Tobias Glosauer

(Hoch)Schulmathematik

Ein Sprungbrett vom Gymnasium an die Uni

~ Springer Spektrum

Inhalt

1

1 1.1

1.2

2 2.1 2.2 2.3

2.4

3 3.1

3.2

Formales Fundament

Ein wenig Logik . Aussagenlogik .. 1.1.1 Aussagen. 1.1.2 Junktoren 1.1.3 "nicht" .. 1.1.4 „und" .. 1.1.5 „(entweder) oder" . 1.1.6 „wenn ... , dann ... " 1.1.7 „ ... genau dann, wenn ... " 1.1.8 Aussagenlogische Formeln 1.1.9 Aussagenlogische Äquivalenz . Ausblick auf die Prädikatenlogik . 1.2.1 Prädikate und Individuen 1.2.2 Der Allquantor . . . 1.2.3 Der Existenzquantor . . .

Beweismethoden . . . . . . . . Exkurs: Grundwissen über Zahlen Direkter Beweis . . . . Indirekter Beweis . . . . . . 2.3.1 Kontraposition ... 2.3.2 Widerspruchsbeweis Beweis durch vollständige Induktion .

Mengen und Abbildungen Mengen ............ . 3.1.1 Der Mengenbegriff .. 3.1.2 Teilmengen und Mengenoperationen Abbildungen .......... . 3.2.1 Der Abbildungsbegriff .. 3.2.2 Bild- und Urbildmenge . . 3.2.3 In-, Sur- und Bijektivität . 3.2.4 Verkettung und Umkehrabbildung . 3.2.5 Mächtigkeitsvergleiche unendlicher Mengen

1

3 3 3 5 6 7 7 7 8 9

10 14 14 15 16

19 19 21 25 25 27 30

37 37 37 39 44 45 46 48 50 .

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viii INHALT

II Anfänge der Analysis

4 Grenzwerte von Folgen und Reihen 4.1 Folgen ........... . .

4.1.1 Der Grenzwertbegriff ...... . 4.1.2 Die Grenzwertsätze . . . . . . . . 4.1.3 Exkurs: Die Vollständigkeit von lR . 4.1.4 Ausblick: Cauchyfolgen . 4.1.5 Monotone Folgen 4.1.6 Rekursive Folgen ... .

4.2 Reihen ....... .... .. . 4.2.l Reihen als spezielle Folgen 4.2.2 Die geometrische Reihe ... 4.2.3 Die eulersche Zahl . . . . . 4.2.4 Konvergenzkriterien für Reihen 4.2.5 Ausblick: Potenzreihen . . . . . 4.2.6 Ausblick: e-Funktion und natürlicher Logarithmus

5 Grundwissen Differenzialrechnung 5.1 Die Ableitung ...... ... .... .

5.1.1 Die Steigung einer Kurve ... . 5.1.2 Der Grenzwert der Sekantensteigungen 5.1.3 Die Tangentengleichung 5.1.4 Lineare Approximation . 5.1.5 Differenzierbarkeit . . .

5.2 Ableitungsregeln ........ . 5.2.1 Faktor- und Summenregel 5.2.2 Die Potenzregel . . . . . . 5.2.3 Die Ableitung von Sinus und Cosinus . 5.2.4 Die Produktregel . . . . . . . . 5.2.5 Die Kettenregel . . . . . . . . . 5.2.6 Ableitung der Umkehrfunktion 5.2. 7 Die Quotientenregel . . . . . . 5.2.8 Vermischte Übungen .....

5.3 Ausblick: Ableiten von Potenzreihen . 5.4 Ausblick: Taylorreihen . . . . . . .

6 Grundwissen Integralrechnung 6.1 Stammfunktionen ..... . 6.2 Das bestimmte Integral ... .

6.2.1 Die Streifenmethode 6.2.2 Das Darboux-Integral . 6.2.3 Das Riemann-Integral 6.2.4 Integral und Fläche . .

6.3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 6.4 Uneigentliche Integrale ... ............. .

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61 61 61 69 72 74 75 77 83 83 86 91 94 98

. 101

.105

. 105

. 105

. 107

. 111

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. 131

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. 135

. 136

. 137

.143

. 143

. 147

. 147

. 152

. 156

. 161

. 163

. 168

INHALT

III Rechenfertigkeiten

7 Lösen von (Un)Gleichungen ...... . 7.1 Polynom(un)gleichungen . . . . . ..... .

7.1.1 Lineare und quadratische Gleichungen 7.1.2 Gleichungen höheren Grades . 7 .1.3 Polynomungleichungen

7.2 Bruch(un)gleichungen .... 7.2.1 Bruchgleichungen .. 7.2.2 Bruchungleichungen.

7.3 Wurzel(un)gleichungen ... 7.3.1 Wurzelgleichungen 7.3.2 Wurzelungleichungen

7.4 Betrags(un)gleichungen ... 7.4.1 Betragsgleichungen und Betragsfunktionen . 7.4.2 Betragsungleichungen ..

7.5 Exponential(un)gleichungen ... 7.5.1 Exponentialgleichungen .. 7 .5.2 Exponentialungleichungen

8 Die Kunst des Integrierens. 8.1 Produktintegration ..... . 8.2 Integration durch Substitution .

8.2.1 Die Substitutionsregel 8.2.2 Trigonometrische Substitution . 8.2.3 Hyperbolische Substitution ...

8.3 Integration durch Partialbruchzerlegung 8.4 Vermischte Übungen .......... .

IV Abstrakte Algebra

9 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . 9.1 Überblick über die bekannten Zahlbereiche 9.2 Einführung der komplexen Zahlen C ..

9.2.1 Konstruktion von C ........ . 9.2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen . . 9.2.3 Komplexe Konjugation und Betrag

9.3 Der Körper der komplexen Zahlen . . . . . 9.3.1 Was ist ein Körper? . . . . . . . . . 9.3.2 Unmöglichkeit der Anordnung von C 9.3.3 Ausblick: Der Quaternionenschietkörper

9.4 Polarform komplexer Zahlen 9.4.1 Polarkoordinaten ..... . 9.4.2 Eulers Identität . . . . . . . 9.4.3 Multiplikation in Polarform

ix

171

.173

. 173

. 173

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. 203

. 203

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. 245·

. 246

. 248

X INHALT

9.4.4 Komplexe Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . 9.4.5 Exkurs: Beweis trigonometrischer Identitäten

9.5 Algebraische Gleichungen in C .. 9.5.1 Quadratische Gleichungen ......... . 9.5.2 Die Kreisteilungsgleichung ......... . 9.5.3 Ausblick: Der Fundamentalsatz der Algebra

10 Grundzüge der Linearen Algebra ....... . 10.1 Vektorräume ..................... .

10.1.1 Zwei nur auf den ersten Blick verschiedene Beispiele 10.1.2 Die Vektorraumaxiome .. 10.1.3 Beispiele für Vektorräume 10.1.4 Untervektorräume .. 10.1.5 Basis und Dimension .. .

10.2 Lineare Abbildungen ...... . 10.2.1 Definition und Beispiele linearer Abbildungen 10.2.2 Kern und Bild einer linearen Abbildung 10.2.3 Isomorphie . . . . . . . . . . . . . . .

10.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Die Matrix einer linearen Abbildung 10.3.2 Das Matrixprodukt .....

10.4 Ausblick: LGS und Determinanten . 10.4.1 Homogene LGS .. 10.4.2 Die Determinante . 10.4.3 Inhomogene LGS

V Anhang

11 Lösungen zu den Übungsaufgaben 11.1 Lösungen zu Kapitel 1 11.2 Lösungen zu Kapitel 2 11.3 Lösungen zu Kapitel 3 11.4 Lösungen zu Kapitel 4 11.5 Lösungen zu Kapitel 5 11.6 Lösungen zu Kapitel 6 11. 7 Lösungen zu Kapitel 7 11.8 Lösungen zu Kapitel 8 11.9 Lösungen zu Kapitel 9 11.10 Lösungen zu Kapitel 10 .

. 249

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. 423