k

j=0(εj ←ϕ)f . Dann ist fkk≥0 eine

monoton wachsende Folge aus M+(V,B(V )), die gegen f konvergiert. Nach demSatz von der monotonen Konvergenz ist also f genau dann λmV -integrierbar, wennfk λ

mV -integrierbar ist fur jedes k ≥ 0 und limk→∞

∫fk dλ

mV < ∞. In diesem Fall

ist∫f dλmV = limk→∞

∫fk dλ

mV . Aber nach Lemma 18.5 ist fk =

∑kj=0 ϕ

0(εjω)und daraus ergibt sich, dass ω genau dann direkt integrierbar ist, wenn εkω direktintegrierbar ist fur jedes k ≥ 0 und

∑k≥0

∫εkω <∞. Ferner ist in diesem Fall

∫ω =

∫ϕ0ω dλmV = lim

k→∞

∫ k∑

j=0

ϕ0(εjω) dλmV

= limk→∞

k∑

j=0

∫ϕ0(εjω) dλmV = lim

k→∞

k∑

j=0

∫εkω =

∑

k≥0

∫εkω .

Sei ω ∈ Ωm+ (M) eine messbare m-Form und sei εkk≥0 eine Zerlegung der Eins

fur M . Dann heißt ω integrierbar bezuglich εkk≥0, wenn εkω direkt integrierbarist fur jedes k ≥ 0 und

∑k≥0

∫εkω <∞.

Lemma 18.9 Sei ω ∈ Ωm+ (M) eine messbare m-Form und seien εkk≥0 und

ε′kk≥0 Zerlegungen der Eins fur M . Dann ist ω integrierbar bezuglich εkk≥0

genau, wenn ω integrierbar bezuglich ε′kk≥0 ist, und in diesem Fall ist

∑

k≥0

∫εkω =

∑

k≥0

∫ε′kω .

Beweis Nehme an, dass ω integrierbar bezuglich εkk≥0 ist. Sei j ≥ 0; nachLemma 18.6 ist εkε

′jω = ε′j(εkω) direkt integrierbar und

∫εkε′jω ≤

∫εkω fur

jedes k ≥ 0. Daraus folgt nach Lemma 18.8, dass ε′jω direkt integrierbar ist und∫ε′jω =

∑k≥0

∫εkε′jω. Fur alle ℓ ≥ 0 gilt dann nach Lemma 18.6, dass

ℓ∑

j=0

∫ε′jω =

ℓ∑

j=0

∑

k≥0

∫εkε′jω =

∑

k≥0

ℓ∑

j=0

∫ε′jε′kω

=∑

k≥0

∫ ( ℓ∑

j=0

ε′j

)εkω ≤

∑

k≥0

∫εkω .


Damit ist ω integrierbar bezuglich ε′kk≥0 und∑

k≥0

∫ε′kω ≤

∑k≥0

∫εkω. Ist

umgekehrt ω integrierbar bezuglich ε′kk≥0, so gilt genauso, dass ω integrierbarbezuglich εkk≥0 ist und

∑k≥0

∫εkω ≤

∑k≥0

∫ε′kω.

Eine messbare m-Form ω ∈ Ωm+ (M) heißt nun integrierbar, wenn sie integrierbar

ist bezuglich einer (und damit nach Lemma 18.9 bezuglich jeder) Zerlegung derEins εkk≥0 fur M . In diesem Fall wird das Integral von ω uber M durch

∫ω =

∑

k≥0

∫εkω

definiert. Nach Lemma 18.9 hangt die Definition von∫ω nicht von der Wahl

der Zerlegung der Eins εkk≥0 ab. Ist ω direkt integrierbar, dann stimmen nachLemma 18.8 die zwei Bedeutungen von

∫ω uberein.

Sind ω1, ω2 ∈ Ωm+ (M) integrierbar, so sieht man leicht, dass fur alle b1, b2 ∈ R+

die m-Form b1ω1 + b2ω2 integrierbar ist und∫

(b1ω1 + b2ω2) = b1∫ω1 + b2

∫ω2.

Schließlich heißt eine messbare m-Form ω ∈ Ωm(M) integrierbar, wenn ω+ undω− integrierbar sind und dann setzt man

∫ω =

∫ω+ −

∫ω−. Man sieht leicht,

dass die Menge der integrierbaren Formen ein Untervektorraum von Ωm(M) istund dass das Integral eine Linearform ist: Sind ω1, ω2 ∈ Ωm(M) integrierbar undb1, b2 ∈ R, so ist die m-Form b1ω1 + b2ω2 integrierbar und es gilt

∫(b1ω1 + b2ω2) = b1

∫ω1 + b2

∫ω2 .

Ist F ∈ B(M), so heißt eine m-Form ω ∈ Ωm(M) integrierbar uber F , wenn diem-Form χ

Fω integrierbar ist, und in diesem Fall schreibt man auch∫Fω statt∫

χFω.

Eine Teilmenge F von M heißt abgeschlossen in M , wenn M \ F offen in M ist.(Zu jedem p ∈ M \ F gibt es also eine offene Umgebung W von p in Rn mitF ∩W = ∅.) Ist D ⊂M abgeschlossen in Rn, so ist D auch abgeschlossen in M .Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch, da zum Beispiel M stets abgeschlossenin M ist. Fur eine Teilmenge von M bedeutet von nun an abgeschlossen stetsabgeschlossen in M .

Eine Teilmenge F von M heißt kompakt in M , wenn jede Uberdeckung von F mitoffenen Teilmengen von M eine endliche Teiluberdeckung besitzt. Eine Teilmengevon M ist aber kompakt in M genau dann, wenn sie eine kompakte Teilmengevon Rn ist. (Dies folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass U ⊂ M genau dannoffen in M ist, wenn es eine offene Teilmenge V von Rn mit U = V ∩M gibt.)Ist F ⊂ M kompakt und D eine abgeschlossene Teilmenge von M , so ist F ∩Dkompakt.


Satz 18.3 Eine stetige m-Form ω ∈ Mm(Ω) ist integrierbar uber jede kompakteMenge F ⊂M .

Beweis Da ω+ und ω− stetig sind, kann man annehmen, dass ω ∈ Ωm+ (M). Fur

jedes p ∈ F sei ϕp : Up → Vp eine orientierungstreue Karte fur M um p, sei V ′peine offene Umgebung von ϕp(p) mit V ′p eine kompakte Teilmenge von Vp und seiU ′p = ϕ−1

p (V ′p). Da F kompakt ist und U ′p eine offene Umgebung von p in M , gibt

es p1, . . . , pℓ ∈ F , so dass F ⊂⋃ℓk=1U

′pk

. Setze B1 = U ′p1 ∩ F und fur 2 ≤ k ≤ ℓ

sei Bk = (U ′pk∩F ) \

⋃k−1j=1 U

′pj

. Dann sind B1, . . . , Bℓ disjunkt mit F =⋃ℓk=1Bk.

Sei 1 ≤ k ≤ ℓ; dann ist Σ(χBkω) ⊂ Bk ⊂ Upk

und

ϕ0pk

(χBkω) = (χBk

←ϕpk

)ϕ0pkω = χ

ϕpk(Bk)ϕ

0pkω .

Aber ϕpk(Bk) ⊂ V ′pk

und ϕ0pkω ist stetig und damit beschrankt auf V ′pk

. Folglich istχBkω direkt integierbar fur jedes k und daraus ergibt sich, dass χFω =

∑ℓk=1

χBkω

integrierbar ist, d.h., ω ist integrierbar uber F .

19 Der Satz von Stokes

Im Folgenden sei M eine m-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn (mitq wieder 1 oder 2). Es wird ferner angenommen, dass m ≥ 2. (Ubungsaufgabe:Man formuliere und beweise die entsprechenden Ergebnisse fur den Fall m = 1.)

Zunachst werden gewisse Teilmengen von M untersucht, die (m−1)-dimensionaleUntermannigfaltigkeiten sind. Seien i ∈ L(Rm−1,Rm) und p ∈ L(Rm,Rm−1) dielinearen Abbildungen, die gegeben sind durch i(x1, . . . , xm−1) = (0, x1, . . . , xm−1)und p(x1, . . . , xm) = (x2, . . . , xm); also ist i injektiv und p surjektiv. Setze

Rm−1⋄ = (x1, . . . , xm) ∈ Rm : x1 = 0 ;

dann gilt p i = idRm−1 und i(p(x)) = x fur alle x ∈ Rm−1⋄ . Ist V eine offene

Teilmenge von Rm, so wird die offene Teilmenge i−1(V ) von Rm−1 mit V ⋄ unddie Einschrankung von i auf V ⋄ mit iV bezeichnet, also bildet iV die Menge V ⋄

bijektiv auf Rm−1⋄ ∩ V ab.

Lemma 19.1 Sei N ⊂M und sei ϕ : U → V eine Karte fur M mit

ϕ(N ∩ U) = Rm−1⋄ ∩ V .

Dann ist N ∩U eine (m− 1)-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn. Istferner N ∩ U 6= ∅, so ist die Abbildung ϕ⋄ : N ∩ U → V ⋄ mit ϕ⋄(p) = p(ϕ(p))fur alle p ∈ N ∩ U eine Karte fur N ∩ U .

Beweis Die Abbildung γ =←ϕ iV : V ⋄ → Rn ist q-mal stetig differenzierbar und

da ∂γ(x) = ∂←ϕ(i(x)) i injektiv ist, ist γ eine Cq-Immersion. Da ferner

←ϕ und

iV injektiv sind, ist γ injektiv und die Abbildung γ−1 : γ(V ⋄) = N ∩ U → V ⋄ iststetig, da γ−1(p) = p(ϕ(p)) fur jedes p ∈ N ∩U . Damit ist γ eine Cq-Einbettungund daraus folgt nach Satz 17.4, dass N ∩ U = γ(V ⋄) eine (m− 1)-dimensionaleCq-Untermannigfaltigkeit von Rn ist. Ist ferner N ∩ U 6= ∅, so ist ϕ⋄ eine Kartefur N ∩ U mit Parametrisierung γ, da ϕ⋄(γ(x)) = x fur alle x ∈ V ⋄.

Eine Menge N ⊂ M heißt (m − 1)-dimensionale glatte Teilmenge von M , wennes zu jedem p ∈ N eine Karte ϕ : U → V um p gibt mit ϕ(N ∩ U) = Rm−1

⋄ ∩ V .

Lemma 19.2 Eine (m − 1)-dimensionale glatte Teilmenge N von M ist eine(m− 1)-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn.

Beweis Dies folgt unmittelbar aus Lemma 19.1 und Lemma 17.2 (3). (Ist Ueine offene Teilmenge von M , so gibt es eine offene Teilmenge W von Rn mitU = M ∩W und daher mit N ∩ U = N ∩W .)

145


SeiG ⊂ M ; ein Punkt p ∈M heißt Randpunkt von G (inM), wenn U∩G 6= ∅ undU \G 6= ∅ fur jede offene Umgebung U von p in M . Die Menge aller Randpunktevon G wird mit ∂G bezeichnet. Insbesondere ist ∂G abgeschlossen in M . Setze

Hm = (x1, . . . , xm) ∈ Rm : x1 ≤ 0 ;

also ist ∂Hm = Rm−1⋄ (als Teilmenge von Rm) und ab jetzt wird ∂Hm statt Rm−1

⋄

geschrieben.

Eine Teilmenge G von M heißt glatt berandet, wenn es zu jedem Randpunktp ∈ ∂G eine Karte ϕ : U → V fur M um p gibt, so dass ϕ(G∩U) = Hm ∩V undϕ(∂G ∩ U) = ∂Hm ∩ V .

Im Folgenden sei G eine glatt berandete Teilmenge von M .

Satz 19.1 ∂G ist eine (m − 1)-dimensionale Cq-Untermannigfaltigkeit von Rn.Ferner gilt Tp(∂G) ⊂ TpM fur alle p ∈ ∂G.

Beweis Es folgt unmittelbar aus Lemma 19.2, dass ∂G eine (m−1)-dimensionaleCq-Untermannigfaltigkeit ist. Sei p ∈ ∂G; dann gibt es eine Karte ϕ : U → Vfur M um p, so dass ϕ(G ∩ U) = Hm ∩ V und ϕ(∂G ∩ U) = ∂Hm ∩ V und nachLemma 19.1 ist die Abbildung α = ϕ⋄ : ∂G ∩ U → V ⋄ mit α(p′) = p(ϕ(p′)) fur

alle p′ ∈ ∂G ∩ U eine Karte fur ∂G um p. Aber←α =

←ϕ iV und daraus ergibt

sich, dass ∂←ϕ(α(p)) = ∂

←ϕ(ϕ(p)) ∂iV (α(p)) = ∂

←ϕ(ϕ(p)) i. Folglich ist

Tp(∂G) = Bild ∂←ϕ(α(p)) = ∂

←ϕ(α(p))(Rm−1)

= ∂←ϕ(ϕ(p))(i(Rm−1)) ⊂ ∂

←ϕ(ϕ(p))(Rm) = Bild ∂

←ϕ(ϕ(p)) = TpM .

Man beachte: M ist die disjunkte Vereinigung der Mengen G \ ∂G, M \ (G∪ ∂G)und ∂G, und die Mengen G \ ∂G und M \ (G ∪ ∂G) sind offen. Eine Karteϕ : U → V fur M heißt G-angepasst, wenn eine der folgenden Bedingungenerfullt ist:

(1) U ⊂ G \ ∂G und V ⊂ Hm \ ∂Hm,

(2) U ⊂M \ (G ∪ ∂G) und V ⊂ Rm \Hm,

(3) ∂G ∩ U 6= ∅ und ϕ(G ∩ U) = Hm ∩ V und ϕ(∂G ∩ U) = ∂Hm ∩ V .

Lemma 19.3 Zu jedem p ∈M gibt es eine G-angepasste Karte fur M um p.

Beweis Da G glatt berandet ist, ist dies richtig per Definition fur p ∈ ∂G. Seialso p ∈M \∂G und nehme zunachst an, dass p ∈ G\∂G; es gibt also eine offeneUmgebung W von p in M , so dass W ⊂ G. Sei ϕ : U → V eine Karte fur M um p.Da ϕ stetig ist, gibt es dann eine offene Umgebung U ′ von p inM mit U ′ ⊂ U∩W ,


so dass ϕ(U ′) eine beschrankte Teilmenge von Rm ist. Wahle nun v ∈ Rm, so dassv + x ∈ Hm \ ∂Hm fur jedes x ∈ ϕ(U ′), setze V ′ = v + ϕ(p′) : p′ ∈ U ′ unddefiniere ϕ′ : U ′ → V ′ durch ϕ′(p′) = v+ϕ(p′). Dann ist ϕ′ eine Karte fur M ump, die G-angepasst ist, da V ′ ⊂ Hm\∂Hm. Der andere Fall (mit p ∈M \(G∩∂G))kann ahnlich behandelt werden.

Im Folgenden nehme nun an, dass M orientiert ist; es gibt also einen orientiertenAtlas fur M (der aber nicht explizit benannt wird).

Lemma 19.4 (1) Zu jedem p ∈M gibt es eine G-angepasste orientierungstreueKarte fur M um p.

(2) Ist ϕ : U → V eine G-angepasste orientierungstreue Karte fur M um p undist U ′ eine offene Umgebung von p in U , so ist die Einschrankung von ϕ auf U ′

auch eine G-angepasste orientierungstreue Karte fur M um p.

Beweis (1) Fur p ∈M \∂G kann eine G-angepasste orientierungstreue Karte furM um p genauso wie in Lemma 19.3 konstruiert werden. Sei also p ∈ ∂G. Es gibtdann eine G-angepasste Karte ϕ1 : U1 → V2 sowie eine orientierungstreue Karteϕ2 : U2 → V2 fur M um p. Sei U = U1 ∩U2 und betrachte den Diffeomorphismush = ϕ2 ϕ−1

1 : ϕ1(U) → ϕ2(U); da det ∂h 6= 0 stetig ist, gibt es eine offeneUmgebung V von ϕ1(p) in ϕ1(U), so dass entweder det ∂h(x) > 0 fur alle x ∈V oder det ∂h(x) < 0 fur alle x ∈ V . Sei ϕ die Einschrankung von ϕ1 aufϕ−1

1 (V ). Ist det ∂h(x) > 0 bzw. det ∂h(x) < 0 fur alle x ∈ V , so sieht man leicht,dass ϕ bzw. f2 ϕ eine G-angepasste orientierungstreue Karte fur M um p ist,wobei f2 der durch f2(x1, . . . , xm) = (x1,−x2, x3, . . . , xm) gegebene orthogonaleEndomorphismus ist (und hier braucht man m ≥ 2.)

(2) Dies ist klar.

Lemma 19.5 Seien ϕ1 : U1 → V1, ϕ2 : U2 → V2 G-angepasste orientierungstreueKarten fur M mit ∂G ∩ U1 ∩ U2 6= ∅. Fur k = 1, 2 sei ϕ⋄k : ∂G ∩ Uk → V ⋄k dieim Lemma 19.1 durch ϕ⋄k(p) = p(ϕk(p)) fur alle p ∈ ∂G∩Uk definierte Karte fur∂G. Dann sind ϕ⋄1 und ϕ⋄2 gleich orientiert.

Beweis Setze U = U1 ∩ U2 und seien V ′1 = ϕ1(U) und V ′2 = ϕ2(U). Dann isth = ϕ2 ϕ

−11 : V ′1 → V ′2 ein Diffeomorphismus mit h(∂Hm ∩ V ′1) = ∂Hm ∩ V ′2 und

h(Hm ∩ V ′1) = Hm ∩ V ′2 . Sei x ∈ ∂Hm ∩ V ′1 und sei J = (cij) ∈ M(m × m,R)die Matrix von ∂h(x) bezuglich der kanonischen Basis von Rm. Dann ist c11 > 0und c1k = 0 fur k = 2, . . . , m. (Ist h = (h1, . . . , hm), so ist h1(y) = 0 fur alley ∈ ∂Hm ∩ V ′1 und h1(y) ≤ 0 fur alle y ∈ Hm ∩ V ′1 . Damit ist c1k = ∂kh1(x) = 0fur k ≥ 2 und c11 = ∂1h1(x) ≥ 0 und dann ist c11 > 0, da J invertierbarist.) Sei nun U⋄ = ∂G ∩ U ; dann ist ϕ⋄2 (ϕ⋄1)

−1(z) = p(h(iV1(z))) fur jedes


z ∈ ϕ⋄1(U) und also ist ∂(ϕ⋄2 (ϕ⋄1)−1)(z) = p ∂h(iV1(z)) i. Daraus ergibt sich,

dass det ∂(ϕ⋄2 (ϕ⋄1)−1)(z) = det J ′, wobei J ′ durch Weglassen der ersten Spalte

und der ersten Zeile von J entsteht mit J = (cjk) die Matrix von ∂h((ϕ⋄1)−1)(z)

bezuglich der kanonischen Basis von Rm. Aber det J = c11 det J ′, da c1k = 0 furk = 2, . . . , m, und det J > 0, da ϕ1 und ϕ2 gleich orientiert sind, und daher istdet J ′ > 0, da c11 > 0. Dies zeigt, dass die Karten ϕ⋄1 und ϕ⋄2 gleich orientiertsind.

Sei AG = ϕa : a ∈ A (mit ϕa : Ua → Va) die Menge aller G-angepasstenorientierungstreuen Karten fur M . Nach Lemma 19.4 (1) ist also AG ein Atlas furM . Setze A⋄ = a ∈ A : ∂G∩Ua 6= ∅ und fur a ∈ A⋄ sei ϕ⋄a : ∂G∩Ua → V ⋄a dieim Lemma 19.1 durch ϕ⋄a(p) = p(ϕa(p)) fur alle p ∈ ∂G ∩Ua definierte Karte fur∂G. Dann folgt aus Lemma 19.5, dass A

⋄G = ϕ⋄a : a ∈ A⋄ ein orientierter Atlas

fur ∂G ist, und ∂G wird stets als orientierte Untermannigfaltigkeit bezuglichdieses Atlas angesehen.

Sei ω ∈ Ωr(M) eine r-Form auf M . Fur jedes p ∈ ∂G ist dann ω(p) ∈ Ar(TpM,R)und nach Satz 19.1 gilt Tp(∂G) ⊂ TpM ; ein Element ω′(p) ∈ Ar(Tp(∂G),R)kann also definiert werden durch ω′(p)(v1, . . . , vr) = ω(p)(v1, . . . , vr) fur allev1, . . . , vr ∈ Tp(∂G). (Daher ist ω′(p) = j∗(ω(p)) mit j : Tp(∂G) → TpM dieInklusionsabbildung.) Auf diese Weise wird eine r-Form ω′ ∈ Ωr(∂G) auf ∂Gdefiniert, die mit ω|∂G bezeichnet wird.

Lemma 19.6 Ist ω ∈ Ωr(M) eine stetige r-Form auf M , so ist ω|∂G eine stetiger-Form auf ∂G.

Beweis Sei p ∈ ∂G und sei ϕ : U → V eine G-angepasste Karte fur M um p.Nach Lemma 19.1 ist die Abbildung α = ϕ⋄ : ∂G∩U → V ⋄ mit α(p′) = p(ϕ(p′))

fur alle p′ ∈ ∂G∩U eine Karte fur ∂G um p. Nun gilt←α =

←ϕ iV und folglich ist

(←α)∗ω|∂G = i∗V ((

←ϕ)∗ω). Aber (

←ϕ)∗ω ∈ Ωr(V ) ist stetig, da ω stetig ist, und iV ist

stetig. Daraus ergibt sich nach Lemma 15.9, dass (←α)∗ω|∂G ∈ Ωr(V ⋄) stetig ist.

Daher ist nach Lemma 17.10 ω|∂G stetig.

Sei nun M eine m-dimensionale C2-Untermannigfaltigkeit von Rn (d.h., q = 2).Fur jede stetig differenzierbare r-Form ω ∈ Ωr(M) gibt es dann nach Satz 17.10

die eindeutige stetige (r + 1)-Form dω ∈ Ωr+1(M) mit (←ϕ)∗(dω) = d((

←ϕ)∗ω) fur

jede Karte ϕ fur M .

Satz 19.2 (Satz von Stokes) Sei G eine glatt berandete kompakte Teilmengevon M und sei ω eine stetig differenzierbare (m− 1)-Form auf M . Dann gilt

∫

G

dω =

∫ω|∂G

(und meistens schreibt man∫∂Gω statt

∫ω|∂G).


Beweis Dieser erstreckt sich uber die nachsten funf Seiten.

Lemma 19.7 Sei F eine abgeschlossene Teilmenge von M und sei η eine stetigdifferenzierbare Form auf M mit Σ(η) ⊂ F . Dann ist Σ(dη) ⊂ F .

Beweis Sei p ∈ M \ F und sei ϕ : U → V eine Karte fur M um p. Da η(p′) = 0

fur alle p′ ∈ U \ F , gilt dann (←ϕ)∗η(x) = 0 fur alle x ∈ W = ϕ(U \ F ). Da W

offen ist, ist dann auch (←ϕ)∗(dη)(x) = d((

←ϕ)∗η)(x) = 0 fur alle x ∈ W . Damit ist

(dη)(p′) = 0 fur alle p′ ∈ U \ F und insbesondere ist (dη)(p) = 0.

Ist V eine offene Teilmenge von Rm, so hat eine Abbildung γ : V → R kompaktenTrager in V , wenn es eine kompakte Teilmenge F von V gibt mit Σ(γ) ⊂ F .

Lemma 19.8 Sei V eine offene Teilmenge von Rm und sei g : V → R stetigdifferenzierbar mit kompaktem Trager in V . Dann gilt:

(1) Fur jedes k = 1, . . . , m ist

∫∂kg dλ

mV = 0.

(2) Fur jedes k = 2, . . . , m ist

∫

Hm∩V

∂kg dλmV = 0.

(3) Es ist

∫

Hm∩V

∂1g dλmV =

∫g iV dλ

m−1V ⋄ .

Beweis Ubung. (Dieser ist sehr ahnlich zum Beweis fur Lemma 16.5.)

Im Folgenden sei G stets eine glatt berandete kompakte Teilmenge von M undsei ω eine stetig differenzierbare (m− 1)-Form auf M .

Lemma 19.9 Sei ϕ : U → V eine G-angepasste orientierungstreue Karte furM , sei γ : V → R+ eine stetig differenzierbare Abbildung mit kompaktem Tragerin V , und sei h : M → R+ die triviale Fortsetzung von γ ϕ : U → R+ (mith(p) = 0 fur alle p ∈ M \ U). Dann ist η = hω eine stetig differenzierbare(m− 1)-Form auf M und

∫G

dη =∫η|∂G.

Beweis Man beachte zunachst: Es gilt Σ(η) ⊂ U und Σ(η|∂G) ⊂ ∂G ∩ U , dah(p) = 0 fur jedes p ∈ M \ U . Nach Lemma 19.7 ist dann auch Σ(dη) ⊂ U , da

Σ(η) ⊂←ϕ(F ). Setze η′ = (

←ϕ)∗η; nach Satz 15.2 (2) gilt

η′ = (←ϕ)∗η = (h

←ϕ)(

←ϕ)∗ω = γ(

←ϕ)∗ω

und da γ stetig differenzierbar und (←ϕ)∗ω eine stetig differenzierbare Form auf V

ist, ist η′ eine stetig differenzierbare (m− 1)-Form auf V . Insbesondere folgt aus


Lemma 17.8, dass η eine stetig differenzierbare (m − 1)-Form auf M ist. Fernergibt es stetig differenzierbare 0-Formen f1, . . . , fm ∈ Ω0(V ), so dass

η′ =m∑

k=1

fk dx1 ∧ · · · ∧ dxk ∧ · · · ∧ dxm

und da η′ = γ(←ϕ)∗ω, hat fk kompakten Trager in V fur k = 1, . . . , m. Nun sieht

man leicht, dass dη′ = f dx1 ∧ · · · ∧ dxm mit

f =m∑

k=1

(−1)k+1∂kfk .

Daraus ergibt sich nach Satz 15.2 (2), dass

(←ϕ)∗(χGdη) = (χG

←ϕ)(

←ϕ)∗(dη) = χ

ϕ(G∩U)d((←ϕ)∗η)

= χϕ(G∩U)d(η′) = χ

ϕ(G∩U)f dx1 ∧ · · · ∧ dxm ;

d.h., ϕ0(χGdη) = χϕ(G∩U)f . Da aber Σ(χGdη) ⊂ Σ(dη) ⊂ U , ist χGdη direkt

integrierbar und es gilt

∫

G

dη =

∫χϕ(G∩U)f dλ

mV .

Nach der Definition einer G-angepassten Karte gibt es nun drei Falle:

Fall 1 mit U ⊂M \ (G ∪ ∂G) und V ⊂ Rm \Hm:

Hier ist η|∂G = 0, da U ∩ ∂G = ∅, und also ist∫η|∂G = 0. Andererseits ist

χϕ(G∩U) = 0, da U ∩ G = ∅, und damit ist auch

∫G

dη = 0. Insbesondere ist∫G

dη =∫η∂G.

Fall 2 mit U ⊂ G \ ∂G und V ⊂ Hm \ ∂Hm:

Wieder ist η|∂G = 0 und damit∫η|∂G = 0. Diesmal ist χϕ(G∩U) = χ

V , da U ⊂ Gund daraus ergibt sich, dass

∫

G

dη =

∫f dλmV =

m∑

k=1

(−1)k+1

∫∂kfk dλ

mV .

Nach Lemma 19.8 (1) ist aber∫∂kfk dλ

mV = 0, da fk kompakten Trager in V hat.

Folglich ist∫G

dη = 0 =∫η∂G.

Fall 3 mit ∂G ∩ U 6= ∅ und ϕ(G ∩ U) = Hm ∩ V und ϕ(∂G ∩ U) = ∂Hm ∩ V :


Nach Lemma 19.8 (2) und (3) ist in diesem Fall

∫

G

dη =

∫

Hm∩V

f dλmV

=m∑

k=1

(−1)k+1

∫

Hm∩V

∂kfk dλmV =

∫

Hm∩V

∂1f1 dλmV =

∫f1 iV dλ

m−1V ⋄ .

Nach Lemma 19.1 ist die Abbildung α = ϕ⋄ : ∂G∩U → V ⋄ mit α(p′) = p(ϕ(p′))fur alle p′ ∈ ∂G ∩U eine Karte fur ∂G um p. Da Σ(η|∂G) ⊂ ∂G ∩ U , ist also η|∂Gdirekt integrierbar und es gilt

∫η|∂G =

∫α0(η|∂G) dλm−1

V ⋄ .

Nun gilt←α =

←ϕ iV und folglich ist (

←α)∗η|∂G = i∗V ((

←ϕ)∗η). Daraus ergibt sich nach

Satz 15.2, dass

(←α)∗η|∂G = i∗V (η′) = i∗V

( m∑

k=1

fk dx1 ∧ · · · ∧ dxk ∧ · · · ∧ dxm)

=m∑

k=1

i∗V (fk dx1 ∧ · · · ∧ dxk ∧ · · · ∧ dxm)

=m∑

k=1

(fk iV ) dκ1 ∧ · · · ∧ dκk ∧ · · · ∧ dκm ,

wobei iV = (κ1, . . . , κm). Aber iV : V ⋄ → V ist die Abbildung mit

iV (x1, . . . , xm−1) = (0, x1, . . . , xm−1)

und daher ist dκ1 = 0 und dκk = dxk−1 fur k = 2, . . . , m. Also ist

(←α)∗η|∂G = (f1 iV ) dκ2 ∧ · · · ∧ dκm = (f1 iV ) dx1 ∧ · · · ∧ dxm−1 ;

d.h., α0(η|∂G) = f1 iV . Dies zeigt schließlich, dass

∫

G

dη =

∫f1 iV dλ

m−1V ⋄ =

∫α0(η|∂G) dλm−1

V ⋄ =

∫η|∂G .

Lemma 19.10 Sei V eine offene Teilmenge von Rm und sei x ∈ V . Dann gibtes eine stetig differenzierbare Abbildung δ : V → R+ mit kompaktem Trager inV , so dass δ(x) = 1.


Beweis Fur ε > 0 sei hε : R → R+ eine stetig differenzierbare Abbildung mithε(0) = 1 und hε(x) = 0 fur alle x ∈ R mit |x| ≥ ε (z.B.

hε(x) =

1 − 3(|x|/ε)2 + 2(|x|/ε)3 falls |x| ≤ ε,

0 falls |x| > ε, )

und definiere gε : Rm → R+ durch gε(x1, . . . , xm) =∏m

k=1 hε(xk). Dann ist gεstetig differenzierbar mit gε(0) = 1 und gε(x1, . . . , xm) = 0, falls |xk| ≥ ε fur eink. Sei nun V eine offene Teilmenge von Rm und sei x ∈ V . Wahle ε > 0, so dassB(x, 2mε) ⊂ V und definiere δ : V → R+ durch δ(v) = gε(v − x) fur alle v ∈ V .Dann ist δ eine stetig differenzierbare Abbildung mit kompaktem Trager in Vund δ(x) = 1.

Lemma 19.11 Sei F ⊂M kompakt; dann gibt es eine offene Teilmenge W undeine kompakte Teilmenge F ′ von M mit F ⊂W ⊂ F ′.

Beweis Fur jedes p ∈ F sei ϕp : Up → Vp eine Karte fur M um p und wahleεp > 0, so dass Dp = B(ϕp(p), εp) ⊂ V . Da F kompakt ist, gibt es eine endliche

Menge ∆ ⊂ F , so dass F ⊂ W =⋃p∈∆

←ϕp(B(ϕp(p), εp)). Dann ist W offen und

W ist Teilmenge der kompakten Menge F ′ =⋃p∈∆

←ϕp(Dp).

Lemma 19.12 Zu jeder kompakten Teilmenge F von M gibt es ℓ ≥ 1 und furk = 1, . . . , ℓ eine G-angepasste orientierungstreue Karte ϕk : Uk → Vk fur Mund eine stetig differenzierbare Abbildung γk : Vk → R+ mit kompaktem Tragerin Vk, so dass

∑ℓk=1 hk(p) = 1 fur alle p ∈ F , wobei hk : M → R+ die triviale

Fortsetzung von γk ϕk : Uk → R+ ist.

Beweis Nach Lemma 19.8 gibt es eine offene Teilmenge W und eine kompakteTeilmenge F ′ von M mit F ⊂ W ⊂ F ′. Fur jedes p ∈ F ′ sei ϕp : Up → Vp eineG-angepasste orientierungstreue Karte fur M um p; nach Lemma 19.4 (2) konnendiese Karten so gewahlt werden, dass Up ⊂ W fur jedes p ∈ F und Up ⊂ M \ Gfur jedes p ∈ F ′ \ F . Nach Lemma 19.10 gibt es fur jedes p ∈ F ′ eine stetigdifferenzierbare Abbildung δp : Vp → R+ mit kompaktem Trager in Vp, so dass

δp(ϕp(p)) = 1. Sei V ′p = x ∈ Vp : δp(x) > 1/2 und U ′p =←ϕ(V ′p); also ist U ′p eine

offene Umgebung von p in M . Da F ′ kompakt ist, gibt es p1, . . . , pℓ ∈ F undpℓ+1, . . . , pr ∈ F ′ \ F , so dass F ′ ⊂

⋃rk=1 U

′pk

.

Fur k = 1, . . . , r schreibe nun k als Index statt pk; also ist ϕk : Uk → Vk eineG-angepasste orientierungstreue Karte fur M und δk : Vk → R+ ist eine stetigdifferenzierbare Abbildung mit kompaktem Trager in Vk, und F ′ ⊂

⋃rk=1U

′k,

wobei U ′k = p ∈ Uk : δk(ϕk(p)) > 1/2.


Sei gk : M → R+ die triviale Fortsetzung von δk ϕk : Uk → R+ (mit gk(p) = 0fur alle p ∈ M \ Uk). Da Σ(gk) in einer kompakten Teilmenge von Rm enthaltenist, sieht man leicht mit Hilfe von Lemma 17.7, dass gk stetig differenzierbar ist.

Setze g =∑r

k=1 gk; dann ist g : M → R+ stetig differenzierbar und g(p) > 1/2 fur

alle p ∈ F ′. Sei 1 ≤ k ≤ ℓ; dann ist βk = g ←ϕk : Vk → R+ stetig differenzierbar

und βk(x) > 1/2 fur alle x ∈ Vk, da ϕk(Uk) = Vk ⊂ W . Definiere γk : Vk → R+

durch γk(x) = δk(x)/βk(x) fur jedes x ∈ Vk. Dann ist γk stetig differenzierbarmit kompaktem Trager in Vk und hk(p) = gk(p)/g(p) fur alle p ∈ F ′ (mit hkdie triviale Fortsetzung von γk ϕk : Uk → R+). Aber fur k = ℓ + 1, . . . , r istgk(p) = 0 fur alle p ∈ F , da Vk ⊂ M \ F ; folglich ist g(p) =

∑k=1 ℓgk(p) und

daher∑

k=1 ℓhk(p) = 1 fur jedes p ∈ F .

Beweis fur Satz 19.2 Nach Lemma 19.11 gibt es W offen und F kompakt mitG ⊂W ⊂ F . Sei ϕk : Uk → Vk, γk : Vk → R+, k = 1, . . . , ℓ, wie im Lemma 19.12.Fur k = 1, . . . , ℓ sei hk : M → R+ die triviale Fortsetzung von γk ϕ : Uk → R+.Nach Lemma 19.9 gilt dann

∫G

d(hkω) =∫

(hkω)|∂G fur jedes k = 1, . . . , ℓ und

ω|∂G =∑ℓ

k=1(hkω)|∂G, da∑ℓ

k=1 hk(p) = 1 fur jedes p ∈ ∂G. Daraus folgt, dass

∫ω∂G =

ℓ∑

k=1

∫(hkω)|∂G =

ℓ∑

k=1

∫

G

d(hkω) =

∫

G

ℓ∑

k=1

d(hkω) =

∫

G

d(hω) ,

wobei h =∑ℓ

k=1 hk. Aber Σ(hω − ω) ⊂ M \W , da h(p) = 1 fur jedes p ∈ W ,und also ist nach Lemma 19.7 Σ(d(hω − ω)) ⊂M \W , da M \W abgeschlossenist. Damit ist χGd(hω − ω) = 0, d.h., χGd(hω) = χ

Gdω. Dies zeigt, dass

∫

G

dω =

∫

G

d(hω) =

∫ω|∂G .

20 Die klassischen Satze

Dieses Kapitel muss noch geschrieben werden. In der Zwischenzeit kann mandaruber lesen in Konigsberger [16] (Abschnitt 13.8) oder in Spivak [23] (Kapitel 5,Seite 134).

154

Literatur

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[27] Walter, W. (1999): Analysis II. Springer

Index

σ-Algebra, 4σ-additive Abbildung, 6, 56σ-endliches Maß, 8σ-subadditive Abbildung, 6außere Ableitung, 137außeres Maß, 11

Abbildungσ-additive, 6, 56σ-subadditive, 6additive, 6Borel-messbare, 27elementare, 31integrierbare, 43messbare, 27, 28monotone, 6multilineare, 93stetig differenzierbare, 133subadditive, 6

abgeschlossen, 143Ableitung

außere, 137absolut stetig, 41, 59

schwach, 59, 61, 63additive Abbildung, 6Algebra, 4angepasste Karte, 146Atlas, 130

bedingte Erwartung, 63bedingte Wahrscheinlichkeit, 64beschrankte Linearform, 71Bildmaß, 84Borel-σ-Algebra, 27Borel-messbare Abbildung, 27Borelsche Mengen, 17, 27

Caratheodory-Fortsetzung, 12Cauchy-Folge, 67Cauchy-Folge im Maß, 34charakteristische Funktion, 31

Diffeomorphismus, 89, 123Differentialform, 105, 134Differenz

symmetrische, 23direkt integrierbare Form, 141Dualraum, 71

Einbettung, 128elementare Abbildung, 31endliches Maß, 8endliches signiertes Maß, 56exakte Form, 113

Faltung, 55Familie

vertragliche, 135fast uberall, 32Form, 105, 134

direkt integrierbare, 141exakte, 113geschlossene, 113integrierbare, 143messbare, 140Pfaffsche, 105stetig differenzierbare, 136stetige, 136

formale Summe, 117Funktion

charakteristische, 31

Gebietsternformiges, 113

geschlossene Form, 113glatt berandete Teilmenge, 146glatte Teilmenge, 145Gruppe

orthogonale, 127

Halbnorm, 66halbnormierter Vektorraum, 66

vollstandiger, 67

157

Index 158

im Wesentlichen beschrankt, 68Immersion, 127Integral, 141, 143integrierbare Abbildung, 43integrierbare Form, 143

Karte, 129angepasste, 146orientierungstreue, 138

Kartengleich orientierte, 138

Kette, 117Klasse

monotone, 4kompakt, 143kompakter Trager, 77Konvergenz im Maß, 33Koordinaten

lokale, 130

Lebesguesche Mengen, 21, 55Lebesguesche Zerlegung, 61, 62Lebesguesches Maß, 21, 55Linearform

beschrankte, 71lokal endliches Maß, 78lokal kompakt, 77lokale Koodinaten, 130

Mobiusband, 138Maß, 7

σ-endliches, 8außeres, 11endliches, 8endliches signiertes, 56lokal endliches, 19, 78regulares, 79

Maßepaarweise singulare, 60

Maßraum, 7vollstandiger, 23

messbare Abbildung, 27, 28messbare Form, 140monotone Abbildung, 6

monotone Klasse, 4multilineare Abbildung, 93

alternierende, 95

Nullmenge, 23

offene Umgebung, 129orientierte Untermannifaltigkeit, 138orientierungstreue Karte, 138orthogonale Gruppe, 127

paarweise singulare Maße, 60Parametrisierung, 130Pfaffsche Form, 105Produkt-σ-Algebra, 28Produktmaß, 48, 54Punkt

regularer, 126

Quadrik, 127

Radon-Nikodym-Dichte, 60Randpunkt, 146regularer Punkt, 126regularer Wert, 126regulares Maß, 79

schwach absolut stetig, 59, 61, 63Sektion, 48, 49singularer Wurfel, 117Sphare, 127Stammform, 113sternformiges Gebeiet, 113Sterngebiet, 113stetig differenzierbare Form, 136stetige Form, 136subadditive Abbildunge, 6Summe

formale, 117symmetrische Differenz, 23

Tangentialraum, 131Tangentialvektor, 131Teilmenge

glatt berandete, 146

Index 159

glatte, 145Trager

kompakter, 77

Umgebungoffene, 129

Unter-σ-Algebra, 63Untermannigfaltigkeit, 124

orientierbare, 138orientierte, 138

Vektorraumhalbnormierter, 66

vertragliche Familie, 135Vervollstandigung, 25vollstandiger Maßraum, 23

Wurfelsingularer, 117

Wahrscheinlichkeitsmaß, 64Wahrscheinlichkeitsraum, 64Wert

regularer, 126

Zerlegung der Eins, 141Zuruckholen einer Form, 110

Ein Skript fur Analysis III¨preston/teaching/analysis/files/analthree.pdf · 1 Maße auf Algebren...

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