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M. Bongards

Einführung in Fuzzy-Logik 1

10/16/2003 1

Einführung in die Fuzzy-Logik

M. Bongards

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Inhalt• Einführung• Hintergrund• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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Inhalt

• Einführung• Hintergrund• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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Einführung

• Position von Fuzzy-Logik:

– Zwischen Mathematischem Ansatz

(Klassische Regelungstechnik) und

– rein logischem Ansatz

(Expertensystem)

– Direkte Umwandlung von

menschlichem Wissen in ein

mathematisches Modell.

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Einführung

• Pilotanwendungen:– Zement-Drehrohrofen– Subway in Japan (1987)– Konsumgüter: Waschmaschine,

Camcorder

• Hannover-Messe 2000: Fuzzy kein Thema mehr!

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Inhalt

• Einführung

• Hintergrund• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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Hintergrund

• Aristoteles: Etwas ist entweder wahr oder falsch!

• Buddha: Die Dinge sind, wie sie sind, und können nicht in wahr oder falsch aufgeteilt werden.

• Mittelalterliche Eschatologie: Beim jüngsten Gericht komme ich entweder in den Himmel oder in die Hölle.

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Hintergrund

• Asien: Yin und Yang ergänzen sich und sind immer gemeinsam präsent

• Päpstlicher Anspruch: Entscheidung über Gut und Böse

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Hintergrund

• Matisse:

Genauigkeit ist nicht Wahrheit

• Rutherford:

Genauigkeit und Wichtigkeit sind

sich gegenseitig ausschließende

Kriterien.

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Hintergrund

• Lukasiewicz (1900)– 3-wertige Logik mit einer

Wahrscheinlichkeitszahl als 3. Parameter

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Hintergrund

• Lofti A. Zadeh• Veröffentlichung zu Fuzzy-Sets

(1965)• Einführung einer

Zugehörigkeitsfunktion (membership-function) mit Werten zwischen 0 und 1.

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Hintergrund

• Verbreitung in Asien (Fuzzy entspricht asiatischer Denkweise)

• Starke Förderung in NRW:– Fuzzy-Initiative NRW

Prof. Zimmermann - Aachen– Fuzzy-Arbeitskreis der

Fachhochschulen in NRW

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Inhalt

• Einführung• Hintergrund

• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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Fuzzy-Sets

Obermenge der 2-wertigen BoolschenLogik– Boolsche Logik ist ein Grenzfall des näherungsweisen

Schließens– In Fuzzy ist Alles mit einem Wahrscheinlichkeitsgrad

ausgestattet.– Jedes logische System ist fuzzifizierbar– Wissen ist eine Zusammenstellung von elastischen

Beziehungen zwischen Variablen– Inferenz ist die Vererbung dieser Beziehungen

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Fuzzy-Sets

Raumtemperatur - Bivalente Logik

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Fuzzy-Sets• Aussagen der 2-wertigen Logik sind

gegenseitig ausschließend.• Unstetige sprunghafte Übergänge

zwischen Zuständen sind unrealistisch.

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Fuzzy-Sets

Raumtemperatur - Fuzzy-Logik

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Fuzzy-Sets

Beispiel: Ist eine Person jung?

young(x) = { 1, if age(x) <= 20,

(30-age(x))/10, if 20 < age(x) <= 30,

0, if age(x) > 30 }

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Fuzzy-Sets

Beispiel: Ist eine Person jung?

Ergebnis als Tabelle:

Person Age degree of youth--------------------------------------Johan 10 1.00 Edwin 21 0.90Parthiban 25 0.50Arosha 26 0.40Chin Wei 28 0.20Rajkumar 83 0.00

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Fuzzy-Sets

Grad der Zugehörigkeit <=>Zugehörigkeitsfunktion– Membership-Function– Meist Dreieck- oder Trapez-Funktion– Sigmoid-Funktion in Neuronalen Netzen

(wegen der Differenzierbarkeit)– Möglich wären Normalverteilungen - Fuzzy-

Sets als Ergebnis statistischer Analysen,sind aber ungebräuchlich

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Inhalt

• Einführung• Hintergrund• Fuzzy-Sets

• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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Fuzzy Set - Operationen• Union - Vereinigung (Log. ODER)

),max( µµµBABA =∪

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Fuzzy Set - Operationen• Intersection - Schnittmenge

(Log. UND)

),min( µµµBABA =∩

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Fuzzy Set - Operationen

Umgangssprachliches ODER hat eine andere Bedeutung als das logische ODER. Es liegt zwischen Union und Intersection:– Beispiel: Ich gehe heute Abend ins Kino

oder in die Kneipe

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• Complement (Log. NOT)

µµAA −= 1

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Logik-Regeln

De Morgans Law:

BABA

BABA

∩=∪

∩=∩

)(

)(

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Logik-Regeln

Assoziativität:

)()()()(

CBACBACBACBA

∪∪=∪∪∩∩=∩∩

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Logik-Regeln

Kommutativität:

ABBAABBA

∪=∪∩=∩

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Logik-Regeln

Distributivität:

)()()()()()(

CABACBACABACBA

∩∪∩=∪∩∩∪∩=∪∩

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Inhalt

• Einführung• Hintergrund• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen

• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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Fuzzy Regeln

• IF ... THEN ... Regeln dienen als Basis für Entscheidungen und Handlungen.

• Die Regeln werden nicht diskreten Werten, sondern Fuzzy-Feldern zugeordnet.

• Die Felder sind durch die Membership-functions definiert.

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Fuzzy Regeln

Handlungskette, definiert durch Fuzzy-Felder

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Fuzzy Control

Funktionen eines Fuzzy-Controllers:

1. Fuzzyfizierung mit Membership-

functions

2. Auswertung der Fuzzy-Regeln

3. Defuzzifizierung

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Fuzzy Control

Anwendungsbeispiel: Invertiertes Pendel• Eingangsgrößen:

Winkel zwischen Platform und PendelWinkelgeschwindigkeit

• Ausgangsgröße:Verfahrgeschwindigkeit der Platform

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Fuzzy Control

1. Schritt Fuzzyfizierung

Winkel

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Fuzzy Control


Winkelgeschwindigkeit

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Fuzzy Control


Stellgröße - Geschwindigkeit

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Fuzzy Control


Für Stellgrößen werden häufig Singletons als membership-functions verwendet.

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Fuzzy Control

2. Schritt: Fuzzy-Regeln

Linguistische Darstellung:

• If angle is zero and angular velocity is zero then speed is also zero.

• If angle is zero and angular velocity is low then the speed shall be low.

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Fuzzy Control

2. Schritt: Fuzzy-Regeln

Komplette tabellarische Darstellung:Angle_input

Speed_output negativehigh

negativelow

zero positivelow

positivehigh

negativehigh

negativehigh

negativelow

negativelow

zero

zero negativehigh

negativelow

zero positivelow

positivehigh

positivelow

zero low

Velocity_input

positivehigh

higi

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Fuzzy Control

2. Schritt: Fuzzy-RegelnAnwendung der Regeln:Eingangswert Winkel ergibt0.75 für zero und 0.25 für pos. low

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Fuzzy Control

2. Schritt: Fuzzy-RegelnAnwendung der Regeln:Eingangswert Winkelgeschwindigkeit ergibt0.4 für zero und 0.65 für neg. low

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Fuzzy Control2. Schritt: Fuzzy-RegelnAnwendung der Regel:If angle is zero and angular velocity is zero then speed is also zero.IF 0.75 and 0.4 then 0.4

10/16/2003 44

Fuzzy Control2. Schritt: Fuzzy-RegelnAnwendung der Regel:If angle is zero and angular velocity is neg.low then speed is neg.low.IF 0.75 and 0.6 then 0.6

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Fuzzy Control2. Schritt: Fuzzy-RegelnAnwendung der Regel:If angle is pos.low and angular velocity is zero then speed is pos.lowIF 0.25 and 0.4 then 0.25

10/16/2003 46

Fuzzy Control2. Schritt: Fuzzy-RegelnAnwendung der Regel:If angle is pos.low and angular velocity is neg.low then speed is zero.IF 0.25 and 0.6 then 0.25

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10/16/2003 47

Fuzzy Control2. Schritt: Fuzzy-RegelnAnwendung der Regel:Überlappen der Felder aus der Anwendung von 4 Regeln ergibt

10/16/2003 48

Fuzzy Control3. Schritt: Defuzzifizierung zur

Bestimmung der StellgrößeBestimmung über Flächenschwerpunkt (Center of gravity)

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10/16/2003 49

Fuzzy Control• Ansätze zum Entwurf von Fuzzy-

Reglern:

1.Entwurf auf der Basis von Erfahrungen und Wissens des Bedieners

2.Entwurf über eine Analyse der Vorgehensweise des erfahrenen Bedieners bei manueller Betriebsweise

3.Entwurf mittels halbautomatischer Simulationsverfahren aus den Prozessdaten(Neuronale Netze)

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Fuzzy Control"Stabilitäts"-Eigenschaften von

Fuzzy-Reglern: • Rationalität: Technisch und

physikalisch sinnvolles Regelwerk.• Konsistenz: Zwei oder mehrere

Regeln dürfen nicht miteinander in Konflikt stehen.

• Vollständigkeit: Für alle möglichen Kombinationen von Eingangsgrößen muss eine Regel existieren.

Eine Stabilitätsanalyse wie bei linearen Reglern ist kaum möglich.

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Fuzzy Control

Regelbasis in einem vollständigen System

Anzahl derEingangsgrößen mitjeweils 5Zugehörigkeitsfunktionen

Gesamtzahl derZugehörigkeitsfunktionender Eingangsgrößen

Anzahl Regeln ineinem vollständigenSystem

1 5 5

2 10 25

3 15 125

4 20 625

Ein vollständiges System ist in der Praxis oft nicht erforderlich!

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Fuzzy ControlRegeln für den praktischen Entwurf

von Fuzzy-Reglern:• Wenig Eingangsgrößen verwenden ! Zu

Beginn höchstens 2 Eingangsgrößen benutzen.• Wenige Zugehörigkeitsfunktionen einsetzen

! Fünf Funktionen sind fast immer ausreichend.• Um Vollständigkeit zu erreichen, muss der

gesamte physikalische Wertebereich der Eingangsgrößen von Zugehörigkeitsfunktionen und Regeln erfasst werden.

• Bei Inbetriebnahme und Test nicht mehrere Regeln gleichzeitig ändern ! Sonst wird der Regler völlig undurchschaubar.

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10/16/2003 53

Fuzzy ControlVorteile gegenüber konventionellen

Reglern:• Anschaulicher Entwurf• Integration von Erfahrungswissen• Mehrgrößenregelung einfach

realisierbar

10/16/2003 54

Fuzzy ControlNachteile gegenüber konventionellen

Reglern:• Sehr zeitraubende Optimierung• Keine brauchbare Stabilitätstheorie

vorhanden• Kein einfaches Entwurfsverfahren

vorhanden

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Fuzzy ControlPraktischer Reglerentwurf:

• Eingrößenregler in linearen Systemen:

PID-Regler

• Mehrgrößensysteme mit ausgeprägten

Nichtlinearitäten: Fuzzy-Ansatz oder

Fuzzy-PID-Regler

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Inhalt

• Einführung• Hintergrund• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control

• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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Fuzzy AnwendungsbeispielVerkehrskontrolle an einer Kreuzung

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Fuzzy Anwendungsbeispiel

Verkehrskontrolle an einer Kreuzung8 Sensoren, zusammengefasst zu 2

Eingangsgrößen1 Ausgangsgröße: Wahrscheinlichkeit des

Umschaltens

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Fuzzy AnwendungsbeispielVerkehrskontrolle an einer KreuzungTest per Simulation

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Inhalt

• Einführung• Hintergrund• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel

• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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Fuzzy - Regelungssysteme

Voraussetzung:

• Mindestens an einer Stelle ein Fuzzy-System

Einsatz häufig als Hybrid-System

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Sollwertgenerierung über eineFuzzy-Komponente

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Beispiel: Sollwertgenerierung über Fuzzy-VorfilterErhöhung von Dynamik, Robustheit

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Additive Stellgrößezur Verbesserung der Regelkreisdynamik

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Beispiel: Fuzzy-Vorsteuerung

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Fuzzy-gesteuerte Adaption:

• Auslegung des PID-Reglers für mehrere Arbeitspunkte

• Über Fuzzy Analyse des Istzustandes und Interpolation zwischen den Arbeitspunkten

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Beispiel: Anpassung KR und TN

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Fuzzy-adapted PID-Controller, Bongards (1996)

Controlled variable X Manipulated variable Y

Desired value W

+-

PID Controller

Controlled system

Fuzzy Controller

Kp Tv Tn

Disturbance variable Z

Damping

Overshoot

Dynamic

Static performance

Start up and Stop operation

Continuous operation

Step of disturbance variables

Step of the desired value

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Application: Wastewater treatment plants

0

1

2

3

0 5 10 15 20

Time in minutes

Dis

solv

ed o

xyg

en in

mg

/l

Desiredvalue

PI-controller

Fuzzy-adaptedcontroller

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KA Lehmbach bei Overath, 1999

Online-Messcontainer

Verdichter-Keller

FU-Verdichter 3

FU-Verdichter 2

PU-Verdichter 1

PDV-System

IDS

Zentral-SPS

PS 316

Leitwarte

Nitrifikation 2

Nitrifikation 1

ZulaufAblauf

O2-Messung

PC

Meisterbüro

Fuzzy-SPS

PS4-341

NO3-Messung

NH4-Messung

Prozesswasser-behälter

Pumpe

ausNED

inZulauf

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KA Lehmbach bei Overath, 1999Eingangsgrößen

1.0

0.5

0.00.0 25.0 50.0

Temperatur

°C

1.0

0.5

0.012.00.0 24.0 36.0 50.0

NO3

mg/l

1.0

0.5

0.05.00.0 10.0 15.0 20.0

NH4

mg/l

1.0

0.5

0.00.0 2.5 5.0

O2

mg/l

niedrigmittelhochüber 11 °C

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KA Lehmbach bei Overath, 1999

Fuzzy-Regeln

NH4-N NO3-N O2 Temperatur GewichtungVerdichter-

Drehzahlniedrig 0.80 niedrigmittel 0.90 mittelhoch 1.00 hoch

niedrig 0.30 hochmittel 0.40 mittelhoch 0.60 niedrig

niedrig 0.20 hochmittel 0.20 mittelhoch 0.20 niedrig

über 11° C 1.00 hoch

WENN DANN

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10/16/2003 73


KA Lehmbach bei Overath, 1999Ausgangsgrößen

1.0

0.5

0.00 50

Drehzahl

%100

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Anwendung: Regelung der Betondosierungin Betonfertigteilwerken, Unitechnik 1998

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10/16/2003 75


Anwendung: Betonierung einer Platte

10/16/2003 76


Anwendung: Regelung der BetondosierungAdaption von Kp

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10/16/2003 77


Anwendung: Regelung der BetondosierungAdaption von Kp

10/16/2003 78

Inhalt

• Einführung• Hintergrund• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme

• Adaptive Fuzzy Systeme• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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10/16/2003 79

Adaptive Fuzzy SystemeLeistungsfähigkeit des Fuzzy-Systemsist abhängig von der Anzahl der Regeln.

• Limitierung durch begrenzte Entwurfskapazität.

• Lösung: Automatische Entwicklung von Regeln aus Betriebsdaten

10/16/2003 80

Adaptive Fuzzy SystemeSelbständiges

Entwickeln der Regeln auf Basis optimaler Betriebs-punkte

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10/16/2003 81

Adaptive Fuzzy SystemeAnsatz - Vorhersage von

Betriebszuständen auf Kläranlagen

Meßwerte:Ammonium

Nitrat

Nachklärung

Neuronales Netz

Stellgrößenfür die

Belebung

Vorhersage

Ablaufwerte

Fuzzy-Regler

Belebung

Vorausschauende

Grenzwertüberwachung

10/16/2003 82

Adaptive Fuzzy Systeme

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

0 2 4 6 8 10 12

mg/

l

NH4 NH4 Vorhersage

Vergleich der mit neuronalem Netz prognostizierten Ablaufwerte (NH4-N) mit realen Meßwerten – 1 Stunde später. (Kläranlage Krummenohl, 1.1. – 12.1.99)

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Adaptive Fuzzy SystemeMonatsdaten - Vergleich N-Gesam t

0

5

10

15

20

25

30

1.2 5.2 9.2 13.2 17.2 21.2 25.2

Datum

Kon

zent

ratio

n [m

g/l]

OhneRegelung1997

OhneRegelung1998

Mit Regelung1999

Bemessung

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Inhalt

• Einführung• Hintergrund• Fuzzy-Sets• Fuzzy Set - Operationen• Fuzzy Control• Fuzzy Anwendungsbeispiel• Fuzzy-Regelungssysteme• Adaptive Fuzzy Systeme

• Perspektiven für Fuzzy-Systeme

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10/16/2003 85

Perspektiven für Fuzzy-Systeme

In Kombination mit Neuronalen Netzengute Einsatzmöglichkeiten• Neuro-Fuzzy-Systeme zur Handhabung

komplexer Anlagen und Prozesse• Neuro-Fuzzy-Data-Mining zur

Datenanalyse Reine Fuzzy-Regler sind meist zu

aufwendig im Entwurf

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