Journal of Geometry, Vol. 13/2 1979 �9 Birkhliuser Verlsg, CH-4010 Basel (Switzerland), 1979

EINE AXIOMATIK OVOIDALER

LAGUERRE-GEOMETRIEN

Bernhard Kopp

In the first paragraph of this paper we start with a geometry consisting of points, circles, and an equivalencerelation on the set of points. There is just one circle through any three pair- wise non-parallel points and any four non-con - cyclic points generate a Laguerre-plane or an • plane. If dimension d > 2 , we show that we must have the geometry induced on a cone of a projective space by plane-cuts. In the fol- lowing part this result is used to give a char- acterization of the geometry of parabololds in affine spaces.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

w I Ovoidale Laguerre-Geometrien

w 2 Paraboloid Modelle

w 3 Einbettung in einen Laguerre-Raum

EINLEITUNG

Die vorliegende Arbeit llefert ein Axiomen-

system zur Kennzeichnung der ebenen Schnitte ei-

nes Ovoidalen Kegels~ Ausgehend von den Parabo-

1oiden im mindestens 3-dimension~len afflnen

Raum, wird dieses Resultat im letzten Paragra-

Bernhard Kopp 155

phen dazu benutzt, die Geometrie der Paraboloide

als die gewisser Hyperebenenschnitte von ovoida-

len Kegeln zu charakterisieren. Mit einer zus~tz-

lichen Spiegelungsforderung kann man schlieBlich

erreichen, da6 sich die axiomatisch eingefGhrten

Paraboloide mittels einer quadratischen Form be-

schreiben lassen.

Um die L~nge der Arbeit in einem vertretba-

ren Rahmen zu halten, beschr~nken wir uns in w I

auf die Bereitstellung der notwendigen Begriffe

und eine sehr knappe Andeutung der Beweisideen.

In w 2 und w 3 werden zahlreiche Zwischenresul-

tate, sowie die Beweise der angefGhrten Hilfs-

s~tze weggelassen. Lediglich die beiden Einbet-

tungsresultate am Ende der Arbeit werden in vol-

lem Umfang nachgewiesen. Eine ausfGhrliche Dar-

stellung all der anderen Sachverhalte findet man

in [9].

w I OVOIDALE LAGUERRE-GEOMETRIEN

In [h] kennzeichnet Buekenhout die Geometrle

der ebenen Schnitte eines Ovoids im mindestens

4-dimenslonalen projektiven Raum durch die Eigen-

schaft, dab jeder von 4 nlcht konzyklischen

Punkten erzeugte Unterraum eine MSbiusebene ist.

Eine analoge Charakterisierung l~Bt sich ffir die

Geometrie der ebenen Schnitte elnes ovoidalen Ke-

gels vornehmen (vgl. Kg]):

Sei ~ ein projektiver Raum der Dimension

d ~ 3 und der Ordnung n ~ 4 h sei eine Hy-

Bernhard Kopp 156

perebene yon ~ und S @ h ein Punkt von ~ .

Weiterhin sei 0 ein Ovoid yon h Dann hei-

6e ~ := ~(S + X)\ {S} I ) Men~e ~er absoluten X~O

Punkte und fGr eine Ebene e yon ~, deren

-Ca Schnitt mit mindestens zwei Punkte enth&it

und nicht in einer Geraden liegt, werde e n

re~ul&rer (bzw. sin~ul&rer) Zykel ~enannt, je

nachdem ob S @ e oder S c e ~ilt. Zwei ab-

solute Punkte P und Q hei~en parallel

(P II Q) , wenn sie gleich sind, oder wenn es kei-

hen regul~ren Zykel gibt, der beide Punkte ent-

h&it. Wir fassen die Zykel zur Menge ~ zusam-

men und nennen die auf diese Weise erhaltene In-

zidenzstruktur (#, ~, E ) ovoidale La~uerre-

Geometrie.

Eine ovoidale Laguerre-Geometrie hat fol-

gende Eigenschaften:

(I) II ist eine Aquivalenzrelatlon

(P := { Q I Q It P } ) �9

(2)

(3)

Durch 3 paarweise nicht parallele Punkte

geht genau ein resul~rer Zykel.

Die ab~eleitete Struktur

~p := {~\P, (z\PIP E z, z regul&r} ,~ }

is~ f~rLalle P aus ~ ein richtun~saffi-

ner Raum 2) der Dimension-- (dim ~-I) .

1)

2) S § X bezeichnet die Verbindungsgerade yon S und X .

Ein richtungsaffiner Raum ~' entsteht aus einem affinen Raum ~, indem man die Gera- denmenge um eine Parallelenschar G vermin- dert. Unterr&ume yon ~' sind genau die Un- terr&ume yon ~, die keine Gerade aus G enth~lten.

Beruhard Kopp 157

(4) Sei Vp linearer Unterraum des zu ~p ge-

hSrenden affinen Raumes, Dann silt:

Vp u {P} ist Zykelunterraum yon ~, falls

Vp Unterraum yon ~p ist.

Vp u ~ ist Zykelunterraum von ~, falls

Vp kein Unterraum von ~p is t.

(Eine Teilmenge M yon ~ heiBt Zykelun-

terraum yon ~, wenn fGr A,B,C ~ M gilt, da~

der Durchschnltt aller Zykel, die A,B und C

enthalten, Teilmenge yon M ist.)

Definition: Eine Inzidenzstruktur (~, ~, E )

mit Iz[ > 4 f~r alle z ~ ~ heist Zykelraum,

wenn (I) und (2) erfGllt sind. Ein Zykelraum

in dem jede Zykelebene Laguerre-Ebene oder M__~_5-

biusebene ist, wird Lasuerre-Raum genannt. 3)

Analog zu [4] l~Bt sich nun zeigen:

SATZ 1.1. Jede ovoidale La~uerre-Geometrie ist

ein La~uerre-Raum.

Ist die Dimension des Laguerre-Raumes, ge-

meint ist die allen seinen Ableitungen (welche

stets affine Rs sind) gemeinsame Dimension,

grSBer als 2 , so erlaubt ein Resultat yon MAU-

HER [12] die Umkehrung yon Satz 1.1. (vgl. [9]).

Zun~chst einige Definitionen:

Sei ~ := (~, }, E ) ein Laguerre-Raum und

~die Men~e der re~ul~ren Hyperz~kel, das heiBt

die Menge der maximalen echten Unterr~ume yon ~ ,

fGr die auBerdem gilt, dab sie keine Aquivalenz-

3) Die zun&chst nur fGr ovoidale Laguerre-Geometrien de- finierten Begriffe, wie Ableitung, Zykelunterraum (Zy- kelebene, wenn er yon vier nicht-konzyklisehen Punkten erzeugt wird) usw. werden sinngem~g auf die Inzidenz- struktur (~,~,~) Gbertragen.

Bernhard Kopp 158

klasse als Gerade enthalten.

FGr die Teilmenge T eines regul~ren Hyper-

zykels sei ~T>> := ~ ~ h .

Tch~

Die bezGglich des HGllenoperators << >> ab-

geschlossenen Teilmengen heiBen F~hrten. (~ sei

die Menge aller F~hrten von ~ .

Das Hauptresultat yon [12] besagt dann:

Es gibt eine bijektlve Abbildung a der Punkt-

menge ~ auf die Menge der absoluten Punkte, so

dab die ~ - Bilder der regul~ren Hyperzykel genau

die Schnitte der Menge der absoluten Punkte mit

Hyperebenen, die nicht durch S gehen, sind.

Wie in [12] auBerdem gezeigt wird, hat der

atomare, vollst~ndlge Verband ~ die Eigenschaft,

dab jedes Element auBer ~ selbst mehr als ei-

nen oberen Nachbarn hat. Daher werden genau die

F~hrten auf Schnitte des halbovoidalen Kegels mit

S nicht enthaltenden projektiven Unterr~umen ab-

gebildet.

Weil die regul~ren Zykel in ~ obere Nach-

barn der Hyperatome sind, sieht man leicht, dab

genau regul~re Zykel von ~ auf regul~re Zy-

kel der halbovoidalen Laguerre-Geometrie abbildet.

Aus der Definition der Parallelit~t folgt das ana-

loge Abbildungsverhalten fGr singul~re Zykel.

SchlieBlich s ind die Hyperatome des Verbandes

entweder zweipunktige Mengen oder Aquivalenzklas-

sen. Nichttangenten schneiden daher die absolute

4) ~ := {QI3P ~ F mit P II Q}

Bernhard Kopp 159

Punktmenge in h6chstens zwei Punkten, wodurch

gesichert ist, dab die Bildgeometrie ovoidal ist.

Damit haben wir bewiesen:

SATZ 1.2. Jeder Lasuerre-Raum der Dimension

d > 2 ist zu einer ovoidalen Laguerre-Geometrie

eines projektiven Raumes der Dimension d + I

isomorph.

w 2 PARABOLOID-MODELLE

Zuns sollen drei gleichwertige Modelle

angegeben werden, die den im 3-dimensionalen eu-

klidischen Raum bekannten Begriff "Paraboloid"

verallgemeinern.

Sei K kommutativer KSrper mit yon 2 ver-

schiedener Charakteristik, V' sei ein mindestens

2-dimensionaler Vektorraum ~ber K , auf dem ei-

ne feste, nicht ausgeartete quadratische Form q

vom Index 0 gegeben ist.

V := V' ~) Ke o

Dann heist

{v'+ke I v'EV' und k=aq(v')+l(v')+e} o

ein affines Paraboloid.

(a,c c K, a ~ 0 und ~ ~ HomK(V',K)

Sel wei~erhin

W = V'~Keo~Ke I

w* 3) Definiert man nun {X c I q(X) = O} als

5) W* bezeichnet die Menge der 1-dimensionalen Unterr~ume des Vektorraums W.

B e r n h a r d Kopp 160

projektives Paraboloid, wobei

quadratische Form auf W

v' +keo + xe I t

so hat man mit Hilfe der Einbettung

> W j :=

W,,, > K ( e 1 + v )

d e n f o l g e n d e n Z u s a m m e n h a n g :

q die folgende

ist

> K

> aq(v') +x~(v')+cx 2-kx'

2.1. j(affines Paraboloid) u {Ke } = o

projektlves Paraboloid,

j-1(pro~ektives Paraboloid \ {Keo}) =

affines Paraboloid.

Durch stereographische Projektion entsteht

eln drittes Modell:

E := W~ Ke 2 = V' ~ Ke ~ ~ Ke.1 ~ Ke 2

Dann gibt es genau elne symmetrische Bilinear-

form g auf E , die folgenden Bedlngungen ge-

n~gt:

g(V,Ke I + Ke 2) = 0, g(V,,e o) = O, glV'• = f '

wobei f die zu q gehSrige Bilinearform ist,

g(eo,e O) = g(el,e I) = g(e2,e 2) = 0 , g(el,e 2) = I .

Durch die Abbildung y wird nun der affine

Raum j(V) in die Menge der g-isotropen Punkte

yon E hineinprojiziert:

Bernhard Kopp 161

lj(v) w* \V* E* = > (F:={XE Ig(X,X)=0})\{Ke o} y :=

X ! > (F \ {Ke2}) N (X + Ke2)*

Ist ~ der Homomorphismus yon E in sich,

der als Kern Ke 2 besitzt und auf W die Iden-

tits ist, so gilt folgender Zusammenhang:

2.2. Ist h eine Hyperebene yon E mit

h* Keo,Ke 2 % h , so ist {w(X) I X E n F}

ein pro~ektives Paraboloid. Um~ekehrt l•St

sich ~edes projektive Paraboloid so dar-

stellen, wobei die Hyperebene h eindeu-

tig bestimmt ist.

FGnf Eigenschaften der Paraboloide, deren

Giiltigkeit mit Hilfe der zur Verf[[gung stehenden

Modelle rasch einzusehen ist, werden im folgen-

den Paragraphen zur axiomatischen Beschreibung

benut zt.

w 3 EINBETTUNG IN EINEN LAGUERRE-RAUM

Sei ~ ein affiner Raum mit dim ~ ~ 3

und ord ~ > 3 , ~ sei die projektive Erweite-

rung von % (~9 = ~ u h ) . Sei weiterhin

eln Punkt yon h

Definition. Zwei Punkte P

Sen parallel, wenn ~ auf

und im Folgenden bedeute '

Erweiterung eines affinen Raumes.)

und Q von ~ hei-

(P + Q)' liegt. (Hier

immer die projektive

Bernhard Kopp 162

Ffir eine Teilmenge

gelte:

A) F~r jedes ~ aus T ist ~ u {m} ein

Ovoid in ~.

B Seien ~ und B verschiedene Elemente yon

T , die mindestens zwei Punkte gemeinsam ha-

ben. Dann gibt es eine Hyperebene h yon

mit a n 8 = ~ n h

C Seien A,B,C nicht kollineare, paarweise

nicht parallele Punkte. Dann gilt ffir die

aufgespannte Ebene e :

Liegt ~ auf ~', so gibt es ein a ~ T

mit A,B,C ~

(D h sei eine Hyperebene mit ~ ~ h'. P ~ h ,

Q ~ h , ~ ~ (P + Q)'. Dann gibt es genau ein

aus T , das P und Q enth~lt, und mit

h nur den Punkt P gemeinsam hat.

Zur Formulierung von (E) und (F) sind noch

einige Definitionen notwendig:

Sei ~#_' := {h I h ist Hyperebene von % und A

~ h'} . T und ~' werden zur Menge T der

Fl&chen zusammengefa2t. Sel OL die Automorphis, A

mengruppe der Inzidenzstruktur (~, T ), deren

Elemente jede Parallelit~tsklasse fest lassen.

Dann hei2en zwei Fl~chen p und q parallel

(p ~ q), wenn es ein ~ aus (~ gibt mit

~(p) c~' und e(q) ~' . ~ wird eine ~quiva-

lenzrelation, wenn man verlangt:

T der Potenzmenge yon ~

Bernhard Kopp 163

A (E) (~ist transitiv auf T

SchlieBlich fordern wir noch:

A

(F) Die Menge der ~quivalenzklassen von T ist

invariant gegen~ber Punktspiegelungen.

Um die Einbettung in einen Laguerre-Raum zu

erm6glichen, m~ssen zun~chst Punkt- und Geraden-

menge yon ~ etwas vergr66ert werden.

Allen Geraden g mit m ~ g' wlrd eln wei-

terer Punkt [~] zugeordnet. Ist e eine Ebene,

die mit m ~ T mehr als einen Punkt gemelnsam

hat, so nennen wlr e n a Parabel (Ellipse),

wenn m E ~'(m ~ ~') gilt. ~ induziert dann ei-

ne Aquivalenzrelation auf der Parabelmenge. Jede

Parabel p aus der Aquivalenzklasse [p] wird

um das Symbol [p] als weiterem Punkt vergrSBert.

Damlt erhalten wir eine neue Punktmenge:

~= ~u {[9 ]} u {[p] I [P] ist Aquivalenzklasse

bezG~lich ~ }

Die Geradenmenge wlrd um die Gerade

[--~'~- = (~. \ ~ ) {~} U

vermehrt.

Um an die Resultate vonw I anknGpfen zu

kSnnen, wird noch der Begrlff "Kurve" benStlgt.

Definition. Kurven selen

alle Ellipsen,

alle erweiterten Parabeln

alle erweiterten Geraden

p u { [ p ] } ,

g u { [ ~ ] } ( - ~ g ' ) ,

Bernhard Kopp 164

alle Paare von Geraden, in derem pro~ekti-

ven Abschlu6 der Punkt ~ liegt.

Eine Teilmenge S von ~ heiBt kurvenab-

~eschlossen, wenn mit ~e drel Punkten aus S

der Durchschnitt aller Kurven, die diese drel

Punkte enthalten, wleder in S liegt.

Nun kSnnen wir den entscheidenden Hilfssatz

formulieren:

3.1. M sei eine vierelementi~e , nicht auf einer

Kurve liesende Teilmenge von ~ . Dann ist die

kleinste M umfassende kurvenab~eschlossene Men-

ge M bezG~lieh der in M liesenden Kurven

a) eine M6biusebene, wenn ~ ~ M' ,

b) eine Lasuerre-Ebene, wenn ~ ~ M'

( M' bezelchnet die Menge M , die um den Punkt

vermehrt wird, falls sie eine Gerade g mit

~ g' enths

Mit 3.1. kSnnen wir schlieBlich die beiden

Hauptresultate beweisen:

SATZ 3.2. Sei ~ ein d-dimensionaler affiner

Raum (d ~ 3) der 0rdnun~ n ~ 4 und T eine

Familie yon Teilmen~en yon ~ , die (A) - (E)

erfGllt. Dann ~ibt es einen ovoidalen Ke~el

(mit Spitze S ) in einem d+1 - dimensionalen

pro~ektiven Raum ~'4_, einen Punkt P aus

und eine bijektive Abbildung 8 yon ~ u {~)

auf ~, so da~ ~ilt:

Bernhard Kopp 165

Eine Teilmenge K von ~ ist genau dann

... eine erweiterte Gerade, wenn ~(K) ein re-

gulgrer Zykel durch P ist.

... eine Gerade mit ~ c K' , wenn 6(K) ein

slngul~rer Zykel durch P , vermindert um

, ist.

... eine Ellipse, wenn ~(K) ein regul~rer Zy-

kel, der mit S + P leeren Durchschnitt hat,

ist.

... eine erweiterte Parabel, wenn 6(K) ein re-

gul~rer Zykel, der S + P schneldet, aber

nicht durch P geht, ist.

Die ~ - Bilder von ~ u {[a]} (fUr ~ �9 T) sind

genau die Hyperebenenschnitte von ~g~, die P

und S nicht enthalten.

Beweis: ~ ist ein Zykelraum und wegen 3.1. so-

gar ein Laguerre-Raum, der, wie die Ableitung

nach [~] zeigt, mindestens dreidimensional ist.

Mit 1.2. wissen wir, dab ~ zu einer ovoi-

dalen Laguerre-Geometrie in einem d+1 - dimensio-

nalen projektiven Raum ~'~ isomorph ist. ~ sei

ein solcher Isomorphismus.

Aus dem Beweis von Satz 1.2. folgt: F~r ei-

ne Gerade g mit ~ �9 g' ist ~(g) eine Aqui-

valenzklasse yon Punkten. Setzt man ~(~) = S ,

und bezeichnet mit P das 8 - Bild von [9] , so

erh~it man ~(~ ~) = P = (S + P) \ {S}

Bernhard Kopp 166

Mit 1.2. sieht man nun leicht ein, dab die

Kurven in der angegebenen Weise abgebildet wer-

den.

Offenbar sind alle ~ aus T , vereinigt

mit {[~]} , regul~re Hyperzykel in ~ . Da kein

den Punkt [~] enth~It, sind die ~ -Bilder

yon Elementen aus T Hyperebenenschnitte, die

weder S noch P enthalten.

Sei umgekehrt k eine solche Hyperebene.

In ~ n k w~hlen wir zwei Punkte ~(A), ~(B),

so dab 6(A) nicht zu P parallel ist. Be-

zeiehnet t die Tangentialhyperebene yon k in

~(A) an das Ovoid ~ n k , so spannen t und

P zusammen eine Hyperebene h yon ~ auf, die

nicht durch S geht.

6-I(~n h) ist daher ein regul~rer Hyper-

zykel H , der den Punkt A enth~it.

Da andererseits auch [~] in H liegt,

H \ {[~]} also ein Unterraum yon ~ ist, ist

H \ {[9]} ein Element yon ~'

Anwendung yon (D) llefert ein ~ aus T ,

das A und B enth~it, und in A die Tangentl-

alhyperebene H \ {[~]} hat.

Wie wir uns oben schon Gberlegt haben, bil-

det ~ die Menge a u (s auf den Sehnitt

yon ~ mit einer geeigneten Hyperebene U ab.

U n h ist dann eine Hyperebene yon h ,

die mit dem Ovoid ~N h nur den Punkt ~(A)

gemelnsam hat. U N h ist daher gleich t , wor-

aus U = t + ~(B) = k folgt.

~-I(~N k) = ~ u {[e]} ist die Be- Mit i

hauptung bewiesen.

Bernhard Kopp ] 67

SATZ 3.3. Ist T eine (A) - (F) erfGllende Fa-

milie vo___nn Teilmen6en eines mindestens 3-dimen-

slonalen (n > 3) affinen Raumes ~ mit yon 2

verschiedener Charakteristik, so ist ~ pap-

pussch. Sei V = V' ~ Ke ~ der ~4 koordinati-

sierende Vektorraum. Dann existiert eine nicht

ausgeartete quadratische Form q vom Index 0

auf V' , so dab T aus allen Paraboloiden b__~e-

zfi~lich q besteht.

Beweis. Seien der Kegel ~ und die Abbildung

wie in Satz 3.2. konstruiert. FGr Q aus ~ be-

zeichne OQ die Punktspiegelung an Q Wegen

(F) l~6t sich OQ auf ~ erweitern. ~Q ist

dann eine involutorische Permutation yon ~ ,

die nur die beiden Fixpunkte Q und [~] hat. -1 6~Q~ ist daher eine involutorische Permutation

yon ~ , die nur 6(Q) = ~([~]) = P als Fix-

punkte besitzt.

-I 3.2. zeigt, da6 6OQ~ die Menge der nicht

durch S gehenden Hyperebenenschnitte von

invariant l~Bt. Mit Satz 5.2.1. [13] kSnnen wir -I

daher ~GQ6 zu einer involutorischen Kollinea-

tion ~Q yon ~ erweitern.

Sei nun h eine Hyperebene von ~, die

durch P abet nicht durch S geht, und 6(Q)

e!n von P verschiedener Punkt des Ovoids h n ~.

Da ~k1(h n~) eine um [~] vermehrte Hyperebene

von ~ ist, bildet ~Q das Ovoid auf sieh ab.

P und 6(Q) sind die einzigen Fixpunkte yon

0 := h n ~ bezfiglich ~Q

Bernhard Kopp 168

Mit [14] folgt daher: ~ ist pappussch von

Charakteristik verschieden yon 2 , und 0 ist

eine Quadrik in h .

Da sich ~ durch Hintereinanderschaltung

der Kollineation ~ und einer stereographischen

Projektion in ~ einbetten l~Bt, ist damit auch

~ pappussch.

Ist ~= E , wobei E ein Vektorraum Gber

dem kommutativen KSrper K der Charakteristik

2 ist, dann ist 0 die Menge der isotropen

Punkte bezGglich einer nicht ausgearteten symme-

trischen Bilinearform g vom Index I auf dem

h koordlnatislerenden Unterraum von E . Durch

die Forderung: Ke ~ := S sel Radikal von g ,

wlrd g auf ganz ~ erweitert.

Sei weiterhln Ke 2 := P und Ke I ein Punkt

von 0 mit g(el,e 2) = I

Definiert man folgende Teilrgume von E :

V := (Ke I + Ke2) • = Ke~ n Ke~ und W := V + Ke I

und ist V' eine Ke ~ nicht enthaltende Hyper-

ebene yon V , so definiert

q := ~--> g(x,x)

eine nicht ausgeartete quadratische Form vom In-

dex 0 auf V' . Unter Benutzung von Satz 3.2.

und der Resultate des Paragraphen 2 erh~lt man,

dab "-:I I o \ . ) . o 6 :.4-->v J W*\V* Y (Ke ~ + Ke 2

Bernhard Kopp i 69

eine Kollineation vom affinen Raum ~ auf den

affinen Raum V ist, bei der die "Paraboloide"

in ~ gerade den Paraboloiden in V bezGglich

der quadratischen Form q entsprechen.

Literatur

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Bernhard Kopp 170

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Bernhard Kopp Fachbereich Mathematik Technische Hochschule Darmstadt SchloBgartenstraBe 7

D-6100 DARMSTADT

( E i n g e g a n g e n am 5 , J u 1 s 1978 )