Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das...

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Kapitel III:Das Planetensystem

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Tycho Brahe (1546-1601)Tycho Brahe (1546-1601) Letzter großer Astronom ohne Fernrohr Außergewöhnlich sorgfältig und

systematischer Beobachter erster moderner Wissenschaftler

Brahesches Weltbild: Erde im Zentrum, Planeten umkreisen die Sonne

Detaillierte Vermessung der Marsbahn über 30 Jahre Er bestimmte die Parallaxe von Kometen Kometen

ziehen ihre Bahnen jenseits des Mondes Er beobachtete eine Supernova [“neuer Stern”] im

Sternbild Kassiopeia, konnte aber keine Parallaxe messen Supernova ist Teil der Himmelssphäre

Letzter großer Astronom ohne Fernrohr Außergewöhnlich sorgfältig und

systematischer Beobachter erster moderner Wissenschaftler

Brahesches Weltbild: Erde im Zentrum, Planeten umkreisen die Sonne

Detaillierte Vermessung der Marsbahn über 30 Jahre Er bestimmte die Parallaxe von Kometen Kometen

ziehen ihre Bahnen jenseits des Mondes Er beobachtete eine Supernova [“neuer Stern”] im

Sternbild Kassiopeia, konnte aber keine Parallaxe messen Supernova ist Teil der Himmelssphäre

Seine Beobachtungen erschütterte die Seine Beobachtungen erschütterte die Aristotelische Idee eines ewigen und Aristotelische Idee eines ewigen und unveränderlichen Himmels unveränderlichen Himmels

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Johannes Kepler (1571-1630)Johannes Kepler (1571-1630) Tycho Brahes Nachfolger in Prag Er fand heraus, dass weder

das Ptolemäische noch das Brahesche noch das helio-zentrische Modell die Beobachtungen mit hinreichender Genauigkeit reproduzieren kann.

Schluss: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, nicht auf Kreisen

Tycho Brahes Nachfolger in Prag Er fand heraus, dass weder

das Ptolemäische noch das Brahesche noch das helio-zentrische Modell die Beobachtungen mit hinreichender Genauigkeit reproduzieren kann.

Schluss: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, nicht auf Kreisen

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Keplers drei Gesetze der PlanetenbewegungKeplers drei Gesetze der Planetenbewegung

1. Keplersches Gesetz: Die Planeten umlaufen die Sonne auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

1. Keplersches Gesetz: Die Planeten umlaufen die Sonne auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

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Ellipsen - KegelschnitteEllipsen - Kegelschnitte

Kegelschnitte =0: Kreis 0 < < 1: Ellipse =1: Parabel >1: Hyperbel

Kegelschnitte =0: Kreis 0 < < 1: Ellipse =1: Parabel >1: Hyperbel

=SC/AC = eccentricity

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2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen

2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen

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3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen

3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen

32

31

22

21

a

a

P

P=

88

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3. Keplersches Gesetz3. Keplersches Gesetz

Beispiel: Abstand der Erde zur Sonne: RE = 1AU

Umlaufzeit: PE = 1a

Umlaufzeit des Mars: PM = 1.88a Die große Halbachse der Marsbahn um die

Sonne kann berechnet werden:

Beispiel: Abstand der Erde zur Sonne: RE = 1AU

Umlaufzeit: PE = 1a

Umlaufzeit des Mars: PM = 1.88a Die große Halbachse der Marsbahn um die


2

2

3

3

E

M

E

M

P

P

R

R = RRMM = 1.88 = 1.882/32/3

AU = 1.52 AU AU = 1.52 AU

Immer noch die wichtigste Methode in der Immer noch die wichtigste Methode in der Astronomie, um die Ausdehnung Astronomie, um die Ausdehnung astronomischer Systeme zu vermessenastronomischer Systeme zu vermessen

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Weiteres BeispielWeiteres Beispiel

1781: Herschel entdeckt Uranus Abstand Erde zur Sonne: RE = 1AU

Umlaufzeit der Erde: PE = 1a

Über Parallaxen: RU = 19.2 AU Die Umlaufzeit von Uranus um die


1781: Herschel entdeckt Uranus Abstand Erde zur Sonne: RE = 1AU

Umlaufzeit der Erde: PE = 1a

Über Parallaxen: RU = 19.2 AU Die Umlaufzeit von Uranus um die


2

2

3

3

E

M

E

M

P

P

R

R = PPUU = 19.2 = 19.23/23/2

yr = 84 yr yr = 84 yr

1010

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Galileo Galilei (1564-1642)Galileo Galilei (1564-1642) Er war nicht der Erfinder des

Fernrohrs ! Aber er war der erste, der es gen Himmel

richtete Er entwickelte Test für die Aristotelische

Physik und verwarf daraufhin letztere Berühmt für seinen Ketzerei-Prozess

1633 vom Vatikan rehabilitiert 1980 !

Er war nicht der Erfinder des Fernrohrs !

Aber er war der erste, der es gen Himmel richtete

Er entwickelte Test für die Aristotelische Physik und verwarf daraufhin letztere

Berühmt für seinen Ketzerei-Prozess 1633

vom Vatikan rehabilitiert 1980 !

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Beispiel: FallgesetzeBeispiel: Fallgesetze

Fällt ein Hammer schneller als eine Feder? Aristoteles: ja, Hammer besteht mehr aus

Erde, Feder mehr aus Luft Galileo: nein, beide fallen (im luftleeren

Raum) gleich schnell Apollo 15: beide fallen gleich schnell

Fällt ein Hammer schneller als eine Feder? Aristoteles: ja, Hammer besteht mehr aus

Erde, Feder mehr aus Luft Galileo: nein, beide fallen (im luftleeren

Raum) gleich schnell Apollo 15: beide fallen gleich schnell

1212

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Galileis astronomische EntdeckungenGalileis astronomische Entdeckungen

Berge auf dem Mond ähnlich denen auf der Erde keine perfekt Kugelgestalt

Sterne punktartig, Planeten: Sphären Entdeckung der Phasen der Venus

Ptolemäischen Weltmodell Entdeckung der Monde des Jupiter Miniatur-Sonnensystem

Entdeckung(?)/Interpretation der Sonnenflecken Himmel ist unveränderlich

Milchstraße = Zillionen von Sternen

Berge auf dem Mond ähnlich denen auf der Erde keine perfekt Kugelgestalt

Sterne punktartig, Planeten: Sphären Entdeckung der Phasen der Venus

Ptolemäischen Weltmodell Entdeckung der Monde des Jupiter Miniatur-Sonnensystem

Entdeckung(?)/Interpretation der Sonnenflecken Himmel ist unveränderlich

Milchstraße = Zillionen von Sternen

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Die Phasen der VenusDie Phasen der Venus

heliozentrischheliozentrisch

geozentrischgeozentrisch

1414

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Der Prozess des Galileo GalileiDer Prozess des Galileo Galilei Schwieriger Charakter, sehr arrogantes

Auftreten Er hielt Vorlesungen für die Öffentlichkeit. Herausragender Redner und Lehrer Er publizierte auf italienisch. 1632 berühmtes Buch “Dialog über die beiden

hauptsächlichen Weltsysteme“. Das Ptolemäische Weltbild wurde von Simplicio verteidigt, einem offensichtlichen Dummkopf

Weiteres, noch extremeres Beispiel: Giordano Bruno

Schwieriger Charakter, sehr arrogantes Auftreten

Er hielt Vorlesungen für die Öffentlichkeit. Herausragender Redner und Lehrer Er publizierte auf italienisch. 1632 berühmtes Buch “Dialog über die beiden

hauptsächlichen Weltsysteme“. Das Ptolemäische Weltbild wurde von Simplicio verteidigt, einem offensichtlichen Dummkopf

Weiteres, noch extremeres Beispiel: Giordano Bruno

1515

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Die drei Newtonschen BewegungsgesetzeDie drei Newtonschen Bewegungsgesetze

1. Newtonsches Gesetz: Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, sofern er nicht einer äußeren Kraft unterworfen wird.

1. Newtonsches Gesetz: Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, sofern er nicht einer äußeren Kraft unterworfen wird.

1616

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Die drei Newtonschen BewegungsgesetzeDie drei Newtonschen Bewegungsgesetze2. Newtonsches Gesetz

Die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers ist proportional der Größe der äußeren Kraft, die auf ihn wirkt.

2. Newtonsches Gesetz Die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers ist proportional der Größe der äußeren Kraft, die auf ihn wirkt.

F = m F = m a a

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Die drei Newtonschen BewegungsgesetzeDie drei Newtonschen Bewegungsgesetze3. Newtonsches Gesetz

Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind ihrer Größe nach gleich und entgegengesetzt gerichtet.

3. Newtonsches Gesetz Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind ihrer Größe nach gleich und entgegengesetzt gerichtet.

1818

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Keplers Gesetze und Newtons GesetzeKeplers Gesetze und Newtons Gesetze Worin besteht der Unterschied ?

Kepler: empirische Gesetze, beschreiben Zusammenhänge in der Natur

Newton: Axiome, auf denen das physikalische Gesamtmodell beruht

Worin besteht der Unterschied ? Kepler: empirische Gesetze, beschreiben

Zusammenhänge in der Natur Newton: Axiome, auf denen das

physikalische Gesamtmodell beruht

1919

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Gravitationskonstante G = 6.6725910-8 dyne cm2 g-2

schwere und träge Masse Trägheit: Resistenz der Masse mT ihren Bewegungszustand zu ändern ist

proportional zu mT

Schwerkraft: die Masse mS übt eine Anziehung aus, die proportional zu mS ist

beide Massen sind proportional zueinander Im Experiment: Unterschied kleiner als 10-12 Zur Bequemlichkeit: mT=mS

Gravitationskonstante G = 6.6725910-8 dyne cm2 g-2

schwere und träge Masse Trägheit: Resistenz der Masse mT ihren Bewegungszustand zu ändern ist

proportional zu mT

Schwerkraft: die Masse mS übt eine Anziehung aus, die proportional zu mS ist

beide Massen sind proportional zueinander Im Experiment: Unterschied kleiner als 10-12 Zur Bequemlichkeit: mT=mS

Das Newtonsche GravitationsgesetzDas Newtonsche Gravitationsgesetz

2r

MmGF −= 2r

MmGF −=

2020

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Das Newtonsche GravitationsgesetzDas Newtonsche Gravitationsgesetz Warum ein r-2

Gesetz? Kepler III:

k: eine Konstante

Aus Geometrie Kreisbahn

Warum ein r-2 Gesetz?

Kepler III:

k: eine Konstante

Aus Geometrie Kreisbahn

Zentripetalkraft Fc

Da Fc=FG gilt, muss, um Kepler III zu erhalten,

Zentripetalkraft Fc

Da Fc=FG gilt, muss, um Kepler III zu erhalten,

32 rkT =

2

222 4

v

rT

π=

2

22

c

4

kr

m

r

vmF

π==

2G

1

rF ∝

2121

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Das Newtonsche GravitationsgesetzDas Newtonsche Gravitationsgesetz Kraft einer Punktmasse i der Masse mi bei

Position ri auf Testteilchen m bei r

Kraft eines Systems von N Teilchen

Kontinuumslimit

Kraft einer Punktmasse i der Masse mi bei Position ri auf Testteilchen m bei r

Kraft eines Systems von N Teilchen

Kontinuumslimit

( )rrrr

mmGrF i

i

ii

rrrr

rr−

−= 3)(

( )∑=

−−

=N

ii

i

i rrrr

mmGrF

13)(

rrrr

rr

Vmmi Δ→Δ→ ρ

( )rrrr

rrdGmrF

V

rrrr

rrr

−′−′

′′= ∫ 3

3 )()(

ρ

2222

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Das Newtonsche GravitationsgesetzDas Newtonsche Gravitationsgesetz

Mathematisch identisch zum Coulomb-Gesetz, allerdings gilt für die Gravitation immer ρ ≥ 0

Gravitation sättigt nicht (Elektrostatik: Ladungsneutralität für hinreichend große Volumina) zum Teil schwierig korrigierbare Singularitäten

Deutliche Vereinfachungen für sphärische Symmetrie

Mathematisch identisch zum Coulomb-Gesetz, allerdings gilt für die Gravitation immer ρ ≥ 0

Gravitation sättigt nicht (Elektrostatik: Ladungsneutralität für hinreichend große Volumina) zum Teil schwierig korrigierbare Singularitäten

Deutliche Vereinfachungen für sphärische Symmetrie

( )rrrr

rrdGmrF

V

rrrr

rrr

−′−′

′′= ∫ 3

3 )()(

ρ

2323

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TheoremTheorem

Eine homogene Kugelschale vom Radius r, von der Dicke Δr und der Masse ΔM übt keinerlei Kraft auf einen beliebigen Punkt im Innern der Schale aus. Außerhalb der Schale ist die Kraft äquivalent zu der einer Punktmasse ΔM am Schwerpunkt der Schale.

Beweis: nicht offensichtlich Methode 1: Berechne Integral aufreibend und langweilig Carrol and Ostlie

Methode 2: etwas Vektoranalysis

Eine homogene Kugelschale vom Radius r, von der Dicke Δr und der Masse ΔM übt keinerlei Kraft auf einen beliebigen Punkt im Innern der Schale aus. Außerhalb der Schale ist die Kraft äquivalent zu der einer Punktmasse ΔM am Schwerpunkt der Schale.

Beweis: nicht offensichtlich Methode 1: Berechne Integral aufreibend und langweilig Carrol and Ostlie

Methode 2: etwas Vektoranalysis

( )rrrr

rrdG

V

rrrr

r−′

−′

′′∫ 3

3 )(ρ

2424

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BeweisBeweis

( )

rr

MGGM

rrrr

rrdGG

GmFm

V

rr

rrrr

rr

rr

: teilchenfür Einzel

)( :nsfeldGravitatio

: Teilchen aufKraft

3

33

−=

−′−′

′′=

=

∫ρ

dAr

GMdAnGnM θcos: Richtungin vonnsfeldGravitatio 2−=⋅

rrr

Ω−= dGM

×M

nr

Gr

rr

Ω= drdA 2cosθ

ΩdV

∂V

2525

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BeweisBeweis

×M

1nr

1Gr

1rr

Ωd

×M

1nr

1Gr

1rr

Ωd

2Gr

2nr

2nr

2Gr2r

r

2rr

Ω=Ω=

==Ω

dd

r

dA

r

dAd

2

22

22

1

11

Betrachte zwei gegenüberliegende Punkte auf ∂VBetrachte zwei gegenüberliegende Punkte auf ∂V

Ω−=Ω−Ω−=

⋅+⋅

GMd

GMdGMd

dAnGdAnG

2

222111

rrrr

0

222111

=Ω+Ω−=

⋅+⋅GMdGMd

dAnGdAnGrrrr

V V

∂V ∂V

2626

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BeweisBeweis

×M

1nr

1Gr

1rr

Ωd

×M

1nr

1Gr

1rr

Ωd

2Gr

2nr

2nr

2Gr2r

r

2rr

Ω=Ω=

==Ω

dd

r

dA

r

dAd

2

22

22

1

11

Integriere über Halbkugel jeweils gegenüberliegende Paare auf ∂V

Integriere über Halbkugel jeweils gegenüberliegende Paare auf ∂V

011 =⋅∫∫∂

nGdAV

rr

V V

∂V ∂V

2727

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BeweisBeweis

Für ein Vielteilchensystem von N Teilchen:

für Kontinuum:

Für ein Vielteilchensystem von N Teilchen:

für Kontinuum:

=⋅∫∫∂V

nGdArr -4πGM für M innerhalb von V

0 für M außerhalb von V

unabhängig von der genauen Lage von M innerhalb/außerhalb von Sunabhängig von der genauen Lage von M innerhalb/außerhalb von S

ρπ

ρπ

GG

rrdGGrdnGdAVVV

4

)(4 33

−=⋅∇⇒

−=⋅∇=⋅ ∫∫∫∫∂ r

rrrr

∑∫∫⊂∂

−=⋅Vi

i

V

GnGdA M4πrr

2828

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BeweisBeweis

Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke ΔR und Masse M=4πρR2ΔR:

Integriere über Kugeloberflächemit Radius r r<R


Integriere über Kugeloberflächemit Radius r r<R

R

r

00

04 2

=⇒=⇒

==⋅∫∫∂

FG

rGnGdAV

rr

rrrπ

ΔR

2929

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BeweisBeweis


Integriere über Kugeloberflächemit Radius r r>R


Integriere über Kugeloberflächemit Radius r r>R

R

r

rr

GMmF

r

GMG

GMrGnGdAV

rrr

rrr

32

2 44

−=⇒−=⇒

−==⋅∫∫∂

ππ

q.e.dq.e.d

ΔR

3030

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Zur Erinnerung: wesentliche AnnahmenZur Erinnerung: wesentliche Annahmen r-2-Kraftgesetz unabhänging von r Gilt z.B. nicht für Kernkräfte

Lineare Superposition der Massen Zentralkraft

sphärische Symmetrie

r-2-Kraftgesetz unabhänging von r Gilt z.B. nicht für Kernkräfte

Lineare Superposition der Massen Zentralkraft

sphärische Symmetrie 24 rGnGdA

V

πrrr

=⋅∫∫∂

Ω−=⋅ dGMdAnGrr

r

rGG

rrr=

3131

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Bereits gezeigt: r-2-Kraftgesetz Kepler III (für Kreisbahn)

Betrachte Kreisbahn, gleichförmige Bewegung In Δt überstrichene Fläche:

Drehimpulserhaltung: Kepler II aber gilt das auch für nicht-zirkulare Bahnen?

Kepler I ???

Bereits gezeigt: r-2-Kraftgesetz Kepler III (für Kreisbahn)

Betrachte Kreisbahn, gleichförmige Bewegung In Δt überstrichene Fläche:

Drehimpulserhaltung: Kepler II aber gilt das auch für nicht-zirkulare Bahnen?

Kepler I ???

Newton ⇨ KeplerI. MotivationNewton ⇨ KeplerI. Motivation

ΔA( ) rv

dt

dA

t

AtvrA 2

121 =≈

Δ

Δ⇒Δ=Δ

const.=rv

v

r

3232

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zeige, dass allgemein gilt P2 a3

dA/dt = const. Kegelschnitt:

zeige, dass allgemein gilt P2 a3

dA/dt = const. Kegelschnitt:

Newton ⇨ KeplerI. MotivationNewton ⇨ KeplerI. Motivation

( )

ϕ

ϕϕ

cos1

cos1

1)(

2

+=

+

−=

p

ar p

3333

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Zweikörperproblem Einkörperproblem⇨

Aufstellen der Bewegungsgleichung

Lösung der Bewegungsgleichung

Ableitung der Keplerschen Gesetze

Einkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem

Zweikörperproblem Einkörperproblem⇨

Aufstellen der Bewegungsgleichung

Lösung der Bewegungsgleichung

Ableitung der Keplerschen Gesetze

Einkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem

Newton ⇨ KeplerII. ÜberblickNewton ⇨ KeplerII. Überblick

3434

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Zweikörperproblem ⇨ EinkörperproblemZweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem

×Schwerpunkt r

r2r1

2121 rrrrrr

−=

Schwerpunkt:Schwerpunkt:

12

213

21111

12

121

22112211

1

0

rm

mm

r

mmGrmF

rm

mrrr

rmrmrmrm

r&&rr

rrrr

rrrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−==⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−=⇒

−=⇒=+

M: Gesamtmasse

3535

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tem

Zweikörperproblem ⇨ EinkörperproblemZweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem

×Schwerpunkt r

r2r1

2121 rrrrrr

−=

Beschleunigungen:Beschleunigungen:

μF

rmm

mm

r

mGmr

r

GMrrr

rr

MGr

rr

MGr

rrr&&r&&r&&r

r&&r

r&&r

=+

−=−=−=

−=

−=

21

213

21321

232

131

=μ-1: reduzierte Masse μ

( ) 212121

21 mmmmmm

mmM =+

+=μ

3636

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Zweikörperproblem ⇨ EinkörperproblemZweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem Beschleunigung:

ErgebnisDas gekoppelte Zweikörperproblem reduziert sich zu der Bewegung einer Testmasse μ im Zentralfeld der gemeinsamen Masse M im Schwerpunkt.

Beschleunigung:

ErgebnisDas gekoppelte Zweikörperproblem reduziert sich zu der Bewegung einer Testmasse μ im Zentralfeld der gemeinsamen Masse M im Schwerpunkt.

rr

MGr

r&&r3

μμ −=

21

21

111

mm

mmM

+=

+=

μ

3737

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

In mitbewegten Zylinderkoordinaten (r,,z)

In Zylinderkoordinaten hängen und von der Zeit ab !

Beschleunigung

In mitbewegten Zylinderkoordinaten (r,,z)

In Zylinderkoordinaten hängen und von der Zeit ab !

Beschleunigung

zr ezererdt

rdv

r&

r&r&

rr

++== ϕϕ

rer

rer

ϕer

ϕer

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ee

ee

r

r

r&&r

r&&r

=

−=

( ) zr ezerrerrdt

vda

r&&

r&&&&r&&&r

r+++−== ϕϕϕϕ )2(2

3838

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

( ) ( )

( ) ( )

( )2222

22222

3

022

1

zr

z

zr

MGzF

rrF

zr

r

zr

MGrrF

z

r

++−==

=+=

++−=−=

μμ

ϕϕμ

μϕμ

ϕ

&&

&&&&

&&&

3939

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung Gleichung (3)

Wähle Anfangsbedingungen so, dass Bewegung bleibt in der durch und zu t=0 aufgespannten Ebene

Gleichung (2) × r

Spezifischer Drehimpuls l ist erhalten

Gleichung (3) Wähle Anfangsbedingungen so, dass

Bewegung bleibt in der durch und zu t=0 aufgespannten Ebene

Gleichung (2) × r

Spezifischer Drehimpuls l ist erhalten

00,0 =⇒== zzz &&&

rer

ϕer

( ) ( )const

02 22

=×==⇒

===+

vrrvl

rvdt

dr

dt

drrr

rr

&&&&&

ϕ

ϕϕϕϕ

4040

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung Gleichung (1)

mit

Gleichung (1)

mit

3

2

2

3

2

22

r

l

r

GMr

r

lr

r

GMrr

+−=⇒

−=−=−

&&

&&&&& ϕ

Gravitations-kraft zieht anGravitations-kraft zieht an

Zentrifugal-kraft stößt abZentrifugal-kraft stößt ab

( ) ( )dt

dr

r

l

r

GMr

dt

drrr

dt

d⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⇒=

3

2

22

212

21 &&&&&

Ziel: Umschreiben als totales Differential in r

4141

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung

2

2

3

2

2eff 2r

l

r

GM

r

l

r

GMdr +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=Φ ∫

Gravitations-potentialGravitations-potential

Zentrifugal-potentialZentrifugal-potential

effektivesPotentialeffektivesPotential

( )

const.eff2

21

effeff2

21

==Φ+⇒

Φ−=Φ−=

Er

dt

d

dt

dr

dr

dr

dt

d

μμ &

& Energie ist erhalten Energie ist erhalten

4242

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Lösung der BewegungsgleichungLösung der Bewegungsgleichung Anmerkungen

r 0 Zentrifugalpotential wächst schneller als Gravitationspotential Objekte fallen nicht zum Zentrum

Minimum des effektiven Potentials Kreisbahn

Anmerkungen r 0 Zentrifugalpotential wächst schneller

als Gravitationspotential Objekte fallen nicht zum Zentrum

Minimum des effektiven Potentials Kreisbahn

0=r&

0=r&

4343

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem


4444

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem


.const22

1mit

.const22

max

min

max

min

222

2

2

2

2

∫

∫

+−+

=⇒=

+

−+

=⇒=

u

u

r

r

uulGM

lE

dur

u

rl

rGME

drrl

rl

dtd

μ

ϕ

μ

ϕϕ

4545

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem


Wähle Integrationskonstante so, dass r = rmin bei = 0

Wähle Integrationskonstante so, dass r = rmin bei = 0

1;2

;2

4

2arccos

1

22

22

−===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+−

−=

++∫

clGM

blE

a

acb

cxbccxbxa

dx

μ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ϕμϕ

cos2

11)(

122

2

2 MG

El

l

GM

r

4646

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze

Vergleiche

mit Gleichung für Kegelschnitt

Kepler I !!! mit

Vergleiche

mit Gleichung für Kegelschnitt

Kepler I !!! mit

ϕμ

ϕcos

211

)(

22

2

2

MGEl

GMl

r

++

=

ϕϕ

cos1)(

+=

pr

22

22

22 2

1;)1(MG

El

GM

lap

μ +==−=

4747

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze Überstrichene Fläche

Kepler II !!! Gesamtfläche:

Kepler III !!!

Überstrichene Fläche

Kepler II !!! Gesamtfläche:

Kepler III !!!

.const22

1

2

1)( 22

0

===⇒=′′=∫l

dtd

rdtdF

drdrrddFr ϕϕϕ

GMa

l221 =−

4848

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze Bahnenergie

im Perizentrum

alle Bahnen der großen Halbachse a haben dieselbe Energie, unabhängig von

Bahnenergie

im Perizentrum


r

GM

r

lrE

μμμ −+= 2

22

21

21 &

( ) ( )

( )a

GM

l

MG

l

MG

l

MGlE

rGM

lr

μεμ

εμεμ

ε

2

11

2

1

112

1

0;1

1

22

22

2

222

4

222

2

−=−−=

+−+=⇒

=+

= &

4949

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze Bahnenergie

im Perizentrum


Bahnenergie

im Perizentrum


r

GM

r

lrE

μμμ −+= 2

22

21

21 &

( ) ( )

( )a

GM

l

MG

l

MG

l

MGlE

rGM

lr

μεμ

εμεμ

ε

2

11

2

1

112

1

0;1

1

22

22

2

222

4

222

2

−=−−=

+−+=⇒

=+

= &

5050

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Ableitung der Keplerschen GesetzeAbleitung der Keplerschen Gesetze Bahngeschwindigkeit:

Über Energieerhaltung

Bahnform E<0, <1: Ellipse E=0, =1: Parabel E>0, >1: Hyperbel

Bahngeschwindigkeit: Über Energieerhaltung

Bahnform E<0, <1: Ellipse E=0, =1: Parabel E>0, >1: Hyperbel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒

−=−=

arGMv

r

GMv

a

GME

122

1

2

2 μμ

μ

Coulomb, Gravitationanziehend

Coulomb, Gravitationanziehend

nur Coulomb, abstoßend

nur Coulomb, abstoßend

5151

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Einkörperproblem ⇨ ZweikörperproblemEinkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem

zwei Ellipsen mit gleicher Exzentrizität Beispiel Erde-Mond-System:

a=384400 km a1=4700km a2=379700km

zwei Ellipsen mit gleicher Exzentrizität Beispiel Erde-Mond-System:

a=384400 km a1=4700km a2=379700km

( )

amm

maa

mm

mar

mm

mr

ea

r r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

+

−=

21

12

21

21

21

21

2

;

cos1

1

rr

rrϕε

ε

5252

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

N-KörperproblemN-Körperproblem

allgemein für N>2 nicht streng mathematisch lösbar

Interessante Spezialfälle Librationspunkte (3 Körper) Störungsrechnung Virialtheorem

allgemein für N>2 nicht streng mathematisch lösbar

Interessante Spezialfälle Librationspunkte (3 Körper) Störungsrechnung Virialtheorem

5353

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Störungsrechnung, ein BeispielStörungsrechnung, ein Beispiel Zweikörperproblem

Führe nun eine Störterm der Form ein

Zweikörperproblem

Führe nun eine Störterm der Form ein

BAur

u

l

GMu

d

ud

rl

GM

rd

dr

rd

d

r

+=⇒=

=+⇒−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ϕ

ϕϕϕ

cos1

mit

;111

22

2

2

22322

3r

C+

αϕ

ααϕ

ϕ

cos1

)1(

cos Ansatz

2

2

2

22

2

2

2

2

+

−=⇒

−±=⇒+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

ar

l

ClBAu

l

GMu

l

Cl

d

ud

Rosettenbahnen, präzessierende Ellipsen Rosettenbahnen, präzessierende Ellipsen

5454

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Störungsrechnung, ein BeispielStörungsrechnung, ein Beispiel

5555

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Das VirialtheoremDas Virialtheorem

Für das Zweikörperproblem war

für eine Kreisbahn ist somit

für elliptische Bahnen kinetische und potentielle Energie variieren Mittelwerte ?

Für das Zweikörperproblem war

für eine Kreisbahn ist somit

für elliptische Bahnen kinetische und potentielle Energie variieren Mittelwerte ?

a

GMEEE

2potkin −=+=

potkinpot 22

1EEEE −=⇒=

5656

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Das VirialtheoremDas Virialtheorem

Mittelwert der potentiellen Energie Mittelwert der potentiellen Energie

kinpot

2

2

0

2

0

2

pot2

2

0

1

0

pot

2

1

2

cos1

1mit

cos1

)1(1

)(

1

)(

1

Ea

GME

d

GMad

TE

r

l

r

GMd

Ttr

GMdt

TE

T

−=−=⇒

−=

+

+−

−=⇒=

−=−=

∫

∫

∫∫ −

μ

πϕ

ϕ

ϕμϕϕ

ϕμϕϕμ

π

π

π

&

&

Gilt im Zeitmittel auch für elliptische Bahnen

Gilt im Zeitmittel auch für elliptische Bahnen

5757

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Das VirialtheoremDas Virialtheorem Allgemein für N Teilchen, definiere Allgemein für N Teilchen, definiere

∑∑

∑∑

==

==

⋅+⋅=⇒

⋅=⋅=

N

iii

N

iii

N

iiii

N

iii

rprpQ

rvmrpQ

11

11

:

r&r&rr&r

rrrrr

Trägheitsmoment(Achtung, etwas andere Definition als beim Kreisel)

Trägheitsmoment(Achtung, etwas andere Definition als beim Kreisel)

( )

∑

∑∑

=

==

=

==⋅=

N

iii

N

iii

N

iiii

rmI

dt

Idrm

dt

d

dt

drrm

dt

d

1

2

2

2

1

221

1

:mit

2

1

r

rr&r

5858

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem


∑∑

∑∑

==

==

⋅+⋅=⇒

⋅=⋅=

N

iii

N

iii

N

iiii

N

iii

rprpQ

rvmrpQ

11

11

:

r&r&rr&r

rrrrr

∑∑==

==⋅=N

iii

N

iii Evmrp

1kin

221

1

2r&rr

5959

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem


∑∑

∑∑

==

==

⋅+⋅=⇒

⋅=⋅=

N

iii

N

iii

N

iiii

N

iii

rprpQ

rvmrpQ

11

11

:

r&r&rr&r

rrrrr

( ) ( )∑∑∑∑

∑∑∑

= == =

= ==

−⋅=⋅−=

⋅=⋅=

N

i

N

jjiiji

N

i

N

jjiij

i

N

i

N

jij

N

iii

rrFrFF

rFrF

1 11 1

1 11

2

1

2

1

)derVirial(

rrrrrr

rrrr

6060

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem


∑∑

∑∑

==

==

⋅+⋅=⇒

⋅=⋅=

N

iii

N

iii

N

iiii

N

iii

rprpQ

rvmrpQ

11

11

:

r&r&rr&r

rrrrr

∑∑= =

=−−

−=N

i

N

jji

ji

ji Errrr

mGm

1 1pot

2

32

1 rrrr

6161

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Das VirialtheoremDas Virialtheorem Allgemein gilt für ein System aus N

Teilchen

Im stationären Zustand verschwinden die Zeitableitungen zeitgemittelter globaler Größen, folglich

Allgemein gilt für ein System aus N Teilchen

Im stationären Zustand verschwinden die Zeitableitungen zeitgemittelter globaler Größen, folglich

kinpot2

2

22

1EE

dt

Id+=

potkin

2

2

02

2

2

0

EE

dt

Iddt

dt

d

dt

Id

dt

d T

−=⇒

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫

6262

Ein

führ

ung

in d

ie A

stro

nom

ie u

nd A

stro

phys

ik I

K

api

tel I

II:

Das

Pla

nete

nsys

tem

Das VirialtheoremDas Virialtheorem Für große Teilchenzahlen N ist die

Mittelung über die Zeit äquivalent zu einer über verschiedene Ensembles (Teilbereiche können als unabhängig voneinander angesehen werden), d.h. es gilt auch instantan für stationäre Systeme

Für große Teilchenzahlen N ist die Mittelung über die Zeit äquivalent zu einer über verschiedene Ensembles (Teilbereiche können als unabhängig voneinander angesehen werden), d.h. es gilt auch instantan für stationäre Systeme

potkin2 EE −=

Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 Kapitel III: Das...

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