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WS 13/14 Einführung in Verkehr und Logistik 1 / 50

Einführung in Verkehr und Logistik

(Bachelor)

Tourenplanung - Spaltengenerierung

Univ.-Prof. Dr. Knut Haase

Institut für Verkehrswirtschaft

Wintersemester 2013/2014, Dienstag 10:15-11:45 Uhr, Phil E


Übersicht

I Spaltengenerierung -Column Generation- kann zur Lösungumfangreicher praktischer Optimierungsprobleme verwendet werden

I Anwendungsbeispiel: Tourenplanungsproblem (Bachelorarbeit imWS/2011)

I Optimierung des Tourenplanes eines Kurierdienstleisters fürmedizinische Probentransporte

I Implementierung eines CG-Algorithmus in GAMS


Ein kleines lineares Optimierungsproblem1

Ein Frachtführer bedient per LKW die Relation Hamburg-Kiel. Für eine Fahrtvon Kiel nach Hamburg hat er noch Kapazität frei. So stehen noch 5Palettenstellplätze zur Verfügung, wobei die maximale Zuladung nicht mehr als9 Tonnen betragen darf. Über eine Frachtbörse erhält er zweiAuftragsangebote. Angebot 1 umfasst Paletten, die jeweils eine Tonne wiegenund 20 EUR an Erlösen erbringen. Auch bei Angebot 2 sind Paletten zutransportieren. Dabei wiegt eine Palette drei Tonnen und es werden 30 EURpro Palette bezahlt. Beschränkungen hinsichtlich minimaler oder maximalerAbnahmemengen liegen nicht vor. Der Frachtführer möchte wissen, wie vielePaletten er zur Maximierung seiner Erlöse vom ersten und vom zweitenAngebot übernehmen soll.

1Vgl. Vorlesung Quantitative Methoden, Sommersemester 2013.


(Entscheidungs-) Variablen

x1 Anzahl zu transportierender Paletten gemäß Angebot 1

x2 Anzahl zu transportierender Paletten gemäß Angebot 2

F Umsatzerlöse in EUR


Lineares Optimierungsproblem:

Zielfunktion

maxF = 20x1 + 30x2

Nebenbedingungen

x1 + x2 � 5 (Beschränkung der Anzahl an Paletten)

x1 + 3x2 � 9 (Gewichtsbeschränkung)

x1 � 0; x2 � 0 (Nichtnegativitätsbedingungen)


Überführung in ein Gleichungssystem

1x1 + 1x2 + 1y1 = 51x1 + 3x2 + 1y2 = 9

�20x1 � 30x2 + 1F = 0

y1 und y2 sind dabei die Schlupfvariablen


BV x1 x2 y1 y2 by1 1 1 1 0 5y2 1 [3] 0 1 9F -20 -30 0 0 0y1 [2/ 3] 0 1 -1/ 3 2x2 1/ 3 1 0 1/ 3 3F -10 0 0 10 90x1 1 0 3/ 2 -1/ 2 3x2 0 1 -1/ 2 1/ 2 2F 0 0 15 5 120

I 15-fache der ersten Gleichung wurde auf die Zielfunktion addiert

I 5-fache der zweiten Gleichung wurde auf die Zielfunktion addiert

) F = 0+ 15 � 5+ 9 � 5 = 75+ 45 = 120:


�ki Simplexmultiplikator der Zeile i nach der k-ten Iteration

(k = 0; 1 : : :)

F =IP

i=1�k

i bi

Simplexmultiplikatoren des Beispiels

b1 = 5 b2 = 9

k �k1 �k

2 F k

0 0 0 01 0 10 902 15 5 120

Die Simplexmultiplikatoren entsprechen den Dualvariablen!


set j Menge der Auftragsangebote /1, 2/ ;parameter e(j) Erloes des Auftrages j /1 20, 2 30/ ;parameter g(j) Ladegewicht des Auftrages j /1 1, 2 3/ ;scalar GG Gewichtskapazitaet /9/;scalar P Palettenstellplatzkapazität /5/ ;

variable F Zielfunktionswert;positive variable x(j) Variable x_j ;

equations zielfunktion, stellplaetze, gewicht;zielfunktion.. F =e= sum( j, e(j) * x(j) ) ;stellplaetze.. sum(j, x(j)) =l= P ;gewicht.. sum(j, g(j) * x(j)) =l= GG ;

model LKW LKWBeladung /all/ ;

solve LKW maximizing F using lp ;

display stellplaetze.m, gewicht.m;


Optimal solution found.Objective : 120.000000

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL---- EQU zielfunkt~ . . . 1.0000---- EQU stellplae~ -INF 5.0000 5.0000 15.0000---- EQU gewicht -INF 9.0000 9.0000 5.0000

LOWER LEVEL UPPER MARGINAL---- VAR F -INF 120.0000 +INF .

F Zielfunktionswert

---- VAR x Variable x_jLOWER LEVEL UPPER MARGINAL

1 . 3.0000 +INF .2 . 2.0000 +INF .

---- 28 EQUATION stellplaetze.M = 15.000EQUATION gewicht.M = 5.000


Reduzierte Kosten

cj Zielfunktionskoeffizient der Variablen xj im Ausgangstableau

�cj aktueller Wert in der Zielfunktionszeile des Simplextableaus unterder Variablen xj

cj reduzierte Kosten der Variablen xj

�cj = �cj +IX

i=1

aij�i

cj = cj �IX

i=1

aij�i

I Auf Index k für die jeweilige Iteration wurde verzichtet.I Für Basisvariablen gilt: cj = 0


Reduzierte Kosten einer zusätzlichen Alternative

Maximierungsproblem

I cj > 0) lohnende zusätzliche Alternative (daZielfunktionsverbesserung durch Basistausch)

I cj � 0) keine lohnende zusätzliche Alternative

Zusätzliches Angebot (x3):

c3 = 24 (Erlös in Euro); a13 = 1 (Stellplatz) ; a23 = 2 (Gewicht in t)

c3 = 24� 1 � 15� 2 � 5= �1

) keine lohnende Alternative bzw. unwirtschaftliches Angebot

Preisuntergrenze: 25 Euro


Ablaufschema der Spaltengenerierung (Min.-Problem)

Aufrundungsverfahren mit Spaltengenerierung nach jedem AufrundenGanzzahlige Lösung auf Basis generierter Alternativen oder durch

Alternative mit minimalen reduzierten Kosten

LP-Relaxation des ganzzahligen Problems

Alternative mitnegativenreduziertenKosten

Unterproblem(e)

)¼(Dualvariablen

0< ¤c¹

(Fiktive) Startlösung

Hauptproblem

nein

Spezialisiertes Verfahren

ja

Simplexverfahren


Anwendungsbeispiel - Problemstellung

I Praxispartner: Kurierdienstleister für medizinische ProbentransporteI Kunden: Arztpraxen und Krankenhäuser in HamburgI Leistung des Unternehmens: Transport von Laborproben von den

Kunden zu einem zentralen LaborI mehrere Kunden werden zu einer Tour zusammengefasstI Abholung beim Kunden innerhalb eines ZeitfenstersI separate Tourenplanung für jeden Wochentag

Zielstellung der ArbeitI Ermittlung eines Tourenplans, bei dem jeder Kunde innerhalb seines

Zeitfensters einmal besucht wirdI Minimierung der Gesamtkosten: Fahrzeugeinsatz, Fahrzeit


Modellierung

I Verwendung von Graphen zur Modellierung des ProblemsI Knoten: Kunden (Arztpraxen), zentrales LaborI Kanten: Fahrtverbindungen zwischen den Kunden bzw. zwischen

Kunden und Zentrallabor - Bewertung mit FahrtkostenI Fahrzeiten zwischen den Knoten !Fahrzeitenmatrix

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Bediengebiet

0 km 2 4 6 8 10 12 14


Anwendungsbeispiel - Berücksichtigung von Zeitfenstern

Kunde Montag Dienstag � � �

Praxis P1 07:00 - 07:30 07:00-09:0011:00 - 12:00 11:00-13:0015:00 - 15:30 15:00-17:00

Praxis P2 07:00 - 08:00 08:00-09:0011:00 - 11:45 12:00-13:0015:00 - 15:30 15:00-16:00

Praxis P3 07:00 - 08:00 07:00-09:00 � � �

10:30 - 11:00 11:00-13:0015:00 - 15:30 15:00-17:00

Praxis P4 07:00 - 07:30 07:00-08:0010:00 - 10:45 11:00-12:0015:00 - 16:00 -

...


I Erweiterung der Knotenmenge: jede Kombination ausZeitfenster/Kundenstandort entspricht einem Knoten im Netzwerk

I 1 Knoten korrespondiert zum Beginn einer Tour im ZentrallaborI 1 Knoten korrespondiert zum Ende einer Tour im Zentrallabor


Anwendungsbeispiel - Modellierung

I Zerlegung des Tourenplanungsproblems in Haupt- und UnterproblemI Hauptproblem: Auswahl von Touren !Zusammenstellung des

TourenplansI Unterproblem: Ermitteln einer Tour, welche die aktuelle Lösung des

Auswahlproblems am stärksten verbessern kannI schwierige Restriktionen (Einhaltung der Zeitfenster, Beginn und

Ende jeder Tour im Depot) werden in das Unterproblem verlagertI Jede Tour entspricht einer Spalte im Gleichungssystem des

Hauptproblems !„Spaltengenerierung“


Hauptproblem - Symbole

Mengen und Indices

N Menge Touren, Index: n

K Menge der Kunden (Knoten im Netzwerk), Index k

Parameter

ak;n 1, falls Kunde in der Tour enthalten ist (0, sonst)

cn Kosten der Tour n

Variablen

yn 1, falls Tour n im Tourenplan enthalten ist (0, sonst)

Z Gesamtkosten des Tourenplans (Zielfunktionswert)


Hauptproblem - Modell

minZ =X

n2N

cn � yn (1)

unter den NebenbedingungenX

n2N

ak;n � yn = 1 8k 2 K (2)

yn 2 f0; 1g 8n 2 N (3)

Anmerkungen

(1) minimiert die Summe der Tourkosten Z

(2) erzwingt, dass jeder Kunde genau einmal besucht wird

(3) definiert die Auswahlvariablen als Binärvariablen


LP-Relaxation

I Hauptproblem ist ganzzahliges OptimierungsproblemI Spaltengenerierung i.a. Lösungsverfahren für lineare ProblemeI daher Lösung der LP-Relaxation des Hauptproblems:

Ersetze (3) durchyn � 0 8n 2 N (4)

I Ergebnis des Spaltengenerierungsprozesses: nicht-ganzzahlige Lösung(z.B. yn = 0:657 für eine bestimmte Tour n)

I Ganzzahlige Lösung durch Kombination von Spaltengenerierung mitRundungsheuristik


Lösungsverfahren - Übersicht


LP-Relaxation - Lösung mit Spaltengenerierung

I iteratives LösungsverfahrenI dabei Betrachtung eines eingeschränkten Hauptproblems

(Restricted Master Problem, RMP)I Teilmenge aller praktisch möglichen TourenI z.B. Teilmenge N ,Index: nI pro Iteration Erweiterung um möglichst „günstige“ Tour aus dem

UnterproblemI iteratives Verfahren endet, wenn keine zusätzliche „günstige“ Tour im

Unterproblem ermittelt werden kann

I Startlösung des RMP: Pendeltouren in der Tourenmenge N mithohen Strafkosten in (1)

I für Startlösung gilt: jKj = jN j

I Startlösung ist ganzzahlig, das RMP (1),(2),(4) ist jedoch LP


Unterproblem - Symbole

Mengen und Indices

I Menge der Knoten, Index i ,j

K Menge der Kunden/Zeitfenster-Kombinationen (Untermenge vonI), Index k

o Depotknoten, der zum Start einer Tour korrespondiert(Untermenge von I)

d Depotknoten, der zm Ende einer Tour korrespondiert(Untermenge von I)



Parameter

cij Kosten einer Fahrt von Knoten i zu Knoten j

�i Wert der Dualvariable von Knoten i„Preis“ der Bedienung von Knoten i im aktuellenRMP-Tourenplan - vgl. (2)

gi Zeitverbrauch beim Knoten i (Abholung einer Probe bei Kunde i)

fij Fahrzeit von Knoten i zu Knoten j

wLi frühester Ankunftszeitpunkt des Kuriers bei Knoten i

wUi spätester Ankunftszeitpunkt des Kuriers bei Knoten i

tU maximale Länge einer Tour

M sehr große Zahl



Variablen

xij 1, wenn die Tour eine Fahrt von Knoten i zu Knoten j enthält(0,sonst)

wi Ankunftszeitpunkt des Kuriers beim Knoten i

F gesamte reduzierte Kosten der Tour


Unterproblem - Modell

minF =X

i2I

X

j2Ij 6=i

(cij � �j) � xij (5)

unter den NebenbedingungenX

i ji 6=j

xij � 1 8j 2 I (6)

X

j2Ij 6=i

xij �X

j2Ij 6=i

xji = 0 8i 2 K (7)

wi + (gi + fij) � xij �M � (1� xij) � wj 8(i ; j); j 6= i (8)

wd � wo � tU (9)

wLi � wi � wU

i 8i 2 I (10)

xij 2 f0; 1g 8i 2 I; j 2 I (11)


Unterproblem - Anmerkungen

(5) minimiert die gesamten reduzierten Kosten der einzufügenden Tour,

(6) beschränkt den in einen Knoten eingehenden Fluss auf maximal 1Einheit (entspr. 1 Fahrzeug),

(7) garantieren einen zulässigen Netzwerkfluss vom Depotstartknoten ozum Depotzielknoten d ,

(8) stellen die Einhaltung der Zeitfenster sicher und verhindertKurzzyklen,

(9) beschränkt die maximale Dauer einer Tour,

(10) stellen die Zeitfensterdefinitionen dar,

(11) definiert die Flussvariable als Binärvariable.


Unterproblem - Zeitfenster wi + (gi + fij ) � xij �M � (1� xij ) � wj

wo + (go + fo;1) � 1 �M � (1� 1) � w1

w1 + g1 + f1;2 � w2

w2 + g2 + f2;3 � w3

w3 + g3 + f3;d � wd

Anmerkungen

gi � 0; fij � 0 8i ; j 2 I

Für eine Lösung, welche die Restriktionen (8)erfüllt, muss also gelten:

wo � w1 � w2 � w3 � wd


Unterproblem - Kurzzyklen

AnmerkungenI für praktische Problemstellungen werden

durch (8) gleichzeitig Kurzzyklenverhindert

I Kurzzyklus hier: Tour zwischen denKunden ohne Depotanbindung, z.B.1-2-3-1

I wegen (8) gilt:

w1 � w2 � w3 � w1

Dies kann nur auftreten, wenn für alle Knoteni ; j in der Lösung

gi = 0; fij = 0

gilt und die Zeitfensterbeschränkung (10) dieszulässt.

Im Praxisproblem gilt: gk > 0 8k 2 K


1. Übersicht

2. Grundlagen der SpaltengenerierungBeispiel eines Linearen OptimierungsproblemsLösung mit dem primalen SimplexalgorithmusSimplexmultiplikatorenSimplexmultiplikatoren einer GAMS-LösungReduzierte KostenReduzierte Kosten einer zusätzlichen AlternativeAblaufschema der Spaltengenerierung (Min.-Problem)

3. Anwendungsbeispiel - Problemstellung

4. Modellierung

5. LösungsverfahrenLP-RelaxationGanzzahlige Lösung


LP-Schranken

In jeder Iteration des Verfahrens wird das Unterproblem gelöst und somiteine neue Tour generiert.I Abschätzung der Lösungsgüte in einer Iteration: Upper Bounds

(UB), Lower Bounds (LB)I UB und LB beziehen sich auf die Lösung der LP-Relaxation des

Hauptproblems (UBLP , LBLP)I Upper Bound: Zielfunktionswert der optimalen LP-Lösung wird

höchstens UB annehmenI Lower Bound: Zielfunktionswert der optimalen LP-Lösung wird

mindestens LB annehmenI Differenz von UB und LB gibt in jeder Iteration Aufschluss über die

Qualität der aktuellen Lösung („solution gap“)


LP-Schranken

UBLP = ZLPRMP =

X

n2N

cn � yn (12)

� = jKj �X

n

yn (13)

LBLP = ZLPRMP + F � � � (14)

I F � sind die minimalen reduzierten Kosten der generierten Tour ausdem Unterproblem

I � ist maximal mögliche Anzahl an Tourvariablen mit Wert = 1,!entspricht der Zahl der Variablen in der Startlösung

I ZLPRMP kann daher höchstens um F � � � reduziert werden

I im Optimum gilt: F � = 0, d.h.beide Schranken identisch, solution gap = 0

Tourenplanung01/18/12, 10:33:05

objective values and bounds Variables ------------------------------------------------------- --------------------------- Iteration ZF RMP (UBLP) LBLP (UB-LB)/LB ZF Sub art. fixed pos. posint-------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 2415897.00 0.00 - -5.2012E+5 23 0 23 23 2 1895780.00 0.00 - -4.1515E+5 18 0 19 19 3 1895780.00 0.00 - -5.2010E+5 18 0 19 19 4 1895780.00 0.00 - -4.1513E+5 18 0 19 19 5 1740700.50 0.00 - -5.2007E+5 18 0 21 15 6 1480663.50 0.00 - -4.1508E+5 15 0 19 13 8 1065582.50 0.00 - -3.1006E+5 11 0 16 10 10 1065582.50 0.00 - -3.1006E+5 11 0 16 10 12 1065582.50 0.00 - -3.1004E+5 11 0 16 10 14 755543.50 0.00 - -3.1002E+5 8 0 14 8 16 445529.50 0.00 - -3.0998E+5 5 0 12 6 18 343331.78 0.00 - -2.0503E+5 3 0 14 6 20 343331.78 0.00 - -3.1001E+5 3 0 14 6 22 343331.78 0.00 - -2.0607E+5 3 0 14 6 24 240545.33 0.00 - -2.0751E+5 2 0 16 4 26 240545.33 0.00 - -2.0497E+5 2 0 16 4 28 206380.67 0.00 - -1.9990E+5 2 0 15 3 30 139076.00 0.00 - -1.0000E+5 1 0 17 3 32 38904.92 15731.00 147.3137 % -1669.8333 0 0 17 3 34 38641.22 26630.11 45.1035 % -522.2222 0 0 17 3 36 38589.70 33360.65 15.6743 % -227.3500 0 0 16 3 38 38484.54 38277.54 0.5408 % -9.0000 0 0 17 3 40 38484.54 38438.54 0.1197 % -2.0000 0 0 17 3 42 38484.08 38461.08 0.0598 % -1.0000 0 0 17 3 43 38483.92 38483.92 0.0000 % 0.0000 0 0 17 3---------------------------------------- Start Rounding ------------------------------------------


1. Übersicht

2. Grundlagen der SpaltengenerierungBeispiel eines Linearen OptimierungsproblemsLösung mit dem primalen SimplexalgorithmusSimplexmultiplikatorenSimplexmultiplikatoren einer GAMS-LösungReduzierte KostenReduzierte Kosten einer zusätzlichen AlternativeAblaufschema der Spaltengenerierung (Min.-Problem)

3. Anwendungsbeispiel - Problemstellung

4. Modellierung

5. LösungsverfahrenLP-RelaxationGanzzahlige Lösung


Ermittlung einer ganzzahligen Lösung

I LP-Relaxation zufriedenstellend durch Spaltengenerierung gelöst(vgl. solution gap)

I anschließend Ermittlung einer ganzzahligen Lösung, dazu:I Fixierung von Tourvariablen des RMP auf den Wert 1

I je Rundungs-Iteration Fixierung der Tour mit dem höchstenVariablenwert yn

I vgl. Spalte „fixed“

I Fortsetzen des CG-Verfahrens mit dem so modifizierten,lp-relaxierten RMP

I Zurücksetzen der Schranken UB und LB, da modifiziertes Problem

Tourenplanung01/18/12, 10:33:05

objective values and bounds Variables ------------------------------------------------------- --------------------------- Iteration ZF RMP (UBLP) LBLP (UB-LB)/LB ZF Sub art. fixed pos. posint-------------------------------------------------------------------------------------------------- .. .. .. .. .. .. .. .. .. 42 38484.08 38461.08 0.0598 % -1.0000 0 0 17 3 43 38483.92 38483.92 0.0000 % 0.0000 0 0 17 3---------------------------------------- Start Rounding ------------------------------------------ 44 38483.92 0 - -1.0501E+5 0 1 17 3 45 38483.92 38483.92 0.0000 % 0.0000 0 1 17 3 46 38483.92 38380.42 0.0027 % -4.5000 0 2 17 3 47 38483.92 38483.92 0.0000 % 0.0000 0 2 17 3 48 38483.92 38483.92 0.0000 % 0.0000 0 3 17 3 49 90628.00 0 - -2.5758E+5 1 4 12 4 50 39111.40 15688.20 149.3046 % -1018.4000 0 4 15 4 51 38941.67 38941.67 0.0000 % 0.0000 0 4 15 4 52 246482.67 0 - -2.0503E+5 2 5 15 7 53 41455.67 0 - -1.0000E+5 0 5 14 6 54 41455.67 41455.67 0.0000 % 0.0000 0 5 14 6 55 41455.67 41455.67 0.0000 % 0.0000 0 6 14 6 56 145636.00 0 - -3.1002E+5 1 7 9 9 57 42295.67 42295.67 0.0000 % 0.0000 0 7 11 7 58 145636.00 0 - -1.0000E+5 1 8 9 9 59 45636.00 45636.00 0.0000 % 0.0000 0 8 9 9


Ermittlung einer ganzzahligen Lösung

I enthält die LP-Relaxation des RMP nur noch ganzzahlige Variablen,so ist eine zulässige Lösung des Tourenplanungsproblems erreicht

I ein solution gap von 0 weist darauf hin, dass das modifizierte LPoptimal gelöst wurde

I es kann keine Optimalität des ganzzahligen Hauptproblemsnachgewiesen werden

I Abschätzung der Lösungsgüte der ganzzahligen Lösung ist möglich

Nachfolgend ein Ausschnitt aus der Lösung des Tourenplanungsproblems


Tourenplan Ergebnis

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Tour aus der Lösung

0 km 2 4 6


Literaturhinweise I

Barnhart, C. und G. Laporte: Handbooks in Operations Research & ManagementScience-Transportation.Elsevier, 2006.

Grünert, T. und S. Irnich: Optimierung im Transport, Band 2: Wege und Touren.Shaker, 2005.

Hadley, G.: Linear programming, Band 4.Addison-Wesley Reading, Mass, 1962.

Lasdon, L.: Optimization Theory for Large Systems.Dover Publication, 2002.

Lübbecke, M.E. und J. Desrosiers: Selected topics in column generation.Operations Research, Seiten 1007–1023, 2005.

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