Einführung in die Astronomie unf Astrophysik I - Teil 5 · Ellipse Menge aller Punkte der Ebene,...
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Einführung in die
Astronomie und Astrophysik I
Teil 5
Jochen LiskeHamburger Sternwarte
Einstieg: Was ist Astrophysik?
Koordinatensysteme
Astronomische Zeitrechnung
Sonnensystem
Die Keplerschen Gesetze
Himmelsmechanik
Gezeiten und Finsternisse
Strahlung
Teleskope
Sternaufbau
Sternentstehung
Sternentwicklung
Sternhaufen
Interstellare Materie
Die Exoten: Neutronensterne und Schwarze Löcher
Themen
Die Newtonschen Gesetze
1. Trägheitsprinzip: Kräftefreie Bewegung geradlinige
Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit
2. Bewegungsgleichung:
3. Actio = Reactio:
Das Newtonschen Gravitationsgesetz
Die Kraft zwischen zwei punktförmigen Körpern der Mass
m1 und m2 ist gegeben durch:
r = Verbindungvektor zwischen m1 und m2
G = Gravitationskonstante = 6.67259 x 10-11 m3 / kg / s2
Die Keplerschen Gesetze
1. Die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne ist eine
Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte.
2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in
gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. P2 ~ a3
Die Keplerschen Gesetze
1. Die Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne ist eine
Ellipse mit der Sonne in einem der Brennpunkte.
2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in
gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. P2 ~ a3
Ellipse
Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe ihrer
Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten (F1, F2) gleich
einer gegebenen Konstante ist.
Ellipsengleichung:
a, b = große, kleine Halbachse
p = Halbparameter = b2 / a
F1, F2 = Brennpunkte
e = lineare Exzentrität = (a2 – b2)1/2
ε = numerische Exzentrizität = e / a
Periapsisdistanz = a (1 – ε)
Apoapsisdistanz = a (1 + ε)
Polargleichung (bzgl. Brennpunkt):
ε
Ellipse
Menge aller Punkte der Ebene, für die die Summe ihrer
Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten (F1, F2) gleich
einer gegebenen Konstante ist.
Ellipsengleichung:
a, b = große, kleine Halbachse
p = Halbparameter = b2 / a
F1, F2 = Brennpunkte
e = lineare Exzentrität = (a2 – b2)1/2
ε = numerische Exzentrizität = e / a
Periapsisdistanz = a (1 – ε)
Apoapsisdistanz = a (1 + ε)
Polargleichung (bzgl. Brennpunkt):
ε
Bahnbestimmung
6 Bahnelemente:
Form der Ellipse
• a, ε
Lage der Ellipse
• Inklination i, Länge des
aufsteigenden Knotens ,
Argument der Periapsis
Zeitbezug
• Zeitpunkt des
Periapsisdurchgangs t
Für eine vollständige
Bahnbestimmung warden 6
Datenpunkte benötigt, z.B. r, v
oder r1, r2
Kreisbahngeschwindigkeit
ε = 0: 2. Kepler konstante Umlaufgeschwindigkeit
3. Kepler:
Für die Kreisbahn gilt:
Kreisbahngeschwindigkeit
Rotation um Erde an der Oberfläche (1. kosmische
Geschwindigkeit):
v1 = 7.9 km/s
Zum Vergleich: Erdrotation: 0.46 km/s
Mittlere Bahngeschwindigkeit der Erde:
vc= 29.8 km/s = 107 x 103 km/h
Aus Energieerhaltung: E(0) = E() = 0
= 21/2 v1
Erde: v2 = 11.2 km/s
Fluchtgeschwindigkeit
Fluchtgeschwindigkeit
Fluchtgeschwindigkeit
Sonne: 618 km/s
Erde: 11.2 km/s
Mond: 2.4 km/s
Merkur: 4.2 km/s
Venus: 10.3 km/s
Wichtig für die Existenz von Atmosphären!
Mars: 5 km/s
Jupiter: 61 km/s
Saturn: 37 km/s
Uranus: 22 km/s
Neptun: 25 km/s
Fluchtgeschwindigkeit
Abstände Sonne-Planet: Titus-Bode-Reihe (18. Jh.):
a = 0.4 + 0.3 x 2n AU
n = − Merkur
0 Venus
1 Erde
2 Mars
...
Keine physikalische Begründung!
Gute Abschätzung, Fehler im %-Bereich
Historische Bedeutung:
Entdeckung von Ceres (1801) und Pluto (1930)
Bahnen der Planeten
Merkur: 0.4 AU Titus-Bode: 0.4 AU, n = −
Venus: 0.7 AU 0.7 AU, n = 0
Erde: 1.0 AU 1.0 AU, n = 1
Mars: 1.5 AU 1.6 AU, n = 2
Ceres: 2.7 AU 2.8 AU, n = 3
Jupiter: 5.2 AU 5.2 AU, n = 4
Saturn: 9.6 AU 10 AU, n = 5
Uranus: 19.2 AU 19.6 AU, n = 6
Neptun: 30.0 AU ?
Pluto: 39.5 AU 38.8 AU, n = 7
Bahnen der Planeten
Keplerbahnen (= analytische Lösung) nur möglich durch
Beschränkung auf Zweikörpersystem
Vielteilchensystem:
Keine allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung möglich
Allerdings:
Numerische Integration
Sonderfälle mit exakter Lösung (Dreikörpersysteme):
• m1, m2, m3 auf Gerade, Rotation um Schwerpunkt
• m1, m2, m3 = gleichseitiges Dreieck
• m1 << m2, m3
Störungsrechnung
Virialsatz
Vielteilchensysteme
Dreikörpersystem, m3 << m1, m2 (zB Satellit)
Sonderfall mit exakter Lösung
Durch Einfluss der anderen Planeten
(Vielteilchensystem)
Klein, aber mit Störungsrechnung gut
berechenbar Drehung der Bahn
innerhalb der Bahnebene
(Periheldrehung)
Unterschiedliche Vorhersagen:
Newton vs. Allgemeine
Relativitätstheorie
Periheldrehung des Merkus
Bestätigung der ART
Störung der Keplerbahnen
Virialsatz
Virialsatz
Virialsatz
Gezeiten
Gezeiten
Gezeiten
Welcher Körper verursacht auf der Erde stärkere Gezeitenkräfte:
Sonne oder Mond?
Gezeiten
Gezeiten
Credit: V. Froer