Übung : Montags 13:15 bis 14 Uhr, Butenandt-HSVorlesung: Montags 14:15 bis 15:45, Liebig HS Tutorials: Montags 16:00 bis 17:30, B00.019, C3003, D0001

http://www.physik.lmu.de/lehre/vorlesungen/wise_07_08/pph/Web-Seite zur Vorlesung :

für Pharmazeuten und Biologen (PPh)Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik

Einführung in die Physik

Impuls

Drehimpuls und Drehmoment

Starrer Körper

- Schwerpunkt und Trägheitsmoment- Hebelgesetz, Drehmoment,

Vorlesung Physik für Pharmazeuten : PPh - 04

Definition des Impulses als „Bewegungszustand“ (Newton)

Exakte Formulierung des 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)Ursache für eine Änderung des Bewegungszustands ist eine Kraft. Sie ist definiert als die Ableitung des Impulses nach der Zeit

( ) amdtdmm

dtd

dtd

⋅=⋅=⋅== vvpF

pFdtd

=

vp ⋅= m

Kraftstoß=ImpulsänderungpddtF rr=⋅

Impuls

aF ⋅= mfür m=const.

Beweis :

[Tafel 1a]

v

v'

mit F = m a und F(z) = ?

Aufprall Tennisball an einer Wand

[Tafel 1b]

bisher: Massepunkt im äusseren Kraftfeld: gleichförmig beschleunigte Bewegung, Kreisbahn, Kraft, Energie.

Jetzt: Stoß

Impuls und KraftstoßExperiment

[Tafel 2]

In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) bleibt der Gesamtimpuls konstant

constm ii =⋅∑ v

Impulserhaltungssatz

m1

m2

m2

m1

v1v2

Aus dem Wechselwirkungssatz (Actio=Reactio) folgt: Die Kräfte auf Wagen 1 und Wagen 2 sind zu jedem Zeitpunkt gleich groß aber entgegengerichtet.

02211 =⋅+⋅ vv mm

Keine äußeren Kräfte, d.h. der Gesamtimpuls ist konstant

Anwendungsbsp. Impulserhaltungssatz

"Inverses" SkateboardExperiment

v1v2

22112211 vvvv ′+′=+ mmmmvorher nachher

Impulserhaltung

Weiters Bsp: Der zentrale Stoß (1D)-Impulsbilanz

[Tafel 3a]

Nach dem Stoß schließen die Bahnen einen Winkel von 90°ein.

Kollision von zwei Billardkugeln (im Zeitlupenverfahren gefilmt)

aus Dransfeld et al.

Beispiel: Elastische Proton-Proton Streuung (3D)

[Tafel 3b]

90°

v1 v2

Impulserhaltungvvv ′+=+ )( 212211 mmmm

vorher nachher

v1’ =v2’=v’

Energie nach dem Stoß :2

11

21

1221

2)(2vv m

mmmmmEnach +

=′+=

Energie vor dem StoßBetrachte Spezialfall v2=0

21

1

2vmEvor =

Der zentrale, maximal inelastische Stoß

[Tafel 4, Experiment]

auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen

CABBCA K +⎯→⎯+

CABBCA pppp rrrr+=+

chemkinkin

kinkin

ECEABEBCEAE

∆++=+

)()()()(

Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.

Chemische Reaktionen :

Energiebilanz für endotherme und exotherme Reaktionen

Drehimpuls

cr

br

av

bacrrr

×=

„Rechte-Hand-Regel“

Kreuzprodukt

v r

vv

v

ω

m

„Korkenzieherregel“

vv

v r

v

ω

rrrr

×= ωv

„Rechte-Hand-Regel“

Beispiel Bahngeschwindigkeit

Definition Drehimpuls (L)

v r

vv

v

ω

m

: Winkelgeschwindigkeit: Bahnvektor: Masse

vmrL ×=

Der Drehimpuls hat die Einheit kg·m2/s

v

ω

m v r

Definition Drehimpuls

rvvv ×= ωv

v r

vv

v

ω

vrrvmrL ×=

Drehimpuls als Vektor

L

[Tafel 5]

Erhaltung des Drehimpulses

Bei Abwesenheit eines äußeren Drehmoments (M)bleibt der Drehimpuls konstant.

constLM =⇒=rr

0Drehimpuls-

Erhaltungssatz

[Experiment: Drehstuhl]

Der Drehimpuls ist auch bei nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten.

Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt

Drehmoment= Hebelarm *Kraft

][NmFlM ×=

F

l : Länge des Hebels

Drehpunkt

Kraft senkrecht auf Hebel

Kraft wirkt unter beliebigem Winkel

F

l

Dα

F ⋅ sin(α )α )sin(. α⋅⋅=⋅= FlFlM senkr

Definition Drehmoment M

Mechanisches Gleichgewicht

F1

l1

DF2

l2

Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller äußerer Kräfte und die Summe aller Drehmomente Null ist.

(Hebelgesetz)

F1 ⋅ l1 = F2 ⋅ l2

„Kraft mal Kraftarm=Last mal Lastarm“

Anwendungen des Hebelgesetzes: Brechstange, Schere, Schubkarre, Getriebe, Gliedmaßen, Baukran ...

Experiment: Balkenwaage

FrMvvv

×=

)sin(α⋅⋅= FrMvvv

Rechte-Hand-Regel

Das Drehmoment (M) alsVektorprodukt

Eigenschaften :

rM vv⊥

FMvv

⊥

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ!rFFr vvvv ×−=×

Es trägt nur die Projektion auf die Senkrechte bei

Grundgleichung der rotierenden Bewegung

(analog zu dp/dt=Fa)

FrMdtLd rrrr

×==

vrrvmrL ×=

Erhaltungsgrößen für Punktmassen-Systeme

„Abgeschlossenes System“ : * Keine äußeren Kräfte * nur WW-Kräfte* Inertialsystem

In einem abgeschlossenen System gilt :

Der Gesamtimpuls ist erhalten.

Die Gesamtenergie ist erhalten. (einschließlich der Wärme in nicht konservativen Systemen)

Der Gesamtdrehimpuls ist erhalten.

Schwerpunkt

extS F

dtrdM =2

2

eGesamtmassmM i∑=

tSchwerpunkm

rmr

i

iis ∑

∑ ⋅=

Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.

(Schwerpunktsatz)

Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext : Der Schwerpunkt bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm vereinigt wäreund die Summe aller äußeren Kräfte auf ihn wirkt.

Def.

rs

m1

m2

m3

-Kräfte, die am Schwerpunkt angreifen, wirken auf einen ausgedehnten Körper, wie Kräfte auf einen Massepunkt.

Schwerpunkt=„Gravitationszentrum“

Aussagen über den Schwerpunkt

gMlgml gesSPii ⋅=⋅∑

Ein Körper, der am Schwerpunkt aufgehängt wird, erfährt im Schwerefeld kein Drehmoment.

Die Summe aller Drehmomente =Drehmoment der ges. Masse im Schwerpunkt

[Experiment Schwerpunktsbrett]

Motivation Trägheitsmoment (I)

Achse

2i

ii rmI ⋅= ∑

Einzelne Massenpunkte

ωω ⋅=⋅=×= ImrmrL 2v„Drehimpuls“ = „Drehträgheit“ mal “Drehgeschwindigkeit“

Motivation : Das Trägheitsmoment ist die „träge Masse“ der Drehbewegung

Definition : Trägheitsmoment I

„Drehkraft“ = „Drehträgheit“ mal “Drehbeschleunigung“dtdIMdtdL ω⋅== /

einer kontinuierlicher Massenverteilung

I = mi ⋅ ri2

i∑ ⇒ r2∫ dm

Achse

dmr

Trägheitsmoment

Dynamik starrer Körper

Wurfparabel eines starren Körpers

• Schwerpunkt beschreibt Wurfparabel

• Rotation um den Schwerpunkt:

M aSchwerpunkt =Fa

ωrr

IL =

Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers lässt sich immer zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunkts und die Rotation des Körpers um den Schwerpunkt. Der freie starre Körper hat sechs Freiheitsgrade der Bewegung.

Jedes einzelne Masse-Elementbesitzt die kinetische Energie

222

22rmm ω=v

Gesamtenergie:mi

2ri

2

i∑ ω 2 =

12

miri2

i∑ ⋅ω 2 =

I2

ω2

Rotationsenergie eines starren Körpers

ERot =I2

ω2

Rotationsenergie

Translation Rotation

Ort Winkel

Geschwindigkeit Winkelgeschw.

Beschleunigung Winkelbeschl.

Masse Trägheitsmoment

Kraft Drehmoment

Impuls Drehimpuls

Kinetische Energie Rotationsenergie

v r

vv

v a

m

v F = m ⋅

v a =

dv p dt

vvv ⋅= mp2

2v⋅

m

ϕ

v ω

v α

I = mi∑ ri2

v M = I ⋅

v α =

dv L

dt v L = I ⋅

v ω

I2

⋅ω 2

Analogien zwischen Translations- und Rotationsbewegungen