Einführung in die

Automatentheorie

Verfasser: Anne Schüller, Anke Honskamp

Kurz-Info:

Informatischer Inhalt: Verwendung formaler Sprachen als

Mittler zwischen Mensch und

Maschine und Entwicklung von

Automaten

Jahrgangsstufe: EF bis Q2

Vorwissen: keine speziellen Vorkenntnisse

erforderlich

http://schuelerlabor.informatik.rwth-aachen.de

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KURZINFORMATION

FÜR DIE SCHÜLERINNEN UND SCHÜLER

Titel: Einführung in die Automatentheorie

Schulstufe: Sekundarstufe II

optimale Jahrgangsstufe: EF

geeignete Kursart: Grundkurs

Themenbereich: Formale Sprachen, (endliche) Automaten, Java

EINORDNUNG IN GESETZLICHE RAHMENBEDINGUNGEN

Kernlehrplan NRW:

Inhaltsfeld: Formale Sprachen und Automaten

Kompetenzbereiche: Modellieren, Implementieren, Darstellen und Interpretieren

Vorgaben zum Zentralabitur: Formale Sprachen und Automaten, Java

Bildungsstandards der GI:

Unterschied zwischen natürlichen und formalen Sprachen

Automaten als zustandsbasierte Systeme, die eine Eingabe zeichenweise lesen und ver-

arbeiten

Einbindung in den Unterricht: Das Leitprogramm kann als Einstieg in die Arbeit mit formalen Spra-

chen und Automaten dienen.

Vorkenntnisse: Es sind keine speziellen Vorkenntnisse erforderlich.

Dauer: ca. 5 Schulstunden

Inhaltsbeschreibung: Im Rahmen dieses Leitprogramms beschäftigen sich die Schülerinnen und

Schüler mit einem elementaren Thema der Informatik, das auch im Kernlehrplan der Sekundar-

stufe II verankert ist: Automaten.

Der Begriff „Automat“ ist fester Bestandteil unserer Alltagssprache. So kennt jeder Getränke-,

Bank- oder Parkautomaten. Allerdings gibt es auch Automaten, die nicht intuitiv als solche er-

kannt werden. So läuft zum Beispiel der Aufladevorgang beim Prepaid-Handy automatisch ab.

Eine computergenerierte Stimme leitet den Handynutzer, der durch Tasteneingabe Auswahlen

treffen kann, durch ein Menü. „Wenn Sie ihr Guthaben aufladen möchten, drücken Sie die Eins.

Möchten Sie das Menü verlassen, drücken Sie die Zwei“. In der Informatik wird dieser geregelte

Ablauf auch als Automat bezeichnet. Um zum Beispiel einen solchen Aufladevorgang zu entwi-

ckeln und anschließend zu programmieren, muss die Struktur des Vorgangs nachvollzogen wer-

den. Diese Struktur lässt sich gut mit Hilfe von Automaten beschreiben, welche dann die Grund-

lage für das Programm darstellt.

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INHALT

Kurzinformation für die Schülerinnen und Schüler ....................................................................................... 2

Arbeitsanleitung ...................................................................................................................................................... 4

Grundlagen zu Automaten .................................................................................................................................... 6

Automaten im Alltag .......................................................................................................................................... 6

Allgemeinere Darstellung von Automaten ................................................................................................... 7

Lernfortschrittskontrolle .................................................................................................................................. 9

Darstellung von Automaten ................................................................................................................................ 10

Zustände und Übergänge ............................................................................................................................... 10

Besondere Zustände ........................................................................................................................................ 12

Eingaben ............................................................................................................................................................. 13

Additum ............................................................................................................................................................... 17

Lernfortschrittskontrolle ................................................................................................................................ 17

Akzeptanzverhalten von Automaten ................................................................................................................ 19

Akzeptanzverhalten .......................................................................................................................................... 19

JFLAP – Testen .................................................................................................................................................... 23

JFLAP – Eigene Automaten entwerfen .........................................................................................................26

Lernfortschrittskontrolle ................................................................................................................................ 29

Erstellung von Automaten ................................................................................................................................. 30

Automaten konstruieren ................................................................................................................................ 30

Die Sprache eines Automaten ....................................................................................................................... 32

Additum ...............................................................................................................................................................34

Lernfortschrittskontrolle ................................................................................................................................34

Quellenverzeichnis ...............................................................................................................................................36

Abbildungsverzeichnis .........................................................................................................................................36

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ARBEITSANLEITUNG

In diesem Leitprogramm wirst du in die Welt der Automaten eingeführt. Dabei wirst du die folgenden

vier Kapitel eigenständig und in deinem eigenen Lerntempo bearbeiten. Jedes Kapitel besteht aus

mehreren Bausteinen:

Übersicht: Die Übersicht steht vor jedem Kapitel und verschafft einen Eindruck

davon, was Gegenstand des Kapitels sein wird.

Lernziel: Hier werden die Teillernziele des jeweiligen Kapitels definiert.

Definition: An dieser Stelle werden Begriffe und Konzepte bestimmt und er-

klärt.

Übungsaufgaben am Computer: Die Aufgabe wird am Computer ausgeführt.

Bitte arbeite erst dann weiter, wenn dein Programm wirklich läuft. Du darfst

diese Aufgaben alleine oder mit einem Partner bearbeiten.

Übungsaufgaben im Heft: Diese Übungsaufgaben bearbeitest du in deinem

Heft. Anschließend kannst du deine Ergebnisse mit den Musterlösungen, die

du von deinem Lehrer/deiner Lehrerin bekommst, vergleichen. Wenn nicht an-

ders angegeben, sollen die Aufgaben in Einzelarbeit erledigt werden.

Lernkontrolle: Hier kannst du prüfen, ob du die Inhalte des vorgegangenen

Kapitels verstanden hast. Entscheide selbst, wann du dich fit für den Test

fühlst. Nur wenn der Test erfolgreich absolviert wurde, darf das folgende Ka-

pitel oder ein Additum in Angriff genommen werden.

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Additum: Diesen Teil kannst du bearbeiten, wenn du schon alle anderen Auf-

gaben des Kapitels abgearbeitet hast. Nach der Lernkontrolle des jeweiligen

Kapitels, entscheidet die Lehrkraft, ob du mit dem Additum weitermachst.

Diese Aufgaben sind bewusst anspruchsvoller gestaltet. Sie können auch un-

bekannten Stoff beinhalten.

Wenn du dich nach der Bearbeitung der Lernfortschrittkontrolle fit für den Kapiteltest fühlst, kannst

du dich bei deinem Lehrer/deiner Lehrerin melden. Du bekommst dann den Kapiteltest. Wenn du die-

sen fertig bearbeitet hast, gibst du diesen deinem Lehrer/deiner Lehrerin zur Kontrolle. Wenn der

Kapiteltest bestanden wurde, kannst du zum nächsten Kapitel übergehen.

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GRUNDLAGEN ZU AUTOMATEN

Übersicht

Dieses Kapitel bietet eine Einführung in die Welt der Automaten. Dazu wird anfangs

die Funktionsweise eines Parkautomaten genauer betrachtet.

Teillernziele

Nach der Bearbeitung dieses Kapitels kannst du…

Beispiele für alltägliche Automaten angeben.

(einfache) informatische Modelle entwickeln, indem du Automaten graphisch

darstellst und dabei einheitliche Notationen (Schreibweisen) verwendest.

AUTOMATEN IM ALLTAG

Ein Beispiel:

Laura fährt mit ihrem Freund Manfred mit dem Auto in die Stadt, um ein paar Einkäufe zu erledigen.

Sie parken auf dem Stadtparkplatz, wo sie auch Parkgebühren bezahlen müssen. Bevor

die Shoppingtour losgehen kann, müssen Manfred und Laura erst den Parkautomaten

mit Geld füttern.

Der Parkautomat funktioniert wie folgt:

1. Er akzeptiert nur Münzen von 5 Cent bis hin zu 2 Euro.

2. Er gibt kein Wechselgeld zurück.

3. Er zeigt an, wie viele Minuten man für das bis dahin eingeworfene Geld parken

darf.

4. Er besitzt einen Knopf, den man drücken muss, um den Parkschein zu bekommen.

Eine genauere Betrachtung des Innenlebens des Automaten zeigt: Der Automat muss drei verschie-

dene Situationen unterscheiden:

1. Er ist im Leerlauf, das heißt er hat 0 Euro gespeichert, und keiner wirft gerade Geld ein.

2. Jemand füttert den Automaten mit Geld, will aber noch kein Ticket ziehen.

3. Jemand betätigt den Knopf, damit der Parkschein ausgedruckt wird.

Da Laura und Manfred nur kurz einkaufen wollen, wissen sie schon, dass sie nicht länger als 45 Minuten

brauchen werden. Nun stehen sie vor dem Parkautomaten und lesen, dass man für 10 Minuten 10 Cent

bezahlen muss. Manfred kramt in seinem Portemonnaie und findet eine 10 Cent Münze, die er einwirft.

Unmittelbar danach wechselt die Anzeige des Automaten, die anfangs auf 0 Minuten stand, zu 10 Mi-

nuten. Auch Laura findet noch Kleingeld in ihrer Tasche und wirft eine 20 Cent Münze in den Automa-

ten. Die Anzeige erhöht sich auf 30 Minuten. Jetzt fehlen nur noch 15 Cent, damit sie 45 Minuten parken

können. Laura wirft eine 5 Cent Münze nach; die Anzeige erhöht sich auf 35 Minuten und nach dem

Einwurf von 10 Cent auf 45 Minuten. Super! Jetzt können die beiden endlich einkaufen gehen.

Abbildung 1:

Parkautomat

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Aber nein! Sie brauchen doch noch den Parkschein. Also drückt Laura schnell auf den Knopf und der

Automat fängt an, den Parkschein zu drucken. Anschließend spuckt er das Ticket aus. Die Anzeige des

Automaten steht nun wieder auf 0 Minuten.

Die folgende Zeichnung stellt die Situation von Manfred und Laura am Parkautomaten dar:

Aufgabe 1.1

Du möchtest 30 Minuten parken und musst dafür am oben beschriebenen Parkautoma-

ten einen Parkschein ziehen.

Gib zwei verschiedene Möglichkeiten an, welche Münzkombinationen du in den Auto-

maten einwerfen kannst und skizziere eine Möglichkeit mit einer Zeichnung (s. o.).

ALLGEMEINERE DARSTELLUNG VON AUTOMATEN

Wie du vielleicht bereits gemerkt hast, sehen alle Zeichnungen, die das Vorgehen von diesem Parkau-

tomaten darstellen, sehr ähnlich aus:

Am Anfang zeigt der Parkautomat immer 0 Minuten an und wartet, bis jemand Geld einwirft.

Dann zeigt der Automat die Minuten an, solange jemand weiter Geld einwirft und bis der Park-

scheinausgabeknopf gedrückt wird.

Wurde der Parkscheinausgabeknopf gedrückt, so druckt der Parkscheinautomat das Parkticket

und gibt es aus.

Der Parkscheinautomat kann also auch allgemeiner dargestellt werden, so dass er die Situation unab-

hängig von den Parkminuten widerspiegelt:

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Die Kreise im Bild bezeichnet man in der Informatik als Zustände und die Pfeile als Übergänge von

einem Zustand in den anderen. Die genaue Definition der Begriffe wird in Kapitel 2 gegeben.

Aufgabe 1.2

Stell dir vor, du stehst vor einem Flipperautomaten und möchtest eine Runde

spielen. Auf dem Automaten steht: „Pro Spiel 50 Cent!“ und „Ein Spiel = 3 Bälle“.

Beschreibe in deinen eigenen Worten, wie dein Spiel abläuft.

Aufgabe 1.3

Fertige eine Zeichnung für den Flipperautomaten an, die die Arbeitsweise dar-

stellt.

Aufgabe 1.4

Nenne weitere Beispiele für Automaten. Beachte dabei, dass ein Automat et-

was beschreibt, was automatisch abläuft, und daher der Begriff „Automat“ in

dem Wort nicht immer enthalten sein muss.

Abbildung 2: Flip-

perautomat

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LERNFORTSCHRITTSKONTROLLE

L 1.1

Welche der folgenden Gegenstände sind Automaten? Kreuze an.

☐ DVD-Recorder

☐ MP3-Player

☐ Scanner

☐ Fotoapparat

☐ Kaffeemaschine

☐ Selbstscan-Kasse

☐ Waschmaschine

☐ Verkehrsampel

L 1.2

In dieser Aufgabe soll ein Kaugummiautomat mit Hilfe einer Skizze beschrie-

ben werden. Der Kaugummiautomat funktioniert wie folgt:

Man wirft 10 Cent ein und dreht an dem Rad. Dann fällt der Kaugummi in den

Auffangbehälter und kann entnommen werden. Die folgende Skizze soll die

Funktionsweise des Kaugummiautomaten beschreiben:

Ordne die aufgelisteten Punkte den Buchstaben und Ziffern der Skizze zu:

☐ Drehknopf wird freigegeben

☐ Drehknopf wird gedreht

☐ Automat wartet auf Geldeinwurf

☐ Automat gibt Kaugummi aus

☐ Kaugummi wird entnommen

☐ 10 Cent werden eingeworfen

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DARSTELLUNG VON AUTOMATEN

Übersicht

Um Abläufe einheitlich und verständlich mit Hilfe von Automaten darstellen zu können,

ist es nötig, eine einheitliche Notation (Zeichen, Symbole, Schreibung) für Automaten zu

verwenden. Diese lernst du im folgenden Kapitel kennen. Dabei werden die Begriffe Zu-

stand, Übergang und Eingabe von Automaten erläutert. Außerdem wird das Verhalten

von Automaten auf Aktionen genauer betrachtet.

Teillernziele

Nach der Bearbeitung dieses Kapitels kannst du…

unterscheiden, was in der Automatentheorie unter den Begriffen Zustand, Über-

gang, Eingabe und Reaktion zu verstehen ist.

Zustände und Übergänge in exemplarischen, graphischen Darstellungen benennen.

bestimmen, in welchem Zustand sich ein Automat nach einer bestimmten Eingabe

befindet.

das Eingabealphabet eines Automaten bestimmen.

ZUSTÄNDE UND ÜBERGÄNGE

Automaten kann man sich als eine Art „Maschine” vorstellen, die stur einem festgelegten Schema folgt,

so wie zum Beispiel eine Kaffeemaschine. Eine Kaffeemaschine kann sich in verschiedenen Zuständen

befinden (warten, Kaffee kochen, Kaffee warmhalten). Das festgelegte Schema sagt ihr, dass sie, wenn

sie angeschaltet wird, Kaffee kochen soll. Wenn sie damit fertig ist, soll sie den Kaffee warmhalten,

solange bis sie ausgeschaltet wird.

Im Allgemeinen haben alle Automaten ein solch vorgegebenes Schema. Automaten setzen sich zusam-

men aus Zuständen und Übergängen. Ein festgelegtes Schema gibt vor, wann ein Automat von einem

Zustand in einen anderen übergeht.

Definition

Zu jedem Zeitpunkt befindet sich ein Automat in genau einem Zustand. Übergänge

werden anhand einer Übergangsfunktion beschrieben. Eine Übergangsfunktion gibt

an, mit welchem Zeichen von einem bestimmten Zustand in einen anderen gewechselt

werden kann.

Noch einmal zurück zu dem Parkscheinautomaten, vor dem Laura und Manfred stehen:

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Beschriftet man die Zustände und Übergänge ein wenig anders, sieht das Ganze so aus:

Dieser Automat hat die folgenden Zustände:

q1. Der Automat wartet auf eine Eingabe. Wartezustand.

q2. Der Automat merkt sich, wie viel Geld eingeschmissen wurde.

q3. Der Automat druckt das Parkticket und gibt es aus.

Außerdem hat der Automat die folgenden Übergänge:

v1. Geld wird eingeschmissen. Der Automat wechselt von q1 zu q2.

v2. Es wird mehr Geld eingeworfen. Der Automat bleibt in q2 und zählt die Minuten.

v3. Der Knopf „Parkschein ausgeben“ wird gedrückt. Der Automat wechselt in q3.

v4. Das Parkticket wird entnommen. Der Automat wechselt zurück in q1.

Diese Abstraktion (Verallgemeinerung) hat den Vorteil, dass nun eine gewisse Vergleichbarkeit mit

anderen Automaten geschaffen wird und so generelle Aussagen und allgemeine Betrachtungen mög-

lich sind.

Aufgabe 2.1

Eine einfache Supermarktkasse funktioniert folgendermaßen:

Wird ein Preis eingegeben, addiert die Kasse diesen zum Gesamtpreis.

Drückt jemand die Taste „Kassieren“, wird der Gesamtpreis angezeigt und die

Geldlade geöffnet.

Wird die Geldlade geschlossen, wartet die Kasse darauf, dass erneut ein Preis

eingegeben wird.

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Ordne die verschiedenen Zustände der Kasse und die Aktionen des Kassierers/der Kas-

siererin den Zuständen und Übergängen der Skizze zu.

BESONDERE ZUSTÄNDE

Dir ist vielleicht schon aufgefallen, dass viele Automaten am „ersten“ Zustand einen Pfeil mit der Be-

schriftung „Start“ haben. Dieser Zustand wird auch Startzustand genannt. Komplementär zum Start-

zustand gibt noch einen weiteren „besonderen“ Zustand: den Endzustand. Dieser wird im Allgemeinen

durch einen doppelten Kreis gekennzeichnet. Ein Automat kann auch mehrere Endzustände haben.

Auf die besondere Bedeutung von Endzuständen wird in Kapitel 3 näher eingegangen.

Aufgabe 2.2

Benenne die Start- und Endzustände der folgenden zwei Automaten:

Aufgabe 2.3

Betrachte noch einmal den Automaten zu der Supermarktkasse aus Aufgabe

2.1.

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Die Kasse hat die folgenden Zustände:

q1. Wartezustand; die Kasse wartet auf die Eingabe eines Preises.

q2. Ein Preis wurde eingegeben, der Knopf „Kassieren“ wurde aller-

dings noch nicht gedrückt.

q3. Der Gesamtpreis wird angezeigt, und die Geldlade ist geöffnet.

Die Skizze hat die folgenden Übergänge:

v1. Der erste Preis eines Artikels wird eingegeben.

v2. Ein weiterer Preis wird eingegeben.

v3. Der Knopf „Kassieren“ wird gedrückt.

v4. Die Geldlade wird geschlossen.

Welchen Zustand könnte man hier als Endzustand wählen?

EINGABEN

Wie eingangs beschrieben, reagiert ein Automat auf Aktionen. So wechselt der Parkscheinautomat zum

Beispiel beim Einwurf von 5 Cent den Zustand. Eine Folge von Aktionen wird Eingabe genannt. So sind

die Aktionen:

[5 ct einwerfen – 10 ct einwerfen – 5 ct einwerfen – Knopf drücken – Parkschein entnehmen]

eine Eingabe.

Ein Automat verarbeitet eine Eingabe, indem er die einzelnen Aktionen der Reihe nach betrachtet und

entsprechend reagiert. Reagieren heißt hier: Der Automat sucht einen Übergang, der vom aktuellen

Zustand ausgeht und mit der Aktion, die an der Reihe ist, beschriftet ist.

Eingaben können unterschiedlich aussehen; es können sowohl Folgen von Zahlen, Wörtern, Zeichen

oder Buchstaben sein. Bei realen Automaten sind dies Knöpfe, Münzen, Auswahltasten etc.

Um Automaten strukturiert und übersichtlich darstellen zu können, werden oft Kürzel an den Über-

gängen verwendet. Diese Standardisierung (Vereinheitlichung) ermöglicht außerdem die Analyse der

Eigenschaften von Automaten. Im folgenden Beispiel werden die Übergänge durch Buchstaben abge-

kürzt:

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Der Automat

hat die folgenden Zustände: q1, q2, q3, q4. Der Zustand q1 ist der Startzustand, q4 der Endzustand.

Außerdem hat dieser Automat sechs Übergänge, die mit den Buchstaben a, b und c markiert sind.

Wie reagiert der Automat nun auf die Eingabe caa?

Vorgehen:

Start bei q1.

Wechsel mit c von q1 zu q3.

Wechsel mit a von q3 zu q4.

Der Automat bleibt im Zustand q4 mit a.

Nach der Eingabe caa befindet sich der Automat also in dem Zustand q4.

Die Eingabe bbb hingegen kann der Automat nicht verarbeiten, da es vom Zustand q3 aus keinen Über-

gang gibt, der mit b beschriftet ist.

Aufgabe 2.3

Betrachte den Automaten aus dem obigen Beispiel! Wie reagiert der Automat auf die folgen-

den Eingaben?

bbaaa

aa

aab

caaaa

Wie bereits erwähnt, können Eingaben sehr unterschiedlich sein. Deswegen ist es nötig, zu jedem Au-

tomaten anzugeben, aus welchen Zeichen (z. B. Buchstaben) die Sprache besteht, die er versteht. Die

Menge dieser Zeichen wird Eingabealphabet genannt. So ist das Eingabealphabet des Automaten aus

dem Beispiel oben {a, b, c}. Das Eingabealphabet muss natürlich nicht aus Buchstaben bestehen, es

kann sich auch aus ganzen Wörtern, Sätzen oder Zahlen zusammensetzen.

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Definition

Das Eingabealphabet eines Automaten ist die Menge an Zeichen (Buchstaben,

Zahlen, Wörter, Symbole), auf die der Automat reagieren kann.

Aufgabe 2.4

Nenne den Startzustand, den Endzustand und das Eingabealphabet dieses Au-

tomaten.

Beschreibe außerdem, wie der Automat sich auf die Eingaben 1111, 1100 bzw.

1001 verhält.

Aufgabe 2.5

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Nenne auch den Startzustand, die Endzustände und das Eingabealphabet die-

ses Automaten. Beschreibe außerdem das Verhalten des Automaten auf die

folgenden drei Eingaben:

Kartoffelsalat

Salat

Nudelsalat

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ADDITUM

Diese Aufgabe kannst du bearbeiten, wenn du das vorherige Kapitel besonders schnell bearbeitet hast!

Additum – Java 1

In diesem Additum schreibst du am Computer ein Programm, das einen Automaten si-

muliert! Das Programm soll ausgeben, in welchem Zustand sich der Automat nach Bear-

beitung einer bestimmten Eingabe befindet.

Betrachte erneut den Automaten aus Aufgabe 2.4:

Das Eingabealphabet ist die Menge {0, 1}.

Du sollst nun ein Javaprogramm schreiben, das diesen Automaten simuliert.

Lege dir dazu ein Integerfeld an, in dem die Eingabe gespeichert wird. Die Eingabe kannst

du in dem Programm vorgeben, z. B. durch int[] eingabe = {1, 0, 0, 1};

Dein Programm soll nun ausgeben, in welchem Zustand sich der Automat befindet, nach-

dem er die Eingabe vollständig abgearbeitet hat. Die Länge der Eingabe kannst du eben-

falls in deinem Programm selbst festsetzen, so dass sie mit der Länge des Eingabefeldes

übereinstimmt. Im Beispiel oben also: int laenge = 4;

Wenn du dich beim Programmieren unsicher fühlst, kannst du dir ein Programmgerüst

bei deinem Lehrer oder deiner Lehrerin abholen.

Die Lösung für diese Aufgabe bekommst du ebenfalls von deinem Lehrer bzw. deiner

Lehrerin.

LERNFORTSCHRITTSKONTROLLE

L 2.1

Betrachte den folgenden Automaten und bestimme die Start- und Endzustände.

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L 2.2

Fülle folgenden Lückentext aus:

Ein Automat setzt sich aus ____________ und _______________ zusammen. Es gibt un-

terschiedliche Arten von Zuständen. Einer der „besonderen“ Zustände wird mit einem

Pfeil gekennzeichnet; diesen Zustand nennt man _________________________. Ein

weiterer „besonderer“ Zustand wird dagegen mit einem doppelten Kreis gekennzeich-

net; hierbei handelt es sich um den _______________________________.

Ein festgelegtes Schema gibt vor, wann ein Automat von einem _______________ in

einen anderen ________________ übergeht. Allgemein sagt man, dass der Automat

eine _______________ aus dem _____________________ verarbeitet.

L 2.3

Betrachte noch einmal den Automaten aus Aufgabe 2.1:

a) In welchem Zustand befindet sich der Automat nach Bearbeitung der folgen-

den Eingaben?

1. abcbb

2. abcbcbbb

b) Setze die folgenden Zeichenketten so fort, dass sich der Automat nach Bear-

beitung der Zeichenkette in einem Endzustand befindet. Wähle dabei immer

die kürzeste Möglichkeit.

1. a

2. abc

3. abb

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AKZEPTANZVERHALTEN VON AUTOMATEN

Übersicht

Ein Automat soll Eingaben bezüglich bestimmter Eigenschaften unterscheiden. Dies

wird realisiert durch das Akzeptanzverhalten des Automaten, das in diesem Kapitel ge-

nauer unter die Lupe genommen wird. Demonstriert wird dies mit Hilfe des Programms

JFLAP, das diese Untersuchung vereinfacht.

Teillernziele

Nach der Bearbeitung dieses Kapitels kannst du …

die Begriffe „akzeptieren“ und „verwerfen“ verstehen und erläutern.

untersuchen, ob ein Automat ein Wort akzeptiert oder verwirft.

Automatenmodelle in JFLAP überführen und testen.

AKZEPTANZVERHALTEN

Die Aufgabe eines Automaten besteht oft darin, eine Eingabe auf Korrektheit zu überprüfen. Eine Ein-

gabe besteht aus einer Folge von Zeichen aus dem Eingabealphabet; sie wird genau dann von dem

Automaten akzeptiert, wenn der Automat einen Endzustand erreicht.

Definition

Der Automat akzeptiert das Eingabewort genau dann, wenn er sich nach dem Einlesen

des ganzen Wortes in einem Endzustand befindet. Ansonsten akzeptiert er das Wort

nicht. Man sagt deshalb auch, dass der Automat in diesem Fall das Eingabewort ver-

wirft.

Betrachte noch einmal den Automaten aus Kapitel 2:

Akzeptiert dieser Automat das Eingabewort bba?

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Start bei q1.

b wird gelesen Wechsel zu q2

zweites b wird gelesen Wechsel in q3

a wird gelesen Wechsel zu q4

Nach dem Einlesen der Zeichenfolge befindet sich der Automat im Endzustand q4. Also akzeptiert er

das Word bba.

Akzeptiert der Automat auch das Wort bb?

Nach dem Lesen der Zeichenkette bb befindet sich der Automat im Zustand q3. Da q3 kein Endzustand

ist, akzeptiert er das Wort bb nicht.

In dem obigen Beispiel hat der Automat erst mit dem Lesen des letzten Zeichens in den Endzustand

gewechselt. Das ist nicht immer so. Es können auch mehrere Endzustände durchlaufen werden. Wichtig

für das Akzeptanzverhalten ist nur, in welchem Zustand sich der Automat befindet, wenn er die Eingabe

komplett abgearbeitet hat. Nach kompletter Abarbeitung der Eingabe muss der Automat sich in einem

Endzustand befinden.

Aufgabe 3.1

Überprüfe, welche der folgenden Wörter der Automat aus dem obigen Beispiel

akzeptiert!

☐ aaaaa

☐ b

☐ ca

Aufgabe 3.2

Betrachte folgenden Automaten:

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Überprüfe, welche der folgenden Wörter der Automat akzeptiert!

☐ aaaaaac

☐ bccb

☐ ba

Betrachte ein weiteres Beispiel:

Alle Oberstufenschülerinnen und -schüler des Gymnasiums in Poppelsdorf machen einen Schulaus-

flug. Die Schüler, die sich angemeldet und den Beitrag bezahlt haben, stehen auf einer Liste.

Der Schulcomputer verfügt über ein Programm, das nach der Eingabe eines Namens anzeigt, ob der

Schüler bzw. die Schülerin mit auf den Ausflug kommen kann oder nicht. Das Programm simuliert also

einen Automaten. Anna ist sich nicht mehr sicher, ob sie wirklich das Geld für den Ausflug bezahlt hat.

Deswegen tippt sie ihren Namen in den Computer ein.

Du wirst dich nun mit dem Teil des Automaten beschäftigen, der über die Schüler mit Anfangsbuch-

staben An Auskunft gibt.

Das Eingabealphabet besteht aus allen Buchstaben des Alphabets: {a, A, b, B, …, z, Z}. Dieser Automat

akzeptiert Anna genau dann, wenn er nach Bearbeitung der Eingabe des Wortes in einem Endzustand

landet. Verfolge die Reaktion des Automaten:

Start in q0

A wird gelesen Wechsel zu q1

n wird gelesen Wechsel zu q2

n wird gelesen Wechsel zu q3

a wird gelesen Wechsel zu q9

Da q9 ein Endzustand ist, akzeptiert der Automat die Eingabe Anna. Anna darf also mitfahren.

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Aufgabe 3.3

Welche Schüler, deren Namen mit An beginnt, dürfen auch noch mit auf den Schulausflug

fahren? Nenne die Namen.

Aufgabe 3.4

Anne und Anke wollen auch noch mit auf den Ausflug fahren. Sie melden sich deshalb an

und bezahlen den Beitrag. Verändere den Automaten so, dass er auch die Eingaben Anne

und Anke akzeptiert.

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JFLAP – TESTEN

Übungsaufgaben

Nun wirst du dich mit der Simulation von Automaten beschäftigen. Das Programm JFLAP

ermöglicht dir, Automaten zu entwerfen und ihr Akzeptanzverhalten zu testen. Im folgen-

den Beispiel lernst du, JFLAP selber zu bedienen. Vollziehe die im Beispiel beschriebenen

Schritte nach, um den Umgang mit dem Programm zu lernen.

JFLAP erkunden und testen

Um das Programm JFLAP kennenzulernen, beschäftigst du dich noch einmal mit dem Bei-

spiel zum Schulausflug.

Als Erstes startest du JFLAP. Wenn du dabei Probleme hast, frag einfach deinen Leh-

rer/deine Lehrerin!

Nach dem Start des Programms erscheint zunächst ein Fenster, in dem man die Art des

Automaten auswählen kann.

Wie du einen Automaten erstellst, lernst du im nächsten Beispiel. Zunächst wirst du ler-

nen, einen bereits erstellten Automaten zu testen.

Da du dich erst einmal nur mit endlichen Automaten be-

fasst, wählst du den Button „Finite Automaton“.

Es erscheint ein weiteres

Fenster zur Erstellung des

Automaten.

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Gehe dazu im Menü auf File open und öffne die Datei Schulausflug.jff. Nun siehst du

den Automaten aus dem Beispiel mit dem Schulausflug.

Jetzt sollst du das Verhalten des Automaten testen. JFLAP bietet dafür zwei Möglichkeiten:

Ein weiteres Fenster öffnet sich:

Hier kannst du das Verhalten des Automaten schrittweise nachvollziehen, indem

du auf den Button Step klickst. Um den Automaten erneut mit der gleichen Ein-

gabe zu starten, musst du Reset drücken.

Starte nun auf gleiche Weise den Automaten einmal mit der Eingabe Anke und

einmal mit der Eingabe Andreas. Dabei wirst du feststellen, dass der Automat

sich bei der Eingabe Anke grün färbt; die Eingabe wird also akzeptiert. Die Ein-

gabe Andreas kann der Automat dagegen nicht verarbeiten. Deshalb stoppt er

bei q8, egal wie oft der Step-Button jetzt noch gedrückt wird.

1. Der Automat arbeitet das Wort

schrittweise ab. Gehe dazu in

der Menübar des bereits ge-

öffneten Fensters auf Input

Step by State. Es erscheint ein

Eingabefenster. Gebe dort

Anna ein.

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2. Es werden mehrere Eingaben gleichzeitig getestet.

Gehe dazu auf Input Multiple Run.

Das Fenster wird in zwei Unterfenster geteilt. Auf der linken Seite siehst du wei-

terhin deinen Automaten. Auf der rechten Seite erscheint eine Input- und eine

Result- Spalte. In der Input-Spalte kannst du nun untereinander mehrere Einga-

ben eintragen. Jede Eingabe beendest du mit einem Return.

Gebe nun in die Input-Spalte die Eingaben Anna, Andrea, Andreas und Anke ein.

Durch das Klicken auf den Run-Inputs-Button werden deine Eingaben ausgewer-

tet.

Die Auswertung, ob dein Automat die Eingaben akzeptiert oder nicht, kannst du

in der Result-Spalte ablesen. Steht dort Accept, so akzeptiert der Automat die

entsprechende Eingabe. Steht dort Reject, so akzeptiert der Automat die Eingabe

nicht, sondern verwirft sie.

Aufgabe 3.5

Überprüfe mit Hilfe von JFLAP, ob der Schulausflug-Automat folgende Eingaben akzep-

tiert:

1. Anton

2. Anika

3. Andre

Aufgabe 3.6

Nun eine etwas theoretischere Aufgabe. Wie du weißt, werden Zahlen im Rechner als Bi-

närzahlen abgespeichert. Das heißt, jede Zahl wird mit Hilfe von Nullen und Einsen co-

diert. Mit dem folgenden Automaten lässt sich testen, ob eine binär codierte Zahl gerade

oder ungerade ist, denn dieser Automat akzeptiert nur ungerade Zahlen. Beachte dabei,

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dass eine Binärzahl genau dann gerade ist, wenn das letzte Bit eine 0 ist. Ist das letzte

Bit eine 1, so ist die Zahl ungerade.

Teste das Akzeptanzverhalten des Automaten „ungerade“ mit Hilfe von JFLAP für die fol-

genden Eingaben:

1. 0010

2. 1000101

3. 1000000

JFLAP – EIGENE AUTOMATEN ENTWERFEN

Übungsaufgaben am Computer

Nachdem du jetzt schon fertige Automaten mit JFLAP testen kannst, wirst du nun lernen,

auch eigene Automaten mit der Software zu entwickeln. Vollziehe hierzu zunächst wieder

die Schritte des Beispiels nach.

Der Automat, den du erstellst, hat als Eingabealphabet die Menge {0}. Er soll vorerst nur

das Wort 00 erkennen.

Geh auf JFLAP, Finite State Automaton.

Nun erscheint wieder das Fenster, in dem du einen Automaten modellieren kannst. Links

oben siehst du mehrere Symbole. Einen Mauspfeil, einen Kreis mit einem eingezeichne-

ten Mittelpunkt, einen langgezogenen Pfeil und einen Totenkopf. Jedes der Symbole

stellt einen bestimmten Modus dar.

Wenn du mit der linken Maustaste den Kreis anklickst, bist du in dem Modus, in dem

Zustände erzeugt werden können.

Gehe nun zuerst auf diesen Kreis, um in den Modus Zustand setzen zu wechseln. Gehe

dann auf die weiße Zeichenfläche und klicke auf die linke Maustaste. Schon ist der erste

Zustand erzeugt, der mit q0 bezeichnet wird. Setze rechts daneben noch drei weitere

Zustände, so dass du schließlich q0 bis q3 gesetzt hast.

Eigentlich benötigst du aber nur die Zustände q0 und q1. Wechsle deshalb in den Lösch-

Modus, indem du den Totenkopf anklickst. Nun kannst du die überflüssigen Zustände q2

und q3 durch Anklicken löschen.

Jetzt fehlen noch die Übergänge. Um diese zu zeichnen, musst du in den Modus Über-

gänge setzen gehen, indem du den länglichen Pfeil anklickst. Setze einen Übergang von

q0 zu q1, indem du den Zustand q0 anklickst und die linke Maustaste gedrückt hältst.

Ziehe dann die Maus zum Zustand q1 und lasse erst dann die gedrückte Maustaste wieder

normal

Zustand setzen Übergang setzen

löschen

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los. Es erscheint ein Eingabefeld. Klicke dieses an, schreibe eine 0 hinein und drücke

Enter. Damit ist dein Übergang gesetzt. Setze analog auch noch den zweiten Übergang.

Falls du irrtümlich einen falschen Übergang setzt, kannst du diesen auch löschen, indem

du in den Lösch-Modus wechselst und den entsprechenden Übergang anklickst.

Möchtest du einen Übergang von einem Zustand zu einem anderen, der mit mehreren

Symbolen beschriftet ist, machen, kannst du einfach mehrere Übergänge zwischen den

beiden Zuständen erzeugen und jeden dieser Übergänge mit einem Symbol beschriften.

Nun kannst du den Automaten noch etwas mehr in die Mitte verschieben. Wechsle dazu

in den Modus normal. Nun kannst du die Zustände anklicken, und während du die Maus-

taste gedrückt hältst, verschieben.

Dieser Modus hat noch eine weitere Eigenschaft: Wenn du dich bei der Beschriftung ver-

schrieben hast, kannst du diese in diesem Zustand anklicken und erneut beschriften.

Außerdem kannst du in dem Modus normal festlegen, dass q0 dein Anfangszustand sein

soll. Klicke dazu mit der rechten Maustaste auf q0. Es erscheint ein Menü. Wähle Initial

(deutsch: Anfangs-) aus. Auf q0 zeigt jetzt ein großer Pfeil. Analog klickst du nun mit der

rechten Maustaste auf q2 und markierst diesen als Endzustand, indem du im Menü auf

Final (deutsch: End-) klickst.

Schon ist dein erster Automat mit JFLAP fertig und kann getestet werden.

Hier noch einmal ein kurzer Überblick über die verschiedenen Funktionen von JFLAP.

Zustände setzen: Gehe in den Modus Zustand setzen, indem du den Kreisbutton anklickst.

Dann kannst du beliebig viele Zustände per Mausklick setzen.

Übergänge setzen: In den Modus Übergänge setzen gelangst du, indem du den Button mit dem

länglichen Pfeil anklickst. Dann kannst du den Zustand, von dem der Übergang ausgehen soll,

anklicken und die Maustaste gedrückt halten. Lass sie erst wieder los, wenn du am Zielzustand

angelangt bist. So kannst du auch einen Übergang von einem Zustand zu sich selbst setzen.

Zustände/Übergänge löschen: In den Lösch-Modus kommst du, indem du den Totenkopf-But-

ton anklickst. In diesem Modus kannst du die Zustände/Übergänge anklicken, die du löschen

willst.

Zustände bearbeiten: Klickt man einen Zustand mit der rechten Maustaste an, wird ein Menü

angezeigt. Bei weiterhin gedrückter rechter Maustaste können z. B. die folgenden Menüpunkte

ausgewählt werden:

o Initial: Anfangszustand setzen

o Final: Endzustand setzen

o Über den Menüpunkt File Save as kann das Modell gespeichert werden.

Aufgabe 3.7

Beschäftige dich noch einmal mit dem Schulausflug-Automaten. Lade dir zuerst erneut

den Automaten „Schulausflug“ in dein JFLAP-Programm. Wie du bereits weißt, wollen

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Anke und Anne auch an dem Ausflug teilnehmen. Ändere den Automaten deshalb so ab,

dass er auch Anke und Anne akzeptiert!

29

LERNFORTSCHRITTSKONTROLLE

L 3.1

Vervollständige den folgenden Lückentext:

Ein Automat ________________ das Eingabewort genau dann, wenn er sich nach dem

Einlesen des ganzen Wortes in einem Endzustand befindet.

Ansonsten ________________ er das Wort nicht. Man sagt auch, der Automat _________

in diesem Fall das Eingabewort.

L 3.2

Betrachte den folgenden Automaten:

Welche der folgenden Eingaben akzeptiert der Automat? Kreuze an.

☐ aaaaab

☐ bcc

☐ bccbc

☐ aaab

☐ bcbab

☐ bbaa

30

ERSTELLUNG VON AUTOMATEN

Übersicht

Automaten werden z. B. als Grundlage für Compiler verwendet. Ein Compiler soll erken-

nen, ob die Syntax der in den Computer eingegebenen Codes richtig ist. Der zugrundelie-

gende Automat muss also gewährleisten, dass nur Codebausteine, die programmierspra-

chenkonform sind, akzeptiert werden. Ein solcher Automat muss somit eine vorgegebene

Sprache akzeptieren.

Lernziel

Nach diesem Kapitel kannst du …

endliche Automaten als Graphen darstellen.

natürliche und formale Sprachen unterscheiden und außerdem Begriffe einer for-

malen Sprache wie z. B. Sprache des Automaten oder Wort verwenden.

Sprachen von Automaten beschreiben.

zu einer gegebenen Sprache einen Automaten konstruieren.

AUTOMATEN KONSTRUIEREN

Du hast bis jetzt viele verschiedene Automaten kennengelernt. Außerdem hast du im letzten Kapitel

gelernt, wie man Automaten verändert und damit auch das Akzeptanzverhalten des Automaten beein-

flusst. Auf diesem Wissen baust du nun auf, denn jetzt konstruierst du deinen Automaten von Grund

auf selber! Lies dazu zunächst noch ein Beispiel durch:

Es soll ein Automat konstruiert werden, der eine vierstellige Zahl übergeben bekommt. Der Automat

soll diese Zahl akzeptieren, wenn sie gerade ist und sie verwerfen, wenn sie ungerade ist. Man kann

diesem Automaten außerdem ausschließlich vierstellige Zahlen übergeben; so muss zum Beispiel für

die Zahl 100 die vierstellige Zahl 0100 eingegeben werden. Die vorderen Nullen haben dabei keinerlei

Bedeutung.

Wie muss aber ein Automat aussehen, der nur gerade Zahlen akzeptiert?

Natürlich ist bei dieser Frage nur die letzte Ziffer der Zahl interessant, denn schon an dieser kann man

ablesen, ob eine Zahl gerade ist, oder nicht. Die ersten drei Ziffern der Zahl sind also für den Automa-

ten uninteressant. Das lässt sich folgendermaßen darstellen:

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Dieser Automat zählt praktisch nur bis drei und ignoriert alles andere. Nur die letzte, die vierte Ziffer,

ist von Bedeutung für unser Beispiel. Denn wenn diese Ziffer gleich 0, 2, 4, 6, oder 8 ist, ist die Zahl

gerade. Unser Automat soll in diesem Fall die Zahl somit akzeptieren.

Ist die letzte Ziffer eine 1, 3, 5, 7 oder 9 – ist die Zahl also ungerade – soll der Automat die Zahl verwer-

fen. Diese Spaltung zwischen geraden und ungeraden Zahlen lässt sich folgendermaßen umsetzen:

Jetzt muss noch der Endzustand richtig gesetzt und der Startzustand markiert werden. Der fertige Au-

tomat sieht dann folgendermaßen aus:

Aufgabe 4.1

Entwirf nun selber einen Automaten, der als Eingabe Zahlen mit drei Stellen übergeben

bekommt und der alle Zahlen, die echt kleiner als 40 (also 040) sind, akzeptiert!

32

Erstelle diesen Automaten mit Papier und Bleistift!

Aufgabe 4.2

Du hast bereits in Kapitel 3 einen Automaten kennengelernt, der nur ungerade binär

codierte Zahlen akzeptiert hat. Nun ist es an dir, in JFLAP einen Automaten zu erstellen,

der nur gerade binär codierte Zahlen akzeptiert. Das heißt, dass die Binärzahl am Ende

eine 0 haben muss.

Entwickle mit Hilfe von JFLAP einen solchen Automaten.

DIE SPRACHE EINES AUTOMATEN

In Kapitel 2 wurde bei der Einführung von Eingaben den Begriff Sprache erwähnt. Mit diesem Begriff

wirst du dich nun ein bisschen genauer beschäftigen, denn er kann bei der Erstellung von Automaten

sehr behilflich sein!

Zu jedem Automaten lässt sich eine Menge von Wörtern finden, die dieser Automat akzeptiert. Diese

Menge wird Sprache des Automaten genannt. Man sagt auch: Der Automat erkennt diese Sprache.

Ein Wort ist eine Zeichenkette, die aus beliebigen Zeichen bestehen kann. Wörter können zum Beispiel

so aussehen:

Baum

abbc

011BK5

Betrachte noch einmal den Automaten aus dem ersten Beispiel dieses Kapitels. Dieser Automat ak-

zeptiert alle geraden Zahlen mit vier Stellen. Man kann diese Zahlen mit der folgenden Menge be-

schreiben: {0000, 0002, 0004, …, 9996, 9998}. Diese Menge ist also die Sprache, die dieser Automat

erkennt.

Definition

Wort: Zeichenkette, die aus beliebigen Zeichen besteht.

Sprache eines Automaten: die Menge von Wörtern, die der Automat akzeptiert.

Man sagt, der Automat erkennt diese Sprache.

Betrachte noch ein weiteres Beispiel eines Automaten mit dem Eingabealphabet {a, b, c}:

Dieser Automat akzeptiert alle Wörter, die mit a anfangen, mit a aufhören und in deren Mitte keine

weiteren a’s vorkommen, sondern nur beliebig viele b’s und c’s. Er erkennt also die Sprache, die aus

der Menge der oben beschriebenen Wörter besteht.

33

Aufgabe 4.3

Betrachte noch einmal den Automaten aus Aufgabe 1 dieses Kapitels und ermittle die

Sprache, die dieser Automat erkennt:

In den folgenden Aufgaben entwickelst du selbst zu einer gegebenen Sprache einen Automaten.

Aufgabe 4.4

Entwickle einen Automaten mit dem Eingabealphabet {a, b}, der die folgende Spra-

che erkennt: Die Menge aller Wörter, die vorne und hinten beliebig viele a’s und in

der Mitte irgendwo genau ein b haben.

Achtung: Beliebig viele a’s heißt immer, dass auch kein a an dieser Stelle sein kann!

Aufgabe 4.5

In einer Firma möchte ein Chef allen Mitarbeitern, die 2006 in der Firma angefangen

haben zu arbeiten, einen Bonus auszahlen. Um nicht jede einzelne Personalakte le-

sen zu müssen, will er ein Programm schreiben, das diese Aufgabe für ihn über-

nimmt. Dieses Programm soll auf Grundlage eines Automaten arbeiten und alle Da-

tensätze der Mitarbeiterdatenbank überprüfen. Als Eingabe erhält dieser Automat

ein Datum. Es werden also grundsätzlich nur Eingaben der Form TT.MM.2006 akzep-

tiert Er soll die Eingabe akzeptieren, falls sie ein korrektes Datum aus dem Jahr 2006

ist.

Achtung: Beachte Feinheiten, wie die unterschiedlichen Monatslängen. Die Punkte

der Datumseingabe brauchst du aber in deinem Programm zunächst noch nicht zu

berücksichtigen.

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ADDITUM

Additum – Java 2

Auch in diesem Additum geht es um die Simulation eines Automaten mit einem Java-

Programm.

Du schlüpfst in die Rolle des Chefs, der mit Hilfe eines Automaten die Mitarbeiter ermit-

teln möchte, die 2006 begonnen haben, in seiner Firma zu arbeiten. Denke daran, dass

dieser Automat nur Daten akzeptiert, die in der Form TT.MM.2006 sind.

Um das Programmieren des Automaten zu vereinfachen, lässt du vorerst ein Programm

über alle Daten laufen, welches die Punkte aus jedem Datum ausliest und die Zahlen in

einem Feld mit drei Einträgen abspeichert. So wird aus 04.12.2006 das Feld {4,12, 2006}.

Die Eingabe kannst du in dem Programm vorgeben, z. B. durch int[] datum = {4,12,2006};

Das Programm soll nun prüfen, ob der Automat die gegebene Eingabe akzeptiert.

Betrachte als Programmierhilfe den folgenden Automaten:

LERNFORTSCHRITTSKONTROLLE

L 4.1

Vervollständige den folgenden Text!

Eine Zeichenkette, die aus beliebig vielen Zeichen besteht, nennt man auch

______________.

Die Menge von Wörtern, die der Automat akzeptiert, wird _________________eines Auto-

maten genannt. Man sagt auch, der Automat___________________die Sprache.

L 4.2

Beschreibe die Sprache des folgenden Automaten!

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L 4.3

Erstelle einen Automaten, der alle Wörter akzeptiert, die eine gerade Anzahl von a’s ent-

halten. Das Eingabealphabet ist dabei die Menge {a, b, c}.

Der Automat soll zum Beispiel das Wort abacbaa akzeptieren, aber das Wort abacba ver-

werfen.

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QUELLENVERZEICHNIS

Gesellschaft für Informatik (GI) e. V.: Bildungsstandards Informatik für die Sekundarstufe II.

Berlin: LOG IN 2016. Online: https://www.informatikstandards.de/docs/Bildungsstan-

dards_SII.pdf (eingesehen: 25.06.2018).

Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen: Kernlehrplan für

die Sekundarstufe II Gymnasium/Gesamtschule in Nordrhein-Westfalen. Informatik. 1. Aufl.,

Düsseldorf: 2014. Online: https://www.schulentwicklung.nrw.de/lehrplaene/up-

load/klp_SII/if/KLP_GOSt_Informatik.pdf (eingesehen: 25.06.2018).

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Abbildung 1: Parkautomat, Quelle: pixabay.org, https://pixabay.com/de/parkuhr-

stra%C3%9Fe-asphalt-altstadt-102361/ (CC0, eingesehen: 25.06.2018).

Abbildung 2: Flipperautomat, Quelle: pixabay.org, https://pixabay.com/de/flipper-pin-ma-

schine-jahrgang-296568/ (CC0, eingesehen: 09.07.2018).

Die Screenshots zur Erklärung der Software wurden durch das InfoSphere-Team m. H. von

JFLAP erstellt, http://www.softpedia.com/get/Others/Home-Education/JFLAP.shtml (einge-

sehen: 02.07.2018).

Alle weiteren Grafiken ( , , , , , , ), Quelle: InfoSphere.